Lineárne funkcie. Lineárna funkcia je každá funkcia určená predpisom f: y = a.x + b, kde a, b R a.a 0 D(f) = R. a > 0 a < 0

Transcript

1 Lineárne funkcie Lineárna funkcia je každá funkcia určená predpism f: a. b, kde a, b R a.a 0 D(f) R a > 0 a < 0 Vlastnsti lineárnej funkcie : D(f) R, H(f) R D(f) R, H(f) R - rastúca - klesajúca - nie je hraničená - nie je hraničená - nemá etrém - nemá etrém Ak keficient a > 0, lineárna funkcia je rastúca na celm D(f), ak a < 0, je klesajúca. b Jej grafm je priamka pretínajúca s v bde Y[0; b], s v bde X[ ; 0]. a Graf lineárnch funkcií určených rvnicu a. b s rvnaku hdntu knštant a sú navzájm rvnbežné.

2 Príklad : Určte lineárnu funkciu ak viete, že v bde nadbúda hľadaná funkcia hdntu 5 a v bde má hdntu 7. Zistíme, ked sú hdnt funkcie z intervalu -; 9. Riešenie: Nech f: a b pre vhdné a, b R. f() a b f() a b Riešením tht sstému - sústav rvníc je jediná dvjica a b, t.j. [; ]. Hľadaná lineárna funkcia je f :. Určime ešte, pre ktré R platí - f () 9. Platí f () Príklad : Daná je funkcia f : 6 a) Určte f(). b) Určte, pre ktré sa f() 9. c) Určte priesečník grafu funkcie s súradnicvými sami,. d) Určte a dkážte mntónnsť tejt funkcie.

3 e) Načrtnite graf funkcie f. Riešenie: a) f(). () 6 b) c) priesečník s su : [ 0 ; 0] [; 0] priesečník s su : [0; 0 ] [0; 6] d) a... lin. f. je klesajúca, D(f) : < /. (-) -. > -. / > -. 6 f( ) > f( )... funkcia f je klesajúca e)

4 Knštantná funkcia Knštantná funkcia je každá funkcia určená predpism f: b, kde b R Nakľk b sa dá zapísať v tvare 0. b, môžeme tút funkciu pvažvať za špeciáln prípad lineárnej funkcie, kde a 0. Grafm knštantnej funkcie je priamka rvnbežná s su. Vlastnsti knštantnej funkcie: D(f) (- ; ) H(f) {b} je párna (pre b 0 aj nepárna) je hraničená je nerastúca a neklesajúca má maimum a minimum pre R Funkcia f je knštantná na mnžine M D(f), ak pre každé dve, M platí: < f( ) f( )

5 Grafická metóda riešenia sústav rvníc Pstup: Grafm lineárnej funkcie f: a b je priamka. Vužijeme t aj pri riešení sústav rvníc. Na zbrazenie priamk stačí pznať dva rôzne bd. Vjadrime z bidvch rvníc. Nakreslíme graf funkcií - priamk. Záver: Sústave dvch rvníc s dvma neznámmi zdpvedá sústava priamk, ktré môžu bť ttžné (sústava má neknečne veľa riešení), rvnbežné(sústava nemá riešenie) aleb rôznbežné(sústava má jedn riešenie [ ; ] ) Príklad: Riešte v R R: a) [ 0;6 ], [ 6;0] [ 0; ], [ ;0] Nakreslíme graf: P {[ 5; ]} Vidíme, že daná sústava má jedn riešenie (priamk majú jeden splčný bd [5; ] ). b) ( )... Sústava nemá riešenie, t.j. P ( priamk nemajú žiaden splčný bd). 5

6 6 c) 0 Graf splývajú sústava má neknečne veľa riešení (priamk majú neknečne veľa splčných bdv). Úlh: ) Riešte sústav dvch rvníc s dvma neznámmi v RR: a) 7 5 b) 7 c) 7 7 d) 5 e) 5 5 ) Riešte grafick: a) 5 b) 6 c) 6 ) Pre ktré a, b má sústava a b b a krene 7, 5? ) Sústavu rvníc s dvma neznámmi upravte na tvar g f e c b a kde R neznáme R g f e d c b a, _,,,,,, a riešte v RR. a) 9 b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Výsledk:. a) [ ] { } ; P ;b) ; P ;c) 7 6 ; P ; d); e) neknečne veľa.a) [ ] { } ; P b) { } P ;c) R P.., b a.. a) [ ] { } 7;5 P ;b) [ ] { } ; P ;c) [ ] { } 7;5 P.

7 Úlh - súhrn: ) Nájdite lineárnu funkciu, ak je dané: ) Načrtnite graf nasledujúcich funkcií a) f : b) g : c) h : d) 6 0 e) 6 0 f) 5 0 g), <5; 0> ) Načrtnite graf lineárnej funkcie, ktrá prechádza bdm [; ] a s súradnicvu su zviera rvnaký uhl ak graf funkcie. ) Dané sú funkcie: f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) 0,5, f ( ) 0,5; f ( ), 6 f 7 ( ), f 8 ( ), f 9 ( ) Rzhdnite, ktré graf sú prvkami th istéh zväzku priamk s stredm na súradnicvej si (priamk patria d th istéh zväzku priamk, ak prechádzajú splčným bdm - stredm zväzku). 5 5) Dkážte grafick, že nasledujúce sústav rvníc nemajú riešenie:,,, a) b) c) 7 5 6) Dkážte grafick, že nasledujúce sústav rvníc majú neknečne mnh riešení:, 5,, a) b) c) 5 0,5,5 7) Daná je funkcia f : f) Určte f(0), f(), f(5), f(8). g) Určte, pre ktré sa f(), f() 5. h) Určte priesečník grafu funkcie s súradnicvými sami,. i) Načrtnite graf funkcie f. 7

8 8) Pdľa údajv výrbcu sptreba auta je 6 L benzínu na 00 km pri rýchlsti 80 km/h a 8, L pri rýchlsti 0 km/h. Odhadnite jeh sptrebu pri rýchlsti 90 km/h 9) Dkážte, že funkcia je na svjm definičnm bre rastúca. 0) Dané sú funkcie: f f ( ), f ( ), ( ), f ( ) 0,5, f ( ) 0,5; f ( ), a) Rzhdnite, ktré z daných funkcií sú rastúce (klesajúce). b) Rzhdnite, ktré graf sú navzájm rvnbežné priamk. 6 f 9 f ( ), f ( ), ( ) ) Určte niekľk knkrétnch hdnôt parametra a R tak, ab funkcia a b a) bla rastúca na mnžine R, b) bla klesajúca na mnžine R, c) ani nerástla, ani neklesala na mnžine R. ) Určte všetk lineárne funkcie, ktré majú D(f) R a ktrých prvkami sú uspriadané dvjice: a) [0; ], [; ] b) [0; ], [ ; ] c) [; ], [; 5] d) [; ], [6; 0] ) Určte predpis funkcie, ktrej grafm je priamka prechádzajúca bdm [; ] a rvnbežná s priamku. 8

9 Lineárne funkcie s abslútnu hdntu sú také lineárne funkcie, ktré majú v predpise funkcie aspň jednu abslútnu hdntu, v ktrej sa nachádza nezávisle premenná. Pri zstrjvaní grafu takejt funkcie pstupujeme tak, že na základe nulvých bdv jedntlivých abslútnch hdnôt rzdelíme číselnú s na interval a v týcht intervalch výraz s abs. hdntami nahradíme výrazmi bez abs. hdnôt. Ptm na týcht intervalch aj funkciu s abs. hdntami nahradíme funkciami bez abs. hdnôt. Je výhdné pdbne ak pri rvniciach s abs. hdntu pužívať tabuľkvý sstém. Výsledným grafm takejt funkcie je lmená čiara. Príklad : Zstrjte graf funkcie f: - Riešenie: N.B.: Výraz s abs. h. Pmcný bd Nulvý bd Pmcný bd (- ; ) (; ) f: - f : (-) f : (-) - 5 Hdnt fi() v P.B a N.B. 6 7 Bd zlmu [; ] Pmcné bd [-; 6] [6; 7] 9

10 Príklad : Zstrjte graf funkcie f: Riešenie: N.B.: Výraz s abs. h. P.B. N.B. N.B. P.B. (- ; - ) (- ; ) (; ) f: f : (-) (--8) f : (-) (8) f : (-) (8) - - Hdnt fi() v P.B a N.B Bd zlmu [-; 7] [; -] Pmcné bd [-8; ] [7; -8] Príklad : Zstrjte graf funkcie f: Riešenie: N.B.: 5, -,... ( ; ) ;) ; 5) 5, )

11 a) (- ; -) : f : (- 5) (- 9) - ( ) b) <- ; ) : f : (- 5) ( 9) - ( ) c) < ; 5) : f : (- 5) ( 9) - (- ) d) <5 ; ) : f : ( - 5) ( 9) - (- ) Úlh - súhrn: ) Zstrjte graf funkcií: a) b) c) ) Rzhdnite párnsti, resp. nepárnsti funkcie f :, nakreslite graf a píšte jej vlastnsti. ) Načrtnite graf funkcie 6 ) Načrtnite graf funkcie 7. 5, ; 5

12 Kvadratická funkcia Kvadratická funkcia je každá funkcia určená predpism a b c, kde a, b, c R a a 0 Grafm kvadratickej funkcie ak D(f) R je parabla, ktrej s je rvnbežná s su. a > 0 a < 0 Vlastnsti kvadratickej funkcie : súradnice vrchlu V[-b/a, c-b /a] D(f) R, H(f) c-b /a ; ) na -b/a ; ) je rastúca na ( - ; -b/a je klesajúca je hraničená zdla stré minimum v bde -b/a súradnice vrchlu V[-b/a, c-b /a] D(f) R, H(f) ( - ; c-b /a na -b/a ; ) je klesajúca na ( - ; -b/a je rastúca je hraničená zhra stré maimum v bde -b/a Dôležitu infrmáciu bývajú súradnice priesečníkv grafu s su (tzv. nulvé bd). Ak eistujú, majú súradnice [; 0], ktrých -vé súradnice určíme riešením rvnice a b c 0. Kvadratická funkcia nie je na celej mnžine R rýdzmntónna. Mnžina R sa však dá rzdeliť na dva interval, na ktrých už je kvadratická funkcia rastúca resp. klesajúca. Upravme predpis kvadratickej funkcie dplnením na úplný štvrec:

13 b b ac b b Bd V[ ; ] [ ; c ] sa nazýva vrchl parabl. a a a a Ak keficient a > 0, funkcia nadbúda v bde b najmenšiu hdntu, t.j. z gemetrickéh a hľadiska je vrchl V najnižším bdm parabl. Takút parablu nazývame knvená. Pre keficient a < 0, funkcia nadbúda v bde b najväčšiu hdntu, t.j. z gemetrickéh a hľadiska je vrchl V najvšším bdm parabl. Takút parablu nazývame knkávna. Pstup pri zstrjení grafu:. Určíme súradnice b, a 0 0 c b a vrchlu parabl [ ] V ; Vpíšeme niekľk ďalších dvjíc, ktré patria funkcii.. V karteziánskej sústave súradníc O zstrjíme braz uspriadaných dvjíc získaných v a.. Zstrjíme parablu, t.j. spjíme jedntlivé bd a vužijeme aj t, že parabla je súmerná pdľa priamk rvnbežnej s su, prechádzajúcej vrchlm parabl. Pznámka: Vhdné je určiť aj priesečník parabl s su, t. j. krene kvadratickej rvnice a b c 0, ak eistujú. Príklad : Zstrjte graf funkcie f: 6 5 Riešenie - a: vužitím nulvých bdv a vrchlu parabl 0 6/, 0 5 6/ -... V[; -] aleb 6 5 ( ) 9 5 ( ) ( ) ( ).( ) ( 5).( ) Druhá úprava je výhdnejšia, leb krem vrchlu parabl môžeme zistiť aj nulvé bd, t.j. priesečník grafu funkcie s su.

14 Riešenie - b: vužitím vrchlu parabl k psunu niekľkých bdv základnej parabl. Tent spôsb je univerzálnejší, nakľk nie každá parabla má priesečník s su. Na zstrjenie grafu funkcie f: 6 5 ( ) 9 5 ( )... V[; -] vužijeme graf funkcie f 0 :, ktrý sa dá v súradnicvej sústave veľmi rýchl načrtnúť za pmci bdv, napr.: [0; 0], [-; ], [; ], [-; ], [; ], [-; 9], [; 9]. Každý z týcht bdv ptm na základe súradníc vrchlu V[; -] psunieme j dprava a j nadl, čím dstaneme bd grafu pžadvanej funkcie f. Príklad : V ktrých bdch pretína graf funkcie f: - s a s? Riešenie: Bd, v ktrých pretína funkcia s majú súradnicu 0. Teda dsadíme d predpisu funkcie za nulu a riešime rvnicu - 0. Dstaneme krene 7 a -. Priesečník s su majú súradnice [7; 0] a [-; 0]. Bd, v ktrých pretína funkcia s majú súradnicu 0. Dsadíme d predpisu funkcie za nulu a riešime rvnicu 0.0 -, z ktrej -. Priesečník s su je jeden a má súradnice [0; -].

15 Príklad : Určte pre funkciu f : a b c jej keficient tak, ab platil: f(0) 5, f(-), f() Riešenie: f ( ) znamená, že je funkčná hdnta priradená číslu, t.j. dsadíme, d predpisu funkcie a b c, dstaneme sústavu trch rvníc s trmi neznámmi: f(0) 5: 5 a.0 b.0c... 5 c f(-) : a.(-) b.(-)c... a b c f() : a. b.c... a b c Riešenie sústav: a, b -, c 5, t. j. funkcia má predpis f: 5 5

16 Príklad : Zstrjte graf funkcie f: 6 5 Riešenie: Pri riešení tejt úlh pužijeme graf funkcie f 0 : 6 5 a uplatníme definíciu abslútnej hdnt, t.j. abslútna hdnta nezáprnéh čísla je t isté čísl a u záprnéh čísla je čísl k nemu pačné. Nakľk abslútna hdnta sa bude vzťahvať len na -vé súradnice bdv grafu funkcie f 0, bd grafu funkcie f 0 s -vými súradnicami nezáprnými zstanú na pôvdných pzíciách a u bdv s -vými súradnicami záprnými sa -vé súradnice zmenia na pačné, t.j. tiet bd budú súmerné s bdmi grafu funkcie f 0 pdľa si ( preklpia sa kl si ). Pznámka: Graf funkcií f: f() zstrjujeme tak, že najskôr zstrjíme graf funkcie f 0 : f() a ptm časť grafu nachádzajúcu sa pd su súmerne zbrazíme pdľa tejt si (preklpíme). 6

17 Úlh - súhrn: ) Určte funkciu, ktrá vjadruje závislsť bsahu rvnstrannéh trjuhlníka d dĺžk jeh stran. Určte aj br definície a br hdnôt tejt funkcie. ) Nájdite funkciu, ktrá vjadruje závislsť bjemu valca d priemeru jeh pdstav, ak výška v 5 cm. Určte aj br definície a br hdnôt tejt funkcie. ) Pri zvislm vrhu telesa smerm nahr sa výška s (v metrch) nad istým miestm menila s časm t (v sekundách) pdľa vzťahu s 0 0t 5t. Určte maimálnu výšku, d ktrej teles vstúpil i čas trvania tht výstupu. ) Určte br definície a br hdnôt funkcie: a) f ( ) ( ) b) f ( ) f f c) f ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) f ( ) 9 f) ( ) ) Daná je funkcia f : 8. a) Určte f(0), f(), f(). b) Určte hdnt premennej, pre ktré platí, že f(), f() 8, f() 5, f() 0,5. c) Určte priesečník grafu funkcie f s súradnicvými sami. 6) Daná je funkcia f :. a) Určte f(0), f(7), f(). b) Určte hdnt premennej, pre ktré platí, že f() 9, f() 0, f() c) Určte priesečník grafu funkcie f s súradnicvými sami. 55, 7) Určte všetk kvadratické funkcie s D(f) R, ktrých prvkami sú uspriadané dvjice a) [0; ], [; ], [, ] b) [; 8], [; ], [; ] 8) Ktrá kvadratická funkcia f má tú vlastnsť, že f(), f(), f()? 9) V jednej súradnicvej sústave načrtnite graf daných funkcií a pkúste sa charakterizvať ich vzájmný vzťah: a) f :, f :, f : 0,, f : b) g :, g :, g :, g : c) h :, h : ( ), h : ( ), h : ( ) d) k :, k : ( ), k : 9, k : 9 0) Načrtnite graf funkcie f : a píšte jej vlastnsti. ) Načrtnite graf funkcií: a) f : b) g : 7

18 ) Aký má predpis kvadratická funkcia, ktrej graf je parabla s su a vrchlm v začiatku sústav súradníc? Aká je rvnica tejt parabl, keď je jej vrchl psunutý: a) dve jedntk v smere si, b) tri jedntk v smere si, c) jednu jedntku v smere si, d) štri jedntk v smere si. ) Zstrjte graf funkcie f : 6 8 a píšte jej vlastnsti. ) Načrtnite graf funkcie h :, a nájdite jej etrém. 5) Určte predpis funkcie, ktrej grafm je parabla s vrchlm V[; ] prechádzajúca bdm A[0; ]. Parablu načrtnite a určte jej nulvé bd. 6) Rzhdnite, či je funkcia f : hraničená a nájdite jej interval mntónnsti i br hdnôt. 7) Načrtnite graf funkcie f : -, <- ; ). Určte jej br hdnôt a interval mntónnsti. 8) Dané sú funkcie: 5 f ( ), f ( ) 6, f ( ) 9, 5 f ( ), f ( ), f ( ) 0, f ( ), a) Načrtnite ich graf a určte br hdnôt. b) Určte interval mntónnsti a etrém. c) Zistite, ked majú jedntlivé funkcie funkčné hdnt kladné a ked záprné. 9) Načrtnite graf funkcie f : 6 8 a píšte jej vlastnsti. 0) Načrtnite graf funkcie f : 6. Nájdite interval mntónnsti tejt funkcie. ) Daný je parametrický sstém funkcií c, kde c R. Slvne píšte vzájmnú plhu všetkých funkcií danéh parametrickéh sstému. Určte c tak, ab tát funkcia a) nemala splčný bd s su, b) mala práve jeden splčný bd s su, c) mala práve dva splčné bd s su. 8

19 Grafické riešenie kvadratických nervníc Všetk kvadratické nervnice tvaru: a b c < 0 a b c > 0 a b c 0 a b c 0, kde a, b, c R a a 0, neznáma je mžné riešiť grafick pmcu grafu funkcie f: a b c. Z grafu funkcie ptm vberieme len tie bd [; ], v ktrých < 0 ( > 0; 0; 0 ) a k ním priradíme zdpvedajúce úsek si. Príklad: Riešte v R: a) K R -; b) > K R ( - ; -) (; ) 9

20 c) K R d) < K R R e) K R {-} 0

21 Úlh - súhrn: ) Pri riešení kvadratickej nervnice vužite graf kvadratickej funkcie: a) 0 b) < 0 c) 0 d) < 0 e) 0 f) < 0 ) S vužitím grafv kvadratickej funkcie riešte nasledujúce nervnice: a) 9 0 b) 8 > 0 c) 9 0 d) 6 7 < 0

22 Mcninvá funkcia Mcninvá funkcia je každá funkcia určená predpism n, kde n R - {0}. Vlastnsti mcninvých funkcií závisia d epnentu n:. f: n, kde n N Z ; n je nepárne: D (f) R H (f) R Je rastúca. Nie je hraničená ani zhra ani zdla. Nemá ani maimum ani minimum. Je nepárna. Napr.:, 5,... Vžd platí: f (), f (-) -. f: n, kde n N Z ; n je párne: D (f) R H (f) 0; ) Je klesajúca na ( - ; 0 rastúca. na 0; ) Je hraničená zdla, zhra nie je. V bde 0 má stré minimum, maimum nemá. Je párna. Napr.:,,... Vžd platí: f (), f (-). f: n, kde n Z ; n je nepárne: D (f) R - {0} H (f) R - {0} Je klesajúca na ( - ; 0) a na ( 0; ) Nie je hraničená ani zhra ani zdla. Nemá ani maimum ani minimum. Je nepárna. Napr.:,,... Vžd platí: f (), f (-) -

23 . f: n, kde n Z ; n je párne: D (f) R - {0} H (f) ( 0; ) Je rastúca. na ( - ; 0) klesajúca na ( 0; ) Je hraničená zdla, zhra nie je. Nemá ani maimum ani minimum. Je párna. Napr.:,,... Vžd platí: f (), f (-) 5. f: /n n, kde n N: D (f) 0; ) H (f) 0; ) Je rastúca. Je hraničená zdla, zhra nie je. V bde 0 má stré minimum, maimum nemá. Napr.: /, f: ( a) n b, kde n Z - {0}, {a; b} R: Graf funkcie f dstaneme psunutím grafu funkcie n v smere si nulvý bd výrazu a a v smere si b. Príklad: Zstrjte graf funkcie 0... ( 5) :

24 Graf mcninnej funkcie z ; z Z z nepárne a kladné z párne a kladné z nepárne a záprné z párne a záprné

25 Úlh - súhrn: ) Určte definičný br daných mcninvých funkcii: f : ( ) f : ( ) f 7 : ( 7) f : ( ) f 5 : ( ) f 8 : - 5 f : f 6 : ( ) f 9 : ) Načrtnite v tej istej súradnicvej sústave graf funkcii: a) f : f : ( ) f :, pre -5; 5 b) f : f : ( ) f :, pre -; ) Určte súradnice vrchlu grafu danej funkcie a priesečník s sami. Načrtnite graf! f : f : 6 f : ) Určte súradnice ľubvľnéh bdu, ktrý leží na grafe funkcie: f : f : f : f : f 5 : f 6 : 5) Určte z grafu všetk charakteristické vlastnsti mcninvých funkcií: f : ( ) pre ; f : ( ) pre ; 0 f : pre (0; ) f : pre ; 5 f 5 : pre ( ; 0) 6) Zistite, či dané bd ležia na grafe funkcie: a) A[; ], B[0; 0] b) ( ) C[0; ], D[; 9] c) - E[; ], F[ ; ] d) ( ) G[; 0], H[ ; 0] e) I [; 0,5], J[; ] 7) Vpčítajte chýbajúcu súradnicu tak, ab bd ležal na grafe funkcie: a) A[; 8], B[5; ] b) ( ) C[0; ], D[; ] c) E[; ], F[ 0,5; ] d) G[; ], H[; ] e) I [; 0], J[; ] 5

26 Lineárne lmená funkcia Lineárne lmená funkcia je každá funkcia určená predpism : f: kde a, b, c, d R, c 0 a ad bc 0. a b c d, Pznámk: ) Ak c 0, ptm ) Ak napríklad a b d a d b. k q, č je lineárna funkcia. d 6, t.j. 6.( ) ( ). 0 ad bc 0, ptm knštantná f. f: a b c d (a b) : (c d) p q c d b Z uvedenej úprav vplýva, že nepriama úmernsť určená rvnicu k je špeciálnm c prípadm funkcie f ( a 0 d 0 ) a pret grafm funkcie f je rvnsá hperbla s stredm S[ d/c; a/c]. Priamk d/c a a/c sú asmptt grafu funkcie ( dtčnice v neknečne psunutá základná súradnicvá sústava). Pmcu c d určujeme psunutie grafu v smere si : c d 0 d/c. Hdnta výrazu a/c určujeme psunutie grafu v smere si. Ak > 0, vetv hperbl sa nachádzajú v I. a III. kvadrante, Ak < 0, vetv hperbl sa nachádzajú v II. a IV. kvadrante. Nech a b c d 0 a b 0... b/a... priesečník grafu s su : P [ b/a; 0 ]. b 0. d 0 b/d... priesečník grafu s su : P [0; b/d] 6

27 Vlastnsti funkcie: D(f) R - {- d/c} HD(f) R - {a/c} funkcia je rastúca (klesajúca) na bch hperblických ramenách, t.j. je vžd prstá má vžd inverznú funkciu funkcia je nehraničená funkcia nemá etrém ( ma ; min ) má vžd jedn ramen knvené a jedn knkávne Príklad : Zstrjte graf funkcie f: ( 7) / ( ) Riešenie: ( 7) : ( ) / ( ) 7

28 Príklad : Zstrjte graf funkcie f: ( ) / ( ) Riešenie: ( ) : ( ) ( ) / ( ) ) Načrtnite graf nasledujúcich funkcií: Úlh: f: ( 5) / ( ) g: ( ) / ( ) h: (- ) / ( ) i: ( ) / ( ) 8

29 Epnenciálna funkcia Epnenciálnu funkciu s základm a sa nazýva každá funkcia na mnžine R určená rvnicu : a, kde a R {} Grafm epnenciálnej funkcie je epnenciálna krivka. Vlastnsti epnenciálnch funkcii: Príklad : Napíšte čísl ak mcninu s základm 0,5. Riešenie: 0,5... (/8) /... 0,5 / Príklad : Prvnajte hdnt čísel: a) ( 0,5 ),7 a ( 0,5 ), b) ( 7/ ) -, a ( 7/ ) 0,6 Riešenie: a) f: 0,5 je klesajúca { 0,5 (0; ) },7 <, ( 0,5 ),7 > ( 0,5 ), 9

30 b) g: (7/) je rastúca { 7/ > }, < 0,6 ( 7/ ), < ( 7/ ) 0,6 Príklad : Rzhdnite pravdivsti výrku: ( 0,5 ) > Riešenie: V: ( 0,5 ) >... ( 0,5 ) > ( 0,5 ) 0 f: 0,5 je klesajúca { 0,5 (0; ) } > 0 ( 0,5 ) < ( 0,5 ) výrk V je nepravdivý Úlh - súhrn: ) Predpkladajte, že b ste papier hrúbk 0, mm 0 krát prehli na plvicu. Aká hrubá vrstva papiera b z th vznikla? a) Odhadnite hrúbku zlženéh papiera. b) Č je vhdné najskôr vpčítať? c) Aká je závislsť pčtu papierv ( vrstiev ) d pčtu prehnutí? Viete ju znázrniť? ) Napíšte čísl 8 ak mcninu s základm : ) Vpčítajte: ) Bez určenia hdnôt uspriadajte pdľa veľksti čísla: 0

31 5) Prvnajte hdnt čísel: 6) Rzhdnite pravdivsti výrkv: 7) 8) 9)

32 Inverzná funkcia Úlha: Dané sú mnžin: f {[-; ], [-; ], [0; 6], [; 0], [; 5], [; ], [; 8], [5; 6] } g {[-; 6], [-; ], [0; ], [; 0], [; ], [; ], [; 6], [5; 0] } Zistite: a) Či mnžin f a g sú prsté funkcie. b) Ich mntónnsť na celm def. bre c) Či mnžin f - a g -, ktré dstaneme z mnžín f a g tak, že v uspriadaných dvjiciach týcht mnžín vmeníme navzájm -vé a -vé zlžk, sú prsté funkcie. d) Mntónnsť f - a g - na celm def. bre Riešenie: a) f je prstá, g nie je prstá b) f je rastúca, g nie je mntónna na celm def. bre c) f - {[; -], [; -], [6; 0], [0; ], [5; ], [; ], [8; ], [6; 5] } f - je prstá funkcia g - {[6; -], [; -], [; 0], [0; ], [; ], [; ], [6; ], [0; 5] } g - nie je funkcia d) f - je rastúca Ak je f prstá funkcia, tak k nej eistuje práve jedna funkcia ( f - ), ktrá je určená takt : a) Jej definičný br je H(f), t znamená D(f - ) H(f) b) Každému D(f - ) je priradené práve t D(f ), pre ktré platí f(), t.j. Platí: D(f - ) H(f) a H(f - ) D(f) f () f() Funkciu f - nazývame inverzná funkcia k funkcii f. Ak je f rastúca funkcia, je rastúca aj funkcia f -. Ak je f klesajúca funkcia, je klesajúca aj funkcia f -. Graf navzájm inverzných funkcií sú súmerné pdľa priamk (s I. a III. kv.).

33 Príklad : Dkážte, že k funkcii f: eistuje inverzná funkcia f - a napíšte jej rvnicu. Riešenie:, R; < < <, t.j. f( ) < f( ) funkcia f je rastúca je prstá eistuje inverzná funkcia f - f: vmeniť navzájm a... f -:

34 Pznámka: Pre všetk mcninvé funkcie f: n, kde n N a 0; ) platí, že sú rastúce a tým aj prsté a pret k ním eistujú inverzné funkcie f - : /n n, ktré nazývame dmcnin. Z uvedených vlastnstí vplýva, že dmcnin sú definvané pre nezáprné čísla (výraz) a výsledkm dmcnin je tiež nezáprné čísl (výraz).

35 Lgaritmická funkcia Daná je epnenciálna funkcia f: a, a R {}. Inverzná funkcia k funkcii f je funkcia f - : a, ktrú zapisujeme lg a a nazýva sa lgaritmická funkcia. lg a a Grafm lgaritmickej funkcie je lgaritmická krivka. Vlastnsti lgaritmických funkcii: 5

36 Príklad : Rzhdnite pravdivsti výrku: lg 0, 7 > 0 Riešenie: V: lg 0, 7 > 0... lg 0, 7 > lg 0, f: lg 0, je klesajúca { 0, (0; ) } 7 > lg 0, 7 < lg 0, výrk V je nepravdivý Príklad : Určte všetk také є R, pre ktré platí : lg 0,5 lg 0,5 Riešenie: f: lg 0,5 je klesajúca { 0,5 (0; ) } lg 0,5 lg 0,5 6

37 Úlh - súhrn: ) Na základe vlastnstí lgaritmických funkcií rzhdnite, ktré z týcht tvrdení sú pravdivé: a) lg 5 > 0 b) lg 5 0,7 0 c) lg 0, 0 d) lg 9 < lg 5 ) Rzhdnite, ktré z uvedených čísel sú záprné: a) lg 5 0,5 b) lg 0,5 5 c) lg 0,5 0,5 d) lg 5 5 ) Určte všetk také є R, pre ktré platí : a) lg 0, 0 b) lg < 0 c) lg 0 d) lg < lg e) lg 0,6 5 lg 0,6 ) Zistite, kde nastala chba: a) / lg a lg a...??? b) (/) > (/) lg (/) > lg (/)....lg (/) >.lg (/)... >??? c) lg 0,5 lg 0,5....lg 0,5 > lg 0,5... lg 0,5 > lg 0,5... 0,5 > 0, ,5 > 0,5??? 7

38 Gnimetrické funkcie všebecnéh uhla Určvanie veľksti uhlv Nech A, B, C, D k[s; r] Stredvý uhl ASB má veľksť radián rad práve vted, ak dĺžka blúka AB sa rvná veľksti plmeru danej kružnice. Ide vjadrenie veľksti uhla v blúkvej miere. Stredvý uhl CSD má veľksť stupeň práve vted, ak blúk CD má dĺžku πr : 60 Ide vjadrenie veľksti uhla v stupňvej miere. Ak r, daná kružnica sa nazýva jedntkvá. Ptm platí: Dĺžka kružnice π zdpvedá uhlu 60. Nech R je hdnta veľksti uhla v blúkvej miere a α je hdnta veľksti uhla v stupňvej miere. π α :: π α : 60, t.j. α.80 π aleb α.π 80 Pre, t.j. má hdntu rad (rad sa čast neuvádza) platí: α rad ,07 rad Pznámka: Na každé R sa môžeme pzerať ak na vjadrenie veľksti uhla v blúkvej miere (bez rad), čím h môžeme na jedntkvej kružnici zbraziť ak bd. Napr.: 5 (rad) α 859 6, ,09 8

39 8 (rad) α 58, ,55 Uhl α 0 9 6,09 je tzv. základná veľksť uhla α 859 6,09 5 (rad) α 0 6 8,55 je tzv. základná veľksť uhla α 58, (rad) Funkcie sínus a ksínus pre uhl z intervalu (0 ; 90 ) je mžné definvať pmcu pravuhléh trjuhlníka takt: sin je pmer veľkstí prtiľahlej dvesn tht uhla a prepn, cs je pmer veľkstí priľahlej dvesn k tmut uhlu a prepn. tg je pmer veľkstí prtiľahlej a priľahlej dvesn k tmut uhlu ( je pmer sin a cs ) ctg je prevrátená hdnta tg. Nech M[ M ; M ] je bd jedntkvej kružnice a je brazm čísla R, ktré reprezentuje veľksť všebecnéh uhla: Ptm: M sin a M cs Pznámka: Nakľk každé reálne čísl sa dá na jedntkvej kružnici zbraziť ak bd M a každému takémut bdu sa dajú priradiť súradnice M a M platí, že každému reálnemu číslu vieme priradiť cs a sin, t.j. definičným brm týcht funkcií je R. 9

40 Funkcia sínus vlastnsti: D(f) R H(f) ; rastúca na I π/ kπ; π/ kπ, k Z klesajúca na I π/ kπ; π/ kπ, k Z peridická s periódu p π nepárna: sin sin ( ) hraničená; h, d maimum v bdch π/ kπ, k Z minimum v bdch π/ kπ, k Z Funkcia ksínus vlastnsti: D(f) R H(f) ; rastúca na I π kπ; π kπ, k Z klesajúca na I 0 kπ; π kπ, k Z peridická s periódu p π párna: cs cs ( ) hraničená; h, d maimum v bdch kπ, k Z 0

41 minimum v bdch π kπ, k Z Za pmci nasledujúcich trjuhlníkv je mžné určiť hdnt sin a cs pre základné veľksti uhlv: 0, 5 a 60.

42 Nech f: A.sin [B.( C)] D Vplv knštánt A, B, C, D na priebeh grafu funkcie sin : A natiahnutie (splštenie) grafu v smere si B zrýchlenie (spmalenie) zhustenie (zriedenie) periód C psun grafu v smere si (pdľa nulvéh bdu) D psun grafu v smere si

43

44 Tangens je funkcia, ktrá R, pre ktré platí cs 0, priradí čísl: tg sin cs Funkcia tangens vlastnsti: D(f) R - {π/ kπ}, k Z H(f) R rastúca na I (π/ kπ; π/ kπ), k Z peridická s periódu p π nepárna: tg tg ( ) nie je hraničená nemá maimum ani minimum inflené bd nulvé bd kπ, k Z

45 Ktangens je funkcia, ktrá R, pre ktré platí sin 0, priradí čísl: ctg cs sin Funkcia ktangens vlastnsti: D(f) R - { kπ}, k Z H(f) R klesajúca na I ( kπ; (k )π), k Z peridická s periódu p π nepárna: ctg ctg ( ) nie je hraničená nemá maimum ani minimum inflené bd nulvé bd (k )π/, k Z 5

46 Zhrnutie základných vlastnstí gnimetrických funkcií: Prehľad základných tabuľkvých hdnôt: sin Pmôcka pre ľahšie zapamätanie sin cs 0-0 tg ctg 0 0 Pznámka: Smbl znamená, že pre dané nie je funkcia definvaná. 6

47 Vzrce pre gnimetrické funkcie Základné vzťah medzi gnimetrickými funkciami rvnakéh argumentu Pre každé R platí: sin cs π Pre každé R, k. ; k Z, platí: tg. ctg Pre každé R platí: sin.sin. cs Pre každé R platí: cs cs sin Gnimetrické funkcie dvjnásbnéh argumentu Gnimetrické funkcie súčtu a rzdielu argumentv Pre každé dve reálne čísla a platí: sin ( ) sin. cs cs. sin sin ( ) sin. cs cs. sin cs ( ) cs. cs sin. sin cs ( ) cs. cs sin. sin Vzrce pre súčet a rzdiel hdnôt funkcií sínus a ksínus Pre každé dve reálne čísla, platí: sin sin.sin.cs sin sin.cs.sin cs cs.cs.cs cs cs.sin.sin Gnimetrické funkcie plvin argumentu Pre každé R platí: sin / Pre každé R platí: cs / cs cs 7

48 Úlh - súhrn:. Určte znamienk hdnt funkcie tangens, ak uhl α sa rvnajú : /π, 5π, /8π, 9/8π, 5/6π, /5π, /7π, /7π, 5/8π, 9/π, 7/8π, /7π, /9π, π, /π, /π, /5π, 5/6π, 6/7π. /π. kvadrant sin > 0 cs < 0 tg < 0. Vpčítajte hdnt gnimetrických funkcií sin, cs, tg, ctg pre uhl : 5, 75,05, 50,65,95. sin 5 sin (90 5 ) sin 90. cs 5 cs 90. sin Vpčítajte hdnt gnimetrických funkcií sin, cs, tg, ctg pre uhl : 7 0, 0, Vpčítajte hdnt gnimetrických funkcií sin, cs, tg, ctg pre uhl : π/, π/. 5π/ (5π/6) / cs 5 cs π 6 π cs 6 5. a) Vpčítajte sin 9, ak sin 9 0,56. b) Vpčítajte cs 7, ak cs 0,978. c) Vpčítajte tg 70, ak sin 0 0,76. Vpčítajte ctg 70, ak cs 0 0, sin 0 0,997 0,0 sin 70 sin (90-0 ) sin 90. cs 0 cs 90. sin 0.0, ,0 0,997 cs 70 cs (90-0 ) cs 90. cs 0 sin 90. sin 0 0.0,997.0,0 0,0 ctg 70 cs 70 / sin 70 0,0 / 0,997 0,69 6. a) Vpčítajte sin 8, ak sin 9 0,56. b) Vpčítajte cs 7, ak cs 6 0,8090. c) Vpčítajte tg 70, ak sin 5 0,576. d) Vpčítajte ctg 80, ak cs 0 0, Vjadrite: a) sin pmcu sin. 8 cs pmcu cs. cs cs ( ) cs. cs sin. sin (cs sin ).cs.sin. cs. sin (cs ( - cs )).cs.sin. cs (.cs ).cs.( cs ). cs.cs.cs 8. Vpčítajte sin /,, tg /, ak : sin / a cs <0. cs - ( ) cs /

49 9. Bez určenia hdnt, určte pre dané hdnt statných gnimetrických funkcií, ak viete, že platí: b) cs ( ) 5/... tg /5... ctg 5/ 0. Určte definičné br daných výrazv a ptm ich zjedndušte: / (ctg ) tg / ( tg ): Pdmienk: sin 0 cs 0 tg ctg 0 k.π, k Z π/ k.π, k Z π/ k.π, k Z 0 k.π/, k Z... tg tg tg tg tg 0 tg tg 9

50 . Určte, pre ktré R sú definvané uvedené rvnsti a ptm ich dkážte: a) c) e) g) i) k) m) cs sin ( ) sin( ) cs sin cs ct g sin sin cs sin cs tg ct g tg sin sin cs cs tg ( tg) ( tg) tg ct g sin h) j) l) n) ( sin cs ) b) sin.cs d) tg cs f ) sin. tg cs cs sin sin sin.ct g.cs sin sin ct g ct g cs tg ct g sin.cs cs cs 5 sin.cs. Bez určenia hdnt, určte pre dané hdnt gnimetrických funkcií cs a sin, ak viete, že platí: π a) cs, 0, b) sin, π, π. Vpčítajte: a) c).sin cs 5 0.cs sin 5 0 b) d) sin5.cs5 cs 75 sin 75. Určte, pre ktré majú dané výraz zmsel a zjedndušte ich: a) c) e) g) i) k) ( sin cs ) sin cs cs cs sin cs cs sin cs sin cs sin sin b) d) f ) h) j) ( sin cs ).cs cs l) cs.sin sin cs.sin sin.sin sin cs sin sin sin.cs sin.cs cs 50

51 5. Vpčítajte: a) d) g) sin 75 7 sin π sin.cs cs.sin b) e) cs05 tg5 h) c) f ) 7 cs π tg cs π.cs π sin π.sin π 6. Dkážte: a) c) e) g) π π sin sin.cs sin sin ( 60 ) sin( 0 ) ( ) sin cs.sin sin cs sin π cs sin.cs 0 b) d) f ) cs cs sin sin.sin.sin ( ).sin( ) π π sin cs sin 6 π π h) sin cs 6 7. Zjedndušte: a) c) e) cs cs sin cs 8. Vpčítajte: ( α 0 ) cs( α 0 ) b) sin( β 0 ) sin( β 0 ) π π ( γ 5 ) cs( γ 5 ) d) sin sin ( 5 ) sin( 5 ) ( 5 ) cs( 5 ) f ) sin π sin π cs π cs π a) c) e) sin 75 cs80 sin0 sin 65 cs80 sin5 cs 0 sin0 sin 5 cs 0 b) d) f ) sin 75 sin5 sin 5 sin85 cs0 cs50 cs50 cs 70 sin 70 sin Vpčítajte: a) π cs c) sin5 b) d) π sin 8 cs 0 5

52 5. sin ).cs.sin sin ) cs sin sin ) cs sin sin ) cs.cs ) cs.sin ) tg tg f e d c b a π π 0. Dkážte: