Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 ! " # $ &'()*+&($ &')+&,$ -./ /:67; 3< 75 5.= 489 > 3 96?@ A-9B 3-78 C6 D 6?@E A F 9; 3 78E 4/- )G@G54/E H 8:/I/:6?@E CJ ?@ C.64:/.@ 5.= 489 K L ME GB:/E 4M9 N./O: 3P 7 3 M9 Q65 4/- &'()*+&(*N & H STU')* A A)$V H S$+*W*+&($ & / F 96/E X YYZ

2

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

4

5 $ " #!, " " "!" )!!) #/") &#!! 3 " *"! )" # # ) $ $3 #, * *3 * -"" 5 $ " # $*" *" &" #)/!) ")!)@"! " #!! " # 4!, */ " )" )" # #B! 8!9,!! 8# "!)@" )!"#$ $!&#'9 P4 -($(# #/$- 4/ " *$ ')-* 8! " #!", 8$*'#9 #/"- ) 9!! ) * 8 $##( *$ *" ) "!)@",9 6 #!! 3 * ')-* P4 -($(# #/$ G n!3 "!! **!!!"! 8$ +# ' *,-9! #)/ )" # O(og n) O(n/ og n) # #./.0 - / 4 */!! $ "!$ )!) #/")3!! 3 $!!) $3 "!)@" )! )! 8 k -34#)-#,)!*,!"#$93 P4 -($(# $ )!) #/") $ " # *$#" " *""5 6()$#3 78 *+!&!!9&!(,) : )!!9&!(3,!*'& (!&9*!, ;!$ #!"#$ $!&#'!, P4 -($(# -$(3 <=>?@A=B =C D>EBA@ ECF G=HIJCEK=>JEL MBKJHJNEKJ=C OGP<QRST 3 :!&!-,#3 U#$',V3 CEEW 6()$#378 *+!&!!9&!(,) : )!!9&!(3,!*'& $&&#& (!&9*!, ;!$ #!"#$ $!&#'!, P4 -($(# -$(3 X=Y>CEL =Z [E>ELL\L ECF ]J@K>JIYK\F G=HBYKJC^ _`3 abda3 CEED c d e k fkgh jk hjmjmno h npqrst > " "!)@" ) $! k!3!" /" # 7#*,#$ ufdv 3 )/" " # "!)"!,"#4 #/")3 - *! " -$ # " #!! "!)" 4" *! " "!)@" ) $! k -$ # "!)" w9(*- $#(!&) #/") $ " " ) "!) #5 *

6 6 ()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 -!'&##,#(( $#(9&( ;!$ (!'# $!&#'(!, (9 &((#(!; *- $*#,)!$)& -$(3 PA\=>\K G=HBYK J\C \ 3 C F CW 3 CEED e e e e 4! "# -"" # $ "!!! * 8$##(93 *$ #/$ 8*$*# -$(9! "!) # #/$ 8!-$(93 *! $ ) " -$" # ** #/$ *") 8*,#$"& -$(93 **!) #/$ 8#$'9*!, -$(9!,! # *$!) #/$ 8*$*# #$'9*!, -$( "!", ") * #!) #!, 8!$)&9 #/")3 w9(*-$#(!&)! $#(!&) #/$ > )" #!)&#,)#$ u v 3 )B -"" # $ "!! -! w9(*-$#(!&) #/$ 4" * " "! -$ # * 8(&*9 #/$!"3 # "!) $#(!&) #/$ '! " " -!!) " #!! "!)" #/")3 #)/ #! # $ " # *$#" $ *"5 6 ()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 -!'&##,#(( $#(9&( ;!$ (!'# $!&#'(!, (9 &((#(!; *- $*#,)!$)& -$(3 PA\=>\K G=HBYK J\C \ 3 C F - CW 3 CEED 6 ()$#3 6!,,*)!93,) 78 *+!&!!9&!(3 # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#' *( -!'&## ;!$ *,#$"&,) #$'9*!, -$(3 ]J@ >\K\ BBL EKA 3 CbDDCbFC3 CEED c k r fkg g ro h nmoj h jk n r hnpqrst >!" $!)@" ) )B " " -!)@" ) k! )! 8 k -34#)-#,)!*,!"#$ $!&#'93 $ # 3 + : ' #/$ G! T k! V (G) ) k! )! G P 8!9 )!! G, k! T )!, P 5 " "!)@" ) k! )! " - "!)@" ) k! )! )" "!" &", 3 T!3 *"*$ k = 0 3 " B!! "!)@" ) ' " "!)@" ) k! )!! # "!)"!-$( &#!! 3 #B!) /)# # #!)@" ) k! )! )" "!" #!-$! *! *",!)@" &" 3 )" *"3 #)/ # #B #! 8 O(n + m) ) k! )! )" "!"!-$ G n!! m! : # 3 #!,!! )!) $3! C "!)"!-$( " *!"!, 5 b3 8'( +# $" "!" ")! C $!&#'( # "!)" #/") *") 8*,#$"& -$(9 " ucdv 7# $" $"" * + :" #! 8 O(n+m) 9 # **

7 "!)" $!#$ *,#$"& #/") > " " )! )! 8# 3 :9 *,#$"& -$(3 *!$ " $ + :! #!" $ 3 * " :! # "!)" *,#$"& #/") : # O(n ) 3 #!,! " *,#$"& #/$ " *!"!, $ " # *$#" $ *"5 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 &*,#$-*'# &-!$*' ;!$ # #)-#,)!*,!"#$ $!- &#'!,!-$(3 \K =>?@ 3 Cb C E 3 CEED 6 ()$#,) 78 *+!&!!9&!(3!&V,!'*& (!&9*!, ;!$ # #)-#,)!*,!"#$ $!- &#'!, $!#$ *,#$"& -$(3 [>= KA CK\>CEKJ=CEL G=CZ\>\C \ =C G=HIJCEK=>JEL L^=>JKAH@ O <MG QR T 3 +# w9$*#3 # (&#3 9($&*3 CEED 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 # -34#)-#,)!*,!"#$$!&#' *(!&V,!'*&!, *,#$"& -$(3 (9'*#)! &-!$*'* 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3!&V,!'*& (!&9*!,;!$# #)-#,)!*,!"#$$!&#'!, $!#$ *,#$"& -$(3 (9'*#)! #!$# :!'9 7 *#, # c k e rj r fkg g ro h nmoj g jk n r npqrst >!" $!)@" ) )B " ) k! )! 8 k -34#)-#,)!*, -( #!"#$ $!&#'93 $ # : ' #/$ G! k 3 T, T,..., T k V (G) 3!)@" ) k! )! G P 8!9 )!! G,! T = T T... T k )!, P! *! u, v T $! * ) P u, v $! * T 3 [, k] 5 " ) k! )! " "!)@" ) k! )! )" "!" &", 3 T 3 [, k]! " B!! "!)@" )! "3 " "!)@" )! )! B " + : uv 3 " + 7 : #! " + :!,! $! C 3 -$" #!) #/$ ' " + 7 :! # "!)"!-$( : #! #! #!, c e f g jr smo q g rj jk n r npqrst > " "!)@" )!) 8C-#$'*,&-(#!"#$ $!&#'93 $ # 3 C :3!" $!)@" ) ' #/$ G! 3 T! T V (G) 3!)@" )!) G P 8!9 )!! G,! T! T )!, P! )! * )! T T 3 )! T! ) T 5 " "!)@" )!) " "!)@" )!) )" "!" &", 3 T T! " B!! "!)@" ) ***

8 4"3 " C5 : #! $! C ' " C5 :! # "!)"!-$( : #! # 3 #!,! * " *"! C!-$( " *!"!, $ " # *$#" $ *"5 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 # C-#$'*,&-(#!"#$$!&#',)*(!&V,!'*& (!&9*!,!,!-$(3 >=CKJ\>@ =Z <=>?@A=B O < QR T 3 :,-(3 :*,3 CEEF 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 # C-#$'*,&-(#!"#$$!&#',)*(!&V,!'*& (!&9*!,!,!-$(3 (9'*#)! 8*( $## & c k e e fk()g jr smo q g rj jk n r npqrst +!" $ "!)@" ) k!) "!" C 8 k() -#$'*,&-(#!"#$$!&#'93$ # +8C97 :3)B" #"!)"!-$( ' #/$ G! k T, T,..., T k V (G)!) *!3!)@" )!) "!" C G P 8!9 )!! G,! T, T k,..., T )!, P!)!*)! T T... T )! k T!) T j3 j!, j [, k] 5"+8C97 :""!)@" ) k!) "!" C )" "!" &", 3 T 3 [, k]! " B!! "!)@" )3, T = 3 [, k] " B " + : uv 4"3 " +8C957 : #! $! C ' " +8C957 :! # "!)"!-$( 5 3 $ */ $! "!" $!)@" ) k!) 8# + 7 :9 # "!)"!-$(! " + 7 : #!" +8C97 : + */) * "), * ) $! k T, T,...,T *"

9 *(!$+ ;! 9(#(!, #!'&#4*V (9(!;!"#$,)!&!$*,- $!&#'(!, &((#(!; #$;# -$(, $* 9&$3 * )#&( * )#(*-,*,-,),&V*,- -$ &-!$*'( ;!$ #(# $!&#'(!$3 ;!$ # (#( #$# *( *(,!!((*&#3 * $!"*)*,- -!'&##,#(( $#(9&(!(!;!9$ $#(9&( "# &$#)V ##, 9&*(#) 0#,#4 )#( $*# # "$**!,(!; #!"#$,)!&!$*,- $!&#'( # (9)V *, *(!$+ Parae agorthms for the path cover probem 0# ;! 9(!, )#"#&!*,-,!*'& $&&#& &-!$*'! 3,),) $#!$ # ('&&#(,9'#$!; "#$#4- )*(!*, (!"#$# "#$* #( 8+,!, ( #!"#$ $!&#'9;!$# &((!; P4 -($(#-$( 0# +# )",-#!; # ($9 9$#!; *( '!)9&$ )#!'!(**!, $## 8,) *, ; *( $*'# -$(9,) 9*&*# *( $##( 8 ($9 9$# '*,*,( # (!; #!"#$9 7# *3 &&V3 -*"#, # '!)9&$ )#!'!(**!, $##!; P4 -($(# -$ G!, n "#$* #(3 # 9(# (,)$) $##!,$ *!,,) $ +# ' *,- #,*w9#(3,) # )#( $*#,!*'& $&&#& &-!$*' * $9,( *, O(og n) *'# * O(n/ og n) $! #((!$(!,#./.0 - /'!)#&!9&)# *,#$#(*,-! #4#,)*(#,*w9#!!#$ &((#(!; -$(,)3 ;9$#$'!$#3! 9(# *( #,*w9# *,!$)#$! (!&"# (!'# "$*,(!; # $!&#'3 (9 ( # k -34#)-#,)!*,!"#$3!, P4 -($(#!$!,!#$ &((#(!; -$( *(!$+ &#)! # ;!&&! *,- 9&* *!,(5 6()$#3 78 *+!&!!9&!(,) : )!!9&!(3,!*'& (!&9*!, ;!$ #!"#$ $!&#'!, P4 -($(# -$(3 <=>?@A=B =C D>EBA@ ECF G=HIJCEK=>JEL MBKJHJNEKJ=C OGP<QRST 3 :!&!-,#3 U#$',V3 CEEW 6()$#378 *+!&!!9&!(,) : )!!9&!(3,!*'& $&&#& (!&9*!, ;!$ #!"#$ $!&#'!, P4 -($(# -$(3 X=Y>CEL =Z [E>ELL\L ECF ]J@K>JIYK\F G=HBYKJC^ _`3 abda3 CEED The k-path partton probem 0# (9)V # k - $**!, $!&#',)3'!*"#) V $# #,!$+!; 7#*,#$ ufdv 3 #$# # &#; # $!&#'!#, ;!$ # &((!;!,"#4 -$(3 # $!"# # k - $**!, $!&#' *( -!'&##!,!,"#4 -$( 0# &(! $!"# # $!&#' *( -!'&##!, w9(*-$#(!&) -$( *(!$+ *( 9&*(#) *,5 6 ()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 -!'&##,#(( $#(9&( ;!$ (!'# $!&#'(!, (9 &((#(!; *- $*#,)!$)& -$(3 PA\=>\K G=HBYK J\C \ 3 C F CW 3 CEED "

10 Harmonous and Par-Compete Coorng.4#,)*,- $#"*!9( -!'&##,#(( $#(9&( ;!$ # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#',) # *$-!'&##!&!$*,- $!&#'!, $##(3 *$*# -$(,)!-$(3 # $!"# #(# $!&#'( $# &(! -!'&##!,!,,# #) *,#$"&,) #$'9*!, -$(,) &(!!, *$*# #$'9*!, -$(!$#-!"#$3 # (9)V #!'&#4*V!; #(# $!&#'(!,! #&&-+,!, (9 &((#(!;!$)& -$(3,'#&V w9(*-$#(!&),) $#(!&) -$( (#)!, #!$+!;!)&#,)#$ u v 3 # (! -!'&##,#(( $#(9&( ;!$ # *$-!'&##!&!$*,-,) $'!,*!9(!&!$*,- $!&#'(!, w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bDDCbFC3 CEED The k-fxed-endpont path cover probem 0# (9)V "$*,!; #!"#$ $!&#'3,'#&V3# k -34#)-#,)!*,!"#$ $!&#'3!$ + :3 ;!$ (!$ U*"#, -$ G,) (9(# T!; k "#$* #(!; V (G) 3 k -34#)-#,)!*,!"#$!; G * $#(#! T *( (#!; "#$#4-)*(!*, ( P!"#$( # "#$* #(!; G (9 # k "#$* #(!; T $# && #,)!*,(!; # ( *, P # k -34#)-#,)!*,!"#$ $!&#' *(! 3,) k -34#)-#,)!*,!"#$!; G!; '*,*'9' $)*,&*V,!# 3 *; T *( #'V3 *(3 k = 0 3 # (#) $!&#'!*, *)#( * # &((* &!"#$ $!&#' 0# (! # k -34#)-#,)!*,!"#$ $!&#', # (!&"#) *, &*,#$ *'#!, # &((!;!-$(!$# $# *(#&V3 # 3$( #(&*( &! #$!9,)!, # (*#!; '*,*'9' k -34#)-#,)!*,!"#$!;!-$,) $!"# ($9 9$& $!#$*#( ;!$ # (!; (9!"#$ #,3 (#)!, #(# $!#$*#(3 # )#( $*#, &-!$*' * 3 ;!$!-$ G!, n "#$* #(,) m #)-#(3!'9#( '*,*'9' k -34#)-#,)!*,!"#$!; G *, &*,#$ *'#3 *(3*, O(n+m) *'# # $!!(#) &-!$*' *( (*'&#3$#w9*$#( &*,#$ ( #3,) &(! #,&#( 9(! (!&"# (!'#!"#$ $#&#) $!&#'(3 (9 ( #,) C 3!,!-$( **, # ('# *'#,) ( #!'&#4*V, b3 8'( +# (#) #!'&#4*V (9(!;!,) C $!&#'(!, *,#$"& -$( $#'*,(,!#, w9#(*!, ucdv! *"#) V *(3 # (! # + : $!&#', # (!&"#) *, &*,#$ *'#3 *(3 *, O(n + m) *'#3!, # &((!; $!#$ *,#$"& -$( 0# &(! (9)V # -34 #)-#,)!*,!"#$ $!&#'!, *,#$"& -$(3!$ : ;!$ (!$3 * *( (# *& (#!; # + : $!&#',) -#,#$&**!,!; # $!&#' 0# (! # : $!&#', # (!&"#) *,!&V,!'*& *'#!, # &((!; *,#$"& -$( # $!!(#) &-!$*' $9,( *, O(n ) *'#3 $#w9*$#( &*,#$ ( #3,) #,&#( 9(! (!&"# # $!&#'!, *,#$"& -$( **, # ('# *'#,) ( #!'&#4*V *( (9)V &#)! # ;!&&! *,- 9&* *!,(5 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 &*,#$-*'# &-!$*' ;!$ # #)-#,)!*,!"#$ $!- &#'!,!-$(3 \K =>?@ 3 Cb C E 3 CEED 6 ()$#,) 78 *+!&!!9&!(3!&V,!'*& (!&9*!, ;!$ # #)-#,)!*,!"#$ $!- &#'!, $!#$ *,#$"& -$(3 [>= KA C K\>CEKJ=CEL G=CZ\>\C \ =C G=HIJCEK=>JEL L^=>JKAH@ O <MG QR T 3 +# w9$*#3 # (&#3 9($&*3 CEED "*

11 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 # -34#)-#,)!*,!"#$$!&#' *(!&V,!'*&!, *,#$"& -$(3 (9'*#)! &-!$*'* 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3!&V,!'*& (!&9*!,;!$# #)-#,)!*,!"#$$!&#'!, $!#$ *,#$"& -$(3 (9'*#)! #!$# :!'9 7 *#, # The k-fxed-endpont-set Path Cover Probem 0#(9)V-#,#$&**!,!;#!"#$$!&#'3,'#&V3# k -34#)-#,)!*, -( #!"#$$!&#'3!$ + 7 :;!$ (!$ U*"#, -$ G,) k )*(!*, (9(#(!; T, T,..., T k V (G)3 k -34#)-#,)!*, - (#!"#$!; G *( (#!; "#$#4-)*(!*, ( P!"#$( # "#$* #(!; G (9 # "#$* #(!; T = T T... T $# && #,)!*,(!; # ( *, k P,)! "#$* #( u, v T #&!,-! # ('# *!; P *;! u, v #&!,-! # ('# (# T 3 [, k] HJCJHYH k \F \ BEKA = \>!; G \ $#(#! * T, T,...,T ( k k -34#)-#,)!*, -( #!"#$!; G * '*,*'9' $)*,&*V # k F \ BEKA = \> B>=IL\H 8+ 7 :9 * (! 3,) '*,*'9' k -34#)-#,)!*, -( #!"#$!; # -$ G!# 3 *; T 3 [, k] *( #'V3 # (#) $!&#'!*, *)#( * # &((* &!"#$ $!&#'3 *&# # -34#)-#,)!*, -( #!"#$ $!&#'!*, *)#( * # #)-#,)!*,!"#$ $!&#' 8+ :9 uv 9(3# + 7 : $!&#' -#,#$&*#( # + : $!&#',) &(! #,) C $!&#'(3 * "# ##, $!"#)! # -!'&## *, -#,#$& -$( 0# (! # + 7 : $!&#', # (!&"#)*, &*,#$*'#!, # &((!;!-$( # $!!(#)&*,#$-*'# &-!$*' *( (*'&#,) $#w9*$#( &*,#$ ( # The -termna-set Path Cover Probem 0# (9)V # C-#$'*,&-(#!"#$ $!&#'3!$ C :;!$ (!$3 * *( -#,#$&**!,!; #!"#$$!&#' U*"#, -$ G,)! )*(!*, (9(#( T,) T!; V (G) 3 C-#$'*,&-(#!"#$!; G * $#(#! T,) T *( (#!; "#$#4-)*(!*, ( P!"#$( # "#$* #(!; G (9 # "#$* #(!; T,) T $# && #,)!*,(!; # ( *, P,) && # ( *! #,)!*,( *, T T "#!,# #,)!*, *, T,) #!#$ *, T # C :$!&#' *(! 3,) C-#$'*,&-(#!"#$!; G!; '*,*'9' $)*,&*V,!# 3 *; * T T ( #'V3# (#) $!&#'!*, *)#( * # &((* &!"#$ $!&#' # C : $!&#' &(! -#,#$&*#( #,) C $!&#'( 0# (! # C : $!&#', # (!&"#) *, &*,#$ *'#!, # &((!;!-$( # $!!(#) &*,#$-*'# &-!$*' *( (*'&#3 $#w9*$#( &*,#$ ( #3,) &(! #,&#( 9(! (!&"# #,) C $!&#'(!,!-$( **, # ('# *'#,) ( #!'&#4*V *(!$+ &#)! # ;!&&! *,- 9&* *!,(5 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 # C-#$'*,&-(#!"#$ $!&#',)*(!&V,!'*& (!&9*!,!,!-$(3 >=CKJ\>@ =Z <=>?@A=B O < QR T 3 :,-(3 :*,3 CEEF 6()$#,) 78 *+!&!!9&!(3 # C-#$'*,&-(#!"#$ $!&#',)*(!&V,!'*& (!&9*!,!,!-$(3 (9'*#)! 8*( $## & The k()-termna-set Path Cover Probem # k() -#$'*,&-(#!"#$$!&#'3!$ +8C97 :;!$ (!$3*( &(! (9)*#);!$# &((!;!-$( U*"#, -$ G,) k )*(!*, (9(#(!; T, T,..., T k V (G) #!,*,*,- '!(! "#$* #(3 k()-#$'*,&-(#!"#$!; G * $#(#! * T, T,..., T ( (#!; "#$#4-)*(!*, ( k P!"#$( # "#$* #(!; G (9 # "#$* #(!; T, T,...,T $# && #,)!*,(!; # ( *, k P,) && # ( *! #,)!*,( *, T T... T "#!,# #,)!*, *, k T,) #!#$ *, T j3 j,), j [, k] # +8C97 : $!&#' *(! 3,) k() -#$'*,&-(#!"#$!; G!; '*,*'9' $)*,&*V,!# 3 *; T 3 [, k] *( #'V3 # (#) $!&#'!*, *)#( * # &((* & "**

12 !"#$ $!&#'3 *&# *; T = 3 [, k] # $!&#'!*, *)#( * # #)-#,)!*,!"#$ $!&#' uv # +8C97 : $!&#' &(! -#,#$&*#( #,) C $!&#'( 0# (! # +8C97 : $!&#', # (!&"#) *, &*,#$ *'#!, # &((!;!-$(!9&) # *,#$#(*,-! (9)V #!'&#4*V!; # k -#$'*,&-(# :!"#$ $!&#'!,!-$(3!$ + 7 : ;!$ (!$3 * *( -#,#$&**!,!; # +8C97 :$!&#' # )* #$#, # # ##, #! $!&#'( *( ;!$ # + 7 : $!&#' #$# *(,! $#($* *!,! # (*#!; # (#( k T, T,..., T "***

13 ojn jmno $#&*'*,$*#( C #$;# U$( C b :!'&#4*V,),$ *&*V b b!&v,!'*& $,(;!$'*!,(,) -!'&##,#(( bc 9'#$ $!&#'(,) 7$!,- -!'&##,#(( W :!"#$,) :!&!$*,- $!&#'( :!"#$ $!&#',) $**!,( D C :!&!$*,- $!&#'( E msr h jms q qqrq q n mjks n jkr jk n r npqrs no P4 g hr h k C,$!)9 *!, b CC $#&*'*,$*#( W CC!)9&$ 8#!'!(**!, W CCC P 4 -($(# U$( a CCb 9'#$!; ( D CC $##(,) $ +# *,- F CCW *'#,) 0!$+ *'&*V Cb :!"#$ *, P4 -($(# U$( C $##(!; P4 -($(# U$( C CW $ +# 7#w9#, #!, -,!)# Cb Ca # &-!$*' C CD #$ :&((#(!; U$( be CF :!, &9)*,- /#'$+( bc g ns h qrjror r qj n jkr kg jk jmjmno npqrs b,$!)9 *!, bb bc :!,"#4 U$( b bb 9(*-$#(!&) U$( ba bb 7$9 9$& $!#$*#( ba bbc -!'&##,#(( $#(9&( bf b :!, &9)*,- /#'$+( b g ns h qrjror r qj n nqnmo npqrs no pq r n kn jmjr q m o hg h k,$!)9 *!, C :!,,# #),#$"&,) #$'9*!, -$( b *4

14 b *$*# #$'9*!, U$( a 9(*-$#(!&) U$( -!'&##,#(( $#(9&( W 7&* U$( WE a $#(!&) U$( WE a $## ($9 9$# WE ac *$-!'&##!&!$*,- $!&#'5!&V,!'*& (!&9*!, W D :!, &9)*,- /#'$+( W mor g jmsr q n mjks n jkr r kg g ro h nmoj jk n r npqrs no n h k W,$!)9 *!, Wb WC #!$#* & $'#!$+ WW WC #!-$## WW WCC :!-$(,) # + : $!&#' WW Wb # &-!$*' WF W :!$$#,#((,) *'# :!'&#4*V ab WW :!, &9)*,- /#'$+( aa _ kr r kg g ro h nmoj g rj jk n r npqrs o mj nq onsm q nq jmnono n h k g _` a,$!)9 *!, ad ac #!$#* & $'#!$+ af ab # &-!$*' DC a :!$$#,#((,) *'# :!'&#4*V D aw :!, &9)*,- /#'$+( Da ` kr g jr smo q g rj jk n r npqrs m nq onsm q no n h k `` D,$!)9 *!, DD DC #!$#* & $'#!$+ DF Db # &-!$*' F D :!$$#,#((,) *'# :!'&#4*V FD DW :!, &9)*,- /#'$+( E nq mo jkr k()g jr smo q g rj jk n r npqrs no n h k F,$!)9 *!, FC #!$#* & $'#!$+ C Fb # &-!$*' a F :!$$#,#((,) *'# :!'&#4*V FW :!, &9)*,- /#'$+( E nq onsm q nq jmno jn jkr r kg g ro h nmoj jk n r npqrs no n h r ojrg q h k,$!)9 *!, Eb C #!$#* & $'#!$+ EW C 7$9 9$& $!#$*#(!; $!#$,#$"& U$( EW CC $!#$,#$"& U$(,) # + : $!&#' Ea b # &-!$*' ED :!$$#,#((,) *'# :!'&#4*V W :!, &9)*,- /#'$+( C 4

15 kr g gr ro h nmoj jk n r npqrs m nq onsm q no ojr q h k E,$!)9 *!, b EC #!$#* & $'#!$+ W EC 7$9 9$& $!#$*#(!;,#$"& U$( W ECC,#$"& U$(,) # : $!&#' W Eb # &-!$*' D E :!$$#,#((,) *'# :!'&#4*V C EW /#&#) /#(9&(!, :!,"#4,) *!,"#4 U$( b Ea :!, &9)*,- /#'$+( b noq mno g jkr r r k :!&!$*,- $!&#'( bw C :!"#$ $!&#'( ba b 9$#$ /#(#$ bd 4*

16 4**

17 C )*(!,,# #) P4 -($(# -$ G!, b "#$* #(,) #!$$#(!,)*,- '!)9&$ )#!'-!(**!, $## T(G) D CC &&9($*,- #!"#$!; 89 *, (*)#$ -$,) 89 * + (*)#$ CE Cb #!$$#(!,)*,- $##(!; *-9$# CC89 CC C #!$$#(!,)*,- $##(!; *-9$# CC89 C CW # $ +#( ;!$ # $##( T(s, s ),) T(s, s )!; *-9$# Cb Ca Ca # $ +#( ;!$ # $## T(s, q!; *-9$# C CF ) b #!'&#4*V (9(!; # k - $**!, $!&#' ;!$ (!'# -$ (9 &((#(!;!'- $*&*V,)!$)& -$( A B *,)* #( &(( A!,*,( &(( B !'&##3 $#"*!9(&V +,!, !'&##3,# $#(9& 8 95!&V,!'*&3 $#"*!9(&V +,!, ,+,!, b bc &&9($*,- #!,($9 #)!,"#4 -$ G bw bb # V* & ($9 9$#!; # #, - $## Tc (G)!; QT --$ bd #!'&#4*V (9(!; #!&!$*,- $!&#'( ;!$ (!'# -$ (9 &((#(!;!'$*&*V,)!$)& -$( A B *,)* #( &(( A!,*,( &(( B #!4! # &#; 8$#( $*-9!; # &((!,*,( # (9(!; # $'!,*!9(!&!$*,- 8!93 *$-!'&##!&!$*,- 8!!'9 $!&#'(!,!,,# #) 8$#( )*(!,,# #)9 -$( !'&##3 $#"*!9(&V +,!, !'&##3,# $#(9& 8 95!&V,!'*&3 $#"*!9(&V +,!, 8 P 95!&V,!'*&3,# $#(9& b C &&9($*,- #!,($9 #)!,,# #) *,#$"&,) #$'9*!, -$ G b &&9($*,- #!,($9 #)!,,# #) *$*# #$'9*!, -$ G D # V* & ($9 9$#!; # #, - $## Tc (G)!; $#(!&) -$ W W &&9($*,- 89 $#+3 89!,,# $*)-#3 8)9 *,(#$3,) 8#9!,,# - $*)-#!#$*!,( WD a #!'&#4*V (9( 8 -!'&##3 9,+,!,3!&V,!'*&9!; # + 7 : $!&#' ;!$ (!'# -$ (9 &((#(!;!'$*&*V,)!$)& -$( A B *,)* #( &(( A!,*,( &(( B af ac &&9($*,- 89$#+3 89!,,# 3 8 9$*)-#3 8)9*,(#$3,) 8#9!,,# - $*)-#!#$*!,( # "#$* #( )#,!#) V & + - *$ &#( #&!,-! T 3 *&# # "#$* #( )#,!#) V & + - (w9$#( #&!,-! T j3 j D D &&9($*,- 89$#+3 89!,,# 3 8 9$*)-#3 8)9*,(#$3,) 8#9!,,# - $*)-#!#$*!,( # "#$* #(!; T $# )#,!#) V & + - *$ &#(3 *&# # "#$* #(!; T $# )#,!#) V & + -( w9$#( F 4***

18 F &&9($*,- 89$#+3 89!,,# 3 8 9$*)-#3 8)9*,(#$3,) 8#9!,,# - $*)-#!#$*!,( # "#$* #( )#,!#) V & + - *$ &#( 8$#( -$#V- *$ &#(9#&!,-! T 8$#( T j93 *&# # "#$* #( )#,!#) V & + -( w9$#( #&!,-! T p3 j p W #!'&#4*V (9( 8 -!'&##39,+,!,3!&V,!'*&9!; # + : $!&#' ;!$ (!'# -$ (9 &((#(!;!'$*&*V,)!$)& -$( A B *,)* #( &(( A!,*,( &(( B E C &&9($*,- 89!,,#,) 89 *,(#$!#$*!,( P P T (G[{v, v,..., v s }]) ED b # (9$!9*,# process(π)!; # &-!$*' *,*'9' + : E E #!'&#4*V (9( 8 -!'&##39,+,!,3!&V,!'*&9!; # $!&#' ;!$ (!'# -$ (9 &((#(!;!'$*&*V,)!$)& -$( A B *,)* #( &(( A!,*,( &(( B EC P, P, P P T (G[S]) a Eb &&9($*,- (!'# (#(!; # $*)-#!#$*!, E &&9($*,- (!'# (#(!; #,#!#$*!, CE EW *!,"#4 -$ G bb 4*"

19 W # (*#!; # + :!9$ &-!$*' $#9$,( *, # (# a D # (*#!; # C :!9$ &-!$*' $#9$,( *, # (# FF 4"

20 4"*

21 $&&#& *,*'9' :!"#$ be C &-!$*' *$ :!'&## :!&!$*,- WC b &-!$*' *,*'9' + : :!-$ W &-!$*' *,*'9' + 7 : DC W &-!$*' *,*'9' C : FC a &-!$*' *,*'9' +8C97 : a D &-!$*' *,*'9' + : $!#$,#$"& EF F &-!$*' *,*'9' : D &-!$*' *!,"#4 bc E &-!$*' *!,"#4 bb 4"**

22 4"***

23 $#&*'*,$*#( C #$;# U$( :!'&#4*V,),$ *&*V b :!"#$,) :!&!$*,- $!&#'( 0#!,(*)#$3,*# 9,)*$# #) -$( *,! &!!(!$ '9&*&# #)-#(!$ -$ G 3 # )#,!# *( "#$#4,) #)-# (# V V (G),) E(G) $#(# *"#&V (9-$ H!; -$ U *( (*)! # *,)9 #) *;3 ;!$,V *$!; "#$* #( x,) y!; H 3 xy *(, #)-#!; H *;,)!,&V *; xy *(, #)-#!; G # S # (9(#!; # "#$#4 (#!; -$ G #,3# (9-$!; G *,)9 #) V S *( )#,!#) V G[S]!$#!"#$3 # )#,!# V G S # -$ G[V (G) S],) V G v # -$ G[V (G) {v}] #!'&#'#, G!; -$ G ( # ('# "#$#4 (# ( G 3,) )*(*, "#$* #( u, v $# ) #, *, G *;,)!,&V *; #V $#,! ) #, *, G # C\J^AI=>A==F NG (x)!; "#$#4 x!; # -$ G *( # (#!; && # "#$* #(!; G * $# ) #,! x # L=@\F C\J^AI=>A==F!; x *( )#3,#) ( NG [x] := N G (x) {x} # (#!; "#$* #( *, V (G) {x} $#,!,#*-!$(!; x *( *( C=C C\J^AI=>@,) *( )#,!#) V NG (x) 0#, * *( &#$ * # -$ # $#;#$! *(3 # 9(# #,!*!, N(x),) N[x] ;!$ (*'&* *V # F\^>\\!; "#$#4 *, x -$ G 3 )#,!#) V d(x) 3 *( #,9'#$!; #)-#( *, *)#,!, x 9(3 d(x) = N(x) LJY\ *( (#!; *$ *(# ) #, "#$* #( 8!$ *( (#!; *$ *(#,!,-) #, "#$* #( (#w9#, #!; "#$* #( [v0, v,...,v k ] *( EL? ;$!' v0! vk!; &#,- k *, G $!"*)#) v v E(G) ;!$ =,,...,k &+ *, G *( &&#) BEKA *;,! "#$#4,),! #)-#! 9$( '!$#,!, #!; &#,- k *( &&#) K>J JEL *; k = 0 (#w9#, #!; "#$* #( [v0, v,..., v k, v 0 ] *( &&#) L\!; &#,- k + *; v v E(G) ;!$ =,,...,k,) vk v 0 E(G) V &# [v0, v,..., v k, v 0 *( L\ *; v v j ;!$ j (*'&# V &# [v0, v,...,v k, v 0 ] *( A =>FL\@@ *; v v j / E(G) ;!$ #"#$V,!,-(9 #((*"# "#$* #( v, v j *, # V &# $!9-!9 *(!$+3 &*w9#!, n "#$* #( *( )#,!#) V Kn 3!$)&#(( V &#!, n "#$* #( *( )#,!#) V Cn,) #!$)&#((!, n "#$* #( *( )#,!#) V Pn

24 ,!$)&#(( Pn = [v, v,..., v n, v n ] # "#$* #( v,..., v n $# &&#) HJFB=JCK@!$ JCK\>CEL \>KJ \@,) v,) vn $# &&#) \CFB=JCK@ # T # -$ * n "#$* #( #,3 T *( $## *;,)!,&V *; *!,*,(,! V &#(,) ( n #)-#( #w9*"&#,&v3 T *( $## *;,)!,&V *;,V! "#$* #(!; T $#!,,# #) V #4 &V!,# # T # $## # $#,!;,!)# x!; T *( )#,!#) V p(x),) # (#!;,!)#(!,*,*,- # *&)$#,!;,!)# x *, T *( )#,!#) V ch(x) 9$#$'!$#3 # )#,!# V L # (#!;,!)#( #&!,-*,-! &#"#& *, T ;!$ = 0! = h 3 #$# h *( # #*-!; # $## T A=L\!; G *(, *,)9 #) (9-$!; G * *( V &#!; &#,- &#(, ECKJA=L\!; G *(, *,)9 #) (9-$!; G!(#!'&#'#, *(!&# *, G -$ G *( \>^\ *; #"#$V!&#,),*!&#!; G ( #"#, &#,- # A>=HEKJ CYHI\> χ(g)!; -$ G *( # ;# #(,9'#$!;!&!$(,##)#)! $!#$&V!&!$ # "#$* #(!; G 3!$ #w9*"&#,&v3 # ;# #(,9'#$!; (&# (#(,##)#)!!"#$ # "#$* #(!; G # LJY\ CYHI\> ω(g)!; -$ G *(# (*#!; # &$-#(!'&## (9-$!; G :&#$&V3# $!'*,9'#$!; -$ G *( -$##$,!$ #w9&! # &*w9#,9'#$!; G CYHI\> α(g)!; -$ G *( # (*#!; # &$-#( (&# (#!; G *&# # LJY\ = \> CYHI\> κ(g)!; -$ G *( # ;# #(,9'#$!;!'&## (9-$(,##)#)!!"#$ # "#$* #(!; G # *,#$(# *!,!; &*w9#,) (&# (#!; -$ G, # '!(!,# "#$#4 9(3 ;!$,V -$ G 3 ω(g) χ(g),) α(g) κ(g). #(# #w9&**#( $# )9&!!,#,!#$ (*, # α(g) = ω(g),) κ(g) = χ(g) # G(V, E) #, 9,)*$# #) -$ # ;!&&! *,- $##!,)**!,( $# # B\>Z\ KJ=C B>=B\>KJ\@!; -$ G 8 9 ω(g[a]) = χ(g[a]), A V (G) 8 C9 α(g[a]) = κ(g[a]), A V (G) 8 b9 ω(g[a]) α(g[a]) A, A V (G) krnrs f kr r rj h k krn rs `t => EC YCFJ>\ K\F^>EBA G KA\B\>Z\ KJ=CB>=B\>KJ\@ [ [ ECF [ E> \ \YJ EL\CK -$ G *( B\>Z\ K *; ;!$ #"#$V *,)9 #) (9-$ G[A]!; G 3 # $!'*,9'#$!; G[A] #w9&( # (*#!; # &$-#( &*w9#!; G[A] # (9)V!; #$;# -$( ( *,**#) V :&9)# #$-#3 $&V '!*"#) V $!&#' ;$!' *,;!$'*!, #!$V 83,)*,- #.7,,!, *V0!; -$ * &*#( # ##, # (*#!; # &$-#( &*w9#,) # $!'*,9'#$3,) (! ;!$ #$;# -$ * #w9&(!9, $* 9&$3 *, a #$-# uav $!!(#)! #&#$#)!,# 9$#(!9 #$;# -$( 7*, # # (#!,) *'&*#( # 3$(3 #V #$# +,!, ( #. #+0,).($!,-0 #$;# -$!,# 9$#( $#(# *"#&V3 &!9-! $#,! #!$#'(3# ;!&&! *,-5 krnrs PA\ =HBL\H\CK =Z \ \> B\>Z\ K ^>EBA J@ B\>Z\ K krnrs ^>EBA J@ B\>Z\ K JZ ECF =CL JZ JK J@ \>^\ # 3$( ( $!"#) V!"á( uawv *, DC # B\>Z\ K ^>EBA =C\ KY>\3$# #*"#) -$# )#&!; #,*!,!"#$ # ( E V#$(, V CEEC3 $* :9),!"(+V,) 9& 7#V'!9$ C

25 ,,!9, #) #V3 9*&)*,-!, #$&*#$!*,!$+ * #*& /!#$(!,,) /!*,!'(3 )!'- &##) # $!!;!; # 7$!,- #$;# U$ :!,# 9$# * # '# B\>Z\ K ^>EBA KA\=>\H # ;!9$!*, 9!$( 9&*(#) # DF--# #$ *, CEEa u av ( $#(9&3!&#(,),*!&#( "# ##, #4#,(*"#&V (9)*#) *, ',V )* #$#,!,#4( *, &-!$*'* -$ #!$V 9(3 3,)*,-!&#!$,,*!&# *, -$ # *#,&V *(, *'!$, -$ - #!$#* $!&#'3!!, *(!,,) ( (# *, ',V $#!-,**!, &-!$*'(, CEE 3 *+!&!!9&!(,) &*!( ud v $!!(#) O(n + m ) *'# &-!$*' ;!$ # $!&#'!; 3,)*,-!&#!$,,*!&# *, -$!, n "#$* #(,) m #)-#(3$#w9*$*,- O(nm) ( # # &((!; #$;# -$( ( ($9 9$& $!#$*#( &#)*,-!!&V,!'*& *'# &-!$*'( ;!$!*- '**!, $!&#'( * $# -!'&## *, $*$$V -$(3(9 (!&!$*,-,)!"#$ $!&#'(,) # $!&#'(!; 3,)*,- '*&!, V &#!$ #(# $!&#'( 3,) &* *!,( *, ',V 3#&)(!; )* #$#, ( *#, #(3;$!' '#'* (! *&!(!V ud3 v #(*)#($!"*)*,-(*(;!$!'$*,-&-!$*'( * (!&"##('#$!&#'3&-!$*'*,&V(*((!#$$ * &9(#(!( *'!$,&V3*!$)(9(#!!$9,*V!+,! *,)", #,#(*'#!;#!'9*!,!$!9,)!, # (!$-#,)$9, *'# $#w9*$#'#,( # 9($#;#$!# )* #$#, #( # ##,!'9*&*V,)!'9*!,&!'&#4*V u Ev :!'9*&*V ))$#((#( *(#&; '!(&V! w9#(*!,(!; #4*(#, #5 ( #$#, &-!$*' * (!&"#( $!&#' Π $!"*,- $!&#' *(!'9&# 9(9&&V!,(*((!; )#'!,($*,-, 9& &-!$*' * *&& #$'*,# *!$$#,( #$;!$ #"#$V *,9 # '!9,!; $#(!9$ #( 8*'#,) ( #9 9(#) *, # & 9&*!,3 &!9-3,*#3 *( 9,&*'*#),!,$(! *(3!'9*!,&!'&#4*V )#&( $# *(#&V * # w9,**"# (# (!; $!&#' (!&"*,- ))$#((#( # *((9#!;, #!'9#) **, $ * &!$ $#(!,&# '!9,!; *'#,) ( # V '#(9$*,- # $#(!9$ # $#w9*$#'#,( #4 &V!$ V!*,*,- 9#$,) &! #$!9,)( :!'&#4*V *( 9&&V )##$'*,#)!, $## &#"#&(5 # $!&#'3 # &-!$*'3,) # *'&#'#,- *!, 9$&&V3 #, # #( &-!$*' * (!&"#(!9$ $!&#'3,) #,!!!(# # #( *'&#'#,*!,!; &-!$*' F\ J@J=C B>=IL\H *(!,# * $#w9*$#( (*'&#.V#(0!$.,!0,( #$, JC@KEC \!; $!&#' Π *( (# *3 *!,!; $* 9&$ "&9#( ;!$ *( $'##$( (9&&V #, $# $*#,!*'**!, $!&#' ( )# *(*!, $!&#' * 3$( (##'( '9 #(*#$! (!&"#, #!$*-*,& 9 9$,(!9! #9(!9 ( $) :!,(*)#$ # ;!&&! *,-! "#$(*!,(!; # -$!&!$*,- $!&#' h k nqn mo 8!*'**!, "#$(*!,9,(, #5, 9,)*$# #) -$ G 9#(*!,5 0 *( # ('&&#(,9'#$!;!&!$(,##)#) ;!$ $!#$!&!$*,-!; G h k nqn mo 8)# *(*!, "#$(*!,9,(, #5, 9,)*$# #) -$ G,), *,#-#$ k > 0 9#(*!,5 8!#( #$# #4*( $!#$ k!&!$*,-!; G #!*'**!, "#$(*!,, # (!&"#) V &V*,-, &-!$*' ;!$ # )# *(*!, "#$(*!, n *'#( ;!$, n -"#$#4 -$ ; # n )# *(*!, $!&#'( $# (!&"#) (#w9#,*&&v3 #, # *'#,##)#)! (!&"# #!*'**!, "#$(*!, *( &$-#$, ;!$ # )# *(*!, "#$(*!, V '!( ;!$!; n! #"#$3*; #V, # (!&"#) *, $&&#&3#, # *'#,##)#) ;!$! "#$(*!,( *( #((#,*&&V # ('# 8#'!,($*,-,),&V*,- #!'&#4*V!; $* 9&$ &-!$*' ;!$ Π $!"*)#( 9( *, 9#$!9,)!, #!'&#4*V!; Π 8##$'*,*,- #!'&#4*V!; $!&#' Π $#w9*$#(!-(*)#) # 9#$!9,) # '*,*'9'!'&#4*V!"#$ && +,!, &-!$*'( (!&"*,- Π b

26 8C9 #&! #$!9,)# &$-#(;9, *!, f ;!$ * * (##, $!"#)'#'* &&V &&!((*&# &-!$*'( (!&"*,- Π $# $#w9*$#)! "#!'&#4*V &#( ( *- ( f 9$ 9&*'# -!& *(! '+# #(#!9,)(!*, *)# - # ##, 8 9,) 8C9 #&&( 9(! '9 '!$# $#(#$ *(,##)#)! *#"# *( -!& # *--#(!#, w9#(*!, *,"!&"*,- # - # ##, 9#$,) &! #$!'&#4*V!9,)( *,"!&"#( # (! &&#) -!'&## $!&#'(!$ #!; # $!&#'( *, *( &((!,&V #4!,#,*&-*'# &-!$*'($# +,!,3V# # #( &! #$!9,)( $!"#) (!;$ $#!&V,!'*& ;9, *!,( 9$#$'!$#3 *;!&V,!'*& *'# &-!$*' #4*(( ;!$!,#!; #'3 #, (9, &-!$*' #4*(( ;!$ &&!; #', &9)#) '!,- # -!'&## $!&#'(!, -$( $# 3,)*,- '*&!,*, *$ 9*3 '*,*'9'!&!$*,-3!$ '4*'9' &*w9# &-!$*'!,(*((!; # 9$$#, "&9#(!; && "$*&#(,) # &! *!,!; # 9$$#, *,($9 *!,! # #4# 9#) F\K\>HJCJ@KJ EL^=>JKAH *(!,# ;!$ * # (# 9!, #4# 9*!,!; # *,($9 *!, 9,*w9#&V )##$'*,#( '!(!,#,#4 (# *$9&&V &&!'9#$( $9, )##$'*,*(* &&V $!&#' Π *( *, # &(( *; #$# #4*(( )##$'*,*(*!&V,!'*& *'# &-!$*' * (!&"#( Π C=CF\K\>HJCJ@KJ EL^=>JKAH *(!,# ;!$ * (# 'V )##$'*,# ',V,#4 (#(,) * ;!&&! ( 9!, #!; #,#4 (#( (*'9&,#!9(&V 0# 'V $#-$),!,)##$'*,*(* &-!$*' ( "*,- # *&*V!; $, *,-! *,! ',V!*#(!; *(#&;3!,# ;!$ #,#4 (# 9(3 *&# )##$'*,*(* &-!$*' '9( #4&!$# (#!; &#$,*"#(!,# *'#3,!,)##$'*,*(* &-!$*' #4'*,#( && &#$,*"#( # ('# *'# $!&#' Π *( *, # &(( *; #$# #4*((,!,)##$'*,*(*!&V,!'*& *'# &-!$*' * (!&"#( Π :&#$&V3, *'!$,!#, w9#(*!, *, # #!$V!;!'9*!, *( ##$ #!,*,'#,!; *, *( $!#$ *#3 *(,# $!&#' Π *( B=L C=H JELL K>EC@Z=>HEIL\!,!#$ $!&#' Π )#,!#) Π Π 3 *; #$# #4*(( ;9, *!, f '*,- # *,(, #(!; Π *,! # *,(, #(!; Π (9 8*9 f *(!'9&# )##$'*,*(* &&V *,!&V,!'*& *'#3,) 8**9 (!&9*!,! # *,(, # f(i)!; Π 3 -*"#( (!&9*!,! # *,(, # I!; Π 3 ;!$ && I,9**"#&V *( '#,( Π *(,! $)#$! (!&"#, Π 9! ))#)!&V,!'*& #$'3 ;!$ #!9&) (!&"# Π V!'*,*,- # $,(;!$'*!, f * # #( &-!$*' ;!$ (!&"*,- Π 9(3 *; Π Π 3 #, :. 8Π 9 :. 8Π 9 ; Π ( )##$'*,*(*!&V,!'*& *'# &-!$*'3 #, (! )!#( Π *; #"#$V )##$'*,*(* &-!$*' (!&"*,- Π $#w9*$#( &#(, #4!,#,*& '!9,!; *'#3 #, # ('# *( $9# ;!$ Π # $*, *& #,*w9# 9(#) ;!$ )#'!,($*,-! $!&#'( $# $#&#) *(!; 0$#)9 *,-0!,#! #!#$3 V -*"*,-!,($9 *"# $,(;!$'*!, '(,V *,(, #!; # 3$( $!&#' *,!, #w9*"&#, *,(, #!; # (#!,) 79 $,(;!$'*!, $!"*)#( # '#,( ;!$!,"#$*,-,V &-!$*' (!&"#( # (#!,) $!&#' *,!!$$#(!,)*,- &-!$*' ;!$ (!&"*,- # 3$( $!&#' $!&#' Π *( [ A E>F *;,V!,#!; # ;!&&! *,- #w9*"&#,!,)**!,(!&)(5 8 9 Π Π ;!$ && Π 8C9 Π

27 8b9 # #4*(#, #!; )##$'*,*(*!&V,!'*& *'# &-!$*' ;!$ Π!9&) *'&V # #4*(#, #!;!&V,!'*& *'# &-!$*' ;!$ #"#$V $!&#' *, $!&#' Π *( [ =HBL\K\ *; * *(! '#'#$!;,) * *( -$) # -!'&## $!&#'( $# # '!( )* 9&!;!(# *,! $!"# Π *( -!'&## # (! Π,) (!'# +,!, -!'&## $!&#' Π $,(;!$'(! Π #;!9,)*!,(;!$##!$V!; -!'&##,#(( #$#&*)*,#$!; 7##, :!!+ u v 3$#(#,#) *, D 3 #,*&#).#!'&#4*V!; #!$#' $!"*,- $! #)9$#(0 # #'(*#) # (*-,*3, #!;.!&V,!'*&*'# $#)9 **&*V03 *(3$#)9 *!,(;!$ * # $#w9*$#)$,(;!$'*!,, # #4# 9#) V!&V,!'*&*'#&-!$*' ; #"#!&V,!'*&*'#$#)9 *!,;$!'!,#$!&#'!,!#$3*( #,(9$#(,V!&V,!'*&*'# &-!$*';!$# (#!,)$!&#',#!,"#$#)*,!!$$#(!,)*,-!&V,!'*& *'# &-!$*' ;!$ # 3$( $!&#' 9$#$'!$#3# ;! 9(#) #,*!,!, # &((!;!; )# *(*!, $!&#'(, # (!&"#) *,!&V,!'*& *'# V,!,)##$'*,*(*!'9#$3,) # $!"#)!,# $* 9&$ $!&#' *, 3 &&#) #.(*(3*&*V0 $!&#'3 ( # $!#$V #"#$V!#$ $!&#' *,, #!&V,!'*&&V $#)9 #)! * ; # (*(3*&*V, # (!&"#) *!&V,!'*& *'# &-!$*'3 #, (!, #"#$V $!&#' *, 3,) *;,V $!&#' *, *( *,$ &# 8*# * *( (! $),!!&V,!'*& *'# &-!$*',!((*&V (!&"# *93 #, # (*(3*&*V $!&#' &(! '9( # *,$ &# 9(3 *, (#,(#3 # (*(3*&*V $!&#' *( #.$)#(0 $!&#' *, *,&&V3 :!!+ (9--#(#)!#$ $!&#'( *, '*- ($# * # (*(3*&*V *( $!#$V!; #*,- #.$)#(0 '#'#$!; # (! #) *(! # # (# ;!$ # $!&#'.8!#( -*"#, -$ G!,*,!'&## (9-$!, -*"#,,9'#$ k!; "#$* #( 0 79(#w9#,&V3 6$ uwav $#(#,#)!&&# *!,!; $#(9&( $!"*,- *,)##) # )# *(*!, "#$(*!,(!; ',V #&& +,!,!'*,!$*& $!&#'(3*, &9)*,- # $"#&&*,- (&#(', $!&#'3 $#9( (.$)0 ( # (*(3*&*V $!&#' 7*, # #, *)# "$*#V!;!#$ $!&#'( "# ##, $!"#) #w9*"&#, *, )* 9&V! #(# $!&#'(3,) *( #w9*"&#, # &((3!,(*(*,-!; #.$)#(0 $!&#'( *, 3 ( ##, -*"#,,'#5 # &((!; -!'&## $!&#'( *, #*$!!+ ubav 3. -9*)#! # #!$V!; -!'&##,#((03 U$#V,)!,(!, $!"*)# &*(!; -!'&## $!&#'(! #"#$3 -$ #!$#*!$!#$ V#!; $!&#' Π * *(,!$'&&V $)! (!&"# *, # -#,#$& (# 'V "#, # *#, (!&9*!,*; # *,9 )!'*, *( (9*&V $#($* #) # '*&!,*, *$ 9* $!&#'3;!$#4'&#3 *( $*"*& *; #!,&V -$(!,(*)#$#) $# $##( 0# $#;#$! # / $!&#'3 * *( -!'&## ubav5,(, #5 3,*# (# A,).(*#0 s(a) Z + ;!$ # a A 9#(*!,5 ( #$# (9(# A A (9 a A s(a) = a A A :!,(*)#$ s(a),! # ;!&&! *,-.)V,'* $!-$''*,-0 $!! (!&"*,- # / $!&#' # A = {a, a,..., a n },) &# T(, j) 3 n 3 0 j b 3 )#,!# # $9 "&9#!; # (#'#,.#$# #4*(( (9(#!; {a, a,..., a }!(# (9' *( #4 &V j 0! ($ *3 # +,! T(, j) *( ;&(# ;!$ && j #4 # j = 0,) j = a /# 9$(*"#&V3 # "# T( +, j) 3 < n 3 0 j b 3 *( $9# *;,)!,&V *; #*#$ T(, j) *( $9#!$ a+ j,) T(, j a+ ) *( $9# # )#(*$#) (9(# ;!$ / #4*(( *;,)!,&V *; T(n, b) *( $9# #!"*!9(*#$*"#&-!$*'(#)!,*(;!$'9&*!,,(!&"## / $!&#'*, O(nb) *'# &!9- *( 'V #$! #!&V,!'*& *'# &-!$*'3*, ; * *(,!!$ # 9$!(#(!; # #!$V!; -!'&##,#((3 ( #&& ( ;!$ '!( ;!$'&!'&#4*V #!$V3 # *'#!'&#4*V!;, &-!$*' *( #4$#((#)*, #$'(!; (*,-&#.*,(, # (*#0$'##$ * $# # (#,9'#$!; (V'!&( W

28 !9&) # $#w9*$#)! )#( $*# # *,(, # *,.$#(!,&#0,).!, *(#0 ',,#$ # $'##$ nb *, # #4'&# )!#(,! )! *( ;, *,#-#$ N *(! # )#( $*#).!, *(#&V03* '9( # $#$#(#,#) 9(*,-!,&V O(ogN) (V'!&(3 (!9&) # # (# 9(*,- *( *,$V!$ )# *'& $#$#(#,*!,( 9(3, *,(, #!; /!9&) # )#( $*#) *!,&V O(nogb) (V'!&(3,) nb *(,!!9,)#) V,V!&V,!'*& ;9, *!,!; *(!$ *( $#(!,3!9$ O(nb) &-!$*' ;!$ / *(,!!&V,!'*& *'# &-!$*' # (&& $#;#$! * (.(#9)!-!&V,!'*&0 *'# &-!$*'! #"#$3# #4*(#, #!; (9, &-!$*' )!#( *,)* # # -!'&##,#((!; / )##,)( ($!,-&V!, # ; $*$$*&V &$-# "&9#(!; # a $# &&! #) ;,V 9#$!9,) #$# *'!(#)!, #(#,9'#$( *, )", #3 #"#,!9,) * *(!&V,!'*& ;9, *!,!; n 3 *( &-!$*'!9&) #!&V,!'*& *'# &-!$*' ;!$ # $#($* #) $!&#' 9(3!,# '9( +# $# #, *,#$$#*,-, -!'&##,#(( $#(9&;!$ $!&#' *,"!&"*,-,9'#$(,!! *,;#$*,$ *&*V*, $!)#$(#,(#, *(9(*3#)V# #!$V #!$)*,$V -!'&##,#(( $#(9&( ;!$ (9 $!&#'( &#"#!#, #!((**&*V!; &-!$*'(3 * $#3;!$ #$*, &* *!,(3 (9*&V # *#,! # 9(#) *, $ * #! #"#$3,! && -!'&## $!&#'( $# &*+# / 0# (V $!&#' Π *( CYHI\> B>=IL\H *;#$##4*((,!!&V,!'*& p (9 Max[I] p(length[i]) ;!$&&*,(, #( I!; Π ubav! # 3#;9, *!, Length *( *,#,)#)! ',V *,(, # I!, *,#-#$ Length[I]!$$#(!,)(!,9'#$!; (V'!&( 9(#)! )#( $*# I 9,)#$ (!'# $#(!,&# #,!)*,- ( #'# ;!$ Π # ;9, *!, Max *( *,#,)#)! ',V *,(, # I!, *,#-#$ Max[I]!$$#(!,)(! # '-,*9)#!; # &$-#(,9'#$ *, I 9$#$'!$#3, &-!$*' (!&"#( $!&#' Π *&& # &&#) B@\YF= B=L C=H JEL KJH\ EL^=>JKAH ;!$ Π *; *( *'#!'&#4*V ;9, *!, *(!9,)#)!"# V!&V,!'*& ;9, *!,!; #! "$*&#( Length[I],) Max[I] ubw3 bav! # 3 #"#,!9-, -!'&##,#(( $#(9& ;!$ $!&#' Π $9&#(!9 #!((**&*V!; (!&"*,- Π *!&V,!'*& *'# &-!$*' 89,&#(( 93 * )!#(,! $9&#!9 #!((**&*V!; (!&"*,- Π * (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*' (, *''#)*#!,(#w9#, #!; #!"# )#3,**!,!;,9'#$ $!&#'3 #, '+## ;!&&! *,-!(#$"*!, p r jmno ubav ; Π *( -!'&##,) Π *(,!,9'#$ $!&#'3 #, Π,,! # (!&"#) V (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*' 9,&#(( 9(3 ((9'*,- 3 #!,&V -!'&## $!&#'( $#!#,*&,)*)#( ;!$ #*,- (!&"#) V (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*'( $#!(# $#,9'#$ $!&#'(!$,V )# *(*!, $!&#' Π,),V!&V,!'*& p 8!"#$ # *,#-#$(93 &# Πp )#,!# # (9$!&#'!; Π!*,#) V $#($* *,- Π!!,&V!(# *,(, #( I (*(;V Max[I] p(length[i]) #, Πp *(,!,9'#$ $!&#' 9$#$'!$#3*; Π *( (!&"&# V (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*'3#, '9( # Πp (!&"&# V!&V,!'*& *'# &-!$*' U*"#,,V *,9 ($*,- x 3 && #,##)! )! *( # + x #,!)#(, *,(, # I (*(;V*,- Max[I] p(length[i]),)3 *; (!3 &V # (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*' ;!$ Π! I # $#w9*$#) *,#w9&*v, # # +#) *,!&V,!'*& *'# V # )#3,**!,!; (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*'3 # &-!$*' ;!$ Π *&& #!&V,!'*& *'# &-!$*' ;!$ # *,(, #( (*(;V *( *,#w9&*v 9(3 )# *(*!, $!&#' Π *( [ =HBL\K\ *; Π #&!,-(!,) #$# #4*((!&V,!'*& p!"#$ # *,#-#$( ;!$ * Πp *( -!'&##, $* 9&$3*; Π *( -!'&##,) Π *(,!,9'#$ $!&#'3#, Π *( 9!'* &&V -!'&## *, # ($!,- (#,(# 0# #, "# # ;!&&! *,- -#,#$&**!,!; (#$"*!, p r jmno ubav ; Π *( -!'&## *, # ($!,- (#,(#3 #, Π,,! # (!&"#) V (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*' 9,&#(( # (#!,)!(#$"*!, $!"*)#( # '#,( ;!$ &V*,- # #!$V!; -!'&##,#((! w9#(- *!,(!9 # #4*(#, #!; (#9)!-!&V,!'*& *'# &-!$*'( 0# +,! /,,! # -!'&## *, # ($!,- (#,(# *&# /. U b- / : U a

29 0./ 7,) 7 /.7 7/ 7 $# $!&#'( * $# -!'&## *, # ($!,- (#,(# 0#,#4 )#( $*# # $!&#'( *(!$+ *(!, #$,#) *3 *(3!"#$,)!&!$*,- $!&#'( 0# &(! -*"# # '!*"*!,!;!9$!$+3 '!(&V V )#( $**,- # &$-# '!9,!; $#&#)!$+ 9,*&!)V #&& (9)*#)$!&#' *,9'#$!9($ * &&* *!,(*,-$#!$V*(!3,)'*,*'9',9'#$!; "#$#4-)*(!*, (!; -$ G!"#$ # "#$* #(!; G *( $!&#'3 &(! +,!, ( #!"#$$!&#' 8 :933,)( &* *!, *,# 3#&)(!; )(# )#(*-,3,#!$+(3!)#!*'**!, '!,- ',V!#$( 8(## uc3 3a 3 Fav 9 * *( #&& +,!, #!"#$ $!&#',) ',V!; *( "$*,( $# -!'&## *, -#,#$&-$( ubav *(+,!,! # -!'&## #"#, #,# *,9( $# $#($* #)! (#"#$& *,#$#(*,- (# *& &((#(!; -$(3(9 ( *$*# -$( ubv 3#)-# -$ ( u Cv 3!$)& -$( ucev,) (#"#$& *,#$#(*,- &((#(!; *,#$(# *!, -$( u 3 D v -$ )'*(!"#$!; (*#!,# *( $#;#$$#)! ( '*&!,*, 9(3 #!"#$ $!&#' *( &#( ( $) ( # '*&!,*, $!&#' 8 93 *(3# $!&#'!; )# *)*,- ##$ -$ *( '*&!,*, 7#"#$& "$*,(!; # $!&#' $# &(!!; -$# *,#$#(3 '!,- * *( # $!&#'!; )# *)*,- ##$ -$ )'*( '*&!,*, # ##,!!*,( 8C 9 # C $!&#' *( # ('# ( # $!&#' #4 # *, C! "#$* #(!; # *,9 -$ G $# (# *3#)3 (V3 u,) v 3,) # $#(+#) ##$ G!,*,( '*&!,*, #-*,,*,- * u,)#,)*,- * v 7*'*&$&V3# $!&#' *(! )##$'*,# ##$ -$ G )'*( '*&!,*, ($*,- ;$!' (# *3 "#$#4!; u G 3,)! 3,)!,# *; (9 )!#( #4*(!,) C $!&#'( $# &(! -!'&## *, -#,#$& -$( ubav #!"#$ $!&#',) (#"#$& "$*,(!; * "#,9'#$!9( &-!$*'* &* *!,( *, ',V 3#&)( 7!'# "# $# #*"#)! #!$#* &,) $ * & #,*!, $# *, #!,#,!;!''9,*- *!,,)!$ $,(!(**!,,#!$+( uf v, (9 $!&#'(3 # $# -*"#, -$ 8,#!$+9 G,) 8 $!&#' 9 (# T!; k = λ "#$* #(!; G 3,) #!# *"# *(! )##$'*,# ##$ G )'*(!"#$!; (*# λ!,*,( (!,,# *,- *$(!; "#$* #(!; T 3 *(3 G )'*( λ "#$#4-)*(!*, ( *! #*$ #,)!*,( *, T 8,!# 3 # #,)!*,(!; P $# # 3$( "#$#4,) # &( "#$#4 "*(*#) V P 93!$ 8 $!&#' 9(# T!; λ = k/ *$(!; "#$* #(!; G 8(!9$ #-(*,+*$(93,)#!# *"#*(! )##$'*,# ##$ G )'*( ;!$ # *$ (a, b )3 λ 3!,,# *,- a! b (9 # (#!; λ ( ;!$'(!"#$, # (# #$# k = 3! $!&#'(,)!*, *)# * # C (9&&V '#(9$#!; $#&**&*V 8!$ ;9& -!&#$, #9!;, *,#$!,,# *!,,#!$+ *( -*"#, V # '4*'9',9'#$!;,!)#( *, ;*& (*'9&,#!9(&V *!9 $!***,- # *&*V!; # ;9& - ;$##,!)#!!''9,* # * &&!#$ ;9& - ;$##,!)#( :!,,# *"*V!;, *,#$!,,# *!, -$!$$#(!,)(! # $#&**&*V!; # *,#$!,,# *!,,#!$+ * *( (9#!,!)# ;*&9$#( *( #&&-+,!,!,,# *"*V!; -$ G ( $ #$*#) *, #$'(!; )*(!*, (!*,*,- *$!; "#$* #( *, G 9(3!,#-!-',V )*(!*, (!*,*,- (!9$ # s,) k )*(*, (*,+( t, t,..., tk $# $#w9*$#) $#&#)!$+ ( $#(#,#) V $+3 *, CEE uddv,!#$ $#&#) $!&#' *( # FJ@=JCK BEKA@ B>=IL\H 8!$ 8 3 ;!$ (!$93 * *( )#3,#) ( ;!&&! (5 D

30 8*(!*, (,(, #5 -$ G,) *$( (s, t ),..., (s k, t k )!; "#$* #(!; G 9#(*!,5 8! #$# #4*( ( P,...,P k!; G 3 '99&&V "#$#4 )*(!*,3 (9 P!*,( s,) t 8 k 9 # $!&#' ( (!,! # -!'&## V 6$ uwdv *; k *( "$*&# $!; # *,9!$ 34#) k3! #"#$3# $!&#' *( '!$# $ &#!$ *,(, #3 *, ufb3 F 3 Ev 3#$# $#!&V,!'*& &-!$*'(! (!&"# 8 * k =,!,$(3 #!$$#(!,)*,- w9#(*!, ;!$ )*$# #) -$( G #$# # (##+ )*$# #) ( P,..., P k *( -!'&## #"#, * k = ubbv, W 3/!#$(!,,) 7#V'!9$ (! #) ;!$,V 34#) k #$# *(!&V,!'*& &-!$*'! (!&"# 8 9$#$'!$#3 (!,(#w9#, #!; #*$ &-!$*'3 #$# *(!&V,!'*& &-!$*' ;!$ # (9-$!'#!'!$*(' $!&#'3 * *(!,#!; U$#V,)!,(!,A (!#, $!&#'( ubav, ucdv 3 8'( +# $!"*)#) ;!9,)*!, ;!$!*,*,-!&V,!'*& *'# &-!$*'( ;!$ (#"#$& $!- &#'(!, #$,*,- ( *, *,#$"& -$(3 (9 ( 3,)*,- '*&!,*, (,) *$ 9*(3,) $**!,( *,! (, # ('# #$3 # (#) #!'&#4*V (9(!;!,) C $!&#'(!, *,#$"& -$( $#'*,(,!#, w9#(*!,!*"#) V #!"# *((9#(3 # )#3,#!#$!"#$ $#&#) $!&#'(3,'#&V3 # k -34#)- #,)!*,!"#$ $!&#'3# k -34#)-#,)!*, -( #!"#$ $!&#'3# C-#$'*,&-(#!"#$ $!&#',) # k() -#$'*,&-(#!"#$ $!&#' * $# )#3,#),) (!&"#) ;!$ # &((!;!-$( *, :#$( W3 a3 D,) F3 $#(# *"#&V #!-$(3 (!$ ;!$!'&#'#, $#)9 *&# -$(3$# )#3,#) ( # &((!; -$( ;!$'#) ;$!' (*,-&# "#$#4 9,)#$ # &!(9$#!; #!#$*!,(!; 9,*!,,)!'&#'#,*!,3,'#&V5 8*9 (*,-&#- "#$#4 -$ *(!-$ 8**9 # )*(!*, 9,*!,!;!-$( *(!-$ 8***9 #!'&#'#,!;!-$ *(!-$ :!-$( #$# *,$!)9 #) *, # #$&V DE( V #$ ( uw v! (9)*#) #*$ ($9 9$&,) &-!$*'* $!#$*#( &!,- *!#$ $!#$*#(3 #$ ( ( (!, #V )'* 9,*w9# $## $#$#(#,*!,3 9! *(!'!$*('3 &&#)!$## :!-$( "# $*(#, *, ',V )*($# $#(!; &*#) '#'* (,)!'9#$ ( *#, #,) "# ##, *,)##,)#,&V $#)*(!"#$#)V "$*!9( $#(#$ #$( 9,)#$ "$*!9(,'#( (9 ( D --$( uw v,) P4 $#($* #) -$( ucc3 C v #V $# #$;#,) *, ; ;!$' $!#$ (9 &((!; #$'9*!, -$(,) )*(, # #$#)*$V -$( #V!,*, # &((!; w9(*-$#(!&) -$(,)3 9(3 # $#(!&) -$( u b3 Ev 9$#$'!$#3 #V $# $# *(#&V # -$( *!,*,,! *,)9 #) (9-$ *(!'!$*! P4 8*#3!$)&#((!, ;!9$ "#$* #(9 # (9)V!;!-$( &#),9$&&V!!,($9 *"# $ #$**!,( *'&*#) (#"#$& &*,#$-*'# $#!-,**!, &-!$*'( &(! #,&#) #!,($9 *!,!; #!$## *, &*,#$ *'# u bv 79$$*(*,-&V3)#(*# # ($9 9$&(*'&* *V!;!-$(3!,($9 *,-&*,#$-*'#$#!-,**!,&-!$*'( ( ##, &&#,-*,- # 3$( &*,#$-*'# $#!-,**!,,)!$##-!,($9 *!, &-!$*' ( $!!(#) V :!$,#*&3 #$&3,) 7# $ uc v *, FW /# #,&V3 $#( #$ # & u v $#(#,#) (*'&# &*,#$- *'# $#!-,**!, &-!$*' * 9(#( '9&*( ## #4 7 $! #*$ &-!$*' #*#$ $!)9 #( #!$##!; # *,9 -$!$ *)#,*3#(, *,)9 #) P4 ))**!,&&V3 (*, # #!-$( $# #$;# 3 ',V *,#$#(*,-!*'**!, $!&#'( *, -$ #!$V3 * $# -!'&## *, -#,#$& -$(3"#!&V,!'*& (#w9#,*& (!&9*!,( u b3 Ev ;!$ #4'&#3;!$ # $!&#'!; )##$'*,*,- # '*,*'9'!"#$ ;!$!-$3 *, # & ua v $#(#,#) &*,#$-*'# &-!$*'3 *, # 9(#)! $!)9 # '*&!,*, V &#!$ 3 *; (9 ($9 9$# #4*(( 9,- uw v (9)*#) # #4*(#, #!; '*&!,*,!$ V &# *,!-$! ( &#$,) *,!;#$ u av $#(#,#) (#w9#,*& &-!$*' ;!$ #!"#$ $!&#'!, P4 - ($(# -$(3 * $9,( *, f(n) + O(n) *'#3 #$# f(n) *( # *'#!'&#4*V ;!$ #!,($9 *!,!; $## $#$#(#,*!,!; P4 -($(# -$ # P4 BE>@\-$( *( )#3,#) ( # &(( *!,*,(# -$(;!$ * #"#$V (#!; 3"# "#$* #( *,)9 #( '!(!,#!$)&#((!, ;!9$ "#$* #( u Wv *( &(( ( ##, #4#,(*"#&V (9)*#),) (#"#$& (#w9#,*&,)!$ $&&#& &-!$*'( ;!$ # F

31 $#!-,**!,,) &((* &!*'**!, $!&#'( "# ##, $!!(#) ubfv U*+!9'+*( # & *, ubfv (9)*#) '*&!,* *V $!#$*#( ;!$ # &((!; P4 -*)V -$( 8 $!#$ (9#$ &((!; P4 -($(# -$(9 (## &(! u bv!$ # &((!; w9(*-$#(!&) -$( 8 $!#$ (9 &((!;!-$(93 # $!&#'!; $#!-,**,- ##$ (9 -$ *( '*&!,*, -$,) 3,)*,- '*&!,*, 8 V &#9 ( (!&"#) *, O(og n) *'# * O(n+m) $! #((!$(!, # :/.0 / '!)#& udcv *, # ('#!$+3#!&!$*,-,)!#$!*'**!, $!&#'( ( &(! (!&"#) *, O(og n) *'# 9(*,- &*,#$,9'#$!; $! #((!$( /# #,&V3 (*# # & u v $#(#,#), O(n+m) -*'# (#w9#,*& &-!$*' ;!$ # '*&!,*, $!&#'!, )*(, #-#$#)*$V -$,) &(! $!!(#) $&&#& *'&#'#,*!,!; #*$ &-!$*' * (!&"#( # $!&#' *, O(og n) *'# 9(*,- O((n + m)/ og n) $! #((!$(!, / '!)#& 9,*3#) $!! (!&"*,- # '*&!,*, $!&#'(!, )*(, #-#$#)*$V -$( ( $#(#,#) *, uwev 3 *&# (*# u Fv $#(#,#), # *#, $&&#& ($#-V ;!$ # C $!&#'!, # ('# &((!; -$( &-!$*'( ;!$ #!"#$ $!&#'!,!#$ &((#(!; -$( #$# $!!(#) *, u 3 W3 Fav /# #,&V3 +,! # & *, udev! #$#) *'#-,)!$+ -!*'& $&&#& (!&9*!, ;!$ #!"#$ $!&#'!, # &((!;!-$(, $* 9&$3 #V 3$( $!"#),V &-!$*' (!&"#( #!"#$ $!&#'!,!-$!; n "#$* #( $#$#(#,#) V *( '!)9&$ )#!'!(**!, $## '9( +# Ω(og n) *'#!, # :/.0 / '!)#&3,) #, (! #) *( *'# &! #$!9,) *( *- ;!$ # &((!;!-$(V $#(#,*,-,./.0 &-!$*' 3-*"#,, n -"#$#4!-$ G $#$#(#,#) V *(!$## 33,)(,) $#!$( '*,*'9'!"#$!; G *, O(og n) *'# 9(*,- O(n/ og n) $! #((!$( *(!$,!*,- * (!#, ;!$ '!$#, E V#$(! 3,) *'#-,)!$+ -!*'& $&&#& (!&9*!, ;!$ *( *'!$, $!&#' +,! # & *, udev 9(#,!"#& #,*w9#(!'*,# *, &#"#$ V $## ($9 9$#(3 &&#) BEKA K>\\@3,) (#w9#, #(!; (w9$#,) $!9,) $ +#( #*$ &-!$*' $!)9 #( '*,*'9'!"#$!;!-$ V 3,)*,- ' *,-(!; $ +#( *, #(# (#w9#, #(3!,($9 *,- $##(3,)!,"#$*,- # $##(! '*,*'9'!"#$ 9(*,- # *,!$)#$ $"#$(&, udev #V &#;!#, # $!&#'!; &V*,- #*$ #,*w9# *,!!#$ &((#(!; -$(!*"#) V *( *((9# # -#,#$&*# #*$ #,*w9#,) &V *! # &((!; P4 -($(# -$( 0# *,"#(*-# # ($9 9$#!; # (! 9$ *, '*,*'9'!"#$!; P4 -($(# -$,) # ($9 9$#!; #!$$#(!,)*,- $##(3,) $#(#, *'#-,)!$+ -!*'& &-!$*' $9,( *, O(og n) *'# * O(n/ og n) $! #((!$(!, #./.0 / '!)#& 0# &(! (!!9$ $#(9&(, # #4#,)#)! $!#$ (9#$ &((!; P 4 -($(# -$(3,'#&V # P4 -*)V -$( # &((!; $!#$ *,#$"& -$( ( &(! ##, #4#,(*"#&V (9)*#) *, # &*#$9$# u E 3 FEv,) (#"#$& &*,#$-*'# &-!$*'( $# +,!, ;!$ #*$ $#!-,**!,,) $#&**!, uc 3 C 3 DWv! '*&!-,*, :*$ 9* 8 :9,) '*&!,*, 8 9 $!&#'( $#!&V,!'*&&V (!&"&# ;!$ # &((!; $!#$ *,#$"& -$( #$!((* ufv $!"#) $!#$ *,#$"& -$ ( '*&!,*, *;,)!,&V *; * *(!,,# #) # &(! -"#, O(n og n) &-!$*' ;!$ 3,)*,- '*&!,*, *$ 9* *, $!#$ *,#$"& -$,),) ( udwv $#(#,#) &*,#$-*'# &-!$*'! )## *; $!#$ *,#$"& -$ *( '*&!,*,,#$"& -$( ;!$', *'!$, &((!; #$;# -$( u Ev,) ',V $!&#'( $# -!'&##!, $*$$V -$( $# (!,! )'*!&V,!'*& *'# &-!$*'(!, *( &(( u 3 E 3 WFv! '*&!,*, :*$ 9* 8 :9,) '*&!,*, 8 9 $!&#'( $#!&V,!'*&&V (!&"&# ;!$ # &((!; *,#$"& -$( 6#*& *,$!)9 #) &*,#$-*'# &-!$*' ;!$ # : $!&#'!, *,#$"& -$( uwfv,) $*+*,) /,-, u v $#(#,#) &*,#$-*'# &-!$*' ;!$ # '*,*'9'!"#$ $!&#'!, *,#$"& -$(!*"#) V #!"# *((9#(,) V!$+!; 8'( +# ucdv 3 #$# # (#) #!'&#4*V (9(!;!,) C $!&#'(!, *,#$"& -$( $#'*,(,!#, w9#(*!,3 # (!&"# # k -34#)-#,)!*,!"#$ $!&#',) # -34#)-#,)!*, -!"#$ $!&#'!, $!#$ *,#$"&,)!, *,#$"& -$(3$#(# *"#&V

32 ,*(!$+3 #&(!(9)V# k -$**!,$!&#'3-#,#$&**!,!;#$**!,$!&#' ubav # BEKA BE>KJKJ=C B>=IL\H *(! )##$'*,# # '*,*'9',9'#$!; ( *, $**!,!; (*'&# -$ G 3 *&# $**!,!; G *(!&&# *!,!; "#$#4 )*(!*, ( P, P,...,P r *, G!(# 9,*!, *( V (G) $**!, *( &&#) k BEKA BE>KJKJ=C *;,!,#!; # ( ( &#,- '!$#, k 3 ;!$ -*"#,!(**"# *,#-#$ k # k BEKA BE>KJKJ=C B>=IL\H *(! )##$'*,# # '*,*'9',9'#$!; ( *, k - $**!,!; -$ G *(,9$& -$ $!&#' * &* *!,( *, $!) (*,-*,!'9#$,)!''9,* *!,(,#!$+( ufd3 Cv,)* *( -!'&##;!$ -#,#$&-$( ubav, # & u Cv -"#!&V,!'*& *'# &-!$*' ;!$ 3,)*,- # '*,*'9',9'#$!; ( *, k- $**!,!; $## 3 *&# 7#*,#$ uffv (! #) # $!&#' *( -!'&## #"#, ;!$!-$( *; k *(!,(*)#$#)! # $!; # *,93 9 * *(!&V,!'*&&V (!&"&# *; k *( 34#) # &(! $#(#,#) &*,#$-*'# (!&9*!, ;!$# $!&#'3 *,V k 3;!$$#(!&)-$( 9*# $# #,&V3 7#*,#$ ufdv (! #) # k - $**!, $!&#' $#'*,( -!'&##!, # &((!;!$)& *$*# -$( *; k *( $!; # *,9,)!, # &((!;!'$*&*V -$( #"#, ;!$ k = 3 9$#$'!$#3 # $#(#,#)!&V,!'*& *'# (!&9*!, ;!$ # $!&#'3 *,V k 3!, *$*# #$'9*!, -$(,) &#; # $!&#'!#, ;!$ # &((!;!,"#4 -$( AE>H=CJ=Y@ =L=>JC^!; (*'&# -$ G *( $!#$ "#$#4!&!$*,- (9 # *$!;!&!$( #$(!-##$!, '!(!,# #)-#3 *&# BEJ> =HBL\K\ =L=>JC^!; G *( $!#$ "#$#4!&!$*,- (9 # *$!;!&!$( #$(!-##$!, &#(!,# #)-# # AE>H=CJ=Y@ A>=HEKJ CYHI\> h(g)!; # -$ G *( # &#( *,#-#$ k ;!$ * G )'*( $'!,*!9(!&!$*,- * k!&!$(,) *( E A>=HEKJ CYHI\> ψ(g) *( # &$-#( *,#-#$ k ;!$ * G )'*( *$-!'&##!&!$*,- * k!&!$( $'!,*!9(!&!$*,- )#"#&!#) ;$!' # &!(#&V $#&#)!, #!; &*,#-)*(*,-9*(*,-!&!$*,- * (*,$!)9 #) *,)##,)#,&V V $,+ # & ub v,) V! $!;,) 6$*(,'!!$V u Dv! (! #) # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#' *( -!'&##!, -#,#$& -$( # $!'*,9'#$ ( *,$!)9 #) V $$V # & u C3 bv 3 *&# # *$-!'&##!&!$*,- $!&#' ( $!"#)! # -$)!, $*$$V-$(V,,++*(,) U"$*& u bv #!'&#4*V!;! $!&#'((##,#4#,(*"#&V (9)*#)!, "$*!9( &((#(!; #$;# -$( (9 (!-$(3*,#$"& -$(3*$*# -$(,) $##( u b3 Ev!)&#,)#$ u v $!"*)#( $!!; ;!$ # -!'&##,#((!; # *$-!'&##!&!$*,- $!&#' ;!$ )*(!,,# #)!-$(,) )*(!,,# #) *,#$"& -$(3,) #4#,)( *( $#(9&( ;!$ #!,,# #) (#( *( $!!; &(! #(&*(#( # -$),#((!; # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#' ;!$ )*(!,,# #) *,#$"& -$(,) )*(!,,# #)!-$( *(!$,!*,- # $!&#'!; )##$'*,*,- # $'!,*!9( $!'*,9'#$!;!,,# #)!-$ *( $*"*&3 (*, # *, (9 -$ # "#$#4 '9( $# #*"# )*(*,!&!$ ( * *( )*(, # '!( C ;$!' &&!#$ "#$* #( u Wv!)&#,)#$A( $#(9&( #(&*( # -$),#((!; # *$-!'&##!&!$*,- $!&#' ;!$ # &((!; #$'9*!, -$(,)3 &(!3 # -$),#((!; # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#' #, $#($* #)! )*(!,,# #) #$'9*!, -$(.4#,)*,- #!"# $#(9&(3()$# # & uv (! # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#' $#'*,( -!'&##!,!,,# #) *,#$"&,) #$'9*!, -$( :!, #$,*,- # &((!; *$*# -$(,) (9 &((#(!; *( &((3 $#$ # & ubcv (! # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#',) # *$-!'##!&!$*,- $!&#' $# -!'&## ;!$ # &((!; *$*# -$(, ))**!,3.) $)( # & ube3 b v (! #(# $!&#'( $# -!'&## ;!$ $##( #*$ $#(9&( &(! #(&*( # -!'&##,#((!; #(# $!&#'( ;!$ # &((#(!;!,"#4 -$(,) )*(!,,# #) *$*# #$'9*!, -$(! #"#$3#!'&#4*V!; #(# $!&#'(;!$!,,# #) *$*# #$'9*!, -$(,) *!,"#4 -$( *(,! ($*-;!$ $)!*"#)V*( *((9# # $!"# # $'!,*!9(!&!$*,-$!&#',)# *$-!'&##!&!$*,- $!&#' *( -!'&## ;!$!,,# #) *$*# #$'9*!, -$(3,) 9(3 # ('#!&)( ;!$ # E

33 &((!; *!,"#4 -$(!$#!"#$3 (#)!,!)&#,)#$A( $#(9&( u v 3 # (! # *$-!'&##!&!$*,- $!&#' *( -!'&## ;!$ w9(*-$#(!&) -$(,) # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#' *( -!'&## ;!$ )*(!,,# #) w9(*-$#(!&) -$( ( ##, (!, # $'!,*!9(!&!$*,- $!&#' *(!&V,!'*&&V (!&"&#!, $#(!&) -$(, *( #$ # (! # *$-!'&##!&!$*,- $!&#' *( &(!!&V,!'*&&V (!&"&#!, *( &(( V $!!(*,- (*'&# &*,#$-*'# &-!$*'

34 C

35 P4 C,$!)9 *!, CC $#&*'*,$*#( Cb :!"#$ *, P4 -($(# U$( C $##(!; P4 -($(# U$( CW $ +# 7#w9#, #!, -,!)# Ca # &-!$*' CD #$ :&((#(!; U$( CF :!, &9)*,- /#'$+( #&& (9)*#) $!&#' *, -$ #!$V *,9'#$!9( $ * & &* *!,( *(! 3,) '*,*'9',9'#$!; "#$#4-)*(!*, (!; -$ G!"#$ # "#$* #(!; G *( $!&#'3 +,!, ( # BEKA = \>B>=IL\H33,)( &* *!, *, # 3#&)(!; )(# )#(*-,3,#!$+(3!)#!*'**!, '!,- ',V!#$( 8(## uc3 bav 9 * *( #&&-+,!, #!"#$,) ',V!; *( "$*,( $# -!'&## *, -#,#$& -$( ubav -$ )'*(!"#$!; (*#!,# *( $#;#$$#)! ( '*&!,*, 9(3 #!"#$ $!&#' *( &#( ( $) ( # $!&#'!; )# *)*,- ##$ -$ ( '*&!,*, # (9)V!; -$( * ;# P4 A( 8!$)&#(( (!, ;!9$ "#$* #(9 ( $ * & &* *!,( $#&#)! #4'*,*!, ( #)9&*,-,) (#',* &9(#$*,-!; *,)#4 #$'( uc 3 W v #(# &* *!,( "# '!*"#)! # #!$#* &,) &-!$*'* (9)V!; # &((!;!-$(3 *!,*,,! *,)9 #) b

36 P 4 A( V #4#,)*,- #,!*!,!; P4 -;$## -$ ',V &((#( "# ##,!*,#) V $#&4*,- *, "$*!9( V( # (#, #!; P4 A( # P4 BE>@\ -$( *( )#3,#) ( # &(( *!,*,( # -$( ;!$ * #"#$V (#!; 3"# "#$* #( *,)9 #( '!(!,#!$)&#((!, ;!9$ "#$* #( u Wv *( &(( ( ##, #4#,(*"#&V (9)*#),) (#"#$& (#w9#,*&,)!$ $&&#& &-!$*'( ;!$ # $#!-,**!,,) &((* &!*'**!, $!&#'( "# ##, $!!(#) U*+!9'+*( # & *, ubfv (!&"#) # $#!-,**!, $!&#',) &(! # $!&#'(!; 3,)*,- # &*w9#,9'#$3 # (*&*V,9'#$,) # $!'*,9'#$!, P4 -($(# -$( *, &*,#$ (#w9#,*& *'#3 *#3 *, O(n + m) *'#3 #$# n,) m $# #,9'#$!; "#$* #(,) #)-#(!; # *,9 -$3 $#(# *"#&V! ( &#$,) *,!;#$ u av $#(#,#) (#w9#,*& &-!$*' ;!$#!"#$ $!&#'!, *( &((!; -$(3 * $9,( *, f(n)+o(n) *'#3 #$# f(n) *( # *'#!'&#4*V ;!$ #!,($9 *!,!; $## $#$#(#,*!,!; P4 -($(# -$ 7#w9#,*& &-!$*'( ;!$!*'**!, $!&#'(!,!#$ $#&#) &((#(!; -$( 8$!#$ (9 &((#(!$ (9#$ &((#(!; P4 -($(# -$(9 "# ##, &(! $!!(#)5 *, # & *, ua v $!!(#),!*'& &-!$*' ;!$ #!"#$ $!&#'!,!-$( 8 $!#$ (9 &((!; P4 -($(# -$(93 *&# U*+!9'+*( # & *, ubfv (9)*#) '*&!,* *V $!#$*#(;!$ # &((!; P4 -*)V -$( 8 $!#$ (9#$ &((!; P4 -($(# -$(9 (## &(! u bv, $&&#& #,"*$!,'#,3# $#!-,**!, $!&#'!, # &((!; P4-($(#-$( ( (9)*#) *, uaev,)$#(#,#) $#!-,**!,&-!$*'$9,,*,-*, O(og n) *'# * O( n +nm $! #((!$(!,#./.0 og n / '!)#& # $!&#'!; 3,)*,- '4*'9' ' *,-!, ) P4 -*)V -$( ( #4'*,#) *, udav,) $!!(#),!*'& $&&#& &-!$*' ;!$ # $!&#' # &-!$*'!*'&&V!'9#( '4*'9' ' *,-!; P4 -*)V -$-*"#, *('!)9&$ )#!'!(**!,$##!$# &((!; w9(*-$#(!&)-$( 8 $!#$ (9 &((!;!-$(93# $!&#'!; $#!-,**,- ##$ (9 -$ *( '*&!,*, -$,) 3,)*,- '*&!,*, 8 V &#9 ( (!&"#) *, O(og n) *'# * O(n + m) $! #((!$(!, # :/.0 / '!)#& udcv *, # ('#!$+3 #!&!$*,-,)!#$!*'**!, $!&#'( ( &(! (!&"#) *, O(og n) *'# 9(*,- &*,#$,9'#$!; $! #((!$( /# #,&V3 +,! # & *, udev! #$#) *'#-,)!$+ -!*'& $&&#& (!&9*!, ;!$ #!"#$ $!&#'!, # &((!;!-$(, $* 9&$3 #V 3$( $!"#),V &-!$*' (!&"#( #!"#$ $!&#'!,!-$!; n "#$* #( $#$#(#,#) V *( '!)9&$ )#!'!(**!, $## '9( +# Ω(og n) *'#!, # :/.0 / '!)#&3,) #, (! #) *( *'# &! #$!9,) *( *- ;!$ # &((!;!-$(V $#(#,*,-,./.0 &-!$*' 3-*"#,, n -"#$#4!-$ G $#$#(#,#)V *(!$## 33,)(,) $#!$( '*,*'9'!"#$!; G *, O(og n) *'# 9(*,- O(n/ og n) $! #((!$( *(!$,!*,- * (!#, ;!$ '!$#, E V#$(! 3,) *'#-,)!$+ -!*'& $&&#& (!&9*!, ;!$ *( *'!$, $!&#' +,! # & *, udev 9(#,!"#& #,*w9#(!'*,# *, &#"#$ V $## ($9 9$#(3 &&#) BEKA K>\\@3,) (#w9#, #(!; (w9$#,) $!9,) $ +#( #*$ &-!$*' $!)9 #( '*,*'9'!"#$!;!-$ V 3,)*,- ' *,-(!; $ +#( *, #(# (#w9#, #(3!,($9 *,- $##(3,)!,"#$*,- # $##(! '*,*'9'!"#$ 9(*,- # *,!$)#$ $"#$(&, udev #V &#;!#, # $!&#'!; &V*,- #*$ #,*w9# *,!!#$ &((#(!; -$(!*"#) V *( *((9# # -#,#$&*# #*$ #,*w9#,) &V *! # &((!; P4 -($(# -$( 0# *,"#(*-# # ($9 9$#!; # (! 9$ *, '*,*'9'!"#$!; P4 -($(# -$,) # ($9 9$#!; #!$$#(!,)*,- $##(3,) $#(#, *'#-,)!$+ -!*'& &-!$*' $9,( *, O(og n) *'# * O(n/ og n) $! #((!$(!, #./.0 / '!)#& 0# &(! (!!9$ $#(9&(, # #4#,)#)! $!#$ (9#$ &((!; P 4 -($(# -$(3,'#&V # P4 -*)V -$( 9$!$+ *(!$-,*#) ( ;!&&! (, 7# *!, CC # #(&*( #,!*!,,) $#&#) #$'*,!&!-V,) # $#(#, +-$!9,)$#(9&(, 7# *!, Cb # *,"#(*-## (! 9$ *, '*,*'9'!"#$!; P4 -($(# -$3 *&# *, 7# *!, C # )#( $*# # $##( # *#,&V $!)9 # (9 ( *, $&&#& $! #(( #,"*$!,'#, 7# *!, CW )#( $*#( #!,($9 *!,!; # $ +# (#w9#, #(

37 udev,) *, 7# *!, Ca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w9# &#&&#) $## ((! *#) * # '!)9&$ )#!'!(**!,!; G *, * # &#"#( $# # "#$* #(!; G,) # (#!; &#"#( ((! *#) * # (9$## $!!#), *,#$,&,!)# *,)9 #( ($!,- '!)9&#!; G 9(3 # ')-$## T(G) $#$#(#,( && # ($!,- '!)9&#(!; G, *,#$,&,!)# *( &#&&#) V #*#$ P 8;!$ BE>ELL\L '!)9&#93 S '!)9&#93!$ N 8;!$ C\J^AI=>A==F '!)9&#9 *( (!, ;!$ #"#$V -$ G # ')-$## T(G) *( 9,*w9# 9! *(!'!$*(',) *, #!,($9 #) (#w9#,*&&v *, &*,#$ *'# uca3 afv 8&9( *, ucwv (9--#(( $&&#& &-!$*' ;!$ # '!)9&$ )#!'!(**!,!; -$( $9,( *, O(og n)!, :/:0 / * &*,#$,9'#$!; $! #((!$( # $!!; 8&9( 8 W 9 $# 9$(*"#&V )#"#&!( # '!)9&$ )#!'!(**!,!;! *,)9 #) (9-$(3 * $# #, (&* #)!-##$! $!)9 # # '!)9&$ )#!'!(**!,!; #!&# -$!$#!"#$39(*,- O(n + m)./.0 $! #((!$( # '!)9&$ )#!'!(**!, $##, # $#$*#"#) *, O(og 3 n) ( (!, *, ucav # t #, *,#$,&,!)#!; # ')-$## T(G)!; -$ G 0# )#,!# V M(t) # '!)9&#!$$#(!,)*,-! t *!,(*((!; # (#!; "#$* #(!; G ((! *#) * # (9$##!; T(G) $!!#),!)# t,!# M(t) *( ($!,- '!)9&# ;!$ #"#$V 8*,#$,&!$ &#;9,!)# t!; T(G) # u, u,..., u # # *&)$#,!; #,!)# p t!; ')-$## T(G) 0# )#,!# V G(t) # >\B>\@\CKEKJ \ ^>EBA!; # '!)9&# M(t) )#3,#) ( ;!&&! (5 V (G(t)) = {u, u,...,u p },) u u j E(G(t)) *; #$# #4*((, #)-# v k v E(G) (9 vk M(u ),) v M(u j ) V # )#3,**!,!; '!)9&#3 *; "#$#4!; M(t ) *( ) #,! "#$#4!; M(tj ) #, #"#$V "#$#4!; M(t ) *( ) #,! #"#$V "#$#4!; M(tj ) 9( G(t) *( *(!'!$*! # -$ *,)9 #) V (9(#!; M(t)!,(*(*,-!; (*,-&# "#$#4 ;$!' # '4*'& ($!,- (9'!)9&#!; M(t) *, # '!)9&$ )#!'!(**!,!; G *( #(V! (! # ;!&&! *,- &#''!&)( 8(## &(! ub v 95 rss \K G I\ E ^>EBA T(G) JK@ H=FYLE> F\ =HB=@JKJ=C K>\\ ECF t EC JCK\>CEL C=F\ =Z T(G) PA\C G(t) J@ EC \F^\L\@@ ^>EBA JZ t J@ E [ C=F\ G(t) J@ E =HBL\K\ ^>EBA JZ t J@ EC C=F\ ECF G(t) J@ E B>JH\ ^>EBA JZ t J@ EC C=F\ W

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $

!  #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $ [ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw)

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw) PVWW!"#$ PVWW!"#$%&'()*+!"#$% 12!"#$%&'()*!!"#$%&'(!"#$!"#$%&'()*+!"#$%!!"#!$%&'()*+!"#$%!"!"#$%&'!"#$%&'!"#!"#$%!" SE!"!"#$%&'!"#!"#$%&'!"#$%&'!"#$!"#$!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&!"#$%&'!"!"#$%&!"#$%&!"!"#$%!"#$%!"#$%&'(!"#$%&'!!"#!"#!"#$%&!"#$%&'(

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

!" #$! '() -*,*( *(*)* *. 1#,2 (($3-*-/*/330%#& !" #$ -4*30*/335*

! #$! '() -*,*( *(*)* *. 1#,2 (($3-*-/*/330%#& ! #$ -4*30*/335* !" #$ %#&! '( (* + #*,*(**!',(+ *,*( *(** *. * #*,*(**( 0* #*,*(**(***&, 1#,2 (($3**330%#&!" #$ 4*30*335* ( 6777330"$% 8.9% '.* &(",*( *(** *. " ( : %$ *.#*,*(**." %#& 6 &;" * (.#*,*(**( #*,*(**(***&,

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

J! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &

J! #$ %& ( ) ) )  *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) & J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

! "#! & "0/! ).#! 71 1&$ -+ #" &> " %+# "1 2$

! #! & 0/! ).#! 71 1&$ -+ # &>  %+# 1 2$ "#$" &""'(() *+ , -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. / 0-1 2 $1 " 1 /& 1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ %! & & $ &%!

!  #! $ %! & & $ &%! !" #! $ %!&&$&%! ! ' ( ')&!&*( & )+,-&.,//0 1 23+ -4&5,//0 )6+ )&!&*( '(7-&8 )&!&9!':(7,&8 )&!&2!'1;

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*

!! # $ % & ' ( !  # '' # $ # #  %( *++* !"! # $ %"" & ' (! " # $% & %) '' # $ # # '# " %( *++* #'' # $,-"*++* )' )'' # $ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" $" % & &'"

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

]Zp _[ I 8G4G /<4 6EE =A>/8E>4 06? E6/<; 6008:6> /8= 4; /823 ;1A :40 >176/812; 98/< ;76//40823 E182/;G g= = 4/<1

]Zp _[ I 8G4G /<4 6EE =A>/8E>4 06? E6/<; 6008:6> /8= 4; /823 ;1A :40 >176/812; 98/< ;76//40823 E182/;G g= = 4/<1 ! " #$ # %$ & ' ( ) *+, ( -+./0123 045067/812 15 96:4; 82 /178/? = 1@4> 82/01@A74; B824= 6/87 60/8567/; C 71 04D47/10; C 82/1 /

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

,,-# $% &.(#./ %0 ) &, ((# ).!#3 8( # #2!*

,,-# $% &.(#./ %0 ) &, ((# ).!#3 8( # #2!* &'(!"# $% ) *+(#$%#,,-# $% &.(#./ %0 ) &, ((#.1 2 3.4235*6#)7 1 #$%1 &#& "#$ ).!#3 8(. 423 6# #2!* % /%% (:% % $%# ;(# ("% (6 )# $%1# #2 @! ) 372

Διαβάστε περισσότερα

&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B

&,'-- #- > #'$,/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'$8 ''#&$'!&0-##-#;-# B !"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#

Διαβάστε περισσότερα

... * +, . >1 " W1 X &=:C.1 3.% 2 *! > 8. $( >1 $.: " G YJ ZC1 G! 1.

... * +, . >1  W1 X &=:C.1 3.% 2 *! > 8. $( >1 $.:  G YJ ZC1 G! 1. 1... #) %# "#$%& '%(! 3 2 1 ()*+, &! # $% &!" 5 6!7 8 9 4 2 3 /$01 &,. 2 =! > 8 3.%

Διαβάστε περισσότερα

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

!#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 !"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude Soula, José Darrozes, Luc Bourrel, Alain Laraque, José Burgos, Séverine Bès de Berc, Patrice Baby

Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude Soula, José Darrozes, Luc Bourrel, Alain Laraque, José Burgos, Séverine Bès de Berc, Patrice Baby Gradual diversions of the Rio Pastaza in the Ecuadorian piedmont of the Andes from 1906 to 2008: role of tectonics, alluvial fan aggradation and ENSO events Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude

Διαβάστε περισσότερα

!!"#$"%&'()%*$& !! )!+($,-./,0. !! )!"% $&)#$+($1$ !!2)%$34#$$)$ !!+(&%#(%$5$( #$%

!!#$%&'()%*$& !! )!+($,-./,0. !! )!% $&)#$+($1$ !!2)%$34#$$)$ !!+(&%#(%$5$( #$% !!"#$"%&'()%*$&!! )!+($,-./,0.!"#!! )!"% $&)#$+($1$!!2)%$34#$$)$!!+(&%#(%$5$( #$% & !"# $ $ % # &#$ '()*+, -,./ $* 0" 10#')230##445$&% ##* % 0# ' 4#, ) 0# $, 0# 6 7% % # #* # 8#10&29,:# )) )# )#

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

!#$ %&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'- !!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8

Διαβάστε περισσότερα

MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector

MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector s MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector... 2 1.... 4 2. -MICROMASTER VECTOR... 5 3. -MIDIMASTER VECTOR... 16 4.... 24 5.... 28 6.... 32 7.... 54 8.... 56 9.... 61 Siemens plc 1998 G85139-H1751-U553B 1.

Διαβάστε περισσότερα

ALFA ROMEO. Έτος κατασκευής

ALFA ROMEO. Έτος κατασκευής 145 1.4 i.e. AR33501 66 90 10/94-01/01 0802-1626M 237,40 1.4 i.e. 16V AR33503 76 103 12/96-01/01 0802-1627M 237,40 1.6 i.e. AR33201 76 103 10/94-01/01 0802-1628M 237,40 1.6 i.e. 16V AR67601 88 120 12/96-01/01

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Πληροφορικής (Χειμερινό Εξάμηνο 2014) ΕΠΛ 475: Ασφάλεια Δικτύων Η/Υ & Πληροφοριών. Εργαστήριο 5

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Πληροφορικής (Χειμερινό Εξάμηνο 2014) ΕΠΛ 475: Ασφάλεια Δικτύων Η/Υ & Πληροφοριών. Εργαστήριο 5 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Πληροφορικής (Χειμερινό Εξάμηνο 2014) ΕΠΛ 475: Ασφάλεια Δικτύων Η/Υ & Πληροφοριών Εργαστήριο 5 ΕΝΤΟΛΗ: openssl (Linux) Το OpenSSL είναι μια βιβλιοθήκη κρυπτογράφησης για την υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *&

! # $%%&$$'($)*#'*#&+$ $&#! #, &,$-.$! $-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& ! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& '*$$%!#*#&-!5!&,-/+#$!&- &"/ "$,&/#!6$7,&78 "$% &$&'#-/+#!5*% 3 +!$ 9 &$*,2"%& #$- 3 '*$%#

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!! ! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**.

!  #! $ %&! '( #)!' * +#,  -! %&! !! !  #$ % #  &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**. ! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!!! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / 0123 4 # ' -. + &' (, % #. -5 0126, 2**., 2, + &' %., 0, $!, 3,. 7 8 ', $$, 9, # / 3:*,*2;

Διαβάστε περισσότερα

)))*+,-!-)#..!""-#)/..+-$-*..-!--+ -*

)))*+,-!-)#..!-#)/..+-$-*..-!--+ -* ψ!"#$%&'&( )))*+,-!-)#..!""-#)/..+-$-*..-!--+ -* ψ #-).#!./ #0)1 #2#)--#3#-..-4#32+4#.#34.#-)3$$-!-315$-#+-")3"6.+-32-#-#3-#3#0-.3 ")!4 31-))!7.-3"#*).#03+ --38-#)3#.-!9.-#*-.$-3!#-)#)3!""-#)3#!-*)#!4:--.)))#!-##-.6+#!#+*-.*+.--)-!

Διαβάστε περισσότερα

0 1 D5 # 01 &->(!* " #1(?B G 0 "507> 1 GH// 1 #3 9 1 " ## " 5CJ C " 50

0 1 D5 # 01 &->(!*  #1(?B G 0 507> 1 GH// 1 #3 9 1  ##  5CJ C  50 !$$ !! $ ' (( ) * ( + $ '!, - (())!*'! -!+ - / (())!* - ),!-* + ' 6 / 9 *, 78) ++)!*! φ( 9 $ * )) 8!' ) ;< 0 = ;

Διαβάστε περισσότερα

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24 !! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

!! "#$%& ! " # $ &%"+,(-. (# / 0 1%23%(2443

!! #$%& !  # $ &%+,(-. (# / 0 1%23%(2443 "#$& " # $ & ' &( &)* &"# &"+,(-. (# / 0 123(2443 2443 56 1 7 & '()(()(*+( ),)(-.(/)((,),24420 8.94: -; :53&:54::549 '()((0)(#'(1)(' ( )(-.(/)((,),24460..94: < * 94&5=>6 '()( 2( )(3(1)((0)('.( )4)((,)

Διαβάστε περισσότερα

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

Answers to practice exercises

Answers to practice exercises Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)

Διαβάστε περισσότερα

! " #$ (!$ )* ' & )* # & # & ' +, #

!  #$ (!$ )* ' & )* # & # & ' +, # ! " #$ %%%$&$' %$($% (!$ )* ' & )* # & # & ' +, # $ $!,$$ ' " (!!-!.$-/001 # #2 )!$!$34!$ )$5%$)3' ) 3/001 6$ 3&$ '(5.07808.98: 23*+$3;'$3;',;.8/ *' * $

Διαβάστε περισσότερα

$% & '# % ( " ) # % # " *! ) # # # #!

$% & '# % (  ) # % #  *! ) # # # #! !"# $%&'#%(" ) #%#"*! ) ## # #! + $((,(-. / / 0/ 12 32#4 + 5(*6-. /7 /# /7 10/4 "#$!%!&&'(' #)! ""$!%!&&' "* 78&# 79 +#,!% -!('!.(/!+0 +",!% -!(%(!*0!"##! $! %&! '(')*+(') $, "! -$!. /!!!.0 1 - "#-$#02,

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ %& " ' ' & " ( # ) &! * & +, #, %- %& + # -. %/ *, # ( % $ % + 0 ( % % / 1 2),

!  # $ %&  ' ' &  ( # ) &! * & +, #, %- %& + # -. %/ *, # ( % $ % + 0 ( % % / 1 2), ! " #$%& "''&"(#)&!*&+, #,%-%&+# -.% *,#(%$%+0 (%% 1 2), "34564778 9: (2;' ' < "5=674 < ( >""? +"( 5!"#!"$ #!% &"$"'#($ )# *+%),%"-.%,0(#+,% & 12.+#.3 )#.$ *+% &4 4.'+).) & & & &2.+#.,(!.5$"63 *+% 1 &&)"5%)%#"'#

Διαβάστε περισσότερα

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors - SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque

Διαβάστε περισσότερα

!#$%!& '($) *#+,),# - '($) # -.!, '$%!%#$($) # - '& %#$/0#!#%! % '$%!%#$/0#!#%! % '#%3$-0 4 '$%3#-!#, '5&)!,#$-, '65!.#%

!#$%!& '($) *#+,),# - '($) # -.!, '$%!%#$($) # - '& %#$/0#!#%! % '$%!%#$/0#!#%! % '#%3$-0 4 '$%3#-!#, '5&)!,#$-, '65!.#% " #$%& '($) *#+,),# - '($) # -, '$% %#$($) # - '& %#$0##% % '$% %#$0##% % '1*2)$ '#%3$-0 4 '$%3#-#, '1*2)$ '#%3$-0 4 @ @ @

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763

Διαβάστε περισσότερα

Evaluation et application de méthodes de criblage in silico

Evaluation et application de méthodes de criblage in silico Evaluation et application de méthodes de criblage in silico Hélène Guillemain To cite this version: Hélène Guillemain. Evaluation et application de méthodes de criblage in silico. Sciences agricoles. Conservatoire

Διαβάστε περισσότερα

!"#$%$&'()"*+,$'$%,%"!" !"-.''$+,"/0%*,*0+"! !"1(*$+,*2*("(&'$$'"!" !"34.(&,0+"&+4"5'&*+*+6"!"

!#$%$&'()*+,$'$%,%! !-.''$+,/0%*,*0+! !1(*$+,*2*((&'$$'! !34.(&,0+&+45'&*+*+6! !"##$%&'%##($)$ &&&&&*$+,-.&!/01&2(!& &&&&&3%/)&$)&4$-)51&6"7"8+&9: +( &;:?@")?&A5#(&B%")?5+$%) C64A6&'-8-5/#(&5)?&C))%D5+$%)&E-)+/- >)D$/%)@-)+&5)?&F5+"/5,&'-8%"/#-8&6/-5 GC4&5)?&'-@%+-&4-)8$)7&H)$+

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα Παρατηρήσεις στα ϑέµατα του διαγωνισµού ΘΑΛΗΣ 2013 της Ε.Μ.Ε. Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 20 Οκτωβρίου 2013 1 Γενικές Παρατηρήσεις Οι απόψεις των παιδιών Τα ϑέµατα, ιδίως

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((

AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( ((( ? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 2 Ισοδύναμο Ηλεκτρικό Κύκλωμα Σύγχρονων Μηχανών Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ Υπολογισμός Αυτεπαγωγής και αμοιβαίας επαγωγής Πεπλεγμένη μαγνητική ροή συναρτήσει των

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

9 1. /001/2 27 /8? /89 16 < / B? > DEE F

9 1. /001/2 27 /8? /89 16 < / B? > DEE F !" #$ %! &!$ % ' $ ($ $ ) #%*!! +!(, % -. /001/2 03 4 /1. / 5 /6 0/078/2 27 91 1:3 /14 10 72 91.1;11 27 < 2 82 27 = 9 /62025 9> / = 9> 0/80 > /8? /89 16 < 3 9 4 24 4 /11 / 89 ;1 @ = 271002 A1? B 602 C

Διαβάστε περισσότερα

Hydraulic network simulator model

Hydraulic network simulator model Hyrauc ntwor smuator mo!" #$!% & #!' ( ) * /@ ' ", ; -!% $!( - 67 &..!, /!#. 1 ; 3 : 4*

Διαβάστε περισσότερα

'( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( +

'( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( + ! " # $ %&&' '( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( + %( ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((('& %('(,,

Διαβάστε περισσότερα

Cc Cj e+f '' ' 3j Cc Cc 2 2 " +" ' ) F C C C C C C C C Cc 3- C- m & " "# " ) F 3 Cc 30 C, 2 " +" ' ) F j 3. C- l &+' " C C C C C C C C C C C j/ C- C.

Cc Cj e+f '' ' 3j Cc Cc 2 2  + ' ) F C C C C C C C C Cc 3- C- m &  #  ) F 3 Cc 30 C, 2  + ' ) F j 3. C- l &+'  C C C C C C C C C C C j/ C- C. N O P Q R P Q S! " " # %! $ & ' ( ') $ * +,-./0 ( ') $ 1 '# 2 '" 3 4 5 678 96: ;? 79B?8 C * $ D C E ' FF$ C F) $ G C ( '1 $ C $ H C I J F K 2 E K )'F & & $.C L 4.MM, T U VW X YZ[\

Διαβάστε περισσότερα

ο3 3 gs ftffg «5.s LS ό b a. L Μ κ5 =5 5 to w *! .., TJ ο C5 κ .2 '! "c? to C φ io -Ρ (Μ 3 Β Φ Ι <^ ϊ bcp Γί~ eg «to ιο pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U3

ο3 3 gs ftffg «5.s LS ό b a. L Μ κ5 =5 5 to w *! .., TJ ο C5 κ .2 '! c? to C φ io -Ρ (Μ 3 Β Φ Ι <^ ϊ bcp Γί~ eg «to ιο pq ΛΛ g Ό & > I  CD β U3 I co f - bu. EH T ft Wj. ta -p -Ρ - a &.So f I P ω s Q. ( *! C5 κ u > u.., TJ C φ Γί~ eg «62 gs ftffg «5.s LS ό b a. L κ5 =5 5 W.2 '! "c? io -Ρ ( Β Φ Ι < ϊ bcp «δ ι pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U (Ν φ ra., r

Διαβάστε περισσότερα

ABCDA EF A A D A ABCDA CA D ABCDA EF

ABCDA EF A A D A ABCDA CA D ABCDA EF ABCDAEF BABC FDDDDABCBABAC BBCABCADB AADAABCDACAD ABBFADAABA ABBFA AAFAB ABCDAEF AAABBA AA CADA BABA AA DA ABCDAEF BABC FDDDDABCBABAC BBCABCADB AADAABCDACAD ABBFADAABA CAA BABADFAAFAB BCAFAB ABCDAEF AAABBA

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΤΑΛΟΣ Α.Ε ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟ SNR

ΤΡΑΤΑΛΟΣ Α.Ε ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟ SNR SNR 1017/12 G ( ΙΑΣΤΑΣΗ ΑΠΟ US 201-ES 201) ΡΟΥΛΕΜΑΝ 16,59 39,49 SNR 1017/15 G ΡΟΥΛΕΜΑΝ 16,59 39,49 SNR 1020-20 G ΡΟΥΛΕΜΑΝ 16,59 39,49 SNR 1035-1 7/16 G = UC 207-23 ΡΟΥΛΕΜΑΝ 28,17 67,04 SNR 1035-35 G ΡΟΥΛΕΜΑΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 Version 1.5 (16/03/2017) Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών (ΣΤΕΦ) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. Διδάσκων: Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη (εργαστήριο Δ εξαμήνου) Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 εαρινό

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Tιμοκατάλογος 10/2011 Zεύξη, εκκίνηση, προστασία χαμηλής τάσης www.siemens.gr Xάρης Συγγενιώτης Διευθυντής Βιομηχανικών προϊόντων ελέγχου & Φωτοβολταϊκών συστημάτων Αγαπητοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ

ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ ΕΟΜΗ ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO ( Ι ΜΘΗΤΕΣ ΚΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ Ιούνιος 003 Επιµέλεια: Ευθύβουλος Λιασίδης νδρέας Σαββίδης Να λυθούν όλα τα προβλήµατα Χρόνος: 4 ½ Ώρες Πρόβληµα 1. Ένας n θετικός

Διαβάστε περισσότερα

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Zεύξη, εκκίνηση, προστασία χαμηλής τάσης Tιμοκατάλογος 01/2015 siemens.gr Αγαπητοί συνεργάτες, σας παρουσιάζουμε τον τιμοκατάλογό μας 01/2015, με νέα πρωτοποριακά προϊόντα

Διαβάστε περισσότερα

!"# '1,2-0- +,$%& &-

!# '1,2-0- +,$%& &- "#.)/-0- '1,2-0- "# $%& &'()* +,$%& &- 3 4 $%&'()*+$,&%$ -. /..-. " 44 3$*)-),-0-5 4 /&30&2&" 4 4 -&" 4 /-&" 4 6 710& 4 5 *& 4 # 1*&.. #"0 4 80*-9 44 0&-)* %&9 4 %&0-:10* &1 0)%&0-4 4.)-0)%&0-44 )-0)%&0-4#

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

!!" # "!! $$ %$ ' : () *"++,- ; 4 $ < % % / $ $ % /

!! # !! $$ %$ ' : () *++,- ; 4 $ < % % / $ $ % / !!" # "!! $$ %$ & ' () *"++,- $ %. $ $ % $/ $ $ / # $ 2 3 / / & / / / 45 ( % $ / $ 6 / / 3 / / 3 / 7 /7 7 ' 8"7 87 9" ' : () *"++,- ; 4 $ < % % / $ $ % / & = $ = $ $ 4 #$ 5/ > = $ 5 5 // $!!".. 5 5 $ =

Διαβάστε περισσότερα

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης

Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Bιομηχανικό Yλικό Xαμηλής Tάσης Tιμοκατάλογος 10/2010 Zεύξη, εκκίνηση, προστασία χαμηλής τάσης www.siemens.gr Xάρης Συγγενιώτης Διευθύνων Βιομηχανικού Υλικού Χαμηλής Τάσης & Ηλεκτροκίνησης Αγαπητοί συνεργάτες,

Διαβάστε περισσότερα

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z}

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z} ! #"!$%& '(!*),+- /. '( 0 213. $ 1546!.17! & 8 + 8 9:17!; < = >+ 8?A@CBEDF HG

Διαβάστε περισσότερα

AE F F E C F E D ABC D

AE F F E C F E D ABC D AEFFECFED CB BC EFEFFEEEEE BFCEBFE ABCD ABCDEFCE CCAABCDEFCE DA EFF EFF EFEFFF EFF EFF EF F EF F EFF EFF EF CCAABCDEFCE A FCF FBF FEBF F FB FA ABCDBEFFBA FCFDBABCCB ABBFCFFDABCCB ABCD ABCDEFCE CCAABCDEFCE

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

الهندسة ( )( ) مذكرة رقم 14 :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين وأمثلةمحلولة اھافواراتاة ارس : ( ) ( ) I. #"ر! :#"! 1 :ااءا&%$: v

الهندسة ( )( ) مذكرة رقم 14 :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين وأمثلةمحلولة اھافواراتاة ارس : ( ) ( ) I. #ر! :#! 1 :ااءا&%$: v الهندسة مذكرة رقم :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين أمثلةمحللة اھافاراتاة ارس : EFiEG EF EG ( FEG) 6 EF EG ( FEG) 6 FEG 6 ( FEG ) 6 I. #"ر! :#"! :ااءا&%$: u u : اى.( ) H ا ادي C ا u ا#اءا! ھا#د ا! ا(ي

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009 ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009 ΔΑΤΣΕΡΗΣ ΝΙΚΟΣ ΣΙΑ Ο.Ε. Λ Κ.Καραμανλή 37 72100 ΑΓ. ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΗΛ:28410 23150 FAX:28410 23161 E-mail: info@mechanicalsolutions.gr ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΑ LG ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * / ) ",. #

!  #  $ #% $ ! #&'() ' ( * / ) ,. # Ψ ƒ! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * +",-.'!( / ) ",. # 0# $"!"#$%# Ψ 12/345 6),78 94. ƒ 9)")1$/):0;3;::9 >'= ( ? 9 @ '&( % A! &*?9 '( B+)C*%++ &*%++C 0 4 3'+C( D'+C(%E $B B - " % B

Διαβάστε περισσότερα

500 JournalofNingxiaMedicalUniversity : (2014) $ A L 1, MNO 2 (1. c, ; 2., ) : = 2 % (SDF) 2 ) 012I,CDB 23 S

500 JournalofNingxiaMedicalUniversity : (2014) $ A L 1, MNO 2 (1. c, ; 2., ) : = 2 % (SDF) 2 ) 012I,CDB 23 S 500 JouralofNigxiaMedicalUiversity 36 5 2014 5 :1674-6309(2014)05-0500-05 $ A L 1, MNO 2 (1. c, 750004; 2., 750001) : = 2 (SDF)2 )012I,CDB 23 SD) 70E,60E, STZ"2,10E, 0" 2 ) 53E, 2 I(DMI,25E ) SDF'I(SDLI,14E),SDF'I(SDSI,

Διαβάστε περισσότερα