Οι κυρτές συναρτήσεις Μια πορεία µεταξύ γεωµετρικής και συναρτησιακής θεώρησης

Transcript

1 ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ γ, Τεύχος 65, 26 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης ηµήτρης Ντρίζος Μθηµτικός M.Ed., 6ο Λύκειο Τρικάλων Περίληψη Με την εργσί υτή, διµέσου µις σειράς προληµτισµών, που σχετίζοντι µε τη µορφή των γρφικών πρστάσεων των κυρτών συνρτήσεων, επιχειρούµε ν δούµε προσεκτικά τη δισύνδεση της γεωµετρικής µε την άµεσ επγώµενη συνρτησική τους θεώρηση. Στ πλίσι υτά νδεικνύουµε τ µοιί δάνει που ντλλάσσουν στην πργµτικότητ η Ανάλυση κι η Γεωµετρί, µε σκοπό την επινόηση του ορισµού κι τη µελέτη κάποιων προτάσεων, που διτυπώνοντι µε φετηρί τη φυσική "γεωµετρί" που χρκτηρίζει τις κυρτές συνρτήσεις. Abstract In this work we are attempting to attentivel see the interconnection between geometric and directl functional attestation of the form of graphic representations of conve functions. To this end, a series of speculations that relate to the form of these graphic representasions is being made. Firstl, the basic proposition that correlates the conveit with the continuit of a function is being proved. In the process, in order to appoint the operational value of the natural "Geometr" that determines the conve functions, we stud some characteristic consequences without the entanglement of the derivatives. GREEK MATHEMATICAL SOCIETY / EUCLIDES γ vol. 65, 26

2 8 ηµήτρης Ντρίζος Εισγωγή Η µελέτη των κυρτών συνρτήσεων στ Μθηµτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου, περιορίζετι στις πργωγίσιµες συνρτήσεις κι γι το λόγο υτό, ορίζοντι ως εξής: Έστω µι συνάρτηση ƒ, συνεχής σ' έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θ λέµε ότι η ƒ είνι κυρτή στο, ν η ƒ είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του. (1.) Στην εργσί υτή σκοπεύουµε ν διευρύνουµε το σύνολο των κυρτών συνρτήσεων (πέρν των πργωγίσιµων) κι ν νλύσουµε κάποι ση- µεί τους, στ πλίσι κυρίως της γεωµετρικής τους θεώρησης. Άλλωστε, κι στην πργµτικότητ, ο όρος κυρτή συνάρτηση είνι κτ' ρχήν γεωµετρικής υφής δηλώνει τη µορφή που έχει η γρφική πράστση µις τέτοις συνάρτησης κι, εποµένως, σ' υτό θ έπρεπε ν εστιάζετι ένς ορισµός της. Σε µι πρώτη συζήτηση, κτά τη διδσκλί της έννοις της κυρτής συνάρτησης, υτό που κτρχήν κάνουµε (ή πρέπει ν κάνουµε) δεν είνι η πόδοση ενός συγκεκριµένου γεωµετρικού νοήµτος στην έννοι; Γιτί, λοιπόν, υτό ν ποσιωπάτι κι ν µην εµπλέκετι µε κθρό τρόπο κι στη διτύπωση του ορισµού; Η άποψή µς υτή κινείτι στ πλίσι της ιδκτικής των Μθηµτικών, που θέλει τη γνώση ν κτσκευάζετι στδικά, στη άση των ε- µπειριών κι της εποπτείς κι η φορµλιστική οριοθέτηση ν έπετι ως λογική συνέπει. Στη ιλιογρφί που προτείνουµε η σπουδή των κυρτών συνρτήσεων γίνετι µε την ντίστροφη κριώς σειρά. Στ πλίσι των πρώτων υτών επισηµάνσεων, ένς ποδεκτός ορισµός είνι ο εξής (2.): Μί συνάρτηση ƒ ορίζετι ως κυρτή σ' έν διάστηµ, ν γι κάθε κι πό το, η γρφική πράστση της ƒ µετξύ των σηµείων Α(, ƒ()) κι Β(, ƒ()) ρίσκετι κάτω πό το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ. 1 1 Βλέπε π.χ. [2] σελ.6, [3] σελ. 43 κι 44, [4] σελ. 85 κι [6] σελ Γι τη δισύνδεση δε του ορισµού (2) µε την πράγωγο, λέπε [4] σσ

3 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 81 Ï á Á Ê(, ) Ë(, ƒ() Ì Â â ƒ ƒ κυρτή κι < < Ó Þìá 1 Από τον ορισµό (2.) προκύπτει ότι η τετγµένη του σηµείου Κ είνι µεγλύτερη πό την τετγµένη f() του σηµείου Λ. Αυτό γεωµετρικά εκφράζετι πό την νισότητ ΛΜ < ΚΜ Σχόλι: 1. Εντελώς νάλογες είνι οι πρτηρήσεις µς γι τον ορισµό κι της κοίλης συνάρτησης. 2. Ενλλκτικά, θ µπορούσµε ν ορίσουµε την κοίλη συνάρηση κι ως εξής: Μί συνάρτηση ƒ, που ορίζετι σ' έν διάστηµ, θ λέγετι κοίλη στο, ν η συνάρτηση ƒ είνι κυρτή στο. ιδκτικές προσεγγίσεις στην κτεύθυνση µις γενίκευσης του ορισµού (2.) 1. Στο σχήµ 2, πάνω πό την κµπύλη (ευθύγρµµο τµήµ) Ι ρίσκοντι όλες οι κυρτές κµπύλες σν τις Ν, Τ, Ρ, ενώ κάτω πό τη Ι ρίσκοντι οι κοίλες κµπύλες σν τις Σ,, Ζ. [ι κµπύλες στις οποίες νφερόµστε είνι γρφικές πρστάσεις πργωγίσιµων συνρτήσεων κι Ι: = +,, ΙR ].

4 82 ηµήτρης Ντρίζος Στο σχήµ 2., το τµήµ Ι χωρίζει ως "σύνορο" τις κυρτές πό τις κοίλες κ- µπύλες. Κι το ερώτηµ που νδύετι είνι το εξής: Πώς θ πρέπει ν χρκτηρίσουµε τη Ι; κυρτή ή κοίλη; Μήπως θ ήτν λογική η πίτησή µς ν χρκτηρίσουµε τη Ι κυρτή κι κοίλη συγχρόνως; 1 Σχήµ 2 Αν συµφωνούσµε σ' υτό, τότε το µέσως επόµενο ήµ θ ήτν ν τροποποιήσουµε κτάλληλ τον ορισµό (2.) γι την κυρτή συνάρτηση (κι τον νάλογο γι την κοίλη), έτσι ώστε η συνάρτηση = + ν µπορεί ν χρκτηρίζετι κι κυρτή κι κοίλη. Βέι, ο νέος ορισµός θέλουµε ν διτηρεί πάλι τη γεωµετρική του υφή. 2. Στο σχήµ 3, η συνάρτηση g δεν είνι πργωγίσιµη στο σηµείο =. Εποµένως, σύµφων µε τον ορισµό (1.), η g δεν είνι κυρτή συνάρτηση. Θ µπορούσµε όµως ν ισχυριστούµε ότι η g δεν στρέφει τ κοίλ άνω! Ι Ζ Σ 2 Ν Τ Ρ g() = A B Ï á â Ó Þìá 3 ορισµός (2.), όπως υτός διτυπώθηκε, επιτρέπει το χρκτηρισµό της g ως κυρτής συνάρτησης; Η πάντηση είνι κι πάλι όχι. Κι υτό γιτί η γρφική πράστση της g, µετξύ των σηµείων Α κι Β (γι πράδειγµ), τυτίζετι µε το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ κι δεν ρίσκετι κάτω πό υτό. Στ πλίσι µις άλλης γεωµετρικής θεώρησης των κυρτών συνρτήσεων,

5 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 83 η οποί ν είνι σύµφωνη κι προς τις πιτήσεις που νδείχτηκν πό τους προηγούµενους προληµτισµούς, επεκτείνουµε τον ορισµό (2.) ως εξής: Μί συνάρτηση ƒ ορίζετι ως κυρτή σ' έν διάστηµ, ν γι κάθε κι πό το, η γρφική πράστση της ƒ µετξύ των σηµείων Α(, ƒ()) κι Β(, ƒ()) δεν ρίσκετι πάνω πό το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ. Σχόλιο: Εντελώς νάλογ ορίζουµε κι τις κοίλες συνάρτησεις. Εδώ η πίτηση είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης µετξύ των Α κι Β ν µην ρίσκετι κάτω πό το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ. Στο επόµενο σχήµ 4, σύµφων µε τους τελευτίους ορισµούς, οι γρµ- µές C 1, C 2 είνι γρφικές πρστάσεις κυρτών συνρτήσεων κι οι C 3, C 4 κοίλων συνρτήσεων, ενώ η C 5 είνι κυρτή κι κοίλη. C 1 C 2 C 3 C 5 C 4 Ï Ó Þìá 4 Από τον γεωµετρικό στον συνρτησικό ορισµό των κυρτών συνρτήσεων C ƒ ƒ() Τ Σ ƒ() Ρ Α Γ Β ƒ() Κ Λ Μ Σχήµ 5 Ν

6 84 ηµήτρης Ντρίζος Αν στ στθεροποιηµέν σηµεί Κ κι Ν του άξον των τετµηµένων πεικονίζοντι οι ριθµοί κι ντίστοιχ, τότε γι οποιοδήποτε σηµείο Μ µε τετµηµένη, που διτρέχει το ευθύγρµµο τµήµ ΚΝ, ισχύει: ΚΜ λ ΚΝ =, λ 1, γι οποιδήποτε θέση του Μ πάνω στο τµήµ ΚΝ. Άρ, = λ κι ισοδύνµ = (1 λ) + λ, οπότε ο ριθµός ƒ() = ƒ((1 λ) + λ), είνι η τετγµένη του σηµείου Λ κι εποµένως, ΜΛ = ƒ((1 λ) + λ). Από το Θεώρηµ του Θλή πίρνουµε: ΚΜ ΑΓ ΡΣ = = = λ ΚΝ ΑΒ ΡΤ Άρ, ΡΣ = λ κι ισοδύνµ: ΡΤ ( ) Σ ƒ = λ, Σ η τετγµένη του Σ. ƒ ƒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = λ ƒ λ ƒ + ƒ, = Σ Σ Γ ΜΓ = (1 λ) ƒ() + λ ƒ() Επειδή η ƒ είνι κυρτή, λόγω της επέκτσης του γεωµετρικού ορισµού (2), θ ισχύει ΜΛ ΜΓ κι εποµένως: ƒ((1 λ) + λ) (1 λ) ƒ() + λ ƒ() : (1) Κτλήξµε έτσι στον συνρτησικό ορισµό των κυρτών συνρτήσεων : Μί συνάρτηση ƒ: R ορίζετι ως κυρτή στο, ν ισχύει: ƒ((1 λ) + λ) (1 λ) ƒ() + λ ƒ() γι κάθε, πό το κι οποιοδήποτε λ, µε λ 1. Σχόλι: 1) Στ διστήµτ όπου η ƒ είνι γρµµική [ƒ() = + ] είνι φνερό ότι η σχέση (1) ισχύει µόνο ως ισότητ. 2) Τη συνάρτηση ƒ τη χρκτηρίζουµε υστηρώς κυρτή σ' έν διάστηµ, ότν η σχέση

7 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 85 (1) στο διάστηµ υτό ληθεύει µε τη γνήσι (υστηρή) νισότητ " < ". 3) Κθώς θέσµε = λ, άρ 1 λ = ƒ() ƒ() + ƒ(). κι η σχέση (1) γράφετι: ρστηριότητ στην τάξη: Πάνω στη γρφική πράστση µις κυρτής συνάρτησης ƒ ν πάρετε τρί διφορετικά σηµεί Α, Γ, Β µε τετµηµένες ντίστοιχ, κι, ώστε: < <. Ν διτάξετε πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς: λ ΑΓ, λ ΑΒ κι λ ΒΓ, όπου λ ΑΓ, λ ΑΒ, λ ΒΓ είνι οι κλίσεις των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΓ, ΑΒ κι ΒΓ ντίστοιχ. [Στόχος τη δρστηριότητς υτής είνι ν δείξουµε ότι ισχύει: λ ΑΓ λ ΑΒ λ ΒΓ ] Πρότση Αν µι συνάρτηση ƒ είνι κυρτή σε έν διάστηµ, τότε η ƒ είνι συνεχής σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. Απόδειξη ƒ Έστω έν τυχόν εσωτερικό ση- µείο του κι, δύο σηµεί του, ώστε: Σχήµ 6 < <. Η κυρτή συνάρτηση ƒ θ ήτν συνεχής σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ν ποδεικνύµε ότι: lim ƒ() = ƒ( ) [: Σχέση ισοδύνµη προς τον ε-δ ορισµό της συνέχεις συνάρτησης σε ση- µείο, κθόσον το είνι µη µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της ƒ].

8 86 ηµήτρης Ντρίζος Β C ƒ A M Γ Σχήµ 7 Έστω < <, (σχήµ 7) Επειδή η ƒ είνι κυρτή, θ ισχύει: λ ΑΜ λ ΜΓ λ ΓΒ ισοδ. ƒ() ƒ() ƒ( ) ƒ() ƒ() ƒ( ) < < : (1) Από τη σχέση (1) κι επειδή < πίρνουµε: ƒ() ƒ() ƒ() ƒ( ), ( ) < ƒ( ) ƒ() < ( ) σχέση πό την οποί, σύµφων µε το Κριτήριο της Πρεµολής, ρίσκου- µε: [ ] lim ƒ( ) ƒ() = δηλ. lim ƒ() = ƒ( ). Β C ƒ A Γ M Σχήµ 8 Έστω < <, (σχήµ 8) Με εντελώς νάλογους, γι την περίπτωση, συλλογισµούς έχουµε: λ ΑΓ

9 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 87 λ ΓΜ λ ΜΒ κι τελικά ρίσκουµε: Από τις σχέσεις πίρνουµε: lim ƒ() = ƒ( ). + lim ƒ() = ƒ( ) κι lim ƒ() = ƒ( ) + lim ƒ() = ƒ( ), οπότε η ƒ είνι συνεχής στο τυχόν εσωτερικό σηµείο. Εποµένως είνι συνεχής σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. Πρότση: Αν µι συνάρτηση ƒ είνι κυρτή κι πργωγίσιµη σ' έν διάστηµ, τότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστση της ƒ σε οποιοδήποτε σηµείο της Α(, ƒ( )), µε εσωτερικό σηµείο του, ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση µε ε- ξίρεση το σηµείο επφής τους. Απόδειξη: C ƒ A Μ K ε Σχήµ 9

10 88 ηµήτρης Ντρίζος Έστω ε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της ƒ στο σηµείο Α(, ƒ( )). Τότε, ε: = ƒ( ) + ƒ ( ) ( ), κι ν τυχόν σηµείο του, θ είνι: Μ(, ƒ()) κι Κ(, ƒ( ) + ƒ ( ) ( )), σχήµ 9. Αρκεί ν ποδείξουµε ότι η τετγµένη του Μ είνι µεγλύτερη πό την τετγµένη του Κ γι κάθε. Γι το σκοπό υτό θεωρούµε τη συνάρτηση: ( ) = ( ) ( ) + ( )( ) g ƒ ƒ ƒ που µετράει, στο οποιοδήποτε, τη διφορά της τετγµένης του Κ πό την τετγµένη του Μ. Κτρχήν, έστω >. Είνι ( ) ( ) ( ) ƒ( ) ƒ g = ƒ ( ) : (1) Η συνάρτηση ƒ ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήµτος Μέσης Τιµής του Lagrange στο διάστηµ [, ], οπότε θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: πότε, η (1) γράφετι: ( ) ƒ ξ ( ) ƒ( ) ƒ = ( ) = ( ) ( ) ( ) g ƒ ξ ƒ : (2) Επειδή, όµως, η ƒ είνι κυρτή στο, πό τον ορισµό των πργωγίσι- µων κυρτών συνρτήσεων, προκύπτει ότι η συνάρτηση ƒ είνι γνήσι ύξουσ. Έτσι, πό τη σχέση ξ >, πίρνουµε ƒ (ξ) > ƒ ( ). πότε, πό την (2), γι κάθε > προκύπτει g() >. Κι υτό ισοδύνµ σηµίνει ότι γι κάθε >, η τετγµένη του Μ

11 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 89 είνι µεγλύτερη πό την τετγµένη του Κ. Με εντελώς νάλογο τρόπο ποδεικνύουµε την πρότση κι γι την περίπτωση που είνι <. Τέλος, γι την περίπτωση = πίρνουµε το σηµείο επφής Α της εφπτοµένης ε µε τη γρφική πράστση της ƒ. Στη συνέχει διτυπώνουµε µι σειρά σικών (κλσσικών) ερωτηµάτων στις κυρτές συνρτήσεις. νγνώστης θ πρτηρήσει ότι κάθε φορά, πριν πό τη διδικσί της διτύπωσης τυπικής πάντησης στ πλίσι της Ανάλυσης, διερευνούµε τη δυντότητ νάδειξης κάποις "γεωµετρικής µετάφρσης" των υποθέσεων κι της µθηµτικής σχέσης που πρέπει ν ποδείξουµε. Η ρµονική δισύνδεση, ήµ προς ήµ, υτών των διδικσιών προτείνετι γι µι διδσκλί στην τάξη. Έν σικό θέµ: Με υπόθεση ότι µι συνάρτηση ƒ είνι κυρτή στο κλειστό διάστηµ [, ] κι συνεχής στ κι, ν ποδείξετε τους ισχυρισµούς: + () ƒ() + ƒ( + ) 2 ƒ, [, ] 2 () ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ƒ(), (, ) (Θεώρηµ των τριών χορδών), [, ] + δ 2 ƒ 2 ƒ d 2 (γ) ƒ() ƒ ( ) + ƒ ( ) ( ) ( ) ( ) Γι το ερώτηµ (): ( ) ƒ ( ) + ƒ ( ), [, ]

12 9 ηµήτρης Ντρίζος C ƒ Κ Η Λ Ε Μ + 2 Ζ + Σχήµ 1 Στο σχήµ 1, σε κάθε σηµείο του διστήµτος [, ] ντιστοιχεί µονοσήµντ το σηµείο +. Όπως εύκολ κνείς διπιστώνει, τ σηµεί: κι + είνι συµµετρικά ως προς το σηµείο +, = Το τετράπλευρο ΕΖΗ είνι, γενικά, τρπέζιο µε άσεις: Ε = ƒ(), HZ = ƒ( + ) 1 κι διάµεσο την ΚΜ = ƒ ( ) ƒ( ) Όµως η ƒ είνι κυρτή συνάρτηση, άρ πό τον ορισµό (2.), θ ισχύει: ΛΜ ΚΜ, (το "=" ισχύει ότν οι µετλητές κι + συµπέσουν στο σηµείο + ). 2 Κι επειδή, + ΛΜ = ƒ 2 κι ΚΜ = 1 ƒ ( ) ƒ( ) 2 + +, η σχέση: ΛΜ ΚΜ γίνετι: + ƒ() + ƒ( + ) 2 ƒ, γι κάθε [, ]. 2

13 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 91 Σχόλιο: Με την επιπρόσθετη θεώρηση ότι η ƒ είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ [, ], η πόδειξη του ερωτήµτος () θ µπορούσε ν γίνει µε την εφρ- µογή του Θεωρήµτος Μέσης Τιµής του Lagrange γι την ƒ στ διστήµτ: + +, κι, κι τον ορισµό (1) που νφέρετι στις πργωγίσιµες κυρτές συνρτήσεις. Γι το ερώτηµ (): Επειδή η ƒ είνι κυρτή, σύµφων µε τον ορισµό (2.), γι κάθε εσωτερικό σηµείο του διστήµτος [, ], θ ισχύει: ΚΜ > ΛΜ κι ισοδύνµ > ƒ(), (1) C ƒ Α(, ƒ()) Κ(, ) Β(, ƒ()) Λ(, ƒ() Μ Σχήµ 11 H ευθεί ΑΒ προσδιορίζετι πό τις εξής ισοδύνµες νλυτικές εξισώσεις: ή ΑΒ: ƒ() = ƒ() ƒ() ( ), (2) ΑΒ: ƒ() = ƒ() ƒ() ( ), H (1) λόγω της (2) διδοχικά µς δίνει: ƒ() + ƒ() ƒ() ( ) > ƒ() (2 )

14 92 ηµήτρης Ντρίζος ƒ() ƒ() < ƒ() ƒ() ( ), > ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() <, (3) H (1) λόγω της (2 ) διδοχικά µς δίνει: ƒ() + ƒ() ƒ() ( ) > ƒ() ƒ() ƒ() < ƒ() ƒ() ( ), < ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() > ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() >, (4) Από τις τελευτίες σχέσεις (3) κι (4) πίρνουµε: ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() < <, (, ) Η τελευτί προέκυψε λόγω της εµπλοκής της σχέσης > ƒ(), που οφείλετι στον ορισµό (2.) της κυρτής συνάρτησης. Στ πλίσι όµως της γενίκευσης του ορισµού (2.) ισχύει: ƒ() κι η τελευτί σχέση, που ποδείξµε, γίνετι: ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ƒ(), (, ) Γι το ερώτηµ (γ): Από το προηγούµενο ερώτηµ προκύπτει: ƒ() ƒ() ƒ() ƒ(), < < κι διδοχικά πίρνουµε: ( ) [ ƒ ( ) ƒ( ) ] ( ) ƒ ( ) ƒ ( )

15 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 93 ( ) ƒ() ( ) ƒ() ( ) ƒ() ( ) ƒ() ( ) + ( ) ƒ ( ) ( ) ƒ ( ) + ( ) ƒ( ) ( ) ƒ() ( ) ƒ() + ( ) ƒ() ƒ ƒ + ƒ ( ) ( ) ( ) Η τελευτί σχέση έχει προκύψει γι (, ). Πρτηρούµε όµως ότι γι = κι γι = ισχύει ως "ισότητ". Εποµένως, τελικά, θ ισχύει: Γι το ερώτηµ (δ): ƒ ƒ + ƒ ( ) ( ) ( ), [, ] Κτρχήν θ επιχειρήσουµε ν δούµε το γεωµετρικό νόηµ που εµπεριέχετι στην προς πόδειξη σχέση: + 1 ( ) ƒ ƒ ( ) d ( ) ƒ( ) + ƒ ( ) Α = ƒ() 2 2, (1) Α(, ƒ()) C ƒ Β(, ƒ()) ΒΓ = ƒ() + ΖΜ = ƒ 2 Ε Σχήµ 12 Ζ Μ + 2 Η Γ Στο σχήµ 12 πρτηρούµε ότι: + ƒ = Εµ. ορθογωνίου Ε ΓΗ 2 ( ) ƒ ( ) d = Εµ. χωρίου ΑΖΒΓ

16 94 ηµήτρης Ντρίζος 1 ƒ ƒ 2 = Εµ. τρπεζίου ΑΒΓ ( ) ( ) + ( ) (δ). πότε η (1) γράφετι: Εµ. ορθ. Ε ΓΗ Εµ. χωρίου ΑΖΒΓ Εµ. τρπ. ΑΒΓ, (2) σχέση η οποί εποπτικά ισχύει. Θ συνθέσουµε τώρ κι µι "πιο τυπική" πόδειξη του ερωτήµτος Από το ερώτηµ (), γι κάθε [, ] ισχύει: ( ) + ƒ + ƒ( + ) 2 ƒ 2 Άρ ( ) ( ) + ƒ ƒ ( ) d 2 ƒ d κι ισοδύνµ: ( ) + ƒ d + ƒ( ) d 2 ƒ ( ) +, (3) 2 Στο σηµείο υτό, ν δούµε προσεκτικά τη σχέση που θέλουµε ν' ποδείξουµε, διπιστώνουµε ότι είνι νγκίο ν' ποδειχθεί ότι: ( + ) = ( ) ƒ d ƒ d, (4) Η τυπική πόδειξη της (4) γίνετι πολύ πλά µε ντικτάστση της µετλητής ολοκλήρωσης: + = u, κ.τλ. (Γι µι ξιοσηµείωτη γεωµετρική ερµηνεί της (4), λέπε: [4], σελ. 118 κι 119). Μετά την πόδειξη της (4), η (3) µς δίνει: + 2 ƒ 2 ƒ d ( ) ( ) 2, [, ] Γι την ολοκλήρωση της πόδειξης του (δ) ερωτήµτος, ρκεί πλέον ν ποδειχτεί ότι γι κάθε [, ] ισχύει κι: 1 2 ( ) ( ) ƒ( ) + ƒ ( ) ƒ d Στο ερώτηµ (γ) ποδείξµε ότι:

17 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 95 ƒ ƒ + ƒ ( ) ( ) ( ) ƒ ƒ, [, ] Άρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ƒ d d, (5) Το 2ο µέλος της σχέσης (5) διδοχικά γίνετι: ( ) ƒ ƒ ( ) ( ) d + ( ) d ( ) ( ) 2 2 ƒ ƒ ( ) ( ) ƒ 2 ƒ ( ) ( )( + ) ƒ ( ) + 2 ( ) ( )( + ) ƒ + ( ) 2 + ƒ ƒ ( ) ( ) ƒ( ) ƒ ( ) + ƒ ƒ ( ) ƒ ( ) ( ) ƒ ( ) 1 ( ) ƒ ( ) + ƒ ( ) 2. Εποµένως η (5) γίνετι: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ƒ d ƒ + ƒ (Γι µι άλλη πόδειξη του ερωτήµτος (δ), λέπε [1], σελ. 38).

18 96 ηµήτρης Ντρίζος Επισηµάνσεις: 1. Γι κθρά διδκτικούς λόγους, η γεωµετρική προσέγγιση των ερωτηµάτων του σικού θέµτος, έγινε µε την επιπρόσθετη θεώρηση ότι η ƒ πίρνει µη ρνητικές τιµές. 2. Όλ τ ερωτήµτ που νλύσµε πρπάνω, τ συνντά κνείς διάσπρτ σε διάφορ συγγράµµτ ιφορικού κι λοκληρωτικού Λογισµού. Έχουµε τη γνώµη ότι στη στοιχειώδη Ανάλυση, που διµορφώθηκε τελεσίδικ πριν πό τρεις περίπου ιώνες, το πιο ουσιστικό, που έχει ν προσθέσει πλέον κνείς, είνι διάφορες διδκτικές προσεγγίσεις µε στόχο µι ποτελεσµτικότερη διδσκλί.. Αντί επιλόγου Στ πλίσι του γενικότερου προληµτισµού: "Κθρές ποδείξεις στ υστηρά πλίσι της ξιωµτικής θεµελίωσης της Ανάλυσης ή ποδείξεις στη άση της δισύνδεσης της Ανάλυσης µε τη Γεωµετρί;" πρθέτουµε την άποψη του µεγάλου µθηµτικού René Baire, που συγκτλέγετι µάλιστ µετξύ εκείνων που είνι υπέρ των υστηρών διτυπώσεων. Στο "Leçοns sur les Théories Générales de l' Analse", Gauthier-Villars, T.I. Paris, 197, γράφει: "Λέγετι συχνά ότι η Ανάλυση µπορεί ν χτισθεί ξεκινώντς πό την έννοι του κερίου ριθµού κι µόνο. Αυτό είνι κριές, λλά, ν θελήσουµε ν κολουθήσουµε συστηµτικά υτήν την άποψη ν συγκεκριµέν θελήσουµε ν γνοήσουµε τη Γεωµετρί, θ στερηθούµε µε τη θέλησή µς πό µι πολύτιµη οήθει κι, σε πολλές περιπτώσεις, θ κτδικστούµε σε µκροσκελείς πρεκάσεις. Πιστεύω λοιπόν ότι είνι προτιµότερο ν προσπθήσουµε ν νοµιµοποιήσουµε τ µοιί δάνει, που ντλλάσσουν στην πργµτικότητ η Ανάλυση κι η Γεωµετρί."

19 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης 97 Βιλιογρφικές νφορές [1] Κζντζής, Θ. "λοκληρώµτ", Εκδόσεις Μθηµτική Βιλιοθήκη (Χ. Βφειάδης), Θεσσλονίκη, (1994). [2] Μάκρς, Στρ. "Κυρτές συνρτήσεις", άρθρο στο περιοδικό "Ευκλείδης Β ", έκδοση της Ε.Μ.Ε., τεύχος Πρώτο, Αθήν, (1994). [3] Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Σ. Γιννκούλις, Ε.. "Απειροστικός Λογισµός", τόµος ΙΙ, Εκδόσεις Συµµετρί, Αθήν, (1993). [4] Ντρίζος,. " ρόλος των γεωµετρικών νπρστάσεων στη διδσκλί της Ανάλυσης" ιπλωµτική Eργσί, τµ. Μθηµτικών Πν. Αθηνών, (22). [5] Ρσσιάς, Θεµ. "Μθηµτική Ανάλυση Ι", τεύχος, Εκδόσεις Σάλς, Αθήν, (24). [6] Spivak, M. " ιφορικός κι λοκληρωτικός Λογισµός", µτφ. Γιννόπουλος, Α., Πνεπιστηµικές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, (1991).