Στατιστική Συμπερασματολογία

Transcript

1 4. Εκτιητική

2 Στατιτική Συπεραατολογία εκτιήεις τω αγώτω παραέτρω ιας γωτής από άποψη είδους καταοής έλεγχο τω υποθέεω που γίοται ε χέη ε τις παραέτρους ιας καταοής και ε χέη ε το είδος της καταοή. ΒΙΟ309-Εκτιητική

3 Εκτιητική εκτιήτρια ιας παραέτρου: ια υάρτηη τω τιώ του δείγατος που έχουε επιλέξει από το πληθυό, της οποίας οι τιές παρέχου προεγγίεις της πληθυιακής παραέτρου. εκτίηη της παραέτρου: τιή της εκτιήτριας για έα υγκεκριέο δείγα ηειακή εκτίηη oit etimatio: έας αριθός που δίει ια εκτίηη της ατίτοιχης παραέτρου του πληθυού. εκτίηη ε διατήατα επιτούης.ε. iterval etimatio: έα διάτηα έα το οποίο περιέχεται η πραγατική τιή της παραέτρου ε κάποια πιθαότητα. ΒΙΟ309-Εκτιητική 3

4 Ιδιότητες Εκτιητριώ Μια εκτιήτρια Θ της άγωτης παραέτρου θ τη λέε αερόληπτη ubiaed εκτιήτρια της θ α E Θ = θ Μια αερόληπτη εκτιήτρια Θ της άγωτης παραέτρου θ τη λέε αποτελεατική efficiet εκτιήτρια της θ α έχει τη ελάχιτη εταβλητότητα, δηλαδή α για οποιαδήποτε άλλη * αερόληπτη εκτιήτρια Θ * Var Θ Var Θ ΒΙΟ309-Εκτιητική 4

5 Σηειακή εκτίηη Μέθοδος τω ροπώ, έθοδος έγιτης πιθαοφάειας και έθοδος τω ελαχίτω τετραγώω Μέθοδος έγιτης πιθαοφάειας Έτω,,..., οι τιές εός τυχαίου δείγατος εγέθους, που το επιλέξαε από έα πληθυό του οποίου έα οριέο χαρακτηριτικό X έχει υάρτηη πιθαότητας ή πυκότητας πιθαότητας f;θ, όπου θ είαι ια άγωτη παράετρος. εκτιήτρια έγιτης πιθαοφάειας της θ είαι αυτή που εγιτοποιεί τη υάρτηη,,..., ; θ = f i ; i= L θ Συάρτηη πιθαοφάειας ΒΙΟ309-Εκτιητική 5

6 Υπολογιός της εκτιήτριας έγιτης πιθαοφάειας Τη εκτιήτρια Θ τη υπολογίζουε από τη εξίωη L,,..., θ ; θ = 0 και Για α διευκολύουε τη αθηατική επεξεργαία υχά χρηιοποιούε τη υάρτηη L,,..., ; θ. Τότε l L θ =Θ 0 Και ο υπολογιός της εκτιήτριας γίεται από τη εξίωη θ L l L,,..., ; θ ατί της,,..., ; θ = l f i ; θ i= l L θ = i= l f i ; θ θ = 0 ΒΙΟ309-Εκτιητική 6

7 Η έθοδος τω ελαχίτω τετραγώω Οι εκτιήτριες ελαχίτω τετραγώω ελαχιτοποιού το άθροια τω τετραγώω τω αποκλίεω εταξύ κάθε παρατήρηης και τις προβλεπόεης από κάποιο οτέλο i= y i y i 7

8 Εκτίηη ε διατήατα επιτούης Μια εκτίηη διατήατος ιας παραέτρου θ είαι έα διάτηα της ορφής όπου και θ εξαρτώται από τη τιή της εκτιήτριας Θ για θl έα υγκεκριέο δείγα και από τη δειγατοληπτική καταοή της Θ. Τα άκρα του διατήατος είαι τιές που ατιτοιχού ε δύο τ.. και Θ U L Θ U θ θ L θ U ΒΙΟ309-Εκτιητική 8

9 Εκτίηη ε.ε. Από τη δειγατοληπτική καταοή της Θ βρίκουε και θl θu, τέτοια ώτε Για 0α υπάρχει πιθαότητα -α α διαλέξουε έα τυχαίο δείγα που θα δώει έα διάτηα που α περιέχει το θ. Το διάτηα θ θ L θ U Θ θ Θ = α L U που βρίκουε από το δείγα που επιλέγουε οοάζεται -α 00 % διάτηα επιτούης και η πιθαότητα -α οοάζεται υτελετής επιτούης. ΒΙΟ309-Εκτιητική 9

10 ΒΙΟ309-Εκτιητική 0.Ε. γιατηέητιήτουπληθυού εγάλο δείγα, γωτή N X, ~ 0, ~ N Χ Ζ = -z α z α -α α α α = a a z X z α = z X z X a a

11 .Ε. γιατηέητιήτουπληθυού εγάλο δείγα, γωτή Έα -α00%.ε. είαι: z a, z a Τα 95 % όρια επιτούης είαι: Tα 99 % όρια επιτούης είαι: ±,96 ±,58 Σηείωη: Ότα το δείγα προέρχεται από καοικά καταεηέο πληθυό τα παραπάω ιχύου είτε το δείγα είαι ικρό είτε είαι εγάλο. ΒΙΟ309-Εκτιητική

12 .Ε. γιατηέητιήτουπληθυού εγάλο δείγα, άγωτη Έα -α00%.ε. είαι: z z a, a ΒΙΟ309-Εκτιητική

13 .Ε. γιατηέητιήτουπληθυού ικρό δείγα, άγωτη Ότα το δείγα είαι ικρό και προέρχεται από καοικά καταεηέο πληθυό ητ.. T Χ ~ t S = Έα -α00%.ε. είαι: -α t ; a, t ; a α α -t -;α t -;α ΒΙΟ309-Εκτιητική 3

14 Προδιοριός του εγέθους του δείγατος για τη εκτίηη έω τιώ 6 φάλα 4748 z a z a Σφάλα: za Μέγεθος δείγατος ώτε α είατε -α00% ίγουροι ότι το φάλα τη εκτίηη δε ξεπερά έα επιτρεπτό όριο e = z e α ΒΙΟ309-Εκτιητική 4

15 .Ε. για τη διαφορά δύο έω τιώ Αεξάρτητα δείγατα Θεωρούε δύο αεξάρτητα δείγατα εγέθους επιλεγέα από δύο πληθυούς ε έες τιές και και διαπορές και, ατίτοιχα. και Μεγάλα δείγατα X N ~, X X εκτιήτρια της διαφοράς X N ~, X N X ~, ΒΙΟ309-Εκτιητική 5

16 ΒΙΟ309-Εκτιητική 6.Ε. για τη διαφορά δύο έω τιώ Αεξάρτητα, εγάλα δείγατα ιαπορές γωτές Έα -α00%.ε. είαι: 0, ~ N X X z z a a

17 ΒΙΟ309-Εκτιητική 7.Ε. για τη διαφορά δύο έω τιώ Αεξάρτητα, εγάλα δείγατα ιαπορές άγωτες Έα -α00%.ε. είαι: 0, ~ N X X z z a a

18 .Ε. για τη διαφορά δύο έω τιώ Μικρά δείγατα Θεωρούε δύο αεξάρτητα δείγατα εγέθους και επιλεγέα από δύο καοικά καταεηέους πληθυούς ε έες τιές και και διαπορές και, ατίτοιχα. Α = =, τότε ιαεκτιήτριατηςάγωτης και η τ.. κοιής διαποράς είαι: S S T = ~ t S = S X X Έα -α00%.ε. είαι: t ; t a ; a 8

19 ΒΙΟ309-Εκτιητική 9.Ε. για τη διαφορά δύο έω τιώ Για Έα -α00%.ε. είαι: όπου οι βαθοί ελευθερίας δίοται από τη χέη η τιή τρογγυλεύεται το πληιέτερο ακέραιο ; ; t t a a ] [ ] [ =

20 .Ε. για τη διαφορά δύο έω τιώ είγατα εξαρτηέα - Ζευγαρωτές παρατηρήεις Θεωρούε δύο τυχαία δείγατα επιλεγέα από δύο πληθυούς ε έες τιές και και διαπορές και, ατίτοιχα. Επιπλέο, κάθε τοιχείο του εός δείγατος χετίζεται ε έα τοιχείο του δευτέρου δείγατος. Έτω,, K, τα τοιχεία του ου δείγατος και i τα τοιχεία του ου δείγατος. Α και χετίζοται, τότε και δε είαι αεξάρτητα, εώ οι διαφορές αεξάρτητες και αποτελού έα τυχαίο δείγα. d,, K, i i i i = i i, i =,, L, είαι ΒΙΟ309-Εκτιητική 0

21 .Ε. για τη διαφορά δύο έω τιώ είγατα εξαρτηέα - Ζευγαρωτές παρατηρήεις Μικρά δείγατα Α ο πληθυός τω διαφορώ τιή d = d t d i, τότε έα -α00%.ε. είαι: d ; a d d t ; a έχει καοική καταοή ε έη d Γιαεγάλαδείγαταιχύει t = ; a z a ΒΙΟ309-Εκτιητική

22 .Ε. για ια πληθυιακή ααλογία Μιαεκτιήτριατηςααλογίας εέαδιωυικόπείρααείαι X το τατιτικό =, όπου Χ είαι ο αριθός τω επιτυχιώ ε δοκιές. Σηειακή εκτίηη της είαι η δειγατική ααλογία = το ποοτό τω επιτυχιώ ε έα τ.δ. εγέθους. Ότα το δε περιέουε α είαι κοτά το 0 ή, τότε για εγάλο από το Κ. Ο. Θ. ητ.. έχει προεγγιτικά καοική καταοή ε έη τιή και διαπορά = E = = Var = Z = ~ N0, ΒΙΟ309-Εκτιητική

23 .Ε. για ια πληθυιακή ααλογία Έα -α00%.ε. για τη πληθυιακή ααλογία είαι: za za Προϋπόθεη: 5 και 5 ΒΙΟ309-Εκτιητική 3

24 Προδιοριός του εγέθους του δείγατος για τη εκτίηη ααλογιώ 6 φάλα 4748 za za Σφάλα: za Μέγεθος δείγατος ώτε α είατε -α00% βέβαιοι ότι το φάλα δε ξεπερά το επιτρεπτό όριο e z e = α ΒΙΟ309-Εκτιητική 4

25 .Ε. για τη διαφορά δύο πληθυιακώ ααλογιώ Θεωρούε δύο πληθυούς που έχου διωυική καταοή για τους οποίους θέλουε α εκτιήουε τη διαφορά τω ααλογιώ και. Μια εκτιήτρια της διαφοράς είαι το τατιτικό Επιλέγουε από κάθε πληθυό αεξάρτητα τ.δ. εγέθους και, ατίτοιχα. Α και είαι ο αριθός τω ``επιτυχιώ'' ε κάθε δείγα, τότε τα ποοτά = και είαι ηειακές εκτιήεις τω και. = Οι διαφορά τω δειγατικώ ααλογιώ εκτίηη της. είαι ηειακή ΒΙΟ309-Εκτιητική 5

26 ΒΙΟ309-Εκτιητική 6.Ε. για τη διαφορά δύο πληθυιακώ ααλογιώ Οι τ.. και είαι αεξάρτητες, και η διαφορά ότα το έγεθος τω δειγάτω είαι εγάλο και οι πληθυιακές ααλογίες δε είαι κοτά το 0 ή έχει προεγγιτικά καοική καταοή ε έη τιή και διαπορά Έα -α00%.ε. για τη διαφορά τω πληθυιακώ ααλογιώ είαι: = = 0, ~ N Z = z z a a

27 .Ε. για τη διαπορά του πληθυού Έα δείγα εγέθους επιλέγεται από καοικά καταεηέο S πληθυό ε διαπορά. Ητ.. ~ χ S χ χ = α α α ; ; Έα -α00%.ε. είαι: -α χ ; α χ ; α α α χ χ -;-α -;α ΒΙΟ309-Εκτιητική 7

28 .Ε. για το λόγο δύο διαπορώ Θεωρούε δύο αεξάρτητα δείγατα εγέθους και επιλεγέα ατίτοιχα από δύο καοικά καταεηέους πληθυούς ε διαπορές και. S S Ο λόγος είαι εκτιήτρια του λόγου τω διαπορώ, όπου S και S είαι δειγατικές διαπορές. Α και είαι οι διαπορές τω δειγάτω, τότε ο λόγος είαι ηειακή εκτίηη του λόγου. S S Ητ.. F = = ~ F όπου και, = = S S ΒΙΟ309-Εκτιητική 8

29 ΒΙΟ309-Εκτιητική 9.Ε. για το λόγο δύο διαπορώ Έα -α00%.ε. είαι: α α α = ;, ;, f S S f α α, ;α, ;-α -α f f α α α = ;, ;, f S S f S S ;, ;, α α f f