ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ

Transcript

1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ : Ααγκαία συθήκη για α κατασκευάζεται µε καόα και διαβήτη έα καοικό πολύγωο είαι το πλήθος τω πλευρώ του α είαι της µορφής ( + )...( + ) όπου οι αριθµοί α, α,, α είαι θετικοί ακέραιοι και i οι + µε i =,,, α είαι πρώτοι διαφορετικοί αα δύο. ( Αριθµοί της µορφής + λέγοται πρώτοι του Fet). Πρώτος ο Gu διατύπωσε αυτή τη πρόταση και µέχρι τότε καέας δε αµφέβαλλε ότι τα καοικά πολύγωα µε όποιο άλλο αριθµό πλευρώ µπορού α κατασκευαστού. Θα ααφέρω τα σηµατικά βήµατα της σκέψης του. Πρι προχωρήσουµε στη σύδεση τω πρώτω του Fet µε τη κατασκευασιµότητα τω καοικώ πολυγώω θα ααφέρω µερικές απλές προτάσεις σχετικές µε τις γεωµετρικές κατασκευές.. Α είαι κατασκευάσιµο έα καοικό -γωο τότε είαι κατασκευάσιµο και κάθε κ -γωο.. Α (, ) =, τα καοικά -γωο και - γωο είαι κατασκευάσιµα α και µόο α είαι κατασκευάσιµο το καοικό. γωο. Απόδειξη Α το καοικό γωο είαι κατασκευάσιµο και Α, Α,., Α οι κορυφές του τότε τα σηµεία Α, Α, Α,,Α είαι κορυφές καοικώ -γωου. Ατιστρόφως: Καοικά - γωο και -γωο µε (, ) = είαι κατασκευάσιµα. Αφού (,) = υπάρχου θετικοί ακέραιοι α, β τέτοιοι ώστε α - β = τότε α β =. Οπότε α από α φορές το τόξο πλευράς και -γώο αφαιρέσουµε β φορές το τόξο πλευράς καοικού. -γώου, προκύπτει το τόξο πλευράς καοικού. -γώου. Παράδειγµα Είαι γωστοί η γεωµετρική κατασκευή του κα. Τριγώου και του κα. Πεταγώου.(3,5)= και 5 3 3= τότε 3 = Α από φορές το τόξο πλευράς κ. τριγώου αφαιρέσουµε τρεις φορές το τόξο πλευράς καοικού πεταγώου προκύπτει το τόξο πλευράς καοικού δεκαπεταγώου. 3 Α δίδοται. ευθύγραµµα τµήµατα µε µήκη α,b τότε είαι κατασκευάσιµα και τα τµήµατα µε µήκη x =α b, y= b, ω=. 4 Ααγκαία και ικαή συθήκη ώστε έα καοικό πολύγωο α είαι κατασκευάσιµο είαι το µήκος της πλευράς του λ α γράφεται µόο µε τη χρήση πεπερασµέου πλήθους τετραγωικώ ριζώ. π.χ λ = [ α + c + d b + q ] ( + b ) + (d + c ) ()

2 Το λ είαι ρίζα εός αάγωγου πολυωύµου του Q[x] που ο βαθµός του είαι δύαµη του. Με άλλα λόγια [Q (λ) : Q] = για κάποιο ακέραιο () ΘΕΩΡΗΜΑ Το πολύγωο f(x) = X - + X X + όπου πρώτος είαι αάγωγο στο Q[x]. Για τη απόδειξη θα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο του Eietei (η απόδειξη του στο παράρτηµα) και το εξής τέχασµα : Έστω c e k και f(x) K[x]. Το f(x) είαι αάγωγο στο Κ[x] α και µόο α το f(x + c) είαι αάγωγο στο K[x]. f(x) = x x ( x + ) f(x+) = x = X - + X Είαι γωστό ότι για κάθε Κ =,,.., - ο διωυµικός συτελεστής είαι k πολ/σιο του, και για κάθε k =,,..., -. Επίσης k γιατί =. Άρα το f(x+) είαι αάγωγο στο Q[x]. Άρα και το f(x). Λήµµα : Α το καοικό -γωο είαι κατασκευάσιµο τότε: = +. Έα καοικό -γωο είαι κατασκευάσιµο α και µόο α το co είαι κατασκευάσιµο.(3). co Q και co κατασκευάσιµο τότε π [Q ( co ) : Q] = δύαµη του. Το αάγωγο πολυώυµο f(x) = X - + X X + του Q[x] έχει ρίζα του j = co + i i άρα [Q(j) : Q ] =. Όµως co = ( j + j - ) άρα [Q (j): Q (co )] =.

3 Q (j) Q ( co ) δύαµη του Q Ισχύει η πολλαπλασιαστικότητα τω βαθµώ επέκτασης (4) άρα - = δύαµη του. = k τότε = k +. Α υπάρχει περιττός l τέτοιος ώστε k = l τότε = l + = ( ) l + που έχει παράγοτα το +. Άτοπο γιατί πρώτος. Άρα το k είαι δύαµη του δηλαδή = +. Λήµµα : Α πρώτος το καοικό -γωο για δε είαι κατασκευάσιµο. Έστω ότι το καοικό -γωο, είαι κατασκευάσιµο. Τότε η J = co + i i είαι κατασκευάσιµη. Φ ( ) = ( - ) = - ( ). Άρα [Q ( J ) : Q ] = - ( ). Όµως co = (J + J - π ) άρα [ Q (J ) : Q (co )] =. Α [Q(co ) : Q] = k τότε : Q (J ) k = - ( -) άρα k = - Όµως J κατασκευάσιµη άρα - π (-) Q (co ) co κατασκευάσιµο συεπώς το k είαι δύαµη του. k - = k = δύαµη του άρα Q άρτιος που είαι άτοπο. 3

4 Τώρα θα προχωρήσουµε στη απόδειξη του θεωρήµατος. = k k, 3 < <...< k. Βάσει της πρότασης, το καοικό - γωο κατασκευάζεται α και µόο α το καοικό -γωο µε =...k k κατασκευάζεται. Τότε το i i γωο κατασκευάζεται για κάθε i =,,,k. Σύµφωα µε το λήµµα, α i = για κάθε i =,,,k το i i κατασκευάζεται άρα βάσει του λήµµατος i = + µε + πρώτος. i γωο Άρα ααγκαία συθήκη ώστε έα καοικό -γωο α είαι κατασκευάσιµο είαι το α γράφεται στη µορφή = ( + )...( + ) όπου οι αριθµοί i +, i =,,,k είαι πρώτοι. Έχει αποδειχθεί και το ατίστροφο του θεωρήµατος (4). 4

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Κριτήριο Eietei Έστω Z είαι έας πρώτος. Υποθέτουµε ότι το f(x) = X X είαι στοιχείο του Ζ[x] και (od ) αλλά + i = (od ) α i< και (od ). Τότε το f(x) είαι αάγωγο πάω από το Q.. Έστω ότι το f(x) ααλύεται σε γιόµεο πολυωύµου µε µικρότερους βαθµούς στο Ζ[x]. Α f(x) = ( X +.+ b ) ( c X +.+ c ) είαι µια αάλυση στο Ζ[x], µε b, b c και, <, τότε από τις = (od ) και (od ) συµπεραίουµε ότι έας ακριβώς από τους, c διαιρείται µε το. b Ας υποθέσουµε ότι b (od ) και c (od ). Από τη (od ) έπεται ότι b, c (od ) διότι = b η µικρότερη τιµή του k για τη οποία c k (od ). c. Έστω Τότε α = b c + bi c +.+ b c i για κάποιο i µε i <. Τώρα καέας από τους b και c δε είαι ισότιµος µε το (od ), εώ οι c,, ci είαι όλοι ισότιµοι µε το (od ), οπότε (od ), δηλαδή =. Άρα = που είαι άτοπο αφού έχουµε υποθέσει ότι <. Βιβλιογραφικές παραποµπές:. Θεωρία Gloi, Joeh Rot. Θεώρηµα R.3. Θεωρία Gloi, Στυλιαού Αδρεαδάκη. Θεώρηµα 4.3. Θεωρία Gloi, Joeh Rot. Πόρισµα R.8 Θεωρία Σωµάτω, Ν.Γ Τζαάκη.Θεώρηµα.. Gloi theoy, I Stewt. Le 7.8 Εισαγωγή στη Άλγεβρα, Joh Fleigh. Θεώρηµα Θεωρία Gloi Joeh Rot. Λήµµα 49 Θεωρία Gloi Στυλιαού Αδρεαδάκη Πρόταση 4..6 Θεωρία Σωµάτω, Ν.Γ Τζαάκη.Θεώρηµα..4 Εισαγωγή στη Άλγεβρα, Joh Fleigh. Θεώρηµα Θεωρία Gloi, Joeh Rot. Θεώρηµα R. Θεωρία Gloi, Στυλιαού Αδρεαδάκη. Θεώρηµα Gloi theoy, I Stewt Θεώρηµα 7. 5