Ν αποδειχθεί ότι εάν η εικόνα του z γράφει τον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας α, τότε η εικόνα του w γράφει μια έλλειψη.

Transcript

1 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο Άσκηση Έστω R* C* κι Ν ποδειχθεί ότι εά η εικό του άφει το κύκο κέτου Ο() κι κτίς τότε η εικό του άφει μι έειψη Απόδειξη: Έστω R Έχουμε: κι Επειδ είι υεπώς εά είι t s με εικό το σημείο Μ(st) τότε s κι t s κι t Έτσι t 9 s t s Επομέως η εικό Μ(st) του άφει τη έειψη

2 Άσκηση Α η εικό του C διάφει κύκο κέτου Ο() κι κτίς > () είτε που κιείτι η εικό του C ότ Απάτηση: Έστω με R κι s t με s tr Έχουμε: Ά Επειδ δη έχουμε: s t s t s κι t t s s t Έπετι ότι η εικό του C κιείτι στη έειψη με εξίσωση Άσκηση Εά C* κι διυσμτικώ κτίω τω R εθεί η ωί τω Απάτηση: Σο τιώυμο έχει δικίουσ Δ = = - < Επομέως είι ι κάθε R Εά οιπό θέσουμε μ έχουμε: μ μ κι Α Β είι οι εικόες τω τίστοιχ τότε OA μob μ Η τεευτί μς πηοφοεί ότι οι διυσμτικές κτίες τω είι τίοπ διύσμτ κι ά σχημτίζου ωί ίση με π -μ τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

3 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο Άσκηση Δίοτι οι μιδικοί με κι Ν ποδειχθεί ότι οι εικόες τω στο μιδικό επίπεδο είι κουφές ισοπεύου τιώου Απόδειξη: ος τόπος Απ τη υπόθεση είι Έχουμε τις ισοδύμες ισότητες: Η τεευτί ισχύει συεπώς ισχύει η κι ομοίως η Ά Α Β Γ είι οι εικόες τω στο μιδικό επίπεδο τότε το τίωο ΑΒΓ είι ισόπευο ος τόπος Από ωστ εφμο στο διυσμτικό οισμό (Μθημτικά κτεύθυσης Β Λυκείου) έχουμε ότι εά Ο είι οποιοδποτε σημείο στο επίπεδο τιώου ΑΒΓ κι G το ύκετο του τιώου τότε ισχύει η ισότητ OG OΓ OB OA Εά οιπό Α Β Γ είι οι εικόες τω στο μιδικό επίπεδο (που κείτι στο μοδιίο κύκο) κι Ο η χ τω ξόω τότε η ισότητ δίει τη Γ O OB OA πό τη οποί συάουμε ότι OG όπου G το ύκετο του ΑΒΓ Από τη τεευτί ποκύπτει πως το ύκετο κι το πείκετο του τιώου ΑΒΓ συμπίπτου κι ά υτό είι ισόπευο Πι εξετάσουμε εκτικούς τόπους τιμετώπισης κάουμε κάποιες ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ: Επειδ έχουμε ά ποκύπτου οι ισότητες []

4 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο Από τη ποκύπτει κόμη ότι ά όω της [] πίουμε: = ος τόπος Από τη σχέση (δη τη []) πίουμε τη η οποί φού δίει διδοχικά τις Ά Επειδ όμως είι η τεευτί δίει Ομοίως ποδεικύουμε ότι οπότε το ΑΒΓ είι ισόπευο ος τόπος Θέτουμε οπότε κι όω τω [] κι [] Η πάστση άφετι ά = Η τεευτί ισότητ πουωύμω ισχύει ι κάθε C Γι δίει τη Ομοίως ποκύπτου οι κι []

5 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 5 Ά κι συεπώς δη το ζητούμεο 5 ος τόπος Ακεί ποδειχθεί ότι Επειδ η [] είι ισοδύμη με τη Η τεευτί υτ ισότητ ισοδύμ άφετι: Λόω του ότι η τεευτί άφετι Ακεί συεπώς ποδείξουμε τη [] Όμως έχουμε ά ισοδύμ = που είι η [] 6 ος τόπος Θ χειστεί πτησουμε ότι εά C τότε συθ όπου θ η ωί τω διυσμτικώ κτίω τω [] []

6 6 Πάμτι πό το όμο τω συημιτόω έχουμε: συ π θ συθ - θ Δίετι ότι κι Ά κι επομέως έχουμε τις ισότητες: συθ συθ συθ όπου θ η ωί τω διυσμτικώ κτίω τω Πάι πό το όμο τω συημιτόω έχουμε: οπότε Ομοίως συθ 7 ος τόπος Δεδομέου ότι μποούμε ούμε ωίες θ θ θ [π) έτσι ώστε ημθ κι συθ ημθ Από τη ισότητ συθ συθ ημθ ποκύπτου οι συθ συθ συθ κι ημθ ημθ ημθ Σότε συθ συθ συθ ημθ ημθ ημθ κι ά συθ ημθ συθ συθ ημθ ημθ συθ συθ συθ συθ ημθ ημθ συθ συθ ημθ ημθ κι όω του τύπου έχουμε συ συ ημ ημ συ συ θ θ συθ θ ημθ ημθ τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

7 7 Έχουμε: Ά κι όμοι συθ συθ ημθ ημθ συθ συθ συθ συθ ημθ ημθ συθ συθ ημθ ημθ συθ θ κι ημθ ημθ τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

8 8 Άσκηση 5 Οι μιδικοί είι τέτοιοι ώστε ικοποιούτι οι σχέσεις: κι Ν ποδειχθεί ότι οι εικόες τω στο μιδικό επίπεδο είι κουφές οθοωίου πηοάμμου Απόδειξη: ος τόπος Φωίς άη της εικότητς υποθέτουμε ότι οι εικόες A A A A τω τίστοιχ ίσκοτι με υτ τη σειά στο κύκο κέτου Ο() κι κτίς Η σχέση άφετι: OA OA OA OA Εά Μ Ν είι τ μέσ τω A A A A τίστοιχ τότε OM OA OA κι ON OA OA Λόω της [] ποκύπτει ότι OM ON κι ά τ σημεί Ο Μ Ν είι συευθεικά το τίωο A OA η ΟΜ είι διάμεσος Επειδ όω της OA OA υτό είι ισοσκεές η ΟΜ είι κι ύψος Ά ΟΜ A A κι όμοι ΟΝ A A υμπείουμε οιπό πως ΜΝ A A κι ΜΝ A A οπότε A A // A A Με πόμοιους συοισμούς μποούμε συμπεάουμε ότι είι κι A A // A A οπότε το τετάπευο A AAA είι πηόμμο που φού είι εεμμέο στο κύκο (Ο) είι οθοώιο Πτηείστε πόσο κομψές ύσεις επιτυχάοτι ότ τιμετωπίζουμε το πόημ διυσμτικά τόσο σ υτ όσο κι στη ποηούμεη άσκηση τη συέχει πουσιάζοτι διάφοοι τόποι τιμετώπισης σισμέοι στη εξς ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Κτά τη υπόθεση οι εικόες A A A A τω τίστοιχ είι σημεί του κύκου κέτου Ο() A κι κτίς Εά κτφέουμε ποδείξουμε ότι δύο εκ τω A έχου άθοισμ μηδέ πχ ότι εξσφίζουμε ότι οι εικόες A A τω είι Ο A τιδιμετικά σημεί του κύκου υτού Λόω της A θ έχουμε τότε ότι είι κι δη τ A A είι επίσης τιδιμετικά σημεί του κύκου Σ ευθ τμμτ A A κι A A οιπό θ είι διάμετοι του κύκου (Ο) Έτσι οι διώιες του τετπεύου που έχει ως κουφές τ A A A A διχοτομούτι κι είι ίσες κι ά το ε όω τετάπευο είι οθοώιο υεπώς κεί ποδείξουμε ότι δύο εκ τω έχου άθοισμ μηδέ A A Μ Ο Ν A [] A τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

9 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 9 ος τόπος Από τη ισότητ πίουμε Διδοχικά έχουμε: κι επειδ η τεευτί δίει: Διιώτς στη ισότητ υτ δι κι μάοτς υπόψη ότι πίουμε τις Δεδομέου ότι ι κάθε μιδικό είι Re πό τη τεευτί ποκύπτει: Re Re Θέτουμε κι μ όπου μc κι έχουμε: μ κι Re() = Re(μ) Από τις ισότητες υτές συμπείουμε ότι = μ = μ κι δικίουμε πειπτώσεις: η πείπτωση: = μ Σότε κι Ατικθιστώτς στη ισότητ πίουμε: Εά είι = - τότε

10 η πείπτωση: = μ Εά είι - τότε υμπείουμε οιπό ότι στη πώτη υτ πείπτωση δύο εκ τω έχου άθοισμ μηδέ Σότε μ οπότε κι Ατικθιστούμε πάι στη κι έχουμε: Εά = - τότε Εά είι - τότε Όμως κι επομέως Αφού δε είι πίουμε Ά κι στη δεύτεη πείπτωση δύο εκ τω έχου άθοισμ μηδέ ος τόπος Οι ισότητες εξσφίζου ότι κείς εκ τω δε μποεί ισούτι με μηδέ Διιούμε οιπό στη δι μάοτς: Θέτουμε κι έχουμε: κι Από τις τεευτίες ισότητες ποκύπτου οι τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

11 ά έχουμε τις ισότητες: Θέτουμε οπότε Οι είι ίζες του πουωύμου Η τυτότητ ι = - δίει: ά Δίχως άη της εικότητς υποθέτουμε ότι οπότε δη το ζητούμεο ος τόπος Ακιώς όπως πι έχουμε τους οποίους ισχύου οι κι ι τους Επειδ είι συθ ημθ κι όμοι συθ ημθ κι συθ ημθ [] τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

12 Έτσι πό τη [] ποκύπτου οι ισότητες συθ συθ συθ ισοδύμ οι ημθ ημθ ημθ συθ συθ συθ Έχουμε: ά ημθ συθ ημθ συθ συθ ημθ ημθ συθ συθ συθ ημθ ημθ ημθ ημθ Όμως κι (όω του τύπου ημθ ημθ συθ συθ συθ συθ συθ συ θ θ θ θ συθ συθ συ θ θ συθ θ συ συ συ συ συ ) είι κι θ θ θ θ συθ συθ συ συ [] Επομέως η [] δίει: θ συ οπότε θ θ συ θ θ συ θ θ θ θ συ συ συ θ θ θ π θ π θ π Έτσι θ = π τότε = - + = Όμοι θ = π τότε + = Α θ - θ = π τότε συθ συθ κι ημθ ημθ ά συθ κι ημθ οπότε τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

13 5 ος τόπος Από τη έπετι ότι οπότε η δίει διδοχικά τις Πίουμε Εά = έχουμε τεειώσει Εά τότε επειδ η [] δίει Εά = έχουμε τεειώσει Εά τότε όπως πι ποκύπτει ότι Ποσθέτοτς τις [5] [6] κτά μέη πίουμε: Εά υποθέσουμε ότι είι τότε η τεευτί δίει άτοπο Ά οπότε κι [] [5] [6] τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

14 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο Άσκηση 6 Έστω C με Ν ποδειχθεί ότι Απόδειξη: ος τόπος Διδοχικά έχουμε τις ισοδύμες σχέσεις: ος τόπος Εά κι R τότε Ακόμη ά Έχουμε οιπό ότι

15 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 5 ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Υίετι κθά πόσο διευκούει τις πάξεις η χση του συζυούς

16 6 Άσκηση 7 Εά Α είι η εικό του C κι Β η εικό του C* ποδείξετε ότι: ) R R OA//OB OAB συευθεικά ) φτστικός φτστικός OA OB Απόδειξη: ) Αφού C* είι Έχουμε: Ακόμη που σημίει ότι ότι R R R R ι R κάποιο R OA OB R OA //OB Ο Α Β συευθεικά R Εά τ Ο Α Β είι συευθεικά τότε ι κάποιο Η ισοδυμί είι τετιμμέη OA//OB ) Έχουμε τις ισοδυμίες φτστικός R OAB R συευθεικά ι κάποιο R Μέει ποδείξουμε ότι R φτστικός R φτστικός OA OB τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

17 7 Έστω οιπό ότι ο είι φτστικός Σότε ι κάποιο R Εά οπότε R κι R τότε η τεευτί δίει κι Σότε όμως έχουμε OA δη OA OB OB κι OA OB Ατιστόφως έστω ότι OA OB Εά κι R Σότε OA OB κι Έτσι OA OB που σημίει πως ο είι φτστικός τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

18 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 8 Άσκηση 8 Ν είτε το εωμετικό τόπο τω εικόω τω μιδικώ με - εά: ) η διυσμτικ κτί του σχημτίζει ωί 6 π με το ) ο μιδικός έχει τη εικό του στο ημιάξο Ο Απάτηση: Έστω R Σότε ) Γεικώς ζc τότε οι διυσμτικές κτίες τω ζ κι ζ με > σχημτίζου τη ίδι ωί με το Έτσι επειδ > οι διυσμτικές κτίες τω κι σχημτίζου τη ίδι ωί με το άξο οπότε Re Im 6 π εφ με Όμως 6 π εφ υμπείουμε οιπό ότι δη Επομέως η εικό του ίσκετι στο κύκο κέτου K κι κτίς Επιπέο η διυσμτικ κτί του σχημτίζει ωί π/6 με το ά η εικό του ίσκετι στη πώτη ωί τω ξόω οπότε είι Im Re( ) Im( ) 6 π

19 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 9 Έτσι ο τ της εικός του είι το τόξο του κύκου (Κ) που ίσκετι πάω πό το οιζότιο άξο εξιουμέω τω σημείω () κι (-) ΠΡΟΟΧΗ: Σ σημεί () κι (-) πέπει εξιεθού διότι στο με πώτο είι = εώ στο δεύτεο ο δε οίζετι ) Ο έχει τώ τη εικό του στο ημιάξο Ο ά Λύουμε τη τεευτί ως πος : Πτηούμε ότι Im κι ότι ά υεπώς η εικό του άφει το άω ημικύκιο του μοδιίου κύκου δίχως τ σημεί (-) κι () Σο ότι συμπειμάοτι ό τ εσωτεικά σημεί του ημικυκίου οφείετι στο ότι εά > τότε το πηίκο πίει όες τις τιμές του διστμτος (-) Πάμτι έστω (-) Έχουμε: Επειδ > η [] έχει ως ύση τη * R φού με (-) είι > []

20 ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Από το ότι η εικό του ίσκετι στη πώτη ωί τω ξόω ποκύπτει επίσης ο πειοισμός Re που «επιτέπει» τ εκτός του κύκου σημεί ά μς οδηεί πάι στο εξιέσουμε τ σημεί (-) κι () τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

21 Άσκηση 9 ) Θεωούμε τους C ι τους οποίους ισχύει η σχέση: ( ) ( ) Βείτε το εωμετικό τόπο τω εικόω του σε κθεμιά πό τις πειπτώσεις: ) R κι ) φτστικός ) Εά C κι οι ( ) ( ) ( ) ( ) είι φτστικοί ιθμοί ποδείξτε ότι Απάτηση: ) Έστω όπου R Έχουμε: ( ) ( ) Έτσι ) ο είι πμτικός κι μόο Im δη ο ζητούμεος τ είι η ευθεί με εξίσωση κι ) ο είι φτστικός κι μόο Re() κι ο ζητούμεος τ είι ο κύκος κέτου K κι κτίς ) Εφόσο οι είι φτστικοί ιθμοί έπετι όω του () ότι οι εικόες Α Β τω τίστοιχ είι σημεί του κύκου (Κ) Σο μκος της χοδς ΑΒ οιπό δε υπείει το μκος της διμέτου ισοδύμ τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

22 Άσκηση Έστω R* Θεωούμε τους C ι τους οποίους είι ) Ν είτε το τ τω εικόω τω μιδικώ ) Από τους ππάω μιδικούς είτε υπάχει εκείο με το εάχιστο δυτό μέτο Απάτηση: ) Έστω με R Σότε Έπετι ότι κι κι δη η εικό Μ() του κει στη ευθεί με εξίσωση ΠΡΟΟΦΗ όμως: Επειδ δε είι δυτό έχουμε = = - Επομέως ο ζητούμεος τ ποκύπτει ως η ευθεί ε: δίχως το σημείο της (-) ) Σο σημείο της (ε) που πέχει π τη χ Ο() τη εάχιστη δυτ πόστση είι το (-) που κιώς έχει εξιεθεί Επομέως πό τους μιδικούς που έχου τις εικόες τους στο τ του εωτμτος () δε υπάχει κάποιος που έχει το εάχιστο δυτό μέτο Ο - (-) (ε) ος τόπος ι το () Έχουμε: κι ά Πτηούμε οιπό ότι ότ οι τιμές του υξάοτι τότε οι τιμές του εττώοτι κι τιστόφως Έτσι έ εάχιστο μέιστο R* κι δε υπάχει τέτοιο θ τιστοιχούσε σ έ τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

23 Άσκηση Δίοτι οι μιδικοί κι ι τους οποίους ισχύει η σχέση ) Εά η εικό του άφει το κύκο κέτου Ο() κι κτίς εθεί ο τ της εικός του ) Ν εθού οι μιδικοί κι έτσι ώστε το μέτο ίετι ) μέιστο κι ) εάχιστο Απάτηση: ) Έχουμε οπότε πίουμε Ά που σημίει ότι η εικό του άφει το κύκο κέτου K κι κτίς ) Από τη [] πίουμε ότι ά Εά με R έχουμε όω της [] ότι κι φού έχουμε Θέουμε οιπό μειστοποισουμε εχιστοποισουμε τη πάστση ά υεπώς η πάστση υπό το πειοισμό Έχουμε: εχιστοποιείτι ι = - οπότε είι κι όω της [] 8 Η εάχιστη τιμ της πάστσης είι 8 εώ μειστοποιείτι ι = οπότε είι κι όω της [] Η μέιστη τιμ του είι [] [] τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

24 Άσκηση Ν υθεί το σύστημ Λύση: Η πώτη εξίσωση εξσφίζει ότι Από τις δύο πώτες εξισώσεις του συστμτος πίουμε τη που με δίει: Όμως ά Έχουμε οιπό ότι κι δη οι εξίσωσης ά Από τη εξίσωση πίουμε κι Επομέως είι κι είι ίζες της Σο σύστημ έχει τέσσεις ύσεις: τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

25 5 Άσκηση Θεωούμε το πουώυμο n n n p με n C Εά είι μι ίζ του ποδειχθεί ότι n Απόδειξη: Ποφώς έχουμε: ά Ποκύπτει ότι n n n n n n n n n n n [] Εά είι τότε ποφώς η ποδεικτέ ισχύει Έστω οιπό ότι οπότε κι διιώτς στη [] δι πίουμε: n n n n Επειδ είι ά όω της [] έχουμε: οπότε n n n Επομέως η ποδεικτέ ισχύει κι ι n [] τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

26 6 Άσκηση Δίοτι οι μιδικοί κι ι τους οποίους ισχύου οι: Ν ποδείξετε ότι: 9 κι ) 9 κι ) εά τ σημεί Ρ είι διδοχικές κουφές οθοωίου εεμμέου στο κύκο 9 κι τέτοι ώστε η Ρ εφάπτετι στο κύκο ποδείξετε ότι OP O όπου Ο είι η χ τω ξόω Απόδειξη: ) Θ χησιμοποισουμε το συμπέσμ κτά το οποίο ι τους C ισχύει Έχουμε οιπό τις ισότητες κι φού 9 τις Η δεξιά δίει οπότε Η ιστε δίει 9 ά 9 9 Σεικά Έχουμε κόμη τις ισότητες Αφού πίουμε: 9 [Α] Η δεξιά τω [Α] δίει διδοχικά τις (Μποεί κείς πάει το σ τιώυμο κι κτξει στο ίδιο ποτέεσμ) τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

27 7 Η ιστε τω [Α] δίει τις (Αιώς: Έχουμε: κι φού > είι ) Σεικά ) Εά Μ είι το μέσο του Ρ που εφάπτετι στο κύκο (Ο) τότε το Μ θ κει σ υτό Έχουμε: M Ο ΟΜ 9 9 ά Μ κι συεπώς Ρ Εφμόζουμε το όμο τω συημιτόω στο τίωο ΡΟ: Ρ ΟΡ Ο ΟΡ Ο συθ όπου θ είι η ωί τω κτίω Ο κι ΟΡ Ά συθ συθ 8 Έπετι ότι 9 OP O OP O συθ 8 Μ Ρ Ο 9 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

28 8 Άσκηση 5 ) Εά C όχι όοι μηδέ κι ισχύου οι κι ποδείξτε ότι ) κι ) οι εικόες τω είι κουφές ισοπεύου τιώου ) Εά οι μιδικοί είι ά δύο διφοετικοί κι ισχύει τότε οι εικόες τω είι κουφές ισοπεύου τιώου ) Εά οι εικόες τω ά δύο διφοετικώ είι κουφές ισοπεύου τιώου τότε δ) Εά οι μιδικοί είι διφοετικοί ά δύο τότε ικ κι κί συθκη ι σχημτίζου οι εικόες τους κουφές ισόπευο τίωο είι η Απόδειξη: ) ) ος τόπος Από τις ισότητες κι τη τυτότητ κι πίουμε ότι Επιπέο ι οποιοδποτε μιδικό ισχύει η πό τη οποί ι πίουμε: Ομοίως Έπετι ότι κι κι επειδ το μέτο κάθε μιδικού είι μη ητικός πμτικός ιθμός ποκύπτει (Ποσοχ: Α οι είι μιδικοί τότε πό τη ότι = Μποείτε δείτε ιτί;) ος τόπος Από τη υπόθεση έχουμε άφετι: δε έπετι κτ άκη οπότε η ισότητ Φωίς άη της εικότητς υποθέτουμε ότι κι διιώτς στη τεευτί ισότητ δι πίουμε τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

29 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 9 Ισχύει όμως η τυτότητ ά οπότε Ποκύπτει ότι Ομοίως ποδεικύετι ότι κι τεικά ) Από υπόθεση έχουμε ότι κι πό το () ότι = > Θέτουμε κι έχουμε: κι Όπως στη άσκηση [] ποδεικύετι ότι οι εικόες τω είι κουφές ισοπεύου τιώου ά Επειδ πίουμε ότι μέσω τω οποίω εξσφίζετι ότι οι εικόες τω είι κουφές ισοπεύου τιώου

30 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο ) Ποπσιάζουμε επί στη ισότητ κι ισοδύμ πίουμε: Θέτουμε κι έχουμε κι Από το () ποκύπτει ότι Η τεευτί εξσφίζει ότι το τίωο με κουφές τις εικόες τω είι ισόπευο ) Οι μιδικοί είι ά δύο διφοετικοί κι Εά τότε κι όμοι Πίουμε τις ισότητες τις οποίες ποσθέτουμε κτά μέη μάοτς: Ποκύπτει η ισότητ που μετά τις πάξεις δίει: δ) Ποκύπτει άμεσ πό τ () κι ()

31 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο Άσκηση 6 Εά ι τους μιδικούς ισχύει + + = κι οι εικόες τους είι σημεί του μοδιίου κύκου τότε ποδείξτε ότι: ) ) ) κι δ) οι είι ά δύο διφοετικοί τότε οι εικόες τους είι κουφές οθοωίου τιώου Απόδειξη: ) Η εικό του κει στο μοδιίο κύκο ά: δη κι όμοι κι Δίετι ότι + + = οπότε κι μάοτς υπόψη τις πίουμε Ποκύπτει ) Έχουμε: του όω ) Λόω του εωτμτος () κάποιος εκ τω ισούτι με κι ς υποθέσουμε ότι είι = Σότε + = ά = - κι έχουμε:

32 δ) Μποούμε πάι όω του () υποθέσουμε ότι = οπότε + = Επειδ κι + = οι εικόες τω κι συμπίπτου με τ άκ μις διμέτου του μοδιίου κύκου Ά οι εικόες τω είι κουφές οθοωίου τιώου Ο = τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

33 Άσκηση 7 Εά οι εικόες τω μιδικώ κι η χ Ο() τω ξόω σχημτίζου ισόπευο τίωο πευάς ποδείξετε ότι ) ) κι 6 6 ) Απόδειξη: ος τόπος Κτά τη υπόθεση είι Από τη ισότητ πίουμε ισοδύμ τις Αφού η τεευτί ίετι: ) Επειδ η ποηούμεη ισότητ άφετι ) Από τη ισότητ του ποηούμεου εωτμτος πίουμε Ά ) Έχουμε: Ο ος τόπος Έστω κι όπου R Εκ τω ποκύπτου οι κι η τεευτί πό υτές άφετι: τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

34 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο ) Έχουμε: κι επειδ κι πίουμε: Σ εωτμτ () κι () τ τιμετωπίζουμε όπως στο πώτο τόπο

35 5 Άσκηση 8 Ν εθεί ο C ότ Απάτηση: Επειδ ι C ο σχέση πίουμε τις οι οποίες άφοτι είι πμτικός ιθμός πό τη δοσμέη κι κι Από τις τεευτίες υτές σχέσεις η πώτη είι η εξίσωση του κύκου με κέτο τη εικό του κι κτί κι η δεύτεη πιστάει τη μεσοκάθετο του ευθυάμμου τμμτος με άκ τ σημεί () κι (-) Η εικό του επομέως τιστοιχεί στ κοιά σημεί τω δύο υτώ μμώ Με η άφετι 8 Εξάου η άφετι Θ πέπει ούμε τους R ι τους οποίους ικοποιούτι τυτόχο οι [] κι [] Λόω της [] είι = κι η [] δίει τις εξισώσεις: ά Γι = είι = - κι ά = - Γι = είι = κι ά = + 8 = = [] [] τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

36 6 Άσκηση 9 Θεωούμε τη εξίσωση C )Α κάποι εκ τω ιζώ της [Ε] ) υποοίστε τη τιμ της πάστσης 95 p ) ποδείξτε ότι είι οι ίζες της εξίσωσης [Ε] με ) Εά Im κι Α Β Γ είι οι εικόες τω τίστοιχ ποδείξτε ότι το τίωο ΑΒΓ είι ισόπευο ) Α η εικό Μ του C κείτι στο πειεμμέο κύκο του ΑΒΓ ποδείξτε ότι MA MB MΓ 6 Απάτηση: ) ) Ο = δε επηθεύει τη [Ε] ά Εξάου είι ά Έχουμε: κι Ά ) Είι p [Ε] ) Ο επηθεύει τη [Ε] ά κι Ποκύπτει ότι Όμως ά = κι επομέως Δη ΑΒ = κι όμοι AΓ Επειδ οι εικόες Β Γ τω είι σημεί του μοδιίου κύκου (όω της = κι της = που ποκύπτει ομοίως) κι η πόστσ τους πό το Α (τη εικό του ) είι έπετι ότι AÔB AÔΓ κι ά το ΑΒΓ είι ισόπευο Β Γ Ο Α τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

37 7 ος τόπος Η εξίσωση [Ε] έχει δικίουσ ίση με Δ κι ίζες τους Έχουμε: κι 9 AB AΓ 9 Γ B Σο τίωο ΑΒΓ οιπό είι ισόπευο πευάς ) Σο άθοισμ MA MB MΓ ισούτι με = = Επειδ είι πίουμε: MA MB MΓ = 6 Σο άθοισμ τω ιζώ της εξίσωσης είι = - ά κι MA MB MΓ = 6 6 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

38 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 8 Άσκηση Έστω br b Αποδείξτε ότι οι εικόες τω μιδικώ - b b είι σημεί ομοκυκικά Απόδειξη: Ο κύκος που διέχετι π τις εικόες τω - δη πό τ σημεί Α() κι Β(-) έχει το κέτο του στη μεσοκάθετη της χοδς ΑΒ δη στο άξο Έτσι το κέτο του είι η εικό εός μιδικού της μοφς με R Ας οομάσουμε Ρ τις εικόες τω / τίστοιχ Ο πειεμμέος κύκος του τιώου ΑΒΡ έχει κτί Έχουμε: Im Im Επίσης η εικό του / κει στο κύκο υτό κι μόο Im Πτηούμε δη ότι εά επιέξουμε το R έτσι ώστε είι Im επιτυχάουμε ισχύου οι ισότητες που εξσφίζου ότι τ Α Β Ρ κείτι επί του κύκου κέτου K κι κτίς

39 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 9 Άσκηση Έστω C με κι + + = Ν ποδειχθεί ότι: ) ) κι ) οι εικόες τω είι κουφές ισοπεύου τιώου πευάς Απόδειξη: ) Επειδ έχουμε ά κι όμοι κι Η ισότητ + + = άφετι Ά = οπότε = τη τεευτί υψώουμε στο τετάωο μάοτς: Ά έχουμε κι τη ) Από τη + + = πίουμε + = - ά Έχουμε δ) Έχει ποδειχθεί στη άσκηση []

40 Άσκηση Θεωούμε τους μιδικούς n (n θετικός κέιος) με Im ι κάθε n Θεωούμε επίσης το μιδικό με ι κάθε n κι θέτουμε I n Αποδείξτε ότι εά Im τότε ImI Απόδειξη: Έχουμε ότι ά Im Im Επειδ Im είι Im Επίσης επειδ Im είι Im οπότε Im Από τις Im Im ποκύπτει ότι Im Από τη τεευτί κι όω της [] πίουμε Im κι υτό ι κάθε n Λόω της Im I Im Im Im n ποκύπτει ότι ImI [] τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

41 Άσκηση Ν υθού οι εξισώσεις: ) ) 5 7 ) Λύση: ) Η εξίσωση άφετι κι μι ποφς ίζ της είι ο - Σο πώτο μέος της εξίσωσης άφετι κι όω της τυτότητς 8 η εξίσωση είι ισοδύμη με τις 5 Σο τιώυμο 5 έχει δικίουσ Δ = -6 κι ίζες Σεικά η χικ εξίσωση έχει ως ίζες τους - ) Έχουμε: 5 κι συεπώς η δοσμέη εξίσωση είι ισοδύμη με τη π τη οποί πίουμε ότι Ρίζες της πώτης είι οι κι της δεύτεης οι Η χικ εξίσωση οιπό έχει ως ίζες τους - ) Έχουμε: ά η εξίσωση άφετι: Πίοτς μέτ έχουμε: = 6 = = Επειδ ο είι μη ητικός πμτικός ιθμός η τεευτί δίει = κι η [] ίετι = - = [] τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

42 Όμως - = κι ά κεί ποσδιοίσουμε τις ίζες της που είι οι - - = τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

43 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο Άσκηση Έστω C με κι Ν ποδειχθεί ότι R Απόδειξη: ος τόπος Έχουμε: όπου Είι κι κι φού Im πίουμε: Im Ποκύπτει ότι Im R ος τόπος Έχουμε: κι επειδ ποκύπτει ότι Ά οπότε Re Re Έτσι R ά R

44 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο Άσκηση 5 Ν εθεί η τιμ της πάστσης A όπου κέιος Απάτηση: ος τόπος Έχουμε: κι Ά A Σεικά πειττός εά άτιος εά A ος τόπος Είι 5 κι όμοι Ά A ος τόπος Μποούμε άψουμε A Έτσι 5 τότε κι Re Re Re A πειττός εά άτιος εά A

45 5 Άσκηση 6 Ν ποδείξετε ότι οι εικόες τω ιζώ της εξίσωσης κου σε μι ευθεί τη οποί κι ποσδιοίσετε [Ε] Απόδειξη: Έστω μι οποιδποτε ύση της [Ε] Πτηούμε ότι 5 5 κι όω του ότι ι C είι n n πίοτς μέτ στη [Ε] έχουμε: 5 5 υεπώς η εικό του ισπέχει πό τις εικόες τω μιδικώ κι δη κει στη μεσοκάθετο του ευθυάμμου τμμτος με άκ τ Α() κι Β() Ά πάμτι οι εικόες τω ιζώ της [Ε] ίσκοτι όες σε μι ευθεί Άσκηση 7 Έστω C κι Αποδείξτε ότι : ) Εά Re τότε Re κι ) εά Re τότε Re Απόδειξη: Δεδομέου ότι ι έχουμε: Re Re Re Re Αποδείξμε οιπό το ζητούμεο κθώς κι το τίστοφο συμπέσμ ) Η πόδειξη είι ετεώς όμοι τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

46 τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο 6 Άσκηση 8 Ν ποδειχθεί ότι όπου θετικός κέιος Απάτηση: Θ υποοίσουμε το εικότεο άθοισμ: S Έχουμε οιπό ότι S κι S ά S S Γωίζουμε όμως ότι ι ισχύει Η [] οιπό άφετι S οπότε S Γι = το άθοισμ είι ίσο με Όμως κι κι το άθοισμ ίετι που είι κι το ζητούμεο []

47 7 Άσκηση 9 Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση δε έχει πμτικ ίζ Απόδειξη: ος τόπος Ακεί ποδείξουμε ότι είι ι κάθε R 8 8 Η ποδεικτέ είι ποφς ι οπότε υποθέτουμε ότι > Πτηούμε ότι 8 οπότε το ζητούμεο είι ποφές ότ Ότ είι διότι η συάτηση Επομέως δη το ζητούμεο 8 f είι ησίως ύξουσ στο R ος τόπος Τποθέτουμε ότι η δοσμέη εξίσωση έχει το R ως ίζ με σκοπό κτξουμε σε τίφση Έχουμε: 8 [] ά Από τις τεευτίες υτές σχέσεις ποκύπτει ότι είι θ έχουμε: διότι εά υποθέσουμε ότι δη < άτοπο Έπετι οιπό ότι κι επειδ όω της [] είι έχουμε: Έτσι Όμως η σχέση τίκειτι στη κι με τη τίφση υτ οοκηώετι η πόδειξη τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο

48 8 ος τόπος Η συάτηση f 8 πάωο Όπως μς πηοφοεί ο πίκς μετοώ της f υτ πουσιάζει οικό εάχιστο στη θέση = ¼ Ά 8 6 f f 6 ι κάθε R Σεικά 8 ι κάθε R f είι πωίσιμη στο R με - / f () f() τύος Ππδόπουος Γιάης Βουδούης Μθημτικά ι το Λύκειο