ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ. 1. Εισαγωγικά. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα περιεχόµενα στην ενότητα Γραµµικές Μορφές.

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ Εισαγωγιά Υποθέτουε ότι ο ααγώστης γωρίζει τα περιεχόεα στη εότητα Γραιές Μορφές Γειές υποθέσεις Συβοισοί Ο χώρος, στοιχεία του οποίου χρησιοποιούε, είαι έας γραιός (αυσατιός) χώρος V επί εός σώατος F, συήθως το σώα τω πραγατιώ αριθώ V είαι ο δυϊός χώρος του V, αι f γραιές ορφές που αποτεού τη δυϊή βάση της τυχούσης βάσεως { },, του V Έχουε, οιπό, ότι, f ( ) = δ Ορισός Η βάση τω βάσης { } του V f του V, αείται ατίστροφη βάση (recrocl ses) της Φαερά, για το τυχό x V, x = χ, ισχύου οι σχέσεις, f (x) = χ Θα δούε, τώρα, ε πιο τρόπο εταβάεται η δυϊή βάση, ότα στο χώρο V, αάξουε τη βάση, από { } σε { }, έσω εός η ιδιάζοτος ετασχηατισού, (βέπε εότητα Γραιές απειοίσεις 4, 5) που έχει πίαα Ρ Α ο ετασχηατισός ας είαι ο = ρ, δείξαε ότι, οι τειές συτεταγέες β του x = β συδέοται ε τις αρχιές συτεταγέες του x = α έσω τω σχέσεω = σ α + K + σ α σ α, όπου ο πίαας Q ( σ ) β = = είαι ο ατίστροφος του ααστρόφου του πίαα Ρ Ισχύου, δηαδή, οι σχέσεις (P Q = ), αι (Q P = ) Γράφουε αι ( ρ )( σ ) = δ, ως επίσης ( ρ )( σ ) = δ Ερχόαστε, τώρα, στο δυϊό χώρο V του V Με g θα συβοίζουε τα στοιχεία της ατιστρόφου βάσεως της βάσεως { }, αι ε f τα στοιχεία της ατιστρόφου βάσεως της βάσεως { } Ε V έχουε τις σχέσεις f ( ) = δ αι g ( ) = δ Ο γραιός ετασχηατισός της βάσεως { f } στη βάση { g }, έχει τη γειή ορφή g (x) = f (x) Θα πρέπει α υποογίσουε τα στοιχεία του πίαα ( ) Για το σοπό αυτό, εφαρόζουε το ετασχηατισό Τ στα στοιχεία f αι έχουε ότι, δ = g ( ) = g ( ρ ) = g ( ) ρ = f ( ) ρ = ρ f ( ) = ρ Είαι, δηαδή, ρ = δ Σε συβοισό πιάω, η σχέση αυτή γράφεται TP = I () Σηείωση Ότα από τους συβοισούς ε τους δείτες περάε σε συβοισούς ε πίαες, θα πρέπει α προσέχουε α ο αθροιζόεος δείτης αφορά οώες ή γραές, έτσι ώστε το γιόεο τω πιάω α είαι δυατό Εδώ, το αθροιζόεο στη σχέση ρ αφορά τις γραές του πίαα Ρ αι, συεπώς, ο τειά σηειού εος ποαπασιασός, για α είαι δυατός, πρέπει α γραφεί TP, αι όχι TP Η () δίδει αι τη T = (P ) = Q αι άρα, g (x) = σ f (x) Σηείωση Σχηατιά, έχουε τη εξής ατάσταση:

2 P V { } { } V V {f } { g } V Ότα, οιπό, οι βάσεις στο χώρο V αάζου ε το ετασχηατισό που έχει πίαα Ρ, οι ατίστροφες βάσεις του δυϊού χώρου αάζου ε έα ετασχηατισό, που έχει πίαα (P Q = ) (P ) Τη ατάσταση αυτή τη χαρατηρίζουε έγοτας ότι τα αύσατα του αυσατιού χώρου ετασχηατίζοται ε το ίδιο τρόπο, cor, (δείτες άτω), τα αύσατα του δυϊού χώρου (δείτες άω) ετασχη- ατίζοται ε αάστροφο ατίστροφο τρόπο corr Παρατηρούε ότι, τα στοιχεία του σώατος F, δε αοιώοται από τους ετασχηατισούς αυτούς Παραέου, δηαδή, r (ααοίωτα) Τα εγέθη αυτά χαρατηρίζοται ως οόετρα (sclr) εγέθη ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Έστω ο διαυσατιός χώρος V (F), d V =, αι F ο χώρος τω συτεταγέω του Έστω Τ έας η ιδιάζω γραιός ετασχηατισός του χώρου V στο εαυτό του Το x V απειοίζεται στο x = xt V Α ία βάση του V, έχουε ότι, T = ρ (προστίθεται τα στοιχεία-οώες), αι γράφουε ισοδύαα, = P, όπου έας πίαας, στοιχεία του οποίου είαι τα V αύσατα αι P έας πίαας, ο πίαας του Τ ως προς τη βάση Ας δούε πως ετασχηατίζεται η ειόα του x στο χώρο F Είαι, x = χ = χ Άρα, αι x = = χ T = χ ( ρ + ρ + K+ ρ ) + χ ( ρ + ρ + K+ ρ ) + K χ K+ χ ( ρ + ρ + K+ ρ ) = ( χ ρ + χ ρ + K+ χ ρ ) + K+ ( χ ρ + χ ρ + K+ χ ρ ) (προστίθεται τα στοιχεία-γραές) χ χ Στο χώρο τω συτεταγέω, οιπό, έχουε τη σχέση M = P M, ή χ χ X = P X Α Q ο ατίστροφος πίαας του πίαα Ρ, τότε, X = QX Άρα αι, Q cor τρόπο, τα στοιχεία του χώρου τω συτεταγέω ετασχηατίζοται ατά cor r τρόπο (P = ) Συπέρασα: Ότα τα στοιχεία του χώρου V ετασχηατίζοται ατά Συβοισοί, οροογία Συήθως, τα ατιείεα που θα αούε ταυστές παρίσταται ε πίαες Θα πρέπει α προσέχουε όως, τη θέση στη οποία βρίσοται οι εεύθεροι δείτες τω στοιχείω τους Γειός αώ: είτες άτω σηαίει cor ετασχηατισός είτες άω, σηαίει cor r ετασχηατισός Τα οόετρα εγέθη δε έχου εεύθερους δείτες Παράδειγα οι πίαες: ( ) = ( ) = ( ) =

3 Είαι εδεχόεο, όως, α εφαίζοται αι ταυστές ε περισσότερους δείτες, k όπως για παράδειγα ο, ο οποίος είαι έας, που ατιστοιχεί στους k k k ( ) = ( ) = ( ) = Ο ααγώστης ατααβαίει πέο τις περιπτώσεις που έχουε αόα πιο ποούς δείτες, αι άιστα α βρίσοται σε θέσεις πάω αι άτω Το γιόεο τω u αι,,, πιαοποιείται ατά το προφαή τρόπο: u u u u = u u u u u u Στη περίπτωση, που έχουε επαααβαόεο δείτη, αυτός οείται ότι αθροίζεται αι τειά εξαφαίζεται Παράδειγα: A A A A = A A A ( ) Εδώ έχουε α ποαπασιάσουε έα A A A πίαα επί έα Ο ποαπασιασός αυτός γίεται ατά το τρόπο που δείχουε: A A A A A A A + A + A A = A A A = A A A = A + A + A = A A A A A A A A A + + ( ) B Σύφωα ε τη ογιή αυτή, είαι σωστό α γράφουε A = B Κατασευή ταυστιού χώρου Ξειάε τη ατασευή εός χώρου ταυστώ χρησιοποιώτας δύο αυσατιούς χώρους U αι V Θεωρούε το U V αι θα συβοίζουε ε u τα στοιχεία του Το σύοο τω υποσυόω του U V αποτεεί αυτό που θα αούε χώρο ταυστώ Τ Έα τυπιό στοιχείο, οιπό, του Τ είαι το = {u, K, u } () Ε γέει u u Συφωούε ατί της σχέσεως (), α γράφουε τη = u u + K + Το u αείται αι συβοιό γιόεο τω u αι, εώ το αείται αι συβοιό άθροισα Στο σύοο Τ εισάγουε τις εξής σχέσεις ισοδυαίας: ) ύο συβοιά αθροίσατα είαι ίσα, ε τη ίδια έοια, που δύο σύοα είαι ίσα ) ( + c) = + c, όπου, U αι c V Επίσης όπου, U αι, c V ) = ( ) = ( ), όπου F,, U αι V Οι τρεις αυτές σχέσεις ισοδυαίας, ας επιτρέπου τις εξής εταβοές επί του στοιχείου : ) Οιαδήποτε ετάθεση τω u ) ατιατάσταση άποιου u σύφωα ε τη σχέση ισοδυαίας ) αι ) τη ατιατάσταση άποιου u σύφωα ε τη σχέση ισοδυαίας ) Τα στοιχεία αι του Τ θα έγοται ίσα, =, τότε αι όο, α έσω άποιας επιτρεπόεης εταβοής, τα σύοα αι είαι ίσα Στο σύοο Τ εισάγουε ία πρόσθεση αι έα οόετρο ποαπασιασό, έτσι ώστε α γίει αυτό διαυσατιός χώρος Έτσι, για άθε, T ορίζεται το

4 4 + = { } { } αι = u + K + u Παρατηρούε ότι, το ηδειό στοιχείο του χώρου Τ είαι το ζεύγος, που αποτεείται από τα ηδειά στοιχεία τω ατίστοιχω αυσατιώ χώρω Ορισός Ο έτσι ατασευασθείς χώρος Τ, αείται ταυστιό γιόεο τω αυσατιώ χώρω U αι V T = U V Θεωρούε, τώρα, αι τους δυϊούς χώρους U αι V ατίστοιχα, τω U αι V ε τις ατίστοιχες ατίστροφες βάσεις Α T αι f V, εισάγουε τη εξής πράξη corco (από δεξιά) T V (u, f) f ()u = u U Ατίστοιχα, έχουε αι τη corco (από αριστερά) U T (f, u) f (u) = V Γράφουε αι U T, αι έε, ότι ετεούε ία συπύωση του ταυστή Συήθως η ατασευή του ταυστιού χώρου γίεται πάω στο T = V V Τοποθετούε δείτες πάω ή άτω, αάογα ε το α οι ετασχηατισοί ου είαι cor r ή cor Έτσι, γράφουε T αι δηώουε ότι το ταυστιό ας γιόεο προέρχεται από δύο ίδιους cor r χώρους, πχ χώρους τω συτεταγέω Το T δηώει ότι προέρχεται από δύο ίδιους cor χώρους Το T δηώει ότι έχουε έα cor αι έα cor χώρο Στη περίπτωση αυτή, ισχύει ότι T = V V = V V Βέβαια, η γειότερη ορφή αυτώ τω συβόω είαι η T, ε το προφαές όηα 4 Βάση ταυστιού γιοέου Έστω ο T = U V, d U =, d V =, ε βάσεις u αι ατίστοιχα Α V, u u αι u +K + u =, τότε αι = για Πράγατι, ία corco από αριστερά, U T εφαροζόεη στη προηγούεη ισότητα δίδει f (u ) = = για όα τα ΠΡΟΤΑΣΗ Τα στοιχεία u T αποτεού βάση του Τ Άρα d T = Απόδειξη α) Είαι γραιά αεξάρτητα Θεωρούε τη u = Το διπό αυτό άθροισα γράφεται αι u ( ) =, άρα αι =, αι επειδή τα, για άθε αι άθε, = β) Παράγου το Τ Φαερά, για το τυχό T, = + K +, επειδή έχουε α β ότι η = u η α, η, α αι θ = θ β, θ, β, ιά αι u α u ατίστοιχα β, είαι αι, = τ u Η παραπάω πρόταση, ισχύει αι για τις περιπτώσεις T, T, T Τα στοιχεία του χώρου T = V V έχου τη ορφή τ,,, αι αούται cor r ταυστές τάξεως δύο επί του χώρου V τ είαι οι συτεταγέες τους ως προς τη βάση Τα στοιχεία του χώρου T = V V έχου τη ορφή τ f f,,, αι αούται cοr ταυστές τάξεως δύο επί του χώρου V τ είαι οι συτεταγέες τους ως προς τη ατίστροφη βάση f Τέος άθε T = V V έχει τη ορφή = τ f αι αείται ιτός ταυστής τάξεως

5 5 δύο Α θέουε α δούε ε ποιο τρόπο αάζου οι συτεταγέες εός ταυστή ότα αάζει η βάση του χώρου, εργαζόαστε σύφωα ε το που βρίσοται οι δείτες, ως εξής: Για το στοιχείο = τ T, έας ετασχηατισός u = ρ της βάσης στη βάση u, ετασχηατίζει τις συτεταγέες του σύφωα ε το αόα αβ ξ = τ σα σβ, όπου ε ρ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Ρ του ετασχηατισού u αι ε σ τα στοιχεία του πίαα (P Q = ) Για το στοιχείο = τ f f T, έας ετασχηατισός g = σ f της βάσης f στη βάση g, ετασχηατίζει τις συτεταγέες του σύφωα ε το αόα α β ξ = ταβρ ρ, όπου ε σ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Q του ετασχηατισού f g αι ε ρ τα στοιχεία του πίαα (Q P = ) Για το στοιχείο, τέος, = τ f T, έας ετασχηατισός u = ρ της βάσης στη βάση u αι έας ετασχηατισός g = σ f της βάσης f στη βάση g, ετασχηατίζει τις συτεταγέες του σύφωα ε το αόα α β ξ = τ βσα ρ, όπου ε ρ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Ρ του ετασχηατισού u αι ε σ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Q του ετασχηατισού f g ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ) Ο χώρος T αποτεείται από το σύοο τω οόετρω εγεθώ ) Ο χώρος V είαι έας T χώρος Ο χώρος V είαι έας T χώρος ) Ο χώρος T = V V αποτεείται από στοιχεία της ορφής ( f, g) = βf f Θεωρούε, τώρα, το ( x, y) V V Α τα x, y έχου τις εφράσεις x = χ αι y ψ =, όπου ατίστροφη βάση της f, τότε, ως γωστό, ισχύει ότι xf = χ αι yf = ψ Ορίζεται, συεπώς, η διγραιή ορφή : V F y) = (f g)(x, y) = β χ ψ = f (x)g(y) (x, y) β (f f )(x, y) = β χ ψ V από τη σχέση (x, Είαι, οιπό, = () Ιδιαίτερα, (, ) = β Το παραάτω ατιεταθετιό διάγραα διευριίζει τη ατάσταση στη οποία ευρισόεθα: V V (x, y) f(x) g(y) F Η απειόιση είαι ία διγραιή ορφή, η απειόιση ατιστοιχίζει τη βάση του V, στη ατίστροφή της βάση του V, αι, τέος, είαι ισοορφισός, που είει το ατιεταθετιό V V (f, g) διάγραα Λόγω αυτού του γεγοότος, πορούε α ταυτίσουε το χώρο τω διγραιώ ορφώ ε το χώρο T Η ισότητα (), α άβουε υπ όψη το τρόπο ε το οποίο ετασχηατίζοται οι συτεταγέες ότα αάζουε τη βάση του χώρου, αποδειύει ότι, η διγραιή ορφή = β (f f ) παραέει ααοίωτος ως προς τους ετασχηατισούς τω βάσεω του χώρου (που αποτεού τη οάδα τω η ιδιαζότω γραιώ ετασχηατισώ GL(V, ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αυτό, που ουσιαστιά γίεται εδώ, είαι η απειόιση : V V = T (f, g) f (x)g(y) F Τη απειόιση αυτή, πορούε α τη άβουε αι άοτας δύο συπυώσεις του ταυστή (f, g), ως εξής: Α = (f, g) = β f f, τότε, x y = χ ψ = β χ ψ F

6 6 Γράφουε αι = f f ) Η ατίστοιχος ε τη παραπάω διαδιασία, δίδει το ισοορφισό : V V = T (x, y) f (x)g(y) F ε δύο συπυώσεις ε τα διαύσατα f = ξ f V αι = g η f V ως εξής: f g f xy f = ξ η = β ξη F, όπου β είαι η τιή της διγραιής ορφής : V V F επί τω στοιχείω της ατιστρόφου βάσεως f του V, δηαδή, β = (f, f ) Είαι, οιπό, T = T Γράφουε, αι, = x y 4) Ο χώρος T = V V αποτεείται από στοιχεία της ορφής ( x, f) = χ ξ f Το ισοορφισό : V V = T (x, f) β χ ξ F το αβαίουε ε δύο συπυώσεις )f (y) = β χ ξ = g (x, f) y = g(, όπου β (, f ) Γράφουε, αι, = x f 5 Συτεταγέες ταυστού Όπως είδαε στη προηγούεη παράγραφο, α είαι T = U V, ε d U =, d V =, αι ε βάσεις u αι ατίστοιχα, τότε, το τυχό στοιχείο T έχει τη έφραση = β u = β u, () ε, u u αι = =, η οποία προύπτει από τη ατασευή του Τ αι τις βάσεις u αι τω διαυσατιώ χώρω U αι V ατίστοιχα Πράγατι, το T είαι ε ατασευής το = + K + όπου = α u U αι = β V, αι, συεπώς, το έχει τη έφραση () Στη περίπτωση, που ο Τ έχει προύψει από τους χώρους V αι V, έχουε, για το T = V V τη έφραση = β, για το T = V V τη έφραση = βf f, αι, τέος, για το T = V V = V V τη έφραση = β f Οι εφράσεις αυτές είαι οοσήατες, για δεδοέη βάση του V Οι συτεεστές β αούται συτεταγέες του ως προς τη βάση που χρησιοποιούε Οι συτεεστές αυτοί, αποτεού τα στοιχεία εός πίαα, ο οποίος αι ορίζει το έσω τω συτεταγέω του (βέπε αι ) Η ααγή της βάσεως του χώρου V έχει ως συέπεια τη ααγή τω συτεεστώ β, έτσι ώστε το α παραέει ααοίωτο, σύφωα ε τους αόες cor αι corr Έτσι, για το T = V V έχουε, για τη έα βάση του V, η οποία συδέεται ε τη πααιά βάση του V έσω τω σχέσεω = ρ, ε πίαα P = ( ρ ), αι = σ ε πίαα Q ( = σ ) αι ( ρ )( σ ) = δ, συτεεστές β = β σ σ, όπως προύπτει από τις ισότητες = β = β ( σ )( σ ) = ( β σ σ ) Εξ άου, είαι αι = β, άρα αι β = β σ σ Το γεγοός ότι ο παραέει ααοίωτος ως προς τους ετασχηατισούς ααγής βάσης, προύπτει από τις ισότητες: αβ αβ = β = ( β σ ασ β )( ρ )( ρ ) = β ( σ αρ )( σ βρ ) Αάογα ισχύου αι για τις περιπτώσεις = β T αι αβ δ α δ β T Οι συτεταγέες του αθροίσατος s + T δύο ταυστώ s, T, είαι, όπως εύοα πορούε α δούε, το άθροισα τω συτεταγέω τω s, Α οι s,, παρίσταται υπό τη ορφή πιάω, έχουε τότε, όους τους αόες που διέπου = β =

7 7 το άθροισα δύο πιάω Το ίδιο ισχύει αι για το οόετρο γιόεο T, F, T Ας δούε, τώρα, πως εεργεί η πράξη συπύωση σε έα ταυστή, που το έχουε ε τις συτεταγέες του Για παράδειγα, έστω ο T, = βf f επί του οποίου ετεούε ία από δεξιά συπύωση ε το cor άυσα = α V Είαι = ( βf f ) ( α ) = βα f f = βα f δ = βα f Το αποτέεσα της πράξεως αυτής, είαι το corr άυσα ( β α ) f V Στη περίπτωση, που είαι T = V V πορούε α έχουε ία συπύωση από τα αριστερά ε έα corr άυσα αι ία συπύωση από τα δεξιά ε έα cor άυσα Το αποτέεσα θα είαι έα οόετρο έγεθος: f = ( γ f ) ( β f ) ( α ) = γ β α f f = γ β α δ δ γ β α = 6 Επαγωγιά, θα ορίσουε το ταυστιό γιόεο περισσοτέρω τω δύο αυσατιώ χώρω Έστω, οιπό, ότι δίδοται οι γραιοί χώροι V, Το σύοο T = ( Vα Vβ ) Vγ, V α, Vβ, Vγ, α, β, γ αποτεείται από όα τα συβοιά αθροίσατα όω τω συβοιώ γιοέω της ορφής ( ) c Οι δύο σχέσεις ισοδυαίας που θεσοθετήθηα για το ταυστιό γιόεο δύο παραγότω, επετείοται αι στη περίπτωση τω τριώ, ε επιπέο σχέση, τη ( )c = (c) Η σχέση αυτή, εξασφαίζει τη ταυτότητα ( Vα Vβ ) Vγ = Vα ( Vβ Vγ ), αι ας επιτρέπει α θεωρούε στοιχεία της ορφής c T Με άθε V, θεωρούε αι το δυϊό του V, οπότε ε γέει, έα ταυστιό γιόεο έχει τη ορφή T, όπου, επαγωγιά,, αι Συήθως θεωρούε χώρους της ορφής T = V L V V L V όπου έχουε αυσατιούς χώρους V αι V, δυϊούς του V Έα στοιχείο T αείται ταυστής φορές corr αι φορές cor Η πρόσθεσις ταυστώ που αήου σε διαφορετιά ταυστιά γιόεα, δε ορίζεται Ατίθετα, το γιόεο u τω στοιχείω u T, T ορίζεται, αι είαι έα στοιχείο του + ταυστιού γιοέου T T Φαερά, u T T = T + Έα cor άυσα του T είαι δυατό α υποστεί συπύωση ε έα corr άυσα του T Το αποτέεσα της πράξεως αυτής, είαι η δηιουργία εός οοέτρου εγέθους (= στοιχείο του σώατος F), αι η ατιατάσταση του T από το T Στη περίπτωση, που =, η φορές επαάηψη της πράξης συπύωση, οδηγεί στη ατιατάσταση του T από έα οόετρο έγεθος Μία βάση του T ατασευάζεται ως εξής: Θεωρούε τη βάση { },, του V αι { f }, του V Στη συέχεια σχηατίζουε όα τα τυπιά γιόεα της ορφής K f Kf,, Το σύοο τω τυπιώ αυτώ γιοέω, που περιέχει στοιχεία αποτεεί ία βάση του T Το τυχό στοιχείο T έχει στη συγεριέη βάση τη έφραση = τ K K f Kf Οι συτεεστές τ αούται συτεταγέες του ταυστή ως προς τις βάσεις { } αι K

8 8 { f },, Ότα αάζουε βάση, άθε συτεταγέη που έχει άω δείτη ετασχηατίζεται ατά corr τρόπο εώ άθε συτεταγέη που έχει άτω δείτη, ατά cor τρόπο έτσι ώστε, ο ταυστής α παραέει ααοίωτος Ο έχει απά διαφορετιές εφράσεις, σε συάρτηση ε τις χρησιοποιούεες βάσεις Επιτρεπτές πράξεις ε T : Η πρόσθεση δύο στοιχείω του T Αυτή έχει ως αποτέεσα έα στοιχείο του T, αι α τα στοιχεία αυτά είαι εφρασέα στη ίδια βάση, οι συτεταγέες του αθροίσα τους είαι το άθροισα τω ατίστοιχω συτεταγέω Ποαπασιασός επί οόετρο έγεθος ίδει πάι ταυστή του K K ιδίου χώρου Α = τ K K f Kf, τότε αι = τ K K f Kf, δηαδή, άθε συτεταγέη του, ποαπασιάζεται επί Συπήωση Η πράξη αυτή, έχει ως συέπεια ταυστή στο χώρο T, εάχιστο τω, 4 Τέος, έχουε αι τη πράξη ποαπασιασός Κατά το ποαπασιασό του r T ε + το s T αβαίουε το rs T + Στη περίπτωση, που r = ρ T ( ) = V αι s = σ T ( = V), το γιόεο rs = ρ σ T Φαερά, rs sr 7 Εξωτεριά γιόεα Στη εότητα Γραιές Μορφές ορίσαε τη πράξη [ ] για δύο γραιές ορφές Θα εταφέρουε τη πράξη αυτή στα στοιχεία τω χώρω T Για στοιχεία του χώρου T θέτουε [ ] = Για στοιχεία του χώρου T θέτουε [ ] = ( )! Για στοιχεία c του χώρου T θέτουε [ c] = (c + c + c c c c)! Επαγωγιά, θέτουε, () K() T [ ] = δ,, K, () () () T! Όπου δ, το δ του Kroecker όπως ορίσθηε στη της εότητας Γραιές Μορφές Η πράξη αυτή έχει τις ιδιότητες: Είαι γραιή σε άθε της παράγοτα Ισχύει δηαδή, [ K ( + ) ] = [ K ] + [ K ] Ατισυετριή για άθε ατιετάθεση δύο παραγότω Ισχύει δηαδή, [ K ] = [ K ] Είαι ηδέ, γιά άθε δύο ίδιους παράγοτες V 4 Είαι ηδέ, στη περίπτωση που έχουε γραιή εξάρτηση αάεσα στους παράγοτες 5 Α το πήθος τω παραγότω είαι εγαύτερο από τη διάσταση του χώρου V, τότε αι πάι το αποτέεσα της πράξεως αυτής είαι το T

9 9