ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia
|
|
- Ὑπατια Καραβίας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia 1. VÝROKY Pod pojmom "výrok" rozumieme v bežnom živote čosi ako VÝsledok ROKovania ( napr. súdu, alebo komisie odborníkov ) - budí totiž dojem, že ide o pravdivé, nevyvrátiteľné tvrdenie. V matematickej logike má tento pojem "skromnejší" význam: chápeme ním každé zrozumiteľné oznámenie, ktoré môžeme "ohodnotiť" z hľadiska pravdivosti (čiže rozhodnúť, či je pravdivé alebo nepravdivé). Napr. "2 x 2 = 5" je výrok, lebo mu dobre rozumieme a vieme, že neplatí (v bežnej aritmetike). Príklad 1. Ktoré z nasledujúcich viet sú výroky? a) Michalovcami preteká rieka Laborec. [je to výrok; je pravdivý] b) Brusel je hlavné mesto Číny. [je to výrok; je nepravdivý] c) (. ) = [je to výrok; je pravdivý] d) Zotrite tabuľu! [nie je to výrok] e) Môžeme sa hravo presvedčiť... [nie je to výrok] f) Má červený sveter. [nie je to výrok] g) (a+b) 2 = a2 + b 2 [nie je to výrok] h) Pre všetky reálne čísla a,b platí: (a+b)2 = a2 + b2. [je to výrok; je nepravdivý] i) Možno nájsť reálne čísla a,b také, aby platilo: (a+b)2 = a2 +b2. [je to výrok; je pravdivý] j) Pre všetky reálne čísla a,b platí: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2. [je to výrok; je pravdivý] k) Máš domácu úlohu? [nie je to výrok] l) Bledomodrý svet. [nie je to výrok] m) Aspoň dve zo strán tohoto 6-uholníka sú zhodné. [je to výrok] n) Štvoruholník má susedné strany zhodné. [nie je to výrok] o) Vo vesmíre existuje aj iná civilizácia, ako je naša [ je to výrok; nevieme rozhodnúť o jeho pravdivosti] p) Každý modrooký človek je blondín. [je to výrok; je nepravdivý] r) Existuje párne prvočíslo. [je to výrok; je pravdivý] Za výroky považujeme tie oznamovacie vety, ktorými sa niečo zrozumiteľne oznamuje, čo môže byť buď len pravdivé, alebo nepravdivé. Výrokmi nie sú nápisy, rozkazovacie a opytovacie vety, neúplne alebo nejasne formulované vety a pod. Pravdivému výroku priraďujeme pravdivostnú hodnotu "pravda" ("p" alebo "1"), nepravdivému "nepravda" ("n" alebo "0"). Hypotézou (domnienkou) rozumieme výrok, ktorého pravdivostná hodnota je neznáma. Príklad 2. Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov: a) 2 3 < 3 2 [p] b) Každý štvorec je geometrický útvar. [p] 1
2 c) Každý geometrický útvar je štvorec. [n] d) Súčet dvoch nepárnych prirodzených čísel je vždy párny. [p] e) Existujú prirodzené čísla p,q,r také, že platí: p2 + q2 = r2. [p] f) Pre každé prirodzené číslo n platí, že 2n + 1 je prvočíslo. [n] g) Každé prirodzené číslo sa dá zapísať ako súčet nanajvýš troch prvočísel. [hypotéza] Cvičenia. 1. Napíšte päť výrokov a určte ich pravdivostnú hodnotu. 2. Napíšte päť viet, ktoré nie sú z rôznych dôvodov výrokmi. 3. Uveďte príklad výroku, ktorý je pre vás (alebo pre vášho súrodenca či spolužiaka) hypotézou. 2. NEGÁCIE VÝROKOV V matematike i v bežnom živote potrebujeme často poprieť pravdivosť určitého výroku - čiže vysloviť sa v tom zmysle, že výrok neplatí, že platí "jeho pravý opak". Výroku V', ktorý popiera pravdivosť výroku V, hovoríme negácia výroku V. Výrok a jeho negácia majú zrejme rôzne, opačné pravdivostné hodnoty. (Ak bol pôvodný výrok pravdivý, jeho negácia je nepravdivá a naopak.) Pozor však - definovať negáciu výroku ako výrok s opačnou pravdivostnou hodnotou než pôvodný výrok je nepostačujúce (premyslite si to!). Negáciu výroku možno vykonať formálne - predradením slovného spojenia "Nie je pravda, že" pred výrok V; iným - konštruktívnejším spôsobom, ako ukazuje nasledujúci príklad. Výrok V Negácia výroku V Matematika je veda vied. Nie je pravda, že matematika je veda vied. Matematika nie je veda vied = 3 Nie je pravda, že = Vonku nesvieti slnko Nie je pravda, že vonku nesvieti slnko. Vonku svieti slnko. Každý štvorec je geometrický útvar. Nie je pravda, že každý štvorec je geometrický útvar. Nie každý štvorec je geometrický útvar. 7 < 5 Nie je pravda, že 7 < Keď sa vo výroku hovorí o jednej z niekoľkých možností, musí jeho negácia zahrnúť všetky ostatné možnosti. Cvičenia. 2
3 1. Negujte : Pri pokuse zapísať racionálne číslo 1/4 ako desatinné číslo nedospejeme k cieľu. Gréci nezmenili pod vplyvom hláskového písma svoj pôvodný systém číslic. π = 22 / / 113 π ( π = 3, ; 355/113 = ) V matematike i v bežnom živote sú časté výroky s údajmi o počte objektov. Patria k nim formulácie : * aspoň piati, minimálne piati, najmenej piati * najviac traja, maximálne traja * práve siedmi a podobne. Pri negovaní tohoto druhu výrokov možno s výhodou využiť grafické znázornenie na číselnej osi, ako ukazuje príklad: výrok V a) Aspoň dvaja návštevníci zostali do konca fi negácia výroku V a') Najviac jeden návštevník zostal do konca b) V skladbe bolo použitých najviac 5 motívov c) Aspoň jedno prvočíslo je párne fi d) Táto rovnica má práve 1 reálny koreň Cvičenia. 2. Negujte: Nikto zo spolužiakov neprišiel. Dané kružnice majú spoločné aspoň 2 body. Možno nájsť najviac 3 prvočísla menšie ako 20. Táto rovnica má práve 2 reálne korene. Aspoň jeden z nás úlohu vyriešil. b') V skladbe bolo použitých aspoň 6 motívov. fi c') Žiadne prvočíslo nie je párne d') Táto rovnica nemá žiaden alebo má aspoň 2 reálne korene. fi VŠEOBECNÉ A EXISTENČNÉ KVANTIFIKÁTORY 3
4 Medzi slovné spojenia, ktoré vo výrokoch vyjadrujú údaje o počtoch objektov, sú významné najmä 2 druhy. Všeobecný kvantifikátor vyjadruje, že každý uvažovaný objekt má (alebo žiaden nemá) vlastnosť, o ktorú ide. Napr. "každý", "žiadny", "všetky", "ľubovoľný", "ktorýkoľvek", "ani jeden",... Existenčný kvantifikátor vyjadruje, že aspoň jeden uvažovaný objekt má (alebo nemá) vlastnosť, o ktorú ide. Napr. "aspoň jeden", "možno nájsť", "existuje", "niektorý",... Príklad 1. Podčiarknite v nasledujúcich výrokoch všeobecné a existenčné kvantifikátory. a) Existuje 6-uholník, ktorý má aspoň tri tupé vnútorné uhly. [Existuje] b) Možno nájsť prirodzené číslo, ktoré je deliteľom každého prvočísla. [Možno nájsť; každého] c) Ani jeden koreň rovnice x + 1 = 0 nie je kladné číslo. [Ani jeden] Negovanie výrokov so všeobecnými a existenčnými kvantifikátormi. Príklad 2. Negujte: a) Všetky násobky čísla 8 sú párne čísla. [Niektoré násobky čísla. 8 nie sú párne čísla.] b) Ktorýkoľvek trojuholník má súčet dĺžok ťažníc väčší ako súčet dĺžok strán. [Existuje trojuholník, ktorý nemá súčet dĺžok ťažníc väčší ako súčet dĺžok strán.] c) Niektorý z koreňov tejto rovnice je záporný. [Všetky korene tejto rovnice sú nezáporné.] Pokúsme sa sformulovať pravidlo, podľa ktorého by bolo možné negácie tohoto druhu "rutinne" vykonávať. Keďže existuje značná rozmanitosť v slovných vyjadreniach čo sa týka existenčných a všeobecných kvantifikátorov, zaveďme pre príslušné kvantifikované výroky jednotný tvar: Pre každý... platí, že... Existuje..., ktorý... Pravidlo pre negovanie možno potom vyjadriť tabuľkou: výrok V negácia výroku V Pre každý... platí, že je... Existuje..., ktorý nie je... Existuje aspoň 1..., ktorý je... Pre každý... platí, že nie je... Pri negovaní môžeme teda použiť takýto postup: X : pôvodný výrok X1 : výrok preformulovaný do jednotnej (matematickej) reči X1 : negácia výroku podľa tabuľky pre negovanie X : negácia pôvodného výroku preformulovaná do bežnej reči 4
5 Napr.: Alebo: Cvičenia A : Žiadny lichobežník nie je rovnoramenný. A1 : O každom lichobežníku platí, že nie je rovnoramenný. A1 : Existuje lichobežník, ktorý je rovnoramenný. A : Dá sa zostrojiť rovnoramenný lichobežník. B : Niektoré zlomky sa nedajú zjednodušiť. B1 : Existuje aspoň jeden zlomok, ktorý sa nedá zjednodušiť. B1 : Pre každý zlomok platí, že sa dá zjednodušiť. B : Všetky zlomky sa dajú zjednodušiť. 1. Negujte: a) Každý modrooký človek je blondín. b) Možno nájsť reálne číslo x, pre ktoré platí : x2 < 0. c) Žiadny človek nemá na hlave viac ako vlasov. d) Existuje kladný koreň rovnice x + 2 = 0. e) Pre každé reálne číslo a platí: a + 5 = a + 5 f)tretia mocnina ľubovoľného reálneho čísla je kladná. g) Niektoré násobky čísla 7 sú násobkami čísla 5. h) Ľubovoľnému štvoruholníku možno opísať kružnicu. 2. Negujte: a) Každá dvojica geometrických útvarov má spoločné aspoň tri body. b) Existuje trojuholník, ktorý má aspoň dva vnútorné uhly tupé. c) Každý prvok množiny A je prvkom aspoň jednej z množín B,C,D. d) O ktoromkoľvek prirodzenom čísle platí, že má najmenej dvoch prirodzených deliteľov. e) Každá z týchto rovníc má práve tri reálne korene. f) Žiadny z navrhovaných postupov nemá viac ako 10 krokov. g) Možno nájsť racionálne číslo, ktoré sa dá zapísať najviac piatimi rôznymi spôsobmi. Dohoda o symbolike: Pre stručnosť a prehľadnosť vyjadrení boli zavedené nasledujúce značky:... všeobecný kvantifikátor (má pripomínať prevrátené "A" - z nemeckého "alle");... existenčný kvantifikátor (z nemeckého "existiert"). Píšeme napr.: x R: x 2 0 (Pre všetky reálne čísla x platí: x 2 0.) x N: (3n+1) je prvočíslo (Existuje prirodzené číslo n také, že 3n+1 je prvočíslo.) 4. ZLOŽENÉ VÝROKY Z jednoduchých výrokov môžeme pomocou "logických spojok" vytvárať zložené výroky. K logickým spojkám ( logickým operátorom) patria: 5
6 Názov Značka Význam konjunkcia "a súčasne" alternatíva "alebo" implikácia "ak..., potom... " ekvivalencia "vtedy a len vtedy, keď..." negácia "nie je pravda, že... " Poznámka. Alternatíva sa niekedy nazýva aj disjunkciou. Pravdivosť zloženého výroku závisí iba od pravdivosti jeho jednotlivých zložiek (tých jednoduchých výrokov, z ktorých je vytvorený), a to nasledujúcim spôsobom: jednoduché zložené výroky výroky A B A B A B A B A B A' Všimnime si, že konjunkcia je pravdivá len vtedy, keď oba zúčastnené výroky sú pravdivé. Skutočne: Výrok "Mám málo peňazí a výdavkov (mám) veľa" bude pravdivý len vtedy, ak má dotyčný skutočne málo peňazí a skutočne veľa výdavkov. Naproti tomu alternatíva je pravdivá "skoro vždy". Nepravdivá je len vtedy, ak oba zúčastnené výroky sú nepravdivé. Výrok "Telegram prišiel popoludní alebo večer" bude nepravdivý len vtedy, ak telegram neprišiel popoludní a neprišiel ani večer. Všimneme si ešte, že alternatíva znamená "alebo" v nevylučovacom zmysle. Nie je to teda "buď - alebo". Implikácia reprezentuje jednak "vyplývanie" v bežnom zmysle slova, ale je ponímaná všeobecnejšie - umožňuje navzájom spájať i výroky obsahovo spolu nesúvisiace. Všimnime si, že podobne ako alternatíva i implikácia je pravdivá "skoro vždy". Nepravdivá je len vtedy, ak prvý zúčastnený výrok je pravdivý a druhý nepravdivý (z pravdy by vyplývala nepravda). Predstavme si, že ktosi povie: "Ak si túto úlohu sám vyriešil, tak ja som pápež!" Čo tým chcel autor výroku povedať? Zrejme, že ty si úlohu sám nevyriešil. Povedal to však "ozdobným" spôsobom, využívajúc vlastnosti implikácie. Skutočne: Jeho sugestívne zvolanie má byť nepochybne chápané ako pravdivý výrok; súčasne je zrejmé, že nie je pápež.. Teda A B je pravda, B je nepravda. (Pozri tabuľku pravdivostných hodnôt zložených výrokov.) Takže nutne musí byť A nepravdivým výrokom. ("Úĺohu si sám nevyriešil.") 6
7 Ekvivalencia je pravdivá len vtedy, ak oba zúčastnené výroky majú rovnakú pravdivostnú hodnotu. Negáciu už poznáme - na rozdiel od predošlých štyroch zložených výrokov je vytvorená pomocou jediného jednoduchého výroku a pravdivá je len vtedy, ak pôvodný výrok je nepravdivý. Príklad 1. Rozhodnite o pravdivosti zložených výrokov: a) Pytagoras bol starogrécky učenec a B. Pascal žil v XVII. storočí. [p] b) Ak existuje rovnoramenný, potom existuje aj rovnoramenný lichobežník. [p] c) Prvočísel je konečne veľa alebo č. 1 je zložené číslo. [n] d) (5 je prvočíslo) (7 < 5) [n] e) (Tretia odmocnina z 8 je 2) (tretia odmocnina z (-8) je (-2)) [p] f) (7 nie je prvočíslo) (7 je delitelom č. 1001) [p] g) (142 = 196) (132 = 169) [p] h) ( ( ) = 1111)' [n] i) Ak je číslo 2002 deliteľné siedmimi, potom je aj č. 143 deliteľné siedmimi. [n] j) ( = 52) ( = 62) [n] Cvičenia. 1.Rozhodnite o pravdivosti zložených výrokov: a) Pre počet uhlopriečok v ľubovoľnom konvexnom n - uholníku platí [p] p n = n(n-3)/2 alebo p n = n(n+3)/2. b) Ak je ABC pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole C, potom pre jeho [p] strany a, b, c (pri obvyklom označení) platí: c2 = a2 + b2. c) [( 2 >1.4) ( 2 <1.5)]* [p] d) (π = 22/7)' [p] e) x R: [(x/2=4) (x=8)] [p] [ ]* Konjukciu tohoto druhu zvykneme skrátene zapisovať (1.4 < 2 < 1.5) Poznámka. Dávajme si pozor pri našich slovných vyjadreniach o použitých matematických postupoch. Ak naše úvahy či úpravy majú charakter ekvivalencie ("logickej rovnocennosti"), je namieste spojka "čiže". V prípade, že ide o postup, ktorý má charakter implikácie ("dôsledkový postup"), použijeme spojku "teda". 5. VÝROKOVÉ FORMULY. TAUTOLÓGIE. Tak, ako je možné v "číselnej algebre" vytvárať pomocou premenných výrazy,ktorých "vyhodnotením" - po dosadení číselných hodnôt premenných - dostaneme číslo, je možné vytvárať výrazy aj pomocou výrokových premenných. Hovoríme im výrokové formuly. Ich vyhodnotením dostaneme pravdivostnú hodnotu "pravda" alebo "nepravda". 7
8 Príklad 1. Zistite, pri ktorých hodnotách výrokových premenných A, B nadobúda výroková formula (A B)' (A' B' ) hodnotu pravda.. Riešenie. Zostavíme príslušnú pravdivostnú tabuľku: A B A'. B' A' B' (A B)' (A B)' (A' B') Daná výroková formula je pravdivá práve vtedy, keď oba z výrokov A,B sú pravdivé alebo oba nepravdivé. Výroková formula, ktorá nadobúda hodnotu "pravda" pri všetkých variáciách hodnôt zúčastnených premenných, sa nazýva tautológia. Príklad 2. Zistite, ktoré z nasledujúcich výrokových formúl sú tautológie: a) (A' )' A b) [(A B)' (A' B' )] c) [(A B )' (A' B')] d) [(A B)' (A B' )] e) (A B)' [(A B' ) (A' B) ] Riešenie. Všetky sú tautológiami. Uveďme aspoň niektoré z pravdivostných tabuliek. a) A' (A')' (A')' A b) A B A B (A B)' A' B' A' B' (A B)' (A' B') Negovanie zložených výrokov. 8
9 Predchádzajúci príklad nebol náhodný. Keď si formuly všimneme bližšie, vidíme, že poskytujú návod, ako negovať zložené výroky. Napríklad v prípade c) vidíme, že negovať alternatívu je z hľadiska logiky to isté, ako konjugovať negácie jednotlivých výrokov, a podobne. Formuly b), c) sa nazývajú "de Morganove" pravidlá. Príklad 3. Negujte výroky: a) Anna sa učí a Viera hrá. [Anna sa neučí alebo Viera nehrá] b) Dám si čaj, alebo ( si dám) minerálku. [Nedám si čaj ani minerálku.] c) Ak zmaturujem, pôjdem na vysokú školu. [Zmaturujem a nepôjdem na VŠ.] d) Prezradím ti to keď sa mi zaviažeš mlčaním. [Prezradim ti to a ty sa mi nezaviažeš mlčaním alebo ti to neprezradím a ty sa mi zaviažeš mlčaním.] e) Včera nepršalo. [Včera pršalo.] f) 2 delí 5 2 delí 6 [2 nedelí 5 2 nedelí 6] g) 8<5<10 [ ] h) 7 delí delí 143 [7 delí nedelí 143] Vráťme sa k výrokovým formulám. Iste ste si všimli, že pravdivostná tabuľka, pomocou ktorej sme skúmali formulu s jednou výrokovou premennou, mala 2 riadky (výroková premenná mohla nadobudnúť hodnotu 1alebo 0.) Skúmanie formuly s dvomi výrokovými premennými vyžadovalo 4 riadky (každá z výrokových premenných mohla nadobudnúť hodnotu 1alebo 0, takže 2x2=4). Zrejme pri troch výrokových premenných bude potrebné 2x2x2=8 riadkov tabuľky, atď. Na poradí riadkov samozrejme nezáleží, pozor však pri kontrole výsledkov. Príklad 4. Zistite, či ide o tautológiu: [(A B) C] [A (B C) ]... ( *) Riešenie. Zostavme tabuľku pravdivostných hodnôt: A B C A B (A B) C B C A (B C) (*) Je to tautológia. Cvičenia. 1. Zistite, ktoré z nasledujúcich formúl sú tautológie: a) (A B')' (A' B) (áno) 9
10 b) [(A B) (B A)] [A B] (áno) c) [A (A' B)] (A B) (áno) d) [(A' B)' (A B) (nie) e) A A' (áno) f) (A B) (B' A') g) (A B) (A' B') (áno) (áno) 2. Negujte: Nie som hladný a nie som smädný. Ak dostanem čerstvé ovocie, nekúpim kompót. Pôjdem rovno domov alebo sa zastavím v kníhkupectve. Pomaranče kúpim len vtedy, ak nebudú citróny. Ak neprídem načas, zostanem vonku. 3. Zistite, ktoré z nasledujúcich formúl sú tautológie: a) (A' B') (Β A') (Χ A') (nie) b) [(A' B) (B C')] (A' C) (nie) c) [(A' B) (A C)] (B' C') (áno) d) [A (B C)] [A (B C)] (nie) e) [(A B')' C'] [A B' C]' (áno) Poznámka. V tomto článku sme sa venovali výrokovým formulám. V matematickej literatúre sa možno stretnúť s formálne podobným, obsahovo však značne odlišným pojmom výroková forma. Aspoň stručne vysvetlime jeho obsah: Výroková forma je zápis s premennými, ktorý nie je výrokom, ale ktorý sa výrokom stane po dosadení konštánt za premenné. Iným spôsobom, ako vytvoriť z výrokovej formy výrok, je predradenie vhodného kvantifikátora. Napr. "(a + b)2 = a2 + b2 " nie je výrok (je to výroková forma), ale "(2 + 3)2 = " už výrokom je. Podobne " a,b R: (a + b)2 = a2 + b2 " alebo " a,b R: (a + b)2 = a2 +b2 " sú výroky. S výrokovými formami možno vykonávať obdobné "operácie" ako s výrokmi (z jednoduchých tvoriť zložené pomocou "logických spojok"). Zavádzajú sa aj pojmy definičný obor výrokovej formy a obor pravdivosti výrokovej formy, pomocou ktorých možno rozmanité matematické poznatky terminologicky ujednotiť. 6. RIEŠENIE SLOVNÝCH ÚLOH POMOCOU VÝROKOVEJ LOGIKY Sú typy slovných úloh, pri ktorých je výhodné urobiť "výrokovú analýzu" textu a na riešenie použiť tabuľky pravdivostných hodnôt výrokov. Postup si ukážeme na príklade. Príklad 1. Pri spracúvaní počítačových programov A,B,C platia tieto podmienky: 10
11 Ak sa spracúva program A aj B, nespracúva sa C. Ak sa nespracúva A, spracúva sa B. Ak sa spracúva B alebo C, nespracúva sa A. Aké sú možnosti spracúvania pri dodržaní uvedených podmienok? Riešenie: Zaveďme si nasledujúce označenie: A... spracúva sa program A B... spracúva sa program B C... spracúva sa program C Podľa textu úlohy zrejme platí výrok: [(A B C')] [A' B] [(B C) A']...(v) Zostavme príslušnú tabuľku pravdivostných hopdnôt: B C A' C' A (A B) C A' B C (B C) (v) B B A' Ako vidno z tabuľky, sledovaný zložený výrok nadobúda hodnotu "pravda" v troch prípadoch, čo sú súčasne možnosti spracovania. Spracúva sa len program B, alebo B a súčasne C, alebo len program A. Cvičenia. 1. Pri vyšetrovaní krádeže auta sa zistili nasledujúce skutočnosti: V inkriminovanom čase sa na mieste činu nevyskytoval podozrivý A, alebo tam nebol podozrivý B. Keď sa tam nevyskytol B, nebol tam ani A. Podozrivý C sa na mieste činu vyskytol práve vtedy, keď tam nebol A. Možno jednoznačne určiť páchateľa v prípade, že bol práve jeden? [Páchateľom bol C.] 2. Rozhodnite, ktorí žiaci zo štvorice A,B,C,D pôjdu na výlet, ak sa majú dodržať tieto zásady: Pôjde aspoň jeden z dvojice B,D, najviac jeden z dvojice A,C, aspň jeden z dvojice A,D a najviac jeden z dvojice B,C. Ďalej je isté, že B nepôjde bez A a že C pôjde vtedy, keď pôjde D. [Sú dve riešenia : A a B, alebo C a D] 7. MATEMATICKÉ VETY Potreba utriediť matematické poznatky do bezosporného hierarchického systému je veľlmi stará. V tomto smere je známe úspešné dielo starogréckeho matematika Euklida s názvom Základy. Jednotlivé poznatky ("matematické vety") sa tam radia od tých najjednoduchších, 11
12 najzrejmejších, prijímaných bez dôkazu (hovoríme im axiómy), až po tie menej názorné, niekedy až prekvapujúce - a to tým spôsobom, že sa vyvodzujú jedny z druhých (zložitejšie tvrdenia sa dokazujú s využitím jednoduchších, už predtým dokázaných tvrdení). Táto základná schéma budovania matematických ( a nielen matematických) teórií - vylepšená a zdokonalená - sa používa prakticky dodnes. Nevyhnutnou súčasťou každej teórie sú predovšetkým definície, vymedzujúce obsah a rozsah používaných pojmov; a potom vety - pravdivé tvrdenia, ktoré sa dokazujú spôsobom už popísaným vyššie. Matematické vety majú často tvar implikácie A B (A - predpoklady vety, B - záver, čiže tvrdenie vety), prípadne ekvivalencie A B. Hoci nás matematické teórie často očarúvajú krásou svojej logickej stavby a pôsobia veľmi "jednoznačne", cesta k ich vytvoreniu nebýva ani jednoduchá, ani priamočiara. Nevyhnutnou zložkou vedeckej práce je tvorba a overovanie hypotéz, čo je proces v prípade "prvolezcov" vysoko náročný na kvalitu myslenia. Ilustrujme si túto činnosť aspoň na jednoduchších príkladoch. Overovanie platnosti hypotéz. Hypotéza je výrok, ktorý ponúka na základe známych faktov nové závery. Najčastejšie má tvar všeobecného alebo existenčného výroku. Overiť hypotézu znamená túto dokázať, alebo vyvrátiť. O tom, že to nie je vždy jednoduché, svedčia niektoré hypotézy, ktoré stáročia odolávali pokusom o dôkaz. Fermat (17. storočie): Pre žiadne prirodzené číslo n>2 nemožno nájsť trojicu prirodzených čísel p,q,r, aby platilo: pn + qn = rn. (Táto hypotéza bola dokázaná r ) Goldbach (18. storočie): Každé prirodzené číslo je súčtom nanajvýš troch prvočísel. Príklad 1. Overte pravdivosť následujúcich hypotéz. Každú nepravdivú hypotézu negujte. a) Možno nájsť nájsť najviac jedno reálne číslo x, pre ktoré platí (2x)2 = 2x.x. [nie; x=0 x=2; Možno nájsť aspoň dve reálne čísla x, pre ktoré platí (2x)2 = 2x.x. ] b) Pre každé reálne číslo x platí: x2 < 2x. [nie; napr. x=3; x R: x2 2x ] c) Číslo 3/5 možno zapísať najviac štyrmi rôznymi spôsobmi. [nie; 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 30/50,...; Číslo 3/5 možno zapísať aspoň piatimi rôznymi spôsobmi.] d) Pre každú dvojicu celých čísel a,b platí: a+b = a + b. [nie; napr. a=3, b=-5; Existuje dvojica celých čísel a,b, pre ktoré a+b a + b.] e) Rovnica x 3 - x 2 +2 = 0 má aspoň jeden reálny koreň. [áno; x=-1] f) Každé prvočíslo je nepárne. [nie; p=2 je párne a je to prvočíslo; Existuje párne prvočislo.] Príklad 2. Dokážte následujúce hypotézy: a) Súčet troch za sebou nasledujúcich celých čísel je deliteľný tromi. [ z+(z+1)+(z+2)] = 3(z+1) = 3k, k Z ] b) Ak pripočítame k súčinu dvoch za sebou idúcich celých čísel väčšie z nich, dostaneme druhú mocninu väčšieho čísla. [ z(z+1)+(z+1) = (z+1) 2 ] 12
13 Cvičenia. 1. Overte pravdivosť nasledujúcich hypotéz. Každú nepravdivú hypotézu negujte. a) a R: a>0 a + 1/a 2 [áno] b) Existujú aspoň dve prirodzené čísla, pre ktoré platí 2n =n2. [áno; n=2, n=4] c) Každý trojuholník je rovnoramenný. [nie; Existuje trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný.] d) Existuje trojuholník, ktorý má aspoň 2 vnútorné uhly tupé. [nie; O každom trojuholníku platí, že má najviac jeden uhol tupý.] e) V každom trojuholníku je súčet dĺžok ľubovoľných dvoch jeho strán väčší, ako dĺžka tretej strany. [áno] f) Existuje reálne číslo, ktorého tretia mocnina nie je kladná. [áno] g) Možno nájsť najviac päť reálnych čísel x, pre ktoré platí x =-x. [nie; Možno nájsť aspoň 6 reálnych čísel x, pre ktoré platí: x =-x] h) n N : n2 + n + 17 je prvočíslo. [nie; napr. n=17; n N: n2 + n + 17 nie je prvočíslo.] 2. Rozhodnite o pravdivosti nasledujúcich hypotéz. Každú nepravdivú hypotézu negujte: Koreňom rovnice 0.x = 0 je každé reálne číslo. Existuje reálne číslo x, ktoré je koreňom rovnice 0.x=1. Každé reálne číslo x je koreňom rovnice 0/x=0. Existuje práve jedno reálne číslo x, ktoré je koreňom rovnice x2=0. Existuje aspoň jedno reálne číslo x, ktoré je koreňom rovnice x=-1. Neexistuje reálne číslo x, ktoré by bolo koreňom rovnice 1/x=0. 3. Dokážte platnosť hypotéz: a) Súčet štyroch za sebou nasledujúcich celých čísel je párny. b) Súčet druhých mocnín dvoch za sebou nasledujúcich celých čísel je nepárny. c) Rozdiel druhých mocnín každých dvoch po sebe nasledujúcich nepárnych čísel je deliteľný ôsmimi. [ (2k+3)2 - (2k+1)2 = 8(k+1) ] 8. OBMENY A OBRÁTENIA VIET Už sme spomínali skutočnosť, že matematické vety majú často tvar implikácie A B. K takejto vete možno vždy formulovať takzvanú obmenenú vetu tvaru B' A', ktorá je z hľadiska pravdivosti s pôvodnou vetou rovnocenná. (Pozri cvičenie 1f) z predchádzajúceho článku.) Naproti tomu takzvaná obrátená veta k vete A B tvaru B A môže, ale aj nemusí mať rovnakú pravdivostnú hodnotu, ako veta pôvodná. Príklad 1. K daným vetám vyslovte vety obmenené a obrátené. Ak je to možné, rozhodnite aj o ich pravdivosti. a) Ak je uhol α tupý, potom uhol β nie je pravý. 13
14 Obmenená veta: Ak je uholβ pravý, potom uhol α nie je tupý. Obrátená veta: Ak uhol β nie je pravý, potom uhol α je tupý. b) Ak je p párne prvočíslo, potom p = 2. (p) Obmenená veta: Ak p 2, potom p nie je párne prvočíslo. (p) Obrátená veta: Ak p = 2, potom p je párne prvočíslo. (p) c) Ak c = 22/7, potom c > π. (p) Obmenená veta: Ak c π, potom c 22/7. (p) Obrátená veta: Ak c > π, potom c = 22/7. (n) Matematické vety majú často tvar kvantifikovaných výrokov. Pri tvorbe obmenených a obrátených viet sa kvntifikácia zachováva. (Na rozdiel od negácie, kedy sa vzájomne zamieňajú všeobecný a existenčný kvantifikátor - ako už vieme.) Príklad 2. Vytvorte obmenu, obrátenie a negáciu pôvodnej vety. Rozhodnite aj o pravdivosti jednotlivých tvrdení. Veta: n N : (6 delí n 3 delí n) (p) Obmenená veta: n N : (3 nedelí n 6 nedelí n) (p) Obrátená veta: n N : (3 delí n 6 delí n) (n) Negácia pôvodnej vety: n N : (6 delí n 3 nedelí n) (n) Cvičenie. Vytvorte obmeny, obrátenia a negácie následujúcich viet. a) n N : n je párne číslo n2 je párne číslo. b) Pre všetky kladné reálne čísla x platí: x>1 x > 1. c) O každom štvoruholníku platí: Ak sú uhlopriečky 4-uholníka navzájom kolmé, potom je to štvorec. d) Pre každý trojuholník ABC platí: Ak je trojuholník ABC pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole C, potom (pri obvyklom značení) platí : c2 = a2 + b2. Poznámka. Obmenenú vetu môžeme vytvoriť aj k vete, ktorá má tvar ekvivalencie (podľa tautológie z bodu 1g) z predchádzajúceho článku). 9. MATEMATICKÉ DÔKAZY Ako dokázať vetu typu A B? Formálna matematická logika hovorí o štyroch typoch dôkazov: a) priamy dôkaz, b) nepriamy dôkaz, c) dôkaz sporom, d) dôkaz matematickou indukciou. (Pričom prvé tri typy dôkazov môžeme využiť aj v iných vedách, napríklad vo filozofii; posledný z menovaných je špecificky matematický). 14
15 Za základný typ dôkazu sa považuje priamy dôkaz, spočívajúci vo vytvorení akéhosi reťazca implikácií A B 1, B 1 B 2,..., B k B a následného logického záveru: A B. Pravda, nebýva to vždy také jednoduché a často musíme dielčie implikácie A i A i+1 nahradiť implikáciami typu (A i C i ) A i+1, kde C i je nejaká vhodná veta, už predtým dokázaná, alebo nejaké "samozrejmé" tvrdenie, alebo vhodná konjunkcia niekoľkých už predtým dokázaných viet a podobne. Príklad 1. Druhá mocnina nepárneho čísla je číslo nepárne. Dokážte. Dôkaz. Preformulujme dané tvrdenie tak, aby malo tvar implikácie: n N: n je nepárne číslo n 2 je nepárne číslo [ n N: A(n) B(n) ] A(n) : n je nepárne číslo B 1 (n): n=2k+1, k N 0 B 2 (n): n2 = (2k+1)2 B 3 (n): n2 = 4k2+4k+1 B 4 (n): n2 = 2(2k2+2k)+1 B 5 (n): n2 = 2r +1, r N 0 B(n): n2 je nepárne číslo Príklad 2. Dokážte: n N: n 3 n2-5 n A(n): n 3 C(n): 3 > 2 B 1 (n): n 3 n 2 B 2 (n): n n B 3 (n): (n - 3)(n - 2) 0 C3(n): n 2-5n + 6 = (n-2)(n-3) B(n): n 2-5n +6 0 Poznámka. Zápis dôkazov v predošlých dvoch príkladoch sme volili taký, aby vynikla ich logická štruktúra. V praxi zápisy často skracujeme, napr. v pr. 1 stačí zapísať: n=2k+1, k N 0 n 2 = (2k+1) 2 = 4k 2 +4k +1 = 2(2k 2 +2k) +1 = 2r +1, r N 0 15
16 Ďalším typom dôkazu je nepriamy dôkaz. Spočíva v dôkaze obmenenej vety, ktorá, ako je nám už známe, má tú istú pravdivostnú hodnotu ako pôvodná veta. S viacerými príkladmi na priamy a nepriamy dôkaz sa stretneme v ďalšom štúdiu matematiky, napr. v kapitole o deliteľnosti prirodzených čísel. Tretím typom dôkazu je dôkaz sporom. Spočíva v tom, že z platnosti predpokladov vety a súčasnej neplatnosti záveru vety vyvodíme logicky správnym postupom "spor" - teda tvrdenie, ktoré evidentne neplatí (napr. je v rozpore s už predtým dokázanými tvrdeniami). Príklad 3. Nech p je daná priamka a A bod, ktorý na nej neleží. Bodom A možno viesť k priamke p najviac jednu kolmicu. Dokážte! Riešenie. Dôkaz urobíme sporom. Nech tvrdenie vety neplatí, čiže nech za daných predpokladov možno viesť bodom A k priamke p aspoň dve rôzne kolmice. Tieto zrejme pretnú priamku p v dvoch rôznych bodoch R,S. Vznikne trojuholník RSA, ktorý má dva pravé uhly, a teda súčet veľkostí vnútorných uhlov väčšší ako 180 stupňov - čo je v spore s tým, že súčet veľkostí vnútorných uhlov v každom trojuholníku je 180 stupňov. - Dôkaz je hotový. S ďalšími príkladmi dôkazu sporom sa môžeme stretnúť v kapitole o deliteľnosti prirodzených čísel (napr. s "klasickým" Euklidovým dôkazom tvrdenia, že prvočísel je nekonečne veľa), poprípade v časti týkajúcej sa číselných oborov (tvrdenie o iracionalite čísla 2). 10. DÔKAZ MATEMATICKOU INDUKCIOU Predstavme si akúsi "perpetuum mobile bábiku", o ktorej platí: 1 Spravila prvý krok. 2 Ak spraví k - ty krok, tak potom spraví aj (k+1). krok ( platí pre všetky k N). Môžeme o nej vyhlásiť, že chodí? Zrejme áno. Podľa 1 spravila prvý krok, podľa 2 teda spraví aj druhý (keď prvý, tak aj druhý), opäť podľa 2 spraví aj tretí krok (keď druhý, tak aj tretí), atď. Záver: Bábika chodí. A teraz si predstavme matematické tvrdenie tvaru: n N: V(n). Použijúc predchádzajúcu analógiu pre dôkaz uvedeného tvrdenia by stačilo overiť dva kroky: 1 Platnosť uvedeného tvrdenia pre n=1. 2 Platnosť tvrdenia: k N: V(k) V(k+1) Po ich overení už stačí len vysloviť záver: Pre všetky prirodzené čísla n platí V(n). Uvedená schéma je základnou schémou dôkazu, ktorý sa nazýva dôkaz matematickou indukciou (platnosť tvrdenia sa podľa kroku 2 sťaby prenáša, "indukuje" z "k" na "k+1"). Výrokovú formu V(k) z kroku 2 nazývame indukčný predpoklad. 16
17 Príklad 1. V postupnosti zostavenej postupným skladaním 6 - uholníkov (pozri obr.) je počet vrcholov n- tého obrazca daný vzťahom p n = 4n + 2. Dokážte. Riešenie. Dôkaz vykonáme matematickou indukciou. 1 p 1 =6, ako možno ľahko u prvého obrazca spočítať; aplikovaním dokazovaného vzťahu pre n=1 dostávame: p1= 4.1+2=6. Takže pre n=1 tvrdenie platí. 2 Nech pre nejaké k platí pk = 4k + 2 (indukčný predpoklad). Ako si možno všimnúť, každý nasledujúci obrazec v uvedenej postupnosti má o 4 vrcholy viac ako obrazec predchádzajúci. Platí teda: pk+1 = pk + 4 = (4k + 2) + 4 = 4k = 4(k + 1) + 2. Záver: V uvedenej postupnosti obrazcov je počet vrcholov n-tého obrazca daný výrazom 4n+2. Dôkaz je hotový. Cvičenia. 1. Určte počet vrcholov n-tého obrazca v postupnosti: Vyslovte hypotézu a dokážte ju. 2. Určte počet častí, na ktoré delí rovinu n priamok, prechádzajúcich jedným bodom. Vyslovte hypotézu a dokážte ju. 3. Dokážte: n N: a) n = n.(n+1)/2 b) n.(n+1) = n.(n+1).(n+2)/3 S ďalšími príkladmi na dôkaz matematickou indukciou sa možno stretnúť v rozmanitých častiach matematiky - v úlohách o deliteľnosti, postupnostiach, v kombinatorike a ďalších. ZÁVER Cieľom predloženej práce bolo vytvoriť podporné učebné texty pre vyučovanie základov logiky v 1.ročníku gymnázia, ktoré by poskytli vyučujúcim (poprípade i žiakom) súhrnný pohľad na danú problematiku a zaplnili tak určitú medzeru v súčasnej učebnicovej literatúre. Skutočnosť, že aktuálne učebnice ("klasické" i "alternatívne" ) sa matematickej logike venujú iba "útržkovitým" spôsobom, vníma značná časť učiteľskej verejnosti ako negatívny jav. Skúsenosti z vyučovania ukazujú, že u časti slabších žiakov dochádza k nevhodnej "mäteži" pojmov, ktorej možno zabrániť jedine explicitným oddelením poznatkov z matematickej logiky od poznatkov z iných partií matematiky (máme na mysli predovšetkým teóriu čísel, riešenie rovníc a nerovníc, ale aj ďalšie). Na druhej strane uvedenie "logiky v 17
18 kocke" v úvode stredoškolského štúdia umožní popri "čistote" budovania pojmového aparátu ostatných častí matematiky i budovanie paralel medzi logikou a teóriou množín, čo možno účinne zužitkovať napr. v teórii pravdepodobnosti. Nezanedbateľnou námietkou proti súčasnému stavu je i fakt, že matematická logika sa prezentuje "iba" ako nástroj na spresňovanie vyjadrovania a dokazovania v matematike, pričom jej druhý rozmer - aplikovateľnosť (napr. v logických obvodoch alebo pri riešení slovných úloh)- sa zanedbáva. Pri tvorbe predložených textov som vychádzala z dlhoročných skúseností z vyučovania (ako svojich, tak aj kolegov v rámci našej predmetovej komisie matematiky), pričom som sa opierala o text pripravovaných vedomostných štandardov budúcich maturantov (materiál ŠPÚ), rešpektujúc obmedzenia vyplývajúce zo súčasnej časovej dotácie. Príklady a cvičenia som volila také, aby na jednej strane poskytli vyučujúcemu dostatok cvičebného materiálu, na strane druhej by však mohli (a mali ) tvorivého učiteľa inšpirovať k tvorbe vlastných príkladov podľa aktuálnej situácie. Verím, že predložené texty prispejú svojím skromným dielom ku skvalitneniu výuky v 1.ročníku gymnázií. Zoznam použitej literatúry [1] Šedivý,J., Lukátšová,J., Odvárko,O., Zöldy,M.: Úlohy o výrokoch a množinách pre 1.ročník gymnázia. Bratislava, SPN 1970 [2] Bušek,I., Boček,L., Calda,E.: Matematika pro gymnázia;základní poznatky z matematiky. Praha, Prometheus 1995 [3] Smida,J., Šedivý,J., Lukátšová,J., Vocelka,J.:Matematika pre 1.ročník gymnázia; Úvod; Teória čísel. Bratislava, SPN 1994 (3.upravené vydanie) [4] Hecht,T., Bero,P., Černek,P.: Matematika pre 1.ročník gymnázií a SOŠ; 1.zošit-Čísla. Bratislava, OrbisPictusIstropolitana 1996 [5] Hecht,T.: Matematika pre 4.ročník gymnázií a SOŠ; 2.zošit-Matematická analýza; Logika. Bratislava, OrbisPictusIstropolitana
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραPravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA
1 LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA Termíny výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý výrok, nepravdivý výrok, zložený výrok označujú základné pojmy logiky. Význam slov každý,
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec.
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori:
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda.
3. Výroková logika Výroková logika patrí do klasickej logiky - do jednej z dvoch oblastí, na ktoré môžeme rozdeliť súčasnú logiku. 22 Sochor (2011, 21) prirovnáva výrokovú logiku ku gramatickému rozboru
Διαβάστε περισσότεραRudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I
Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I 007 c RNDr Rudolf Blaško, PhD, 007 beerb@frcatelfriunizask Obsah Základné pojm 3 Logika 3 Výrazavýrok 3 Logickéoperácie 3 3 Výrokovéform
Διαβάστε περισσότεραPrednáška 1. Logika, usudzovanie a teória dôkazu
Prednáška 1 Logika, usudzovanie a teória dôkazu Logika je charakterizovaná ako analýza metód používaných v ľudskom myslení alebo uvažovaní. Logika nie je dôležitá len v matematike a informatike, ale aj
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραÚvod do diskrétnych matematických štruktúr. Daniel Olejár Martin Škoviera
Úvod do diskrétnych matematických štruktúr Daniel Olejár Martin Škoviera 24. augusta 2007 i This book was developed during the project Thematic Network 114046-CP-1-2004-1-BG- ERASMUS-TN c Daniel Olejár,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραZbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY
Zbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY Martin Šrámek 0 OBSAH Úvod...2 Výrok...3 Výroková premenná...3 Logické spojky...4 Formula výrokovej logiky...4 Logická ekvivalencia...4 Tabuľková metóda riešenia úloh...4
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA PRE FARMACEUTOV
V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského Vladimír Frecer MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE 1 V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραRiešenie cvičení z 5. kapitoly
Riešenie cvičení z 5. kapitoly Cvičenie 5.1. Vety prepíšte pomocou jazyka predikátovej logiky, použite symboly uvedené v úlohách. (a Niekto má hudobný sluch (H a niekto ho nemá. ( H( ( H( (b Niektoré dieťa
Διαβάστε περισσότερα3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1
3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori: doc. PhDr. Ján Šefránek,
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραLogické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.
Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré
Διαβάστε περισσότεραAlgebra a diskrétna matematika
Algebra a diskrétna matematika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Algebra a diskrétna matematika Slovenská technická univerzita v Bratislave 008 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., prof. RNDr. Jiří Pospíchal,
Διαβάστε περισσότερα2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 20. septembra 2011 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Predhovor...................................... 5 1.2 Sylaby a literatúra................................. 6 1.2.1 Literatúra..................................
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραČíslo a číslica. Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva.
Číslo a číslica Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva. Číslica (cifra) je grafický znak, pomocou ktorého zapisujeme
Διαβάστε περισσότεραMatematická logika. Emília Draženská Helena Myšková
Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραGymnázium v Košiciach, Opatovská 7 MATEMATIKA
Gymnázium v Košiciach, Opatovská 7 MATEMATIKA ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, 80 00 BRATISLAVA VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z MATEMATIKY PRE GYMNÁZIUM (štvorročné štúdium) Vypracoval:
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότερα5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky
5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky Priesvitka 1 Gottlob Frege (1848-1925) Bertrand Russell (1872-1970) Priesvitka 2 Intuitívny prechod od výrokovej logiky k predikátovej logike
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραÚpravy výrazov na daný tvar
DSZŠM Úpravy výrazov na daný tvar. a) Ktoré z nasledujúcich výrazov nie sú druhou mocninou dvojčlena?, 9, 0, b) Zmeňte v nich koeficient pri lineárnom člene tak, aby sa stali druhou mocninou dvojčlena.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραVladimír Kvasnička. Úvod do logiky pre informatikov
Vladimír Kvasnička Úvod do logiky pre informatikov Ústav aplikovanej informatiky Fakulta informatiky a informačných technológií Slovenská technická univerzita v Bratislave 202 2 Úvod V tejto knihe, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s výberom odpovede) OBSAH ÚVOD K ÚVODU... 4 ÚVOD... 4 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 6 1.1 Logika a množiny... 6 Požiadavky na vedomosti a zručnosti...
Διαβάστε περισσότεραCvičenie 1.1. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov?
Cvičenie Cvičenie.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a Mária je študentkou informatiky. Preto, je Mária študentkou informatiky alebo študentkou telekomunikácií. p = Mária je študentom
Διαβάστε περισσότεραAutomatizácia technologických procesov
Téma: Logické obvody. Základné pojmy. Logická algebra,logické funkcie. Znázornenie logických funkcií a základy ich minimalizácie. - sú častým druhom riadenia, ktoré sa vyskytujú ako samostatné ako aj v
Διαβάστε περισσότερα9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka
9. kapitola Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika 1 Úvodné poznámky o viachodnotových logikách V klasickej logike existujú prípady, keď dichotomický pravdivostný
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότερα