Πεξηερόκελα. Σρήκαηα. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-1

Transcript

1 Πεξηερόκελα 4. ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ - ΚΟΠΧΖ ΛΤΓΗΜΟ Δηζαγσγή Παξαδείγκαηα απώιεηαο επζηάζεηαο Φνξηίν Euler Ακθηέξηζηε Γνθόο Φνξηίν Euler Μνλόπαθηε Γνθόο Φνξηίν Euler Ακθίπαθηε Γνθόο Φνξηίν Euler Πξόβνινο Αλαθεθαιαίσζε Σηκώλ Κξίζηκνπ θνξηίνπ Πεξηνξηζκνί ησλ ζρέζεσλ ηνπ Euler ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΦΟΡΣΗΔΗ Δηζαγσγή Σύπνη Φνξηίζεσλ Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Δηζαγσγή Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Μεηαθίλεζε ηήξημεο Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Σαιάλησζε ζπζηήκαηνο ρσξίο απόζβεζε (vibratin f undamed system) Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Σαιάλησζε ζπζηήκαηνο κε απόζβεζε (vibratin f damed system) Απόθξηζε ζπζηήκαηνο ρσξίο απόζβεζε ζε αξκνληθή θόξηηζε (Resnse t Harmnic Lading f undamed system) Απόθξηζε ζπζηήκαηνο κε απόζβεζε ζε αξκνληθή θόξηηζε (Resnse t Harmnic Lading f damed system) ΚΟΠΧΖ Δηζαγσγή Οιηγνθπθιηθή - Πνιπθπθιηθή Κόπσζε Όξην θόπσζεο Γηάγξακκα Wöhler Καλόλαο ηνπ Miner Παξάγνληεο πνπ επεξεάδνπλ ηελ δηάξθεηα δσήο έλαληη θόπσζεο Σρήκαηα Υ. 4.1: ΑΣΟΥΗΑ ΔΝΑΝΣΗ ΘΛΗΦΖ ΣΗΒΑΡΟΤ ΓΗΑΣΟΜΖ ΜΖ ΔΤΑΗΘΖΣΖ Δ ΛΤΓΗΜΟ. 4-3 Υ. 4.: ΑΣΟΥΗΑ ΔΝΑΝΣΗ ΘΛΗΦΖ ΓΗΑΣΟΜΖ ΔΤΑΗΘΖΣΖ Δ ΛΤΓΗΜΟ. 4-4 Υ. 4.3: ΣΤΠΟΗ ΑΣΟΥΗΑ Δ ΛΤΓΗΜΟ (A) ΠΛΖΡΧ ΚΑΜΠΣΗΚΟ (B) + (C) ΣΡΔΠΣΟΚΑΜΠΣΗΚΟ (D) ΠΛΖΡΧ ΣΡΔΠΣΗΚΟ. 4-5 Υ. 4.4: ΓΗΑΣΟΜΔ ΠΟΤ ΠΑΡΟΤΗΑΕΟΤΝ ΓΗΑΦΟΡΔ ΜΟΡΦΔ ΛΤΓΗΜΟΤ. 4-5 Υ. 4.5: ΣΟΠΗΚΟ ΛΤΓΗΜΟ ΛΔΠΣΟΣΟΗΥΖ ΚΟΗΛΖ ΣΔΣΡΑΓΧΝΗΚΖ ΓΗΑΣΟΜΖ. 4-6 Υ. 4.6: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΠΟΚΔΗΜΔΝΖ Δ ΘΛΗΦΖ. 4-7 Υ. 4.7: ΜΟΝΟΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΤΠΟΚΔΗΜΔΝΖ Δ ΘΛΗΦΖ. 4-9 Υ. 4.8: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΤΠΟΚΔΗΜΔΝΖ Δ ΘΛΗΦΖ (ΓΗΑΚΔΤΖ ΑΠΟ OOV) Υ. 4.9: ΠΡΟΒΟΛΟ ΤΠΟΚΔΗΜΔΝΟ Δ ΘΛΗΦΖ. 4-1 Υ. 4.10: ΗΟΓΤΝΑΜΑ ΜΖΚΖ ΛΤΓΗΜΟΤ ΓΗΑ ΓΟΚΟΤ ΜΔ ΓΗΑΦΟΡΔΣΗΚΔ ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ Υ. 4.11: ΥΑΡΑΚΣΖΡΗΣΗΚΑ ΚΑΗ ΠΖΓΔ ΣΤΠΗΚΧΝ ΓΤΝΑΜΗΚΧΝ ΦΟΡΣΗΔΧΝ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΧΝ (A) ΑΠΛΖ ΑΡΜΟΝΗΚΖ (B) ΤΝΘΔΣΖ ΑΡΜΟΝΗΚΖ (C) ΜΖ ΠΔΡΗΟΓΗΚΖ ΚΡΟΤΣΗΚΖ (D) ΜΔΓΑΛΖ ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΑΠΔΡΗΟΓΗΚΖ Υ. 4.1: ΗΓΔΑΣΟ ΜΟΝΟΒΑΘΜΗΟ ΤΣΖΜΑ (A) ΒΑΗΚΑ ΔΠΗΜΔΡΟΤ ΣΟΗΥΔΗΑ (B) ΓΤΝΑΜΔΗ Δ ΗΟΡΡΟΠΗΑ Υ. 4.13: ΣΑΣΗΚΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ ΓΤΝΑΜΗΚΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ. 4-0 Υ. 4.14: ΔΠΗΡΡΟΖ ΣΖ ΜΔΣΑΚΗΝΖΖ ΣΖ ΣΖΡΗΞΖ ΣΖΝ ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΜΟΝΟΒΑΘΜΗΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ (A) ΚΗΝΖΖ ΣΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ ΚΑΗ (B) ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΣΧΝ ΓΤΝΑΜΔΧΝ. 4-1 Υ. 4.15: ΔΛΔΤΘΔΡΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ ΤΣΖΜΑΣΟ. 4-3 Υ. 4.16: ΔΛΔΤΘΔΡΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ ΚΡΗΗΜΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ. 4-4 Υ. 4.17: ΔΛΔΤΘΔΡΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ ΚΡΗΗΜΧΝ ΤΣΖΜΑΣΧΝ ΜΔ ΓΗΑΦΟΡΔΣΗΚΔ ΣΗΜΔ ΑΡΥΗΚΧΝ ΤΝΘΖΚΧΝ. 4-5 Υ. 4.18: ΔΛΔΤΘΔΡΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ ΤΠΟ-ΚΡΗΗΜΧΝ ΤΣΖΜΑΣΧΝ ΜΔ ΓΗΑΦΟΡΔΣΗΚΔ ΣΗΜΔ ΣΟΤ Ξ. 4-6 Υ. 4.19: ΔΛΔΤΘΔΡΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ ΤΠΔΡ-ΚΡΗΗΜΧΝ ΤΣΖΜΑΣΧΝ ΜΔ ΓΗΑΦΟΡΔΣΗΚΔ ΣΗΜΔ ΣΟΤ Ξ. 4-7 Υ. 4.0: ΤΓΚΡΗΖ ΔΛΔΤΘΔΡΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ ΤΠΔΡ-ΚΡΗΗΜΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ ΜΔ Ξ=10% ΚΑΗ ΔΝΟ ΚΡΗΗΜΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ. 4-7 Υ. 4.1: ΤΓΚΡΗΖ ΔΞΑΝΑΓΚΑΜΔΝΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ (ΚΟΚΚΗΝΖ ΓΡΑΜΜΖ Β=1.01, ΜΠΛΔ ΓΡΑΜΜΖ Β=1.50, ΜΑΤΡΖ ΓΡΑΜΜΖ Β=.0) ΓΗΑ ΓΗΑΦΟΡΔ ΑΡΥΗΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΚΑΗ Ω=1, K=1, 0= Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-1

2 Υ. 4.: ΤΓΚΡΗΖ ΔΞΑΝΑΓΚΑΜΔΝΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ (ΚΟΚΚΗΝΖ ΓΡΑΜΜΖ Β=10, ΜΠΛΔ ΓΡΑΜΜΖ Β=5, ΜΑΤΡΖ ΓΡΑΜΜΖ Β=) ΓΗΑ Ω=1, K=1, 0= Υ. 4.3: ΤΓΚΡΗΖ ΔΞΑΝΑΓΚΑΜΔΝΖ ΣΑΛΑΝΣΧΖ (ΚΟΚΚΗΝΖ ΓΡΑΜΜΖ Β=0.10, ΜΠΛΔ ΓΡΑΜΜΖ Β=0.0, ΜΑΤΡΖ ΓΡΑΜΜΖ Β=0.5) ΓΗΑ Ω=1, K=1, 0= Υ. 4.4: ΤΝΣΔΛΔΣΖ ΜΔΓΔΘΤΝΖ D 4-33 Υ. 4.5: ΓΗΑΦΟΡΑ ΦΑΖ Θ Υ. 4.6: ΜΟΝΟΒΑΘΜΗΟ ΤΣΖΜΑ ΜΔ ΑΠΟΒΔΖ Υ. 4.7: ΑΠΟΚΡΗΖ ΤΣΖΜΑΣΟ (ΚΟΚΚΗΝΖ ΓΡΑΜΜΖ ΑΠΟΚΡΗΖ, ΜΠΛΔ ΓΡΑΜΜΖ ΣΑΥΤΣΖΣΑ, ΜΑΤΡΖ ΓΡΑΜΜΖ ΔΠΗΣΑΥΤΝΖ) 4-35 Υ. 4.8: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ WOHLER Υ. 4.9: ΟΡΗΜΟΗ, ΔΤΡΟΤ ΣΑΖ (ΓS), ΔΝΑΛΛΑΟΜΔΝΖ ΣΑΖ (SA), ΜΔΖ ΣΑΖ (SM), ΔΛΑΥΗΣΖ ΣΑΖ (SMIN), ΜΔΓΗΣΖ ΣΑΖ (SMAX), ΛΟΓΟΤ ΣΧΝ ΣΑΔΧΝ (R), ΛΟΓΟΤ ΔΝΑΛΛΑΟΜΔΝΖ ΣΑΖ ΚΑΗ ΚΤΚΛΟΤ ΦΟΡΣΗΖ Υ. 4.30: ΑΣΟΥΗΑ ΛΟΓΧ ΚΟΠΧΖ ΓΟΚΗΜΗΟΤ ΑΠΟ ΑΛΟΤΜΗΝΗΟ Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-

3 4. Equatin Ch ater 4 Sectin 1ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ - ΚΟΠΩΣΗ 4.1. Λσγισμός Εηζαγωγή Ζ επηινγή ησλ δνκηθώλ ζηνηρείσλ ζε έλαλ θνξέα θαζνξίδεηαη από ηξεηο παξάγνληεο, ηελ αληνρή, ηε ζηηβαξόηεηα θαη ηελ επζηάζεηα. ηα πξνεγνύκελα θεθάιαηα παξνπζηάζηεθαλ ιεπηνκεξώο εληαηηθέο θαηαζηάζεηο ππό επζηαζή ηζνξξνπία. Γελ είλαη όκσο όια ηα δνκηθά ζπζηήκαηα θαη αλάγθε επζηαζή. Σππηθό παξάδεηγκα απνηειεί κία ζηδεξά ξάβδνο θπθιηθήο δηαηνκήο δηακέηξνπ D=0mm. Αλ ε ξάβδνο απηή έρεη κήθνο L=50mm (ρ. 4.1) θαη εληαζεί ζιηπηηθά, ζέκα επζηάζεηαο δελ ηίζεηαη θαη ε ξάβδνο έρεη ηελ ηθαλόηεηα λα παξαιάβεη ζεκαληηθό θνξηίν πξηλ ηελ αζηνρία ηεο. Αλ όκσο ξάβδνο ίδηαο δηαηνκήο θαη πιηθνύ θαη κήθνπο L=1000mm (ρ. 4.) θαη εληαζεί ζιηπηηθά, ηόηε ζε θνξηίν πνιύ κηθξόηεξν ηνπ θνξηίνπ αληνρήο ηεο πξνεγνύκελεο ξάβδνπ ε παξνύζα ξάβδνο ζα αζηνρήζεη ζε πιεπξηθό ιπγηζκό. Δίλαη πξνθαλέο όηη ε αληνρή θαη κόλνλ ηνπ πιηθνύ ππό ζπλζήθεο επζηαζνύο ηζνξξνπίαο δελ είλαη ηθαλή ζπλζήθε γηα λα εθηηκήζεη θαλείο ηελ όιε ζπκπεξηθνξά ηνπ δνκηθνύ ζηνηρείνπ. ε νξηζκέλα ζπζηήκαηα ηα ζέκαηα επζηάζεηαο είλαη πξσηεύνπζαο ζεκαζίαο. Δηαηνκή Επζηαζήο Κξίζηκή ε Αληνρή ηνπ Υιηθνύ Αξρηθή Καηάζηαζε Σειηθή Καηάζηαζε ρ. 4.1: Αζηνρία έλαληη ζιίςεο ζηηβαξνύο δηαηνκήο κε επαίζζεηεο ζε ιπγηζκό. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-3

4 Δηαηνκή Επαίζζεηε ζε ιπγηζκό Αξρηθή Καηάζηαζε Σειηθή Καηάζηαζε ρ. 4.: Αζηνρία έλαληη ζιίςεο δηαηνκήο επαίζζεηεο ζε ιπγηζκό Παξαδείγκαηα απώιεηαο επζηάζεηαο Σν θαηλόκελν ηνπ ιπγηζκνύ παξνπζηάδεηαη θαηά ηελ εκθάληζε ζιηπηηθώλ εληάζεσλ. Ο ιπγηζκόο κπνξεί λα είλαη πιήξωο θακπηηθόο, ζηξεπηνθακπηηθόο θαη πιήξωο ζηξεπηηθόο (ρ. 4.3). Οη δηαηνκέο ηνπ ρ. 4.4a όπνπ ην Κέληξν Βάξνπο θαη ην Κέληξν Γηάηκεζεο ζπκπίπηνπλ, παξαηεξείηαη είηε πιήξσο θακπηηθόο είηε πιήξσο ζηξεπηηθόο ιπγηζκόο. Σν πξώην ζπκβαίλεη αλ ε δπζηξεςία ηεο δηαηνκήο είλαη κεγαιύηεξε ηεο δπζθακςίαο ηεο (όπσο ζηελ πεξίπησζε ησλ πξόηππσλ δηαηνκώλ δηπινύ ηαύ) θαη ην δεύηεξν ζπκβαίλεη εθόζνλ ε δπζηξεςία ηεο δηαηνκήο ππνιείπεηαη ηεο δπζθακςίαο ηεο (όπσο ζηελ πεξίπησζε ησλ ζηαπξνεηδώλ δηαηνκώλ). ηηο δηαηνκέο ηνπ ρ. 4.4b θαη ρ. 4.4c ην Κέληξν Βάξνπο κε ην Κέληξν Γηάηκεζεο δελ ζπκπίπηνπλ. Γηα ηηο δηαηνκέο ηνπ ρ. 4.4b ζα εκθαληζηεί πιήξσο θακπηηθόο ιπγηζκόο αλ ε ειάρηζηε δπζθακςία ηεο δηαηνκήο είλαη κηθξόηεξε ηεο δπζηξεςίαο ηεο, δηαθνξεηηθά ζα εκθαληζηεί ζηξεπηνθακπηηθόο ιπγηζκόο. Σέινο γηα ηηο δηαηνκέο ηνπ ρ. 4.4c παξαηεξείηαη πιήξσο ζηξεπηηθόο ιπγηζκόο. ε πνιιέο εθαξκνγέο ζηελ επηζηήκε ηνπ Μεραληθνύ ηα κέιε πνπ ππόθεηληαη ζε ζιηπηηθέο εληάζεηο έρνπλ θνίιεο δηαηνκέο. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-4

5 ρ. 4.3: Σύπνη Αζηνρίαο ζε ιπγηζκό (a) πιήξσο θακπηηθόο (b) + (c) ζηξεπηνθακπηηθόο (d) πιήξσο ζηξεπηηθόο 1. ρ. 4.4: Γηαηνκέο πνπ παξνπζηάδνπλ δηαθνξέο κνξθέο ιπγηζκνύ. Αλ ην πάρνο κίαο δηαηνκήο είλαη κηθξό ηα ηκήκαηα ηνπ κέινπο, σο ζηνηρεία πιάθαο, κπνξνύλ λα αζηνρήζνπλ ηνπηθά ζε δπζδηάζηαην ιπγηζκό - ήβσζε (ρ. 4.5). ην ζπγθεθξηκέλν θεθάιαην ζα εμεηαζηεί κόλνλ ε πεξίπησζε ηνπ πιήξσο θακπηηθνύ ιπγηζκνύ θαζώο ζα ζεσξεζεί όηη ην πάρνο ησλ ηνηρσκάησλ ησλ δηαηνκώλ είλαη επαξθώο κεγάιν ώζηε λα απνθιείεηαη ε πεξίπησζε ηεο εκθάληζεο είηε ζηξεπηνθακπηηθνύ είηε πιήξσο ζηξεπηηθνύ ιπγηζκνύ. 1 v, E. (1990) Engineering Mechanics f Slids, rentice Hall v, E. (1990) Engineering Mechanics f Slids, rentice Hall Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-5

6 ρ. 4.5: Σνπηθόο ιπγηζκόο ιεπηόηνηρεο θνίιεο ηεηξαγσληθήο δηαηνκήο Φνξηίν Euler Ακθηέξηζηε Δνθόο Έζησ ε ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 4.6a. Έζησ όηη ζηε δνθό απηή παξαηεξείηαη θακπηηθόο ιπγηζκόο κε απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε βέινπο (απόθιηζε από ηνλ άμνλα Υ ηνπ Ο.Α.). Λόγσ απηνύ ηνπ βέινπο εκθαλίδεηαη ξνπή κε απόιπηε ηηκή ίζε κε *υ όπνπ υ ην βέινο θάκςεο ηεο δηαηνκήο θαη ην αμνληθό θνξηίν (ρ. 4.6b). H νξζή ηάζε πνπ αλαπηύζζεηαη ιόγσ ξνπήο δίδεηαη από ηε ζρέζε: M I z y (4.1) Καζώο ε θνξά ηεο ξνπήο είλαη ηέηνηα πνπ παξνπζηάδεηαη εθειθπζκόο ησλ ηλώλ κε ζεηηθή ηηκή y ε ξνπή πνπ αλαπηύζζεηαη ζα παξνπζηάδεη αξλεηηθό πξόζεκν. Βάζεη ηεο ζρέζεο (4.1) έρνπκε: z Ζ ζρέζε (4.) γξάθεηαη σο: d M dx EI EI (4.) 3 v, E. (1990) Engineering Mechanics f Slids, rentice Hall Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-6

7 d d (4.3) dx EI dx 0 0 EI ρ. 4.6: Ακθηέξηζηε Γνθόο Τπνθείκελε ζε Θιίςε 4. Ζ δηαθνξηθή εμίζσζε (4.3) είλαη αληίζηνηρε απηήο ηεο απιήο αξκνληθήο θίλεζεο θαη ε γεληθή ιύζε ηεο δίδεηαη σο: Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηεο ζρέζεο (4.4) δίδνληαη σο: Ζ ιύζε ηεο (4.6) καο νδεγεί ζηε ζρέζε: x Asin x B cs x (4.4) x Asin 0 Bcs 0 0 B cs 0 0 B 0 x A sin x (4.5) x L 0 L Asin L 0 (4.6) A L L sin 0 sin 0 A0 Από ηε ζρέζε (4.7) ην θξίζηκν θνξηίν δίδεηαη σο: L L L n (4.7) 4 v, E. (1990) Engineering Mechanics f Slids, rentice Hall Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-7

8 Γηα n=1 ε ζρέζε (4.8) γξάθεηαη σο: EI L n L n n cr cr (4.8) EI L EI EI L cr (4.9) Σν νπνίν θαη είλαη ην θνξηίν ιπγηζκνύ ακθηέξηζηεο δνθνύ. Ζ ζρέζε (4.9) είλαη γλσζηή σο θαη ε ζρέζε ηνπ Euler πξνο ηηκή ηνπ Μαζεκαηηθνύ Lenard Euler ν νπνίνο θαη θαηέιεμε ζηε ζρέζε απηή ην Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζρέζεο (4.8) πνπ απνηειεί θαη ηε κε κεδεληθή εθθπιηζκέλε ιύζε (nn degenerated slutin) γηα n=1, n= θαη n=3 παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 4.6c, ρ. 4.6d θαη ρ. 4.6e αληίζηνηρα Φνξηίν Euler Μνλόπαθηε Δνθόο Έζησ ε κνλόπαθηε δνθόο ηνπ ρ Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: x M M 1 (4.10) L Ζ ζρέζε (4.) γξάθεηαη σο: Ζ ζρέζε (4.11) γξάθεηαη σο: dx EI EI d M M 1 xl (4.11) 1x L d 1x L d M M dx EI dx EI 0 d M d M dx dx 1 xl 0 1 xl (4.1) Ζ νκνγελήο ιύζε ηεο δηαθνξηθήο ηεο ζρέζεο (4.1) είλαη απηή ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ. Ζ κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο δίδεηαη σο: M x 1 xl (4.13) Ζ ιύζε ηεο ζρέζεο (4.13) απνηειεί ιύζε ηεο δηαθνξηθήο θαζώο: M d x x 1 xl θαη 0 dx (4.14) d x M x 1 xl dx ὅπεξ ἔδεη δεῖμαη. Ζ ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο σο ζπλδπαζκόο ηεο κεξηθήο θαη νκνγελνύο ιύζεο γξάθεηαη σο: M x sin cs h x x A x B x 1 xl (4.15) Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-8

9 ρ. 4.7: Μνλόπαθηε Γνθόο Τπνθείκελε ζε Θιίςε 5. Άγλσζηεο πνζόηεηεο ηεο ζρέζεο (4.15) είλαη νη κεηαβιεηέο Α, Β θαη Μ ν. Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο δίδνληαη σο: M x 0 0 Asin 0 Bcs 0 0 M M B 0 B (4.16) x L 0 Asin L Bcs L 0 (4.17) d M x 0 0 A cs 0 B sin 0 0 dx L M M A 0 A L L Ζ αληηθαηάζηαζε ηεο ζρέζεσλ (4.16) θαη (4.18) ζηε ζρέζε (4.17) νδεγεί ζηε ζρέζε: Ζ νπνία γξάθεηαη σο: (4.18) M M Asin L Bcs L 0 sin L cs L 0 (4.19) L M M M L sin L cs L tan L tan L L (4.0) L M Ζ κηθξόηεξε ιύζε ηεο ζρέζεο (4.0) είλαη ε ιl θαη ην θξίζηκν θνξηίν δίδεηαη σο: cr EI EI.05.0 cr (4.1) L L Φνξηίν Euler Ακθίπαθηε Δνθόο Έζησ ε ακθίπαθηε δνθόο ηνπ ρ Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: 5 v, E. (1990) Engineering Mechanics f Slids, rentice Hall Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-9

10 Ζ ζρέζε (4.) γξάθεηαη σο: x x M M 1 M M L L (4.) Ζ ζρέζε (4.3) γξάθεηαη σο: d M M (4.3) dx EI EI d M d M 0 dx EI dx EI (4.4) d M d M 0 dx dx Ζ νκνγελήο ιύζε ηεο δηαθνξηθήο ηεο ζρέζεο (4.4) είλαη απηή ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ. Ζ κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο δίδεηαη σο: M x (4.5) Ζ ιύζε ηεο ζρέζεο (4.5) απνηειεί ιύζε ηεο δηαθνξηθήο θαζώο: M d x x θαη 0 dx (4.6) d x M x dx ὅπεξ ἔδεη δεῖμαη. Άξα ε ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο γξάθεηαη σο: M x hx x Asin x Bcs x (4.7) Άγλσζηεο πνζόηεηεο ηεο ζρέζεο (4.7) είλαη νη κεηαβιεηέο Α, Β θαη Μ ν. Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο δίδνληαη σο: M x 0 0 Asin 0 Bcs 0 0 (4.8) M M B 0 B x L 0 Asin L Bcs L 0 (4.9) d x 0 0 A cs 0 B sin 0 0 A 0 (4.30) dx Ζ αληηθαηάζηαζε ηεο ζρέζεσλ (4.8) θαη (4.30) ζηε ζρέζε (4.9) νδεγεί ζηε ζρέζε: M M M Bcs L 0 cs L 0 (4.31) Ζ νπνία γξάθεηαη σο: cs L1 0 cs L 1 (4.3) M Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-10

11 Ζ κηθξόηεξε κε κεδεληθή ιύζε ηεο ζρέζεο (4.3) είλαη ε ιl=*π θαη ην θξίζηκν θνξηίν δίδεηαη σο: cr EI 4 (4.33) L ρ. 4.8: Ακθίπαθηε Γνθόο Τπνθείκελε ζε Θιίςε (δηαζθεπή από v 6 ) Φνξηίν Euler Πξόβνινο 7 Έζησ ν πξόβνινο ηνπ ρ Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: Ζ ζρέζε (4.) γξάθεηαη σο: M M (4.34) Ζ ζρέζε (4.11) γξάθεηαη σο: d M M (4.35) dx EI EI M M d d 0 dx EI dx EI d M d M 0 dx dx (4.36) Ζ νκνγελήο ιύζε ηεο δηαθνξηθήο ηεο ζρέζεο (4.36) είλαη απηή ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ. Ζ κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο δίδεηαη σο: M x (4.37) Ζ ιύζε ηεο ζρέζεο (4.37) απνηειεί ιύζε ηεο δηαθνξηθήο θαζώο: 6 v, E. (1990) Engineering Mechanics f Slids, rentice Hall 7 Timshenk, S. Gere, J.M., (1961) Thery f Elastic Stability, nd Editin, McGraw-Hill Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-11

12 M d x x θαη 0 dx (4.38) d x M x dx ὅπεξ ἔδεη δεῖμαη. Άξα ε ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο γξάθεηαη σο: M x hx x Asin x Bcs x (4.39) Y M M M ρ. 4.9: Πξόβνινο Τπνθείκελνο ζε Θιίςε. Άγλσζηεο πνζόηεηεο ηεο ζρέζεο (4.39) είλαη νη κεηαβιεηέο Α, Β θαη Μ ν. Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο δίδνληαη σο: Ζ ζρέζε (4.4) γξάθεηαη σο: M x 0 0 Asin 0 cs 0 0 M M cs 0 (4.40) d x 0 0 A cs 0 B sin 0 0 A 0 (4.41) dx M M M M x L cs L (4.4) cs L1 1 cs L 0 (4.43) Ζ κηθξόηεξε κε κεδεληθή ιύζε ηεο ζρέζεο (4.43) είλαη ε ιl=π/ θαη ην θξίζηκν θνξηίν δίδεηαη σο: cr EI (4.44) 4L Ζ ηηκή απηή είλαη πξαθηηθά ην 5% (ήηνη ην έλα ηέηαξην) ηεο ηηκήο ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ ηδίνπ πξαγκαηηθνύ κήθνπο. X Αλαθεθαιαίωζε Τηκώλ Κξίζηκνπ θνξηίνπ ην ρ. 4.10, παξνπζηάδνληαη ηα ηζνδύλακα κήθε ιπγηζκνύ γηα κία δνθό αλαιόγσο ησλ ζπλνξηαθώλ ζπλζεθώλ. Σν ηζνδύλακν κήθνο ιπγηζκνύ πξνθύπηεη σο ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ ζεκείσλ θακπήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ή κε άιια ιόγηα (θαζώο ηα ζεκεία θακπήο κία θακπύιεο Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-1

13 είλαη θαη ηα ζεκεία ζηα νπνία κεδελίδεηαη ε δεύηεξε παξάγσγνο) ην κήθνο ιπγηζκνύ πξνθύπηεη σο ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ ζεκείσλ κεδεληζκνύ ηεο θακπηηθήο ξνπήο. ρ. 4.10: Ηζνδύλακα Μήθε Λπγηζκνύ γηα δνθνύο κε δηαθνξεηηθέο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο Πεξηνξηζκνί ηωλ ζρέζεωλ ηνπ Euler Καζώο γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ θξίζηκνπ θνξηίνπ ρξεζηκνπνηήζεθε ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηελ θακπηηθή ξνπή κε ηε ε παξάγσγν ηνπ βέινπο νη ζρέζεηο ηνπ Euler έρνπλ ηζρύ ζηελ Διαζηηθή Πεξηνρή θαη κόλνλ. Γηαηξώληαο ηε ζρέζε ηνπ θξίζηκνπ θνξηίνπ ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ (ζρέζε (4.9)) κε ηελ επηθάλεηα ηεο δηαηνκήο Α θαη ιακβάλνληαο ππόςε όηη ε ειάρηζηε ξνπή αδξάλεηαο κπνξεί λα γξαθεί σο I i A όπνπ i min είλαη ε ειάρηζηε αθηίλα αδξαλείαο ηεο δηαηνκήο min min θαηαιήγνπκε ζηε ζρέζε ηεο θξίζηκεο ηάζεο ζ cr : E cr L i min (4.45) Όπνπ ν ιόγνο L/i min είλαη κία αδηάζηαηε πνζόηεηα θαη νξίδεηαη σο ε ιπγεξόηεηα (ι) ηεο δηαηνκήο. Καζώο νη ηύπνη ηνπ Euler δελ έρνπλ ηζρύ γηα θαηαπόλεζε πέξαλ ηεο ειαζηηθήο πεξηνρήο ε θξίζηκε ηάζε ζ cr δελ κπνξεί λα ππεξβεί ηε ηάζε δηαξξνήο (ή αλαινγίαο) νπόηε θαη νη ζρέζεηο απηέο έρνπλ εθαξκνγή κόλνλ γηα cr y. Ζ ζρέζε (4.45) κπνξεί λα γξαθεί σο: 8 v, E. (1990) Engineering Mechanics f Slids, rentice Hall Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-13

14 E k L cr 0.5 k.0 (4.46) k L imin i min Όπνπ ν ζπληειεζηήο k ζρεηίδεηαη κε ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη θπκαίλεηαη από κία ηηκή ίζε κε 0.5 (γηα ακθίπαθηε δνθό) σο ηηκή ίζε κε.0 (γηα πξόβνιν). 1 ν Παξάδεηγκα Οξζνγωληθή Τεηξαγωληθή Κπθιηθή Κνίιε Κπθιηθή δηαηνκή (ζπγθξίζεηο) Γηα νξζνγσληθή δηαηνκή δηαζηάζεσλ b=0.0m θαη h=0.05m από ράιπβα λα βξεζεί ην κηθξόηεξν κήθνο ακθηέξηζηεο δνθνύ γηα ην νπνίν έρεη ηζρύ ε ζρέζε ηνπ Euler. Ζ ηάζε δηαξξνήο ηνπ πιηθνύ ζεσξείηαη ίζε κε σ=35ma θαη ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο ζεσξείηαη ίζν κε E=10Ga. Ζ επηθάλεηα ηεο δηαηνκήο δίδεηαη σο: A bh m Ζ ηηκή ηεο κηθξόηεξεο ξνπήο αδξάλεηαο ηεο δηαηνκήο δίδεηαη σο: Ζ ειάρηζηε αθηίλα αδξάλεηαο δίδεηαη σο: I hb /1 I /1 I m i I A 8 min min m Λύλνληαο ηε ζρέζε (4.45) σο πξνο L θαη εμηζώλνληαο ηελ θξίζηκε ηάζε κε ηε ηάζε δηαξξνήο ηνπ πιηθνύ είλαη δπλαηό λα ππνινγηζζεί ην ειάρηζην κήθνο ηεο δνθνύ σο: cr E Ei min E y L min imin L Lmin y i min L min Lmin 0.54m 35 Γειαδή αλ ην κήθνο ηεο δνθνύ είλαη κεγαιύηεξν ησλ 0.54m ε δνθόο ζα ιπγίζεη πξηλ εμαληιεζεί πιήξσο ε αληνρή ηεο. Αλ ε δηαηνκή ήηαλ ηεηξαγσληθή κε ηελ ίδηα επηθάλεηα (άξα θαη ηελ ίδηα πνζόηεηα πιηθνύ αλά κέηξν κήθνπο) ε δηάζηαζε a ηεο δηαηνκήο δίδεηαη από ηε ζρέζε σο: A a a A a m Οπόηε ε αθηίλα αδξαλείαο δίδεηαη σο: a i i m 1 1 Σν ειάρηζην κήθνο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: 3 E 1010 L i L L 0.858m min min min min y 35 Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-14

15 Γειαδή ζηελ πεξίπησζε ηεο ηεηξαγσληθήο δηαηνκήο αλ ην κήθνο ηεο δνθνύ είλαη κεγαιύηεξν ησλ 0.858m ε δνθόο ζα ιπγίζεη πξηλ εμαληιεζεί πιήξσο ε αληνρή ηεο. Ζ ηηκή απηή είλαη κεγαιύηεξε ηεο ηηκήο ηεο νξζνγσληθήο δηαηνκήο. Αλ ε δηαηνκή ήηαλ θπθιηθή κε ηελ ίδηα επηθάλεηα (άξα θαη ηελ ίδηα πνζόηεηα πιηθνύ αλά κέηξν κήθνπο) ε αθηίλα ηεο δηαηνκήο R δίδεηαη από ηε ζρέζε σο: A R R A R m Οπόηε ε αθηίλα αδξαλείαο δίδεηαη σο: R i i m Σν ειάρηζην κήθνο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: 3 E 1010 L i L L 0.838m min min min min y 35 Γειαδή ζηελ πεξίπησζε ηεο θπθιηθήο δηαηνκήο αλ ην κήθνο ηεο δνθνύ είλαη κεγαιύηεξν ησλ 0.838m ε δνθόο ζα ιπγίζεη πξηλ εμαληιεζεί πιήξσο ε αληνρή ηεο. Ζ ηηκή απηή είλαη κεγαιύηεξε ηεο ηηκήο ηεο νξζνγσληθήο δηαηνκήο αιιά δελ ππεξβαίλεη ηε ηηκή ηεο ηεηξαγσληθήο δηαηνκήο. Σέινο αλ ε δηαηνκή ήηαλ θνίιε θπθιηθή κε ηελ ίδηα επηθάλεηα (άξα θαη ηελ ίδηα πνζόηεηα πιηθνύ αλά κέηξν κήθνπο) θαη ιόγν R/t=0 ε αθηίλα ηεο δηαηνκήο R δίδεηαη από ηε ζρέζε σο: R A tr A R 0 A R m 0 Οπόηε ε αθηίλα αδξαλείαο δίδεηαη σο: R i i m Σν ειάρηζην κήθνο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: 3 E 1010 L i L L 5.301m min min min min y 35 Γειαδή ζηελ πεξίπησζε ηεο θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο αλ ην κήθνο ηεο δνθνύ είλαη κεγαιύηεξν ησλ 5.301m ε δνθόο ζα ιπγίζεη πξηλ εμαληιεζεί πιήξσο ε αληνρή ηεο. Ζ ηηκή απηή είλαη κεγαιύηεξε ηόζν ηεο ηηκήο ηεο νξζνγσληθήο δηαηνκήο όζν θαη ηεο ηηκήο ηεο ηεηξαγσληθήο δηαηνκήο θαη βέβαηα θαη ηεο ηηκήο ηεο θπθιηθήο δηαηνκήο. ν Παξάδεηγκα Οξζνγωληθή Κπθιηθή Κνίιε Κπθιηθή δηαηνκή (ζπγθξίζεηο γηα πξόβνιν) Γηα νξζνγσληθή δηαηνκή δηαζηάζεσλ b=0.0m θαη h=0.05m από ράιπβα λα βξεζεί ην κηθξόηεξν κήθνο πξνβόινπ γηα ην νπνίν έρεη ηζρύ ε ζρέζε ηνπ Euler. Ζ ηάζε δηαξξνήο ηνπ πιηθνύ θαη ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο ιακβάλνληαη ίζα κε σ=35ma θαη E=10Ga. Ζ ειάρηζηε αθηίλα αδξάλεηαο όπσο πξνεγνπκέλσο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-15

16 i I A 8 min min m Λύλνληαο ηε ζρέζε (4.46) κε k= (πξόβνινο) σο πξνο L θαη εμηζώλνληαο ηελ θξίζηκε ηάζε κε ηε ηάζε δηαξξνήο ηνπ πιηθνύ είλαη δπλαηό λα ππνινγηζζεί ην ειάρηζην κήθνο ηεο δνθνύ σο: cr E Ei min E y L min imin k L k Lmin k y imin L min Lmin 0.71m 435 Γειαδή αλ ην κήθνο ηεο δνθνύ είλαη κεγαιύηεξν ησλ 0.71m ε δνθόο ζα ιπγίζεη πξηλ εμαληιεζεί πιήξσο ε αληνρή ηεο. Ζ ηηκή απηή όπσο ήηαλ αλακελόκελν είλαη ίζε κε ην κηζό ηεο ηηκήο ηνπ 1 νπ παξαδείγκαηνο. Αλ ε δηαηνκή ήηαλ ηεηξαγσληθή κε ηελ ίδηα επηθάλεηα ε αθηίλα αδξαλείαο όπσο πξνεγνπκέλσο δίδεηαη σο: a i i m 1 1 Σν ειάρηζην κήθνο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: 3 E 1010 L i L L 0.49m min min min min k y 435 Γειαδή ζηελ πεξίπησζε ηεο ηεηξαγσληθήο δηαηνκήο αλ ην κήθνο ηεο δνθνύ είλαη κεγαιύηεξν ησλ 0.49m ε δνθόο ζα ιπγίζεη πξηλ εμαληιεζεί πιήξσο ε αληνρή ηεο. Ζ ηηκή απηή είλαη κεγαιύηεξε ηεο ηηκήο ηεο νξζνγσληθήο δηαηνκήο. Σέινο αλ ε δηαηνκή ήηαλ θνίιε θπθιηθή κε ηελ ίδηα επηθάλεηα ε αθηίλα αδξαλείαο όπσο πξνεγνπκέλσο δίδεηαη σο: R i i m Σν ειάρηζην κήθνο ζηελ πεξίπησζε απηή δίδεηαη σο: 3 E 1010 L i L L.6505m min min min min k y 435 Γειαδή ζηελ πεξίπησζε ηεο θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο αλ ην κήθνο ηεο δνθνύ είλαη κεγαιύηεξν ησλ.6505m ε δνθόο ζα ιπγίζεη πξηλ εμαληιεζεί πιήξσο ε αληνρή ηεο. Ζ ηηκή απηή είλαη κεγαιύηεξε ηόζν ηεο ηηκήο ηεο νξζνγσληθήο δηαηνκήο όζν θαη ηεο ηηκήο ηεο ηεηξαγσληθήο δηαηνκήο θαη ίζε κε ην κηζό ηεο ηηκήο γηα ηελ αληίζηνηρε δηαηνκή ησλ δνθώλ ηνπ 1 νπ παξαδείγκαηνο. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-16

17 4.. Δσναμικές Φορτίσεις Εηζαγωγή Χο δπλακηθή θόξηηζε ραξαθηεξίδεηαη κία ρξνληθά κεηαβαιιόκελε θόξηηζε ε νπνία εληείλεη έλα δνκηθό ζύζηεκα θαηά ηξόπν ώζηε λα ζεσξείηαη απαξαίηεην ζηηο εμηζώζεηο ηζνξξνπίαο λα ζπλππνινγίδεηαη ε επηξξνή ησλ αδξαλεηαθώλ δπλάκεσλ θαη ησλ δπλάκεσλ απόζβεζεο (εθόζνλ παξαηεξείηαη απόζβεζε). ρεδόλ ην ζύλνιν ησλ δνκηθώλ ζπζηεκάησλ ζα βξεζνύλ αληηκέησπα κε θνξηίζεηο δπλακηθνύ ραξαθηήξα θάπνηα ζηηγκή θαηά ηε δηάξθεηα ηεο δσήο ηνπο. Γύν είλαη νη δηαζέζηκεο ζεσξήζεηο γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο απόθξηζεο κίαο θαηαζθεπήο ε νπνία βξίζθεηαη ζε δπλακηθή θαηαπόλεζε: Ζ ληεηεξκηληζηηθή (αηηηνθξαηηθή) ζεώξεζε όηαλ ε ρξνλντζηνξία ηεο θόξηηζεο είλαη γλσζηή κε απόιπηε αθξίβεηα θαη ε απόθξηζε ηεο θαηαζθεπήο δελ παξνπζηάδεη ηπραηόηεηα (δειαδή ηα δπλακηθά ραξαθηεξηζηηθά ηεο θαηαζθεπήο είλαη απνιύησο γλσζηά) θαη ε ζηνραζηηθή ζεώξεζε όπνπ είηε α) ε ρξνλντζηνξία ηεο θόξηηζεο δελ είλαη γλσζηή β) ηα δπλακηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζπζηήκαηνο δελ είλαη γλσζηά κε αθξίβεηα γ) ηόζν ε ρξνλντζηνξία ηεο θόξηηζεο όζν θαη ηα δπλακηθά ραξαθηεξηζηηθά δελ είλαη απνιύησο γλσζηά, αιιά κπνξνύλ λα νξηζηνύλ σο ζηαηηζηηθά κεηαβαιιόκελεο πνζόηεηεο. ην θεθάιαην απηό ζεσξείηαη όηη γηα ηελ θαηαζθεπή ε νπνία εληείλεηαη ιόγσ θάπνηαο δπλακηθήο θόξηηζεο ηα δπλακηθά ηεο ραξαθηεξηζηηθά ηεο θόξηηζεο απηήο όζν θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο θαηαζθεπήο είλαη απνιύησο γλσζηά Τύπνη Φνξηίζεωλ Σα δπλακηθά θνξηία ρσξίδνληαη ζε δύν θαηεγνξίεο όζνλ αθνξά ηελ ρξνληθή κεηαβνιή ηεο επηβαιιόκελεο θόξηηζεο. ηελ πεξίπησζε ησλ πεξηνδηθώλ θνξηίζεσλ παξνπζηάδεηαη ε ίδηα ρξνληθή κεηαβνιή γηα έλαλ κεγάιν αξηζκό θύθισλ. Ζ πην απιή πεξίπησζε είλαη απηή ησλ αξκνληθώλ θνξηίζεσλ όπνπ ε ρξνληθή κεηαβνιή πεξηγξάθεηαη κέζσ κία εκηηνλνεηδνύο θόξηηζεο (ρ. 4.11a). ε πεξηζζόηεξν ζύλζεηεο θαηαζηάζεηο (ρ. 4.11b) ε θόξηηζε παξνπζηάδεη πεξηνδηθό ραξαθηήξα αιιά γηα ηελ πιήξε πεξηγξαθή απαηηείηαη ν γξακκηθόο ζπλδπαζκόο πιήζνπο απιώλ αξκνληθώλ βάζεη ηεο αλάιπζεο θαηά Furier δειαδή: i j (4.47) i j sin cs f t f i t f j t Όπνπ f i θαη f j ηα πνζνζηά ζπκκεηνρήο ηεο θάζε αξκνληθήο ηα νπνία δελ κεηαβάιινληαη κε ην ρξόλν. Ζ κε πεξηνδηθέο (απεξηνδηθέο) θνξηίζεηο ρσξίδνληαη ζε δύν ππνθαηεγνξίεο ηηο κηθξήο δηάξθεηαο θξνπζηηθνύ ηύπνπ (ρ. 4.11c) θαη ηεο «κεγάιεο» δηάξθεηαο απεξηνδηθέο (ρ. 4.11d) Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Εηζαγωγή Σα βαζηθά ζηνηρεία θάζε γξακκηθνύ ειαζηηθνύ ζπζηήκαηνο ην νπνίν ππνβάιιεηαη ζε δπλακηθή θόξηηζε είλαη ε κάδα ηνπ (ε νπνία επεξεάδεη ην κέγεζνο ησλ αδξαλεηαθώλ δπλάκεσλ), ηα ειαζηηθά Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-17

18 ηνπ ραξαθηεξηζηηθά (ζηηβαξόηεηα) θαη ν κεραληζκόο αλάισζεο ηεο εηζαγόκελεο ελέξγεηαο (απόζβεζε). ρ. 4.11: Υαξαθηεξηζηηθά θαη πεγέο ηππηθώλ δπλακηθώλ θνξηίζεσλ θαηαπνλήζεσλ (a) απιή αξκνληθή (b) ζύλζεηε αξκνληθή (c) κε πεξηνδηθή θξνπζηηθή (d) κεγάιεο δηάξθεηαο απεξηνδηθή 9. ηελ απινύζηεξε κνξθή ηνπ κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο όιεο νη παξαπάλσ ηδηόηεηεο ζεσξείηαη όηη ζπγθεληξώλνληαη ζε έλα θπζηθό ζηνηρείν ηνπ ζπζηήκαηνο (ρ. 4.1). Ζ κάδα (m) ηνπ ζπζηήκαηνο ζεσξείηαη ζπγθεληξσκέλε θαζ νινθιεξίαλ ζην άθακπην θπζηθό ζηνηρείν ηνπ ζπζηήκαηνο ην νπνίν θηλείηαη θαη κόλνλ θαηά ηε κία δηεύζπλζε νπόηε θαη ε κεηαηόπηζε π(t) αξθεί γηα λα πεξηγξάςεη πιήξσο ηε ζέζε ηνπ. Ζ ζηηβαξόηεηα ηνπ ζηνηρείνπ (k) πξνζθέξεηαη δηακέζνπ ελόο αβαξνύο ειαηεξίνπ θαη ν κεραληζκόο αλάισζεο ηεο εηζαγόκελεο ελέξγεηαο (απόζβεζε) (c) δηακέζνπ ελόο αβαξνύο απνζβεζηήξα (damer). Ζ εμσηεξηθά επηβαιιόκελε δύλακε ε νπνία εμαλαγθάδεη ην ζύζηεκα λα απνθξηζεί θαηά δπλακηθό ηξόπν νξίδεηαη σο ε ρξνληθά κεηαβαιιόκελε δύλακε (t). Ζ εμίζσζε ηζνξξνπίαο ηνπ κνλνβάζκηνπ ζώκαηνο (ρ. 4.1) γξάθεηαη σο: 9 Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-18

19 Όπνπ σο fi F 0 fi t fd t fs t t 0 (4.48) f t f t f t t I D S t νξίδεηαη ε αδξαλεηαθή δύλακε πνπ δξα ζην ζύζηεκα ιόγσ ηεο κάδαο (m) εμαξηώκελε από ηε επηηάρπλζε ηνπ ζπζηήκαηνο, σο fd t νξίδεηαη ε δύλακε απόζβεζεο απνηέιεζκα ηεο δξάζεο ηνπ αβαξνύο απνζβεζηήξα εμαξηώκελε από ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο θαη σο fs t νξίδεηαη ε δύλακε επαλαθνξάο απνηέιεζκα ηεο δξάζεο ηνπ αβαξνύο ειαηεξίνπ εμαξηώκελε ηεο κεηαηόπηζεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Βάζεη ηεο αξρήο ηνπ Lagrange-D'Alembert 10 ε αδξαλεηαθή δύλακε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: d t fi t m m t (4.49) dt ρ. 4.1: Ηδεαηό Μνλνβάζκην ζύζηεκα (a) Βαζηθά επηκέξνπο ζηνηρεία (b) δπλάκεηο ζε ηζνξξνπία 11. Αλ ζεσξεζεί όηη ε απόζβεζε πεξηγξάθεηαη κέζσ ελόο ημώδνπο κεραληζκνύ απόζβεζεο (viscus daming mechanism 1 ) ε δύλακε απόζβεζεο δίδεηαη σο: Σέινο ε δύλακε ηνπ ειαηεξίνπ δίδεηαη σο: d t fd t c c t (4.50) dt fs t k t (4.51) Ζ εηζαγσγή ησλ ζρέζεσλ (4.49), (4.50) θαη (4.51) ζηε ζρέζε (4.48) νδεγεί ζηε ζρέζε: m t c t k t t (4.5) Οη ζηαηηθέο θαηαπνλήζεηο, ε ζηαηηθή θαηαπόλεζε δελ επεξεάδεη ηελ ρξνληθή εμέιημε ηεο ζρέζεο ηεο κεηαηόπηζεο, θαζώο επηβάιιεη απιά κία κεηάζεζε ηεο ρξνλντζηνξίαο θαηά Γ st (ην ζηαηηθό βέινο όπσο απηό παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 4.13), δελ κεηαβάιινπλ ηελ κνξθή ηεο ζρέζεο (4.5), εθόζνλ νη ηάζεηο δελ ππεξβνύλ ηε ηάζε δηαξξνήο, άξα ε ζρέζε (4.5) κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ζε θάζε πεξίπησζε γηα ηελ πεξηγξαθή ηεο δπλακηθήο ζπκπεξηθνξάο κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο. 10 htt://en.wikiedia.rg/wiki/d'alembert's_rincile 11 Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. 1 htt://en.wikiedia.rg/wiki/daming Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-19

20 ρ. 4.13: ηαηηθή κεηαηόπηζε δπλακηθνύ ζπζηήκαηνο Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Μεηαθίλεζε Σηήξημεο Πέξαλ ηεο εμσηεξηθά επηβαιιόκελεο δύλακεο όπσο ζην ρ. 4.1, ε δπλακηθή θαηαπόλεζε είλαη δπλαηό λα εκθαληζηεί εμαηηίαο ηεο κεηαθίλεζεο ηεο ζηήξημεο ηνπ ζηνηρείνπ (ρ. 4.14). ηελ πεξίπησζε απηή ε ζρέζε (4.5) γξάθεηαη σο: f t f t f t 0 (4.53) I D S Όπνπ ηόζν ε δύλακε απόζβεζεο όζν θαη ε δύλακε επαλαθνξάο γξάθνληαη όπσο ζηηο ζρέζεηο (4.50) θαη (4.51) αληίζηνηρα. Ζ αδξαλεηαθή δύλακε ηνπ ζπζηήκαηνο όκσο δίδεηαη σο: fi t t m t (4.54) t Όπνπ ε κεηαηόπηζε t δίδεηαη σο: t t t t (4.55) g t Βάζεη ησλ ζρέζεσλ (4.54) θαη (4.55) ε ζρέζε (4.53) θαζώο t t t δίδεηαη σο: m t m t c t k t 0 (4.56) Οξίδνληαη σο t m t ε ζρέζε (4.56) γξάθεηαη σο: eff g g g 13 Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-0

21 m t c t k t eff t (4.57) ρ. 4.14: Δπηξξνή ηεο κεηαθίλεζεο ηεο ζηήξημεο ζηελ ηζνξξνπία κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο (a) θίλεζε ηνπ ζπζηήκαηνο θαη (b) ηζνξξνπία ησλ δπλάκεσλ 14. Κνηλώο νη εληάζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο εμαηηίαο ηεο επηηάρπλζεο ηεο ζηήξημεο είλαη ηζνδύλακεο κε απηέο πνπ πξνθαινύληαη από κία εμσηεξηθή ρξνληθά κεηαβαιιόκελε δύλακε ίζε κε: eff t m t (4.58) Όπνπ ην αξλεηηθό πξόζεκν νξίδεη όηη ε ηζνδύλακε δξάζε έρεη αληίζεηε θνξά ηεο θνξάο ηεο επηηάρπλζεο ηεο ζηήξημεο Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Ταιάληωζε ζπζηήκαηνο ρωξίο απόζβεζε (vibratin f undamed system) Ζ ιύζε ηεο δηαθνξηθήο ζρέζεο: g m t c t k t t (4.59) Μπνξεί λα ππνινγηζζεί από ηε εύξεζε ηεο ιύζεο ηεο νκνγελνύο δηαθνξηθήο εμίζσζεο δειαδή: Ζ ιύζε ηεο νκνγελνύο δηαθνξηθήο κπνξεί λα γξαθεί σο: Καζώο ε 1 ε θαη ε ε παξάγσγνο ηεο ζρέζεο (4.61) δίδνληαη σο: Ζ ζρέζε (4.60) κπνξεί λα γξαθεί σο: m t c t k t 0 (4.60) st t Ge (4.61) st st t sge t s G e (4.6) 14 Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-1

22 Ζ ζρέζε (4.63) δηαηξνύκελε κε ηνλ όξν st ms cs k Ge 0 (4.63) st mg e κπνξεί λα γξαθεί σο: s c k s 0 m m (4.64) Οξίδνληαο σο km(ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ) έρνπκε ηε ζρέζε (4.64) λα δίδεηαη σο: s c s 0 (4.65) m Ζ νπνία απνηειεί θαη ηε δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε ηνπ κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο. ηελ πεξίπησζε ησλ ζπζηεκάησλ ρσξίο απόζβεζε (c=0) ε ζρέζε (4.65) δίδεηαη σο: Οπόηε θαη ε ιύζε απηήο δίδεηαη σο: s 0 (4.66) Όπνπ i 1. Βάζεη ηεο ζρέζεο (4.67) ε ζρέζε (4.61) γξάθεηαη σο: Ζ νπνία θαηαιήγεη κεηά από πξάμεηο 15 ζηε ζρέζε: s i (4.67) it it t Ge G e (4.68) cs t Acs Bsin t t t t (4.69) Όπνπ σο ρ νξίδεηαη ην εύξνο ηεο ηαιάλησζεο θαη σο θ ε δηαθνξά θάζεο ηεο ηαιάλησζεο. Καζώο (όπσο ηεθκαίξεηαη από ην (ρ. 4.15)): t 0 Acs 0 sin 0 A t 0 A sin 0 cs 0 Ζ ζρέζε (4.69) σο ζπλάξηεζε ησλ ρξνληθώλ ζπλνξηαθώλ ζπλζεθώλ γξάθεηαη σο: (4.70) t 0 t t 0cs t sin t (4.71) Ζ πνζόηεηα ω νξίδεηαη σο ε γσληαθή ηαρύηεηα (rad/sec) θαη είλαη επίζεο γλσζηή σο θπθιηθή ζπρλόηεηα (circular frequency) θαη θαζνξίδεη ηε ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο ηνπ ειεύζεξνπ ζώκαηνο. Ζ ζπρλόηεηα απηή είλαη όπσο ηεθκαίξεηαη θαη από ηελ εμίζσζε km αλεμάξηεηε ηεο θόξηηζεο θαη απνηειεί ραξαθηεξηζηηθό ηνπ ζπζηήκαηνο. Ζ ζπρλόηεηα ηεο θίλεζεο (γλσζηή θαη σο θπθινζπρλόηεηα cyclic frequency) δίδεηαη σο: f (4.7) 15 Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-

23 ρ. 4.15: Διεύζεξε ηαιάλησζε ζπζηήκαηνο 16. Σέινο ην αληίζηξνθν ηεο ζρέζεο (4.7) νξίδεηαη σο ε πεξίνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο Τ θαη σο ζπλάξηεζε ησλ δπλακηθώλ ραξαθηεξηζηηθώλ ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: 1 m T (4.73) f k k m Ζ πεξίνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο θαζνξίδεη ην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ απαηηείηαη γηα κία πιήξε ηαιάλησζε ηνπ ζπζηήκαηνο (ρ. 4.15). εκεηώλεηαη όηη ην εύξνο ηεο ηαιάλησζεο ρ θαζώο θαη ε γσλία θάζεο θ δίδνληαη σο: t 0 t 0 t 0 0 arctan t (4.74) (4.75) Μνλνβάζκηα ζπζηήκαηα Ταιάληωζε ζπζηήκαηνο κε απόζβεζε (vibratin f damed system) ηελ πεξίπησζε ησλ ζπζηεκάησλ κε απόζβεζε ε ιύζε ηεο ζρέζεο (4.65) γξάθεηαη σο: c 1 c 1, 4 s c c 1, s m m m m (4.76) Αλαιόγσο ηνπ πξόζεκνπ ηεο πνζόηεηαο ζην ξηδηθό έρνπκε 3 πεξηπηώζεηο. Σα ζπζηήκαηα κε θξίζηκε απόζβεζε όπνπ ην απνηέιεζκα ηνπ ξηδηθνύ ηζνύληαη κε ην κεδέλ, ηα ππό-θξίζηκα ζπζηήκαηα όηαλ ην απνηέιεζκα ηνπ ξηδηθνύ είλαη κηθξόηεξνπ ηνπ κεδελόο νπόηε θαη ηα ππεξθξίζηκα ζπζηήκαηα όηαλ ην απνηέιεζκα ηνπ ξηδηθνύ είλαη ζεηηθό. Σπζηήκαηα κε Κξίζηκε απόζβεζε. ηελ πεξίπησζε όπνπ: 16 Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-3

24 Ζ ιύζε ηεο ζρέζεο (4.76) δίδεηαη σο: c c c m m s 1, cc m m m ηελ πεξίπησζε απηή ε ιύζε ηεο νκνγελνύο δηαθνξηθήο δίλεηαη σο: Βάζεη ησλ αξρηθώλ ζπλζεθώλ έρνπκε: Ζ ζρέζε (4.79) γξάθεηαη σο: 1 (4.77) (4.78) t G G t e t (4.79) t 0 t 0 G1 Gt e G1 G 0e t0 G1 t 0 0 t t0 t 0 G1 G G t 0 t 0 t G G G t e G G G e 0 t t 0 t 0 t 0 t t e 01 0 t t t t t e t (4.80) (4.81) Σν γξάθεκα ηεο ζρέζεο (4.81) παξνπζηάδεηαη ζην ρ ην ρ. 4.17, παξνπζηάδνληαη νη κνξθέο ηεο ζρέζεο (4.81) γηα δηάθνξεο ηηκέο ησλ αξρηθώλ ζπλζεθώλ. Παξαηεξείηαη όηη γηα εηεξόζεκεο ηηκέο ησλ αξρηθώλ ζπλζεθώλ (ζεηηθή ηηκή ηεο αξρηθήο κεηαηόπηζεο θαη αξλεηηθή ηηκή ηεο ηαρύηεηαο αιιά θαη ηαλάπαιηλ) ην ζύζηεκα δηαηξέρεη ην ζεκείν ηζνξξνπίαο. ρ. 4.16: Διεύζεξε ηαιάλησζε θξίζηκνπ ζπζηήκαηνο Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-4

25 ρ. 4.17: Διεύζεξε ηαιάλησζε θξίζηκσλ ζπζηεκάησλ κε δηαθνξεηηθέο ηηκέο αξρηθώλ ζπλζεθώλ. Σπζηήκαηα κε απόζβεζε κηθξόηεξε ηεο θξίζηκεο απόζβεζεο ηελ πεξίπησζε όπνπ: c m c m c Σν ξηδηθό ηεο ζρέζεο (4.76) είλαη αξλεηηθό. Οξίδνληαο σο πνζνζηό απόζβεζεο μ ην ιόγν: Ζ ιύζε ηεο ζρέζεο (4.76) δίδεηαη σο: c c c c m km c c (4.8) (4.83) c c 1, 1, s i s i m m s i 1 s i 1 (4.84) 1, 1, D D Βάζεη ηεο (4.84) ε ζρέζε (4.61) γξάθεηαη σο: id t id t t G e G e 1 t ex tg1 exi Dt Gex i Dt Ζ ζρέζε (4.85) σο πξνο ξ θαη t γηα ω=1, π(t=0)=1 θαη (t=0)=1 παξνπζηάδεηαη ζην ρ (4.85) Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-5

26 ρ. 4.18: Διεύζεξε ηαιάλησζε ππό-θξίζηκσλ ζπζηεκάησλ κε δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηνπ μ. Ζ ζρέζε (4.85) κεηά από πξάμεηο 18 κπνξεί λα γξαθεί σο: t cs t ex t (4.86) Σν εύξνο ηεο ηαιάλησζεο ρ θαζώο θαη ε γσλία θάζεο θ δίδνληαη σο: D t t 0 0 t 0 D t 0 t 0 t 0 arctan Σπζηήκαηα κε απόζβεζε κεγαιύηεξε ηεο θξίζηκεο ηελ πεξίπησζε όπνπ: c m c m c Σν ξηδηθό ηεο ζρέζεο (4.76) είλαη ζεηηθό. Οξίδνληαο σο πνζνζηό απόζβεζεο μ ην ιόγν: Ζ ιύζε ηεο ζρέζεο (4.76) δίδεηαη σο: c c c c m km c c (4.87) (4.88) (4.89) (4.90) c c 1, s1, s m m s ˆ ˆ 1, 1, 1 s 1 (4.91) 18 Clugh R.W., enzien J. (003) Dynamics f Structures, 3rd Editin, Cmuters & Structures, Inc. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-6

27 Βάζεη ηεο (4.84) ε ζρέζε (4.61) γξάθεηαη σο: ˆ t ˆ t t G e G e 1 t extg1 e x ˆt G ex ˆt (4.9) Με εθαξκνγή ησλ ζρέζεσλ πνπ ζπλδένπλ ηελ εθζεηηθή ζπλάξηεζε κε ηηο ζπλαξηήζεηο ηνπ ππεξβνιηθνύ ζπλεκίηνλνπ θαη εκίηνλνπ 19 ε ζρέζε (4.9) δίδεηαη σο: G1 csh ˆ t sinh ˆ t t ext G csh ˆ t sinh ˆ t t extg1 G csh ˆ t G1 G sih n ˆ t Ζ νπνία αλ A G1 G θαη B G1 G γξάθεηαη σο: t ex t A csh ˆt B sinh ˆt (4.93) (4.94) Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζρέζεο (4.94) παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 4.19, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ μ. Σα γξαθήκαηα ηνπ θξίζηκνπ θαη ππεξθξίζηκνπ ζπζηήκαηνο είλαη ζπλαθή (ρ. 4.0). ρ. 4.19: Διεύζεξε ηαιάλησζε ππέξ-θξίζηκσλ ζπζηεκάησλ κε δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηνπ μ. ρ. 4.0: ύγθξηζε Διεύζεξεο ηαιάλησζεο ππέξ-θξίζηκνπ ζπζηήκαηνο κε μ=10% θαη ελόο θξίζηκνπ ζπζηήκαηνο. ηελ πεξίπησζε ηνπ ππεξθξίζηκνπ ζπζηήκαηνο ε ηαρύηεηα ηεο ηαιάλησζεο κεηώλεηαη ζεκαληηθά (ππάξρεη θαζπζηέξεζε ζηελ επηζηξνθή ηνπ ζπζηήκαηνο ζηε ζέζε εξεκίαο) Απόθξηζε ζπζηήκαηνο ρωξίο απόζβεζε ζε αξκνληθή θόξηηζε (Resnse t Harmnic Lading f undamed system) Έζησ ην κνλνβάζκην ζύζηεκα ηνπ ρ. 4.1 ζην νπνίν επηβάιιεηαη έλα ρξνληθά κεηαβαιιόκελν θνξηίν (t) κε εύξνο ηαιάλησζεο ίζε κε 0 θαη θπθιηθή ζπρλόηεηα. ηελ πεξίπησζε απηή ε ζρέζε (4.59) γξάθεηαη σο: 19 htt://en.wikiedia.rg/wiki/hyerblic_trignmetric_functin Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-7

28 t t t m c k sin t 0 (4.95) Καζώο ην ζύζηεκα ζεσξείηαη όηη δελ παξνπζηάδεη απόζβεζε ε ζρέζε (4.95) γξάθεηαη σο: t t m k sin t 0 (4.96) Ζ νκνγελήο ιύζε ηεο δηαθνξηθήο παξνπζηάδεηαη ζηε ζρέζε (4.69) όπνπ km. Ζ γεληθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο δίδεηαη σο: t t t (4.97) H Όπνπ ε t είλαη ε κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο πνπ εμαξηάηαη από ηε κνξθή ηεο επηβαιιόκελεο θόξηηζεο. Ζ κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο είλαη ηεο κνξθήο: sin t C t (4.98) Με άγλσζηε ηηκή ην εύξνο C. Καζώο ε ζρέζε (4.98) απνηειεί ιύζε ηεο ζρέζεο (4.96) ε ζρέζε (4.96) κεηά από ηελ αληηθαηάζηαζε ηεο t C sin t γξάθεηαη σο: (4.99) m C sin t k C sin t 0 sin t Καζώο t C sin t. Γηαηξώληαο ηε ζρέζε (4.99) κε ηνλ όξν sin t γεληθή πεξίπησζε είλαη κε κεδεληθόο ε δηαθνξηθή γξάθεηαη σο: m C k C C km 0 0 C C k k m 0 0 k1 ν νπνίνο ζηε (4.100) Όπνπ β ην πειίθν ηεο θπθιηθήο ζπρλόηεηαο ηεο θόξηηζεο πξνο ηε θπθιηθή ζπρλόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Ζ ιύζε ηεο δηαθνξηθήο βάζεη ηεο ζρέζεο (4.97) δίδεηαη σο ην άζξνηζκα ηεο νκνγελνύο θαη ηεο κεξηθήο ιύζεο ηεο δηαθνξηθήο: 0 t Acs t Bsin t sin t k 1 (4.101) Όπνπ νη κεηαβιεηέο Α θαη Β ππνινγίδνληαη από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο σο: 0 t 0 t Acs0 Bsin 0 sin 0 t0 k 1 t 0 A 0 t 0 t A sin t B cs t cs t t 0 k 1 0 t 0 A sin 0 B cs 0 cs 0 k 1 t0 (4.10) Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-8

29 0 t 0 k 1 0 t 0 B B k 1 t 0 B k 1 0 (4.103) Βάζεη ησλ ζρέζεσλ (4.10) θαη (4.103) ε ζρέζε (4.101) πνπ απνηειεί θαη ηε ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ζπζηήκαηνο ρσξίο απόζβεζε ππνβαιιόκελν ζε αξκνληθή θόξηηζε κε αξρηθέο ζπλζήθεο t 0 0 θαη t 0 0 δίδεηαη σο: t 0cst sin t sin t k1 k1 (4.104) ην ρ. 4.1, παξνπζηάδεηαη ε ρξνληθή εμέιημε ηεο θίλεζεο κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο κε ω=1 rad/sec, k=1 (kn/m) θαη 0 =1 kn γηα δηάθνξεο ηηκέο ησλ αξρηθώλ ζπλζεθώλ θαη ιόγνπο β ίζνπο κε 1.01, 1.5 θαη.0 αληίζηνηρα. Ζ ζηαηηθή κεηαηόπηζε είλαη ίζε κε 0 /k=1m. Παξαηεξείηαη όηη όζν ν ιόγνο β πιεζηάδεη ηελ κνλάδα ην εύξνο ηεο ηαιάλησζεο απμάλεη συν τω χρόνω (αθξόηαηεο ηηκέο πνιύ κεγαιύηεξεο ηεο κνλάδαο θαη απόιπηε ηηκή) ρσξίο νη αξρηθέο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο λα επεξεάδνπλ ηελ ρξνληθή εμέιημε ηνπ θαηλνκέλνπ. Σν θαηλόκελν απηό νλνκάδεηαη ζπληνληζκόο. Όζν ε ηηκή ηνπ β απμάλεηαη (ρ. 4.) ηόζν θαη ην εύξνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζπζηήκαηνο κεηώλεηαη. Πιένλ απηνύ ην ζύζηεκα παξνπζηάδεη δύν ηαιαληώζεηο κία ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ ηνπ θαη κία ζηε ζπρλόηεηα ηνπ επηβαιιόκελνπ θνξηίνπ. Γηα ηηκέο ηνπ β πνιύ κηθξόηεξεο ηεο κνλάδαο (όηαλ ε ζπρλόηεηα ηνπ δπλακηθνύ θνξηίνπ είλαη πνιύ κηθξόηεξε ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ ηνπ ζπζηήκαηνο) όπσο ζην ρ. 4.3, ε ρξνληθή εμέιημε ηεο κεηαηόπηζεο ηείλεη αζπκπησηηθά λα πξνζνκνηώζεη ηελ θακπύιε ηεο ζηαηηθήο επηβνιήο ηνπ θνξηίνπ. 1 ε Πεξίπησζε ε Πεξίπησζε Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-9

30 3 ε Πεξίπησζε ε Πεξίπησζε ρ. 4.1: ύγθξηζε Δμαλαγθαζκέλεο Σαιάλησζεο (Κόθθηλε γξακκή β=1.01, κπιε γξακκή β=1.50, καύξε γξακκή β=.0) γηα δηάθνξεο αξρηθέο ζπλζήθεο θαη ω=1, k=1, 0 =1. ρ. 4.: ύγθξηζε Δμαλαγθαζκέλεο Σαιάλησζεο (Κόθθηλε γξακκή β=10, κπιε γξακκή β=5, καύξε γξακκή β=) γηα ω=1, k=1, 0 =1. ρ. 4.3: ύγθξηζε Δμαλαγθαζκέλεο Σαιάλησζεο (Κόθθηλε γξακκή β=0.10, κπιε γξακκή β=0.0, καύξε γξακκή β=0.5) γηα ω=1, k=1, 0 =1. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-30

31 4..8. Απόθξηζε ζπζηήκαηνο κε απόζβεζε ζε αξκνληθή θόξηηζε (Resnse t Harmnic Lading f damed system) Έζησ ην κνλνβάζκην ζύζηεκα ηνπ ρ. 4.1 ζην νπνίν επηβάιιεηαη έλα ρξνληθά κεηαβαιιόκελν θνξηίν (t) κε εύξνο ηαιάλησζεο ίζε κε 0 θαη θπθιηθή ζπρλόηεηα. ηελ πεξίπησζε απηή ε ζρέζε (4.59) γξάθεηαη σο: t t t m c k sin t 0 (4.105) Ζ νπνία κεηά από πξάμεηο γξάθεηαη σο: 0 t t t sin t (4.106) m Πεξηνξίδνληαο ηελ αλάιπζε ζε ζπζηήκαηα κε απόζβεζε κηθξόηεξε ηεο θξίζηκεο ε ιύζε ηεο νκνγελνύο δηαθνξηθήο εμίζσζεο δίδεηαη βάζεη ηεο ζρέζεο (4.85) σο: Όπνπ: t A ex i t B ex i t ex t D D (4.107) k c c (4.108) m c m D 1 Ζ ιύζε ηεο κεξηθήο δηαθνξηθήο δίδεηαη σο: cs sin t G t G t 1 cr (4.109) Ο όξνο ηνπ ζπλεκίηνλνπ ηεο ζρέζεο (4.109) θξίλεηαη αλαγθαίνο θαζώο ιόγσ ηεο απόζβεζεο ε απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο κε απόζβεζε δελ είλαη ζε θάζε κε ηελ αξκνληθή κεηαβνιή ηνπ θνξηίνπ. Αληηθαζηζηώληαο ηε ζρέζε (4.109) ζηε ζρέζε (4.106) έρνπκε: sin G1cs t G t 0 G1sin t Gcs t sin t m G1cs t Gsin t Καζώο ε 1 ε θαη ε παξάγσγνο σο πξνο ηνλ ρξόλν ηεο ζρέζεο (4.109) δίδνληαη από ηηο ζρέζεηο: t G1sin t Gcs t t G cs t G sin t 1 Μεηά από ηηο απαξαίηεηεο πξάμεηο ε ζρέζε (4.110) γξάθεηαη σο: G1 G G1 cs t 0 sin t G G1 G sin t m Ζ ηζρύο ηεο ζρέζεο (4.11) εμαζθαιίδεηαη κόλνλ όηαλ: (4.110) (4.111) (4.11) Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-31

32 G1 G G 1 0 G G G m 0 1 (4.113) Καζώο ν παξάγσλ ηνπ ζπλεκηηόλνπ ζα πξέπεη λα ηζνύληαη κε ην κεδέλ θαη παξάγσλ ηνπ εκηηόλνπ ζα πξέπεη λα είλαη ίζνο κε ην ιόγν 0 m. Οξίδνληαο ην ιόγν ε ζρέζε (4.113) γξάθεηαη σο: θαη G 1 G 0 G 1 G 0 (4.114) G 1 G1 0 G 1 G1 0 (4.115) m k Οη ζρέζεηο (4.114) θαη (4.115) είλαη έλα ζύζηεκα δύν γξακκηθώλ εμηζώζεσλ σο πξνο ηηο άγλσζηεο κεηαβιεηέο G 1, G. Οη ιύζε ησλ ζρέζεσλ δίδεηαη σο: G k 0 1 G k Άξα ε κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο γξάθεηαη σο: t cs t 1 sin t k 1 4 (4.116) (4.117) Ζ ιύζε ηεο δηαθνξηθήο ε νπνία δίδεηαη σο ην άζξνηζκα ηεο νκνγελνύο πνπ δίδεηαη από ηε ζρέζε (4.107) κε ηε κεξηθή ιύζε ηεο ζρέζεο (4.117) δίδεηαη σο: t Aex i Dt B ex i Dt ex t 0 k 1 4 cs t 1 sin t (4.118) Ζ ζρέζε (4.118) απνηειείηαη από ηε νκνγελή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο θαη ηε κεξηθή ιύζε ηεο. Ζ νκνγελήο ιύζε θζίλεη συν τω χρόνω εμαηηίαο ηνπ όξνπ ex t θαη παξνπζηάδεη κηθξό ζρεηηθά ελδηαθέξνλ. Ηδηαίηεξα ζεκαληηθή είλαη ε απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο εμαηηίαο ηεο αξκνληθήο θόξηηζεο. Ζ ζρέζε (4.117) πνπ θαζνξίδεη θαη ηελ απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο ζηελ αξκνληθή θόξηηζε κπνξεί λα γξαθεί σο: k 0 sin t t 1 arctan (4.119) Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-3

33 Ο ιόγνο ηνπ εύξνπο ηεο απόθξηζεο ηνπ ζπζηήκαηνο πξνο ην ζηαηηθό βέινο πνπ δίδεηαη από ην ιόγν 0 k νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο δπλακηθήο κεγέζπλζεο θαη βάζεη ηεο ζρέζεο (4.119) δίδεηαη σο: D 0 k (4.10) Παξαηεξνύκε όηη ζε αληίζεζε κε ην ιόγν ηεο δπλακηθήο κεγέζπλζεο γηα ζπζηήκαηα ρσξίο απόζβεζε ε ζρέζε (4.10) δελ ιακβάλεη ηηκή ίζε κε ην άπεηξν γηα β=1 (ζπληνληζκόο) θαζώο ζηνλ παξαλνκαζηή πθίζηαηαη ν όξνο 4 πνπ ζρεηίδεηαη κε ηελ αλάισζε ελέξγεηαο κέζσ ηεο απόζβεζεο. Ο ζπληειεζηήο δπλακηθήο κεγέζπλζεο γηα β=1 γξάθεηαη σο: 1 1 D 4 (4.11) Με άιια ιόγηα γηα έλα ζύζηεκα κε μ=5% ζηελ πεξίπησζε πνπ ε αξκνληθή ηεο δηέγεξζεο ζπκπίπηεη κε ηε θπθιηθή ζπρλόηεηα ειεύζεξεο ηαιάλησζεο ηνπ ζπζηήκαηνο (β=1) ν ζπληειεζηήο κεγέζπλζεο είλαη ίζνο κε D Γειαδή ην εύξνο ηεο ηαιάλησζεο αζπκπησηηθά ζα ηζνύληαη κε 10 θνξέο ηε ζηαηηθή κεηαηόπηζε. ην ρ. 4.4, παξνπζηάδεηαη ν ζπληειεζηήο κεγέζπλζεο ηεο ζρέζεο (4.10). Παξαηεξνύκε όηη ε κεγέζπλζε είλαη ζεκαληηθή γηα κηθξέο ηηκέο ηνπ μ θαη ηηκέο ηνπ β πιεζίνλ ηεο κνλάδαο. ρ. 4.4: πληειεζηήο κεγέζπλζεο D ην ρ. 4.5, παξνπζηάδεηαη ε εμέιημε ηεο δηαθνξάο θάζεο (ζ) σο πξνο ην β θαη ην μ. Γηα β=1 ε ηηκή ηεο δηαθνξάο θάζεο ηείλεη ζην π/ γηα β<1 θαη β1 ελώ ηείλεη ζην π/ γηα β>1 θαη β1. Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-33

34 Παξάδεηγκα Έζησ ην κνλνβάζκην ζύζηεκα ηνπ ρ. 4.6, κε k=00 kn/m, m=10 kn*sec /m, c=30 kn/m/sec, ζην νπνίν επηβάιιεηαη κία αξκνληθή θόξηηζε ηεο κνξθήο: t 10 sin 4 t. Να ππνινγηζηεί α) ε ζπλάξηεζε ηεο απόθξηζεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζηελ αξκνληθή θόξηηζε θαζώο θαη νη ζπλαξηήζεηο ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο επηηάρπλζεο ηεο απόθξηζεο β) ν ζπληειεζηήο δπλακηθήο κεγέζπλζεο. ρ. 4.5: Γηαθνξά θάζεο ζ. c m (t) k ρ. 4.6: Μνλνβάζκην ζύζηεκα κε απόζβεζε. Βάζεη ηεο ζρέζεο (4.108) έρνπκε: k 00 c c rad/sec m 10 c m D cr rad/sec Ο ζπληειεζηήο β δίδεηαη σο: Ο ζπληειεζηήο δπλακηθήο κεγέζπλζεο ηνπ εξσηήκαηνο β ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε (4.10) σο: Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-34

35 1 1 D ηε ζπλέρεηα ππνινγίδνληαη νη ζπληειεζηέο ξ (εύξνο ηεο ηαιάλησζεο) θαη ζ (δηαθνξά θάζεο) ηεο ζρέζεο (4.119) ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο απόθξηζεο ηνπ ζπζηήκαηνο. 0 k m arctan arctan arctan rad Ζ ζρέζε ηεο απόθξηζεο ηνπ ζπζηήκαηνο ηνπ εξσηήκαηνο α βάζεη ηεο ζρέζεο (4.119) δίδεηαη σο: t sin t t sin 4.0t 1.49 Ζ ζρέζε ηεο ηαρύηεηαο ηεο απόθξηζεο θαη ηεο επηηάρπλζεο ηνπ εξσηήκαηνο α δίδνληαη σο: t cs t t cs4.0 t 1.49 t cs4.0 t 1.49 t sin t t sin 4.0t 1.49 t sin 4.0t 1.49 ην ρ. 4.7, παξνπζηάδεηαη ε ρξνληθή εμέιημε ηεο απόθξηζεο, ηεο ηαρύηεηαο ηεο απόθξηζεο θαη ηεο επηηάρπλζεο ηεο απόθξηζεο ηνπ ζπζηήκαηνο. ρ. 4.7: Απόθξηζε ζπζηήκαηνο (Κόθθηλε γξακκή απόθξηζε, κπιε γξακκή ηαρύηεηα, καύξε γξακκή επηηάρπλζε) Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-35

36 4.3. Κόπωση Εηζαγωγή Χο θόπσζε νξίδεηαη ε βαζκηαία, ηνπηθνύ ραξαθηήξα, βιάβε πνπ εκθαλίδεηαη ζε δνκηθά ζηνηρεία ππνθείκελα ζε αλαθπθιηδόκελε θόξηηζε παξόιν πνπ ε κέγηζηε ηάζε δελ ππεξβαίλεη ηε ηάζε ζξαύζεο ή δηαξξνήο 0. Σν θαηλόκελν ηεο αζηνρίαο ραξαθηεξίδεηαη από κία μαθληθή ζξαύζε (απώιεηα ηεο αληνρήο) απόξξνηα ηεο ζπγθεληξσκέλεο βιάβεο ιόγσ ηεο αλαθπθιηδόκελεο θόξηηζεο ζηε θξίζηκε πεξηνρή ηνπ ζηνηρείνπ. Ζ δηαδηθαζία ηεο θόπσζεο μεθηλά κε ηε κεηαθίλεζε ησλ πξαλώλ ηεο θξπζηαιιηθήο δνκήο ησλ πιηθώλ θαηά κήθνο ησλ αηειεηώλ απηήο ιόγσ ηεο επηβαιιόκελεο έληαζεο ε νπνία νδεγεί ζηελ εκθάληζε αζπλερεηώλ ζηελ θξπζηαιιηθή δνκή κε δπζκελή πξνο ηε θόξηηζε πξνζαλαηνιηζκό. Οη αζπλέρεηεο απηέο ζηε ζπλέρεηα νδεγνύλ ζηελ εκθάληζε κηθξό-ξσγκώλ. Σν κέγεζνο ησλ ξσγκώλ απηώλ ζπλερίδεη λα απμάλεηαη σο ηε ζηηγκή πνπ εκθαλίδεηαη ε θύξηα ξσγκή. ηε ζπλέρεηα ε θύξηα ξσγκή ζπλερίδεη λα απμάλεη ζε κέγεζνο κε νινέλα απμαλόκελε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηεο ξσγκήο σο ηε ζηηγκή πνπ ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηεο ππεξβεί κία ηηκή θαησθιίνπ κε απνηέιεζκα ηελ απόηνκε θαη ρσξίο πξνεηδνπνίεζε αζηνρία ηνπ δνκηθνύ ζηνηρείνπ. Χο θαηλόκελν ε θόπσζε είλαη ζηνραζηηθνύ ραξαθηήξα. Αθόκα θαη θάησ από εξγαζηεξηαθά ειεγρόκελεο ζπλζήθεο επαλαιακβαλόκελα πεηξάκαηα νδεγνύλ ζε απνηειέζκαηα κε κεγάιε απόθιηζε κεηαμύ ησλ. Απηό εμαηηίαο ηνπ γεγνλόηνο όηη ε θόπσζε σο θαηλόκελν νθείιεηαη ζηηο αζπλέρεηεο ηεο θξπζηαιιηθήο δνκήο ηνπ πιηθνύ. Ζ αληνρή ελόο δνθηκίνπ εμαξηάηαη πξαθηηθά από ην ρξόλν (θύθινπο θόξηηζεο) πνπ απαηηνύληαη σο ηελ αλάπηπμε ηεο θύξηαο ξσγκήο θαη ε νπνία εμαξηάηαη ηόζν από ην πιήζνο ησλ αηειεηώλ αλά κνλάδα όγθνπ όζν θαη από ην ζρεηηθό πξνζαλαηνιηζκό ηνπο ζε ζρέζε κε ηε δηεύζπλζεο ηεο θύξηαο εθειθπζηηθήο έληαζεο. Χο θαηλόκελν ε θόπσζε είλαη αζξνηζηηθνύ ραξαθηήξα. Σν πιήζνο ησλ θύθισλ θαζνξίδεη πξαθηηθά ηελ αληνρή ηνπ δνθηκίνπ θαη ε βιάβε πνπ πξνθαιείηαη ζε θάζε θύθιν δελ είλαη αλαζηξέςηκε. Ζ δηάξθεηα δωήο έλαληη θόπωζεο νξίδεηαη σο ην πιήζνο ησλ θύθισλ έληαζεο πνπ απαηηείηαη λα επηβιεζνύλ ζην δνθίκην ώζηε απηό λα αζηνρήζεη ζε θόπσζε Οιηγνθπθιηθή - Πνιπθπθιηθή Κόπωζε Αλαιόγσο ηνπ πιήζνπο ησλ θύθισλ πνπ απαηηνύληαη γηα ηελ αζηνρία ηνπ δνθηκίνπ ε θόπσζε ρσξίδεηαη ζε ηξεηο θαηεγνξίεο: 1. Σελ νιηγνθπθιηθή θόπσζε (lw cycle fatigue) όπνπ ην πιήζνο ησλ θύθισλ πνπ απαηηνύληαη πξηλ ηελ αζηνρία δελ ππεξβαίλεη ην 10 3 θύθινπο. 0 htt://en.wikiedia.rg/wiki/fatigue_(material) 1 Stehens, Ralh I. (001). Metal Fatigue in Engineering, Secnd editin, Jhn Wiley & Sns Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-36

37 . Σελ πνιπθπθιηθή θόπσζε (ή απιή θόπσζε) (high cycle fatigue) όπνπ ην πιήζνο ησλ θύθισλ πνπ απαηηνύληαη πξηλ ηελ αζηνρία θπκαίλεηαη από 10 3 σο 10 8 θύθινπο. 3. Σελ πςειή πνιπθπθιηθή θόπσζε (very high cycle fatigue) όπνπ ην πιήζνο ησλ θύθισλ πνπ απαηηνύληαη πξηλ ηελ αζηνρία ππεξβαίλεη ηνπο 10 8 θύθινπο Όξην θόπωζεο Οξηζκέλα πιηθά (αηζάιη, ηηηάλην) παξνπζηάδνπλ έλα όξην ηεο δηαθύκαλζεο ηεο ηάζεο γηα ην νπνίν αλαθπθιηδόκελεο θνξηίζεηο κε εύξνο θάησ από ην όξην απηό δελ παξνπζηάδνπλ θόπσζε. Σππηθέο ηηκέο ηεο ηηκήο θαησθιίνπ ηνπ εύξνπο ηεο ηάζεο (Se) είλαη γηα ην ράιπβα ην 50% ηεο αληνρήο ηνπ ζε ζξαύζε (S e =ΓS 0.5*ζ u ). Πξόζθαηεο επηζηεκνληθέο δεκνζηεύζεηο,3 ππνζηεξίδνπλ όκσο όηη δελ πθίζηαηαη ην ζπγθεθξηκέλν θάησ όξην ηεο θόπσζεο θαη όηη όια ηα πιηθά αλεμάξηεηα ηνπ εύξνπο ηεο ηάζεο ηεο αλαθπθιηδόκελεο θόξηηζεο αζηνρνύλ ζε θόπσζε αλ απηή ε αλαθπθιηδόκελε θόξηηζε επηβιεζεί ζην δνθίκην γηα επαξθή αξηζκό θύθισλ Δηάγξακκα Wöhler ην ρ. 4.8, παξνπζηάδεηαη ην δηάγξακκα Wöhler θξάκαηνο αινπκηλίνπ κε κέγηζηε εθειθπζηηθή αληνρή ίζε κε 30Ma. ρ. 4.8: Γηάγξακκα Whler 4. Bathias, C. (1999). "There is n infinite fatigue life in metallic materials". Fatigue & Fracture f Engineering Materials & Structures (7): Askeland, Dnald R.; radee. hule (003). The Science and Engineering f Materials, Furth editin, Brks/Cle 4 htt://ulad.wikimedia.rg/wikiedia/cmmns/f/f9/brittlealuminium30ma_s-n_curve.jg Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-37

38 ηε ηεηκεκέλε X παξνπζηάδεηαη ην πιήζνο ησλ θύθισλ θόξηηζεο. ηελ ηεηαγκέλε Τ παξνπζηάδεηαη ην εύξνο ηεο ηάζεο. Γηα εύξνο ηάζεο ίζν κε ηε ηάζε αληνρήο ην πιήζνο ησλ θύθισλ πνπ απαηηνύληαη γηα αζηνρία είλαη ίζν κε ηε κνλάδα. Από ην δηάγξακκα παξαηεξείηαη όηη ην πιήζνο ησλ θύθισλ πνπ απαηηείηαη γηα ηελ αζηνρία ηνπ δνθηκίνπ κε εύξνο ηάζεο ίζν κε 00Ma είλαη 1000 (10 3 ) θύθινη. Γηα εύξνο ηάζεο ίζν κε 150Ma ην πιήζνο ησλ θύθισλ πνπ απαηηνύληαη γηα αζηνρία είλαη ίζν κε 10 4 θύθινπο. Σν δηάγξακκα Whler είλαη ρξήζηκν γηα ηελ εθηίκεζε ηεο αληνρήο ζε θόπσζε βάζεη ηνπ ηύπνπ ηνπ Miner Καλόλαο ηνπ Miner Ο θαλόλαο ησλ almgren-miner δειώλεη όηη ζηελ πεξίπησζε όπνπ ην πιήζνο ησλ επξώλ ηάζεο είλαη ίζν κε k S i (i=1,,k) θαη γηα θάζε εύξνο S i ην πιήζνο ησλ θύθισλ ηζνύηαη κε n i θαη γηα ηε ζπγθεθξηκέλε ζηάζκε S i ην πιήζνο ησλ θύθισλ σο ηελ αζηνρία ηζνύηαη κε Ν i ε αζηνρία ηνπ πιηθνύ ζα εκθαληζηεί όηαλ: n k i C (4.1) i1 Ni Όπνπ C ηηκή όξην πνπ θπκαίλεηαη από 0.7 σο. 5. πλήζσο γηα ιόγνπο ζρεδηαζκνύ ε ζρέζε (4.1) γξάθεηαη σο: k ni 1 (4.13) N i1 Ο ηύπνο ησλ almgren-miner απνηειεί ηδηαίηεξα ρξήζηκν εξγαιείν γηα ηελ εθηίκεζε ηεο αληνρήο ελόο ζηνηρείνπ ζε θόπσζε. Όκσο πξέπεη λα ζεκεησζεί όηη: 1. Γελ ιακβάλεη ππόςε ην ζηνραζηηθό ραξαθηήξα ηεο θόπσζεο (εμνύ θαη ε κεγάιε δηαζπνξά ησλ ηηκώλ ηνπ C πνπ πξνηείλνληαη από ηελ εθηέιεζε ζσξείαο πεηξακάησλ). Γελ ιακβάλεη ππόςε ηηο ζπλέπεηεο ηεο ζεηξάο επηβνιήο ησλ δηαθνξώλ αιιεινπρηώλ ηάζεο. Αιιεινπρίεο θύθισλ κε κηθξό εύξνο ηάζεο αθνινπζνύκελεο από αιιεινπρίεο θύθισλ κε κεγάιν εύξνο ηάζεο πξνθαινύλ κεγαιύηεξε δεκία από ηελ πξνβιεπόκελε βάζεη ηνπ θαλόλα. Αληίζηνηρα αιιεινπρίεο θύθισλ κε κεγάιν εύξνο ηάζεο αθνινπζνύκελεο από αιιεινπρίεο θύθισλ κε κηθξό εύξνο ηάζεο πξνθαινύλ κεγαιύηεξε δεκία από ηελ πξνβιεπόκελε θαζώο ε ππεξέληαζε ηνπ πιηθνύ νδεγεί ζηελ αλάπηπμε ζιηπηηθώλ παξακελνπζώλ εληάζεσλ κε απνηέιεζκα ηελ αύμεζε ηεο αληνρήο ηνπ δνθηκίνπ ζε θόπσζε. i 5 htt://en.wikiedia.rg/wiki/fatigue_(material) Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-38

39 Παξάγνληεο πνπ επεξεάδνπλ ηελ δηάξθεηα δωήο έλαληη θόπωζεο Γηάθνξνη παξάγνληεο επεξεάδνπλ ηελ δηάξθεηα δσήο έλαληη θόπσζεο. Οη παξάγνληεο απηνί είλαη: 1. Η πνιππινθόηεηα ηεο ρξνλνϊζηνξίαο ηωλ ηάζεωλ. Μία ή πεξηζζόηεξεο ηδηόηεηεο ηεο ρξνλντζηνξίαο ησλ ηάζεσλ (ρ. 4.9) ζα πξέπεη λα ζπκπεξηιεθζνύλ ζηελ αλάιπζε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο δηάξθεηαο δσήο όπσο ην εύξνο ηεο ηάζεο (ΓS), ε κέζε ηάζε (S m ), ε κέγηζηε ηάζε (S max ), ε πνιππινθόηεηα ηνπ πεδίνπ ησλ ηάζεσλ (κνλνδηάζηαηε, δπζδηάζηαηε ή ηξηζδηάζηαηε έληαζε) ε ζεηξά θόξηηζεο θ.ιπ.. Η γεωκεηξία ηνπ ζηνηρείνπ. Δγθνπέο θαη ηαρεία κεηαβνιή ηεο δηαηνκήο νδεγνύλ ζε ζπγθέληξσζε ησλ ηάζεσλ όπνπ θαη αλακέλεηαη ε εκθάληζε ξσγκώλ. 3. Η ηξαρύηεηα ηεο επηθάλεηαο. Ζ απμεκέλε ηξαρύηεηα επλνεί ηελ εκθάληζε ηεο ζπγθέληξσζεο ησλ ηάζεσλ κε απνηέιεζκα ηε κείσζε ηεο δηάξθεηα δσήο ζε θόπσζε. Ζ δηάβξσζε πνπ εκθαλίδεηαη ζηε δη-επηθάλεηα επαθήο κεηαμύ δύν ή πεξηζζνηέξσλ δνκηθώλ ζηνηρείσλ (fretting 6 ). Ζ ηξηβή κεηαμύ ησλ δη-επηθαλεηώλ έρεη σο απνηέιεζκα ηελ αύμεζε ηνπ πιήζνπο ησλ ελεξγώλ θέληξσλ ζηελ επηθάλεηα ηνπ πιηθνύ κε απνηέιεζκα ηελ αύμεζε ηεο ηαρύηεηαο δηάβξσζεο. Ζ δηάβξσζε έρεη σο απνηέιεζκα ηε δεκηνπξγία αζπλερεηώλ ζηελ θξπζηαιιηθή δνκή ηνπ πιηθνύ κε απνηέιεζκα ηελ επηηάρπλζε ηεο δηαδηθαζίαο ηεο θόπσζεο. 4. Ο ηύπνο ηνπ πιηθνύ. Πνιπκεξή θαη ζύλζεηα πιηθά παξνπζηάδνπλ απμεκέλε δηάξθεηα δσήο έλαληη ησλ κεηαιιηθώλ πιηθώλ. 5. Τν επίπεδν ηωλ παξακελνπζώλ ηάζεωλ. πγθνιιήζεηο, θνπέο, ρπηεύζεηο θαη άιιεο κεηαιινπξγηθέο δηεξγαζίεο απμάλνπλ ην επίπεδν ησλ παξακελνπζώλ ηάζεσλ πνπ νδεγεί ζε κείσζε ηεο δηάξθεηαο δσήο ηνπ ζηνηρείνπ έλαληη θόπσζεο. Ζ παξνπζία παξακελνπζώλ ηάζεσλ (πνπ νθείινληαη ζηελ κεηαιινπξγηθή δηαδηθαζία) κεηώλεη ηελ αληνρή ζε θόπσζε. Γηα ηε κείσζε ηνπ κεγέζνπο ησλ παξακελνπζώλ ηάζεσλ εθαξκόδεηαη ε δηαδηθαζία ηεο αλόπηεζεο (annealing 7 ). Ζ αλόπηεζε 8 είλαη κία κεηαιινπξγηθή ζεξκηθή θαηεξγαζία θαηά ηελ νπνία έλα κέηαιιν ή θξάκα, ην νπνίν έρεη ππνζηεί ελδνηξάρπλζε (κέζνδνο αύμεζεο ηεο αληνρήο θαη ηεο ζθιεξόηεηαο ηνπ πιηθνύ), ζεξκαίλεηαη ζε πςειή ζεξκνθξαζία ( C) θαη θαηόπηλ ςύρεηαη αξγά γηα αξθεηέο ώξεο, έηζη ώζηε λα εμαιεηθζνύλ νη ππνιεηπόκελεο εζσηεξηθέο ηάζεηο πνπ πξνθάιεζε ε ελδνηξάρπλζε. Ζ αλόπηεζε σο δηαδηθαζία πέξαλ ηεο κείσζεο ηνπ επηπέδνπ ησλ παξακελνπζώλ ηάζεσλ κεηώλεη ζεκαληηθά 6 htt://en.wikiedia.rg/wiki/fretting 7 htt://en.wikiedia.rg/wiki/annealing_(metallurgy) 8 htt://el.wikiedia.rg/wiki/αλόπηεζε Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-39

40 θαη ην πιήζνο ησλ αζπλερεηώλ ηεο θξπζηαιιηθήο δνκήο αλά κνλάδα όγθνπ απμάλνληαο θαηά ην ηξόπν απηό ζεκαληηθά θαη ηελ αληνρή ζε θόπσζε ηνπ δνθηκίνπ. ρ. 4.9: Οξηζκνί, εύξνπο ηάζεο (ΓS), ελαιιαζζόκελεο ηάζεο (Sa), κέζεο ηάζεο (Sm), ειάρηζηεο ηάζεο (Smin), κέγηζηεο ηάζεο (Smax), ιόγνπ ησλ ηάζεσλ (R), ιόγνπ ελαιιαζζόκελεο ηάζεο θαη θύθινπ θόξηηζεο Τν κέγεζνο θαη ε θαηαλνκή ηωλ εζωηεξηθώλ αηειεηώλ ηνπ πιηθνύ. Αλσκαιίεο θαηά ηε ρύηεπζε πνπ έρνπλ σο απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε αεξίσλ έγθνηισλ, θελώλ θαη εγθιίζεσλ από κε κεηαιιηθά πιηθά έρνπλ σο απνηέιεζκα ηε κείσζε ηεο δηάξθεηαο δσήο ηνπ ζηνηρείνπ έλαληη θόπσζεο. 7. Η δηεύζπλζε ηεο έληαζεο. ηελ πεξίπησζε ησλ κε ηζόηξνπσλ πιηθώλ ε δηάξθεηα δσήο ηνπ ζηνηρείνπ έλαληη θόπσζεο, εμαξηάηαη από ηε δηεύζπλζε ηνπ επηπέδνπ ηεο θύξηαο ηάζεο. 8. Τν κέγεζνο ηνπ θόθθνπ ηνπ πιηθνύ. Γηα ηα κεηαιιηθά πιηθά όζν κηθξόηεξνο ν θόθθνο (ιεπηόθνθθνη ράιπβεο θ.ιπ.) ηόζν απμάλεηαη ε δηάξθεηα δσήο ηνπ ζηνηρείνπ έλαληη θόπσζεο. εκεηώλεηαη όκσο όηη ζηα ιεπηόθνθθα πιηθά ε επαηζζεζία ηνπ ζηνηρείνπ έλαληη επηθαλεηαθώλ αηειεηώλ είλαη απμεκέλε. 9. Οη ζπλζήθεο πεξηβάιινληνο. πλζήθεο πνπ πξνθαινύλ δηάβξσζε, ή κεηαηξνπή ηεο ζπκπεξηθνξάο ηνπ πιηθνύ από όιθηκν-ειαηό ζε ςαζπξό νδεγνύλ ζε κείσζε ηεο δηάξθεηαο δσήο ηνπ ζηνηρείνπ έλαληη θόπσζεο. 10. Η ζεξκνθξαζία. Απμεκέλε ζεξκνθξαζία νδεγεί ζε κείσζε ηεο δηάξθεηαο δσήο ηνπ ζηνηρείνπ έλαληη θόπσζεο. ην ρ. 4.30, παξνπζηάδεηαη ε δηαηνκή ζηνηρείνπ από αινπκίλην ην νπνίν εμαηηίαο ηεο αλαθπθιηδόκελεο θόξηηζεο έρεη παξνπζηάζεη αζηνρία ιόγσ θόπσζεο. Ζ ζθνύξα πεξηνρή 9 Stehens, R. I. (001). Metal Fatigue in Engineering, Secnd editin, Jhn Wiley & Sns Κεθάιαην 4ν ΛΤΓΗΜΟ ΓΤΝΑΜΗΚΔ ΚΑΣΑΠΟΝΖΔΗ ΚΟΠΧΖ 4-40