Από το σχολικό βιβλίο

Transcript

1 Από το σχολικό βιβλίο. Η έννοι του μιγδικού ριθμού.. Πράξεις στο C. - Πράξεις σελ. 95, άσκηση 6 -Ισότητ μιγδικών σελ. 95, άσκηση 7 -Εξισώσεις ου βθμού στο C σελ. 96, άσκηση -Εξισώσεις που περιέχουν Z σελ. 4, άσκηση 7 (γενικές) -Δυνάμεις του i σελ. 93, εφρμογή σελ. 96, άσκηση 3,4 (Β ομάδ) σελ. 93, εφρμογή σελ , άσκηση, 6, 8 (Β ομ.) σελ. 0-0, άσκηση, 3, 4 (Β ομ.) -Εξισώσεις ου Βθμού σελ. 96, άσκηση 3, 4 -Γεωμετρικοί τόποι σελ. 97, άσκηση 9 σελ. 3, άσκηση, 3 (Γενικές).3 Μέτρο Μιγάδικου -Εύρεση μέτρου σελ. 99, εφρμογή σελ. 00, άσκηση -Αποδεικτικές σκήσεις σελ. 0, άσκηση 9 -Εξισώσεις με μέτρ σελ. 0, άσκηση 3 (Α ομάδ) -Ανισοτικές σκήσεις σελ. 0, άσκηση (Β ομάδ) -Γεωμετρική ερμηνεί σελ , εφρμογή Z Z σελ. 0, άσκηση 4,5,6,7,8 (Α ομάδ) κι γεωμετρικοί τόποι σελ. 0, άσκηση 5, 6, 7, 8, 9 σελ. 3, άσκηση 4 -Συνδιστικές με νάλυση -Ερωτήσεις κτνόησης σελ. 4-5, άσκηση,, 3

2 Α. Προπιτούµενες Γνώσεις. Τ 3-4 πρώτ µθήµτ είνι χρήσιµο ν φιερωθούν σε µι επνάληψη βσικών εννοιών κι σκήσεων πό την Άλγεβρ της Α Λυκείου (νισοτυτότητες, πόλυτη τιµή, τριώνυµο) κι πό την Β Λυκείου κτεύθυνσης (συνθήκες πρλληλίς κι κθετότητς δινυσµάτων, ορισµοί κι εξισώσεις κωνικών τοµών). Η επνάληψη θ συµπληρωθεί στην εισγωγή του Α κεφλίου της Ανάλυσης µε υπενθύµιση γνώσεων πό την Άλγεβρ της Β Λυκείου (κυρίως εκθετική, λογάριθµοι).. Εισγωγή στους Μιγδικούς. Β. Ορισµός κι πράξεις Μιγδικών Μι πρώτη συζήτηση Είνι φνερό ότι η εξίσωση χ + = 0 δεν έχει λύση στο σύνολο Ν των φυσικών ριθµών, έχει όµως στο ευρύτερο σύνολο Ζ των κερίων ριθµών. Όµοι η εξίσωση 3 = δεν έχει λύση στο σύνολο Ζ, λλά έχει στο ευρύτερο σύνολο Q των ρητών. Όµοι η εξίσωση χ = 3 δεν έχει λύση στο σύνολο των ρητών, λλά έχει λύση στο σύνολο των ρρήτων, άρ στο ευρύτερο σύνολο των πργµτικών ριθµών. Επίσης είνι γνωστό ότι κι η εξίσωση χ = - δεν έχει λύση στο σύνολο, δηλδή ουσιστικά δεν υπάρχει στο σύνολο η τετργωνική ρίζ του ριθµού -. Γενικά, κάθε δευτεροβάθµι εξίσωση µε ρνητική δικρίνουσ, όπως γνωρίζουµε, δεν έχει λύσεις στο σύνολο. Η πορεί υτή µς δηµιουργεί την ελπίδ µήπως κι οι εξισώσεις υτές έχουν λύσεις σε έν άλλο ευρύτερο σύνολο ριθµών. Ιστορικά όµως η νάγκη δηµιουργίς νέων ριθµών δεν προέκυψε πό την λύση των δευτεροβθµίων εξισώσεων, λλά πό τη λύση των τριτοβθµίων εξισώσεων κι συνεχίζουµε όπως στην εισγωγή του βιβλίου... Ιστορικά στοιχεί (εκτός υτά του βιβλίου) Οι µιγδικοί ριθµοί είνι σχετικά πρόσφτη νκάλυψη όχι ενός νθρώπου λλά πολλών. Φίνετι ότι οι µιγδικοί ριθµοί εισήχθησν στ Μθηµτικά, πό τον John Wallis (673). Όµως, πολύ πριν πό υτόν, το πρόβληµ του υπολογισµού τετργωνικής ρίζς ρνητικού ριθµού είχε τεθεί πό πλιά (π.χ. Ήρων (50 µ.χ.), ιόφντος (75 µ.χ.), Mahavira (850 µ.χ.), Bhaskara (50 µ.χ.) κλπ.). Ο Wallis στο Algebra., (cap. LXVI, Vol. II, p. 86, έκδοση στ Λτινικά), λέει ότι, «η τετργωνική ρίζ ενός ρνητικού ριθµού ν κι δύντος, δεν είνι ωστόσο πιο κτνόητη πό ένν ρνητικό ριθµό». Ονοµάζει τις ποσότητες υτές φντστικές κι φτάνει µέχρι το σηµείο ν θεωρήσει ένν άξον κάθετο προς τον άξον των πργµτικών ριθµών κι ν πει ότι υτός θ έπρεπε ν λέγετι άξων των φντστικών ποσοτήτων. Πέρν του σηµείου υτού όµως, δεν προχωρά. Την συνέχει της µελέτης των φντστικών ποσοτήτων, την νέλβε ο Leibnitz (676) κι ο Jean Bernoulli (70). Γεωµετρική νπράστση των µιγδικών ριθµών έδωσν οι Wessel (797), Argand (806) κι Gauςς (83). Τέλος ο W. R. Hamilton ( ) θεµελίωσε ργότερ µε λγεβρικό τρόπο τη θεωρί των µιγδικών ριθµών. Γι περισσότερες λεπτοµέρειες βλ. History of Mathematics. Vol II, σελ. 6, του D.E. Smith, έκδοση Dover.

3 Η εισγωγή υτή είνι πρίτητη ώστε ν φνεί η νγκιότητ εισγωγής των µιγδικών ριθµών. Στο σηµείο υτό πρέπει ν επισηµάνουµε στους µθητές το τόλµηµ κι συνάµ το ρίσκο της νθρώπινης (επιστηµονικής) φντσίς, στηριζόµενης στη διίσθηση, ν δεχθεί έν νύπρκτο γι τ κθιερωµέν «ριθµό» (συµβολικά τον i) µε την ιδιότητ i = - κι ν κλπάσει σε νέ άγνωστ επιστηµονικά πεδί. Ο συµβολισµός = i οφείλετι στον Euler. Αποφεύγουµε όµως ν χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό όπως θ εξηγήσουµε πρκάτω. Κλό είνι τέλος ν νφέρουµε ότι κάθε πολυωνυµική εξίσωση οποιουδήποτε βθµού, µε συντελεστές µιγδικούς, έχει πάντ λύση στο νέο σύνολο ριθµών (σύµφων µε το θεµελιώδες θεώρηµ της Άλγεβρς που διτύπωσε πρώτος ο D Alembert, λλά πέδειξε ο Gauss στην διδκτορική του διτριβή το 799) κι ως συνέπει υτού όλες οι λύσεις της, πλήθους όσο ο βθµός της, είνι µιγδικοί ριθµοί κι έτσι δεν υπάρχει πι νάγκη γι νέους ριθµούς. Εδώ πρέπει ν γίνει η επισήµνση ότι το θεώρηµ υτό δεν είνι στην εξετστέ ύλη κι δεν πρέπει ν χρησιµοποιείτι στις εξετάσεις. Έχει πρτηρηθεί τ προηγούµεν χρόνι, ότι µερικοί µθητές, το θεωρούν δεδοµένο κι το χρησιµοποιούν σε σκήσεις µε εξισώσεις που ντιµετωπίζοντι µε µέσ της Ανάλυσης.. Ο τρόπος εισγωγής των Μιγδικών ριθµών πό το σχολικό βιβλίο δεν είνι υστηρά Μθηµτικός, λλά είνι ένς επγωγικο-πργωγικός τρόπος κτάλληλος γι µθητές που έρχοντι γι πρώτη φορά σε επφή µε τους µιγδικούς ριθµούς. Χρήσιµο είνι ν επισηµνθεί ότι κάθε πργµτικός ριθµός χ = χ + i0 είνι κι µιγδικός ενώ δεν ισχύει το ντίστροφο. Η γεωµετρική νπράστση του C τονίζει κόµη περισσότερο υτή την διφορά. Ένς µη µηδενικός µιγδικός ριθµός που δεν είνι πργµτικός λέγετι κθρά µιγδικός ριθµός. Το 0 είνι ένς πργµτικός ριθµός, λλά τον θεωρούµε (κτχρηστικά) κι φντστικό. Αυτό δικιολογείτι κι πό την εποπτεί, φού νήκει κι στον y-άξον που είνι ο φντστικός άξονς, λλά βοηθά κι στην ποφυγή περιπτωσιολογίς σε διάφορ προβλήµτ. 3. Α. Η ισοδυνµί + βi = γ + δi = γ κι β = δ, δικιολογείτι πό το σχ. βιβλίο λόγω της πρδοχής της µονδικότητς του µιγδικού + βi, δηλδή της µονδικότητς των, β. Μπορούµε όµως, µετά την διδσκλί των 4 πράξεων, ν δώσουµε -3 ριθµητικές πρστάσεις µε πργµτικούς ριθµούς κι τον i συνδεδεµένους µε τις 4 πράξεις, που τελικά µετά τις πράξεις κτλήγουν υποχρεωτικά στην τελική (νηγµένη) µορφή + βi, µε, β µονδικούς σφλώς πργµτικούς ριθµούς. Αυτό µπορεί ν µην ποδεικνύει την µονδικότητ λλά πείθει κι είνι ρκετό γι την φάση υτή. Β. Η ισοδυνµί + βi = γ + δi = γ κι β = δ, ισχύει µόνο ν όλοι οι ριθµοί, β, γ, δ είνι πργµτικοί, π.χ είνι (i + ) +3i = ( + i) + 4i λλά δεν ισχύει i + = +i ή 3 = ιφορές των συνόλων κι C: 4.. Η γνωστή ισοδυνµί στο R, z κ + ω λ = 0 z = ω = 0 (κ, λ Ν*), δεν ισχύει στους µιγδικούς, π.χ. + i = 0. 4.β. εν ορίζουµε διάτξη στο σύνολο των µιγδικών. Ο ορισµός κάποις «φυσικής» διάτξης προυσιάζει προβλήµτ: 3

4 Αν π.χ. ορίσουµε + βi > 0 > 0 κι β > 0, τότε ενώ το άθροισµ δυο θετικών µιγδικών είνι θετικός, όπως εύκολ ποδεικνύετι, δεν ισχύει το ίδιο γι το γινόµενο: ενώ +i > 0 κι +i > 0 το γινόµενό τους είνι (+i)(+i) = -+3i που δεν είνι θετικός σύµφων µε τον ορισµό µς, άρ ο πολλπλσισµός δεν θ είνι συµβτός µε την διάτξη υτή (όπως θ περιµένµε) κλπ. Eποµένως, ν ζ C, ισχύει, ζ > 0 ν κι µόνο (ζ R κι ζ > 0). Όµοι ν ζ< 0. Γενικότερ, ποδεικνύετι ότι η ισότητ i + = 0, πγορεύει την εισγωγή διάτξης που ν συµβιβάζετι µε τις πράξεις του C (Θεώρηµ των E. Artin κι Otto Schreier, βλέπε Σ.Π. Ζερβού, Π. Κρικέλη, «Πως Μετβίνουµε πό τ Κλσικά Μθηµτικά στ Νεώτερ». 4.γ. εν ορίζουµε τετργωνική ρίζ µιγδικού. Αν θέλµε π.χ. ν ορίσουµε τετργωνική ρίζ του i, έν ριθµό (σφλώς) µε την ιδιότητ ζ = i, τότε ν ζ = χ + ψi, θ έχουµε (χ + ψi) = i χ - ψ = 0 κι χψ = χ = ψ = ή χ = ψ = - Άρ ζ = + i ή ζ= -- i. ηλδή ο i έχει δυο τετργωνικές ρίζες. Το ίδιο ποδεικνύετι γι κάθε µιγδικό ριθµό. Πως όµως θ τις δικρίνουµε, ν θέλουµε ν κάνουµε πράξεις µε υτές, φού στο C δεν έχουµε διάκριση µετξύ θετικών κι ρνητικών ριθµών ή άλλη διάκριση; εν ορίζετι λοιπόν (µονοσήµντ) η τετργωνική ρίζ µιγδικού, όπως συµβίνει στους (θετικούς) πργµτικούς κι έτσι δεν ορίζουµε τετργωνική ρίζ µιγδικού ούτε χρησιµοποιούµε το σύµβολο της ρίζς (τετργωνικής ή άλλης). Συνέπει υτού είνι ν µην ορίζουµε κι δυνάµεις µιγδικών µε εκθέτη ρητό, όπως συµβίνει στους πργµτικούς κι περιοριζόµστε µόνο σε δυνάµεις µιγδικών µε εκθέτες κέριους Πάντως σε µερικά πνεπιστηµικά βιβλί ορίζετι το σύµβολο z µε διπλή σηµσί, δηλδή πριστάνει κι τις δυο τετργωνικές ρίζες του µιγδικού z. Έτσι όµως ο τύπος φ(z) = z δεν ορίζει συνάρτηση κτά τ γνωστά (είνι µι πλειότιµος συνάρτηση). 5. Οµοιότητες των συνόλων R κι C. Έχουν τις ίδιες πράξεις κι τις ιδιότητες µε συνέπειες : Α. Ν ισχύουν όλες οι γνωστές τυτότητες στο R κι ειδικά οι z 3 + w 3 = (z + w)(z zw + w ), 3 - β 3 = ( - β)( + β + β ) z 3 - = (z - )(z + z + ), z 3 + = (z + )(z z + ) (Προσοχή στις ξιοσηµείωτες πρστάσεις ± β + β, z ± z + ) Β. Ο λγεβρικός λογισµός ν γίνετι όπως στους πργµτικούς ριθµούς λµβάνοντς υπόψη ότι + i = 0. Επίσης κι η λύση συστηµάτων µιγδικών γίνετι όπως στους πργµτικούς ριθµούς 4

5 Γ. Οι δυνάµεις µιγδικών (µε εκθέτες µόνο κέριους) ν έχουν τις γνωστές πό τους πργµτικούς ριθµούς ιδιότητες. 6.. Το µιγδικό επίπεδο (Μ.Ε.) ή επίπεδο Gauss, δεν τυτίζετι µε το κρτεσινό επίπεδο. Το Μ.Ε. έχει επιπλέον στοιχεί (δοµή). Ενώ ως προς τις πράξεις πρόσθεση κι φίρεση δεν υπάρχει διφορά, στο Μ.Ε. ορίζετι γινόµενο κι πηλίκο µιγδικών, ενώ στο κρτεσινό δεν ορίζουµε γινόµενο δινυσµάτων (ως εσωτερική πράξη, το εσωτερικό γινόµενο δεν είνι ως γνωστό εσωτερική πράξη, ενώ το εξωτερικό είνι διάνυσµ λλά όχι του επιπέδου των δινυσµάτων). β. Αν z = + βi (, β R) κι Z η εικόν του στο Μ.Ε., τότε Ζ(, β) κι OZ= (, β) = (Re(z), Im(z)). ηλδή, η δινυσµτική κτίν (δ..) ενός µιγδικού είνι διάνυσµ µε συντετγµένες το πργµτικό κι το φντστικό µέρος του µιγδικού υτού, δηλδή έχει τις ίδιες συντετγµένες µε την εικόν του z. Η µετάβση πό τους µιγδικούς στις δινυσµτικές τους κτίνες είνι χρήσιµη σε πολλά θέµτ µιγδικών. γ. Κτ νλογί µε τους πργµτικούς ριθµούς, ντί ν λέµε η εικόν του µιγδικού z, µπορούµε ν λέµε πλά το σηµείο z ή ο µιγδικός z κι ν εννοούµε πό τ συµφρζόµεν την εικόν του z. δ. Έστω z, ω C*, λ R, κι Ζ, W οι εικόνες τους ντίστοιχ. Ισχύουν = z = λω ν κι µόνο ν OZ λ OW κι ειδικότερ z i. OZ OW υπάρχει λ > 0 µε z = λω > 0. ω ii. z OZ OW υπάρχει λ< 0 µε, z = λω < 0. ω (Μπορεί ν δοθεί ως άσκηση κι κλό είνι ν ποµνηµoνευτεί) 7. Στο πρλληλόγρµµο της πρόσθεσης µιγδικών y Z(z)z A(z+w) (z-w) W(w) O -w H κύρι διγώνιος ΟΑ ορίζει την δ.. O Α = OZ+ Re( z + w), Im(z + w) του z + w, ενώ η άλλη διγώνιος WZ = O την δ.. O = WZ = OZ- Re( z w), Im(z w) της διφοράς z - w. OW = ( ) 5 OW = ( )

6 Άρ κι z w = (Ο ) = (ΖW) Με βάση τ πρλληλόγρµµ ΟΖΑW, OWZ κι χρησιµοποιώντς γνώσεις πό την Γεωµετρί µπορούµε ν ντιµετωπίσουµε πολλές σκήσεις µιγδικών. Π,χ, ν z + w = z - w τότε οι δ. των µιγδικών z, w είνι κάθετες κι ντίστροφ. Πράγµτι, το πρλληλόγρµµο ΟΖΑW έχει ίσες διγώνιες ν κι µόνο είνι ορθογώνιο. Στο πολλπλσισµό των µιγδικών, χρήσιµο είνι ν δώσουµε κι το γινόµενο ( + βi)( - βi) = + β, επισηµίνοντς ότι ο µιγδικός + βi πολλπλσιζόµενος µε τον (συζυγή του) βi δίνει πάντ γινόµενο πργµτικό (κι µάλιστ µη γ + δi ρνητικό) ριθµό. Έτσι ότν στην συνέχει θέλουµε ν βρούµε το πηλίκο (σε + βi κρτεσινή µορφή) θ έρθει φυσιολογικά το τέχνσµ του πολλπλσισµού κι των δυο όρων µε τον -βi γι «ν κάνουµε τον + βi πργµτικό». 8. υνάµεις του i: Πρτηρείτι συχνά οι µθητές την ιδιότητ i ν = i υ, ν = 4κ+υ, ν την γενικεύουν γι κάθε µιγδικό ζ, δηλδή ν γράφουν ζ 4κ+υ = ζ υ. Κλό είνι λοιπόν ν τονιστεί το σηµείο υτό κι µάλιστ ν δοθεί έν ντιπράδειγµ, π.χ. (i) 5 (i). Γ. Συζυγείς Μιγδικοί 9. Οι σχέσεις z + z =, z - z = βi χρήσιµο είνι ν γρφούν κι στη µορφή z + z z z z + z =Re(z), z - z = Im(z)i ή Re(z) =, Im(z) = i (έκφρση του πργµτικού κι φντστικού µέρους µιγδικού) 0. Κριτήρι πργµτικού κι φντστικού ριθµού µε συζυγείς. Iσχύουν ) z R z = z β) z I z= - z Ν τονίσουµε ότι τ κριτήρι υτά χρησιµοποιούντι συνήθως σε θεωρητικά θέµτ (όπου δεν γράφουµε συνήθως τους µιγδικούς σε κρτεσινή µορφή) κι προκύπτουν εύκολ πό τις πρπάνω σχέσεις του βιβλίου. Μπορούν ν χρησιµοποιούντι πό τους µθητές λλά τουλάχιστον µε την νφορά ότι προκύπτουν πό τις σχέσεις z + z =, z - z = βi του βιβλίου.. Αξιοσηµείωτες συζυγείς ριθµοί : z w, z w µε Re( zw ) = Re( z w), Im( zw ) = Im( z w) z w + z w = Re( zw ), z w z w = Im(zw ) i, z w z w = z w 0. Η ιδιότητ του πηλίκου συζυγών µπορεί ν ποδειχθεί κι µε την βοήθει της z ιδιότητς γινοµένου συζυγών, πρτηρώντς ότι z = z κλπ. z 6

7 3. Αν w C-{0}, z C, τότε ισχύουν, z z w R R OZ // OW O, Z, W συνευθεικά, κι w z z w I I OZ κάθετη στην OW. w (Ν δοθούν ως σκήσεις. Αποδεικνύοντι κι µε την βοήθει του µέτρου) 4. Η εξίσωση z + βz + γ = 0,, β, γ R, 0. Α. Η λύση της εξίσωσης υτής διευκολύνετι ν προηγηθεί η λύση, ως προς ζ, της εξίσωση ζ = ω κι ν τονιστεί ότι ισχύει κι στο C η ισοδυνµί ζ = ω ζ = ±ω. Β. Επισηµίνουµε ότι την εξίσωση υτή την λύνουµε µε τους συντελεστές ν είνι µόνο πργµτικοί ριθµοί κι µε υτή την προϋπόθεση έχει συζυγείς ρίζες ότν δεν έχει πργµτικές. Επίσης ότι οι γνωστοί τύποι του Vieta ισχύουν κι γι µιγδικές ρίζες κι είνι ρκετά χρήσιµοι σε σχετικά θέµτ.. Μέτρο Μιγδικού 5. Το µέτρο ενός µιγδικού είνι επέκτση στο C της γνωστής έννοις της πόλυτης τιµής πργµτικού ριθµού στο σύνολο C. Έτσι προκύπτει ειδικότερ ότι το µέτρο ενός πργµτικού ριθµού είνι ίσο µε την πόλυτη τιµή του. Γι τον ορισµό λοιπόν του µέτρου µπορούµε ν ρχίσουµε πό τον γεωµετρικό ορισµό της πόλυτης τιµής πργµτικού κι ν επεκτθούµε οµλά στο µέτρο µιγδικού. Στην συνέχει ν επιστρέψουµε λγεβρικά στην πόλυτη τιµή πργµτικού ριθµού ως ειδική περίπτωση. Ασφλώς µερικά πλά πρδείγµτ υπολογισµού µέτρου δεν πρέπει ν θεωρηθεί υτονόητο ότι είνι εύκολη υπόθεση γι όλους τους µθητές 6. Ιδιότητες του µέτρου Α. Η ιδιότητ ζ = 0 ζ = 0 µς διευκολύνει µερικές φορές ν δείξουµε ότι ένς µιγδικός ριθµός ή µι λγεβρική µιγδική πράστση είνι µηδέν. Β. Μέσω της (σηµντικής) σχέσης z = z z γίνετι η «πλλγή» πό το µέτρο. z z Χρήσιµες σε σκήσεις είνι κι οι ισοδύνµες σχέσεις z =, z = z z οι οποίες εκφράζουν έν πό τους z, z συνρτήσει του άλλου. Γ. Με την βοήθει των σχέσεων z = -z = z = - z «πλλσσόµστε ή µετκινούµε τους συζυγείς ή τ πρόσηµ» µέσ στ µέτρ. Το τελευτίο είνι ρκετά χρήσιµο σε σχέσεις σχετικές µε εξίσωση κύκλου ή µεσοκθέτου στο C.. Η ιδιότητ του µέτρου πηλίκου µπορεί ν ποδειχθεί κι µε την βοήθει υτής του z γινοµένου, πρτηρώντς ότι z = z, κλπ. z ν ν Ε. Η ιδιότητ z = z ή η ντίστοιχη στους συζυγείς, κλό είνι ζητηθεί πό τους µθητές ν την ποδείξουν µε την µέθοδο της Μθηµτικής επγωγής γι ν φνεί η συνέχει της Μθηµτικής γνώσης, λλά κι θυµηθούν οι µθητές την µέθοδο υτή. 7

8 Μι άµεση κι κλή εφρµογή υτής της ιδιότητς είνι : ν βρεθεί η πόστση του i µιγδικού ζ= πό την ρχή του Μ.Ε. 7. Κριτήρι πργµτικού κι φντστικού ριθµού µε µέτρ: z R z = z, z I z = - z. (κλό είνι ν τ γνωρίζουν οι µθητές, λλά πιτείτι πόδειξη ν το νφέρουν στις εξετάσεις). Ιδιίτερ ν επισηµάνουµε το συχνό λάθος των µθητών (z) = z (π.χ. i i ) κι γενικά ότι (z) ν z ν, ν Ν*, (ζ + ω) ζ + ω κλπ. 8. Τριγωνική Ανισότητ. Α. Στην τριγωνική νισοτυτότητ, z - ω z + ω z + ω Αν Ζ, W οι εικόνες των z, ω ντίστοιχ, η ισότητ ριστερά ισχύει ν κι µόνο OZ OW, ενώ δεξιά ν κι µόνο OZ OW. Aυτό προκύπτει κι πό τον συλλογισµό ότι, ν τ σηµεί Ο, Ζ, W δεν είνι συνευθεικά τότε ισχύουν υστηρά οι νισότητες στο τρίγωνο ΟΖW, άρ τ σηµεί Ο, Ζ,W είνι συνευθεικά κλπ.. Υπενθυµίζουµε κι την ντίστοιχη (τριγωνική) νισοϊσότητ στ δινύσµτ. OZ OW OZ+ OW OZ + OW. Β. Ως άµεσες εφρµογές της τριγωνικής νισότητς µπορούν ν δοθούν οι σκήσεις : ν, β, γ µιγδικοί ριθµοί τότε ισχύουν i) - β + β ii) - β + β, iii) - β - γ + γ - β Γ. Ας σηµειωθεί κόµη ότι σε προβλήµτ µέγιστων ή ελάχιστων ότν χρησιµοποιούµε την τριγωνική νισότητ, πρέπει ν εξσφλίζετι πρίτητ η ισότητ γι ν έχουµε κρόττο. Π.χ. ν ζ =, ω = τότε το µέγιστο της πράστσης ζ + ω, γι την οποί έχουµε ζ + ω ζ + ω = 3, δεν είνι οπωσδήποτε το 3, λλά ίσως είνι το 3 (δεν ξέρουµε δηλδή ν υπάρχει µέγιστο). Απιτείτι ν εξετάσουµε ν οι δ.. κτίνες των ζ, ω µπορούν ν είνι οµόρροπες κι γι ποιους µιγδικούς συµβίνει υτό. Συχνά όµως τ σχετικά προβλήµτ ντιµετωπίζοντι πιο άµεσ µε Γεωµετρικό τρόπο. Ε. Μεθοδολογικές πρτηρήσεις. Αν ζ = ω τότε ζ = ω κι γενικά ζ ν = ω ν (ν Ν*) λλά δεν ισχύει το ντίστροφο (όπως κι στο R). Ισχύει όµως ζ = ω ζ = ±ω, µόνο όµως µε εκθέτη γιτί ν ν κέριος, ν >, τότε η ισότητ ζ ν = ω ν δεν είνι ισοδύνµη µε ζ = ±ω. Π.χ. i 4 = 4.. Ισχύει, ζ = ω ζ = ω (πλλγή ή µετκίνηση συζυγών σε ισότητ). 8

9 3. Ισχύει, ζ = ω ζ = ω (πολύ χρήσιµη σε σκήσεις µε δυνάµεις µιγδικών) (λλά δεν ισχύει το ντίστροφο : i = -i, ιδιίτερη προσοχή σ υτό. Υπόψη κι η άσκηση 50.Β). 4. Πολλές γνώσεις πό τ Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου είνι χρήσιµες στην ντιµετώπιση θεµάτων µε µιγδικούς ριθµούς. Ιδιίτερ επισηµίνουµε τις συνθήκες πρλληλίς κι κθετότητς δινυσµάτων, το εσωτερικό γινόµενο, την εξίσωση ευθείς κι τις κωνικές τοµές. 5. Συχνή είνι η τάση των µθητών σε σκήσεις µιγδικών ν γράφουν µέσως τους µιγδικούς σε κρτεσινή µορφή µε ολέθρι συνήθως ποτελέσµτ. Ν τονιστεί ότι υτή η γρφή δεν µς βοηθά κθόλου σε θεωρητικές σκήσεις (όπου συνήθως εργζόµστε µε τις ιδιότητες) κι εν πάσει περιπτώσει είνι η τελευτί µς κίνηση ν βλέπουµε ότι δεν µπορούµε ν προχωρήσουµε λλιώς. 6. Σε θέµτ κροτάτων ποστάσεων µιγδικών σχετικά µε κύκλους κι ευθείες, χρήσιµο είνι ν έχουµε υπόψη τις πρκάτω προτάσεις της Ευκλείδεις Γεωµετρίς: Α. Αν η ρχή του Μ.Ε. βρίσκετι εκτός ενός κύκλου, τότε π όλους τους µιγδικούς που νήκουν στο κύκλο υτό, την µικρότερη κι την µεγλύτερη πόστση (µέτρο) πό την ρχή του Μ.Ε. την έχουν οι µιγδικοί που ντιστοιχούν στ (ντιδιµετρικά) σηµεί τοµής της δικεντρικής ευθείς που διέρχετι πό την ρχή του Μ.Ε. µε τον κύκλο. Β. Αν µι ευθεί βρίσκετι εκτός κύκλου, τότε π όλους τους µιγδικούς που νήκουν στο κύκλο υτό, την µικρότερη κι την µεγλύτερη πόστση πό την ευθεί υτή την έχουν υτοί που ντιστοιχούν στ σηµεί τοµής της κάθετης πό το κέντρο του κύκλου στην ευθεί υτή, µε τον κύκλο. Γ. Αν δυο µιγδικοί κινούντι πάνω σε δυο µη τεµνόµενους κύκλους, χωριστά, τότε η ελάχιστη κι η µέγιστη πόστση τους ντιστοιχεί σε µιγδικούς µε εικόνες τ σηµεί τοµής της δικεντρικής ευθείς µε τους κύκλους υτούς. Γενικά, µε την βοήθει κυρίως της Γεωµετρίς κι δευτερευόντως της Άλγεβρς ντιµετωπίζοντι ευκολότερ πολλά θέµτ µιγδικών. 7. Γεωµετρικοί τόποι. Στ προβλήµτ γεωµετρικών τόπων (γ. τ.) πιτείτι ιδιίτερη προσοχή: ) Ν νφέροντι τ δεδοµέν κι τ στθερά του προβλήµτος, β) Ν νφέρετι µε σφήνει η ιδιότητ που έχει το σηµείο του οποίου ζητούµε τον γεωµετρικό τόπο, κι γ) πρέπει ν ποδεικνύετι το ορθό κι το ντίστροφο. Γνωστή είνι η σάφει σε θέµ των πολυτηρίων εξετάσεων του 006, λλά δεν θ το σχολιάσω εδώ. Θ σχολιάσω όµως έν θέµ των εισγωγικών εξετάσεων τέκνων Ελλήνων εξωτερικού (θετικής κτεύθυνσης) που δόθηκε πριν λίγ χρόνι, επειδή το θεωρώ διδκτικότερο. 9

10 ΘΕΜΑ Έστω ότι γι έν µιγδικό ριθµό z ισχύει (5z - ) 5 = (z - 5) 5 : ) N δείξετε ότι 5z - = z - 5. β) N δείξετε ότι z =. γ) Αν w = 5z + ν βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγδικό επίπεδο. Κτ ρχή το () προκύπτει πό την δεδοµένη σχέση πίρνοντς τ µέτρ, ενώ το (β) είνι συνέπει κι συνέχει του (). Γι το (γ) «λύνουµε την w = 5z + ως προς z κι ντικθιστούµε στην z =, οπότε προκύπτει ο κύκλος w - = 5». Ασάφει υπάρχει στο (γ) ερώτηµ. Ωρί, ν βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγδικό επίπεδο, προφνώς (κτά τον εξετστή) ότν µετβάλλετι ο z (που έπρεπε ν νφέρετι), λλά που µετβάλλετι ο z; Ίσως (ή προφνώς;) εννοεί ο εξετστής, στον µονδιίο κύκλο (πό το ερώτηµ (β)), λλά υτό πό πού προκύπτει; Το (γ) είνι έν νεξάρτητο ερώτηµ κι έπρεπε οπωσδήποτε ν νφέρετι που µετβάλλετι ο z. Το ότι πολλές φορές στ διάφορ θέµτ «επικρτεί η συνήθει» ν θεωρείτι «υτονόητο» έν επόµενο ερώτηµ ν λµβάνει υπόψη του το συµπέρσµ του προηγουµένου, πλά είνι µι κκή κι επικίνδυνη συνήθει, που µόνο σύγχυση µπορεί ν δηµιουργήσει σε µθητές κι βθµολογητές κι οι ως εξετστές πρέπει ν την ποφεύγουµε γενικώς. Γιτί όµως ο z ν µην µετβάλλετι ώστε (υπόθεση) (5z - ) 5 = (z - 5) 5 ; Θ µπορούσε κάλλιστ κάποιος µθητής ν το εκλάβει έτσι, κι έτσι είνι το σωστό, φού τ ρχικά δεδοµέν κλύπτουν όλ τ ερωτήµτ, οπότε η συνεπγωγή (5z - ) 5 = (z - 5) 5 w - = 5 θ προέκυπτε, µέσω των ερωτηµάτων (), (β), σφλώς δυσκολότερ. Το ντίστροφο όµως, που πρέπει σφλώς ν ποδειχθεί µι κι έχουµε γεωµετρικό τόπο, δηλδή η συνεπγωγή w - = 5 (5z - ) 5 = (z - 5) 5, δεν µπορεί ν ποδειχθεί, γιτί δεν ισχύει!. Το ζήτηµ είνι ότι οι σχέσεις (5z - ) 5 = (z - 5) 5, z =, δεν είνι ισοδύνµες, πλά η πρώτη συνεπάγετι την δεύτερη. Κλύτερ λοιπόν θ τν το (γ) ερώτηµ ν είχε δοθεί ως εξής : (γ) Αν w = 5z + ν βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγδικό επίπεδο, ότν η εικόν του z µετβάλλετι (σ ολόκληρο) στον µονδιίο κύκλο. Μι άλλη πρτήρηση που µπορεί ν γίνει εδώ, λλά δεν φορά τους µθητές, είνι ότι οι µιγδικοί z µε την ιδιότητ (5z - ) 5 = (z - 5) 5 δεν είνι άπειροι, λλά κριβώς 5, ως λύσεις µις πολυωνυµικής εξίσωσης 5 ου βθµού. Άρ κι οι µιγδικοί w είνι κριβώς 5, εποµένως ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος δεν είνι ο κύκλος w - = 5, λλά µόνο 5 σηµεί του κύκλου υτού! Είνι σχεδόν βέβιο ότι κνείς µθητής δεν θ έδωσε υτή την σωστή πάντηση, χωρίς δική του βέβι υπιτιότητ, λλά σίγουρ πολλοί βθµολογήθηκν µε άριστ, φού οι εκπτώσεις στην βθµολογί σε υτές τις περιπτώσεις είνι νπόφευκτες. Έτσι λοιπόν το σωστότερο τελικά θ τν το ερώτηµ (γ) ν είχε διτυπωθεί ως εξής: (γ) Αν w = 5z+ ν βρεθεί η κµπύλη πάνω στην οποί νήκουν οι εικόνες των µιγδικών w 8. Από τις πρκάτω σκήσεις ο διδάσκων µπορεί ν επιλέξει όσες κρίνει σκόπιµο ότν θ διδάξει τους µιγδικούς, λλά κι στο τέλος, στη γενική επνάληψη. Όµως 0

11 προτού γίνει υτό πρέπει πρίτητ ν λυθούν όσες σκήσεις κριθούν σκόπιµο πό το σχ. βιβλίο, συµπεριλµβνοµένων των σκήσεων κτνόησης κι των γενικών σκήσεων. Οι σκήσεις της σελίδς του σχ. βιβλίου νφέροντι σε ενότητ εκτός ύλης λλά οι σκήσεις 8 (Α οµάδς) κι 4, 6, 7, 8 (Β οµάδς) µπορούν ν λυθούν κι κλό είνι ν δοθούν, ίσως προιρετικές. Το ίδιο µπορεί ν γίνει κι µε τις πρκάτω σκήσεις µε στερίσκο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠAΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ A. Ορισµός Πράξεις Μιγδικών. ) Ν υπολογίσετε τους πργµτικούς ριθµούς, y γι τους οποίους ισχύει ( - i)(4 + yi) = (4i + yi - ) β) Ν λύσετε το σύστηµ ( zi + ω = + 3i, z ωi = i).. Ν γράψετε σε κρτεσινή µορφή τους µιγδικούς ζ = (-3 + i) 3 + i 3 i + (5 - i)(3 + i), z = +, ω = -008(συνθ - iηµθ) 3 i 3 + i 3. A. Αν ω =-i 3 ν υπολογίσετε τους ριθµούς ω 3, ω 005. Β.Ν λύσετε τις εξισώσεις ) z + zi = i, β) z = 3-4i, γ) z 3 = -8, δ) z 3 + z(z+) + = Ν προσδιορίσετε τους µιγδικούς, β ώστε ν ισχύει επιτρεπτό µιγδικό z. β + = γι κάθε z + i z i + z (Aπ. i, -i) 5. ) Aν Α(), Β(β),, β C τότε η δ.. του µιγδικού - β ισούτι µε το διάνυσµ AB: Α. Σωστό Β. Λάθος β) Αν η δινυσµτική κτίν (δ..) του µιγδικού ω = z σχηµτίζει γωνί 60 ο µε τον ηµιάξον Ο, τότε η εικόν του z είνι σηµείο της ευθείς Α. y = ( 3 /3), > 0, B. y = 3 Γ. y = 3,. y = - 3, >0. γ) Αν z = -3ω κι η δ.. του z σχηµτίζει µε τον ηµιάξον Ο γωνί 40 ο, τότε η δ.. του ω σχηµτίζει µε τον ηµιάξον Ο γωνί Α.80 ο Β. -80 ο Γ. 60 ο. 50 ο. δ) Αν z = - yi, τότε Im(-z ) = A. yi, B. yi, Γ. y. y. ε) Αν ζ + ω = 0 τότε Α. ζ = ω = 0 B. ζ = 0 ή ω = 0 Γ. άλλο στ) Αν ζ + = ζ, τότε ζ 3 + ζ 004 =, Α., Β. -, Γ. i,., Ε. 0. ζ) Αν z, w C, z + iw = 0 τότε Α. z = w = 0 Β. z = 0 ή w = 0 Γ. άλλο.

12 6. Ν βρεθούν οι µιγδικοί z, ω ώστε η εξίσωση z + ω = ω + 4 ν έχει 008 λύσεις ως προς στο σύνολο C. z 4z i 7. Ν βρεθεί το πεδίο ορισµού των συνρτήσεων f (z) = g() = 3 z 4 (στο σύνολο C ) κι στην συνέχει ν πλοποιηθεί ο τύπος τους. 8. ) Αν a, b, c µιγδικοί δείξετε ότι Re(a + b + c) = Re(a) + Re(b) + Re(c), Im(a + b + c) = Im(a) + Im(b) + Im(c). Στην συνέχει ν δείξετε ότι ν τρεις µιγδικοί νήκουν στο πρώτο τετρτηµόριο του Μ.Ε., τότε κι το άθροισµά τους νήκει στο ίδιο τετρτηµόριο. β) Αν ζ = + (7 5-i)i, R, ν βρεθεί ο ώστε η εικόν του ζ ν νήκει στην πρβολή y =. 9*. Ν υπολογίσετε τ θροίσµτ S = i i i i 006, Σ = i + ( + 3i) + (4 + 5i) + (6 + 7i) + +(ν- + (ν-)i), ν Ν*. 0. A. Ν δειχθεί ότι οι εικόνες των µιγδικών ζ = 3λ-+i(6-3λ), λ R, νήκουν σε ευθεί της οποίς ν βρεθεί η εξίσωση. B. Αν ζ+(λ -λ+)ω = 0, λ R ν βρεθεί η γωνί των δ.. των µιγδικών ζ, ω.. Ν βρεθούν οι πργµτικοί ριθµοί, y ν ισχύει η ισότητ (χ - ψ)ζ = χ + ψ - 6, όπου ζ C, µε ζ + ζ + = 0.. N βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των µιγδικών z µε την ιδιότητ : z Α) η δ.. του µιγδικού u= ν σχηµτίζει γωνί 30 ο µε τον άξον. z + (Απ. τόξο κύκλου) z - Β) o µιγδικός ω = ν έχει εικόν στον θετικό ηµιάξον των y. z + B. Συζυγείς Μιγδικοί 3. ) Γι τον ριθµό = z ω + ω z, ισχύει A. R B. I Γ. C,. > 0. β) Γι τον ριθµό = z ω - ω z, ισχύει A. R B. I Γ. C,. = 0. γ) Η εξίσωση ζ + βζ + γ = 0,, β, γ R έχει ρίζες κ, λ C µε κ λ. Ισχύει Α. κ, λ µιγδικοί ριθµοί Β.κ, λ πργµτικοί ριθµοί Γ.κ, λ φντστικοί ριθµοί δ) Αν οι µιγδικοί ριθµοί ζ,, ζ, -ζ, - ζ σχηµτίζουν (κυρτό) τετράπλευρο, τότε υτό είνι : Α. Πρλληλόγρµµο Β. Ορθογώνιο Γ. Ρόµβος. τετράγωνο ε) Ο ριθµός (ζ + ζ ), ζ C, είνι : Α. µιγδικός Β. φντστικός Γ. µη θετικός. µη ρνητικός στ ) Ο ριθµός (ζ - ζ ), ζ C, είνι : Α. µιγδικός Β. φντστικός Γ. µη θετικός. µη ρνητικός

13 4. Έστω ζ, ω δυο κθρά µιγδικοί ριθµοί. Ν ποδειχθεί ότι ν ισχύει µι πό τις πρκάτω συνθήκες τότε οι ριθµοί υτοί είνι συζυγείς. Α) Το άθροισµ κι το γινόµενό τους είνι πργµτικοί ριθµοί. Β) Το άθροισµ τους κθώς κι το άθροισµ των τετργώνων τους είνι πργµτικοί ριθµοί. 5. Έστω z, ω C*. Ν ποδειχθεί ότι ) ω z R ω/z R κι ω z Ι ω/z Ι. β) Αν ω/z Ι τότε οι δ.. των z, ω είνι κάθετες κι ντίστροφ. 6. ) Ν βρεθεί δευτεροβάθµι εξίσωση µε συντελεστές πργµτικούς ριθµούς που έχει ρίζ τον ριθµό -3+5i. β) Αν κ, λ οι ρίζες της προηγούµενης εξίσωσης ν δειχθεί ότι ο ριθµός ζ = κ ν + λ ν, είνι πργµτικός γι κάθε ν Ν. 7. N βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγδικών που ικνοποιούν την εξίσωση 3( z+ z) + i(z- z) + 4(zz - ) +5(z z + ) = ) Αν το πολυώνυµο Ρ(ζ) = ζ 3 + βζ + γζ + δ,, β, γ, δ R, έχει ρίζ τον µιγδικό z, ν δειχθεί έχει ρίζ κι τον συζυγή του. β) εδοµένου ότι κάθε πολυώνυµο ν βθµού (µε συντελεστές µιγδικούς) έχει ν µιγδικές ρίζες, είνι δυντόν το πολυώνυµο Ρ(ζ) ν µην έχει πργµτική ρίζ; γ) Αν η εξίσωση 3 + β + γ + δ = 0, β, γ, δ R, έχει λύση = 3-5i, τότε ποκλείετι ν έχει λύση την Α. 6, Β. 3+5i, Γ. 0,. +3i, E Έστω, β, γ κθρά µιγδικοί ριθµοί κι οι ριθµοί ω= (β + γ) + β (γ + ) + γ ( + β), z = (β - γ)+ β (γ - )+ γ ( - β). Ν δειχθεί ότι ο ριθµός ω είνι πργµτικός, ενώ ο z φντστικός. + z 0. Έστω z C µε z z =, z,-. Ν ποδειχθεί ότι ο ριθµός = z + z φντστικός, ενώ ο ριθµός β = z 008 πργµτικός. Γ. Μέτρο Μιγδικού 009 είνι. Ν υπολογίσετε τ µέτρ των µιγδικών z C*, ν Ν*. i 6 8i z v ω = + i, ζ =, q =, 5 + i 0 z ν. ) Αν z = z, τότε A. z R, B. z I, Γ. z C,. z = 0, E. z > 0. β) Αν z + z = 0, τότε A. z R, B. z I, Γ. z = 0,. z < 0, E. z C. γ) Οι εικόνες των µιγδικών z µε i - 3 z = νήκουν σε κύκλο κέντρου A. Κ(i), B. K(-i), Γ. K(i/3),. K(-i/3), Ε. Κ(4) δ) Οι εικόνες των µιγδικών ζ µε ζ + = + z -, νήκουν σε Α. ευθεί, Β. κύκλο, Γ. έλλειψη,. υπερβολή. Ε. Πρβολή 3

14 ε) Ο γ. τόπος των µιγδικών w µε w + i + i + w = 6 είνι Α. ευθεί, Β. κύκλος, Γ. έλλειψη,. υπερβολή. Ε. Πρβολή Στ ) Αν ω z = z + ω τότε οι δ.. των µιγδικών z, ω είνι Α.οµόρροπες Β. ντίρροπες Γ.κάθετες.τεµνόµενες ζ) Ο γ.τ. των µιγδικών ω µε ωi + = ω+ είνι A. η ευθεί y = B. η ευθεί y = - Γ.ο κύκλος Κ(-+i). Άλλο 3. Αν, β, γ µιγδικοί ριθµοί τότε ισχύουν i) β + β, ii) - β - γ + β - γ 4. ) Ν λυθεί η εξίσωση χ 3-4χ + χ + 6 = 0. β) Ν δειχθεί ότι οι λύσεις της εξίσωσης υτής είνι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. 5. A. Aν ισχύει (i 4ω) i 5 = ν δείξετε ότι ο ω νήκει σε κύκλο κέντρου 4 Κ(i/) κι κτίνς /4. Β. Αν z + i = 4ω, όπου ο µιγδικός ω νήκει στον προηγούµενο κύκλο κι δεν είνι 93 i + z φντστικός, ν δείξετε ότι ο ριθµός u = είνι φντστικός. i z Γ. Ποι ιστορικά γεγονότ έγινν τ έτη 866, 93; 6. Ν βρεθεί ο γ. τ. των µιγδικών ζ µε την ιδιότητ, το τρίγωνο µε κορυφές τους µιγδικούς ζ, ζ κι την ρχή των ξόνων ν είνι ισόπλευρο. (Απ. δυο ευθείες εκτός ρχής) 7. Έστω z, ω C*. N ποδειχθεί ότι ) ότι z ω > 0 z ω > 0 ω z > 0, β) ζ + ω = ζ + ω ω ζ > 0, γ) ζ - ω = ζ - ω ω ζ < 0, δ) Re( z ω ) = z ω οι δ. των z, ω οµόρροπες. 8. A.Ν βρείτε το µέτρο του µιγδικού ζ ν ισχύει ζ - = ζ -. (Απ. ) z w Β. Αν Re(z) Re(w) > 0, τότε η εικόν του µιγδικού νήκει στο εσωτερικό του z + w µονδιίου κύκλου κι ντίστροφ. 9. Α. Ν βρεθούν οι µιγδικοί ριθµοί ζ, ω µε την ιδιότητ ζ - ω + ω + i = 0 Β. Έστω, β µιγδικοί β 0. Ν εξετστεί ν οι µιγδικοί + β, - β, + i 3 β ποτελούν κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 30. Aν ο λόγος των ποστάσεων του µιγδικού z πό τις εικόνες των µιγδικών ζ =-6 κι ζ = - είνι 4, ν δείξετε ότι ο z νήκει σε κύκλο κέντρου O. 4

15 3. Έστω ζ = 3 κι ω = 4 + 3i. )Ν βρεθεί η µέγιστη κι η ελάχιστη τιµή της πράστσης ζ + ω, β) Ποιο σηµείο του κύκλου ζ = 3 πέχει λιγότερο κι ποιο περισσότερο πό την εικόν του ω; (Απ.8,, (/5, 9/5), (-/5, -9/5)) 3. Oι ρίζες των εξισώσεων - ω = ωi + i, ( z) i(005-3z) 008 = 0 έχουν εικόνες στον φντστικό άξον. 33. Ν βρεθεί ο µιγδικός ζ ώστε το τρίγωνο µε κορυφές τους µιγδικoύς, -i κι ζ ν είνι ισόπλευρο. 34. ) Ν βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος (γ. τ.) των µιγδικών z που ικνοποιούν την εξίσωση ( + i) z + ( - i)z =. β) ν η εικόν ενός µιγδικού z κινείτι πάνω στην ευθεί + y =, ν δειχθεί ότι ο ω = /z κινείτι σε κύκλο, γ) ν ζω = -i ν δειχθεί ότι ο ζ νήκει σε ευθεί.. Επνάληψης 35. Α. Ν βρεθεί ο C ώστε ο ριθµός z = (+) i ν είνι φντστικός. Στην συνέχει ν βρεθεί ο z. Β. Αν. β C, β 0, ν δειχθεί ότι οι εικόνες των µιγδικών + β, + i 3 β, - β, - i 3 β, σχηµτίζουν ρόµβο. 36. Έστω οι µιγδικοί z = - 3i, ω = 3 + i. Ν δείξετε ότι ) ω z = -i, β) z 9 +ω 9 = 0, γ) Ποιο ιστορικό γεγονός έγινε το 9; 37. ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί z = + βi, όπου, β R κι w = 3z i z+ 4. ) Ν ποδείξετε ότι Re(w) = 3 β + 4, Ιm(w) = 3β. β) Ν ποδείξετε ότι, ν οι εικόνες του w στο µιγδικό επίπεδο κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y =, τότε οι εικόνες του z κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y =. γ) Ν βρείτε ποιος πό τους µιγδικούς ριθµούς z, οι εικόνες των οποίων κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y =, έχει το ελάχιστο µέτρο. (Πν/ες. 003) z 38. Θεωρούµε τη συνάρτηση f (z) = µε C, 0< <, 0< z. z Ν ποδειχθεί ότι, ) z β) Ο z νήκει στο εσωτερικό του µονδιίου κύκλου, ν κι µόνο ο f(z) νήκει στο εσωτερικό του ίδιου κύκλου, γ) z = ν κι µόνο f(z) =, δ) f =, z. z f (z) 39. Α. Έστω ζ C. Ν βρεθεί η ικνή κι νγκί συνθήκη (όσο φορά τον ζ) ώστε ) οι ριθµοί + ζi, - ζi ν είνι ρίζες µις δευτεροβάθµις εξίσωσης µε πργµτικούς συντελεστές. 5

16 β) οι ριθµοί i + ζi, -i + ζi ν είνι ρίζες µις εξίσωσης ου βθµού µε πργµτικούς συντελεστές. (Απ. ζ R, ζ Ι) Β. Από τους µιγδικούς ζ µε την ιδιότητ ζ 3 - i = ν βρεθεί υτός που πέχει λιγότερο κθώς κι υτός που πέχει περισσότερο πό την ρχή των ξόνων. 40. Α. Αν το άθροισµ δυο κθρά µιγδικών ριθµών είνι πργµτικός κι η διφορά τους φντστικός ν ποδειχθεί ότι είνι συζυγείς. Β. Έστω z,, β, γ µιγδικοί ριθµοί. Ν ποδειχθεί ότι ) z + z + z - z z, β) β - γ β γ - + γ - β. 4.Έστω ότι οι µιγδικοί ριθµοί, β, γ νήκουν στον µονδιίο κύκλο. Ν δείξετε ότι, β ) ο ριθµός Κ = + είνι πργµτικός, β) ισχύει + β + γ = β + βγ + γ. β 4. Α.Ν δείξετε ότι οι µιγδικοί ριθµοί ζ = συνθ ηµθ + i(συνθ + ηµθ), ω = - (συνθ + ηµθ) + i(συνθ - ηµθ) είνι διφορετικοί γι κάθε θ R κι ότι οι εικόνες τους κι η ρχή του µιγδικού επιπέδου είνι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. Β.N βρείτε τον µιγδικό ριθµό του οποίου η εικόν είνι το κέντρο του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου υτού. 43. Έστω ω µιγδικός ριθµός µε την ιδιότητ ω 7 ω 3 =. ) Ν δειχθεί ότι ω =, β) Ν δειχθεί ότι η εξίσωση ω 7 ω 3 = είνι ισοδύνµη µε την ω 4 =, γ) Ν λυθεί η εξίσωση z 7 z 3 =. 44*.) Ν βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των µιγδικών z µε την ιδιότητ οι δ.. των µιγδικών z + i, z - i ν είνι ντίρροπες. β) Ν λυθεί η εξίσωση z + i + z - i =. 45. Α. Ν βρεθεί ο γ. τ. των µιγδικών ριθµών ζ µε την ιδιότητ + ζ + 5i =, Β. Από όλους τους µιγδικούς που νήκουν στον προηγούµενο γεωµετρικό τόπο ν βρεθεί υτός : ) του οποίου η δ.. σχηµτίζει τη µικρότερη γωνί µε τον χ άξον, β) που πέχει λιγότερο πό τον χ-άξον, γ*) του οποίου η δ. σχηµτίζει τη µεγλύτερη γωνί µε τον χ-άξον. 46. ) Ν βρεθεί ο γ. τ. των µιγδικών z µε την ιδιότητ z + i < z - i. β) Αν οι µιγδικοί, β, γ νήκουν στον προηγούµενο γ. τ. ν ποδειχθεί ότι κι το άθροισµά τους νήκει στον ίδιο γ. τ. 47*. Α. Αν, β, z C µε β τότε ισχύει, z+ βz = 0 ν κι µόνο ν z = 0. 9 B. Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση f(z) = z +, z C*, έχει ελάχιστη τιµή το 6, ότν ο z z νήκει σε έν κύκλο τον οποίο κι ν ορίσετε. 48*. Α. Ν βρεθεί ο γ. τ. των µιγδικών ζ µε την ιδιότητ οι µιγδικοί ζ,, ζ, - ζ, - ζ ν είνι κορυφές (κυρτού) τετρπλεύρου. Β. Αν ζ C τότε ν δείξετε ότι ζ = ζ + = ν κι µόνο ν ζ + ζ + = 0. 6

17 49. Έστω ρ > 0 κι λ (0, ) στθεροί. Αν η εικόν του µιγδικού z διγράφει τον κύκλο κέντρου Ο κι κτίνς ρ, ν δείξετε ότι η εικόν του µιγδικού ω µε ω = z( + λ) + z( - λ) διγράφει έλλειψη µε ηµιάξονες ρ, λρ. 50. Α) Αν z = z + ν δείξετε ότι η εικόν του µιγδικού ω = z νήκει σε ευθεί z πράλληλη στον άξον των φντστικών ριθµών. Β) Ν βρείτε τον θετικό κέριο ν ώστε ( - i) ν = 8. (Απ. ν = 6 ;;) 5*. Α. Ν βρεθούν οι κθρά µιγδικές ρίζες της εξίσωσης z 6 =. Β. Έστω, β, γ µιγδικοί, β. Αν - β = i( - γ) ν ποδειχθεί ότι οι εικόνες των, β, γ είνι κορυφές ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου. 5. Έστω z, ω µιγδικοί ριθµοί. ) Ν γρφεί η πράστση Α = + z ω + z ω + z ω ως τετράγωνο ενός µη ρνητικού ριθµού. β) Ν δειχθεί ότι z - ω ( + z ) ( + ω ), γ) Ν ποδειχθεί ότι συνάρτηση φ(χ) = χ + z - ω χ +( + z )( + ω ), είνι µη ρνητική γι κάθε χ R. 53*. ) Αν ω z R τότε οι εικόνες των z, ω κι η ρχή των ξόνων είνι σηµεί συνευθεικά κι ντίστροφ. β) Αν ω = ν δειχθεί ότι οι δ.. των µιγδικών ω, ω+ω 3 νήκουν σε ευθεί που περνά πό την ρχή των ξόνων. γ) Έστω z, ω C µε z = ω, z iω. Ν ποδειχθεί ότι οι εικόνες των µιγδικών = (z + iω) 004, β = (z - iω) 004 κι η ρχή των ξόνων είνι σηµεί συνευθεικά. Στην συνέχει ν δειχθεί ότι υπάρχει θ > 0 ώστε = θβ. 54*. Α. Ν λύσετε την εξίσωση z συν θ - zηµθ + = συν θ, θ (-π/, π/). Β. Ν δείξετε ότι η εικόν της ρίζς της εξίσωσης υτής µε θετικό φντστικό µέρος, κθώς το θ µετβάλλετι, νήκει σε υπερβολή. 55*. ) Αν R κι ω = ν δείξετε ότι ω - ω = ( z - z) ω. z β) N ποδείξετε ότι η εξίσωση = 5 έχει όλες τις ρίζες της 3 4 πργµτικές. 56. ) Ν λυθεί η εξίσωση (z + ) + z 3 + z = 0. β) Ν βρεθούν οι κοινές λύσεις των εξισώσεων (z + ) + z 3 + z = 0, z 6 + z 4 + = 0. 57*. Αν η δ.. του µιγδικού ζ σχηµτίζει γωνί π/4 µε τον ηµιάξον Ο, ν δειχθεί ότι η εικόν του µιγδικού ω = ζ - νήκει σε τµήµ υπερβολής. ζ 58*. Έστω, β C* µε β κι + β = β. Τότε ισχύουν i) = β, ii) οι εικόνες των, β κι η ρχή των ξόνων είνι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 59*. ) Ν βρεθεί ο R ώστε η εξίσωση = + 5 ν χει ρίζ έν κθρά µιγδικό ζ µε ζ 3 = -. (Απ. 4) 7

18 β) γι την προηγούµενη τιµή του ν δειχθεί ότι η εξίσωση υτή έχει ως ρίζες της ρίζες της εξίσωσης + = 0 κι στην συνέχει ν λυθεί. 60.) N βρεθεί το πεδίο ορισµού A R της συνάρτησης φ µε τύπο φ(t) = ( t). β) Αν z = 3 t + iφ(t), t A, ν δειχθεί ότι οι δ.. των µιγδικών = z κι β = z, z 0, είνι οµόρροπες. 6*. Έστω, β, γ C* µε = β = γ = κι + β + γ = 0. Ν ποδειχθεί ότι Α. β + βγ + γ = β + β γ + γ = 0. Β.i) β + β =-, ii) οι, β, γ ποτελούν κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς A. Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί γι τους οποίους ισχύει z + z = 4 + 4i, z - z = 5 + 5i, ν βρείτε τους z, z. B.Aν γι τους µιγδικούς ριθµούς z, ω ισχύουν z - 3i, ω 3 - i : i. ν δείξετε ότι υπάρχουν µονδικοί µιγδικοί ριθµοί z, ω έτσι ώστε z = ω κι ii. ν βρείτε τη µέγιστη τιµή του z - ω. (Επ/κες. 005) 63**. Έστω ο µιγδικός z = + βi, (, β R), β 0 κι ω = ποδειχθεί ότι ) z + =, β) ω z =. z + z µε (ω z) R. Ν 64*. Έστω ο µιγδικός ζ = + βi (, β R ) µε την ιδιότητ ζ 009 (3 + (3β + )i) = 3 + β - i. ) Ν δειχθεί ότι, ν ζ > τότε + β - < 0, β) Ισχύει ζ =, γ) Ν βρεθεί ο ζ. 65**. Ν ποδειχθεί ότι: ) Αν ζ C τότε Re(ζ) ζ, β) Αν z, ω µιγδικοί ριθµοί, z ω θ (0, π/) τότε ισχύει + ζ + ω + Re(z ω). (Θλής 006) σνυ θ ηµ θ * * * 8

19 Από το σχολικό βιβλίο. Συνρτήσεις.3 Μονότονες-Αντίστροφη Συνάρτηση -Πεδίο ορισμού σελ. 34, εφρμογή σελ. 45, άσκηση,5 σελ. 47, άσκηση,3,4 (Β ομάδ) -Γρφική πράστση σελ. 40, εφρμογή σελ. 45, άσκηση,3,6 -Ισότητ συνρτήσεων σελ. 46, άσκηση 7 -Πράξεις με συνρτήσεις σελ. 46, άσκηση 8 -Σύνθεση συνρτήσεων σελ , εφρμογή-σχόλι σελ. 46, άσκηση, σελ. 48, άσκηση 6,7,8,9 -Μονοτονί συνάρτησης σελ. 56, άσκηση -- σελ. 57, άσκηση 4 -Αντίστροφη συνάρτηση σελ. 55, εφρμογή σελ. 56, άσκηση (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ). Απρίτητη είνι η γενική επνάληψη της κλσικής Άλγεβρς κυρίως της Α Λυκείου µε έµφση στις νισότητες, πόλυτες τιµές κι στο τριώνυµο. Η επνάληψη υτή µπορεί ν συνδυστεί µε την εύρεση του πεδίου ορισµού συνρτήσεων.. ) Ν χρησιµοποιούµε κι άλλους συµβολισµούς γι τον τύπο µις συνάρτησης, εκτός πό τον συνηθισµένο y = f(): η νεξάρτητη µετβλητή κλό είνι ν µην είνι πάντ κι η εξρτηµένη y, ιδίως στις πργώγους π.χ. (t), φ(λ), g(y), Q(P) κλπ. Αυτό ποτρέπει την µονοτονί, βοηθά στην κτνόηση των διφόρων εννοιών που νφέροντι στις συνρτήσεις κι συνδέει τις συνρτήσεις µε πργµτικά λληλοεξρτώµεν µεγέθη πό άλλες επιστήµες. β) Στην ντίστροφη της y = f(), = f - (y), η νεξάρτητη µετβλητή δεν υπάρχει πάντ λόγος ν γίνετι (κι η εξρτηµένη y) κλύτερ ν µένει όπως προκύπτει. Ότν όµως εξετάζουµε κι τις δυο συνρτήσεις στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων, τότε επιβάλλετι η νεξάρτητη µετβλητή ν πρίσττι µε το ίδιο γράµµ. 3. Βσικές µέθοδοι γι την (λγεβρική) εύρεση της µονοτονίς µις συνάρτησης. ) Μέθοδος της διφοράς. β) Κτσκευστική µέθοδος (ευθεί πόδειξη). Χρήσιµες είνι εδώ οι ιδιότητες των νισοτήτων. 9

20 4. Μετά τον ορισµό της γν. ύξουσς (γν. φθίνουσς) συνάρτησης χρήσιµο είνι ν ποδείξουµε (µε άτοπο πγωγή) ότι Aν φ γνησίως ύξoυσ τότε, φ() < φ(β) < β Αν φ γνησίως φθίνουσ τότε, φ() < φ() > β Αν φ γνησίως µονότονη τότε φ() = φ(β) = β (-). Από τον ορισµό της µονοτονίς (στο τελευτίο, της συνάρτησης) ισχύουν κι τ ντίστροφ. Έτσι οι προκύπτουσες ισοδυνµίες µπορούν ν χρησιµοποιηθούν στη λύση νισώσεων κι εξισώσεων. 5. Πολλές φορές γι την πόδειξη του - µις συνάρτησης είνι ευκολότερο ν δείξουµε πρώτ ότι είνι γνησίως µονότονη, π.χ. λ() = e Η µονοτονί µις συνάρτησης νφέρετι πάντοτε σε συγκεκριµέν διστήµτ του πεδίου ορισµού της κι δεν κληρονοµείτι (πάντ) στην ένωσή τους. Έτσι, ν φ γνησίως φθίνουσ (γνησίως ύξουσ) στ διστήµτ (, β], (β, γ), τότε δεν είνι γν. φθίνουσ (γν. ύξουσ) στην ένωση τους (, β] (β, γ), π.χ. η συνάρτηση φ µε φ() = µε > 0 κι φ() = - γι 0. Ισχύει όµως ότι : Αν φ γνησίως φθίνουσ (γν. ύξουσ) στ διστήµτ (, β], (β, γ) κι συνεχής στο β, τότε η φ είνι γν. φθίνουσ (γν. ύξουσ) στην ένωση τους (, β] (β, γ) = (, γ). (πόδειξη σε επόµενο φυλλάδιο) 7. Η (λγεβρική) εύρεση των (ολικών) κροτάτων µις συνάρτησης µπορεί ν γίνει: ) Με γνωστές νισοτυτότητες: + β β ή ( + β) 4β (ισότητ γι = β) Αν θ > 0 τότε θ + (ισότητ γι θ = ). θ π.χ. γι την συνάρτηση f () =, έχουµε ή f() µε ισότητ 9 + γι = 3, -3 κλπ. β) µε την βοήθει της µονοτονίς σε κλειστό διάστηµ. π.χ. η f(t) = t µε Α = [, 5], ποδεικνύετι γν. φθίνουσ, οπότε γι κάθε t 5 ισχύει f(5) f(t) f(), άρ η f έχει µέγιστο, ελάχιστο κλπ. Ενώ στο διάστηµ (, 5) ισχύει f(5) < f(t) < f() κι δεν έχει κρόττ. Γενικά: µι γνησίως µονότονη συνάρτηση σε νοικτό διάστηµ, δεν έχει κρόττ. (Απόδειξη διά της εις άτοπον πγωγής) 0

21 γ) Με την βοήθει του συνόλου τιµών, π.χ. ν φ(α) = [, + ), η φ έχει ελάχιστο το (γι την τιµή του Α µε φ() = ) λλά όχι µέγιστο. 8. Σύνολο τιµών Συνάρτησης Το σύνολο τιµών µις συνάρτησης πίζει σπουδίο ρόλο σε πολλά θέµτ της Ανάλυσης. Είνι χρήσιµο : Γι την εύρεση των (ολικών) κροτάτων. Ως πεδίο ορισµού της ντίστροφης Γι την ύπρξη ρίζς εξίσωσης. Τρόποι εύρεσης: Aλγεβρικός - Ανλυτικός. Η (λγεβρική) εύρεση του συνόλου τιµών µις συνάρτησης µπορεί ν µς δώσει συγχρόνως κι την πληροφορί ν η συνάρτηση είνι - κι στην περίπτωση υτή έχουµε άµεσ κι την ντίστροφή της. Πράδειγµ Έστω η συνάρτηση φ() = +. Πεδίο ορισµού Α = [, + ). Ανζητούµε τ y R γι τ οποί υπάρχει Α µε y = φ(), δηλδή λύνουµε την εξίσωση y = φ() ως προς (µε πράµετρο y). y = φ() y = + y - = = (y - ) κι y = + (y - ), y. Άρ γι κάθε y υπάρχει = + (y - ) ( Α) µε y = φ(). Άρ φ([, + )) = [, + ) (φού [, + ) φ([, + )) λλά λόγω των ισοδυνµιών κι φ([, + )) [, + )). Επί πλέον επειδή γι κάθε y υπάρχει µονδικό = + (y - ) Α µε y = φ(), η φ είνι -, µε ντίστροφη την φ - (y) = + (y - ), y. Πρτήρηση Η λγεβρικός τρόπος µπορεί ν µην εφρµόζετι γενικώς (π.χ. ότν δεν µπορεί ν λυθεί ως προς η εξίσωση y = f(), π.χ. f() = e ), λλά πολλές φορές είνι πλούστερος, φού δεν πιτεί την συνέχει, την µονοτονί κι την εύρεση ορίων του νλυτικού τρόπου.. 9. Η ντίστροφη µις γν. µονότονης συνάρτησης είνι της υτής µονοτονίς. Πράγµτι, έστω φ(), A, π.χ. γν. φθίνουσ κι κ, λ φ(α), κ < λ. Τότε υπάρχουν, β A µε κ = φ(), λ = φ(β). Έτσι έχουµε κ < λ φ() < φ(β) > β φ - (κ) > φ - (λ).

22 0. Σχέση φ, φ - κι διχοτόµου y =. Εκτός πό την γνωστή κι ξιοσηµείωτη συµµετρί, έχουµε τ εξής: ) Αν φ() = τότε φ() = φ - () ( A φ(α) ). ηλδή, τ κοινά σηµεί της γ. π. της φ() µε την y = είνι κι κοινά σηµεί των φ, φ -, y =. β) Αν φ γνησίως ύξουσ τότε, φ() = φ - () φ() = ( A φ(α)). (Το ορθό ποδεικνύετι µε άτοπο πγωγή, ενώ το ντίστροφο προκύπτει εύκολ) Άρ τ κοινά σηµεί της (γν. ύξουσς) φ µε την ντίστροφή της είνι πάνω στην διχοτόµο y =. Aυτό είνι πολύ χρήσιµο ιδίως ότν δεν µπορεί ν βρεθεί η ντίστροφη π.χ. φ() = e -, 0, γ) Αν η φ είνι γνησίως φθίνουσ, δεν ισχύει η προηγούµενη ισοδυνµί. Πράδειγµ Η συνάρτηση f() =, > 0, έχει άπειρ κοινά σηµεί (τυτίζετι) µε την ντίστροφή της f - () =, > 0. Πράδειγµ Η συνάρτηση f() =,, είνι γνησίως φθίνουσ κι έχει µε την ντίστροφή της f - () = -, 0, κοινά σηµεί (στο σύνολο [0, ] ) τ σηµεί 5 5 (0,), (,0),,. (προκύπτουν πό την λύση της εξίσωσης f() = f - (), [0, ] ή του συστήµτος (y = f(), = f(y)). Σηµείωση Πρόσφτ ένς συνάδελφος «πέδειξε» ότι σε κάθε περίπτωση τ κοινά σηµεί των f, f - είνι πάνω στην διχοτόµο y =. Όµως θεωρεί ότι η γρφική πράστση µις συνάρτησης δηµιουργείτι µε ορισµένη φορά διγρφής. Όποιος ενδιφέρετι σχετικά µπορεί ν ντρέξει στο διδίκτυο. Σηµείωση Σε ορισµέν βιβλί κι περιοδικά υπάρχουν θεωρητικές σκήσεις όπου µε δεδοµένη µι συνρτησική σχέση γι την f (π.χ. f 3 () + f() = 3) ποδεικνύετι κτ ρχήν ότι η f είνι -. Στην συνέχει η ντίστροφη βρίσκετι θέτοντς y = f() κι κτλήγοντς σε µι σχέση της µορφής = g(y), οπότε συνάγετι ότι f - (y) = g(y). Γι ν είνι υτό σωστό πρέπει ν δειχθεί κι το ντίστροφο: = g(y) y = f(). (Βλέπε σχετικά την άσκηση 6).

23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) + t. N βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης (t) = ln κι ν δειχθεί ότι είνι t περιττή. Ν βρεθούν τ σηµεί τοµής της γρφικής πράστσης (γ. π.) της (t) µε τους άξονες..ν βρεθούν τ σηµεί τοµής των γ. π. των συνρτήσεων g() = 3 +, h() = Ν εξετστεί ως προς την µονοτονί η συνάρτηση φ(y) = ln y κι ν δειχθεί ότι η y εξίσωση ylny + y = έχει µονδική προφνή λύση, η οποί κι ν βρεθεί Έστω η συνάρτηση φ µε τύπο φ() = ) Ν ποδειχθεί ότι η φ είνι γνησίως φθίνουσ (στο πεδίο ορισµού της), β) Ν δειχθεί ότι η εξίσωση 3 + = 7 έχει µόνο την λύση =. γ) Ν λυθεί η εξίσωση φ( 3 + ) = φ(3 - ). 5. ) Αν γι µι συνάρτηση φ ισχύει 000 φ(λ) 007 γι κάθε λ R, τότε η φ: Α. έχει ελάχιστο Β. έχει µέγιστο Γ. έχει ελάχιστο κι µέγιστο. ίσως έχει κρόττ. β) Mι συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το διάστηµ [0, ) κι είνι -. Η ντίστροφή της: Α. έχει µέγιστο Β. έχει ελάχιστο Γ. δεν έχει κρόττ. γ) Αν η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισµού το Α κι είνι -, τότε η ισότητ (gοg - ) (λ) = λ A. εν ισχύει ποτέ Β. ισχύει γι κάθε λ Α Γ. ισχύει γι κάθε λ g(a) δ) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού κι σύνολο τιµών το Α κι είνι -, τότε γι τις συνρτήσεις fοf -, f - of ισχύει Α. είνι ίσες Β. δεν είνι ίσες Γ. µερικές φορές είνι ίσες. 6. Με την βοήθει των νισοτυτοτήτων +β β, θ+/θ, (θ>0), ν βρεθεί η 4t µέγιστη τιµή κι η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης (t) = + t. Επίσης η ελάχιστη τιµή της f() = + +. Έχει µέγιστη τιµή η f(); + (Απ.,, -, όχι) r r r r r 7. Με την βοήθει της νισότητς β β (ισότητ ν κι µόνο,β πράλληλ) ν βρεθεί η µέγιστη τιµή της συνάρτησης h() = + 8. (Απ. 4) 8. Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση (t) = t - 4t +6, t είνι γνησίως µονότονη κι ν βρεθεί η ντίστροφή της. Στην συνέχει ν βρεθούν τ κοινά σηµεί της γ. π. της (t) µε την ντίστροφή της. 3

24 e 9. Ν βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης (y) =, κι η η ντίστροφή της ν y e + υπάρχει. 0. Έστω η συνάρτηση φ µε τύπο φ(y) = ln(-y + + y ). Ν ποδειχθεί ότι ) έχει πεδίο ορισµού το R κι είνι περιττή, β) είνι - κι ν βρεθεί η ντίστροφή της, γ) ν βρεθούν τ κρόττ της φ κι της ντίστροφής της.. Έστω f, g συνρτήσεις - µε κοινό πεδίο ορισµού Α κι κοινό σύνολο τιµών Α. Ν ποδειχθεί ότι, ) οι συνρτήσεις fog, gof είνι -, β) Ισχύει (fog) - = g - o f -, (gof) - = f - o g -.. Αν οι κορυφές ενός τριγώνου βρίσκοντι στην υπερβολή y = / ν δειχθεί ότι κι το ορθόκεντρό του βρίσκετι πάνω σ υτήν. 3*. Έστω f, g συνρτήσεις µε πεδίο ορισµού το R κι g( R ) = R ώστε (fog)() = γι κάθε R. Ν ποδειχθεί ότι, ) οι f, g είνι ντιστρέψιµες, β) f = g -, g = f -. e 4*. Έστω η συνάρτηση µε τύπο (t) =, t R. t e + e t e ) Ν δειχθεί ότι γι κάθε (0, ) υπάρχει µονδικό t R µε =. t e + e β) Η συνάρτηση f() = () + (- ), R είνι στθερή, γ) Ν υπολογιστεί το άθροισµ Σ = (Απ.9/) t + λ 5*. ) N βρεθούν οι τιµές του λ R γι τις οποίες το κλάσµ K = έχει + + λ έννοι γι κάθε R. β) Από τις προηγούµενες τιµές του λ ν βρεθεί εκείνη γι την οποί το κλάσµ πίρνει όλες τις τιµές του διστήµτος [/3, 3] κι µόνο υτές. (Απ.λ>, λ = 4) 6*.Έστω συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R κι f() > 0 γι κάθε R, που ικνοποιεί την σχέση ln f () = γι κάθε R, κθώς κι η συνάρτηση φ(t) = ln t. f () t ) Ν δειχθεί ότι οι f, φ είνι γνησίως µονότονες, β) Ν βρεθεί η ντίστροφη της f ν υπάρχει, γ) Ν βρεθεί η τιµή f(). (Απ. ) y 4

25 Από το σχολικό βιβλίο.4-.7 Όρι -Ιδιότητες ορίου σελ. 74, άσκηση σελ. 76, άσκηση 4 σελ. 8, άσκηση 4 σελ. 86, άσκηση -Μορφή 0 σελ. 75, άσκηση 4 0 σελ , άσκηση (Β ομάδ) -Ασκήσεις με πόλυτ σελ. 76, άσκηση σελ. 87, άσκηση (Β ομάδ) -Κριτήριο πρεμβολής -Τριγωνομετρικά όρι σελ. 75, άσκηση 6,7 -Μορφή 0 σελ. 8, άσκηση, σελ. 8, άσκηση -Μορφή + σελ. 87, άσκηση 3i, iii (Α ομάδ) + -Μορφή ( + ) ( + ) σελ. 87, άσκηση 3ii (Α ομάδ) -Όρι εκθετικής-λογάριθμοι -Πρμετρικές σκήσεις σελ. 75, άσκηση 9 σελ. 85, άσκηση 3 σελ. 87, άσκηση,,3 (Β ομάδ) -Γενικές σκήσεις.8 Συνέχει συνάρτησης -Συνέχει σελ. 98, άσκηση 4,5 σελ. 99, άσκηση,3 (Β ομάδ) -Θεώρημ Bolzano σελ , άσκηση 6,7,8,9 (Α ομάδ) σελ. 99, άσκηση 4 (Β ομάδ) σελ. 00, άσκηση 5,6,7,8 -Ενδιάμεσων τιμών -Σύνολο τιμών σελ. 99, άσκηση 0 -Ερωτήσεις κτνόησης σελ Α. Ο Ρ Ι Α. Χρήσιµο είνι ν γίνει διάκριση των εννοιών: «δεν έχει έννοι το όριο της f στο ξ R {+, - }»: ότν η συνάρτηση f δεν ορίζετι «κοντά στο ξ», π.χ lim, lim εφω. 0 ω + «δεν υπάρχει το όριο της f στο ξ R {+, - }»: ότν το όριο έχει έννοι κι τ πλευρικά όρι είνι διφορετικά (πεπερσµέν ή άπειρ), π.χ. lim. Αυτή είνι η 0 πλέον συνηθισµένη, γι το σχ. βιβλίο, περίπτωση, λλά είνι δυντόν ν µην υπάρχει (σύµφων πλέον µε τον ορισµό του ορίου) ούτε έν πό τ πλευρικά όρι.. Στο ο θεώρηµ της διάτξης (σελ.65). Ν σηµειωθεί ότι δεν ισχύει το ντίστροφο: π.χ. > 0 κοντά στο 0 (π.χ. στο (-, 0) (0, )), λλά (όπως θ δούµε πρκάτω) lim = 0, 5 0

26 3. Στο ο θεώρηµ της διάτξης (σελ.66). Αν f() < g() κοντά στο ξ, δεν συνεπάγετι ότι lim f () < lim g(), ξ ξ (το ντίστροφο ποδεικνύετι εύκολ) Ισχύει όµως πάντ ότι lim f () lim g() (εφόσον τότε είνι κι f() g()). ξ ξ π.χ. <, 0, λλά lim = lim = To Θεώρηµ (όρι κι πράξεις) της σελίδς 66, µετά το «τότε» ν προστεθεί «υπάρχουν τ πρκάτω όρι κι ισχύουν» Το ίδιο κι στο κριτήριο πρεµβολής (σελ.69) «υπάρχει το όριο της f στο 0 κι». Αυτή είνι η σωστή διτύπωση των θεωρηµάτων κι ποτρέπει λάθη. Το ντίστροφο του θεωρήµτος δεν ισχύει, π.χ. Γι την ιδιότητ lim(f ()g()) = lim f () lim g(), έχοµε ξ ξ ξ lim( ( ) =, λλά δεν υπάρχουν τ όρι ξ lim, lim 0 0. Ισχύει όµως ότι, ν υπάρχουν τ όρι των π.χ. των f + g, f στο ξ, τότε υπάρχει κι όριο της g στο ξ. (Ν δοθεί ως Άσκηση). 5. (Ιδιότητ 5, θεωρήµτος σελ.66). Αν lim f (t) = δεν συνεπάγετι ότι t ξ lim f (t) = t ξ lim = 0 (το ντίστροφο ισχύει πάντ). π.χ. lim = λλά lim, ή λλά δεν υπάρχει το Ισχύει όµως ότι, lim f (t) = 0 lim f (t) = 0 (- f(t) f(t) f(t) κλπ). t ξ t ξ ηµ 6. Ως γνωστό, ν R σε κτίνι τότε lim =. 0 ηµθ π θ Αν όµως θ R σε µοίρες τότε lim = (χρήση του = ) θ 0 θ π lim Στο όριο σύνθεσης συνρτήσεων fog στο 0 (σελ.73). Η συνθήκη g() u o κοντά στο 0, δεν µπορεί ν γνοηθεί (Βλ. σχετικά το ντιπράδειγµ στη σελίδ 93 των οδηγιών του Π. Ι ) 8. Τ όρι lim ηµ, lim συν, ± ± δεν υπάρχουν (δικιολόγηση µέσω της γνωστής γρφικής πράστσης των συνρτήσεων). Αυτό ποτρέπει πολλούς µθητές ν «δίνουν διάφορες τιµές» στ όρι υτά. 9. Αν f() g() κοντά στο ξ R {+, - }, κι lim f () = + τότε lim g() = + ξ ξ lim g() = τότε lim f () =. ξ ξ Η δικιολόγηση µπορεί ν γίνει διισθητικά λλά κι µε το κριτήριο πρεµβολής.. 6

27 0. Απροσδιόριστη µορφή: λέµε την περίπτωση του ορίου, το οποίο έχει έννοι κι γι τον υπολογισµό του δεν µπορεί ν εφρµοστεί κάποιος γνωστός κνόνς των ορίων. Μπορεί ν υπάρχει ή ν µην υπάρχει το όριο υτό.. Έχοντς υπόψη τις ντίστοιχες ιδιότητες των ορίων, συντοµογρφικά µπορούµε ν χρησιµοποιούµε τους πρκάτω συµβολισµούς που βοηθούν στον λογισµό των ορίων (λλά ν µην τις νφέρουµε ως πράξεις στο R {+, - }) : (+ ) + (+ ) = +, (- ) + (- ) = -, = +, =, = 0, = 0 κλπ Γι την σωστή κωδικοποίηση κι νάκληση πό την µνήµη των ορίων κι γενικά των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης, µε > κι 0 < <, κθώς κι της λογριθµικής συνάρτησης ln, ν γίνει σύστση στους µθητές ν ποµνηµονεύσουν τις γρφικές τους πρστάσεις µέσω των οποίων θ νκλούν τ σχετικά στοιχεί κι όχι ν τ ποµνηµονεύσουν. 3. Χρήσιµες υποδείξεις γι τις σκήσεις: f () Α. Aν lim = R τότε lim f () = 0. ξ ξ ξ f () Πολύ χρήσιµη σε σκήσεις κι εύκολ ποδείξιµη: f () = ( ξ) κλπ. ξ f () Ακόµη µπορούµε ν θέσουµε g() = κλπ, που είνι µι γενική µέθοδος ξ «ξεφωλιάσµτος» µις συνάρτησης f(). Β. Το κριτήριο πρεµβολής χρησιµοποιείτι συνήθως σε θεωρητικά θέµτ (συνρτησικές σχέσεις κλπ) κι σε προσδιόριστες µορφές ή «δύσκολ» κι «περίεργ» όρι, ιδίως ότν περιέχουν τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς ηµίτονο κι συνηµίτονο. Γ. Σε σκήσεις που εµφνίζοντι όρι εκθετικής, χρήσιµο είνι ν νάγοντι στη περίπτωση του ορίου lim = 0 µε 0 < <. + Β. Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α. Μονοτονί κι Συνέχει. Αν φ γνησίως φθίνουσ (γν. ύξουσ) στ διστήµτ (, β], (β, γ) κι συνεχής στο β, τότε η φ είνι γν. φθίνουσ (γν. ύξουσ) στην ένωση τους (, β] (β, γ) = (, γ) (όπως είδµε στο προηγούµενο φυλλάδιο ν δεν είνι συνεχής δεν ισχύει). Απόδειξη Έστω φ γν. φθίνουσ στ διστήµτ (, β], (β, γ). Γι ν δειχθεί ότι είνι γν. φθίνουσ στο (, γ), ρκεί ν δειχθεί ότι, ν β < λ < γ τότε φ(β) > φ(λ) (γι τις άλλες περιπτώσεις είνι προφνής ότι ικνοποιείτι ο ορισµός). Έστω ένς στθερός ριθµός ρ µε β < ρ < λ. Γι κάθε κ µε β < κ < ρ < λ έχοµε φ(κ) > φ(ρ) > φ(λ) κι λόγω συνέχεις στο β, lim φ(κ) φ(ρ) ή φ(β) φ(ρ) > φ(λ). Άρ φ(β) > φ(λ) (Μάλιστ ρκεί µόνο η πό δεξιά κ β + συνέχει στο β). *. Μονοτονί κι -. Αν φ - κι συνεχής σε διάστηµ, τότε η φ (ποδεικνύετι ότι) είνι γνησίως µονότονη (χρήσιµο στην λλγή µετβλητής στ ολοκληρώµτ). 7

28 3. Ιστορικά στοιχεί στο θεώρηµ Bolzano. Ο Bernard Bolzano (78 848) ήτν Τσέχος µθηµτικός ιερωµένος κι φιλόσοφος, πό τους πιο βθυστόχστους µθηµτικούς της εποχής του. Το θεώρηµ που φέρνει το ονοµά του πντά σε κάποιο βθµό στο ερώτηµ, τι κάνουµε στις περιπτώσεις που είνι δύντον ν προσδιορίσουµε τις ρίζες µις εξίσωσης; Αυτό το ερώτηµ έγινε επιτκτικό πό το 84, ότν ο Νορβηγός µθηµτικός Niels Abel (80-89) πέδειξε ότι, δεν είνι δυντόν ν βρεθούν τύποι (που περιέχουν τις 4 πράξεις του R κι ν-οστές ρίζες) που ν δίνουν τις ρίζες µις πλήρους πολυωνυµικής εξίσωσης 5 ου ή µεγλύτερου βθµού. Έτσι το πρόβληµ εστιάστηκε πι στην νζήτηση πληροφοριών, που θ φωτίζουν όσο γίνετι περισσότερο το θέµ των ριζών, οπότε τέθηκν τ ερωτήµτ: Πόσες πργµτικές ρίζες έχει η εξίσωση; Που περίπου βρίσκοντι υτές οι ρίζες πάνω στον - άξον των πργµτικών ριθµών; Πόσες είνι θετικές κι πόσες ρνητικές; Σε ερωτήµτ τέτοιου τύπου δίνοντι πντήσεις πό ορισµέν θεωρήµτ της βσικής Μθηµτικής Ανάλυσης, που έχει επικρτήσει ν τ ποκλούµε «υπρξικά θεωρήµτ». Μετξύ υτών, το πρώτο µάλιστ, είνι κι το γνωστό ως θεώρηµ του Bolzano. Στην πορεί, κι µε φετηρί τον προσεγγιστικό υπολογισµό των ριζών πολύπλοκων εξισώσεων (µέθοδος διχοτόµησης κλπ), δηµιουργείτι ένς νέος κλάδος των Μθηµτικών, η Αριθµητική Ανάλυση. 4. Aς έχουµε υπόψη ότι η (υστηρή) πόδειξη του Θ. Βοlzano στηρίζετι στο ο ξίωµ της γρµµικής διάτξης των πργµτικών ριθµών (supremum) κι ξεφεύγει πό τους σκοπούς του βιβλίου. Εδώ θ γίνει µόνο µι εποπτικογεωµετρική δικιολόγηση (που δεν ποτελεί πόδειξη γι την Ανάλυση). Το ντίστροφο του Θ. Βοlzano δεν ισχύει: είνι δυντόν ν υπάρχει ρίζ µις συνεχούς συνάρτησης στο διάστηµ (, β), λλά ν µην ισχύει f()f(β) < 0, π.χ. η συνάρτηση f(λ) = λ -, λ [-, ]. Επισήµνση: η συνθήκη f()f(β) < 0 είνι πλά ικνή (κι όχι νγκί) γι ν υπάρχει ρίζ. Επίσης το σηµντικό σχόλιο-πόρισµ «διτήρησης προσήµου», µέσως µετά το θ. Βοlzanο. Προσοχή: υτό ισχύει µόνο σε διάστηµ κι όχι σε ένωση διστηµάτων (όπως βέβι κι το θ. Βοlzanο, ντιπράδειγµ εύκολο). Γενίκευση Θ. Βοlzanο. Έστω f συνεχής στο διάστηµ (, β) της οποίς υπάρχουν, στο R {-. + }, τ όρι στο κι β κι είνι ετερόσηµ (κόµη κι άπειρ). Τότε υπάρχει ξ (, β) µε f (ξ) = 0. (Υπ. Χρήση του θεωρήµτος διάτξης στ όρι κι Θ. Βοlzanο) 5. Από το θεώρηµ ενδιµέσων τιµών (Θ.Ε.Τ.) προκύπτει, ως µερική περίπτωσηπόρισµ, το Θ. Βοlzanο (Ν δοθεί ως άσκηση). 6. To συµπέρσµ του Θ. Ε.Τ. µπορεί ν ισχύει κι γι µη συνεχή συνάρτηση. Πράγµτι, σύµφων µε το θεώρηµ του Darbou (Γάλλος, 84-97) η πράγωγος µις συνάρτησης σε έν διάστηµ πίρνει όλες τις τιµές µετξύ δυο τιµών της, δηλδή ισχύει γι υτήν το Θ.Ε.Τ., ενώ βέβι δεν είνι πάντ συνεχής συνάρτηση. Άρ το συµπέρσµ του Θ.Ε.Τ, είνι (µόνο) νγκί συνέπει της συνέχεις. Έτσι, ν δεν ισχύει το Θ. Ε. Τ η συνάρτηση δεν είνι συνεχής. Έν πλούστερο πράδειγµ που µπορούµε ν φτιάξουµε είνι το εξής: Έστω φ συνεχής στο [, β]. Ορίζουµε την συνάρτηση (επέκτση της φ) Σ(χ) µε Σ(χ) = φ(χ), γι χ [, β] κι Σ() = φ(κ) γι (β, γ], όπου κ (, β) µε φ(κ) φ(β).τότε η Σ δεν είνι συνεχής στο [, γ] λλά επειδή έχει το ίδιο σύνολο τιµών µε την φ, ισχύει το Θ.Ε.Τ. γι την Σ κριβώς λόγω της συνέχεις της φ στο [, β]. 8