15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στο κφάλαιο αυτό πριγράφται ν υντοµία η πίλυη προβληµάτων παραµορφώιµων ωµάτων µ λατο-πλατική υµπριφορά, µέω της µθόδου των ππραµένων τοιχίων. Παρουιάζται αρχικά µία διατύπωη της βαικής θωρίας πλατικότητας των µτάλλων, και τη υνέχια η αριθµητική ολοκλήρωη των λατο-πλατικών ξιώων και η νωµάτωη της µθοδολογίας αυτής ένα πριβάλλον ππραµένων τοιχίων. Επίης, παρουιάζται το πως η διαδικαία ολοκλήρωης των κατατατικών ξιώων της λατο-πλατικότητας ντάται ένα πρόγραµµα µη-γραµµικής ανάλυης ππραµένων τοιχίων. Η παρουίαη αφορά την βαική πλατικότητα των µτάλλων. Είναι όµως ηµιωτέο πως η θωρία της πλατικότητας έχι φαρµοτί και προβλήµατα άλλων υλικών (π.χ. γω-υλικών και κυροδέµατος. ονοµατική τάη P Y Α E πριοχή πλατικού lateau λατική πριοχή.5% re Γ Γ Β E Γ 0 πριοχή κράτυνης νέα λατική πριοχή Y ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.: Πλατική υµπριφορά απλού δοµικού χάλυβα. Φόρτιη, αποφόρτιη από το Β το Γ και παναφόρτιη, πάλι το Β. 5. Πλατική υµπριφορά των µτάλλων Σ πολλές πριπτώις, η παραδοχή της λατικής υµπριφοράς νός υλικού δν παρκί για να πριγράψι την πραγµατική του υµπριφορά. Ειδικότρα τα µέταλλα, όταν οι τάις ξπράουν ένα υγκκριµένο όριο (το οποίο µονοαξονικό φλκυµό ονοµάζται όριο διαρροής και υµβολίζται µ, τότ η υµπριφορά γίνται πλατική. Χαρακτηριτικό της Y υµπριφοράς αυτής ίναι η µικρή αύξηη των τάων για µγάλς χτικά πιβαλλόµνς παραµορφώις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

2 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ονοµατική τάη P Β πριοχή κράτυνης Y Α E E νέα λατική πριοχή Y λατική πριοχή re Γ Γ Γ 0 ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.: Πλατική υµπριφορά χάλυβα υψηλής αντοχής. Φόρτιη, αποφόρτιη από το Β το Γ και παναφόρτιη, πάλι το Β. Η υµπριφορά νός δοκιµίου από υνήθη δοµικό χάλυβα φαίνται το χήµα 5., και υγκκριµένα φαίνται η χέη της ανηγµένης πιµήκυνης (δηλαδή παραµόρφωης και της αντίτοιχης ονοµατικής τάης (δηλαδή δύναµης διαιρµένης µ το µβαδό της διατοµής του δοκιµίου. Η αρχική πριοχή ίναι οιονί γραµµική (λατική πριοχή, νώ µτά την τάη διαρροής το ηµίο Α η καµπύλη γίνται χδόν οριζόντια (πριοχή του πλατικού lateau. Μτά από µία παραµόρφωη της τάξης του.5%, η καµπύλη αρχίζι να αναβαίνι λόγω του φαινόµνου της κράτυνης. Μία άλλη καµπύλη το χήµα 5. δίχνι τη υµπριφορά νός χάλυβα υψηλής αντοχής όπου δν υπάρχι η πριοχή του πλατικού lateau µτά την τάη διαρροής, και αµέως µτά την διαρροή ξκινά η κράτυνη του υλικού. Ίδια υµπριφορά µ το χήµα 5. παρουιάζουν οι ανοξίδωτοι χάλυβς καθώς και οριµένα κράµατα αλουµινίου. Και τα δύο ανωτέρω χήµατα ένα πιπλέον βαικό χαρακτηριτικό ίναι πως όταν το δοκίµιο αποφορτίζται, τότ η αποφόρτιη γίνται «λατικά», δηλαδή κατά µία υθία η οποία ίναι παράλληλη µ την αρχική λατική υµπριφορά. Αυτό ηµαίνι πως η µίωη της παραµόρφωης από το Β το Γ ίναι ίη µ την υνολική λατική παραµόρφωη που αντιτοιχί το ηµίο Β, δηλαδή ίη µ e E όπου ίναι η τάη το ηµίο Β. Επιπλέον, µ την πλήρη αποφόρτιη το ηµιο Γ (τάη ίη µ µηδέν υπάρχι µία «παραµένουα» παραµόρφωη ίη µ την υνολική πλατική παραµόρφωη µέχρι το ηµίο Β, νώ. ηλαδή η πλατική παραµόρφωη ίναι «µηαντιτρέψιµη». ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

3 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ονοµατική τάη P Β E d > 0 E T φαπτοµνικό µέτρο (κράτυνης Y Α λατική αποφόρτιη d < 0 E E S τέµνον µέτρο (κράτυνης ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.: Εφαπτοµνικό και τέµνον µέτρο κράτυνης.. Ας θωρήουµ τώρα την λατοπλατική υµπριφορά του χήµατος 5.. Η κλίη της φαπτοµένης της καµπύλης ένα ηµίο (έτω το Β υµβολίζται µ, και υνήθως ιχύι ET E. Το ET ονοµάζται φαπτοµνικό µέτρο τιβαρότητας του υλικού. Υποθέτουµ πίης πως έχουµ ήδη ξπράι το όριο διαρροής Y, βρικόµατ το ηµίο Β και πιβάλλουµ µία αύξηη της παραµόρφωης d. Αυτό µπορί να θωρηθί πως ίναι το άθροιµα µίας λατικής e αύξηης d και µίας πλατικής αύξηης d, ώτ e d d d + ( E T Η αντίτοιχη αύξηη των τάων d ίναι ή αλλιώς ( d E d d ( d E d T Ορίζοντας το µέτρο κράτυνης E E H T E E T ή H ET E E T µπορώ να γράψω d H d ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

4 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Ας υποθέουµ τώρα ότι ένα δοκίµιο µ υµπριφορά όπως το χήµα 5.4, µτά την αποφόρτιη του δοκιµίου από το ηµίο Β το ηµίο Γ, υνχίζω να φορτίζω το δοκίµιο αλλά από την αντίθτη πλυρά, τότ η λατική υµπριφορά κάποια τιγµή θα ταµατήι και το δοκίµιο θα υµπριφρθί ανλατικά, έτω το ηµίο Β. Έτω ότι η τάη την οποία θα γίνι αυτό ίναι η. Τίθται το ρώτηµα ποιο ίναι το ηµίο Β. Αν θωρήω ότι τότ το υλικό µας έχι «ιοτροπική» κράτυνη. Όταν + Y τότ το υλικό µας έχι «κινηµατική» κράτυνη. Σηµιώνται πως η υµπριφορά νός πραγµατικού δοκιµίου ίναι υνήθως ανάµα τις δύο ανωτέρω υποθέις. Η ιοτροπική κράτυνη αυξάνι το ύρος της λατικής πριοχής «υµµτρικά» δηλαδή όο την πριοχή του φλκυµού τόο και την πριοχή της θλίψης. Αντιθέτως, η κινηµατική κράτυνη «διατηρί» το αρχικό ύρος της λατικής πριοχής του υλικού, δηλαδή ίο µ Y. Παρατήρηη Χάριν απλότητας, αρκτές φαρµογές, θωρούµ πως η υµπριφορά µτά τη διαρροή πριγράφται µ µία υθία γραµµή (χήµα 5.5 και η υµπριφορά ονοµάζται «γραµµική κράτυνη». Η γραµµική αυτή θώρηη την πλατική πριοχή δν ίναι απαραίτητη για την ανάλυη που θα παρουιάουµ αυτό το κφάλαιο, αλλά µρικές πριπτώις ίναι αρκτά χρήιµη για την κατανόηη των βαικών ννοιών, καθώς και την απλοποιητική προοµοίωη της λατο-πλατικής υµπριφοράς. Παρατήρηη Σ αντίθη µ την λατική υµπριφορά, η πλατική υµπριφορά έχι το χαρακτηριτικό πως δν υπάρχι πλέον η µία-προς-µία αντιτοιχία µταξύ τάων και παραµορφώων. Αυτό ηµαίνι πως µία τιµή της τάης αντιτοιχούν γνικώς άνω της µίας (ουιατικά άπιρς τιµές παραµορφώων. ονοµατική τάη Α Y Α E P κράτυνη λατική πριοχή? re Y Γ Γ Β E νέα λατική πριοχή ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.4: Φόρτιη, αποφόρτιη και παναφόρτιη κατά την αντίθτη διύθυνη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5

5 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Α Y? P Α E λατική πριοχή Y E T ταθ. γραµµική κράτυνη Γ Β E re Γ νέα λατική πριοχή L L Σχήµα 5.5: Ελατο-πλατική υµπριφορά µ ταθρό µέτρο λατο-πλατικής τιβαρότητας µ φόρτιη, αποφόρτιη και παναφόρτιη κατά την αντίθτη διύθυνη (ταθρή κράτυνη. 5. Μρικά βαικά τοιχία τανυτών καρτιανά υτήµατα Πριν προχωρήουµ την διατύπωη των βαικών ξιώρων της µαθηµατικής θωρίας της πλατικότητας θα παρουιάουµ ν υντοµία µρικά βαικά τοιχία από την άλγβρα τανυτών ης και 4 ης τάξης. Έτω ότι ο ίναι τανυτής ας τάξης. Ορίζται ως ένα γραµµικός τλτής που απικονίζι τον χώρο V των διανυµάτων τον αυτό του. ηλαδή Γράφουµ u V v V v u νώ οι υνιτώς του τανυτή αυτού ως προς µία Καρτιανή βάη ίναι ij v i i juj O τανυτής 4ης τάξης απικονίζι τον χώρο L των τανυτών ης τάξης το χώρο L των τανυτών ης τάξης. L L ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5

6 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις και γράφω όπου οι υνιτώς του ίναι, ως προς ένα Καρτιανό ύτηµα ij ijkl kl όπου χρηιµοποιούµ την ύµβαη άθροιης παναλαµβανόµνων δικτών. Ο πολλαπλαιαµός δύο τανυτών ης τάξης (ξ οριµού δίνι έναν νέο τανυτή C ως ξής C µ υνιτώς ως προς ένα Καρτιανό ύτηµα C ij ik kj Το ωτρικό γινόµνο δύο τανυτών ης τάξης (ξ οριµού δίνι έναν αριθµό ως ξής ij ij νώ το ωτρικό γινόµνο δύο διανυµάτων (ξ οριµού δίνι έναν αριθµό u v uv i i T Ο ανάτροφος τανυτής νός τανυτή 4 ης τάξης ορίζται ως ξής: T ( ( για κάθ τανυτές,. T Ο ανάτροφος τανυτής νός τανυτή ης τάξης ορίζται ως ξής: T ( ( u w w u για κάθ διανύµατα u, v. Το τανυτικό γινοµένο δύο διανυµάτων u, v ίναι ένας τανυτής ης τάξης που υµβολίζται µ u v και έχι την ιδιότητα για κάθ διάνυµα w να ιχύι ( u v w ( v w u Αν u v τότ οι υνιτώς του τανυτή ης τάξης ως προς ένα καρτιανό ύτηµα υντταγµένων ίναι ij uv i j ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 6 από 5

7 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Το τανυτικό γινοµένο δύο τανυτών ης ης τάξης, ίναι ένας τανυτής 4 τάξης που υµβολίζται µ και έχι την ιδιότητα για κάθ τανυτή ης τάξης C να ιχύι ( ( C C Αν τότ οι υνιτώς του τανυτή ως προς ένα καρτιανό ύτηµα υντταγµένων ίναι ijkl ijkl όπου οι, έχουν υνιτώς ij και ij αντίτοιχα. Σηµιώνται πως αν ιχύι τότ ο ανάτροφος ίναι T Επίης, για τον τανυτή ης τάξης, µ u v τότ ο ανάτροφος ίναι T v u Μ βάη τα ανωτέρω µπορώ να ορίω το ωτρικό γινόµνο E δύο τανυτών 4 ης τάξης και E όπου ο τανυτής E ίναι ίος µ E δίνι έναν αριθµό ως ξής Επίης ιχύι T ( ( E T ( ( u v u v Για οποιονδήποτ τανυτή ης τάξης µ υνιτώς ij, µπορώ να γράψω: ( Επίης αν + 0 και ο ίναι αποκλίνων τανυτής, τότ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 7 από 5

8 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Αν ο 4 ης τανυτής ίναι υµµτρικός, θα ιχύι ( ( ( ( Τέλος αν ο ης τάξης ίναι αποκλίνων και ίναι ο 4 ης τάξης τανυτής τιβαρότητας της ιότροπης λατικότητας (βλέπ την πόµνη νότητα µ υνιτώς G( δ δ + δ δ + K G δ δ ijkl ik jl il jk ij kl τότ ιχύι G ( Για πραιτέρω πληροφορίς χτικά µ τανυτές που κφράζονται Καρτιανά υτήµατα υντταγµένων, ο αναγνώτης παραπέµπται τα βιβλία των oriheko & Taraov και Αράβα. 5. Εξιώις γραµµικής λατικής υµπριφοράς Στην γραµµική λατικότητα χύουν οι ολικές χέις τάων παραµορφώων και οι αυξητικές χέις τάων παραµορφώων προκύπτουν µ παραγώγιη όπου ίναι ο τανυτής λατικής τιβαρότητας. Για ιότροπο γραµµικά λατικό υλικό τα τοιχία του τανυτή ίναι G( δ δ + δ δ + K G δ δ ijkl ik jl il jk ij kl ή αλλιώς ( G δ δ + δ δ + λδ δ ijkl ik jl il jk ij kl όπου. I. oriheko ad I. E. Taraov, Vector ad Teor alyi with licatio, over, 979. Ν. Αράβας, «Καρτιανοί Τανυτές», Πανπιτήµιο Θαλίας, 004. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 8 από 5

9 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις E (, E, E v G K λ K G ( + v ( v ( + v( v Αν γράψουµ + 0 e + 0 όπου ίναι ο µοναδιαίος τανυτής, τότ ( K K 0 kk kk kk (4 ij Ge ij Σηµιώνουµ πως για γραµµικό λατικό ιότροπο υλικό ιχύι, λόγω της ( G Τέλος, οι χέις γραµµικής ιότροπης λατικότητας γράφονται και G + λδ ij ij ij kk λ δ G G G ( + λ ij ij ij kk 5.4 Βαικά τοιχία µαθηµατικής θωρίας λατο-πλατικής υµπριφοράς Η θωρία λατο-πλατικής υµπριφοράς, ή αλλιώς «θωρία πλατικότητας, ξκινά από µία γνίκυη των αυξητικών χέων τάων και παραµορφώων ( και ( πολυδιάτατη ντατική κατάταη. Συγκκριµένα ιχύι και e (5 + ( (6 Υπάρχουν αρκτές θωρίς πλατικότητας. Κάθ θωρία πριλαµβάνι τρία βαικά τοιχία Ένα κριτήριο διαρροής Έναν νόµο πλατικής ροής Έναν νόµο κράτυνης τα οποία θα παρουιατούν πιο κάτω αναλυτικά. Για µία βάθος ανάλυη της λατοπλατικής υµπριφοράς, ο αναγνώτης παραπέµπται τα βιβλία: W. F. Che &. J. Ha, Platicity for Structural Egieer, Sriger-Verlag, 988. J. Lublier, Platicity Theory, Macmilla, 990. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 9 από 5

10 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5.4. Κριτήριο διαρροής Ορίζουµ µία υνάρτηη F που ονοµάζται υνάρτηη διαρροής, και ίναι υνάρτηη των τάων και των ποοτήτων και που χτίζονται (όπως θα δούµ µ τον νόµο της ˆ κράτυνης. ηλαδή F(,,. Η χέη F(,, 0 (7 κφράζι µία πιφάνια το χώρο των τάων, η οποία ονοµάζται πιφάνια διαρροής ή κριτήριο διαρροής. Το χήµα της πιφάνιας ίναι υνήθως κυρτό, και όταν ίναι το υλικό απαραµόρφωτο, η πιφάνια διαρροής πριλαµβάνι το κέντρο του «χώρου» των τάων (το ηµίο δηλαδή όπου οι τάις ίναι µηδέν. Μ απλά λόγια η πιφάνια διαρροής δηλώνι τον «υπόχωρο» του υνολικού «χώρου» των τάων όπου το υλικό υµπριφέρται λατικά. Όταν οι τάις αυξηθούν και φτάουν την πιφάνια διαρροής, τότ το υλικό το υπόψη ηµίο αρχίζι να υµπριφέρται ανλατικά (λατο-πλατικά. Στην πρίπτωη αυτή, η πιφάνια διαρροής µταβάλλται και αρχίζι ίτ να µτακινίται, ίτ να αλλάζι το χήµα της, ίτ και τα δύο µαζί. Το ίναι ένας τανυτής που κφράζι το πώς κινίται το κέντρο της πιφάνιας διαρροής, νώ ίναι µία ποότητα που λέγται ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη και µας δίχνι το µέγθος της πλατικής παραµόρφωης (θα το ορίουµ την πόµνη παράγραφο. ηλαδή το µας δίχνι το πώς κινίται η πιφάνια διαρροής το χώρο και το δίχνι το πόο µταβάλλται το µέγθος της πιφάνιας διαρροής. Εδώ υπογραµµίζουµ µία πολύ βαική παραδοχή της µαθηµατικής θωρίας της πλατικότητας. Συγκκριµένα, αν κάποιος υπολογίι τη υνάρτηη τάων F(,,, τότ αυτή οφίλι να ίναι ίτ µηδέν (δηλαδή F(,, 0 και τότ ηµαίνι πως η τάη το υπόψη ηµίο βρίκται πάνω την πιφάνια διαρροής και το υλικό «διαρέι» (δηλ. παρουιάζι πλατική υµπριφορά, ίτ αρνητική (δηλαδή F(,, < 0, δηλαδή η τάη το υπόψη ηµίο βρίκται ντός της πιφάνιας διαρροής και η υµπριφορά του υλικού το υπόψη ηµίο ίναι λατική. Επιπλέον, η δυνατότητα θτικής τιµής για την υνάρτηη διαρροής δν υπάρχι. Αν έχουµ F(,, 0 και F > 0 (χήµα 5.6, δηλαδή το διαφορικό του τανυτή της τάης ίναι προς το «ξωτρικό» της πιφάνιας διαρροής, τότ θα µταβληθούν καταλλήλως και τα, ώτ την νέα θέη να έχω πάλι F(,, 0. Αυτή η παραδοχή λέγται ιδιότητα της «υνέπιας» και κφράζται µαθηµατικά µ F 0 ή df 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 0 από 5

11 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις πιφάνια διαρροής F > 0 F λατική αποφόρτιη πλατική φόρτιη F > 0 φαπτοµένη την πιφάνια διαρροής Σχήµα 5.6: Πλατική φόρτιη και λατική αποφόρτιη όταν βρικόµατ πάνω την πιφάνια διαρροής. Συνοψίζοντας: Η πρίπτωη F(,, 0 και F > 0, λέγται πλατική φόρτιη. Η πρίπτωη F(,, 0 και F < 0, λέγται λατική αποφόρτιη. Όταν F(,, < 0 έχω λατική υµπριφορά για οιοδήποτ, νώ η κατάταη F(,, > 0 δν υφίταται (δν ίναι αποδκτή. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

12 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Αν έχω ιότροπο υλικό µέχρι την πρώτη διαρροή του υλικού το υπόψη ηµίο, αυτό ηµαίνι πως το µέγθος της πιφάνιας διαρροής ίναι ανξάρτητο της διύθυνης κατά την οποία γίνται η φόρτιη του υλικού το υπόψη ηµίο, άρα θα πρέπι η αρχική πιφάνια διαρροής (δηλαδή πριν την πρώτη τιγµή που θα παρουιατί πλατικότητα το υπόψη ηµίο να ξαρτάται από τις αναλλοίωτς ποότητς του τανυτή των τάων. Αυτό ηµαίνι πως θα µπορούα να γράψω F( F( I, I, I 0 (8 Επίης, έχι αποδιχθί πως τα µταλλικά υλικά, η πλατική παραµόρφωη ίναι ανξάρτητη της υδροτατικής πίης, και ποµένως ξαρτάται από τον αποκλίνοντα τανυτή της τάης και µόνον. Εποµένως, για ιότροπο µταλλικό υλικό η αρχική πιφάνια διαρροής ξαρτάται από τις αναλλοίωτς ποότητς του αποκλίνοντα τανυτή, δηλαδή ιχύι F( F( J, J 0 (9 Παραδίγµατα τέτοιων πιφανιών διαρροής που χρηιµοποιούνται υρέως την λατοπλατική ανάλυη υλικών και κατακυών ίναι τα ξής: Κριτήριο διαρροής vo Mie F J k 0 (0 Κριτήριο διαρροής Treca ( ( ( ( F J J k J k J k Η µορφή της πιφάνια διαρροής που πριγράφται από τη χέη (9 ηµαίνι πως η πιφάνια διαρροής ίναι «κυλινδρικού τύπου» µ γνέτιρς κατά τη διύθυνη του διανύµατος που ίναι κάθτο το αποκλίνον πίπδο (π-lae του χώρου των (κυρίων τάων. Αυτό φαίνται το χήµα 5.7 για τις πιφάνια vo Mie. Επίης, το χήµα 5.8 φαίνται η τοµή των δύο πιφανιών διαρροής µ το αποκλίνον πίπδο. Σχήµα 5.7: Τριδιάτατη απικόνιη της πιφάνιας διαρροής vo Mie το χώρο των κυρίων τάων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

13 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Σχήµα 5.8: Γωµτρική απικόνιη της πιφάνιας διαρροής vo Mie και της πιφάνιας διαρροής Treca το πίπδο του χώρου των κυρίων τάων (όψη κάθτη το πίπδο. π π 5.4. Νόµος πλατικής ροής Ορίζουµ µία υνάρτηη πλατικού δυναµικού τάων και των ποοτήτων,, δηλαδή Q Q(,, Q, η οποία ίναι πίης µία υνάρτηη των. Αν το λ ίναι µία βαθµωτή ποότητα, το οποίο λέγται και πλατικός πολλαπλαιατής, ο ρυθµός αύξηης της πλατικής παραµόρφωης δίνται από τον τύπο Θέτοντας Q λ ( Q ( έχω λ (4 Η ανωτέρω χέη κφράζι τον νόµο πλατικής ροής. Αν το πλατικό δυναµικό υµπίπτι µ τη υνάρτηη διαρροής, τότ η πλατική παραµόρφωη λέγται «υχτιµένη» ή «υνηρτηµένη» (aociated, και ίναι η υνήθης πρίπτωη για τα µταλλικά υλικά. Τότ, λ (5 όπου F ( Νόµος κράτυνης Στην ξίωη της πιφάνιας διαρροής, ο τανυτής δίχνι τη θέη του κέντρου της πιφάνιας διαρροής το χώρο των τάων. Πριν την µφάνιη οιαδήποτ πλατικής παραµόρφωης, έχω. Για την οικονοµία της υζήτηης, θα θωρήω την πλέον απλή 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

14 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις χέη για την ξέλιξη του ν λόγω τανυτή, υποθέτοντας πως µ τη ξέλιξη της πλατικής παραµόρφωης έχω C (7 Επίης, ορίζω το µέγθος (ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη ως ξής µ t dt (8 0 (9 Μ τη βοήθια της χέης (4, µπορώ να γράψω λ (0 Βαικός τόχος ίναι να διατυπώω κατατατικές χέις - που να λαµβάνουν υπόψη πλατική υµπριφορά. Αντί για ολικές χέις - θα έχω χέις αυξητικές χέις της e ης µορφής, όπου ο τανυτής 4 τάξης ξαρτάται, µταξύ άλλων, από την παρούα κατάταη τάης και παραµόρφωης. Αρχικά θωρώ την ιδιότητα της υνέπιας F 0 και παραγωγίζω την χέη (7, και έχω Θέτοντας για υκολία F F F F e φ F έχουµ ϕ F + φ + ϕ 0 ( Αντικαθιτώντας την ( τις χέις του νόµου κράτυνης (7 και ροής (0, καταλήγω µία έκφραη για το λ µ λ ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5

15 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις C ( φ + ϕ ( Αυτό ηµαίνι πως ο νόµος πλατικής ροής µπορί να γραφί ( ( Στην υνέχια πολλαπλαιάζω ωτρικά και τα δύο µέλη της (6 µ το και έχω (4 ( ( Συνδυάζοντας τις ( και (4, και χρηιµοποιώντας τις (0, (7 και (4, καταλήγω µία νέα έκφραη για το λ λ ( ( (5 όπου ( C ( φ ϕ (6 Η χέη (6 λόγω της (4 γράφται ( λ (7 και αντικαθιτώντας το λ από την χέη (5 την χέη (7 καταλήγω την τλική αυξητική χέη τάων παραµορφώων όπου e ( ( e ( ( (8 (9 ίναι ο 4 ης τάξης τανυτής φαπτοµνικής (τιγµιαίας λατοπλατικής τιβαρότητας και ( C ( φ ϕ (0 Παρατηρήτ πως τη γνική πρίπτωη, ο τανυτής e δν ίναι υµµτρικός. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5

16 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5.5 Ειδικές Πριπτώις της γνικής θωρίας 5.5. «Συχτιµένη» (ή «υνηρτηµένη» πλατικότητα (aociated laticity Στην πρίπτωη αυτή, η υνάρτηη πλατικού δυναµικού διαρροής F, οπότ ιχύι Q ίναι η ίδια µ την υνάρτηη F Q δηλαδή Εποµένως οι ολικές χέις - γίνονται: όπου e ( ( ( e ( ( ( και ( C ( φ ϕ Παρατηρήτ πως την προκίµνη πρίπτωη, ο τανυτής e ίναι υµµτρικός Πλατικότητα vo Mie µ ιοτροπική κράτυνη Το κριτήριο διαρροής γράφται F k ( 0 ( ή F J k 0 ( Η πρίπτωη αυτή ονοµάζται και J πλατικότητα. Στην πρίπτωη αυτή, η πιφάνια διαρροής µγαλώνι µέγθος όο αυξάνται η πλατική παραµόρφωη (δηλαδή το νώ δν µτακινίται το κέντρο της το χώρο των τάων ( C 0. Επίης θωρώ «υχτιµένη» πλατικότητα, οπότ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 6 από 5

17 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις F και G Ο νόµος πλατικής ροής γίνται λ (4 Η ιοδύναµη τάη ορίζται: (5 και ποµένως το κριτήριο διαρροής γράφται k νώ η αύξηη της ιοδύναµης πλατικής παραµόρφωης γίνται λ λ νώ µ κατάλληλη παραγώγιη της υνάρτηης διαρροής έχω ϕ F dk k d Από την (4, µ την βοήθια των ( και ( έχω (6 Επιπλέον, µτά από κάποις απλές πράξις, ο τανυτής λατο-πλατικής τιβαρότητας γίνται: e 9G dk d ( + G Ότι υµβαίνι τη γνική πρίπτωη πολυ-διάτατης ντατικής κατάταης που µόλις ξτάαµ, θα υµβαίνι και την ιδική πρίπτωη του µονοαξονικού φλκυµού. Στην πρίπτωη αυτή έχω 0 0, τ 0 y z ij και ο αποκλίνων τανυτής των τάων έχι τις ξής υνιτώς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 7 από 5

18 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις y z Επίης, από τη χέη (4 ο τανυτής ίναι αποκλίνων, και ποµένως y z, γ ij 0 Από τη χέη (5 έχω Θα µπορού ποµένως να δι λοιπόν κάποιος την ως µια γνίκυη της µονοαξονικής τάης για καθαρό φλκυµό. Από το κριτήριο διαρροής ( έχω k ( y z ( F + + k 0 ή αλλιώς k άρα το k κφράζι την τάη διαρροής τον καθαρό (µονοαξονικό φλκυµό. Εποµένως dk d d H d όπου H ίναι το µέτρο κράτυνης τον µονοαξονικό φλκυµό. ηλαδή ο λόγος dk d µπορί να θωρηθί πως ξαρτάται από το, µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης τον µονοξαονικό φλκυµό ξαρτάται από το. ηλαδή e 9 G ( ( H + G (7 όπου H ξαρτάται από το µονοαξονικό φλκυµό από το µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης ξαρτάται τον. Η διαδικαία αυτή προδιοριµού της υνάρτηης H ( µέω της υµπριφοράς µονοαξονικό φλκυµό ονοµάζται «βαθµονόµηη» του µοντέλου της πλατικότητας (calibratio of the laticity model. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 8 από 5

19 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5.5. Πλατικότητα vo Mie µ κινηµατική κράτυνη Το κριτήριο διαρροής την πρίπτωη αυτή ίναι µία παραλλαγή του (, και γράφται k F ( α ( α 0 µ k ταθρό και α το αποκλίνον τµήµα του τανυτή που δίχνι την θέη της πιφάνιας διαρροής. Θωρώντας υχτιµένη πλατικότητα έχω F ( α ξ (8 ώτ ( λ ξ λ α (9 Επίης, θωρώ µία χέη για την ξέλιξη του τανυτή πιφάνιας διαρροής ανάλογη της χέης (7, ως ξής που δίχνι την θέη (το κέντρο της (40 α C χρηιµοποιώντας το α δηλαδή το αποκλίνον τµήµα του τανυτή, δδοµένου πως ο τανυτής ίναι αποκλίνων λόγω της (9. Ορίζοντας την «ιοδύναµη τάη» ξ ως ξής: ξ ξξ το κριτήριο διαρροής γίνται k F ξξ 0 ή αλλιώς ξ k Στην πρίπτωη αυτή ιχύουν G ξ και ποµένως ( ( 4G ( ξ ξ k Gξξ G ( ( Μτά από κάποις απλές πράξις την έκφραη ( έχω ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 9 από 5

20 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις e 9G C ξ ( ξ ξ + G Εξτάζω τώρα την πρίπτωη του µονοαξονικού φλκυµού. Ο αποκλίνων τανυτής των τάων ίναι y z και το αποκλίνον τµήµα α του τανυτή έχι υνιτώς α αy αz Το κριτήριο διαρροής γίνται δηλαδή k ( -α( -α 0 6 k ( + k (4 9 Επίης, ο νόµος κράτυνης (7 δίνι C α Εποµένως ή d d dα d C C H Εποµένως, τις υνολικές χέις της πολυ-διάτατης υµπριφοράς θα ιχύι α H νώ µπορώ να γράψω την κάτωθι µορφή για την λατοπλατική τιβαρότητα: e ( ξ ξ ( H + G 9G ξ όπου το H ξαρτάται από το τον µονοαξονικό φλκυµό. µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης ξαρτάται από το ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 0 από 5

21 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Πλατικότητα vo Mie χωρίς κράτυνη Το κριτήριο διαρροής για την πρίπτωη της τέλιας πλατικότητας ίναι k F 0 µ C 0 ( α 0 και k ταθρό ( k 0. Στην πρίπτωη αυτή έχουµ H 0, και από την χέη (7, Παρατηρήτ πως G e e ( G ( G ( G G G 0 ηλαδή η τιµή µηδέν ( ίναι µία ιδιοτιµή του και το ίναι το αντίτοιχο ιδιοδιάνυµα. Εποµένως 0 e ( det 0. e Και ο τανυτής ίναι µη-αντιτρέψιµος και δν ίναι πλέον θτικά οριµένος. ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι πίπτωη έχι η µη-αντιτρψιµότητα του e την υνολική ακαµψία µίας κατακυής? Σύνοψη πλατικότητας vo Mie Α. Ιοτροπική κράτυνη F k ( 0 (4 λ (4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

22 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις e 9 G ( ( H + G (44 όπου H dk d και ο λόγος dk d µπορί να θωρηθί πως ξαρτάται από το κράτυνης τον µονοξαονικό φλκυµό ξαρτάται από το., µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο Β. Κινηµατική κράτυνη µ k ταθρό, k F ( α ( α 0 (45 ( (46 λ α H α (47 e ( ξ ξ ( H + G 9G ξ (48 όπου το H ξαρτάται από το τον µονοαξονικό φλκυµό. Γ. Τέλια πλατικότητα µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης ξαρτάται από το k F 0 (49 λ (50 e G ( (5 5.6 Γνική λατο-πλατική ανάλυη ππραµένων τοιχίων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

23 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Θωρώ την ιορροπία του λατοπλατικού υτήµατος που καταλαµβάνι το χωρίο Ω µ ύνορο, όπως αυτή κφράζται από την αρχή των δυνατών έργων. Ω Ω δdω b δudω + t δ ud b t Στην ανωτέρω χέη ίναι οι τάις, και ίναι οι δυνάµις ανά µονάδα όγκου και πιφανίας το ύνορο, νώ δ και δu ίναι ένα ύτηµα κινηµατικά αποδκτών (δυνατών παραµορφώων και µτατοπίων. Συνήθως τα προβλήµατα που ξτάζουµ δν έχουν δυνάµις όγκου ( έχω δ d Ω Ω t δud t t + t Θωρώ τώρα πως οι ξωτρικές δυνάµις µταβάλλονται και γίνονται b 0, οπότ πιο απλά Αυτό ηµαίνι πως θα πρέπι το παραµορφώιµο ώµα να αλλάξι η παραµορφωιακή του κατάταη και η ντατική του κατάταη ώτ να έχουµ ιορροπία µία νέα θέη, υπό τη νέα τιµή των ξωτρικών δυνάµων t t + t, δηλαδή να ιχύι Ω δ dω t + t ud ( δ (5 Η µη-γραµµική αυτή ξίωη µπορί να γραµµικοποιηθί ως ξής χρηιµοποιώντας τη µέθοδο Newto αναπτύοντας κατά Taylor την τάη την νέα θέη ιορροπίας + + (5 ιατηρώντας µόνον τους γραµµικούς όρους την (5, και ιάγοντάς την την (5 έχω Ω δdω ( t + t δud δdω Ω ηλαδή, θωρήαµ πως η µταβολή των τάων ίναι ( µία πρώτη προέγγιη Ο 4 ης (54 τάξης τανυτής ίναι η «Ιακωβιανή» της µθόδου Newto. Συγκρίνοντας τις χέις (8 και (54, ίµατ τον πιραµό να θωρήουµ πως ο 4 ης τάξης τανυτής ίναι ίος µ τον 4 ης τάξης τανυτή της λατοπλατικής τιβαρότητας µ τάις, οπότ την πρίπτωη αυτή e την αρχική θέη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

24 e ( δ d ( δ d Ω Ω t + t u dω Σ µορφή πινάκων, η ανωτέρω χέη (55 γράφται ( δ T e d Ω δ T + d T Ω Ω u t t δ d Ω Θωρώ διακριτοποίηη Galerki (ππραµένων τοιχίων, οπότ Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Ω δ (55 και [ N ] [ N ] u uˆ δu [ ] [ ] δuˆ uˆ δ δuˆ όπου ˆ u και άγνωτα και τα δ û οι υντλτές των υναρτήων Galerki, όπως έχουµ πριγράψι (τα u ˆ û N ο πίνακας των υναρτήων βάης και δ τυχαία, [ ] ο πίνακας µ τις παραγώγους των υναρτήων βάης. Μ την ανωτέρω διακριτοποίηη, οι γραµµικοποιηµένς ξιώις ιορροπίας γράφονται: ή αλλιώς T e T ( [ ] [ ] ˆ [ ] ( [ ] Ω d Ω u N t + t d d Ω [ K ] uˆ Pet P it (56 όπου το µητρώο ακαµψίας [ K ] ίναι T e [ ] [ ] [ ] K dω Ω Ω T [ ] νώ τα διανύµατα ίναι ία µ P et, P it κφράζουν τις ξωτρικές και ωτρικές δυνάµις αντίτοιχα, και T [ ] ( P N + d et t t [ ] T Pit dω Ω Επίλυη της (56 ως προς (δοκιµατική θέη ιορροπίας ˆ u µας δίνι τις µτατοπίις το τυχαίο ηµίο τη νέα [ N ] ˆ u u+ u u+ u Οι παραµορφώις το τυχαίο ηµίο τη νέα (δοκιµατική θέη ιορροπίας ίναι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5

25 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις [ ] ˆ + + u Η αύξηη τάων µπορί να γραφί προγγιτικά (57 e και ποµένως, οι τάις την δοκιµατική θέη ιορροπίας θα ίναι προγγιτικά + Μ βάη αυτές τις τάις µπορώ να υπολογίω τις νές «ωτρικές δυνάµις» θα πρέπι να ιορροπούν τις ξωτρικές δυνάµις, οι οποίς. Αν αυτό δν υµβαίνι, τότ παναλαµβάνω την ανωτέρω διαδικαία, θωρώντας την ξίωη (56, βρίκοντας τις νές αυξητικές µτατοπίις u ˆ κτλ. P et P it ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η ανωτέρω χέη (57 απαιτί ιδιαίτρη προοχή. Ο τανυτής λατοπλατικής τιβαρότητας e δν ίναι ανξάρτητος της τρέχουας ντατικής κατάταης, δηλαδή ξαρτάται από την τρέχουα τάη. Εποµένως, η ολοκλήρωη της αυξητικής χέης (58 e δίνι µία χέη που µόνον προγγιτικά µπορί να γραφί µ τη µορφή της χέης (57. Γνικά, η ολοκλήρωη αυτή απαιτί µγάλη προοχή ώτ να υπολογιτούν µ ακρίβια οι νές τάις. Εποµένως, αντί της χέης (57 µπορούµ να γράψουµ πιο ωτά, ( f Σηµιώνται πως η ακριβής ολοκλήρωη των λατοπλατικών χέων ίναι το «κλιδί» για µια αξιόπιτη λατοπλατική ανάλυη µίας κατακυής. Η ολοκλήρωη των ν λόγω κατατατικών ξιώων θα µας απαχολήι την πόµνη παράγραφο. 5.7 Μέθοδοι ολοκλήρωης λατο-πλατικών ξιώων Όπως ήδη αναφέρθηκ, η ακριβής ολοκλήρωη των λατοπλατικών χέων ίναι το βαικό τοιχίο για µια αξιόπιτη λατοπλατική ανάλυη. Θα τιάουµ τις πριπτώις της πλατικότητας κατά vo Mie ( J πλατικότητα. Αντί της ολοκλήρωης της χέης (58 θα χρηιµοποιήουµ τις ιοδύναµς (αλλά πιο απλές λατο-πλατικές χέις: ( ( k ( F ( α,, α α 0 (59 ( (60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5

26 ( Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις λ α (6 (6 α C (6 Το πρόβληµα τίθται ως ξής: Σ ένα υλικό ηµίο (µία χρονική τιγµή t t βρικόµατ πάνω την πιφάνια διαρροής και γνωρίζουµ τις τάις, τις παραµορφώις, και τα α, P, δηλαδή ιχύι F(, α, 0. Για δδοµένη αύξηη των παραµορφώων, να βρθί η αντίτοιχη αύξηη των τάων. Ή αλλιώς, αν την νέα ντατική κατάταη την χρονική τιγµή t t + γνωρίζω την παραµόρφωη + +, τότ να βρθί η αντίτοιχη τάη Τέλια πλατικότητα vo Mie Το κριτήριο διαρροής ίναι: µ k ταθρό, και k F F ο ΒΗΜΑ: Ελατική πρόβλψη. Έτω ότι έχω λατική υµπριφορά. Τότ (64 Ολοκληρώνοντας την (64 υπολογίζω τις (δοκιµατικές νές τάις ( + oπότ, ο αποκλίνων τανυτής των τάων ίναι και ( ( ( ( (, µ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 6 από 5

27 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ( 0 ( ( ( Για να ιχύι η λατική αυτή πρόβλψη, θα πρέπι να λέγξω αν ιχύι ( k. Αν ιχύι k τότ ίναι ωτή η παραδοχή της λατικής υµπριφοράς, οπότ + ( και η πλατική παραµόρφωη δν µταβάλλται. Εποµένως, + + > τότ η υπόθη της καθαρά λατικής υµπριφοράς δν ιχύι, και Αν όµως ( ποµένως έχω λατο-πλατική υµπριφορά, οπότ πρέπι να προχωρήω το κάτωθι βήµα. k ο ΒΗΜΑ: Πλατική διόρθωη. Θωρώ λατο-πλατική υµπριφορά. Στην πρίπτωη αυτή έχω λατο-πλατική παραµόρφωη e 0, + Η αύξηη των τάων δίνται από τον κάτωθι τύπο ( e ( λ (65 λg Ολοκληρώνω την ανωτέρω χέη (65 µ τη µέθοδο Euler backwark (πίω-αντικατάταη λ + + λg ( + + Εποµένως, το αποκλίνον τµήµα του τανυτή + ίναι λg ( + + ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 7 από 5

28 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις + + G λ ( (66 Μ βάη το κριτήριο της υνέπιας ( F 0, η νέα τάη + οφίλι να ικανοποιί το κριτήριο διαρροής. Θα πρέπι δηλαδή, k 0 (67 F Αντικαθιτώντας την χέη (66 την χέη (67 έχουµ και ιοδύναµα, ( + G λ ( ( k 0 ( ( k + G λ λ k G k (68 Η ανωτέρω χέη (68 µας πιτρέπι να υπολογίουµ το λ, δδοµένου ότι τα G και k ίναι γνωτά από την αρχή, νώ το ( έχι υπολογιτί το βήµα της λατικής πρόβλψης. Μ τον ανωτέρω υπολογιµό του λ, µπορούµ να υπολογίουµ τις νές αποκλίνους τάις ( + + G λ (69 νώ η πλατική παραµόρφωη γίνται + + λ + + και η ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη δηλαδή λ + + Τέλος, η τάη + τη νέα θέη ίναι ( ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 8 από 5

29 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις δδοµένου ότι το υδροτατικό τµήµα των τάων δν υµπριφέρται λατο-πλατικά, παρά µόνον λατικά Πλατικότητα ιοτροπικής κράτυνης vo Mie Το κριτήριο διαρροής ίναι k F µ k k(, και F, λ Στη θέη t t έχω ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη και ποµένως το µέγθος της πιφάνιας διαρροής ίναι k k(. Επιβάλλω αύξηη της παραµόρφωης και ζητώ τις νές τάις τη θέη t t +. ο ΒΗΜΑ: Ελατική πρόβλψη. Έτω ότι έχω λατική υµπριφορά. Τότ και ολοκληρώνοντας υπολογίζω τις (δοκιµατικές νές τάις ( + Οπότ, ο αποκλίνων τανυτής των τάων ίναι ( ( ( ( ( ( ( (, µ Για να ιχύι η ανωτέρω λατική πρόβλψη θα πρέπι να λέγξω αν ( k ( τότ ίναι ωτή η παραδοχή της λατικής υµπριφοράς, οπότ 0 + ( ( k (. Αν ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 9 από 5

30 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις και η πλατική παραµόρφωη δν µταβάλλται. Οπότ + + Αν όµως ( > k ( λατο-πλατική υµπριφορά, οπότ πρέπι να προχωρήω το βήµα. τότ η υπόθη της καθαρά λατικής υµπριφοράς δν ιχύι και έχω ο ΒΗΜΑ: Πλατική διόρθωη. Θωρώ λατο-πλατική υµπριφορά. Έχω λατο-πλατική παραµόρφωη e 0, + Ιοδύναµα, e 0, + Η αύξηη των τάων δίνται από τον τύπο ( e ( λ λg (70 Ολοκληρώνω την ανωτέρω χέη (70 µ τη µέθοδο Euler backwark + + λg + + ποµένως, λg ( + + λg ( G ( λ (7 Μ βάη το κριτήριο της υνέπιας ( F 0 κριτήριοδιαρροής. Θα πρέπι δηλαδή, + F , η νέα τάη + οφίλι να ικανοποιί το k ( 0 (7 Αντικαθιτώντας την χέη (7 την χέη (7, έχουµ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 0 από 5

31 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ( ( + ( + G λ k ( 0 (7 η οποία γράφται ιοδύναµα διότι ( + G λ ( k + + ( + (74 Επίης, ιχύι λ λ + ( Εποµένως, λ + + k ( + (76 Συνδυάζοντας τις χέις (74 και (76 έχουµ ( + G k + k + ( ( (77 ποµένως k ( G ( + + (78 Η ανωτέρω ξίωη µπορί να πιλυθί ως προς. Μ τον υπολογιµό του να υπολογίουµ τα µγέθη που µας νδιαφέρουν, δηλαδή µπορούµ λ k ( + (79 ( G λ ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

32 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις νώ η πλατική παραµόρφωη τη νέα θέη t t + γίνται + + λ G + + Τέλος, η τάη + τη νέα θέη t t + υπολογίζται ως ξής: ( ( δδοµένου ότι το υδροτατικό τµήµα των τάων υµπριφέρται µόνον λατικά, ύµφωνα µ τη χέη (4, νώ η λατική παραµόρφωη ξαρτάται από τον αποκλίνοντα τανυτή των τάων και µόνον Γωµτρική απικόνιη του αλγορίθµου Θα ξτάουµ αρχικά την πρίπτωη της τέλιας πλατικότητας vo Mie. Στην πρίπτωη αυτή, η πιφάνια διαρροής παραµένι αµτάβλητη µέγθος και θέη. Το χήµα της τοµής της πιφάνιας µ το αποκλίνον πίπδο ίναι ένας κύκλος ακτίνας k, όπως φαίνται το χήµα ( 5.9. Όταν έχουµ πλατική φόρτιη, και η δοκιµατική τάη το αποκλίνον πίπδο ίναι κτός πιφανίας διαρροής, τότ αυτή θα πρέπι να διορθωθί, ώτ η τλική τάη να βρίκται πάνω την πιφάνια διαρροής. Μ βάη τη χέη (69 και υνδυαµό µ την χέη (68, έχουµ ή k ( + + ( ( + ( ηλαδή οι τανυτές + και προκύπτι από την «παναφορά» της δοκιµατικής τάης ( ίναι υγγραµµικοί, και ποµένως η τλική τάη + ( κατά τη διύθυνη της ακτίνας του κύκλου, όπως αυτό φαίνται το χήµα 5.9. Για το λόγο αυτό, η ανωτέρω µέθοδος ονοµάζται και «µέθοδος της ακτινικής παναφοράς» (radial-retur method. Στην πρίπτωη που έχουµ πλατικότητα µ κράτυνη, πάλι έχω ακτινική παναφορά. Αυτό φαίνται από τη χέη (80, η οποία υνδυαµό µ την χέη (77 και τη χέη (79 γράφται ή ( k ( ( + ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

33 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Γωµτρικά αυτό απικονίζται το χήµα 5.0. Η διαφορά της παρούας πρίπτωης µ την πρίπτωη της τέλιας πλατικότητας ίναι πως δώ η πιφάνια διαρροής αυξάνι µέγθος («φουκώνι» από, παράλληλα µ τη διαδικαία της ακτινικής υµπριφοράς. k k + Σηµιώνται πως το βαικό ηµίο για την υπόψη µθοδολογία ίναι η ολοκλήρωη της χέης (65 µ τη µέθοδο Euler πίω-αντικατάταη. Αυτό βέβαια δν απαραίτητο. Θα µπορού κάποιος να κατακυάι έναν άλλον αλγόριθµο, χρηιµοποιώντας τη µέθοδο Euler µπρόςαντικατάταη για την χέη (65. J τέλια πλατικότητα (πιφάνια διαρροής αµτάβλητη k αρχική τάη + τλική τάη ( δοκιµατική (λατική τάη + ( αµτάβλητη πιφάνια διαρροής k F Σχήµα 5.9: Γωµτρική απικόνιη του αλγορίθµου «ακτινικής παναφοράς» για τέλια πλατικότητα vo Mie. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5

34 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις J πλατικότητα µ ιοτροπικήκράτυνη (η πιφάνιαδιαρροήςµγαλώνι µέγθος k k( αρχική τάη + τλική τάη ( δοκιµατική (λατική τάη + ( k + k( + πιφάνια διαρροής k F Σχήµα 5.0: Γωµτρική απικόνιη του αλγορίθµου «ακτινικής παναφοράς» για πλατικότητα vo Mie µ κράτυνη Σύνοψη του αλγορίθµου δοµένα και την «χρονική τιγµή», καθώς και η αύξηη των παραµορφώων. t t Ζητούµνα + και + την «χρονική τιγµή». t t +. Υπολόγι ( + (8 ( ( ( ( (8 ( ( ( (8. Έλγξ αν ιχύι: α. Αν ναι, τότ ( k ( (84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5

35 Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις και + ( (85 + (86 νώ το µητρώο τιβαρότητας ίναι το λατικό. ΤΕΛΟΣ β. Αν όχι, τότ λύ την κάτωθι αλγβρική ξίωη ως προς k και υπολόγι ( G ( + + (87 λ k ( + (88 ( G λ ( (90 ( ( (9 νώ το µητρώο τιβαρότητας ίναι το λατοπλατικό e. e 9 G ( ( H + G (9 ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5

Εργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού

Εργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού Εργατηριακές Σημιώις Ανλατική Κάμψη Μταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανπιτημιακός Υπότροφος) Ειαγωγή Δοκός καθαρή κάμψη (λατική υμπριφορά) Τρόπος που παραμορφώνται η δοκός λόγω κάμψης

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής. (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.2)

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής. (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.2) Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών Κφάλαιο. Λπτή τρώη ορθοτρόπου υλικού: πίπδη ένταη 5 5 5 oai ορθότροπο 5 5 iplae outofplae : Μητρώο ανηγµένης δυκαµψίας reduced tiffe D D D D ν ν ν ν / Λπτή

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1 Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών) Κφάλαιο Σύνθτα υλικά: ποιά ίναι και πώς ίναι.. Στο πλαίιο της ανάλυης µηχανικής υµπριφοράς υνθέτων υλικών, θα πριοριθούµ την θώρηη δοµικών τοιχίων που χρηιµοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x) Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 3. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΟΠΕΣ 3.. Η «Εντατική Κατάταη» ώματος Η ντατική κατάταη ένα ημίο M νός ώματος που υποβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ 59 Κφάαιο 3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ 3.1 Ειαγωγή Στο κφάαιο αυτό πριγράφται η ντατική κατάταη δομικά τοιχία όγω διάτμηης (διατμητικές τάις και παραμορφώις), δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας. . Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής ίαι η µαθηµατική υθήκη που πριγράφι τη τατική κατάταη έα ηµίο της µάζας του

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 3 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2 ο

Παρουσίαση 3 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2 ο Εφαρμογές Ανάλυης Σήματος τη Γεωδαιία Παρουίαη 3 η : Αρχές εκτίμηης παραμέτρων Μέρος ο Βαίλειος Δ. Ανδριτάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και

Διαβάστε περισσότερα

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια. Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών Μηχανικές ιδιότητς υνθέτων υλικών: φλκυμός Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιτήμης & Τχνολογίας Υλικών ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Εκπόνηη διπλωματικών ργαιών την ΕΑΒ, Τανάγρα Αττικής. dispersion methodologies μ κοπό τη δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Simple Linear Regression)

Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Simple Linear Regression) Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηη mple Lear Regresso Κύριο πρόβληµα αυτή την νότητα αποτλί η διρύνηη της χέης µταξύ δυο scaled µταβλητών Χ, Υ π.χ. Χ: ηλικία και : πίη αίµατος. Το γνικό πρόβληµα πριγράφται

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΙV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ

ΙV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΚΑΤΟΠΤΡΣΜΟΥ Φορτίο πάνω από αγώγιµο πίπδο z o. Τιµή και θέη του κατοπτρικού φορτίου,.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 18 ο, 19 Νοεµβρίου 2008 (9:00-10:00).

Μάθηµα 18 ο, 19 Νοεµβρίου 2008 (9:00-10:00). Μάθηµα 8 ο, 9 Νοµβρίου 008 (9:00-0:00) Άσκηση 4 Θωρούµ κβαντικό σύστηµα ύο πιπέων, ηλαή έχουµ ύο ιιοκαταστάσις της νέργιας, Ĥ Ε και Ĥ Ε, τις οποίς ν γνωρίζουµ Ενώ για τον τλστή Α, γνωρίζουµ τις ιιοκαταστάσις

Διαβάστε περισσότερα

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.1)

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.1) Ειδικά Θέµατα Μηχαικής Μηχαική Σύτω Υλικώ Κφάλαιο. / Μηχαική υµπριφορά οροτρόπου µέου. onaxis ορότροπο offaxis ορότροπο Στο κύριο ύτηµα onaxis του οροτρόπου µέου οι υιτώς του λατικού µητρώου δόως ίαι 9

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, ) 6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Ολοκληρωτικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Ολοκληρωτικός Λογιμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες ημειώεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιτήμιο Κρήτης η εβδομάδα. Θεωρούμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο τον 2 και μια πραγματική υνάρτηη

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης Ο2 ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δίκτη διάθλασης 1. Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης n νός διαφανούς οπτικού µέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σηµαντικό µέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι µόνο µταβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες. 32 3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 1 Οι υνηθέτερες δοκιμές της Εδαφομηχανικής 2 Μονοδιάτατη υμπίεη Τυπική υμπεριφορά ( v -ε v ) Μέτρο Συμπίεης (D) Φόρτιη αποφόρτιη επαναφόρτιη ιαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών

Σειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών Σιρά Ακήων ην Ανοχή ων Υλικών Άκηη η Σο ημίο Α μιας πίπδης μαλλικής πιφάνιας μ μέρο λαικόηας 00 GP και λόγο Pissn 0.5 μρήθηκαν οι πιμηκύνις ις καυθύνις, και μ η διάαξη ων πιμηκυνιομέρων ου χήμαος, ως 900,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2

Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-8 Συμπλήρωμα 2 δαφίου 3.3: Το νικό μταβολικό πρόβλημα ια συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου μ ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 τμήματα C, ορισμένο πί καμπυλών που τέμνουν

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 4 η : Στοιχεία στατιστικής αξιολόγησης εκτιμήσεων

Παρουσίαση 4 η : Στοιχεία στατιστικής αξιολόγησης εκτιμήσεων Εφαρμογές Ανάλυης Σήματος τη Γεωδαιία Παρουίαη 4 η : Στοιχεία τατιτικής αξιολόγηης εκτιμήεων Βαίλειος Δ. Ανδριτάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο 4: Πυροηλκτρισμός, Πιζο- ηλκτρισμός, Σιδηροηλκτρισμός Λιαροκάπης Ευθύμιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση Σιρά Προβλημάτων Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { m n m, n, m+n πριττός ακέραιος} (β) {w {,} * τα πρώτα δύο σύμβολα της w, αν υπάρχουν, δν ίναι τα ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Δυνάμις Υδροστατικές & Υδροδυναμικές δυνάμις που νργούν στα ύφαλα της γάστρας Αροδυναμικές δυνάμις που νργούν στην ιστιοφορία Ειδικές Ναυπηγικές Κατασκυές και

Διαβάστε περισσότερα

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1.

Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1. Παράρτηµα Γ νότητα Γ. Απόδιξη θωρήµατος.5 Kφαλαίου. στω f ίναι συνχής και πραγµατική συνάρτηση στο κανονικοποιηµένη (αφαιρώντας µια σταθρά) ώστ f ( x) dx= u = Pr f αρµονική µ (,) v (,) =. Τότ η. στω u

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Ένα Φρένο Σε Μια Τροχαλία

Ένα Φρένο Σε Μια Τροχαλία Ένα Φρένο Σ Μια Τροχαλία Η ομογνής ράβδος του σχήματος έχι μάζα ΜΡ και μήκος = και μπορί να στρέφται ως προς κάθτο άξονα που διέρχται από το σημίο μ την βοήθια άρθρωσης. Πάνω στη ράβδο και σ απόσταση /4

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I Ευτάθιος Στυλιάρης Αναπληρωτής Καθηγητής Συντονιτής Εργατηρίων Φυικής I Με την υνδρομή των: Α. Καραμπαρμπούνη, Κ.Ν. Παπανικόλα, Ν. Μαμαλούγκου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα