Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύπου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύπου"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύου Παναγιώτης Α. Γούργουρας Ειβλέων: Νικόλαος Μαρμαράς Αθήνα, 004 1

2 «Όλοι οι αασχολούμενοι σε καθιστικέs εργασίες υοφέρουν αό όνο στην οσφυϊκή χώρα» Bernardini Ramazzini, De morbis Artificum (1713)

3 Εισαγωγή... 4 ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ Πόνος στην οσφυϊκή χώρα-ειδημιολογία Γενικά Ειδημιολογία- Εξάλωση- Ειτώσεις Ιστορία του καθίσματος εργασίας Άνεση Πόνος στην οσφυϊκή χώρα και νευματικός φόρτος εργασίας Στάση του σώματος και αόδοση κατά την εργασία Καθιστική εργασία και όνος στην οσφυϊκή χώρα Εισαγωγή Εφαρμοσμένη Ανατομία και Παθοφυσιολογία Ανατομία της σονδυλικής στήλης κατά την καθιστή θέση εργασίας... 3 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Προσδιορισμός ροτεινόμενης στάσης ανθρώου κατά την χρήση καθίσματος εργασίας Βασικές Αρχές Εργονομικού σχεδιασμού Ειλογή Ανθρωομετρικών Δεδομένων Διαστάσεις Ανθρώου, Ορισμοί Περιορισμοί για τη στάση του χρήστη Τελική στάση χρήστη με την ροσαρμογή στους εριορισμούς Βασικά μεγέθη για τα μαξιλαράκια Σχεδιασμός Πρωτοτύου Καθίσματος Εργασίας Ααιτούμενες δυνατότητες του καθίσματος Μεταβολές Θέσεως Μαξιλαριών κατά την ροσαρμογή αό το 3,5 ο στο 97,5 ο εκατοστημόριο Γενική μορφή καθίσματος Υολογισμός διαστάσεων αξόνων Διαδικασία του σχεδιασμού Υολογισμός ιδανικών διαστάσεων Χαρακτηριστικά ρωτοτύου καθίσματος Τελικές διαστάσεις ρωτοτύου καθίσματος Υολογισμός διαστάσεων ρωτοτύου καθίσματος Βάση στήριξης Υολογισμός διαστάσεων Κατασκευή Λετομέρειες κατασκευής Διαστάσεις βάσης Σύνδεση αξόνων- μαξιλαριών Μήκος Μαξιλαριών Σύνδεση αξόνων Kατασκευαστικό Σχέδιο Είλογος Βιβλιογραφία

4 Εισαγωγή Ύστερα αό μια μεγάλη σειρά ερευνών, αό διάφορα ειστημονικά εδία, είναι λέον ευρείας αοδοχής το συμέρασμα ότι το ανθρώινο σώμα είναι κατασκευασμένο για να κινείται και οοιαδήοτε στατική θέση δεν μορεί σε διάρκεια χρόνου να είναι άνετη. Ταυτόχρονα είναι σε όλους γνωστή η αλλαγή του τύου της εργασίας κατά την διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών αό την χειρονακτική σε μια ιο καθιστική μορφή. Μάλιστα τα τελευταία χρόνια η ραγδαία εξάλωση των ηλεκτρονικών υολογιστών εντείνει το φαινόμενο αυτό. Μαζί με την αλλαγή της μορφής της εργασίας εντάθηκε και το ρόβλημα του όνου στην οσφυϊκή χώρα. Όλο και μεγαλύτερο μέρος του ληθυσμού υοφέρει αό αυτό το, συσχετιζόμενο σε μεγάλο βαθμό και με τις εργασιακές συνθήκες, ρόβλημα. Μέχρι τώρα δε μόρεσε να δοθεί λύση ευρύτερης αοδοχής στο ρόβλημα της στάσης ου υιοθετεί ο εργαζόμενος σε ένα γραφείο. Τα ερισσότερα υάρχοντα καθίσματα ροτείνουν μια στατική θέση εργασίας κατά την οοία ο κορμός, οι μηροί και οι κνήμες σχηματίζουν μεταξύ τους ορθές γωνίες. Ο κλασσικός αυτός τρόος καθίσματος όως θα αρουσιαστεί στη συνέχεια δε ροσφέρει στην αντιμετώιση του ροβλήματος. Στόχος αυτής της διλωματικής εργασίας είναι ο σχεδιασμός ενός καθίσματος εργασίας ου να ληρεί τις ροϋοθέσεις για μια ιο «υγιεινή» στάση,όσο βέβαια αυτό είναι εφικτό αφού η ολύωρη διατήρηση οοιασδήοτε στάσης δε είναι υγιεινή για το σώμα, κατά τη διάρκεια της εργασίας. Στο Πρώτο Μέρος της εργασίας γίνεται η τοοθέτηση του ροβλήματος του σχεδιασμού καθίσματος εργασίας σε θεωρητικό λαίσιο. Παρουσιάζεται το ρόβλημα του όνου στην οσφυϊκή χώρα, τα ειδημιολογικά στοιχεία για την εξάλωση του ροβλήματος και τη σημασία του για την κοινωνία και την οικονομία, γίνεται μια αναλυτική αναφορά στη φυσιολογία του ροβλήματος, στους αράγοντες ου το ροκαλούν και στο τρόο εμφάνισης του. Γίνεται η συσχέτιση με την εργασία και ως αυτή συμβάλλει στη δημιουργία του. Τέλος τεκμηριώνεται θεωρητικά το ως η χρήση ενός συγκεκριμένου τύου καθίσματος μορεί να συμβάλλει στην ελάττωση του ροβλήματος και δίνονται οι ααραίτητες κατευθύνσεις για τον σχεδιασμό του Στο Δεύτερο Μέρος αναλύεται η ορεία του σχεδιασμού του ρωτοτύου καθίσματος και αρουσιάζεται αναλυτικά η μορφή και η λειτουργία του. Προσδιορίζεται σύμφωνα με τα συμεράσματα των ροηγούμενων κεφαλαίων η ροτεινόμενη στάση για τον άνθρωο και σχεδιάζεται το ρωτότυο κάθισμα το οοίο θα ρέει να ληρεί τις ροδιαγραφές αό λευράς υγιεινής ου θέσαμε αλλά να είναι ταυτόχρονα λειτουργικό και εύχρηστο σύμφωνα με τις αρχές του εργονομικού σχεδιασμού. Τέλος υάρχει το κατασκευαστικό σχέδιο του ρωτοτύου. Για την μετατροή του ρωτοτύου καθίσματος σε τελική κατασκευάσιμη μορφή ααιτείται η ροσαρμογή του καθίσματος με την βοήθεια κινητικών και στατικών μελετών αλλά και ο υολογισμός της αντοχής των μερών της κατασκευής για την ακριβή ειλογή των υλικών και των εξαρτημάτων ου ααιτούνται, αυτό το τμήμα όμως της μελέτης υερβαίνει τα όρια της αρούσας διλωματικής εργασίας. 4

5 Ευχαριστώ θερμά τον Καθηγητή κ. Μαρμαρά Νικόλαο για την αμέριστη υοστήριξη του στην εκόνηση αυτής της διλωματικής εργασίας. Χωρίς τη δική του είβλεψη και καθοδήγηση δεν θα ήταν δυνατή η ολοκλήρωση αυτής της μελέτης. Αλλά τον ευχαριστώ είσης γιατί έρα αό τα λαίσια αυτής της διλωματικής εργασίας η συνεργασία μας αοτέλεσε αρκετές φορές έναυσμα για εραιτέρω αναζητήσεις στα εδία της εργονομίας και της μηχανολογίας. Οφείλω είσης να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στον Καθηγητή κ. Σφαντζικόουλο για την συνεισφορά του στο σχεδιασμό του ρωτοτύου καθίσματος και τον Ιατρό Εργασίας κ. Χατζή Χρήστο για την συμβολή του στην τεκμηρίωση της θεωρητικής βάσης του σχεδιασμού. Τέλος, ευχαριστώ όλους όσους με υοστήριξαν και με ενθάρρυναν κατά τη διάρκεια της εργασίας και ιδιαίτερα την οικογένεια μου και την φίλη μου Αγγέλη Κατερίνα, φοιτήτρια Ιατρικής για την υομονή της να με εισάγει στις εξειδικευμένες ιατρικές έννοιες ου ήταν ααραίτητες για την ολοκλήρωση της εργασίας αυτής. Οκτώβριος 004 5

6 ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ 1 Πόνος στην οσφυϊκή χώρα-ειδημιολογία 1.1 Γενικά Ο όνος στην οσφυϊκή χώρα (όνος στη μέση όως είναι ευρύτερα γνωστός) είναι η ιο διαδεδομένη αό τις μυοσκελετικές δυσλειτουργίες τις συσχετιζόμενες με την εργασία και αυτή με τις μεγαλύτερες οικονομικές ειτώσεις. Χαρακτηριστικό είναι ότι το ετήσιο συνολικό κόστος (στοιχεία 1990) συνιστώμενο αό ιατρικές αοζημιώσεις, αουσία αό την εργασία, καθυστέρηση στην αραγωγή κτλ, για τις Η.Π.Α. ανέρχεται ερίου στα 80 δισεκατομμύρια δολάρια.(ergonomics Work & Health, St Pheasant,1991). Για το λόγο αυτό έχει μελετηθεί αό λευράς ειδημιολογίας εκτενέστατα. Εικόνα 1 : Η διασορά των συσχετιζόμενων με την εργασία μυοσκελετικών συμτωμάτων (Ergonomics Work & Health, St Pheasant,1991) Ο όνος στην οσφυϊκή χώρα να είναι οξύς ή αμβλύς, τοικός ή διάχυτος. Μορεί να εριορίζεται κατά μήκος της σονδυλικής στήλης ή να εκτείνεται ρος τα έξω και ρος τους γλουτούς και το άνω μέρος των μηρών. Μορεί ακόμα να εμφανιστεί και μούδιασμα του οδιού κάτι ου υοδεικνύει εμλοκή και των νεύρων. 6

7 Τα ερισσότερα εεισόδια εμφάνισης όνου στην οσφυϊκή χώρα είναι συνήθως χρονικά εριορισμένα. Ο όνος υοχωρεί σύντομα (σε λίγες βδομάδες το ολύ) αλλά η ιθανότητα εανεμφάνισης είναι ολύ υψηλή (της τάξεως του 60 % για εανεμφάνιση σε διάρκεια ενός χρόνου). Στην Εικόνα 1 φαίνεται η εξάλωση του ροβλήματος. Είναι χαρακτηριστικό το όσο μεγάλο είναι το οσοστό των εργαζομένων ου αντιμετωίζει συχνά ρόβλημα, ενώ είναι εντυωσιακό ως ένα οσοστό γύρω στο 0% των εργαζομένων (ερίου 1 στους 5) αντιμετωίζει καθημερινό ρόβλημα. Η ύαρξη βέβαια ολύ σοβαρών ροβλημάτων, συναντάται σανιότερα. Ωστόσο γεγονός αραμένει ως η αόδοση και η υγεία των εργαζομένων δέχονται σημαντική ειβάρυνση αό τον όνο στην οσφυϊκή χώρα Ειδημιολογία- Εξάλωση- Ειτώσεις Στη συνέχεια αραθέτονται στοιχεία ου δείχνουν οια ακριβώς είναι η είτωση του ροβλήματος του όνου στην οσφυϊκή χώρα για την οικονομία και την κοινωνία γενικότερα. Με βάση τα στοιχεία των ετών 1955 ως 198 για τη Μεγάλη Βρετανία (Εικόνα ) η αουσία αό την εργασία λόγω ασθένειας αό τον όνο στην οσφυϊκή χώρα αυξάνεται και σε αόλυτες μέρες και ως οσοστό της αουσίας λόγω ασθένειας γενικότερα. Είναι αράλληλα εντυωσιακό ότι ο αράγοντας φύλο δεν αίζει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη του ροβλήματος (Waddell, 1987). 7

8 Εικόνα : Αουσία αό την εργασία λόγω όνου στην οσφυϊκή χώρα και ως οσοστό των συνολικών ημερών αουσίας λόγω ασθένειας (Μ. Βρετανία) Μ: Άνδρες, W: Γυναίκες (Waddell 1987) Εξετάζοντας τη συμμετοχή του όνου στην οσφυϊκή χώρα στη συνολική αουσία αό την εργασία ενός ατόμου (αουσία τουλάχιστον 3 ημερών) αρατηρούμε ότι αρουσιάζει αό το 1975 και μετά ιδιαίτερα αυξητικές τάσεις. Μάλιστα αυτό αρατηρείται και για τα δύο φύλα τα οοία, ενώ το 1955 είχαν μεγάλη αόσταση, με την ομογενοοίηση των ααιτήσεων αό την εργασία ακολουθούν λέον συγκλίνουσα ορεία. Μια ιο οιοτική ματιά στα διαθέσιμα 8

9 στοιχεία φανερώνει ότι για το 85% του κόστους αό τις αουσίες εργαζομένων λόγω όνου στην λάτη ευθύνεται το 5% των εριτώσεων, ου αφορά μακροχρόνιες αουσίες (άνω των τριών μηνών). Ο όνος στην οσφυϊκή χώρα διακρίνεται αό αυτό το χαρακτηριστικό. Όταν το ρόβλημα δημιουργηθεί είναι δύσκολη η θεραεία του ενώ είναι σύνηθες να εανεμφανίζεται ύστερα αό λίγο καιρό ακόμα ιο έντονο. Μάλιστα σε εριτώσεις ου η αουσία του εργαζομένου ξεεράσει τους 6 μήνες η ιθανότητα να ειστρέψει στην δουλεία του είναι λιγότερη του 50%. Αν δε η αουσία είναι ενός έτους η ιθανότητα μειώνεται στο 5%, ενώ για αουσία ετών η ιθανότητα ειστροφής στην εργασία είναι σχεδόν μηδενική. Ειλέον στοιχεία (Biering-Sorensen 198) αρουσιάζουν αναλυτικότερα την είδραση αραγόντων όως η ηλικία και το φύλο. Τα στοιχεία αφορούν άτομα αό 30 ως 60 ετών αό ένα ροάστιο της Κοεγχάγης (Εικόνα 3). Υάρχουν στοιχεία για την εμφάνιση του ροβλήματος στο ληθυσμό για την χρονική στιγμή της έρευνας, για εμφάνιση στη διάρκεια του τελευταίου χρόνου αλλά και για εμφάνιση κάοια στιγμή στη ζωή των ανθρώων ου εξετάστηκαν. Τα αοτελέσματα ου με ασφάλεια μορούν να γενικευτούν για όλο τον ληθυσμό σε ηλικία εργασίας,δείχνουν ότι συνολικά το φύλο δεν διαφοροοιεί σημαντικά τον κίνδυνο να αντιμετωίσει κάοιος το ρόβλημα. Υάρχουν ειμέρους διαφορές ωστόσο δεν μορούμε να θεωρήσουμε ότι κάοιο αό τα δύο φύλα είναι ερισσότερο εκτεθειμένο σε σχέση με το άλλο. Εξετάζοντας χωριστά τα στοιχεία αρατηρούμε μικρή διακύμανση στα οσοστά του ανδρικού ληθυσμού σχετικά με την εμφάνιση του ροβλήματος στις διάφορες ηλικίες, ενώ για τις γυναίκες βλέουμε ότι το μεγαλύτερο ηλικιακά γκρου γυναικών αντιμετωίζει αυξημένο κίνδυνο σε σχέση με τις νεότερες. Ταυτόχρονα οι ροβλέψεις είναι ότι το 70% των ανθρώων θα βιώσει ένα η ερισσότερα εεισόδια όνου στην οσφυϊκή χώρα κατά τη διάρκεια της ζωής του. Age Point Prevalence (%) One-year period Prevalence (%) Cumulative Lifetime Prevalence (%) Men Women Men Women Men Women All Ages Εικόνα 3: Εξάλωση του όνου στην οσφυϊκή χώρα σε ένα ροάστιο της Κοεγχάγης (Στοιχεία Biering-Sorensen 198) Είναι λέον φανερό όσο σημαντικό είναι το ρόβλημα αυτό και το εύρος των φορέων ου εηρεάζει. Οι συνέειες του είναι ολλαλές : Αό ηθικής άοψης, η ταλαιωρία, η ειβάρυνση της υγείας, η αώλεια της οιότητας ζωής για τους άσχοντες 9

10 Αό οικονομικής άοψης, τα έξοδα νοσηλείας ή θεραείας, η αώλεια δυναμικού για τις ειχειρήσεις, η καθυστέρηση της αραγωγής Αό κοινωνικής άοψης, η ύαρξη μιας μερίδας ατόμων με ευαθή υγεία Στη συνέχεια αναλύεται με οιό τρόο και όσο άμεσα σχετίζεται με αυτό το σημαντικό ρόβλημα το κάθισμα εργασίας, αλλά και γενικότερα οι συνήθειες των εργαζομένων σε καθιστικές θέσεις εργασίας. 1. Ιστορία του καθίσματος εργασίας Στις αρχές του 18 ου αιώνα, όταν οι υάλληλοι ήταν όλοι άνδρες ήταν σύνηθες το να στέκεσαι όρθιος ενώ δουλεύεις στο γραφείο. Διατηρούνταν ακόμη εοιθήσεις ου σχετίζονταν με τη θέση των εργαζομένων (κυρίως γραμματέων) σε σχέση με τους εργοδότες τους, ου τους ήθελε να βρίσκονται σε στάση ροσοχής ως ένδειξη σεβασμού. Αό τότε ολλά άλλαξαν, ιδίως με την είσοδο των γυναικών στην εργασιακή διαδικασία και λέον θεωρείται «αοδεκτό» να κάθεσαι κατά την εργασία. Η εξελικτική ορεία του σύγχρονου καθίσματος εργασίας συμβαδίζει με τις ανά εοχή εικρατούσες αντιλήψεις και θεωρίες για τον υγιεινό τρόο κάθεσθαι. Αό αρκετά αλιά (19 ος αιώνας) ολλοί φυσιολόγοι και ορθοεδικοί (Staffel 1884) ανέτυξαν θεωρίες για την καθιστή στάση. Η κοινή τους αντίληψη ήταν ότι το να κάθεσαι υγιεινά, το να μορείς δηλαδή να διατηρείς τις ειθυμητές κυρτότητες της σονδυλικής στήλης, σημαίνει να κάθεσαι σε ορθή (στητή) στάση. Αυτή η στάση εριγράφεται αό την αρακάτω ειλογή των σχεδίων ου αοτελούν τη βάση για τη διεθνή τυοοίηση, ανθρωομετρία και την κατάρτιση των σχεδιαστών είλων (Εικόνα 4). Εικόνα 4:Διεθνής τυοοίηση των θέσεων εργασίας Η αντίληψη αυτή, αν και δε έχει καμία ειστημονική βάση, διατηρήθηκε μέχρι αρκετά ρόσφατα. Προέρχεται ερισσότερες αό κανόνες ηθικής και αντιλήψεις ερί ειθαρχίας ου συναντώνται εί ημερών της Βασίλισσας Βικτορίας στην Μ. Βρετανία. Κατά τη διάρκεια αυτής ης εριόδου είχαμε ολλούς τύους καθισμάτων ου ικανοοιούσαν αυτό το κριτήριο. Αρχικά, τα καθίσματα εργασίας ήταν κατασκευασμένα αό ξύλο με ειφάνειες εργασίας ου σχημάτιζαν ορθές γωνίες μεταξύ τους (Hard facts about soft machines,lueder & Noro 1994). Τα μαξιλαράκια στήριξης της λάτης ήταν, όταν υήρχαν, ολύ μικρά και σκληρά και τοοθετούνταν στο ύψος της οσφυϊκής χώρας. Οι βραχίονες στήριξης θεωρούνταν είδος ολυτελείας. Στα υλικά κατασκευής αργότερα ροστέθηκε το μέταλλο ενώ το στήριγμα για την λάτη μεγάλωσε σε ύψος ώστε να καλύτει ερισσότερο τον χρήστη. Παράλληλα εμφανίστηκαν και τα ρώτα μοντέλα ου εριελάμβαναν και ρόβλεψη για την ροσαρμογή των 10

11 διαστάσεων τους στα ανθρωομετρικά δεδομένα του χρήστη, ροσφέροντας αλές ρυθμίσεις για το ειθυμητό ύψος της έδρας (seat pan) και του στηρίγματος της λάτης (backrest). Το εόμενο βήμα ήταν η ικανοοιητικότερη ροσέγγιση των διαστάσεων με τα ανθρωομετρικά δεδομένα και τις ανάγκες της εργασίας, με τη ύαρξη ρυθμίσεων ακόμα ερισσότερων χαρακτηριστικών του καθίσματος, όως οι γωνίες μεταξύ της έδρας και του στηρίγματος της λάτης, ή η ύαρξη βραχιόνων στήριξης (armrest). Στις αρχές του 70 διατυώθηκαν νέες θεωρίες σχετικά με το υγιεινό κάθισμα. Αν και αρχικά διατυώθηκε αό Γερμανούς ανατομιστές του 19 ου αιώνα, ήταν ο A. C. Mandal, Δανός χειρουργός (1976,1981) ο οοίος ρότεινε ότι η έδρα του καθίσματος θα ρέει να αοκτήσει κλίση ρος τα εμρός ή ρος τα ίσω κατά το ειθυμητό. Έτσι ώστε να μορεί να διαμοιράσει την εριστροφή της λεκάνης ου συμβαίνει κατά την εναλλαγή αό την όρθια στην καθιστή στάση και ακόμα να μειώσει τη μυϊκή ροσάθεια ου ααιτείται για να καθίσει κάοιος σε ορθή στάση ή και να γράψει σ ένα γραφείο(αναλυτικότερα σε εόμενο κεφάλαιο). Αυτό είχε ως αοτέλεσμα τη δημιουργία μιας νέας γενιάς καθισμάτων εργασίας με δυνατότητα κλίσης ρος τα μρος ή ρος τα ίσω (forwards-backwards tilting chair) με ή χωρίς στήριγμα για την λάτη, με ή χωρίς υοστήριξη για τα γόνατα (semi-kneeling chair).τύοι τέτοιων καθισμάτων αρουσιάζονται στην Εικόνα 5. Ταυτόχρονα συνεχίστηκε και η εξέλιξη των «συμβατικών» καθισμάτων εργασίας τα οοία λέον είχαν την δυνατότητα συγχρονισμένης ρύθμισης έδρας και στηρίγματος λάτης η οοία όμως γίνονταν χειροκίνητα. Εικόνα 5 : Τύοι semi-kneeling καθισμάτων Η εόμενη γενιά καθισμάτων (τέλη δεκαετίας 80) ήταν ροϊόν της θεωρίας για τη δυναμική υοστήριξη του χρήστη (dynamic seating) τα οοία αρείχαν συνεχή και συνδυασμένη υοστήριξη των κινήσεων του σώματος του. Η έδρα και το στήριγμα της λάτης μορούσαν να ρυθμίζονται ταυτόχρονα σε διαδοχικές θέσεις ακολουθώντας τις κινήσεις του χρήστη σε ένα ευρύ εδίο γωνιών και στάσεων. Φυσικά σε όλη τη διάρκεια αυτής της ορείας υάρχουν και ολλοί ακόμη τύοι καθισμάτων ου με αντισυμβατικό τρόο ροσέγγιζαν το ρόβλημα και ροσαθούσαν 11

12 άλλοτε με ειτυχία και άλλοτε όχι να καλύψουν ανάγκες είτε του συνόλου είτε ειδικών ομάδων κοινού και εξειδικευμένων σε ααιτήσεις εργασιών. Κάοιες μορφές τέτοιων καθισμάτων αρουσιάζονται στην Εικόνα 6 Εικόνα 6: Τύοι μοντέρνων-«αντισυμβατικών» καθισμάτων εργασίας Κλείνοντας αυτή τη σύντομη αναφορά θα μορούσαμε να ούμε ότι δεν αρουσιάστηκε κατά τη διάρκεια όλων αυτών των ετών ένα ιδανικό κάθισμα με ευρύτατο εδίο χρήσης και όσον αφορά τη οικιλομορφία των ανθρωομετρικών δεδομένων αλλά και των ααιτήσεων της κάθε εργασίας. Είναι λοιόν αυτή η αρατήρηση ου αοτελεί τη βάση αυτής της μελέτης. Δεν αοτελεί δηλαδή η καρέκλα ου καλούμαστε να σχεδιάζουμε ρόταση για το ιδανικό κάθισμα αλλά μελέτη και ροσθήκη ενός ακόμα τύου καθίσματος στη γκάμα των ήδη υαρχόντων και στη κρίση των χρηστών. 1.3 Άνεση Οι στόχοι ενός καθίσματος εργασίας είναι οι αρακάτω : Να είναι άνετο για μεγάλο χρονικό διάστημα χρήσης Να είναι ικανοοιητικό αό λευράς φυσιολογίας (να ταιριάζουν οι σχεδιαστικές διαστάσεις με τα ανθρωομετρικά δεδομένα) Να είναι κατάλληλο για το συγκεκριμένο είδος εργασίας Ωστόσο τι εννοούμε με τον όρο άνεση ; Άνεση είναι η κατάσταση του νεύματος ου αρουσιάζεται στην αουσία ενόχλησης, δυσαρέσκειας για τη θέση και τη στάση ου έχουμε ειλέξει.(ergonomics Work & Health,St. Pheasant 1991). Η αίσθηση της άνεσης είναι μια ασφαλής ένδειξη για την καταλληλότητα του καθίσματος και για το αν ληρεί τα κριτήρια αό λευράς υγείας για μας. Φυσικά η άνεση σαν μέγεθος δεν οσοτικοοιείται. Όχι μόνο δεν υάρχει σαφής διαβάθμιση στην άνεση ου ροσφέρει ένα κάθισμα εργασίας αλλά έχει αοδειχτεί ότι δεν μορεί να υάρξει ούτε αντικειμενικότητα. Όλα τα καθίσματα γίνονται άβολα για αρατεταμένη διάρκεια χρήσης. Παρατηρείται όμως κάοια καθίσματα να δημιουργούν αυτό το συναίσθημα στον ίδιο άνθρωο νωρίτερα αό άλλα, ενώ στο ίδιο κάθισμα μορεί ένας άνθρωος να νιώθει άβολα νωρίτερα αό κάοιον άλλον. Έτσι η ώρα ου θα εράσει μέχρι να νιώσει άβολα ο καθένας μας ροσδιορίζει το αν το κάθισμα για εκείνον θεωρείται άνετο ή όχι. 1

13 Ενδιαφέρον αρουσιάζουν οι κλίμακες αξιολόγησης άνετου και άβολου ου κατάρτισαν οι Helander και Zhang (1995): Κλίμακα άνετου 1. Νιώθω ξεκούραστα. Νιώθω αναζωογονημένος 3. Το κάθισμα είναι ααλό 4. Το κάθισμα είναι ευρύχωρο 5. Το κάθισμα είναι όμορφο 6. Το κάθισμα μου αρέσει 7. Νιώθω άνετα Κλίμακα άβολου 1. Νιώθω όνου στους μύες. Νιώθω τα όδια μου βαριά 3. Νιώθω ίεση στα όδια 4. Έλλειψη ευκαμψίας 5. Νιώθω ανήσυχος 6. Νιώθω κουρασμένος 7. Νιώθω άβολα Helander s and Zhang s Ranking Οι ενδείξεις και οι αισθήσεις ου μας οδηγούν στο να μη νιώθουμε άνετα είναι η αλλαγή στην κατανομή της ίεσης στις ειφάνειες του σώματός μας ου έρχονται σε εαφή με την καρέκλα και η αλλαγή στη φόρτιση του μυοσκελετικού συστήματος. Το φαινόμενο αυτό είναι ιδιαίτερα κατανοητό στην ερίτωση ου καθόμαστε σε μια σκληρή και λίγο ψηλότερη αό το ειθυμητό καρέκλα. Σε σχετικά σύντομο χρονικό διάστημα (οικίλει ανά χρήστη) θα αρχίσουμε να νιώθουμε άβολα. Το αίσθημα θα οφείλεται στην ασκούμενη ίεση στους μηρούς μας. Για να ελαφρύνουμε αυτή την ενόχληση ίσως αρχίσουμε να ανασηκώνουμε ή να σταυρώνουμε ασυνείδητα τα όδια μας. Έτσι αλλάζει η κατανομή της ίεσης και εανέρχεται στα φυσιολογικά η κυκλοφορία του αίματος στις εριοχές του συμιεσμένου ειφανειακού ιστού. Ύστερα αό λίγο η ενόχληση θα γίνει ιο έντονη και η ανακούφιση ου θα ροσφέρουν οι αραάνω κινήσεις μικρή. Οι μηροί και συνολικά τα όδια θα μουδιάζουν και θα ονάνε και θα μας αναγκάσουν να σηκωθούμε για να ααλλαγούμε αό την ενόχληση. Θα ρέει κλείνοντας την ενότητα της άνεσης να γίνει σαφές ότι η ολύωρη διατήρηση οοιασδήοτε στάσης δεν μορεί να είναι άνετη για τον άνθρωο. Όως ήδη αναφέρθηκε το ανθρώινο σώμα ααιτεί την εναλλαγή στάσεων και την κίνηση. Η στατική φόρτιση των μυών και η ακινησία της σονδυλικής στήλης ου δυσκολεύει την «θρέψη» των σονδύλων,όως θα αναλυθεί και στη συνέχεια είναι μερικά μόνο αό τα μειονεκτήματα της διατήρησης μιας συγκεκριμένης στάσης. Έτσι δεν θα ρέει να χρησιμοοιείται ο όρος «ορθή» στάση αφού είναι λέον σαφές ότι δεν υάρχει κάοια συγκεκριμένη ιδανική στάση. 1.4 Πόνος στην οσφυϊκή χώρα και νευματικός φόρτος εργασίας Μετά αό έναν αριθμό ερευνών και στατιστικών ου έχουν διεξαχθεί είναι κοινά αοδεκτή η άμεση συσχέτιση μεταξύ του όνου στην οσφυϊκή χώρα και του νευματικού φόρτου εργασίας (ή του βαθμού νευματικής αασχόλησης) του χρήστη ενός καθίσματος εργασίας. Η αύξηση της αασχόλησης αοτελεί έναν ακόμη αράγοντα αύξησης της ενόχλησης στην οσφυϊκή χώρα κατά την διάρκεια της εργασίας. Μια εξήγηση για αυτό βρίσκεται στο ότι όταν είμαστε ολύ συγκεντρωμένοι στο αντικείμενο της εργασίας «ξεχνάμε» να κάνουμε ακόμα κι αυτές τις ασυνείδητες μικροκινήσεις, ου αναφέραμε στο ροηγούμενο αράδειγμα, ώστε να εανέλθει η κανονική ροή του αίματος στις εριοχές ου έρχονται σε εαφή (Ergonomics Work & Health, St. Pheasant,1991). 13

14 Άλλοι ερευνητές αρατήρησαν ότι τα καθίσματα στις αίθουσες σεμιναρίων ή αρουσιάσεων είναι συνήθως εξίσου άβολα με αυτά σε χώρους όως καφετέριες ή χώρους μαζικής εστίασης.ωστόσο στους τελευταίους κανένας δε φαίνεται να διαμαρτύρεται, ενώ κατά τη διάρκεια μιας ομιλίας (ιδίως δε όταν αυτή δεν αρουσιάζει για το ακροατήριο ιδιαίτερο ενδιαφέρον!) οι ακροατές δυσανασχετούν με την καρέκλα τους γρηγορότερα και εντονότερα. Θα μορούσε κάοιος να ει ότι οι δύο αρατηρήσεις αναιρούν η μία την άλλη, ωστόσο μοιάζει σωστότερο να τις θεωρήσουμε ως τις δύο όψεις του ιδίου νομίσματος. Συμερασματικά, δεν μορούμε αρά να λάβουμε υ όψιν μας, ως μια αό τις αρκετές συνιστώσες, τον αράγοντα νευματική αασχόληση κατά την αξιολόγηση ενός καθίσματος εργασίας. 1.5 Στάση του σώματος και αόδοση κατά την εργασία Είναι ήδη φανερό ότι υάρχει ένας μεγάλος όγκος ερευνών και αξιόιστων αοτελεσμάτων γύρω αό το θέμα της θέσης εργασίας και αυτό είναι αόλυτα λογικό αφού εηρεάζει μια μεγάλη μερίδα του κόσμου αλλά και οικονομικούς και κοινωνικούς αράγοντες. Στα λαίσια της αρούσας διλωματικής εργασίας είναι χρήσιμο το να γνωρίζουμε σε ιο βαθμό η ειλογή της στάσης εηρεάζει την αόδοση του εργαζομένου. Ακριβώς αυτή η συσχέτιση εξετάζεται αό τον έρευνα A.M. Woods. Χρησιμοοιώντας διάφορες στάσεις αό την όρθια μέχρι την ξαλωτή εξέτασε σε οια στάση η αόδοση του εργαζομένου είναι η υψηλότερη. Το ιο ασφαλές μετρήσιμο μέγεθος ήταν ο χρόνος αντίδρασης του εργαζομένου στο αίτημα του ελάτη. Όως ίσως αναμένονταν η όρθια στάση ειτυγχάνει το βέλτιστο χρόνο αντίδρασης. Γενικά η είδραση της στάσης είναι μεγαλύτερη για ανθρώους μεγάλης ηλικίας σε μονότονη, εαναλητική εργασία. Εκεί ο χρόνος αντίδρασης για την καθιστή στάση είναι σημαντικά μεγαλύτερος. Τα αοτελέσματα ειβεβαιώνουν και την εοίθηση ου υήρχε κατά τη διάρκεια των ετών στην κατασκευή καθισμάτων. Για σκοούς χαλάρωσης και ξεκούρασης τα καθίσματα ροσεγγίζουν την ξαλωτή (οριζόντια ) στάση, ενώ όλοι μας έχουμε στο μυαλό μας εικόνες αό εργαζόμενους σε θέσεις εαφής με το κοινό, θέσεις ου ααιτούν άμεση αντίδραση, ου είναι όρθιοι (.χ. ωλητές)....όλοι γνωρίζουν ότι ο άνθρωος δεν κοιμάται συνήθως όρθιος ή καθισμένος στητός σε μια καρέκλα, και ότι «βυθίζεται στον ύνο» σε εάν άνετο βαθύ κάθισμα... (Branton, 1987) Καθιστική εργασία και όνος στην οσφυϊκή χώρα.1 Εισαγωγή Οι άνθρωοι ου κάνουν καθιστική εργασία σίγουρα θα έχουν βιώσει ή κινδυνεύουν να βιώσουν ρόβλημα με την μέση (όως στην καθημερινή γλώσσα το αναφέρουμε) όνο δηλαδή, στην εριοχή της οσφυϊκής χώρας. Αφορμή για την εμφάνιση του είναι τις ερισσότερες φορές κάοια αότομη κίνηση. Σίγουρα όμως δεν είναι αυτή η αιτία ου τα ροκαλεί. Αν και δεν μορούμε με σιγουριά να ροσδιορίσουμε άντα την ραγματική αιτία 14

15 φαίνεται ως αυτή κρύβεται στη λανθασμένη στάση της σονδυλικής στήλης κατά τη διάρκεια της εργασίας.. Εφαρμοσμένη Ανατομία και Παθοφυσιολογία Η ανθρώινη σονδυλική στήλη αοτελείται αό 4 κινητούς σονδύλους : 7αυχενικούς (Α1:Α7), 1 θωρακικούς (Θ1:Θ1), 5 οσφυϊκούς (Ο1:Ο5), το ιερό οστό ου είναι ουσιαστικά συνοστέωση 5 σονδύλων (Ι1:Ι5) και του κόκκυγα. Όλα αυτά αρθρώνονται το ένα με το άλλο και με τον υόλοιο σκελετό δημιουργώντας ένα σύνολο 137 συνδέσεων. Η σονδυλική στήλη έχει ικανότητα να λυγίζει και να στρέφεται ενώ υοστηρίζει το κεφάλι, ροστατεύει τον νευρικό ιστό και λειτουργεί ως συνδετικό σημείο για τις λευρές (αρθρώνονται με θωρακικούς) και για τους μύες της λάτης (Biomechanics In Ergonomics,Shr. Kuman,1999). Κάθε σόνδυλος υοβαστάζει το υερκείμενο βάρος του κορμού. Αυτό ερμηνεύει γιατί το μέγεθος των σωμάτων των σονδύλων αυξάνει διαδοχικά αό την αυχενική ρος την οσφυϊκή μοίρα της σονδυλικής στήλης. Βλέοντας τη σονδυλική στήλη αό το λάι αρατηρούμε ότι αυτή αρουσιάζει 4 φυσιολογικά κυρτώματα, δύο ου στρέφουν το κυρτό ρος τα εμρός (αυχενική, οσφυϊκή μοίρα) και δύο ου στρέφουν το κυρτό ρος τα ίσω (θωρακική, ιεροκοκκυγική). Για τη σύνδεση μεταξύ των σονδύλων, τη δυνατότητα σχετικής κίνησης τους και την αόσβεση των αραγόμενων δονήσεων είναι υεύθυνοι οι μεσοσονδύλιοι δίσκοι. Έχουν σχήμα αμφίκυρτου φακού και αρθρώνονται με τις ειφάνειες των δύο εάλληλων σονδύλων ενδιάμεσα των οοίων αρεμβάλλονται. Η εριφέρεια των δίσκων μροστά και ίσω συνδέεται με τους ειμήκεις συνδέσμους της σονδυλικής στήλης. Στις Εικόνες 7,8,9 αρουσιάζεται αναλυτικά η ανατομία της σονδυλικής στήλης, των σονδύλων και των,μεσοσονδυλίων δίσκων. 15

16 Εικόνα 7: Πρόσθια, αριστερή λάγια και οίσθια άοψη της σονδυλικής στήλης (Άτλας Ανατομικής ανθρώου,frank H. Netter,----) 16

17 Εικόνα 8: Μεσοσονδύλιος δίσκος, αόψεις σονδύλων, (Άτλας Ανατομικής ανθρώου,frank H. Netter,1999) 17

18 Εικόνα 9: Τομές σονδυλικών τμημάτων, (Άτλας Ανατομικής ανθρώου,frank H. Netter,1999) 18

19 Στην ερίμετρο του μεσοσονδύλιου δίσκου υάρχει ο ινώδης δακτύλιος. Στο κέντρο εσωτερικά του ινώδους δακτυλίου υάρχει ο ηκτοειδής υρήνας. Σε ένα νεαρό άνθρωο ο ηκτοειδής υρήνας είναι ένα αχύρρευστο ζελέ το οοίο είναι τοοθετημένο ερίου στο μέσο του δίσκου και καλύτει ερίου το 45% του συνολικού του όγκου. Περιβάλλεται αό τον ινώδη δακτύλιο, ο οοίος αοτελείται αό 8 ή ερισσότερες ομόκεντρες εριφέρειες συνδεδεμένες μεταξύ τους. Αυτή η δομή είναι ικανή να δεχτεί σημαντικές φορτίσεις, αλλά είναι και υεύθυνη ώστε να έχει η σονδυλική στήλη ευκινησία και ευλυγισία. Οι ικανότητες αυτές του μεσοσονδύλιου εξαρτώνται κυρίως αό την κατάσταση του ηκτοειδούς υρήνα, ο οοίος έχει την τάση να αορροφάει νερό αό τους εριβάλλοντες ιστούς. Η αορρόφηση διογκώνει τον υρήνα μέχρι του σημείου ου η οσμωτική ίεση εξισορροεί με την ίεση ου ασκείται αό τον ινώδη δακτύλιο. Εικόνα 10: Πρόστωση μεσοσονδύλιου δίσκου, (Ergonomics How to design for ease & efficiency, Kromer-Elber,000) Όταν ασκείται θλιτικό φορτίο στον δίσκο αυτό μετατρέεται σε υδροστατική ίεση. Όταν η υδροστατική ίεση ου ασκείται αό τα εξωτερικά φορτία γίνει μεγαλύτερη αό την οσμωτική τότε νερό εξέρχεται του υρήνα μέσω του ινώδους δακτυλίου. Η διαδικασία αυτή συμβαίνει και κατά την εκτέλεση των καθημερινών μας ασχολιών. Ο υρήνας χάνει νερό και συρρικνώνεται. Μάλιστα είναι αρατηρημένο ως λόγω αυτού του γεγονότος το ύψος μας είναι μικρότερό το βράδυ αό ότι το ρωί. Το ύψος του υρήνα μειώνεται και αυτός αίρνει σφηνοειδή μορφή ασκώντας ίεση στα τοιχώματα του ινώδη (Biomechanics in ergonomics, Shr Kumar,1999). Πολύωρη διατήρηση της συνηθισμένης καθιστής στάσης (γραφείο) ειβάλλει στη σονδυλική στήλη ένα συνεχές αξονικό θλιτικό φορτίο. Αυτό δρα όως αναφέρθηκε αραάνω και για αρατεταμένη ειβολή του οι βισκοελαστικές ιδιότητες του δίσκου και σε κάοιο βαθμό και αυτές του σονδύλου αλλοιώνονται. Σε χρόνιες καταστάσεις ο βαθμός αλλοίωσης είναι τόσο μεγάλος ώστε οοιαδήοτε αότομη κίνηση γίνει αό το άτομο μορεί να ροκαλέσει σκίσιμο ή τρύημα του ινώδους δακτυλίου. Αό τις τρύες αυτές τότε εξέρχεται το υλικό του υρήνα και δημιουργεί εξογκώματα. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ρότωση του μεσοσονδύλιου δίσκου (Εικόνα 10). Τα δημιουργημένα εξογκώματα βρίσκονται σε τέτοια θέση ώστε ιέζουν τον νωτιαίο νεύρο το οοίο διέρχεται αό το μεσοσονδύλιο τρήμα. Αυτή είναι και η αιτία του έντονου όνου. 19

20 Εικόνα 11: Είδραση της ολύωρης διατήρησης της συνηθισμένης καθιστής στάσης στις βισκοελαστικές ιδιότητες του σονδύλου (Bendix 1994) Εκτός αό την ρότωση του μεσοσονδύλιου δίσκου έντονα ροβλήματα δημιουργούνται στη σονδυλική στήλη καθώς η ιδιότητα του ηκτοειδούς υρήνα για αορρόφηση χάνεται. Ο υρήνας συρρικνώνεται και η αόσταση μεταξύ των σονδύλων μικραίνει. Δημιουργούνται οστεόφυτα στο ερίγραμμα του ινώδους δακτυλίου (σονδύλωση). Η ροσέγγιση των σονδύλων συνεάγεται ότι η γλήνη των αρθρικών αοφύσεων δέχεται μη φυσιολογικές (υερβολικές) ιέσεις ου οδηγούν σε εκφυλιστικές αλλαγές (οστεοάρθρωση). Στη δυσμενέστερη ερίτωση μορεί να ροσανατολιστούν οι γλήνες λάθος και να «κλειδώσουν» εμοδίζοντας την κίνηση (μηνίσκος) (Εικόνα 1). 0

21 Εικόνα 1: Πρότωση μεσοσονδυλίου δίσκου (Bendix 1994) Εικόνα 13: Πόνος στην οσφυϊκή χώρα σε συσχέτιση με το οσοστό του χρόνου ου αφιερώνεται σε όρθια, μυϊκή ή καθιστική εργασία. (Bendix 1994) 1

22 Εικόνα 14: Δυνάμεις στον 3 ο οσφυϊκό σόνδυλο όταν στεκόμαστε ή όταν καθόμαστε σε ένα σκαμνί χωρίς μαξιλάρι υοστήριξης της λάτης (Chaffin & Andersson 1984) Εικόνα 15: Δυνάμεις στον 3 ο οσφυϊκό σόνδυλο για διάφορες θέσεις εργασίας σε σκαμνί με μαξιλάρι υοστήριξης της λάτης (Chaffin & Andersson 1984)

23 Στις Εικόνες 13,14,15 αρουσιάζονται με μορφή διαγραμμάτων τα αοτελέσματα ερευνών ου συσχετίζονται με την είδραση διαφόρων αραγόντων κατά την εργασία στην δημιουργία του ροβλήματος του όνου της οσφυϊκής χώρας. Ειδικότερα στην Εικόνα 13, αρατηρούμε ότι η αρατεταμένη (άνω των 4 ωρών) διατήρηση της καθιστής στάσης ροκαλεί ισοδύναμη ερίου καταόνηση της σονδυλικής μας στήλης με, λιγότερης βέβαια διάρκειας, όρθια ή έντονη σωματική εργασία. Αντίθετα η εναλλαγή στάσεων κατά τη διάρκεια της εργασίας μας ροστατεύει σημαντικά αό τέτοια ροβλήματα. Τα αοτελέσματα ειβεβαιώνονται και αό το διάγραμμα της Εικόνας 14 όου αρουσιάζεται η δύναμη ου ανατύσσεται στον 3 ο οσφυϊκό σόνδυλο κατά την όρθια ή καθιστή στάση. Είναι εμφανές ότι η υιοθέτηση της «κλασσικής» καθιστής στάσης καταονεί ερισσότερο την σονδυλική μας στήλη αό το να στεκόμαστε όρθιοι. Ακόμα φαίνεται ως το να καθόμαστε με αυτόν τον τρόο ειβαρύνει λιγότερο τους σονδύλους μας αό το να καθόμαστε «χαλαροί».ωστόσο αυτό δεν μορεί να θεωρηθεί ως ειχείρημα υέρ της «κλασσικής» στάσης καθώς δεν θα ρέει να λησμονούμε ως είναι ολύ δύσκολή και κοιαστική η διατήρηση της και σύντομα θα καταλήξουμε σε μια ιο «χαλαρή» και ειβαρυντική στάση. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αρουσιάζει και το διάγραμμα της Εικόνας 15. Αναλύονται οι διάφοροι τύοι εργασιών ου εκτελεί κάοιος εργαζόμενος σε καθιστική θέση εργασίας. Σημαντικά υψηλό είναι το φορτίο ου ειβάλει στην σονδυλική στήλη η θέση του δακτυλογράφου, μια θέση δηλαδή στην οοία βρισκόμαστε σχεδόν όλοι μας όταν μροστά αό τον υολογιστή αλλά και αφορά ένα ολύ μεγάλο μέρος των υαλλήλων ου εκτελούν διαδικασίες εισαγωγής δεδομένων (data inputers)..3 Ανατομία της σονδυλικής στήλης κατά την καθιστή θέση εργασίας Είδαμε οίες είναι οι ειτώσεις της λανθασμένης φόρτισης της σονδυλικής στήλης, ας εξετάσουμε όμως αναλυτικότερα οιες είναι οι συνθήκες κατά τις οοίες η συνηθισμένη καθιστή θέση εργασίας δημιουργεί αυτά τα ροβλήματα. Σε αυτό θα μας βοηθήσει η εξέταση των θέσεων και της διαμόρφωσης της σονδυλικής στήλης κατά την όρθια και καθιστή θέση. Όταν το σώμα μας βρίσκεται σε όρθια στάση η λεκάνη μας είναι σχεδόν κατακόρυφη και ο ρώτος οσφυϊκός σόνδυλος και το ιερό οστό σχηματίζουν γωνία ερίου 30 με το οριζόντιο είεδο. Ας εξετάσουμε τώρα τι συμβαίνει όταν ρόκειται να καθίσουμε σε ένα σχετικά υψηλό κάθισμα. Λυγίζουμε τα γόνατά μας ώστε να σχηματιστεί γωνία 90 (μηρός-κνήμη) και άλλη μια γωνία 90 σχηματίζεται μεταξύ του κορμού και του μηρού μας. Το μεγαλύτερο μέρος του βάρους υοβαστάζεται αό τα ισχιακά οστά, δύο οστέινες ροεξοχές τις οοίες μορούμε να νιώσουμε ανάμεσα στον μαλακό ιστό των γλουτών μας, αν καθίσουμε άνω στα χέρια μας. Μέρος της ορθής γωνίας μεταξύ κορμού και μηρού ειτυγχάνεται μέσω της κάμψης της άρθρωσης του ισχίου. Στην καθιστή θέση 60 της γωνίας κορμού μηρού ειτυγχάνεται μέσω της άρθρωσης του ισχίου. Μετά τη γωνία των 60 όμως αυτή η κάμψη του μηρού ρος τον κορμό βρίσκει αντίσταση (εκτός αν είμαστε ιδιαίτερα ευλύγιστοι) ου οφείλεται στο ότι οι μύες της οίσθιας ειφάνειας του μηρού τεντώνονται και σύντομα ονάνε (Εικόνα 16). 3

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ

7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ 7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ 7. Γενικά Οι κατεργασίες και οι εκτιμήσεις ου ααιτούνται για το σχεδιασμό κατεργασιών κοίλανσης είναι εκτενείς, καθόσον μάλιστα μορεί να ααιτούνται

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy

Ράβδος σε σκαλοπάτι. = Fημθ και Fy Ράβδος σε σκαλοάτι Ράβδος μήκους ύψους ακουμά σε σκαλοάτι όως φαίνεται στο σχήμα. Το κάτω άκρο της είναι σε εαφή με λείο κατακόρυφο εμόδιο το οοίο μορεί να κρατείται σταερό σε οοιαδήοτε έση. Μεταξύ ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό. Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμοί για γωνιακά και τυφλά ντουλάπια

Μηχανισμοί για γωνιακά και τυφλά ντουλάπια ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ LeMans Σελίδα 3 3 Μηχανισμός για τυφλά ντουλάια 90 άρια και 100 άρια MagicCorner Σελίδα 3 9 Μηχανισμός για τυφλά ντουλάια 90 άρια και 100 άρια Περιστρεφόμενα 1/2 Ξεχωριστές λύσεις για 80 άρια,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Θεωρία)

Στραγγίσεις (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 6... Πρώτος τρόος γραμμικοοίησης Η μη γραμμικότητα της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05-6 - Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 7-0-05 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Κρούσεις - Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Ένα βαρούλκο με χάντρα.

Ένα βαρούλκο με χάντρα. Ένα βαρούλκο με χάντρα Το βαρούλκο ενός ηγαδιού αοτελείται αό τροχαλία ακτίνας R 0,5m και μάζας M 0Kg, στο οοίο είναι ροσαρμοσμένη χειρολαβή η οοία αοτελείται αό τρεις ράβδους αμελητέας μάζας Η ράβδος

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΠΑΣΧΑ 2009

ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΠΑΣΧΑ 2009 ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΠΑΣΧΑ 29 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Για να ααντήσετε στις αρακάτω τέσσερις ερωτήσεις ολλαλής ειλογής, αρκεί να γράψετε στο φύλλο ααντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά αό

Διαβάστε περισσότερα

5 Ταλαντώσεις. Ταλαντώσεις - κυμάνσεις. Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Απλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός

5 Ταλαντώσεις. Ταλαντώσεις - κυμάνσεις. Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Απλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός 5 Ταλαντώσεις Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Αλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός Μαρία Κατσικίνη aii@auh.gr uer.auh.gr/aii Ταλαντώσεις - κυμάνσεις Ταλάντωση είναι μια εριοδική κίνηση, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης γρατή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ύλη: Ονοματεώνυμο: Καθηγητές: Εαναλητικό σε όλη την ύλη. Ατρείδης Γιώργος - Κόζυβα Χρύσα Θ Ε Μ Α ο Στις αρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Αριλίου 013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις αό Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης γρατή εξέταση στη ΦΥΣΙΗ Γ' κατεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: /04/0 Ύλη: Ονοματεώνυμο: αθηγητές: Όλη η ύλη Αθανασιάδης Φοίβος, Ατρείδης Γιώργος, όζυβα Χρύσα Θ Ε Μ Α ο Στις αρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ Γραμμική θεωρία υδροτομών Θεωρούμε υδροτομή στο είεδο x,, και ομοιόμορφη ροή με ταχύτητα U. Η ροή είναι αράλληλη ρος τον θετικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α. Στις ερωτήσεις -5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ. Σώμα μάζας m = kg, είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου με το άλλο άκρο του σε ακλόνητο τοίχο) και αό την άλλη άκρη είναι δεμένο με νήμα τεταμένο με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Φσζική Γ Λσκείοσ. Θεηικής & Τετμολογικής Καηεύθσμζης. Μηταμικές Ταλαμηώζεις Οι απαμηήζεις. Καλοκαίρι Διδάζκωμ: Καραδημηηρίοσ Μιτάλης

Φσζική Γ Λσκείοσ. Θεηικής & Τετμολογικής Καηεύθσμζης. Μηταμικές Ταλαμηώζεις Οι απαμηήζεις. Καλοκαίρι Διδάζκωμ: Καραδημηηρίοσ Μιτάλης Φσζική Γ Λσκείοσ Θεηικής & Τετμολογικής Καηεύθσμζης Μηταμικές Ταλαμηώζεις Οι ααμηήζεις Καλοκαίρι - Διδάζκωμ: Καραδημηηρίοσ Μιτάλης http://perifysikhs.wordpress.com Πηγή: Study4exams.gr Οι Ααμτήσεις στις

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ονοματεώνυμο.. Υεύθυνος Καθηγητής: Γκαραγκουνούλης Ιωάννης Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ > Τετάρτη -1-011 ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x)

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x) 4 Κλασσικες Μεθοδοι Βελτιστοοιησης Στο κεφαλαιο αυτο αρουσιαζονται τα ροβληματα βελτιστοοιησης: () χωρις εριορισμους, () με εριορισμους ισοτητας, () με εριορισμους ανισοτητας, και (4) με Rewto-Rapso..

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης σε έναν απλό αρµονικό ταλαντωτή, πλάτους x0 και κυκλικής συχνότητας ω δίνεται από τη σχέση x = x0ηµωt

1. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης σε έναν απλό αρµονικό ταλαντωτή, πλάτους x0 και κυκλικής συχνότητας ω δίνεται από τη σχέση x = x0ηµωt ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΣ ΞΤΑΣΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΜΑΙΟΥ ΞΤΑΟΜΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ Θέµα ο. Η εξίσωση της αοµάκρυνσης σε έναν αλό αρµονικό ταλαντωτή, λάτους

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 & Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 02021842012990088 27257 ΕΦΗΜΕΡΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 2184 20 Δεκεμβρίου 1999 Αριθ. Δ170/141/3/ΦΝ275 ΑΠΟΦΑΣΕΣ Έγκριση Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού ΟΥΠΟΥΡΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χρησιμοοιώντας τα στοιχεία του αρακάτω ίνακα, να γίνει η γραφική αράσταση της μάζας (Μ), του όγκου (V) και της αραγωγής γλυκόζης (G) σαν συνάρτηση της ηλικίας (α). Για οιες αό αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις ερωτήσεις κρίσεως

Ταλαντώσεις ερωτήσεις κρίσεως Ταλαντώσεις (Γενικές ερωτήσεις κρίσεως) 1. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. Τη στιγµή t = 0 είναι x = 0 και υ > 0. Στη διάρκεια µιας εριόδου (Τ) η ταχύτητα του σώµατος αλλάζει φορά: α) δύο φορές, β) τρεις φορές, γ)

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο, τα οοία αέχουν αόσταση (Ο 1 Ο )=d=4m, ενός άειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υάρχουν δυο ηγές κύματος, οι οοίες αρχίζουν να ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05 Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 700 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο: ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, ου κρατάς στα χέρια σου ροέκυψε τελικά μέσα αό την εμειρία και διδακτική διαδικασία ολλών χρόνων στον Εκαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αοτέλεσμα συγγραφής ολλών καθηγητών μας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 04 ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική»

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 04 ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική» ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 00 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 04 ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο:

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις: Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΔΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΠΡΛΗΜΤΩΝ Ελατήρια σταερής τάσης (Constnt tension springs) Ένα ελατήριο του οοίου η τάση είναι ανεξάρτητη αό την ειμήκυνση ή τη συσείρωσή του ονομάζεται ελατήριο σταερής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) η Σειρά Ασκήσεων //7 Ι. Σ. Ράτης Ειστροφή µέχρι //7. Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου

Διαβάστε περισσότερα

1. Διδιάστατοι πίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων

1. Διδιάστατοι πίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων Διδιάστατοι ίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων Έστω Χ, Υ δύο κατηγορικές μεταβλητές αόκρισης με Ι και στάθμες αντίστοιχα Οι αοκρίσεις (Χ,Υ ενός τυχαία ειλεγμένου ατόμου αό

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 0 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΘΕΜΑ Α Στις αρακάτω ροτάσεις να ειλέξετε την σωστή αάντηση A. Σε μια αλή αρμονική ταλάντωση η αομάκρυνση και η ειτάχυνση την ίδια χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Ζήτηµα ο Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 000 Α. Στις ερωτήσεις -5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση.. Κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 8 : Η σταθερή στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 8 : Η σταθερή στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 8 : Η σταθερή στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 5.3.. Η Μέθοδος του ikham Ο on ikham το έτος 958 χρησιμοοιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ

μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ Βασικές τοολογίες ενισχτών μιας βαθμίδας με διολικά τρανζίστορ Ενισχτής κοινού Εκομού Πόλωση με δικτύωμα τεσσάρων αντιστάσεων. Το C σήμα εισόδο εισάγεται στη Βάση το τρανζίστορ μέσω ενός κνωτή σύζεξης.

Διαβάστε περισσότερα

7. Επαναλαµβανόµενα υναµικά Παίγνια.

7. Επαναλαµβανόµενα υναµικά Παίγνια. 7 Εαναλαµβανόµενα υναµικά Παίγνια Τα εαναλαµβανόµενα υναµικά αίγνια αοτελούν συνυασµό ταυτόχρονου και υναµικού αιγνίου, είτε στην ερίτωση ου ένα ταυτόχρονο αίγνιο εαναλαµβάνεται ιαχρονικά, είτε εανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΦΩΤΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΦΩΤΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ: 01 013 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΦΩΤΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1. Εισαγγή Η φτοελαστικότητα ς ειραματική μέοδος μέτρησης του

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή!

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1 (β) (γ) 3 (δ) 4 (α) 5 α (Σ), β (Λ), γ (Λ), δ (Λ), ε (Λ) ΘΕΜΑ 1ο ΘΕΜΑ ο 1 (α, στ) Το έργο W της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2λ 3 Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2λ 3 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

.9- ΟΙ ΧΕΙΡΙΣΜΟΙ ΤΩΝ 9.Ι.- ΕΡΓΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

.9- ΟΙ ΧΕΙΡΙΣΜΟΙ ΤΩΝ 9.Ι.- ΕΡΓΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΕΦ.9.9- ΟΙ ΧΕΙΡΙΣΜΟΙ ΤΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΝΘΡΩΠΟ 9.Ι.- ΕΡΓΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Σύγχρονη Εργονοµία 1 Στατιστικά Στοιχεία Τα µυοσκελετικά προβλήµατα από τη διακίνηση φορτίων ευθύνονται για: το 20% των ασθενειών

Διαβάστε περισσότερα

2 η ενότητα ΤΑ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ

2 η ενότητα ΤΑ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ρ. Λάμρος Μισδούνης Καθηγητής 2 η ενότητα ΤΑ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ T.E.I. ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. 1 Περιεχόμενα 2 ης ενότητας Στην δεύτερη ενότητα θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

0e, όπου Λ θετική σταθερά και Α0 το αρχικό

0e, όπου Λ θετική σταθερά και Α0 το αρχικό ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 06-07 ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣ. Γ ΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/06 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΗ: ΚΡΟΥΣΕΙΣ-Α.Α.Τ.-ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ-ΣΥΝΘΕΣΗ Α ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση :

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση : Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Στις ερωτήσεις - 5 να ειλέξετε την σωστή αάντηση :. Η ερίοδος µιας γραµµικής αρµονικής ταλάντωσης α. εξαρτάται άντα αό τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ Το σηµείο Ο γραµµικού ελαστικού µέσου το οοίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ Οχ, εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ ου γίνονται στην ίδια διεύθυνση, κάθετα στον άξονα χ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα