αναφέρετε τις θεµελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς µετασχηµατίζεται ένας τανυστής 2ης τάξης

Transcript

1 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός του κεφαλαίου είαι ια σύτοη αασκόπηση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, καθώς και η εσωάτωση της θεωρίας στις εξισώσεις του Maxwell. Η εσωάτωση αυτή οδηγεί κατόπι στη καταόηση του τρόπου ε το οποίο ετασχηατίζοται τα ηλεκτροαγητικά πεδία από έα σύστηα ααφοράς σε έα άλλο. Προσδοκώεα αποτελέσατα Με τη ολοκλήρωση της ελέτης του κεφαλαίου, θα πορείτε α: ααφέρετε τις θεελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς ετασχηατίζεται έας ταυστής ης τάξης ικαιολογήσετε γιατί ο όος του Νεύτωα αλλάζει ορφή στη ειδική θεωρία της σχετικότητας, εώ οι εξισώσεις του Maxwell έου ως έχου Ααφέρετε τι είαι η δύαη Minkowski Προσδιορίσετε πώς γράφεται η εξίσωση της συέχειας σε συαλλοίωτη ορφή Περιγράψετε δύο εθόδους για τη εύρεση του ηλεκτροαγητικού πεδίου που οφείλεται σε φορτίο κιούεο ε σταθερή ταχύτητα. Έοιες κλειδιά ετασχηατισός Lorentz χώρος Minkowski τετραδιάυσα ταυστής σύστηα ααφοράς δύαη Minkowski ηλεκτροαγητικός ταυστής Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

2 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος συαλλοίωτη ορφή ΕΝΟΤΗΤΑ.: Μετασχηατισός Lorentz Οι εξισώσεις του Maxwell είαι συβατές ε ια και όο ταχύτητα ηλεκτροαγητικώ κυάτω: (.) ε Η παρατηρούεη ταχύτητα όως για κάθε κύα είαι συάρτηση του συστήατος ααφοράς στο οποίο βρισκόαστε. Σε ποιο σύστηα ααφοράς ισχύει η ταχύτητα (.); Η ταχύτητα τω ηλεκτροαγητικώ κυάτω είαι η οαδική «απόλυτη» ταχύτητα στη φύση και παραέει η ίδια σε κάθε σύστηα ααφοράς. Το θεελιώδες αυτό πόρισα προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell, που είαι συβατές ε ια και όο ταχύτητα ηλεκτροαγητικώ κυάτω. Το πόρισα αυτό αποτελεί ια από τις δύο θεελιώδεις υποθέσεις στις οποίες βασίζεται η ειδική θεωρία της σχετικότητας. Οι υποθέσεις αυτές είαι:. Σχετικότητα: Οι όοι της φύσης είαι οι ίδιοι σε όλα τα αδραειακά συστήατα.. Απόλυτη ταχύτητα του φωτός: Η ταχύτητα τω ηλεκτροαγητικώ κυάτω (άρα και του φωτός) είαι η ίδια σε όλα τα αδραειακά συστήατα. Η δεύτερη υπόθεση δε είαι συβατή ε το κλασικό ετασχηατισό του Γαλιλαίου, σύφωα ε το οποίο, α έα αδραειακό σύστηα F κιείται ε ταχύτητα ˆ vi σχετικά ε άλλο σύστηα F, τότε οι συτεταγέες εός γεγοότος ( x, y, z, t ) όπως παρατηρείται στο F σχετίζοται ε τις ατίστοιχες συτεταγέες (x,y,z,t) στο F έσω του ετασχηατισού: x x vt, y y, z z, t t (.) Α το διάυσα της ταχύτητας v είαι αυθαίρετο, τότε ο ετασχηατισός του Γαλιλαίου γράφεται: x // x vt, x x, t t (.3) όπου // και συβολίζου τις διαυσατικές συιστώσες που είαι παράλληλες και κάθετες στο σταθερό διάυσα v. Ο ατίστοιχος ετασχηατισός ταχυτήτω είαι: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

3 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος dx // d( x// vt) u // u // dt dt dx dx u u dt dt v (.4) (.5) Εώ για το ετασχηατισό τω επιταχύσεω έχουε: du d( u v) a a dt dt (.6) Σύφωα ε το ετασχηατισό του Γαλιλαίου (.4), η παρατηρούεη ταχύτητα (κύατος ή σωατίω) δε είαι η ίδια σε δύο διαφορετικά αδραειακά συστήατα, σε ατίθεση ε το πόρισα που προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell. Η υπόθεση του Γαλιλαίου ότι τα χωρικά ήκη και τα χροικά διαστήατα είαι απόλυτες ποσότητες ( x x, t t ) οδήγησε στη σχετικότητα της ταχύτητας (.4). Η πειραατικά διαπιστωέη απόλυτη τιή της ταχύτητας του φωτός (πείραα Mihelson- Morley, 887) ( ) όως ας ααγκάζει α αφισβητήσουε τη απόλυτη τιή τω ηκώ και τω χροικώ διαστηάτω ( x x, t t ). Ο ετασχηατισός που σέβεται τη απόλυτη τιή της ταχύτητας του φωτός θυσιάζοτας τη απόλυτη τιή ηκώ και χροικώ διαστηάτω λέγεται ετασχηατισός Lorentz. Για α βρούε τη ορφή του ετασχηατισού Lorentz, θεωρούε πάλι τα αδραειακά συστήατα F και F που κιούται ε σχετική ταχύτητα v v i συπίπτου τη στιγή t t '. και οι αρχές τους Έστω φωτειός παλός που εκπέπεται στη θέση x τη t ως προς το F. Τη χροική στιγή t η ακτία του σφαιρικά διαδιδόεου φωτειού κύατος είαι t και οι συτεταγέες ( x, y, z ) του σφαιρικού ετώπου κύατος ικαοποιού τη σχέση: x y z t + + (.7) Σύφωα ε τη δεύτερη υπόθεση της σχετικότητας και τις εξισώσεις του Maxwell, το έτωπο κύατος στο σύστηα σχέση: F ' έχει συτεταγέες x, y, z που ικαοποιού τη (.8) x + y + z t t Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

4 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Είαι, εποέως, και πάλι έα σφαιρικό κύα ε ακτία (,,, ) x y z t ε τα ( x, y, z, t ), ε δεδοέο ότι ισχύου οι (.7) και (.8); Ατικαθιστώτας στη (.8) το ετασχηατισό όπου t '. Πώς σχετίζοται τα x γ ( x vt), y y, z z, t γ ( t vx / ) (.9) πορούε εύκολα α δείξουε ότι προκύπτει η (.7). γ (.) v Ο ετασχηατισός (.9) είαι ο ετασχηατισός Lorentz, που διατηρεί σταθερή τη ταχύτητα του φωτός σε όλα τα αδραειακά συστήατα, αλλά εισάγει τη σχετικότητα στα ήκη και τα χροικά διαστήατα. Η γεική ορφή του ετασχηατισού Lorentz για γεική σχετική ταχύτητα v είαι: x // γ ( x // vt), x x, t γ ( t vx // / ) (.) εώ ο ατίστροφος ετασχηατισός είαι: x // γ ( x // + vt ), x x, t γ t + vx (.) ( // / ) Ο ατίστροφος ετασχηατισός είαι ισοδύαος ε ατιετάθεση του ( x,t) και του ( x,t ) και ατικατάσταση του v από το v, αφού το F κιείται ε ταχύτητα v σχετικά ε το F ' αδραειακό σύστηα. Άσκηση αυτοαξιολόγησης. Θεωρήστε ιόια ε εέργεια GeV, που δηιουργούται, για παράδειγα, σε σκεδάσεις υψηλής εέργειας. Ποια είαι η έση απόσταση που ταξιδεύου τα ιόια πρι διασπαστού, υποθέτοτας ότι δε σταατού από εργαστηριακές θωρακίσεις; ΕΝΟΤΗΤΑ.: Ο χώρος Minkowski Ο χώρος Minkowski είαι έας 4-διάστατος χώρος που αποτελείται από τις τρεις διαστάσεις χώρου και ια διάσταση χρόου. Γι αυτό λέγεται 4-διάστατος χωροχρόος. Ορίζουε το τετραδιάστατο διάυσα x ως: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

5 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος x x t x x x y 3 x z όπου,,, 3 απαριθεί τις συιστώσες του x. (.3) Ο ετασχηατισός Lorentz παρασταθεί ως έας 4 4 πίακας x x ' είαι γραικός και, εποέως, πορεί α Λ αεξαρτήτως από τα x ' x, x ' : Λ x (.4) όπου χρησιοποιούε το συβολισό Einstein, σύφωα ε το οποίο επααλαβαόεοι δείκτες [όπως ο στη (.4)] οούται ως αθροιζόεοι. Έτσι, ο ετασχηατισός Lorentz πορεί α παρασταθεί ε τη ορφή του πίακα ετασχηατισού όπου β και γ. β γ βγ βγ γ Λ Από τις (.4) και (.5) προκύπτει εύκολα η (.9). (.5) Με τη βοήθεια του ετασχηατισού Lorentz (.5), που ατιστοιχεί σε γεικευέο πίακα στροφώ στο χωροχρόο, πορούε α ορίσουε διαύσατα και ταυστές σε 4 διαστάσεις. Τετραδιάυσα α είαι έα σύολο από 4 συιστώσες που ετασχηατίζοται από έα αδραειακό σύστηα σε άλλο σύφωα ε τη σχέση: a ' Ταυστής ης τάξης (ε δύο δείκτες) Λ a (.6) Τ είαι έα σύολο από 6 συιστώσες (πίακας 4x4) που ετασχηατίζεται όπως το γιόεο δύο διαυσάτω x x, δηλαδή: σ Τ ' Λ Λ Τ (.7) ρ (η άθροιση στα ρ, σ εοείται). Σε κάθε διάυσα a ατιστοιχεί η τετράδα a (ε κάτω δείκτη), που ορίζεται ως: σ Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

6 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος α a a a a a a 3 a 3 a (.8) Το a λέγεται αταλλοίωτο διάυσα, εώ το a λέγεται συαλλοίωτο διάυσα. Όοια ορίζοται και ταυστές ε κάτω δείκτες ij i i, ij, i, i Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ (.9) όπου οι ρωαϊκοί δείκτες ( i, j, k,...) παίρου τιές,, 3, που ατιστοιχού σε διαστάσεις χώρου x, y, z. Τα συαλλοίωτα διαύσατα a (και οι συαλλοίωτοι δείκτες γεικότερα) ετασχηατίζοται ε το ατίστροφο ετασχηατισό Lorentz ( Λ ) : ( a ' a ( ) ) Λ έτσι ώστε το γιόεο a b a b a b i i + (.) α είαι ααλλοίωτο κάτω από ετασχηατισούς Lorentz (όπως και το x x t x y z για το φως είαι ααλλοίωτο). ΕΝΟΤΗΤΑ.3: Κιηατική υλικού σηείου Έστω υλικό σηείο Ρ που διαγράφει τροχιά στο χωροχρόο. Η τροχιά αυτή στις 4 διαστάσεις λέγεται κοσική γραή. Ορίζουε το ααλλοίωτο ιδιοχρόο του Ρ από τη σχέση: d τ dx dx dt dx (.) όπου dx είαι απειροστή ετατόπιση κατά ήκος της κοσικής γραής. Χρησιοποιώτας το ιδιοχρόο dt, πορούε α ορίσουε τη τετραταχύτητα έα ααλλοίωτο διάυσα: η ως ε συιστώσες: dx η (.) dt Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

7 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος dt (.3) u dt dx u η (.4) u u dt η dx dt όπου dx u (.5) dt είαι η ταχύτητα του σωατίου στο σύστηα F. Σε ατίθεση ε τις συιστώσες του η, οι συιστώσες του u δε αποτελού τετραδιάυσα. Η τετραορή του P ορίζεται ως: p mη (.6) όπου m η άζα ηρείας (βαθωτό κατά Lorentz). Εποέως, έχουε: p o p mη m u / mu u / (.7) (.8) Για u<<, η (.7) γράφεται ως: p m + mu +... (.9) Εποέως, πορούε α ταυτίσουε τη σηείου. p ε Ε/, όπου Ε η ολική εέργεια του υλικού Απαλείφοτας τη u από τις (.7) και (.8) και χρησιοποιώτας τη σχέση p (.3) E πορούε α συσχετίσουε τη εέργεια ε τη ορή ως: E 4 m + p (.3) Η ταύτιση της ορής και της εέργειας ε τις συιστώσες του τετραδιαύσατος p E, p εξασφαλίζει ότι, α η διατήρηση της ορής και της εέργειας ισχύει σε ( ) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

8 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος έα σύστηα ααφοράς, θα ισχύει ααγκαστικά και σε οποιοδήποτε άλλο συδέεται ε το πρώτο ε έα ετασχηατισό Lorentz τότε: Λ. Α δηλαδή Pαρχικ ό Pτελικ ό σε έα σύστηα, P ' Λ P Λ P P ' (.3) αρχικό αρχικό τελικό τελικό Η πρώτη υπόθεση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, ότι δηλαδή οι όοι της φύσης έχου τη ίδια ορφή σε όλα τα αδραειακά συστήατα ααφοράς, είαι ισοδύαη ε τη απαίτηση έκφρασης όλω τω φυσικώ όω ως ισοτήτω ταυστώ ή τετραδιαυσάτω. Α, για παράδειγα, έας φυσικός όος έχει τη ορφή: T T (.33) σε έα σύστηα ααφοράς F, τότε σε άλλο σύστηα ααφοράς F έχει τη ορφή: διότι: ' ' Τ Τ αβ αβ αβ ' a β a β ' Τ Λ Λ Τ Λ Λ Τ Τ (.34) Λέε ότι οι φυσικοί όοι είαι συαλλοίωτοι, διατηρού δηλαδή τη ίδια ορφή σε όλα τα συστήατα ααφοράς. Ο όος του Νεύτωα dp F( x, t) (.35) dt δε είαι γραέος σε συαλλοίωτη ορφή, αφού τα p και F δε είαι τετραδιαύσατα. Η γείκευσή του σε συαλλοίωτη ορφή είαι: όπου η dp K (.36) dτ K λέγεται δύαη Minkowski και dτ είαι ο στοιχειώδης ιδιοχρόος που είαι βαθωτό (ααλλοίωτος κάτω από ετασχηατισούς Lorentz). Η σχέση της δύαης Minkowski K ε τη Νευτώεια δύαη F προκύπτει εύκολα ως εξής: K dp dp / dt K dτ dτ / dt o F u / o dp de de / dt dτ dτ dτ / dt F u / u / (.37) (.38) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

9 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Η γείκευση του όου του Νεύτωα σε συαλλοίωτη ορφή οδηγεί σε αλλαγή της ορφής του (π.χ. οι χωρικές συιστώσες της δύαης Minkowski διαφέρου από τη Νευτώεια δύαη). Αυτό όως δε συβαίει ε τις εξισώσεις του Maxwell, οι οποίες είαι, από κατασκευής, συβατές ε τη ειδική θεωρία της σχετικότητας και δε χρειάζοται καία αλλαγή. Για α γίει εφαής αυτή η συαλλοιότητα τω εξισώσεω του Maxwell, θα πρέπει α γράφου ως ισότητες εταξύ ταυστώ. ΕΝΟΤΗΤΑ.4: Ηλεκτροαγητισός σε συαλλοίωτη ορφή Η Νευτώεια δύαη Lorentz που δρα σε φορτισέο σωάτιο σε συγκεκριέο σύστηα ααφοράς είαι: dp F qe q u B dt + ( ) (.39) Χρησιοποιώτας τις (.37), (.38), πορούε α βρούε τη ατίστοιχη δύαη Minkowski ως: qe + q( u B) E K q + q B η η u (.4) K qe u E qη u (.4) όπου χρησιοποιήσαε τις (.3) και (.4). Η δύαη Minkowski είαι, γεικά, τετραδιάυσα, και εποέως η έκφρασή της συαρτήσει ηλεκτρικού και αγητικού πεδίου θα πρέπει α είαι και αυτή τετραδιάυσα. Για α γίει αυτό εφαές, θα πρέπει το δεξί έλος τω (.4), (.4) α εκφραστεί συαρτήσει τετραδιαυσάτω και ταυστώ. Για το σκοπό αυτό ορίζουε το 4x 4 ατισυετρικό πίακα ότι είαι ταυστής) ως: F ε F (θα δούε παρακάτω ij k ijk B (.4) F i F i i E (.43) Ο πίακας αυτός έχει τη ορφή: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

10 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος E E E3 E B3 B F (.44) E B3 B E 3 B B Η δύαη Minkowski πορεί α εκφραστεί συαρτήσει του πίακα E K q q B i i j k η + ε ijkη i ij ( η η j ) F ως: q F + F (.45) όπου χρησιοποιήσαε τις σχέσεις j j E j K qη q ( ηf + η jf ) (.46) η η, Από τις (.45) και (.46) προκύπτει η σχέση: η j v j η. K qη F (.47) Για α είαι η δύαη Minkowski αταλλοίωτο τετραδιάυσα στη (.47) και α ετασχηατίζεται σύφωα ε το ετασχηατισό Lorentz (δεδοέου ότι η η v είαι συαλλοίωτο τετραδιάυσα), θα πρέπει ο πίακας ης τάξης. F α είαι αταλλοίωτος ταυστής Έτσι, η εξίσωση κίησης φορτισέου σωατίου γράφεται σε συαλλοίωτη ορφή ως: Ο ταυστής dp d qnvf τ (.48) F λέγεται ηλεκτροαγητικός ταυστής πεδίου και πορεί α χρησιοποιηθεί για α γραφού οι εξισώσεις του Maxwell σε συαλλοίωτη ορφή. Συγκεκριέα, χρησιοποιώτας τις σχέσεις: F x F i x E B E t (.49) (.5) οι εξισώσεις του Maxwell που συσχετίζου πηγές ε πεδία (όος Gauss και όος Ampere-Maxwell) γράφοται ως: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

11 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος όπου J F x J ρ ρ J J x J J y J 3 J z (.5) (.5) είαι το τετραδιάυσα ρεύατος που ετασχηατίζεται ως αταλλοίωτο τετραδιάυσα, δεδοέου ότι στη (.5) ο είαι συαλλοίωτο τετραδιάυσα. x F είαι αταλλοίωτος ταυστής ης τάξης, εώ το Χρησιοποιώτας το ορφή ως: J, η εξίσωση συεχείας ρ J γράφεται σε συαλλοίωτη t J x (.53) Οι άλλες δύο εξισώσεις Maxwell που περιέχου όο πεδία γράφοται σε συαλλοίωτη ορφή ως: όπου G x (.54) G είαι άλλος ατισυετρικός ταυστής, που λέγεται δυϊκός ταυστής πεδίου και ορίζεται ως: G ε αβ Fαβ (.55) αβ αβ όπου ε είαι ο ολικά ατισυετρικός ταυστής σε 4 διαστάσεις ( ε είαι + ή α το αβ είαι άρτια ή περιττή ετάθεση του 3). Οι συιστώσες του G είαι: G ij ε ijαβ F αβ ε ijk E k (.56) i i ijk i G G ε Fjk B (.57) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

12 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος και εποέως ο E B : Έτσι, η (.54) ε G προκύπτει από το E και F ε τις ατικαταστάσεις B B B B3 B E3 E G E 3 E (.58) B B E E 3 B ισοδυαεί ε το όο του Gauss ( ), εώ για τις χωρικές συιστώσες (,, 3) η (.54) ισοδυαεί ε το όο του Faraday B E +. t Ο ηλεκτροαγητικός ταυστής πεδίου διαυσατικού δυαικού ως: F πορεί α γραφεί συαρτήσει του F A A (.59) x x όπου V A A (.6) A A3 A x, t V x, t. είαι η συαλλοίωτη γείκευση σε τετραδιάυσα του διαυσατικού δυαικού ( ) ε χρήση και του βαθωτού δυαικού ( ) Η (.59) προκύπτει εύκολα ε χρήση τω (.44) και (9.5), (9.). Οι εξισώσεις του Maxwell που δε περιέχου πηγές ικαοποιούται αυτόατα α τα πεδία εκφραστού V x, t A x, t, άρα και η (.54) ικαοποιείται αυτόατα α ο F συαρτήσει ( ), ( ) εκφραστεί έσω της (.59). Άσκηση αυτοαξιολόγησης. Βαθωτό δυαικό V και διαυσατικό δυαικό A εός κιούεου φορτίου: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

13 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Θεωρήστε έα φορτίο q που κιείται ε ταχύτητα ˆ vi σε έα αδραειακό σύστηα ααφοράς F. Χρησιοποιήστε το γεγοός ότι το ( V /, A ) είαι έα τετραδιάυσα για α βρείτε τα δυαικά V ( x, t) και A( x, t) ισχύει V q 4πε r και A.). (Υπόδειξη: Στο σύστηα ααφοράς του q F Τα V ( x, t) ταχύτητα. και A( x, t) είαι τα δυαικά Lienard-Wiehert για έα φορτίο ε σταθερή ΕΝΟΤΗΤΑ.5: Μετασχηατισός πεδίου Ο F είαι ταυστής ης τάξης και, εποέως, κάτω από ετασχηατισούς Lorentz ετασχηατίζεται ως: όπου F ' ' ρσ ( x ) Λ Λ F ( x) x ' ρ σ Λ λ x λ (.6) Ας θεωρήσουε, για απλότητα, ετασχηατισό όπου σύστηα F κιείται ε ταχύτητα v i σε σχέση ε σύστηα F. Τότε, ο ετασχηατισός Lorentz δίεται από τη (.5). Ατικαθιστώτας τη (.5) στη (.6), έχουε: όπου χρησιοποιήσαε τη σχέση ( ) F F E ' F E' F + βγ γ (.6) ( ) ( ) ' ' γ βγ γ 3 F E F F E vb (.63) ( ) ( ) '3 3 3 ' 3 γ βγ γ 3 F E F F E + vb (.64) F i i ρσ ' Λ ρ Λσ F (.65) Ατίστοιχα, για το αγητικό πεδίο στο σύστηα F έχουε: Λ Λ (.66) i jk j B F κ F ρσ ρ σ όπου ijk είαι κυκλική ετάθεση τω,, 3. Για i έχουε ( j, k) (,3) και η όη η ηδεική συιστώσα του αθροίσατος είαι: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

14 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος για i έχουε ( j, k) (3, ) B (.67) 3 3 Λ Λ 3F B, και εποέως: και t ve3 B F Λ 3Λ F + Λ 3Λ F βγ F + γf γ ( B + ) (.68) ve B 3 γ ( B3 ) (.69) Οι ετασχηατισοί αυτοί προφαώς ααειγύου ηλεκτρικά και αγητικά πεδία. Αυτό είαι ααεόεο, γιατί α σε σύστηα F υπάρχου στατικά φορτία και εποέως όο ηλεκτρικά πεδία, σε σύστηα F που κιείται ε ταχύτητα v σχετικά ε το F τα στατικά φορτία κιούται ε ταχύτητα + v, και εποέως περιέουε τη ύπαρξη ηλεκτρικώ και αγητικώ πεδίω..5. Ηλεκτροαγητικό πεδίο κιούεου φορτίου Έστω φορτίο q που κιείται ε ταχύτητα ˆ viσε σύστηα F. Έστω ακόα F το σύστηα ηρείας του q, που κιείται ε ταχύτητα ˆ vi ως προς το F. Στο σύστηα F, όπου ηρεεί το q, έχουε: E( x ) B( x ) q 4πε Τα πεδία E( x, t), B( x, t) στο σύστηα F που κιείται ε ταχύτητα x (.7) (.7) 3 x vi ως προς το F υπολογίζοται εφαρόζοτας το ετασχηατισό Lorentz στα πεδία (.7), (.7) και στις συτεταγέες x. Έχουε: x γ ( x vt)ˆ i + yj ˆ + zkˆ (.7) Από τις (.6)-(.64) ε ( v v), λόγω τω (.7), (.7), έχουε: E E, E γe, E γe (.73) 3 3 Από τις (.67)-(.69) ε ( v v), λόγω τω (.7), (.7), έχουε: E3 E B, B γ v, B 3 γ v (.74) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

15 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Ατικαθιστώτας τη (.7) στη (.73) και χρησιοποιώτας τη (.7), βρίσκουε το E( x, t) ως: qγ ( x vt)ˆ i + yj ˆ + zkˆ E( x, t) 4πε γ ( x vt) + y + z 3 (.75) Ατίστοιχα, από τις (.74) προκύπτει, λόγω τω (.7) και (.7) για το αγητικό πεδίο: qγ v ( zj ˆ + ykˆ ) B( x, t) 4πε γ ( x vt) + y + z 3 (.76) Παρατηρούε ότι για ταχύτητες v που προσεγγίζου τη ταχύτητα του φωτός οι δυαικές γραές του ηλεκτρικού πεδίου χάου τη σφαιρική συετρία τους και συπιέζοται σ έα «δίσκο» κάθετο στη διεύθυση της κίησης, εώ το έγεθος του πεδίου αυξάει κατά έα παράγοταγ. Παρατηρητής σε ηρεία στο σηείο x, y, ) του F θα ατιλαβαότα έα απότοο ( z παλό πεδίου τη στιγή x t. v Ατίστοιχα, το αγητικό πεδίο είαι εφαπτοεικό σε κύκλο γύρω από το άξοα κίησης του φορτίου. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.3 Έα φορτίο q κιείται προσπερώτας έα αγήτη, όπως φαίεται στο Σχήα.. Η αρχική ταχύτητα v είαι στο επίπεδο του αγήτη. α) Περιγράψτε τη δύαη πάω στο q και τη κίηση του q στο σύστηα ααφοράς στο οποίο ο αγήτης είαι σε ηρεία (αδραειακό σύστηα). β) Περιγράψτε τη δύαη στο q και τη κίηση του q στο σύστηα ααφοράς εός παρατηρητή ο οποίος κιείται ε ταχύτητα v, δηλαδή τη ίδια ταχύτητα ε το q τη χροική στιγή που δείχει το σχήα. Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

16 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Σχήα. Λύσεις Ασκήσεω αυτοαξιολόγησης Λύση. Ο έσος χρόος ζωής στο σύστηα ααφοράς του ιοίου είαι τ. s. Ο έσος χρόος ζωής στο εργαστήριο είαι γτ, όπου: E GeV γ.95 m 5 MeV Η ταχύτητα του ιοίου στο εργαστήριο είαι κοτά στη ταχύτητα του φωτός, οπότε η έση απόσταση που ταξιδεύει πρι διασπαστεί είαι: D m γτ Επειδή η D είαι εγάλη, σε επιταχυτές υψηλώ εεργειώ χρειάζοται θωρακίσεις εγάλης άζας για ιόια. Λύση. Στο σύστηα ααφοράς του q (τοούεο σύστηα) V ( x ) είαι το βαθωτό δυαικό Coulomb και A. Ο ετασχηατισός Lorentz εός τετραδιαύσατος a είαι: ( ) γ a a + v a / ( ) γ + a a v a / a a 3 3 a a Χρησιοποιώτας το γεγοός ότι το ( V /, A ) είαι τετραδιάυσα, τα δυαικά στο σύστηα εργαστηρίου είαι: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

17 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος V V v γ q γ + A x 4 πε ( x ) + ( y ) + ( z ) δηλαδή: V ( x, t) 4πε και A γ v γ ( A V x + x δηλαδή A x γ q ( ) x vt + y + z γ vq 4 πε γ ( x vt) + y + z ) Οι y και z συιστώσες του A είαι. Τα πεδία που ατιστοιχού στο q πορεί α προκύψου ε διαφόριση τω δυαικώ. Έτσι, πορείτε α δείξετε ότι προκύπτου οι σχέσεις (.75) και (.76). Λύση.3 Σχήα. Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος

18 Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος α) Στο σύστηα του αγήτη, το q κιείται έσα στο αγητικό πεδίο και ασκείται σ αυτό η δύαη qv B. Το φορτίο θα εκτραπεί έξω από τη σελίδα (υποθέτοτας θετικό q). β) Στο σύστηα του παρατηρητή, το q είαι αρχικά σε ηρεία. Α υπήρχε όο έα αγητικό πεδίο B, τότε το q θα παρέεε σε ηρεία, διότι δε υπάρχει αγητική δύαη πάω σε φορτίο που βρίσκεται σε ηρεία. Όως ο αγήτης κιείται ε ταχύτητα v. Από το ετασχηατισό του Lorentz συεπάγεται ότι τα πεδία στο σύστηα του παρατηρητή B και E συδέοται ε τη σχέση: E v B Στη περιοχή του βόρειου πόλου, Ν, το ηλεκτρικό πεδίο κατευθύεται προς το εξωτερικό της σελίδας. Αυτό το ηλεκτρικό πεδίο ααγκάζει το q α επιταχυθεί προς το εξωτερικό της σελίδας. είτε ακόα PS, τα παραδείγατα του Κεφαλαίου, ε έφαση στα: Example 4 (σελ. 466), Example 5 (σελ. 467), Example 7 (σελ. 473). Ερωτήσεις. Ποιες είαι οι θεελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας;. Πώς ετασχηατίζεται έας ταυστής ης τάξης; 3. Γιατί ο όος του Νεύτωα αλλάζει ορφή στη ειδική θεωρία της σχετικότητας, εώ οι εξισώσεις του Maxwell έου ως έχου; 4. Τι είαι η δύαη Minkowski; 5. Πώς γράφεται η εξίσωση της συέχειας σε συαλλοίωτη ορφή; 6. Περιγράψτε δύο εθόδους για τη εύρεση του ηλεκτροαγητικού πεδίου που οφείλεται σε φορτίο κιούεο ε σταθερή ταχύτητα. Άλυτες ασκήσεις είτε PS, τις άλυτες ασκήσεις του Κεφαλαίου, ε έφαση στις:.,.3,.9,.,.4,.6,.7,.8,.3,.6. Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος