Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ Ασκήσεις : 1, 2, 3, σελ. 107.

Transcript

1 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ 05 Ασκήσεις :,, 3, σελ 07 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 4 Α ο πίακας R είαι ορθογώιος, αποδείατε ότι I Για κάθε µοαδιαίο διάυσµα x R, xx II tr Λύση : I Επειδή Συεπώς είαι ορθοκαοικός πίακας, ισχύει x = x = ( ) xx x x x x = = συθ=συθ και προφαώς xx=συθ II Στο ορθογώιο πίακα το µέτρο τω στοιχείω του είαι πάτοτε, έτσι tr =α +α + +α α +α + +α Άσκηση 4 Έστω ο πίακας είαι ορθογώιος Αποδείατε: I det = ο πίακας I+ δε ατιστρέφεται II = ο πίακας B ( I = ) είαι αδύαµος ( B B) =

2 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Λύση : I Εύκολα βλέπουµε ότι ( ) ( I I + = + ) και από τη ισότητα αυτή ( ( I ) ) ( I ) ( I ) ( I ) det + = det + det det + = det + ( ) ( ) ( ) det I+ = det I+ det I+ = 0 I+ δε ατιστρέφεται IΙ Επειδή = I και = = I Τότε = ( ) = ( + ) = ( ) = ( ) =B B I I I I Άσκηση 43 Α είαι το αλγεβρικό συµπλήρωµα του στοιχείου α του ορθογώιου πίακα, δείατε ότι = ( det ) α Λύση : Επειδή ο πίακας είαι ορθογώιος, = adj det για τα στοιχεία στη (j,i) θέση, έχουµε α = det = και από τη ισότητα Άσκηση 44 Αποδείατε ότι, για κάθε θ και ϕ, ο πίακας είαι ορθογώιος ηµϕ συθ ηµθ συϕ συθ = ηµϕ ηµθ συθ συϕ ηµθ συϕ 0 ηµϕ Λύση : ιαπιστώουµε ότι οι στήλες του δύο και κάθε στήλη έχει µέτρο είαι κάθετες µεταύ τους αά Άσκηση 45 Α ο πίακας είαι διαγώιος, µε διαγώια στοιχεία είαι ορθογώιος και τριγωικός, αποδείατε ότι ±

3 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 3 από 8 Λύση : Έστω α α α3 α α α3 α = α33 α 3 = O α [ ] όπου i είαι οι στήλες του Επειδή ο πίακας είαι ορθογώιος =, i j = 0 ; i,j=,,, i Από τις ισότητες αυτές έχουµε = α = α =± i i i i i i,,, = α = α =± ( ) = 0 α α = 0 α = 0 i = α = α =± ( ) = 0 α α = 0 α = 0 i = 0 α α = 0 α = 0 Άσκηση 46 Να βρείτε τα στοιχεία x,x,x 3, έτσι ώστε ο πίακας α είαι ορθογώιος x = x 0 6 x Λύση : Μπορείτε α υπολογίσετε τα εισώσεω 3 x,x,x 3 από το σύστηµα τω που προκύπτου από τη ισότητα x + x + x = 3 4x + 3x + x = 0 3 3x + 4x = 0 = I

4 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από 8 Έας άλλος τρόπος είαι α επεκτείουµε τη ορθοκαοική βάση [ ] , σε βάση του 3, προσαρτώτας το διάυσµα [ ] 0 0 Η βάση αυτή δε είαι ορθοκαοική και χρησιµοποιώτας τη µέθοδο ορθογωοποίησης Gram-Schmidt έχουµε Συεπώς = [ 0 0 ] = [ x x x ] 6 5 = = = Άσκηση 47 Α ο τετραγωικός πίακας είαι ορθογώιος, αποδείατε ότι x y y y x = y y y x x = +, y =, y> 0, και = I Λύση : Επειδή οι στήλες i του είαι ορθοκαοικά διαύσµατα, από τη ισότητα i =, για κάθε i =,,,, έχουµε x ( ) + y = (*) Επιπλέο από τη ισότητα i j = 0, για κάθε i, j =,,,, έχουµε ( ) ( ) xy+ y = 0 x+ y= 0 (*) διότι y 0 Η λύση του συστήµατος τω εισώσεω (*), για y> 0, είαι x = +, y =

5 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 5 από 8 Είαι προφαές ότι ο πίακας είαι συµµετρικός ( = ), συεπώς = = I Άσκηση 48 Α x είαι µη µηδεικό διάυσµα, αποδείατε ότι ο πίακας H = I xx xx είαι ορθογώιος και συµµετρικός Α y x = 0, τότε Hy = y και Hx = x Λύση : Είαι προφαές ότι Εύκολα διαπιστώουµε xx = x και xx είαι πίακας και = = = ( ) H I xx I xx I xx = H xx xx xx 4 4 = = = + HH H I xx I xx xx xx xx xx ( xx) ( ) ( ) = I xx + x ( x x) x = I xx + xx = I xx xx xx Επιπλέο Hx = = ( ) = = I xx xx x x xx x x x x x x και διότι xy = y x= 0 xx xx ( ) Hy = I xx y = y x x y = y Ο πίακας Householder H είαι γωστός στη βιβλιογραφία ως µετασχηµατισµός

6 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 6 από 8 Άσκηση 49 Α ο πίακας I+ είαι οµαλός, αποδείατε ότι: ( )( ) I ατισυµµετρικός ακριβώς ότα B= I I+ ορθογώιος ΙΙ ορθογώιος ακριβώς ότα B= I I+ ατισυµµετρικός ( )( ) Λύση : I Επειδή + = O και οι πίακες I+ και I είαι ατιµεταθετικοί, έχουµε ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) B B= I I+ I I+ = I+ I I I+ ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) = I I+ I I+ = I I I+ I+ = I Ατίστροφα, ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) BB I I I I I I I I I I = + + = = + + I I O + = = ΙΙ Α Ατίστροφα, = I, τότε ( )( ) ( ) ( ) B+ B = I I+ + I+ I ( I ) ( I )( I ) ( I )( I ) ( I ) ( I ) ( I I )( I ) ( I ) ( I )( I ) O = = = + + = ( ) ( )( ) B+ B = O I+ I I+ = O I = O = I Άσκηση 40 Να µελετηθεί και α ερµηευθεί γεωµετρικά η απεικόιση : 0 y = 0 0

7 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 7 από 8 Λύση : Από τη ισότητα όπου y = ( I+ ) x= x+ x 0 0 = αρκεί α µελετήσουµε το ορθογώιο πίακα Για x = x x x (Σχήµα [ ] 3 ), το διάυσµα ω = x = [ x ] 3 x x Σχήµα Σχήµα Σχήµα 3 βρίσκεται µε περιστροφή περί το άοα 0z κατά γωία π (Σχήµα ) και περιστροφή περί το 0y κατά γωία ατιστοιχού στις προηγούµεες στροφές είαι π (Σχήµα 3) Οι πίακες που

8 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 8 από P = 0 0, 0 0 Επαληθεύσατε ότι = QP 0 0 Q =