ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥ Α ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ Η ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 3

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ H Θεωρία τω Πιθαοτήτω έχει ως ατιείεο τη ελέτη αθηατιώ υποδειγάτω προτύπω ή οτέλω γωστώ ως στοχαστιώ υποδειγάτω τα οποία χρησιοποιούται για τη περιγραφή τω στοχαστιώ ή τυχαίω πειραάτω ή φαιοέω Βασιό χαρατηριστιό τω πειραάτω αυτώ είαι ότι οι συθήες άτω από τις οποίες πραγατοποιούται δε προαθορίζου το αποτέλεσα αλλά όο το σύολο τω δυατώ αποτελεσάτω Στη αδυαία προαθορισού του αποτελέσατος έγειται το στοιχείο της τυχαιότητας Έτσι η ρίψη εός οίσατος ή εός ύβου αι η παρατήρηση του αποτελέσατος όπως αι η παρατήρηση του φύλου εογέητου σε ία σειρά γεήσεω αποτελού στοχαστιά τυχαία πειράατα ή φαιόεα Ότα οι συθήες άτω από τις οποίες πραγατοποιείται έα πείραα ή εφαίζεται έα φαιόεο αθορίζου το αποτέλεσα το πείραα ή το φαιόεο είαι γωστό ως αιτιορατιό ή προσδιοριστιό Για τη περιγραφή τούτω αρού τα αιτιορατιά ή προσδιοριστιά αθηατιά υποδείγατα πρότυπα ή οτέλα τα οποία αποτελού το ατιείεο της ελέτης άλλω λάδω της επιστήης Οι όοι της βαρύτητας που περιγράφου τη πτώση εός σώατος αποτελού έα τέτοιο αθηατιό υπόδειγα οτέλο ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ας θεωρήσουε έα στοχαστιό τυχαίο πείραα ή φαιόεο Όπως έχουε ήδη σηειώσει στη εισαγωγή οι συθήες άτω από τις οποίες πραγατοποιείται δε προαθορίζου το αποτέλεσά του αλλά όο το σύολο τω δυατώ αποτελεσάτω του Σχετιά σηειώουε ότι: Σύολο αλείται ία αλώς ορισέη συλλογή διαεριέω στοιχείω Τα σύολα συβολίζουε ε τα εφαλαία γράατα του αλφαβήτου ε δείτες ή χωρίς δείτες αι τα στοιχεία που τα αποτελού ε τα ιρά πεζά γράατα Το γεγοός ότι το στοιχείο α αήει στο σύολο Α σηειώουε ε α εώ το γεγοός ότι το στοιχείο α δε αήει στο σύολο Α σηειώουε ε α Έα σύολο Α αλείται υποσύολο εός συόλου Β α αι όο α άθε στοιχείο του Α είαι αι στοιχείο του Β Το γεγοός αυτό συβολίζεται ε B Α B αι υπάρχει στοιχείο του Β που δε αήει στο Α τότε το Α αλείται γήσιο υποσύολο του Β Για τη περίπτωση αυτή χρησιοποιείται ο συβολισός B Το B δε απολείει αι το B Στη περίπτωση που ισχύου αι οι δύο αυτές σχέσεις τα σύολα Α

3 αι Β αποτελούται από τα ίδια στοιχεία αι αλούται ίσα αι τούτο συβολίζεται ε B Μετά τη εισαγωγή τω εοιώ αυτώ θέτουε το αόλουθο ορισό Ορισός ειγατιός χώρος Ω εός στοχαστιού ή τυχαίου πειράατος ή φαιοέου αλείται το σύολο τω δυατώ αποτελεσάτω του Έα στοιχείο ω του δειγατιού χώρου Ω αλείται δειγατιό σηείο Ας σηειωθεί ότι σε έα στοχαστιό πείραα είαι δυατό αάλογα ε το αθορισό τω δυατώ αποτελεσάτω α ορισθού περισσότερα από έα σύολα δυατώ αποτελεσάτω Στη περίπτωση αυτή αάλογα ε τις απαιτήσεις του συγεριέου προβλήατος λαβάεται το αταλληλότερο απ αυτά ως δειγατιός χώρος Πολλά παράδοξα έχου προύψει από τη η ατάλληλη επιλογή δειγατιού χώρου Το σηείο αυτό διευριίζεται περισσότερο στα παραδείγατα Σηειώουε αόη ότι ο δειγατιός χώρος Ω εός στοχαστιού πειράατος είαι είτε πεπερασέος: Ω { ω ω ωn } είτε αριθησίως άπειρος: Ω { ω ω } είτε η αριθήσιος Στις δύο πρώτες περιπτώσεις ο δειγατιός χώρος Ω αλείται γειά διαριτός ή απαριθητός αι στη τρίτη περίπτωση συεχής Ορισός Έστω Ω ο δειγατιός χώρος εός στοχαστιού πειράατος Έα υποσύολο Α του Ω αλείται εδεχόεο ως προς το δειγατιό χώρο Ω Ειδιά ο δειγατιός χώρος Ω αλείται βέβαιο εδεχόεο αι το εό σύολο αλείται αδύατο εδεχόεο Εα εδεχόεο Α {ω} που περιέχει έα όο στοιχείο ω του δειγατιού χώρου Ω αλείται απλό ή στοιχειώδες εδεχόεο εώ έα εδεχόεο που περιέχει περισσότερα από έα στοιχεία του δειγατιού χώρου αλείται σύθετο εδεχόεο Σε ία ετέλεση εός στοχαστιού πειράατος ε δειγατιό χώρο Ω έα εδεχόεο Α πραγατοποιείται α αι όο α το αποτέλεσα της ετέλεσης του πειράατος αυτού είαι στοιχείο ω που αήει στο Α Εδιαφέρο τόσο από θεωρητιή άποψη όσο αι από άποψη εφαρογώ παρουσιάζου εδεχόεα τα οποία προύπτου ετά από συολοθεωρητιές πράξεις εταξύ εδεχοέω Τα βασιότερα από τα εδεχόεα αυτά είαι τα αόλουθα Η έωση δύο εδεχοέω συόλω Α αι Β ως προς έα δειγατιό χώρο Ω είαι το εδεχόεο B { ω Ω: ω ή ω B} της πραγατοποίησης εός τουλάχιστο από τα εδεχόεα Α αι Β Γειότερα η έωση τω εδεχοέω είαι το εδεχόεο L { ω Ω : ω για έα τουλάχιστο δείτη j } j της πραγατοποίησης εός τουλάχιστο από τα εδεχόεα Περαιτέρω η έωση τω εδεχοέω είαι το εδεχόεο L L { ω Ω: ω για έα τουλάχιστο δείτη j } j της πραγατοποίησης εός τουλάχιστο από τα εδεχόεα Η τοή δύο εδεχοέω συόλω Α αι Β ως προς έα δειγατιό χώρο Ω είαι το εδεχόεο Α Β ΑΒ { ω Ω: ω αι ω B}

4 3 της πραγατοποίησης αι τω δύο εδεχοέω Α αι Β Γειότερα η τοή τω εδεχοέω είαι το εδεχόεο Α Α L Α Α Α L Α { ω Ω: ω για όλους τους δείτες j } της πραγατοποίησης αι τω εδεχοέω εδεχοέω είαι το εδεχόεο Α Α L Α L Α Α j L Α L j Περαιτέρω η τοή τω { ω Ω: ω για όλους τους δείτες j } της πραγατοποίησης όλω τω εδεχοέω Α η τοή τω εδεχοέω Α αι Β είαι το αδύατο εδεχόεο Α Β τότε τα Α αι Β αλούται ξέα ή αοιβαίως απολειόεα ή ασυβίβαστα εδεχόεα Στη περίπτωση αυτή η πράξη της έωσης παριστάεται ε το σύβολο ή ατί του συβόλου U Το συπλήρωα εός εδεχοέου Α ως προς έα δειγατιό χώρο Ω είαι το εδεχόεο { ω Ω: ω } της η πραγατοποίησης του εδεχοέου Α Το εδεχόεο αλείται ατίθετο του εδεχοέου Α Η διαφορά του εδεχοέου Β από το εδεχόεο Α ως προς έα δειγατιό χώρο Ω είαι το εδεχόεο B { ω Ω: ω αι ω B} της πραγατοποίησης του εδεχοέου Α αι της η πραγατοποίησης του εδεχοέου Β Σηειώουε ότι B B Σχηατιά διαγράατα είαι συχά χρήσια για τη εποπτιή παράσταση σχέσεω εταξύ συόλω εδεχοέω Τέτοια διαγράατα είαι τα γωστά ως διαγράατα του Venn στα οποία το αθολιό σύολο δειγατιός χώρος Ω ορίζεται από ία περιοχή του επιπέδου που περιλείει τα στοιχεία του τα οποία ορίζοται από γεωετριά σηεία του επιπέδου αυτού Τα υποσύολα του Ω ορίζοται από υποπεριοχές του Στα διαγράατα Venn τω Σχηάτω -4 δίδοται σιασέα τα σύολα B B Ω Α αι B ατίστοιχα Το αρτεσιαό γιόεο αποτελεί ία συολοθεωρητιή ατασευή χρήσιη τόσο στη έφραση του δειγατιού χώρου συθέτου τυχαίου πειράατος το οποίο συτίθεται από αολουθίες απλώ τυχαίω πειραάτω ή δοιώ απλού τυχαίου πειράατος όσο αι εδεχοέω ως προς αυτό Έστω Ω αι Ω δύο σύολα Το αρτεσιαό γιόεο τω Ω αι Ω συβολιζόεο ε Ω Ω είαι το σύολο τω διατεταγέω ζευγώ στα οποία η πρώτη συιστώσα είαι στοιχείο του Ω αι η δεύτερη συιστώσα είαι στοιχείο του δηλαδή Ω Ω Ω { ω ω : ω Ω ω Ω} Ο ορισός αυτός επετείεται αι για σύολα Ω Ω Ω ως εξής:

5 4 Ω Ω L Ω { ω ω ω : ω Ω ω Ω ω Ω} Ειδιά α Ω Ω L Ω Ω το αρτεσιαό γιόεο συβολίζεται ε Ω Ω Ω Α Β B Σχήα : B Σχήα : B Ω Ω Α Α Β Σχήα 3: Σχήα 4: B Παράδειγα α Ας θεωρήσουε το στοχαστιό τυχαίο πείραα της ρίψης εός οίσατος Ο δειγατιός χώρος του στοχαστιού αυτού πειράατος είαι το σύολο Ω { γ } όπου σηειώεται ε γ η όψη γράατα αι ε η όψη εφαλή ή ορώα Τα υποσύολα του Ω Α {γ} αι Β {} είαι τα στοιχειώδη εδεχόεα εφάισης της όψης γράατα αι εφαλή ατίστοιχα β Ας θεωρήσουε τώρα το στοχαστιό τυχαίο πείραα ιας αολουθίας ρίψεω εός οίσατος Τούτο είαι έα σύθετο στοχαστιό πείραα συτιθέεο από δοιές του απλού στοχαστιού πειράατος της ρίψης εός οίσατος Το οποιοδήποτε αποτέλεσα τω ρίψεω δύαται α παρασταθεί από έα διατεταγέο ζεύγος του οποίου το πρώτο στοιχείο είαι το αποτέλεσα της πρώτης ρίψης αι το δεύτερο στοιχείο το αποτέλεσα της δεύτερης ρίψης Έτσι ο δειγατιός χώρος του σύθετου στοχαστιού πειράατος είαι το σύολο Ω { γ γ γ γ } Σηειώουε ότι το Ω είαι το αρτεσιαό γιόεο του Ω { γ } ε το εαυτό του Τα υποσύολα του Ω Α {γγ} Α { γ γ} αι Α { }

6 5 είαι τα εδεχόεα εφάισης αι φορές της όψης εφαλή ατίστοιχα Παράδειγα Ας θεωρήσουε το στοχαστιό τυχαίο πείραα της ρίψης εός ύβου Καταγράφοτας τη έδειξη της επάω έδρας του ύβου ο δειγατιός χώρος του στοχαστιού αυτού πειράατος είαι το σύολο Τα σύολα Ω {3456} Α {} Α {} } Α 3 {3 Α {4 4 } Α } 5 {5 αι Α 6 {6} είαι τα στοιχειώδη εδεχόεα της εφάισης του αριθού αι 6 ατίστοιχα εώ τα σύολα Β {} B {} } B 3 {3 B { 4 34} B 5 {345} αι B 6 {3456 } είαι τα εδεχόεα εφάισης αριθού ιροτέρου ή ίσου του 34 5 αι 6 ατίστοιχα Ας σηειωθεί ότι B B 3 3 B B B B 6 Ω Παράδειγα 3 Ας θεωρήσουε ία σειρά 3 γεήσεω σ έα αιευτήριο τω Αθηώ Καταγράφοτας ατά σειρά γέησης το φύλο τω εογέητω ο δειγατιός χώρος είαι το σύολο Ω { α α α α α α α α α α α α} όπου σηειώεται ε α η γέηση αγοριού αι ε η γέηση οριτσιού Τα εδεχόεα Α Α Α αι Α3 της γέησης αι 3 αγοριώ ατίστοιχα περιλαβάου τα εξής δειγατιά σηεία: Α { } Α { α α } α Α { α α α α α } Α { α α } α 3 α εώ το εδεχόεο Β της γέησης εός τουλάχιστο αγοριού περιλαβάει τα εξής δειγατιά σηεία αι είαι Β { α α α α α α α α α α α α} Β Α Α Α3 Το συπληρωατιό ατίθετο του εδεχοέου Β είαι το εδεχόεο Β της γέησης 3 οριτσιώ αι περιλαβάει έα όο σηείο Β { } Παράδειγα 4 Μέτρο του φόρτου εργασίας σε έα τηλεφωιό έτρο παροχής πληροφοριώ αποτελεί τόσο ο αριθός τω τηλεφωιώ λήσεω που φθάου σ αυτό στη διάρεια εός ορισέου χροιού διαστήατος όσο αι ο χρόος που εσολαβεί εταξύ διαδοχιώ τηλεφωιώ λήσεω

7 6 α Καταγράφοτας το αριθό τω τηλεφωιώ λήσεω το σύολο τω δυατώ αποτελεσάτω το οποίο αποτελεί το δειγατιό χώρο είαι το Ω { } Ν Το εδεχόεο ιας τουλάχιστο τηλεφωιής λήσης είαι το υποσύολο Α του ε Α { Ν} Το συπληρωατιό ατίθετο του εδεχοέου Α είαι το εδεχόεο τηλεφωιής λήσης το οποίο περιλαβάει έα όο σηείο: Α {} Ω Α αιάς Σηειώουε ότι στη περίπτωση που ο έγιστος αριθός τω τηλεφωιώ λήσεω Ν είαι πρατιά πολύ εγάλος λαβάεται θεωρητιά ίσος ε αι έτσι ο δειγατιός χώρος γίεται Ω { } β Καταγράφοτας το χρόο εταξύ διαδοχιώ τηλεφωιώ λήσεω το σύολο τω δυατώ αποτελεσάτω το οποίο αποτελεί το δειγατιό χώρο είαι το διάστηα Ω { t R: < t < } 3 θ όπου ο έγιστος χρόος θ είαι έας θετιός αριθός Το εδεχόεο Α ο χρόος εταξύ διαδοχιώ τηλεφωιώ λήσεω α ξεπεράσει τα α δευτερόλεπτα είαι το Α { t R: α < t < θ} Σηειώουε ότι το δειγατιός χώρος Ω είαι πεπερασέος εώ δειγατιός χώρος Ω αριθησίως άπειρος Ο δειγατιός χώρος Ω3 είαι υπεραριθήσιος αι ειδιότερα συεχής 3 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Ο λασιός ορισός της πιθαότητας διατυπώθηε αρχιά από το De Move 7 ως εξής: Η πιθαότητα της πραγατοποίησης εός εδεχοέου είαι το πηλίο ε αριθητή το αριθό τω περιπτώσεω ευοϊώ για τη πραγατοποίηση του εδεχοέου τούτου αι παροοαστή το συολιό αριθό τω περιπτώσεω ε τη προϋπόθεση ότι όλες οι περιπτώσεις είαι εξίσου πιθαές ισοπίθαες Η συθήη του ισοπιθάου τω περιπτώσεω είαι ααγαία γιατί διαφορετιά θεωρώτας τις περιπτώσεις της πραγατοποίησης αι της η πραγατοποίησης εδεχοέου θα αταλήγαε στο συπέρασα ότι η πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοέου είαι ίση ε / Το συπέρασα τούτο δε ισχύει γειά επειδή οι δύο αυτές περιπτώσεις δε είαι πάτοτε εξίσου πιθαές Η έοια τω εξίσου πιθαώ ισοπιθάω περιπτώσεω είαι απαραίτητο α ορισθεί αεξάρτητα από τη έοια της πιθαότητας γιατί διαφορετιά ο λασιός αυτός ορισός θα οδηγούσε σε φαύλο ύλο Τούτο επιτυγχάεται ε επίληση της αρχής της έλλειψης επαρούς λόγου Έτσι α σύφωα ε τα δεδοέα δε υπάρχει λόγος α θεωρηθεί άποια από τις περιπτώσεις περισσότερο ή λιγότερο πιθαή από τις άλλες τότε όλες θεωρούται εξίσου πιθαές Για παράδειγα ατά τη ρίψη εός ύβου υπάρχου τόσα δυατά αποτελέσατα περιπτώσεις όσες είαι αι οι έδρες του Με τη προϋπόθεση ότι οι

8 7 έδρες είαι ίσες αι το βάρος του ύβου είαι οοιόορφα αταεηέο δε υπάρχει λόγος α θεωρηθεί άποια από τις περιπτώσεις περισσότερο ή λιγότερο πιθαή από τις άλλες οπότε όλες οι περιπτώσεις θεωρούται ισοπίθαες Σηειώουε ότι ο λασιός αυτός ορισός της πιθαότητας αφορά ααγαστιά πεπερασέους δειγατιούς χώρους Η θεελίωση του Λογισού τω Πιθαοτήτω ε βάση το λασιό ορισό της πιθαότητας αποδίδεται στο Laplace 8 Αξίζει α παρουσιάσουε τις σηατιότερες ιδιότητες της λασιής πιθαότητας οι οποίες αι εέπευσα τη ατάλληλη επέταση της τόσο σε πεπερασέους δειγατιούς χώρους ε η ισοπίθαα δειγατιά σηεία περιπτώσεις όσο αι γειότερα σε αριθήσιους ή η αριθήσιους δειγατιούς χώρους Ας θεωρήσουε έα πεπερασέο δειγατιό χώρο Ω του οποίου τα στοιχεία δειγατιά σηεία περιπτώσεις σύφωα ε τη αρχή της έλλειψης επαρούς λόγου είαι εξίσου πιθαά ισοπίθαα αι έα οποιοδήποτε εδεχόεο Α ως προς το δειγατιό χώρο Ω Η πιθαότητα του Α συβολιζοέη ε δίδεται από τη σχέση N 3 N όπου N είαι ο αριθός τω στοιχείω του εδεχοέου Α αι N NΩ είαι ο αριθός τω στοιχείω του δειγατιού χώρου Ω Η συάρτηση η οποία σε άθε εδεχόεο Α στο Ω ατιστοιχεί το αριθό 3 είαι α η αρητιή : για άθε εδεχόεο Ω β οραλισέη : Ω γ προσθετιή : B B για οποιαδήποτε ξέα εδεχόεα Α αι B Ω Οι ιδιότητες αυτές προύπτου άεσα από το ορισό 3 αι τις ατίστοιχες ιδιότητες: N για άθε σύολο Α αι N B N N B για ξέα εταξύ τους σύολα Α αι Β του αριθού τω στοιχείω πεπερασέου συόλου Σηειώουε ότι από τη προσθετιή ιδιότητα συάγεται επαγωγιά η σχέση L L 3 για ατά ζεύγη ξέα αοιβαίως απολειόεα ασυβίβαστα εδεχόεα Ω Άεσα συάγοται από το ορισό 3 η σχέση όπως αι η σχέση Επίσης έστω για άθε εδεχόεο Α Ω Ω Ω Ω L Ω δειγατιός χώρος συθέτου στοχαστιού πειράατος όπου Ω είαι πεπερασέος δειγατιός χώρος ε N ισοπίθαα δειγατιά σηεία Α ισχύει { ω ω ω } { ω} { ω} L { ω} 33 για οποιαδήποτε δειγατιά σηεία ω Ω τότε ο δειγατιός χώρος Ω έχει ισοπίθαα δειγατιά σηεία

9 8 Επέταση της λασιής πιθαότητας στη περίπτωση που ο δειγατιός χώρος είαι συεχής η αριθήσιος αποτελεί η γεωετριή πιθαότητα που ορίζεται ως εξής: Ας θεωρήσουε έα η αριθήσιο δειγατιό χώρο Ω οριζόεο από ία περιοχή του οοδιαστάτου ή διδιαστάτου ή τριδιαστάτου χώρου στη οποία οποιεσδήποτε στοιχειώδεις περιοχές είαι εξίσου πιθαές ισοπίθαες αι έα οποιοδήποτε εδεχόεο Α οριζόεο από ία περιοχή του δειγατιού χώρου Ω Η πιθαότητα του Α δίδεται από τη σχέση 34 Ω όπου Α αι Ω είαι το έτρο ήος ή εβαδό ή όγος τω περιοχώ Α αι Ω ατίστοιχα Η πιθαότητα 34 όπως εύολα πορεί α διαπιστωθεί έχει ατίστοιχες ε τη πιθαότητα 3 ιδιότητες Παράδειγα 3 Ας θεωρήσουε ία αολουθία δύο ρίψεω εός συήθους οίσατος αι το εδεχόεο της εφάισης σ αυτή j φορές της όψης εφαλή j Να υπολογισθού οι πιθαότητες j j Παρατηρούε ότι ο δειγατιός χώρος του απλού τυχαίου πειράατος της ρίψης εός συήθους συετριού οίσατος είαι το σύολο j Ω { γ } Τα δειγατιά σηεία λόγω της συετρίας του οίσατος είαι ισοπίθαα: { γ} { } Περαιτέρω ο δειγατιός χώρος του συθέτου τυχαίου πειράατος ιας αολουθίας ρίψεω εός οίσατος είαι το σύολο Ω { γ γ γ γ } το οποίο είαι το αρτεσιαό γιόεο του Ω { γ } ε το εαυτό του Στο τυχαίο αυτό πείραα ισχύει η 33 αι έτσι τα 4 δειγατιά σηεία του Ω είαι ισοπίθαα: { γ γ} { γ} { γ} 4 { γ} { } { γ} 4 { γ } { γ} { } 4 { } { } { } 4 Εποέως εφαρόζοτας το λασιό ορισό της πιθαότητας 3 αι επειδή Α { γ } Α { γ } Α { } γ συάγουε τις πιθαότητες 4 γ 4 Παράδειγα 3 Έστω ότι έα όισα διαέτρου τοποθετείται τυχαία πάω σε ορθογώιο τραπέζι το οποίο είαι χωρισέο σε Ν ορθογώια ε πλευρές α αι β όπου α β αι < α Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως το όισα τοποθετηθεί στο εσωτεριό ορθογωίου Ο δειγατιός χώρος Ω είαι το ορθογώιο τραπέζι ε εβαδό

10 9 Ω Ναβ Για το αθορισό της περιοχής του τραπεζιού η οποία ορίζεται από το εδεχόεο Α όπως το όισα τοποθετηθεί στο εσωτεριό ορθογωίου ας θεωρήσουε έα ορθογώιο ΑΒΓ ε πλευρές α αι β όπου α β αι έα δεύτερο ορθογώιο ΕΖΗΘ είεο στο εσωτεριό του πρώτου ορθογωίου ε πλευρές παράλληλες στις πλευρές αυτού αι σε απόσταση / απ αυτές βλ Σχήα 3 β B Ε Ο β Ζ α a / Θ / Η Γ Σχήα 3 Έα όισα διαέτρου είται στο εσωτεριό του ορθογωίου ΑΒΓ α αι όο α το έτρο Ο του οίσατος είται στο εσωτεριό του ορθογωίου ΕΖΗΘ Το εβαδό του ορθογωίου ΕΖΗΘ είαι α β Η περιοχή του τραπεζιού η οποία ορίζεται από το εδεχόεο Α είαι η έωση Ν τέτοιω ορθογωίω αι έτσι Α Ν α β Εποέως σύφωα ε το ορισό της γεωετριής πιθαότητας 34 Α α β Ω αβ Σηειώουε ότι στη εριή περίπτωση τετραγώω β α η πιθαότητα αυτή γίεται α 4 ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ Ο υπολογισός της πιθαότητας εός εδεχοέου Α στη περίπτωση πεπερασέου δειγατιού χώρου Ω του οποίου τα στοιχεία δειγατιά σηεία περιπτώσεις είαι ισοπίθαα αάγεται σύφωα ε το λασιό ορισό της πιθαότητας N / N στο υπολογισό του αριθού N τω στοιχείω του Α αι του αριθού N NΩ τω στοιχείω του Ω Στο εδάφιο αυτό παρουσιάζουε εριά βασιά στοιχεία της Συδυαστιής τα οποία διευολύου τη ατιετώπιση τέτοιω προβληάτω απαρίθησης Η αρχή του αθροίσατος αι η αρχή του γιοέου ή πολλαπλασιαστιή αρχή οι οποίες αποτελού τις δύο βασιές αρχές απαρίθησης πορού α διατυπωθού ως εξής:

11 Αρχή του αθροίσατος Α εταξύ τους σύολα τότε είαι πεπερασέα αι ατά ζεύγη ξέα N L N N L N Η αρχή αυτή πορεί α διατυπωθεί αι ως εξής: Α έα στοιχείο ατιείεο πορεί α ελεγεί ατά ταυτόχροη ελογή του α πορεί α ελεγεί ατά j τρόπους αι η ελογή του απολείει τη j j τότε το στοιχείο ή α ή L τρόπους είαι πεπερα- Αρχή γιοέου ή πολλαπλασιαστιή αρχή Α σέα σύολα τότε N Α L N N LN α α α α Η αρχή αυτή πορεί γειότερα α διατυπωθεί ως εξής: Α έα στοιχείο ατιείεο α πορεί α ελεγεί ατά τρόπους αι για άθε έα από αυτούς τους τρόπους έα άλλο στοιχείο α πορεί α ελεγεί ατά τρόπους αι για άθε έα από όλους αυτούς τους τρόπους έα άλλο στοιχείο α πορεί α ελεγεί ατά τρόπους τότε όλα τα στοιχεία αι α αι α πορού α ελεγού α L τρόπους διαδοχιά ατά Ας θεωρήσουε έα πεπερασέο σύολο στοιχείω Ω ω ω ω } ιάταξη τω αά αλείται ία διατεταγέη -αδα α α α ε α Ω Συδυασός τω αά αλείται ία η διατεταγέη συλλογή στοιχείω {α α α } ε α Ω Τα στοιχεία ιας διάταξης ή εός συδυασού είαι είτε διαφορετιά είτε όχι ατ αάγη διαφορετιά στοιχεία του Ω Για τη πρώτη περίπτωση διατηρούε τη οοασία διάταξη ή συδυασός τω αά εώ στη δεύτερη περίπτωση όπου τα στοιχεία του Ω επιτρέπεται α επααλαβάοται χρησιοποιούε τη οοασία διάταξη ή συδυασός τω αά ε επαάληψη Η ειδιή περίπτωση διάταξης τω αά όλω τω θεωρουέω στοιχείω αλείται ειδιότερα ετάθεση στοιχείω { Σχετιά ε το πλήθος τω διατάξεω αι τω συδυασώ αποδειύουε τα επόεα θεωρήατα Θεώρηα 4 α Ο αριθός τω διατάξεω τω αά συβολιζόεος ε δίδεται από τη σχέση! L 4! όπου το γιόεο όλω τω αεραίω από το έχρι το αλείται παραγοτιό αι συβολίζεται ε! 3L β Ο αριθός τω συδυασώ τω αά συβολιζόεος ε δίδεται από τη σχέση! 4!!!

12 Απόδειξη α Σε ια οποιαδήποτε διάταξη α α α τω στοιχείω του Ω { ω ω ω } αά το πρώτο στοιχείο α πορεί α ελεγεί από το σύολο τω στοιχείω εώ ετά τη ελογή του πρώτου στοιχείου το δεύτερο στοιχείο α επειδή πρέπει α είαι διαφορετιό από το α πορεί α ελεγεί από το σύολο τω υπολοίπω στοιχείω Τελιά ετά τη ελογή τω α α α στοι-χείω το τελευταίο στοιχείο α επειδή πρέπει α είαι διαφορετιό από τα προηγούεα στοιχεία πορεί α ελεγεί από το σύολο τω υπολοίπω στοιχείω Έτσι σύφωα ε τη πολλαπλασιαστιή αρχή συάγεται η 4 β Σε άθε συδυασό { α α α } τω στοιχείω του Ω αά ατιστοιχού! διατάξεις τω αά οι οποίες προύπτου ε ετάθεση τω στοιχείω του ατά όλους τους! το πλήθος δυατούς τρόπους Εποέως ο αριθός τω διατάξεω τω αά είαι ίσος ε! φορές το αριθό τω συδυασώ τω αά αι έτσι χρησιοποιώτας τη 4 συάγουε τη 4 Θεώρηα 4 Ο αριθός τω διατάξεω τω αά ε επαάληψη συβολιζόεος ε U είαι ίσος ε U 43 Απόδειξη Παρατηρούε ότι σε ία οποιαδήποτε διάταξη α α α τω στοιχείω του Ω { ω ω ω } αά ε επαάληψη οποιοδήποτε στοιχείο α πορεί α ελεγεί από το σύολο τω στοιχείω Έτσι σύφωα ε τη πολλαπλασιαστιή αρχή συάγεται η 43 Θεώρηα 43 Ο αριθός τω συδυασώ τω αά ε επαάληψη είαι ίσος ε L! 44!!! Απόδειξη Ας θεωρήσουε έα συδυασό { ω ω } τω στοιχείω του ω Ω ω ω ω } αά ε επαάληψη αι ας υποθέσουε ότι οι δείτες { είαι αριθηέοι από το ιρότερο προς το εγαλύτερο Η υπόθεση αυτή δε περιορίζει τη γειότητα εφόσο η οποιαδήποτε σειρά ααγραφής τω στοιχείω εός συδυασού δε παίζει αέα ρόλο Τότε L αι α στο συδυασό { ω ω ω } ατιστοιχήσουε το συδυασό { ω ε j j j j ω j ω θα είαι j < j < L< j δηλαδή τα στοιχεία του δευτέρου συδυασού θα είαι διαφορετιά είτε είαι είτε δε είαι διαφορετιά τα στοιχεία του πρώτου συδυασού αι επιπλέο ο συδυασός ω ω ω } είαι έας { j j j συδυασός τω στοιχείω του συόλου W { ω ω ω } αά χωρίς επαάληψη Η ατιστοιχία αυτή συεπάγεται ότι ο αριθός τω συδυασώ τω αά ε επαάληψη είαι ίσος ε το αριθό τω συδυασώ τω αά χωρίς επαάληψη j }

13 Παράδειγα 4 α Καταοή διαεριέω σφαιριδίω σε διαεριέα ελιά Ας θεωρήσουε διαεριέα σφαιρίδια σ σ σ } τα οποία τοποθετούται έσα { σε διαεριέα ελιά { c c c} Ο αριθός τω τρόπω τοποθέτησης τω διαεριέω σφαιριδίω έσα στα διαεριέα ελιά είαι ίσος ε το αριθό τω διατάξεω τω αά ε επαάληψη επειδή το άθε σφαιρίδιο πορεί α τοποθετηθεί σε οποιοδήποτε από τα ελιά Ο αριθός τω τρόπω τοποθέτησης τω διαεριέω σφαιριδίω έσα στα διαεριέα ελιά έτσι ώστε το j ελί α περιέχει σφαιρίδια για όλα τα j ε L είαι ίσος ε επειδή τα ατά!!! L! σφαιρίδια του πρώτου ελιού πορού α επιλεγού από τα σφαιρίδια τρόπους Μετά τη επιλογή αυτή τα σφαιρίδια του δευτέρου ελιού πορού α επιλεγού από τα υπόλοιπα σφαιρίδια ατά τρόπους Συεχίζοτας τη αάλυση αυτή ετά τη επιλογή τω σφαιριδίω για τα πρώτα ελιά τα σφαιρίδια του -οστού ελιού πορού α επιλεγού από τα υπόλοιπα L σφαιρίδια ατά έα όο τρόπο αι έτσι σύφωα ε τη πολλαπλασιαστιή αρχή συάγεται ο ζητούεος αριθός L L!! L! L!!!!! L! ετά από απλοποιήσεις β Καταοή όοιω σφαιριδίω σε διαεριέα ελιά Ας θεωρήσουε όοια σφαιρίδια τα οποία τοποθετούται έσα σε διαεριέα ελιά { c c c} Σε άθε τοποθέτηση τω όοιω σφαιριδίω έσα στα διαεριέα ελιά ατιστοιχεί ία επιλογή ελιώ c c c } αεξάρτητα σειράς αι ατίστροφα όπου η τοποθέτηση εός σφαιριδίου έσα σε έα ελί ατιστοιχεί στη επιλογή του ελιού αυτού Εποέως στη περίπτωση που άθε ελί πορεί α χωρέσει έα όο σφαιρίδιο ο αριθός τω τρόπω τοποθέτησης όοιω σφαιριδίω έσα σε διαεριέα ελιά είαι ίσος ε { j

14 3 το αριθό τω συδυασώ τω αά εώ στη περίπτωση που τα ελιά είαι απεριόριστης χωρητιότητας ο αριθός τω τρόπω τοποθέτησης όοιω σφαιριδίω έσα σε διαεριέα ελιά είαι ίσος ε το αριθό τω συδυασώ τω αά ε επαάληψη 5 ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η προϋπόθεση του ισοπιθάου τω περιπτώσεω ή στοιχειωδώ περιοχώ που απαιτού τόσο ο λασιός ορισός της πιθαότητας όσο αι η γεωετριή επέτασή του περιορίζει σηατιά το πεδίο εφαρογώ της Θεωρίας τω Πιθαοτήτω Έτσι σε στοχαστιά πειράατα ή φαιόεα ε πεπερασέο δειγατιό χώρο στο οποίο τα δειγατιά σηεία δε είαι ισοπίθαα ή ε αριθησίως άπειρο δειγατιό χώρο όπως για παράδειγα η εποπή σωατιδίω από ραδιεεργό ουσία δε πορεί α εφαροσθεί ο λασιός ορισός της πιθαότητας Επίσης σε στοχαστιά πειράατα ή φαιόεα ε η αριθήσιο δειγατιό χώρο στο οποίο οι στοιχειώδεις περιοχές δε είαι ισοπίθαες όπως για παράδειγα ο χρόος ζωής ιας ηχαής δε πορεί α εφαροσθεί ο γεωετριός ορισός της πιθαότητας Ο Von Mses στη προσπάθειά του α ατιετωπίσει το πρόβληα ορισού πιθαότητας σε οποιουσδήποτε δειγατιούς χώρους διατύπωσε το αόλουθο επειριό ορισό της πιθαότητας Ας υποθέσουε ότι έα στοχαστιό πείραα ή φαιόεο ε δειγατιό χώρο Ω πορεί α επααληφθεί άτω από τις ίδιες συθήες απεριόριστο αριθό φορώ αι ας θεωρήσουε έα οποιοδήποτε εδεχόεο Ω Έστω ότι σε επααλήψεις του στοχαστιού πειράατος ή φαιοέου το εδεχόεο Α έχει πραγατοποιηθεί Α φορές Η σχετιή συχότητα του Α δίδεται από τo λόγο n n Α Στη περίπτωση που υπάρχει το όριο της σχετιής συχότητας ότα το τείει στο άπειρο τούτο ορίζει σύφωα ε το Von Mses τη πιθαότητα του Α: n Α lm 5 Σηειώουε ότι όπως εύολα πορεί α διαπιστωθεί αι η επειριή πιθαότητα είαι α η αρητιή : για άθε εδεχόεο Ω β οραλισέη : Ω γ προσθετιή : B B για οποιαδήποτε ξέα εδεχόεα Α αι Β Ω Η υπόθεση ότι έα στοχαστιό πείραα πορεί α επααληφθεί άτω από τις ίδιες συθήες απεριόριστο αριθό φορώ αποτέλεσε το σηείο ριτιής του επειριού ορισού της πιθαότητας Επίσης η σύγλιση στη 5 δε πορεί α οηθεί ε τη απόλυτη αθηατιή έοια αλλά ε πιθαότητα όπως θα δούε στα θεωρήατα σύγλισης

15 4 6 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Επέταση του λασιού ορισού της πιθαότητας εδεχοέου τόσο στη περίπτωση πεπερασέου δειγατιού χώρου ε όχι ατ αάγη ισοπίθαα δειγατιά σηεία όσο αι στις περιπτώσεις αριθησίου ή η αριθησίου δειγατιού χώρου επιτυγχάεται ε το αξιωατιό ορισό της πιθαότητας Ο ορισός αυτός είαι αρετά γειός αι εσωατώει ως ειδιή περίπτωση τη λασιή πιθαότητα αι ως οριαό θεώρηα τη επειριή πιθαότητα Ορισός 6 Έστω Ω έας δειγατιός χώρος στοχαστιού τυχαίου πειράατος ή φαιοέου Μια συάρτηση η οποία σε άθε εδεχόεο Ω ατιστοιχεί εχωρεί έα πραγατιό αριθό αλείται πιθαότητα α ιαοποιεί τα αξιώατα συθήες: α η αρητιότητας: για άθε εδεχόεο Ω β οραλισού: Ω γ αριθήσιης προσθετιότητας: L L L L για οποιαδήποτε αολουθία ατά ζεύγη ξέω εδεχοέω Ω Παρατήρηση 6 Στη περίπτωση πεπερασέου δειγατιού χώρου Ω ατί του αξιώατος της αριθήσιης προσθετιότητας αρεί το ασθεέστερο αξίωα γ προσθετιότητας : B B για οποιαδήποτε ξέα αοιβαίως απολειόεα εδεχόεα B Ω από το οποίο συάγεται επαγωγιά η σχέση L L για οποιαδήποτε ατά ζεύγη ξέα εδεχόεα Ω Σηειώουε ότι ο αξιωατιός ορισός της πιθαότητας δε αθορίζει άποια έφραση τύπο υπολογισού της συάρτησης πιθαότητας για άθε εδεχόεο Ω Απλώς περιορίζεται στο αθορισό τω συθηώ που πρέπει α ιαοποιεί η συάρτηση Ω για α είαι πιθαότητα Η ύπαρξη πρόσθετω στοιχείω σχετιώ ε το δειγατιό χώρο Ω αι τις πιθαότητες τω στοιχειωδώ εδεχοέω του δύαται α οδηγήσει στο προσδιορισό ιας έφρασης τύπου υπολογισού της πιθαότητας οποιουδήποτε εδεχοέου Τέτοιες περιπτώσεις εξετάζουε στα επόεα παραδείγατα Παράδειγα 6 Πεπερασέοι δειγατιοί χώροι Ας θεωρήσουε έα πεπερασέο δειγατιό χώρο Ω ω ω ω } ε Ν Ω Ν αι έστω { Ν Α { ω ω ω } Ω έα οποιοδήποτε εδεχόεο Η πιθαότητα δύαται α εφρασθεί συαρτήσει τω πιθαοτήτω τω στοιχειωδώ εδεχοέω του Ω: { ω } p N Συγεριέα χρησιοποιώτας το ότι ω } { ω } L { ω } συάγουε σύφωα ε το αξίωα της προσθετιότητας τη έφραση { { ω } { ω } L { ω }

16 5 αι έτσι p p L p Σηειώουε ότι σύφωα ε το αξίωα του οραλισού αι επειδή Ρ Ω p p L p N οι πιθαότητες τω στοιχειωδώ εδεχοέω ιαοποιού τη σχέση p p L p N Συπερασατιά στη περίπτωση πεπερασέου δειγατιού χώρου η γώση τω πιθαοτήτω τω στοιχειωδώ εδεχοέω επιτρέπει το υπολογισό της πιθαότητας οποιουδήποτε εδεχοέου Οι αρχιές αυτές πιθαότητες δύαται α προύψου από τη εξέταση αι αάλυση τω συθηώ αι τω οργάω ετέλεσης του συγεριέου στοχαστιού πειράατος Αξίζει α σηειωθεί ότι στη περίπτωση ισοπιθάω δειγατιώ σηείω η αωτέρω έφραση της πιθαότητας p { ω} N N απλοποιείται λαβάοτας τη ορφή N N η οποία συφωεί ε το λασιό ορισό της πιθαότητας Παράδειγα 6 Ας θεωρήσουε το τυχαίο πείραα της ρίψης εός ύβου Καταγράφοτας τη έδειξη της επάω έδρας του ύβου ο δειγατιός χώρος του τυχαίου αυτού πειράατος είαι το σύολο Ω {3456} ε Ν Ν Ω 6 δειγατιά σηεία α Στη περίπτωση συήθους ύβου ο οποίος είαι συετριός αι ατασευασέος από οοιογεές υλιό όλες οι έδρες έχου τη ίδια πιθαότητα εφάισης: p j { j} j H πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοέου Α δίδεται τότε από το τύπο N 6 της λασιής πιθαότητας Έτσι α Α είαι το εδεχόεο εφάισης αριθού εγαλύτερου ή ίσου του 5 τότε {56} αι N οπότε 3 β Στη περίπτωση ύβου ε αοοιογεές υλιό ατασευής τέτοιο ώστε η πιθαότητα εφάισης οποιασδήποτε έδρας α είαι αάλογη του αριθού τω ουίδω που φέρει τότε p j { j} cj j 345 6

17 6 όπου c ο συτελεστής ααλογίας Όως p p p3 p4 p5 p6 οπότε c αι έτσι c / Εποέως η πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοέου j j j } Ω δίδεται από το τύπο { j j L Έτσι α Α είαι το εδεχόεο εφάισης αριθού εγαλυτέρου ή ίσου του 5 τότε {56} αι 5 6 Στηριζόεοι στα αξιώατα α β αι γ αποδειύουε στα επόεα θεωρήατα βασιές ιδιότητες της πιθαότητας Θεώρηα 6 α Α είαι το αδύατο εδεχόεο ως προς το δειγατιό χώρο Ω τότε 6 β Α Ω είαι ατά ζεύγη ξέα αοιβαίως απολειόεα εδεχόεα τότε γ Α Ω τότε δ Α αι α αι ε Α j L L 6 είαι το συπλήρωα εός εδεχοέου Α ως προς το δειγατιό χώρο B Ω B τότε B Ω 63 είαι οποιαδήποτε εδεχόεα τότε B B 64 B B 65 είαι οποιαδήποτε εδεχόεα τότε B B B 66 B B B 67 Απόδειξη α Θέτοτας έχουε L L αι χρησιοποιώτας το αξίωα γ συάγουε τη σχέση L L L L L L Επιπλέο σύφωα ε το αξίωα α έχουε Εποέως η σειρά η αρητιώ όρω L L

18 7 είαι ηδειή οπότε β Ας θεωρήσουε αι τα εδεχόεα Τότε χρησιοποιώτας το αξίωα γ αι τη 6 συπεραίουε ότι L L L L L L γ Παρατηρούε ότι τα εδεχόεα Α αι είαι ξέα αοιβαίως απολειόεα αι Ω Εποέως χρησιοποιώτας τη 6 ε αι το αξίωα β συάγουε τη σχέση Ω η οποία συεπάγεται τη 63 δ Παρατηρούε ότι τα εδεχόεα Β Α Β Α είαι ξέα εταξύ τους: B B B B αι επιπλέο ] [ ] [ B B B B B B B B B ] [ Εποέως χρησιοποιώτας τη 6 ε συάγουε τη ] [ B B B B αι έτσι B B B Στη περίπτωση που έχουε B B B αι εποέως B B ε Τα εδεχόεα B B αι Β είαι ξέα B B αι B Εποέως σύφωα ε τη 6 B B ] [ B B B B B αι χρησιοποιώτας τη 65 συάγουε τη 66 Επειδή B B εφαρόζοτας τη 63 συπεραίουε τη 67 Η πιθαότητα της έωσης τριώ οποιωδήποτε εδεχοέω συάγεται ε τη χρησιοποίηση της 66 στο αόλουθο πόρισα Πόρισα 6 Α είαι οποιαδήποτε εδεχόεα τότε Ω Γ B BΓ BΓ Γ B Γ B Γ B 68 αι BΓ BΓ Γ B Γ B B Γ 69 Απόδειξη Η πιθαότητα της έωσης τω εδεχοέω B αι Γ σύφωα ε τη 66 εφράζεται ως εξής: ] [ ] [ Γ B Γ B Γ B ] [ BΓ Γ Γ B B

19 8 Επίσης σύφωα αι πάλι ε τη 66 [ Γ BΓ] Γ BΓ BΓ αι έτσι συάγεται η έφραση 68 Επειδή B Γ B Γ εφαρόζοτας τη 63 συπεραίουε τη 69 Θεώρηα 6 Η πιθαότητα Ω λαβάει τιές στο διάστηα [ ] : αι είαι αύξουσα συάρτηση: για άθε Ω 6 Β για άθε B Ω ε B 6 Απόδειξη Παρατηρούε ότι σύφωα ε το αξίωα α της η αρητιότητας έχουε για άθε Ω οπότε χρησιοποιώτας αι τη 63 συάγουε τη 6 Επίσης σύφωα ε το αξίωα α της η αρητιότητας η πιθαότητα του εδεχοέου B Ω είαι η αρητιή αι επειδή σύφωα ε τη 65 εφόσο B συάγουε τη 6 B B B Οι βασιές ιδιότητες της πιθαότητας που αποδείχθηα στο θεώρηα 6 αι στο Πόρισα 6 ετός από το θεωρητιό εδιαφέρο που παρουσιάζου είαι αι υπολογιστιά χρήσιες όπως φαίεται στα επόεα παραδείγατα Παράδειγα 63 Ας θεωρήσουε ία σειρά τριώ γεήσεω σ έα αιευτήριο αι το εδεχόεο Β της γέησης εός τουλάχιστο αγοριού Υποθέτοτας ότι η γέηση αγοριού είαι εξίσου πιθαή ε τη γέηση οριτσιού α υπολογισθεί η πιθαότητα B Παρατηρούε ότι συπληρωατιό του εδεχοέου Β είαι το εδεχόεο B της γέησης οριτσιού αι στις τρεις περιπτώσεις Η πιθαότητα B υπολογίζεται πιο εύολα από τη B Συγεριέα ο δειγατιός χώρος περιλαβάει 8 ισοπίθαα δειγατιά σηεία βλ Παράδειγα 3 από τα οποία όο έα αήει στο B αι έτσι B αι σύφωα ε τη 63 παίρουε 7 B B 8 8 Έας άλλος τρόπος υπολογισού της πιθαότητας B είαι α θεωρήσουε το εδεχόεο Β ως έωση τω ατά ζεύγη ξέω εδεχοέω αι 3 της γέησης αι 3 αγοριώ ατίστοιχα Τότε B

20 9 Παράδειγα 64 Το πρόβληα τω γεεθλίω Ας θεωρήσουε έα σύολο ατόω τω οποίω αταγράφουε τα γεέθλια Σηειώουε ότι έα έτος έχει 365 ηέρες ετός αι α είαι δίσετο οπότε έχει 366 ηέρες Επίσης έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθός τω γεήσεω δε είαι σταθερός αθ όλη τη διάρεια του έτους Όως σε πρώτη προσέγγιση πορούε α θεωρήσουε ότι έα έτος έχει 365 ηέρες οι οποίες είαι εξίσου πιθαές ως ηέρες γεεθλίω Με τη παραδοχή αυτή α υπολογισθεί η πιθαότητα όπως δύο τουλάχιστο από τα άτοα έχου γεέθλια τη ίδια ηέρα Παρατηρούε ότι οι ηέρες τω γεεθλίω του συόλου τω ατόω πορού α παρασταθού από ία διάταξη του συόλου τω 365 ηερώ { 365} αά ε επαάληψη όπου είαι η ηέρα γέησης του ατόου Ο δειγατιός χώρος Ω ο οποίος περιλαβάει τις διατάξεις αυτές έχει N Ω 365 ισοπίθαα δειγατιά σηεία Έστω Α το εδεχόεο όπως δύο τουλάχιστο από τα άτοα έχου γεέθλια τη ίδια ηέρα Το συπληρωατιό του εδεχοέου Α είαι το εδεχόεο όπως τα άτοα έχου διαφορετιές ηέρες γεεθλίω Παρατηρούε ότι η πιθαότητα υπολογίζεται πιο εύολα από τη πιθαότητα Συγεριέα το εδεχόεο περιλαβάει τις διατάξεις του συόλου τω 365 ηερώ { 365} αά χωρίς επαάληψη αι έτσι Ν Α 365 Εφαρόζοτας τη 6 συάγουε τη πιθαότητα αι σύφωα ε τη 65 συπεραίουε τη ζητουέη πιθαότητα: Σηειώουε ότι για 3 έχουε > / Παράδειγα 65 Έστω ότι από ία ληρωτίδα η οποία περιέχει σφαιρίδια αριθηέα από το έχρι το 9 ληρώεται άθε εβδοάδα έας αριθός Μετά από άθε λήρωση το εξαγόεο σφαιρίδιο επαατοποθετείται στη ληρωτίδα Ας θεωρήσουε το στοχαστιό πείραα 3 διαδοχιώ ληρώσεω Να υπολογισθεί η πιθαότητα του εδεχοέου όπως ο εγαλύτερος αριθός που θα ληρωθεί είαι το 5 Το εδεχόεο όπως ο εγαλύτερος αριθός που θα ληρωθεί είαι το 5 δύαται α παρασταθεί ως διαφορά B του εδεχοέου Α όπως ο εγαλύτερος αριθός που θα ληρωθεί είαι έας από τους αριθούς { 3 45} αι του εδεχοέου Β όπως ο εγαλύτερος αριθός που θα ληρωθεί είαι έας από τους αριθούς { 34} Παρατηρούε ότι B αι σύφωα ε τη 65 B B Ο αριθός τω στοιχείω του δειγατιού χώρου Ω τω 3 διαδοχιώ ληρώσεω 3 είαι ίσος ε N Ω το αριθό τω διατάξεω τω αριθώ { 9} αά 3 ε επαάληψη εώ ο αριθός τω στοιχείω του εδεχοέου Α είαι ίσος ε 3 Ν Α 6 το αριθό τω διατάξεω τω 6 αριθώ { 34 5} αά 3 ε επαάληψη Οοίως ΝΒ 3 5 αι έτσι

21 3 6 5 B Παράδειγα 66 Συέχεια Να υπολογισθεί η πιθαότητα του εδεχοέου α ληρωθού οι αριθοί αι από ία τουλάχιστο φορά ο αθέας Ας θεωρήσουε τα εδεχόεα Α αι Β α η ληρωθού οι αριθοί αι ατίστοιχα Τότε B είαι το εδεχόεο α ληρωθού οι αριθοί αι από ία τουλάχιστο φορά ο αθέας αι σύφωα ε τη 67 B B B Ο αριθός τω στοιχείω του εδεχοέου Α είαι ίσος ε N 9 το αριθό τω διατάξεω τω 9 αριθώ {9} αά 3 ε επαάληψη ο αριθός τω 3 στοιχείω του Β είαι ίσος ε N B 9 το αριθό τω διατάξεω τω 9 αριθώ {39} αά 3 ε επαάληψη αι ο αριθός τω στοιχείω του B είαι ίσος ε 3 N B 8 το αριθό τω διατάξεω τω 8 αριθώ {39} αά 3 ε επαάληψη Εποέως B ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η αάγη εισαγωγής της δεσευέης πιθαότητας ααφύεται στις περιπτώσεις όπου ία εριή γώση ως προς τη έβαση εός τυχαίου στοχαστιού πειράατος ειώει τη αβεβαιότητα συρριώοτας το δειγατιό χώρο Συγεριέα ας θεωρήσουε έα τυχαίο πείραα ε δειγατιό χώρο Ω αι πιθαότητα για άθε εδεχόεο Ω Ας υποθέσουε ότι σε άποιο στάδιο ετέλεσής του πραγατοποιήθηε έα συγεριέο εδεχόεο Ω Τότε όσο αφορά τη τελιή του έβαση ο δειγατιός χώρος συρριώεται στο σύολο Α αι έα οποιοδήποτε εδεχόεο Β ως προς το δειγατιό χώρο Ω συρριώεται στο εδεχόεο Γ B το οποίο συβολίζεται ε B αι διαβάζεται: το εδεχόεο Β δεδοέου του εδεχοέου Α Η πιθαότητα του εδεχοέου Β δεδοέου του Α η οποία συβολίζεται ε B Β Ω αι αλείται δεσευέη πιθαότητα δεδοέου του Α συδέεται όπως είαι φυσιό ε τις πιθαότητες αι B Το επόεο παράδειγα χρησιεύει στη αλύτερη αταόηση του πλαισίου στο οποίο τοποθετείται η δεσευέη πιθαότητα Παράδειγα 7 Ας θεωρήσουε ία ληρωτίδα η οποία περιέχει 5 σφαιρίδια αριθηέα από το έχρι το 5 Τα σφαιρίδια αι είαι άσπρα εώ τα σφαιρίδια 3 4 αι 5 είαι αύρα α Έστω ότι σε ία πρώτη λήρωση έα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία αι ας θεωρήσουε το εδεχόεο Α εξαγωγής σ αυτή άσπρου σφαιριδίου Ο δειγατιός χώρος του τυχαίου αυτού πειράατος περιλαβάει τα ισοπίθαα δειγατιά σηεία: Ω { 3 45} αι το εδεχόεο της εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου περιλαβάει τα σηεία: { } Εποέως σύφωα ε το λασιό ορισό της πιθαότητας 3 5 5

22 β Έστω ότι χωρίς επαάθεση στη ληρωτίδα του σφαιριδίου που εξάγεται στη πρώτη λήρωση σε ία δεύτερη λήρωση έα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία αι ας θεωρήσουε το εδεχόεο Β εξαγωγής σ αυτή άσπρου σφαιριδίου O υπολογισός της πιθαότητας B απαιτεί τη γώση της σύθεσης τω σφαιριδίω στη ληρωτίδα τη στιγή της εξαγωγής του δευτέρου σφαιριδίου Συγεριέα η γώση της πραγατοποίησης ή η πραγατοποίησης του εδεχοέου Α ατά τη πρώτη εξαγωγή επιτρέπει το υπολογισό της πιθαότητας B σύφωα ε το θεώρηα της ολιής πιθαότητας το οποίο εξετάζουε πιο άτω Το παράδειγα αυτό υποδειύει τη αάγη εισαγωγής της δεσευέης πιθαότητας B του εδεχοέου Β δεδοέου του Α Περαιτέρω η σύδεση της πιθαότητας B ε τις πιθαότητες αι B η οποία συάγεται από τη σύθεση τω δύο ληρώσεω στο αόλουθο σύθετο τυχαίο πείραα υποδειύει το ορισό της δεσευέης πιθαότητας έσω της η δεσευέης πιθαότητας γ Έστω ότι από τη αωτέρω ληρωτίδα εξάγοται τυχαία δύο σφαιρίδια το έα ετά το άλλο χωρίς επαάθεση Ο δειγατιός χώρος Ω του σύθετου αυτού τυχαίου πειράατος περιλαβάει τα εξής N N Ω 5 ισοπίθαα δειγατιά σηεία: Ω { } To εδεχόεο Α ως προς το δειγατιό χώρο Ω εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στη πρώτη λήρωση περιλαβάει τα αόλουθα N 8 δειγατιά σηεία: {345345} εώ τo εδεχόεο Β ως προς το δειγατιό χώρο Ω εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στη δεύτερη λήρωση περιλαβάει τα αόλουθα N B 8 δειγατιά σηεία: B {334455} Έτσι σύφωα ε το λασιό ορισό της πιθαότητας η πιθαότητα πραγατοποίησης του εδεχοέου Α είαι ίση ε N 8 N 5 σε συφωία ε το αποτέλεσα της περίπτωσης του τυχαίου πειράατος της ιας πρώτης λήρωσης Ας υποθέσουε ότι στη πρώτη λήρωση του συθέτου τυχαίου πειράατος πραγατοποιήθηε το εδεχόεο Α της εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου Η γώση της πραγατοποίησης του Α ειώει τη αβεβαιότητα ως προς τη τελιή έβαση του συθέτου τυχαίου πειράατος συρριώοτας το δειγατιό χώρο Ω στο σύολο Α αι το εδεχόεο Β στο εδεχόεο B {} ε N B Εποέως η δεσευέη πιθαότητα του Β δεδοέου του Α είαι ίση ε N B B N 8 4

23 Παρατηρούε ότι χρησιοποιώτας τις σχέσεις N B B N συάγουε για τη δεσευέη πιθαότητα τη έφραση B B N N Σηειώουε ότι σύφωα ε το λασιό ορισό η η δεσευέη πιθαότητα του Β είαι ίση ε N B 8 B N 5 Η πιθαότητα αυτή τόσο στη παρούσα περίπτωση του πεπερασέου δειγατιού χώρου Ω ε ισοπίθαα δειγατιά σηεία όσο αι σε οποιαδήποτε γειότερη περίπτωση όπως ααφέρθηε αι πιο πάω δύαται α υπολογισθεί ε τη χρήση του θεωρήατος της ολιής πιθαότητας βλ Παράδειγα 73 Ο ορισός της δεσευέης πιθαότητας που αολουθεί αξιοποιεί τα συπεράσατα της προηγηθείσας αάλυσης Ορισός 7 Έστω Ω έας δειγατιός χώρος στοχαστιού τυχαίου πειράατος ή φαιοέου αι Ω έα εδεχόεο ε > Η δεσευέη πιθαότητα δεδοέου του Α είαι ία συάρτηση B B Ω η οποία ορίζεται ως εξής: B B B Ω 7 Ότα η B δε ορίζεται Για συγεριέο εδεχόεο B Ω η B αλείται δεσευέη πιθαότητα του Β δεδοέου του Α Αεση συέπεια του ορισού είαι ότι η δεσευέη πιθαότητα ιαοποιεί τα αξιώατα α η αρητιότητας: B για άθε εδεχόεο B Ω β οραλισού: Ω γ αριθήσιης προσθετιότητας: B B L B L B B L B L για οποιαδήποτε αολουθία ατά ζεύγη ξέω εδεχοέω B Ω αι έτσι είαι ια γήσια πιθαότητα Σηειώουε ότι από τη ιδιότητα γ συάγεται ως εριή περίπτωση η σχέση B B L B B B L B για ατά ζεύγη ξέα αοιβαίως απολειόεα εδεχόεα B Ω Η δεσευέη πιθαότητα ως γήσια πιθαότητα ιαοποιεί όλες τις ιδιότητες της πιθαότητας Για παράδειγα α B είαι το συπλήρωα εός εδεχοέου Β η δεσευέη πιθαότητα B B / επειδή B B εφράζεται συαρτήσει της δεσευέης πιθαότητας B B / ως B B

24 3 Η δεσευέη πιθαότητα πορεί α χρησιοποιηθεί για τη έφραση της πιθαότητας της τοής εδεχοέω Σχετιά αποδειύουε το επόεο θεώρηα Θεώρηα 7 Πολλαπλασιαστιό θεώρηα Έστω Ω εδεχόεα ε Τότε > L 3 L L L 7 Απόδειξη Παρατηρούε ότι L L L οπότε L L L αι επειδή έπεται ότι > L > > > L Εποέως οι δεσευέες πιθαότητες στο δεξιό έλος της 7 έχου έοια ορίζοται Σύφωα ε το ορισό 7 έχουε 3 3 L L L αι εποέως 3 L L L L 3 L L Παράδειγα 73 Ας θεωρήσουε ία ληρωτίδα η οποία περιέχει σφαιρίδια αριθηέα από το έχρι το αι έστω ότι από τα σφαιρίδια αυτά είαι άσπρα Εξάγουε τυχαία αι χωρίς επαάθεση το έα ετά το άλλο σφαιρίδια Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως αι τα εξαγόεα σφαιρίδια είαι άσπρα Έστω το εδεχόεο εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στη j εξαγωγή Τότε είαι το εδεχόεο όπως αι τα εξαγόεα σφαιρίδια είαι άσπρα αι η ζητουέη πιθαότητα σύφωα ε τη 7 είαι j j L L L L L Στη περίπτωση του Ελληιού Lotto η ληρωτίδα περιέχει 49 σφαιρίδια αι ληρώοται αριθοί Τα σφαιρίδια φέρου τους αριθούς στους οποίους στοιχηατίζει άποιος Έτσι α στοιχηατίσει σε 6 6 αριθούς η πιθαότητα α πετύχει αι τους 6 αριθούς που ληρώοται είαι p

25 4 Η πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοέου δύαται α ααλυθεί σε άθροισα πιθαοτήτω ε τη χρησιοποίηση δεσευέω πιθαοτήτω του εδεχοέου αυτού Η αάλυση αυτή απαιτεί τη έοια της διαέρισης του δειγατιού χώρου Ω η οποία ορίζεται ως εξής: Μία συλλογή } εδεχοέω Ω τα οποία είαι ατά ζεύγη ξέα { j αι η έωσή τους είαι το Ω L Ω αλείται διαέριση του Ω j Θεώρηα 7 Θεώρηα ολιής πιθαότητας Α τα εδεχόεα { } αποτελού ία διαέριση του δειγατιού χώρου Ω ε > αι Β είαι έα εδεχόεο στο Ω τότε Απόδειξη Παρατηρούε ότι B B 73 B ΩΒ B B B L B όπου τα εδεχόεα Γ B επειδή για L είαι ατά ζεύγη ξέα εταξύ τους j Γ Γ B Εποέως σύφωα ε τη προσθετιή j j ιδιότητα της πιθαότητας έχουε Επειδή B B B L B > από το ορισό της δεσευέης πιθαότητας έπεται ότι οπότε B B B B B L B Παρατήρηση 7 Η δεσευέη πιθαότητα όπως έχουε ήδη σηειώσει ιαοποιεί όλες τις ιδιότητες της απόλυτης πιθαότητας Ο τύπος της ολιής πιθαότητας διατυπώεται συαρτήσει της δεσευέης πιθαότητας ως εξής: Έστω Α έα εδεχόεο στο δειγατιό χώρο Ω ε > Α τα εδεχόεα { } αποτελού ία διαέριση του Ω ε > αι Β είαι έα εδεχόεο στο Ω τότε B B 74 Θεώρηα 73 Τύπος του Bayes τα εδεχόεα { } αποτελού ία διαέριση του δειγατιού χώρου Ω ε > αι Β είαι έα εδεχόεο στο Ω ε B > τότε B B 75 B

26 5 Απόδειξη Χρησιοποιώτας το ορισό της δεσευέης πιθαότητας αι το θεώρηα της ολιής πιθαότητας παίρουε B B B B B Παρατήρηση 7 Οι πιθαότητες που γωρίζουε πρι από τη ετέλεση του τυχαίου πειράατος αλούται αι ε τω προτέρω a po πιθαότητες εώ οι δεσευέες πιθαότητες B που υπολογίζουε ε δεδοέη τη πραγατοποίηση του εδεχοέου Β αι εποέως ετά τη ετέλεση του τυχαίου πειράατος αλούται αι ε τω υστέρω a posteo πιθαότητες Παράδειγα 73 Οι ηλετριοί λαπτήρες προωθούται στη αγορά συσευασέοι σε χαρτοιβώτια τω 5 λαπτήρω Ας υποθέσουε ότι από έα χαρτοιβώτιο που περιέχει ελαττωατιούς λαπτήρες εξάγοται χωρίς επαάθεση λαπτήρες Να υπολογισθού α η πιθαότητα εξαγωγής ελαττωατιού λαπήρα στη δεύτερη εξαγωγή αι β η δεσευέη πιθαότητα α είχε εξαχθεί ελαττωατιός λαπήρας στη πρώτη εξαγωγή δεδοέου ότι εξήχθει ελαττωατιός λαπήρας στη δεύτερη εξαγωγή α Ας θεωρήσουε τα εδεχόεα Α αι Β εξαγωγής ελαττωατιού λαπτήρα στη πρώτη αι δεύτερη εξαγωγή ατίστοιχα Τότε η πιθαότητα του εδεχοέου εξαγωγής ελαττωατιού λαπήρα στη δεύτερη εξαγωγή υπολογίζεται ε τη χρησιοποίηση του θεωρήατος της ολιής πιθαότητας ως εξής: 3 3 B B B β Η δεσευέη πιθαότητα α είχε εξαχθεί ελαττωατιός λαπήρας στη πρώτη εξαγωγή δεδοέου ότι εξήχθει ελαττωατιός λαπήρας στη δεύτερη εξαγωγή υπολογίζεται ε τη χρησιοποίηση του τύπου του Bayes ως εξής: B B B B Παράδειγα 74 Ας θεωρήσουε έα τηλεπιοιωιό σύστηα αποτελούεο από έα ποπό έα ααεταδότη αι έα δέτη Ο ποπός στέλλει τα σήατα στο δυαδιό σύστηα στο οποίο τα γράατα του αλφαβήτου είαι αολουθίες από αι Ο ααεταδότης αι ο δέτης λόγω θορύβου λαβάου το σήα ως σήα ε πιθαότητα αι το σήα ως σήα ε πιθαότητα 3 Να υπολο-γισθού οι δεσευέες πιθαότητες λήψης από το δέτη α του σήατος αι β του σήατος δεδοέης σε αφότερες τις περιπτώσεις της αποστολής από το ποπό του σήατος α Ας θεωρήσουε το εδεχόεο αποστολής από το ποπό του σήατος το εδεχόεο λήψης από το ααεταδότη του σήατος αι το εδεχόεο λήψης από το δέτη του σήατος Η δεσευέη πιθαότητα λήψης από το δέτη του σήατος δεδοέης της αποστολής από το ποπό του σήατος σύφωα ε το τύπο της ολιής πιθαότητας 74 δίδεται απότη: 3 5

27 6 αι επειδή β Η δεσευέη πιθαότητα λήψης από το δέτη του σήατος δεδοέης της αποστολής από το ποπό του σήατος δίδεται από τη ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Ας θεωρήσουε έα δειγατιό χώρο Ω αι δύο εδεχόεα B Ω Από το ορισό της δεσευέης πιθαότητας συάγουε ότι α α τα εδεχόεα Α αι Β είαι ξέα εταξύ τους B τότε B επειδή δεδοέης της πραγατοποίησης του εδεχοέου Α απολείεται η πραγατοποίηση του εδεχοέου Β εώ β α το εδεχόεο Α είαι υποεδεχόεο του εδεχοέου Β B τότε B επειδή η πραγατοποίηση του εδεχοέου Α συεπάγεται τη πραγατοποίηση αι του εδεχοέου Β Αυτές είαι οι δύο αραίες περιπτώσεις όπου η γώση της πραγατοποίησης του εδεχοέου Α ας παρέχει ία πολύ θετιή πληροφορία για τη πιθαότητα πραγατοποίησης του εδεχοέου Β Υπάρχου όως αι περιπτώσεις στις οποίες η γώση της πραγατοποίησης εός εδεχοέου Α δε έχει αιά επίδραση στη πραγατοποίηση ή η του εδεχοέου Β δηλαδή B B Στη περίπτωση αυτή το εδεχόεο Β αλείται στοχαστιώς αεξάρτητο του εδεχοέου Α Επειδή σύφωα ε το πολλαπλασιαστιό τύπο ισχύει B B B B στη περίπτωση που το εδεχόεο Β είαι στοχαστιώς αεξάρτητο του εδεχοέου Α έπεται ότι B B B B B δηλαδή αι το εδεχόεο Α είαι στοχαστιώς αεξάρτητο του εδεχοέου Β αι επιπλέο B B Με τη χρησιοποίηση της τελευταίας αυτής σχέσης εισάγεται η έοια της αεξαρτησίας δύο εδεχοέω Συγεριέα θέτουε το αόλουθο ορισό Ορισός 8 Έστω Ω έας δειγατιός χώρος στοχαστιού τυχαίου πειράατος ή φαιοέου αι B Ω Τα εδεχόεα Α αι Β αλούται στοχαστιώς αεξάρτητα α αι όο α ισχύει η σχέση B B 8 Παρατήρηση 8 Α δύο εδεχόεα Α αι Β είαι αεξάρτητα τότε αι τα εδεχόεα Α αι B είαι αεξάρτητα Τούτο συάγεται από το συδυασό τω εξής παρατηρήσεω: α Η αεξαρτησία τω εδεχοέω Α αι Β συεπάγεται ότι η

28 7 γώση της πραγατοποίησης του Α δε επιδρά στη πραγατοποίηση ή η του Β αι β η πραγατοποίηση του Β απολείει τη πραγατοποίηση του B Το συπέρασα αυτό πορεί α διαπιστωθεί ε τη χρησιοποίηση τω σχέσεω B B B B αι της υπόθεσης της αεξαρτησίας τω Α αι Β ως εξής: B B B B B [ B] B άλογα διαπιστώεται ότι στη περίπτωση αυτή αι τα εδεχόεα επίσης αι τα εδεχόεα αι B είαι αεξάρτητα B αι Β όπως Παράδειγα 8 Έστω ότι ία οιογέεια ε 3 παιδιά επιλέγεται τυχαία Ας θεωρήσουε το εδεχόεο Α όπως η επιλεγόεη οιογέεια έχει παιδιά αι τω δύο φύλω αι το εδεχόεο Β όπως έχει το πολύ έα ορίτσι Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόεα Α αι Β είαι αεξάρτητα Παρατηρούε ότι η τοή B είαι το εδεχόεο η επιλεγόεη οιογέεια α έχει αριβώς έα ορίτσι Εύολα υπολογίζοται οι πιθαότητες: 3 B Eποέως ισχύει η σχέση 8 αι τα εδεχόεα Α αι Β είαι αεξάρτητα Η έοια της στοχαστιής αεξαρτησίας εδεχοέω πορεί α επεταθεί για περισσότερα από δύο εδεχόεα Ας θεωρήσουε αρχιά τρία εδεχόεα 3 Ω αι ας υποθέσουε ότι είαι ατά ζεύγη αεξάρτητα οπότε ισχύου οι σχέσεις Η αεξαρτησία του τόσο από το όσο αι από το δε συεπάγεται ατ 3 αάγη τη αεξαρτησία του από τη τοή 3 βλ παράδειγα 8 Παρατηρούε ότι α επιπλέο τω 8 ισχύει αι η σχέση τότε ισχύει αι η σχέση ] 83 [ Ατίστροφα α επιπλέο τω 8 ισχύει αι η 84 τότε ισχύει αι η 83 όπως επίσης αι οι σχέσεις ] 85 [ 3 3 ] 86 [ 3 3

29 8 Μετά τις προαταρτιές αυτές παρατηρήσεις θέτουε το αόλουθο ορισό της στοχαστιής αεξαρτησίας εδεχοέω Ορισός 8 Έστω Ω έας δειγατιός χώρος στοχαστιού τυχαίου πειράατος ή φαιοέου αι Ω Τα εδεχόεα αλούται αοιβαίως ή πλήρως στοχαστιώς αεξάρτητα α αι όο α ισχύου οι σχέσεις L L 87 για άθε συδυασό { } τω δειτώ { } αά αι για άθε 3 Σύφωα ε το ορισό αυτό για τη αεξαρτησία 3 εδεχοέω απαιτείται α ισχύου οι σχέσεις 8 αι 84 Παράδειγα 8 Κατά ζεύγη αλλά όχι πλήρως αεξάρτητα εδεχόεα Ας θεωρήσουε δύο διαδοχιές ρίψεις εός συήθους ύβου αι έστω το εδεχόεο εφάισης άρτιου αριθού στη πρώτη ρίψη το εδεχόεο εφάισης άρτιου αριθού στη δεύτερη ρίψη αι 3 το εδεχόεο το άθροισα τω αριθώ που εφαίζοται στις δύο ρίψεις α είαι άρτιος αριθός Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόεα αι 3 είαι αεξάρτητα Ο δειγατιός χώρος Ω του τυχαίου πειράατος τω δύο ρίψεω του ύβου περιλαβάει N Ω 6 36 ισοπίθαα δειγατιά σηεία που είαι οι διατάξεις τω 6 αριθώ εδρώ { 6} αά ε επαάληψη Επίσης αι { } { } 3 { } { } Σύφωα ε το λασιό ορισό της πιθαότητας αι έτσι

30 9 εώ 3 3 Εποέως τα εδεχόεα αι 3 είαι ατά ζεύγη αεξάρτητα εώ δε είαι πλήρως αεξάρτητα Παράδειγα 83 Ας θεωρήσουε ία αολουθία τριώ ρίψεω εός συήθους οίσατος Έστω το εδεχόεο της εφάισης στη j ρίψη της όψης εφαλή j ορώα j 3 Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόεα αι 3 είαι αεξάρτητα Ο δειγατιός χώρος είαι το σύολο αι Επίσης Ω { γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ } { γ γ γ γ } { γ γ γ γ } { γ γ γ γ } 3 { γ } { γ } 3 { γ } { } 3 Σύφωα ε το λασιό ορισό της πιθαότητας αι έτσι Εποέως τα εδεχόεα αι 3 είαι πλήρως αεξάρτητα 9 ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΟΚΙΜΕΣ 3 3 Η έοια τω αεξαρτήτω δοιώ εός τυχαίου πειράατος αποτελεί βασιό στοιχείω τω περισσοτέρω στοχαστιώ προτύπω οτέλω που ελετά η Θεωρία τω Πιθαοτήτω Για τη εισαγωγή της έοιας αυτής ας θεωρήσουε αρχιά δύο τυχαία πειράατα ε δειγατιούς χώρους Ω αι Ω Η διαδοχιή ή αι ταυτόχροη ετέλεση τω δύο αυτώ τυχαίω πειραάτω ορίζει έα διδιάστατο σύθετο τυχαίο πείραα Έας ατάλληλος δειγατιός χώρος για τη ελέτη του τυχαίου αυτού πειράατος είαι το αρτεσιαό ή συδυαστιό γιόεο Ω Ω { ω ω : ω Ω ω Ω}

31 3 Έα διδιάστατο σύθετο τυχαίο πείραα το οποίο συίσταται στη διαδοχιή ετέλεση εός τυχαίου πειράατος ε δειγατιό χώρο Ω αλείται ειδιότερα αολουθία δύο δοιώ του τυχαίου αυτού πειράατος Στη ειδιή αυτή περίπτωση στη οποία Ω Ω αι Ω Ω ο δειγατιός χώρος είαι το αρτεσιαό γιόεο του Ω ε το εαυτό του Ω { ω ω : ω Ω } Ας θεωρήσουε έα εδεχόεο Ω ως προς το δειγατιό χώρο Ω Το εδεχόεο αυτό ως προς το δειγατιό χώρο Ω Ω του συθέτου πειράατος εφράζεται από το σύολο B Ω Ω όπου B Ω αι B Ω Τα εδεχόεα B αι B ααφέροται ως εδεχόεα εξαρτώ- εα από το πρώτο αι δεύτερο τυχαίο πείραα ατίστοιχα Ειδιότερα στη περίπτωση που Ω Ω αι Ω Ω τα εδεχόεα B αι B ααφέροται ως εδεχόεα εξαρτώεα από τη πρώτη αι δεύτερη δοιή του τυχαίου πειράατος ατίστοιχα Η πραγατοποίηση ή η του εδεχοέου B εξαρτάται απολειστιά από το αποτέλεσα του -οστού πειράατος ή της -οστής δοιής Η έοια της στοχαστιής αεξαρτησίας εδεχοέω εταφέρεται αι σε τυχαία πειρά- ατα αι ατά συέπεια αι σε δοιές τυχαίου πειράατος Συγεριέα έχουε: ύο τυχαία πειράατα ε δειγατιούς χώρους Ω αι Ω αλούται αεξάρτητα α αι όο α ισχύει η σχέση B B B 9 B για άθε B Ω αι B Ω εδεχόεα ως προς το δειγατιό χώρο Ω Ω εξαρτώεα από το πρώτο αι δεύτερο τυχαίο πείραα ατίστοιχα Η σηασία τω αεξαρτήτω τυχαίω πειραάτω αι ειδιότερα τω αεξαρτήτω δοιώ τυχαίου πειράατος έγειται υρίως στο ότι δύαται α χρησιοποιηθού για τη ατασευή χρησίω στοχαστιώ προτύπω οτέλω Στη περίπτωση αυτή δε αρχίζει άποιος ορίζοτας αξιωατιά τη πιθαότητα B για άθε εδεχόεο B Ω Ω αι ετά εξετάζοτας ατά πόσο ιαοποιείται η σχέση 9 διαπιστώει τη αεξαρτησία τω τυχαίω πειραάτω ή τω δοιώ του τυχαίου πειράατος Ατίθετα άλιστα ορίζοται πρώτα οι πιθαότητες για άθε εδεχόεο Ω αι ετά υποθέτοτας ότι τα τυχαία πειράατα είαι αεξάρτητα ορίζεται η πιθαότητα B για άθε εδεχόεο B Ω Ω έτσι ώστε α ισχύει η σχέση 9 Σηειώουε ότι από πρατιή άποψη η υπόθεση της αεξαρτησίας τω τυχαίω πειραάτω διατυπώεται ετά τη εξέταση τω συθηώ άτω από τις οποίες ετελούται αι σύφωα ε τα αποτελέσατα σειράς παρατηρήσεω Ο ορισός της πιθαότητας B για άθε εδεχόεο B Ω Ω έσω τω πιθαοτήτω για άθε εδεχόεο Ω στη περίπτωση που υποθέτουε ότι τα τυχαία πειράατα είαι αεξάρτητα επιτυγχάεται ως εξής: Αρχιά χρησιοποιώτας τη 9 ορίζεται η πιθαότητα για άθε στοιχειώδες εδεχόεο { ω } του δειγατιού χώρου Ω Ω : ω { ω ω } { ω} { ω}

32 3 Η πιθαότητα B για άθε εδεχόεο B Ω Ω ορίζεται τότε έσω της πιθαότητας τω στοιχειωδώ εδεχοέω από τη σχέση Παρατηρούε ότι α Επίσης αι έτσι B B αι ω ω B { ω ω } Ω B Ω τότε B B B B B B Οι αωτέρω έοιες αι συπεράσατα επετείοται χωρίς αιά περαιτέρω δυσολία σε οποιοδήποτε πεπερασέο αριθό τυχαίω πειραάτω ή δοιώ τυχαίου πειράατος Παράδειγα 9 Ας θεωρήσουε ια αολουθία 5 ρίψεω εός ζεύγους διαεριέω ύβω Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως σε τουλάχιστο ρίψεις ο αριθός που εφαίζει ο δεύτερος ύβος υπερβαίει το αριθό που εφαίζει ο πρώτος ύβος Ας θεωρήσουε αρχιά το τυχαίο πείραα της ρίψης εός ζεύγους διαεριέω ύβω ε δειγατιό χώρο Ω { j : 6 j 6} ο οποίος περιλαβάει N Ω 6 36 ισοπίθαα δειγατιά σηεία Το εδεχόεο Α όπως ο αριθός που εφαίζει ο δεύτερος ύβος υπερβαίει το αριθό που εφαίζει ο πρώτος ύβος { j : j 6 6} περιλαβάει N 5 δειγατιά σηεία Χαρατηρίζοτας ως επιτυχία ε το εδεχόεο Α αι ως αποτυχία α το συπληρωατιό εδεχόεο ο δειγατιός χώρος Ω δύαται α παρασταθεί ως Ω {α } Τότε ε 5 5 p { ε} 36 7 q { α} 36 Περαιτέρω ο δειγατιός χώρος του τυχαίου πειράατος ιας αολουθίας 5 ρίψεω εός ζεύγους διαεριέω ύβω είαι το Ω { ω ω ω3 ω4 ω5 : ω { α } 345 } 5 ε To εδεχόεο Β πραγατοποίησης επιτυχιώ σε 5 ρίψεις δοιές: περιλαβάει B { ω ω ω3 ω4 ω5 : ω ε για αριβώς δείτες { 3 45}} 5

33 3 δειγατιά σηεία όσα αι ο αριθός τω επιλογώ τω θέσεω για τις επιτυχίες από τις 5 συολιά θέσεις Επιπλέο άθε τέτοιο δειγατιό σηείο το οποίο περιλαβάει σε θέσεις το ε αι σε 5 θέσεις το α έχει πιθαότητα { ω ω ω3 ω4 ω5 } { ω} { ω} 3 { ω3} 4 { ω4} 5 { ω5} Εποέως η πιθαότητα p B δίδεται από τη p 5 Η πιθαότητα όπως σε τουλάχιστο ρίψεις ο αριθός που εφαίζει ο δεύτερος ύβος υπερβαίει το αριθό που εφαίζει ο πρώτος ύβος έστω Q η οποία είαι ίση ε τη πιθαότητα τουλάχιστο επιτυχιώ είαι ίση ε Q p p Παράδειγα 9 Nόος ληροοιότητας του Mendel Η ληροοιότητα χαρατηριστιώ οφείλεται σε ειδιούς φορείς αλουέους γοίδια Τα ύτταρα εός οργαισού ε εξαίρεση τους γαέτες που είαι τα ύτταρα ααπαραγωγής σπέρα ή ωάριο φέρου γοίδια ατά ζεύγη τα οποία είαι είτε του τύπου Α είτε του τύπου α Έτσι αάλογα ε τα ζεύγη τω γοιδίω που φέρου τα ύτταρα άθε οργαισός αήει σε έα από τους τρεις γοότυπους ΑΑ Αα αι αα δε υπάρχει διάριση εταξύ τω Αα αι αα Οι γαέτες φέρου έα όο γοίδιο που στη περίπτωση τω γοοτύπω ΑΑ αι αα είαι του τύπου Α αι α ατίστοιχα εώ στη περίπτωση του γοοτύπου Αα είαι εξίσου πιθαό α είαι του τύπου Α ή του τύπου α Τα παιδιά ληροοού από τους γοείς τους τα γοίδια έα από το αθέα Έστω ότι οι γοότυποι ΑΑ Αα αι αα εφαίζοται σε ποσοστά p q αι ατίστοιχα ε p q αεξάρτητα φύλου Οι πιθαότητες τω τριώ γοοτύπω ΑΑ Αα αι αα για οποιοδήποτε απόγοο γοέω που ελέγοται τυχαία δύαται α υπολογισθού ως εξής: Ας θεωρήσουε τα εδεχόεα αι 3 όπως έα αρσειό άτοο το οποίο ελέγεται τυχαία από το αρχιό πληθυσό είαι του γοοτύπου ΑΑ Αα αι αα ατίστοιχα αι τα εδεχόεα B B αι B3 όπως έα θηλυό άτοο το οποίο ελέγεται τυχαία από το αρχιό πληθυσό είαι του γοοτύπου ΑΑ Αα αι αα ατίστοιχα Επίσης ας θεωρήσουε τα εδεχόεα Α αι Β όπως έας απόγοος ζευγαρώατος δύο ατόω αρσειού αι θηλυού του αρχιού πληθυσού ληροοήσει το γοίδιο Α από το πατέρα αι τη ητέρα ατίστοιχα Τότε σύφωα ε το θεώρηα της ολιής πιθαότητας p q p q αι p q q εφ όσο p q Οοίως B p q B q