ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ

2 3. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΟΠΕΣ 3.. Η «Εντατική Κατάταη» ώματος Η ντατική κατάταη ένα ημίο M νός ώματος που υποβάλλται μηχανικές φορτίις, μας πιτρέπι να προδιορίζουμ τις μηχανικές δράις που αναπτύονται το ημίο αυτό. Ο Τανυτής των Τάων Σώμα που υποβάλλται μηχανικές φορτίις Η ντατική κατάταη κάθ ημίο M νός υνχούς μέου, προδιορίζται πλήρως μ τη βοήθια του τανυτή των τάων που υμβολίζται μ ( M ). Ο τανυτής αυτός ίναι ένας υμμτρικός καρτιανός τανυτής δύτρης τάξης και μπορί να παραταθί μ τη βοήθια νός υμμτρικού 3 3,, 3 : πίνακα, το καρτιανό ύτημα αναφοράς ( ) 3 ( M ) μ , 3 3, 3 3 Συνιτώς του διανύματος τάων το (,,3) και το (x,y,z) ύτημα υντταγμένων. []

3 Συνπτυγμένη Μορφή του Τανυτή των Τάων Η υμμτρία του τανυτή των τάων πριορίζι τον αριθμό των απαραίτητων υνιτωών έξι. Για το λόγο αυτό, ο πίνακας μ τις ννιά υνιτώς του τανυτή υχνά αντικαθίταται από ένα πίνακα τήλη μ έξι υνιτώς, χρηιμοποιώντας μία από τις παρακάτω μορφές: xx yy 3 33 zz 4 3 yz 5 3 xz 6 xy 3.. Η «Παραμορφωτική Κατάταη» ώματος Ο Τανυτής των Τροπών Μ ανάλογο τρόπο, η παραμορφωτική κατάταη κάθ ημίο M του υνχούς μέου, προδιορίζται μ τη βοήθια του τανυτή των απιροτών τροπών που υμβολίζται μ ( M ). Και αυτός ο τανυτής ίναι ένας υμμτρικός καρτιανός τανυτής δύτρης τάξης και μπορί να παραταθί μ τη βοήθια νός υμμτρικού 3 3 πίνακα, το καρτιανό ύτημα αναφοράς (,, 3 ) : μ 3 ( M ) ij u u i j + xj x i, i, j,, 3 και ij ji (υμμτρικός τανυτής) για την πρίπτωη της γραμμικής θωρίας των απιροτών τροπών. Συνπτυγμένη Μορφή του Τανυτή των Τροπών Όπως και τη πρίπτωη του τανυτή των τάων, η υμμτρία του τανυτή των τροπών πριορίζι τον αριθμό των απαραίτητων υνιτωών έξι και έτι ο πίνακας μ τις ννιά υνιτώς του τανυτή υχνά αντικαθίταται από ένα πίνακα τήλη μ έξι υνιτώς, χρηιμοποιώντας μία από τις παρακάτω μορφές: [3]

4 xx xx yy yy zz zz 4 γ3 γ 3 yz yz 5 γ 3 γ 3 xz xz γ γ 6 xy xy 3. Η ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Τα πδία των μηχανικών τάων και τροπών ένα υλικό χτίζονται μταξύ τους μ νόμους που χαρακτηρίζουν την μηχανική υμπριφορά του υλικού. Οι νόμοι αυτοί προκύπτουν από πιραματικές παρατηρήις και μας πιτρέπουν να πριγράφουμ ικανοποιητικά τα φαινόμνα που παρατηρούνται. Από πιραματικές μλέτς προκύπτι ότι τα πριότρα υλικά, δομένη θρμοκραία, παρουιάζουν γραμμική λατική υμπριφορά. 3.. Ο Πίνακας Ακαμψίας Ο νόμος της γραμμικής λατικής υμπριφοράς νός ώματος μπορί να πριγραφί μ την ακόλουθη ξίωη πινάκων ή υνπτυγμένη μορφή C C C C C C C C C3 C4 C5 C 6 3 C3 C3 C33 C34 C35 C C4 C4 C34 C44 C45 C46 4 C C C C C C C6 C6 C36 C46 C56 C66 6 C Ο νόμος αυτός, που υχνά αναφέρται και ως γνικυμένος νόμος του Hooke, ιάγι τον υμμτρικό πίνακα ακαμψίας (stiness atrix) C. Έτι, η γραμμική υμπριφορά νός γνικά ανιότροπου υλικού πριγράφται μ τη χρήη ανξάρτητων λατικών ταθρών, που ίναι τα τοιχία C ij του πίνακα ακαμψίας. 3.. Ο Πίνακας Ευκαμψίας Ο γνικυμένος νόμος του Hooke μπορί να γραφί και αντίτροφη μορφή, S [4]

5 μ την χρήη του αντίτροφου του πίνακα ακαμψίας. Ο πίνακας S ονομάζται πίνακας υκαμψία, και τη γνική πρίπτωη έχι τη μορφή μ Τα τοιχία S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S C S ij του παραπάνω πίνακα ονομάζονται και λατικές ταθρές υκαμψίας Διάφοροι Τύποι Ανιότροπων Υλικών Τρικλινικά Υλικά Στη πιο γνική πρίπτωη, ο πίνακας ακαμψίας και ο πίνακας υκαμψίας νός υλικού προδιορίζονται, ο καθένας, μ τη χρήη ανξάρτητων λατικών ταθρών. Η πρίπτωη αυτή αντιτοιχί τα γνικά ανιότροπα υλικά τα οποία δν παρουιάζουν καμιά υμμτρίας ως προς τις μηχανικές τους ιδιότητς. Τα υλικά αυτά λέγονται και τρικλινικά υλικά (triclinic aterials). Αρκτά όμως ανιότροπα υλικά παρουιάζουν μία ή πριότρς υμμτρίς τις μηχανικές τους ιδιότητς. Για παράδιγμα, οι μονοκρύταλλοι, τα ύνθτα υλικά οπλιμένα μ παράλληλς ίνς νίχυης, κα. Οι ιδιότητς αυτές μιώνουν το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών που απαιτούνται για τη πριγραφή της λατικής υμπριφοράς αυτών των υλικών. Η έκταη του πριοριμού των ανξάρτητων λατικών ταθρών ίναι υνάρτηη του πλήθους των υμμτριών που μφανίζι κάθ υλικό. Μονοκλινικά Υλικά Μονοκλινικό υλικό ίναι ένα υλικό το οποίο παρουιάζι ένα πίπδο υμμτρίας τη μηχανική του υμπριφορά. Η μορφή του πίνακα ακαμψίας (υκαμψίας) θα πρέπι να ίναι τέτοια ώτ αλλαγές το ύτημα υντταγμένων αναφοράς, που προκύπτουν από τη υγκκριμένη υμμτρία, να μη μταβάλλουν τον πίνακα. Στην πρίπτωη που το πίπδο υμμτρίας ίναι το (, ) -πίπδο, ο πίνακας ακαμψίας έχι τη μορφή [5]

6 C C C3 0 0 C6 C C C3 0 0 C 6 C3 C3 C C C44 C C45 C55 0 C6 C6 C C66 Την ίδια μορφή έχι και ο πίνακας υκαμψίας. Έτι, το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών τα μονοκλινικά υλικά πριορίζται 3. Ορθότροπα Υλικά Ένα ορθότροπο υλικό μφανίζι τρία πίπδα υμμτρίας, ανά δύο ορθογώνια, τη μηχανική του υμπριφορά. Στην πραγματικότητα, η παρουία δύο πιπέδων υμμτρίας, ορθογώνιων μταξύ τους, υνπάγται και την ύπαρξη νός τρίτου. Η απαίτηη για το αναλλοίωτο του πίνακα ακαμψίας κάτω από αλλαγές το ύτημα αναφοράς που προκύπτουν από την υμμτρία γύρω από το δύτρο πίπδο, δίνι τον πίνακα την μορφή C C C C C C C3 C3 C C C C66 Την ίδια μορφή έχι και ο πίνακας υκαμψίας. Επομένως, τα ορθότροπα υλικά, το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών πριορίζται 9. Εγκαρίως Ιότροπα Υλικά Ένας υνηθιμένος τρόπος κατακυής ύνθτων υλικών ίναι οι τοποθέτηη ινών (ίνς νίχυης) κατά διάφορους τρόπους μέα υνδτικό υλικό (μήτρα). Η πλέον νδδιγμένη διάταξη ίναι αυτή των ινών μ νιαίο προανατολιμό, όπου όλς οι ίνς ίναι υνχίς, μ μγάλο μήκος και παράλληλς μταξύ τους. Αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου νός τέτοιου υλικού ίναι ένα κυλινδρικό τμήμα του υλικού, που πριλαμβάνι μια ίνα νίχυης παράλληλη μ τον άξονα του κυλίνδρου (χήμα). [6]

7 Αντιπροωπυτικό τοιχίο ύνθτου υλικού μ νιαίο προανατολιμό των ινών νίχυης Ένα υλικό τέτοιου τύπου, διαθέτι τρία πίπδα υμμτρίας και ένα άξονα υμμτρίας που ταυτίζται μ την κατύθυνη των ινών και λέγται ορθότροπο κ πριτροφής ή γκαρίως ιότροπο υλικό. Η πριτροφή του υτήματος υντταγμένων γύρω από τον άξονα υμμτρίας του υλικού (-άξονας) θα πρέπι να αφήνι αναλλοίωτο τον πίνακα ακαμψίας (ή υκαμψίας). Για το λόγο αυτό θα πρέπι να ιχύουν οι παρακάτω χέις: και C C, C C 3 33 ( ) C C, C C C S S, S S 3 33 ( ) S S, S S S Οπότ, ο πίνακας ακαμψίας θα έχι τη μορφή και ο πίνακας υκαμψίας τη μορφή C C C C C C C C3 C ( C C3 ) C C66 S S S S S S S S3 S ( S S3 ) S S66 [7]

8 Στα γκαρίως ιότροπα υλικά, το πλήθος των ανξάρτητων λατικών ταθρών πριορίζται 5. Ιότροπα Υλικά Ένα υλικό ίναι ιότροπο αν οι μηχανικές του ιδιότητς ίναι ανξάρτητς από την πιλογή του υτήματος αναφοράς. Αν δηλαδή ο πίνακας ακαμψίας (ή υκαμψίας) του υλικού παραμένι αναλλοίωτος τροφές γύρω από οποιοδήποτ άξονα (άπιροι το πλήθος άξονς υμμτρίας). Έτι, φαρμόζοντας την ιδιότητα αυτή ένα γκαρίως ιότροπο υλικό (μ άξονα υμμτρίας τον -άξονα) και απαιτώντας την ύπαρξη και δύτρου άξονα υμμτρίας (3-άξονας) προκύπτουν οι χέις C C, C C C C C C C , 66 ( ) Το πλήθος τότ των ανξάρτητων λατικών ταθρών πριορίζται και ο πίνακας ακαμψίας του υλικού έχι τη μορφή C C C C C C C C C ( C C ) ( C C ) ( C C ) Συχνά, οι λατικές ταθρές νός ιότροπου υλικού πριγράφονται μ τη χρήη των λγόμνων ταθρών του Lae λ και µ 3..4 Μηχανικές Ελατικές Σταθρές ( ) C λ, C C µ Οι λατικές ταθρές των υλικών πριγράφονται πολλές φορές μ τη χρήη των λγόμνων μηχανικών λατικών ταθρών. Για ένα ιότροπο υλικό, οι ταθρές αυτές ίναι το μέτρο λατικότητας του Young E, ο λόγος Poisson ν και το μέτρο διάτμηης G. Ανξάρτητα από το ίδος των λατικών ταθρών που χρηιμοποιούνται, ο πίνακα ακαμψίας και ο πίνακα υκαμψίας νός ιότροπου υλικού έχι τη γνική μορφή [8]

9 a b b b a b b b a c c c Για τον πίνακα ακαμψίας C ιχύι ( ) ( )( ) 4 E G a λ + µ G E + 3G E E E b λ G G + 3G E ( )( ) E c µ G και για το πίνακα υκαμψίας S ιχύι ( + ) λ + µ a µ λ µ ( 3 + ) E λ b µ 3λ µ E ( + ) ( + ) c µ E G 3.3 Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 3.3. Τα «Ενργά» Μέτρα Ελατικότητας Η Έννοια της Ομογνοποίηης Σ μικροκοπική κλίμακα, όλα τα υλικά ίναι τρογνή, ακόμη και τα υλικά που ονομάζουμ ομοιογνή. Σ αυτό το πίπδο παρατήρηης, η πριγραφή της μηχανικής υμπριφοράς υνηθιμένων υλικών δν μπορί να πιτυχθί. Για να ξπρατί η δυκολία αυτή, ιάγται η υπόθη της υνέχιας νός υλικού. Η υπόθη αυτή βαίζται την έννοια των [9]

10 τατιτικών μέων όρων και αποτλί μια ξιδανίκυη της πραγματικής ύταης του υλικού που ξτάζται. Συνέπια της υπόθης της υνέχιας ίναι η έννοια της ομοιογένιας. Ένα ομοιογνές υλικό χαρακτηρίζται από ιδιότητς οι οποίς ίναι ίδις κάθ ημίο του υλικού. Στο μακροκοπικό πίπδο, ο χαρακτήρας της τρογένιας μφανίζται κάθ φορά που οι φυικές ή μηχανικές ιδιότητς νός υλικού ίναι αυνχίς υναρτήις της θέης μέα το υλικό. Στην πρίπτωη των ύνθτων υλικών, οι ιδιότητς του υλικού μταβάλλονται μ αυνχή τρόπο τη διπιφάνια μταξύ των διαφόρων φάων του υλικού, νώ το υλικό της κάθ φάη θωρίται ομοιογνές. φάη - φάη - χαρακτηριτική διάταη κλίμακα τάξης δ Ομογνοποίηη νός τρογνούς υλικού Στην πρίπτωη που μια φάη- διακορπίζται τη φάη- (βλέπ Σχήμα), υπάρχι γνικά μια χαρακτηριτική διάταη τρογένιας. Για παράδιγμα, τα ύνθτα υλικά που νιχύονται μ παράλληλς δέμς ινών, η διάταη αυτή ίναι ο μέος όρος της απόταης μταξύ των παράλληλων ινών. Επιπλέον, υπάρχι και μια κλίμακα τάξης την οποία οι ιδιότητς του υλικού μπορούν να προγγιθούν ικανοποιητικά, μ την έννοια του μέου όρου. Αυτό ημαίνι, ότι την πρίπτωη που οι ιδιότητς του υλικού μλτώνται τμήματα του υλικού μγέθους, οι μτρούμνς τιμές τους θα πρέπι να ίναι ανξάρτητς από την θέη του τμήματος μέα το υλικό. Μ την έννοια αυτή το υλικό μπορί να θωρίται «φαινομνικά» ομοιογνές μ ιδιότητς που θα έχουν προδιοριθί το πίπδο της κλίμακας. Στην πρίπτωη που μια τέτοια κλίμακα μπορί να υπάρξι, (μια κλίμακα δηλαδή μταξύ της κλίμακας των υτατικών και της κλίμακας του ύνθτου υλικού) λέμ ότι το υλικό μπορί να ομογνοποιηθί. Η ιδέα της μτατροπής νός τρογνούς υλικού ιοδύναμο (κατά κάποιο τρόπο) «φαινομνικά» ομοιογνές λέγται ομογνοποίηη. [0]

11 Ένας άλλος ναλλακτικός τρόπος μλέτης τρογνών υλικών ίναι η μλέτη των τμημάτων που το υλικό ίναι ομοιογνές και η ανάλυη της υνέχιας των μηχανικών τάων και μτατοπίων κάθ διπιφάνια. Αν και ό τρόπος αυτός φαίνται λογικός, ίναι πρακτικά αδύνατος μέχρι ήμρα, αν πάρουμ υπόψη τον μγάλο αριθμό των διπιφανιών που πρέπι να μλτηθούν (μρικές χιλιάδς ή και κατομμύρια). Παρόλα αυτά, η αύξηη της υπολογιτικής ικανότητας των μηχανών ήμρα κάνι δυνατή μια τέτοια προέγγιη όλο και μικρότρη κλίμακα. Οι Υλικές Σταθρές Ομογνοποιημένου Υλικού Μ βάη την ιδέα της ομογνοποίηης, ίναι δυνατό να πριγραφούν οι ομογνοποιημένς μηχανικές ιδιότητς νός τρογνούς υλικού. Οι ιδιότητς αυτές προδιορίζονται πρώτα για ένα τοιχίο όγκου V του υλικού μ μέγθος δ, που ονομάζται αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου (Representatie Volue Eleent). Οι μές τιμές των μηχανικών τάων και τροπών που αναπτύονται αυτό το αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου (RVE), υπολογίζονται από τις χέις i i( xk) dv, i,,...,6 V V i i( xk) dv, i,,...,6 V V όπου i και i ίναι τα τοιχία του τανυτή των τάων και των τροπών το ημίο x k. Τα τοιχία του «νργού» πίνακα ακαμψίας C και του «νργού» πίνακα υκαμψίας S υπολογίζονται από τις χέις i Cij j, i, j,,...,6, και i Sij j, i, j,,...,6. Επομένως, για τον προδιοριμό των υλικών ταθρών νός ομογνοποιημένου τρογνούς υλικού, ίναι αναγκαίος πρώτα ο υπολογιμός των μέων τάων και τροπών ένα αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου του υλικού (μ τη βοήθια και των πιβαλλόμνων υνοριακών υνθηκών για τις μηχανικές τάις και τροπές το ύνορο του αντιπροωπυτικού όγκου) και τη υνέχια ο υπολογιμός των τοιχίων του «νργού» πίνακα ακαμψίας και του «νργού» πίνακα υκαμψίας. Αν και η διαδικαία αυτή φαίνται απλή, τη πράξη το πρόβλημα ίναι αρκτά ύνθτο αφού απαιτίται πρώτα ο ακριβής προδιοριμός του πδίου των τάων ( ) i x k και των τροπών ( ) κάθ ημίο του τρογνούς υλικού. Ακριβής λύη το πρόβλημα αυτό μπορί να προκύψι μόνο την πρίπτωη απλών και ιδανικών γωμτρικών μοντέλων για τη δομή του τρογνούς υλικού, τα οποία όμως τις πριότρς φορές δν πριγράφουν ικανοποιητικά την πραγματικότητα. [] i x k

12 3.3. Ο νόμος του Hooke για ύνθτα υλικά μ ίνς νιαίας κατύθυνης Ένα ύνθτο υλικό μ ίνς νιαίας κατύθυνης αποτλίται από μια δέμη παράλληλων ινών νίχυης τοποθτημένων μήτρα υνδτικού υλικού (χήμα-(a)). Αυτή η βαική δομή πριγράφι τη μορφή των πριότρων ινοπλιμένων ύνθτων υλικών. Σ μια πρώτη προέγγιη, ως αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου νός τέτοιου υλικού θα μπορού να θωρηθί ένας κύλινδρος κυκλικής ή ξαγωνικής βάης μ υνδτικό υλικό και μια ίνα νίχυης παράλληλη μ το άξονα του κυλίνδρου (χήμα-(b)). Σύνθτο υλικό μ ίνς νιαίας κατύθυνης Ο άξονας του κυλίνδρου ταυτίζται μ τον άξονα-. Η διύθυνη των ινών λέγται διαμήκης διύθυνη (Longitudinal direction). Επιδή η διύθυνη των ινών ταυτίζται μ τον άξονα του κυλίνδρου, ο άξονας- λέγται και άξονας-l. Κάθ διύθυνη κάθτη τη διύθυνη των ινών λέγται γκάρια διύθυνη (Transerse direction). Το ύνθτο υλικό θωρίται υλικό γκαρίως ιότροπο, μ πίπδο ιοτροπίας κάθτο τον άξονα-. Το πίπδο αυτό υμβολίζται ως (-)-πίπδο ή (Τ-Τ )- πίπδο. Συνπώς, ο νόμος του Hooke για τα υλικά αυτά θα πρέπι να έχι τη (υθία) μορφή μ 5 ανξάρτητς λατικές ταθρές C C C C C C C C3 C ( C C3 ) C C66 6 C, C, C, C3, C 66 []

13 ή την αντίτροφη μορφή μ 5 ανξάρτητς λατικές ταθρές S S S S S S S S3 S ( S S3 ) S S66 6 S, S, S, S3, S Οι Μηχανικές Ελατικές Σταθρές για ύνθτα υλικά μ ίνς νιαίας κατύθυνης Οι μηχανικές λατικές ταθρές ίναι το μέτρο λατικότητας του Young E, ο λόγος Poisson ν και το μέτρο διάτμηης G. Οι ταθρές αυτές προδιορίζονται μ τη βοήθια απλών δοκιμών, όπως ο μονοαξονικός φλκυμός ή η απλή διάτμηη και έχουν πριότρο πρακτικό χαρακτήρα από τις υλικές ταθρές του πίνακα ακαμψίας ή υκαμψίας. Κατά τη διαδικαία αυτών των δοκιμών, ένα πδίο μηχανικών τάων πιβάλλται κατάλληλο δοκίμιο του υλικού και τη υνέχια υπολογίζται το πδίο των τροπών που έχι προκληθί. Από τη διαδικαία αυτή γίνται φανρό ότι οι υλικές ταθρές του πίνακα υκαμψίας θα πρέπι να χτίζονται μ τις μηχανικές ταθρές μ χέις απλούτρς από τις αντίτοιχς χέις των υλικών ταθρών του πίνακα ακαμψίας. Μ τη διαδικαία αυτή, προδιορίζουμ τη υνέχια τις μηχανικές λατικές ταθρές για ύνθτα υλικά μ ίνς νιαίας κατύθυνης (γκαρίως ιότροπα υλικά), φαρμόζοντας κάθ φορά κατάλληλς απλές δοκιμές. Διαμήκης Μονοαξονικός Εφλκυμός Κατά τη διαδικαία αυτή, όλς οι μηχανικές τάις ίναι μηδνικές κτός της ορθής τάης : 0, 0, i,3,...,6. i Από την υθία μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν οι παρακάτω ξιώις: [3]

14 C + C + C3, 0 C + C + C33, 0 C + C3 + C3, και από τις ξιώις αυτές, οι παρακάτω χέις: και C, 3 C + C3 C C C + C3 Από τις χέις αυτές και τους βαικούς οριμούς των αντίτοιχων μγθών, προκύπτουν το διάμηκς μέτρο λατικότητας του Young E L και ο λόγος Poisson, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα ακαμψίας. E L C 3 C, C + C3 C + C3 C. Από την αντίτροφη μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν: S, S, και από τις χέις αυτές προκύπτουν το διάμηκς μέτρο λατικότητας του Young λόγος Poisson, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα υκαμψίας E L και ο E L S, 3 S S. Εγκάριος Μονοαξονικός Εφλκυμός Κατά τη διαδικαία αυτή, όλς οι μηχανικές τάις ίναι μηδνικές κτός της ορθής τάης : 0, 0, i. Από την υθία μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν οι παρακάτω ξιώις: i [4]

15 0 C + C + C3, C + C + C33, 0 C + C3 + C3, και από τις ξιώις αυτές, οι ακόλουθς χέις: C ( C C ), 3 C CC C CC3 3 C CC C ( C C ) + C C 3 3 C + C CC Από τις παραπάνω χέις, προκύπτουν το γκάριο μέτρο λατικότητας του Young οι λόγοι Poisson TL και TT, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα ακαμψίας E T TL TT ( ) C C C + C C C + C 3 3 C CC ( C3 C ) C CC C 3 CC 3 C CC Από την αντίτροφη μορφή του νόμου του Hooke, προκύπτουν οι χέις: S, S, 3 S3, και από αυτές, προκύπτουν το γκάριο μέτρο λατικότητας του Young Poisson TL και TT, ως υνάρτηη των υλικών ταθρών του πίνακα υκαμψίας E, S S,. 3 3 T TL TT S S S.,., E T και E T και οι λόγοι [5]

16 Από όλς τις παραπάνω χέις, προκύπτι ύκολα ότι οι μηχανικές λατικές ταθρές E L, E T, και TL υνδέονται μταξύ τους μ τη χέη E L E T TL Διαμήκης Απλή Διάτμηη Στη διαδικαία αυτή αντιτοιχούν οι ακόλουθς ντατικές κατατάις 5 0, i 0, i 5 ή 6 0, i 0, i 6 Στην δύτρη πρίπτωη, από το νόμο του Hooke προκύπτουν οι ξιώις , C και από αυτές προκύπτι το διάμηκς μέτρο διάτμηης G : G 6 6 C66 ή G 6 6 S66 Επιδή οι διυθύνις T και T ίναι ιοδύναμς, θα ιχύι: Εγκάρια Απλή Διάτμηη G G C. Στη διαδικαία αυτή αντιτοιχί η ακόλουθη ντατική κατάταη , i 0, i 4 και από το νόμο του Hooke, προκύπτουν οι χέις: 0, i 4. ( C C ), Από τις παραπάνω χέις προκύπτι το γκάριο μέτρο διάτμηης i G TT : ( ) ή 4 GTT C C3 4 [6] G 4 TT 4 3 ( S S )

17 Το γκάριο μέτρο διάτμηης TT υνδέονται μ τη χέη G TT, το γκάριο μέτρο λατικότητας G TT E T ( + ) TT ET και ο λόγος Poisson Συγκντρώνοντας τις χέις που έχουν παραχθί, μπορί να διατυπωθί, ως παράδιγμα, η αντίτροφη μορφή του νόμου Hooke για τα υλικά αυτά, μ όρους μηχανικών λατικών ταθρών. ή αλλιώς E E E E E E E E E G G G EL EL E L TT LL EL ET E T TT TT TT EL ET E T TT TL G TT G G TT TT TL LL TT [7]

18 3.3.4 Προδιοριμός των Μηχανικών Ελατικών Σταθρών Όπως έχι ξηγηθί και προηγουμένως, μ τον όρο μηχανικές λατικές ταθρές ννοούμ τις ιδιότητς του ύνθτου υλικού θωρούμνου ως ομοιογνές υλικό. Για τον προδιοριμό τους χρηιμοποιούνται οι παρακάτω μέθοδοι Εμπιρικές και ημι-αναλυτικές μέθοδοι, που τηρίζονται απλές αρχές και πιραματική παλήθυη Ενργιακές μέθοδοι μ κοπό τη λπτομρή ανάλυη μ χρήη υπολογιτικών τχνικών, πχ πραμένα τοιχία. Μηχανική προέγγιη Η μηχανική προέγγιη ανήκι τη κατηγορία των ημι-αναλυτικών μθόδων και βαίζται τις παραδοχές: Μήτρα υνδτικού υλικού (φάη-): Υλικό ομοιογνές, γραμμικά λατικό και ιότροπο μ μέτρο λατικότητας E, λόγο Poisson και μέτρο διάτμηης G. Ίνς νίχυης (φάη-): Υλικό ομοιογνές, ιότροπο και γραμμικά λατικό, μ νιαία κατύθυνη προανατολιμού, μ μέτρο λατικότητας E, λόγο Poisson και μέτρο διάτμηης G. Διάμηκς Μέτρο Ελατικότητας E L Το διάμηκς μέτρο λατικότητας προδιορίζται μ την φαρμογή διαμήκη μονοαξονικού φλκυμού ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου (χήμα) Διαμήκης μονοαξονικός φλκυμός Υποθέτουμ για χάρη υκολίας, την ομοιόμορφη και ίη πιμήκυνη της μήτρας και της ίνας. Αν l ίναι η διαμήκης πιμήκυνη του δοκιμίου, τότ προκύπτι η διαμήκης τροπή του δοκιμίου l l Η ίδια τροπή μφανίζται την μήτρα και την ίνα. Οπότ [8]

19 Επιδή υποθέτουμ ότι η μήτρα και η ίνα του δοκιμίου έχουν γραμμικά λατική υμπριφορά, οι μηχανικές τάις που μφανίζονται την μήτρα και την ίνα θα πρέπι να ικανοποιούν τις χέις E E Η υνιταμένη φόρτιη που φαρμόζται το δοκίμιο ίναι +, F S S όπου S και αντίτοιχα. S ίναι το μβαδόν της γκάριας διατομής της ίνας και της μήτρας, Αν S ίναι το υνολικό μβαδόν της γκάριας διατομής του δοκιμίου, η διαμήκης τάη που αναπτύται το δοκίμιο θα δίνται από τη χέη F, οπότ S όπου V + V, V και V ίναι το κλάμα όγκου των ινών και της μήτρας, αντίτοιχα. Επιδή, ξ οριμού, για το διάμηκς μέτρο λατικότητας ιχύι, E L προκύπτι τλικά η χέη για το διάμηκς μέτρο λατικότητας του ύνθτου υλικού Εγκάριο Μέτρο Ελατικότητας E T E L EV + E V. Το γκάριο μέτρο λατικότητας προδιορίζται μ την φαρμογή γκάριου μονοαξονικού φλκυμού ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου (χήμα) Εγκάριος μονοαξονικός φλκυμός [9]

20 Η υνολική γκάρια πιμήκυνη του δοκιμίου προκύπτι από το άθροιμα των πιμέρους πιμηκύνων της μήτρας και της ίνας. Έτι έχουμ: l h + h και η γκάρια τροπή που μφανίζται θα έχι τη μορφή l h h + V + V h + h h + h h + h. Επιδή ξ οριμού ιχύι, E T προκύπτι τλικά η χέη για το γκάριο μέτρο λατικότητας του ύνθτου υλικού Διαμήκης λόγος Poisson V + V. ET E E Ο διαμήκης λόγος Poisson προδιορίζται μ την φαρμογή διαμήκη μονοαξονικού φλκυμού ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου (χήμα) Διαμήκης φλκυμός Όπως ιχύι και προηγούμνα, κατά τη διαδικαία του διαμήκη φλκυμού, η μήτρα και ίνα μφανίζουν την ίδια διαμήκη τροπή. Επομένως, οι γκάρια τροπή για τη μήτρα και την ίνα μπορί να γραφί ως: Η γκάρια πιμήκυνη του δοκιμίου ίναι: l h h και η γκάρια τροπή θα δίνται από τη χέη: [0]

21 l ( V + V ). h + h Επιδή ξ οριμού, προκύπτι τλικά η χέη για τον διαμήκη λόγο Poisson του ύνθτου υλικού Διάμηκς Μέτρο Διάτμηης G V + V. Το διάμηκς μέτρο διάτμηης προδιορίζται μ την φαρμογή απλής διάτμηης το (L-T)- πίπδο, ένα αντιπροωπυτικό τοιχίου όγκου του ύνθτου υλικού (χήμα) Απλή διάτμηη το (L-T)-πίπδο του δοκιμίου Η ίδια διατμητική τάη που φαρμόζται το δοκίμιο, φαρμόζται τόο τη μήτρα όο και την ίνα. Επομένως, οι διατμητικές τροπές που αναπτύονται τη μήτρα και την ίνα θα δίνονται από τις χέις: τ G γ γ και Οι αντίτοιχς μτατοπίις που προκαλούνται τη μήτρα και την ίνα δίνονται από τις χέις (χήμα): τ G Διατμητικές τροπές τη μήτρα και την ίνα του δοκιμίου []

22 δ h γ και δ, h γ και η ολική διατμητική μτατόπιη του δοκιμίου θα δίνται από τη χέη (χήμα) δ δ + δ h γ + h γ. Τότ, η διατμητική τροπή του δοκιμίου θα δίνται από τη χέη, Επιδή ξ οριμού ιχύι δ γ γ V + γ V h + h τ γ, G προκύπτι τλικά η χέη για το διαμήκς μέτρο διάτμηης του ύνθτου υλικού G G V + G V. Οι παραπάνω ημι-αναλυτικές χέις για τα μέτρα λατικότητας, το λόγο Poisson και το μέτρο διάτμηης που προδιορίτηκαν μ βάη τις παραδοχές της μηχανικής προέγγιης, αποτλούν μια πρώτη κτίμηη των ιδιοτήτων του ύνθτου υλικού και η ακρίβιά τους θα πρέπι να πιββαιώνται και πιραματικά. Σιρά πιραμάτων έχι δίξι ότι η μέθοδος αυτή ίναι αρκτά ακριβής για τον προδιοριμό της τιμής του E L και του όχι όμως και για τον προδιοριμό της τιμής των E T και G Ο Νόμος της Σύνθης Ο «νόμος τη ύνθης» (rule o ixtures) κφράζι τα ποοτά υμμτοχής του υνδτικού υλικού (μήτρα) και των ινών νίχυης τη δημιουργία του ύνθτου υλικού και ίναι χρήιμος τον προδιοριμό των μηχανικών ιδιοτήτων του υλικού. Λόγοι όγκου Σ ένα αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου του ύνθτου υλικού, ορίζονται: c : Ο υνολικός όγκος του δοκιμίου : Ο όγκος της μήτρας το δοκίμιο []

23 : Ο όγκος των ινών το δοκίμιο : Ο όγκος των φυαλίδων αέρα το δοκίμιο Προφανώς, ιχύι: Ορίζονται ακόμα οι αδιάτατς ποότητς: + + c V V V : λόγος όγκου των ινών (iber olue raction) c : λόγος όγκου της μήτρας (atrix olue raction) c c : λόγος όγκου των φυαλίδων (oid olue raction) Εύκολα αποδικνύται ότι για τα μγέθη αυτά ιχύι: V + V + V Η παραπάνω χέη κφράζι το νόμο της ύνθης νός ύνθτου υλικού, μ όρους όγκων των υτατικών του. Λόγοι μάζας Αν το αντιπροωπυτικό τοιχίο όγκου του ύνθτου υλικού, ορίζονται: w c : Η υνολική μάζα του δοκιμίου w : Η υνολική μάζα της μήτρας το δοκίμιο w : Η υνολική μάζα των ινών το δοκίμιο. Τότ, προφανώς ιχύι: w w + w c και ορίζονται οι ακόλουθοι λόγοι μάζας: W w : λόγος μάζας των ινών (iber ass raction) w [3]

24 W w w : λόγος μάζας της μήτρας (atrix ass raction) Για τα μγέθη αυτά ιχύι: W + W Η παραπάνω χέη κφράζι το νόμο της ύνθης νός ύνθτου υλικού, μ όρους μάζας των υτατικών του. Πυκνότητς Αν ρ c : Η πυκνότητα μάζας του δοκιμίου ρ : Η πυκνότητα μάζα της μήτρας το δοκίμιο ρ : Η πυκνότητα μάζα των ινών το δοκίμιο, τότ αποδικνύται ύκολα ότι ιχύουν οι χέις: W ρ V ρ, c W ρ V ρ c και V c V ρ ρ + ρ, W + ρ ρ ρ c W [4]