Maturitné úlohy z Matematiky pre Gymnázium

Transcript

1 Alica Kortišová, Jozef Vozár Maturité úlohy z Matematiky pre Gymázium II. (úlohy s dlhou odpoveďou)

2 OBSAH. Základy matematiky Čísla, premeé, výrazy... 8 Goiometrické výrazy Teória čísel Rovice erovice a ich sústavy... 0 Rovice a erovice s abs. hodotou a s odmociou... 0 Goiometrické rovice a erovice... Sústavy rovíc a erovíc - lieáre... Epoeciále a logaritmické rovice.... Fukcie Fukcia a jej vlastosti... 5 Postuposti, aritmetická postuposť, geometrická postuposť Lieára a kvadratická fukcia Mohočley a mociové fukcie, lieára lomeá fukcia... 9 Mociové fukcie Logaritmické a epoeciále fukcie Goiometrické fukcie Limita, derivácia... Nekoečý geometrický rad Itegrály počet Plaimetria Základé rovié útvary... 6 Trojuholík... 6 Lieáre útvary, trojuholík... 7 Viacuholíky... 9 Kružica a kruh Uhly v kružiciach... 4 Možiy bodov daých vlastostí Aalytická geometria v rovie Priamka a rovia Kvadratické útvary v rovie Vzájomá poloha priamky a kužeľosečky Aalytické vyjadreie moží bodov Zhodé a podobé zobrazeia Koštrukčé úlohy Stereometria Základé spôsoby zobrazovaia priestoru do roviy Súradicová sústava v priestore, vektory, aalytická metóda Lieáre útvary v priestore polohové úlohy Lieáre útvary v priestore metrické úlohy Telesá Kombiatorika Kombiatorika Pravdepodobosť Štatistika... 69

3

4 . Základy matematiky. Logika a možiy. Vypočítajte hodoty výrazov a pre ;;;4;5; 6. Vyslovte eistečé a všeobecé výroky, v ktorých porováte hodoty týchto výrazov, a určte ich pravdivosté hodoty.. Ku kaţdému z asledujúcich výrokov utvorte jeho egáciu. Určte pravdivosté hodoty pôvodých i egovaých výrokov. Eistujú práve dve reále čísla, pre ktoré platí :( ) Číslo 7/5 moţo zapísať aspoň štyrmi rôzymi spôsobmi. = Pre všetky a, b R 0 : a b a b. 4 Moţo ájsť ajviac tri reále čísla, ktoré ie sú racioále.. Vieme, ţe platia dva zloţeé výroky : A B C` a A C` B Zistite, aké pravdivosté hodoty môţu mať za tejto situácie výroky A, B, C. 4. Negujte zloţeé výroky: 4 < 7 8 Ak sa derivácia fukcie f v bode a rová ule, potom má fukcia f v bode a etrém. Pre všetky N : Vyslovte obmeu a obráteie ku kaţdej z asledujúcich viet a určte ich pravdivostú hodotu: Pre kaţdé dva rovié útvary U a U platí, ţe ak sú zhodé, potom majú rovaký obsah. Pre kaţdý štvoruholík U platí: Ak ie sú uhlopriečky štvoruholíka avzájom kolmé, potom U ie je kosoštvorec. Pre všetky trojuholíky ABC platí: ACB = 90o c= a + b. 6. Daé sú moţiy A = R;, B R; Určte a zázorite: A, B,A,B, A B, A B`, A` B`, A B `, A B, B A. 7. Dokáţte rovosť moţí: a) b) A A B B A` C ` A A B B` A C` 8. Pri prieskume ţivotej úrove sa zistilo, ţe zo 40 rodí v jedom obytom dome má 40% auto i chatu. Pritom auto vlastí o 6 rodí viac eţ chatu a ie je rodia, ktorá by emala auto alebo chatu. Vypočítajte, koľko rodí z domu má auto. Koľko percet rodí z domu vlastí iba auto? Určte pravdepodobosť, ţe áhode vybratá rodia z domu vlastí iba chatu. 0.

5 9. Sú asledujúce výroky jede druhému egáciou? Eistujú aspoň dvaja speváci populárej hudby, ktorých majú všetci radi. Kaţdého speváka populárej hudby iekto emá rád. 0. Utvorte egáciu výroku: Kaţdý mohočle, ktorý je súčiom dvoch mohočleov epáreho stupňa, má aspoň dva reále koree.. Pomocou moţí A, B, C, D opíšte moţiu všetkých bodov moţiy D, pre ktoré platí: ak je číslo v moţie A, tak ie je v moţie B, alebo je v moţie C.. Zistite, či je moţia všetkých dvojíc prirodzeých čísel (, y), ktoré sú riešeím rovice 5 y =00 000, 5 + y = koečá alebo ekoečá.. Koľko štvorciferých čísel je bezo zvyšku deliteľých číslom 4 alebo 9 (číslom 4 alebo 0)? 4. Rozhodite o pravdivosti: a. Číslo je druhou mociou prirodzeého čísla. b. Eistuje aspoň jedo páre prvočíslo. c. Riešeím rovice ( ) = (+) + je číslo, pre ktoré platí, ţe 0,4. d e. /6 4/6 f Určte egáciu: a. Číslo 90 je deliteľé dvomi a tromi. b. Nik efajčí. c. Kaţdý deň je dôvod k radosti. 7 0 d. Rovici 0 evyhovuje ţiade prirodzeé číslo Daým výrokom priraďte pravdivostú hodotu: a. Pre objem V a plášť Q kaţdého rotačého kuţeľa platí: V π r v Q π r v b. Pre kaţdé prirodzeé číslo = (+)(+), kde N platí, 4 / alebo 5 /. 5

6 c. Pre trojuholík, v ktorom a = 5 jedotiek dĺţky, b = 4 j. dĺţku, = 60 platí pre obsah trojuholíka S 0 j. dĺţky. 7. Overte asledujúce tvrdeia: a. Rovica + = 0 má tri celočíselé riešeia. b. Výška pravouhlého trojuholíka v = 4 cm delí prepou a úseky c = cm, c = 7,5 cm. c. Postuposť m je rastúca. 8. Určte egáciu: a. Nikto ie je doma b. N; < 0 c. Všetky ásobky čísla 7 sú aj ásobkami čísla 5. d. Práve traja ţiaci sú chorí. e. (4 = 5) (4 > ) 9. Určte pravdivostú hodotu a egáciu výrokov: a b. 6 / 9 / c. R; 5 < 0 d. Defiičým oborom fukcie y = log 5 sú všetky reále čísla. 0. Určte pravdivostú hodotu: a. Postuposť 4 je rastúca a kovergetá. b. Rovica y = 0 je asymptota hyperboly 4y 9 = 6. c. Fukcia y = má deriváciu v kaţdom bode defiičého oboru. d. Fukcia y = + je pára.. Zistite, či formula je tautológia: ( A B ) ( A B ). Určte obmey viet a ich egácie: a. N; 5 / 5 / b. N; ( / / ) 6 / c. Ak ľubovoľá postuposť a má limitu, tak je ohraičeá. 6

7 . Daé sú moţiy A = { R; ( 5) < 4}, B = { N; 4}. Určte A B. 4. Určte defiičý obor fukcie: f : y log Moţiy A, B, C, D zázorite graficky a číselej osi a určte A C, B U D. A = { R; < 8} B = { R; } C = { R; = } D = { R; + > } 6. Určte A B, A U B ak: a) A = ( ; > b) B = R + c) A = ( R; } d) B = { R, 8 < 0} 7. Určte defiičý obor fukcie f : y Načrtite graf karteziáskeho súčiu moţí A, B ak: A = { R, 0} B = { y R, y = } 9. Určte graficky A B, ak: A = {[, y] R ; + y 4 0} B = {[, y] R ; y 0} 0. Zo sto študetov sa učilo 0 emčiu, 8 špaielčiu, 4 fracúzštiu, 8 špaielčiu a emčiu, 0 špaielčiu a fracúzštiu, 5 emčiu a fracúzštiu, všetky jazyky. Koľko študetov eštudovalo ijaký z uvedeých predmetov?. Zo 9 študetov prvého ročíka iterátej školy chodí pravidele do jedále a obed alebo večeru 6 študetov, 6 študetov echodí a obed alebo echodí a večeru. Pritom a obedy ich chodí o 47 viac ako a večeru. Koľko z ich chodí a obedy aj večere, koľko le a obedy, koľko le a večere? 7

8 . Napíšte egáciu výroku :Ak je druhá odmocia z 5 racioále číslo, potom je číslo 6 páre.. Napíšte obmeeú a obráteú vetu k výroku z.úlohy. 4. Rozhodite o pravdivosti pôvodého výroku, jeho egácie, obmeeej a obráteej vety. 5. Daé sú moţiy : A = {[,y] RR, y > }, B = {[,y] RR, y <= - } Nakreslite ich obrazy v súradicovej sústave. 6. Určte graficky ich a/ prieik b/ zjedoteie c/ A - B d/ B - A 7. Čím sa líši hypotéza od výroku. Uveďte príklad.. Čísla, premeé, výrazy Goiometrické výrazy. Dokáţte:. Dokáţte:. Daý výraz upravte a udajte podmieky: 4. Určte hodotu výrazu: a) ; ak b) ; ak tg < 0 a 5. Upravte výraz: a) b) 8

9 6. Dokáţte, ţe pre prípusté hodoty, y R platí: a) b) 7. Dokáţte, ţe hodota daého výrazu ezávisí od :. Teória čísel. Zapíšte pomocou matematických symbolov: Neájde sa reále číslo, ktoré by vyhovovalo erovici : -5 je väčšie ako ula.. Zapíšte pomocou matematických symbolov : Číslicový zápis čísel deliteľých 00 sa kočí dvoma ulami.. Zapíšte pomocou matematických symbolov: Dve priamky majú ajviac spoločý bod. 4. Dokáţte vetu.pouţite priamy dôkaz.výraz + je deliteľý troma. 5. Dokáţte vetu, pouţite epriamy dôkaz: Ak je páre číslo, tak je epáre číslo. 6. Dokáţte, ţe pre kaţdé prirodzeé číslo platí: ak je páre, potom aj je páre; edelí ( 4 -) potom delí. 7. Dokáţte, ţe je iracioále číslo. 8. Dokáţte, ţe pre všetky, y, z R je +y +z - (+y+z)+ ezáporé reále číslo 9. Dokáţte, ţe pre všetky N platí: 6 ( +5); (7 +-).... ( ) ; 0. Je číslo prvočíslo?. Pre ktoré prirodzeé číslo je 7 88 prvočíslo?. Pre ktoré čísla a platí NSN ( 6, a) 4? 4. Pre ktoré čísla A, B je číslo s dekadickým zápisom 4A57B deliteľé? 5. Koľko štvorciferých čísel je deliteľých? (každé. číslo je deliteľé ) 6. Nájdite všetky pravouhlé trojuholíky s celočíselými straami, ktorých odvesa b meria. (Návod: ezáme dajte a jedu strau a získaý výraz upravte a súči.) 7. Nájdite všetky celé čísla, y, pre ktoré platí 4 y 98 (absolúta hodota y ie je väčšia ako 5) 9

10 8. Dokáţte, ţe súči za sebou idúcich čísel je deliteľý Ukáţte, ţe log je iracioále číslo. (sporom).4 Rovice erovice a ich sústavy Rovice a erovice s abs. hodotou a s odmociou Riešte v R: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ) o) p) r) s) Nasledujúce úlohy riešte v moţie reálych čísel..( + 7) - (4 + ) < ( - ) + ( + 4) = > 7 4. V moţie R riešte sústavu: 0

11 - y + z = 7 + y - z = - - y + z = 5.V moţie R graficky riešte sústavu: < + y > - y < Goiometrické rovice a erovice Nasledujúce príklady riešte v R: Pouţitím vzorca riešte v R: Graficky aj výpočtom riešte rovicu: 7. Riešte rovice: a) b) c) d) 8. Riešte erovice: a) b) c) d) e) f)

12 9. Riešte rovice v R: a) b) c) d) e) f) Sústavy rovíc a erovíc - lieáre. V moţie Z Z riešte:. Nájdite parametrické vyjadreie bodov priamky p, ktorá je priesečicou roví : + y + z = -; : 7 y z = -.. V moţie R R riešte sústavu: 4. Určte druhý čle a kvociet geometrickej postuposti, pre ktorú platí: 5. V moţie R R riešte sústavu: 6. Určte hodotu parametra c priamky p: + y c = 0 tak, aby priamka p mala s parabolou y = a spoločý práve jede bod. 7. Riešte asledujúce sústavy a určte ich geometrický model: a) b) c) 8. V moţie R riešte asledové rovice: a) b) c) 9. V moţie R vyrieš sústavu rovíc

13 +y-z=7 -y+z= -+y+z=7 0. V moţie R vyrieš sústavu rovíc -y-z=5 -+y-z = --y+z=-5. Graficky vyrieš sústavu erovíc + y > -y< >. Graficky vyrieš sústavu erovíc + y > -y< >. Najdi rovice priamok a urč súradice ich spoločého bodu 4. Najdi rovice priamok a urč súradice ich spoločého bodu Epoeciále a logaritmické rovice. log ( + 4) + log ( + ) = 6. log 6 + log 4 + log = 7

14 log 4 log 8 4. log 5 log (5 ),5 log = = Riešte v R sústavu: y. 4 y 5 y log log 6 4 0,5.log 4. log 4 log y = 0 5y + 4 = 0. log (4. 6) log (9 6) = V moţie reálych čísel riešte asledujúce rovice.. - = 8 4. log(4 + ) - log( - ) = = log = 0/log 7. Graficky riešte rovicu: log = 0,8 Odhadite iterval, v ktorom sa achádza koreň = = log (4. 6) log (9 6) =. log ( + 4) + log ( + ) = 6. log(4 + ) - log( - ) =..4 log - 5. log + 8 = 0 4. log = = =

15 7. - = (+ - ) 8. log(+) + log(-) log = log( + ) 9. log(4+6) log( ) = 0. log = 0( - ) log. 4 -/ = +/ - -. Fukcie. Fukcia a jej vlastosti. Určte defiičý obor, graf a obor hodôt fukcie: f : y 4. Daá je fukcia f : y 8. Určte jej graf, defiičý obor a obor hodôt.. Určte graf fukcie f : y 6 a apíšte rovicu dotyčice v jeho bode T ; y Pre ktorú a R je rovica vyjadreím kruţice? + y a + 6y + 5a + 5 = 0 5. Určte defiičú obor a ačrtite v súradicovej sústave graf fukcie: f : y 0 6 Je táto fukcia ohraičeá? 6. Zistite, či fukcia f : y 5 je pára. Určte jej obor hodôt. 7. Daá je fukcia f : y log log 4 6. Určte jej defiičý obor a zistite, či číslo je fukčá hodota. 8. Určte defiičý obor fukcie f : y 9. Určte graf fukcie g : y 0, 0,04 4 a popíšte vlastosti fukcie Daé sú fukcie f : y 8, g: y = 7.. Určte moţiu tých R, pre ktoré. platí f() = g(). 5

16 . Určte D(f) a zistite, pre ktoré R je f() 0 ak: f : y Daá je fukcia f 6 : y 0, reále čísla adobúda kladé hodoty. 5. Určte jej defiičý obor a zistite, pre ktoré. Určte defiičý obor, graf a popíšte vlastosti fukcie f : y Určte defiičý obor fukcie f : y log. 5. Určte defiičý obor, graf a popíšte vlastosti fukcie: f : y Postuposti, aritmetická postuposť, geometrická postuposť. Od ktorého člea počúc platí pre postuposť postuposť ohraičeá?, ţe a < 0? Je. Postuposť je daá rekurete a. a, pričom hodota prvého člea postuposti udáva prirodzeé číslo vyhovujúce erovici Určte prvých 5 čleov postuposti Je daá postuposť 7. Určte moţiy hodôt, pre ktoré je daá postuposť rastúca resp. klesajúca. Je to mootóa postuposť? 4. Zistite, či postuposť je ohraičeá a rastúca. 5. Zistite, pre ktoré čísla moţo určiť súčet radu a určte teto súčet ak: ( 4)+ ( 4) +( 4) +( 4) V ktorej aritmetickej postuposti s 5 = s 6 = 60? 7. Upravte:

17 8. Určte dĺţku špirály, ktorá sa skladá z polkruţíc tak, ţe prvá má polomer r a kaţdá asledujúca má polomer rový predchádzajúceho polomeru. 9. Medzi čísla a b a a b vloţte čísla tak, aby s daými číslami tvorili 5 čleov aritmetickej postuposti. Vypíšte čley tejto postuposti. 0. Určte limitu postuposti 8. Je postuposť rastúca a ohraičeá?. Povrch kvádra je 78 cm, súčet rozmerov cm. Určte objem, ak rozmery tvoria za sebou idúce čley geometrickej postuposti.. Rozmery kvádra a, b, c tvoria po sebe idúce čley aritmetickej postuposti. Súčet dĺţok všetkých hrá je 96 cm. Povrch je 4 cm. Určte objem kvádra.. Riešte v R rovicu: = 0, Pre aké R platí rovosť +a+a +a +...+a = (+a)(+a ) (+a 4 ) (+a 8 ), kde a je reály parameter. 5. Pôvodá cea stroja bola Sk. Akú ceu bude mať stroj po 0 rokoch, ak sa kaţdoroče odpisuje amortizácia 0%. 6. O koľko percet roče treba počas 0 rokov zvyšovať výrobu, aby sa o 0 rokov pri koštatom percetuálom prírastku zvýšila dvojásobe? 7. Akú postuposť tvoria logaritmy čleov geometrickej postuposti a. q, kde a > 0, q > 0? 8. V divadle je v prvom rade 4 sedadiel a v posledom rade je 50 sedadiel, pričom kaţdý asledujúci rad má o sedadlá viac ako rad predchádzajúci. Koľko sedadiel je v divadle? 9. Určte súčet všetkých avzájom rôzych prirodzeých čísel vyhovujúcich erovici Stray trojuholíka a, b, c tvoria (v tomto poradí) za sebou idúce čley geometrickej postuposti. Aké sú veľké, ak obvod trojuholíka je 4 a b = 8?. V ktorej aritmetickej postuposti platí : a + a 7 = a.a 4 = 88? 7

18 . Zistite, pre aké reále číslo je asledujúci rad kovergetý a potom určte jeho súčet. = ( - ).Riešte rovicu s reálou ezámou log = =. Lieára a kvadratická fukcia. Nájdite všetky kvadratické fukcie s defiičým oborom R, pre ktoré platí: f() = f( ) = 9 f(0) =.. Určte rovicu tej kvadratickej fukcie s defiičým oborom R, kde c R y = +6+c, ktorej graf prechádza bodom Q o súradiciach [5; 5]. Aké sú priesečíky so súradicovými osami?. Charakterizujte parametrické systémy, kde a, b R. a) y = a+ b) y = +b 4. Určte graf fukcie a popíšte vlastosti: y 5. Daá je kvadratická fukcia y = a +b+c, kde a 0 a, b, c R. Odvoďte vzťah pre súradice vrcholu paraboly, ktorá je grafom daej fukcie. Určte obor hodôt daej fukcie. 6. Štvorce ABCD s rozmermi 0 0 má stred v počiatku súradicovej sústavy a stray rovobeţé s osami, y. Akú rovicu má parabola prechádzajúca bodmi C, D s vrcholom v strede stray AB? 7. Určte graf fukcie 8. Určte graf fukcie f : y 4. f : y Kvadratickú fukciu y = +p+p premeej adobúda pre = hodotu y =. Určte jej obor hodôt. 8

19 0. Načrtite graf fukcie f: y = -.. Načrtite graf fukcie g: y =..Má táto fukcia v bode =0 lokály etrém?. Vysvetlite, ako výsledok prvej úlohy vyuţijete pri koštrukcii grafu fukcie h: y = - ( - ).. Ako ajrýchlejšie zistíte vrchol paraboly y = ( 4 + ) 4. Načrtite graf fukcie k: y = Má táto fukcia v bode 0 limitu? 0.. Mohočley a mociové fukcie, lieára lomeá fukcia. Daá je fukcia f: y = urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej ohraičeosť urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej ohraičeosť urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej uhraičeosť 9

20 urč jej etrémy 4. Daá je fukcia f: y = - urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej ohraičeosť urč jej etrémy 5. Daá je fukcia f: y = - urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej ohraičeosť urč jej etrémy 6. Daá je fukcia f: y = b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e ) urč jej etrémy 7. Daá je fukcia f: y = - urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej ohraičeosť urč jej etrémy 0

21 8. Daá je fukcia f: y = - ( - ) urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej ohraičeosť urč jej etrémy 9. Daá je fukcia f: y = urč jej D(f), H(f) vypočítaj spoločé body s o urč jej mootóosť urč jej ohraičeosť urč jej etrémy 0. Daá je fukcia f: y = - ( - ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy -. Daá je fukcia f: y = -( - )

22 b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = -( - ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 4. Daá je fukcia f: y = b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 5. Daá je fukcia f: y = - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 6. Daá je fukcia f: y = ( ) - - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 7. Daá je fukcia f: y = -(( ) - ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 8. Daá je fukcia f: y = ( ) - - b ) vypočítaj spoločé body s o

23 c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 9. Daá je fukcia f: y = - ( ) - - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy Daá je fukcia f: y = ( ) - - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 0. Daá je fukcia f: y = - (( ) - ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = ( ) - - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - ( ) - - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 4. Daá je fukcia f: y = -

24 b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 5. Načrtite grafy fukcií f, g. Porovajte ich a určte ich vlastosti (defiičý obor, obor fukčých hodôt, mootóosť, etrémy, párosť). f: y = / g : y = -/ 6. Načrtite graf fukcie y = /( - ) +, určte jej vlastosti a určte f(). 7. Načrtite graf fukcie y = ( + )/( - ) opíšte jej vlastosti a vypočítajte pre ktoré platí f() = Ozubeé koleso s priemerom d mm vykoá otáčok za miútu a zasahuje do iého ozubeého kolesa s priemerom 400 mm, ktoré sa otočí za miútu 0 krát. Nájdite fukciu, ktorá udáva závislosť od d. Mociové fukcie. Zjedodušte:. Vypočítajte:. Porovajte: a ; a ; a ; a 4. Načrtite grafy fukcií: a) b) c) 5. Riešte graficky v R erovice: a) b) c) 6. Upravte: a) b) 4

25 c) d) e) f) g) h) 7. Určte všetky kvadratické fukcie, ktorých graf prechádza bodmi [0, ], [, 0], [, 0]. 8. Zostrojte graf fukcie f: 9. Určte všetky fukcie, ktoré sú určeé rovicou a pre ktoré platí:. 0. Daá je fukcia f: a) Načrtite graf fukcie f. b) Vypočítajte súradice ohiska a určte rovicu riadiacej priamky paraboly, ktorá je grafom fukcie f. c) Načrtite graf fukcie g: d) Určte všetky, pre ktoré má rovica práve 0,,, 4 riešeia.. V jedej súradicovej sústave ačrtite grafy fukcií:. Zostrojte graf fukcie f, určte defiičý obor D(f), obor hodôt H(f) a vlastosti fukcie f: 5

26 a) b). Pumpou čerpajúcou,5 l vody za sekudu sa vyčerpá voda zo stavebej jamy za hodiy. Za koľko miút sa vyčerpá pumpou čerpajúcou 0 l vody za sekudu? 4. Určte čísla a, b fukcie pre tak, aby platilo a, a zistite, pre ktoré je fukčá hodota záporá. 5. Vyjadrite: a) Obsah P štvorca ako fukciu jeho uhlopriečky. b) Obvod O rovostraého trojuholíka o stae a ako fukciu jeho obsahu P. c) Obsah P rovostraého trojuholíka ako fukciu jeho výšky v..4 Logaritmické a epoeciále fukcie. Daá je fukcia f: y = - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = -( ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 4. Daá je fukcia f: y = - - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 6

27 5. Daá je fukcia f: y = (/) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 6. Daá je fukcia f: y = - ((/) ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 7. Daá je fukcia f: y = ((/) ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 8. Daá je fukcia f: y = - ((/) ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 9. Daá je fukcia f: y = log ( ) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 0. Daá je fukcia f: y = -( log ( ) ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = log ( ) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - log ( ) - 7

28 b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = log 0,5 ( ) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 4. Daá je fukcia f: y = -( log 0,5 ( ) ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 5. Daá je fukcia f: y = log 0,5 ( ) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 6. Daá je fukcia f: y = - log 0,5 ( ) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 7. Načrtite graf fukcie f: y =. Popíšte jej vlastosti, D(f), H(f), mootóosť, ohraičeosť. 8. Ako pomocou fukcie z úlohy. ačrtete graf fukcie f: y = + -. Určte jej D(f), H(f). 9..Zostrojte graf fukcie f: y = -. Má táto fukcia v bode 0 = limitu? Má v tomto bode deriváciu? 0. Načrtite graf fukcie f: y = /. Ako sa správa v okolí bodu 0 = 0?. Načrtite graf fukcie f: y = log 5. Vyzačte a grafe priesečíky s osami a bod 0, taký ţe, log 5 0 =.. Načrtite graf absolútej hodoty f. Popíšte jej vlastosti, obory, mootóosť, etrémy.. Načrtite graf fukcie f:y = log /log. Čo sa deje v okolí bodu 0 =? 8

29 .5 Goiometrické fukcie. Určte defiičé obory asledujúcich fukcií:. Zostrojte graf fukcie:. Riešte rovice v itervale (0, ): a) b) 4. Nájdite defiičý obor fukcie g a zistite, či je pára, resp. epára. Svoje tvrdeie zdôvodite: 5. Dokáţte, ţe v kaţdom pravouhlom trojuholíku s odvesami a, b platí: 6. Dokáţte, ţe v kaţdom pravouhlom trojuholíku platí: 9

30 7. Daá je fukcia a) Určte defiičý obor D(f), obor hodôt H(f) a periódu daej fukcie a ájdite tie hodoty, v ktorých fukcia adobúda etrémy. b) Načrtite graf fukcie f. Vyriešte rovicu 8. Daá je fukcia f: y = si( π/4) + b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 9. Daá je fukcia f: y = -( si( π/4) + ) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 0. Daá je fukcia f: y = si( π/4) + b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - si( π/4) + b ) vypočítaj spoločé body s o d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - cos( π/4) - c ) urč jej ohraičeosť d ) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = cos( π/4) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej ohraičeosť d ) urč jej etrémy 4. Daá je fukcia f: y = -( cos( π/4) ) 0

31 b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 5. Daá je fukcia f: y = cos( π/4) - b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 6. Daá je fukcia f: y = tg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 7. Daá je fukcia f: y = - tg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 8. Daá je fukcia f: y = tg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 9. Daá je fukcia f: y = - tg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy 0. Daá je fukcia f: y = cotg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - cotg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť

32 d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = cotg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy. Daá je fukcia f: y = - cotg( π/4) b ) vypočítaj spoločé body s o c ) urč jej mootóosť d ) urč jej ohraičeosť e) urč jej etrémy.5 Limita, derivácia Určte defiičý obor a graf fukcie 6 f : y. 4 Určte lim 6. 5 Eistuje limita fukcie f : y v bode =? 6 Určte limitu fukcie 7 Vypočítajte limity f : y v jej evlastom bode lim lim Určte body espojitosti fukcie f a zostrojte jej graf: 9 f : y Určte limity fukcie v evlastých bodoch a v bodoch espojitosti: f : y Určte lim.

33 Určte lim 0 si 4. 4 Vypočítajte lim tg si 0. 5 Napíšte rovicu dotyčice ku grafu f: y = v priesečíkoch s osou. 6 Teleso s hmotosťou m = 0 kg sa pohybuje podľa zákoa dráhy s = + t + t. Akú kietickú eergiu bude mať a koci 5. sekudy? 7 Napíšte rovicu dotyčice ku grafu fukcie f : y v T[8; y T ]. 8 Určte itervaly rastu a klesaia fukcie f : y 4. 9 Napíšte rovicu dotyčice krivky 9 +y 9 4y = 0 v jej bode T[; y T ]. 0 Určte deriváciu fukcie f: y = l ( ) a itervaly, a ktorých sú f aj f' defiovaé. Určte defiičý obor fukcie g : y si a jej deriváciu a <0; >. Akú smericu má dotyčica ku grafu g v bode 6 5? Určte lokále etrémy fukcie f: y =. Určte priebeh fukcie f: y = 4 a jej vlastosti. 4 Aký je smerový uhol a uhol dotyčíc ku grafu fukcie f: y = si v bodoch = 0 a =. 5 Napíšte podmieky pre parameter a, b, c, d lieárej lomeej fukcie f : y a b a derivovaím tejto fukcie ukáţte, ţe emá lokále etrémy. c d 6 Určte itervaly mootóosti a lokále etrémy fukcie f: y = Vyšetrite priebeh fukcie f : y a akreslite jej graf. 8 Nájdite lokále etrémy fukcie f: y = +cos v itervale (0; ) 9 Nájdite valec, ktorý má pre daá povrch maimály objem. Porovajte výšku a polomer tohto valca. 0 Veľkosť dráhy, ktorú koá teleso, sa meí v závislosti od času podľa rovice s = t t +. V ktorom čase má teleso ulovú rýchlosť a kedy má ulové zrýchleie? Na priamku p: y = +6 určte bod, pre ktorý je súčet druhých mocíc vzdialeostí od bodov A[; 5], B[; 5] miimálu.

34 Zo štvorcovej lepeky zo straou a cm máme v rohoch vystrihúť rovako veľké štvorce a zo zvyšej časti sa zahutím získa škatuľka tvaru kvádra. Aké veľké budú stray vystrihutých štvorcov, aby bol objem ajväčší? Má fukcia f : y lokály etrém? 4 Vyšetrite priebeh fukcie f : y a určte graf. 5. Nájdite rovicu dotyčice ku grafu fukcie f: y = + v jej bode T[;?]. 6. Zistite itervaly mootóosti a etrémy fukcie f: y = + 7. Určte okamţitú rýchlosť a zrýchleie telesa, ktoré má dráhu popísaú rovicou s =v o t - gt, kde g je gravitačé zrýchleie a t je čas, v čase t = 0 s. 8. Daá je fukcia f: y = /( - ). Určte: a/ obor defiície b/ itervaly mootóosti c/ body espojitosti d/ etrémy lokále aj globále e/ priesečíky s osami súradicovej sústavy f) vypočítejte limity v evlastých bodoch f/ ačrtite a základe získaých údajov jej graf Nekoečý geometrický rad. Určte podmieku kovergecie a zistite pre ktoré R platí rovosť: ( ) + ( ) + ( )+...+( ) =. Riešte v R rovicu Riešte v R rovicu Zistite, či rovici vyhovuje prirodzeé číslo:

35 4 8 a) log log log log... b) Zapíšte periodické čísla v tvare zlomku,4, 0, 6. Zistite, pre ktoré čísla moţo určiť súčet radu a určte: si + cos + si 4 + cos 4 + si 6 + cos Meší koreň rovice 5+ = 0 sa rová prvému číslu ekoečého kovergetého geometrického radu, väčší koreň sa rová jeho súčtu. Určte kvociet radu. 8. Daý je štvorec so straou a. Spojice stredov jeho strá utvoria opäť štvorec atď. aţ do ekoeča. Vypočítajte k akej hraici sa blíţi súčet obvodov a k akej hraici súčet obsahov týchto štvorcov. 9. Riešte v R rovicu Itegrály počet. Vypočítajte objem gule s polomerom r s vyuţitím určitého itegrálu. cos. Vypočítajte d. si cos. Určte krivku, ktorá prechádza bodom A[; ] a jej dotyčica v ľubovoľom bode má smericu Vypočítajte obsah obrazca ohraičeého krivkami y =, y =. 5. Určte defiičý obor fukcie fukcii a defiičom obore. f : y a primitívu fukciu k tejto 6 6. Zavedeím substitúcie určte d 7. Metódou per partes určte l d. 8. Zavedeím substitúcie určte d.. 9. Určte krivku, ktorá má v kaţdom bode svojho defiičého oboru smericu dotyčice a prechádza bodom A[; ]. 0. Metódou per partes určte si d. 5

36 . Vypočítajte : ( + /) d. Vypočítajte : e si d. Určte obsah roviého obrazca ohraičeého osou, grafom fukcie f : y = si a priamkami = 0, =. 4. Aký je geometrický výzam výrazu : b a f () d, ilustrujte obrázkom.. Plaimetria. Základé rovié útvary Trojuholík. V ABC je c = 0 cm, = 0, = cm. a) Popíšte postup koštrukcie. b) Vypočítajte ostaté stray a uhly.. V ABC je daé: c = 8 cm, a = 7 cm, = 6 cm. a) Popíšte postup koštrukcie. 6 b) Vypočítajte.. V ABC je daé: c = 6 cm, = 60, = 5 cm. a) Popíšte postup koštrukcie. b) Vypočítajte polomer opísaej kruţice. 4. Vypočítajte šírku rieky, keď vo vzdialeosti d = 0 m od jej brehu amerali základňu AC = 50 m rovobeţe s brehom, a ak bod B a druhom brehu rieky vidieť z bodu A pod uhlom 0 a z bodu C pod uhlom V ABC platí: : : = : 4 : 5; a =. a) Vypočítajte uhly. b) Vypočítajte stray. c) Vypočítajte obsah daého trojuholíka. 6. V pravouhlom trojuholíku ABC s pravým uhlom pri bode C určte všetky prvky, ak: a) a = 4, = 6. b) = 4, = 9. c) c = 5, = ( je polomer kruţice vpísaej trojuholíku). 7. Daá je kocka ABCDA B C D s dĺţkou hray a = 4. Bod S je stred stey ADD A ; bod M je stred hray BB.

37 a) Vypočítajte dĺţky strá SMC. b) Zistite, či SMC je tupouhlý. c) Vypočítajte obsah SMC. Lieáre útvary, trojuholík. Rovorameý trojuholík ABC, ktorého základňa je AB, má pri vrchole C vokajší uhol 0.Vypočítaj jeho vútoré uhly.. Medzi vútorými uhlami,, trojuholíka ABC platia vzťahy =, =.Urč ich.. Vútoré uhly,, trojuholíka ABC majú veľkosti v pomere ::5. Aké sú jeho vokajšie uhly? 4. Vokajšie uhly trojuholíka ABC majú veľkosti v pomere 5:7:8. V akom pomere sú veľkosti jeho vútorých uhlov? 5. Dokáţte, ţe osi uhlov a trojuholíka ABC zvierajú uhol =90 + /. 6. Vrcholom C trojuholíka ABC prechádza priamka p rovobeţá s osou o = BK uhla.dokáţte, ţe BD = BC, kde D je priesečík priamky p s priamkou AB. 7. Daé sú úsečky s dlţkami 6cm, 5cm, 4cm.Zistite, či tieto úsečky môţu byť straami trojuholíka. 8. Trojuholík ABC má obvod O= 6cm a dlţky strá a= 6,5cm, b =,cm.zoraďte jeho vútoré uhly podľa veľkosti. 9. Daý je rovorameý trojuholík ABC, ktorého základňa je AB.Na polpriamke AC za bodom C zostrojte bod D tak, aby platil vzťah DC=AC.Dokáţte, ţe priamky AB a BD sú a seba kolmé. 0. V rovorameom trojuholíku ABC je pomer dlţok základe AB a výšky a základňu 0 :. Rameo má dlţku 6 cm.ak T je ťaţiskom trojuholíka ABC, koľko je obsah trojuholíka ABT?. Obvod pravouhlého trojuholíka je 8.Súčet obsahov štvorcov zostrojeých ad jeho straami je 8.Aký je obsah tohto trojuholíka?. Dlţky strá istého pravouhlého trojuholíka sa dajú zapísať v tvare s, s+p, s+p, kde s,p R +.Aká je dlţka jeho prepoy, ak dlhšia odvesa meria cm?. Obce A, B, C sú umiesteé ako vrcholy pravouhlého trojuholíka so straami km, 5 km, 9 km.nová ţelezičá trať má byť postaveá tak, aby mala zastávku rovako ďaleko od obcí A, B, C a aby taáto vzdialeosť bola čo ajmešia moţá.ako ďaleko budú od trate obce? 4. Aký polomer má ajmeší kruh, ktorým moţo úple zakryť rovostraý trojuholík so straou cm? 5. Aký polomer má ajmeší kruh, ktorým moţo úple zakryť pravouhlý trojuholík s odvesami 5 cm a cm? 6. Pomer dlţok ramea a základe rovorameého trojuholíka je 5 : 8. Výška a základňu má dlţku 6 cm.aký je obsah tohto trojuholíka? 7. Bod A má od stredu kruţice k (S, r = 4cm) vzdialeosť d=0cm. Vypočítajte: dĺţku dotyčíc vedeých z bodu A ku kruţici k, vzdialeosť stredu S od spojice bodov dotyku. 7

38 8. Vypočítajte veľkosť uhlov pravouhlého trojuholíka, ak pre jeho stray platí: 4a 8ac + c = Tetiva kruţice je od stredu vzdialeá 48 cm a je o cm mešia eţ polomer kruţice. Vypočítajte polomer kruţice. 0. Nosík má jedo rameo kolmé a steu, a ktorej je upeveý. Rameá osíka o zvierajú uhol 48. Nosík je zaťaţeý bremeom G=800 N. Určte veľkosť F ťahovej sily a veľkosť F tlakovej sily.. Určte vzdialeosť dvoch miest M, N, medzi ktorými je prekáţka, takţe miesto N z miesta M ie je viditeľé. Boli ameraé uhly MAN = 0 o, NBM = 09 o a vzdialeosti AM = 54, BM = 60, pričom body A, B, M leţia a jedej priamke.. Vypočítajte polomer kruţice opísaej trojuholíku ABC, ak a = 6,5, : : γ = : : 4.. V trojuholíku ABC vypočítajte výšku v c, ťaţicu t c a uhol γ, ak a = 40 cm, b = 57 cm, c = 59 cm. 4. Na vodorovej rovie stojí 65 m vysoká veţa a komí. Z vrcholu veţe vidíme pätu komía v hĺbkovom uhle = 0 9 a od päty veţe vidíme vrchol komía vo výškovom uhle = 7 4. Aký vysoký je komí 5. Určte veľkosti vútorých uhlov trojuholíka ABC, ak platí : a : b = :, : = :. 6. Radarové zariadeie umiesteé a 45 severej zemepisej šírky zaregistrovalo v určitom okamţiku prese v severom smere kozmickú loď, ktorej výškový uhol bol = 7 a jej vzdialeosť od pozorovacieho miesta bola d = 600 km. Aká bola v tomto okamihu výška kozmickej lode ad povrchom Zeme a ad ktorou rovobeţkou sa práve achádzala Zem povaţujte za guľu s polomerom r = 670 km. 7. Pravidelý štvorste ABCD má veľkosť hray a. Body M, N sú stredy úsečiek AB, CD. Dokáţte, ţe: a) priamka CD je kolmá a roviu ANB, b) priamka AB je kolmá a priamku CD, c) priamka MN je kolmá a priamky AB, CD, d) vypočítajte veľkosť úsečky MN. 8. Dokáţ, ţe súčet uhlov trojuholíka je priamy uhol. 9. Vypočítajte ajväčší uhol v trojuholíku, ktorý má stray 79, 58, Vypočítajte obvod a obsah rovobeţíka, keď sú daé jeho uhlopriečky e = 7, f = 5 a uhol imi zovretý = 75 4'. 8. Dve priame cesty sa kriţujú pod uhlom = 5 0'. Na jedej z ich stoja dva stĺpy, jede a kriţovatke, druhý vo vzdialeosti 500 m od ej. Ako ďaleko od kriţovatky musíme ísť po druhej ceste, aby sme vzdialeosť oboch stĺpov videli pod uhlom = 5.. Trojuholík ABC, ktorého stray sú a = 6, b =, c = 4 je zaveseý v bode A. Určte uhol stray b s vertikálou.

39 Viacuholíky. Charakterizuj asledujúce štvoruholíky:a)štvorec, b) obdlţik, c) kosoštvorec, d) rovobeţík, e) lichobeţík. Zostroj rovobeţík ABCD s obvodom 4 cm a polomerom opísaej kruţice 5 cm.. Šúra a bielizeň, dlhá m, je zaveseá medzi bodmi A a B, ktorých vzdialeosť je m a ktoré sú m vysoko od zeme. Vo vzdialeostiach po jedom metri sú a šúre peve prichyteé dve závaţia. O koľko cm klese jedo závaţie, ak odstráime druhé závaţie? 4. Postačí pravouhlý trojuholík, s odvesami s dĺţkou 7 cm a 8 cm, a prikrytie mice s priemerom 4 cm? 5. Dve kolesá sú spojeé prevodovou reťazou. Polomery kolies sú 0 cm a 5 cm, vzdialeosť stredov je 60 cm. Vypočítajte dĺţku reťaze. Hrúbku reťaze zaedbajte. 6. Dĺţky strá koveého štvoruholíka sú AB = 0 cm, BC = 5 cm, CD = 5 cm, DA = 0 cm a uhlopriečka BD má dĺţku 4 cm. Vypočítajte dĺţku druhej uhlopriečky. 7. Dĺţky strá koveého štvoruholíka sú AB = cm, BC = 5 cm, CD = 4 cm a DA = 6 cm, uhlopriečka AC je osou uhla pri vrchole A. Vypočítajte jeho plošý obsah. 8. Pre ktoré, y sú trojuholíky so straami,, 5 a y, 6, 5 podobé? 9. Peter si kreslí le štvoruholíky, ktoré majú dve protiľahlé stray rovobeţé a súčase druhé dve protiľahlé stray rovako dlhé. Adam si kreslí le štvoruholíky, ktorým sa dá opísať kruţica a ktoré majú súčase rovaké uhlopriečky. Zistite, či platí, ţe : kaţdý Adamov štvoruholík je aj Petrov, kaţdý Petrov štvoruholík je aj Adamov. 0. Ukáţte, ţe obsah pravidelého 8- uholíka so straou a je a.. Odvoďte vzorce pre obsah a obvod pravidelého - uholíka N vpísaého kruţici s polomerom r > 0. Na základe týchto vzorcov odvoďte vzorce pre obsah a obvod rovostraého trojuholíka, štvorca a pravidelého 6- uholíka.. Kruţici je opísaý a vpísaý pravidelý 6- uholík. Rozdiel ich obsahov je 8 cm. Určte polomer kruţice.. Zostroj osi vútorých uhlov kosodlţika. Dokáţ ţe určujú obdlţik 4. Zostroj asledujúce štvoruholíky a) štvorec ABCD, AC = 5 cm b) obdlţik ABCD, AC = 6 cm, AB = 4 cm c) kosodlţik ABCD, AB = 5 cm, BD = 6 cm, AC = cm d) kosoštvorec ABCD, AB = 4 cm, AC = 6 cm e) lichobeţík ABCD, AB = 6 cm, BC = 4 cm, CD = AD = cm 5. Koľko uhlopriečok má -uholík? 9

40 6. Koľko vypuklých uhlov môţe mať 0-uholík Kružica a kruh. Vypočítaj polomer kruhovej dráhy, ktorú musí beţec prebehúť krát, aby prebehol km.. Vypočítaj polomer kruţice, ktorej dlţka je o 7cm väčšia eţ obvod pravidelého šesťuholíka.. Vypočítajte polomer kruhu, ktorého obsah a obvod sú vyjadreé tým istým číslom. 4. Vypočítajte polomer kruhu, ktorého obsah sa rová súčtu obsahov troch kruhov k, k k s polomermi r, r, r. 5. Daý je štvorec ABCD so straou a.okolo jeho vrcholov A a C sú opísaé štvrťkruţice s polomerom r = a dovútra štvorca.urč obsah útvaru U medzi obidvoma štvrťkruţicami. 6. Obvod kruhového výseku, ktorého polomer je cm, je cm. Vypočítaj jeho obsah. 7. Daý je štvorec ABCD so straou a.vypočítaj obsah medzikruţia, ktoré bude ohraičeé vpísaou a opísaou kruţicou štvorcu ABCD. 8. Ak má straa rovostraého trojuholíka ABC dlţku a, má jeho výška veľkosť a v=.vypočítaj obsah medzikruţia, ktoré bude ohraičeé vpísaou a opísaou kruţicou trojuholíka ABC. 9. Odvesa AC pravouhlého rovorameého trojuholíka ABC má dlţku 4 cm.vypočítaj obsah útvaru, ktorý bude ohraičeý vpísaou a opísaou kruţicou. 0. Dlţka zemského rovíka je pribliţe km. Aká je dlţka rovobeţky a 0. stupi severej zemepisej šírky?. Do kruhového výseku ABC s polomerom 5 cm je vpísaá kruţica k s polomerom 5 cm.akú veľkosť má uhol ABC?. Aký polomer má kruh vpísaý do štvrťkruhu s polomerom 00 cm?. Na okrúhlej pavici s priemerom 0 cm sa pečie 6 rovako veľkých okrúhlych pampúchov.všetky sa dotýkajú okraja pavice a kaţdý sa dotýka dvoch susedých pampúchov.aký priemer má kaţdý pampúch? 4. Dva kotúče s polomermi 4 cm a 4 cm sú spojeé prevodovým pásom.vzdialeosť stredov kotúčov je 0 cm.aká je dlţka tohto pásu? 5. Na obrázku je obdlţik ABCD s rozmermi 5 cm a 0 cm.kruţica k so stredom v bode A, prechádza bodom C.Akú dlţku má EF tetiva tejto kruţice? F k 40

41 E 6. Joţko vloţil dva guľaté epokrájaé zemiaky s priemermi 4 cm a 6 cm do hrca v tvare valca.hriec bol vysoký cm a priemer podstavy mal 9 cm.potom prilieval do hrca vodu.do akej ajmešej výšky musí siahať voda v hrci, aby v ej boli oba zemiaky pooreé? 7. Je daá kruţica k so stredom S a polomerom 5 cm a bod A, ktorý je od stredu S vzdialeý cm.z bodu A sú ku kruţici k zostrojeé dve dotyčice p, q s bodmi dotyku P,Q.Okrem toho je ku kruţici k zostrijeá ďalšia dotyčica t, ktorá pretía dotyčice p, q v bodoch B,C.Aký obvod má trojuholík ABC? 8. Lojzo stojí a brehu kruhového jazierka s polomerom 00 m.v strede jazierka pláva bójka.lojzo by chcel bójku oboplávať a vrátiť sa a to miesto a brehu, z ktorého vyštartoval.rodičia mu však prikázali, ţe sa ai a okamih esmie vzdialiť od brehu jazera a viac ako 00 m.najmeej koľko metrov musí Lojzo preplávať, aby splil svoj cieľ a eporušil pritom príkaz svojich rodičov? Uhly v kružiciach. Štvoruholík vpísaý do kruţice má vútoré uhly,,,.urč, ak =68, =04.. Urč bod a ciferíku hodí, ktorým prechádza kolmica vedeá bodom 7 a priamku spájajúcu body a 9.. Urč veľkosti uhlov, ktoré a ciferíku zvierajú spojice bodov a 8 so spojicou a) 8 a, b)0 a 5, c) a 7, d) a 4. Na kruţici, ktorá zázorňuje ciferík hodí, vyzač body,,...a)urč počet všetkých trojuholíkov, ktoré majú vrcholy vo vyzačeých bodoch.b)na koľko typov moţo rozdeliť takto získaé trojuholíky podľa veľkosti uhlov?napíš všetky trojice veľkostí vútorých uhlov takýchto trojuholíkov. 5. Na kruţici, ktorá zázorňuje ciferík hodí, vyzač body,,...urč počet všetkých koveých štvoruholíkov, ktoré majú vrcholy vo vyzačeých bodoch. 6. V daej kruţici s polomerom r =,5 cm a s vyzačeým bodom A k zostroj všetky trojuholíky ABC, ktoré majú BAC = 45 a ABC= Aký veľký je obvodový uhol prislúchajúci a) 5 b) 8 5 kruţice? 4

42 8. Do kruţice k je vpísaý trojuholík ABC tak, ţe jeho vrcholy delia kruţicu a oblúky, ktorých dlţky sú v pomere : : 7. Vypočítaj vútoré uhly tohto trojuholíka. 9. Do kruţice k je vpísaý trojuholík ABC tak, ţe jeho vrcholy delia kruţicu a oblúky, ktorých dlţky sú v pomere : 4 : 5. Vypočítaj vútoré uhly tohto trojuholíka. 0. Na kruţici k sú zvoleé body A, B, C tak, ţe ju delia a kruţicové oblúky dlţok 5 cm, 6 cm, a 7 cm.v bodoch A, B, C sú ku kruţici zostrojeé dotyčice, ktoré ohraičujú trojuholík. Akú veľkosť má ajväčší uhol tohto trojuholíka?. Na obrázku je kruţica k so stredom v bode S a priemerom BC.Na priamke BC leţí bod A, z ktorého je ku kruţici zostrojeá dotyčica t s bodom dotyku T.Uhol TAB má veľkosť 6.Akú veľkosť má uhol ABC? T t A B S C. Do kruţice s polomerom 60 cm je vpísaý rovostraý trojuholík.. Do častí medzi trojuholíkom a kruţicou sú umiesteé malé kruţice s rovakým polomerom.aký je to polomer? 4

43 4. Oploteý kvetiový záho má tvar pravidelého šesťuholíka, ktorého vrcholy tvoria stlpiky plotu.plot okolo záhoa meria 60 metrov.k jedému zo stlpikov je zvoku priviazaá koza, ktorá sa pasie a okolitej lúke(esmie vojsť do záhoa a ţrať kvety).špagát, a ktorom je koza priviazaá, meria 4 m.koľko m lúky má koza pre seba? 5. Odvoďte vzorec pre súčet veľkosti všetkých vútorých uhlov ľubovoľého koveého - uholíka. 6. Body A,B,C,D delia kruţicu k a štyri oblúky, dĺţky týchto oblúkov sú v pomere :5:4:6. V štvoruholíku ABCD vypočítajte CAB, DAC, ACD, BAC 7. Dve kruţice k, k sa pretíajú v bodoch K, L. Meší oblúk KL je osmiou kruţice k, a pätiou kruţice k. Na k je daý taký bod M, ţe epatrí mešiemu oblúku KL, ale meší oblúk KM je zhodý s KL. Zostrojte trojuholík MRN, ktorý má R k, N k, K RM, L RN a vypočítajte veľkosti jeho vútorých uhlov. 8. Dve sústredé kruţice s polomermi R > r > 0 určujú medzikruţie. Zostrojte kruţicu, ktorá je sústredá s oboma kruţicami a rozdeľuje medzikruţie a dve časti s rovakým obsahom. 9. Daá je kruţica k (S,cm) a priamka p, pričom v (p,s)=7cm. Zostrojte všetky kruţice, ktoré sa dotýkajú kruţice k a priamky p a majú polomer : a) cm, b) cm, c) cm, d) 5cm. 0. Ukáţte, ţe obsah pravidelého 8- uholíka so straou a je a. a) Odvoďte vzorce pre obsah a obvod pravidelého - uholíka N vpísaého kruţici s polomerom r > 0. Na základe týchto vzorcov odvoďte vzorce pre obsah a obvod rovostraého trojuholíka, štvorca a pravidelého 6- uholíka.. Kruţici je opísaý a vpísaý pravidelý 6- uholík. Rozdiel ich obsahov je 8 cm. Určte polomer kruţice.. Určte moţiu stredov všetkých tetív kruţice k (S,r), ktoré prechádzajú jej vútorým bodom M. Možiy bodov daých vlastostí. Daé sú body A, B. Nech bod C je vrcholom ľubovolého pravouhlého trojuholíka s prepoou AB. Určte moţiu ťaţísk týchto trojuholíkov.. Daé sú body A, B, D, ktoré eleţia a jedej priamke. Nájdite moţiu bodov C, pre ktoré je štvoruholík ABCD koveý a súčase trojuholíky ABD a ABC majú 4

44 rovaký obsah. (Riešeím je polpriamka s krajým bodom D, rovobeţá s priamkou AB.). Daá je úsečka AB. Určte moţiu bodov, ktorých vzdialeosť od priamky AB je rová dĺţke úsečky AB a z ktorých je vidieť úsečku AB pod uhlom Daé sú body A, B. Nech bod C je vrcholom ľubovolého pravouhlého trojuholíka s prepoou AB. Určte moţiu bodov X, ktoré delia strau AC v pomere :. 5. Daé sú body A, B. Nájdite moţiu bodov C, pre ktoré platí AB AC BC. d d (Ak zvolíme súradicovú sústavu tak, aby A, 0, B, 0, kde d je dĺţka úsečky AB, bude pre súradice, y bodu. Aalytická geometria v rovie Priamka a rovia C, y platiť d y.) 4. Vypočítajte veľkosti strá, výšok, ťaţíc a vútorých uhlov ABC, ak: a) A = [,, 8], B = [-, -, -], C = [, -, -4] b) Stray leţia a priamkach.. Zistite, či ABC je pravouhlý: A = [, 40], B = [6, 6], C = [, ].. Zistite, či body A = [5,, 4], B = [, 5, -], C = [-, 0, 6] môţu byť vrcholmi trojuholíka, a vypočítajte jeho obsah. 4. Určte bod, ktorý má od priamky vzdialeosť v = 5 a od priamky vzdialeosť w = 9/5. 5. Z priamok určte tú, ktorá ma od začiatku súradicovej sústavy vzdialeosť h =. 6. Daé sú body: A = [,, 0], B = [,, ], C = [0, -, ], D = [,, 0]. Určte: a), b) vzájomú polohu priamok AB a CD, c), d) uhol priamky AB a roviy, e) uhol roví a, f) objem štvorstea ABCD. 7. Stey kocky leţia v roviách. Vypočítajte objem kocky. 8. V kocke ABCDEFGH s hraou a = vypočítajte (aalyticky): a) uhol priamok AE, BC, b) uhol priamky EF a roviy BGE, c) vzdialeosť bodu F od roviy BGE, d) veľkosť uhla, ktorý zvierajú steové uhlopriečky vychádzajúce z toho istého vrcholu dvoch susedých stie kocky. 9. Nájdite rovicu priamky, ktorá prechádza bodom A[4, -], a má od začiatku sústavy súradíc vzdialeosť d =. 44

45 0. Nájdite rovicu roviy rovobeţej s roviou : y + z + = 0, ak vzdialeosť roví a je d =.. Určte bod, ktorý má od priamky p: 5 + y = 0 vzdialeosť v = 5 a od priamky q: 4y = 0 vzdialeosť w =.. Z priamok + y + c = 0 určte tú, ktorá má od začiatku sústavy súradíc vzdialeosť h =.. Je daý trojuholík ABC, A[-6;-], B[4;-6], C[;7]. Napíšte rovice priamok, v ktorých leţia výška v c a ťaţica t a trojuholíka ABC. Určte tieţ dĺţku ťaţice t a a výšky v c.. Zakreslite moţiu všetkých bodov roviy, pre ktorých súradice,y platí: a) y b) y c) + y 4 d) y = 0 5. V trojuholíku sú daé vrcholy A[-; -4 ], B[4; - ] a priesečík výšok V[; - ]. Určte súradice vrcholu C. 6. Rozhodite, či body A[-; ; 0 ], B[; ; ], C[4; ; - ] leţia a priamke. Ak ie, apíšte parametrické vyjadreie roviy ABC. Určte priesečík roviy ABC s osou a rozhodite, či bod M[; 0; 7 ] leţí v rovie ABC. 7. Zistite, či polpriamka = t, y = + t, t 0, pretía polpriamku BC, B[-; 0 ], C[; 4]. Ak áo, určte súradice priesečíka. 8. Dokáţte, ţe body A[;], B[;-], C[5;-] leţia vútri tej istej polroviy vyťatej priamkou y + 4 = 0. Leţí v tejto polrovie aj počiatok súradíc? 9. Zistite vzájomú polohu priamok p,q: = t = 7 + s p: y = t, t R q: y = - s, s R. z = 5 + t z = + s 0. Vyšetrite moţiu všetkých bodov X roviy, pre ktoré platí: roviy. AX - BX = AB, kde A,B sú dva rôze body daej. Na priamke 4 + y = 0 určte bod, ktorý má od priamky 5 + y + 5 = 0 vzdialeosť v =.. Zistite vzájomú polohu roví, a ak je to moţé, určte ich vzdialeosť: : y z = 0 : = 0,5 + t + s y = -0,5 + t s,t R. z = + s. Určte telesovú výšku v ( z bodu V ) štvorstea ABCV, ak V[; 5; 5 ], A[4; 4; 4], B[-; 0; -4 ], C[; -; 5 ]. 4. Napíšte rovicu kruţice, ktorá prechádza bodmi M[;5], N[; 6] a jej stred leţí a priamke p: +y 4 = 0. 45

46 5. Určte rovicu dotyčice ku kruţici +y =5 v jej bode T[-; 4] a) aalytickou cestou, b) pouţitím geometrického výzamu derivácie. 6. Napíšte rovicu priamky q prechádzajúcej stredom kruţice daej rovicou + y y = 0, ktorá je kolmá ma priamku p: 5 + y 4 = Je daá elipsa 5 + 9y = 45 a bod M[0; -]. a) Dokáţte, ţe M je bodom vokajšej oblasti elipsy. b) Napíšte rovice dotyčíc elipsy prechádzajúcich bodom M. c)vypočítajte odchýlku týchto dotyčíc. 8. Určte druh kuţeľosečky, jej stred, ohiská, vrcholy a ačrtite ju : y + 8y 8 = y 64y = 0 9. Napíšte rovicu paraboly, ktorá je súmerá podľa osi y a prechádza bodmi P[0; 0], M[6; -]. 0. Do paraboly s rovicou y = 6 je vpísaý rovostraý trojuholík, ktorého jede vrchol je vo vrchole paraboly a protiľahlá straa je kolmá a os paraboly. Vypočítajte obsah vpísaého trojuholíka. Napíšte rovice priamok, a ktorých leţia stray trojuholíka. Načrtite obrázok. y. Na hyperbole 64 6 ájdite bod, ktorého vzdialeosť od ohiska je 4,5 cm.. Je daá priamka p a bod A, ktorý a ej eleţí. Vyšetrite moţiu všetkých bodov X leţiacich v rovie určeej priamkou p a bodom A, pre ktoré platí : X,A : X,p = :.. V rovie s daými bodmi A, B mal ţiak určiť priamku p daých vlastostí. Ţiak si zvolil súradicový systém tak, ţe A[0, 0], B[, 0]. Riešeím mu vyšla priamka s rovicou = 0,75. Opíšte výsledú priamku pomocou bodov A, B. 4. Ukáţte, ţe ak bod, y leţí a grafe paraboly y p, tak jeho vzdialeosť od p priamky y sa rová jeho vzdialeosti od bodu Kvadratické útvary v rovie. Napíšte rovicu kruţice, ktorá: a) má polomer r = 7 a dotýka sa oboch súradicových osí, b) prechádza bodmi A[ 6, ] a B[0, 5] a má stred a priamke, c) má priemer AB, pričom A[, 0] a B[, 6], d) prechádza ohiskom, vrcholom a priesečíkom paraboly s osou y.. Pre ktoré m R je rovica rovicou kruţice?. Určte typ kuţeľosečky a jej charakteristické prvky:. 46

47 4. Elipse je vpísaý rovostraý trojuholík, ktorého jede vrchol splýva s hlavým vrcholom elipsy. Určte súradice ďalších vrcholov trojuholíka. 5. Určte stred, vrcholy, ecetricitu a ohiská hyperboly a ačrtite ju. 6. Napíšte aalytické vyjadreie paraboly, ktorá má ohisko F a riadiacu priamku d: a) F[4, 0]; d: y =, b) F[, 5]; d: = Napíšte vrcholové rovice všetkých parabol, ktoré majú os rovobeţú s osou y, prechádzajú bodom A[0, ] a V[, 5]. 8. Ktorá moţia bodov je vyjadreá rovicou, kde k R? 9. Napíšte rovicu hyperboly, ktorej vrcholy leţia v ohiskách a ohiská vo vrcholoch elipsy. 0. Dokáţte, ţe rovica 9 4y 8 8y = 0 je rovica hyperboly. Načrtite ju. Je vzdialeosť ohísk jedotiek dĺţky?. Určte ohisko, vrchol a riadiacu priamku paraboly + 9y = 0.. Napíšte rovicu kruţice, ktorá prechádza bodmi A[, ], B[0, ], C[, ]. Zistite jej stred a polomer.. Určte stred a polomer guľovej plochy daej rovicou + y + e 4 + 6y = Elipsa má osi v osiach súradicového systému. Trojuholík ADC je rovostraý ( A je hlavý vrchol, C,D vedľajšie vrcholy). Dľţka hlavej poloosi a =. Bod A leţí a osi. a) apíšte rovicu tejto elipsy b) určte súradice ohísk a vrcholov c) rozhodite, ktorý z trojuholíkov EFX, kde X je ľubovoľý bod elipsy má ajväčší obvod a koľko, má ajväčší obsah a aký. Parabola a kružica V asledujúcich úlohách ájdi: a) súradice vrcholu, b) súradice ohiska, c) rovicu riadiacej priamky d) kaoickú (vrcholovú) rovicu paraboly e) kaoickú (stredovú) rovicu kruţice, ktorá má stred vo vrchole a dotýka sa riadiacej priamky paraboly 47