ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ

2 3. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΟΠΕΣ 3.. Η «Εντατική Κατάταη» ώματος Η ντατική κατάταη ένα ημίο M νός ώματος που υποβάλλται μηχανικές φορτίις, μας πιτρέπι να προδιορίζουμ τις μηχανικές δράις που αναπτύονται το ημίο αυτό. Ο Τανυτής των Τάων Σώμα που υποβάλλται μηχανικές φορτίις Η ντατική κατάταη κάθ ημίο M νός υνχούς μέου, προδιορίζται πλήρως μ τη βοήθια του τανυτή των τάων που υμβολίζται μ ( M ). Ο τανυτής αυτός ίναι ένας υμμτρικός καρτιανός τανυτής δύτρης τάξης και μπορί να παραταθί μ τη βοήθια νός υμμτρικού 3 3,, 3 : πίνακα, το καρτιανό ύτημα αναφοράς ( ) 3 ( M ) μ , 3 3, 3 3 Συνιτώς του διανύματος τάων το (,,3) και το (x,y,z) ύτημα υντταγμένων. []

3 Συνπτυγμένη Μορφή του Τανυτή των Τάων Η υμμτρία του τανυτή των τάων πριορίζι τον αριθμό των απαραίτητων υνιτωών έξι. Για το λόγο αυτό, ο πίνακας μ τις ννιά υνιτώς του τανυτή υχνά αντικαθίταται από ένα πίνακα τήλη μ έξι υνιτώς, χρηιμοποιώντας μία από τις παρακάτω μορφές: xx yy 3 33 zz 4 3 yz 5 3 xz 6 xy 3.. Η «Παραμορφωτική Κατάταη» ώματος Ο Τανυτής των Τροπών Μ ανάλογο τρόπο, η παραμορφωτική κατάταη κάθ ημίο M του υνχούς μέου, προδιορίζται μ τη βοήθια του τανυτή των απιροτών τροπών που υμβολίζται μ ( M ). Και αυτός ο τανυτής ίναι ένας υμμτρικός καρτιανός τανυτής δύτρης τάξης και μπορί να παραταθί μ τη βοήθια νός υμμτρικού 3 3 πίνακα, το καρτιανό ύτημα αναφοράς (,, 3 ) : μ 3 ( M ) ij u u i j + xj x i, i, j,, 3 και ij ji (υμμτρικός τανυτής) για την πρίπτωη της γραμμικής θωρίας των απιροτών τροπών. Συνπτυγμένη Μορφή του Τανυτή των Τροπών Όπως και τη πρίπτωη του τανυτή των τάων, η υμμτρία του τανυτή των τροπών πριορίζι τον αριθμό των απαραίτητων υνιτωών έξι και έτι ο πίνακας μ τις ννιά υνιτώς του τανυτή υχνά αντικαθίταται από ένα πίνακα τήλη μ έξι υνιτώς, χρηιμοποιώντας μία από τις παρακάτω μορφές: [3]

4 xx xx yy yy zz zz 4 γ3 γ 3 yz yz 5 γ 3 γ 3 xz xz γ γ 6 xy xy 3. Η ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Τα πδία των μηχανικών τάων και τροπών ένα υλικό χτίζονται μταξύ τους μ νόμους που χαρακτηρίζουν την μηχανική υμπριφορά του υλικού. Οι νόμοι αυτοί προκύπτουν από πιραματικές παρατηρήις και μας πιτρέπουν να πριγράφουμ ικανοποιητικά τα φαινόμνα που παρατηρούνται. Από πιραματικές μλέτς προκύπτι ότι τα πριότρα υλικά, δομένη θρμοκραία, παρουιάζουν γραμμική λατική υμπριφορά. 3.. Ο Πίνακας Ακαμψίας Ο νόμος της γραμμικής λατικής υμπριφοράς νός ώματος μπορί να πριγραφί μ την ακόλουθη ξίωη πινάκων ή υνπτυγμένη μορφή C C C C C C C C C3 C4 C5 C 6 3 C3 C3 C33 C34 C35 C C4 C4 C34 C44 C45 C46 4 C C C C C C C6 C6 C36 C46 C56 C66 6 C Ο νόμος αυτός, που υχνά αναφέρται και ως γνικυμένος νόμος του Hooke, ιάγι τον υμμτρικό πίνακα ακαμψίας (stiness atrix) C. Έτι, η γραμμική υμπριφορά νός γνικά ανιότροπου υλικού πριγράφται μ τη χρήη ανξάρτητων λατικών ταθρών, που ίναι τα τοιχία C ij του πίνακα ακαμψίας. 3.. Ο Πίνακας Ευκαμψίας Ο γνικυμένος νόμος του Hooke μπορί να γραφί και αντίτροφη μορφή, S [4]

5 μ την χρήη του αντίτροφου του πίνακα ακαμψίας. Ο πίνακας S ονομάζται πίνακας υκαμψία, και τη γνική πρίπτωη έχι τη μορφή μ Τα τοιχία S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S C S ij του παραπάνω πίνακα ονομάζονται και λατικές ταθρές υκαμψίας Διάφοροι Τύποι Ανιότροπων Υλικών Τρικλινικά Υλικά Στη πιο γνική πρίπτωη, ο πίνακας ακαμψίας και ο πίνακας υκαμψίας νός υλικού προδιορίζονται, ο καθένας, μ τη χρήη ανξάρτητων λατικών ταθρών. Η πρίπτωη αυτή αντιτοιχί τα γνικά ανιότροπα υλικά τα οποία δν παρουιάζουν καμιά υμμτρίας ως προς τις μηχανικές τους ιδιότητς. Τα υλικά αυτά λέγονται και τρικλινικά υλικά (triclinic aterials). Αρκτά όμως ανιότροπα υλικά παρουιάζουν μία ή πριότρς υμμτρίς τις μηχανικές τους ιδιότητς. Για παράδιγμα, οι μονοκρύταλλοι, τα ύνθτα υλικά οπλιμένα μ παράλληλς ίνς νίχυης, κα. Οι ιδιότητς αυτές μιώνουν το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών που απαιτούνται για τη πριγραφή της λατικής υμπριφοράς αυτών των υλικών. Η έκταη του πριοριμού των ανξάρτητων λατικών ταθρών ίναι υνάρτηη του πλήθους των υμμτριών που μφανίζι κάθ υλικό. Μονοκλινικά Υλικά Μονοκλινικό υλικό ίναι ένα υλικό το οποίο παρουιάζι ένα πίπδο υμμτρίας τη μηχανική του υμπριφορά. Η μορφή του πίνακα ακαμψίας (υκαμψίας) θα πρέπι να ίναι τέτοια ώτ αλλαγές το ύτημα υντταγμένων αναφοράς, που προκύπτουν από τη υγκκριμένη υμμτρία, να μη μταβάλλουν τον πίνακα. Στην πρίπτωη που το πίπδο υμμτρίας ίναι το (, ) -πίπδο, ο πίνακας ακαμψίας έχι τη μορφή [5]

6 C C C3 0 0 C6 C C C3 0 0 C 6 C3 C3 C C C44 C C45 C55 0 C6 C6 C C66 Την ίδια μορφή έχι και ο πίνακας υκαμψίας. Έτι, το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών τα μονοκλινικά υλικά πριορίζται 3. Ορθότροπα Υλικά Ένα ορθότροπο υλικό μφανίζι τρία πίπδα υμμτρίας, ανά δύο ορθογώνια, τη μηχανική του υμπριφορά. Στην πραγματικότητα, η παρουία δύο πιπέδων υμμτρίας, ορθογώνιων μταξύ τους, υνπάγται και την ύπαρξη νός τρίτου. Η απαίτηη για το αναλλοίωτο του πίνακα ακαμψίας κάτω από αλλαγές το ύτημα αναφοράς που προκύπτουν από την υμμτρία γύρω από το δύτρο πίπδο, δίνι τον πίνακα την μορφή C C C C C C C3 C3 C C C C66 Την ίδια μορφή έχι και ο πίνακας υκαμψίας. Επομένως, τα ορθότροπα υλικά, το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών πριορίζται 9. Εγκαρίως Ιότροπα Υλικά Ένας υνηθιμένος τρόπος κατακυής ύνθτων υλικών ίναι οι τοποθέτηη ινών (ίνς νίχυης) κατά διάφορους τρόπους μέα υνδτικό υλικό (μήτρα). Η πλέον νδδιγμένη διάταξη ίναι αυτή των ινών μ νιαίο προανατολιμό, όπου όλς οι ίνς ίναι υνχίς, μ μγάλο μήκος και παράλληλς μταξύ τους. Αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου νός τέτοιου υλικού ίναι ένα κυλινδρικό τμήμα του υλικού, που πριλαμβάνι μια ίνα νίχυης παράλληλη μ τον άξονα του κυλίνδρου (χήμα). [6]

7 Αντιπροωπυτικό τοιχίο ύνθτου υλικού μ νιαίο προανατολιμό των ινών νίχυης Ένα υλικό τέτοιου τύπου, διαθέτι τρία πίπδα υμμτρίας και ένα άξονα υμμτρίας που ταυτίζται μ την κατύθυνη των ινών και λέγται ορθότροπο κ πριτροφής ή γκαρίως ιότροπο υλικό. Η πριτροφή του υτήματος υντταγμένων γύρω από τον άξονα υμμτρίας του υλικού (-άξονας) θα πρέπι να αφήνι αναλλοίωτο τον πίνακα ακαμψίας (ή υκαμψίας). Για το λόγο αυτό θα πρέπι να ιχύουν οι παρακάτω χέις: και C C, C C 3 33 ( ) C C, C C C S S, S S 3 33 ( ) S S, S S S Οπότ, ο πίνακας ακαμψίας θα έχι τη μορφή και ο πίνακας υκαμψίας τη μορφή C C C C C C C C3 C ( C C3 ) C C66 S S S S S S S S3 S ( S S3 ) S S66 [7]

8 Στα γκαρίως ιότροπα υλικά, το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών πριορίζται 5. Ιότροπα Υλικά Ένα υλικό ίναι ιότροπο αν οι μηχανικές του ιδιότητς ίναι ανξάρτητς από την πιλογή του υτήματος αναφοράς. Αν δηλαδή ο πίνακας ακαμψίας (ή υκαμψίας) του υλικού παραμένι αναλλοίωτος τροφές γύρω από οποιοδήποτ άξονα (άπιροι το πλήθος άξονς υμμτρίας). Έτι, φαρμόζοντας την ιδιότητα αυτή ένα γκαρίως ιότροπο υλικό (μ άξονα υμμτρίας τον -άξονα) και απαιτώντας την ύπαρξη και δύτρου άξονα υμμτρίας (3-άξονας) προκύπτουν οι χέις C C, C C C C C C C , 66 ( ) Το πλήθος τότ των ανξάρτητων λατικών ταθρών πριορίζται και ο πίνακας ακαμψίας του υλικού έχι τη μορφή C C C C C C C C C ( C C ) ( C C ) ( C C ) Συχνά, οι λατικές ταθρές νός ιότροπου υλικού πριγράφονται μ τη χρήη των λγόμνων ταθρών του Lae λ και µ 3..4 Μηχανικές Ελατικές Σταθρές ( ) C λ, C C µ Οι λατικές ταθρές των υλικών πριγράφονται πολλές φορές μ τη χρήη των λγόμνων μηχανικών λατικών ταθρών. Για ένα ιότροπο υλικό, οι ταθρές αυτές ίναι το μέτρο λατικότητας του Young E, ο λόγος Poisson ν και το μέτρο διάτμηης G. Ανξάρτητα από το ίδος των λατικών ταθρών που χρηιμοποιούνται, ο πίνακα ακαμψίας και ο πίνακα υκαμψίας νός ιότροπου υλικού έχι τη γνική μορφή [8]

9 a b b b a b b b a c c c Για τον πίνακα ακαμψίας C ιχύι ( ) ( )( ) 4 E G a λ + µ G E + 3G E E E b λ G G + 3G E ( )( ) E c µ G και για το πίνακα υκαμψίας S ιχύι ( + ) λ + µ a µ λ µ ( 3 + ) E λ b µ 3λ µ E ( + ) ( + ) c µ E G 3.3 Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 3.3. Τα «Ενργά» Μέτρα Ελατικότητας Η Έννοια της Ομογνοποίηης Σ μικροκοπική κλίμακα, όλα τα υλικά ίναι τρογνή, ακόμη και τα υλικά που ονομάζουμ ομοιογνή. Σ αυτό το πίπδο παρατήρηης, η πριγραφή της μηχανικής υμπριφοράς υνηθιμένων υλικών δν μπορί να πιτυχθί. Για να ξπρατί η δυκολία αυτή, ιάγται η υπόθη της υνέχιας νός υλικού. Η υπόθη αυτή βαίζται την έννοια των [9]

10 τατιτικών μέων όρων και αποτλί μια ξιδανίκυη της πραγματικής ύταης του υλικού που ξτάζται. Συνέπια της υπόθης της υνέχιας ίναι η έννοια της ομοιογένιας. Ένα ομοιογνές υλικό χαρακτηρίζται από ιδιότητς οι οποίς ίναι ίδις κάθ ημίο του υλικού. Στο μακροκοπικό πίπδο, ο χαρακτήρας της τρογένιας μφανίζται κάθ φορά που οι φυικές ή μηχανικές ιδιότητς νός υλικού ίναι αυνχίς υναρτήις της θέης μέα το υλικό. Στην πρίπτωη των ύνθτων υλικών, οι ιδιότητς του υλικού μταβάλλονται μ αυνχή τρόπο τη διπιφάνια μταξύ των διαφόρων φάων του υλικού, νώ το υλικό της κάθ φάη θωρίται ομοιογνές. φάη - φάη - χαρακτηριτική διάταη κλίμακα τάξης δ Ομογνοποίηη νός τρογνούς υλικού Στην πρίπτωη που μια φάη- διακορπίζται τη φάη- (βλέπ Σχήμα), υπάρχι γνικά μια χαρακτηριτική διάταη τρογένιας. Για παράδιγμα, τα ύνθτα υλικά που νιχύονται μ παράλληλς δέμς ινών, η διάταη αυτή ίναι ο μέος όρος της απόταης μταξύ των παράλληλων ινών. Επιπλέον, υπάρχι και μια κλίμακα τάξης την οποία οι ιδιότητς του υλικού μπορούν να προγγιθούν ικανοποιητικά, μ την έννοια του μέου όρου. Αυτό ημαίνι, ότι την πρίπτωη που οι ιδιότητς του υλικού μλτώνται τμήματα του υλικού μγέθους, οι μτρούμνς τιμές τους θα πρέπι να ίναι ανξάρτητς από την θέη του τμήματος μέα το υλικό. Μ την έννοια αυτή το υλικό μπορί να θωρίται «φαινομνικά» ομοιογνές μ ιδιότητς που θα έχουν προδιοριθί το πίπδο της κλίμακας. Στην πρίπτωη που μια τέτοια κλίμακα μπορί να υπάρξι, (μια κλίμακα δηλαδή μταξύ της κλίμακας των υτατικών και της κλίμακας του ύνθτου υλικού) λέμ ότι το υλικό μπορί να ομογνοποιηθί. Η ιδέα της μτατροπής νός τρογνούς υλικού ιοδύναμο (κατά κάποιο τρόπο) «φαινομνικά» ομοιογνές λέγται ομογνοποίηη. [0]

11 Ένας άλλος ναλλακτικός τρόπος μλέτης τρογνών υλικών ίναι η μλέτη των τμημάτων που το υλικό ίναι ομοιογνές και η ανάλυη της υνέχιας των μηχανικών τάων και μτατοπίων κάθ διπιφάνια. Αν και ό τρόπος αυτός φαίνται λογικός, ίναι πρακτικά αδύνατος μέχρι ήμρα, αν πάρουμ υπόψη τον μγάλο αριθμό των διπιφανιών που πρέπι να μλτηθούν (μρικές χιλιάδς ή και κατομμύρια). Παρόλα αυτά, η αύξηη της υπολογιτικής ικανότητας των μηχανών ήμρα κάνι δυνατή μια τέτοια προέγγιη όλο και μικρότρη κλίμακα. Οι Υλικές Σταθρές Ομογνοποιημένου Υλικού Μ βάη την ιδέα της ομογνοποίηης, ίναι δυνατό να πριγραφούν οι ομογνοποιημένς μηχανικές ιδιότητς νός τρογνούς υλικού. Οι ιδιότητς αυτές προδιορίζονται πρώτα για ένα τοιχίο όγκου V του υλικού μ μέγθος δ, που ονομάζται αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου (Representatie Volue Eleent). Οι μές τιμές των μηχανικών τάων και τροπών που αναπτύονται αυτό το αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου (RVE), υπολογίζονται από τις χέις i i( xk) dv, i,,...,6 V V i i( xk) dv, i,,...,6 V V όπου i και i ίναι τα τοιχία του τανυτή των τάων και των τροπών το ημίο x k. Τα τοιχία του «νργού» πίνακα ακαμψίας C και του «νργού» πίνακα υκαμψίας S υπολογίζονται από τις χέις i Cij j, i, j,,...,6, και i Sij j, i, j,,...,6. Επομένως, για τον προδιοριμό των υλικών ταθρών νός ομογνοποιημένου τρογνούς υλικού, ίναι αναγκαίος πρώτα ο υπολογιμός των μέων τάων και τροπών ένα αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου του υλικού (μ τη βοήθια και των πιβαλλόμνων υνοριακών υνθηκών για τις μηχανικές τάις και τροπές το ύνορο του αντιπροωπυτικού όγκου) και τη υνέχια ο υπολογιμός των τοιχίων του «νργού» πίνακα ακαμψίας και του «νργού» πίνακα υκαμψίας. Αν και η διαδικαία αυτή φαίνται απλή, τη πράξη το πρόβλημα ίναι αρκτά ύνθτο αφού απαιτίται πρώτα ο ακριβής προδιοριμός του πδίου των τάων ( ) i x k και των τροπών ( ) κάθ ημίο του τρογνούς υλικού. Ακριβής λύη το πρόβλημα αυτό μπορί να προκύψι μόνο την πρίπτωη απλών και ιδανικών γωμτρικών μοντέλων για τη δομή του τρογνούς υλικού, τα οποία όμως τις πριότρς φορές δν πριγράφουν ικανοποιητικά την πραγματικότητα. [] i x k

12 3.3. Ο νόμος του Hooke για ύνθτα υλικά μ ίνς νιαίας κατύθυνης Ένα ύνθτο υλικό μ ίνς νιαίας κατύθυνης αποτλίται από μια δέμη παράλληλων ινών νίχυης τοποθτημένων μήτρα υνδτικού υλικού (χήμα-(a)). Αυτή η βαική δομή πριγράφι τη μορφή των πριότρων ινοπλιμένων ύνθτων υλικών. Σ μια πρώτη προέγγιη, ως αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου νός τέτοιου υλικού θα μπορού να θωρηθί ένας κύλινδρος κυκλικής ή ξαγωνικής βάης μ υνδτικό υλικό και μια ίνα νίχυης παράλληλη μ το άξονα του κυλίνδρου (χήμα-(b)). Σύνθτο υλικό μ ίνς νιαίας κατύθυνης Ο άξονας του κυλίνδρου ταυτίζται μ τον άξονα-. Η διύθυνη των ινών λέγται διαμήκης διύθυνη (Longitudinal direction). Επιδή η διύθυνη των ινών ταυτίζται μ τον άξονα του κυλίνδρου, ο άξονας- λέγται και άξονας-l. Κάθ διύθυνη κάθτη τη διύθυνη των ινών λέγται γκάρια διύθυνη (Transerse direction). Το ύνθτο υλικό θωρίται υλικό γκαρίως ιότροπο, μ πίπδο ιοτροπίας κάθτο τον άξονα-. Το πίπδο αυτό υμβολίζται ως (-)-πίπδο ή (Τ-Τ )- πίπδο. Συνπώς, ο νόμος του Hooke για τα υλικά αυτά θα πρέπι να έχι τη (υθία) μορφή μ 5 ανξάρτητς λατικές ταθρές C C C C C C C C3 C ( C C3 ) C C66 6 C, C, C, C3, C 66 []

13 ή την αντίτροφη μορφή μ 5 ανξάρτητς λατικές ταθρές S S S S S S S S3 S ( S S3 ) S S66 6 S, S, S, S3, S Οι Μηχανικές Ελατικές Σταθρές για ύνθτα υλικά μ ίνς νιαίας κατύθυνης Οι μηχανικές λατικές ταθρές ίναι το μέτρο λατικότητας του Young E, ο λόγος Poisson ν και το μέτρο διάτμηης G. Οι ταθρές αυτές προδιορίζονται μ τη βοήθια απλών δοκιμών, όπως ο μονοαξονικός φλκυμός ή η απλή διάτμηη και έχουν πριότρο πρακτικό χαρακτήρα από τις υλικές ταθρές του πίνακα ακαμψίας ή υκαμψίας. Κατά τη διαδικαία αυτών των δοκιμών, ένα πδίο μηχανικών τάων πιβάλλται κατάλληλο δοκίμιο του υλικού και τη υνέχια υπολογίζται το πδίο των τροπών που έχι προκληθί. Από τη διαδικαία αυτή γίνται φανρό ότι οι υλικές ταθρές του πίνακα υκαμψίας θα πρέπι να χτίζονται μ τις μηχανικές ταθρές μ χέις απλούτρς από τις αντίτοιχς χέις των υλικών ταθρών του πίνακα ακαμψίας. Μ τη διαδικαία αυτή, προδιορίζουμ τη υνέχια τις μηχανικές λατικές ταθρές για ύνθτα υλικά μ ίνς νιαίας κατύθυνης (γκαρίως ιότροπα υλικά), φαρμόζοντας κάθ φορά κατάλληλς απλές δοκιμές. Διαμήκης Μονοαξονικός Εφλκυμός Κατά τη διαδικαία αυτή, όλς οι μηχανικές τάις ίναι μηδνικές κτός της ορθής τάης : 0, 0, i,3,...,6. i Από την υθία μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν οι παρακάτω ξιώις: [3]

14 C + C + C3, 0 C + C + C33, 0 C + C3 + C3, και από τις ξιώις αυτές, οι παρακάτω χέις: και C, 3 C + C3 C C C + C3 Από τις χέις αυτές και τους βαικούς οριμούς των αντίτοιχων μγθών, προκύπτουν το διάμηκς μέτρο λατικότητας του Young E L και ο λόγος Poisson, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα ακαμψίας. E L C 3 C, C + C3 C + C3 C. Από την αντίτροφη μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν: S, S, και από τις χέις αυτές προκύπτουν το διάμηκς μέτρο λατικότητας του Young λόγος Poisson, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα υκαμψίας E L και ο E L S, 3 S S. Εγκάριος Μονοαξονικός Εφλκυμός Κατά τη διαδικαία αυτή, όλς οι μηχανικές τάις ίναι μηδνικές κτός της ορθής τάης : 0, 0, i. Από την υθία μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν οι παρακάτω ξιώις: i [4]

15 0 C + C + C3, C + C + C33, 0 C + C3 + C3, και από τις ξιώις αυτές, οι ακόλουθς χέις: C ( C C ), 3 C CC C CC3 3 C CC C ( C C ) + C C 3 3 C + C CC Από τις παραπάνω χέις, προκύπτουν το γκάριο μέτρο λατικότητας του Young οι λόγοι Poisson TL και TT, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα ακαμψίας E T TL TT ( ) C C C + C C C + C 3 3 C CC ( C3 C ) C CC C 3 CC 3 C CC Από την αντίτροφη μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν οι χέις: S, S, 3 S3, και από αυτές, προκύπτουν το γκάριο μέτρο λατικότητας του Young Poisson TL και TT, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα υκαμψίας E, S S,. 3 3 T TL TT S S S.,., E T και E T και οι λόγοι [5]

16 Από όλς τις παραπάνω χέις, προκύπτι ύκολα ότι οι μηχανικές λατικές ταθρές E L, E T, και TL υνδέονται μταξύ τους μ τη χέη E L E T TL Διαμήκης Απλή Διάτμηη Στη διαδικαία αυτή αντιτοιχούν οι ακόλουθς ντατικές κατατάις 5 0, i 0, i 5 ή 6 0, i 0, i 6 Στην δύτρη πρίπτωη, από το νόμο του Hooke προκύπτουν οι ξιώις , C και από αυτές προκύπτι το διάμηκς μέτρο διάτμηης G : G 6 6 C66 ή G 6 6 S66 Επιδή οι διυθύνις T και T ίναι ιοδύναμς, θα ιχύι: Εγκάρια Απλή Διάτμηη G G C. Στη διαδικαία αυτή αντιτοιχί η ακόλουθη ντατική κατάταη , i 0, i 4 και από το νόμο του Hooke, προκύπτουν οι χέις: 0, i 4. ( C C ), Από τις παραπάνω χέις προκύπτι το γκάριο μέτρο διάτμηης i G TT : ( ) ή 4 GTT C C3 4 [6] G 4 TT 4 3 ( S S )

17 Το γκάριο μέτρο διάτμηης TT υνδέονται μ τη χέη G TT, το γκάριο μέτρο λατικότητας G TT E T ( + ) TT ET και ο λόγος Poisson Συγκντρώνοντας τις χέις που έχουν παραχθί, μπορί να διατυπωθί, ως παράδιγμα, η αντίτροφη μορφή του νόμου Hooke για τα υλικά αυτά, μ όρους μηχανικών λατικών ταθρών. ή αλλιώς E E E E E E E E E G G G EL EL E L TT LL EL ET E T TT TT TT EL ET E T TT TL G TT G G TT TT TL LL TT [7]

18 3.3.4 Προδιοριμός των Μηχανικών Ελατικών Σταθρών Όπως έχι ξηγηθί και προηγουμένως, μ τον όρο μηχανικές λατικές ταθρές ννοούμ τις ιδιότητς του ύνθτου υλικού θωρούμνου ως ομοιογνές υλικό. Για τον προδιοριμό τους χρηιμοποιούνται οι παρακάτω μέθοδοι Εμπιρικές και ημι-αναλυτικές μέθοδοι, που τηρίζονται απλές αρχές και πιραματική παλήθυη Ενργιακές μέθοδοι μ κοπό τη λπτομρή ανάλυη μ χρήη υπολογιτικών τχνικών, πχ πραμένα τοιχία. Μηχανική προέγγιη Η μηχανική προέγγιη ανήκι τη κατηγορία των ημι-αναλυτικών μθόδων και βαίζται τις παραδοχές: Μήτρα υνδτικού υλικού (φάη-): Υλικό ομοιογνές, γραμμικά λατικό και ιότροπο μ μέτρο λατικότητας E, λόγο Poisson και μέτρο διάτμηης G. Ίνς νίχυης (φάη-): Υλικό ομοιογνές, ιότροπο και γραμμικά λατικό, μ νιαία κατύθυνη προανατολιμού, μ μέτρο λατικότητας E, λόγο Poisson και μέτρο διάτμηης G. Διάμηκς Μέτρο Ελατικότητας E L Το διάμηκς μέτρο λατικότητας προδιορίζται μ την φαρμογή διαμήκη μονοαξονικού φλκυμού ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου (χήμα) Διαμήκης μονοαξονικός φλκυμός Υποθέτουμ για χάρη υκολίας, την ομοιόμορφη και ίη πιμήκυνη της μήτρας και της ίνας. Αν l ίναι η διαμήκης πιμήκυνη του δοκιμίου, τότ προκύπτι η διαμήκης τροπή του δοκιμίου l l Η ίδια τροπή μφανίζται την μήτρα και την ίνα. Οπότ [8]

19 Επιδή υποθέτουμ ότι η μήτρα και η ίνα του δοκιμίου έχουν γραμμικά λατική υμπριφορά, οι μηχανικές τάις που μφανίζονται την μήτρα και την ίνα θα πρέπι να ικανοποιούν τις χέις E E Η υνιταμένη φόρτιη που φαρμόζται το δοκίμιο ίναι +, F S S όπου S και αντίτοιχα. S ίναι το μβαδόν της γκάριας διατομής της ίνας και της μήτρας, Αν S ίναι το υνολικό μβαδόν της γκάριας διατομής του δοκιμίου, η διαμήκης τάη που αναπτύται το δοκίμιο θα δίνται από τη χέη F, οπότ S όπου V + V, V και V ίναι το κλάμα όγκου των ινών και της μήτρας, αντίτοιχα. Επιδή, ξ οριμού, για το διάμηκς μέτρο λατικότητας ιχύι, E L προκύπτι τλικά η χέη για το διάμηκς μέτρο λατικότητας του ύνθτου υλικού Εγκάριο Μέτρο Ελατικότητας E T E L EV + E V. Το γκάριο μέτρο λατικότητας προδιορίζται μ την φαρμογή γκάριου μονοαξονικού φλκυμού ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου (χήμα) Εγκάριος μονοαξονικός φλκυμός [9]

20 Η υνολική γκάρια πιμήκυνη του δοκιμίου προκύπτι από το άθροιμα των πιμέρους πιμηκύνων της μήτρας και της ίνας. Έτι έχουμ: l h + h και η γκάρια τροπή που μφανίζται θα έχι τη μορφή l h h + V + V h + h h + h h + h. Επιδή ξ οριμού ιχύι, E T προκύπτι τλικά η χέη για το γκάριο μέτρο λατικότητας του ύνθτου υλικού Διαμήκης λόγος Poisson V + V. ET E E Ο διαμήκης λόγος Poisson προδιορίζται μ την φαρμογή διαμήκη μονοαξονικού φλκυμού ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου (χήμα) Διαμήκης φλκυμός Όπως ιχύι και προηγούμνα, κατά τη διαδικαία του διαμήκη φλκυμού, η μήτρα και ίνα μφανίζουν την ίδια διαμήκη τροπή. Επομένως, οι γκάρια τροπή για τη μήτρα και την ίνα μπορί να γραφί ως: Η γκάρια πιμήκυνη του δοκιμίου ίναι: l h h και η γκάρια τροπή θα δίνται από τη χέη: [0]

21 l ( V + V ). h + h Επιδή ξ οριμού, προκύπτι τλικά η χέη για τον διαμήκη λόγο Poisson του ύνθτου υλικού Διάμηκς Μέτρο Διάτμηης G V + V. Το διάμηκς μέτρο διάτμηης προδιορίζται μ την φαρμογή απλής διάτμηης το (L-T)- πίπδο, ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου του ύνθτου υλικού (χήμα) Απλή διάτμηη το (L-T)-πίπδο του δοκιμίου Η ίδια διατμητική τάη που φαρμόζται το δοκίμιο, φαρμόζται τόο τη μήτρα όο και την ίνα. Επομένως, οι διατμητικές τροπές που αναπτύονται τη μήτρα και την ίνα θα δίνονται από τις χέις: τ G γ γ και Οι αντίτοιχς μτατοπίις που προκαλούνται τη μήτρα και την ίνα δίνονται από τις χέις (χήμα): τ G Διατμητικές τροπές τη μήτρα και την ίνα του δοκιμίου []

22 δ h γ και δ, h γ και η ολική διατμητική μτατόπιη του δοκιμίου θα δίνται από τη χέη (χήμα) δ δ + δ h γ + h γ. Τότ, η διατμητική τροπή του δοκιμίου θα δίνται από τη χέη, Επιδή ξ οριμού ιχύι δ γ γ V + γ V h + h τ γ, G προκύπτι τλικά η χέη για το διαμήκς μέτρο διάτμηης του ύνθτου υλικού G G V + G V. Οι παραπάνω ημι-αναλυτικές χέις για τα μέτρα λατικότητας, το λόγο Poisson και το μέτρο διάτμηης που προδιορίτηκαν μ βάη τις παραδοχές της μηχανικής προέγγιης, αποτλούν μια πρώτη κτίμηη των ιδιοτήτων του ύνθτου υλικού και η ακρίβιά τους θα πρέπι να πιββαιώνται και πιραματικά. Σιρά πιραμάτων έχι δίξι ότι η μέθοδος αυτή ίναι αρκτά ακριβής για τον προδιοριμό της τιμής του E L και του όχι όμως και για τον προδιοριμό της τιμής των E T και G Ο Νόμος της Σύνθης Ο «νόμος τη ύνθης» (rule o ixtures) κφράζι τα ποοτά υμμτοχής του υνδτικού υλικού (μήτρα) και των ινών νίχυης τη δημιουργία του ύνθτου υλικού και ίναι χρήιμος τον προδιοριμό των μηχανικών ιδιοτήτων του υλικού. Λόγοι όγκου Σ ένα αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου του ύνθτου υλικού, ορίζονται: c : Ο υνολικός όγκος του δοκιμίου : Ο όγκος της μήτρας το δοκίμιο []

23 : Ο όγκος των ινών το δοκίμιο : Ο όγκος των φυαλίδων αέρα το δοκίμιο Προφανώς, ιχύι: Ορίζονται ακόμα οι αδιάτατς ποότητς: + + c V V V : λόγος όγκου των ινών (iber olue raction) c : λόγος όγκου της μήτρας (atrix olue raction) c c : λόγος όγκου των φυαλίδων (oid olue raction) Εύκολα αποδικνύται ότι για τα μγέθη αυτά ιχύι: V + V + V Η παραπάνω χέη κφράζι το νόμο της ύνθης νός ύνθτου υλικού, μ όρους όγκων των υτατικών του. Λόγοι μάζας Αν το αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου του ύνθτου υλικού, ορίζονται: w c : Η υνολική μάζα του δοκιμίου w : Η υνολική μάζα της μήτρας το δοκίμιο w : Η υνολική μάζα των ινών το δοκίμιο. Τότ, προφανώς ιχύι: w w + w c και ορίζονται οι ακόλουθοι λόγοι μάζας: W w : λόγος μάζας των ινών (iber ass raction) w [3]

24 W w w : λόγος μάζας της μήτρας (atrix ass raction) Για τα μγέθη αυτά ιχύι: W + W Η παραπάνω χέη κφράζι το νόμο της ύνθης νός ύνθτου υλικού, μ όρους μάζας των υτατικών του. Πυκνότητς Αν ρ c : Η πυκνότητα μάζας του δοκιμίου ρ : Η πυκνότητα μάζα της μήτρας το δοκίμιο ρ : Η πυκνότητα μάζα των ινών το δοκίμιο, τότ αποδικνύται ύκολα ότι ιχύουν οι χέις: W ρ V ρ, c W ρ V ρ c και V c V ρ ρ + ρ, W + ρ ρ ρ c W [4]

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1 Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών) Κφάλαιο Σύνθτα υλικά: ποιά ίναι και πώς ίναι.. Στο πλαίιο της ανάλυης µηχανικής υµπριφοράς υνθέτων υλικών, θα πριοριθούµ την θώρηη δοµικών τοιχίων που χρηιµοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού

Εργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού Εργατηριακές Σημιώις Ανλατική Κάμψη Μταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανπιτημιακός Υπότροφος) Ειαγωγή Δοκός καθαρή κάμψη (λατική υμπριφορά) Τρόπος που παραμορφώνται η δοκός λόγω κάμψης

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής. (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.2)

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής. (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.2) Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών Κφάλαιο. Λπτή τρώη ορθοτρόπου υλικού: πίπδη ένταη 5 5 5 oai ορθότροπο 5 5 iplae outofplae : Μητρώο ανηγµένης δυκαµψίας reduced tiffe D D D D ν ν ν ν / Λπτή

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.1)

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.1) Ειδικά Θέµατα Μηχαικής Μηχαική Σύτω Υλικώ Κφάλαιο. / Μηχαική υµπριφορά οροτρόπου µέου. onaxis ορότροπο offaxis ορότροπο Στο κύριο ύτηµα onaxis του οροτρόπου µέου οι υιτώς του λατικού µητρώου δόως ίαι 9

Διαβάστε περισσότερα

15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στο κφάλαιο αυτό πριγράφται ν υντοµία η πίλυη προβληµάτων παραµορφώιµων ωµάτων µ λατο-πλατική υµπριφορά, µέω της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ 59 Κφάαιο 3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ 3.1 Ειαγωγή Στο κφάαιο αυτό πριγράφται η ντατική κατάταη δομικά τοιχία όγω διάτμηης (διατμητικές τάις και παραμορφώις), δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x) Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας. . Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών Μηχανικές ιδιότητς υνθέτων υλικών: φλκυμός Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιτήμης & Τχνολογίας Υλικών ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Εκπόνηη διπλωματικών ργαιών την ΕΑΒ, Τανάγρα Αττικής. dispersion methodologies μ κοπό τη δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής ίαι η µαθηµατική υθήκη που πριγράφι τη τατική κατάταη έα ηµίο της µάζας του

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμομένν Μαθηματικών και Φυικών Ειτημών Εθνικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οτικές Μαγνητικές Ιιότητς Υλικών Κφάλαιο 3: Αλληλίραη Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης Λιαροκάης Ευθύμιος Άια Χρήης Το αρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Οπτικές Ιδιότητες. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 1: Οπτικές Ιδιότητες. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαροένν Μαηατικών και Φυικών Επιτηών Ενικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οπτικές Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο : Οπτικές Ιδιότητς Λιαροκάπης Ευύιος Άδια Χρήης Το παρόν κπαιδυτικό υλικό υπόκιται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο 4: Πυροηλκτρισμός, Πιζο- ηλκτρισμός, Σιδηροηλκτρισμός Λιαροκάπης Ευθύμιος

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ Κοντογιάννης Πέμπτη Μαΐου 7 Φυλλάδιο #3 Πρίληψη Προηγούμνου Μαθήματος Κανάλια πικοινωνίας μ θόρυβο και η χωρητικότητά τους Πώς πριγράφουμ ένα κανάλι πικοινωνίας; Τι θα πι «θόρυβος»;

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη

Διαβάστε περισσότερα

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Δυνάμις Υδροστατικές & Υδροδυναμικές δυνάμις που νργούν στα ύφαλα της γάστρας Αροδυναμικές δυνάμις που νργούν στην ιστιοφορία Ειδικές Ναυπηγικές Κατασκυές και

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης Ο2 ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δίκτη διάθλασης 1. Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης n νός διαφανούς οπτικού µέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σηµαντικό µέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι µόνο µταβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13 Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Σχημάτων 5 Πίνακας Πινάκων Πίνακας Συμβολιμών Συντομογραφιών Ειαγωγή Γενικότητες 5. Έννοιες από την μηχανική του υνεχούς μέου... 7.. Η χέη τάεων παραμορφώεων

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, ) 6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία πολυατομικών μορίων Τι μας χρειάζεται; Προβλέπει τη φαματοκοπία και τη υμπεριφορά ατόμων και μορίων Πράξεις Συμμετρίας: κινήεις του μορίου κατά τις οποίες η

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2005-06 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις σετ ασκήσεων #6

Λύσεις σετ ασκήσεων #6 ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ. Κοντογιάννης Πέμπτη 8 Μαΐου 07 Φυλλάδιο #4 Λύσις στ ασκήσων #6. Θόρυβος od. Έστω ότι ένα κανάλι έχι αλφάβητο ισόδου και αλφάβητο ξόδου το {0}. Όπως στο προηγούμνο στ η έξοδος του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής»

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αηεπίδραη Εδάφους Κατακευής» 8ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Διάνοιξη και προωρινή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια. Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Simple Linear Regression)

Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Simple Linear Regression) Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηη mple Lear Regresso Κύριο πρόβληµα αυτή την νότητα αποτλί η διρύνηη της χέης µταξύ δυο scaled µταβλητών Χ, Υ π.χ. Χ: ηλικία και : πίη αίµατος. Το γνικό πρόβληµα πριγράφται

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ211: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 1 Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { w {,} * η w δν πριέχι δύο συνχόμνα όμοια γράμματα }

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΔΟΚΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΕΝΙΣΧΥΜΕΝΩΝ ΜΕ ΝΕΕΣ ΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΔΟΚΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΕΝΙΣΧΥΜΕΝΩΝ ΜΕ ΝΕΕΣ ΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΔΟΚΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΕΝΙΣΧΥΜΕΝΩΝ ΜΕ ΝΕΕΣ ΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 1 Οι υνηθέτερες δοκιμές της Εδαφομηχανικής 2 Μονοδιάτατη υμπίεη Τυπική υμπεριφορά ( v -ε v ) Μέτρο Συμπίεης (D) Φόρτιη αποφόρτιη επαναφόρτιη ιαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80 TΟΙΧΟΠΟΙΙΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ Η µηχανική υµπεριφορά της τοιχοποιίας περιράφεται από τα εξής χαρακτηριτικά: καθ. Στέφανος ρίτος Τµήµα Πολιτικών Σ. Μηχανικών, Πανεπιτήµιο Η. Πατρών ΔΡΙΤΣΟΣ Θλιπτική

Διαβάστε περισσότερα

Μπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται;

Μπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται; Έστω μακροσκοπικό σύστημα αποτούμνο από μόρια τα οποία μπορούν να βρθούν σ ένα σύνοο μη κφυισμένων καταστάσων μ νέργια, όπου,, 2, 3, 4,. Σ προηγούμνο παράδιγμα δίξαμ ότι η κυρίαρχη διαμόρφωση νός τέτοιου

Διαβάστε περισσότερα

1 1 Χ= x x x x x x x x x x. x x x x x

1 1 Χ= x x x x x x x x x x. x x x x x ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επιλογή Μταβλητών Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Πολυσυγγραµµικότητα Αν ισχύι X = λ + λ X + + λ X + λ X + + λ X + ( ) j j- j- j+ j+ k k ΤΟΤΕ j, j j+, k, j, j j+, k, Χ= x x x x x x x

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες. 32 3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER Tα υποδίγµατα Transfer αποτλούν µία καλύτρη προσέγγιση στην κτίµηση µονοµταβλητών υποδιγµάτων, στο κφάλαιο αυτό παρουσιάζονται πρισσότρο αναλυτικά. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ. Μορφές αταξίας Μπορούµ να διακρίνουµ κατ' αρχή δύο µγάλς κατηγορίς άτακτων συστηµάτων στη φυσική της συµπυκνωµένης ύλης: συστήµατα µ αταξία θέσης και συστήµατα µ χηµική αταξία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 10: Παιχνίδια με ελλιπή πληροφόρηση. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 10: Παιχνίδια με ελλιπή πληροφόρηση. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 0: Παιχνίδια μ λλιπή πληροφόρηση Ρφανίδης Ιωάννης Άδις Χρήσης Το παρόν κπαιδυτικό υλικό υπόκιται σ άδις χρήσης Creative Commons. ια κπαιδυτικό υλικό, όπως ικόνς, που υπόκιται σ άλλου τύπου άδιας

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα