5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky
|
|
- Κλαύδιος ŌἈπολλύων Παυλόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky Priesvitka 1
2 Gottlob Frege ( ) Bertrand Russell ( ) Priesvitka 2
3 Intuitívny prechod od výrokovej logiky k predikátovej logike Príklad 1 Milan je študent Každý študent má index Milan má index Druhá premisa obsahuje slovo každý, s ktorým si vo výrokovej logike nevieme poradiť. Výroková logika nepokrýva všetky situácie a možnosti ľudského usudzovania, ktoré sú podstatne bohatšie, ako možnosti výrokovej logiky. Priesvitka 3
4 Ohraničenosť výrokovej logiky je možné prekonať jej zovšeobecnením na predikátovú logiku, ktorá je schopná postihnúť aj procesy usudzovania podobné vyššie uvedenému príkladu. Označme písmenom S vlastnosť predikát byť študentom I vlastnosť predikát mať vec index. Milan je S Každý kto je S má I Milan má I Vidíme, že aj táto čiastočná formalizácia schémy usudzovania ešte nie je veľmi nápomocná k riešeniu problému jej korektnosti. Priesvitka 4
5 Zavedieme predikáty: symbol S(m) označuje predikát S (byť študentom) s konštantou m (Milan), jeho význam je Milan je študent. symbol I(m) označuje predikát I (mať index) s konštantou m, jeho význam je Milan má index, kde symbol označuje univerzálny kvantifikátor. symbol x čítame ako pre každé x. x S( x) I( x) S m I m Priesvitka 5
6 Interpretácia univerzálneho kvantifikátora Výraz x S( x) I( x) môžeme jednoducho interpretovať ako konjunkciu implikácií pre rôzne osoby (konštanty), napr. Milan, Jozef, Rudolf,... ( ) S( x) I( x) ( ) ( ) x U x S x I x S m I m S j I j S r I r... kde U je množina objektov osôb. Ako dôsledok výrokovej formuly p q r... p ( ) x S x I x S m I m Priesvitka 6
7 Pozorovanie: Zo všeobecného výroku xp( x), kde P(x) je predikát definovaný nad univerzom U, vyplýva aj jeho konkretizácia pre konštantu a U Rozšírená schéma usudzovania P( a) xp x Priesvitka 7
8 x( S( x) I( x) ) S m ( ) x S x I x S m I m I m Upravíme pomocou pravidla modus ponens I( m) S m S m I m Týmto sme dokázali korektnosť usudzovania pôvodnej verbálne formulovanej schémy usudzovania. Musíme však zdôrazniť, že k tomu, aby sme dokázali korektnosť tejto schémy používajúcej väzbu každý museli sme opustiť rámec výrokovej logiky a zaviesť predikáty a symbol x, čim sme sa dostali z domény výrokovej logiky do domény tzv. predikátovej logiky. Priesvitka 8
9 Príklad 2 Milan je študent Milan má index Niektorý objekt je študent a má index Podobne ako v predchádzajúcom príklade, táto intuitívne korektná schéma usudzovania nemôže byť študovaná v rámci výrokovej logiky. Priesvitka 9
10 Budeme formalizovať túto schému podobným spôsobom, ako v predchádzajúcom ilustratívnom príklade. Zavedieme nový symbol nazývaný existenčný kvantifikátor x, ktorý čítame ako existuje také x. Výraz x S( x) I( x) x S( x) I( x) S m I m môžeme jednoducho interpretovať ako disjunkciu konjunktívnych výrokov pre rôzne osoby, napr. Milan, Jozef, Rudolf,... Priesvitka 10
11 ( ) S( x) I( x) ( ) ( ) x U x S x I x S m I m S j I j S r I r... Z tejto interpretácie existenčného kvantifikátora vyplýva implikácia ( S( m) I( m) ) x S( x) I( x) Pozorovanie: Z partikulárneho výroku P(a) môžeme pomocou existenčného kvantifikátora zostrojiť výrok xp( x), kde P(x) je predikát definovaný nad univerzom U xp( x) P a Priesvitka 11
12 Formálne základy predikátovej logiky Jeden zo spôsobov ako zovšeobecniť výrokovú logiku je rozšírenie výrokovej logiky na predikátovú logiku pomocou je zavedenie dvoch kvantifikátorov (univerzálneho a existenčného). Univerzálny kvantifikátor je definovaný takto ( x) P( x) Px Pa Pb... Pu preu = xu def 1 = ( preu ) kde x je indivíduová premenná z univerza U = { a,b,...,u}. Formula ( x) P( x) je pravdivá práve vtedy, ak predikát P je pravdivý pre každé indivíduum z univerza U, túto formulu čítame takto: pre každý objekt z univerza U platí predikát (vlastnosť) P. Priesvitka 12
13 Ilustračný príklad univerzálneho kvantifikátora nech je výrok každý študent má index, ktorý môžeme vyjadriť takto ( x) Mať _ index( x) = Mať _index( x) def xu Mať _index Fero Mať _index Jano... Množina univerzum U vztiahnutá k tomuto kvantifikátoru má tvar U = { Fero,Jano,...,Jana} obsahuje všetkých študentov. Priesvitka 13
14 Podobným spôsobom môžeme zaviesť aj existenčný kvantifikátor 1 ( x) P( x) P x P a P b... P u U = x U def 0 = ( U ) ktorý je pravdivý aspoň pre jedno indivíduum z univerza U, túto formulu čítame takto: aspoň pre jeden objekt z univerza U platí predikát (vlastnosť) P. Jednoduchý ilustračný príklad existenčného kvantifikátora je výrok niektorí študenti vedia po anglický ( xvedieť ) _ anglicky ( x) = Vedieť _ anglicky ( x) def xu Vedieť _ anglicky Fero... Vedieť _ anglicky Jana 1 Táto definícia univerzálneho a existenčného kvantifikátora je formálne korektná len pre konečné alebo spočítateľné univerzum U. Avšak, pre nespočítateľné univerzum (napr. úsečku U = <0,1>), táto definícia kvantifikátorov je nekorektná. Autor sa domnieva, že výhodnosť týchto dvoch nekorektných definícií kvantifikátorov je tak veľká, že ospravedlňuje aj tento teoretický lapsus pre nespočítateľné univerzá. Priesvitka 14
15 Medzi univerzálnym a existenčným kvantifikátorom existuje vzťah, ktorý sa dá jednoducho odvodiť z ich definícií použitím De Morganových vzťahov ( x) P( x) ( x) P( x) ( x) P( x) ( x) P( x) Pomocou týchto dvoch formúl ľahko sa dokáže vlastnosť, že vybraný kvantifikátor sa môže vyjadriť pomocou druhého kvantifikátora ( x) P( x) ( x) P( x) def ( x) P( x) ( x) P( x) def Priesvitka 15
16 Ilustračné príklady pre kvantifikátory y Lxy (, )= xmiluje y alebo y je milovaný x x A ( x)( y) L( x,y) B( x)( y) L( y,x) C ( x)( y) L( x,y) D ( x)( y) L( y,x) E ( x) L( x,x) F ( x) L( x,x) G ( x)( y) L( x,y) H( x)( y) L( y,x) Ilustratívne znázornenie významu binárneho predikátu L(x,y), ktorý sa interpretuje ako "x miluje y" alebo "y je milovaný x", kde x a y sú osoby z množiny U obsahujúcej päť elementov. Význam jednotlivých diagramov je tento: Priesvitka 16
17 (A) "Každý niekoho miluje", ( x)( y) L( x,y) (B) "každý je niekým milovaný", ( x)( y) L( y,x) prázdny;, žiadny stĺpec nie je prázdny;, žiadny riadok nie je (C) "niekto je niekým milovaný", ( x)( y) L( y,x), ( x)( y) L( x,y) políčko je obsadené;, jedno (D) "každý miluje každého", ( x)( y) L( y,x) alebo ( x)( y) L( x,y) riadok a stĺpec sú plne obsadené; (E) "niekto je milovaný sebou samým", ( x) L( x,x) hlavnej diagonále je obsadené; (F) "každý miluje sám seba samého", ( x) L( x,x) sú obsadené; (G) "niekto miluje každého", ( x)( y) L( x,y) (H) " niekto je milovaný každým", ( x)( y) L( y,x) riadok., každý, aspoň jedno políčko na, všetky políčka na diagonále, existuje úplne zaplnený stĺpec;, existuje úplne zaplnený Priesvitka 17
18 Jazyk predikátovej logiky (syntax) Ako už bolo naznačené v predchádzajúcej časti tejto kapitoly, jazyk predikátovej logiky bude bohatší ako jazyk výrokovej logiky, bude obsahovať vyjadrovacie prostriedky, pomocou ktorých sme schopní rozlišovať jednotlivé objekty (indivíduá), ich vlastnosti a vzťahy medzi nimi. Konštrukcia formúl výrokovej logiky na základe definícií 1.2 a 1.3 bude rozšírená o predikáty a kvantifikátory. Definícia. Symboly jazyka predikátovej logiky sú (1) množina indivíduových premenných U = { x,y,...,x 1,x 2,... }; (2) množina indivíduových konštánt C = { a,b,...,a 1,b 2,... }; P = P,Q,...,P,P,... ; (3) množina predikátových symbolov (predikátov) { 1 2 } (4) množina logických symbolov L = {,,,,,, } ; (5) množina pomocných symbolov B = {(,)}. Priesvitka 18
19 Syntax formúl predikátovej logiky je určený touto definíciou: Definícia. Jazyk predikátovej logiky je definovaný nad množinami z predchádzajúcej definície takto: Termy: (1) Indivíduové premenné a indivíduové konštanty sú termy; (2) žiadne iné symboly nie sú termy. Atomické formuly: (1) Ak P je n-miestny predikátový symbol, t 1, t 2,..., t n sú termy, potom výraz P(t 1,t 2,...,t n ) je atomická formula; (2) žiadne iné symboly nie sú atomické formuly. Formuly: (1) Každá atomická formula je formula; ϕ ψ, (2) ak ϕ a ψ sú formule, x je premenná, potom výrazy ( ϕ ), ( ϕ ψ ), ( ϕ ψ ), ( ϕ ψ ), ( x) ϕ a ( x) ϕ sú formuly. (3) Žiadne iné symboly nie sú formuly. Priesvitka 19
20 Základnou entitou jazyka predikátovej logiky je formula (označovaná malými gréckymi písmenami), ktorej spôsob konštrukcie je určený predchádzajúcou definíciou rekurentného charakteru. Príklad Študujme tieto dva reťazce symbolov ( P( x) Q( x,b) ) R( a,b) α= (( x) P( x) Q( x,y) ) R( a,x) β= kde P je unárny predikát, Q a R sú binárne predikáty, a a b sú konštanty, x a y sú premenné. Reťazec α nie je formula, pretože symbol nie je nasledovaný symbolom premennej. Reťazec β je korektná formula. Priesvitka 20
21 P Q x x b a R b x P Q x x y a R x formula α formula β Priesvitka 21
22 Príklad Zapíšte pomocou jazyka predikátovej logiky tieto výroky prirodzeného jazyka: (1) Každý riaditeľ má aspoň jedného podriadeného zamestnanca. Riešenie: ( x) ( R( x) ( y) P( x,y) ), kde R(x) znamená, že indivíduum x je riaditeľ, P(x,y) znamená, že indivíduum y je podriadením indivídua x. (2) Neexistuje taký človek, ktorý by sa každému páčil. Riešenie: ( x)( y) P( x,y), kde P(x,y) znamená, že indivíduum x sa páči indivíduu y. (3) Nie je pravda, že každý člen vedenia podniku je aj majiteľom podnikových akcií. Riešenie: ( x) ( V( x) A( x) ), kde V(x) znamená, že indivíduum x je člen vedenia podniku a A(x) znamená, že indivíduum x je majiteľom podnikových akcií. Priesvitka 22
23 (4) Postupnosť {a 1,a 2,...,a n,...} má limitu a: Pre každé ε>0 existuje také n 0, že pre každé n>n 0 platí a an <ε. ε> n n> n a a <ε. Riešenie: ( 0) ( 0) ( 0)( n ) (5) Funkcia f(x) má v bode x 0 minimum: existuje také ε>0, že pre každé x Uε ( x0) = { x x0 ε< x< x0 +ε} platí f ( x) f ( x 0 ). (Množina Uε ( x 0 ) je ε-okolie bodu x 0 ). ε> 0 x U x f x f x. Riešenie: ( ε 0 ) ( ( 0) ) (6) V každom meste je radnica, v niektorých mestách radnica nie je. x M x R x x M x R x, kde M(x) ( ) Riešenie: znamená, že indivíduum x je mesto, symbol R(x) znamená, že indivíduum x má radnicu. Priesvitka 23
24 Pravdivostné hodnotenie formúl predikátovej logiky (sémantika) Problém pravdivostného hodnotenia formúl predikátovej modálnej logiky je podstatne zložitejší proces ako vo výrokovej logike. K tomu, aby sme toto hodnotenie korektne realizovali, musíme poznať tzv. interpretáciu konštánt a predikátových symbolov. Pre lepšie pochopenie tohto nového problému budeme študovať ilustračný príklad. Priesvitka 24
25 Príklad Majme formulu ( x) P( x) ( y) Q( x,y), kde P je unárny predikát a Q je binárny predikát. Uvažujme tieto dve rôzne interpretácie: (1) Interpretácia I 1. Indivíduá sú ľudia. Predikát P(x) reprezentuje vlastnosť objekt x je učiteľ a predikát Q(x,y) reprezentuje vlastnosť objekt y je žiakom objektu x. Potom študovaná formula má význam každý učiteľ má aspoň jedného žiaka, pravdivostná hodnota tejto formuly je pravda. (2) Interpretácia I 2. Indivíduá sú prirodzené čísla. Predikát P(x) reprezentuje vlastnosť objekt x je prvočíslo, predikát Q(x,y) reprezentuje vlastnosť objekt x je deliteľný objektom y, pričom y x. Význam formule je pre každé prvočíslo x existuje také iné prvočíslo y, ktoré je deliteľom x, čo je evidentne nepravdivý výraz. Z toho jednoduchého príkladu vyplýva, že pravdivostná hodnota predikátovej formuly je určená interpretáciou I premenných, konštánt a predikátov. Priesvitka 25
26 Pravdivostná hodnota formuly s univerzálnym kvantifikátorom ( x) P( x) je pravdivá vtedy, keď v rámci zvolenej interpretácie I je predikát P( x ) vždy pravdivý. Formula s existenčným kvantifikátorom ( x) P( x) je pravdivá vtedy, keď v rámci zvolenej interpretácie I je predikát P( x ) pravdivý aspoň pre jeden objekt. Príklad Potom formula ( x) ( P( x) ( y) Q( x,y) ) P( x) ( y) Q( x,y) je pravdivá práve vtedy, ak predikát podformula je vždy pravdivá. Táto podmienka je splnená napríklad vtedy, ak jednotlivé výrazy z formule interpretujeme pomocou I 1 (kde univerzum je množina ľudí), predikát P(x) je pravdivý, ak x je učiteľ a predikát Q(x,y) pravdivý vtedy, ak y je žiakom x. Pre alternatívnu interpretáciu I 2 (kde univerzum je množina prvočísel) formula ( x) P( x) ( y) Q( x,y) je nepravdivá. Priesvitka 26
27 Výpočet pravdivostnej hodnoty pre danú interpretáciu I (1) Formula P( t,t,...,t ) ϕ=, pre danú interpretácie I je pravdivá 1 2 n (2) Ak ϕ a ψ sú formuly, ich pravdivostné vyhodnotené bolo vykonané v predchádzajúcom kroku pre interpretáciu I (t. j. poznáme I ϕ a I ψ ), potom nové formuly majú pravdivostné hodnoty určené takto: I ϕ = I ϕ def ( I ϕ ψ ) = def ( I ϕ) ( I ψ) ( I ϕ ψ ) = def ( I ϕ) ( I ψ) ( I ϕ ψ ) = def ( I ϕ) ( I ψ) ( I ϕ ψ ) = def ( I ϕ) ( I ψ) def ( I x ϕ x ) = pre každé x U ( I ϕ( x) ) ( I x ϕ x ) = def pre niektoré x U ( I ϕ( x) ) Priesvitka 27
28 Definícia 5.3. (1) Formula ϕ sa nazýva splniteľná v interpretácii I vtedy a len vtedy, ak je v tejto interpretácii pravdivá, I ϕ. (2) Formula ϕ sa nazýva tautológia vtedy a len vtedy, ak je splniteľná pre každú interpretáciu I, I ϕ, čo zapisujeme ϕ, alebo ( ϕ ) = ( )( ϕ) I I. def Priesvitka 28
29 Príklad Pre dve rôzne interpretácie I 1 a I 2 zostrojíme pravdivostnú hodnotu formuly ( x) P( x) ( x) Q( x,y) ϕ= (1) Interpretácia I 1 U = { ľudia} P( x )...objekt x U jeobčanom Slovenska Q x,y...objekt x U je príbuzný sobjektom y U Formula ϕ je pravdivá pre interpretáciu I 1 (2) Interpretácia I 2 U = { 234,,,...} P x...objekt x U je prvočíslo Q x,y...objekt x U je delteľný objektom x U, kde x ˇ Formula ϕ je nepravdivá pre interpretáciu I 2 Priesvitka 29
30 Záver: formula ϕ nie je tautológia Vlastnosť tautologičnosti bola falzifikovaná interpretáciou I 2, pre ktorú bolo jednoducho ukázené, že formula ϕ nie je tautológia. Metóda falzifikácie patrí medzi hlavné prístupy k dôkazu netautologičnosti formuly. Inverzný problém, dôkaz tautologičnosti formuly je komplikovaný problém a musí sa riešiťv inými prostriedkami akou je metóda falzifikácie V ďalšej časti ukážeme, že napr. metóda sémantických tabiel je vhodnou metódou ba priamy dôkaz tautologičnosti. Priesvitka 30
31 Najznámejšie tautológie predikátovej logiky 1. Eliminácia univerzálneho kvantifikátora (konkretizácia) ( xp( x) ) P( a) Táto formula je dôsledkom tautológie p q p čo bolo potrebné dokázať. x P( x) P( a) P( b )... P( a) Priesvitka 31
32 2. Zavedenie existenčného kvantifikátora (abstrakcia) x P( x) P a Táto formula je dôsledkom tautológie p p q čo bolo potrebné dokázať. xu xp x P a P b... P s P a P a P b... x P x Priesvitka 32
33 3. Zmena univerzálneho kvantifikátora na existenčný kvantifikátor ( xp( x) ) xp( x) Dôkaz priamo vyplýva z predchádzajúcich dvoch formúl ( xp( x) ) P( a) P( a) x P( x) Ak použijeme zákon hypotetického sylogizmu (tranzitivita implikácie) p q q r p r, potom dostaneme dokazovanú formulu. Priesvitka 33
34 4. Negácia univerzálneho kvantifikátora xp x x P x Dôkaz tejto formuly plynie priamo z de Morganovho zákona výrokovej logiky pre konjunkciu ( ) ( ) ( ) ( P( s) ) x P( x) x U xp x P a P b... P a P b Negácia existenčného kvantifikátora ( xp( x) ) x P( x) Dokáže sa podobným spôsobom ako predchádzajúca formula pomocou de Morganovho zákona pre negáciu disjunkcie Priesvitka 34
35 6. Komutácia univerzálnych kvantifikátorov ( x y P( x,y) ) y xp( x,y) Dôkaz tejto tautológie je založený na komutatívnosti a asociatívnosti konjunkcie ( p q q p) x y P x,y P a,a P a,b P a,c... Pb,a Pb,b Pb,c... P( c,a) P( c,b) P( c,c )... P( c,a) P( b,a) P( a,a )... P( c,b) P( b,b) P( a,b )... P( c,c) P( b,c) P( a,c )... y xp( x,y) Priesvitka 35
36 7. Komutácia existenčných kvantifikátorov ( x y P( x,y) ) y x P( x,y) Dôkaz je podobný ako predchádzajúci dôkaz, v tomto prípade je založený na komutatívnosť a asociatívnosti disjunkcie. Priesvitka 36
37 8. Komutácia univerzálneho a existenčného kvantifikátora ( x y P( x,y) ) y xp( x,y) Dôkaz uskutočníme tak, že implikáciu prepíšeme do disjunktného tvaru. x y P x,y y x P x,y x y P x,y y x P x,y ( ) ( ) ( ) ( x y P x,y ) ( y xp( x,y) ) ( x y P( x,y) ) ( x y P( y,x) ) x y ( P( x,y) ) P( y,x) Poznamenajme, že tento spôsob dôkazu je nepoužiteľný pre obrátenú y xp x,y x y P x,y. ( ) implikáciu, Priesvitka 37
38 Vybrané zákony predikátovej logiky (1) Distributívne zákony kvantifikátorov: ( x) P( x) Q( x) x P x x Q x ( x) P( x) ( x) Q( x) ( x) P( x) Q( x) ( x) ( P( x) Q( x) ) ( x) P( x) ( x) Q( x) ( x) ( P( x) Q( x) ) ( x) P( x) ( x) Q( x) ( ) ( ) ( ) ( ) x P x Q x x P x x Q x x P x Q x x P x x Q x Priesvitka 38
39 (2) Zákony prenexných operácií (kde P je výrok, t. j. predikát bez argumentu): ( ) ( ) ( ) ( ) x P Q x P x Q x x P Q x P x Q x x Q x P x Q x P x Q x P x Q x P x P Q x P x Q x x P Q x P x Q x x P Q x P x Q x x P Q x P x Q x Priesvitka 39
40 5.2.4 Odvodzovanie formúl predikátovej logiky, logický dôkaz Axiomatický systém predikátovej logiky je rozšírením axiomatického systému výrokovej logiky, ktorý bol prezentovaný v kapitole 2.2 a ktorý sa zaoberal odvodzovaním formúl výrokovej logiky. Pravidlá logického dôkazu (2.1.-3) sú rozšírené o ďalšie štvrté pravidlo: (4) Pravidlo zovšeobecnenia. Ak je pravdivá formula ϕ ( x) pre každé x, pričom táto premenná sa vyskytuje len ako voľná premenná v každej časti celkového dôkazu, potom ju môžeme zovšeobecniť do tvaru s univerzálnym kvantifikátorom ϕ t xϕ ( x) Priesvitka 40
41 Hilbertové axiómy výrokovej logiky sú rozšírené o ďalšie, ktoré obsahujú univerzálny kvantifikátor : Ax 11. xϕ( x) ϕ ( t) Ax 12. ( ) x ϕ ψ x ϕ xψ x Definovaný axiomatický systém predikátovej logiky neobsahuje existenčný kvantifikátor. Môže byť dodefinovaný do nášho systému ako metasymbol k označeniu zložených formúl špeciálneho tvaru xϕ x = x ϕ x def Priesvitka 41
42 Na záver pristúpime k modifikácii definície, ktorá definuje pojmy dôsledok a dôkaz pre výrokovú logiku. Definícia. (1) Formula ϕ je bezprostredným dôsledkom množiny formúl Φ, ak vznikne aplikáciou jedného z pravidiel logického dôkazu na formule z Φ. (2) Formula ϕ je logickým dôsledkom (dokázateľná) množiny formúl Φ (čo označíme Φ ϕ), ak ϕ Φ alebo je bezprostredným dôsledkom Φ alebo je bezprostredným dôsledkom Φ rozšírenej o niektoré jej bezprostredné dôsledky. (3) Dôkazom (logickým) formuly ϕ z množiny Φ je každá konečná postupnosť formúl ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, pričom ϕ=ϕ n a každá formula z tejto postupnosti je buď bezprostredným dôsledkom niektorých formúl z Φ alebo formúl z ϕ1, ϕ2,..., ϕ i 1. Priesvitka 42
43 Veta (o dedukcii). Nech Φ je množina formúl a ϕ, ψ sú nejaké dve formule, potom Φ ϕ ψ Φ ϕ ψ platí vtedy a len vtedy (vtt) ak { } ( Φ ϕ ψ) vtt Φ { ϕ} ψ V 1. Prednáške bola dokázaná Postova veta o úplnosti, ktorá má pre výrokovú logiku fundamentálny význam a hovorí o tom, že dokázateľná formula je tautológia a naopak, čo formálne môžeme zapísať ako ( ϕ) ( ϕ). Podobnú vetu pre predikátovú logiku dokázal v r Gödel. Veta. Pre súbor formúl predikátovej logiky Φ a pre formulu ϕ platí ( ϕ) ( ϕ) Dôkaz tejto vety je netriviálny, vyžaduje špeciálne znalosti z univerzálnej algebry a teórie modelov. Priesvitka 43
44 Na záver tejto kapitoly môžeme si položiť otázku, či formálny systém predikátovej logiky má podobné vlastnosti ako formálny systém výrokovej logiky, t.j. kladieme si otázku, či je korektný, nerozporný, úplný a rozhodnuteľný. Na základe toho, čo bolo v tejto kapitole prezentované, môžeme uzavrieť, že predikátová logika má podobné vlastnosti ako výroková logika, je korektná, nerozporná a úplná. Výroková logika bola taktiež charakterizovaná aj štvrtou vlastnosťou, a to, že je rozhodnuteľná. Musíme zdôrazniť, že v predikátovej logike neexistuje všeobecný algoritmus, ktorý by vždy rozhodol s absolútnou istotou, či daná formula predikátovej logiky je tautológia, kontradikcia, alebo len splniteľná. Proces rozhodnuteľnosti v predikátovej logike je silne závislý od vhodnej interpretácie I, v rámci ktorej sa vlastne pravdivosť alebo nepravdivosť formuly študuje. Vo všeobecnosti platí, že predikátová logika je Priesvitka 44
45 nerozhodnuteľná, ak obsahuje aspoň jednu dvojmiestnu reláciu Ako najjednoduchší protipríklad k tomuto tvrdeniu uvedieme predikátovú logiku obsahujúcu len unárne predikáty (t. j. predikáty s jedným argumentum), potom je rozhodnuteľná, napríklad pomocou metódy rezolventy alebo pomocou metódy sémantických tabiel. Preto sa niekedy hovorí, že predikátová logika je polorozhodnuteľná (angl. semidecidable). Táto dôležitá vlastnosť predikátovej logiky bola dokázaná americkým logikom A. Churchom v r. 1936, týmto dal definitívnu odpoveď na slávny trinásty Hilbertov problém rozhodnuteľnosti (nem. Entscheidungsproblem) pre predikátovú logiku. Tento Hilbertov problém bol študovaný vo všeobecnej rovine anglickým matematikom a logikom A. Turingom v r Dokázal, že neexistuje univerzálny algoritmus, pomocou ktorého by sa dal vyriešiť každý problém rozhodnuteľnosti. Priesvitka 45
46 Sémantické tablá Technika sémantických tabiel pre predikátovú logiku je jednoduchou modifikáciou sémantických tabiel z výrokovej logiky o rozšírenia, ktoré zahŕňajú univerzálne a existenčné kvantifikátory. Tieto rozšírenia sú založené na nasledujúcich zákonoch predikátovej logiky ( x) ϕ( x) ϕ ( t) ( x) ϕ( x) ϕ ( a) kde t je ľubovoľný objekt (indivíduum) z univerza U, a je daný konštantný objekt (indivíduum) z univerza U. Priesvitka 46
47 Doplnenie základných rozšírení metódy sémantického tabla výrokovej logiky o rozšírenia obsahujúce kvantifikátory. Premenná t špecifikuje ľubovoľné indivíduum z univerza U, t U; podobne, konštanta a špecifikuje vybrané indivíduum z univerza U, a U. Priesvitka 47
48 Príklad Použitím techniky sémantického tabla dokážte, že formula ϕ= x p x q x xp x xq x je tautológiou. ( ) Priesvitka 48
49 Príklad Použitím techniky sémantického tabla dokážte, že formula ϕ= xp x xq x x p x q x nie je tautológiou ( ) Priesvitka 49
50 Tieto dva ilustračné príklady ukazujú na potenciálnu vhodnosť sémantických tabiel pre konštrukciu pravdivostnej interpretácie formúl predikátovej logiky, kde majú nezastúpiteľnú úlohu pre konštrukciu pravdivostných hodnôt, pretože v predikátovej logike je tabuľková metóda nepoužiteľná. Priesvitka 50
51 Duálne sémantické tablá Priesvitka 51
52 Príklad Použitím duálneho sémantického tabla dokážte tautologickosť predikátovej ϕ= x p x q x xp x xq x formuly ( ) Priesvitka 52
53 Príklad Použitím duálneho sémantického tabla dokážte splniteľnosť predikátovej ϕ= xp x xq x x p x q x ( ) formuly Priesvitka 53
54 Pomocou tohto duálneho sémantického tabla zostrojíme ϕ KNF pre danú formulu predikátovej logiky, pre jednoduchosť budeme predpokladať, že univerzum U = 12,, potom U má len 2 objekty, { } Potom ( p( 1) q( 1) p( 2) ) p( 1) q( 1) q( 1) ϕ KNF = otvorená ľavá vetva 0 uzavretá pravá vetva 1 p( 1) 1, q( 1) 0, ( ) p 2 0 xp x xq x p 1 p 2 q 1 q xp x ( ) xq x ( ) x p x q x p 1 q 1 p 2 q ϕ = Týmto sme dokázali, že formula ϕ pre daný model je nepravdivá, potom formula ϕ nie je tautológia. Priesvitka 54
55 The End Jedno z prvých znázornení metafory multiagentového systému holandským maliarom Pieter Bruegel the Elder ( ) na obraze The Battle between Lenten and Carnival Priesvitka 55
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1
3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραRiešenie cvičení z 5. kapitoly
Riešenie cvičení z 5. kapitoly Cvičenie 5.1. Vety prepíšte pomocou jazyka predikátovej logiky, použite symboly uvedené v úlohách. (a Niekto má hudobný sluch (H a niekto ho nemá. ( H( ( H( (b Niektoré dieťa
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori:
Διαβάστε περισσότεραPrednáška 1. Logika, usudzovanie a teória dôkazu
Prednáška 1 Logika, usudzovanie a teória dôkazu Logika je charakterizovaná ako analýza metód používaných v ľudskom myslení alebo uvažovaní. Logika nie je dôležitá len v matematike a informatike, ale aj
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori: doc. PhDr. Ján Šefránek,
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραAlgebra a diskrétna matematika
Algebra a diskrétna matematika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Algebra a diskrétna matematika Slovenská technická univerzita v Bratislave 008 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., prof. RNDr. Jiří Pospíchal,
Διαβάστε περισσότεραPredikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy. 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku
6. kapitola Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku Jednoduché rozšírenie metódy prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku uskutočníme
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραVladimír Kvasnička. Úvod do logiky pre informatikov
Vladimír Kvasnička Úvod do logiky pre informatikov Ústav aplikovanej informatiky Fakulta informatiky a informačných technológií Slovenská technická univerzita v Bratislave 202 2 Úvod V tejto knihe, ktorá
Διαβάστε περισσότερα3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda.
3. Výroková logika Výroková logika patrí do klasickej logiky - do jednej z dvoch oblastí, na ktoré môžeme rozdeliť súčasnú logiku. 22 Sochor (2011, 21) prirovnáva výrokovú logiku ku gramatickému rozboru
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότερα9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka
9. kapitola Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika 1 Úvodné poznámky o viachodnotových logikách V klasickej logike existujú prípady, keď dichotomický pravdivostný
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA PRE FARMACEUTOV
V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského Vladimír Frecer MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE 1 V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N
Διαβάστε περισσότεραVýroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky Eduard Toman Bratislava 2005 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky..................................
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραZbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY
Zbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY Martin Šrámek 0 OBSAH Úvod...2 Výrok...3 Výroková premenná...3 Logické spojky...4 Formula výrokovej logiky...4 Logická ekvivalencia...4 Tabuľková metóda riešenia úloh...4
Διαβάστε περισσότεραPravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMatematická logika. Emília Draženská Helena Myšková
Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA
1 LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA Termíny výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý výrok, nepravdivý výrok, zložený výrok označujú základné pojmy logiky. Význam slov každý,
Διαβάστε περισσότεραLogické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.
Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 20. septembra 2011 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Predhovor...................................... 5 1.2 Sylaby a literatúra................................. 6 1.2.1 Literatúra..................................
Διαβάστε περισσότεραÚvod do diskrétnych matematických štruktúr. Daniel Olejár Martin Škoviera
Úvod do diskrétnych matematických štruktúr Daniel Olejár Martin Škoviera 24. augusta 2007 i This book was developed during the project Thematic Network 114046-CP-1-2004-1-BG- ERASMUS-TN c Daniel Olejár,
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραCvičenie 1.1. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov?
Cvičenie Cvičenie.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a Mária je študentkou informatiky. Preto, je Mária študentkou informatiky alebo študentkou telekomunikácií. p = Mária je študentom
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody
9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody Priesvitka 1 Boolova algebra Elektronické obvody v počítačoch a v podobných zariadeniach sú charakterizované binárnymi vstupmi a výstupmi (rovnajúcimi sa 0
Διαβάστε περισσότεραÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia
ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia 1. VÝROKY Pod pojmom "výrok" rozumieme v bežnom živote čosi ako VÝsledok ROKovania ( napr. súdu, alebo komisie
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραRudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I
Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I 007 c RNDr Rudolf Blaško, PhD, 007 beerb@frcatelfriunizask Obsah Základné pojm 3 Logika 3 Výrazavýrok 3 Logickéoperácie 3 3 Výrokovéform
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραCvičenie 1.1. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov?
Cvičenie Cvičenie.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a Mária je študentom informatiky. Preto, je Mária študentom informatiky alebo študentom telekomunikácií. p = Mária je študentom
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραDeskripčná logika. UINF/SWB: Sémantický web podľa
Deskripčná logika UINF/SWB: Sémantický web podľa http://www.inf.unibz.it/~franconi/dl/course/ Deskripčná logika zjednocujúci formalizmus pre nástroje reprezentácie frame-based (systémy založené na rámcoch)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραAutomatizácia technologických procesov
Téma: Logické obvody. Základné pojmy. Logická algebra,logické funkcie. Znázornenie logických funkcií a základy ich minimalizácie. - sú častým druhom riadenia, ktoré sa vyskytujú ako samostatné ako aj v
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραÚVAHA NAD KNIHOU MARIÁNA ZOUHARA Základy logiky pre spoločenskovedné a humanitné odbory
FILOZOFIA ÚVAHY ESEJE Roč. 64, 2009, č. 7 ÚVAHA NAD KNIHOU MARIÁNA ZOUHARA Základy logiky pre spoločenskovedné a humanitné odbory PAVEL CMOREJ, Filozofický ústav SAV, Bratislava Koncom minulého roku sa
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραNededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 1/35
Nededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 1/35 Úvodné poznámky Americký filozof a logik Charles S. Peirce (čítaj ako pers ), sa stal známym svojou klasifikáciou nededuktívnych metód inferencie,
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότερα2. Aristotelovská logika
2. Aristotelovská logika Aristotelov hlavný prínos predstavuje systematické rozpracovanie úsudkov, ktoré nazýval sylogizmami. Aristotelés chápal logiku ako organon, t. j. nástroj, ktorý používame, aby
Διαβάστε περισσότεραVlastnosti nekonečných slov generovaných pomocou DGSM (diplomová práca)
Odbor 9.2.1 Informatika Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Vlastnosti nekonečných slov generovaných pomocou DGSM (diplomová práca) Marián Sládek
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότερα