Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
|
|
- Ἄτλας Παπαγεωργίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, p. ISBN
2 Teiginio sąvoka Logika nagrinėja mąstymo dėsnius, užtikrinančius jo taisyklingumą, t. y. apibrėžtumą, neprieštaringumą, nuoseklumą, pagrįstumą. Viena iš pagrindinių, bazinių, pirminių logikos sąvokų yra teiginys toks sakinys, tvirtinimas, reiškimas, kuris visada yra arba teisingas, arba klaidingas. Nagrinėjamų logikoje samprotavimų turinys nėra svarbus: logika domisi teisingų samprotavimų sudarymo formomis. Todėl svarbios yra tik teiginių reikšmės: tiesingas arba klaidingas, kurios žymimos TRUE, FALSE, T, F, t, k, 1, 0,... ir vadinamos loginėmis konstantomis. Abstraktieji teiginiai žymimi raidėmis su indeksais arba be jų: A, B,..., c, d, e,..., f 1, h 2,... ir vadinami loginiais kintamaisiais. 2
3 Matematinė logika nagrinėja matematinių samprotavimų formas ir dažnai naudoja simbolius ir formules. Iš teiginių, kuriuos galima pavadinti pirminiais, elementariais arba loginiais kintamaisiais, sudaromi nauji, sudėtiniai teiginiai. Naujiems teiginiams sudaryti apibrėžiamos loginės operacijos, kurios formalizuoja matematinių teoremų įrodymą. Tarkime, kad x ir y yra teiginiai (loginiai kintamieji). Atliekant su x ir y logines operacijas (veiksmus), gaunami nauji teiginiai. Teiginio T neigimu vadinamas naujas teiginys, kurį žymime T arba T ir skaitome ne T, netiesa, kad T. Kai loginio kintamojo T reikšmė yra tiesa, tai kintamojo T reikšmė yra klaida, ir atvirkščiai, kai T klaida T tiesa. Neigimo operacijos apirėžimą patogu užrašyti tokia lentele T k t T t k 3
4 Operacija disjunkcija žymima (skaitoma x arba y ): teiginys x y yra teisingas, jei teisingas bent vienas iš teiginių x, y (t. y. teisingas yra bent kuris nors iš x, y, tačiau jie gali būti teisingi ir abu.) Operacija konjunkcija žymima & (skaitoma x ir y ): teiginys x & y yra teisingas, jei teisingi abu teiginiai x, y (t. y. teisingas ir x, ir y). 4
5 Operacija implikacija žymima ( skaitoma jei x, tai y arba iš x išplaukia y ). Teiginys x y yra klaidingas tik tuo atveju, kai teiginys x yra teisingas, o y klaidingas (t. y. implikacija klaidinga, jei iš tiesos išplaukia melas, o visais kitais atvejais implikacija yra teisinga Operacija ekvivalentumas žymimas (skaitoma x tada ir tik tada, kai y ): teiginys x y yra teisingas, jei abu teiginiai x, y yra teisingi arba abu klaidingi (dar sakome, kad sąlyga x yra būtina ir pakankama sąlygai y. 5
6 Keturių dviviečių operacijų lentelė x y x y x & y x y y x x y k k k k t t t k t t k t k k t k t k k t k t t t t t t t 6
7 Disjunkcija kartais vadinama logine suma, o konjunkcija logine sandauga. Jei logines konstantas k ir t pažymėsime 0 ir 1 ir į simbolius 0 ir 1 žiūrėsime kaip į skaičius, tai x & y = x y, x y = x y x y. Operacija vadinama sudėtimi moduliu du: 0 0 = 0, 1 1 = 0, 0 1 = 1 0 = 1. Sudėtis moduliu du kartais vadinama griežtąja disjunkcija ir žymima. 7
8 Formulė F vadinama tautologija (tapačiai teisinga), jei ji įgyja reikšmę t, esant bet kurioms kintamųjų reikšmėms. Formulė F vadinama prieštara (tapačiai klaidinga), jei esant bet kurioms kintamųjų reikšmėms ν = (ν 1, ν 2,..., ν n ): F(ν) = k. Pastebėkime, kad F yra prieštara tada ir tik tada, kai F tautologija. 8
9 Formulės F ir G vadinamos ekvivalenčiosiomis, jei esant bet kurioms kintamųjų reikšmėms ν = (ν 1, ν 2,..., ν n ): F(ν) = G(ν). Ekvivalenčiąsias formules žymime ženklu =: F = G. Tai reiškia, kad ekvivalenčios formulės gali būti užrašytos įvairiais būdais, bet jei apskaičiuojame jų reikšmes, gausime tą patį rezultatą. Teorema. Formulės F ir G yra ekvivalenčiosios tada ir tik tada, kai formulė (F G) yra tautologija. 9
10 Pateiksime ekvivalenčiųjų formulių pavyzdžių. F = F ; F G = G F ; F G = F G; F F = F ; F&F = F ; F G = F G; F G = (F& G); F t = t; F&t = F ; F k = F ; F&k = k. 10
11 Žinodami įeinančių į loginę formulę loginių kintamųjų reikšmes, atliekame logines operacijas ir surandame formulės reikšmes. Visas formulės reikšmes įrašome į teisingumo reikšmių lentelę. Taigi teisingumo lentelė apie loginę formulę teikia visą informaciją. Pavyzdys. Formulės f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 ) & (x 1 x 3 ) reikšmes ir jų skaičiavimo eigą nusako ši teisingumo reikšmių lentelė. 11
12 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) k k k t t t k k k k t t t t t t k t k t k t k k k t t t k t t t t k k k t t t t t k t k t t t t t t k k k k t k t t t k k k t k 12
13 Tapačiai teisingos formulės tautologijos dar vadinamos logikos dėsniais. Įrašykime svarbiausius iš jų į lentelę Pavadinimas negalimo trečiojo dėsnis dvigubasis neigimas Formulė x x x x prieštaravimas x & x tapatybės dėsnis x x modus ponens x & (x y) y modus tollens (x y)& y x (x y) & (y z) silogizmas (x z) kontrapozicija x y y x de Morgano dėsniai x & y x y x y x & y 13
14 Visos formulės įrodomos sudarant jų teisingumo reikšmių lenteles. Įrodykime, pavyzdžiui, pirmąjį de Morgano dėsnį: x y x y x & y x & y x y x & y x y k k t t k t t t k t t k k t t t t k k t k t t t t t k k t k k t Iš lentelės matome, kad formulė x & y x y yra tautologija, kurią galima perrašyti ir taip: x & y = x y. 14
15 Tautologijų nustatymo taisyklės Teisingumo reikšmių lentelės metodas yra universalus, tačiau reikalaujantis daug darbo. Kartais įrodyti, kad formulė yra tautologija, galima greičiau. Pavyzdys. Įrodykime prieštaros metodu, kad formulė F = (A (B A)) yra tautologija. Sprendžiame loginę lygtį F(X) = k. Implikacija ( ) įgyja klaidingą reikšmę tik tada, kai t k. Taigi turi būti A = t, (B A) = k. Gauname, kad turi būti (B t) = k, bet implikacija tokių reikšmių neturi, nepaisant B. Todėl lygtis F(X) = k neturi sprendinių ir visais atvejais gauname F = t, t. y. formulė F yra tautologija. 15
16 Pavyzdys. Ekvivalenčiųjų pertvarkių metodu įrodykime, kad formulė A & B (A B) yra tautologija. Taikome dvigubojo neigimo dėsnį: A&B = A & B. Reiškiniui A & B taikome de Morgano dėsnį: A & B = A B. Taikydami negalimo trečiojo dėsnį, gauname A B (A B) = t. 16
17 Bulio funkcijos Logikos algebros funkcijos, kai jų pačių ir jų argumentų reikšmės lygios 0 arba 1, dar vadinamos Bulio funkcijomis. Jis (George Boole ( ) anglų matematikas ir logikas) pirmas pradėjo taikyti matematikos principus logikoje. Tarkime, kad nepriklausomi kintamieji x 1, x 2,..., x n ir priklausomas kintamasis funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) įgyja tik dvi reikšmes, kurias žymėsime 0, 1. Tokias funkcijas ir kintamuosius vadinsime buliniais arba Bulio kintamaisiais ir bulinėmis funkcijomis. 17
18 Bet kurią Bulio funkciją galima apibrėžti jos teisingumo lentele: x 1 x 2... x n f(x 1, x 2,..., x n ) f(0,0,...,0) f(0,0,...,1) f(0,1,...,1) f(1,1,...,1) Skirtingų n kintamųjų Bulio funkcijų yra 2 2n. 18
19 Bulio funkcijos f(x 1, x 2,..., x n ) kintamasis x j (1 j n) vadinamas fiktyviuoju, jei visoms kintamųjų x 1,..., x j 1, x j+1,..., x n reikšmėms f(..., x j 1,0, x j+1,...) = f(..., x j 1,1, x j+1,...). Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji, vadinami esminiais. 19
20 Pavyzdys. Tarkime, kad trijų kintamųjų x, y, z Bulio funkcija f(x, y, z) apibrėžta tokia lentele x y z f(x, y, z)
21 Matome, kad ketvirtasis stulpelis sutampa su antruoju, t. y. funkcija f(x, y, z) išreiškiama tik vienu kintamuoju y ir todėl galima rašyti (=), kai tą pačią Bulio funkciją reiškiame skirtingomis formulėmis. Taigi rašome f(x 1, x 2,..., x n ) = g(x 1, x 2,..., x n ), kai sutampa šių Bulio funkcijų teisingumo lentelės, t. y. kai lygybė galioja bet kuriam kintamųjų rinkiniui (x 1, x 2,..., x n ) {0,1} n. Funkcija f(x, y, z) nepriklauso nuo kitų dviejų kintamųjų x ir y ir todėl jie yra fiktyvieji. Pastebėkime, kad tą pačią funkciją galima išreikšti ir kitomis formulėmis, į kurias šie kintamieji įeina: f(x, y, z) = y = y & (x x) = y & (y y) x &x. Taigi fiktyvieji kintamieji gali ir įeiti, ir neįeiti į formulę, tačiau, jei funkcija išreiškiama formule, kurioje kintamojo nėra jis yra fiktyvusis. 21
22 Vieno kintamojo Bulio funkcijos Vieno kintamojo x Bulio funkcijų f(x) yra tik keturios: x f(x) = 0 f(x) = x f(x) = x f(x) = Funkcijos f(x) = 0 ir f(x) = 1 yra konstantos ir x šiuo atveju fiktyvusis kintamasis. Kitos dvi funkcijos išreiškiamos kintamuoju x arba jo neiginiu x: f(x) = x, f(x) = x ir šioms funkcijoms x yra esminis kintamasis. Jei formulė priklauso nuo vieno kintamojo x, ji išreiškia kurią nors vieną iš keturių surašytų lentelėje funkcijų. Taigi tokią formulę visada galima supaprastinti ir išreikšti konstanta 0 arba 1, kintamuoju x arba jo neiginiu x. 22
23 Pavyzdys. Suprastinkime formulę (x (x x)) x. Kai x = 0, gauname (0 (0 1)) 0 = (0 1) 0 = 1 0 = 0. Kai x = 1, turime ((1 (1 0)) 1) = ((1 0) 1) = (0 1) = 1. Taigi gauname, kad ((x (x x)) x) = x. 23
24 Dviejų kintamųjų Bulio funkcijos Išnagrinėkime visas dviejų kintamųjų Bulio funkcijas f(x 1, x 2 ). Kadangi kintamieji įgyja tik dvi reikšmes 0, 1 ir funkcijos reikšmių irgi yra tik dvi, tai egzistuoja lygiai 16 skirtingų dviejų kintamųjų Bulio funkcijų. Įrašykime visas jas į lentelę. 24
25 x 1 x 2 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f x 1 x 2 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f
26 Bulio funkcijų reiškimas formulėmis Funkcijos f 0 ir f 15 yra konstantos: f 0 = 0, f 15 = 1. Funkcija f 10 = x 2 nepriklauso nuo kintamojo x 1, o funkcija f 12 = x 1 nuo x 2. Funkcijos f 0 ir f 15 neturi esminių kintamųjų. Funkcijų f 10 ir f 12 esminiai kintamieji yra x 2 ir x 1, o fiktyvieji x 1 ir x 2. 26
27 Funkcijos f 3, f 5, f 8, f 9, f 11, f 13, f 14 išreiškiamos jau apibrėžtomis loginėmis operacijomis: f 3 f 5 f 8 f 9 f 11 f 13 f 14 x 1 x 2 x 1 &x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 Funkcijos f 1, f 2, f 4, f 6 ir f 7 išreiškiamos žinomų operacijų neiginiais: f 1 f 2 f 4 f 6 f 7 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 &x 2 27
28 Jau buvo minėta funkcija, kuri vadinama sudėtimi moduliu du. Galima įrodyti (pakanka sudaryti teisingumo lentelę), kad Taigi (x 1 x 2 ) ((x 1 x 2 )&(x 1 x 2 )). f 6 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 = (x 1 x 2 )&(x 1 x 2 ). Funkcija f 1 yra vadinama Pyrso (Charles Peirce ( ) amerikiečių matematikas, filosofas ir logikas) rodykle ir žymima : f 1 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 = x 1 x 2 = x 1 &x 2. Funkcija f 7 žymima ir vadinama Šeferio (Henry Sheffer ( ) amerikiečių logikas.) brūkšneliu f 7 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 = x 1 &x 2 = x 1 x 2. 28
29 Teorema. Bet kuri loginė formulė gali būti užrašyta, taikant tik vieną loginę operaciją ( ) arba ( ). Įrodymas. Pakanka įsitikinti, kad neigimas išreiškiamas taip: x = (x x). Tada (x & y) = ((x y) (x y)). Disjunkciją išreiškiame, taikydami šias formules ir de Morgano dėsnį. Pastebėję, kad (x y) = (x&y), gauname įrodymą Pyrso rodyklei. 29
30 Dualumo principas Funkcija f 1 (x 1, x 2,..., x n ) vadinama dualiąja funkcijai f 2 (x 1, x 2,..., x n ), jei f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = f 2 (x 1, x 2,..., x n ). Pavyzdžiui, funkcijos 1 dualioji yra funkcija 0: f(x) = 1 = x x, f(x) = x (x) = (x) & x = x & x = 0. Pastebėkime, kad f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1, x 2,..., x n ). 30
31 Taigi jei funkcija f 1 yra dualioji funkcijai f 2, tai ir funkcija f 2 yra dualioji funkcijai f 1. Pavyzdžiui, kai f 1 (x, y) = x y ir f 2 (x, y) = x&y, turime f 1 (x, y) = x y = x & y = x & y = f 2 (x, y), f 2 (x, y) = x & y = x y = x y = f 1 (x, y). Funkcijos f(x 1, x 2,..., x n ) dualiąją funkciją f(x 1,..., x n ) žymėsime f (x 1,..., x n ). Tada f1 (x, y) = f 2 (x, y) ir f 2 (x, y) = f 1 (x, y). Arba bendrojo pavidalo: f = ( f ) = f 31
32 Tarkime, kad funkcijos F = F(f 1, f 2,..., f m ) dualioji yra F (f 1, f 2,..., f m ) ir f i (x 1, x 2,..., x n), i = 1,2,..., m yra dualiosios funkcijų f i (x 1, x 2,..., x n ). Tada galioja dualumo principas: sudėtinės funkcijos G(x 1, x 2,..., x n ) = F(f 1 (x 1,..., x n ),..., f n (x 1,..., x n )) dualioji funkcija yra F (f 1 (x 1, x 2,..., x n), f 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )). 32
33 Pavyzdys. Funcijos F(u, v) = u v dualioji yra F (u, v) = u v = u & v. Funkcijų u(x) = x ir v(y) = y dualiosios funkcijos yra: u (x) = x = x, v (y) = y = y. Taigi funkcijos F(x, y) = F(u(x), v(y)) dualioji yra F (x, y) = F (u (x), v (y)) = x & y. Dualiosios funkcijos f (x 1,..., x n ) teisingumo lentelę gauname iš funkcijos f(x 1,..., x n ) teisingumo lentelės, keisdami visus 0 ir 1 vietomis. Pavyzdys. Raskime pateiktos lentelėje funkcijos f(x 1, x 2, x 3 ) dualiąją funkciją f (x 1, x 2, x 3 ). 33
34 x 1 x 2 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) x 1 x 2 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) f(0,0,0) = f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(0,1,1) = f(1,0,0) = f(1,0,1) = f(1,1,0) = f(1,1,1) = 0 34
35 Rašydami Bulio kintamųjų rinkinius įprastinėse vietose, gauname x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) f(1,1,1) f(1,1,0) f(1,0,1) f(1,0,0) f(0,1,1) f(0,1,0) f(0,0,1) f(0,0,0) 1 Funkcija f(x 1,..., x n ) vadinama savidualiąja, kai f (x 1,..., x n ) = f(x 1,..., x n ). Pavyzdžiui, funkcija f(x, y, z) = x&y x&z y&z yra savidualioji. Išnagrinėtame pavyzdyje ši funkcija pateikta jos teisingumo lentele. 35
36 Dualiosios funkcijos konstravimo algoritmas Tarkime, kad funkcija f(x 1,..., x n ) išreikšta formule, kurioje yra kintamieji, jų neigimas ir keturios operacijos: 0, 1, &,. Tada dualioji funkcija f (x 1,..., x n ) išreiškiama formule, kurią gauname pakeitę 0 1; 1 0; & ; &; neigimo operacija nekeičiama. 36
37 Pavyzdys. Taikome aprašytą dualiosios funkcijos radimo algoritmą funkcijai Keičiame f(x 1, x 2 ) = x 1 & x 2 x 1 & x 2. (x 1 [& ] x 2 ) [ &] (x 1 [& ] x 2 ). Taigi f (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) & (x 1 x 2 ). 37
38 Pavyzdys. Parodykime dar kartą, kad (jau nagrinėta) funkcija f(x, y, z) = x&y x&z y&z yra savidualioji. Turime f (x, y, z) = ((x&y) (x&z) (y&z)) = (x y) & (y z) & (y z) = (x&x x&z y&x y&z) & (y z) = x&x&y x&z&y y&x&y y&z&y x&x&z x&z&z y&x&z y&z&z = x&y x&z&y y&x y&z x&z x&z y&x&z y&z = x&y x&z x&y x&y&z y&z = x&y x&z y&z x&y&z = x&y x&z y&z&(1 x) = x&y x&z y&z&1 = x&y x&z y&z = f(x, y, z). 38
39 Disjunkcinės ir konjunkcinės formos Pažymėkime x σ = x, σ = 0 x, σ = 1. T. y. x x = 1 ir kai x y : x y = 0. Pastebėkime dar, kad x σ = x σ = x σ. Formulė x σ 1 1 &xσ 2 2 &...&xσ n n vadinama elementariąja konjunkcija. Čia σ = (σ 1, σ 2,..., σ n ) yra nulių ir vienetų rinkinys, o kai kurie kintamieji x j gali ir kartotis. 39
40 Kartais gali būti praleistas disjunkcijos ženklas (&). Taigi šie reiškiniai yra elementariosios konjunkcijos x 1 &x 2 &x 3, x 1 x 2 x 3 x 1 x 2, x 2 &x 4, x 3 x 1 x 2. Formulės x 1 &x 2 &x 3, x 1 x 1, x 3 x 3 &x 2 &x 1 nėra elementariosios konjunkcijos. Elementariųjų konjunkcijų disjunkcija vadinama disjunkcine normaliąja forma. 40
41 Pavyzdžiui, šios formulės yra disjunkcinės normaliosios formos: Formulės x 1 &x 2 x 3 &x 4 &x 5, x 1 x 3 x 4 x 2 x 3. x 1 &1&x 4 0, x 1 x 9 x 2 x 4 nėra disjunkcinės normaliosios formos. Tarkime, kad Bulio funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) išreikšta disjunkcine normaliąja forma. Funkcija f tapačiai lygi nuliui (yra prieštara) tada ir tik tada, kai kiekviena elementarioji konjunkcija turi kurį nors kintamąjį x j ir jo neiginį x j. 41
42 Elementarioji konjunkcija vadinama taisyklingąja, kai kiekvienas kintamasis x σ j j įeina į ją ne daugiau, kaip vieną kartą (t. y. skaičiuojant ir neiginius). Taigi šios formulės yra taisyklingosios elementariosios konjunkcijos x 1 &x 2 &x 3, x 5 &x 3 &x 4. Šios elementariosios konjunkcijos nėra taisyklingosios x 2 &x 2 &x 3, x 4 &x 3 &x 3. 42
43 Formulė x σ 1 1 xσ xσ n n vadinama elementariąja disjunkcija. Elementariųjų disjunkcijų konjunkcija vadinama konjunkcine normaliąja forma. Tarkime, kad Bulio funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) išreikšta konjunkcine normaliąja forma. Funkcija f tapačiai lygi vienam (yra tautologija) tada ir tik tada, kai kiekviena elementarioji konjunkcija turi kurį nors kintamąjį x j ir jo neiginį x j. Pavyzdžiui, šios formulės yra taisyklingosios elementariosios disjunkcinės formos x 1 x 2 x 4, x 2 x 5 x 4 x 7. 43
44 Tobuloji disjunkcinė normalioji forma Taisyklingoji elementarioji konjunkcija (disjunkcija) vadinama pilnąja kintamųjų x 1, x 2,..., x n atžvilgiu, jei kiekvienas kintamasis x σ j j įeina į ją lygiai vieną kartą (t. y. įeina arba kintamasis x j, arba jo neiginys x j ). Disjunkcinė (konjunkcinė) normalioji forma vadinama tobuląja, kai visos ją sudarančios elementariosios konjunkcijos (disjunkcijos) yra pilnosios (kintamųjų x 1, x 2,..., x n atžvilgiu) ir nėra vienodų elementariųjų konjunkcijų (disjunkcijų). Ši disjunkcinė forma yra tobuloji x 1 &x 2 &x 3 x 1 &x 2 &x 3 x 1 &x 2 &x 3. 44
45 Bulio funkciją galima taip išskleisti jos kintamaisiais: f(x 1, x 2 ) = x 1 &f(1, x 2 ) x 1 &f(0, x 2 ). Taikant šią formulę dar kartą, gaunama funkcijos f(x 1, x 2 ) tobuloji normalioji disjunkcinė forma: f(x 1, x 2 ) = x 1 &x 2 &f(1,1) x 1 &x 2 &f(1,0) x 1 &x 2 &f(0,1) x 1 &x 2 &f(0,0). Pastebėję, kad 0&x = 0, paliksime tik tuos narius, kai f( ) = 1. Suformuluokime Bulio funkcijos tobulosios normaliosios disjunkcinės formos konstravimo algoritmą (taisyklę). 1. Teisingumo lentelėje pasirenkame tas eilutes (kintamųjų x 1, x 2,..., x n realizacijas σ 1, σ 2,..., σ n ), kai funkcijos reikšmė lygi Rašome disjunkcine forma tiek taisyklingųjų elementariųjų konjunkcijų x σ 1 1 &xσ 2 2 &...&xσ n n, kiek teisingumo lentelėje yra vienetų. 3. Neigimus rašome su tais kintamaisiais x j, kai σ j = 0. Pavyzdžiui, (x 0 1 &x0 2 &x1 3 &x1 4 ) = (x 1&x 2 &x 3 &x 4 ). 45
46 Pavyzdys. Užrašykime funkcijos, apibrėžtos jos teisingumo reikšmių lentele, disjunkcinę normaliąją formą. x 1 x 2 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) Matome, kad nelygios nuliui tik trys funkcijos reikšmės: f(0,0,1), f(1,0,0) ir f(1,0,1). Todėl funkcijos disjunkcinė normalioji forma yra tokia: f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3. 46
47 Kiekviena (išskyrus const = 0) Bulio funkcija užrašoma disjunkcine normaliąja forma: f(x 1, x 2,..., x n ) = f(σ 1,σ 2,...,σ n )=1 x σ 1 1 xσ 2 2 xσ n n. Dar kartą atkreipkime dėmesį į tai, kad formulėje yra visi kintamieji x 1, x 2,..., x n. Ši disjunkcinė forma yra vadinama tobuląja. 47
48 Taikydami ekvivalenčiuosius loginius pertvarkius x xy = x(x y) = x, xy xy = x, x xy = x y, bet kurią disjunkcinę normaliąją formą galima pertvarkyti į tobuląją. Pavyzdys. Pertvarkome reiškinį: xy x z = xyz xyz xyz x y z. 48
49 Tobuloji konjunkcinė normalioji forma Panašiai disjunkcinei normaliajai formai Bulio funkcija išreiškiama tobuląja konjunkcine normaliąja forma: f(σ 1,σ 2,...,σ n )=0 f(x 1, x 2,..., x n ) = ( σ x 1 1 xσ 2 2 ) xσ n n. Čia konjunkcijos operacija pažymėta. 49
50 Suformuluokime Bulio funkcijos tobulosios normaliosios konjunkcinės formos konstravimo algoritmą (taisyklę). 1. Teisingumo lentelėje pasirenkame tas eilutes (kintamųjų x 1, x 2,..., x n realizacijas σ 1, σ 2,..., σ n ), kai funkcijos reikšmė lygi Rašome konjunkcine forma tiek taisyklingųjų elementariųjų disjunkcijų x σ 1 1 xσ xσ n n, kiek vienetų yra teisingumo lentelėje. 3. Neigimus rašome su tais kintamaisiais x j, kai σ j = 1. Pavyzdžiui, (x 0 1 x0 2 x1 3 x1 4 ) = (x 1 x 2 x 3 x 4 ). Taigi lentelėje apibrėžtos funkcijos f(x 1, x 2, x 3 ) tobuloji konjunkcinė normalioji forma yra (x 1 x 2 x 3 )&(x 1 x 2 x 3 )&(x 1 x 2 x 3 )& (x 1 x 2 x 3 )&(x 1 x 2 x 3 ). 50
51 Pilnosios funkcijų sistemos Bulio funkcijų (funkcijas dar vadiname operacijomis; pavyzdžiui, operacijomis&arba vadiname funkcijas f(x, y) = x & y arba g(x, y) = x y) sistema {f 1, f 2,..., f s,...} vadinama pilnąja, jei bet kurią Bulio funkciją f(x 1, x 2,..., x n ) galima išreikšti šios sistemos operacijomis (funkcijomis): f(x 1, x 2,..., x n ) = f j1 ( fj2 ( fj3 ( ( f jk (x i1,..., x im ) ) ) ). 51
52 Kitaip sakant, pilnosios funkcijų (operacijų) sistemos operacijų pakanka bet kuriai Bulio funkcijai išreikšti. Pateiksime jau mums žinomų pilnųjų sistemų pavyzdžių. 1. Visų Bulio funkcijų aibė yra pilnoji sistema. 2. Funkcijų sistema {x 1, x 1 & x 2, x 1 x 2 } yra pilnoji. 3. Sistemos {x 1, x 1 & x 2 } ir {x 1, x 1 x 2 } yra pilnosios. 4. Sistemos {x 1 x 2 } ir {x 1 x 2 } yra pilnosios. 5. Sistema {0, 1} nėra pilnoji. 52
53 Teorema. Tarkime, kad funkcijų sistema F = {f 1, f 2,..., f s,...} yra pilnoji ir kiekvieną funkciją f j galima išreikšti kitos sistemos G = {g 1, g 2,..., g n,...} funkcijomis. Tada sistema G irgi yra pilnoji. Pavyzdžiui, funkcijų sistema {x, x 1 & x 2 } yra pilnoji ir x 1 & x 2 = x 1 x 2 (de Morgano formulė). Todėl sistema {x, x 1 x 2 } irgi pilnoji. 53
54 Uždarosios funkcijų klasės Tarkime, kad F = {f 1, f 2,..., f s,...} yra Bulio funkcijų sistema. Visų funkcijų, kurias galima išreikšti sudarytomis iš funkcijų f 1, f 2,... formulėmis, aibė vadinama klasės F uždariniu ir žymima [F]. Aibės [F] sudarymo veiksmą vadiname uždarymo operacija. Nekeičiančios nulio funkcijos Bulio funkciją f(x 1, x 2,..., x n ) vadiname nekeičiančia nulio, jei f(0,0,...,0) = 0. Visų tokių (nekeičiančių nulio) funkcijų klasę (aibę) žymėsime T 0. 54
55 Tarkime, kad f j T 0, t. y. f j (0,0,...,0) = 0. Tada bet kuri sudėtinė funkcija F(x 1, x 2,..., x n ) = f j1 (f j2 (x i1, x i2, ), f j3 ( ), ) ir nekeičia nulio: F(0,0,,0) = f j1 (f j2 (0,0,,0), f j3 (0,0,,0), ) = f j1 (0,0,,0) = 0. Taigi klasė T 0 yra uždaroji: [ T 0 ] = T0. 55
56 Nekeičiančios vieneto funkcijos Nekeičiančių vieneto Bulio funkcijų klasė apibrėžiama taip: T 1 = {f : f(1,1,...,1) = 1}. Pavyzdžiui, funkcijos f(x) = x, g(x, y) = x y, h(x, y) = x&y priklauso abiem klasėms, o funkcija w(x) = x nė vienai. Akivaizdu, kad [ T 1 ] = T1, t. y. klasė yra uždaroji. 56
57 Savidualiųjų funkcijų klasė Savidualiųjų funkcijų klasę pažymėkime: T = {f : f(x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1, x 2,..., x n )}. Šiai klasei priklauso, pavyzdžiui, funkcijos f(x) = x ir w(x) = x. Tarkime, kad funkcijos f, f 1, f 2,..., f m T. Taikydami funkcijai F(x 1, x 2,..., x n ) = f (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) dualumo principą, gauname, kad F = f ( f 1,..., f m) = f (f1,..., f m ) = F. Taigi F T ir [T ] = T. 57
58 Pastaba. Dviejų kintamųjų savidualiajai funkcijai f(x, y) galioja lygybės: f(0,0) = f(1,1), f(0,1) = f(1,0). Todėl savidualiosios funkcijos teisingumo lentelėje turi būti du nuliai ir du vienetai. Iš čia išplaukia, kad funkcijos &,,,, nėra savidualiosios. Pastebėkime, kad ši sąlyga yra būtina, bet nėra pakankama. Pavyzdžiui, ( ) = ir todėl funkcijos, irgi nėra savidualiosios. 58
59 Monotoninės funkcijos Tarkime, kad α = (α 1, α 2,..., α n ), β = (β 1, β 2,..., β n ) yra du Bulio kintamųjų rinkiniai ir α β. Susitarkime rašyti kai (α 1, α 2,..., α n ) (β 1, β 2,..., β n ), α j β j ( j = 1,2,..., n). 59
60 Pavyzdys. Turime α 1 = β 1 = 0, α 2 = β 2 = 1, α 3 = β 3 = 1, α 4 = β 4 = 1, α 5 = β 5 = 0, α 6 = 0 < β 6 = 1, α 7 = 0 < β 7 = 1. Todėl (0,1,1,1,0,0,0) (0,1,1,1,0,1,1). Pastebėkime, kad ne visi Bulio kintamųjų rinkiniai α ir β išpildo kurią nors iš sąlygų α β arba β α. Pavyzdžiui, (0,0) (0,1) (1,1), tačiau negalima rašyti (0,1) (1,0) arba (0,1) (1,0). Apibrėžkime monotoninių funkcijų klasę T = {f : α β f(α) f(β)}. 60
61 Taigi vieno kintamojo funkcija f(x) yra monotoninė, kai f(0) f(1). Todėl funkcijos 0, 1 ir x yra monotoninės, o x nėra. Dviejų kintamųjų funkcija f(x, y) yra monotoninė, kai galioja visos (šešios) nelygybės: f(0,0) f(0,1) f(1,1), f(0,0) f(1,0) f(1,1). Gauname, kad funkcijos g(x, y) = x y ir h(x, y) = x & y yra monotoninės, o funkcijos x y, x y, x y, x y, x y nėra. 61
62 Tiesinės funkcijos Tiesinių funkcijų klasė apibrėžiama taip (Skliaustų nerašome, nes operacijos & prioritetas yra didesnis, negu operacijos.): T L = {f : f(x 1, x 2,..., x n ) = c 0 c 1 &x 1 c 2 &x 2 c n &x n }, čia c j {0,1} yra tiesinio darinio koeficientai. Taigi Bulio funkcija vadinama tiesine, jei ją galima išreikšti tiesiniu dariniu. Funkcijos f(x) = x ir w(x) = x yra tiesinės: f(x) = x = 0 1&x, w(x) = x = x 1 = 1 1&x. 62
63 Pavyzdys. Parodysime, kad funkcija g(x, y) = x y nėra tiesinė. Bandome išreikšti funkciją g(x, y) tiesinio darinio su neapibrėžtais koeficientais c 0, c 1, c 2 pavidalo: g(x, y) = x y = c 0 c 1 &x c 2 &y. Imdami Bulio kintamųjų x ir y reikšmes, gauname: g(0,0) = 0 0 = 0 = c 0 c 1 &0 c 2 &0 = c 0, g(0,1) = 0 1 = 1 = 0 c 1 &0 c 2 &1 = c 2, g(1,0) = 1 0 = 1 = 0 c 1 &1 1&0 = c 1. Taigi visi koeficientai rasti: c 0 = 0, c 1 = 1, c 2 = 1 ir gauname g(x, y) = x y. Tačiau g(1,1) = 1 1 = = 0 ir todėl x y x y. 63
64 Sistemos pilnumo būtinos ir pakankamos sąlygos Bet kuri Bulio funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliąja forma. Todėl funkcijų (rašome atitinkamas operacijas) sistema {,&, } yra pilnoji. Taikant de Morgano dėsnius, konjunkciją galima išreikšti neigimu bei disjunkcija, ir atvirkščiai. Taigi pilnosios yra ir šios sistemos: {, }, {,&}. Prisiminkime, kad žinome dar tris pilnąsias funkcijų sistemas: {, }, { }, { }. Teorema. Bulio funkcijų sistema F yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po vieną funkciją, nepriklausančią kiekvienai klasei T 0, T 1, T, T, T L, t. y. galima nurodyti bent vieną funkciją kuri nėra nekeičianti nulio, nėra nekeičianti vieneto ir t. t. 64
65 Pavyzdys. Parodykime, kad sistema {0, 1,&, } yra pilnoji. Užpildome lentelę. T 0 T 1 T T T L 0 / / 1 / / & / / / / / Matome, kad klasei T 0 nepriklauso funkcija 1, klasei T 1 nepriklauso funkcijos0ir, visos sistemos {0,1,&, } funkcijos nėra savidualiosios (/ T ), sistemoje yra (bent viena) funkcija ( ) nepriklausanti klasei T (funkcija nėra monotoninė) ir sistemoje yra netiesinė funkcija (& / T L ). Taigi teoremos sąlygos galioja ir todėl operacijų sistema {0,1,&, } yra pilnoji. 65
MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότερα4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas
SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραdoc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU 2011/2012 m.m. 2011/2012 Matematinė logika
doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU m.m. 1/31 doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra Studentų 50-326 a tel. 300313 FMF dekanatas
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραStanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA
Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA Vilnius, 2004 1 ISBN - Recenzavo: dr. R.Alonderis, doc. hab.dr. R.Pliuškevičius, dr. J.Sakalauskaitė 2 TURINYS I ι vadas...5 1. Aibės ir grafai...7 1.1 Skaičiosios
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραTEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραAUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA
Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότεραIII.Termodinamikos pagrindai
III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότεραPav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.
Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότεραDonatas Surgailis Finansų matematika
Donatas Surgailis Finansų matematika Paskaitų konspektas Vilnius 2015 vasario 9 ii Turinys 1 Įvadas 1 2 Finansų rinka 3 2.1 Finansų rinkos struktūra................................. 3 2.2 Opcionai..........................................
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότερα5 klasė. - užduotys apie varniuką.
5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides
Διαβάστε περισσότερα5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos
5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė
Διαβάστε περισσότεραPapildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.
Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότερα= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t
Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότεραJONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA
JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότερα2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο
1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο
Διαβάστε περισσότεραĮVADAS Į FINANSŲ SISTEMĄ
III. AKCIJOS, OBLIGACIJOS IR JŲ VERTINIMAS 5 ATEITIES VERTĖ, DABARTINĖ VERTĖ IR PALŪKANŲ NORMOS Turinys 5.1 Įvadas 5.2 Mokėjimų dabar ir ateityje vertė 5.2.1 Ateities vertė ir sudėtinė palūkanų norma 5.2.2
Διαβάστε περισσότερα1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos
1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]
Διαβάστε περισσότεραKLASIKIN E MECHANIKA
KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai
1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams
Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras Giedrė Beconytė DUOMENŲ BAZIŲ PROJEKTAVIMAS Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilnius 2012 Aprobuota VU Gamtos mokslų
Διαβάστε περισσότερα2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS
6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis
Διαβάστε περισσότεραA priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai
Priedai A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai B priedas. Patikslintas tiesiakrumplės pavaros matematinis modelis C priedas. Patikslintas tiesiakrumplė pavaros matematinis modelis
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότεραt. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.
LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe
Διαβάστε περισσότεραBalniniai vožtuvai (PN 16) VRB 2 dviejų angų, vidiniai ir išoriniai sriegiai VRB 3 trijų angų, vidiniai ir išoriniai sriegiai
Techninis aprašymas alniniai vožtuvai (PN 16) VR 2 dviejų angų, vidiniai ir išoriniai sriegiai VR 3 trijų angų, vidiniai ir išoriniai sriegiai prašymas Savybės: Padidinto sandarumo ( bubble tight ) konstrukcija
Διαβάστε περισσότεραKengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras
Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius
Διαβάστε περισσότερα