Κεφάλαιο. Τρισδιάστατη Εντατική Κατάσταση 5.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Transcript

1 Κεφάλαιο Τρισδιάστατη Ετατική Κατάσταση 5.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι βασικές έοιες που για πρώτη φορά εισάγαµε στο Κεφάλαιο µπορού πολύ εύκολα α εφαρµοσθού στη τρισδιάστατη ετατική κατάσταση. Όµως εά αυτή η εφαρµογή γίει ετελώς απλοϊκά, όπως θα δούµε στη συέχεια παρουσιάζοται σοβαρές δυσκολίες που µειώου τη πρακτική σηµασία της µεθόδου τω πεπερασµέω στοιχείω στη τρισδιάστατη ελαστικότητα. Οι δυσκολίες αυτές κυρίως µεταφράζοται στη υπερβολική (πολλές φορές) αύξηση του απαραίτητου για τη επίλυση, χρόου µηχαής ή σε ακραίες καταστάσεις σε εξαιρετικά επίποες διαδικασίες για τη εξοικοόµηση θέσεω στη µήµη. Για α ατιληφθούµε τη µορφή τω προβληµάτω που παρουσιάζοται στη τρισδιάστατη ελαστικότητα υποθέτουµε ότι κάποιος τετραγωικός χώρος χωρίζεται σε έα αριθµό ίσω στοιχείω µε 9 κόµβους. Ο αριθµός τω εξισώσεω είαι περίπου ίσος µε 8 εφόσο έχουµε δύο µετατοπίσεις σε κάθε κόµβο. Το πλάτος της λωρίδας είαι περίπου. Επιπλέο, δεχόµαστε ότι η ακρίβεια εός τριγωικού στοιχείου στη διδιάστατη αάλυση είαι συγκρίσιµη µε τη ακρίβεια εός τετραεδρικού στη τρισδιάστατη αάλυση. Εποµέως, έας ισοδύαµος τρισδιάστατος χώρος είαι αυτός εός κύβου 7. κόµβους. Ο αριθµός τω εξισώσεω είαι περίπου 8. δεδοµέου ότι κάθε κόµβος έχει τρεις δυατές µετατοπίσεις. Επιπλέο το πλάτος της λωρίδας είαι περίπου ίσο µε.7. Αυτού του είδους οι δυσκολίες µας επιβάλλου α καταφεύγουµε πολλές φορές σε θεωρίες (όπως η θεωρία πλακώ, κελυφώ, σωµάτω εκ περιστροφής, κλπ) που είαι πολυπλοκότερες αλλά σε ατιστάθµισµα δίου πολύ µικρότερο αριθµό εξισώσεω. Το απλούστερο από τα στοιχεία για τη εφαρµογή της µεθόδου τω πεπερασµέω στοιχείω στη τρισδιάστατη ελαστικότητα είαι το τετράεδρο [- ] (δες Πίακα.., Παράρτηµα ). Με το απλό τετραεδρικό στοιχείο (δηλαδή

2 óåë. ÏêôáêïìâéêÜ Óôïé åßá το στοιχείο που έχει κόµβους µόο στις κορυφές) θα ασχοληθούµε αποκλειστικά σ' αυτό το Κεφάλαιο. 5.. ΑΠΛΑ ΤΕΤΡΑΕ ΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 5... Συάρτηση τω Μετατοπίσεω Στο Σχ.5. εµφαίζεται έα τετραεδρικό στοιχείο e µε κορυφές,,, που ααφέροται στο καθολικό σύστηµα συτεταγµέω ΟXYZ. Οι µετατοπίσεις κάθε σηµείου ορίζοται από τις τρεις συιστώσες u,υ και w που είαι παράλληλες ατίστοιχα προς τους άξοες X,Y,Z. Εποµέως έχουµε (,, ) q (,, ) (,, ) (,, ) u υ w (5.) Οι µετατοπίσεις λοιπό του κόµβου (,,,) µπορού α συµβολισθού ως εξής u q υ,,,, (5.) w Οι συιστώσες τω κοµβικώ µετατοπίσεω µπορού α εµφαιστού µε τη µορφή εός µητρώου διαύσµατος ως εξής q q q e (5.) q q Για α εκφράσουµε τις µετατοπίσεις στο εσωτερικό του τετραέδρου, εκλέγουµε όπως και για το τρίγωο έα πολυώυµο και γωρίζοτας ότι οι βαθµοί ελευθερίας του στοιχείου είαι, η µετατόπιση θα δίεται από τη σχέση u(,,) a +a +a +a (5.) Οπότε, α χρησιµοποιηθεί η µητρωϊκή γραφή, προκύπτει X Z O Σχήµα 5. Y

3 q ή ή µε N (,, ) a a a a a u (,, ) a υ (,, ) a w (,, ) a a a a a (,, ) (,, ) (5.5α) q M a (5.5β) Ατικαθιστώτας στη (5.5) όπου,, τις συτεταγµέες τω κόµβω έχουµε u a υ a w a u a υ a 5 w a u (5.α) a7 υ a 8 w a9 u a υ a w a q e Aa Επιλύοτας ως προς a και ατικαθιστώτας το a στη (5.5) βρίσκεται (,, ) e e (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) u q(,, ) υ Μ A q N q w (,, ) [ ] (,, ) N N N N q (,, ) (,, ) e (5.β) (5.7) (,, ),,,, (5.8)

4 óåë. ÏêôáêïìâéêÜ Óôïé åßá και όπου s + b+ c+ d (,, ),,,, (5.9) s (5.) b (5.) c (5.) d (5.) για τις υπόλοιπες σταθερές αρκεί η απλή κυκλική εαλλαγή. Έστω, ο όγκος του τετραέδρου (,,,) που δίεται από τη σχέση Η σχέση (5.9) (για ) γράφεται (5.),, (5.5) όπου, είαι ο όγκος που ορίζεται από το σηµείο P µε συτεταγµέες,, και τα σηµεία,, (Σχ.5.). Είαι φαερό ότι ισχύει (5.) Όλα όσα είπαµε δείχου τη πλήρη ααλογία του τετραεδρικού µε το τριγωικό στοιχείο. Είαι λοιπό προφαές ότι µπορού α εισαχθού και έδω αάλογες φυσικές συτεταγµέες που δε θα οοµάζοται εµβαδικές και θα έχου παρόµοιες ιδιότητες. Οι συτεταγµέες αυτές οοµάζοται «συτεταγµέες όγκου».

5 5... Παραµορφώσεις Παρατηρείται ότι οι µετατοπίσεις µεταβάλλοται γραµµικά στις πλευρές του τετραέδρου. εδοµέου λοιπό ότι υπάρχει συµβιβαστότητα τω κοµβικώ µετατοπίσεω τω κοιώ κορυφώ δύο στοιχείω σε επαφή, υπάρχει συµβιβαστότητα µετατοπίσεω και στη κοιή πλευρά τους. Εποµέως το πεδίο τω µετατοπίσεω είαι κιηµατικά αποδεκτό και ορίζει µια σύµµορφη προσέγγιση. Το πεδίο τω παραµορφώσεω είαι επίσης κιηµατικά αποδεκτό και ορίζεται [ ] ε N q Bq B B B B q ε ε ε γ γ γ u υ w u υ υ w w u e e e ℵ,, (5.7) όπου B b c d c b d c d b,,,, (5.8) και ℵ έα µητρώο τελεστής Τάσεις Γεικά το υλικό µπορεί α έχει υποβληθεί σε αρχικές παραµορφώσεις δηλαδή παραµορφώσεις που οφείλοται στη αοµοιόµορφη αλλαγή της θερµοκρασίας, στη συστολή ή διόγκωση, κλπ. Εά συµβολισθού µε ε αυτές οι παραµορφώσεις τότε οι τάσεις δίοται από τη σχέση σd(ε ε ) (5.9)

6 óåë. ÏêôáêïìâéêÜ Óôïé åßá όπου, D είαι πάλι το µητρώο ελαστικότητας, που στη περίπτωση εός γραµµικού, ισότροπου και ελαστικού υλικού (Παράρτηµα, σχέση (..)) είαι E( ) D ( + )( ) συµµετρικό ( ) ( ) ( ) (5.) 5.. ΤΑ ΑΠΛΑ ΤΕΤΡΑΕ ΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΟΓΚΟΥ Κάθε σηµείο P(,,) µέσα στο στοιχείο e ορίζει τέσσερα τετράεδρα που έχου σα όριο τις πλευρές του e και τα τέσσαρα τµήµατα που εώου το P µε τις κορυφές,,,. Έστω, (,,,) ο όγκος του τετραέδρου που ορίζεται από το P και τις κορυφές εκτός τις (,,,) (Σχ.5.) και e ο όγκος του στοιχείου e. Τότε τα αδιάστατα µεγέθη: p e,,,, (5.) X Σχήµα 5. ορίζου έα έο σύστηµα συτεταγµέω που οοµάζοται συτεταγµέες όγκου. Παρατηρείται ότι τα p δε είαι αεξάρτητα αλλά επαληθεύου τη σχέση p + p + p + p (5.) Επίσης, παρατηρείται ότι οι συτεταγµέες όγκου p (,,,) συµπίπτου µε τις συαρτήσεις σχήµατος (,,,) εός τετραεδρικού στοιχείου e, δηλαδή p v p v p v p v (5.) Εύκολα επαληθεύεται η παρακάτω σχέση που συδέει τις καρτεσιαές µε τις συτεταγµέες όγκου p p p p Z O P Y (5.)

7 και από τη ατιστροφή έχουµε p p p p b c d s b c d s b c d s b c d s (5.5) όπου, s,b,c,d και δίοται από τις σχέσεις (5.)-(5.) για τις υπόλοιπες αρκεί η απλή κυκλική εαλλαγή. Η σχέση (5.5) µπορεί α γραφεί p p p p p p p p p p p p (5.) ή N,, (5.7) ηλαδή, µε µορφή αάλογη της (5.7). Οι συτεταγµέες λοιπό τω κόµβω (κορυφώ του τετραέδρου) δίοται βάσει τω συτεταγµέω όγκου κόµβος κόµβος κόµβος κόµβος :,,, :,,, :,,, :,,, Θεωρώτας σα αεξάρτητες µεταβλητές µόο τις p,p,p ισχύει η σχέση

8 óåë.8 ÏêôáêïìâéêÜ Óôïé åßá b b b p c c c D p d d d p Επίσης, για τη ολοκλήρωση ισχύει ο τύπος α β γ δ αβγδ!!!! pp ppd α+ β+ γ+ δ+! e (5.8) (5.9) 5.. ΟΚΤΑΚΟΜΒΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Πολλές φορές είαι πολύ δύσκολο α προσοµοιώσουµε έα τριδιάστατο στερεό µε τετραεδρικά στοιχεία χωρίς α έχουµε υπέρθεση τω στοιχείω µεταξύ τους ή α έχου ξεχαστεί τµήµατα χωρίς α προσοµοιωθού. Ακόµη, η υποδιαίρεση του στερεού µε αεξάρτητα τετραεδρικά στοιχεία συχά δηµιουργεί προβλήµατα διάκρισης τω στοιχείω µεταξύ τους και κατά συέπεια λάθος αρίθµησης τω κόµβω. Εά όµως τα τετράεδρα κατ αρχάς συτεθού ώστε α αποτελέσου εξάεδρα, η διακεκριµεοποίηση τω τρισδιάστατω στερεώ καταλήγει α γίεται πολύ πιο εύκολα µε τη χρήση εός απλού προγράµµατος Η/Υ. Η δηµιουργία εός στερεού εξάεδρου από πέτε τετράεδρα φαίεται στο Σχ.5.. Αυτό είχε σα συέπεια α δηµιουργηθού τα οκτακοµβικά τρισδιάστατα (ή brck) στοιχεία (Σχ.5.) [,5]. Καθέα από αυτά τα στοιχεία συτίθεται από 8 κόµβους τω οποίω η αρίθµηση λαµβάει χώρα ως προς έα καθολικό σύστηµα συτεταγµέω που έχει υιοθετηθεί. Άρα, οι κοµβικοί αριθµοί πρέπει α δίοται µε τη ίδια τάξη πχ.,,,8 κλπ (Σχ. 5.), σε όλα τα στοιχεία του σώµατος. Επίσης τα στοιχεία πρέπει α διευθύοται έτσι ώστε η πλευρά --- α είαι παράλ- Z ληλη ως προς το Υ-Z επίπεδο, η πλευρά -5-- ως προς το X-Z επίπεδο κλπ, αλλά πάτα µε το ίδιο τρόπο για όλα τα στοιχεία. Οι µετατοπίσεις κάθε σηµείου ορίζοται από τρεις συιστώσες u,υ, και w που είαι παράλληλες ατίστοιχα ως προς τους άξοες X,Y,Z. Για α εκφράσουµε τις µετατοπίσεις στο εσωτερικό του εξάεδρου, εκλέγουµε έα πολυώυµο και γωρίζο- Y Σχήµα 5.. Σύθετα στοιχεία από οκτώ κόµβους και η υποδιαίρεσή του σε τετράεδρα. X

9 τας ότι οι βαθµοί ελευθερίας του στοιχείου είαι 8, η µετατόπιση u θα δίεται από τη σχέση u,, a + a + a + a + a + a + a + a (5.) Στη συέχεια δουλεύοτας όπως στη 5.. µπορούµε α ορίσουµε τις συαρτήσεις σχήµατος του στοιχείου. Παρατηρείται ότι το πεδίο τω µετατοπίσεω είαι κιηµατικά παραδεκτό και ορίζει µια σύµµορφη προσέγγιση. Στη περίπτωση τω πρισµατικώ ορθογωικώ στοιχείω διευκολύει πολύ α εισαχθού οι αδιάστατες τοπικές συτεταγµέες (ξ,η,ζ) µε αρχή τους στο κέτρο βάρους (,, ) του στοιχείου (Σχ.5.). Οι συτεταγµέες του κέτρου του στοιχείου ορίζοται ως εξής: ( + ) ( + ) ( + 5) (5.) Οι αδιάστατες συτεταγµέες ορίζοται συαρτήσεις τω καθολικώ συτεταγµέω από τις σχέσεις ξ c η a ζ b,, (5.) όπου a,b,c τα ηµιµήκη τω πλευρώ του στοιχείου. Από τη (5.) προκύπτει ότι ξ, η, ζ. Ατικαθιστώτας τις (5.) στις (5.) και ακολουθώτας τη διαδικασία της 5.. τελικά προκύπτου N ξ η ζ N 5 ξ η ζ N ξ η ζ N ξ η ζ N ξ η ζ N 7 ξ η ζ N ξ η ζ N 8 ξ η ζ (5.) οι συαρτήσεις σχήµατος του στοιχείου συαρτήσει τω αδιάστατω συτεταγµέω. Με τη πρόοδο στους Η/Υ τα οκτακοµβικά στοιχεία έχου ααπτυχθεί πάρα πολύ. Ειδικά προγράµµατα δηµιουργίας καάβω [,7] βοηθού ώστε τρισδιάστατες κατασκευές α προσοµοιωθού µε επιτυχία µε τη βοήθεια οκτακοµβικώ στοιχείω. ΑΝΑΦΟΡΕΣ X Z O η- 7 8 ζ+ ζ- Y ξ+ ξ- 5 η+ Σχήµα 5.. Πρισµατικό ορθογώιο στοιχείο. [] GALAGHER R.H., PADLOG J. & BIJLAARD P.P., Stress Analss of Heated Comple Shapes, A.R.S. Journal, pp.7-77, (9).

10 óåë. ÏêôáêïìâéêÜ Óôïé åßá [] MELOSH R.J., Structural Analss of Solds, Proc.Amer. Soc.Cv.Eng., S.T., pp. 5-, (Aug.9). [] ARGYRIS J.H., Matr Analss of Three-Dmensonal Elastc Meda-Small and Large Dsplacements, J.A.I.A.A., ol., pp.5-5, (95). [] ARGYRIS J.H., Three-Dmensonal Ansotropc and Inhomogeneous Meda-Matr Analss for Small and Large Dsplacements, Ingeneur Archv., ol., pp.-55, (95). [5] CLOUGH R.W., Comparson of Three-Dmensonal Fnte Elements, Proc., Smposum on Applcaton of Fnte Element Methods n Cvl Engneerng, anderblt Unverst, Nashvlle, Tech, (publshed b ASCE), pp.-, (99). [] PISSANETZKY S., Kubk: An Automatc Three Dmensonal Fnte Element Mesh Generator, Int. J. Num. Meth. Eng., ol.7, pp.55-9, (98). [7] NGUYEN,.P., Automatc Mesh Generaton wth Tetrahedron Elements, Int. J. Num. Meth. Eng., ol.8, pp.7-89, (98).