ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος

Transcript

1 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Μάθηµα 5 ο Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε 33 (όχι Πρόταση 63) εδάφιο, σε 4, Πρόταση 65, (χωρίς απόδειξη) και Πρόταση 66 εδάφιο 3, σε 44 (όχι Πρόταση 6) Βασικές ιδιότητες : Για κάθε πίακα, ο αριθµός d( ) που εκφράζει το πήθος τω ιδιοδιαυσµάτω που ατιστοιχού στη ιδιοτιµή οοµάζεται γεωµετρική ποαπότητα αυτής Τα ιδιοδιαύσµατα αυτά είαι βάση του διαυσµατικού υποχώρου E ( ), που οοµάζεται ιδιόχωρος του, ατίστοιχος της ιδιοτιµής Από τη θεωρία τω Γραµµικώ Συστηµάτω γωρίζουµε ( ) = ( ) = ( ) d dme rank I Α για το χαρακτηριστικό πουώυµο δ( ) του είαι ρ δ( ) = ( ) π( ) και π, ο αριθµός ρ οοµάζεται αγεβρική ποαπότητα της ιδιοτιµής Για τις ποαπότητες του σηµειώσατε τη σχέση (Πρόταση 65) Ειδικά, για d ρ ρ = d = δηαδή, σε κάθε απή ιδιοτιµή του ατιστοιχεί ακριβώς έα ιδιοδιάυσµα

2 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Α,,, είαι ιδιοτιµές του πίακα, τότε Προφαώς, ο πίακας ιδιοτιµή det = (5) tr = (5) ατιστρέφεται ακριβώς ότα δε έχει =, ισοδύαµα ότα δ () =α T Οι πίακες και έχου τις ίδιες ιδιοτιµές Α k k x =x x = x και x= x Α, x είαι ατίστοιχα ιδιοποσά του πίακα, για κάθε πουώυµο p(s) = s +α s + +α s+α, ο αριθµός p( ) και το διάυσµα µ µ µ x είαι ατίστοιχα ιδιοποσά του πίακα p Επιπέο, οι ιδιοτιµές και p( ) έχου τη ίδια αγεβρική ποαπότητα Τα χαρακτηριστικά πουώυµα τω οµοίω πιάκω ταυτίζοται Τα ιδιοδιαύσµατα x, x,, x του πίακα, που ατιστοιχού στις k διακεκριµέες ιδιοτιµές,,, ( k ) αεξάρτητα Α ο πίακας Α ο πίακας, είαι γραµµικά k είαι συµµετρικός, οι ιδιοτιµές του είαι ατισυµµετρικός, φαταστικός αριθµός, δηαδή, Α ο πίακας είαι καθαρά = k, όπου k είαι ορθογώιος, οι ιδιοτιµές του είαι στη µοαδιαία περιφέρεια, δηαδή, = Σχηµατικά, 5 = - T 5 T =I = T Για τις παραπάω τρεις κατηγορίες πιάκω, τα ιδιοδιαύσµατα x και y που ατιστοιχού σε διακεκριµέες ιδιοτιµές είαι κάθετα

3 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 3 από 5 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 5 ιαβάστε το παράδειγµα 6 σε 37, και σηµειώστε το διαφορετικό πήθος τω ιδιοδιαυσµάτω τω πιάκω που ατιστοιχού στη ποαπή ιδιοτιµή σε κάθε πίακα Άσκηση 5 Βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιαύσµατα τω πιάκω Λύση : Για το πίακα 6 = 5, B =, το χαρακτηριστικό πουώυµο 6 δ ( ) = I = = 3 8= ( 7)( + 4), 5 έχει ρίζες = και =4 Στη ιδιοτιµή = 7, ατιστοιχεί έα 7 ιδιοδιάυσµα, το οποίο είαι η ύση του συστήµατος 6 6 x 7 I x x x c 5 5 x = = = = c, για κάθε c Α c, έχουµε = [ ] T x = Για τη ιδιοτιµή = 4, το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα είαι η ύση του συστήµατος Α 5 6 x + 4I x= = 5x+ 6x = 5 6 x c 5, έχουµε = [ ] T 6 x 6c 5, x = c, για κάθε c 5 x = 6 5 Για το πίακα B είαι

4 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 4 από 5 δ B = I B = = + 4= = +, = Οι ιδιοτιµές του B είαι απές ( ρ = ) και σε κάθε µία ατιστοιχεί έα ιδιοδιάυσµα Για = +, έχουµε B I x x x x c x = = = x, ατίστοιχο ιδιο- διάυσµα της ιδιοτιµής, για κάθε c Για =, έχουµε B I x x x x c x = = = x, ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα της ιδιοτιµής, για κάθε c Σχόιο : Ο πίακας είαι πραγµατικός και ως στοιχείο του, δε έχει ιδιοτιµές ή ιδιοδιαύσµατα, διότι B σ( B) Τα ιδιοποσά που βρήκαµε ααφέροται στο πίακα ως στοιχείο του B Άσκηση 53 Βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιαύσµατα τω πιάκω Λύση : 4 3 = 3, 3 B = 3 Βρίσκουµε το χαρακτηριστικό πουώυµο του πίακα ( 4)( 3) δ = I = =, του οποίου ρίζες είαι = 4, = 3, 3 = Για τα ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα της ιδιοτιµής = 4, ύουµε το γραµµικό σύστηµα

5 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 5 από 5 Για 3 x 4I x = x x c = =, x x3 c = = = 3, έχουµε 3 x = x 3I x = x x c = =, c x3 = και για 3 =, 3 x 3x3 I x = x = x + = x+ x3 = 3 3 x =x3 x =x3 x3, c x3 Για το πίακα B, έχουµε 3 δb = I B = + = 3 Για =, το οµογεές σύστηµα Bx = έχει ύση x = x = x3 x, είαι το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα Για, έχουµε = 3 x 3x+ x3 = B I x= 3 x= x, x 3 3 3c c 3 x = c + c c Είαι φαερό ότι ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα της ιδιοτιµής = είαι [ ] T 3 x = (για c, c ) και = = [ ] T x 3 = (για c =, c =)

6 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 6 από 5 Άσκηση 54 Για το πίακα 3 6 = k, α βρεθού οι τιµές του k για τις οποίες x = [ ] T είαι ιδιοδιάυσµά του Να βρεθεί η διάσταση του ιδιόχωρου E που περιέχει το x Λύση : Θα πρέπει x = k+ = Από τη ισότητα αυτή συµπεραίουµε = και k+ = k = Συεπώς, το ιδιοδιάυσµα x = [ ] T ατιστοιχεί στη ιδιοτιµή = του, για k= Επειδή 6 dm E () = 3 rank ( I) = 3rank = 3 = E () = span{ x} 3 Άσκηση 55 Να βρείτε τα στοιχεία του πίακα α β = γ δ ε ζ ότα x [ ] T =, x [ ] T = και [ ] T 3 αυτού x = είαι ιδιοδιαύσµατα Λύση : Από τη χαρακτηριστική εξίσωση x = x, για το διάυσµα, x έχουµε τις εξισώσεις +α+β= +γ+δ= +ε+ζ Για το διάυσµα, x β= +ζ και δ=, και για το, x 3

7 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 7 από 5 α= +γ, ε= Λύοτας το σύστηµα όω αυτώ τω εξισώσεω, βρίσκουµε α=β=γ=δ=ε=ζ= Άσκηση 56 Α 4 =, α υποογίσετε τη ορίζουσα του πίακα 6 B= 4+ I, χωρίς α βρείτε το πίακα B Λύση : Θα βρούµε πρώτα τις ιδιοτιµές του πίακα, 4 = = + = 6 + I 3 ( ) Οπότε σ = {, } Α p s = s 4s+, για το πίακα B=, γωρίζουµε ότι α, x είαι ατίστοιχα ιδιοποσά του, τότε ο αριθµός p 4 = + και το διάυσµα x είαι ατίστοιχα ιδιοποσά του B Συεπώς, οι ιδιοτιµές του B είαι = p = 4 + =, = p = 4 + =, και από τη ισότητα (5), θα έχουµε det B = ( )( ) = p Άσκηση 57 Α ο πίακας αποδείξατε ότι Λύση : Α {, } έχει µόο µια ιδιοτιµή διάφορη του µηδεός, σ =, όπου (5) έχουµε tr = Συεπώς, det I+ = + tr, τότε ( I ) {, } det I+ = + = += + tr σ + = + και από τη

8 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 8 από 5 Άσκηση 58 Έστω Αποδείξατε ότι δ ( ) =δ ( ) δ ( ) B O = O Γ, όπου B, Γ τετραγωικοί πίακες B B και Γ ατίστοιχα, βρείτε τα ιδιοδιαύσµατα του Λύση : Λαµβάοτας υπόψη τη ισότητα έχουµε Γ, και α xy, είαι ιδιοδιαύσµατα τω M O det = ( det M)( det N O N IB O δ = = =δb δγ O IΓ Έστω Bx =x και Γ y =µ y Έτσι, α y =µ, το I B I Γ, τότε είαι ιδιοδιαύσµατα του B O x Bx x O = = y y y Γ Γ µ x y είαι ιδιοδιάυσµα του, εώ α µ, τα x και ) Άσκηση 59 Α τα στοιχεία κάθε γραµµής του πίακα ιδιότητα α +α + +α =, =,,,, έχου τη αποδείξατε ότι τα στοιχεία τω πιάκω µ, όπου µ φυσικός αριθµός και, έχου τη ίδια ιδιότητα Λύση : Από τη ιδιότητα τω στοιχείω κάθε γραµµής του α α α α α α = α α α διαπιστώουµε

9 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 9 από 5 και κατά συέπεια, ο αριθµός και το διάυσµα ε = είαι [ ] T ατίστοιχα ιδιοποσά του πίακα Εποµέως, για το πίακα µ ατίστοιχα ιδιοποσά είαι µ = = και το διάυσµα ε Από τη χαρακτηριστική εξίσωση συµπεραίουµε β +β + +β = β β β β β β = =, β β β µ Όµοια αποδεικύουµε για το πίακα ατιστοιχεί το ιδιοδιάυσµα ε, καθόσο στη ιδιοτιµή = = Άσκηση 5 Α ο πίακας είαι µηδεοδύαµος, ο δε πίακας B είαι αδύαµος ( B = B), αποδείξατε { } σ = και ( B) {, } Λύση : Σύµφωα µε το ορισµό, για το πίακα αριθµός k, τέτοιος ώστε k σ = υπάρχει εάχιστος φυσικός = O Α είαι ιδιοτιµή του και x είαι το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα, τότε k k, x είαι ιδιοποσά του Από τη χαρακτηριστική εξίσωση = = k k x x είαι πέο φαερό ότι k = = Έστω η χαρακτηριστική εξίσωση Bx = x Από τη ισότητα { } B B B x Bx x x x B = = = = = σ =, Άσκηση 5 Για το ατιστρέψιµο πίακα, αποδείξατε ότι το χαρακτηριστικό πουώυµο του είαι

10 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 det δ = δ Ποια είαι η ατίστοιχη ισότητα, ότα είαι ορθογώιος πίακας; Λύση : Έχοτας υπόψη τις ιδιότητες τω οριζουσώ, συµπεραίουµε δ ( ) = I = ( I) = ( ) I I = = ( ) δ Ότα είαι ορθογώιος, T = και det = ± Τότε, δ( ) =δ T ( ) =δ ( ) = ± δ Άσκηση 5 Α,,, είαι οι ιδιοτιµές του ατιστρέψιµου πίακα, αποδείξατε Λύση : Από τη εξίσωση x σ ( adj ) =,,, = x και τη ισότητα ( adj) x= x x= x x= x, ( adj ) ( adj ) ( adj ) όπου και συµπεραίουµε ότι, Σηµειώστε ότι στη τεευταία ισότητα είαι ατιστρέψιµος x = I, έχουµε είαι ατίστοιχα ιδιοποσά του adj, διότι ο πίακας είαι B B Άσκηση 53 Έστω M = B και N = B, όπου B, Αποδείξατε τις ισότητες δ ( ) =δ ( ) δ ( ), ( M + B B δ =δ δ N + B B )

11 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Λύση : Οι πίακες M και + B B O B είαι όµοιοι, διότι I O I O I O I O + B B M M I I I I = = I I I I O B Συεπώς τα χαρακτηριστικά τους πουώυµα ταυτίζοται και από το αάπτυγµα της ορίζουσας σύθετου τριγωικού πίακα έχουµε I + B B δm( ) = =δ+ B δb O I B Από τη σχέση οµοιότητας, ( ) I O I O I O I O B N N O I O I = O I = O I B και το προηγούµεο συµπέρασµα, είαι φαερό ότι δ =δ δ N + B B Άσκηση 54 Α οι πίακες αποδείξατε τη ισότητα Λύση : Από τη σχέση οµοιότητας B, είαι τύπου δ = δ µ B B µ και µ ατίστοιχα, µ µ µ µ µ I B O I I B O I O O O I B O O I = O I = B O O I B B για τα χαρακτηριστικά πουώυµα έχουµε I B O I O µ µ µ = δb = B I B I B δ B

12 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Άσκηση 55 Έστω B, είαι πίακες τύπου Α δ είαι το χαρακτηριστικό πουώυµο του, αποδείξατε ότι ο πίακας δ B είαι ατιστρέψιµος ακριβώς ότα B B ( B) σ σ = Λύση : Α είαι ιδιοτιµή του, ο αριθµός δ θα είαι ιδιοτιµή του πίακα Τότε det δ = δ δ, για κάθε ιδιοτιµή δ B ( B) B( ) B( ) = του σ σ ( B) = B Άσκηση 56 Για το συοδεύοτα πίακα C =, α α α του πουωύµου Ι δ α, ΙΙ α C α = +α + +α +α, αποδείξατε ότι είαι απή ρίζα του δ ( ), το ατίστοιχο ιδιοδιάυσµα είαι ΙΙΙ έας πίακας είαι ατιστρέψιµος, όπου Λύση : Ι Στη ορίζουσα C δε έχει ποαπή ιδιοτιµή ακριβώς ότα ο πίακας δ ( C ) det ( I C ) C είαι ο συοδεύω πίακας του δ ( ) = det α α +α T,,

13 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 3 από 5 ποαπασιάζοτας τη η στήη επί, τη 3 η στήη επί,, και τη - στή επί και προσθέτοτας όες στη η στήη, έχουµε C det ( I C) δ = = α α +α ΙΙ Επειδή + + =α( )( ) =α( )( ) ( ) =α( ) O είαι ρίζα του πουωύµου δ ( ) δ ( ) = και για το C C διάυσµα T έχουµε = α α α C = = ΙΙΙ Σύµφωα µε τη άσκηση 55 ο πίακας ( C ) ότα τα πουώυµα πουώυµο δ ( ) δ είαι οµαός ακριβώς δ ( ) και δ ( ) δε έχου κοιή ρίζα, δηαδή το δε έχει ποαπή ιδιοτιµή Άσκηση 57 Α, είαι ιδιοτιµές του πίακα µε ατίστοιχα ιδιοδιαύσµατα x, x, αποδείξατε ότι το διάυσµα ux+ cx είαι ιδιοδιάυσµα του ακριβώς ότα = Λύση : Από τις εξισώσεις x = x και x = x έχουµε u x + c x x + c x

14 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 4 από 5 Α = =, τότε u = ( c x + c x ) = u, δηαδή u είαι ιδιοδιάυσµα του Ατίστροφα, α u = u, έχουµε c x + c x x + c x c x + c x = Επειδή τα διαύσµατα και x είαι γραµµικά αεξάρτητα συµπεραίουµε x c = =, = = Άσκηση 58 Για κάθε πραγµατικό συµµετρικό και ορθογώιο πίακα α βρεθεί η µορφή του χαρακτηριστικού του πουωύµου Λύση : Για το συµµετρικό πίακα οι ιδιοτιµές και για το ορθογώιο πίακα = Συεπώς, οι ιδιοτιµές συµµετρικού και ορθογωίου πίακα είαι =±, το δε χαρακτηριστικό του πουώυµο θα είαι της µορφής σ δ = + τ, όπου σ+τ= Άσκηση 59 Αποδείξατε ότι α B B =, τότε det = Λύση : Έστω ότι ο πίακας είαι ατιστρέψιµος Από τη ισότητα ( = = = = B B B B I tr B B tr I tr B tr B Επειδή οι πίακες B και B είαι όµοιοι, έχου τις ίδιες ιδιοτιµές, δηαδή, ) tr B= tr ( B και από τη τεευταία ισότητα συµπεραίουµε =, άτοπο Άρα, de t = )

15 Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα 5 από 5 Άσκηση 5 Αποδείξατε ότι κάθε τετραγωικός πίακας είαι άθροισµα δύο ατιστρέψιµω πιάκω Λύση : Έστω ότι ο πίακας και ο αριθµός k δε είαι ιδιοτιµή του ούτε του, δηαδή, k σ σ( ) Τότε οι πίακες + k I και k I είαι ατιστρέψιµοι και = ( + ki) + ( ki )