Παράρηημα. Μεηαηόπιζη. x y. x r

Transcript

1 0 0' y x y x r ) ', ' ( ), ( y x y x y x r r y x y x ' ' r P P 2 1 Παράρηημα Μεηαηόπιζη P

2 y y P x ζ εκ ζπλ εθ sin cos tan x

3 ' ' cos sin sin cos cos ' 'sin 'sin cos ' y x y x y x y y x x 1 P 2 R P Περιζηροθή Rz= cos sin 0 sin cos Ry= cos 0 sin sin 0 cos

4 cos sin 0 sin cos a a Rx= z y x P 1 ' ' ' 2 z y x P Δπνκέλωο, αλ θαη ηόηε 1 P 2 R P... x z x x z y z y x R R R R R R R R R, Γεληθά

5 πλνιηθά (3D): P 1 RP 2 r όπνπ y y r x x z z

6 y y x y z ζ ζ x θ x z θ x z

7 y y a z a x z

8

9

10

11

12

13

14

15

16 ΜΗΧΑΝΙΚΗ

17 Σύζηημα αναθοράς: Τριζορθογώνιο ζύζηημα ζσνηεηαγμένων με βάζη ηο οποίο θεωρούμε ηην θέζη ή ηην κίνηζη ζημείοσ, ζώμαηος ή ζσζηήμαηος ζωμάηων ζηο ηριζδιάζηαηο τώρο. Η κίνηζη είναι πάνηα ζτεηική. Τροτιά: Οι διαδοτικές θέζεις ποσ διαγράθονηαι καηά ηην κίνηζη ενός κινηηού. Μέζη ηατύηηηα: u=l/t: Το κινηηό διαγράθει διάζηημα l ζε τρόνο t.

18 ηηγκηαία ηαρύηεηα: ζηνηρεηώδεο δηάζηεκα dl dl () t ut () dt ζε ζηνηρεηώδε ρξόλν dt. l:l(t) θαη δηεύζπλζε ηελ εθαπηνκέλε ηεο ηξνρηάο θαη θνξά ηελ αληίζηνηρε ηνπ θηλεηνύ.

19

20 Δπηηάρπλζε: (Γεληθά u: u(t)) () t du() t dt ηνηρεηώδεο κεηαβνιή ηαρύηεηαο ζε ζηνηρεηώδε ρξόλν, κε δηεύζπλζε θαη θνξά ίδηα κε ηε κεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο. 2 d l () t () t 2 dt Γεληθά ε θίλεζε είλαη ζε θακπύιε ηξνρηά, νπόηε ε επηηάρπλζε αλαιύεηαη ζε δύν ζπληζηώζεο. du επηηξόρηα (εθαπηνκέλε θακπύιε) dt u 2 R θεληξνκόινο (θάζεηε ζηε θακπύιε) R=αθηίλα θακππιόηεηαο

21 u ( t) ( t) dt ( ) θαη l t ( t ) dt αθνύ l ( t) u( t) dt Αλ ην δηάλπζκα παξακείλεη ζηαζεξό ζε κέηξν, δηεύζπλζε θαη θνξά, ηόηε έρνπκε νκαιώο επηηαρπλόκελε θίλεζε: l(t)=u 0 t+1/2γt 2, u(t)=u 0 +γt

22 d dt Γει., δηαγξάθεηαη ζηνηρεηώδεο γωλία dφ ζε ζηνηρεηώδε ρξόλν dt, κε δηεύζπλζε θάζεηε ζην επίπεδν ηξνρηάο θαη θνξά όκνηα ηνπ δεμηόζηξνθνπ θνριία.

23

24 Οπόηε ε ζρέζε γωληαθήο θαη γξακκηθήο ηαρύηεηαο είλαη: dl d dl rd r u r (ωο κέηξν). dt dt ελώ γηα ηε δηεύζπλζε θαη θνξά: u r Αλ ε γωληαθή ηαρύηεηα είλαη ρξνληθά κεηαβαιιόκελε ηόηε d() t at () ζηνηρεηώδεο κεηαβνιή ηεο dt ζε ζηνηρεηώδε ρξόλν. a d 2 dt 2 κε δηεύζπλζε θαη θνξά ίδηα κε ηελ

25 Αλ ε ηξνρηά πνπ δηαγξάθεηαη είλαη θύθινο θαη = ζηαζεξή, ηόηε ε θίλεζε είλαη νκαιή θπθιηθή. a =0 θαη ηα εμήο κεγέζε νξίδνληαη: -Πεξίνδνο Σ: Χξόλνο ζηνλ νπνίν ην θηλεηό πξαγκαηνπνηεί κία πιήξε πεξηζηξνθή d 2 2 T dt T -πρλόηεηα f: Ο αξηζκόο ηωλ πεξηζηξνθώλ πνπ εθηειεί θηλεηό ζε ρξόλν 1 sec: f 1 f 2 (1 sec -1 =1 Hz).

26 Σηαηική -Γύλακε F Σν αίηην κεηαβνιήο θηλεηηθήο θαηάζηαζεο ή παξακόξθωζεο. 1 Newton (N) (S.I.), 1dyn=10-5 N (C.G.S.) Όηαλ ζύλνιν δπλάκεωλ αληηθαζίζηαηαη κε κία κε ην ίδην απνηέιεζκα ηόηε έρνπκε ηε ζπληζηακέλε F n F n

27 -Ρνπή δύλακεο ωο πξνο ζήκεην 0: όπνπ r ε δηαλπζκαηηθή ζέζε ζεκείνπ εθαξκνγήο ηεο F M r F Όηαλ ζε ζώκα αζθνύληαη πεξηζζόηεξεο από κία δπλάκεηο έρνπκε ζπληζηακέλε ξνπή ωο πξόο έλα ζεκείν: M r F M ( r F ) n n n n n

28

29

30

31 Όηαλ ζε ζώκα αζθνύληαη δύν δπλάκεηο παξάιιειεο, κε αληίζεηε θνξά θαη ίζα κέηξα ηόηε έρνπκε δεύγνο δπλάκεωλ. Όπνηε, ε ζπληζηακέλε ηνπο ηζνύηαη κε 0 αιιά ζπληζηακέλε ξνπή=μ=f*d 0 (ξνπή δεύγνπο) (d=απόζηαζε κεηαμύ ηωλ δπλάκεωλ) Ιζνξξνπία ζπζηήκαηνο (ζώκαηνο ή ζεκείνπ): Αθηλεζία ωο πξνο ην ζύζηεκα αλαθνξάο. Η κεηαθνξηθή θαη ε πεξηζηξνθηθή θίλεζε είλαη ίζεο κε 0. Γειαδή, F 0 n θαη n n n M 0

32 Γελ ππάξρεη ζύζηεκα ζωκάηωλ (ε ζώκα) πνπ λα κελ αζθείηαη θακία δύλακε επάλω ηνπ. Άξα, όηαλ ηζνξξνπνύλ ηόηε αζθνύληαη δπλάκεηο θαηά δεύγε κε ζπληζηακέλε ίζε κε 0. Όηαλ ινηπόλ ζώκα Α εξρέηαη ζε επαθή κε ζώκα Β ηόηε F A F B (αζθνύληαη δπλάκεηο ίζνπ κέηξνπ ίδηαο δηεύζπλζεο αιιά αληίζεηεο θνξάο). Σα Α-Β ζεωξνύληαη έλα ζώκα, νπόηε νη δπλάκεηο F, F A B είλαη εζωηεξηθέο δπλάκεηο. -Σξηβή νιίζζεζεο: Γύλακε κεηαμύ δύν ζηεξεώλ ζωκάηωλ ζε επαθή όηαλ ην έλα θηλείηαη ωο πξνο ην άιιν. Έρεη αληίζεηε θνξά ωο πξνο ηε θίλεζε.

33

34

35 Τ=ηF κ ε=ζπληειεζηήο ηξηβήο ηνπ πιηθνύ F θ =Γύλακε πνπ αζθεί κία επηθάλεηα ζηελ άιιε θαηά ηελ επαθή ηνπο.

36 -ώκα ην νπνίν ππόθεηηαη ζε ζπλδέζκνπο όηαλ αλαγθαζηηθά θηλείηαη ζε δεδνκέλε ηξνρηά ιόγω ύπαξμεο δπλάκεωλ. ύλδεζκνη= Γπλάκεηο πνπ πξνθαινύλ ηνπο γεωκεηξηθνύο πεξηνξηζκνύο ηεο θίλεζεο. Παξνπζία ζπλδέζκνπ ζπλεπάγεηαη πεξηνξηζκόο ζηνλ βαζκό ειεπζεξίαο θίλεζεο π.ρ. ζθαίξα εμαξηεκέλε από άθξε λήκαηνο θηλείηαη ππνρξεωηηθά ζε ηόμν πεξηθέξεηαο θύθινπ.

37

38 -Παξάιιειεο δπλάκεηο θέληξν βάξνπο: Έζηω ζηα ζεκεία Α i αζθνύληαη παξάιιειεο δπλάκεηο θαη ζην ζεκείν Α ε ζπληζηακέλε F Θέζεηο ζεκείωλ Α i i r i ωο πξνο 0. F i Ρνπέο δπλάκεωλ ωο πξνο 0:. r F ( r F ) r F u [ r ( F u)] i i i i i i. F r u ( F r ) u ( F r F r ) u Η ηειεπηαία ηζρύεη γηα i i i i i i u θαη κηα ιύζε: r = 0 Fr i i i F

39

40 r i r (βι. άλω ζρέζε), θαη είλαη ην θέληξν ηωλ παξάιιειωλ δπλάκεωλ. Αλ F i B i (βάξε καδώλ m i ): m gr i i miri i θαη ην Α= θέληξν βάξνπο ή κάδαο. mg m Αλ ε θαηαλνκή ηεο ύιεο είλαη ζπλερήο ηόηε m i dm, r KB rdm m rkb rdv V : (αλ ην ζώκα είλαη νκνηνγελέο, όπνπ V= ν όγθνο ηνπ ζώκαηνο).

41 y x R h

42

43 -Δπζηαζήο Ιζνξξνπία ζηεξενύ: Δπαλαθνξά ζηελ αξρηθή ζέζε κεηά ηελ εθηξνπή ηνπ από ηελ αξρηθή θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο. -Αζηαζήο Ιζνξξνπία ζηεξενύ: Με επαλαθνξά εθόζνλ εθηξαπεί από ηε ζέζε ηνπ. -Αδηάθνξε ηζνξξνπία: Ιζνξξνπεί ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο επηθάλεηαο.

44

45

46 Δάλ έρνπκε θέληξν βάξνπο ζε ρακειό ζεκείν, ηόηε έρνπκε επζηαζή ηζνξξνπία. Με απώιεηα ηζνξξνπίαο ζε πεξίπηωζε εθηξνπήο ζεκαίλεη όηη ε θαηαθόξπθνο δηα κέζνπ ηνπ θέληξνπ βάξνπο πέθηεη κέζα ζηελ επηθάλεηα ζηήξημεο (επηθάλεηα πνπ νξίδεηαη από ηα ζεκεία επαθήο κε ην έδαθνο.) dm -Ππθλόηεηα πιηθνύ: ξ= dv (dm= ε κάδα ηνπ πιηθνύ πνπ πεξηέρεηαη ζε όγθν dv). Γηα ηα ζηεξεά θαη ηα πγξά εμαξηάηαη κόλν από ην πιηθό θαη ηε ζεξκνθξαζία. Γηα αέξηα εμαξηάηαη ζεκαληηθά από ηε πίεζε. (ξ 1gr/cm 3 )

47 -Δηδηθό βάξνο: ε= db dv (db= Βάξνο ζώκαηνο όγθνπ dv) ε=ξg (άθνπ dβ=gdm) Γει. ην εηδηθό βάξνο εμαξηάηαη από ην ρώξν (βαξπηηθό πεδίν) ελώ ε ππθλόηεηα παξακέλεη ακεηάβιεηε αλεμάξηεηα ηνπ ρώξνπ.

48 ΝΟΜΟΙ ΚΛΑΣΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 1 oο Νόκνο ή Αμίωκα ηεο Αδξάλεηαο: Κάζε ζώκα δηαηεξεί ηε θαηάζηαζε ηεο εξεκίαο ή επζύγξακκεο νκαιήο θίλεζεο ηνπ (γεληθά, ηελ θηλεηηθή ηνπ θαηάζηαζε) όηαλ δελ επελεξγεί εμωηεξηθή δύλακε επάλω ηνπ. 2 νο Νόκνο ή Θεκειηώδεο Αξρή ηεο Γπλακηθήο: Η κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο θαηάζηαζεο ηνπ ζώκαηνο είλαη αλάινγε ηνπ κέηξνπ ηεο δύλακεο πνπ αζθείηαη θαη πξνο ηελ ίδηα δηεύζπλζε ηεο δύλακεο. 3 νο Νόκνο ή Αξρή ηεο Γξάζεο θαη Αληίδξαζεο: Όηαλ ην ζώκα Α αζθεί δύλακε ζε ζώκα Β, ηόηε θαη ην Β αζθεί αληίζεηε ζην Α.

49 Σα δύν πξώηα εθθξάδνληαη κε ηε ζεκειηώδε εμίζωζε ηεο δπλακηθήο F m (m=κάδα ζπζηήκαηνο), αθνύ όηαλ επηδξά δύλακε F ηόηε αιιάδεη θηλεηηθή θαηάζηαζε, όπνπ θαη κεηαβάιιεηαη ε ηαρύηεηα θαη πξνζδίδεηαη επηηάρπλζε.

50 Οξκή θαη Ώζεζε δύλακεο: J mv (m=κάδα ζώκαηνο, V J J F =ηαρύηεηα ζώκαηνο, = νξκή) κε πζρέηηζε dv d( mv ) F m F m F dt dt (αθνύ ζηε θιαζζηθή κεραληθή ε κάδα είλαη αλεμάξηεηε ρξόλνπ θαη επηηάρπλζεο), άξα dj F dj Fdt (ώζεζε δύλακεο) dt (Γειαδή άζθεζε δύλακεο ζεκαίλεη κεηαβνιή νξκήο). Γηαηήξεζε ηεο νξκήο: Με άζθεζε δύλακεο ή κεδεληθό άζξνηζκα δπλάκεωλ έρνπκε κεηαβνιή ηεο νξκήο =0! (Γειαδή νξκή=ζηαζεξή) Έζηω δύν ζώκαηα Α,Β ζε επαθή. 3 νο λόκνο Newton (Δάλ ην ζώκα Α αζθεί κία δύλακε F A ζην Β

51 Σόηε ην ζώκα Β αζθεί κία δύλακε F B F A F, ζεωξνύληαη δπλάκεηο ζπλδέζκωλ. A F B ζην Α όπνπ

52 J ηόηε θαη Β πξέπεη λα θηλεζεί Αλ Α θηλεζεί κε νξκή A κε νξκή J B J A. Γει. ζπλνιηθή κεηαβνιή νξκήο =0 (Θεώξεκα δηαηήξεζεο νξκήο). -ηξνθνξκή θαη Ώζεζε ξνπήο: Γηα πιηθό ζεκείν κάδαο m πνπ θηλείηαη ζε θπθιηθή ηξνρηά αθηίλαο r κε ηαρύηεηα v θαη ζηξνθνξκή L όπνπ δηεύζπλζε θάζεηε ζην επίπεδν ηξνρηάο θαη κέηξν L mrv sin J r sin όπνπ θ γωλία κεηαμύ r θαη J

53 Γει. L r J ηαρύηεηαο ην νπνίν είλαη ζπγγξακκηθό ηεο γωληαθήο θαη L mr 2 Έζηω ζώκα ζηξέθεηαη γύξω από άμνλα κε γωληαθή ηαρύηεηα Η ζηξνθνξκή L είλαη ην γεωκεηξηθό άζξνηζκα όιωλ ηωλ επηκέξνπο ζηξνθνξκώλ.

54 Ρνπή αδξαλείαο (ηξνθαδξάλεηα) ζ = mr Αλ ε θαηαλνκή ύιεο ζπλερήο ηόηε ζ= r 2 dm Αλ L : L (t) ηόηε ε κεηαβνιή ηεο ωο πξνο t είλαη: dl d ( r J ) dr J r ( dj ) dr dt dt dt dt dt dl dj r r F dt dt i L 2 i i αιιά J v ( mv) 0 dl dt M άξα Η νπνία είλαη ε ξνπή πνπ αζθείηαη ζην ζώκα όπνπ dl Mdt. Γειαδή κε ηελ άζθεζε ξνπήο έρνπκε κεηαβνιή ζηξνθνξκήο. M dl dt Δπίζεο αθνύ = d ( ) dt

55 Γειαδή ε ξνπή πξνζδίδεη γωληαθή επηηάρπλζε ζην ζώκα. Γηαηήξεζε ηεο ζηξνθνξκήο: Με άζθεζε ξνπήο ή ζπληζηακέλε ξνπή κεδέλ έρεη ωο απνηέιεζκα λα δηαηεξείηαη ζηαζεξή ε ζηξνθνξκή. -Έξγν Ιζρύο Δλέξγεηα: Έζηω ζε ζώκα αζθείηαη δύλακε F όπνπ ην ζεκείν εθαξκνγήο ηεο κεηαηνπίδεηαη θαηά dl : dw F dl = έξγν. Γηα πεπεξαζκέλε κεηαθίλεζε (από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν) B έξγν παξαγόκελν Ιζρύο: WAB F dl A dw dl P F Fv (ηαρύηεηα ζώκαηνο ιόγω F ) dt dt

56

57 Δλέξγεηα: Φπζηθό κέγεζνο πνπ ηείλεη λα κεηαηξαπεί ζε έξγν ππό εηδηθέο θαηάιιειεο ζπλζήθεο. Μνξθέο ηεο είλαη: Μεραληθή, Θεξκηθή, Χεκηθή. Η κεραληθή, ρωξίδεηαη ζε θηλεηηθή θαη δπλακηθή. Η θηλεηηθή ζρεηίδεηαη κε ηε θηλεηηθή θαηάζηαζε ηνπ ζώκαηνο, ελώ ε δπλακηθή ζρεηίδεηαη κε ηε ζέζε ηνπ ή ηε παξακόξθωζε ηνπ. Κηλεηηθή Δλέξγεηα: Όπωο είπακε W AB B A F dl επίδξαζε ηεο F έρνπκε κεηαβνιή ηεο νξκήο, άξα J m όκωο dl vdt dt, θαη κε ηελ άξα 2 WAB JdJ WAB ( J ) W JB 1 1 m JA 2m AB B A dj ( ) dl dt JB JA = = WAB 1 ( J B J 2 A ) K B K A 2m 2 J 2m 2 όπνπ 2 K mv 1 2 ελέξγεηα νθεηιόκελε ζηελ θηλεηηθή θαηάζηαζε ηνπ.

58 Γειαδή ε παξαγωγή έξγνπ από δύλακε F έρεη ωο απνηέιεζκα ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο. -Έξγν Ρνπήο δύλακεο: Έζηω ζώκα ζηξεπηό γύξω από άμνλα. ε ζεκείν Α ηνπ ζώκαηνο εθαξκόδεηαη δύλακε F ε νπνία πξνθαιεί ηελ ζηξνθή ηνπ ζώκαηνο θαη δεκηνπξγεί ηε κεηαηόπηζε ηνπ Α θαηά dl νπόηε έρνπκε ζηνηρεηώδεο έξγν dw Fdl = F k dl, αιιά dl r d Δπνκέλωο dw= Fk r d Όκωο F r : άξα F k r. M (ξνπή πνπ αζθείηαη ζην ζηεξεό) θαη dw=mdθ. k Αλ ην έξγν παξάγεηαη ζε ρξόλν dt ηόηε dw d P M M dt dt

59 Σν ζώκα απνηειείηαη από κάδεο m i ζε απόζηαζε r i από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο πνπ θηλνύληαη κε ηαρύηεηα v i. Σόηε ε θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο ζα ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ηωλ επηκέξνπο θηλεηηθώλ ελεξγεηώλ L K m v m r m r K i i i i i i i i ζ = ξνπή αδξαλείαο ζώκαηνο L= ζηξνθνξκή

60

61 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ F θ m ε d

62 E P F θ W

63 Η δύλακε P έιθεη ζώκα κάδαο m ζε απόζηαζε d, επηθάλεηα κε ζηαζεξή ηαρύηεηα. Πόζν είλαη ην έξγν πνπ παξάγεη πάλω ζην ζώκα αλ ν ζπληειεζηήο P ηξηβήο είλαη ε θαη ε γωλία έιμεο θ; (Γλωζηά όια πιελ ηεο ). ΔΡΓΟ= Pd F d cos Σν ζώκα δελ επηηαρύλεηαη Δπίζεο F n N P cos n N 0 P cos F 0 P sin W 0 άξα αληηθαζίζηαληαη: P sin N mg θαη 2 νο Νόκνο ηεο Κίλεζεο. P mg /(cos sin )

64 mgd cos Δπνκέλωο ΔΡΓΟ= cos sin εκείωζε: Η θαηαθόξπθε ζπληζηώζα έιμεο δελ παξάγεη έξγν, όκωο κεηώλεη ηε θάζεηε δύλακε κεηαμύ ζώκαηνο θαη επηθάλεηαο (αθνύ W P sin ) Καη έρεη ωο απνηέιεζκα ηε κείωζε ηεο δύλακεο ηεο ηξηβήο: F

65 Δξώηεζε: Πωο κεηαβάιιεηαη ην ΔΡΓΟ ωο ζπλάξηεζε ηεο γωλίαο δειαδή πωο κεηαβάιιεηαη ην ΔΡΓΟ όηαλ ην θ κεηαβάιιεηαη ζε ηηκέο 0, π/4,π/2) Δξώηεζε: Ση αιιάδεη αλ ε θίλεζε έρεη ζηαζεξή επηηάρπλζε γ; Ση αιιάδεη αλ ε θίλεζε έρεη επηηάρπλζε γ(t);