ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Λέκτορας, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μηχανολόγων Ε.Μ.Π.

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Λέκτορας, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μχανολόγων Ε.Μ.Π. ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΓΕΝΕΣΗ ΟΜΗΜΕΝΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ ΜΕΣΩ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Γ. Γενικά Άλλες Μέθοδοι Γιά τ γέvεσ υπoλoγιστικώv πλεγµάτωv πoυ είvαι πρoσαρµoσµέvα στα όρια ενός διδιάστατου ή τριδιάστατου χωρίoυ (οριόδετα δοµµένα πλέγµατα χρσιµoπoιoύvται συνήθως αριθµτικές µέθoδoι, oι περισσότερες από τις oπoίες µπoρoύv vα καταταχθoύv στις παρακάτω τρείς κατγoρίες: (α Μέθoδoι πoυ στρίζovται στo Σύµµoρφo Μετασχµατισµό (β Αλγεβρικές Μέθoδoι (γ Μέθoδoι πoυ στρίζovται στv επίλυσ µερικώv διαφoρικώv εισώσεωv (α H γένεσ διδιάστατωv οριόδετων πλεγµάτωv µε τ Μέθoδo τoυ Σύµµoρφoυ Μετασχµατισµoύ (Conormal Mapping απoτελεί εvδεδειγµέv λύσ για εκείvες τις περιπτώσεις πoυ δεv επιβάλλεται αυστρά διατήρσ µιάς δεδoµεvς καταvoµής oριακώv σµείωv, αλλά διατρoύµε τ δυvατόττα vα τα τoπoθετήσoυµε σχετικά αυθαίρετα πάvω στo όριo. Μαθµατικά µέθoδoς συvίσταται στv εύρεσ εκείvς τς µιγαδικής συvάρτσς πoυ απεικovίζει σύµµoρφα τo όριo τoυ πραγµατικoύ χωρίoυ στo ευθύγραµµo όριo εvός oρθoγωvικoύ πoλυγώvoυ. Στ συvέχεια, χρσιµoπoιώvτας τ συvάρτσ τς απεικόvισς πoυ υπoλoγίστκε, υπoλoγίζovται τα εσωτερικά σµεία τoυ πραγµατικoύ χωρίoυ πoυ αvτιστoιχoύv στoυς κόµβoυς τoυ oρθoγωvικoύ πλέγµατoς. Οι πoλύπλoκες διδιάστατες γεωµετρίες συvθίζεται vα αvτιµετωπίζovται µε τv αλλλoυχία απλώv σύµµoρφωv µετασχµατισµώv. Επιλεκτική συγκέvτρωσ πλεγµατικώv γραµµώv σε κάπoιες περιoχές τoυ πεδίoυ ρoής επιτυγχάvεται µε τ διαδoχή τoυ σύµµoρφoυ µετασχµατισµoύ από έvαv

2 Γ - παραµoρφωτικό (stretching µχαvισµό πoυ διατρεί τv oρθoγωvιόττα τoυ πλέγµατoς, όχι όµως τo σύµµoρφo τς απεικόvισς. (β Η γέvεσ οριόδετων αριθµτικώv πλεγµάτωv µε χρήσ Αλγεβρικώv Μεθόδωv στρίζεται oυσιαστικά στv παρεµβoλή σµείωv στo εσωτερικό τoυ χωρίoυ µε βάσ µιά δεδoµέv καταvoµή σµείωv στv oριακή γραµµή. Πλεovέκτµα είvαι µεγάλ ταχύττα µε τv oπoία δµιουργείται τo πλέγµα. Μειovέκτµα απoτελεί έλλειψ εoµαλυvτικώv µχαvισµώv γιά vα εµπoδίσoυv τ µεταφoρά στo εσωτερικό τoυ χωρίoυ ενδεχόµενων αvωµαλιώv τς οριακής καταvoµής σµείωv. Συχνά, απλές αλγεβρικές µέθoδoι, όπως για παράδειγµα γραµµική παρεµβoλή, χρσιµoπoιoύvται γιά τv κατασκευή τoυ εvαρκτήριoυ πλέγµατoς από τo oπoίo εκιvά λύσ τωv µερικώv διαφoρικώv εισώσεωv πoυ θα υπoλoγίσoυv τv τελική µoρφή τoυ πλέγµατoς. (γ Η γέvεσ διδιάστατωv ή τριδιάστατωv οριόδετων πλεγµάτωv µε τv επίλυσ εvός συστήµατoς διαφoρικώv εισώσεωv ελλειπτικoύ τύπoυ είvαι σήµερα περισσότερo δµoφιλής µέθoδoς. Στρίζεται στv κατασκευή εvός πλέγµατoς καµπυλόγραµµωv συvτεταγµέvωv από τv επίλυσ ελλειπτικώv διαφoρικώv εισώσεωv oι oπoίες συvοδεύονται συvήθως από oριακές, συvθήκες τύπoυ Dirichlet πoυ καθoρίζoυv τ θέσ τωv σµείωv στo όριo. Τα κριτήρια γιά τv εκλoγή τoυ τύπoυ τς διαφoρικής είσωσς που θα διέπει τ γένεσ του πλέγµατος καθορίζονται από τις απαιτήσεις που ο χρήστς ή προγραµµατιστής θέτει τα πλέγµατα που θα µπορεί να δµιουργήσει. Γενικά, τέτοιες απαιτήσεις αφορούν τ λειόττα των πλεγµατικών γραµµών, τν ορθογωνιόττα τους (όσο τουλάχιστον το επιτρέπει µορφή του περιγράµµατος, πυκνώσεις ή αραιώσεις κατά περιοχές των πλεγµατικών γραµµών, κλπ. Συvήθως oι εισώσεις είvαι τύπoυ Laplace ή Poisson (δλ. µε µδενικό ή µ-µδενικό δεί µέλος, που όπως θα γίνει αργότερα κατανοτό αποτελεί το µχανισµό ελέγχου των ιδιοτήτων των πλεγµατικών γραµµών που θα σχµατισθούν στις oπoίες αvαγvωρίζoυµε τv ιδιόττα τoυ vα µ µεταφέρoυv στo εσωτερικό τoυ χωρίoυ ασυvέχειες ή αvωµαλίες τoυ oρίoυ. Εvα πρόσθετo πλεovέκτµά τoυς είvαι τo ότι µε τv πρoσθήκ κατάλλλωv όρωv πγής (το µ-µδενικό δεί µέλος που προαναφέραµε µπoρεί καvείς vα αυήσει τ συγκέvτρωσ τωv πλεγµατικώv γραµµώv σε πρoεπιλεγµέvες περιoχές ή να κανονίσει τν ορθογωνιόττα των πλεγµατικών γραµµών. Τελειώvovτας τν ενόττα αυτή θα πρoσπαθήσoυµε πoλύ σύvτoµα vα δώσoυµε στov αvαγvώστ λίγα στoιχεία γύρω από τις δύo σπoυδαιότερες απαιτήσεις πoυ έχoυµε κατά τv κατασκευή πλεγµάτωv: (α Η oρθoγωvιόττα είvαι γεvικά στoιχείo αv όχι απαραίττo, τoυλάχιστo πoλύ επιθυµτό. Θα αvαφέρoυµε τρείς λόγoυς πoυ συvγoρoύv σ'αυτό. Καταρχή oι µετασχµατισµέvες εισώσεις απλoπoιoύvται σµαvτικά όταv, λόγω τς oρθoγωvιόττας, µδεvίσoυµε τoυς µ διαγώvιoυς όρoυς τoυ µετρικoύ ταvυστή g ij. εύτερo, όταv για τv επίλυσ χρσιµoπoιoύvται αριθµτικά σχήµατα πoυ στρίζovται σε πρoσεγγιστικές παραγovτoπoιήσεις, τότε τα oρθoγώvια πλέγµατα συvήθως επιταχύvoυv τ σύγκλισ, αφoύ oι όρoι πoυ παραλήφθσαv κατά τv παραγovτoπoίσ είvαι όvτως

3 Γ -3 µδεvικoί. Τέλoς, χρήσ περιoδικώv oρίωv (όπoυ καθετόττα εασφαλίζει και τ συνέχεια των πλεγµατικών γραµµών περνώντας από ένα χωρίο στο γειτονικό του ή χρήσ αλγεβρικώv µovτέλωv τύρβς σε προβλήµατα ροής που επιλύονται στο πλέγµα που δµιουργείται (τo µovτέλo Baldwin-Loma, πoυ είvαι έvα από τα περισσότερo χρσιµoπoιoύµεvα, στρίζεται κυρίως στv κάθετ απόστασ από τα τoιχώµατα διευκoλύvovται σµαντικά από τv κατασκευή και χρήσ oρθoγώvιωv πλεγµάτωv. (β Η δυvατόττα συγκέvτρωσς πλεγµατικώv γραµµώv σε περιoχές υψλώv κλίσεωv τωv προς επίλυσ µεγεθώv (λ.χ. σε προβλήµατα ρoής, κovτά στα κρoυστικά κύµατα ή κovτά στα τoιχώµατα αv ροή είναι συvεκτική απoτελεί αvαγκαίo στoιχείo κάθε καλoύ κώδικα γέvεσς αριθµτικoύ πλέγµατoς. Γ. Γένεσ Οριόδετων οµµένων Πλεγµάτων - Μαθµατική Θεµελίωσ Στν ενόττα ΠΡ δείχθκε ότι σε κάθε δοµµένο πλέγµα που παραµετροποιείται µε ένα σύστµα καµπυλόγραµµων συντεταγµένων i, (i, ή και 3, δλαδή (, ή (,,ζ, ισχύουν οι εισώσεις g ij r ij k r - g ij 0 i j Γ k (Γ. Οι εισώσεις (Γ. είναι δύο (για το διδιάστατο µερικές διαφορικές εισώσεις διατυπωµένες ως προς, ή τρεις (για το τριδιάστατο πρόβλµα διατυπωµένες ως προς,, 3 z. Υπενθυµίζεται ότι οι εµπλεκόµενοι συντελεστές είναι τα σύµβολα Christoel πoυ oρίζονται µέσω των παραγώγωv τoυ µετρικoύ ταvυστή ως Γ k ij lk g g jl g il ij g - j i l (Γ. Ο συνδυασµός των (Γ. και (Γ. δίνει τ βασική ιδέα γύρω από τ γένεσ δοµµένων πλεγµάτων µέσω ελλειπτικών διαφορικών εισώσεων (τύπου Laplace ή Poisson, δλαδή εισώσεων που θα «µοιάζουν» στ µορφή µε τ (Γ.. Συνεχίζοντας παραπέρα τ σκέψ αυτή, παρατρούµε ότι θα µπορούσε κάποιος να ελέγει τις ιδιόττες του πλέγµατος που θα παραχθεί (µε πυκνώσεις ή αραιώσεις των πλεγµατικών γραµµών σε διάφορες περιοχές, επιβάλλοντας τν ορθογωνιόττα του πλέγµατος στα όριά του ή/και στο εσωτερικό του, κλπ, αν µπορούσε να επέµβει και να k ij προκαθορίσει τους εµπλεκόµενους συντελεστές Γ ij, g, gkm κλπ. σε κάθε κόµβο. Υπενθυµίζεται ότι όταν στο τέλος θα δµιουργθεί το πλέγµα µε προκαθορισµένες τις παραπάνω ποσόττες, προφανώς θα ικανοποιεί τν ταυτόττα (Γ.. Ορισµένοι τρόποι για να προκαθορισθούν τέτοιες γεωµετρικές ποσόττες του πλέγµατος θα αναλυθούν στ συνέχεια. Γενικά, διαφορετικοί τρόποι προκαθορισµού

4 Γ -4 αυτών των ποσοτήτων δµιουργούν τις διαφορετικές τεχνικές γένεσς οριόδετων δοµµένων πλεγµάτων που συναντάµε στ βιβλιογραφία. Θα συζτθεί στ συνέχεια γένεσ οριόδετων δοµµένων πλεγµάτων σε ένα διδιάστατο χωρίο του οποίου τα όρια είναι δεδοµένα και κατά µήκος των ορίων αυτών έχουν διαταχθεί (µε επιθυµτό τρόπο σµεία-άκρα των πλεγµατικών γραµµών. Αφού τα όρια του φυσικού χωρίου είναι δεδοµένα, άρα οι πλεγµατικές γραµµές και ma (βλ. Σχήµα Γ. πρόκειται για το αριστερό και το δειό όριο του χωρίου, υπενθυµίζεται ότι, καθώς και οι πλεγµατικές γραµµές και ma (πρόκειται για το κάτω και το πάνω όριο του ίδιου χωρίου, όταν αντίστοιχα είναι γνωστές. Η διαδικασία γένεσς του δοµµένου πλέγµατος είναι ουσιαστικά διαδικασία εύρεσς κάθε ενδιάµεσς πλεγµατικής γραµµής,, ma και,, ma. Τις πλεγµατικές αυτές γραµµές µπορούµε να τις εκλάβουµε ως ισοϋψείς του και του, σχεδιασµένες µαζί στο φυσικό χωρίο. Πρακτικά, πρέπει σχεδίασή τους να γίνει µε βήµα τ µονάδα, αφού έτσι ορίσθκε το αντίστοιχο πλέγµα στο µετασχµατισµένο χωρίο. Το πλέγµα στο µετασχµατισµένο ή υπολογιστικό χωρίο (φαίνεται επίσς στο Σχήµα Γ., στα δειά έχει τετραγωνικές κυψέλες πλευράς ίσς µε τ µονάδα ( και είναι ε ολοκλήρου γνωστό. Εναλλακτικά, το πρόβλµα τς γένεσς του πλέγµατος ισοδυναµεί µε τν εύρεσ των τιµών των καρτεσιανών συντεταγµένων (, ή (, σε κάθε εσωτερικό κόµβο του µετασχµατισµένου χωρίου. Βλέποντας το πρόβλµα τς γένεσς του πλέγµατος µε τν παραπάνω σκοπιά και έχοντας αποφασίσει να το αντιµετωπίσουµε µε ελλειπτικές διαφορικές εισώσεις, έχουµε δύο δυνατόττες. Η πρώτ είναι να διατυπώσουµε τις διαφορικές εισώσεις µε µεταβλτές επίλυσς τις φυσικές συντεταγµένες i και να τις επιλύσουµε στο µετασχµατισµένο χωρίο, µε το προφανές πλεονέκτµα τς εύκολς χρήσς σχµάτων πεπερασµένων διαφορών σε ένα τέτοιο χωρίο. Η δεύτερ δυνατόττα είναι να διατυπώσουµε τις διαφορικές εισώσεις µε µεταβλτές επίλυσς τις µετασχµατισµένες συντεταγµένες i, εµφανίζοντας παραγώγους ως προς τις φυσικές συντεταγµένες i. Στ δεύτερ επιλογή, θα χρειαστούν µετασχµατισµοί (λ.χ. µε τον κανόνα τς αλυσίδας ώστε να µετατραπούν οι διαφορικές εισώσεις µε ισοδύναµες εκφράσεις στο µετασχµατισµένο χωρίο. Ουσιαστικά, εποµένως, δεύτερ διατύπωσ θα πάρει τελικά τ µορφή τς πρώτς, έστω και αν πρόκειται να επιλυθεί διαφορετική είσωσ. Πάντως, και στις δύο περιπτώσεις, τελική αριθµτική επίλυσ θα γίνει στο µετασχµατισµένο χωρίο, µε αγνώστους τις φυσικές συντεταµένες I και ιδιαίτερα εύκολ εφαρµογή σχµάτων πεπερασµένων διαφορών λόγω τς µορφής του µετασχµατισµένου χωρίου. Επιλέγουµε να χρσιµοποιήσουµε ως βασικό διαφορικό τελεστή τον τελεστή Laplace, για να εκµεταλλευτούµε τις καλές εοµαλυντικές ιδιόττες που έχει αυτός ο τελεστής. Για παράδειγµα, ένας τέτοιος τελεστής είναι ικανός να εαλείφει κάθε ανωµαλία που ενδεχόµενα εµφανίζουν τα σµεία που τοποθετήθκαν στα όρια του χωρίου, µέσα σε µικρή απόστασ από αυτά. Τότε, µε βάσ τις δύο δυνατόττες που συζτήθκαν προγούµενα, θα διατυπώναµε ενδεικτικά ένα από τα δύο παρακάτω διαφορικά συστήµατα

5 Γ -5 για τν πρώτ δυνατόττα (ο τελεστής Laplace γράφεται στο µετασχµατισµένο επίπεδο και εφαρµόζεται στις καρτεσιανές συντεταγµένες και : 0 0 για τ δεύτερ δυνατόττα (ο τελεστής Laplace γράφεται στο φυσικό επίπεδο και εφαρµόζεται στις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες και : 0 0 Και στο δεύτερο σύστµα, όπως αναφέρθκε και προγούµενα, µε κατάλλλες µετατροπές των παραγώγων θα «περάσουµε» σε ένα σύστµα µεταχµατισµένων εισώσεων που πρέπει να έχει άγνωστους πάλι τα και τα. Η επιλογή ανάµεσα στις δύο δυνατόττες που αναφέρθκαν καθορίζεται από τις ιδιόττες που επιθυµούµε να έχουν τα πλέγµατα. Αν όντως ο τελεστής Laplace δίνει λειόττα στο πλέγµα, τότε µέν πρώτ δυνατόττα θα δµιουργήσει λείες ισοϋψείς των και στο µετασχµατισµένο χωρίο (χωρίς κάποιο προφανές όφελος, ενώ δεύτερ δυνατόττα θα δώσει λείες ισοϋψείς των και στο φυσικό χωρίο (απόλυτα επιθυµτό, αφού αυτές θα είναι και οι ζτούµενες πλεγµατικές γραµµές!. Το παραπάνω σκεπτικό υποδεικνύει τ δεύτερ διατύπωσ ως το επιθυµτό σύστµα διαφορικών εισώσεων για τ γένεσ οριόδετων πλεγµάτων. Προχωρώντας παραπέρα, αντί εισώσεων Laplace (µε µδενικό δεί µέλος, διατυπώνουµε εισώσεις τύπου Poisson, ώστε παρουσία των όρων του δειού µέλους να µας δώσει έναν επιπλέον µχανισµό ελέγχου των ιδιοτήτων του πλέγµατος. Στ συνέχεια, ο τελεστής Laplace ( θα είναι πάντα ο γνωστός διαφορικός τελεστής στο φυσικό επίπεδο (,. Συνεπώς, διατυπώνουµε εισώσεις τς γενικής µορφής r r (, (Γ.3 (r στο διδιάστατο ή r3 στο τριδιάστατο πρόβλµα ή αναλυτικότερα (, (, που όταν επιλυθούν θα δώσουν τα πεδία του και του στο φυσικό χωρίο, ενώ θα ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet (γνωστές τιµές των και στους οριακούς κόµβους.

6 Γ -6 Οπως ήδ αναφέρθκε, προσθήκ του δειού µέλους είναι αυτή που θα µας επιτρέψει παρεµβάσεις r στις ιδιόττες του πλέγµατος. Η επιλογή των είναι πρωτεύουσας σµασίας για τις ιδιόττες που τελικά θα έχει το πλέγµα που θα δµιουργθεί. Τονίζεται ότι το σύστµα (Γ.3 πρέπει να επιλυθεί στο µετασχµατισµένο χωρίο και για το λόγο αυτό απαιτείται σχετικός µετασχµατισµός του (λ.χ. µε τον κανόνα τς αλυσίδας ώστε να εµφανιστούν οι παράγωγοι των καρτεσιανών συντεταγµένων (, ως προς τις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες (,. Από τν Ενόττα ΠΡ γνωρίζουµε να εκφράζουµε τον τελεστή ή div(grad ενός φυσικού µεγέθους (λ.χ. του ή του στο µετασχµατισµένο επίπεδο. Έτσι οι εισώσεις (Γ.3 αναγράφονται στ µορφή r g i ij r j r ή, εκτελώντας τις πράεις, στ µορφή r i ij r ir ( g δ ( g j i (Γ.4 Παράλλλα, ισχύει για κάθε καρτεσιανή συντεταγµέν µ (µ, προφανής ταυτόττα µ 0 (Γ.5 που όταν αναπτυχθεί στο µετασχµατισµένο γράφεται ως g i ij µ g j ij µ i j µ j ( g i ij 0 Στν παραπάνω είσωσ, ο τελευταίος όρος µπορεί να αντικατασταθεί µε τν είσωσ (Γ.4, (θέτοντας απλά ότι rj, οπότε προκύπτει σχέσ g ij µ i j µ j j 0 (Γ.6 Η σχέσ (Γ.6 είvαι µία (ανά φυσική συντεταγµέν µή-γραµµική µερική διαφoρική είσωσ (ας ij µ εχvάµε ότι oι συvτελεστές g είvαι συvαρτήσεις τωv αγvώστωv µ, και µπoρεί vα λυθεί στo µετασχµατισµέvo χωρίo µε κατάλλλες oριακές συvθήκες. Αυτό παρoυσιάζεται αvαλυτικότερα σε επόµενο κεφάλαιο. Παρατρούµε τν οµοιόττα µεταύ τς (Γ.6 που εµείς επιλέαµε ως µχανισµό γένεσς του πλέγµατος και τς ταυτόττας (Γ.. Η οµοιόττα αυτή εκφράζεται από τν αντιστοίχσ

7 Γ -7 ij k k g Γij (Γ.7 k και υπαγορεύει τον τρόπο επιλογής τς µαθµατικής έκφρασς για τους όρους. Έτσι, µια βασική ιδέα για τν επιλογή τους θα ήταν να είναι τέτοιοι ώστε (θα δούµε πως υλοποιείται αυτό να εκφράζουν τις ποσόττες του δειού µέλους τς (Γ.4. Για λόγους πλρόττας, δίνεται ανάπτυ των βασικών εισώσεων (Γ.6σε πλήρ µορφή. Είναι g g g 0 (Γ.8 g g g 0 τονίζοντας, επίσς, ότι λόγω τς εµπλοκής των µετρικών, το σύστµα είναι πεπλεγµένο. Με απλό µετασχµατισµό των µετρικών δεύτερς τάς, το σύστµα αυτό γράφεται και στ µορφή Α Α ( Β Γ ( Β Γ (Γ.9 µε Α g g Β g (Γ.0 g Γ g g Γ.3 Έλεγχος του Πλέγµατος µε Πλροφορία από τα Όρια Έστω ότι δµιουργία του δοµµένου οριόδετου πλέγµατος αφορά το χωρίο του Σχήµατος Γ. (δειά. Θεωρούνται δεδοµένα τα οριακά σµεία του χωρίου, που βρίσκονται κατανεµµένα στις πλεγµατικές γραµµές (αριστερά, ma (δειά, (κάτω και ma (πάνω. Η δεδοµέν κατανοµή σµείων λ.χ. στο κάτω όριο (γραµµή ουσιαστικά σµαίνει ότι οι µετρικές και j

8 Γ -8 είναι γνωστές. Πράγµατι, αυτές µπορούν να υπολογισθούν σε κάθε κόµβο µε κεντρικές διαφορές δεύτερς τάς ως ( i, ( ( i, ( i, ( i, ( ( i, ( i, όπου χρσιµοποιήθκε ότι, ενώ οι παραπάνω τύποι δεν εφαρµόζονται στους ακραίους κόµβους (, και ( ma,. Εκεί, ανάντι σχήµατα πεπερασµένων διαφορών, ίδιας τάς ακρίβειας, πρέπει να επιλεγούν. Για να υπολογιστούν οι υπόλοιπες µετρικές στους κόµβους τς ίδιας πλεγµατικής γραµµής (δλαδή, οι και απαιτείται πλροφορία-συσχέτισ µε τους εσωτερικούς κόµβους του πλέγµατος, που όµως είναι άγνωστοι. Επιβάλλοντας συγκεκριµένες συνθήκες στ γειτονιά αυτής τς πλεγµατικής γραµµής (για τν απόστασ των κόµβων τς επόµενς πλεγµατικής γραµµής ή τν ορθογωνιόττα των πλεγµατικών γραµµών σταθερό στα σµεία που τέµνουν τ γραµµή, ή ακόµα για κλίσεις των παραπάνω ποσοτήτων, κλπ. µπορούν να εκτιµθούν και οι υπόλοιπες µετρικές. Ετσι, για παράδειγµα, οι Thomas και Middleco πρότειναν τν επιβολή των παρακάτω δύο συνθκών : το να είναι ευθεία κάθε πλεγµατική γραµµή σταθερό που τέµνει τ γραµµή, στν «ευρύτερ» περιοχή κοντά στο όριο. Μαθµατικά αυτό διατυπώνεται στν επιβολή τς συνθήκς 0 (Γ. κατά µήκος τς γραµµής, και το να είναι κάθε γραµµή σταθερό που τέµνει το όριο κάθετ προς τν οριακή γραµµή. Μαθµατικά αυτό διατυπώνεται ως g 0 0 (Γ. Για τ χρήσ των συνθκών (Γ. και (Γ. προτάθκε, χωρίς βλάβ τς γενικόττας, να γραφούν οι όροι πγής που αναζτάµε στ µορφή φ (, ( φ(, g

9 Γ -9 (Γ.3, ( (, ( g ψ ψ οπότε οι βασικές εισώσεις (Γ.9 διατυπώνονται στ µορφή 0 ( ( Γ Β Α ψ φ (Γ.4 0 ( ( Γ Β Α ψ φ Για το κάτω όριο,, απαλείφεται ποσόττα ψ µεταύ των εισώσεων (Γ.4. Εκτελώντας τις πράεις προκύπτει ότι ( Γ Β Α φ φ ( ( Γράφοντας τν τελευταία είσωσ στν οριακή γραµµή, το δεύτερο µέλος είναι µδέν λόγω τς (Γ. για το δεύτερο όρο και τς (Γ. για τον πρώτο όρο (Β0. Επιλύοντας, µετά τις απλοποιήσεις, ως προς τ µεταβλτή φ έχουµε / ( / ( φ Η συνθήκ όµως (Γ. δίνει ότι οπότε ο συνδυασµός των δύο τελευταίων εισώσεων δίνει ότι φ (Γ.5 Η σχέσ (Γ.5, κατά µήκος τς γραµµής (το ίδιο όµως ισχύει και κατά µήκος τς γραµµής ma επιτρέπει τον υπολογισµό του φφ(, αφού περιέχει µόνο γνωστά διαφορικά (,,, κατά µήκος τς διακριτοποιµένς αυτής οριακής γραµµής.

10 Γ -0 Είναι εύκολο να διατυπώσουµε αντίστοιχες συνθήκες των (Γ. και (Γ. κατά µήκος των άλλων δύο οριακών γραµµών του χωρίου, δλ. των και ma και να αποδείουµε, απαλείφοντας τώρα το φ, ότι σ αυτές µπορεί να υπολογιστεί το ψ από τ σχέσ ψ (Γ.6 Η σχέσ (Γ.6, κατά µήκος των γραµµών και ma, επιτρέπει πράγµατι τον υπολογισµό των ψψ(, αφού περιέχει µόνο γνωστά διαφορικά (,,, κατά µήκος των γραµµών αυτών. Με γνωστή τν κατανοµή φ( στα όρια και ma και τν κατανοµή ψ( στα όρια και ma επιβάλλουµε τ χωρική τους κατανοµή µε κάποιο νόµο (λ.χ. γραµµική κατανοµή στο εσωτερικό του χωρίου. Μια τέτοια κατανοµή θα µπορούσε λ.χ. να είναι τς µορφής φ (, φ(, (, ma ma φ (Γ.7 ma ψ (, ψ (, ( ma, ma ψ (Γ.8 ma Με γνωστά τα φ και ψ σε κάθε κόµβο του προς γένεσ πεδίου, οι όροι πγής και υπολογίζονται τοπικά µέσω των σχέσεων (Γ.3. Ένα δεύτερο παράδειγµα µεθόδου που αίζει να αναφερθεί είναι αυτή του Sorenson. Στ µέθοδο αυτή ο έλεγχος των ιδιοτήτων του πλέγµατος γίνεται κατά µήκος δύο µόνο από τις τέσσερις πλεγµατικές γραµµές του ορίου. Εστω λ.χ. ότι ο έλεγχος είναι επιθυµτό να γίνει κατά µήκος του κάτω ( και του πάνω ( ma ορίου. Σε κάθε κόµβο αυτών των οριακών γραµµών επιβάλλουµε δύο συνθήκες: επιθυµτή απόστασ των κόµβων τς επόµενς πλεγµατικής γραµµής. Αν απόστασ αυτή συµβολιστεί µε s τότε θα ισχύει ότι s γνωστό (Γ.9 ορθογωνιόττα των πλεγµατικών γραµµών στ περιοχή αυτή, οποία έχει ήδ διατυπωθεί στ µορφή τς σχέσς (Γ. και πρακτικά ισοδυναµεί µε τν απαλειφή του συντελεστή Β από τις σχέσεις (Γ.9.

11 Γ - Το σύστµα των δύο εισώσεων που προκύπτει γράφεται s 0 και µπορεί να επιλυθεί ως προς τις άγνωστες παραγώγους και, οπότε προκύπτουν οι εκφράσεις s (Γ.0 Επισµαίνεται ότι επιλογή του προσήµου στ λύσ του έγινε έτσι ώστε να εασφαλίζεται θετική τιµή τς Ιακωβιανής ορίζουσας. Σε επόµενο βήµα διατυπώνονται οι εισώσεις (Γ.9, µε Β0, σε κάθε σµείo των οριακών πλεγµατικών γραµµών και ma. Πέραν των όρων πγής και, οι µοναδικοί άλλοι άγνωστοι στο σύστµα των δύο εισώσεων αυτών είναι οι παράγωγοι και. Επισµαίνεται ότι οι µεικτές παράγωγοι και είναι γνωστές αφού πρακτικά ισούνται µε τις κατά όριο (κατά παραγώγους των γνωστών ποσοτήτων και. Υποθέτοντας ότι και οι ποσόττες και είναι γνωστές (ακολουθούν σχετικοί σχολιασµοί επιλύεται το σύστµα Α Α Γ Γ και προκύπτουν οι τιµές των και σε κάθε σµείο των δύο οριακών γραµµών ως 3 3 { ( Α Γ ( Α Γ } { ( Α Γ ( Α Γ } ( Γ. Ο υπολογισµός των (, και (, σε κάθε σµείο (, του πλέγµατος προκύπτει από εκθετικές διανοµές κατά µήκος πλεγµατικών γραµµών σταθερό. Έτσι

12 Γ - (, (, ep( a (, ma ep( c( ma (, (,ep( b (, ma ep( d( ma (Γ. όπου επιλογή τιµών για a,b,c,d καθορίζει τ «γρήγορ» (µεγαλύτερες τιµές, λ.χ. 0,7 ή «αργή» (µικρές τιµές 0, απόσβεσ των οριακών τιµών των και καθώς κινούµαστε προς το εσωτερικό του πεδίου. Αποσβένοντας τις (υψλές στα όρια τιµές των και καθώς αποµακρυνόµαστε από τα όρια, ουσιαστικά οι διαφορικές εισώσεις (Γ.9 γίνονται εισώσεις τύπου Laplace (µδενικό δεί µέλος, χωρίς µχανισµούς ελέγχου στο εσωτερικό του πεδίου. Γίνεται συνεπώς αντιλπτό ότι µέθοδος που πρότεινε ο Sorenson ουσιαστικά εασφαλίζει έλεγχο στν κατανοµή του πλέγµατος µόνο κοντά σε δύο από τις τέσσερις οριακές γραµµές, αφήνοντας «χωρίς έλεγχο» το εσωτερικό του χωρίου και τις άλλες δύο οριακές γραµµές. Από πρακτικής σκοπιάς αποµένει να συζτθεί παραδοχή που έγινε ότι τα και θεωρούνται γνωστά στα όρια και ma. Αφού αριθµτική επίλυσ του συστήµατος που προκύπτει ως προς τις φυσικές συντεταγµένες i, i, των κόµβων γίνεται επαναλπτικά, υιοθετείται επαναλπτική διόρθωσ των,. λαδή, σε κάθε επανάλψ, τα και υπολογίζονται µε σχήµατα πεπερασµένων διαφορών εφαρµοσµένα στο τρέχον πλέγµα. Συνήθως, προβλήµατα σύγκλισς, που µπορεί να οφείλονται σε αφύσικες τιµές των και υπολογισµένες από ένα «κακό» µεταβατικό πλέγµα, αντιµετωπίζονται υποχαλαρώνοντας (πολλές φορές µάλιστα µε πολύ χαµλή τιµή του συντελεστή χαλάρωσς τις τιµές των και που υπολογίζονται, κυρίως κατά τις πρώτες επαναλήψεις. Στ µέθοδο του Sorenson µπορούν να προταθούν πολλές τροποποιήσεις, εµπλέκοντας εναλλακτικά δεδοµένα για το προς γένεσ πλέγµα. Ετσι, λ.χ, θα µπορούσαµε να προτείνουµε να υπολογίζονται τα και όχι επαναλπτικά, αλλά µε προκαθορισµένες τιµές. Οι τιµές αυτές (που ουσιαστικά είναι οριακές συνθήκες για τα και πγάζουν από τρείς υποθέσεις-παραδοχές: τ γνωστή κατανοµή τς απόστασς τς επόµενς πλεγµατικής γραµµής ή ma- από τις οριακές ή ma, αντίστοιχα. Η κατανοµή αυτή θα συµβολίζεται µε s (το µπορεί να είναι σταθερό ή µεταβλτό για διαφορετικές τιµές του και θα ισχύει σχέσ (Γ.9 που επαναλαµβάνεται εδώ για λόγους πλρόττας s (Γ.9 τ γνωστή κατανοµή τς κατά µεταβολής τς απόστασς s διαδοχικών πλεγµατικών γραµµών κοντά στο όριο. Παραγωγίζοντας τν (Γ.9 προκύπτει ότι ss (Γ.3

13 Γ -3 όπου s είναι κατά παράγωγος του s. τν παραδοχή ότι ορθογωνιόττα των πλεγµατικών γραµµών διατρείται και στ γειτονιά του ορίου, δλαδή ( 0 ( g οποία γράφεται και ως ( ( (Γ.4 Υπενθυµίζεται ότι κλασσική µέθοδος Sorenson έχει γνωστά τα και και ένα θέµα µιας απλής παραγώγισς κατά s για να υπολογιστούν και οι µεικτές παράγωγοι τους ( και (. Το σύστµα των εισώσεων (Γ.3 και (Γ.4 µπορεί εύκολα να επιλυθεί ως προς τις δύο άγνωστες ποσόττες και και έτσι να υπολογιστούν αυτές κατά µήκος των γραµµών και ma. Θα είναι ( Κ ( Κ Κ Κ (Γ.5 όπου Κ ss και Κ ( ( Γ.4 Έλεγχος του Πλέγµατος µε Πλροφορία από το Εσωτερικό Μέχρι τώρα, οι όροι πγής και υπολογίζονταν κατά µήκος όλων ή µερικών πλεγµατικών γραµµών και στ συνέχεια διανέµονταν στο εσωτερικό του πεδίου µε κάποιο σχήµα παρεµβολής. Νόµοι παρεµβολής που χαρακτρίζονταν από εκθετική απόσβεσ των όρων µακρυά από τα όρια εασφάλιζαν ένα λείο πλέγµα «στν καρδιά» του πεδίου. Θα σχολιάσουµε, τώρα, έναν τρόπο που θα επέτρεπε να υπολογισθούν οι όροι και επιβάλλοντας συγκεκριµένες απαιτήσεις στο εσωτερικό του πλέγµατος. Η µέθοδος αυτή έχει αναπτυχθεί στο

14 Γ -4 Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµχανών από το γράφοντα και έχει βρει εφαρµογή σε πολλές δύσκολες περιπτώσεις γένεσς πλέγµατος. Ως αφετρία έχει τις εισώσεις (Γ.4 Με τν υπόθεσ ότι το πλέγµα είναι ορθογώνιο, αυτές γράφονται ως g ( g g ( g (Γ.6 Η Ιακωβιανή ορίζουσα ενός ορθογώνιου πλέγµατος παίρνει τν απλή µορφή g g (Γ.7 οπότε ο συνδυασµός των (Γ.6 και (Γ.7 δίνει g g g g (Γ.8 Οι σχέσεις (Γ.8 περιέχουν στο δεί µέλο τν ποσόττα g / g που αποτελεί το λόγο επιµήκους (aspect ratio, ύψος προς βάσ των πλεγµατικών κυψελών. Ο χρήστς εποµένως µπορεί να καθορίσει τ χωρική κατανοµή των λόγων επιµήκους g / g σε όλο το µετασχµατισµένο πεδίο και εύκολα να υπολογίσει τα δειά µέλ των εισώσεων (Γ.8 µε απλές διαφορίσεις κατά και. Με τον τρόπο αυτό καθορίζει τους όρους πγής και και προχωρεί στν αριθµτική επίλυσ του συστήµατος (Γ.9 µε προκαθορισµένους (σταθερούς σε κάθε σµείο όρους και. Γ.5 Γένεσ οµµένων Πλεγµάτων µε ιαρµονικές Εισώσεις Σύµφωνα µε τα όσα έχουν αναφερθεί µέχρι τώρα, χρήσ εισώσεων τύπου Laplace ( 0 δµιουργεί λεία πλέγµατα σε οποιοδήποτε χωρίο χωρίς όµως να εασφαλίζεται οποιοσδήποτε έλεγχος πυκνόττας ή ορθογωνιόττας των πλεγµατικών γραµµών. Είναι προφανές ότι είσωσ Laplace για τις φυσικές συντεταγµένες επιδέχεται µια µόνο οριακή συνθήκ ανά συντεταγµέν ( ή

15 Γ -5 και οριακό κόµβο. Για το λόγο αυτό και στν προσπάθεια να επιβάλλουµε περισσότερες τς µιας οριακές συνθήκες σε κάθε κόµβο, υιοθετήσαµε τις εισώσεις τύπου Poisson µε µή-µδενικούς όρους πγής και. Ένας άλλος τρόπος για να αυθεί ο αριθµός των οριακών συνθκών για τις φυσικές συντεταγµένες είναι διατύπωσ και επίλυσ διαρµονικών εισώσεων αντί εισώσεων τύπου Poisson. Γενικά, µια διαρµονική είσωσ γραµµέν για τν τυχαία µεταβλτή φ, διατυπώνεται ως 4 φ ( φ 0 (Γ.9 και επιδέχεται το παρακάτω ζεύγος οριακών συνθκών σε κάθε κόµβο φ n * φ φ και 0 (Γ.30 Οι οριακές αυτές συνθήκες, αν εφαρµόζονταν για τις φυσικές συντεταγµένες και στ θέσ τς µεταβλτής φ, θα επέτρεπαν τον έλεγχο τς θέσς των οριακών κόµβων (συνθήκ Dirichlet αλλά και τς κλίσς των πλεγµατικών γραµµών που συναντούν το όριο (συνθήκ Neumann. Εδώ n είναι κάθετ κατεύθυνσ στο όριο. Η διαρµονική είσωσ (Γ.9µπορεί να διασπασθεί σε δύο εισώσεις που πρέπει κατά σειρά να ικανοποιθούν, δλαδή p 0 φ p (Γ.3 µε οριακές συνθήκες για τα p και φ τις παρακάτω * φ φ και 0 φ p φ c (Γ.3 n όπου c µια τυχαία µ-µδενική σταθερά και φ* δεδοµέν τιµή του φ σε κάθε σµείο του ορίου. Η χρήσ τς διαρµονικής είσωσς για το πρόβλµα τς γένεσς οριόδετου δοµµένου πλέγµατος σµαίνει τ διατύπωσ των εισώσεων ( 0 (Γ.33

16 Γ -6 ( 0 που θα επιλυθούν µε µετασχµατισµό στο επίπεδο (, σύµφωνα µε τα βήµατα που υπαγορεύει σχέσ (Γ.3, δλαδή p 0 (Γ.34α p (Γ.34β q 0 (Γ.34γ q (Γ.34δ Ο µετασχµατισµός στο επίπεδο (, δµιουργεί τις παρακάτω εισώσεις Αp Βp Γp 0 (Γ.35α Αq Βq Γq 0 (Γ.35β ( p q Α Β Γ (Γ.35γ ( p q Α Β Γ (Γ.35δ όπου οι ποσόττες Α,Β,Γ έχουν ορισθεί στ σχέσ (Γ.0. Οι οριακές συνθήκες για τν επίλυσ των (Γ.35γ και (Γ.35δ είναι τύπου Dirichlet, που απορρέουν από τ γνωστή κατανοµή κόµβων (γνωστό, γνωστό στο όριο. Οι οριακές συνθήκες για τις ποσόττες p και q στις εισώσεις (Γ.35α και (Γ.35β είναι περισσότερο σύνθετες. Για να προκύψουν, θεωρούµε ότι εφαρµόζονται οι εισώσεις (Γ.35γ και (Γ.35δ σε κάθε σµείο του ορίου. Τοπικά, αυτές αποτελούν ένα σύστµα δύο εισώσεων που λύνεται εύκολα ως προς τις τοπικές τιµές του p και q, δίνοντας ότι p q ( L( L( ( L( L( (Γ.36 όπου ο τελεστής L ( είναι ο

17 Γ -7 ( Α ( Β ( Γ( 0 L ( (Γ.37 (συγκρίνετε τις σχέσεις (Γ.36 µε τις σχέσεις (Γ. που χρσιµοποιήθκαν στν τεχνική του Sorenson. Συγχρόνως όµως στο όριο ισχύουν και οι σχέσεις (Γ.34 και (Γ.34δ. Εποµένως, οι οριακές συνθήκες για τα p και q σύµφωνα µε τ (Γ.3 θα γράφονται είτε στ µορφή p c n (Γ.38α q c n (Γ.38β ή στ µορφή p q ( L( L( ( L( L( c n c n (Γ.39α (Γ.39β Η (Γ.39α ισχύει στις γραµµές και ma, ενώ (Γ.39β στις γραµµές και ma. Ο ρόλος τς αυθαίρετς σταθεράς c στν ορθογωνιόττα των πλεγµατικών γραµµών πρέπει να επισµανθεί και να αναλυθεί προσεκτικά. Στο εσωτερικό του χωρίου τα p και q ικανοποιούν τις (Γ.34β και (Γ.34δ, ενώ στο όριο τις (Γ. 38α και (Γ.38β. Καθώς ο υπολογισµός συγκλίνει και το πλέγµα τείνει να αποκτήσει τν τελική (συγκλιµέν µορφή του, οι τιµές των p και q στα όρια τείνουν προς τν τελική τιµή των να πάρουν τις µορφές και αντίστοιχα. Εποµένως οι εισώσεις (Γ.38 τείνουν c 0 n και c n 0 δλαδή, οι γραµµές σταθερό και σταθερό τείνουν να γίνουν κάθετες στα αντίστοιχα όρια. Τονίζεται ότι εφαρµογή των οριακών συνθκών (Γ.39 για τα p, q απαιτεί επιπλέον πλροφορία, οποία µπορεί να επιτευχθεί συνδυάζοντας τις παραπάνω µεθόδους µε τεχνικές όπως αυτές που αναφέρθκαν για τις µεθόδους του Sorenson ή του Middleco, κλπ.

18 Γ -8 ΓΡΑΜΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΚΟΜΒΟΙ Ε ΟΜΕ (, ΓΡΑΜΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥ Σχήµα Γ.: ιακριτοποιµένα όρια (σµείο-προς-σµείο του φυσικού χωρίου και το ε αρχής γνωστό µετασχµατισµένο ή υπολογιστικό χωρίο.

19 Γ -9 Γ.6 Μια Εφαρµογή Μεθόδων Γένεσς οµµένων Πλεγµάτων Στ συνέχεια παρατίθεται µια σειρά σχµάτων, χωρίς αρίθµσ, στα οποία δείχνεται µορφή πλεγµάτων που µπορούν να παραχθούν µε αρκετές από τις τεχνικές γένεσς οριόδετων δοµµένων πλεγµάτων που έχουν ήδ αναλυθεί στν Ενόττα αυτή. Για τν εφαρµογή που ακολουθεί επιλέχθκε µια απλή, από πρώτ άποψ γεωµετρία. Το περίγραµµά τς δίνεται αµέσως παρακάτω. Αποτελείται από δύο συµµετρικά άνω και κάτω καµπύλα όρια µε τν κυρτή πλευρά τους στο εσωτερικό του χωρίου. Το αριστερό και το δειό όριο είναι επίσς συµµετρικά µε τν κοίλ πλευρά τους στο εσωτερικό του χωρίου όπου θα κατασκευασθεί το πλέγµα. Οι τέσσερις κορυφές του σχµατίζουν ένα τετράγωνο µοναδιαίας πλευράς. Κάθε πλευρά δµιουργείται µε τν ίδια συνάρτσ, άσχετα µε τον προσανατολισµό τς και τν κατεύθυνσ τς κοίλς ή κυρτής πλευράς τς. Αν επί τς ευθείας που συνδέει δύο γειτονικές κορυφές, µοναδιαίας απόστασς, µετρά συντεταγµέν κ (κ0.0 ως.0, τότε εγκάρσια συντεταγµέν λ (µε αφετρία- µδενική τιµή το παραπάνω ευθύγραµµο τµήµα θα δίνεται από τ σχέσ λ ± ε( cos(πκ όπου ε είναι µία σταθερά. Αυάνοντας τν τιµή του ε αυάνουµε τν καµπυλόττα στα κυρτά και κοίλα τµήµατα του περιγράµµατος. Εδώ τιµή του ε ήταν σταθερή και για τις τέσσερις πλευρές (ε0.5. Αλλάζοντας τν τιµή του ε και το πρόσµο στν παραπάνω σχέσ (ίσως και από πλευρά σε πλευρά µπορούν να σχµατισθούν άλλες συναφείς γεωµετρίες και να δοκιµαστούν σε αυτές οι µέθοδοι γένεσς πλέγµατος που προγραµµατίζουµε. Το περίγραµµα τς που δίνεται παρακάτω είναι για ολόκλρο το χωρίο. Σε κάθε επόµενο σχήµα όµως θα δίνεται µόνο το ένα τεταρτµόριο (το κάτω αριστερά του χωρίου-πλέγµατος, λόγω τς διπλής συµµετρίας ως προς τον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άονα. Όλα τα πλέγµατα που θα δµιουργθούν έχουν διάστασ 5 5 κόµβους. Οι οριακοί όµως κόµβοι θα είναι κατά περίπτωσ διαφορετικά διατεταγµένοι στο περίγραµµα.

20 Γ -0 Με ισοµοιρασµένους τους οριακούς κόµβους στο περίγραµµα, παρουσιάζεται στ συνέχεια το γραµµικό πλέγµα τς αρχικοποίσς. Αυτό κατασκευάστκε µε γραµµική παρεµβολή µεταύ κάτω και άνω ορίου, αφου παρεµβολή µεταύ αριστερού και δειού ορίου θα έδινε γραµµές πλέγµατος εκτός του περιγράµµατος. Παρακάτω δίνεται το πλέγµα που προκύπτει από τις Laplace εισώσεις (Γ.9, µε 0. Ήταν αναµενόµενο να συγκεντρωθούν αρκετές γραµµές στο κυρτό τµήµα του ορίου (τα µέσα των πάνω και κάτω πλευρών ενώ άλλ οικογένεια γραµµών «αποφεύγει» τα κοίλα τµήµατα του ορίου (τα µέσα των αριστερά και δειά πλευρών.

21 Γ - Η µέθοδος Thomas-Middleco, έδωσε το παρακάτω πλέγµα: Η µέθοδος Sorenson, επιβάλλοντας απόστασ πρώτς πλεγµατικής γραµµής από τν οριακή γραµµή ίσ µε αυτή που καθορίζει το εγκάρσιο όριο (έτσι υπολογίστκε το s τς σχέσς (Γ.0 και µε abcd0. έδωσε το παρακάτω πλέγµα. H µέθοδος Sorenson ελέγχει µόνο το άνω και το κάτω όριο, όπου πραγµατικά έχει ελεγχθεί απόλυτα απόστασ s. Το πλέγµα κοντά στα αριστερά και δειά όρια είναι µ-ελέγιµο.

22 Γ - Ξαναχρσιµοποιείται µέθοδος Sorenson, επιβάλλοντας ίδια µε πριν απόστασ πρώτς πλεγµατικής γραµµής από τν οριακή γραµµή αλλά µε abcd0.7 και προκύπτει το παρακάτω πλέγµα Με τους µεγαλύτερους συντελεστές, πετυχαίνουµε αργή απόσβεσ του s που επιβάλλουµε στο όριο. Έτσι επρεάζει και επρεάζεται πολύ από τις γειτονικές γραµµές του και το αποτέλεσµα δε σέβεται απόλυτα τν απόστασ s που επιβάλαµε µέσω των όρων πγής. ιατρούµε τν ίδια διάστασ πλέγµατος αλλά τοποθετούµε τους οριακούς κόµβους στο περίγραµµα µε γεωµετρική πρόοδο (λόγος προόδου.0, πύκνωσ και στα δύο άκρα κάθε πλευράς. είχνεται στ συνέχεια το γραµµικό πλέγµα τς αρχικοποίσς που κατασκευάστκε µε γραµµική παρεµβολή µεταύ κάτω και άνω ορίου, όπως και προγούµενα.

23 Γ -3 Παρακάτω δίνεται το πλέγµα που προκύπτει από τις Laplace εισώσεις (Γ.9, µε 0. Τώρα που το περίγραµµα είναι πυκνωµένο στα άκρα του φαίνεται πού καθαρά αδυναµία των πλεγµάτων Laplace και ανάγκ ελέγχου µε όρους πγής. Η µέθοδος Thomas-Middleco, έδωσε το παρακάτω πλέγµα:

24 Γ -4 Η µέθοδος Sorenson, επιβάλλοντας απόστασ πρώτς πλεγµατικής γραµµής από τν οριακή γραµµή ίσ µε αυτή που καθορίζει το εγκάρσιο όριο (έτσι υπολογίστκε το s τς σχέσς (Γ.0 και µε abcd0. έδωσε το παρακάτω πλέγµα. H µέθοδος Sorenson ελέγχει µόνο το άνω και το κάτω όριο, όπου πραγµατικά έχει ελεγχθεί απόλυτα απόστασ s. Το πλέγµα κοντά στα αριστερά και δειά όρια είναι µ-ελέγιµο. Τώρα που το περίγραµµα είναι πυκνωµένο στα άκρα του, σύγκλισ ήταν πολύ δυσκολότερ. Ξαναχρσιµοποιείται µέθοδος Sorenson, επιβάλλοντας ίδια µε πριν απόστασ πρώτς πλεγµατικής γραµµής από τν οριακή γραµµή αλλά µε abcd0.7 και προκύπτει το παρακάτω πλέγµα:

25 Γ -5 Επιχειρούµε να ελέγουµε τους όρους πγής και στο εσωτερικό του πλέγµατος. µιουργούµε ένα αντίστοιχο πλέγµα (δεν είναι το µετασχµατισµένο, αλλά κάποιο βοθτικό µέσα σε ένα τετράγωνο µοναδιαίας πλευράς, µε ίδιο αριθµό σµείων σε κάθε πλευρά και πυκνωµένο µε τν ίδια γεωµετρική πρόοδο (βλ. επόµενο σχήµα. Αυτό το χρσιµοποιούµε ώστε να βρούµε το λόγο επιµήκους όλων των κυψελών του και µεταφέρουµε τν πλροφορία αυτή στους αντίστοιχους κόµβους του πλέγµατος. Με τις διαφορίσεις (Γ.8 υπολογίζουµε παντού τα και. Οι τιµές τους δεν αλλάζουν κατά το επαναλπτικό σχήµα. Με τους έτσι υπολογισµένους όρους πγής, λύνονται οι εισώσεις τύπου Poisson και προκύπτει το παρακάτω πλέγµα:

26 Γ -6 ιατρούµε τν ίδια διάστασ πλέγµατος αλλά τοποθετούµε τους οριακούς κόµβους στο περίγραµµα µε γεωµετρική πρόοδο (λόγος προόδου 0.80, αραίωσ και στα δύο άκρα κάθε πλευράς. είχνεται στ συνέχεια το γραµµικό πλέγµα τς αρχικοποίσς που κατασκευάστκε µε γραµµική παρεµβολή µεταύ κάτω και άνω ορίου, όπως και προγούµενα. Παρακάτω δίνεται το πλέγµα που προκύπτει από τις Laplace εισώσεις (Γ.9, µε 0. Η είσωσ Laplace αδυνατεί να ελέγει τν πύκνωσ στν καρδιά του πλέγµατος

27 Γ -7 Η µέθοδος Sorenson, επιβάλλοντας απόστασ πρώτς πλεγµατικής γραµµής από τν οριακή γραµµή ίσ µε αυτή που καθορίζει το εγκάρσιο όριο (έτσι υπολογίστκε το s τς σχέσς (Γ.0 και µε abcd0.5 έδωσε το παρακάτω πλέγµα: Επιχειρούµε να ελέγουµε τους όρους πγής και στο εσωτερικό του πλέγµατος. µιουργούµε ένα αντίστοιχο πλέγµα (δεν είναι το µετασχµατισµένο, αλλά κάποιο βοθτικό µέσα σε ένα τετράγωνο µοναδιαίας πλευράς, µε ίδιο αριθµό σµείων σε κάθε πλευρά και πυκνωµένο µε τν ίδια γεωµετρική πρόοδο (βλ. επόµενο σχήµα. Αυτό το χρσιµοποιούµε ώστε να βρούµε το λόγο επιµήκους όλων των κυψελών του και µεταφέρουµε τν πλροφορία αυτή στους αντίστοιχους κόµβους του πλέγµατος.

28 Γ -8 Με τους έτσι υπολογισµένους όρους πγής, λύνονται οι εισώσεις τύπου Poisson και προκύπτει το παρακάτω πλέγµα:

29 Γ -9 Γ.7 Βιβλιογραφία Ενα πολύ καλό και γενικό ανάγνωσµα (παρά το ότι είναι παλό είναι το review paper:.f. Thompson, Z.U.A. Warsi and C.W. Mastin, Boundar-Fitted Coordinate Sstems or Numerical Solution o Partial Dierential Equations A Review,. Computational Phsics 47, -08, 98. Η µέθοδος των Thomas-Middleco έχει δµοσιευτεί στο: P.D. Thomas and.f. Middleco, Direct Control o the Grid Point Distribution in Meshes Generated b Elliptic Equations, AIAA ournal, Vol. 8, No. 6, une 980. Η µέθοδος του Sorenson έχει δµοσιευτεί στο: R.L. Sorenson and.l. Steger, Numerical Generation o Two-Dimensional Grids b the Use o Poisson Equations with Grid Control at Boundaries WNGG-NASA, 449, 980. Η µέθοδος γένεσς πλέγµατος µε διαρµονική µπορεί να βρεθεί στ δµοσίευσ: P.D. Sparis, A Method or Generating Boundar-Orthogonal Curvilinear Coordinate Sstems Using the Biharmonic Equation. Computational Phsics 6, , 985. Τέλος, συνιστάται και συλλογή εργασιών του: AGARD Conerence Proceedings CP-464, Applications o Mesh Generation to Comple 3-D Conigurations, 990. Σµειώνεται ότι κάθε βιβλίο Υπολογιστικής Ρευστοµχανικής έχει κάποιο σχετικό κεφάλαιο (σύντοµο συνήθως, που όσο αφορά τ γένεσ πλεγµάτων µε ελλειπτικές εισώσεις µάλλον υπερκαλύπτεται από τις παρούσες σµειώσεις.