ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ. 1. Εισαγωγικά. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα περιεχόµενα στην ενότητα Γραµµικές Μορφές.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ. 1. Εισαγωγικά. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα περιεχόµενα στην ενότητα Γραµµικές Μορφές."

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ Εισαγωγιά Υποθέτουε ότι ο ααγώστης γωρίζει τα περιεχόεα στη εότητα Γραιές Μορφές Γειές υποθέσεις Συβοισοί Ο χώρος, στοιχεία του οποίου χρησιοποιούε, είαι έας γραιός (αυσατιός) χώρος V επί εός σώατος F, συήθως το σώα τω πραγατιώ αριθώ V είαι ο δυϊός χώρος του V, αι f γραιές ορφές που αποτεού τη δυϊή βάση της τυχούσης βάσεως { },, του V Έχουε, οιπό, ότι, f ( ) = δ Ορισός Η βάση τω βάσης { } του V f του V, αείται ατίστροφη βάση (recrocl ses) της Φαερά, για το τυχό x V, x = χ, ισχύου οι σχέσεις, f (x) = χ Θα δούε, τώρα, ε πιο τρόπο εταβάεται η δυϊή βάση, ότα στο χώρο V, αάξουε τη βάση, από { } σε { }, έσω εός η ιδιάζοτος ετασχηατισού, (βέπε εότητα Γραιές απειοίσεις 4, 5) που έχει πίαα Ρ Α ο ετασχηατισός ας είαι ο = ρ, δείξαε ότι, οι τειές συτεταγέες β του x = β συδέοται ε τις αρχιές συτεταγέες του x = α έσω τω σχέσεω = σ α + K + σ α σ α, όπου ο πίαας Q ( σ ) β = = είαι ο ατίστροφος του ααστρόφου του πίαα Ρ Ισχύου, δηαδή, οι σχέσεις (P Q = ), αι (Q P = ) Γράφουε αι ( ρ )( σ ) = δ, ως επίσης ( ρ )( σ ) = δ Ερχόαστε, τώρα, στο δυϊό χώρο V του V Με g θα συβοίζουε τα στοιχεία της ατιστρόφου βάσεως της βάσεως { }, αι ε f τα στοιχεία της ατιστρόφου βάσεως της βάσεως { } Ε V έχουε τις σχέσεις f ( ) = δ αι g ( ) = δ Ο γραιός ετασχηατισός της βάσεως { f } στη βάση { g }, έχει τη γειή ορφή g (x) = f (x) Θα πρέπει α υποογίσουε τα στοιχεία του πίαα ( ) Για το σοπό αυτό, εφαρόζουε το ετασχηατισό Τ στα στοιχεία f αι έχουε ότι, δ = g ( ) = g ( ρ ) = g ( ) ρ = f ( ) ρ = ρ f ( ) = ρ Είαι, δηαδή, ρ = δ Σε συβοισό πιάω, η σχέση αυτή γράφεται TP = I () Σηείωση Ότα από τους συβοισούς ε τους δείτες περάε σε συβοισούς ε πίαες, θα πρέπει α προσέχουε α ο αθροιζόεος δείτης αφορά οώες ή γραές, έτσι ώστε το γιόεο τω πιάω α είαι δυατό Εδώ, το αθροιζόεο στη σχέση ρ αφορά τις γραές του πίαα Ρ αι, συεπώς, ο τειά σηειού εος ποαπασιασός, για α είαι δυατός, πρέπει α γραφεί TP, αι όχι TP Η () δίδει αι τη T = (P ) = Q αι άρα, g (x) = σ f (x) Σηείωση Σχηατιά, έχουε τη εξής ατάσταση:

2 P V { } { } V V {f } { g } V Ότα, οιπό, οι βάσεις στο χώρο V αάζου ε το ετασχηατισό που έχει πίαα Ρ, οι ατίστροφες βάσεις του δυϊού χώρου αάζου ε έα ετασχηατισό, που έχει πίαα (P Q = ) (P ) Τη ατάσταση αυτή τη χαρατηρίζουε έγοτας ότι τα αύσατα του αυσατιού χώρου ετασχηατίζοται ε το ίδιο τρόπο, cor, (δείτες άτω), τα αύσατα του δυϊού χώρου (δείτες άω) ετασχη- ατίζοται ε αάστροφο ατίστροφο τρόπο corr Παρατηρούε ότι, τα στοιχεία του σώατος F, δε αοιώοται από τους ετασχηατισούς αυτούς Παραέου, δηαδή, r (ααοίωτα) Τα εγέθη αυτά χαρατηρίζοται ως οόετρα (sclr) εγέθη ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Έστω ο διαυσατιός χώρος V (F), d V =, αι F ο χώρος τω συτεταγέω του Έστω Τ έας η ιδιάζω γραιός ετασχηατισός του χώρου V στο εαυτό του Το x V απειοίζεται στο x = xt V Α ία βάση του V, έχουε ότι, T = ρ (προστίθεται τα στοιχεία-οώες), αι γράφουε ισοδύαα, = P, όπου έας πίαας, στοιχεία του οποίου είαι τα V αύσατα αι P έας πίαας, ο πίαας του Τ ως προς τη βάση Ας δούε πως ετασχηατίζεται η ειόα του x στο χώρο F Είαι, x = χ = χ Άρα, αι x = = χ T = χ ( ρ + ρ + K+ ρ ) + χ ( ρ + ρ + K+ ρ ) + K χ K+ χ ( ρ + ρ + K+ ρ ) = ( χ ρ + χ ρ + K+ χ ρ ) + K+ ( χ ρ + χ ρ + K+ χ ρ ) (προστίθεται τα στοιχεία-γραές) χ χ Στο χώρο τω συτεταγέω, οιπό, έχουε τη σχέση M = P M, ή χ χ X = P X Α Q ο ατίστροφος πίαας του πίαα Ρ, τότε, X = QX Άρα αι, Q cor τρόπο, τα στοιχεία του χώρου τω συτεταγέω ετασχηατίζοται ατά cor r τρόπο (P = ) Συπέρασα: Ότα τα στοιχεία του χώρου V ετασχηατίζοται ατά Συβοισοί, οροογία Συήθως, τα ατιείεα που θα αούε ταυστές παρίσταται ε πίαες Θα πρέπει α προσέχουε όως, τη θέση στη οποία βρίσοται οι εεύθεροι δείτες τω στοιχείω τους Γειός αώ: είτες άτω σηαίει cor ετασχηατισός είτες άω, σηαίει cor r ετασχηατισός Τα οόετρα εγέθη δε έχου εεύθερους δείτες Παράδειγα οι πίαες: ( ) = ( ) = ( ) =

3 Είαι εδεχόεο, όως, α εφαίζοται αι ταυστές ε περισσότερους δείτες, k όπως για παράδειγα ο, ο οποίος είαι έας, που ατιστοιχεί στους k k k ( ) = ( ) = ( ) = Ο ααγώστης ατααβαίει πέο τις περιπτώσεις που έχουε αόα πιο ποούς δείτες, αι άιστα α βρίσοται σε θέσεις πάω αι άτω Το γιόεο τω u αι,,, πιαοποιείται ατά το προφαή τρόπο: u u u u = u u u u u u Στη περίπτωση, που έχουε επαααβαόεο δείτη, αυτός οείται ότι αθροίζεται αι τειά εξαφαίζεται Παράδειγα: A A A A = A A A ( ) Εδώ έχουε α ποαπασιάσουε έα A A A πίαα επί έα Ο ποαπασιασός αυτός γίεται ατά το τρόπο που δείχουε: A A A A A A A + A + A A = A A A = A A A = A + A + A = A A A A A A A A A + + ( ) B Σύφωα ε τη ογιή αυτή, είαι σωστό α γράφουε A = B Κατασευή ταυστιού χώρου Ξειάε τη ατασευή εός χώρου ταυστώ χρησιοποιώτας δύο αυσατιούς χώρους U αι V Θεωρούε το U V αι θα συβοίζουε ε u τα στοιχεία του Το σύοο τω υποσυόω του U V αποτεεί αυτό που θα αούε χώρο ταυστώ Τ Έα τυπιό στοιχείο, οιπό, του Τ είαι το = {u, K, u } () Ε γέει u u Συφωούε ατί της σχέσεως (), α γράφουε τη = u u + K + Το u αείται αι συβοιό γιόεο τω u αι, εώ το αείται αι συβοιό άθροισα Στο σύοο Τ εισάγουε τις εξής σχέσεις ισοδυαίας: ) ύο συβοιά αθροίσατα είαι ίσα, ε τη ίδια έοια, που δύο σύοα είαι ίσα ) ( + c) = + c, όπου, U αι c V Επίσης όπου, U αι, c V ) = ( ) = ( ), όπου F,, U αι V Οι τρεις αυτές σχέσεις ισοδυαίας, ας επιτρέπου τις εξής εταβοές επί του στοιχείου : ) Οιαδήποτε ετάθεση τω u ) ατιατάσταση άποιου u σύφωα ε τη σχέση ισοδυαίας ) αι ) τη ατιατάσταση άποιου u σύφωα ε τη σχέση ισοδυαίας ) Τα στοιχεία αι του Τ θα έγοται ίσα, =, τότε αι όο, α έσω άποιας επιτρεπόεης εταβοής, τα σύοα αι είαι ίσα Στο σύοο Τ εισάγουε ία πρόσθεση αι έα οόετρο ποαπασιασό, έτσι ώστε α γίει αυτό διαυσατιός χώρος Έτσι, για άθε, T ορίζεται το

4 4 + = { } { } αι = u + K + u Παρατηρούε ότι, το ηδειό στοιχείο του χώρου Τ είαι το ζεύγος, που αποτεείται από τα ηδειά στοιχεία τω ατίστοιχω αυσατιώ χώρω Ορισός Ο έτσι ατασευασθείς χώρος Τ, αείται ταυστιό γιόεο τω αυσατιώ χώρω U αι V T = U V Θεωρούε, τώρα, αι τους δυϊούς χώρους U αι V ατίστοιχα, τω U αι V ε τις ατίστοιχες ατίστροφες βάσεις Α T αι f V, εισάγουε τη εξής πράξη corco (από δεξιά) T V (u, f) f ()u = u U Ατίστοιχα, έχουε αι τη corco (από αριστερά) U T (f, u) f (u) = V Γράφουε αι U T, αι έε, ότι ετεούε ία συπύωση του ταυστή Συήθως η ατασευή του ταυστιού χώρου γίεται πάω στο T = V V Τοποθετούε δείτες πάω ή άτω, αάογα ε το α οι ετασχηατισοί ου είαι cor r ή cor Έτσι, γράφουε T αι δηώουε ότι το ταυστιό ας γιόεο προέρχεται από δύο ίδιους cor r χώρους, πχ χώρους τω συτεταγέω Το T δηώει ότι προέρχεται από δύο ίδιους cor χώρους Το T δηώει ότι έχουε έα cor αι έα cor χώρο Στη περίπτωση αυτή, ισχύει ότι T = V V = V V Βέβαια, η γειότερη ορφή αυτώ τω συβόω είαι η T, ε το προφαές όηα 4 Βάση ταυστιού γιοέου Έστω ο T = U V, d U =, d V =, ε βάσεις u αι ατίστοιχα Α V, u u αι u +K + u =, τότε αι = για Πράγατι, ία corco από αριστερά, U T εφαροζόεη στη προηγούεη ισότητα δίδει f (u ) = = για όα τα ΠΡΟΤΑΣΗ Τα στοιχεία u T αποτεού βάση του Τ Άρα d T = Απόδειξη α) Είαι γραιά αεξάρτητα Θεωρούε τη u = Το διπό αυτό άθροισα γράφεται αι u ( ) =, άρα αι =, αι επειδή τα, για άθε αι άθε, = β) Παράγου το Τ Φαερά, για το τυχό T, = + K +, επειδή έχουε α β ότι η = u η α, η, α αι θ = θ β, θ, β, ιά αι u α u ατίστοιχα β, είαι αι, = τ u Η παραπάω πρόταση, ισχύει αι για τις περιπτώσεις T, T, T Τα στοιχεία του χώρου T = V V έχου τη ορφή τ,,, αι αούται cor r ταυστές τάξεως δύο επί του χώρου V τ είαι οι συτεταγέες τους ως προς τη βάση Τα στοιχεία του χώρου T = V V έχου τη ορφή τ f f,,, αι αούται cοr ταυστές τάξεως δύο επί του χώρου V τ είαι οι συτεταγέες τους ως προς τη ατίστροφη βάση f Τέος άθε T = V V έχει τη ορφή = τ f αι αείται ιτός ταυστής τάξεως

5 5 δύο Α θέουε α δούε ε ποιο τρόπο αάζου οι συτεταγέες εός ταυστή ότα αάζει η βάση του χώρου, εργαζόαστε σύφωα ε το που βρίσοται οι δείτες, ως εξής: Για το στοιχείο = τ T, έας ετασχηατισός u = ρ της βάσης στη βάση u, ετασχηατίζει τις συτεταγέες του σύφωα ε το αόα αβ ξ = τ σα σβ, όπου ε ρ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Ρ του ετασχηατισού u αι ε σ τα στοιχεία του πίαα (P Q = ) Για το στοιχείο = τ f f T, έας ετασχηατισός g = σ f της βάσης f στη βάση g, ετασχηατίζει τις συτεταγέες του σύφωα ε το αόα α β ξ = ταβρ ρ, όπου ε σ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Q του ετασχηατισού f g αι ε ρ τα στοιχεία του πίαα (Q P = ) Για το στοιχείο, τέος, = τ f T, έας ετασχηατισός u = ρ της βάσης στη βάση u αι έας ετασχηατισός g = σ f της βάσης f στη βάση g, ετασχηατίζει τις συτεταγέες του σύφωα ε το αόα α β ξ = τ βσα ρ, όπου ε ρ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Ρ του ετασχηατισού u αι ε σ σηειώουε τα στοιχεία του πίαα Q του ετασχηατισού f g ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ) Ο χώρος T αποτεείται από το σύοο τω οόετρω εγεθώ ) Ο χώρος V είαι έας T χώρος Ο χώρος V είαι έας T χώρος ) Ο χώρος T = V V αποτεείται από στοιχεία της ορφής ( f, g) = βf f Θεωρούε, τώρα, το ( x, y) V V Α τα x, y έχου τις εφράσεις x = χ αι y ψ =, όπου ατίστροφη βάση της f, τότε, ως γωστό, ισχύει ότι xf = χ αι yf = ψ Ορίζεται, συεπώς, η διγραιή ορφή : V F y) = (f g)(x, y) = β χ ψ = f (x)g(y) (x, y) β (f f )(x, y) = β χ ψ V από τη σχέση (x, Είαι, οιπό, = () Ιδιαίτερα, (, ) = β Το παραάτω ατιεταθετιό διάγραα διευριίζει τη ατάσταση στη οποία ευρισόεθα: V V (x, y) f(x) g(y) F Η απειόιση είαι ία διγραιή ορφή, η απειόιση ατιστοιχίζει τη βάση του V, στη ατίστροφή της βάση του V, αι, τέος, είαι ισοορφισός, που είει το ατιεταθετιό V V (f, g) διάγραα Λόγω αυτού του γεγοότος, πορούε α ταυτίσουε το χώρο τω διγραιώ ορφώ ε το χώρο T Η ισότητα (), α άβουε υπ όψη το τρόπο ε το οποίο ετασχηατίζοται οι συτεταγέες ότα αάζουε τη βάση του χώρου, αποδειύει ότι, η διγραιή ορφή = β (f f ) παραέει ααοίωτος ως προς τους ετασχηατισούς τω βάσεω του χώρου (που αποτεού τη οάδα τω η ιδιαζότω γραιώ ετασχηατισώ GL(V, ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αυτό, που ουσιαστιά γίεται εδώ, είαι η απειόιση : V V = T (f, g) f (x)g(y) F Τη απειόιση αυτή, πορούε α τη άβουε αι άοτας δύο συπυώσεις του ταυστή (f, g), ως εξής: Α = (f, g) = β f f, τότε, x y = χ ψ = β χ ψ F

6 6 Γράφουε αι = f f ) Η ατίστοιχος ε τη παραπάω διαδιασία, δίδει το ισοορφισό : V V = T (x, y) f (x)g(y) F ε δύο συπυώσεις ε τα διαύσατα f = ξ f V αι = g η f V ως εξής: f g f xy f = ξ η = β ξη F, όπου β είαι η τιή της διγραιής ορφής : V V F επί τω στοιχείω της ατιστρόφου βάσεως f του V, δηαδή, β = (f, f ) Είαι, οιπό, T = T Γράφουε, αι, = x y 4) Ο χώρος T = V V αποτεείται από στοιχεία της ορφής ( x, f) = χ ξ f Το ισοορφισό : V V = T (x, f) β χ ξ F το αβαίουε ε δύο συπυώσεις )f (y) = β χ ξ = g (x, f) y = g(, όπου β (, f ) Γράφουε, αι, = x f 5 Συτεταγέες ταυστού Όπως είδαε στη προηγούεη παράγραφο, α είαι T = U V, ε d U =, d V =, αι ε βάσεις u αι ατίστοιχα, τότε, το τυχό στοιχείο T έχει τη έφραση = β u = β u, () ε, u u αι = =, η οποία προύπτει από τη ατασευή του Τ αι τις βάσεις u αι τω διαυσατιώ χώρω U αι V ατίστοιχα Πράγατι, το T είαι ε ατασευής το = + K + όπου = α u U αι = β V, αι, συεπώς, το έχει τη έφραση () Στη περίπτωση, που ο Τ έχει προύψει από τους χώρους V αι V, έχουε, για το T = V V τη έφραση = β, για το T = V V τη έφραση = βf f, αι, τέος, για το T = V V = V V τη έφραση = β f Οι εφράσεις αυτές είαι οοσήατες, για δεδοέη βάση του V Οι συτεεστές β αούται συτεταγέες του ως προς τη βάση που χρησιοποιούε Οι συτεεστές αυτοί, αποτεού τα στοιχεία εός πίαα, ο οποίος αι ορίζει το έσω τω συτεταγέω του (βέπε αι ) Η ααγή της βάσεως του χώρου V έχει ως συέπεια τη ααγή τω συτεεστώ β, έτσι ώστε το α παραέει ααοίωτο, σύφωα ε τους αόες cor αι corr Έτσι, για το T = V V έχουε, για τη έα βάση του V, η οποία συδέεται ε τη πααιά βάση του V έσω τω σχέσεω = ρ, ε πίαα P = ( ρ ), αι = σ ε πίαα Q ( = σ ) αι ( ρ )( σ ) = δ, συτεεστές β = β σ σ, όπως προύπτει από τις ισότητες = β = β ( σ )( σ ) = ( β σ σ ) Εξ άου, είαι αι = β, άρα αι β = β σ σ Το γεγοός ότι ο παραέει ααοίωτος ως προς τους ετασχηατισούς ααγής βάσης, προύπτει από τις ισότητες: αβ αβ = β = ( β σ ασ β )( ρ )( ρ ) = β ( σ αρ )( σ βρ ) Αάογα ισχύου αι για τις περιπτώσεις = β T αι αβ δ α δ β T Οι συτεταγέες του αθροίσατος s + T δύο ταυστώ s, T, είαι, όπως εύοα πορούε α δούε, το άθροισα τω συτεταγέω τω s, Α οι s,, παρίσταται υπό τη ορφή πιάω, έχουε τότε, όους τους αόες που διέπου = β =

7 7 το άθροισα δύο πιάω Το ίδιο ισχύει αι για το οόετρο γιόεο T, F, T Ας δούε, τώρα, πως εεργεί η πράξη συπύωση σε έα ταυστή, που το έχουε ε τις συτεταγέες του Για παράδειγα, έστω ο T, = βf f επί του οποίου ετεούε ία από δεξιά συπύωση ε το cor άυσα = α V Είαι = ( βf f ) ( α ) = βα f f = βα f δ = βα f Το αποτέεσα της πράξεως αυτής, είαι το corr άυσα ( β α ) f V Στη περίπτωση, που είαι T = V V πορούε α έχουε ία συπύωση από τα αριστερά ε έα corr άυσα αι ία συπύωση από τα δεξιά ε έα cor άυσα Το αποτέεσα θα είαι έα οόετρο έγεθος: f = ( γ f ) ( β f ) ( α ) = γ β α f f = γ β α δ δ γ β α = 6 Επαγωγιά, θα ορίσουε το ταυστιό γιόεο περισσοτέρω τω δύο αυσατιώ χώρω Έστω, οιπό, ότι δίδοται οι γραιοί χώροι V, Το σύοο T = ( Vα Vβ ) Vγ, V α, Vβ, Vγ, α, β, γ αποτεείται από όα τα συβοιά αθροίσατα όω τω συβοιώ γιοέω της ορφής ( ) c Οι δύο σχέσεις ισοδυαίας που θεσοθετήθηα για το ταυστιό γιόεο δύο παραγότω, επετείοται αι στη περίπτωση τω τριώ, ε επιπέο σχέση, τη ( )c = (c) Η σχέση αυτή, εξασφαίζει τη ταυτότητα ( Vα Vβ ) Vγ = Vα ( Vβ Vγ ), αι ας επιτρέπει α θεωρούε στοιχεία της ορφής c T Με άθε V, θεωρούε αι το δυϊό του V, οπότε ε γέει, έα ταυστιό γιόεο έχει τη ορφή T, όπου, επαγωγιά,, αι Συήθως θεωρούε χώρους της ορφής T = V L V V L V όπου έχουε αυσατιούς χώρους V αι V, δυϊούς του V Έα στοιχείο T αείται ταυστής φορές corr αι φορές cor Η πρόσθεσις ταυστώ που αήου σε διαφορετιά ταυστιά γιόεα, δε ορίζεται Ατίθετα, το γιόεο u τω στοιχείω u T, T ορίζεται, αι είαι έα στοιχείο του + ταυστιού γιοέου T T Φαερά, u T T = T + Έα cor άυσα του T είαι δυατό α υποστεί συπύωση ε έα corr άυσα του T Το αποτέεσα της πράξεως αυτής, είαι η δηιουργία εός οοέτρου εγέθους (= στοιχείο του σώατος F), αι η ατιατάσταση του T από το T Στη περίπτωση, που =, η φορές επαάηψη της πράξης συπύωση, οδηγεί στη ατιατάσταση του T από έα οόετρο έγεθος Μία βάση του T ατασευάζεται ως εξής: Θεωρούε τη βάση { },, του V αι { f }, του V Στη συέχεια σχηατίζουε όα τα τυπιά γιόεα της ορφής K f Kf,, Το σύοο τω τυπιώ αυτώ γιοέω, που περιέχει στοιχεία αποτεεί ία βάση του T Το τυχό στοιχείο T έχει στη συγεριέη βάση τη έφραση = τ K K f Kf Οι συτεεστές τ αούται συτεταγέες του ταυστή ως προς τις βάσεις { } αι K

8 8 { f },, Ότα αάζουε βάση, άθε συτεταγέη που έχει άω δείτη ετασχηατίζεται ατά corr τρόπο εώ άθε συτεταγέη που έχει άτω δείτη, ατά cor τρόπο έτσι ώστε, ο ταυστής α παραέει ααοίωτος Ο έχει απά διαφορετιές εφράσεις, σε συάρτηση ε τις χρησιοποιούεες βάσεις Επιτρεπτές πράξεις ε T : Η πρόσθεση δύο στοιχείω του T Αυτή έχει ως αποτέεσα έα στοιχείο του T, αι α τα στοιχεία αυτά είαι εφρασέα στη ίδια βάση, οι συτεταγέες του αθροίσα τους είαι το άθροισα τω ατίστοιχω συτεταγέω Ποαπασιασός επί οόετρο έγεθος ίδει πάι ταυστή του K K ιδίου χώρου Α = τ K K f Kf, τότε αι = τ K K f Kf, δηαδή, άθε συτεταγέη του, ποαπασιάζεται επί Συπήωση Η πράξη αυτή, έχει ως συέπεια ταυστή στο χώρο T, εάχιστο τω, 4 Τέος, έχουε αι τη πράξη ποαπασιασός Κατά το ποαπασιασό του r T ε + το s T αβαίουε το rs T + Στη περίπτωση, που r = ρ T ( ) = V αι s = σ T ( = V), το γιόεο rs = ρ σ T Φαερά, rs sr 7 Εξωτεριά γιόεα Στη εότητα Γραιές Μορφές ορίσαε τη πράξη [ ] για δύο γραιές ορφές Θα εταφέρουε τη πράξη αυτή στα στοιχεία τω χώρω T Για στοιχεία του χώρου T θέτουε [ ] = Για στοιχεία του χώρου T θέτουε [ ] = ( )! Για στοιχεία c του χώρου T θέτουε [ c] = (c + c + c c c c)! Επαγωγιά, θέτουε, () K() T [ ] = δ,, K, () () () T! Όπου δ, το δ του Kroecker όπως ορίσθηε στη της εότητας Γραιές Μορφές Η πράξη αυτή έχει τις ιδιότητες: Είαι γραιή σε άθε της παράγοτα Ισχύει δηαδή, [ K ( + ) ] = [ K ] + [ K ] Ατισυετριή για άθε ατιετάθεση δύο παραγότω Ισχύει δηαδή, [ K ] = [ K ] Είαι ηδέ, γιά άθε δύο ίδιους παράγοτες V 4 Είαι ηδέ, στη περίπτωση που έχουε γραιή εξάρτηση αάεσα στους παράγοτες 5 Α το πήθος τω παραγότω είαι εγαύτερο από τη διάσταση του χώρου V, τότε αι πάι το αποτέεσα της πράξεως αυτής είαι το T

9 9

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

αναφέρετε τις θεµελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς µετασχηµατίζεται ένας τανυστής 2ης τάξης

αναφέρετε τις θεµελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς µετασχηµατίζεται ένας τανυστής 2ης τάξης Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός του κεφαλαίου είαι ια σύτοη αασκόπηση της ειδικής θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation ΑΤΕΙ Σερρώ 4.6. Μη γραιοί ταξιοητές Back error propagaon Μία ιαφορετιή τεχιή χειαού εός πολυεπίπεου percepron για τη ταξιόηη η γραιά ιαχωριοέω λάεω βαίεται τη ατιατάταη της υάρτηης dx από ία υεχή αι ιαφορίιη

Διαβάστε περισσότερα

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστιή λέγεται ο λάδος τω Μαθηματιώ ο οποίος συγετρώει στοιχεία που ααφέροται σε έα σύολο ατιειμέω, τα ταξιομεί, αι τα παρουσιάζει σε ατάλληλη μορφή ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Μάθηµα 5 ο Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε 33 (όχι Πρόταση 63) εδάφιο, σε 4, Πρόταση 65, (χωρίς απόδειξη) και Πρόταση 66 εδάφιο

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαρίνος Ιωάννου, Στέφανος Γεροντόπουλος, Σταυρούλα Γκιτάκου

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαρίνος Ιωάννου, Στέφανος Γεροντόπουλος, Σταυρούλα Γκιτάκου ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαρίος Ιωάου, Στέφαος Γεροτόπουλος, Σταυρούλα Γκιτάκου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Για τις ερωτήσεις Α1 έως και Α5 α γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006 Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηα ασκήσεω //006 Μελέτη οοδιάστατου στοιχειακού στερεού ε δύο τροχιακά αά άτοο ε χρήση υβριδικώ ατοικώ τροχιακώ Θεωρούε δύο τροχιακά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥ Α ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ Η ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ H Θεωρία τω Πιθαοτήτω έχει ως

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός. 1 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙ Μήκος τόξου : Το ήκος ενός τόξου ο δίνεται από τον τύπο = πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθός.. Το ακτίνιο (rad): Ονοάζουε τόξο ενός ακτινίου (rad)

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . αρακτηριστικές Παράετροι Κατανοών - Αναενόενη ή έση τιή ιας διακριτής τυχαίας εταβητής. Στο προηγούενο κεφάαιο είδαε ότι σε κάθε τ.. αντιστοιχεί ία κατανοή. Αν και η συνάρτηση κατανοής F ή ισοδύναα η

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ AA A A

Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ AA A A Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 0 Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : Από τη σχέση (54) µέχρι τέλος του εδαφίου, σελ 5, Πρόταση 6, σελ 45, Πρόταση 66 (θεώρηµα Schur), σελ 54

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ. Υάρχει συάρτηση f : R R : f ( ) + f( ) =, για άθε. Υάρχει συάρτηση f ορισµέη αι συεχής [,+ ), η οοία δε αρουσιάζει αρότατο στο 3. ίεται συάρτηση f τέτοια ώστε f f = +, R. Υάρχει συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ Α. ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΕΠΙ ΠΟΛΛΩΝ ΚΕΦΑΛΩΝ Ορισένες φορές ένα ασφαλιστήριο καλύπτει περισσότερες από ία ζωές. Ένα προφανές παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου για δύο συζύγους, καθένας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

6. Ανάλυση χαρακτηριστικών

6. Ανάλυση χαρακτηριστικών ρ Χ Στρουθόπουος e-mail: strch@teisergr ΑΤΕΙ Σερρώ 6 Αάυη χαρακτηριτικώ Μια ηατική εργαία ε έα ύτηα ααγώριης είαι η αάυη τω ετρούεω χαρακτηριτικώ τω προτύπω Με τη αάυη τω χαρακτηριτικώ πετυχαίουε τη αξιοόγηη

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η καταοή πιθαότητας η έση τιή και η διασπορά ιας τυχαίας εταβλητής εξετάσθηκα στο Κεφάλαιο Στο κεφάλαιο αυτό ελετώται διεξοδικά οι σηατικότερες διακριτές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ Ασκήσεις : 1, 2, 3, σελ. 107.

Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ Ασκήσεις : 1, 2, 3, σελ. 107. Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ 05 Ασκήσεις :,, 3, σελ 07 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 4 Α ο πίακας R είαι ορθογώιος, αποδείατε ότι I

Διαβάστε περισσότερα

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5-5 Ασκήσεις :, 4, 6, 8, 9,, σελ 59 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 6 ο πίακας είαι η µοαδική ιδιοτιµή του,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. Aναονητικά Συστήατα, Γραές Παραγωγής, F.M.S. Γιάννης Α. Φίης Ιανουάριος 3 Πουτεχνείο Κρήτης Π Ε Ρ Ι Ε X Ο Μ Ε Ν Α EIΣΑΓΩΓΗ...3 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ...6. Μοντέα Γέννησης Θανάτου...

Διαβάστε περισσότερα

λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων

λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων Κεφάαιο 4. Απά οντέα συστηάτων αναονής Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζουε απά οντέα αναονής (συστήατα ε ένα σταθό εξυπηρέτησης) ενώ τα οντέα δικτύων αναονής θα εξεταστούν σε επόενο κεφάαιο. 4. Μοντέα αναονής

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

A 1 y 1 (t) + A 2 y 2 (t)

A 1 y 1 (t) + A 2 y 2 (t) 5. ΔΙΕΛΕΥΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΑΙ XΡONIKA AMETABΛHTO ΣΥΣΤΗΜΑ 5.. Γειά περί γραμμιώ αι χροιά αμετάβλητω συστημάτω 5... Ορισμός Γραμμιό είαι έα σύστημα το οποίο, ότα στη είσοδό του εμφαιστεί έα σήμα Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ : Ααγκαία συθήκη για α κατασκευάζεται µε καόα και διαβήτη έα καοικό πολύγωο είαι το πλήθος τω πλευρώ του α είαι της µορφής ( + )...( + ) όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙ ΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Επιέλεια Ύλης Θ.Χριστοδολάκης Ε. Κορφιάτης ΑΘΗΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ..... Υπεθίσεις από

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς 9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 10ς (Ξ, Ο,) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 10ς

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 37 38 Ερωτήσεις Κτόησης. Υπάρχου κοικά πολύγω τω οποίω οι εξωτερικές γωίες είι βλείες ; Απάτηση Νι. Είι το ισόπλευρο τρίγωο. Ποιο είι το πόστη κοικού πολυγώου περιγεγρέου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ. τ... μαθητ... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος

ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ. τ... μαθητ... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος ΗΛΙΑΣ Γ. ΚΑΡΚΑΝΙΑΣ - ΕΦΗ Ι. ΣΟΥΛΙΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ τ... μαθητ...... ΤΑΞΗ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ... Β Τεύχος Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Γραφής Α Δημοτικού Β ΤΕΥΧΟΣ Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ . ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις * * *

Λυµένες Ασκήσεις * * * Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 1 από 6 Μάθηµα 9 ο ΓΙΝΟΜΕΝΟ KRONECKER Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 15 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 91 Α AB, είαι πίακες τύπου µ µ και ατίστοιχα, υπολογίσατε τη

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 2ς (Α,α (αααώ-)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 2ς (Α,α (αααώ-)) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Στα επόμενα παρουσιάζουμε τις τρεις βασικές μεθόδους ολοκλήρωσης των ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Στα επόμενα παρουσιάζουμε τις τρεις βασικές μεθόδους ολοκλήρωσης των ορισμένων ολοκληρωμάτων. Σχόι Θεωρίς ο Κεφάιο Μέθοδοι οοήρωσης ι ορισέ οοηρώτ Αωιοί τύοι οοηρωάτω Θετιή Τεχοοιή Νο Κτεύθυση Στ εόε ρουσιάζουε τις τρεις σιές εθόδους οοήρωσης τω ορισέω οοηρωάτω.. Προτιή οοήρωση : Γι δύο συρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ

Διαβάστε περισσότερα

Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Ο

Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Ο 3ω η Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Ο 9/5/2014 Ο Α Α Α ιο οιώ ας α α α ά ω α αθέ α α οσ αθήσ α α α ήσ σ α ω ή α α ο α ο ο θού : Ο Α Ο Α Α «Π ι ὸ Τὲ ὑ ὑ ῖ ὑ ὶ ὰ Τ Τ ὶ ὺ Τ» (DK 14.7) Α «ὴ ὑ ὶ ὺ Τ ὑ Τ Τ ὑ Τῆ ῖ

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα