Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ AA A A

Transcript

1 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 0 Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : Από τη σχέση (54) µέχρι τέλος του εδαφίου, σελ 5, Πρόταση 6, σελ 45, Πρόταση 66 (θεώρηµα Schur), σελ 54 Θεώρηµα 7 ( Φασµατικό θεώρηµα ) Έας πίακας καοικός ακριβώς ότα είαι ορθοµοαδιαία όµοιος µε διαγώιο πίακα Απόδειξη : Έστω διαγώιος Επειδή οι πίακες D και D PDP, όπου P ορθοµοαδιαίος πίακας και PDD P PD DP είαι ατιµεταθετικοί έχουµε είαι Ατίστροφα, έστω ο πίακας είαι καοικός Για το πίακα υπάρχει ορθοµοαδιαίος πίακας ώστε PTP, όπου T είαι άω τριγωικός πίακας, (θεώρηµα Schur) Ατικαθιστώτας στη εξίσωση έχουµε Επειδή T TT T T D είαι άω τριγωικός πίακας από τη εξίσωση αυτή συµπεραίουµε ότι T είαι διαγώιος (άσκηση 7) Σχόλια από το Φασµατικό θεώρηµα Α ο πίακας είαι καοικός, τότε είαι καοικός για Α ο πίακας είαι καοικός, υπάρχει πίακας B τέτοιος ώστε B

2 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 0 Ο ερµιτιαός πίακας είαι καοικός ( ) και από τη Πρόταση 69 (σελ 44) συµπεραίουµε : Πόρισµα Έας πίακας είαι ερµιτιαός ακριβώς ότα είαι ορθοµοαδιαία όµοιος µε πραγµατικό διαγώιο πίακα Πρόταση 7 Ο τετραγωικός πίακας g, για κάποιο πολυώυµο g είαι καοικός ακριβώς ότα Απόδειξη : Έστω ο πίακας είαι καοικός και PDP, όπου ( ) και για το πίακα [ ] D dag λ, λ,, λ PP I Τότε P x x x είαι x [ ] dag ( λ, λ,, λ) x x x x x λ λ λ λ + +λ x λ +λ + +λ, [ x x x ] ( xx) ( xx) x x (7) όπου x x Οι πίακες είαι ερµιτιαοί και από τη (7) έχουµε Α όπου f ( λ) λ +λ + +λ ( λ ) λ ( λ ) +λ ( λ ) + +λ ( λ) g f f f, είαι τα πολυώυµα Lagrange f ( λ λ) ( λ λ )( λ λ+ ) ( λ λ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ έχουµε f, f λ, για j λ ( j) + και g( λ ) λ Επιπλέο

3 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 3 από 0 ( ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) f Pf D P Pdag f,, f,, f P και από τη (7) είαι ( ) P dag 0,,,, 0 P x x g g λ + g λ + + g λ λ +λ + +λ g Ατίστροφα, α, όπου g είαι πολυώυµο, έχουµε g g, δηλαδή, είαι καοικός Στη (7) σηµειώστε, ότι το άθροισµα του δεξιού µέλους είαι δυατό α περιορισθεί στις διακεκριµέες ιδιοτιµές του πίακα όπου XX και είαι X του ατίστοιχα της ιδιοτιµής λ +λ + +λ και θα είαι (7) πίακας µε στήλες τα ιδιοδιαύσµατα λ Πρόταση 73 Α οι πίακες και B είαι ατιµεταθετικοί, τότε έχου κοιό ιδιοδιάυσµα Απόδειξη : Έστω αεξάρτητα ιδιοδιαύσµατα Επειδή B λ σ και x, x,, x είαι ατίστοιχα γραµµικά r B έχουµε Bx Bx Bx λ δηλαδή, Bx είαι ιδιοδιάυσµα του Τότε r Bx p x ;,,,r j j j (73) και από τη (73) συµπεραίουµε BX XP, όπου X [ x x x ] και r Pr r p j Α µ, ω είαι ιδιοποσά του πίακα P, το διάυσµα Xω είαι κοιό ιδιοδιάυσµα τω τη B,, καθόσο B( Xω) XPω µ ( Xω) και από X λ X έχουµε ( Xω) λ( Xω)

4 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 4 από 0 Πρόταση 74 Α B B, υπάρχει ορθοµοαδιαίος πίακας Q τέτοιος ώστε όπου T, T QTQ, B είαι άω τριγωικοί πίακες Απόδειξη : Επαγωγικά, για QTQ, η πρόταση είαι αληθής, όπου [ ] εχόµαστε ότι υπάρχει κοιός ορθοµοαδιαίος πίακας Q S, που τριγωοποιεί ταυτόχροα ατιµεταθετικούς πίακες τύπου ( ) ( ) Για τους πίακες και B, εφόσο B B, οι και B έχου κοιό ιδιοδιάυσµα (Πρόταση 73) και έστω Α R [ x X], όπου RR I, τότε x λx, Bx µ x, όπου x λ xx RR, 0 x X µ xbx RBR 0 x BX Επιπλέο, από τη ατιµεταθετικότητα τω και B συµπεραίουµε τη ατιµεταθετικότητα τω R R, RBR και τη ατιµεταθετικότητα τω πιάκω X X και B X BX Για τους πίακες και B υπάρχει ορθοµοαδιαίος πίακας S, ώστε SS T, SBS T και T, T 0 είαι άω τριγωικοί πίακες Έτσι, για Q R 0 S, έχουµε QQ I και λ xx 0 QQ RR 0 S 0 S 0 S 0 0 S λ xx T, 0 T 0 0 µ xbx QBQ RBR T 0 S 0 S 0 T

5 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 5 από 0 Πόρισµα Α B B και οι πίακες και B είαι καοικοί, υπάρχει ορθοµοαδιαίος πίακας Q τέτοιος ώστε QQ D, QBQ D, όπου και D είαι διαγώιοι πίακες D Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 7 Α έας πίακας είαι καοικός και τριγωικός, τότε είαι διαγώιος Λύση : Έστω ο πίακας τ τ τ τ τ T O τ είαι καοικός Ατικαθιστώτας στη εξίσωση TT τω στοιχείω στη θέση () έχουµε 0 τ +τ + +τ τ τ τ Όµοια, από τη ισότητα τω στοιχείω στη θέση () τ + τ + + τ τ τ τ Συεχίζοτας, αποδεικύουµε ότι τ j 0 για j, δηλαδή T dag τ, τ,, τ T T, από τη ισότητα

6 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 6 από 0 Άσκηση 7 Έστω λ, λ,, λ είαι ιδιοτιµές του πίακα α j, τότε λ αj (αισότητα Schur ),j Η ισότητα ισχύει ακριβώς ότα είαι καοικός Λύση : Έστω PTP είαι η παραγοτοποίηση Schur του, όπου P ορθοµοαδιαίος πίακας και T t άω τριγωικός µε διαγώια στοιχεία t λ Τότε P ( TT ) P Επειδή και j, j tr tr TT P P tr TT tr α, j j, j και ( TT ) j j, j, j j tr t λ + t η αισότητα ισχύει άµεσα Θα είαι δε λ αj tj 0, j T διαγώιος καοικός,j Άσκηση 73 Έστω ο πίακας είαι καοικός Αποδείξατε, για Ι α O O, ΙΙ α I είαι ορθοµοαδιαίος Λύση : Ι Ο πίακας διαγωοποιείται και έστω ( ) P P dag λ, λ,, λ όπου PP I Από τη ισότητα O, έχουµε λ για j,,, και j 0 προφαώς O

7 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 7 από 0 ΙΙ Από τη ισότητα I λ, για j j j π ρ j,,, λ λ e, όπου ρ { 0,,, } Προφαώς, ο πίακας είαι ορθοµοαδιαίος π π π ρ ρ ρ Pdag e, e,, e P Άσκηση 74 Έστω ο καοικός πίακας B+ Γ, όπου B, Γ Αποδείξατε Ι Α οι πίακες B, Γ είαι συµµετρικοί, τότε BΓ Γ B B ΙΙ Ο πίακας K Γ είαι καοικός Γ B Λύση : Από τη ισότητα ( B + Γ)( B T Γ T ) ( B T Γ T )( B +Γ ) άρα BB + ΓΓ B B + Γ Γ T T T T και T T T T ΓB BΓ B Γ Γ B T Ι Έτσι, για B B και Γ Γ T από τη δεύτερη ισότητα έχουµε B Γ ΓB ΙΙ Επιπλέο, συµπεραίουµε KK T T T T T T T B Γ B Γ BB + ΓΓ BΓ ΓB T T T T T T B Γ Γ B ΓB BΓ ΓΓ + BB BB+ ΓΓ ΓB BΓ Γ B+ B Γ Γ Γ+ B B T T T T T K K T T T T 5 7 Άσκηση 75 Για το πίακα 4 α βρεθεί ορθογώιος πίακας P T και άω τριγωικός T, ώστε PTP Λύση : Θα ακολουθήσουµε τη διαδικασία στη απόδειξη του θεωρήµατος Schur Ο πίακας έχει ιδιοτιµές σ {, 3} και για λ,

8 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 8 από 0 T x [ ] είαι το ατίστοιχο µοαδιαίο ιδιοδιάυσµα Εύκολα x διαπιστώουµε ότι span{ } span [ ] T και ο πίακας είαι ορθογώιος Τότε P T 9 P P T 0 3 Άσκηση 76 Α ο πίακας Ι er er ΙΙ Im ( er ) είαι καοικός, τότε III Im Im Λύση : Ι Έστω x er Επειδή ο πίακας είαι καοικός x x 0 x 0 x er er er Επειδή και ο πίακας είαι καοικός, er er ( ) er και κατά συέπεια er er ΙΙ Α x er ( er ) από τη ισότητα Α y, ( x) y x ( y) 0 y, y ( er) Im ( er) x ( Im ), έχουµε y, x ( y) 0 y, ( x) y 0 x 0 x er er, Im er er Im Συεπώς Im er ΙΙΙ Οι ισότητες στις Ι και ΙΙ, οδηγού άµεσα στη ΙΙΙ

9 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 9 από 0 Άσκηση 77 Α οι πίακες και B είαι καοικοί και οι υπόχωροι Im και Im B είαι κάθετοι, τότε + B είαι καοικός Λύση : Επειδή Im Im B, για κάθε xy, έχουµε ( ) 0 0 x By By x y B x x By B B O Επίσης από τη ισότητα III (άσκηση 76) είαι Im Im B και τότε 0 x By By x, όπου συµπεραίουµε B B O Συεπώς + B + B + B + B + BB + B + B + BB + B B + B + B + B + B Άσκηση 78 Έστω ο πίακας είαι καοικός Αποδείξατε Ι α ο υπόχωρος είαι ααλλοίωτος είαι και ααλλοίωτος, { } ΙΙ max λ : λ σ Λύση : Ι Επειδή ο πίακας διαγωοποιείται, όπου { } span x είαι ααλλοίωτοι χώροι διάστασης έα και x είαι ιδιοδιάυσµα του υποχώρω και έστω Πρόταση 6, σελ 47, θα είαι Α dm <, θα είαι ευθύ άθροισµα τέτοιω Τότε για κάθε ω, σύµφωα µε τη ( c c c ) c c c ( c ) x ( c ) x ( c ) x ω x + x + + x x + x + + x λ + λ + + λ ΙΙ Έστω x λx, τότε xλ xκαι x λ x Συεπώς { ( ) } { } max λ : λ σ max λ : λ σ Άσκηση 79 Α ο πίακας είαι καοικός και οι πίακες, B είαι ατιµεταθετικοί, τότε και οι πίακες, B είαι ατιµεταθετικοί

10 Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 0 από 0 Λύση : Από τη ισότητα B και γεικά B υπάρχει πολυώυµο g B Bg B έχουµε B B B B B B, για κάθε Επειδή ο πίακας είαι καοικός, και g( λ ), ώστε g( ) (Πρόταση 7) Έτσι, θα έχουµε g B g B B B Άσκηση 70 Α ο πίακας είαι καοικός και στη ιδιοτιµή ατιστοιχού τα ιδιοδιαύσµατα x, x,, x q XX, όπου X x x x, είαι πολυώυµο του q, αποδείξατε ότι ο πίακας Λύση : Έστω λ, λ,, λ είαι οι διακεκριµέες ιδιοτιµές του, όπου λ λ και Α έχουµε Συεπώς, τότε από το Φασµατικό θεώρηµα f s ( q q) Pdag λ I,, λ I P λ + +λ + +λ ( s λ) ( s λ )( s λ+ ) ( s λ) λ λ λ λ λ λ λ λ f( λ ) και ( j ) + ( q ) f λ 0, για j,,, ; j, f Pf dag λ I,, λi,, λ I P Pdag 0,, f λ I,, 0 P q q q q P dag 0,, I,, 0 P XX λ