MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV

Transcript

1 V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského Vladimír Frecer MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE 1

2 V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského Vladimír Frecer MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV Október

3 Táto vysokoškolská učebnica je určená predovšetkým študentom Farmaceutickej fakulty UK, ale môže poslúžiť aj študentom iných prírodovedných odborov biologického, lekárskeho a chemického zamerania, ako aj výskumným pracovníkom, ktorí využívajú matematiku pri svojej práci. Cieľom učebnice je vysvetliť zrozumiteľným jazykom základné pojmy vyššej matematiky a oboznámiť študentov so základmi výrokovej logiky, teórie množín, lineárnej algebry, matematickej analýzy, úvodom do diferenciálneho a integrálneho počtu a ich praktickými aplikáciami. Všetky práva vyhradené. Žiadna časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autora alebo nakladateľstva. Ing. Vladimír Frecer, DrSc., 2013 Recenzenti: prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc. (FIIT STU, kvasnicka@fiit.stuba.sk) prof. RNDr. Pavol Zlatoš, DrSc. (FMFI UK, zlatos@fmph.uniba.sk) doc. RNDr. Michal Šabo, PhD. (FCHPT STU, michal.sabo@stuba.sk) doc. RNDr. Štefan Varga, CSc. (FCHPT STU, stefan.varga@stuba.sk) Schválil rektor Univerzity Komenského v Bratislave dňa dd. mm. 2013, č. rozhodnutia XX.YY/2013 ako vysokoškolskú učebnicu pre Farmaceutickú fakultu UK, magisterský študijný odbor farmácia. ISBN-UUU-VV-XXXX-YYY-Z 3

4 Obsah Predhovor Diskrétna matematika Výroková logika a výrokové formule Pravdivostné hodnotenie formúl Pravidlá usudzovania Predikátová logika Metódy dôkazu Matematická indukcia Cvičenia Riešenia Teória množín Definícia množiny Enumerácia konečných množín Karteziánsky súčin množín Relácie Funkcie Základné reálne funkcie Polynóm Racionálna lomená funkcia a parciálne zlomky Exponenciálna a logaritmická funkcia Goniometrické a cyklometrické funkcie Cvičenia Riešenia Lineárna algebra Vektory Matice Sústavy lineárnych rovníc Gaussova eliminačná metóda Matice Hodnosť matice Sústavy lineárnych rovníc

5 3.3. Determinanty Maticové rovnice Cramerovo pravidlo Vlastné hodnoty a vlastné vektory matíc Cvičenia Riešenia Postupnosti a číselné rady Nekonečná postupnosť Limita postupnosti Nekonečný rad Mocninové rady Cvičenia Riešenia Diferenciálny počet Limita funkcie Spojitosť funkcie Derivácia funkcie Derivácie vyšších rádov L'Hospitalovo pravidlo Diferenciál Taylorov rad Derivácia a vlastnosti funkcií Monotónnosť funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie, inflexný bod Lokálne extrémy Asymptoty Vyšetrovanie priebehu funkcie Interpolácia Cvičenia Riešenia Integrálny počet Primitívna funkcia, neurčitý integrál Substitučná metóda

6 6.3. Metóda per partes Integrály racionálnych lomených funkcií Určitý integrál Riemannova definícia Newtonova definícia Vlastnosti určitého integrálu Nevlastné integrály Aplikácie určitého integrálu Približné metódy výpočtu určitých integrálov Cvičenia Riešenia Diferenciálny počet funkcií dvoch premenných Definičný obor a graf funkcie Limita a spojitosť Parciálna derivácia Gradient funkcie Smerové derivácie Derivácie vyšších rádov Totálny diferenciál, totálna derivácia Kmeňová funkcia Extrémy funkcií dvoch premenných Lokálne extrémy Absolútne extrémy Optimalizácia, metóda Langrangeových multiplikátorov Metóda najmenších štvorcov Dvojný integrál Cvičenia Riešenia Diferenciálne rovnice Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu Rovnice so separovateľnými premennými Lineárne diferenciálne rovnice Exaktné diferenciálne rovnice

7 8.5. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc Aplikácie diferenciálnych rovníc v prírodných vedách Kinetika jednoduchej chemickej reakcie Kinetika rastu populácie buniek Kinetický model distribúcie liečiva Cvičenia Riešenia Literatúra Register

8 Predhovor Táto učebnica je určená pre poslucháčov prvého ročníka magisterského štúdia farmácie, môže však poslúžiť aj študentom iných fakúlt prírodovedného a technického zamerania, na ktorých sa prednášajú základy vyššej matematiky. Cieľom učebnice je poskytnúť študentom farmácie ucelený text k prednáškam z matematiky, čomu zodpovedá výber a rozsah látky ako aj spôsob jej výkladu. Učebnica vysvetľuje zrozumiteľnou formou základné pojmy, postupy a metódy vyššej matematiky s čo najmenším matematickým aparátom, v rozsahu primeranom študijnému plánu, bez nároku na úplnosť a striktnú presnosť. Autor si uvedomuje, že pre študentov biologických a medicínskych študijných odborov je matematika skôr nástrojom na riešenie problémov a technických úloh, než samotným cieľom ich vzdelávania. Preto väčšina tvrdení v tejto učebnici nie je rigorózne sformulovaná ani dokázaná a ťažisko výkladu sa presúva viac na riešenie príkladov a aplikácie matematických metód. Chýbajúce vety a dôkazy si môžu záujemcovia nájsť v matematickej literatúre uvedenej v zozname použitej literatúry. Prezentovaná látka poskytne študentom farmácie dostatočný matematický aparát potrebný pre pochopenie nadväzujúcich povinných predmetov štúdia ako fyzika, matematická štatistika, fyzikálna chémia, analytická chémia, biofyzika, farmaceutická chémia a technológia alebo molekulové základy vývoja liečiv. Preberaná látka nadväzuje na stredoškolské vedomosti z matematiky. Očakávam, že poslucháči prvého ročníka vysokej školy ovládajú počítanie so zlomkami a mocninami, vedia riešiť lineárne a kvadratické rovnice a nerovnice, poznajú základy geometrie a sú schopní vypočítať obsah rovinných útvarov a objem telies. Uvedomujem si rozdielnu úroveň a rozsah vyučovania matematiky na stredných školách, preto je väčšina matematických pojmov použitých v tejto učebnici zrozumiteľne a pomerne podrobne vysvetlená. Dôraz kladiem viac na porozumenie podstaty preberanej témy a na schopnosť aplikovať poznatky pri riešení úloh, ako na memorovanie a reprodukovanie poučiek, vzorcov alebo dôkazov. Učebnica je rozdelená do 8 kapitol a obsahuje úvod do diskrétnej matematiky, teórie množín, základy teórie reálnych funkcií, úvod do lineárnej algebry, postupností, diferenciálneho a integrálneho počtu a základy riešenia diferenciálnych rovníc. Posledná časť je venovaná použitiu diferenciálnych rovníc prvého rádu v prírodovedných a farmaceutických aplikáciách. Na konci každej kapitoly je uvedených niekoľko riešených príkladov, na ktorých si môžu študenti overiť, či dostatočne porozumeli preberanej látke. Na získanie postačujúcej zručnosti a pohotovosti pri riešení príkladov je pre študentov nevyhnutné siahnuť po zbierke príkladov a venovať počítaniu príkladov potrebný čas. Rád by som poďakoval oponentom prof. Ing. Vladimírovi Kvasničkovi, DrSc. (FIIT STU) a prof. RNDr. Pavlovi Zlatošovi, DrSc. (FMFI UK) za cenné pripomienky, ktorými prispeli k vylepšeniu tohto učebného textu. Obzvlášť by som chcel poďakovať Mgr. Márii Klacsovej, PhD. (FaF UK) za podrobné prečítanie textu a pripomienky, ktoré pomohli odstrániť viaceré chyby a nepresnosti. V Bratislave, október 2013 Autor 8

9 1. Diskrétna matematika 1.1. Výroková logika a výrokové formule Metódy vedeckého bádania a korektného usudzovania sú založené na princípoch výrokovej a predikátovej logiky a matematického dôkazu. Pri odvodzovaní záverov bádania a formulovaní nových vedeckých poznatkov je preto vhodné dodržiavať formálne pravidlá správneho usudzovania. Moderná logika, označovaná ako formálna logika alebo matematická logika, je veda o správnom usudzovaní. Logika študuje všeobecné schémy usudzovania na symbolickej úrovni, v ktorej sa ignoruje konkrétny obsah jednotlivých tvrdení (výrokov), uvažuje sa len ich pravdivosť či nepravdivosť. Matematická logika umožňuje prostredníctvom zákonov usudzovania vyvodzovať deduktívnym spôsobom z formalizovaných poznatkov nové pravdivé poznatky. Schopnosť logicky myslieť, predvídať a konať tvorí základ racionálneho správania aj v každodennom živote. Zopakujme si najprv základné vlastnosti výrokov a logických operácií s výrokmi. Výrok je tvrdenie (oznamovacia veta), o ktorom vieme jednoznačne rozhodnúť, či je pravdivé alebo nepravdivé (vieme určiť jeho pravdivostnú hodnotu). Príklady jednoduchých výrokov: Zem je planéta. Číslo 4 je prirodzené číslo. Jedna plus jedna sú tri. Číslo 3 je párne číslo a zároveň číslo 3 je nepárne číslo. Zatiaľ čo prvé dva výroky sú pravdivé, tretí a štvrtý výrok sú nepravdivé. Výroky označujeme symbolmi: a pravdivostnú hodnotu výrokov označujeme v klasickej matematickej logike dvoma binárnymi hodnotami: (1) pravdivý, (0) nepravdivý. Pravdivostná hodnota výroku sa označuje. Ak je výrok pravdivý, potom ; ak je výrok nepravdivý, potom. Opytovacie vety alebo vágne oznamovacie vety typu: "Zmrzlina je dobrá" nepovažujeme za výroky, keďže nedokážeme jednoznačne určiť ich pravdivostnú hodnotu. 1 Štvrtý výrok s je výrok zložený z dvoch jednoduchších (atomických) výrokov spojených spojkou "a zároveň". Atomický výrok je taký výrok, ktorý už ďalej nemôžeme rozdeliť na jednoduchšie tvrdenia. Spojka "a zároveň" zodpovedá jednej z piatich základných logických spojok (4 binárnych a 1 unárneho operátora), pomocou ktorých môžeme z atomických výrokov vytvárať zložené výroky alebo zložitejšie logické výrazy (logické formule): je konjunkcia výrokov (čítame: " a zároveň ") je disjunkcia (alternatíva) výrokov, (čítame: " alebo ") je implikácia výrokov, (čítame: "ak, potom ") [1.1.] je ekvivalencia výrokov, (čítame: " práve vtedy, keď ") je negácia výroku, (čítame: "nie je pravda, že " alebo použijeme zápor, napr. "Zem nie je planéta") 1 Výrokmi, ktoré nie sú jednoznačne pravdivé alebo nepravdivé sa zaoberá neklasická tzv. fuzzy logika, ktorá priraďuje vágnym výrokom pravdivostnú hodnotu z intervalu. Napríklad, ak zmrzlina chutí ľuďom z opýtaných, tak pravdivostnú hodnotu výroku "Zmrzlina je dobrá" môže fuzzy logika určiť ako rovnú hodnote (skôr pravdivý). 9

10 Pravdivosť zložených výrokov závisí od pravdivostných hodnôt jednotlivých atomických výrokov a použitej logickej spojky a je plne určená pomocou pravdivostných tabuliek (Tab. 1.1.), autorstvo ktorých býva pripisované Ludwigovi Wittgensteinovi 2. Tabuľka 1.1. Pravdivostné hodnoty základných logických spojok Výroková logika má svoj formálny jazyk (syntax), ktorý používa na konštrukciu zložitejších výrokov (formúl) pozostávajúci z atomických a zložených výrokov, logických spojok a zátvoriek. 3 Výrokové formule sa teda tvoria nad množinou 4 atomických výrokov (výrokových premenných) a výrokových konštánt, opakovaným aplikovaním logických spojok na výrokové premenné a tiež na výrokové formule a, čím vznikne postupnosť stále zložitejších výrokových podformúl (reťazcov symbolov:,,...), vedúca k výslednej formuli, napr.:. V Backusovej a Naurovej teórii formálnych jazykov 5 sa zapisuje syntax formúl výrokovej logiky nasledovne: formula :: = výroková premenná logická konštanta ( formula ') ( formula ) logická spojka ( formula ) pričom: výroková premenná :: výroková konštanta :: logická spojka :: Každú výrokovú formulu môžeme znázorniť pomocou grafického útvaru nazývaného syntaktický strom. Napríklad pre formulu má syntaktický strom nasledovný tvar (Obr. 1.1.): 2 Ludwig Josef Johann Wittgenstein ( ) vplyvný filozof rakúskeho pôvodu. Pracoval v oblasti logiky, filozofie matematiky, analytickej filozofie a filozofie jazyka. 3 V logike sa zvyčajne používa nasledovná priorita logických spojok (v poradí klesajúcej priority): 4 Význam pojmu množina (súbor prvkov) si bližšie vysvetlíme v nasledujúcej kapitole. 5 Informatici John Warner Backus ( ) a Peter Naur (1928) zaviedli techniku zápisu a syntax formálnych jazykov. Prispeli tiež k vzniku prvých programovacích jazykov ALGOL a FORTRAN. 10

11 Obrázok 1.1. Syntaktický strom pre formulu. Koncové vrcholy syntaktického stromu reprezentujú výrokové premenné, a, vrcholy z nasledujúcich poschodí (vrstiev) stromu sú priradené premenným a logickým spojkám. Vyhodnocovanie stromu prebieha postupne zdola nahor. Jednotlivé podformule tohto stromu sú určené nasledovne: 1. vrstva:,, 2. vrstva:, 3. vrstva: 1.2. Pravdivostné hodnotenie formúl V predchádzajúcej časti tejto kapitoly sme uviedli, že syntax formúl výrokovej logiky je jednoznačne určená spôsobom ich konštrukcie. Nie všetky výrokové formule, ktoré môžu vzniknúť jednoduchým zreťazením výrokových premenných a logických spojok s použitím zátvoriek sú syntakticky správne a definujú formulu. U výrokových formúl rozoznávame okrem syntaxe aj sémantiku. Pojem sémantika pochádza z teórie prirodzených jazykov a vyjadruje význam danej vety (ktorá má správnu syntax). Vo výrokovej logike sémantika skúma pravdivostnú hodnotu výrokových formúl v závislosti od hodnôt výrokových premenných. Používa na to tabuľky pravdivostných hodnôt. Príklad. Pre formulu, znázornenú syntaktickým stromom na Obr. 1.1., je jej sémantika plne určená tabuľkou pravdivostných hodnôt pre všetky kombinácie výrokov, a (Tab. 1.2.). 11

12 Tabuľka 1.2. Výpočet pravdivostných hodnôt formule Z Tab vyplýva, že pravdivostná hodnota formule je pravda ( ) pre všetky vzájomné kombinácie pravdivostných hodnôt výrokových premenných, a. Takéto výrokové formule majú vo výrokovej logike mimoriadne postavenie zákonov a nazývame ich tautológie. Uvažujme formulu φ, ktorej výrokové premenné sú špecifikované interpretáciou (interpretácia predstavuje určitú kombináciu pravdivostných hodnôt výrokových premenných vystupujúcich vo formuli). Takáto interpretácia premenných kde 6, znamená určitú kombináciu pravdivostných hodnôt priradených jednotlivým premenným. Rôznych interpretácií premenných, ktoré sú priradené výrokovým premenným je. Pravdivostná hodnota formule pre danú interpretáciu je označená výrazom. Napríklad, Tab pravdivostných hodnôt formule troch premenných, a má interpretácií, zodpovedajúcich 8 riadkom tabuľky. Definícia. Výroková formula sa nazýva tautológia (zapisujeme ako ), ak pre každú interpretáciu platí (je vždy pravdivá). Naopak, ak pre každú interpretáciu platí, formula sa nazýva kontradikcia (je vždy nepravdivá). Ak existuje aspoň jedna interpretácia taká, že, potom formula je splniteľná. Na výpočet pravdivostnej hodnoty výrokovej formule môžeme okrem tabuľky pravdivostných hodnôt použiť aj binárny strom. V binárnom strome sú výrokové premenné postupne nahradzované konštantami, ktoré formulu zjednodušujú až po výslednú výrokovú konštantu, pričom na zjednodušenie formule využívame tautológie (identity) ako: 7, implikácia disjunkcia [1.2.] konjunkcia Príklad. Nasledovný binárny strom ukazuje postup pre výpočet pravdivostných hodnôt výrokovej formule obsahujúcej tri premenné:, a : 6 patria do množiny, t.j. τ i môžu nadobúdať len dve možné hodnoty: 0 alebo 1. 7 Symbol " " je znamienko totožnosti. 12

13 Obrázok 1.2. Binárny strom pre formulu: Binárny strom znázorňuje postupné vyhodnocovanie formule zhora nadol. V prvom kroku premennú nahradíme výrokovými konštantami 1 a 0, vyhodnotíme a zjednodušíme takto modifikované formule. V nasledujúcich vetveniach stromu potom postupne dosadzujeme výrokové konštanty za ďalšie logické premenné (v strome na Obr stačilo dosadiť len za ) a tautológie nahrádzame ich jednoduchšími identitami. Tento postupný proces obvykle končí tak, že určíme pre ktoré interpretácie je formula pravdivá a pre ktoré je nepravdivá. Niektoré tautológie sa používajú nielen vo výrokovej logike, ale aj v bežnom usudzovaní. Tieto tautológie sú obvykle označované aj vlastným menom. Väčšinou ide o tautológie tvaru ekvivalencie, ktoré umožňujú nahradzovať jednu formulu druhou, pri zachovaní pravdivosti. Medzi najznámejšie zákony výrokovej logiky patria tautológie uvedené v Tab Tabuľka 1.3. Známe tautológie. Zákon Zákon totožnosti Zákon dvojitej negácie Zákon vylúčenia tretieho De Morganov zákon pre konjunkciu De Morganov zákon pre disjunkciu Zákon ekvivalencie Zákon rezolventy Zákon tranzitívnosti implikácie (Zákon hypotetického sylogizmu) Distribúcia konjunkcie Distribúcia disjunkcie Zákon kontrapozície Zákon reductio ad absurdum Zákon nahradenia implikácie Zákon modus ponens Formula 8 8 Znak " " symbolizuje tautológiu. 13

14 Klasická výroková logika bola od staroveku založená na tautológiách (zákonoch), ktoré študovala ako modely správneho usudzovania, pomocou ktorých z pravdivých predpokladov získavame pravdivé výsledky. Ako tradičný príklad správneho usudzovania uvažujme dvojicu jednoduchých tvrdení (výrokov): "prší" a "ak prší, potom je cesta mokrá". Máme dve nezávislé tvrdenia, prvé tvrdenie je jednoduchý výrok a druhé tvrdenie má tvar implikácie. Z týchto dvoch tvrdení vyplýva nové tvrdenie : "cesta je mokrá", ktoré je v procese usudzovania vyvodené z pôvodných predpokladov a, čo sa obvykle zapisuje takto: [1.3.] Táto formálna schéma usudzovania založená na tautológii: sa už od čias stredoveku označuje ako modus ponens a patrí medzi základné pravidlá správneho (logického) usudzovania Pravidlá usudzovania Pravidlá usudzovania vo výrokovej logike možno znázorniť všeobecnou schémou, ktorá obsahuje n predpokladov a jeden záver: predpoklad 1 : predpoklad n záver [1.4.] ktorá je ekvivalentná so symbolickými zápismi logického dôkazu: {predpoklad 1,..., predpoklad n } záver alebo 9 [1.5.] a môže byť tiež prepísaná do tvaru výrokových formúl: alebo [1.6.] zložených zo série konjunkcií alebo implikácií. Predpoklady určitej schémy usudzovania sú konzistentné vtedy a len vtedy, keď existuje aspoň jedna interpretácia pravdivostných hodnôt výrokových premenných alebo formúl, pre ktorú sú všetky predpoklady pravdivé. V opačnom prípade je množina predpokladov nekonzistentná (kontradiktórna), čo znamená, že z daných predpokladov logicky vyplýva nejaký záver a súčasne aj jeho negácia. Obvyklé schémy usudzovania vo výrokovej logike sú uvedené v Tab Znak " " symbolizuje logický dôkaz. 14

15 Tabuľka 1.4. Schémy usudzovania. Schéma Formula výrokovej logiky Názov adícia p simplifikácia inverzia implikácie konjunkcia modus ponens modus tollens hypotetický sylogizmus disjunktívny sylogizmus reductio ad absurdum Príklad. Majme dva výroky (predpoklady), prvý: "Ak bude vonku snežiť, zostanem doma" a druhý: "Ak zostanem doma, prečítam si knihu". Použitím schémy usudzovania hypotetický sylogizmus dostaneme z týchto dvoch predpokladov záver: "Ak bude vonku snežiť, prečítam si knihu". Ak bude vonku snežiť, zostanem doma Ak zostanem doma, prečítam si knihu Ak bude vonku snežiť, prečítam si knihu Schéma hypotetického sylogizmu je sformalizovaná použitím výrokových premenných "vonku sneží", "zostávam doma" a "prečítam knihu", pričom záver bol z predpokladov vyvodený použitím tautológie:, Tab

16 Platnosť (pravdivosť) tvrdenia (vety, výroku, teorémy, argumentu alebo výsledku) je potrebné v matematike dokázať. Existujú viaceré formy matematických dôkazov spočívajúcich v postupnosti krokov (formúl výrokovej logiky), ktoré vychádzajú z množiny existujúcich postulátov (axióm), a z predchádzajúcich viet, už dokázaných, pomocných viet (lem) danej postupnosti. Jednotlivé kroky postupnosti sa tvoria pomocou pravidiel usudzovania (tautológií). Dôkaz teda pozostáva z postupnosti formúl, pričom posledná formula zodpovedá požadovanému záveru, napríklad: a dá sa znázorniť aj pomocou stromu dôkazu. [1.7.] Príklad. V tomto príklade ilustrujeme logické vyplývanie výrokovej formule (záveru) z predpokladov reprezentovaných formulami. Nech množina predpokladov obsahuje nasledovné zložené výroky: "ak mi pošleš návod, potom budem hrať počítačovú hru" "ak mi nepošleš návod, potom napíšem domácu úlohu" "ak napíšem domácu úlohu, potom dostanem dobrú známku" požadovaný záver znie: "ak nebudem hrať počítačovú hru, potom dostanem dobrú známku" Prepíšme najprv predpoklady do výrokových premenných: "pošleš mi návod" " hrám počítačovú hru" " píšem domácu úlohu" " dostávam dobrú známku" potom uskutočníme formalizáciu schémy logického vyplývania do tvaru: Pomocou postupnosti elementárnych krokov, v ktorej využijeme schémy usudzovania uvedené v Tab. 1.4., ukážeme, že táto schéma je platná: 1. predpoklad 1 2. predpoklad 2 3. predpoklad 3 4. inverzia implikácie na predpoklad 1 5. hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 4 a predpoklad 2 6. hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 5 a predpoklad 3 Diagramatickú verziu odvodenia tohto logického dôkazu môžeme znázorniť pomocou nasledovného stromu dôkazu: 16

17 hypotetický sylogizmus hypotetický sylogizmus Obrázok 1.3. Strom odvodenia pre logický dôkaz schémy: Vykonanie logického dôkazu môžeme často výrazne zjednodušiť, ak množinu predpokladov rozšírime o nový pomocný predpoklad. Vo výrokovej logike totiž platí veta o dedukcii, ktorá má tvar: [1.8.] a hovorí, že logický dôkaz formule φ pomocou rozšírenej množiny predpokladov 10 je rovnocenný dôkazu formule pomocou pôvodnej množiny predpokladov. Vety hrajú významnú úlohu pri výstavbe formálneho systému matematickej logiky, ktorý má charakter prepojenej siete viet. Vety, ktoré boli dokázané v predchádzajúcich krokoch, sa už nedokazujú a využívajú sa ako efektívne nástroje v logických dôkazoch nových viet. Nech je tautológia (veta), potom logický dôkaz môžeme rozšíriť o vetu nasledovne: [1.9.] pričom zahrnutie tautológie môže podstatne zjednodušiť dôkaz formule. Ako ukazujú každodenné skúsenosti, v spoločnosti sú pomerne rozšírené klasické chyby bežného usudzovania, ktoré predstavujú nesprávne modifikácie schém usudzovania modus ponens a modus tollens (Tab. 1.4.). Prvá nekorektná schéma sa nazýva potvrdenie dôsledku, druhá sa volá popretie predpokladu a dajú sa znázorniť nasledovne: 10 Operácia zjednotenia množín označovaná symbolom " " bude bližšie vysvetlená v nasledujúcej kapitole. 17

18 modus ponens potvrdenie dôsledku príklad "cesta je mokrá" "ak prší, potom je cesta mokrá" "prší" modus tollens popretie predpokladu príklad "neprší" "ak prší, potom je cesta mokrá" "cesta nie je mokrá" Ako vidíme z tabuľky pravdivostných hodnôt týchto dvoch chybných schém uvažovania (Tab. 1.5.) pre výroky "prší", "cesta je mokrá" a "ak prší, potom je cesta mokrá", pre obidve formule a existuje taká interpretácia ( že pravdivostná hodnota oboch formúl je nepravdivá ( a ). Tabuľka 1.5. Tabuľka pravdivostných hodnôt schém usudzovania potvrdenie dôsledku popretie predpokladu., a To znamená, pre interpretáciu nepredstavujú tautológie a teda sú nesprávne., = {"neprší", "cesta je mokrá"} oba úsudky 1.4. Predikátová logika Predikátová logika je obyčajne chápaná ako rozšírenie výrokovej logiky pomocou kvantifikátorov všeobecný a existenčný 11. Zaoberá sa otázkami pravdivosti a dokázateľnosti výrokových formúl. Predikátom označujeme vlastnosť objektu a vzťah (reláciu) medzi objektmi a. Príklad. Vlastnosť P znamená "poslucháč", potom je predikát, ktorý označuje, že indivíduum (objekt, prvok) Martin je poslucháčom (Farmaceutickej fakulty). Ak relácia znamená "kamarát", potom je predikát, ktorý označuje, že Jano a Fero sú kamaráti. 11 Kvantifikátor je operátor matematickej logiky, ktorý určuje, akému počtu (kvantite) indivíduí možno pripísať (predikovať) nejakú vlastnosť alebo vzťah. Všeobecný kvantifikátor " " nahradzuje spojenie "pre všetky" a existenčný kvantifikátor " " nahradzuje spojenie "existuje (aspoň jeden)". 18

19 Takéto základné formulácie môžeme upraviť pomocou kvantifikátorov tak, že budú označovať množstvo objektov (prvkov) z množiny (Univerza), ktoré majú určitú vlastnosť alebo spĺňajú danú reláciu. : všetky objekty x univerza majú vlastnosť P existuje objekt univerza, ktorý má vlastnosť [1.10.] Alternatívna reprezentácia kvantifikátorov sa dá zostrojiť v rámci výrokovej logiky pomocou sekvencie konjunkcií alebo disjunkcií: 12 [1.11.] Použitím De Morganových 13 zákonov (Tab. 1.3.) vieme zostrojiť negácie kvantifikovaných výrazov: 14 [1.12.] Pomocou predikátov a kvantifikátorov môžeme efektívne sformalizovať rôzne verbálne tvrdenia. Napríklad, výrok "každý riaditeľ má aspoň jedného podriadeného" môžeme vyjadriť takto: Základné schémy usudzovania v predikátovej logike sú zhrnuté v Tab [1.13.] Tabuľka 1.6. Schémy usudzovania v predikátovej logike. Schéma usudzovania Teoréma predikátovej logiky Názov schémy konkretizácia univerzálneho kvantifikátora pre každé pre nejaký prvok pre nejaký prvok zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora konkretizácia existenčného kvantifikátora zovšeobecnenie pomocou existenčného kvantifikátora Prvá schéma usudzovania v Tab konkretizácia univerzálneho kvantifikátora predpokladá, že ak má určitú vlastnosť každý objekt (prvok) z množiny, t.j. potom musí mať túto vlastnosť aj ľubovoľný konkrétny prvok c tohto univerza: 12 Zápis: " " znamená: prvok patrí do množiny. 13 Augustus De Morgan ( ) bol britský matematik a logik, ktorý okrem sformulovania základných zákonov logiky zaviedol aj pojem matematická indukcia. 14 a znamená: vlastnosť a relácia sú nepravdivé (nie sú splnené). 19

20 [1.14.] Táto vlastnosť je priamym dôsledkom intuitívnej interpretácie univerzálneho kvantifikátora ako konjunkcie vlastnosti pre každý objekt z konečného univerza, môžeme ju vyjadriť pomocou sekvencie konjunkcií : 15 [1.15.] Ak použijeme pre túto formulu schému usudzovania simplifikácie (Tab. 1.4.) potom vlastnosť má menovite každý jednotlivý prvok univerza : : [1.16.] musí teda platiť aj implikácia. : Príklad. Konkretizáciu univerzálneho kvantifikátora môžeme ilustrovať na príklade klasickej logiky: "všetci ľudia sú smrteľní" "Sokrates je človek" "Sokrates je smrteľný" kde Sokrates patrí do univerza (množiny všetkých ľudí) platnosti kvantifikátora. Túto schému môžeme zovšeobecniť nasledovne: [1.17.] Ak sa nám podarí dokázať, že vlastnosť P má každý objekt z univerza U, potom vzhľadom k tomuto univerzu môžeme definovať zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora takto: Ak použijeme pre túto formulu schému usudzovania konjunkcie (Tab. 1.4.), potom: [1.18.] : : [1.19.] 15 Symbol " " znamená: "rovná sa podľa definície" alebo "je definovaný ako". 20

21 potom pre ľubovoľný objekt univerza c musí platiť aj: [1.20.] Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora sa často používa v diskrétnej matematike implicitne. Vlastnosť je platná všeobecne, keďže dôkaz vlastnosti bol vykonaný pre ľubovoľný náhodne zvolený objekt, nie pre určitý konkrétny objekt. Príklad. Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora môžeme ilustrovať na príklade klasickej logiky takto: "Sokrates a Platón sú ľudia" "obaja sú smrteľní" "všetci ľudia sú smrteľní" kde Sokrates aj Platón sú dva ľubovoľné objekty patriace do univerza (množiny všetkých ľudí). Zovšeobecnenie podľa predchádzajúcej schémy usudzovania alebo predikátovej formule predstavuje základ induktívneho zovšeobecnenia, pri ktorom sa čiastkové poznatky o niekoľkých objektoch snažíme zovšeobecniť pre každý objekt daného univerza. Takéto zovšeobecnenie často používame aj v každodennom živote. Zovšeobecnenie patrí tiež medzi metódy vedeckého poznania (indukcia, zovšeobecnenie, abstrakcia,...). Podľa logického pozitivizmu (neopozitivizmu) sa vedecké hypotézy a poznanie získavajú indukciou alebo zovšeobecňovaním experimentálnych pozorovaní. 16 Naproti tomu filozof Karl Popper 17 ukázal, že pravdivosť vedeckej teórie nemožno dokázať pomocou empirických skúseností, indukcie a zovšeobecnenia, pravdivosť určitej teórie môžeme len empiricky testovať. Základom nového vedeckého poznávania teda nie je opakované potvrdzovanie (verifikácia) hypotéz, ale ich preverovanie (tzv. falzifikácia). Iba teória, ktorá je formulovaná tak, aby sa dala vyvrátiť (nepredstavuje teda postulát alebo dogmu), môže byť podrobená falzifikácii (t.j. môže byť dokázané, že je nesprávna). Podľa Poppera k rozvoju vedy a poznania dochádza práve vďaka falzifikácii tým, že existujúce teórie testujeme a prekonané teórie zavrhujeme, čím otvárame priestor pre nové hypotézy a teórie. Popperova filozofia kritický racionalizmus hovorí, že jediným racionálnym prvkom, ktorý nás posúva ďalej v našom úsilí poznať svet, je kritické skúmanie existujúcich teórií predstavujúcich len domnienky, čím sa postupne približujeme k pravde (evolúcia vedy). V kontexte induktívneho zovšeobecnenia predstavuje falzifikácia všeobecného výroku nájdenie takého objektu, pre ktorý neplatí vlastnosť (čo môžeme zapísať ako: alebo ). Potom je všeobecný výrok neplatný. Príklad. Uvažujme univerzum veľký počet z nich (podmnožinu všetkých vrán na svete. Pozorovaním vrán zistíme, že pre ) platí: "každá vrana je čierna" (označme túto vlastnosť 16 Moritz Schlick ( ) bol rakúsky filozof a fyzik, vedúci predstaviteľ logického pozitivizmu, zakladateľ Viedenského krúžku novopozitivistov. 17 Karl Raimund Popper ( ) filozof rakúskeho pôvodu, bol významným predstaviteľom moderného liberalizmu, teórie vedy a filozofie. Je považovaný za zakladateľa kritického racionalizmu. 21

22 predikátom Č). Tento pozorovaný fakt môžeme pomerne 'bezpečne' zovšeobecniť pomocou univerzálneho kvantifikátora definovaného na podmnožine : Č(x) Č Ak pozorovateľ nepresne a nedôsledne zovšeobecní svoj poznatok pre celé univerzum, postuluje tak platnosť predikátovej formuly Č(x). Vyvrátenie (falzifikácia) tejto všeobecne platnej formuly potom spočíva v tom, že nájdeme vranu, ktorá nie je čierna. Potom automaticky platí: Č '(x) Č(x))', kde Č ' značí vranu, ktorá nie je čierna (je biela). 18 Ak určitá vlastnosť platí pre niektorý objekt, potom platí aj implikácia: [1.21.] ktorú môžeme prepísať do schémy usudzovania pre konkretizáciu existenčného kvantifikátora: pre nejaký prvok [1.22.] Táto vlastnosť priamo vyplýva z jeho intuitívnej interpretácie pomocou disjunkcie predikátov nad konečným univerzom : [1.23.] Disjunkcia výrokov je pravdivá práve vtedy, keď aspoň jeden jej výrok je pravdivý. Potom existuje aspoň jeden prvok c, pre ktorý je vlastnosť splnená (pravdivá) a platí implikácia Schéma zovšeobecnenia pomocou existenčného kvantifikátora predpokladá, že ak platí určitá vlastnosť pre aspoň jeden konkrétny objekt univerza, potom môžeme tento fakt zovšeobecniť pomocou existenčného kvantifikátora: [1.24.] kde sme použili schému usudzovania s názvom adícia z Tab Túto implikáciu môžeme vyjadriť pomocou schémy usudzovania: pre nejaký prvok c [1.25.] čím dostaneme formulu, podľa ktorej je pravdivosť výroku ekvivalentná pravdivosti výroku s existenčným kvantifikátorom Príklad. Ukážte, že záver ψ vyplýva z predpokladov a : "každý kto navštevuje prednášky z matematiky pre farmaceutov je študentom FaF UK". "Peter navštevuje prednášky z matematiky pre farmaceutov". "Peter je študentom FaF UK". Slovné výroky, a prepíšeme do tvaru výrokových formúl: 18 Vrana inej ako čiernej alebo bielej farby zatiaľ nebola pozorovaná (pozri obrázky dokumentujúce existenciu bielej vrany - albína napr. na stránkach: 22

23 pričom je predikát "prvok x navštevuje prednášky z matematiky pre farmaceutov" a je predikát "prvok je študentom FaF UK". Správnosť záveru overíme nasledovnou postupnosťou formúl: 1.5. Metódy dôkazu 1. predpoklad 1 2. predpoklad 2 3. konkretizácia 1 4. modus ponens na 2 a 3 Dôkaz matematickej vety je demonštrácia založená na pravidlách matematickej logiky, ktorá nespochybniteľne potvrdzuje, že určité tvrdenie je za daných predpokladov pravdivé. Dôkaz vety je vo všeobecnosti zložitý problém, tu si uvedieme niekoľko najznámejších metód dôkazu. Pri priamom dôkaze implikácie postupujeme tak, že ukážeme, že z predpokladu pravdivosti výroku vyplýva tiež pravdivosť výroku. Presnejšie, pri priamom dôkaze vychádzame z axióm a z už dokázaných viet a priamy dôkaz môžeme nahradiť logickým dôkazom: [1.26.] kde na ľavej strane schémy sú všetky axiómy systému, dokázané vety a predpoklad. Pomocou pravidiel usudzovania (Tab. 1.4.) potom z týchto predpokladov odvodíme dôsledok. Príklad. Dokážte vetu: pre kladné reálne čísla 19 a platí: (aritmetický priemer je vždy väčší alebo rovný geometrickému priemeru). Použijeme techniku priameho dôkazu a z predpokladanej pravdivosti predpokladu : pre platí ktorý je zjavne pravdivý (druhá mocnina reálneho čísla je vždy väčšia alebo rovná nule), dokážeme pravdivosť dôsledku : 19 Symbolom označujeme množinu všetkých prirodzených čísel, Symbolom označujeme množinu všetkých celých čísel, Symbolom označujeme množinu všetkých racionálnych čísel, ktoré možno vyjadriť v tvare:, kde a sú nesúdeliteľné celé čísla a. Symbolom označujeme množinu všetkých iracionálnych čísel, ktoré nemožno vyjadriť v tvare:, t.j. čísla ako napr.. Symbolom označujeme množinu všetkých reálnych čísel, ktorá obsahuje všetky predchádzajúce množiny až. Množinu kladných reálnych čísel budeme označovať a množinu záporných reálnych čísel. Symbolom označujeme množinu všetkých komplexných čísel. 23

24 pre platí v tvare implikácie : čím sme dokázali platnosť implikácie. Metóda nepriameho dôkazu je založená na ekvivalencii nazývanej zákon inverzie implikácie: ktorý hovorí, ak v implikácii vymeníme poradie členov, potom musíme negovať aj jej jednotlivé členy. Z tohto zákona vyplýva, že dôkaz implikácie je ekvivalentný dôkazu inverznej implikácie, ktorá sa dokazuje pri nepriamom dôkaze. Príklad. Dokážte vetu ak je prirodzené číslo a je nepárne číslo, potom aj je nepárne číslo. Vetu môžeme opäť prepísať do tvaru implikácie : a budeme dokazovať inverznú implikáciu : Nech je párne číslo, potom existuje také prirodzené číslo, že. Pre takto určené číslo dostaneme:, čo je párne číslo. Týmto sme dokázali platnosť inverznej implikácie, teda musí platiť aj priama implikácia. Ďalší druh dôkazu viet, dôkaz sporom, využíva schému usudzovania reductio ad absurdum, Tab. 1.4., ktorá je založená na formuli výrokovej logiky: [1.27.] a ktorú môžeme interpretovať tak, že ak z predpokladu súčasne vyplýva aj, potom musí byť pravdivá negácia východiskového predpokladu. Príklad. Dokážte vetu: je iracionálne číslo. Predpokladajme najprv, že je racionálne číslo a tento výrok označme symbolom. Z definície racionálnych čísel a z výroku vyplýva, že číslo môžeme napísať v tvare, kde a sú nesúdeliteľné celé čísla, ktorý označíme. Bude teda platiť implikácia. Úpravou výrazu vo výroku dostaneme alebo číslo je deliteľné 3. Dá sa ľahko ukázať, že ak číslo je deliteľné 3, potom aj je deliteľné 3, t.j. ak, potom a je tiež deliteľné 3. Obrátením tejto implikácie dostaneme: ak číslo je deliteľné 3, 24

25 potom aj je deliteľné 3. Teda pre deliteľné 3 ( ) bude platiť, že je tiež deliteľné 3. Týmto sme dokázali, že celé čísla a sú oba deliteľné číslom 3, sú súdeliteľné (je pravdivý výrok, kde a sú súdeliteľné celé čísla ) a platí implikácia. Ukázali sme, že súčasne platia implikácie: a, čím dochádza k sporu. Podľa schémy reductio ab absurdum : potom platí negácia predpokladu: je iracionálne číslo, čo bolo treba dokázať. Ďalším druhom matematického dôkazu je dôkaz vymenovaním prípadov, ktorý môžeme zapísať v tvare implikácie, ktorú môžeme jednoduchými úpravami prepísať do ekvivalentného tvaru: [1.28.] prepis 1 pomocou disjunktívneho tvaru implikácie 3. použitie De Morganovho zákona na 2 4. použitie distributívneho zákona na 3 [1.29.] 5. prepis 4 s disjunktívnym tvarom implikácie Túto formulu môžeme zaznačiť aj v tvare schémy usudzovania: : [1.30.] Dôkaz vymenovaním prípadov používame vtedy, keď výrok je dôsledkom rôznych prípadov Príklad. Dokážte identitu: pre platí:. Použijeme dôkaz vymenovaním prípadov: a), potom, a a dokazovaná nerovnosť má tvar alebo, čo je pravdivý výrok. b), potom, a, dokazovaná nerovnosť má tvar, čo je pravdivý výrok. c), potom, a, dokazovaná nerovnosť má tvar alebo, čo je pravdivý výrok. Podobným spôsobom sa dajú dokázať aj zostávajúce tri možnosti d) f) (, a ). Metóda dôkazu vymenovaním všetkých prípadov môže byť komplikovaná v špeciálnych situáciách, kedy počet všetkých možných prípadov je veľký. V takýchto situáciách sa dnes využívajú počítače, ktoré systematicky preveria aj veľmi veľký počet možných prípadov. 25

26 1.6. Matematická indukcia Ak máme za úlohu dokázať formulu, ktorá hovorí, že vlastnosť platí pre každé prirodzené číslo, dôkaz môžeme uskutočniť pomocou matematickej indukcie. Táto metóda dôkazu je založená na dvoch východiskových predpokladoch: a. Nasledovná postupnosť formúl dokazuje, ako z dvoch predpokladov vyplýva formula : konkretizácia 2 pre n = 1 4. konkretizácia 2 pre n = 2 : 5. konkretizácia 2 pre n = n : [1.31.] 6. modus ponens na 1 a 3 7. modus ponens na 6 a 4 : 8. modus ponens na predchádzajúci riadok a 5 : 9. zovšeobecnenie pomocou Výsledok dosiahnutý pomocou postupnosti elementárnych logických krokov môžeme prepísať do schémy usudzovania matematickej indukcie: [1.32.] Dôkaz matematickou indukciou predpokladá, že existuje minimálna hodnota argumentu, t.j. a že prípad nasleduje hneď po prípade. Preto sa metóda matematickej indukcie obzvlášť hodí pre dôkazy vlastností usporiadanej množiny prirodzených čísel. Matematickú indukciu používal už matematik gréckeho pôvodu Francesco Maurolico 20 a do modernej matematiky a logiky ho zaviedol Giuseppe Peano 21 pri axiomatickej formulácii aritmetiky. Príklad. Dokážte, že suma prvých nepárnych prirodzených čísel sa rovná. Položme sumu prvých nepárnych prirodzených čísel: 20 Francesco Maurolico ( ) bol grécky matematik a astronóm pôvodom zo Sicílie. 21 Giuseppe Peano ( ) bol taliansky matematik a filozof, ktorý významne prispel k rozvoju matematickej logiky a teórie množín. 26

27 Vidíme, že dáva súčet rovný 1, presvedčme sa čomu sa rovná : Dokázali sme, že platnosť formule implikuje formulu pre každé prirodzené číslo, z čoho použitím zovšeobecnenia pomocou univerzálneho kvantifikátora dostaneme: a použitím schémy matematickej indukcie. Tým sme dokázali vetu o sume prvých nepárnych prirodzených čísel. Silná matematická indukcia je špeciálny prípad bežnej matematickej indukcie, keď platí, že vlastnosť vyplýva z konjunkcie vlastností všetkých predchádzajúcich prirodzených čísel :. Použitím analogického odvodenia dostaneme zovšeobecnenú schému usudzovania silnej matematickej indukcie: [1.33.] Príklad. Dokážte, že na rozlámanie čokoládovej tabuľky o veľkosti políčok na jednotlivé políčka potrebujeme urobiť lomov, kde a sú prirodzené čísla. Presvedčme sa najprv, že je splnená vlastnosť, t.j. pre tabuľku s jedným políčkom postačí na úplné rozlámanie lomov. n n i m m j Obrázok 1.4. Schéma pre delenie tabuľky čokolády o veľkosti políčok. Uvažujme ďalej, že prvý lom, ktorý rozlomí tabuľku o veľkosti políčok na 2 časti, (obrázok vpravo) budeme viesť horizontálne po riadku (rovnaká úvaha platí aj pre vertikálny lom) a dostaneme dva obdĺžniky veľkosti a políčok, pričom a boli zvolené 27

28 náhodne z intervalu, kde. Vlastnosť teda vyplýva z konjunkcie všetkých predchádzajúcich vlastností pre :. Potom podľa predpokladu na úplné rozlámanie dvoch vzniknutých častí tabuľky budeme potrebovať plus lomov, čo spolu s počiatočným lomom dáva: Podobne, pre prvý lom vedený po riadku dostávame: Z predpokladu platnosti počtu potrebných lomov pre 2 menšie časti tabuľky o veľkostiach a sme teda odvodili platnosť daného výrazu pre čokoládu ľubovoľnej veľkosti, pričom výsledok nezávisí na voľbe prvého lomu, čo bolo treba dokázať. 28

29 Cvičenia Aké pravidlo usudzovania treba použiť pri dôkaze záverov? a) Ak sneží, zjazdovka je zatvorená. Zjazdovka nie je zatvorená. Preto, dnes nesneží. b) Ak dnes nepôjdem do kina, prečítam si učebnicu. Ak si dnes prečítam učebnicu, zajtra ma nevyhodia z laboratórneho cvičenia Posúďte aké závery vyplývajú z nasledovných výrokov: a) Mám šťastie alebo som múdry. Ak mám šťastie, potom vyhrám v tombole. Nemám šťastie. b) Ak som hladný, potom si kúpim Tatranku. Ak si kúpim Tatranku, potom si kúpim aj kávu. Ak nepôjdem do kaviarne, nekúpim si kávu Zistite, či sú uvedené závery korektné a vysvetlite prečo: a) Každý študent farmácie má v indexe zapísanú prednášku z matematiky. Jakub má zapísanú prednášku z matematiky. Preto Jakub je študentom farmácie. b) Každý, kto má rád ovocie, je zdravý. Karol nie je zdravý. Preto Karol nemá rád ovocie Dokážte nasledujúce výroky: a) Súčin dvoch nepárnych čísel je opäť nepárne číslo. Použite priamy dôkaz. b) Ak je celé číslo a je nepárne číslo, potom je nepárne číslo. Použite nepriamy dôkaz. c) Dokážte, že, kde a sú reálne čísla 22. Použite dôkaz metódou vymenovania prípadov Dokážte pomocou matematickej indukcie: a) Suma prvých n prirodzených čísel sa rovná:. b) Suma štvorcov prvých n prirodzených čísel sa rovná:. c) Ukážte, že pre zovšeobecnené De Morganove formule platí: 22 je funkcia, ktorá vyberie najväčšie číslo z číselnej množiny vyberie najmenšie číslo z. 29. Funkcia

30 Riešenia a) "dnes sneží" "zjazdovka je uzavretá" predpoklad 1 predpoklad 2 dôsledok modus tollens, Tab b) "dnes nepôjdem do kina" "dnes si prečítam učebnicu" "zajtra ma nevyhodia z laboratórneho cvičenia" predpoklad 1 predpoklad 2 dôsledok hypotetického sylogizmu 1.2. a) "mám šťastie" "som múdry" "vyhrám v tombole" predpoklad 1 predpoklad 2 predpoklad 3 Záver: Som múdry. dôsledok disjunktívneho sylogizmu a aplikácia na predpok. 1 a predpok. 2 Záver: Som múdry. b) "som hladný" "kúpim si Tatranku" "kúpim si kávu" "pôjdem do kaviarne" predpoklad 1 predpoklad 2 predpoklad 3 Záver: Ak som hladný, pôjdem do kaviarne. dôsledok 1 : hypotetický sylogizmus na predpoklad 1 a predpoklad 2 dôsledok 2 : inverzia implikácie na predpoklad 3 záver: hypotetický sylogizmus na dôsledok 1 a dôsledok 2 Záver: Ak som hladný, potom pôjdem do kaviarne a) " je študent farmácie" "x má v indexe zapísanú skúšku z matematiky" 30

31 Odvodenie: 1. predpoklad 1 2. predpoklad 2 3. konkretizácia 1 4. použitie chybného pravidla "potvrdenie dôsledku" Záver je nesprávny. b) " má rád ovocie" " je zdravý" Odvodenie: 1. predpoklad 1 2. predpoklad 2 3. konkretizácia 1 4. modus tollens na 2 a 3 Záver je korektný a) " je nepárne číslo". Dokazujeme priamym dôkazom platnosť implikácie:. Ak položíme: a, kde a sú nezáporné celé čísla (t.j. číslam, ktoré nie sú deliteľné dvoma, pri delení 2 dávajú zvyšok 1), potom. b) " je nepárne číslo", " je párne číslo". Máme dokázať: Nepriamy dôkaz uskutočníme dokazovaním inverzie tejto implikácie:. Nech, potom a. Priamym dôkazom inverznej implikácie sme teda nepriamo dokázali platnosť pôvodnej implikácie:. c) Môžu nastať 2 prípady:, potom, potom 31

32 1.5. a) Pre platí:, pre :. Z toho vyplýva pre : b) Pre platí:, pre :. Z toho vyplýva pre : c) Pôvodné De Morganove formule pre majú tvar: a Pre jednoduchosť urobíme dôkaz pre a využijeme formule pre. Tento dôkaz môžeme zovšeobecniť pre, ak poznáme formulu pre. 32

33 2. Teória množín 2.1. Definícia množiny Za zakladateľa teórie množín - privilegovanej matematickej teórie, ktorá patrí k základom modernej matematiky, je považovaný nemecký matematik Georg Cantor. 23 O dôslednú axiomatickú výstavbu tejto teórie sa neskôr zaslúžil najmä anglický logik Bertrand Russell. 24 Definícia. Pojmom množina v matematike označujeme neusporiadaný súbor navzájom rozlíšiteľných prvkov (elementov, matematických objektov). Fakt, že množina A obsahuje určité prvky označujeme:. Na druhej strane, príslušnosť prvku k množine označujeme: (čítame: " patrí do "). Skutočnosť, že prvok nepatrí do množiny označujeme: (pričom výrazy a chápeme ako pravdivé výroky). Množinu môžeme určiť a zapísať dvoma rôznymi spôsobmi: - vymenovaním všetkých prvkov, ktoré do množiny patria: (tento spôsob je použiteľný pre množiny s konečným počtom prvkov), alebo - stanovením predikátu, ktorý určuje, či prvok patrí do množiny (ak je predikát pravdivý) alebo do množiny nepatrí (ak je predikát nepravdivý): 25. Príklad. Množinu A všetkých prirodzených čísel menších ako 9 môžeme zapísať oboma spôsobmi: alebo. Príklad. Nekonečnú množinu všetkých prirodzených čísel deliteľných číslom 3 už môžeme zapísať len pomocou predikátu :, kde také, že, teda: ľ é ľ é Tento spôsob určovania množín môžeme ďalej výhodne rozvinúť použitím charakteristických funkcií, ak predikát budeme definovať pomocou takejto charakteristickej funkcie nasledovne:, kde: [2.1.] Definícia. Množinu A môžeme definovať použitím charakteristických funkcií ako: kde funkcia predstavuje binárne zobrazenie, ktoré ohodnocuje každý prvok x univerza číslom 1 alebo 0 podľa toho, či prvok patrí do množiny alebo do nepatrí. 23 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( ) bol nemecký matematik, známy ako tvorca modernej teórie množín. 24 Bertrand Russell ( ) bol anglický filozof, logik, matematik, sociológ, jeden zo zakladateľov analytickej filozofie. 25 Množina je univerzum (univerzálna množina), nad ktorým sú definované všetky ostatné množiny. 33

34 Charakteristickú funkciu môžeme napríklad použiť na definovanie dvoch špeciálnych množín: univerzálnej množiny a prázdnej množiny. Univerzálna množina (univerzum) obsahuje všetky prvky univerza a prázdna množina neobsahuje žiadny prvok. Príklad. Popíšte množinu pomocou charakteristickej funkcie. Považujme v tomto príklade univerzum U za identické s množinou reálnych čísel. Pre predikát:, bude charakteristická funkcia definovaná nasledovne: 26 čo môžeme graficky znázorniť ako: Obrázok 2.1. Charakteristická funkcia množiny. Charakteristické funkcie môže použiť na definíciu intervalov reálnych čísel. Najprv si ale pripomeňme, že množina reálnych čísel je usporiadaná, t.j. pre dve reálne čísla a, b je usporiadanie definované ako: ). Pre usporiadanie reálnych čísel platia nasledovné pravidlá: - každé reálne číslo je buď kladné, alebo záporné, alebo rovné 0 (nemôže byť zároveň kladné aj záporné a pod.), - ak tranzitívny zákon, - ak, - ak + Tieto pravidlá sa využívajú pri riešení nerovností. Zápis znamená, že alebo. Geometricky môžeme reálne čísla znázorniť pomocou číselnej osi (priamky, na ktorej zvolíme počiatok a kladný smer). Počiatku priradíme číslo 0 a každému bodu, ktorý leží v kladnom smere osi priradíme kladné reálne číslo x, ktoré predstavuje vzdialenosť tohto bodu od počiatku Zápornému číslu priradíme bod, ktorý leží v zápornom smere osi vzdialený o od počiatku (Obr. 2.2). 26 Zápis znamená absolútna hodnota čísla. ak, ak. Geometricky na číselnej osi predstavuje vzdialenosť bodu od počiatku osi. 27 Zápis znamená: reálne číslo patrí do zľava otvoreného, sprava otvoreného intervalu s hranicami -1 a 1 (pozri nižšie). 34

35 ,5 1 2 Obrázok 2.2. Číselná os reálnych čísel. Intervaly predstavujú špeciálne podmnožiny množiny reálnych čísel. Poznáme nasledovné typy intervalov: - uzavretý interval (tento interval teda obsahuje všetky reálne čísla, ktoré ležia medzi číslami a, vrátane týchto hraničných hodnôt a ) - otvorený interval - polouzavreté intervaly - neohraničené intervaly,, Obrázok 2.3. Grafické znázornenie zľava otvoreného sprava uzavretého intervalu osi. Prázdny a plný krúžok označujú príslušnosť hraničných bodov k intervalu. na číselnej Charakteristické funkcie môžeme tiež využiť na definovanie základných operácií nad množinami, ako sú: rovnosť množín, vzťah množiny a podmnožiny, zjednotenie, prienik, doplnok a rozdiel množín. Uvedieme si teraz definície jednotlivých množinových operácií a ich symboly. Definícia. Množina sa rovná množine, píšeme, vtedy a len vtedy, ak sú obe množiny definované nad rovnakým univerzom a charakteristické funkcie oboch množín sú rovnaké: [2.2.] Rovnosť medzi dvoma množinami môžeme alternatívne definovať aj pomocou výrokovej logiky a s použitím logických spojok napríklad takto: Definícia. Množina je podmnožinou množiny píšeme, vtedy a len vtedy, ak každý prvok x z množiny patrí aj do množiny : [2.3.] [2.4.] Vzťah nazývame inklúzia. Ak platí, potom je vhodné formulu nahradiť presnejším tvarom:. Ak a, potom hovoríme, že je vlastnou podmnožinou množiny. Medzi množinami platí rovnosť vtedy a len vtedy, ak je pravdivý predikát: Alternatívna definícia podmnožiny sa dá zapísať aj nasledovne: 35

36 [2.5.] Definícia. Množina je doplnok (komplement) množiny (vzhľadom k univerzu ) vtedy a len vtedy, ak: kde [2.6.] Alternatívna definícia doplnku množiny sa môže zapísať aj ako: [2.7.] Všimnime si, že prvok nepatrí do množiny vtedy a len vtedy, ak patrí do doplnku : Definícia. Množina predstavuje zjednotenie množín a vtedy a len vtedy, ak platí: kde Pre alternatívnu definíciu zjednotenia množín platí: 28 [2.8.] [2.9.] Definícia. Množina predstavuje prienik množín a vtedy a len vtedy, ak platí: kde 29 [2.10.] Množiny a nazývame disjunktné ak platí:. Alternatívne môžeme prienik množín definovať ako: [2.11.] predpoklad 1 predpoklad 2 predpoklad 3 dôsledok disjunktívneho sylogizmu a aplikácia na predpok. 1 a predpok. 2 Definícia. Množina A - B predstavuje rozdiel množín A a B vtedy a len vtedy, ak platí: Alternatívna definícia rozdielu množín má tvar: kde [2.12.] [2.13.] Grafické znázornenie operácií nad množinami pomocou tzv. Vennových diagramov (Obr. 2.4.), ktoré zaviedol anglický matematik a filozof John Venn 30, predstavuje často používaný spôsob vizualizácie a verifikácie korektnosti formúl. 28 Funkcia priradí premennej najvyššiu hodnotu z čísel: 29 Funkcia priradí premennej najnižšiu hodnotu z čísel: 30 John Archibald Venn ( ) bol britský logik a filozof. Preslávil sa prácami v oblasti teórie množín, pravdepodobnosti, logiky, štatistiky a informatiky. 36

37 B U U U B B A A A B A B a b c U U B B A A d A B e A-B Obrázok 2.4. Vennove diagramy množinových operácií. Obdĺžnik = univerzum ( ), kruhy a. predstavujú množiny a (podmnožiny univerza). a diagram predstavuje operáciu doplnok množiny vzhľadom k univerzu. b diagram znázorňuje operáciu prienik, kde tmavšie vyfarbená oblasť predstavuje. c diagram znázorňuje reláciu je podmnožinou. d diagram znázorňuje operáciu zjednotenie, tmavšie vyfarbená oblasť predstavuje. e diagram znázorňuje operáciu mínus, tmavšie vyfarbená oblasť predstavuje. Vyššie uvedené množinové operácie, spolu s konceptom výberu podmnožín danej množiny, tvoria algebru teórie množín. V Tab uvádzame základné formuly, ktoré charakterizujú vlastnosti množinových operácií. Formule v tejto tabuľke je možné znázorniť a ich platnosť overiť pomocou Vennových diagramov. Tabuľka 2.1. Formuly teórie množín. Vlastnosť Formula Komutatívnosť Asociatívnosť Distributívnosť Identita, Idempotentnosť, Dominancia, Adsorpcia, Involúcia Zákon vylúčenia tretieho 37

38 Zákon sporu Rozdiel množín Distributívnosť pre rozdiel De Morganove zákony Ukážme si teraz, ako možno pomocou Vennových diagramov verifikovať platnosť distributívneho zákona pre množiny a :. Ako vidno z Obr. 2.5., konštrukcia Vennovho diagramu pre ľavú a pravú stranu formuly vedie k rovnakému výsledku (horná a dolná časť obrázku vedie k rovnakým výsledným geometrickým obrazcom), čo potvrdzuje platnosť uvedeného zákona. B C B C B C B C A B A B C (B C) (A B) (B C) Obrázok 2.5. Použitie Vennových diagramov na overenie platnosti distributívneho zákona pre množiny a :. Obdĺžnik = univerzum ( ), kruhy predstavujú množiny a (podmnožiny univerza), horný riadok zodpovedá ľavej strane rovnice, spodný pravej. Postup verifikácie formúl na Obr môžeme formalizovať tak, že zavedieme tabuľku pravdivostých hodnôt pre jednotlivé oblasti (plochy) Vennovho diagramu, ktoré očíslujeme nasledovne (Obr. 2.6.): 38

39 Obrázok 2.6. Číslovanie oblastí vo Vennovom diagrame množín a univerza. Napríklad, oblasť 2 obsahuje prvky množiny, ktoré nie sú obsiahnuté v množinách a. Na Obr máme teda označených 8 oblastí univerza, ktoré ležia v presne definovaných podmnožinách množín a, a spolu s oblasťou 1 tvoria celé univerzum. Napríklad, oblasť 6 obsahuje také prvky, ktoré súčasne patria do množín a, ale nepatria do množiny. V tabuľke pravdivostných hodnôt (Tab. 2.2.) bude každej oblasti na obrázku prislúchať jeden riadok. Každému políčku tabuľky priradíme binárnu hodnotu (0 alebo 1), podľa toho, či pre danú oblasť existuje (1) alebo neexistuje (0) prvok, ktorý vyhovuje formuli zapísanej v hlavičke stĺpca. Skúmaná formula bude pravdivá práve vtedy, keď pre každú oblasť 1-8 dostaneme rovnaký výsledok pre ľavú aj pravú stranu formuly. Pri overovaní pravdivosti zložitejších formúl sa pritom riadime pravidlami pre pravdivostné hodnoty základných logických spojok (Tab. 1.1.) 31. Tabuľka 2.2. Tabuľková metóda verifikácie platnosti formuly: Oblasť a a číslovanie oblastí je znázornené na Obrázku 2.4. ľavá strana pravá strana Príklad. Dokážte pomocou tabuľkovej metódy správnosť De Morganových vzťahov: a 31 Využijeme pritom korešpondenciu medzi logickými spojkami výrokov a množinovými operáciami:,,, a tak, ako je to uvedené vyššie v alternatívnych definíciách základných množinových operácií. 39

40 Príklad. Dokážte De Morganovu formulu pomocou vlastností charakteristických funkcií. - Použijeme algebraickú identitu:, ktorá sa dá dokázať vymenovaním prípadov (kapitola 1.5.) a ukážeme, že obe charakteristické funkcie sú totožné pre ľubovoľné množiny a a že platí: Použitím definície rovnosti množín dostaneme, že množiny a sa rovnajú. Príklad. Dokážte distributívny zákon zjednotenia, vzhľadom na rozdiel množín, pomocou formúl teórie množín: Pri dôkaze použijeme formulu, ktorá vyjadruje rozdiel množín: (Tab. 2.1.). Ľavú a pravú stranu dokazovanej formuly upravíme nasledovne: Úpravou ľavej a pravej strany formuly sme dospeli k zhodnému výrazu, potvrdili sme teda platnosť distributívneho zákona pre rozdiel množín Enumerácia konečných množín V tejto časti sa budeme zaoberať enumeráciou (výpočtom, vymenovaním) prvkov konečných množín. Ak je množina konečná (má spočítateľný počet prvkov), potom počet prvkov, ktoré množina obsahuje, nazývame mohutnosťou množiny a značíme. V prípade, že množina nie je konečná, potom jej mohutnosť je tiež nekonečná. Pre disjunktné množiny a ( ) je mohutnosť ich zjednotenia daná súčtom mohutností jednotlivých množín: 40 [2.14.] Ak množiny a nie sú disjunktné (majú neprázdny prienik, ), potom je mohutnosť ich zjednotenia daná formulou (Obrázok 2.5.): [2.15.]

41 Túto formulu môžeme ľahko dokázať pomocou rozkladu množín a na disjunktné podmnožiny tak, ako je to znázornené na Obr Obrázok 2.7. Rozklad množín a na tri disjunktné podmnožiny. Pre mohutnosť množín a a ich zjednotenia dostaneme: [2.16.] pričom kombináciou týchto troch formúl dostaneme vyššie uvedený vzťah pre mohutnosť množiny pre nedisjunktné množiny. Formula [2.16] môže byť rozšírená pre mohutnosť zjednotenia 3 množín: [2.17.] Príklad. Do prvého ročníka Farmaceutickej fakulty sa zapísalo 230 študentov. V skúškovom období zimného semestra urobilo skúšku z matematiky ( ) 200, z fyziky ( ) 210 a zo všeobecnej biológie ( ) 220 študentov. Skúšku z matematiky a z fyziky má 190, z matematiky a z biológie 195 a z fyziky a z biológie 200 študentov. Máme zistiť, aký počet študentov má urobené všetky 3 skúšky, 2 skúšky a iba 1 skúšku. U M 2 F B Obrázok 2.8. Číslovanie disjunktných oblastí vo Vennovom diagrame množín a univerza. 41

42 Ako prvé vypočítame koľko študentov urobilo skúšku zo všetkých troch predmetov (t.j. chýba im 0 skúšok ), teda hľadáme (oblasť 1, Obr. 2.8.), pomocou formule [2.17.], pričom predpokladáme, že každý študent urobil aspoň jednu skúšku: teda. Ďalej vypočítame, koľko študentov má skúšku z matematiky a fyziky, ale nie z biológie, pomocou nasledovnej úvahy: (čo predstavuje súčet hodností dvoch disjunktných oblastí 1 a 2 na Obr. 2.7.). Z toho: Podobne určíme: Počet študentov, ktorým chýba jedna skúška je teda spolu rovný:. Počet študentov, ktorým chýbajú 2 skúšky zistíme ako rozdiel počtu všetkých študentov a tých, ktorým nechýba žiadna (oblasť 1, Obr. 2.8.) alebo len 1 skúška (oblasti 2, 3 a 4, Obr. 2.8.): Na začiatku 20. storočia rozšírili Ernst Zermelo a Abraham Fraenkel 32 obsah pojmu množina (definovaný pôvodne ako neusporiadaný súbor navzájom rozlíšiteľných prvkov) v axiomatickej výstavbe teórie množín tak, že zaviedli zovšeobecnenú množinu R nazývanú rodina množín, ktorej prvkami sú iné množiny. Rodinu množín definovali ako: R kde index je prirodzené číslo z množiny, keď predpokladáme, že pre každé i existuje množina. Na ďalšej vyššej úrovni axiomatickej teórie množín potom hovoríme o triede množín, ktorá ako svoje prvky obsahuje rodiny množín, atď. Pre rodinu množín R môžeme definovať operácie zjednotenia a prieniku jej množín: [2.18.] Takáto axiomatická teória pomohla odstrániť niektoré paradoxy pôvodnej intuitívnej teórie množín, ako napr. Russellov paradox Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo ( ) bol nemecký matematik a logik. Abraham Halevi Fraenkel ( ) bol izraelský matematik nemeckého pôvodu. 33 Ak je množina všetkých možných množín, ktoré neobsahujú samy seba ako prvky: obsahuje potom množina samu seba?? (B. Russell, 1901). 42

43 Príklad. Rodina množín obsahuje množiny, kde je reálne číslo. Geometrická interpretácia množiny usporiadaných dvojíc je v karteziánskej súradnicovej sústave (ortogonálnom súradnicovom systéme) 34 parabola s vrcholom v počiatku súradníc (Obr. 2.9.). Prienik množín je jednoprvková množina, ktorá obsahuje stred súradnicového systému a zjednotenie množín predstavuje celú rovinu okrem osi ale zahŕňa počiatok (Obr. 2.9.): y x Obrázok 2.9. Geometrická interpretácia rodiny množín. Vytieňovaná oblasť (rovina ) okrem zvislej osi vrátane počiatku súradnicového systému (bodu znázorňuje zjednotenie všetkých množín. Každá množina je reprezentovaná parabolou. Definícia. Množina sa nazýva potenčná množina množiny práve vtedy, keď obsahuje všetky možné podmnožiny množiny : Potenčná množina obsahuje aj samotnú množinu a prázdnu množinu, pretože obidve tieto množiny sú podmnožinami. spĺňa tieto vlastnosti: [2.19.] Dôkaz. Dokážme vlastnosť [2.19.]. Budeme pritom postupovať tak, že dokážeme implikáciu:. Predpokladajme, že, potom: Čím sme dokázali platnosť: 34 Ortogonálny (pravouhlý) súradnicový systém (tiež karteziánska súradnicová sústava), v ktorom je bod v rovine charakterizovaný dvojicou súradníc - reálnych čísel (usporiadaná dvojica ), zaviedol francúzsky matematik a filozof René Descartes ( ), považovaný za zakladateľa analytickej geometrie. 43

44 Príklad. Potenčná množina množiny. Mohutnosť potenčnej množiny konečnej množiny je daná výrazom:, kde je mohutnosť množiny. Tento výsledok ľahšie porozumieme pomocou nasledovnej úvahy: nech množina má členov. Potom si ľubovoľnú podmnožinu množiny môžeme zapísať pomocou binárneho reťazca dĺžky, v ktorom každý člen reťazca reprezentujúci prvok bude nadobúdať hodnotu 1 alebo 0 podľa toho, či je prvok v danej podmnožine prítomný alebo nie, napr.:. Celkový počet rôznych binárnych reťazcov dĺžky je a teda aj mohutnosť potenčnej množiny Karteziánsky súčin množín Usporiadané dvojice prvkov (čísel) sa využívajú vo viacerých matematických disciplínach, napríklad v analytickej geometrii. Na určenie polohy bodu v rovine požívame usporiadané dvojice súradníc a. Dva body (usporiadané dvojice) a sú si rovné (sú identické, ležia v tom istom mieste roviny) ak sú rovnaké ich súradnice: a. Definícia. Množina sa nazýva karteziánsky súčin dvoch množín a, ak platí: a [2.20.] y 1 [x 1, y 1 ] [x 2, y 1 ] [x 3, y 1 ] Y y 2 [x 1, y 2 ] [x 2, y 2 ] [x 3, y 2 ] X Y y 3 [x 1, y 3 ] [x 2, y 3 ] [x 3, y 3 ] X x 1 x 2 x 3 Obrázok Schematické znázornenie karteziánskeho súčinu množín. a Karteziánsky súčin teda predstavuje množinu všetkých usporiadaných dvojíc takých, kde prvá súradnica patrí do množiny a druhá súradnica patrí do množiny. Pre karteziánsky súčin množín platia nasledovné vlastnosti. Ak, potom a ak aspoň jedna z množín alebo je prázdna množina, potom aj karteziánsky súčin. V prípade, ak obidve množiny a nie sú prázdne, potom súčin vtedy a len vtedy, ak. Táto vlastnosť je priamym dôsledkom podmienky rovnosti medzi dvoma usporiadanými dvojicami. Nech množina obsahuje prvkov a množina 44

45 Y nech obsahuje prvkov, teda mohutnosť a. Potom počet členov množiny karteziánskeho súčinu, mohutnosť:. Koncept usporiadanej dvojice môžeme zovšeobecniť na usporiadanú n-ticu ak rozšírime karteziánsky súčin dvoch množín na súčin množín: Mohutnosť n-násobného karteziánskeho súčinu bude analogicky rovná:. Príklad. Nech a, potom karteziánsky súčin. [2.21.] Príklad. Nech množina a množina, potom grafickým znázornením (grafom) množiny je množina usporiadaných dvojíc reprezentovaných bodmi: Y 3 5 [2, 5] [3, 5] 4 [2, 4] [3, 4] 2 1 [2, 1] [3, 1] X Obrázok Znázornenie karteziánskeho súčinu dvoch množín ako množiny usporiadaných dvojíc, bodov ( ) v rovine. Príklad. Nech množina je množina reálnych čísel. Potom je množina, ktorá obsahuje všetky usporiadané n-tice reálnych čísel (tzv. n-rozmerný lineárny priestor): Pre karteziánsky súčin množiny s množinou vytvorenou prienikom alebo zjednotením dvoch množín a platí distributívny zákon: 35 } [2.22.] 35 Distributívny zákon pre násobenie vzhľadom na sčítanie: aritmetiky. 45 poznáme z hodín

46 Dokážeme platnosť rovnosti [2.22.]. Nech platí, potom z definície usporiadanej dvojice vyplýva, že a. Z výrazu plynie, že z patrí do množiny a zároveň aj do množiny. Potom aj tiež, čiže, čím sme dokázali platnosť. Predpokladajme teraz naopak, že. Potom a zároveň aj. Tieto vzťahy môžeme prepísať nasledovne: a tiež. Platí teda. Spojením týchto dvoch relácií inklúzie dostaneme dokazovanú rovnosť:. Ostatné rovnosti distributívneho zákona sa dajú dokázať analogickým spôsobom. Príklad. Nech množiny a. Potom platí: Porovnaním pravých strán obidvoch výrazov zistíme, že ľavé strany výrazov sa rovnajú Relácie Definícia. Majme dve množiny a, potom množinu nazveme binárnou reláciou z množiny do množiny práve vtedy, keď je podmnožinou karteziánskeho súčinu a reláciu zapíšeme pomocou charakteristickej funkcie ako: [2.23.] Na Obr je znázornená relácia množín a,, táto relácia obsahuje 3 usporiadané dvojice z karteziánskeho súčinu, ktorý obsahuje prvkov. y 1 R [x 1, y 1 ] [x 2, y 1 ] [x 3, y 1 ] Y y 2 [x 1, y 2 ] [x 2, y 2 ] [x 3, y 2 ] X Y y 3 [x 1, y 3 ] [x 2, y 3 ] [x 3, y 3 ] X x 1 x 2 x 3 Obrázok Schematické znázornenie relácie a (vytieňovaná oblasť). ako podmnožiny karteziánskeho súčinu množín 46

47 Definícia. Nech je relácia, potom množina usporiadaných dvojíc, inverzia ktorých patrí do relácie ), sa nazýva inverzná relácia (vzhľadom k relácii ) práve vtedy, keď: [2.24.] Pre dve relácie a, ktoré sú definované nad rovnakou dvojicou množín, pomocou svojich charakteristických funkcií: môžeme definovať prienik, zjednotenie a doplnok relácií pomocou množinových operácií. Definícia. Reláciu nazývame prienik relácií a práve vtedy, keď platí: kde [2.25.] Reláciu nazývame zjednotenie relácií a práve vtedy, keď platí: kde [2.26.] Reláciu nazývame doplnok relácie S práve vtedy, keď platí: kde [2.27.] Príklad. Majme relácie S a T, ktoré sú definované na množine, kde a takto: a. Prienik, zjednotenie a doplnok relácií a inverzné relácie a sú znázornené na Obr X X X X a S Y a T Y Y S -1 a Y T -1 a γ γ γ γ b b b b δ δ δ δ c c c c A B C D X X X X a S T Y a S T Y a Y a Y γ γ γ γ b b b b δ δ δ δ c c c c E F G H 47

48 Obrázok Diagramy A a B znázorňujú relácie a definované nad množinami a. Diagramy C a D znázorňujú inverzné relácie a. Diagramy E a F znázorňujú prienik a zjednotenie relácií a. Diagramy G a H znázorňujú doplnky relácií a. Definícia. Nech a sú dve relácie: a, potom reláciu nazývame kompozíciou relácií a (zložená relácia) vtedy a len vtedy, keď pre jej charakteristickú funkciu platí: [2.28.] Kompozícia relácií teda znamená, že dva prvky a tvoria usporiadanú dvojicu práve vtedy, keď existuje taký medzičlánok, pre ktorý platí a, Obr [x, z] R x z [x, y] T [y, z] S y Y X Z Obrázok Znázornenie kompozície dvoch relácií. Príklad. Majme tri množiny, a. Nad množinami sú definované dve relácie a, ktoré majú tvar: potom kompozícia týchto dvoch relácií je daná ako: Grafická interpretácia týchto relácií je zobrazená na Obr T x 1 S y 1 y 1 z 1 x 2 y 2 y 2 z 2 x 3 A B T S T x 1 S x 1 z 1 z 1 x 2 y 1 x 2 z 2 z 2 x 3 y 2 x 3 C D 48

49 Obrázok Diagramy A a B znázorňujú relácie a z predchádzajúceho príkladu. Kompozícia je vytvorená spojením oboch relácií pomocou spoločných prvkov diagram C. Ak v diagrame C existuje cesta z vrcholu do vrcholu cez ľubovoľný bod, potom graf reprezentujúci kompozíciu (diagram D) obsahuje aj hranu z do. Z Obr je zrejmé, že relácie, a majú diagramatickú interpretáciu pomocou orientovaného grafu. Prvky množín a tvoria vrcholy (bodky) a usporiadané dvojice a tvoria orientované hrany (šípky), ktoré sa začínajú a končia vo vrcholoch. Relácie, ktoré sú definované ako podmnožina karteziánskeho súčinu hodnotiť z hľadiska nižšie uvedených vlastností. Definícia. Relácia sa nazýva: - reflexívna práve vtedy, keď ) - symetrická práve vtedy, keď - antisymetrická práve vtedy, keď - tranzitívna práve vtedy, keď môžeme Príklad. Nech je množina všetkých reálnych čísel a relácia je daná ako:. Relácia spĺňa nasledovné vlastnosti: - je reflexívna, pretože pre každé platí, teda, - nie je symetrická, pretože neplatí vzťah: pre ľubovoľné, - je antisymetrická, pretože platí:, pre ľubovoľné, - je tranzitívna, pretože: a Funkcie Funkcie alebo zobrazenia predstavujú v matematike jednoznačný predpis, pomocou ktorého každému prvku (argumentu) z množiny priradíme práve jeden prvok - funkčnú hodnotu v bode z množiny :, Obr Výraz predstavuje funkčný predpis alebo analytický tvar funkcie. Funkciu môžeme považovať za reláciu, teda za množinu usporiadaných dvojíc:. Prvky a sa nazývajú premenné: je nezávisle premenná a závisle premenná. f Obrázok Schematické znázornenie zobrazenia :. Obor funkčných hodnôt je vo všeobecnosti len podmnožinou. 49

50 Definícia. Relácia sa nazýva funkcia práve vtedy, keď pre každé existuje práve jedno také, že : [2.29.] kde symbol znamená, že existuje práve jeden prvok. Množina sa nazýva obor definície (alebo definičný obor) funkcie a množina sa volá obor hodnôt funkcie (Obr ): Pritom vo všeobecnosti nemusí byť totožné s. Ak platí, potom sa nazýva argument alebo vzor a sa nazýva funkčná hodnota alebo obraz (image) argumentu. Ak poznáme funkčný predpis reálnej funkcie (t. j. funkcie definovanej na množine reálnych čísel ) a jej definičný obor nie je daný, potom za definičný obor považujeme množinu takých reálnych čísel, pre ktoré vieme nájsť reálnu funkčnú hodnotu. Nazývame ju prirodzený definičný obor. Príklad. Nájdite prirodzený definičný obor funkcie:. Úlohu riešime tak, že hľadáme také, pre ktoré a zároveň. Ľahko zistíme, že Funkcia predstavuje špeciálny prípad relácie, ktorá vyhovuje podmienke jednoznačnosti [2.29.], ktorú môžeme vyjadriť aj ako:. Teda funkcia f priradí danému argumentu x len jednu jedinú konkrétnu hodnotu (jednoznačné priradenie). Definícia. Nech je reálna funkcia s definičným oborom. Grafom funkcie je množina bodov Euklidovskej roviny: 36 [2.30.] Predpis reálnej funkcie (ďalej len funkcie) možno zadať viacerými spôsobmi: analyticky (pomocou rovnice, funkčného predpisu), pomocou viacerých rovníc, grafom, tabuľkou alebo algoritmom výpočtu. 36 Starogrécky matematik Euklides z Alexandrie ( p.n.l.) položil základy rovinnej a priestorovej geometrie a teórie čísiel. Spresnil deduktívne chápanie matematiky, založené na axiómach a postulátoch. 50

51 Obrázok Grafy niektorých elementárnych funkcií: a. Množinu usporiadaných dvojíc teda znázorňujeme ako množinu bodov v rovine, napríklad pomocou pravouhlej (karteziánskej) 37 súradnicovej sústavy, t.j. dvoch na seba kolmých číselných osí (vodorovnej osi a zvislej osi, ktoré sa pretínajú v počiatku). Nezávisle premenná predstavuje prvú súradnicu bodu na osi a závisle premenná značí druhú súradnicu na osi, pričom každému bodu roviny zodpovedá jediná usporiadaná dvojica reálnych čísel a naopak, Obr Vzdialenosť dvoch bodov a je v Euklidovskej rovine definovaná podľa Pytagorovej vety 38 ako: [2.31.] Obrázok Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, súradnice a vzdialenosť dvoch bodov a v rovine. 37 Názov súradnicovej sústavy je odvodený z latinského mena Cartesius francúzskeho filozofa menom René Descartes, ktorý ju začal používať v roku 1637 ako jeden z prvých matematikov. 38 Grécky filozof a matematik Pytagoras zo Samosu ( p.n.l.) je známy najmä svojou vetou o vzťahu medzi dĺžkami strán v pravouhlom trojuholníku. 51

52 Funkcia sa nazýva prostá alebo jedno-jednoznačná funkcia (injekcia), ak dvom rôznym hodnotám argumentu priradí dve rôzne funkčné hodnoty:. Pre jedno-jednoznačné funkcie je podmienka rôznosti argumentov ekvivalentná rôznosti zodpovedajúcich funkčných hodnôt:. Funkciu : nazývame bijekcia vtedy, keď pre každý prvok existuje v množine taký prvok, že:, t.j. [2.32.] A B Obrázok A. Graf prostej funkcie. B. Graf funkcie, ktorá nie je prostá. Definícia. Dve funkcie : a : a rovnajú práve vtedy, keď platí: Narábanie s funkciami nám uľahčuje poznanie vlastností funkcií, ktoré sú spojené s grafickou interpretáciou reálnej funkcie v karteziánskom súradnicovom systéme. Definícia. Funkcia sa nazýva párna, ak: - - Funkcia f sa nazýva nepárna, ak: - - Funkcia f sa nazýva periodická, ak: - - Funkcia sa nazýva rastúca na množine, ak: - Funkcia sa nazýva klesajúca na množine, ak: - 52

53 Funkcia sa nazýva nerastúca na množine, ak: - Funkcia sa nazýva neklesajúca na množine, ak: - Funkcia f sa nazýva zdola (zhora) ohraničená, ak: - Funkcie rastúce alebo klesajúce na celom sa nazývajú rýdzo monotónne. Funkcia je ohraničená, ak je súčasne ohraničená zdola aj zhora. Ak existuje najmenšie horné (najväčšie dolné) ohraničenie funkcie, nazývame ho suprémum (infimum) funkcie. Ak je suprémum (infimum) funkčnou hodnotou v nejakom bode, potom ho nazývame maximum (minimum) funkcie. Príklad. Ukážte, že funkcia je rastúca na intervale Ak potom aj a teda aj, čiže je rastúca. Príklad. Zistite, či funkcia je párna. Pre každé platí:, teda, preto je párna. Príklad. Zistite, či funkcia je párna., platí:, preto funkcia je nepárna. Príklad. Určte, či funkcia je periodická a nájdite periódu. Hľadáme také číslo, aby pre každé platilo:. Vieme, že funkcia kosínus je periodická s periódou, teda platí:, z čoho dostávame: alebo. Príklad. Zistite, či funkcia je ohraničená. Platí:, je zdola ohraničená, má infimum, ale nemá minimum. je aj zhora ohraničená, má supremum, ale nemá maximum, Obr

54 Obrázok Grafy funkcií, a. Podobne ako sme v predchádzajúcich častiach opísali kompozíciu dvoch relácií, môžeme vytvoriť kompozíciu dvoch funkcií : a : novú funkciu (zložená funkcia) :. Definícia. Kompozíciou funkcií : a : vznikne zložená funkcia : práve vtedy, keď: [2.33.] Funkciu nazývame vnútorná zložka a funkciu voláme vonkajšia zložka zloženej funkcie. x z y Obrázok Znázornenie kompozície dvoch funkcií. Zložená funkcia existuje len vtedy, ak prienik oboru funkčných hodnôt prvej funkcie a definičného oboru druhej funkcie nie je rovný prázdnej množine. Zloženú funkciu zostrojíme tak, že budeme aplikovať vonkajšiu funkciu na obraz (výsledok) vnútornej funkcie. Vypočítame teda najprv obraz vnútornej funkcie: a tento potom použijeme ako argument pre vonkajšiu funkciu: Príklad. Majme dve reálne funkcie, prvá : má analytický tvar, definičný obor R a obor hodnôt množinu nezáporných čísel. Druhá funkcia : má tvar, a. Kompozíciu funkcií 54

55 na definičnom obore dostaneme postupným aplikovaním funkčných predpisov vonkajšej funkcie na výsledok vnútornej funkcie ako. Obrázok Graf funkcie, a zloženej funkcie. Inverzná funkcia je podobne ako inverzná relácia určená výmenou (inverziou) poradia prvkov usporiadaných dvojíc, rovnica [2.24.]. Aj inverzná funkcia musí spĺňať podmienku jednoznačnosti ([2.24.]), preto inverzná funkcia môže existovať len pre jednojednoznačnú funkciu. Definícia. Nech existuje prostá funkcia : ([2.32.]), potom hovoríme, že funkcia : je inverzná funkcia k funkcii práve vtedy, keď spĺňa podmienku: [2.34.] Je zrejmé, že ak funkcia je inverzná k prostej funkcii, potom inverzná funkcia k je pôvodná funkcia:. Inverznú funkciu skonštruujeme tak, ako u inverzných relácií, zámenou poradia prvej a druhej súradnice usporiadaných dvojíc alebo závisle a nezávisle premennej:, teda: Úpravou tejto rovnosti dostaneme vzťah pre inverznú funkciu v obvyklom tvare, kde reprezentuje. Príklad. Nájdite funkciu inverznú k funkcii. Lineárna funkcia má definičný obor (t. j. všetky reálne čísla) a obor hodnôt. Funkcia monotónne rastie a je prostá. Preto bude k funkcii existovať inverzná funkcia, ktorú nájdeme nasledovným postupom: :.: úpravou poslednej rovnice dostaneme inverznú funkciu v tvare (Obr A): 55

56 Príklad. Nájdite funkciu inverznú k funkcii 39 Funkcia má definičný obor a obor hodnôt, monotónne rastie a je prostá. Preto bude k funkcii existovať inverzná funkcia na intervale, ktorú nájdeme takto: : : úpravou druhej rovnice dostaneme inverznú funkciu v tvare (Obr B): A B Obrázok A. Graf funkcie a inverznej funkcie. B. Graf funkcie a inverznej funkcie. Všimnime si na grafe dvoch inverzných funkcií, že prechádzajú bodmi so súradnicami a pre ktoré platí a a ktoré sú navzájom symetrické podľa osi Základné reálne funkcie Polynóm Polynómom alebo mnohočlenom nazývame reálnu funkciu tvaru: kde koeficienty (čísla) [2.35.] Definičným oborom polynómu je množina reálnych čísel. Ak, potom číslo nazývame stupňom polynómu. Číslo budeme nazývať koreňom polynómu, ak (v bode alebo graf funkcie pretína x-ovú os) a ak existuje taký polynóm, že platí: kde N [2.36.] 39 Definícia exponenciálnej funkcie: a logaritmickej funkcie: sa nachádza v odseku

57 a zároveň nie je koreňom polynómu, t.j.. Ak, predstavuje jednoduchý koreň, ak, potom je k-násobným koreňom. Polynóm prvého stupňa: nazývame koreňovým činiteľom. Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že korene sú reálne čísla, vo všeobecnosti však platí, že korene polynómu môžu byť aj komplexné čísla ( C ). 40 Medzi polynómami sú definované operácie sčítania a násobenia tak, že pre každé platí: a, pričom sčítanie uskutočníme tak, že sčítame koeficienty pri rovnakých mocninách premennej a násobenie vykonáme tak, že vynásobíme každý člen polynómu s každým členom polynómu (rovnako ako pri násobení mnohočlenov). Výsledkom sčítania (rozdielu) alebo násobenia polynómov je opäť polynóm. Dva polynómy a : a stupňa a sa navzájom rovnajú, ak:,,,...,, t.j. sú rovnakého stupňa a navzájom sa rovnajú koeficienty pri odpovedajúcich mocninách premennej. Definícia. Nech je prirodzené číslo. Rovnicu s neznámou tvaru: [2.37.] kde sú reálne (alebo komplexné) čísla a, nazývame algebraickou rovnicou n-tého stupňa. Veta. Základná veta algebry hovorí, že polynóm stupňa (algebraická rovnica n-tého stupňa) má práve koreňov (pričom k-násobný koreň počítame k-krát). Pripomíname, že koreňom reálneho polynómu sú reálne, ale aj komplexné čísla (napr. koreň polynómu druhého stupňa: ). Ak sú navzájom odlišné reálne korene polynómu s nepárnou násobnosťou, potom v každom z intervalov,,..., bude polynóm nadobúdať len kladné alebo záporné hodnoty, pričom v dvoch susedných intervaloch bude nadobúdať opačné znamienko (Obr ). 40 Komplexné čísla definoval nemecký matematik a fyzik Johann Carl Friedrich Gauss ( ) ako zovšeobecnenie reálnych čísel, ktoré zobrazujeme ako body na číselnej osi. Komplexné čísla definoval ako body Gaussovej roviny, keď komplexnému číslu priradil reálnu zložku (a - priemet do osi x) a imaginárnu zložku (bi - priemet do osi y). Reálne čísla tvoria podmnožinu komplexných čísel ( ). Komplexné čísla presahujú rámec osnov predmetu Matematika pre farmaceutov. 57

58 Obrázok Graf polynómu: znamienka. a Veta. Nech algebraická rovnica má práve rôznych koreňov tak, že je k 1 - násobný koreň, je k 2 -násobný koreň,..., je k r -násobný koreň. Potom: a algebraickú rovnicu možno napísať v tvare: [2.38.] V praxi sa stretávame s algebraickými rovnicami, ktoré majú reálne koeficienty a pre ktoré hľadáme reálne korene. Avšak korene takýchto rovníc sú často iracionálne čísla, ktoré môžeme nájsť len s istou presnosťou metódami, ktoré patria do oblasti numerickej matematiky. Pri riešení jednoduchších algebraických rovníc s celočíselnými koeficientmi nám môže pomôcť nasledovná veta. Veta. Ak algebraická rovnica s celočíselnými koeficientmi: [2.39.] kde Z (sú celé čísla), má racionálny koreň, kde a sú celé nesúdeliteľné čísla, potom koeficient je deliteľný číslom a koeficient je deliteľný číslom. Príkladom najjednoduchších polynómov sú lineárna a kvadratická funkcia, ktoré sú dané predpismi: a. Zo strednej školy vieme, že rovnica priamky (lineárna funkcia 41 ), ktorá prechádza bodom roviny so súradnicami a má danú smernicu, je:. Smernica priamky, ktorá spája dva rôzne body so súradnicami a má tvar:. Rovnako si pamätáme, že korene kvadratickej rovnice:, kde vypočítame podľa vzorca: kde diskriminant: [2.40.] 41 Výraz lineárna rovnica znamená, že neznáme v tejto rovnici vystupujú v tvare súčtu alebo rozdielu, prípadne sú násobené reálnymi koeficientmi. Nevystupujú v tvare súčinu, podielu alebo v mocninách s exponentom. 58

59 Kvadratická rovnica má dva reálne korene, ak, jeden dvojnásobný koreň ak a nemá žiadny reálny koreň ak. Príklad. Nájdite rovnicu priamky, ktorá má smernicu rovnú a prechádza bodom so súradnicami. Rovnica bude mať tvar:, teda:. Príklad. Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodmi: a. Rovnica bude mať všeobecný tvar:, v našom prípade:, po úprave:. Príklad. Nakreslite graf kvadratickej funkcie:. Základné charakteristiky paraboly vyjadrenej všeobecnou kvadratickou funkciou: nájdeme doplnením kvadratického trojčlena na úplný štvorec: Toto je rovnica paraboly (krivky, ktorej body majú rovnakú vzdialenosť od daného bodu - ohniska a od riadiacej priamky), ktorá má zvislú os symetrie, roztvára sa dohora ( ), má vrchol v bode, ohniskovú vzdialenosť, ohnisko v bode a riadiacu priamku. Grafom funkcie: bude teda parabola znázornená na Obr ohnisko vrchol riadiaca priamka Obrázok Graf paraboly: riadiacej priamky., so znázornením polohy vrcholu, ohniska a Príklad. Nájdite reálne korene polynómu:. Výraz môžeme rozložiť pomocou nasledujúcich vzorcov: 59

60 takto: Pretože obidva kvadratické trojčleny majú záporné diskriminanty ( koreňmi budú čísla a. ), jedinými reálnymi Príklad. Nájdite reálne korene algebraickej rovnice. Korene algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientmi hľadáme v tvare podielu dvoch celých čísel, kde je deliteľom čísla ( ) a je deliteľom čísla ( ). Rovnica bude mať najviac rôzne korene (polynóm 4. stupňa). Teda:, a Korene budeme hľadať delením polynómu koreňovými činiteľmi pomocou Hornerovej schémy. Polynóm delíme výrazom tak, že koeficienty polynómu stupňa o jednotku nižšieho: dostaneme podľa nasledovnej schémy: kde:,,,..., Číslo je zvyšok delenia. Ak, potom je koreňom Polynómu. Začneme teda od najjednoduchších hodnôt a delíme polynóm 4. stupňa postupne možnými koreňmi v tvare až kým nenájdeme 4 korene (stupeň nášho polynómu sa rovná 4): Pre všetky 4 testované hodnoty koreňov (posledný stĺpec vpravo), preto platí: sme dostali v Hornerovej schéme nulový zvyšok Racionálna lomená funkcia Majme dva polynómy a stupňa a, kde, potom funkcia: 60

61 [2.41.] sa nazýva racionálnou lomenou funkciou. Ak platí, že (t.j. stupeň polynómu je nižší ako stupeň polynómu ), potom nazývame rýdzo racionálnou funkciou. Definičným oborom rýdzo racionálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, okrem koreňov polynómu :. Ak nie je rýdzo racionálnou funkciou, potom delením polynómu polynómom dostaneme súčet polynómu a racionálnej funkcie, napr.: Znamienko racionálnej funkcie určíme pomocou intervalov s hranicami určenými koreňmi polynómov a čitateľa a menovateľa. Nech sú navzájom rôzne reálne korene polynómov a s nepárnou násobnosťou, potom v každom z intervalov bude polynóm nadobúdať len kladné alebo záporné hodnoty, pričom v dvoch susedných intervaloch bude nadobúdať opačné znamienko (krivka v okolí reálneho koreňa s párnou násobnosťou nepretína x-ovú os a teda nemení znamienko). Príklad. Určte znamienko racionálnej lomenej funkcie: Čitateľ aj menovateľ sú len čiastočne rozložené na súčin koreňových činiteľov, preto najprv dokončíme rozklad: Po rozložení a vykrátení má racionálna lomená funkcia tvar: Reálne korene čitateľa a menovateľa s nepárnou násobnosťou sú: a a s párnou násobnosťou:. Rozdeľme definičný obor podľa nepárne-násobných koreňov. Určíme znamienko v bode dosadením:. Znamienka v okolitých intervaloch sa budú pravidelne striedať, Obr interval Znamienko 61

62 Obrázok Graf racionálnej lomenej funkcie: a jej znamienka. Príklad. Nakreslite graf racionálnej lomenej funkcie:. Funkcia predstavuje najjednoduchší tvar racionálnej lomenej funkcie, ktorej grafom je hyperbola, t.j. krivka, ktorej body spĺňajú nasledovnú podmienku: rozdiel ich vzdialeností od ohnísk hyperboly je rovný ohniskovej vzdialenosti krát (Obr A). Rovnoosá hyperbola so stredom v bode má rovnicu:. Preto najprv upravíme našu funkciu na tento tvar: Grafom funkcie je teda rovnoosá hyperbola so stredom v bode, Obr B A B Obrázok A. Rovnoosá hyperbola: ohniská a sú vzdialené od stredu, umiestnenom v počiatku súradnicovej sústavy, o ohniskovú vzdialenosť. Hyperbola leží v I. a III. kvadrante a má dve na seba kolmé osi symetrie. Priesečníky hyperboly s osou sa nazývajú vrcholy. Pre každý bod hyperboly platí, rozdiel vzdialeností:. B. Graf funkcie:. Osi symetrie hyperboly (vyznačené čiarkovane) sa pretínajú v strede. Asymptoty hyperboly 62

63 (priamky prechádzajúce stredom, ku ktorým sa krivky limitne približujú) sú priamky: (vyznačené bodkovane). a Každú rýdzo racionálnu lomenú funkciu možno napísať v tvare súčtu najjednoduchších rýdzo racionálnych funkcií, ktoré nazývame parciálne zlomky. Poznáme štyri základné typy parciálnych zlomkov: typ 1: kde a typ 2: kde, a [2.42.] typ 3: kde, a typ 4: kde,, a Veta. Každú rýdzo racionálnu lomenú funkciu možno vyjadriť ako súčet konečného počtu parciálnych zlomkov. Táto veta neuvádza spôsob, ako máme pritom postupovať a postup nie je vždy jednoduchý. Na druhej strane vieme už, že polynóm v menovateli rýdzo racionálnej funkcie možno napísať v tvare súčinu koreňových činiteľov: kde všetky polynómy 2. stupňa majú záporný diskriminant (t.j. komplexné korene),,. Dá sa dokázať, že rýdzo racionálnu lomenú funkciu možno vyjadriť v tvare: Príslušné konštanty v čitateľoch parciálnych zlomkov vypočítame tak, že rovnosť: [2.43.] vynásobíme menovateľom a porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách premennej. Dostaneme sústavu lineárnych rovníc s neznámymi 42, riešením ktorých sú hľadané konštanty. Význam a použitie parciálnych zlomkov si ukážeme v kapitolách integrálneho počtu. Príklad. Rozložte na parciálne zlomky rýdzo racionálnu funkciu:. Uvedená funkcia sama nepredstavuje parciálny zlomok, pretože polynóm v menovateli má kladný diskriminant: pre každé a platí: 42 Sústavy lineárnych rovníc sa preberajú v nasledujúcich kapitolách. 63

64 Vynásobením spoločným menovateľom dostaneme: Porovnaním príslušných koeficientov dostaneme 2 rovnice o 2 neznámych a : a Ich riešením dostaneme: a. Teda našu racionálnu funkciu môžeme rozdeliť na súčet dvoch jednoduchých parciálnych zlomkov: Príklad. Rozložte na parciálne zlomky rýdzo racionálnu funkciu:. Riešenie očakávame v tvare: rovnice najmenším spoločným menovateľom:. Z toho po vynásobení celej Roznásobením a porovnaním koeficientov dostaneme: pre každé platí: a preto Exponenciálna a logaritmická funkcia Medzi základné reálne funkcie, s ktorými sa často stretávame v laboratórnej praxi, patria exponenciálna a logaritmická funkcia. Exponenciálna funkcia má tvar:, kde základ je kladné reálne číslo a nezávisle premenná (neznáma) sa nachádza v exponente. V prípade, že dostaneme lineárnu funkciu. Definičný obor exponenciálnej funkcie je množina reálnych čísel a obor hodnôt množina kladných reálnych čísel (značíme aj ako ). Exponenciálna funkcia je rastúca pre základ a klesajúca pre, Obr

65 Obrázok Grafy exponenciálnych a logaritmických funkcií s rôznym základom. Uvažujme funkciu. Hodnotu nezávisle premennej vieme spamäti vypočítať len pre (malé) celé čísla. Napríklad pre kladné platí:. Ak je záporné celé číslo, napríklad, potom:. Ak je racionálne číslo vieme, že platí:, napríklad:. 43 Je vhodné si uvedomiť, že nevieme čomu sa rovná funkčná hodnota pre iracionálny exponent, napríklad:. 44 Ako uvidíme neskôr, aj hodnotu vieme vypočítať (s ľubovoľnou presnosťou) pomocou rozvoja funkcie do mocninového radu. Inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii je logaritmická funkcia:. Logaritmus platí práve vtedy, keď, pre, t.j. logaritmus čísla je taký exponent (kde ), ktorým treba umocniť základ, aby sme dostali logaritmované číslo (všimnime si, že platí: a ). Definičný obor tejto funkcie a obor hodnôt. Logaritmická funkcia je rastúca pre základ a klesajúca pre (Obr ). Funkciu so základom,, nazývame dekadický logaritmus a funkciu so základom (Eulerovo číslo) 45, nazývame prirodzený logaritmus. Použitím výrazu [2.34.] dostaneme užitočné vzťahy pre : a [2.44.] 43 Symbol znamená približne sa rovná. 44 je Ludolfovo číslo (iracionálne číslo, ktoré nemožno vyjadriť v tvare ), matematická konštanta definovaná ako pomer obvodu a priemeru kruhu:. Táto konštanta dostala názov Ludolfovo číslo podľa nemecko-holandského matematika Ludolpha van Ceulena ( ), ktorý ako jeden z prvých určil jej hodnotu pomocou Archimedovho postupu s presnosťou na 35 desatinných miest. 45 Leonhard Euler ( ) bol významný matematik švajčiarskeho pôvodu. Eulerovo číslo predstavuje dôležitú matematickú konštantu, základ prirodzených logaritmov ( ), ktorá je definovaná ako limita postupnosti pre prirodzené číslo neobmedzene rastúce do nekonečna. 65

66 Tieto vlastnosti vyplývajú z poznatku, že zložená funkcia, vytvorená z dvoch navzájom inverzných funkcií je rovná identickej funkcii:. Pre logaritmickú funkciu a, platia nasledovné rovnosti: [2.45.] Vzťahy [2.36.] sa dajú ľahko dokázať nasledovnou úvahou, ktorá využíva vzťahy [2.45.], napr.: a Príklad. Nájdite inverznú funkciu k funkcii f:. Inverznú funkciu hľadáme tak, že zameníme premenné a vo funkčnom predpise a snažíme sa nanovo vyjadriť ako funkciu premennej. V našom prípade dostaneme: čo je hľadaná inverzná funkcia. Nájdite inverznú funkciu k funkcii : Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade: Príklad. Vyriešte logaritmickú rovnicu: Riešenie: 3 66

67 Príklad. Vyriešte logaritmickú rovnicu: Riešenie: Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu: Riešenie: Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu: Riešenie: (pretože: ) Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu: Riešenie: Goniometrické a cyklometrické funkcie Majme jednotkovú kružnicu (kružnica so stredom v počiatku súradnicovej sústavy s polomerom rovným 1) a číselnú os reálnych čísel ( ), Obr Nech je koncový bod oblúka na jednotkovej kružnici, ktorého začiatok je v bode a dĺžka je rovná Oblúk je 67

68 orientovaný od bodu k bodu proti smeru pohybu hodinových ručičiek pre (môže byť orientovaný aj v smere pohybu hodinových ručičiek pre ). Potom prvá súradnica bodu na jednotkovej kružnici definuje goniometrickú funkciu kosínus ( ) a druhá súradnica definuje funkciu ( ) ( ). Pomery týchto súradníc určujú ďalšie goniometrické funkcie: tangens. a kotangens y 1 cotg x -1 sin x cos x P tg x x x -1 číselná os Obrázok Jednotková kružnica, číselná os reálnych čísel a definícia goniometrických funkcií. Číselnú os priložíme sprava k jednotkovej kružnici a namotávame v smere šípok. Všetkým reálnym číslam tak priradíme uhol v oblúkovej miere (radián) 46 z intervalu čo vedie k definícii periodických reálnych funkcií - goniometrických funkcií. Ľubovoľné body, na číselnej osi navzájom vzdialené o celočíselný násobok obvodu kružnice ( ) sa namotávaním premietnu do toho istého bodu na kružnici tak, že ich súradnice budú: ). Goniometrické (trigonometrické) funkcie sú periodické (nie sú prosté), funkcie sin a cos majú periódu rovnú (napr. funkcie a majú periódu (napr. Funkcie, a sú nepárne (napr. funkcia je párna (, Obr a Obr Radián je definovaný ako rovinný uhol s vrcholom v strede kružnice, ktorý vytína na obvode tejto kružnice oblúk dĺžky rovnajúcej sa jej polomeru (jednotka [rad]). Keďže obvod jednotkovej kružnice (s polomerom ) má dĺžku uhol, ktorý jeden-krát "obtáča" celú kružnicu (360 ), je rovný práve radiánov. Na prevod uhla udávaného v stupňoch na uhol v radiánoch, a naopak, slúžia nasledovné jednoduché konverzné vzťahy: a, kde. 68

69 Obrázok Grafy funkcií sínus a kosínus. y - x Obrázok Grafy funkcií tangens a kotangens. Základné hodnoty goniometrických funkcií sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Tabuľka 2.3. Základné hodnoty funkcií sínus a kosínus. Medzi jednotlivými goniometrickými funkciami platia nasledovné vzťahy: 69

70 Ku goniometrickým funkciám existujú inverzné funkcie (tzv. cyklometrické funkcie) vo vybraných intervaloch, v ktorých sú goniometrické funkcie rýdzo monotónne (prosté). Tieto intervaly boli zvolené tak, aby zahŕňali 1. kvadrant Tabuľka 2.4. Intervaly, na ktorých sú definované cyklometrické funkcie k trigonometrickým funkciám. funkcia inverzná funkcia symbol 47 arkusínus 48 arkuskosínus arkustangens arkuskotangens 0, Grafy cyklometrických funkcií sú znázornené na Obr a Obr Funkcie sú rastúce a funkcie a sú klesajúce. Funkcie a sú nepárne. a Obrázok Grafy funkcií arkussínus a arkuskosínus. 47 Predpona arc je skratkou slova arcus, ktoré znamená oblúk. 48 V literatúre sa niekedy používa namiesto aj trochu zavádzajúce označenie. Podobný spôsob označenia sa používa aj pre ostatné cyklometrické funkcie. 70

71 Obrázok Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens. Medzi jednotlivými cyklometrickými funkciami platia nasledovné jednoduché vzťahy: Medzi goniometrickými a cyklometrickými funkciami platia tieto jednoduché vzťahy: Vybrané hodnoty cyklometrických funkcií sú uvedené v Tab Tabuľka 2.5. Vybrané hodnoty cyklometrických funkcií. funkcia 71

72 Príklad. Vyriešte rovnicu:. Pri riešení použijeme nasledovné vzťahy: a a Obr Výsledok:, Príklad. Vyriešte rovnicu:. Pri riešení použijeme vzťah: substitúcia: Výsledok: a) b) Príklad. Vyriešte rovnicu:. a preto a, čo je splnené pre Pri riešení použijeme vzťah: 72

73 Výsledok: a) nemá riešenie b) riešenie: 73

74 Cvičenia Ktoré prvky patria do množiny M: a), kde je množina reálnych čísel. b) kde je množina prirodzených čísel. c), kde je množina reálnych čísel Nech,,,. Zistite, ktoré množiny sú podmnožinami iných množín Určte mohutnosť týchto množín: a) b) c) 2.4. Určte, ktorá z nižšie uvedených množín je potenčná množina množiny a aké má členy: a) b) c) d) 2.5. Nech je množina študentov FaF UK, ktorí chodili na gymnázium a je množina študentov FaF UK, ktorí sú z Trenčianskeho kraja. Charakterizujte študentov, ktorí patria do množiny: a) b) c) d) e) 2.6. Dokážte, že pre množiny a platí: a) b) 2.7. Nech množina a. Nájdite karteziánsky súčin Majme tri množiny a. Nad množinami sú definované dve relácie a, ktoré majú tvar: a Nájdite kompozíciu týchto dvoch relácií Nájdite prirodzený definičný obor funkcie. 74

75 2.10. Zistite, či funkcia je párna alebo nepárna Určte, či funkcia je periodická a nájdite jej periódu Nájdite inverzné funkcie k funkciám: a Nájdite zloženú funkciu, ktorá vznikne kompozíciou reálnych funkcií a, keď a Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom so súradnicami a s osou zviera uhol Nájdite reálne korene algebraickej rovnice: Rozložte racionálnu lomenú funkciu na parciálne zlomky: Vyriešte logaritmickú rovnicu: kde Vyriešte goniometrickú rovnicu:. 75

76 Riešenia a) b) c) 2.2.,, 2.3. a) b) c) 2.4., 2.5. a) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium, alebo sú z Trenčianskeho kraja b) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium, a zároveň sú z Trenčianskeho kraja c) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium, ale nie sú z Trenčianskeho kraja d) množina študentov, ktorí sú z Trenčianskeho kraja, ale nechodili na gymnázium e) prázdna množina 2.6. Dôkaz: a) b) 1. predpoklad 2. dôsledok 1 3. deaktivácia predpokladu 1. predpoklad 2. dôsledok 1 3. dôsledok 2 4. deaktivácia predpokladu 2.7. Karteziánsky súčin: 2.8. Kompozícia relácií a má tvar: 2.9. Definičný obor funkcie, nájdeme ako interval, pre ktorý sú definované aritmetické operácie delenie a druhá odmocnina: a zároveň. Ľahko zistíme, že 76

77 2.10. Funkcia, nie je párna ani nepárna, pretože: Hľadáme také číslo, aby pre každé funkcie platilo:.. Vieme, že funkcia sínus je periodická s periódou, teda platí: z čoho dostávame: alebo Obrázok Grafy funkcie Postup hľadania inverznej funkcie spočíva v zámene závisle a nezávisle premennej a vyjadrení Teda: potom alebo potom Definičný obor funkcie je a. Druhá funkcia má a. Kompozíciu funkcií na definičnom obore nájdeme tak, že budeme hľadať funkciu, ktorá vznikne spojením vonkajšej funkcie a vnútornej funkcie ako: Rovnica priamky so smernicou ktorá prechádza bodom so súradnicami bude mať tvar:, v našom prípade:. Keďže, po úprave dostaneme rovnicu: Riešenie algebraickej rovnice: nájdeme pomocou série nasledovných úprav: 77

78 Táto rovnica je splnená, ak sa ktorýkoľvek z jej členov rovná nule: Racionálna funkcia: nie je rýdzo racionálna, preto vydelíme čitateľa menovateľom: Výsledná funkcia je súčtom polynómu 2. stupňa a rýdzo racionálnej lomenej funkcie, ktorú už môžeme rozložiť na parciálne zlomky. Rozklad hľadáme v tvare: odkiaľ: Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x dostaneme: a Z týchto 2 rovníc dostaneme riešenie: a Teda: Logaritmickú rovnicu najprv prevedieme na exponenciálnu: substitúcia: Riešenie: Riešenie goniometrickej rovnice: hľadáme úpravami na jednoduchší tvar: 78

79 / cos x substitúcia: Riešenie: a 79

80 3. Lineárna algebra 3.1. Vektory Pri štúdiu prírodných vied sa stretávame jednak s fyzikálnymi veličinami, ktoré sú úplne určené jediným číselným údajom (tzv. skalárne veličiny, ako napr. teplota, tlak, hustota,...) a tiež s veličinami, ktoré sú plne určené až viacerými číselnými údajmi. Napríklad veličiny ako sila, rýchlosť alebo dipólový moment a pod., na svoje presné určenie potrebujú definovať veľkosť a smer. Veličiny, ktoré sú jednoznačne určené skupinou n čísel (usporiadanou n-ticou) s definovaným počtom a poradím údajov nazývame vektorové veličiny (n-rozmerné vektory). Údaje (čísla) v tejto skupine (n-tici) nazývame súradnicami vektora, ich počet určuje rozmer vektora. Definícia. Usporiadanú n-ticu reálnych čísel nazývame n-rozmerným vektorom (skrátene vektorom). Čísla nazývame súradnice vektora. Množinu takýchto vektorov s reálnymi súradnicami budeme značiť. Z vyššie uvedenej definície vektora vyplýva, že vektory a sa rovnajú práve vtedy, keď majú rovnaký rozmer (n) a pre ich súradnice platí:. Dvojrozmerné alebo trojrozmerné vektory (dané usporiadanou dvojicou alebo trojicou) môžeme geometricky reprezentovať v Euklidovom priestore 49 ako množinu všetkých rovnobežných, rovnako dlhých a rovnako orientovaných úsečiek (úsečku, na ktorej je vyznačený začiatočný a koncový bod), ktoré predstavujú rôzne umiestnenia toho istého vektora (Obr. 3.1.). Súradnice vektora sú súradnice jeho koncového bodu v takom umiestnení vektora, keď začiatočný bod je zhodný s počiatkom súradnicovej sústavy. 49 Starogrécky matematik Euklides z Alexandrie (približne p.n.l.) položil základy geometrie v rovine a v trojrozmernom priestore, ktoré boli dôsledne sformulované pomocou axióm a postulátov. Euklidov metrický priestor pozostáva z bodov (usporiadaných trojíc) a ich podmnožín (útvarov ako sú body, priamky a roviny), pre ktoré platia pravidlá pre výpočet vzdialeností, uhlov zvieraných priamkami a rovinami, a pod., definované pomocou piatich axióm. Euklidova geometria a Euklidov priestor opisujú vlastnosti trojrozmerného priestoru, ktoré poznáme z našej každodennej skúsenosti. 80

81 Obrázok 3.1. Tri umiestnenia vektora so súradnicami. Je dobré si uvedomiť, že tri zobrazené orientované úsečky, ktoré majú zhodnú dĺžku, smer aj orientáciu, predstavujú tri rôzne umiestnenia toho istého vektora. Vektor, ktorý je umiestnený tak, že jeho začiatok leží v bode a koniec v bode bude mať súradnice. Dĺžka vektora sa počíta ako vzdialenosť koncového a počiatočného bodu vektora [2.31.]: [3.1.] Polohovým vektorom bodu rozumieme vektor, kde bod predstavuje počiatok súradnicovej sústavy. Vo fyzike predstavuje polohový vektor (alebo rádiusvektor) spojnicu počiatku súradnicovej sústavy a hmotného bodu (s orientáciou smerujúcou od počiatku ku hmotnému bodu), je to vektor viazaný na nemennú polohu počiatku. Polohový vektor slúži na popis polohy hmotného bodu (prípadne telesa), pretože pohyb hmotného bodu (trajektóriu pohybu) môžeme popísať ako zmenu polohového vektora v čase. Jednotkový vektor je každý vektor, ktorého dĺžka je rovná 1. Pre 3-rozmerné vektory v 3- rozmernom priestore jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi x označujeme, jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi y označujeme a jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi z označujeme 3.3., Obr a Definícia. Súčtom vektorov a (rovnakého rozmeru) nazývame vektor (Obr. 3.2):. Násobkom vektora reálnym číslom k nazývame vektor: x Obrázok 3.2. Grafické znázornenie sčítania vektorov pomocou uhlopriečky rovnobežníka so stranami tvorenými vektormi a :. Uhol, ktorý zvierajú vektory a označíme. 81

82 Poznámka. Nulovým n-rozmerným vektorom nazývame vektor: a vektorom opačným k vektoru nazývame vektor:. Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že sčítanie vektorov je komutatívne, t.j. pre všetky R n platí: a zároveň asociatívne, t.j. pre :. Pomocou operácií sčítania vektorov a násobenia vektora číslom môžeme tiež definovať rozdiel vektorov rovnakého rozmeru:. Je zrejmé, že bude tiež platiť: a. Príklad. Nech vektor a. Vypočítajte vektor. Definícia. Nech sú n-rozmerné vektory a čísla sú reálne čísla, potom vektor: nazývame lineárnou kombináciou vektorov a čísla nazývame koeficientmi lineárnej kombinácie. [3.2.] Ak pre koeficienty platí:, potom takúto lineárnu kombináciu nazývame triviálnou. Ak aspoň jeden z koeficientov je rôzny od nuly, potom sa jedná o netriviálnu lineárnu kombináciu. Výsledkom triviálnej lineárnej kombinácie ľubovoľných vektorov je nulový vektor. Na druhej strane nulový vektor môže byť výsledkom aj netriviálnej lineárnej kombinácie vektorov, napríklad, ak potom,. Definícia. Vektory sa nazývajú lineárne závislými vektormi, ak aspoň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných vektorov. V opačnom prípade sa nazývajú lineárne nezávislé. Dva (nenulové) vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď prvý je násobkom druhého. Ak do lineárne závislej sústavy vektorov pridáme ďalší vektor, dostaneme zase lineárne závislú zostavu. Príklad. Vektory závislé, pretože platí:. sú navzájom lineárne Ako zistíme, či dva alebo viac vektorov je navzájom lineárne závislých nám hovorí nasledujúca veta. 82

83 Veta. Vektory sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, keď existuje netriviálna kombinácia vektorov, ktorá sa rovná nulovému vektoru: [3.3.] To znamená, že vektory sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, ak existuje iba triviálna kombinácia vektorov, ktorá sa rovná nulovému vektoru: Príklad. Ukážte pomocou predchádzajúcej vety, že 4 nasledujúce 4-rozmerné vektory sú lineárne nezávislé: Hľadáme teda koeficienty také, že: alebo Porovnaním prvých súradníc: dostaneme:. Podobne, porovnaním ďalších súradníc dostaneme:,,. Teda nulový vektor dostaneme len triviálnou lineárnou kombináciou vektorov. Preto sú tieto vektory lineárne nezávislé. Z predchádzajúceho príkladu je zjavné, že v 4-rozmernom priestore môžeme nájsť 4 nezávislé vektory, ako napr.. Je tiež očividné, že každý 4-rozmerný vektor môžeme napísať ako ich lineárnu kombináciu: [3.4.] Dá sa dokázať, že ľubovoľný n-rozmerný vektor možno vyjadriť pomocou lineárnej kombinácie n akýchkoľvek lineárne nezávislých vektorov. Akým postupom vieme zistiť, či je vektor lineárnou kombináciu vektorov,,...,? Hľadáme také koeficienty, pre ktoré platí: alebo po rozpísaní do jednotlivých súradníc: [3.5.] Riešením sústavy lineárnych rovníc [3.5.] dostaneme výsledok: neznámych koeficientov. 50 Vektor bude predstavovať lineárnu kombináciu vektorov práve vtedy, keď sústava [3.5.] bude mať riešenie. Príklad. Dokážte, že vektory:,,, sú lineárne nezávislé, a ukážte, že vektor je lineárnou 50 V nasledujúcej časti sa dozvieme, ako treba postupovať pri riešení sústavy lineárnych rovníc. 83

84 kombináciou vektorov. Budeme teda hľadať také koeficienty, aby platilo: alebo: Porovnaním štvrtých súradníc dostaneme: a teda:. Podobne porovnaním ostatných súradníc dostaneme:. Nulový vektor dostaneme len triviálnou kombináciou vektorov, čo znamená, že tieto vektory sú lineárne nezávislé. Ďalej budeme hľadať koeficienty lineárnej kombinácie také, aby platilo: alebo: Porovnaním jednotlivých súradníc, podobne ako v predchádzajúcom výpočte, vypočítame príslušné hodnoty koeficientov:. Podobne sa dá dokázať, že vektorový priestor 51 obsahuje lineárne nezávislých vektorov a každý ďalší vektor je ich lineárnou kombináciou. Preto každá sústava vektorov, kde, je lineárne závislá. Sústava lineárne nezávislých vektorov v priestore tvorí bázu vektorového priestoru, pomocou ktorej môžeme vyjadriť iné vektory. Je výhodné zvoliť si za bázu vektorového priestoru jednotkové vektory v smere osí súradnicového systému (napr. v priestore ). V tomto vyjadrení sú koeficienty kombinácie zhodné so súradnicami vektora, teda platí vzťah [3.4.]. Napríklad sústava vektorov z predchádzajúceho príkladu predstavuje bázu pre. Pre vektory sú definované dve operácie násobenia: skalárny a vektorový súčin, s ktorými sa bežne stretneme v prírodných vedách. Definícia. Skalárnym súčinom vektorov a nazývame číslo skalár: kde a predstavujú dĺžky vektorov a a je uhol zovretý vektormi a, (Obr. 3.2). Uhol dvoch vektorov a, ktorých súradnice sú známe:, vypočítame pomocou výrazu: [3.6.] 51 Pod vektorovým priestorom všeobecne rozumieme množinu, na ktorej sú definované operácie sčítania prvkov a násobenia prvku reálnym číslom, uzavretú vzhľadom na tieto operácie, ktoré zároveň spĺňajú nasledovné vlastnosti: komutatívnosť a asociatívnosť sčítania, existencia nulového a opačného prvku pre sčítanie, asociatívnosť násobenia, distributívnosť násobenia vzhľadom na sčítanie, distributívnosť sčítania vzhľadom na násobenie a existencia jednotkového prvku vzhľadom na násobenie. Prvkami vektorového priestoru môžu byť aj iné matematické štruktúry ako usporiadané -tice ( -rozmerné vektory). 84

85 [3.7.] Z definície skalárneho súčinu a vlastností funkcie kosínus vyplýva: ak vektory a zvierajú ostrý uhol ak vektory a zvierajú pravý uhol 2, ak vektory a zvierajú tupý uhol Príklad. Vypočítajte uhol vektorov a ak a. Dosadením do vzorca [3.7.] dostaneme: a uhol Definícia. Vektorovým súčinom dvoch 3-rozmerných vektorov je vektor, ktorý je určený nasledovne: veľkosť: je rovná ploche P rovnobežníka s hranami a (Obr. 3.3) smer je kolmý na smery oboch vektorov a a je orientovaný tak, že usporiadaná trojica vektorov tvorí pravotočivú súradnú sústavu 52 (Obr. 3.3a): a [3.8.] Výsledný vektor bude mať súradnice 53 : 52 Orientáciu výsledného vektora môžeme určiť podľa pravidla pravej ruky: ak sú vektory a znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky (t.j. natočenie prvého vektora do smeru druhého vektora po kratšej ceste prebieha proti smeru pohybu hodinových ručičiek), potom výsledný vektor vektorového súčinu má smer vztýčeného palca pravej ruky. 53 Súradnice vektora sme vypočítali pomocou determinantu matice (útvaru štvorcového tvaru vo vzťahu [3.8]) a Sarrusovho pravidla pre výpočet determinantu. Tieto pojmy a postupy sú vysvetlené v nasledujúcej časti

86 y x A B Obrázok 3.3. Grafické znázornenie vektorového súčinu vektorov (A) a (B) v trojrozmernom priestore. sú jednotkové vektory (s dĺžkou rovnou ) v smere osí, a karteziánskeho súradnicového systému alebo bázické vektory v. Vektory a ležia v rovine a zvierajú uhol. Príklad. Máme 3 body v priestore dané súradnicami:, a. Vypočítajte vektorový súčin. Vektory a vynásobíme podľa pravidla [3.8.]: 3.2. Matice Sústavy lineárnych rovníc Definícia. Sústavou m lineárnych rovníc o n neznámych nazývame nasledovnú schému: [3.9.] kde sú (reálne) neznáme, sú zadané reálne koeficienty (čísla) a sú pravé strany jednotlivých rovníc;, ( ). Riešením sústavy rovníc [3.9.] nazveme každú usporiadanú n-ticu reálnych čísel takú, že po dosadení čísel namiesto neznámych budú všetky rovnice sústavy splnené. Vyriešiť sústavu rovníc teda znamená nájsť všetky jej riešenia. 86

87 Najjednoduchším typom sústavy lineárnych rovníc je sústava dvoch rovníc o dvoch neznámych: s neznámymi x a y, (reálnymi) koeficientmi a a pravými stranami a. Túto sústavu rovníc riešime napr. dosadzovacou metódou, t.j. vyjadrením jednej premennej z prvej rovnice, dosadením do rovnice druhej (čím vylúčime prvú neznámu), vypočítaním druhej, s pomocou ktorej určíme aj prvú premennú. Obdobný postup využíva sčítavacia metóda, pri ktorej využívame sčítanie dvoch rovníc s vylúčením jednej neznámej, atď. Riešenie tejto sústavy môžeme ľahko nájsť aj geometricky, keďže každá z rovníc predstavuje priamku v rovine a nájsť riešenie sústavy znamená nájsť ich priesečník. Dve rôznobežné priamky v rovine majú práve jeden priesečník (sústava má jedno riešenie) alebo sú priamky rovnobežné, t.j. nemajú priesečník (sústava nemá žiadne riešenie) alebo sú totožné, t.j. všetky ich body sú priesečníkmi (sústava má nekonečne veľa riešení). Nemôže teda nastať prípad, kedy by sústava lineárnych rovníc mala napríklad dve rôzne riešenia (dva priesečníky dvoch priamok), a pod. Príklad. Vyriešte sústavu rovníc: Z prvej rovnice vyjadríme, dosadením do druhej rovnice: a úpravou dostaneme: a z toho:. Sústava má teda jedno riešenie:. Všeobecne, sústava rovníc o neznámych, kde má buď žiadne, jedno alebo nekonečne veľa riešení. Počet existujúcich riešení danej sústavy opisuje Frobeniova veta, ktorú si bližšie vysvetlíme v nasledujúcej časti o maticiach. Pri hľadaní riešenia sústav s väčším počtom lineárnych rovníc a neznámych môžeme postupovať obdobne ako v predchádzajúcom príklade, t.j. redukciou počtu rovníc a elimináciou neznámych v nich. Tento postup sa nazýva Gaussova elimiácia a predstavuje systematickú formu dosadzovacej metódy riešenia Gaussova eliminačná metóda Princípom Gaussovej eliminácie je prevedenie zadanej sústavy lineárnych rovníc na sústavu, ktorá má rovnaké riešenie ako pôvodná, ale má jednoduchší tvar, z ktorého môžeme riešenie ľahko zistiť, prípadne usúdiť, že riešenie neexistuje. Pôvodnú sústavu rovníc sa elementárnymi úpravami snažíme previesť na sústavu 'stupňovitého' (trojuholníkového) tvaru, napr.: 87

88 [3.10.] v ktorej hodnotu poslednej neznámej vypočítame priamo ( ), dosadíme do predchádzajúcej rovnice, odkiaľ spočítame hodnotu, ktorú potom spolu s použijeme v rovnici prvej na výpočet. Dá sa ukázať, že akúkoľvek sústavu lineárnych rovníc môžeme previesť na inú, ktorá má rovnaké riešenie, týmito úpravami: zmenou poradia rovníc v sústave, vynásobením ľubovoľnej rovnice sústavy reálnym nenulovým číslom (týmto číslom vynásobíme všetky koeficienty a pravú stranu rovnice), pripočítaním násobku ľubovoľnej rovnice sústavy k inej rovnici sústavy (sčítame ľavé aj pravé strany týchto dvoch rovníc). Pomocou takýchto elementárnych úprav dokážeme previesť každú sústavu lineárnych rovníc na trojuholníkový tvar. Príklad. metódou: Nájdite riešenie nasledovnej sústavy lineárnych rovníc Gaussovou eliminačnou Riešenie Gaussovou elimináciou začneme hľadať tak, že prvú rovnicu vynásobíme, pripočítame k druhej rovnici a dostaneme: potom prvú rovnicu vynásobenú 3 pripočítame k tretej rovnici, čím dostaneme: ďalej stačí pripočítať k tretej rovnici dvojnásobok druhej a získame sústavu v trojuholníkovom tvare s rovnakým riešením, ako pôvodná sústava: 88

89 Odtiaľ dostaneme riešenie. Dosadením do druhej rovnice dostaneme a nakoniec dosadením a do prvej rovnice vypočítame. Jediným riešením danej sústavy je trojica čísel. Príklad. Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc: Postupnými elementárnymi úpravami zadanej sústavy dostávame: alebo: Tretia rovnica tejto sústavy nie je splnená nikdy (nech sú hodnoty a akékoľvek), preto táto sústava (ani pôvodná sústava) lineárnych rovníc nemá riešenie. Pre výsledok riešenia sústavy rovníc má teda podstatný význam posledná rovnica sústavy upravenej do trojuholníkového tvaru. V prípade, že dostaneme rovnicu, ktorá nie je splnená (ako napr. v predchádzajúcom príklade: ), potom sústava nemá riešenie. V opačnom prípade sústava bude mať riešenie, ktoré bude závisieť na počte neznámych n a na počte rovníc r po úprave sústavy na trojuholníkový tvar (prípadné rovnice tvaru medzi rovnice nezapočítame). Pre bude existovať práve jedno riešenie uvažovanej sústavy, pre bude mať sústava nekonečne veľa riešení, prípad nemôže nastať (zo sústavy rovníc ktorá má riešenie, a ktorá obsahuje viac rovníc ako neznámych, môžeme nadbytočné rovnice, vzniknuté lineárnou kombináciou ostatných rovníc, vynechať). Všimnime si, že pri Gaussovej eliminácii upravujeme koeficienty a pravé strany jednotlivých rovníc, pričom označenie a poradie premenných sa nemení. Preto pri skrátenom zápise sústavy rovníc môžeme používať len koeficienty premenných a pravé strany rovníc. Napríklad pre sústavu: môžeme použiť zjednodušenú schému: 89

90 [3.11.] ktorú, ako ukážeme neskôr, nazývame rozšírenou maticou sústavy lineárnych rovníc. Poznámka. V niektorých prípadoch Gaussovej eliminácie je výhodné meniť nielen poradie riadkov (rovníc), ale aj poradie stĺpcov v hore uvedenej schéme [3.11.] (takáto zámena sa však netýka stĺpca pravých strán), napr. prvú rovnicu môžeme prepísať z tvaru: do tvaru, čo zodpovedá zámene prvého a druhého stĺpca, takáto úprava nemení riešenie sústavy. Túto zámenu však musíme vziať do úvahy pri výpočte hodnôt neznámych z trojuholníkového tvaru zjednodušenej schémy so zmeneným poradím premenných Matice V predchádzajúcej časti sme koeficienty sústavy lineárnych rovníc usporiadali do schémy pozostávajúcej z riadkov a stĺpcov, ktorej hovoríme matica. Definícia. Maticou typu budeme nazývať objekt (tabuľku) tvorený reálnymi číslami (prvkami matice ), usporiadanými do m riadkov a n stĺpcov ( ): [3.12.] Maticu typu nazývame stĺpcový vektor a maticu typu nazývame riadkový vektor. Maticový prvok (reálne číslo) znamená, že dané číslo sa nachádza v i-tom riadku a j-tom stĺpci matice. Prvky matice nazývame prvkami hlavnej diagonály (uhlopriečky). V prípade, že hlavná diagonála sa nekončí v pravom dolnom rohu matice. Matici, pre ktorú platí hovoríme štvorcová matica; štvorcovej matici typu hovoríme aj matica n-tého poriadku. Matici, ktorá má pod hlavnou diagonálou len nulové prvky ( ) 54 hovoríme (horná) trojuholníková matica. Nulovou maticou nazývame maticu ktorej všetky prvky sa rovnajú nule. Diagonálna matica je taká, ktorá má všetky prvky, ktoré neležia na hlavnej diagonále, rovné nule. Jednotková matica je štvorcová diagonálna matica, ktorej všetky diagonálne prvky sa rovnajú jednej. Príklad. Obdĺžniková matica typu : 54 Medzi riadkový index a stĺpcový index maticového prvku píšeme čiarku len ak si to vyžaduje zrozumiteľnosť. Napr. prvok je prvok matice, ktorý leží v 11. riadku a 4. stĺpci matice. 90

91 Jednotková matica typu 3 3: Trojuholníková matica typu 4 3: Diagonálna matica typu 2 2: Nulová matica typu 3 3: Definícia. Matice a sa rovnajú, ak sú rovnakého typu a zároveň platí pre všetky hodnoty indexov a. Podobne ako vektory rovnakého rozmeru, aj matice rovnakého typu tvoria lineárny vektorový priestor, v ktorom sú definované operácie sčítania matíc a násobenia matíc reálnym číslom. Tieto operácie sú definované v nasledujúcom odseku. Definícia. Nech matice a sú rovnakého typu a je reálne číslo. Matica C je k-násobkom matice,, ak platí: pre všetky hodnoty indexov a : [3.13.] Definícia. Nech matice, a sú rovnakého typu. Hovoríme, že matica je súčtom matíc a,, ak platí: pre všetky hodnoty indexov i a j: [3.14.] Spočítavať môžeme len matice rovnakého typu (pre matice rôznych typov nie je sčítanie definované). Rozdiel matíc môžeme definovať ako:. Príklad. Vypočítajte súčet dvoch matíc typu 3 3:, Súčet matíc A a B uskutočníme podľa definície [3.14.] ako: 91

92 Príklad. Vypočítajte rozdiel dvoch matíc ak: a potom: Definícia. Nech matica je typu a matica je typu. Hovoríme, že matica je súčinom matíc a,, ak pre všetky hodnoty indexov a platí: [3.15.] Prvok teda vznikne tak, že vezmeme i-ty riadok matice a j-ty stĺpec matice, vynásobíme odpovedajúce prvky a sčítame:, teda každý prvok matice vypočítame ako skalárny súčin i-teho riadku matice a j-teho stĺpca matice. A: B: C: i-ty riadok j-ty stĺpec prvok Obrázok 3.4. Násobenie matíc. Prvok je skalárnym súčinom i-teho riadku prvej matice a j-teho stĺpca druhej matice. Násobiť môžeme matice rovnakého typu ale aj matice, ktoré majú aspoň jeden rozmer rovnaký ( ). Výsledná matica násobenia je typu. Pripomíname, že aj z tohto dôvodu nie je násobenie matíc komutatívne, t.j. všeobecne platí: (keďže súčin nemusí byť vôbec definovaný, hoci existuje). Na druhej strane násobenie matíc je asociatívne a distributívne vzhľadom na sčítanie: za podmienky, že dané operácie sčítania a násobenia je možné vykonať. Výsledkom násobenia matice nulovou maticou je vždy len nulová matica a výsledkom sčítania matice s nulovou maticou je pôvodná matica. Jednotkové matice majú tú vlastnosť, že výslednom násobenia 92

93 jednotkovou maticou je pôvodná matica, teda ak je matica typu, potom, napríklad: pre Príklad. Vypočítajte súčin dvoch matíc: a Súčin matíc a uskutočníme podľa definície [3.15.]: Definícia. Nech matica je typu, matica typu sa nazýva matica transponovaná k matici. Transponovaná matica vznikne z danej matice tak, že riadky pôvodnej matice napíšeme ako stĺpce transponovanej matice (v rovnakom poradí). Táto operácia súvisí so sčítaním a násobením matíc nasledovne: Príklad. Nájdite transponovanú maticu k matici.. V súvislosti s operáciou násobenia matíc sa vynára otázka, či je matice možné aj deliť. V ďalšom texte ukážeme, že za určitých podmienok je možné vypočítať podiel, kde matica je inverzná matica k matici. Definícia. Nech je štvorcová matica typu. Potom maticu nazývame inverznou maticou k matici, ak platí:. Inverznú maticu označujeme ako. Teda platí: [3.16.] 93

94 kde je jednotková matica typu. Inverzné matice teda existujú len pre štvorcové matice typu a dá sa dokázať, že ak existuje inverzná matica, potom platí: a. Ukážeme si teraz na príklade, ako sa dá vypočítať inverzná matica. Neskôr zistíme že inverzná matica neexistuje ku každej jednotlivej matici a ukážeme si tiež inú pomerne jednoduchú metódu na jej výpočet. Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici:. Hľadáme maticu takú, že platí: Rozpísaním násobenia na maticové prvky podľa [3.15.] dostaneme 4 lineárne rovnice o 4 neznámych, ktoré riešime napr. Gaussovou eliminačnou metódou (3.2.2.):. riešením ktorých dostaneme inverznú maticu:. Vynásobením sa presvedčíme, že:. Praktickým postupom na hľadanie inverznej matice je nasledovný algoritmus: danú maticu prevedieme pomocou série ekvivalentných úprav na jednotkovú maticu, rovnaké úpravy ako v matici zároveň aplikujeme na jednotkovú maticu, ktorú týmto postupom prevedieme na inverznú maticu Hodnosť matice Ako sme už predtým naznačili, sústavu lineárnych rovníc môžeme zapísať pomocou zjednodušenej schémy [3.11.]. Opačne, na maticu typu sa môžeme pozerať ako na sústavu, ktorá obsahuje riadkov, z ktorých každý je tvorený n-rozmerným riadkovým vektorom patriacim do, pričom súradnice tohto vektora predstavujú koeficienty lineárnej rovnice s premennými. Medzi riadkami matice (lineárnymi rovnicami sústavy) sa môžu nachádzať aj také rovnice, ktoré sú lineárnymi kombináciami iných rovníc, a preto sú pre vyriešenie sústavy nadbytočné. Zavedieme pojem hodnosť matice, ktorý určuje počet nezávislých riadkov matice (t.j. nezávislých rovníc v sústave, ktorú matica reprezentuje). 94

95 Definícia. Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice a značíme nazývame hodnosť matice Hodnosť nulovej matice je rovná nule. Dá sa dokázať, že:, z čoho vyplýva, že hodnosť matice je zároveň aj maximálny počet lineárne nezávislých stĺpcov, a pre každú maticu typu platí:. Teda hodnosť matice nemôže prevýšiť počet riadkov ani počet stĺpcov matice. Ak matice a majú rovnaké hodnosti, potom sa jedná o ekvivalentné matice, čo označujeme. Určiť hodnosť matice nie je vždy triviálne, ak je však daná matica v trojuholníkovom tvare, výpočet je pomerne jednoduchý, ako ukazuje nasledujúca veta, ktorú uvádzame bez dôkazu. Veta. Hodnosť trojuholníkovej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov. Príklad. Nájdite hodnosť matíc a a porovnajte. Keďže riadky matice sú podľa [3.3.] lineárne nezávislé, platí. Podobne pretože 3. riadok matice je súčet (lineárna kombinácia) 1. a 2. riadku. Platí teda a sú ekvivalentné:. Príklad. Určte hodnosť matice: Matica je trojuholníková (má nuly pod hlavnou diagonálou). Porovnaním súradníc dostaneme vektorovú rovnicu: ktorú môžeme rozpísať na sústavu 4 lineárnych rovníc, pre každú súradnicu vektora. Sústava má jedno riešenie:, čo znamená, že riadky matice sú lineárne nezávislé a Spôsob, akým môžeme ku každej nenulovej matici nájsť ekvivalentnú trojuholníkovú maticu a určiť jej hodnosť, opisuje nasledujúca veta (postup je analogický ako pri ekvivalentných úpravách lineárnych rovníc v Gaussovej eliminačnej metóde): Veta. Ak vytvoríme maticu z matice pomocou nasledovných riadkových (stĺpcových) úprav: vzájomná výmena dvoch riadkov (stĺpcov), vynásobenie riadku (stĺpca) nenulovým reálnym číslom, vynechanie riadku (stĺpca), ktorý je lineárnou kombináciou ostatných riadkov (stĺpcov), pripočítanie násobku riadku (stĺpca) k inému riadku (stĺpcu) (pričom pod pričítaním riadku (stĺpca) rozumieme súčet riadkových (stĺpcových) vektorov), 95

96 potom matice a budú mať rovnakú hodnosť (budú ekvivalentné ). Príklad. Nájdite hodnosť matice: Maticu začneme upravovať tak, aby sme dostali nuly v 1. stĺpci pod hlavnou diagonálou. K tretiemu riadku pripočítame dvojnásobok 1. riadku a od 4. riadku odpočítame 1. riadok. Tieto kroky pre jednoduchosť zapíšeme takto: (kde napr. znamená 3. riadok a značí 3. riadok po úprave) a Po úprave sa 4. riadok rovná 2. riadku, čo znamená, že napr. 4. riadok môžeme ako lineárnu kombináciu ostatných riadkov (druhého riadku) vynechať (nesmieme vynechať obidva riadky). V ďalšom kroku teda vynecháme 4. riadok. S úpravami pokračujeme tak, aby sme získali nulu aj v druhom stĺpci pod hlavnou diagonálou. Túto nulu pod diagonálou vyrobíme tak, že od 3. riadku odpočítame trojnásobok 2. riadku: (všimnime si, že na úpravu 3. riadku nie je vhodné použiť 1. riadok, pretože by sme stratili 0 v prvom stĺpci 3. riadku) Dostali sme trojuholníkovú maticu, ktorá je ekvivalentná s pôvodnou maticou, má 3 nenulové riadky a hodnosť. Pomocou hodnosti matice môžeme zisťovať, či je sústava vektorov lineárne závislá alebo nie. Z vektorov zostavíme maticu a jej hodnosť porovnáme s počtom vektorov. Ak sa rovnajú, potom sú vektory lineárne nezávislé Sústavy lineárnych rovníc Sústavu m lineárnych rovníc s n neznámymi: [3.17.] môžeme prepísať pomocou matice koeficientov (matica sústavy), stĺpcového vektora neznámych (matice neznámych typu ) a stĺpcového vektora pravých strán (matice pravých strán sústavy typu ) v tzv. maticovom tvare: 96 [3.18.]

97 kde: Ak (0 je nulový vektor, t.j. pravá strana sústavy obsahuje aspoň jeden nenulový prvok b i ), potom sa sústava nazýva nehomogénnou sústavou; ak je (na pravej strane rovníc sústavy sa nachádzajú samé nuly), potom sa sústava nazýva homogénnou sústavou rovníc. Riešením sústavy je usporiadaná n-tica (stĺpcový vektor): taká, že: (pripomíname, že transponovaný stĺpcový vektor tvorí riadkový vektor). Rozšírenou maticou systému [3.17.] nazveme maticu, ktorá vznikne spojením matice sústavy a vektora pravých strán do jednej matice typu v ktorej posledný stĺpec zvyčajne oddeľujeme zvislou čiarou. Ako sme už uviedli v stati sústava lineárnych rovníc môže mať žiadne, jediné alebo nekonečne veľa riešení. Podmienku, pri splnení ktorej existuje riešenie sústavy lineárnych rovníc, udáva nasledujúca Frobeniova veta. 55 Veta. (Frobeniova veta) Sústava lineárnych rovníc má riešenie vtedy a len vtedy, ak je hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice systému: Frobeniova veta nepodáva návod na riešenie sústavy, jej použitím však možno ukázať, že platí: ak potom sústava nemá riešenie, ak kde je počet neznámych, potom má sústava práve jedno riešenie, ak potom má sústava nekonečne veľa riešení (neznáme až, kde, môžeme voliť ľubovoľne). Prípad nastať nemôže, pretože hodnosť matice nemôže byť väčšia ako počet jej stĺpcov, ktorý sa rovná počtu neznámych v sústave. Sústava nemá riešenie, ak vektor pravých strán nie je lineárnou kombináciou stĺpcových vektorov matice sústavy. V takomto prípade je totiž hodnosť rozšírenej matice sústavy o jednotku väčšia ako hodnosť matice sústavy:. 55 Ferdinand Georg Frobenius ( ) bol nemecký matematik, po ktorom je pomenované veľké množstvo matematických viet a konceptov. 97

98 Príklad. Riešte sústavu lineárnych rovníc: Rozšírená matica sústavy má tvar: Ekvivalentnými úpravami ju prevedieme na nasledovný trojuholníkový tvar: Vidíme, že, teda sústava bude mať jedno riešenie. Z posledného riadku matice vyplýva: a teda. Dosadením do druhej rovnosti: dostaneme:. Nakoniec z prvého riadku dosadením za a vypočítame:. Sústava má teda jedno riešenie:. Na riešenie sústavy lineárnych rovníc zapísanej v tvare rozšírenej matice sústavy môžeme použiť Gaussovu eliminačnú metódu uvedenú v odseku Postup riešenia je nasledovný: rozšírenú maticu sústavy prevedieme ekvivalentnými riadkovými úpravami na trojuholníkovú maticu, trojuholníkovú maticu prepíšeme opäť na sústavu rovníc s pôvodnými neznámymi, začneme riešiť od poslednej rovnice a pokračujeme spätným dosadzovaním už vypočítaných neznámych. Príklad. Riešte nasledovnú sústavu lineárnych rovníc použitím Gaussovej eliminačnej metódy Rozšírenú maticu sústavy upravíme ekvivalentnými úpravami na trojuholníkovú maticu: Pre sústavu platí:, preto podľa Frobeniovej vety bude mať nekonečne veľa riešení (sústava má 3 neznáme a len 2 nezávislé rovnice). Riešenie preto budeme hľadať tak, že poslednú neznámu zvolíme ako:,. Dosadením do druhej rovnice dostaneme: 98

99 a z prvej rovnice: Sústava má teda nekonečne veľa riešení tvaru: ] 3.3. Determinanty Definícia. Majme štvorcovú maticu typu s reálnymi prvkami : Takejto štvorcovej matici môžeme priradiť určité reálne číslo, ktoré je charakteristické pre danú maticu, a ktorému hovoríme determinant matice a jeho hodnotu počítame podľa Leibnizovej formule 56 prepísanej do jednoduchšieho tvaru pomocou Levi-Civitovho symbolu 57 : [3.19.] kde suma obsahuje 58 sčítancov cez všetky permutácie indexov súčinov maticových prvkov vynásobených Levi-Civitovym symbolom, ktorý určuje znamienko danej permutácie indexov. Namiesto uvádzania podrobností tejto na pohľad zložitej všeobecnej definície, ukážeme si ako sa dá ľahko aplikovať na štvorcové matice do veľkosti a vypočítame hodnotu determinantu matice podľa Sarrusovho (krížového) pravidla. 59 Definícia. Determinant štvorcovej matice typu je číslo: Pre zapamätanie spôsobu výpočtu môže byť užitočná nasledovná schéma: 56 Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) bol významný nemecký matematik a filozof, ktorý položil základy infinitezimálneho počtu. 57 Tullio Levi-Civita, ( ) bol taliansky matematik, známy svojimi prácami z tenzorového počtu a jeho aplikáciami v teórii relativity. 58 Symbol ( faktoriál) znamená súčin prvých prirodzených čísel:. Platí:. 59 Pierre Frédéric Sarrus ( ) bol francúzsky matematik známy najmä svojimi prácami z oblasti lineárnej algebry. 99

100 Obrázok 3.5. Schéma zápisu štvorcovej matice typu pre výpočet determinantu pomocou Sarrusovho pravidla. Za maticu pripíšeme 1. a 2. stĺpec, vytvoríme súčiny trojíc prvkov umiestnených v smere hlavnej diagonály a sčítame ich. Potom vytvoríme súčiny prvkov v opačnom smere a odčítame ich od predošlého súčtu. Príklad. Vypočítajte determinant matice Najprv si vytvoríme pomocnú schému pridaním prvých dvoch stĺpcov: a počítame: Pre počítame hodnotu determinantu takto: Vypočítať determinanty matíc štvrtého a vyššieho poriadku pomocou súčtov súčinov by bolo pomerne komplikované. Preto sa používajú iné postupy, ktoré umožňujú výpočet determinantov matíc vyššieho poriadku pomocou determinantov poriadku nižšieho. Uvažujme štvorcovú maticu typu :, Označme determinant matice typu, ktorá vznikne z matice vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca, v ktorom sa nachádza prvok. Takýto determinant budeme nazývať subdeterminantom matice (minorom matice ) prislúchajúcim k prvku. Poriadok subdeterminantu bude stupňa. Ak zvolíme ľubovoľný k-ty riadok matice ktorého prvkami sú čísla a k ním prináležiace subdeterminanty, potom pre hodnotu determinantu matice vypočítanú pomocou rozvoja determinantu podľa k-teho riadku platí: [3.20.] Výraz v [3.20.] je rovný +1 alebo -1 podľa toho, či je súčet riadkového a stĺpcového indexu prvku rovný párnemu alebo nepárnemu číslu a sčítancom tvaru dávajú teda 100

101 kladné alebo záporné znamienko. Číslo prvku, výraz [3.20.] môžeme s jeho použitím prepísať do tvaru: nazývame algebraický doplnok [3.21.] Vzťah [3.21.] nazývame rozvojom determinantu podľa k-teho riadku. Dá sa dokázať, že rovnaký výsledok dostaneme aj rozvojom podľa iného riadku alebo stĺpca. Ak aplikujeme tento postup výpočtu determinantu na determinant tretieho poriadku, rozvojom podľa prvého riadku dostaneme: Príklad. Vypočítajte determinant matice Rozvojom podľa tretieho riadku (ktorý obsahuje najväčší počet nulových prvkov) dostaneme: Jedným z dôsledkov rozvoja determinantu podľa riadku, alebo stĺpca, v zhode so vzťahom [3.21.] je, že hodnota determinantu, ktorý má celý riadok alebo stĺpec vytvorený z núl, je rovná nule. Pri determinantoch vyšších poriadkov sa na zjednodušenie ich výpočtu môžu použiť ekvivalentné úpravy, ktoré sme uviedli pri určovaní hodnosti matíc. Treba pri tom však mať na pamäti, že: vzájomnou výmenou poradia dvoch riadkov (stĺpcov) determinantu sa hodnota determinantu zmení na hodnotu opačnú (z kladnej na zápornú hodnotu, alebo naopak), vynásobenie riadku (stĺpca) determinantu reálnym číslom vedie k rovnakému zvýšeniu hodnoty celého determinantu, pripočítaním násobku ľubovoľného riadku (stĺpca) ku ktorémukoľvek riadku (stĺpcu) determinantu jeho hodnotu nezmení. Všeobecne platí, ak je jeden riadok (stĺpec) determinantu lineárnou kombináciou ostaných riadkov (stĺpcov), potom je hodnota determinantu nulová. Toto tvrdenie platí aj opačne, ak je 101

102 determinant matice nulový, potom má determinant riadky (stĺpce), ktoré sú lineárne závislými vektormi. Ak označíme hodnosť štvorcovej matice n-tého poriadku, potom platí: Rovnosť platí totiž práve vtedy, keď sú riadky (stĺpce) matice lineárne nezávislými vektormi. Štvorcové matice, ktorých determinant je rôzny od nuly sa nazývajú regulárne matice. Matice, ktorých determinant sa rovná nule sa nazývajú singulárne matice. Pre štvorcové matice A a B rovnakého poriadku platí:. Súčin regulárnych matíc je opäť regulárna matica, výsledkom súčinu matíc, z ktorých je jedna singulárna, je singulárna matica Maticové rovnice Dá sa dokázať, že k štvorcovej matici existuje inverzná matica práve vtedy, keď je regulárna. Pomocou determinantov možno nájsť k regulárnej matici (pre ktorú platí ) inverznú maticu nasledovne: [3.22.] kde je matica algebraických doplnkov k matici. Pripomeňme si, že algebraický doplnok maticového prvku je definovaný pomocou subdeterminantu ([3.21.]). Toto tvrdenie nebudeme dokazovať, ale ukážeme jeho platnosť na matici typu : Najprv určíme algebraické doplnky k matici ako,, Matica algebraických doplnkov k matici a jej transponovaná matica budú mať tvar: Inverzná matica má potom tvar: Teraz nájdeme súčin : 102

103 Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici Nájdime najprv všetky algebraické doplnky prvkov matice : Teraz vypočítame determinant matice, napr. pomocou Sarrusovho pravidla: Nakoniec určíme inverznú maticu: Majme sústavu m lineárnych rovníc s n neznámymi: ktorú môžeme zapísať v maticovom tvare: Riešenie tejto jednoduchej rovnice, ktorá obsahuje matice, môžeme dostať násobením rovnice inverznou maticou zľava: [3.23.] Rovnice, v ktorých neznámou je matica, nazývame maticové rovnice. Pre ilustráciu si uvedieme niekoľko základných typov maticových rovníc: 103

104 kde je neznáma matica a sú matice rovnakého typu, kde je neznáma matica a sú násobiteľné matice, kde je neznáma matica a sú násobiteľné matice Maticové rovnice riešime pomocou prípustných úprav tak, aby sme vyjadrili neznámu maticu v tvare výsledok. Medzi prípustné úpravy maticových rovníc patrí: vynásobenie obidvoch strán rovnice reálnym číslom, pripočítanie matice k obidvom stranám rovnice, vynásobenie obidvoch strán rovnice maticou zľava, vynásobenie obidvoch strán rovnice maticou sprava, transponovanie obidvoch strán rovnice, roznásobenie zátvorky a vyňatie pred zátvorku. Príklad. Riešte maticovú rovnicu:, kde Rovnicu najprv prepíšeme do symbolického tvaru a riešime pomocou vhodných prípustných úprav: Vypočítame inverznú maticu:, potom dosadíme jednotlivé matice: Cramerovo pravidlo Sústavu lineárnych rovníc s neznámymi [3.17.] je možné riešiť aj pomocou determinantov. Všeobecne pre regulárne matice platí:, teda riadky (stĺpce) matice sú lineárne nezávislými vektormi a sústava lineárnych rovníc zapísaná 104

105 v maticovom tvare [3.18.]:, (kde je matica sústavy, je stĺpcový vektor neznámych a je stĺpcový vektor pravých stán) má jedno riešenie. Toto riešenie môžeme nájsť pomocou Cramerovho pravidla. 60 Veta. Nech determinant matice [3.17.] je rôzny od nuly. Potom má sústava jediné riešenie: [3.24.] kde determinant dostaneme tak, že k-ty stĺpec v determinante nahradíme stĺpcovým vektorom pravých strán rovníc sústavy : V prípade, že sa jedná o singulárnu maticu (pre ktorú ), Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. V takomto prípade má sústava buď žiadne alebo nekonečne mnoho riešení, ktoré môžeme vypočítať napr. pomocou Gaussovej eliminácie. Ak máme homogénnu sústavu rovníc:, kde O je nulový stĺpcový vektor, potom riešením sústavy je:, tzv. triviálne riešenie. Ak je regulárna matica, potom iné ako triviálne riešenie sústavy neexistuje. Ak je singulárna matica existencia netriviálneho riešenia bude preberaná v odseku o vlastných hodnotách a vlastných vektoroch matíc. Príklad. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc: Matica sústavy:, determinant: je rôzny od nuly a je regulárna. Sústava bude teda mať jedno riešenie, ktoré vypočítame pomocou Cramerovho pravidla: 60 Gabriel Cramer ( ) bol švajčiarsky matematik a fyzik. 105

106 Ako vidíme z predchádzajúceho príkladu, postup je pomerne pracný, pretože na vyriešenie sústavy rovníc sme potrebovali spočítať 4 determinanty 3. poriadku. Pri použití metódy Gaussovej eliminácie by bol počet aritmetických operácií potrebných na vyriešenie sústavy nižší Vlastné hodnoty a vlastné vektory matíc Majme štvorcovú maticu n-tého poriadku s reálnymi prvkami. Skúsme hľadať také n- rozmerné stĺpcové vektory, ktoré sa pri vynásobení maticou budú rovnať samy sebe alebo svojmu násobku (zobrazia sa sami na seba). Inými slovami, hľadajme netriviálne riešenia rovnice: [3.25.] v ktorej nepoznáme ani stĺpcový vektor, ani číslo. Ak existujú ( je nulový vektor) a reálne číslo, ktoré rovnici [3.25.] vyhovujú, potom nazveme vlastnou hodnotou (charakteristickou hodnotou) matice a vlastným vektorom (charakteristickým vektorom) prislúchajúcim k vlastnej hodnote. Rovnicu [3.25.] nazývame vlastný problém. Riešenie vlastného problému je jednou z ústredných tém niektorých oblastí prírodných vied, napr. kvantovej mechaniky. Ak takýto vlastný vektor existuje, potom aj každý nenulový násobok tohto vektora, bude tiež vlastným vektorom matice, pretože: Vlastný problém môžeme prepísať do alternatívneho tvaru nasledovne:. kde je jednotková matica n-tého poriadku, keďže:, môžeme písať: Ak má byť nenulovým vektorom, riešením vlastného problému, potom musí byť matica singulárna, t.j. musí platiť:. V opačnom prípade by pre regulárnu maticu existovalo len triviálne riešenie. Podmienka nám umožňuje hľadať vlastné hodnoty matíc. Matica vznikne z matice tak, že od všetkých prvkov hlavnej diagonály matice odpočítame vlastnú hodnotu. Riešiť vlastný problém štvorcovej matice n-tého poriadku teda znamená hľadať korene polynómu n-tého stupňa (charakteristického polynómu), ktorý dostaneme výpočtom determinantu : 106

107 Pre maticu druhého poriadku to teda znamená riešiť kvadratickú rovnicu, ktorá môže mať tri rôzne možné riešenia (dva rôzne reálne korene, dvojnásobný reálny koreň, dva komplexne združené korene): Príklad. a) Nech matica je singulárna matica. Jej determinant bude mať tvar: Riešením charakteristického polynómu dostaneme dve vlastné hodnoty:. b) Ak matica je jednotková matica. Jej determinant bude mať tvar: Riešením charakteristického polynómu dostaneme jedinú vlastnú hodnotu:. c) Ak matica. Jej determinant bude mať tvar: Riešením charakteristického polynómu dostaneme jedinú vlastnú hodnotu:. d) Ak matica, determinant bude mať tvar: Riešením charakteristického polynómu dostaneme dve vlastné hodnoty:. e) Ak matica je tretieho poriadku, determinant bude mať tvar: Matica má teda tri vlastné hodnoty:. 61 Pozrime sa teraz na vlastný problém z druhej strany a hľadajme vlastné vektory pre niektoré z matíc, napr. b) a c) z hore uvedených príkladov. Obidve matice majú jedinú vlastnú hodnotu (dvojnásobný koreň charakteristických polynómov). Jednotková matica 61 Prvý koreň sme "uhádli" (pozri vetu [2.39]) a ostatné dopočítali po vydelení charakteristického polynómu koreňovým činiteľom. 107

108 bude mať ako svoj vlastný vektor patriaci k vlastnej hodnote z, pretože rovnicu: ľubovoľný nenulový vektor spĺňajú všetky vektory. Na druhej strane pre maticu musí vlastný vektor spĺňať rovnicu: a po rozpísaní na súradnice vektora musí teda spĺňať nasledovné dve rovnice: Z prvej rovnice vyplýva, že, zatiaľ čo súradnica môže byť ľubovoľná ( ). Sústava má tak nekonečne veľa riešení, ktoré môžeme zapísať v tvare:, kde. Ak zvolíme nenulový faktor rovný 1, potom bude mať matica len jediný vlastný vektor. Tento výsledok sa významne líši od vlastného vektora predchádzajúcej jednotkovej matice s rovnakou vlastnou hodnotou. Z uvedených príkladov vyplýva, že riešenie vlastného problému nie je jednoduchá úloha (najmä pre vyššie poriadky matíc), ktorú komplikuje problém s výpočtom koreňov charakteristických polynómov (viacnásobné korene, komplexné korene, atď.). Preto sa kvôli jednoduchosti zamerajme len na charakteristické polynómy len s reálnymi jednonásobnými koreňmi. Matica n-tého poriadku tak bude mať práve n rôznych koreňov, ktoré označíme:. Pre každú z týchto vlastných hodnôt matice nech existuje práve jeden vlastný vektor. Množina takýchto vlastných vektorov je zároveň aj lineárne nezávislá a tvorí bázu vektorového priestoru. Tieto vektory potom hľadáme ako riešenia maticových rovníc: alebo Príklad. Nájdite vlastné vektory matice ktorej vlastné hodnoty sme vypočítali v predchádzajúcom príklade ako:. Počítajme vlastný vektor pre. Dosadením dostaneme maticu: Vytvorme rozšírenú maticu sústavy pre homogénnu sústavu : 108

109 Po úprave: dostaneme maticu s dvoma lineárne závislými riadkami: Odtiaľ pre vektor vyplýva: a. Položme,, a. Vlastný vektor potom môžeme písať ako:,. Podobným postupom dostaneme pre vlastný vektor:,. A pre vlastný vektor:,. Pre kontrolu výpočtu urobíme skúšku správnosti. Napríklad pre a zvolíme tak, aby sme dostali čo najjednoduchšie riešenie:. Dosadíme vlastnú hodnotu a vlastný vektor do vlastného problému pre maticu : Dôležité je tiež overiť, že matica je singulárna matica (podmienka existencie netriviálnych riešení: ), o čom sa ľahko presvedčíme už počas výpočtu pri úpravách tejto matice na trojuholníkový tvar, kde sme pre každú z vlastných hodnôt dostali hodnosť trojuholníkovej matice. 109

110 Cvičenia Nech vektor a. Vypočítajte vektor: Ukážte, či sú nasledujúce 3 vektory: lineárne závislé. 3.3 Vypočítajte skalárny súčin vektorov a ak a Vypočítajte uhol vektorov a ak a Určte smer a orientáciu vektora ak a Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc Gaussovou elimináciou: 3.7. Vypočítajte súčet a súčin dvoch matíc typu : Určte hodnosť matice: Riešte sústavu lineárnych rovníc použitím Gaussovej eliminačnej metódy Vypočítajte determinant matice. 110

111 3.11. Vypočítajte determinant matice rozvojom podľa riadku alebo stĺpca Nájdite inverznú maticu k matici Riešte maticovú rovnicu s neznámou maticou : kde: Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla: Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory matice. 111

112 Riešenia Vektor:, kde a, vypočítame takto: pre súradnice výsledného 3-rozmerného vektora podľa zadania platí:. Dosadením súradníc vektorov a dostaneme:., kde 3.2. Otázku lineárnej závislosti vektorov riešime tak, že hľadáme také rozvojové koeficienty d 1, d 2, d 3, pre ktoré platí:. Rovnicu rozpíšeme pre súradnice: Z poslednej a predposlednej rovnice dostaneme: a, čo po dosadení do prvej rovnice vedie k výsledku:,,. Keďže lineárna kombinácia je triviálna, vektory sú lineárne nezávislé. 3.3 Skalárny súčin vektorov a vypočítame podľa vzťahu [3.6.] ako: 3.4. Uhol dvoch vektorov a vypočítame podľa vzťahu [3.7.]: uhol 3.5. Vektorový súčin pre a vypočítame podľa pravidla [3.8.]: Smer a orientácia výsledného vektora je daná jeho súradnicami: 112

113 z y x Obrázok 3.5. Znázornenie vektora Sústavu lineárnych rovníc budeme riešiť Gaussovou elimináciou tak, že ju postupnými elementárnymi úpravami prevedieme na trojuholníkový tvar: Tretiu rovnicu vynásobíme 3 a odpočítame prvú rovnicu (skrátene to zapíšeme ako: ): potom ( nakoniec ( ): Z poslednej rovnice vypočítame, dosadením do 2. rovnice dostaneme a dosadením a do 1. rovnice dostaneme. Riešenie: Súčet dvoch matíc a typu vypočítame nasledovne: 113

114 Súčin dvoch matíc a vypočítame ako: 3.8. Pri výpočte hodnosti matice budeme najprv maticu upravovať na trojuholníkový tvar, t.j. na maticu, ktorá obsahuje nuly pod hlavnou diagonálou. Prvý riadok opíšeme, od druhého riadku odčítame dvojnásobok prvého riadku ( ): od tretieho riadku odpočítame prvý riadok ( riadok ( ): ) a nakoniec sčítame druhý a tretí Počet nenulových riadkov vo výslednej trojuholníkovej matici je 2, teda Sústavu lineárnych rovníc budeme riešiť použitím Gaussovej eliminačnej metódy Rozšírenú maticu sústavy upravíme ekvivalentnými úpravami na trojuholníkovú maticu: 114

115 Z poslednej matice vidíme, že hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy, ale je menšia ako počet neznámych. Preto bude mať sústava nekonečne veľa riešení, pričom ľubovoľne voliť môžeme neznámu (parameter). Z posledného riadku: dostaneme. Druhý riadok: nám po dosadení za dá výsledok. Nakoniec dosadíme za a do prvého riadku a dostaneme. Tejto podmienke vyhovuje nekonečne veľa hodnôt a. Zvoľme napríklad neznámu za parameter a položme:, kde predstavuje ľubovoľné reálne číslo. Skúmaná sústava bude mať nekonečne veľa riešení, ktoré všetky spĺňajú tvar: ] Determinant matice vypočítame pomocou Sarrusovho pravidla. Najprv si vytvoríme pomocnú schému pridaním prvých dvoch stĺpcov: a potom vypočítame determinant: Determinant matice vypočítame pomocou rozvoja podľa riadku alebo stĺpca. Rozvoj determinantu výhodne urobíme podľa 4. riadku, ktorý obsahuje 2 nuly a bude teda krátky: Inverznú maticu k matici vypočítame nasledovným postupom. Najprv nájdeme všetky algebraické doplnky prvkov matice : 115

116 Potom vypočítame determinant matice typu, napr. pomocou Sarrusovho pravidla: Nakoniec určíme inverznú maticu podľa vzťahu [3.22.] : Maticovú rovnicu s neznámou maticou : kde: budeme riešiť tak, aby sme dostali na ľavej strane rovnice len neznámu maticu : Matica je regulárna matica, preto bude existovať inverzná matica, ktorú vypočítame podľa vzťahu [3.22.]:. Ďalšími úpravami dostaneme výslednú rovnicu: Matica. Potom: Sústavu lineárnych rovníc: 116

117 budeme riešiť pomocou Cramerovho pravidla [3.24.]. Matica sústavy:, determinant: je rôzny od nuly a je regulárna. Sústava bude teda mať jedno riešenie, ktoré vypočítame ako: Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice nájdeme týmto postupom. Najprv vypočítame vlastné hodnoty z podmienky singulárneho determinantu:. Vlastné hodnoty matice sú:. Počítajme teraz vlastný vektor pre hodnotu. Dosadením dostaneme maticu: Vytvorme rozšírenú maticu sústavy pre homogénnu sústavu : Sčítaním 1. a 2. riadku zistíme, že matica problém bude teda mať pre vlastnú hodnotu dosadením : má hodnosť 1 a je singulárna. Vlastný netriviálne riešenie, ktoré nájdeme z prvého riadku dostaneme pre súradnice vektora rovnicu: Táto rovnica má nekonečne veľa riešení. Zvoľme jednu premennú ako:,. Vlastný vektor potom bude mať tvar:,,. Ak nenulový faktor zvolíme tak, aby výsledok bol čo najjednoduchší, t.j., potom výsledný vlastný vektor matice pre vlastnú hodnotu bude:. 117

118 O korektnosti výsledku sa presvedčíme skúškou správnosti: Počítajme teraz vlastný vektor pre. Dosadením dostaneme maticu: Vytvorme rozšírenú maticu sústavy pre homogénnu sústavu : Odčítaním 1. riadku násobeného faktorom od 2. riadku zistíme, že matica má hodnosť 1 a je opäť singulárna. Vlastný problém bude teda mať pre vlastnú hodnotu netriviálne riešenie, ktoré nájdeme dosadením : Z prvého riadku pre súradnice vektora dostaneme rovnicu: Vlastný vektor zvolíme ako:,,. Nenulový faktor opäť zvolíme čo najjednoduchší ako. Výsledný vlastný vektor bude mať tvar:. Výsledok opäť overíme skúškou správnosti: 118

119 4. Postupnosti a číselné rady 4.1. Nekonečná postupnosť Postupnosti sú funkcie definované na množine prirodzených čísel Definícia. Nekonečná postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel, ktorá každému číslu priradí práve jedno reálne číslo, také, že : [4.1.] Postupnosti namiesto tvaru obvyklého pre reálne funkcie zapisujeme v tvare: [4.2.] kde hodnotu nazývame prvým členom postupnosti (prislúchajúcim nezávisle premennej ), nazývame druhým členom, atď., kde index vyjadruje príslušnú hodnotu premennej. Grafom postupnosti v karteziánskej súradnicovej sústave sú izolované body, (na horizontálnej osi grafu zobrazujeme premennú a na vertikálnej osi funkčné hodnoty ), Obr Obrázok 4.1. Graf postupnosti. Graf sa skladá z izolovaných bodov. Postupnosti môžeme zadávať rôznymi spôsobmi: vymenovaním niekoľkých počiatočných členov postupnosti tak, aby bolo možné odhadnúť tvar nasledujúcich členov, zadaním vzorca pre výpočet n-tého člena, rekurentne - tak, že zadáme prvý člen postupnosti a predpis ako vypočítať nasledujúci člen pomocou predchádzajúceho člena, napr. (n+1)-vý člen z n-tého člena. Napríklad: 119

120 Príklad. a) Napíšte prvých 5 členov postupnosti, ktorej n-tý člen je definovaný ako:. Dosadenín dostaneme: b) Nájdite vzorec pre n-tý člen postupnosti:. Keď prepíšeme postupnosť do tabuľky a vyjadríme v tvare zložených zlomkov: Vidíme, že pravidelne klesá s rastúcou hodnotou n, pričom je v absolútnej hodnote o nižšie ako n. Preto:. Dosadením do vzťahu pre sa presvedčíme, že je splnený aj pre. c) Napíšte prvých 6 členov postupnosti danej rekurentne: Riešime postupným dosadzovaním: Teda: Táto postupnosť sa nazýva Fibonacciho postupnosť. 62 Aritmetická postupnosť je zadaná prvým členom a rekurentným vzťahom: [4.3.] Číslo d sa nazýva diferencia. Pre výpočet n-tého člena platia nasledovné vzťahy: Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti vypočítame podľa vzťahu: [4.4.] Príklad. Vypočítajte súčet prvých 15 členov aritmetickej postupnosti, pre členy ktorej platí: 62 Leonardo Pisano ( ), známy ako Fibonacci, bol taliansky matematik, ktorý sa zaslúžil o rozšírenie arabskej desiatkovej číselnej sústavy v Európe. 120

121 a Najprv si pomocou členov a vypočítame konštanty postupnosti: a riešením sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych: Jej riešením dostaneme a. Dosadením dostaneme a súčet: Geometrická postupnosť je zadaná prvým členom a rekurentným vzťahom: kde číslo q sa nazýva kvocient. Na výpočet n-tého člena geometrickej postupnosti môžeme použiť tieto vzťahy: Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti pre kvocient q 1 a vypočítame nasledujúcim postupom. Súčet vynásobíme kvocientom a spočítame rozdiel : [4.5.] S narastajúcou hodnotou nezávisle premennej, bude geometrická postupnosť v závislosti od hodnoty kvocientu q buď neobmedzene klesať (rásť) alebo sa bude približovať k nule, Obr A B 121

122 C D Obrázok 4.2. Graf geometrickej postupnosti pre a rôzne hodnoty kvocientu. A. B. C. D.. Príklad. Vypočítajte súčet prvých 10 členov geometrickej postupnosti, pre členy ktorej platí: Najprv si pomocou členov a vypočítame konštanty postupnosti: a q riešením sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych: a Jej riešením dostaneme a. Dosadením dostaneme súčet : So zvyšujúcou sa hodnotou nezávisle premennej n môžu body postupnosti rásť, klesať, alebo sa približovať k určitému číslu. Hovoríme, že postupnosť je rastúca (klesajúca, neklesajúca, nerastúca), ak pre každé platí: (,, ). Postupnosť je zdola (zhora) ohraničená, ak existuje také, že pre každé platí: (. Postupnosť je ohraničená, ak je ohraničená zdola aj zhora. Príklad. Dokážte, že postupnosť platí: je rastúca a ohraničená. Pre rastúcu postupnosť 122

123 čo je splnené pre každé, teda postupnosť je rastúca. Pre dostaneme najnižšiu hodnotu (spodnú hranicu, ) rastúcej postupnosti (, teda pre každé platí:. Hornú hranicu odhadneme ako. Skúsme, či pre ľubovoľné platí: čo je splnené pre každé. Preto postupnosť je rastúca a ohraničená číslami: a Limita postupnosti Grafy dvoch postupností na obrázku (Obr. 4.3.) vykazujú rozdielny trend funkčných hodnôt. Zatiaľ čo postupnosť s narastajúcou hodnotou n neobmedzene rastie (hovoríme, že postupnosť diverguje), postupnosť sa s narastajúcim hodnotou n neobmedzene približuje k číslu nula (hovoríme, že postupnosť konverguje k nule). Číslo nula v tomto prípade predstavuje tzv. hromadný bod, t.j. bod v okolí ktorého sa na grafe nachádza nekonečne veľa bodov postupnosti. A B Obrázok 4.3. Graf postupnosti. A.. B.. Okolie bodu úzko súvisí s pojmom neobmedzeného približovania. -okolie bodu ( ) definujeme ako interval so stredom v a so šírkou alebo množinu. Hovoríme, že postupnosť sa neobmedzene (limitne) približuje k číslu, ak pre ľubovoľne malú zvolenú hodnotu ležia body postupnosti v -okolí, Obr Teda: [4.6.] 123

124 ) Obrázok 4.4. Graf postupnosti Pre ležia body postupnosti v úzkom páse ohraničenom plnými čiarami okolo čísla, ku ktorému sa členy postupnosti neobmedzene približujú, v tzv. -okolí bodu kde. 63 Definícia. Hovoríme, že číslo je vlastnou limitou postupnosti, ak pre každé, existuje taký index, že pre všetky platí: zapisujeme: alebo [4.7.] [4.8.] a čítame limita pre idúce do nekonečna je rovná. Postupnosť, ktorá má limitu sa nazýva konvergentná a postupnosť, ktorá nemá limitu sa nazýva divergentná. Príklad. Dokážte, že limita postupnosti z Obr sa rovná:. Podľa definície limity postupnosti musí pre všetky a platiť vzťah [4.7.]: Z pravej strany nerovnosti: úpravou dostaneme:, čo je splnené pre každé. Ľavú stranu nerovnice: upravíme na tvar:, ktorý udáva pre aké hodnoty je splnená ľavá strana nerovnice, keď si zvolíme parameter. Dosadením vybraných zvolených hodnôt dostaneme: Príklad. Dokážte, že limita postupnosti sa rovná:. Ak sa limita postupnosti rovná, potom musí byť splnená podmienka [4.7.]: 63 Symbol v nerovnosti znamená, že číslo je omnoho menšie ako číslo. 124

125 Ľavá strana nerovnosti: je splnená pre každé. Pre pravú stranu: vieme pre každú zvolenú hodnotu nájsť hodnotu také, aby bola definičná nerovnosť splnená. Preto platí:. Veta. Limita postupnosti sa rovná: kde [4.9.] Konvergentná postupnosť je ohraničená, pretože členy postupnosti, ktorá má limitu rovnú b, ležia pre v -okolí bodu,, Obr. 4.4., a neprekračujú hodnotu. Na druhej strane samotná ohraničenosť postupnosti ešte nezaručuje jej konvergenciu. Príkladom ohraničenej postupnosti, ktorá nie je konvergentná je napr. postupnosť, o čom sa čitateľ môže ľahko presvedčiť nakreslením jej grafu. O existencii limít postupností hovorí nasledujúca veta, ktorú uvedieme bez dôkazu. Veta. Každá ohraničená monotónna 64 postupnosť má limitu. Každá postupnosť má najviac jednu limitu. Existujú divergentné postupnosti také, že neobmedzene rastú nad alebo klesajú pod každú hranicu. Pre takéto postupnosti môžeme zaviesť nevlastné limity. Definícia. Postupnosť má nevlastnú limitu ( ), ak pre každé existuje index taký, že pre všetky platí: ( ), čo zapisujeme ako: ( ) [4.10.] V ďalšom texte si uvedieme niektoré vlastnosti limít postupností a preberieme metódy výpočtu limít. Veta. Majme dve konvergentné postupnosti a, ktorých limity sa rovnajú číslam: potom: a kde [4.11.], ak 64 Termín monotónna funkcia alebo krivka znamená, že táto vo svojom definičnom obore buď len rastie alebo len klesá, prípadne aj stagnuje (čo nie je ani rast ani pokles), ale nikdy vo svojom definičnom nekombinuje pokles a rast. Podrobnejšie sa budeme týmto termínom zaoberať v diferenciálnom počte. 125

126 ak, ak, Pomocou týchto pravidiel môžeme vypočítať limity postupností komplikovanejšieho tvaru. Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti:. Tento typ limít, ktoré pripomínajú racionálnu lomenú funkciu, počítame tak, že zlomok vynásobíme výrazom, ktorý obsahuje prevrátenú hodnotu najvyššej mocniny, ktorá sa v zlomku nachádza, v našom prípade:. Potom aplikujeme pravidlá pre výpočet limity podielu, súčtu a rozdielu postupností. V zlomku potom dostaneme limity tvaru, vzťah [4.9.], ktoré sa rovnajú nule. Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti: Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti: Predchádzajúcu vetu o vlastnostiach limít konvergentných postupností je možné obozretne aplikovať aj na nevlastné limity. Ak máme dve postupnosti divergujúce do nekonečna: potom platí:, čo môžeme zjednodušene symbolicky zapísať ako:. Pomocou takejto zjednodušenej notácie vieme potom prehľadne zapísať viaceré vlastnosti nevlastných limít:,, kde, kde,, kde,, kde, a 126

127 , kde,, kde Pri výpočte limít sa môžeme stretnúť aj s kombináciami symbolov, ktoré patria medzi tzv. neurčité výrazy, pre ktoré nevieme priamo určiť výsledok:. Takéto prípady treba riešiť individuálne. Napríklad pre limity typu vieme riešiť pomocou nasledujúcej vety. Veta. Pre postupnosti, ktoré konvergujú k nule: a ktorých členy nadobúdajú len kladné hodnoty: (len záporné hodnoty: ), platí: ( ) [4.12.] 4.3. Nekonečný rad Majme postupnosť kde ( ). Pomocou tejto postupnosti vytvoríme novú postupnosť tak, že každý jej člen sa bude rovnať súčtu prvých členov postupnosti : Dá sa ukázať, že limita takejto postupnosti čiastočných súčtov postupnosti bude mať nekonečne veľa sčítancov ( ) a tvar: [4.13.] Hodnota limity v hore uvedenom príklade postupnosti s bude rovná. Súčet nekonečného číselného radu však nemusí vždy existovať (t.j. môže byť nekonečne veľký). Súčet nekonečného radu existuje vtedy, ak má postupnosť čiastočných súčtov z neho vytvorená vlastnú limitu. Veta. Hovoríme, že nekonečný rad: je konvergentný, t.j. má súčet, ak postupnosť čiastočných súčtov z neho vytvorená je konvergentná, a teda má limitu:. Potom aj súčet nekonečného radu sa rovná : [4.14.] 127

128 Poznámka. Sumácia vo výraze pre nekonečný rad [4.13.] nemusí vždy začínať od indexu, ale môže začať aj od iného celého čísla (najčastejšie od ). Príklad. Majme nekonečný rad:. Vytvorme z tohto radu postupnosť čiastočných súčtov: Súčet nekonečného radu bude existovať, ak postupnosť vytvorená z čiastočných súčtov radu: konverguje a má limitu: bude konvergovať. Presvedčme sa teda výpočtom, že táto postupnosť Potom podľa vzťahu [4.12.] súčet nekonečného radu bude rovný: Príklad. Majme nekonečný rad:. Postupnosť čiastočných súčtov tohto radu bude mať tvar nasledovnej postupnosti:, ktorá diverguje do. Preto súčet nekonečného radu nebude existovať (bude nekonečný). Vo všeobecnosti nie je jednoduché určiť, či daný nekonečný rad konverguje alebo diverguje, a ak konverguje, čomu sa rovná jeho suma. Ako zistíme či daný nekonečný rad konverguje alebo diverguje hovorí nasledujúca veta. 65 Veta. Nech je nekonečný rad. Nech existuje limita (D Alembertovo kritérium konvergencie): [4.15.] Ak potom rad konverguje, ak potom rad diverguje, ak potom kritérium nie je použiteľné na zistenie konvergencie radu. Príklad. Rozhodnite, či nekonečný rad Vypočítame D Alembertovo kritérium konvergencie: konverguje alebo diverguje. 65 Jean le Rond D'Alembert ( ) bol francúzsky filozof, matematik, fyzik, astronóm a encyklopedista. 128

129 Keďže rad bude konvergovať, jeho súčet však nepoznáme. Príklad. Rozhodnite, či nekonečný rad Vypočítame D Alembertovo kritérium konvergencie: konverguje alebo diverguje. Keďže rad bude konvergovať, jeho súčet však opäť nepoznáme. Okrem D Alembertovho kritéria existujú aj ďalšie testy konvergencie, ako napr. Raabeho, Bertrandov alebo Kummerov test, ktoré tu však nebudeme bližšie rozoberať. 66 Nájsť súčet konvergentného radu vo väčšine prípadov nevieme. Vieme však aspoň odhadnúť približnú hodnotu súčtu použitím numerických metód pomocou počítačov. Výnimku tvoria geometrické rady, ktorých súčet vieme určiť presne. Ako sme ukázali vo vzťahu [4.5.], pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti platí vzorec:. Geometrický rad je nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti: a jeho súčet je definovaný ako limita : Ak pre kvocient q platí: potom, súčet geometrického radu existuje a rovná sa: potom neexistuje a geometrický rad diverguje. [4.16.] [4.17.] [4.16.] Príklad. Určte, či nekonečný rad konverguje a ak áno, určte jeho súčet. Jedná sa o geometrický rad s koeficientom a kvocientom, pre ktorý platí:, preto rad konverguje. Jeho súčet existuje a nájdeme ho ako: 66 Joseph Ludwig Raabe ( ) bol švajčiarsky matematik. Joseph Louis Francois Bertrand ( ) bol francúzsky matematik. Ernst Eduard Kummer ( ) bol nemecký matematik. 129

130 4.4. Mocninové rady Doteraz sme uvažovali nekonečné číselné rady, ktorých členmi boli čísla (konštanty) : Teraz sa zameriame na funkcionálne rady, presnejšie na mocninové rady, ktorých členy obsahujú okrem číselných konštánt a n aj nezávisle premennú x a jej prirodzené mocniny: [4.19.] kde. Takýto mocninový rad predstavuje polynóm nekonečného stupňa ( ), ktorý sa po dosadení konkrétneho čísla: zmení na nekonečný číselný rad s reálnymi členmi:, a ktorý pre danú hodnotu buď konverguje alebo nie. Vidíme, že pomocou mocninového radu môžeme definovať funkciu, ktorá číslu, pre ktoré rad konverguje, priradí súčet číselného radu. Mocninový rad je teda istá funkcia, ktorej definičným oborom sú všetky čísla, pre ktoré rad konverguje, a funkčná hodnota je jeho súčet. Príklad. Nájdite súčet mocninového radu:. Tento mocninový rad pre predstavuje po dosadení geometrický rad s kvocientom r. Ak potom rad konverguje a jeho súčet sa rovná: ak napríklad potom.. ak napríklad potom Daný mocninový rad teda predstavuje funkciu, ktorá každému r takému, že, priradí číslo. Hovoríme teda, že mocninový rad konverguje k funkcii na intervale. Dá sa dokázať, že každý mocninový rad konverguje na symetrickom intervale, kde parameter nazývame polomer konvergencie. Polomer konvergencie mocninového radu môžeme určiť pomocou nasledovného vzťahu: [4.20.] Príklad. Nájdite polomer konvergencie mocninového radu: Podľa kritéria [4.20.] určíme polomer a interval konvergencie:. 130

131 Mocninový rad teda konverguje na intervale. Keďže tento rad predstavuje geometrický rad s kvocientom, vieme určiť aj funkciu, ku ktorej rad konverguje:. Existujú aj mocninové rady, ktoré majú interval konvergencie, napríklad:. Ak poznáme súčet takéhoto radu, môžeme ho nahradiť funkciou. V iných prípadoch môže byť naopak výhodné rozvinúť funkciu do mocninového radu:. 131

132 Cvičenia Napíšte prvých 5 členov postupnosti, ktorej n-tý člen je definovaný ako: Nájdite vzorec pre n-tý člen postupnosti: Vypočítajte súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti: Vypočítajte súčet prvých 15 členov geometrickej postupnosti: Dokážte, že postupnosť je rastúca a ohraničená Vypočítajte limitu postupnosti: Vypočítajte limitu postupnosti: Vypočítajte limitu postupnosti: Vypočítajte limitu postupnosti: Určte, či nekonečný rad je konvergentný, ak áno, nájdite jeho súčet Rozhodnite pomocou D Alembertovho kritéria, či nekonečný číselný rad konverguje alebo diverguje Nájdite interval konvergencie mocninového radu:. 132

133 Riešenia Prvých 5 členov postupnosti definovanej ako: dostaneme dosadenín n = 1,..., 5 do vzťahu pre : Postupnosť zadanú vymenovaním prvých 5 členov prepíšeme do tabuľky a motívy, ktoré sa opakujú v čitateli aj menovateli zlomkov sú teraz očividné: }. Index 4.3. Súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti: vypočítame pomocou prvého a desiateho člena postupnosti: a podľa vzťahu [4.4.]: 4.4. Súčet prvých 15 členov geometrickej postupnosti vypočítame podľa vzorca [4.5.]: 4.5. Či je postupnosť rastúca a ohraničená zistíme nasledovným postupom. Ak je postupnosť rastúca, potom platí: čo je splnené pre každé n, postupnosť je teda rastúca. Pre dostaneme najnižšiu hodnotu (spodnú hranicu ) rastúcej postupnosti (. Teda pre každé platí:. Hornú hranicu odhadneme ako (na čo nám stačí spočítať pre, a ). Skúsme, či pre ľubovoľné platí: 133

134 čo je splnené pre každé. Preto postupnosť je rastúca a ohraničená číslami: a 4.6. Pri výpočte limity využijeme fakt, že a pôvodnú limitu prevedieme na tento typ limít násobením faktorom:. Dostaneme: 4.7. Pri výpočte limity postupnosti: využijeme substitúciu, pričom platí: a vzťah: 4.8. Pri výpočte limity postupnosti: využijeme substitúciu, pričom platí: a vzťah: Limitu postupnosti: vypočítame takto: Nekonečný geometrický rad má kvocient, preto tento rad konverguje. Jeho súčet vypočítame podľa vzťahu [4.16.]: Vypočítame D Alembertovo kritérium konvergencie pre nekonečný číselný rad a podľa neho určíme, či rad konverguje: 134

135 Keďže, rad bude konvergovať Interval konvergencie mocninového radu: budeme hľadať pomocou vzťahu [4.18.]: Mocninový rad bude teda konvergovať v intervale. 135

136 5. Diferenciálny počet 5.1. Limita funkcie Podobne ako limita postupnosti, ktorá opisuje "správanie" sa postupnosti pre, aj limita funkcie opisuje priebeh funkcie v najbližšom okolí 67 bodu, prípadne pre hodnoty nezávisle premennej rastúce (klesajúce) cez všetky medze (. Limita funkcie nám teda poskytuje viac informácií o funkcii v danom mieste ako len samotná funkčná hodnota. Napríklad, pre funkcie a znázornené na Obr platí, že zatiaľ čo, nie je definovaná. Na druhej strane pre obidve funkcie platí, že pre x neobmedzene sa blížiace k číslu, funkčné hodnoty sa limitne približujú k rovnakému číslu ( a ). A. B. Obrázok 5.1. Grafy funkcií: A.. B.. Pre výpočet limity funkcie v bode nie je dôležité, či je v tomto bode funkcia definovaná (preto v definícii limity požadujeme ), podstatné je len, ako sa správa v okolí bodu a. Uveďme si teraz, ako definoval Heine 68 limitu funkcie pomocou limity postupnosti nezávisle premennej. Definícia. Nech existuje také okolie bodu, že funkcia je definovaná pre všetky body okolia okrem bodu,. Hovoríme, že funkcia má v bode vlastnú limitu rovnú, ak pre každú postupnosť takú, že:, platí: čo zapisujeme ako: [5.1.] 67 Okolím bodu rozumieme interval, kde, a označujeme ho 68 Heinrich Eduard Heine ( ) bol nemecký matematik známy svojim prínosom k matematickej analýze. 136

137 Túto definíciu limity môžeme pomocou kvantifikátorov zapísať aj ako: Definícia hovorí, ak existuje postupnosť, ktorá sa neobmedzene približuje k bodu ( ), potom funkčné hodnoty funkcie v bodoch tejto postupnosti sa budú neobmedzene približovať k hodnote, Obr Obrázok 5.2. Heineho definícia limity funkcie v bode pomocou postupnosti. Príklad. Počítajme limitu funkcie v bode podľa Heineho definície. Vyberme takú postupnosť ktorej limita sa rovná ( ), napríklad, pre ktorú platí, ak: potom:. Keď body tejto postupnosti zvolíme za uvažované hodnoty nezávisle premennej funkcie (pretože sa približujú k bodu, v ktorom chceme vypočítať limitu), dostaneme: Existuje aj ekvivalentná Cauchyho 69 definícia limity funkcie, ktorá využíva pojmy -okolia a -okolia bodu. Definícia. Nech je funkcia f definovaná pre všetky z -okolia bodu a, t.j. z intervalu,,. Hovoríme, že funkcia má v bode a vlastnú limitu rovnú číslu, ak ku každému okoliu existuje také okolie, t.j. interval,,, že. Túto podmienku formulujeme pomocou kvantifikátorov takto: Čo zapisujeme ako: [5.2.] 69 Augustin Louis Cauchy ( ) bol významný francúzsky matematik, ktorý sa zaslúžil o exaktnú formuláciu diferenciálneho a integrálneho počtu. 137

138 Pojmy -okolie bodu a -okolie bodu sú znázornené na Obr Obrázok 5.3. Cauchyho definícia limity funkcie v bode definovaná pomocou okolí a. Cauchyho definícia limity funkcie si nevyžaduje zavedenie postupnosti na popísanie neobmedzeného približovania nezávisle premennej k bodu ( ), avšak Heineho definícia sa jednoduchšie aplikuje v prípadoch, keď alebo. Proces približovania sa k v Cauchyho definícii limity zabezpečuje požiadavka, nech zvolíme akokoľvek malé, vždy musí existovať také, že pre. Pre každú funkciu platí: funkcia môže mať v bode najviac jednu limitu. Obr znázorňuje dve reálne funkcie a, ktoré majú odlišný priebeh v okolí bodu nula. Vidíme, že funkcia nadobúda rovnaké hodnoty, nezávisle od toho, či sa k bodu približujeme zľava alebo sprava (t.j. smerom od záporných čísel alebo od kladných čísel). Na druhej strane, funkcia nadobúda rozdielne hodnoty, keď sa približujeme sprava a, keď sa približujeme k nule zľava. Preto v bode bude existovať len limita funkcie, zatiaľ čo pre obidve funkcie budú v tomto bode existovať limity sprava a zľava. 138

139 Obrázok 5.4. Grafy funkcií: a v okolí bodu. Definícia. Nech je funkcia definovaná pre všetky z intervalu (( ),,. Hovoríme, že funkcia má v bode limitu sprava (limitu zľava) rovnú číslu, ak ku každému -okoliu, t.j. intervalu,,, existuje také, že pre všetky z intervalu ) platí>, čo zapisujeme ako: ( ) Dá sa dokázať, že funkcia má v danom bode limitu vtedy a len vtedy, ak má v tomto bode limitu sprava aj limitu zľava a platí: [5.3.] Pre funkcie definované na intervale, prípadne (, definujeme vlastnú limitu v nevlastnom bode ( nasledovne: Definícia. Nech je funkcia f definovaná na intervale,, ak existuje také, že platí: potom hovoríme, že funkcia f má vlastnú limitu v nevlastnom bode. Nech je funkcia f definovaná na intervale,, ak existuje také, že platí: potom hovoríme, že funkcia f má vlastnú limitu v nevlastnom bode. Veta. Majme dve funkcie a, ktoré sú definované na a ich limity v bode a sa rovnajú: potom: a, kde, kde [5.4.], ak, kde, 139

140 Je vhodné zapamätať si hodnoty limít vo "významných" bodoch pre niektoré bežné funkcie:,,, kde,,,,, neexistuje, rovnako neexistuje limita v nevlastných bodoch pre žiadnu periodickú funkciu, ak a funkcia je v bode spojitá 70 Pomocou týchto pravidiel môžeme vypočítať limity funkcií komplikovanejšieho tvaru. Z vety vyplýva, že limita polynómu v bode sa rovná jeho funkčnej hodnote v tomto bode: Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:. Na výpočet limity použijeme pravidlá uvedené v predchádzajúcej vete a limitu rozdelíme na súčet/rozdiel jednoduchých limít:. Príklad. Vypočítajte limitu funkcie: Otázku spojitosti funkcie v bode podrobnejšie preberieme na nasledujúcich stranách. Môžeme však už teraz naznačiť, že spojitosť súvisí s existenciou limity funkcie. 71 Symbolom 0- myslíme číslo blízke nule, ktoré sa k nule približuje zľava (zo strany záporných čísel). 140

141 Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:. a) pretože b) Keďže limita zľava je rôzna od limity sprava v bode, potom limita: neexistuje. Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:. 72 Použili sme substitúciu a zároveň sme uvážili, ak potom aj, teda. Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:. Pri výpočte sme použili vzťah: Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:. Doteraz sme sa zapodievali vlastnými limitami funkcií, t.j. situáciami, v ktorých sa hodnota funkcie v bode, prípadne v nevlastnom bode ( ), blíži ku konečnému číslu,. Existujú však aj nevlastné limity funkcií vo vlastných alebo nevlastných bodoch ( alebo ), v ktorých, keď sa približuje k zľava alebo sprava, funkčná hodnota rastie nad všetky medze. Definícia. Nech je funkcia definovaná na -okolí bodu,, ak existuje také, že platí: hovoríme, že funkcia má vo vlastnom bode a nevlastnú limitu rovnú a značíme: 72 Symbol, ako napr. uprostred výpočtu, značí zavedenie substitúcie (premennú nahradíme novou premennou, ktorá je výhodnejšia pre dokončenie výpočtu). 141

142 Nech je funkcia f definovaná na -okolí bodu,, ak existuje také, že platí:. hovoríme, že funkcia f má vo vlastnom bode a nevlastnú limitu rovnú. a značíme: Definície jednostranných nevlastných limít v bode získame z predchádzajúcich definícií, ak nahradíme -okolie bodu a intervalom alebo. Pre funkcie definované na intervale, prípadne (, definujeme nevlastnú limitu v nevlastnom bode ( nasledovne: Definícia. Nech je funkcia f definovaná na intervale,, ak existuje také, že platí: hovoríme, že funkcia f má v nevlastnom bode nevlastnú limitu. Nech je funkcia f definovaná na intervale,, ak existuje také, že platí: hovoríme, že funkcia f má v nevlastnom bode nevlastnú limitu. Ak v predchádzajúcich definíciách nahradíme interval intervalom a reláciu nahradíme nerovnosťou, potom dostaneme definície pre nevlastnú limitu funkcie f v nevlastnom bode : a. Je užitočné zapamätať si hodnoty nevlastných limít pre niektoré bežné funkcie:,,,,,,,, Podobne ako pri vlastnostiach limít konvergentných postupností, je možné obozretne aplikovať pravidlá a vzťahy [5.4.] pre vlastné limity funkcií aj na nevlastné limity. Ak máme dve funkcie a pre ktoré platí: 142

143 , a alebo potom pre, čo môžeme zjednodušene symbolicky zapísať ako: v závislosti od znamienka Pomocou takejto zjednodušenej notácie vieme potom prehľadne zapísať viaceré vlastnosti nevlastných limít:,,, kde,, kde,,, kde,,, kde,,, kde, Pri výpočte limít sa môžeme stretnúť aj s kombináciami symbolov, ktoré patria medzi tzv. neurčité výrazy, pre ktoré nevieme priamo určiť výsledok:. Takéto prípady treba riešiť individuálne. Ako môžeme v týchto prípadoch postupovať si ukážeme v nasledujúcich odsekoch, v časti venovanej L Hospitalovmu pravidlu. Niektoré limity tohtotypu vieme určiť aj pomocou nasledujúcej vety. Veta. Nech platí pre. Ak platí:, potom aj: [5.5.] Príklad. Vypočítajte limitu typu :. Príklad. Vypočítajte limitu typu :. Príklad. Vypočítajte limitu neurčitého výrazu:, Obr

144 Obrázok 5.5. Graf funkcií: a v okolí bodu. Limita neexistuje (Obr. 5.5), platí však nasledovný vzťah: Vynásobením Keďže dostaneme: podľa vety [5.5.] bude platiť: 5.2. Spojitosť funkcie Definícia. Nech je funkcia definovaná na -okolí bodu,. Ak platí:, potom hovoríme, že funkcia je v bode spojitá. Pomocou kvantifikátorov môžeme definíciu spojitosti funkcie zapísať napr. takto: Ak je funkcia definovaná na pravom okolí bodu (t.j. na intervale ), respektíve na ľavom okolí bodu (t.j. na intervale ) a platí:, resp., potom hovoríme, že funkcia je spojitá sprava, resp. spojitá zľava. Funkcia je v bode spojitá, ak je v tomto bode spojitá zároveň zľava aj sprava. Definícia. Funkcia je spojitá na intervale, ak je spojitá v každom bode tohto intervalu. V krajných bodoch intervalu a požadujeme, aby funkcia bola spojitá v bode zľava a v bode sprava. Väčšina známych funkcií je spojitá v každom bode svojho definičného oboru. Patria medzi ne polynómy, racionálne lomené funkcie, mocniny, logaritmické a exponenciálne funkcie, goniometrické a cyklometrické funkcie. Grafom spojitej funkcie je neprerušovaná krivka. Funkcie, ktoré sú spojité na ohraničenom a uzavretom intervale majú dôležité vlastnosti (Weierstrassova veta a Bolzanova veta). 144

145 Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale, potom je na tomto intervale ohraničená a nadobúda na ňom svoje najväčšie aj najmenšie hodnoty (Weierstrassova veta). 73 Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale, potom na tomto intervale nadobúda všetky hodnoty medzi svojou najväčšou a najmenšou hodnotou (Bolzanova veta). 74 Z tejto vety vyplýva nasledujúca vlastnosť, ktorá sa používa pri približnom výpočte riešenia rovnice, a to, ak je funkcia spojitá na uzavretom intervale a, potom existuje bod, taký, že. Ak neexistuje v bode funkčná hodnota funkcie, potom, na rozdiel od limity, nemôžeme o spojitosti v tomto bode ani uvažovať. Ako dôsledok vety o limite súčtu, súčinu,... funkcií platí nasledujúca veta. Veta. Súčet, rozdiel, súčin a podiel spojitých funkcií je opäť spojitá funkcia (pričom predpokladáme, že funkcia v menovateli podielu nenadobúda nulové hodnoty). Príklad. Ako príklad nespojitej funkcie definovanej pre všetky reálne čísla celá časť:, Obr. 5.6., je funkcia Obrázok 5.6. Graf funkcie (celá časť, táto funkcia priradí najbližšie nižšie alebo rovné celé číslo). Funkcia nie je spojitá v celých číslach, pretože tam platí, napr.:, ale Funkcia teda v bode nemá limitu zľava rovnú limite sprava, teda v bode nemá limitu a nie je v tomto bode spojitá. Podobne ani v ostatných celých číslach. 73 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( ) bol nemecký matematik považovaný za otca modernej matematickej analýzy. 74 Bernard Bolzano ( ) bol významný nemecky hovoriaci český matematik a filozof, ktorý sa venoval matematickej analýze. 145

146 5.3. Derivácia funkcie Pojem derivácia funkcie v bode zavedieme opísaním jeho geometrického významu. Majme lineárnu funkciu f, ktorá je charakterizovaná rovnicou, a ktorej grafom je v karteziánskej súradnicovej sústave priamka, Obr. 5.7.A. Táto priamka, ktorá prechádza dvomi bodmi a, bude mať smernicu rovnú: kde tangens uhla, ktorý zviera priamka s kladným smerom osi, vyjadruje veľkosť(strmosť) stúpania priamky. Smernica teda určuje stúpanie priamky. Určiť strmosť stúpania krivky je však o niečo zložitejšie. Majme všeobecnú krivku zadanú rovnicou Obr. 5.7.B. a hľadajme ako popísať stúpanie krivky v bode. Zostrojme v tomto bode ľubovoľnú priamku, ktorá našu krivku pretne v dvoch bodoch: a (nazveme ju sečnica). Smernica sečnice s bude rovná (Obr. 5.7.B.): Predstavme si teraz, že bod sa šmýka nadol po krivke, pričom sa stále viac blíži k, až splynie s bodom. Sečnica, ktorá sa pohybuje spolu s bodom, sa tiež posúva nadol a nakoniec splynie s dotyčnicou, ktorá sa krivky dotýka len v jednom bode, Obr. 5.7.B. Smernica dotyčnice bude potom limitnou hodnotou smernice sečnice : [5.6.] Táto limita nazýva deriváciou funkcie v bode. Geometrická interpretácia derivácie funkcie je teda smernica dotyčnice ku krivke v danom bode. y A B Obrázok 5.7. Grafy funkcií a smernice kriviek. A. Priamka:. B. Krivka:. Definícia. Nech funkcia je definovaná v okolí bodu. Ak existuje limita: [5.7.] potom ju nazývame deriváciou funkcie v bode. Ak označíme, potom: 146

147 Derivácia teda umožňuje definovať dotyčnicu ku krivke (grafu funkcie ) v dotykovom bode ako priamku so smernicou prechádzajúcu bodom : [5.8.] Normála je kolmica na dotyčnicu v dotykovom bode. Pre jej smernicu platí: Potom normála má rovnicu: [5.9.] Derivácia funkcie v bode sa okrem (Lagrangeova notácia) 75 niekedy označuje aj ako (Leibnizova notácia), prípadne vo fyzike aj ako (Newtonova notácia) 76. Funkcia má v bode nanajvýš jednu deriváciu. Podobne ako sme vzťahom [5.7.] definovali deriváciu funkcie v bode, definujeme aj deriváciu sprava a deriváciu zľava. Definícia. Nech funkcia je definovaná na intervale ) kde,. Ak existuje limita: [5.10.] potom ju nazývame deriváciou funkcie sprava (zľava) v bode. Funkcia má v bode deriváciu ak má v tomto bode deriváciu zľava aj sprava a tieto sa rovnajú: Derivácie zľava alebo sprava počítame v hraničných bodoch uzavretého intervalu, ak je to potrebné. Môžu poslúžiť aj na zisťovanie existencie derivácie funkcie v daných bodoch. Funkcie, ktoré majú v každom bode definičného oboru vlastnú deriváciu, nazývame hladké funkcie (možno k nim zostrojiť dotyčnicu v každom bode ). Príklad. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode, Obr Joseph Louis Lagrange ( ) bol taliansko-francúzsky matematik a astronóm, jeden zo zakladateľov variačného počtu. 76 Sir Isaac Newton ( ) bol anglický fyzik, matematik a filozof. Založil infinitezimálny počet a sformuloval prvú teóriu sily a gravitácie. Jeho objavy položili základy modernej fyziky. 147

148 y x Obrázok 5.8. Graf funkcie:. Podľa definície [5.10.] vypočítame v bode deriváciu funkcie zľava a sprava: Vidíme, že v bode funkcia nemá deriváciu, pretože:, a to aj napriek tomu, že funkcia je v bode spojitá. Zo spojitosti funkcie teda nevyplýva existencia derivácie. V nasledujúcej vete ukážeme, že opačné tvrdenie je pravdivé. Veta. Ak funkcia má v bode deriváciu, potom je v tomto bode spojitá (platí: ). Dôkaz. Predpokladajme, že má v bode deriváciu, teda existuje limita: potom pre každé môžeme napísať: Limita tohto výrazu: Čo bolo treba dokázať. Príklad. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode a napíšte rovnicu dotyčnice a normály v bode [1, 3]. Na výpočet derivácie využijeme definičný vzťah [5.7.]: Rovnica dotyčnice bude mať podľa [5.8.] tvar: alebo 148

149 Rovnica normály podľa [5.9.], Obr. 5.9.: alebo Obrázok 5.9. Graf funkcie:, dotyčnice (t): a normály (n):. Ak je derivácia funkcie v bode nulová, potom je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou (normála bude v tomto prípade rovnobežná s osou ). Ak je derivácia funkcie v bode rovná (ako napríklad derivácia sprava pre ), potom je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou (smernicu má priamka, ktorá zviera s osou uhol, ktorého tangens je rovný, t.j. pravý uhol ). Body, v ktorých existuje derivácia funkcie tvoria množinu, na ktorej je definovaná funkcia, ktorú nazývame deriváciou funkcie. Príklad. Nájdite deriváciu funkcie: pre ľubovoľné,. Podľa definície: teda pre akékoľvek platí:, čo skrátene zapisujeme ako:. Fyzikálny zmysel derivácie je v tom, že vyjadruje prírastok (zmenu) fyzikálnej veličiny v závislosti od zmeny (nezávisle) premennej. Napríklad, uvažujme pohyb hmotného bodu po číselnej osi a označme jeho polohu v čase. Derivácia funkcie v bode, t.j., má význam okamžitej rýchlosti pohybu bodu v čase (ak sa jedná o funkciu závislú od času, zvykne sa derivácia zjednodušene označovať bodkou nad symbolom funkcie: ). Pre funkciu, kde,, (jedná sa o rovnomerný priamočiary pohyb), bude okamžitá rýchlosť pohybu (v tomto prípade rovná strednej rýchlosti) v čase t rovná:. Pre, kde,, (jedná sa o rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb), bude okamžitá rýchlosť pohybu v čase rovná:. Podobne ako pre rýchlosť pohybujúceho sa hmotného bodu, môžeme napríklad 149

150 počítať okamžitú rýchlosť priebehu chemickej reakcie ako zmenu koncentrácie látky s časom:. Výpočet derivácie funkcií sa bežne nerobí pomocou definičného vzťahu [5.7.] výpočtom príslušnej limity, ale používajú sa známe vzťahy pre derivácie elementárnych funkcií. Tieto vzťahy, spolu s pravidlami pre derivovanie súčtu, rozdielu, súčinu, podielu a zloženej funkcie potom umožňujú pomerne jednoducho zderivovať akúkoľvek funkciu, ktorá bola vytvorená z elementárnych funkcií konečným počtom uvedených operácií. Priamo z definície možno odvodiť derivácie týchto známych funkcií:,,,,,, a 0,,, a 0, a 1,,, [5.11.],,,,,,,, Príklad. Dokážte, že platí. Ukážeme, že pre platí pomocou vzťahu [5.7.]: Príklad. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie v dotykovom bode T s prvou súradnicou. Dotykový bod bude mať súradnice:. Smernica dotyčnice pre bude: Rovnica dotyčnice, ktorá prechádza bodom bude: teda: Rovnica normály, ktorá prechádza bodom bude: 150

151 teda: V nasledujúcej vete ozrejmíme, ako sa derivuje súčet, rozdiel, súčin a podiel reálnych funkcií. Veta. Majme funkcie a, ktoré sú diferencovateľné na intervale. Majme funkciu, ktorá je diferencovateľná na množine. Potom pre platí:,, [5.12.], Príklad. Dokážte, že platí:. Podľa definície: Príklad. Vypočítajte deriváciu polynómu:. Príklad. Vypočítajte deriváciu racionálnej lomenej funkcie: pre. Príklad. Vypočítajte deriváciu mocninovej funkcie:, pre. Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie:, pre. 151

152 Derivujeme ako zloženú funkciu, kde a. Potom: Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie:, pre Derivujeme ako zloženú funkciu, kde a. Potom: Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie:, pre. Funkciu prepíšeme do nasledovného tvaru, ktorý je pre derivovanie výhodnejší: 77 a označíme ako zloženú funkciu, kde a. Potom: 5.4. Derivácie vyšších rádov Ak má funkcia na intervale deriváciu, potom je na tomto intervale definovaná funkcia. Vlastnú deriváciu tejto funkcie na intervale označujeme alebo, prípadne a nazývame ju druhou deriváciou funkcie (deriváciou druhého rádu). Pre bod je funkčná hodnota rovná limite: Ďalším derivovaním postupne dostaneme tretiu, štvrtú, atď. deriváciu, všeobecne n-tú deriváciu funkcie : alebo ( ). Príklad. Nájdite n-tú deriváciu funkcie:,. Príklad. Nájdite n-tú deriváciu funkcie:,. 77 Ľahko sa presvedčíme, že platí: pre. 152

153 Funkcia, ktorá je na intervale n-krát (resp. nekonečne-krát) spojite diferencovateľná sa označuje, respektíve. Každý polynóm je prvkom. Pre polynóm n- tého stupňa platí:, pre,. Uveďme si príklad fyzikálnej interpretácie derivácií vyššieho rádu. Majme hmotný bod, ktorý sa pohybuje rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom v kladnom smere osi x, pričom jeho polohu v čase (dráhu) vyjadruje funkcia:, kde je konštanta,. Rýchlosť pohybu hmotného bodu v čase je rovná derivácií dráhy podľa času v čase :. Deriváciou rýchlosti podľa času, t.j. druhou deriváciou dráhy podľa času, dostaneme okamžité zrýchlenie. V tomto prípade je zrýchlenie konštantné a platí: L'Hospitalovo pravidlo L'Hospitalovo pravidlo 78 predstavuje silný nástroj na výpočet limít typu neurčitých výrazov. Ak napríklad vieme, že deriváciou funkcie je alebo deriváciou je, vieme pomocou tohto poznatku vypočítať limity typu : alebo: Súvislosť medzi limitami niektorých neurčitých výrazov a deriváciou stanovuje nasledujúca veta. Veta. (L'Hospitalovo pravidlo) Nech funkcie a sú definované v okolí bodu a nech alebo. Potom, ak existuje limita (vlastná alebo nevlastná): platí: [5.13.] Pripomeňme, že vo vzťahu [5.13.] derivujeme čitateľa zvlášť a menovateľa zvlášť (nie ako podiel dvoch funkcií). Vetu možno aplikovať aj na jednostranné limity a tiež na limity v nevlastných bodoch (. 78 Guillaume François Antoine, Marquis de l Hospital ( ) (v modernej francúzštine Hôpital), bol francúzsky matematik, ktorý v roku 1696 publikoval prvú učebnicu diferenciálneho počtu na svete. 153

154 L'Hospitalovo pravidlo môžeme priamo aplikovať na limity typu: alebo a limity typu alebo možno na uvedené typy upraviť. Napríklad, ak a môžeme limitu previesť na: limitu typu úpravou: limitu typu úpravou: (ak v ) Ak môžeme limitu typu previesť na: limitu typu úpravou: Príklad. Vypočítajte limitu:. Pretože limita čitateľa aj menovateľa sa rovnajú 0, na výpočet limity použijeme L'Hospitalovo pravidlo: Príklad. Vypočítajte limitu:. Po dosadení dostávame neurčitý výraz typu, ktorý najprv prevedieme na limitu typu a potom vypočítame pomocou L'Hospitalovo pravidla: Príklad. Vypočítajte limitu:. Limitu vypočítame dvojnásobnou aplikáciou L'Hospitalovo pravidla: Všeobecne, nech predstavuje ľubovoľný polynóm n-tého stupňa:, potom platí:, ak a, ak. Príklad. Vypočítajte limitu:. Limitu typu upravíme tak, že v exponente dostaneme limitu typu : 154

155 Príklad. Vypočítajte limitu:. Limitu typu najprv upravíme na typ : Príklad. Vypočítajte limitu:. Príklad. Vypočítajte limitu:. Limitu typu najprv upravíme na typ : 5.6. Diferenciál Vráťme sa k definícii derivácie funkcie a ukážme, ako je možné odhadnúť pomocou derivácie v bode funkčnú hodnotu v blízkom bode. Pomocou derivácie vieme tiež vypočítať chybu určenia fyzikálnej veličiny, ktorá je závislá na parametri meranom s konečnou presnosťou: ( je stredná hodnota parametra a je chyba merania). Pamätáme sa, že derivácia funkcie je definovaná ako limita: Ak označíme a, potom: alebo: kde číslo nazývame diferenciou (prírastkom) funkcie a prírastkom argumentu (nezávisle premennej). Označme rozdiel potom: Po úprave dostaneme: kde výraz je malý a teda zanedbateľný voči ostatným členom. Preto diferencia je blízka hodnote, ktorú nazývame diferenciálom. Diferencia funkcie je 155

156 aproximovaná diferenciálom tým lepšie, čím je prírastok argumentu menší (pre sa ), Obr y f(a+ x) ) f(a)+df f(a) y = f(x) A y df B x t a a+ x x Obrázok Diferenciál je prírastok na dotyčnici ku krivke s dotykovým bodom a smernicou. Diferencia je vzdialenosť medzi bodmi a. Definícia. Diferenciálom funkcie v bode pre prírastok argumentu nazývame výraz (číslo): [5.14.] Geometrický význam diferenciálu je zrejmý z Obr Diferenciál nazývame aj prírastkom na dotyčnici. V prírodných vedách, najmä vo fyzike, sa používa zápis derivácie v tvare:. Preto sa aj diferenciál funkcie pre infinitezimálny (nekonečne malý) prírastok tvare: píše v [5.15.] Funkcia, ktorá má v bode a diferenciál sa nazýva diferencovateľná. Je zrejmé, že funkcia je v bode diferencovateľná vtedy a len vtedy, ak má v danom bode deriváciu. Pre malé hodnoty je možné využiť diferenciál na výpočet približných hodnôt funkcie v bode : [5.16.] Príklad. Nájdite hodnotu diferencie a diferenciálu funkcie, ak sa argument x zmení z hodnoty na. Máme zadané nasledovné hodnoty argumentu:, a. Počítajme najprv diferenciu: Teraz pomocou vzťahu [5.14.] vypočítame diferenciál: Vidíme, že rozdiel medzi presnou hodnotou diferencie a približným diferenciálom je malý ( ) a predstavuje odchýlku približne 3%. 156

157 Príklad. Vypočítajte pomocou diferenciálu približnú hodnotu. Pre hodnoty argumentu:, a použijeme na približný výpočet vzťah [5.16.] Na porovnanie, hodnota vypočítaná na kalkulačke sa rovná. Vzťah [5.16.] používane aj na odhad absolútnej chyby veličiny, ktorá je funkciou iného parametra, ktorý bol odmeraný s istou chybou merania. Napríklad povrch kocky:. kde je dĺžka hrany kocky. Ak poznáme absolútnu chybu merania dĺžky, potom absolútna chyba výpočtu veľkosti povrchu kocky bude: [5.17.] kde je stredná hodnota merania dĺžky hrany. Príklad. Opakovaným meraním sa zistilo, že polomer gule je: Vypočítajte povrch gule. Povrch gule:,,,. Stredná hodnota povrchu gule: Absolútna chyba výpočtu povrchu: Povrch gule je teda určený ako: 5.7. Taylorov rad V jednej z predchádzajúcich častí (4.4.) sme sa zaoberali aproximáciou funkcie mocninovým radom. Teraz sa budeme venovať rozvoju funkcie do Taylorovho radu 79, na definíciu ktorého je potrebný pojem derivácie funkcie. Taylorov rad je teda mocninový rad, súčet ktorého je rovný funkcii na intervale okolo bodu (pre jednoduchosť predpokladajme, že ): pre [5.18.] Zaujíma nás ako máme zvoliť koeficienty tak, aby bol splnený vzťah [5.18.]. Na odvodenie výrazov pre koeficienty použijeme nasledovný postup. Rozpíšme [5.18.] postupne pre 1., 2. až n-tú deriváciu : 79 Brook Taylor ( ) bol anglický matematik. Zaoberal sa predovšetkým matematickou analýzou. Je známy najmä vďaka Taylorovmu radu a polynómu. 157

158 [5.19.] členy obsahujúce Ak dosadíme do vzťahov [5.19.] za nulu, potom dostaneme: Pre koeficient mocninového radu teda platí vzorec: Pre argument z intervalu okolo bodu platí: [5.20.] Tento mocninový rad nazývame Taylorov rad funkcie so stredom v bode. Vo všeobecnosti môžeme funkciu rozvinúť do Taylorovho radu okolo ľubovoľného bodu (je potrebné, aby mala funkcia v tomto bode všetky derivácie): [5.21.] Ak stred intervalu potom tento mocninový rad nazývame Maclaurinov rad. 80 V praxi je často dostačujúce aproximovať funkciu len s určitou vopred zadanou presnosťou, je preto postačujúce uvažovať len prvých členov nekonečného mocninového radu. Vtedy hovoríme o Taylorovom polynóme n-tého stupňa: [5.22.] Príklad. Napíšte Taylorov polynóm 3. stupňa pre funkciu: so stredom v bode. Najprv vypočítame prvé 3 derivácie funkcie : 80 Colin Maclaurin ( ) bol škótsky matematik. 158

159 Príklad. Napíšte Taylorov polynóm 5. stupňa pre funkciu: so stredom v. V súvislosti s rozvojom funkcie do radu je vhodné stanoviť, na akom intervale z môžeme funkciu aproximovať Taylorovým polynómom n-tého stupňa so stredom v bode. Zjednodušene sa dá povedať, že je to na intervale, kde je polomer konvergencie, definovaný ako: [5.23.] Príklad. Nájdite polomer konvergencie Taylorovho polynómu pre funkciu: v bode. Najprv nájdeme tvar k-tej derivácie funkcie : so stredom Polomer konvergencie vypočítame podľa vzťahu [5.23.]: a Funkciu na intervale. môžeme teda aproximovať Taylorovým polynómom so stredom v bode Existujú funkcie a body, pre ktoré polomer konvergencie a Taylorov rozvoj okolo tohto stredu aproximuje danú funkciu na celom jej definičnom obore. Treba si však uvedomiť, že pre hodnoty argumentu veľmi vzdialené od stredu je potrebné na dosiahnutie požadovanej presnosti aproximovanej funkčnej hodnoty použiť podstatne vyšší počet členov rozvoja. 159

160 Riešenie otázky presnosti aproximácie funkčnej hodnoty funkčnou hodnotou Taylorovho polynómu nie je triviálne. Uvedieme bez dôkazu nasledujúcu tzv. Taylorovu vetu. Veta. Nech funkcia má všetky derivácie okolo bodu. Potom pre každé platí: kde je n-tý zvyšok Taylorovho radu: [5.23.] pričom je nejaké bližšie neurčené číslo z intervalu, v tomto prípade. Význam n-tého zvyšku Taylorovho radu je v tom, že udáva, akej chyby sa dopustíme pri rozvoji funkcie do radu s konečným počtom členov. Príklad. Vypočítajte hodnotu s presnosťou. Taylorov rozvoj funkcie okolo stredu má tvar: Pričom n-tý zvyšok Taylorovho radu:, kde pre číslo c platí:. Potom Teda:, t.j. ak zoberieme do úvahy prvých členov Taylorovho radu, potom chyba výpočtu bude menšia ako. Dosadením pre Preto: dostaneme: Porovnaním s výpočtom na kalkulačke zistíme, že funkčnú hodnotu s presnosťou na desatinných miest. sme vypočítali Kalkulačky a počítače tiež rátajú funkčné hodnoty väčšiny elementárnych funkcií pomocou Taylorovho rozvoja v tvare polynómov, pretože na výpočet stačia základné aritmetické operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, ktoré aritmetické jednotky počítačov dokážu vykonávať veľmi rýchlo. Všimnime si, že Taylorov polynóm 1. stupňa aproximuje danú funkciu lineárnou funkciou, a to dotyčnicou ku krivke v bode : kde [5.24.] 160

161 je diferenciál funkcie v bode pre prírastok argumentu. Tento polynóm je zhodný s výrazom [5.16.], ktorý popisuje približný výpočet hodnôt funkcie v bode pomocou diferenciálu Derivácia a vlastnosti funkcií V časti 5.3. sme dokázali vetu, ktorá hovorí, ak má funkcia v bode deriváciu, potom je v tomto bode spojitá. S existenciou a vlastnosťami derivácie súvisia aj viaceré vlastnosti, ktoré sa týkajú priebehu funkcie (grafu funkcie). Uvedieme ich v nasledujúcich častiach. Veta. (Lagrangeova veta) Nech je spojitá funkcia na uzavretom intervale a má deriváciu v každom bode intervalu. Potom na intervale existuje taký bod, že platí: [5.25.] Veta. (Rolleova veta) 81 Nech je spojitá funkcia na uzavretom intervale, má deriváciu v každom bode intervalu a platí:. Potom existuje bod, pre ktorý je. Geometrický význam Rolleovej vety je nasledovný. Keďže funkcia je na intervale spojitá a koncové body intervalu majú rovnaké funkčné hodnoty (nejedná sa o konštantnú funkciu), potom medzi bodmi a nadobúda krivka svoje maximum alebo minimum (aspoň jedno z nich); a dotyčnica ku grafu funkcie zostrojená v bode má nulovú smernicu (, je rovnobežná s x-ovou osou). Ak je funkcia konštantná, potom je derivácia v každom bode medzi a nulová, čiže. Lagrangeova veta je zovšeobecnením Rolleovej vety. Geometrická interpretácia Lagrangeovej vety, Obr , ukazuje, že pre diferencovateľnú funkciu existuje vo vnútri uzavretého intervalu taký bod, že dotyčnica ku krivke, zostrojená v bode, je rovnobežná (má rovnakú smernicu) so spojnicou krajných bodov a. 81 Michel Rolle ( ) bol francúzsky matematik. 161

162 \\ \\ Obrázok Dotyčnica ku krivke v bode je rovnobežná s úsečkou spojnicou krajných bodov intervalu. Príklad. Nájdite na grafe funkcie bod, v ktorom je dotyčnica rovnobežná so spojnicou krajných bodov grafu na intervale. Smernica priamky, ktorá spája krajné body grafu bude mať smernicu: Budeme hľadať bod, v ktorom sa krivky dotýka dotyčnica so smernicou týmto bodom bude:. Bude to teda bod: a rovnica dotyčnice prechádzajúcej Monotónnosť funkcie Význam prvej derivácie pre monotónnosť funkcie (rast alebo pokles funkčných hodnôt s rastúcou hodnotou argumentu ) popisuje nasledujúca veta. Najskôr však uveďme, ako poznáme, že daná funkcia rastie (okrem pohľadu na graf funkcie). Funkcia rastie vtedy, ak existuje také, že pre je a pre je. Podobným spôsobom definujeme aj pokles funkcie. Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale a má v každom bode intervalu kladnú (zápornú) deriváciu: potom je funkcia na intervale rastúca (klesajúca). ( ) pre [5.26.] 162

163 Dôkaz. Nech pre každé z intervalu má funkcia kladnú deriváciu ( ). Dokážeme, že je rastúca na, teda: Keďže, funkcia spĺňa Lagrangeovu vetu (vzťah [5.25.]). Preto existuje také, že: Keďže derivácia je kladná ( ) pre a, potom Čím sme dokázali, že pre platí:. Dôkaz pre klesajúcu funkciu je analogický. Táto veta nám umožňuje zisťovať intervaly, na ktorých je funkcia rastúca alebo klesajúca. Veta hovorí o monotónnosti na uzavretom intervale, ale môžeme ju použiť aj na neohraničené intervaly alebo intervaly, v krajných bodoch ktorých funkcia nie je definovaná. Tvrdenie vety nemožno obrátiť, rastúca funkcia nutne neznamená kladnú deriváciu pre všetky body intervalu, a pod. Pokiaľ sa derivácia funkcie v bode rovná nule, nevieme rozhodnúť o monotónnosti funkcie v tomto bode. Ak má funkcia v danom bode nevlastnú deriváciu, znamená to, že na istom okolí bodu je výraz obsiahnutý v definícii derivácie kladný, funkcia bude teda rastúca. Ak je, je v bode klesajúca. Príklad. Zistite, pre aké hodnoty je funkcia rastúca a pre ktoré je klesajúca. Keďže, bude pre hodnota a teda, preto bude funkcia klesajúca, Obr Pre základ bude a funkcia bude rastúca. Príklad. Zistite, na akých intervaloch definičného oboru je funkcia klesajúca. Definičným oborom je. Funkcia má deriváciu pre každé rastúca a Pretože menovateľ derivácie je vždy kladný, o znamienku derivácie rozhoduje výraz v čitateli:. pre, čiže pre je a funkcia je rastúca, pre, čiže pre je a funkcia je klesajúca, Obr V bodoch a je derivácia funkcie. V týchto bodoch má funkcia lokálne extrémy (minimum a maximum). 163

164 Obrázok Graf funkcie. Príklad. Zistite, na akých intervaloch definičného oboru je funkcia, kde, rastúca a klesajúca. ak, t.j. pre, teda pre rastie ak, t.j. pre, teda pre klesá, Obr Graf funkcie klesá z bodu ( ) do bodu a odtiaľ rastie až do nekonečna ( ). Obrázok Graf funkcie Majme funkciu, ktorá je v okolí bodu diferencovateľná a existuje také, že pre všetky je a pre všetky je. Funkcia je teda na ľavom okolí bodu rastúca a na pravom okolí klesajúca. Toto spolu so spojitosťou funkcie zabezpečuje existenciu lokálneho maxima v bode. Analogicky, ak je diferencovateľná funkcia naľavo od bodu klesajúca a napravo od bodu rastúca, znamená to, že v bode má funkcia lokálne minimum. Takéto body nazývame stacionárne body alebo presnejšie lokálne extrémy (pozri ). V týchto bodoch mení prvá derivácia funkcie znamienko zo záporného na kladné alebo naopak, teda pre prvú deriváciu funkcie v týchto bodoch platí. Príklad. Zistite, v ktorých bodoch má funkcia lokálne extrémy. Najprv nájdeme prvú deriváciu funkcie a určíme stacionárne body tak, že položíme : 164

165 Dostaneme dve riešenia: a. Funkcia je teda rastúca na intervale, v bode má lokálne maximum, na intervale je klesajúca, v bode má lokálne minimum a na intervale je rastúca, Obr Obrázok Graf funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie, inflexný bod Pojmy konvexnosť a konkávnosť súvisia so zakrivením grafu funkcie a pomáhajú charakterizovať tvary kriviek. Zakrivenie čiary súvisí s deriváciou funkcie v danom bode (t.j. so smernicou dotyčnice), preto aj konvexnosť a konkávnosť krivky budeme popisovať vo vzťahu k dotyčnici, Obr Definícia. Nech funkcia je spojitá na intervale a má deriváciu v každom bode intervalu. Hovoríme, že je konvexná (konkávna) na intervale, ak graf funkcie leží nad (pod) dotyčnicou zostrojenou v každom bode krivky pre : pre ( pre ) A B C D Obrázok A. Graf konvexnej funkcie. B. Graf konkávnej funkcie. C. Inflexný bod. D. Inflexný bod. 165

166 Na Obr A a B vidíme príklady konvexnej a konkávnej funkcie v okolí bodov Ako poznáme, či je daná funkcia konvexná alebo konkávna hovorí nasledujúca veta. a Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale a má druhú deriváciu v každom bode intervalu. Hovoríme, že funkcia je na konvexná (konkávna), ak má na kladnú (zápornú) druhú deriváciu: ( ) pre [5.27.] Táto veta nám umožňuje zisťovať, na ktorých intervaloch je určitá funkcia konvexná alebo konkávna pri vyšetrovaní priebehu funkcie. Túto vetu je možné použiť aj keď je interval neohraničený, prípadne funkcia nie je definovaná v jeho krajných bodoch. V prípade funkcie, ktorej graf je (aspoň lokálne) totožný s dotyčnicou nemôžeme hovoriť o konvexnosti alebo konkávnosti, takéto body budeme nazývať inflexnými bodmi. Príklad. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie:. Pre túto funkciu platí: pre každé. Preto bude funkcia konvexná (nad dotyčnicou) pre všetky Príklad. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie:. Pre túto funkciu platí:. Funkcia bude konvexná na intervale, kde:, t.j., teda: kde Funkcia bude konkávna na intervale, kde:, t.j., teda: Pozri Obr Veta. Nech funkcia je spojitá v okolí bodu a má v bode deriváciu. Bod nazývame inflexným bodom grafu funkcie, ak existuje také, že funkcia je na intervale konvexná a na intervale konkávna, alebo naopak. Hovoríme tiež, že je inflexným bodom funkcie, alebo že má v bode inflexný bod. Funkcia má v inflexnom bode dotyčnicu, ale krivka je z jednej strany inflexného bodu nad dotyčnicu a z druhej strany pod dotyčnicu, alebo naopak, Obr C a D. Inflexné body nájdeme tak, že hľadáme intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie a hraničné body, ktoré sú súčasne hraničným bodom intervalu konvexnosti aj konkávnosti, a v ktorých existuje derivácia, sú inflexnými bodmi. Príklad. Nájdite inflexné body funkcie. Funkcia má definičný obor. Najprv nájdeme intervaly, v ktorých (funkcia je konvexná), teda riešime nerovnicu: 166

167 Dostaneme: je konvexná v intervaloch,. Podobne riešením nerovnice dostaneme, že je konkávna na intervale. Funkcia má deriváciu v každom bode, Obr A. Inflexné body grafu ležia na rozhraní intervalov konvexnosti a konkávnosti v bodoch: a A B Obrázok A. Graf funkcie. B. Graf funkcie. Príklad. Nájdite inflexné body funkcie. Funkcia má definičný obor. Najprv nájdeme prvú a druhú deriváciu funkcie: a Vidíme, že funkcia je konvexná na intervale a konkávna na intervale. Preto očakávame existenciu inflexného bodu na rozhraní intervalov pre. Prvá derivácia je nevlastná: Funkcia má v bode inflexný bod a dotyčnicu totožnú s osou y, Obr.5.16.B. Pre existenciu inflexného bodu funkcie platí nasledovná nutná podmienka: Veta. Ak má funkcia v bode inflexný bod a má v bode deriváciu, potom. Nasledujúca veta zovšeobecňuje súvis medzi deriváciami funkcie a existenciou inflexných bodov. Veta. Ak pre funkciu definovanú a spojitú v okolí bodu platí: a, [5.28.] Ak k je nepárne číslo, potom má v bode inflexný bod. Typickým príkladom podobného správania je funkcia,, v bode. Platí:,. Pre párne má 167

168 funkcia v bode lokálne minimum (zároveň je to aj globálne minimum) a pre nepárne je v tomto bode inflexný bod. Príklad. Nájdite inflexné body funkcie:. Funkcia je definovaná a spojitá pre všetky. Nájdeme derivácie funkcie:,,,, Vidíme, že:, ale pre nepárne dostávame. Funkcia má preto v bode inflexný bod so súradnicami, Obr A. Príklad. Nájdite inflexné body funkcie: Funkcia je definovaná pre všetky, spojitá, párna a. Nájdeme derivácie funkcie:, Funkcia je konvexná na intervale a konkávna na intervale,. Inflexné body majú súradnice: a, Obr B. A Obrázok A. Graf funkcie. B. Graf funkcie Lokálne extrémy Z hľadiska priebehu funkcie sú asi najzaujímavejšie body, v ktorých sa mení rast funkcie na pokles a naopak. Tieto body predstavujú lokálne minimum a lokálne maximum na sledovanej krivke, spoločne ich nazývame lokálne extrémy. B Definícia. Hovoríme, že funkcia má v bode lokálne maximum (lokálne minimum), ak existuje také okolie bodu, že pre každý bod z tohto okolia, platí: ( ) Z geometrickej predstavy je zrejmé, že dotyčnica v bodoch lokálnych extrémov, ak existuje, je rovnobežná s osou, Obr

169 Nutnú podmienku existencie lokálneho extrému vyjadruje nasledujúca veta. Obrázok Graf funkcie Veta. Ak funkcia má v bode lokálny extrém a má v tomto bode deriváciu, potom: [5.29.] Veta sa nedá obrátiť, pretože, ak má funkcia v bode nulovú prvú deriváciu, nemusí v bode nutne mať lokálny extrém, môže tam mať aj inflexný bod. Všeobecne takýto bod nazývame stacionárnym bodom. Ak má funkcia v bode dotyčnicu rovnobežnú s osou, Obr , a krivka funkcie leží v okolí bodu nad dotyčnicou, potom má funkcia v tomto bode minimum, ak leží pod dotyčnicou, potom má krivka maximum. Nasledujúca veta obsahuje postačujúcu podmienku existencie lokálneho extrému. Veta. Ak funkcia má v bode prvú deriváciu rovnú nule a druhú deriváciu zápornú (kladnú ).[5.30.] potom má v bode lokálne maximum (lokálne minimum). Nasledujúca veta je užitočná v situáciách, keď v bode je splnená podmienka existencie extrému, aj inflexného bodu, a potrebujeme určiť o aký druh stacionárneho bodu sa jedná. Veta. Nech funkcia má v bode prvú deriváciu a vyššie derivácie a platí: a, [5.31.] potom: ak číslo ak číslo je nepárne, funkcia má v bode inflexný bod, je párne, funkcia má v bode lokálny extrém. Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie. 169

170 Pri riešení využijeme predchádzajúcu vetu a vzťah [5.31.] Najprv vypočítame prvú a druhú deriváciu: Funkcia bude mať stacionárny bod tam, kde, čiže: a to v bode:. Druhá derivácia v bode dáva hodnotu:, preto bude mať funkcia v bode lokálne maximum so súradnicami, Obr A. Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie. Najprv vypočítame derivácie funkcie až po prvú nenulovú hodnotu v bode : rád prvej nenulovej derivácie je párne číslo a jej hodnota je kladná. Funkcia má preto v bode lokálne minimum, Obr B. A B Obrázok A. Graf funkcie. B. Graf funkcie. Okrem lokálnych extrémov sa často zaujímame o globálne extrémy funkcie. Veta. Hovoríme, že funkcia má v bode globálne maximum (globálne minimum), ak pre každé platí: ( ).[5.32.] Pri hľadaní globálnych extrémov prehliadame lokálne extrémy a funkčné hodnoty v krajných bodoch intervalov patriacich do definičného oboru funkcie. Problém hľadania globálnych extrémov sa často vyskytuje pri optimalizácií. V optimalizačných úlohách hľadáme také hodnoty argumentov, pre ktoré účelová funkcia (funkcia, ktorá popisuje kľúčové vlastnosti systému) nadobúda maximálne alebo minimálne hodnoty. 170

171 Príklad. Nájdite rozmery kužeľa s čo najmenším objemom, ktorý môžeme opísať guli s polomerom. Rozmery kužeľa sú dané takto: - polomer základne, - výška kužeľa. Guľa má polomer označený, Obr Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov so spoločným vrcholom a dostaneme nasledovný vzťah medzi rozmermi kužeľa a gule, Obr : Úpravou dostaneme vzťah medzi polomerom podstavy kužeľa a jeho výškou : Objem kužeľa: Najmenší objem kužeľa určíme tak, že budeme hľadať globálne minimum účelovej funkcie, ktorá definuje objem kužeľa ako funkciu parametra (výšky). Teda hľadáme také, pre ktoré (podmienka existencie extrému) a (minimum, Veta [5.31.]). Takže: Vyriešením dostaneme: a dosadením do vzťahu pre dostaneme:. Preto kužeľ s najmenším objemom, ktorý možno opísať guli s polomerom 8 bude mať polomer základne a výšku. Obrázok Kužeľ opísaný guli s polomerom Asymptoty Asymptotou funkcie nazývame priamku, ku ktorej sa graf funkcie neobmedzene približuje. Existujú dva druhy asymptôt: asymptota bez smernice asymptota so smernicou 171

172 Definícia. Priamka je asymptotou bez smernice grafu funkcie, ak funkcia je definovaná aspoň na jednom z intervalov alebo,, a aspoň jedna z limít: alebo je nevlastná (rovná alebo ). Z definície vyplýva, že ak priamka je asymptotou bez smernice ku grafu funkcie, potom nie je v okolí bodu ohraničená, a teda ani spojitá. Ak je funkcia spojitá v okolí bodu, potom nemôže mať v tomto bode asymptotu, Obr Definícia. Asymptota so smernicou ku grafu funkcie je priamka, pre ktorú v nevlastných bodoch argumentu platí: a [5.33.] Z definície je zrejmé, že funkcia, ktorá má asymptoty so smernicou musí mať neohraničený definičný obor. Funkcia, ktorej, môže mať dve asymptoty, jednu pre, druhú pre. Ukážme, ako sme v predchádzajúcej definícii odvodili vzťahy [5.33.] pre výpočet konštánt asymptoty so smernicou. Keďže sa asymptota pre neobmedzene približuje ku krivke bude sa rozdiel limitne blížiť nule: Zároveň vieme, že platí: Pre súčin dvoch funkcií bude podľa [5.4.] platiť: Z toho dostaneme vzťahy [5.33.]. Príklad. Nájdite asymptoty grafu funkcie. Funkcia nie je definovaná v bode,. Hľadajme, k akým hodnotám sa približujú funkčné hodnoty v okolí zľava a sprava, rátajme: a Symbol v menovateli posledného zlomku zvýrazňuje, že hodnota menovateľa je po priblížení sa k bodu 3 sprava (infinitezimálne malá) kladná, preto:. Symbol naopak v predchádzajúcej limite zľava znamená, že menovateľ predstavuje (infinitezimálne malé) záporné číslo a preto:. 172

173 Preto priamka rovnobežná s osou, určená rovnicou, bude asymptotou bez smernice ku grafu funkcie, Obr Funkcia bude mať aj asymptotu so smernicou pre, ktorú určíme pomocou vzťahu [5.33.]: Asymptota so smernicou pre bude mať teda tvar:, Obr Rovnaký tvar bude mať aj rovnica asymptoty aj pre. Obrázok Graf funkcie. Asymptota funkcie bez smernice :. Asymptota so smernicou :. Príklad. Nájdite asymptoty grafu funkcie. Funkcia nie je definovaná v bodoch a,. Najprv spočítame limity v bodoch a zľava, aj sprava: Všetky limity sú nevlastné a majú opačné znamienko pre limitu zľava a sprava, preto priamky a budú asymptotami bez smernice a. Na určenie asymptoty so smernicou vypočítame limity: Asymptotou pre je tak priamka :. Rovnaké hodnoty limít dostaneme aj pre, preto rovnaká priamka bude asymptotou funkcie pre, Obr

174 Obrázok Graf funkcie. Asymptoty funkcie bez smernice : a :. Asymptota so smernicou : Vyšetrovanie priebehu funkcie Schéma vyšetrovania priebehu funkcie založená na výpočte derivácií funkcie sa skladá z nasledujúcich krokov: určenie definičného oboru a základných vlastností funkcie ako: spojitosť, periodicita, párnosť alebo nepárnosť. Pre párnu funkciu stačí vyšetriť len interval a potom využiť symetriu krivky. Periodickú funkciu stačí skúmať na intervale rovnom perióde funkcie, určenie znamienka funkcie a priesečníkov s osami súradnicového systému. Na intervaloch respektíve potom graf funkcie leží nad alebo pod osou, výpočet limít v krajných bodoch definičného oboru. Ak je zložený z viacerých otvorených intervalov, je potrebné skúmať limity zľava aj sprava v hraničných bodoch intervalov. Existencia a hodnota týchto limít vypovedá o správaní sa funkcie v ich blízkom okolí, výpočet prvej derivácie a určenie jej znamienka umožní identifikovať intervaly monotónnosti a lokálne extrémy funkcie, výpočet druhej (a vyšších) derivácií a určenie ich znamienka umožní identifikovať intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexné body a určiť typ lokálneho extrému funkcie (maximum, minimum), určenie globálneho maxima a minima funkcie, určenie asymptôt funkcie, nakreslenie grafu funkcie na základe poznatkov získaných v predchádzajúcich krokoch. Príklad. Vyšetrite priebeh funkcie. Jedná sa o polynóm tretieho stupňa, ktorý je definovaný na celom obore reálnych čísel, preto = R. Pre, preto nie je párna, ani nepárna. Platí:, jedná sa o polynóm s jednoduchým koreňom a dvojnásobným koreňom. Znamienko zistíme dosadením: Interval Vypočítame prvú deriváciu:. 174

175 Korene polynómu: sú a. V nich sa nachádzajú stacionárne body funkcie. Určíme ich znamienko a monotónnosť funkcie v intervaloch medzi stacionárnymi bodmi: Interval Funkcia má v bode lokálne maximum a v bode lokálne minimum. Vypočítame druhú deriváciu:. Ak položíme, dostaneme bod, v ktorom môže byť inflexný bod,. Určíme znamienko a intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie: Interval Funkcia má v bode inflexný bod. Ďalej nájdeme asymptoty funkcie. Funkcia je spojitá pre všetky, preto nemá žiadne asymptoty bez smernice. Zistíme, či má v krajných bodoch limitu pre : Preto asymptoty so smernicou pre neexistujú. Spočítame funkčné hodnoty vo významných bodoch: a nakreslíme graf, Obr Obrázok Graf funkcie. Príklad. Vyšetrite priebeh funkcie. Najprv určíme definičný obor funkcie. Prirodzený logaritmus je definovaný len pre nezáporné hodnoty argumentu, preto musí platiť:, čo je splnené pre. Ďalej overíme základné charakteristiky. Platí: preto je párna funkcia. Potom nájdeme priesečníky s osami súradnicového systému: 175.

176 teda Určíme znamienko funkcie: Interval Počítajme prvú deriváciu: Odtiaľ vyplýva: pre. Znamienko prvej derivácie je nasledovné: Interval. Preto má funkcia v bode Počítajme druhú deriváciu: lokálne maximum. Druhá derivácia nemá na definičnom obore (-2, 2) žiadne nulové body, a preto funkcia nemá inflexný bod. Určíme znamienko derivácie a konvexnosť, alebo konkávnosť funkcie: Interval Funkcia je na celom konkávna. Spočítajme teraz jednostranné limity v okrajových bodoch : a preto sú priamky a asymptotami bez smernice. Nakoniec nakreslíme graf funkcie, Obr

177 Obrázok Graf funkcie s asymptotami bez smernice : a : Interpolácia Pri interpretovaní experimentálnych pozorovaní sa často stretneme s úlohou nájsť krivku (funkciu), ktorá prechádza nameranými bodmi,. S jednou funkciou (i keď mnohoparametrovou) sa totiž pracuje o niečo ľahšie ako s desiatkami nameraných dát, aj keď sú dáta popísané len približne. Hľadaná funkcia sa nazýva interpolačná funkcia a body sa volajú uzly interpolácie. Pokúsme sa teraz nájsť takúto interpolačnú funkciu v tvare polynómu: pre ktorý musí platiť: pre [5.34.] Dostaneme tak sústavu lineárnych rovníc o neznámych, : [5.35.] pričom neznáme sú koeficienty. Takýto lineárny systém má práve jedno riešenie. Dostaneme tak jednoznačne určený interpolačný polynóm stupňa. Veta. Pre každú množinu navzájom rôznych bodov,,, existuje práve jeden polynóm, stupňa rovného najviac číslu, pre ktorý platí: pre Polynóm nazývame Langrangeovým interpolačným polynómom a predstavuje riešenie sústavy rovníc [5.35.]. Langrangeov interpolačný polynóm môžeme vyjadriť aj iným spôsobom, ako riešením sústavy [5.35.], napr. Gaussovou eliminačnou metódou. Zostrojme pomocné polynómy také, že: hľadaný Langrangeov interpolačný polynómom potom môžeme vyjadriť ako: [5.36.] [5.37.] Pomocné polynómy majú vlastnosť: Príklad. Nájdite polynóm vhodný na interpoláciu bodov Hľadáme polynóm, ktorý spĺňa podmienku [5.34.], t.j.: 177

178 určený štyrmi bodmi, teda polynóm najviac 3. stupňa:. Dosadením uvedených podmienok do sústavy [5.35.] dostaneme: ktorej riešenie (najmä, ak máme desiatky meraní) je pracné. Ukážme si preto aj rýchlejší spôsob výpočtu pomocou vzťahov [5.36.] a [5.37.]: Istou nevýhodou interpolácie dát pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu je jeho veľká citlivosť na presnosť meraní, keďže aj malé lokálne zmeny hodnôt spôsobia dramatické zmeny správania výsledného polynómu. Preto sa kvalita interpolačného polynómu zvykne vylepšovať tak, že pridáme informácie o správaní závislosti v daných bodoch zadaním aj hodnôt prvej derivácie (napríklad meranie dráhy telesa v čase doplníme o meranie rýchlosti v tom istom čase a pod.). V tomto prípade hovoríme o Hermiteovom interpolačnom polynóme. 83 Príklad. Nájdite Hermiteov interpolačný polynóm, ktorý spĺňa podmienky: Polynóm, ktorý je určený štyrmi podmienkami je polynóm najviac 3. stupňa. Nech: potom Dosadením podmienok dostaneme sústavu štyroch rovníc: Vyriešením tejto sústavy dostaneme Hermiteov polynóm, ktorý sa líši od Lagrangeovho polynómu vypočítanom pre podmienky:, napríklad správaním pre, Obr Charles Hermite ( ) bol francúzsky matematik, ktorý pracoval predovšetkým v teórii čísel a rôznych oblastiach algebry. 178

179 Obrázok Grafy funkcií a. Všeobecne môžeme opísať určenie Hermiteových polynómov nasledovne. Majme rôznych bodov, a hľadajme Hermiteov polynóm: ktorý bude nadobúdať funkčné hodnoty a hodnoty ich derivácií v meraných bodoch. Dosadením množiny nameraných dát dostaneme túto sústavu rovníc: Jedná sa o sústavu rovníc o neznámych. Ak zvolíme stupeň hľadaného polynómu, dostaneme sústavu, ktorá má práve jedno riešenie, čím dostaneme koeficienty hľadaného Hermiteovho interpolačného polynómu. 179

180 Cvičenia Vypočítajte limitu funkcie: a Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limitu funkcie: Vypočítajte limity funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode a napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku krivke v bode [2, 4] Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie:. 180

181 5.19. Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte deriváciu funkcie: Vypočítajte druhú deriváciu funkcie: v bode Vypočítajte druhú deriváciu funkcie: v bode Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu: Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu: Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu: Vypočítajte diferenciál funkcie v čísle pre prírastok Vypočítajte pomocou diferenciálu funkcie približnú hodnotu sin Nájdite Taylorov polynóm piateho stupňa so stredom v bode pre funkciu Pomocou Taylorovho polynómu vo vhodnom strede vypočítajte s presnosťou na 4 desatinné miesta Vyšetrite priebeh funkcie Vyšetrite priebeh funkcie Vyšetrite priebeh funkcie Vyšetrite priebeh funkcie. 181

182 Riešenia Grafom racionálnej lomenej funkcie je hyperbola, ktorá nie je definovaná v bode, kde je nespojitá. Limitu sprava funkcie: vypočítame takto: Pre hodnoty argumentu sa zlomok približuje k číslu 1: Obrázok Graf funkcie , pretože. 5.7., pretože

183 Deriváciu funkcie: v bode a rovnicu dotyčnice a normály ku krivke v bode [2, 4] nájdeme nasledovným spôsobom: Derivácia funkcie:, derivácia a smernica dotyčnice v bode bude. Rovnica dotyčnice bude mať tvar: Smernica normály v bode bude mať tvar:. Rovnica normály potom bude mať tvar: Deriváciu funkcie: vypočítame pomocou vzorcov [5.11.] a [5.12.]:

184 [ Druhú deriváciu funkcie: v bode, vypočítame dvojnásobným derivovaním funkcie a dosadením : Limitu: vypočítame pomocou L'Hospitalovho pravidla:

185 Diferenciál funkcie v čísle pre prírastok vypočítame podľa vzťahu [5.15.]:. Najprv vypočítame deriváciu funkcie:. Diferenciál v bode pre prírastok bude: Výpočet približnej hodnoty sin 43 pomocou diferenciálu uskutočníme pomocou vzťahu [5.16.]: Pomocou známej hodnoty v blízkom bode, derivácie funkcie sínus a rozdielu. Teda: Pre porovnanie, hodnota sin 43 vypočítaná na kalkulačke sa rovná zaokrúhlene 0, Taylorov polynóm piateho stupňa so stredom v bode pre funkciu nájdeme pomocou vzťahu [5.22.]: Najprv vypočítame derivácie v bode : ( ( ( ( ( ( Dosadíme do Taylorovho polynómu a dostávame: 185

186 s presnosťou na 4 desatinné miesta vypočítame pomocou Taylorovho polynómu funkcie so stredom v blízkom čísle (keďže poznáme ), pričom potrebný stupeň polynómu určíme podľa odchýlky vypočítanej a presnej výslednej hodnoty. Najprv vypočítame derivácie v bode : Dosadíme do Taylorovho polynómu a dostávame: ( ( ( ( ( Výpočtom na kalkulačke zistíme, že, toto číslo sa nelíši od nášho výsledku na prvých 5. desatinných miestach. Keďže požadujeme presnosť na 4 desatinné miesta, do výpočtu už nemusíme zobrať posledný člen polynómu, ktorý obsahuje 4. deriváciu, pretože jeho príspevok je menší ako. Na výpočet teda stačí Taylorov polynóm 3. stupňa Pri vyšetrovaní priebehu funkcie budeme postupovať podľa schémy [5.8.5.]: definičný obor, periodicita, párnosť/nepárnosť, znamienka funkcie, priesečníky s osami, limity v krajných bodoch, : rast/pokles, : konvexnosť/konkávnosť, inflexné body, lokálne extrémy, globálne maximum/minimum, asymptoty, graf. Definičný obor určíme z podmienky, z ktorej dostaneme:. Funkcia nie je párna ani nepárna, pretože: a. Osi súradnicového systému pretína v bodoch: a (nulové body). Pre platí 186

187 funkcia neobmedzene rastie. Prvá derivácia:. Funkcia je rastúca v tej časti, kde, t.j., čiže na intervale a klesajúca tam, kde, t.j. na intervale. Funkcia má stacionárny bod pre, t.j.. Druhá derivácia je rovná:. Druhá derivácia kladná pre, t.j. pre, teda na celom. Preto funkcia je na celom konvexná., to znamená funkcia ma v bode lokálne aj globálne minimum. Funkcia nemá inflexné body ani lokálne maximá, pretože len pre. Funkcia nemá asymptoty. Graf funkcie bude vyzerať takto: y lok. minimum Obrázok Graf funkcie Pri vyšetrovaní priebehu funkcie budeme postupovať podľa schémy [5.8.5.], podobne ako v predchádzajúcom príklade: Definičný obor funkcie je:. Funkcia je párna, pretože platí:. Os funkcia pretína v bode nemá nulový bod. V krajných bodoch platí:, funkcia sa neobmedzene približuje k osi. Prvá derivácia:. Funkcia je rastúca pre, 0), a klesajúca pre. Funkcia má stacionárny bod pre, je to lokálne a zároveň globálne maximum so súradnicami [0, 1]. Druhá derivácia je rovná:. Druhá derivácia je kladná a funkcia je konvexná pre. Funkcia je konkávna na intervale. Funkcia má pre dva inflexné body. V nevlastných bodoch sa funkcia asymptoticky približuje k x-ovej osi ( ). Graf funkcie je zobrazený nižšie: 187

188 lok. maximum Obrázok Graf funkcie Definičný obor funkcie je:. Funkcia nie je párna, ani nepárna Funkcia nemá nulový bod. V krajných bodoch platí: pre zľava a sprava:, funkcia sa neobmedzene približuje k osi, pre, funkcia neobmedzene klesá. V bode nula má funkcia rozdielne limity. Preto má funkcia v bode nula asymptotu bez smernice. Prvá derivácia:. a. Funkcia má stacionárny bod pre. Funkcia je klesajúca pre a rastúca pre. Druhá derivácia je rovná:. V stacionárnom bode má funkcia lokálne maximum so súradnicami, pretože. Druhá derivácia je záporná a funkcia je konkávna pre a konvexná na intervale. Funkcia nemá inflexné body. Graf funkcie je zobrazený nižšie: lok. maximum Obrázok Graf funkcie Definičný obor funkcie je:. Funkcia je nepárna. Funkcia má nulové body:. V krajných bodoch platí: pre 188

189 asymptotu bez smernice, ale má dve asymptoty so smernicou: a funkcia neobmedzene klesá/rastie. Nemá. Prvá asymptota má rovnicu: a druhá :. Prvá derivácia:. Funkcia má stacionárne body pre. Funkcia je rastúca pre a klesajúca pre. Druhá derivácia je rovná:. V stacionárnom bode, kde, má funkcia lokálne maximum so súradnicami ] a v bode,, má funkcia lokálne minimum so súradnicami ]. V bode má funkcia inflexný bod, pretože a pre nepárnu deriváciu. Druhá derivácia je kladná a funkcia je konvexná pre a konkávna na intervale. Graf funkcie je zobrazený na obrázku nižšie:, lok. maximum lok. minimum Obrázok Graf funkcie. 189

190 6. Integrálny počet 6.1. Primitívna funkcia, neurčitý integrál V predchádzajúcej kapitole sme zaviedli pojem derivácie funkcie. Funkcii sme priradili novú funkciu, ktorá vyjadruje zmenu v závislosti od zmeny nezávisle premennej. Čím väčšia bola hodnota derivácie, tým rýchlejšie rástla funkcia. Teraz sa budeme zaoberať opačnou úlohou. K danej funkcii budeme hľadať primitívnu funkciu takú, aby platilo. Inými slovami, budeme hľadať takú funkciu, derivovaním ktorej dostaneme našu funkciu. Tento proces hľadania primitívnej funkcie, ktorý je opačný k derivovaniu, nazývame integrovanie (alebo aj antiderivácia). Definícia. Funkciu definovanú na otvorenom intervale nazývame primitívnou funkciou k reálnej funkcii na intervale, ak pre každé platí: [6.1.] Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii nazývame neurčitý integrál funkcie a označujeme : F [6.2.] kde číslo sa nazýva integračná konštanta. Vo vzťahu [6.2.] funkciu nazývame integrandom a výraz (diferenciál nezávisle premennej ) určuje, podľa ktorej premennej sa integruje. Na rozdiel od derivovania, kde existuje aj pojem derivácie funkcie v bode, pri integrovaní hľadáme primitívnu funkciu na celom otvorenom intervale, kde. Primitívnu funkciu môžeme hľadať aj pre funkciu definovanú na uzavretom intervale, v tomto prípade však naviac požadujeme existenciu derivácie zľava a sprava v krajných bodoch intervalu a. Primitívna funkcia má v každom bode intervalu vlastnú deriváciu rovnú funkcii, preto je spojitá a diferencovateľná na. Vzniká prirodzená otázka, či ku každej funkcii definovanej na intervale existuje primitívna funkcia a teda aj neurčitý integrál. Odpoveď dáva nasledujúca veta: Veta. Ak je funkcia primitívna funkcia. spojitá na otvorenom intervale, potom k nej existuje na intervale Ak je primitívnou funkciou k funkcii na intervale, potom je primitívnou funkciou k aj každá funkcia tvaru kde je reálna konštanta,, pretože podľa pravidla o derivovaní súčtu platí: [6.3.] Teda výpočtom integrálu je primitívna funkcia určená jednoznačne okrem integračnej konštanty, čo vystihuje zápis (Obr. 6.1.): 190

191 [6.4.] Obrázok 6.1. Primitívne funkcie k funkcii sa líšia len o konštantu. Veta. Ak a sú primitívne funkcie k rovnakej funkcii na otvorenom intervale, potom existuje taká konštanta, že: pre každé. Dôkaz. Z definície primitívnej funkcie na intervale vyplýva, že:. Označme, potom pre každé platí: Funkcia má teda na každom bode deriváciu (rovnú nule), a preto je na spojitá. Ukážeme, že musí byť na konštantná, t.j. pre každé. Vezmime ľubovoľné. Funkcia spĺňa na intervale Lagrangeovu vetu ([5.25.]), a preto existuje také, že: Z toho vyplýva, že, teda všetky funkčné hodnoty na intervale sa rovnajú, a preto každé dve primitívne funkcie k sa na intervale líšia len o konštantu. Preto, ak poznáme jednu primitívnu funkciu k danej funkcii na intervale, potom poznáme všetky primitívne funkcie k tejto funkcii. Proces hľadania primitívnej funkcie k danej spojitej funkcii (integrovanie funkcie) je náročnejší ako proces derivovania. Na rozdiel od derivovania, pre integrovanie neexistujú ucelené všeobecné platné pravidlá, ktoré nám umožnia nájsť primitívnu funkciu ku každej integrovanej funkcii pomocou integrálov známych elementárnych funkcií a použitím konečného počtu operácií sčítania, násobenia a skladania funkcií, aj keď táto primitívna funkcia existuje. Priamo z definície neurčitého integrálu, vzťahy [6.1.] a [6.2.], potom môžeme písať pre každé : 191

192 Preto sa integrovanie niekedy nazýva aj "antideriváciou". Tiež je zrejmé, že ak má funkcia intervale deriváciu, ktorej neurčitý integrál existuje, potom: na teda operácie derivovania a integrovania sú navzájom "inverzné". Príklad. Nájdite primitívnu funkciu k funkciám a. V prvom prípade bude mať primitívna funkcie tvar:, pretože. V druhom prípade bude mať primitívna funkcie tvar:, pretože. Pomocou neurčitého integrálu to môžeme zapísať: a Základné vzorce pre integrovanie elementárnych funkcií sa dajú odvodiť zo vzorcov [5.11.].pre deriváciu funkcie :,,, [6.5.],,, 192

193 Uvedené vzorce môžeme jednoducho dokázať tak, že deriváciou výslednej primitívnej funkcie dostaneme integrovanú funkciu, napríklad: pre pre Základné vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré sú dôsledkom pravidiel pre derivovanie funkcií, opisujú nasledujúce vety. Veta. Nech na intervale existujú neurčité integrály a a nech sú ľubovoľné konštanty, potom platí: [6.6.] Veta. Nech na intervale existuje neurčitý integrál a nech sú ľubovoľné konštanty,, potom platí: [6.7.] Dôkaz. Vetu dokážeme priamym derivovaním zloženej primitívnej funkcie za predpokladu, že platí: : Veta. Nech funkcia je diferencovateľná na otvorenom intervale, potom platí: [6.8.] Vzťah [6.8.] je založený na vlastnosti derivácie logaritmu funkcie : Pripomíname, že neexistujú všeobecne platné pravidlá pre výpočet ľubovoľných neurčitých integrálov typu: alebo 193

194 Rôzne typy funkcií sa dajú integrovať rôznymi spôsobmi, niekedy je možné aplikovať rôzne postupy aj na tú istú funkciu. Voľba postupu je predovšetkým vecou skúsenosti s integrovaním. Správnosť výsledku je vhodné overiť si zderivovaním vypočítanej primitívnej funkcie. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Pri výpočte integrálu použijeme všeobecné pravidlo [6.6.], ako aj známe integrály elementárnych funkcií [6.5.] na priamy výpočet integrálu: Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Integrál upravíme tak, aby sme mohli použiť vzorec [6.8.]: Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Použijeme vzťahy medzi goniometrickými funkciami a integrál upravíme tak, aby sme mohli použiť vzorec [6.8.]: Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Najprv upravíme integrand na tvar rýdzo racionálnej lomenej funkcie a potom integrujeme jednotlivé členy podľa vzťahov [6.5.]: O správnosti výpočtu sa presvedčíme derivovaním výsledku: 194

195 6.2. Substitučná metóda Jednou z najčastejšie používaných metód integrácie je substitučná metóda, ktorá je založená na derivácii zloženej funkcie. Veta. Nech funkcia má spojitú deriváciu na intervale a nech pre každé patria funkčné hodnoty do intervalu. Nech funkcia je primitívna funkcia k spojitej funkcii na intervale. Potom: [6.9.] Dôkaz. je primitívna funkcia k na intervale, teda:. Teda: Nech a pre každé je, potom: Integráciou dostaneme: Čím sme dokázali platnosť predchádzajúcej vety. Vetu budeme používať v tejto forme: [6.10.] Na výpočet diferenciálu sme využili vzťah [5.15.]. Substitučnú metódu teda môžeme využiť na integráciu súčinu dvoch funkcií, ak druhá funkcia je deriváciou vnútornej zložky prvej funkcie. Substitučnú metódu používame vtedy, keď vieme vypočítať integrál. Akú substitúciu je vhodné zvoliť na zjednodušenie integrálu závisí na praktických skúsenostiach s počítaním integrálov a schopnosti rozoznať, či integrovaný výraz obsahuje funkciu násobenú jej deriváciou. V niektorých prípadoch je najprv potrebné integrand na tento tvar upraviť. Avšak nie každý integrál je možné vyriešiť substitučnou metódou. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Pri výpočte použijeme vlastnosť [6.6.] a substitučnú metódu výpočtu. 195

196 Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. 196

197 Často sa stretneme s integrálmi typu: substitúcie:, veta [6.8.], ktoré riešime pomocou Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: Metóda per partes Metóda integrácie per partes (po častiach) je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu dvoch funkcií a diferencovateľných na otvorenom intervale, [5.12.]: z čoho integráciou dostávame: [6.11.] Ako uvidíme z nasledujúcej vety, tento výraz nám dáva možnosť vypočítať neurčité integrály niektorých súčinov funkcií. Veta. Nech funkcie a majú na otvorenom intervale spojité derivácie. Potom platí: [6.12.] Ak vieme vypočítať jeden z integrálov vo vzťahu [6.11.], potom pomocou [6.12.] vieme určiť aj ten druhý. Metóda per partes je užitočná najmä pri integrovaní súčinov goniometrických, cyklometrických, logaritmických alebo exponenciálnych funkcií s polynómom. Pri počítaní touto metódou je dôležité správne zvoliť derivovanú ( a integrovanú ( ) funkciu tak, aby integrál na pravej strane výrazu, ktorý obsahuje súčin zintegrovanej a derivovanej, bol jednoduchší a integrovateľný. V integráloch obsahujúcich polynóm, ktoré sa výhodne riešia touto metódou, volíme funkcie a obvykle takto: pre integrály typu:,, volíme: pre integrály typu:,, volíme: V prípade, keď nie je vopred jasné, ktorú z možností výberu funkcií pri integrácii metódou per partes zvoliť, je vhodné vyskúšať obidve možnosti. Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: 197

198 Najprv sa rozhodneme, ako zvolíme funkcie a pre daný integrál. V našom prípade zvolíme a. Potom a a po dosadení: = - Poznámka: V prípade, že by sme zvolili funkcie a naopak, dostali by sme: Hneď vidíme, že tento postup nevedie k želanému výsledku, pretože na pravej strane sme dostali integrál ešte o niečo "zložitejší". Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál:. 84 Poznámka: V tomto príklade sme použili metódu per partes dvakrát, najprv pre pre tak, aby sme sa postupne zbavili druhej mocniny v súčine funkcií., potom Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: V tomto príklade sa na prvý pohľad nevyskytuje súčin funkcií, no napriek tomu sa daný integrál výhodne rieši metódou per partes, čo bude hneď zrejmé keď integrál prepíšeme do nasledujúceho tvaru: Poznámka: Týmto postupom môžeme okrem cyklometrických funkcií integrovať napr. aj Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: V niektorých prípadoch môžeme pri aplikácii metódy per partes dostať v priebehu výpočtu na pravej strane rovnaký integrál, ako sme mali na začiatku. V takomto prípade sa na výpočet môžeme dívať ako na rovnicu, z ktorej integrál vyjadríme: 84 Prvý riadok pomocnej schémy pripomínajúcej determinant dokumentuje v tomto výpočte voľbu derivovanej a integrovanej funkcie. 198

199 Ak sa na tento výsledok pozrieme ako na rovnicu pre hľadanú primitívnu funkciu, potom dostaneme:, odtiaľ dostaneme: 6.4. Integrály racionálnych funkcií Racionálne lomené funkcie predstavujú triedu funkcií, pre ktorú existuje všeobecný postup na výpočet primitívnej funkcie. Celý rad funkcií je možné úpravami previesť na tvar racionálnej lomenej funkcie a následne integrovať, preto je dôležité poznať postup ich integrácie. S niektorými príkladmi integrovania jednoduchých racionálnych lomených funkcií sme sa už stretli: Ako riešiť neurčité integrály, ktoré obsahujú rýdzo racionálnu lomenú funkciu si ukážeme v ďalšom texte. Rýdzo racionálnou funkciou nazývame funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov s reálnymi koeficientmi a stupňa a, kde, [2.40.]: V časti sme ukázali, že každú rýdzo racionálnu lomenú funkciu možno vyjadriť v tvare súčtu konečného počtu parciálnych zlomkov štyroch typov ([2.42.]): typ 1: kde a typ 2: kde, a typ 3: kde, a typ 4: kde,, a V časti sme tiež uviedli spôsob, ako môžeme takýto rozklad racionálnej funkcie urobiť. Teraz si ukážeme ako integrovať jednotlivé typy parciálny zlomkov. typ 1: integrujeme pomocou substitúcie : typ 2: integrujeme tiež pomocou substitúcie : typ 3: súčet dvoch integrálov nasledovného tvaru: [6.13.] [6.14.] neurčité integrály tohto typu je možné vhodnou úpravou previesť na 199

200 [6.15.] kde, a integrál: možno vhodnou úpravou, t.j. doplnením na úplný štvorec: a lineárnou substitúciou previesť na integrál typu. V tabuľkách neurčitých integrálov 85 nájdeme všeobecné riešenie pre (za predpokladu, že ) v tvare: typ 4: úpravou previesť na súčet integrálov: [6.16.] integrály parciálnych zlomkov tohto typu možno tiež vhodnou Integrál sa dá riešiť substitúciou: : [6.17.] [6.18.] Integrál zo vzťahu [6.17.] možno previesť použitím rekurentného vzorca na súčet racionálnej funkcie a násobku integrálu s o 1 stupeň nižšou mocninou menovateľa, pričom ([6.16.]): Tento postup si bližšie ozrejmíme na vyriešených príkladoch. [6.19.] Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:. Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:. Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:. 85 Pozri napr. M. L. Smoljanskij: Tabuľky neurčitých integrálov, 2. vydanie, Alfa, Bratislava,

201 Integrál vieme ľahko vypočítať:. Pri výpočte integrálu použijeme doplnenie na úplný štvorec a substitúciu: Potom pre dostaneme celkový výsledok ako: Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:. Prvý integrál vypočítame pomocou substitúcie: Druhý integrál budeme riešiť opakovaným použitím rekurentného vzťahu [6.19.]: Teda: Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Teda: 201

202 Zhrňme si na záver postup integrovania racionálnej lomenej funkcie pozostáva z nasledujúcich krokov: ak pre stupne polynómov platí:, potom vydelíme :, ktorý kde, rozložíme polynóm na polynómy 1. stupňa (koreňové činitele) a polynómy 2. stupňa so záporným diskriminantom (s komplexnými koreňmi), rozložíme rýdzo racionálnu lomenú funkciu na parciálne zlomky, vzťah [2.42.], integrujeme polynóm a parciálne zlomky. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Delením polynómov dostaneme: Rozložíme menovateľa na súčin koreňových činiteľov a kvadratických členov. Pretože je koreň menovateľa, dostaneme: Polynóm parciálne zlomky: nemá reálne korene. Rýdzo racionálnu lomenú funkciu rozložíme na Vynásobíme spoločným menovateľom, porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách a dostaneme: Pre koeficienty platí:, Mnoho ďalších integrálov je možné vhodnou substitúciou transformovať na integrály racionálnej lomenej funkcie. Napríklad niektoré integrály, ktoré obsahujú racionálne mocniny,,, ktoré môžeme riešiť substitúciou,. Podobne integrály typu alebo kde, ak aspoň jedno z čísel je nepárne, vieme riešiť použitím vzťahu alebo a substitúciou Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: 202

203 Racionálnu lomenú funkciu v poslednom integráli rozložíme na parciálne zlomky: Vynásobením spoločným menovateľom a úpravou dostaneme: Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:. Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: Určitý integrál Zatiaľ čo neurčitý integrál funkcie predstavuje opäť funkciu (množina primitívnych funkcií líšiacich sa konštantou), určitý integrál reálnej funkcie je reálne číslo, ktoré priradíme funkcii na uzavretom intervale,. Hodnota určitého integrálu tak závisí od samotnej funkcie, ako aj od intervalu, ktorý nazývame integračný obor. Existuje viacero definícií určitého integrálu, uvedieme si dve Riemannova definícia Majme uzavretý interval. Rozdeľme interval na podintervalov s rovnakou dĺžkou a deliacimi bodmi: Nech je ohraničená funkcia definovaná na uzavretom intervale, pričom, ktorá na tomto intervale nadobúda len kladné hodnoty. Zvoľme v každom podintervale ľubovoľný bod taký, že:. Spočítajme teraz plošné obsahy 203

204 obdĺžnikov so šírkou a výškami rovnajúcimi sa funkčným hodnotám v bodoch. Dostaneme tzv. Riemannov integrálny súčet, 86 Obr. 6.2.: [6.20.] ) Obrázok 6.2. Plochu pod krivkou môžeme aproximovať súčtom plôch úzkych obdĺžnikov. bude nadobúdať odlišné hodnoty pre rôzne množiny bodov, ale stále bude približne zodpovedať ploche pod krivkou na intervale. Je zrejmé, že s rastúcim počtom deliacich bodov (, ) sa Riemannov integrálny súčet bude približovať skutočnému plošnému obsahu krivočiareho lichobežníka ohraničeného osou, priamkami a krivkou, t.j.: [6.21.] Definícia. Ak postupnosť, Riemannových integrálnych súčtov na intervale je pre každý výber bodov konvergentná a má rovnakú limitu, potom toto číslo nazývame Riemannovým určitým integrálom funkcie na intervale a značíme: [6.22.] Funkciu potom nazývame integrovateľnou na intervale. Číslo nazývame dolnou hranicou a číslo hornou hranicou integrálu. Na Riemannov určitý integrál sa môžeme pozerať ako na limitný prípad sčítania. Tomu zodpovedá aj jeho zápis, keď symbol vo výraze [6.20.] nahradíme symbolom vo vzťahu [6.22.] a dĺžkový element nahradíme a namiesto súčtu pre od 1 po budeme spojite sčítavať nekonečne malé príspevky podľa premennej, v rozmedzí od do. Požiadavka obmedzenosti funkcie na intervale súvisí s konvergentnosťou postupnosti Riemannových integrálnych súčtov, ktorá musí mať vlastnú limitu. Geometrický význam Riemannovho určitého integrálu je zrejmý z Obr. 6.2., predstavuje plochu pod krivkou 86 Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) bol nemecký matematik, ktorý významne prispel k rozvoju matematickej analýzy a diferenciálnej geometrie. 204

205 nezápornej funkcie na intervale, čo vedie k početným praktickým geometrickým aplikáciám určitého integrálu. Vzniká prirodzená otázka, ktoré funkcie sú integrovateľné. V nasledujúcej vete budeme bez dôkazu charakterizovať triedu integrovateľných funkcií. Veta. Ak je funkcia spojitá na intervale, potom existuje určitý integrál. Táto veta zostáva platná aj vtedy, ak bude funkcia spojitá na až na konečný počet nespojitých bodov. Prednosťou Riemannovej definície určitého integrálu je jej jednoduchá geometrická interpretácia. Jej nevýhodou je, že zisťovanie limít integrálnych súčtov je vo všeobecnosti zložité, poprípade neriešiteľné Newtonova definícia Nasledujúca veta umožňuje vypočítať určitý integrál pomocou primitívnej funkcie (neurčitého integrálu). Veta. Majme spojitú funkciu integrovateľnú na otvorenom intervale a nech existuje primitívna funkcia funkcii k, ktorá je spojitá na uzavretom intervale, pričom platí. Potom Newtonov určitý integrál na intervale je daný vzťahom: [6.23.] Vzťah [6.23.] sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec. Dôkaz. Rozdeľme interval na podintervalov s rovnakou dĺžkou a deliacimi bodmi: Majme funkciu spojitú na, ktorá je primitívnou funkciou k funkcii na intervale. To znamená, že spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety na každom podintervale : kde. Sčítaním takýchto rovníc pre dostaneme: Výraz na pravej strane rovnice je Riemannov integrálny súčet funkcie na intervale. Dostávame teda: Pretože existuje a je limitou postupnosti na oboch stranách rovnice (na ľavej strane je konštantná postupnosť), preto výpočtom limity dostaneme: 205

206 Všimnime si, že v Newton-Leibnizovom vzorci, vzťah [6.23.], nezáleží na tom ktorú z primitívnych funkcií (líšiacich sa o konštantu ) použijeme. Totiž, ak dve spojité funkcie a sú primitívnymi funkciami k funkcii na intervale, potom sa a líšia len o konštantu:. Preto platí: Na rozdiel od Riemannovho integrálu, je postup výpočtu určitého integrálu definovaného podľa Newtona jednoznačne daný. Spočíva v nájdení primitívnej funkcie a vyčíslení jej dvoch funkčných hodnôt. Naopak, jeho geometrický význam nie je úplne jasný. Z hľadiska existencie a hodnoty Newtonovho určitého integrálu stojí za povšimnutie, že nezáleží na tom, či je integrovaná funkcia definovaná v krajných bodoch integračného oboru a. Pre porovnanie Riemannovej a Newtonovej definície určitého integrálu platí nasledujúca veta. Veta. Ak je funkcia spojitá na intervale, potom je hodnota Riemannovho určitého integrálu rovná hodnote Newtontovho určitého integrálu: Vlastnosti určitého integrálu Skôr ako prejdeme k aplikáciám určitého integrálu, uveďme si niektoré jeho základné vlastnosti. V ďalšom texte sa budeme zaoberať len určitými integrálmi počítanými podľa Newtonovej definície a integrand budeme považovať za integrovateľnú funkciu v zmysle Newtonovej definície. Základné vlastnosti určitého integrálu: ak je integrovateľná na,,, potom platí:, pre nezápornú integrovateľnú funkciu na je: ak je integrovateľná na, pre ľubovoľné také, že:, platí: ak existujú integrály a, a a sú reálne čísla, potom platí: [6.24.] ak je integrovateľná na, potom je na integrovateľná aj a platí: ak a sú integrovateľné funkcie na a na platí:, potom: 206

207 [6.25.] ak funkcie a sú spojité a diferencovateľné na, potom: [6.26.] Túto vlastnosť využívame na integráciu určitých integrálov metódou per partes. nech funkcia je spojitá na a nech funkcia je spojitá, diferencovateľná a rýdzo monotónna na taká, že, potom: Túto vlastnosť využívame na integráciu určitých integrálov substitučnou metódou. ak existuje integrál a funkcia je párna, potom: [6.27.] ak je funkcia je nepárna, potom: nech funkcia je spojitá na, potom existuje také, že podľa Lagrangeovej vety platí: z čoho vyplýva veta o strednej hodnote funkcie na intervale : [6.28.] Geometrická interpretácia strednej hodnoty nezápornej spojitej funkcie na intervale je zrejmá z Obr Plošný obsah krivočiareho lichobežníka pod krivkou rovnaký ako plocha obdĺžnika s výškou a šírkou. je Obrázok 6.3. Stredná hodnota funkcie na intervale. Poznámka. Ak definujeme pre každé primitívnu funkciu ako funkciu hornej hranice určitého integrálu derivovanej funkcie ( ): 207

208 potom derivácia tejto funkcie a. Týmto spôsobom môžeme vyjadriť aj transcendentné primitívne funkcie k funkcii, teda také, ktoré nie je možné vyjadriť pomocou elementárnych reálnych funkcií, napr.: alebo Príklad. Vypočítajte určitý integrál: Príklad. Vypočítajte určitý integrál: Pri riešení použijeme aditivitu integrálu, vzťah [6.24.], a integrál funkcie rozdelíme na dve časti: pre a pre, Obr. 6.4.: Obrázok 6.4. Graf funkcie. Príklad. Vypočítajte určitý integrál: Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál: 208

209 Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál: Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál: Príklad. Vypočítajte metódou per partes určitý integrál: Príklad. Vypočítajte metódou per partes určitý integrál: Príklad. Vypočítajte strednú hodnotu funkcie: na intervale. Strednú hodnotu funkcie budeme počítať podľa vzťahu [6.28.]: Príklad. Vypočítajte strednú hodnotu funkcie: na intervale. Všimnime si, že stredná hodnota, a tiež určitý integrál funkcie, ktorá nadobúda na intervale záporné hodnoty, sú záporné,. Určitý integrál, ktorý geometricky interpretujeme na danom intervale ako plochu ohraničenú rovinnou 209

210 krivkou a osou, na rozdiel od plošného obsahu rovinných útvarov, môže nadobúdať aj záporné hodnoty, ak pre platí:, Obr Obrázok 6.5. Graf funkcie a určitý integrál Nevlastné integrály V predchádzajúcej časti sme sa zaoberali určitým integrálom spojitej funkcie na konečnom intervale, kde,. V tejto časti rozšírime pojem určitého integrálu na neobmedzený interval alebo, a tiež na neohraničené funkcie. Definícia. Majme funkciu definovanú na intervale a predpokladajme, že je integrovateľná pre všetky,. Ak existuje vlastná (konečná) limita určitého integrálu pre hornú hranicu, potom platí: [6.29.] Majme funkciu definovanú na intervale a predpokladajme, že je integrovateľná pre všetky,. Ak existuje vlastná (konečná) limita určitého integrálu pre dolnú hranicu, potom platí: [6.30.] Ak nevlastné integrály [6.29.] a [6.30.] existujú, hovoríme, že nevlastné integrály konvergujú. V opačnom prípade hovoríme, že divergujú (neexistujú), Obr Geometrický význam určitého integrálu platí aj pre nevlastné integrály, počítame tu obsah rovinného obrazca, ktorý nie je obmedzený. 210

211 Obrázok 6.6. Nevlastný integrál na neohraničenom intervale :. Ak je funkcia definovaná na intervale a pre ľubovoľné existujú integrály a, potom hovoríme, že existuje nevlastný integrál a definujeme ho ako: [6.31.] Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:. Na výpočet integrálu použijeme vzťah [6.29.]: Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:. Tento integrál diverguje. Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:. Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:. Na výpočet integrálu použijeme vzťah [6.31.] a fakt, že funkcia 6.7.: je párna, Obr. 211

212 Obrázok 6.7. Nevlastný integrál. Okrem nevlastných integrálov ohraničených funkcií na neohraničených intervaloch alebo, poznáme aj nevlastné integrály neohraničených funkcií definovaných na ohraničených intervaloch alebo, Obr Definícia. Majme funkciu definovanú na intervale, ktorá nie je ohraničená v okolí bodu (singulárny bod) a je integrovateľná na každom intervale, pre každé. Ak existuje vlastná (konečná) limita funkcie pre blížiace sa k singulárnemu bodu zľava, potom ju nazývame nevlastným integrálom neohraničenej funkcie na intervale : [6.32.] Hovoríme, že nevlastný integrál neohraničenej funkcie nevlastná (nekonečná), potom hovoríme, že integrál diverguje. konverguje. Ak je táto limita Obrázok 6.8. Nevlastný integrál neohraničenej funkcie na intervale. 212

213 Podobným spôsobom je možné zadefinovať nevlastný integrál neohraničenej funkcie na intervale. Ak je funkcia neohraničená v okolí oboch krajných bodov a pre nejaké existujú nevlastné integrály a, potom [6.33.] Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál: Keď sa blíži k bodu zľava, rastie cez všetky medze, preto bod je singulárny bod, v okolí ktorého je neohraničená, Obr Na výpočet nevlastného integrálu použijeme vzťah [6.32.]: Nevlastný integrál teda diverguje. Obrázok 6.9. Graf funkcie a nevlastný integrál Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál: Funkcia má singulárny bod v. Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál: Funkcia má singulárny bod v. Nevlastný integrál vypočítame metódou per partes. Poslednú limitu vypočítame L Hospitalovým pravidlom. 213

214 Aplikácie určitého integrálu Okrem matematiky nachádza integrálny počet široké uplatnenie najmä vo fyzike a chémii, kde celý rad fyzikálnych a fyzikálnochemických veličín je vyjadrený zákonmi formulovanými v integrálnom tvare. V nasledujúcom texte sa však budeme zaoberať len najjednoduchšími geometrickými aplikáciami. K základným geometrickým aplikáciám určitého integrálu patrí určenie plošného obsahu rovinného útvaru. Ako už vieme, určitý integrál spojitej nezápornej funkcie na intervale je rovný veľkosti plochy pod krivkou, Obr. 6.2.: [6.34.] Uvažujme rovinný útvar ohraničený krivkami spojitých funkcií a (Obr ) takých, že: pre každé. teda môžeme zapísať ako množinu usporiadaných dvojíc: Ak, potom plošný obsah elementárnej oblasti je rovný rozdielu plošných obsahov krivočiarych lichobežníkov pod krivkami a : Teda: 214

215 Obrázok Elementárne oblasti - plochy a ohraničené krivkami a ; a na intervale. Pre plochu elementárnej oblasti teda dostaneme: [6.35.] Z Obr je zrejmé, že vzorec [6.35.] platí pre výpočet plošného obsahu, rovnako aj pre funkcie a posunuté na osi o konštantu. Vzťah [6.35.] môžeme zovšeobecniť aj pre prípady, keď na intervale je, alebo sa funkcie a na tomto intervale pretínajú tak, že uvažujeme absolútnu hodnotu rozdielu oboch funkcií: [6.36.] Pred vlastnou integráciou je však potrebné absolútnu hodnotu odstrániť. To môžeme urobiť tak, že integračný obor rozdelíme na podintervaly, kde rozdiel funkcií nemení svoje znamienko, teda kde platí: pre a pre. V prípade, že sa funkcie a na intervale pretínajú v bode, potom plošný obsah spočítame ako súčet dvoch určitých integrálov od po a od po Príklad. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného grafom funkcie a funkcie, Obr je dotyčnicou ku v bode, pretože. Dotyčnica má teda smernicu 2. Priesečníky a budú tam, kde: teda v bodoch so súradnicami a Plocha elementárnej oblasti teda bude rovná: y x Obrázok Elementárna oblasť ohraničená krivkami a na intervale. 215

216 Príklad. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného grafom funkcie a funkcie, a priamkami a, Obr Obrázok Elementárna oblasť ohraničená krivkami a na intervale a priamkami a. Okrem plošného obsahu je pomocou určitého integrálu možné vypočítať dĺžku rovinnej krivky. Predstavme si krivku, ktorá je grafom spojitej funkcie,, ktorá má deriváciu v každom bode intervalu, Obr Skúsme vypočítať jej dĺžku na intervale. Interval rozdeľme na rovnakých dielikov dĺžky: s deliacimi bodmi: kde Obrázok Krivka aproximovaná lomenou čiarou s krokom. Body na grafe funkcie pre hodnoty argumentu zodpovedajúce deliacim bodom pospájame úsečkami. Takto dostaneme lomenú čiaru, celková dĺžka ktorej bude určená súčtom jednotlivých úsečiek spájajúcich body s dĺžkami. Dĺžky úsečiek vypočítame pomocou Pytagorovej vety, 87 Obr , a použitím Lagrangeovej vety: 87 Pytagoras zo Samosu (asi p.n.l.) bol starogrécky filozof, matematik a astronóm. Známy je najmä Pytagorovou vetou, ktorá popisuje vzťah medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. 216

217 Dĺžka celej lomenej čiary: [6.37.] Výraz [6.37.] predstavuje Riemannov integrálny súčet pre funkciu na intervale. S rastúcim počtom dielikov sa bude súčet približovať skutočnej dĺžke krivky : [6.38.] Príklad. Vypočítajte dĺžku krivky na intervale. Na výpočet použijeme vzorec [6.38.]. Racionálnu funkciu rozložíme na parciálne zlomky: Príklad. Odvoďte vzorec pre obvod kružnice. Obvod kružnice vyjadríme ako dvojnásobok dĺžky polkružnice. Najprv vyjadríme. 217

218 Obrázok Polkružnica:, pre. Pomocou určitého integrálu môžeme vypočítať tiež objem a plochu plášťa rotačných telies. Majme funkciu spojitú na intervale, ktorá ohraničuje krivočiary lichobežník: Rotáciou lichobežníka okolo osi vznikne tzv. rotačné teleso, Obr Ak si predstavíme, že rotačné teleso rozdelíme na tenkých valčekov s plochou kruhového prierezu a konštantnou výškou, potom objem celého rotačného telesa bude súčet objemov všetkých valčekov pre : [6.39.] x a a Obrázok Rotačné teleso ohraničené krivkou na intervale. Rez rotačného telesa v bode má plochu. Príklad. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi útvaru ohraničeného čiarami, a krivkou. Objem tohto rotačného telesa vypočítame podľa vzťahu [6.39.]: rovinného Príklad. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi útvaru ohraničeného krivkami a, Obr Najprv nájdeme priesečníky kriviek: rovinného a vypočítame objem telesa: 218

219 Obrázok Rovinný útvar, rotáciou ktorého okolo osi krivkami a na intervale. dostaneme rotačné teleso ohraničené Pomocou určitého integrálu je možné vypočítať aj plochu povrchu rotačných telies. Povrch rotačných telies sa skladá z kruhových podstáv a z plášťa, ktorý vznikne rotáciou krivky pre okolo osi (v prípade rovinného útvaru znázorneného na Obr rotačné teleso nemá podstavy). Element povrchu rotačného telesa zodpovedá plášťu zrezaného kužeľa s obvodom podstavy a dĺžke steny. Preto plochu plášťa rotačného telesa vypočítame podľa vzorca: [6.40.] Príklad. Odvoďte vzťah pre veľkosť povrchu plášťa kužeľa, ktorý vznikne rotáciou úsečky okolo osi, kde a. Rotáciou tejto úsečky vznikne kužeľ s výškou a polomerom podstavy rovným. Príklad. Vypočítajte plošný obsah povrchu plášťa rotačného telesa, ktorý vznikne rotáciou krivky pre Približné metódy výpočtu určitých integrálov Približný výpočet určitých integrálov pomocou numerických metód používame vtedy, keď nevieme nájsť primitívnu funkciu k integrovanej funkcii. Postup numerickej integrácie spočíva v tom, že integračný obor sa rozdelí na dostatočný počet (malých) podintervalov, na ktorých považujeme integrovanú funkciu za konštantnú alebo ju tam aproximujeme inou jednoduchšou funkciou. Jednotlivé metódy sa nazývajú podľa typu tejto aproximácie. 219

220 Obdĺžnikové pravidlo. Majme spojitú funkciu na uzavretom intervale. Rozdeľme na rovnakých podintervalov, ktorých dĺžka bude. Označme a. Na každom podintervale nahraďme funkciu konštantnou funkciou, Obr A. Plochu elementárnej oblasti potom môžeme vyjadriť ako súčet obdĺžnikov: [6.41.] A B Obrázok Numerická integrácia. A. Obdĺžnikové pravidlo. B. Lichobežníkové pravidlo. Lichobežníkové pravidlo. Pri tomto postupe nahradzujeme na každom podintervale graf funkcie priamkou, ktorá prechádza po sebe idúcimi vrcholmi [ a [. Plochu elementárnej oblasti potom aproximujeme lichobežníkmi, z ktorých každý má plochu. Celková plocha potom bude rovná: [6.42.] Pre obidva súčty a platí, že s rastúcim sa ich hodnota blíži k hodnote určitého integrálu. Rýchlosť tohto približovania je pre lichobežníkovú metódu vyššia. Ak zdvojnásobíme počet dielikov, chyba odhadu sa pri použití obdĺžnikového pravidla zmenší na polovicu, zatiaľ čo u lichobežníkového pravidla sa zmenší na štvrtinu. Rýchlosť konvergencie je daná stupňom polynómu, ktorým funkciu po častiach aproximujeme. Zatiaľ čo obdĺžnikové pravidlo využíva konštantnú funkciu, lichobežníkové pravidlo používa presnejšiu lineárnu funkciu. Zložitejšie a presnejšie metódy numerickej integrácie ako napr. Simpsonovo pravidlo 88, ktoré využíva kvadratickú interpoláciu, umožňujú vypočítať hodnoty určitých integrálov prakticky s ľubovoľnou presnosťou. 88 Thomas Simpson ( ) bol britský matematik a vynálezca, známy najmä pre svoju numerickú metódu výpočtu určitých integrálov. 220

221 Cvičenia Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál:. 221

222 6.19. Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte neurčitý integrál: Vypočítajte určitý integrál: Vypočítajte určitý integrál: Vypočítajte určitý integrál: Vypočítajte určitý integrál: Vypočítajte určitý integrál: Vypočítajte určitý integrál: Vypočítajte plochu elementárnej oblasti ohraničenej krivkami a Vypočítajte plochu elementárnej oblasti uzavretej krivkou Nájdite objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním paraboly na intervale okolo osi Nájdite objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy okolo osi Nájdite dĺžku krivky danej funkciou: na intervale Nájdite dĺžku reťazovky danej funkciou: na intervale Vypočítajte plochu povrchu plášťa rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy okolo osi. 222

223 Riešenia Absolútnu hodnotu môžeme vo výsledku vynechať, pretože pre všetky

224 Dostaneme rovnicu: Z toho: =

225 6.21. Racionálnu lomenú funkciu rozložíme na parciálne zlomky: Z toho pre koeficienty: Pre druhý integrál použijeme rekurentný vzťah: Dostaneme teda:

226 Plochu elementárnej oblasti ohraničenej krivkami a vypočítame ako určitý integrál:. Najprv nájdeme priesečníky kriviek: Obrázok Elementárna oblasť ohranicená krivkami: a Plochu elementárnej oblasti uzavretej symetrickou krivkou budeme počítať ako štvornásobok časti ležiacej v prvom kvadrante: 226

227 Obrázok Elementárna oblasť uzavretá symetrickou krivkou Objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním paraboly na intervale okolo osi budeme počítať podľa vzťahu [6.39.] Obrázok Rotačné teleso, ktoré vznikne otáčaním paraboly na intervale Objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy s dĺžkou hlavnej poloosi okolo osi vypočítame ako integrál na integračnom obore : y Obrázok Rotačné teleso, ktoré vznikne otáčaním elipsy Dĺžku krivky danej funkciou: na intervale budeme počítať podľa vzorca [6.38.]:. Najprv vypočítame: 227

228 6.33. Dĺžku reťazovky: na intervale budeme počítať ako: Obrázok Graf krivky nazývanej reťazovka: Plochu povrchu plášťa rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy s dĺžkou hlavnej poloosi rovnou 4 okolo osi, vypočítame pomocou vzťahu [6.40.]. Najprv vypočítame. 228

229 7. Diferenciálny počet funkcií dvoch premenných 7.1. Definičný obor a graf funkcie Reálnou funkciou dvoch nezávislých premenných budeme nazývať funkčný predpis, ktorý každej usporiadanej dvojici reálnych čísel z množiny (z definičného oboru) jednoznačne priradí reálne číslo (funkčnú hodnotu). Toto priradenie symbolicky zapisujeme: alebo. Definičný obor funkcie dvoch premenných je teda podmnožina, geometricky je to časť roviny s karteziánskymi súradnicami a. Oborom hodnôt funkcie je podmnožina reálnych čísel R. Grafom reálnej funkcie dvoch premenných je množina, geometricky je to časť trojrozmerného priestoru (s karteziánskymi súradnicami a ), hyperplocha 89 v priestore, Obr. 7.1., (na rozdiel od grafu jednej reálnej premennej, ktorej grafom je krivka v rovine). z z y x y x A. B. Obrázok 7.1. Grafy funkcií dvoch nezávisle premenných. A. (rotačný paraboloid). B.. Farebná škála rozlišuje vrstevnice hyperplochy, ktoré ležia v odlišných v intervaloch hodnôt súradnice. Graf funkcie dvoch premenných má takú vlastnosť, že každá priamka rovnobežná s osou, ju pretne najviac v jednom bode. Podobne, ako u funkcií jednej premennej, aj v prípade funkcií dvoch premenných, môžeme zaviesť niektoré vlastnosti, ako napr. ohraničenosť funkcie, prípadne je možné zaviesť pojem zloženej funkcie. Iné vlastnosti, ako napr. monotónnosť, však strácajú zmysel, pretože množinu nepovažujeme za lineárne usporiadanú, (nevieme rozhodnúť či prvok leží pred alebo za prvkom ). Vlastnosti funkcií dvoch premenných, opísané v tejto kapitole, je možné jednoducho rozšíriť aj na funkcie viacerých premenných. Nebudeme sa tým však vzhľadom na malú názornosť zapodievať. Zatiaľ čo graf funkcie dvoch premenných vieme v učebniciach znázorniť, napr. ako axonometrický priemet 90 do roviny, grafy funkcií 3 (a viac) nezávisle premenných (t.j. 89 Termínom hyperplocha budeme označovať zakrivenú plochu v trojrozmernom priestore. 90 Axonometrická projekcia je jednoduchý spôsob premietania priestorových telies do roviny. 229

230 usporiadané štvorice v 4 rozmernom priestore, vo všeobecnosti usporiadané -tice), už takto znázorniť nedokážeme. Grafom konštantnej funkcie s definičným oborom je rovina rovnobežná s rovinou, ktorá pretína -ovú os vo výške. Oborom hodnôt je. Rezom plochy rovinou kolmou na os (ktorá má rovnicu ), ako aj rovinou kolmou na os (s rovnicou ), bude priamka, ktorá spĺňa podmienky (,, ). Grafom lineárnej funkcie dvoch premenných kde sú parametre a, je tiež rovina, Obr Rezom tejto rovinnej plochy rovinou (rovinou kolmou na os ) alebo (rovinou kolmou na os ), dostaneme priamku s rovnicou (čo je funkcia jednej nezávisle premennej, pričom zostáva závisle premennou) alebo priamku. z y x Obrázok 7.2. Grafom lineárnej funkcie dvoch premenných:, alebo vo všeobecnom tvare:, je rovina. Grafom funkcie je kvadratická hyperplocha nazvaná rotačný paraboloid (Obr. 7.1.A.), pričom,. Rovinné rezy touto hyperplochou rovinami kolmými na os s rovnicou:, sú kružnice s rovnicami: so stredom v počiatku osí a a polomerom. Rezom rotačného paraboloidu: rovinami kolmými na os alebo (rovnice: a ) je parabola s rovnicou: alebo. Príklady grafov, ktoré sme tu stručne načrtli, naznačujú, ako je možné vyšetrovať tvar kriviek funkcií dvoch premenných, čo je vďaka jednej dimenzii naviac oproti funkciám jednej premennej, podstatne zložitejšie Limita a spojitosť V predchádzajúcich častiach sme definovali limitu funkcie pomocou okolia bodu na množine reálnych čísel. Ak rozšírime pojem okolia na množinu budú zodpovedajúce definície limity a spojitosti funkcií dvoch premenných veľmi podobné. Majme bod a,, potom množinu bodov ; nazveme prstencovým -okolím bodu. 230

231 Druhá odmocnina tu predstavuje vzdialenosť bodov a vyjadrenú pomocou Pytagorovej vety. Definícia. Majme funkciu. Ak existuje, také, že: definovanú na určitom prstencovom okolí bodu hovoríme, že funkcia dvoch premenných má v bode vlastnú limitu, a zapisujeme: Ak je naviac funkcia definovaná aj v bode a platí: hovoríme, že funkcia dvoch premenných v bode je spojitá. [7.1.] [7.2.] Limita aj v prípade funkcií dvoch nezávisle premenných popisuje správanie funkcie v okolí daného bodu, ale nie v bode samom (na rozdiel od spojitosti). Ak má funkcia dvoch premenných v bode limitu rovnú, dáva, zjednodušene povedané, funkčné hodnoty v blízkosti bodu, ktoré sa veľmi málo líšia od hodnoty. Pre funkcie dvoch premenných je možné, podobne ako pre funkciu jednej premennej, zaviesť pojem nevlastnej limity, nedá sa však na ne rozšíriť pojem limity v nevlastnom bode. Rovnako možno na limity funkcií dvoch premenných aplikovať vlastnosti súčtu, rozdielu, súčinu a podielu limít spojitých funkcií jednej premennej (vzťahy [5.4.]) a výsledkom je opäť spojitá funkcia. Limita spojitej funkcie sa rovnako ako u funkcií jednej premennej bude rovnať funkčnej hodnote v danom bode. Pretože definičným oborom funkcií dvoch premenných je podmnožina, je vyšetrovanie správania funkcie, keď sa blížime k hranici jej definičného oboru podstatne náročnejšie, ako u funkcií jednej premennej. Zatiaľ čo v prípade jednej premennej tvoria hranice oboru dva body, ku ktorým sa môžeme blížiť zľava alebo sprava, v prípade dvoch premenných tvorí hranicu nekonečne veľa bodov, ku ktorým sa môžeme približovať z nekonečne mnoho smerov. Podobne je to aj so stanovením limity funkcie v danom bode, kde existuje nekonečný počet možných smerov priblíženia. Preto nie je možné pre funkcie dvoch a viac premenných zaviesť pojem limity zľava a sprava. Pri vyšetrovaní limity funkcie dvoch premenných v danom bode, je výhodné postupovať tak, že skúmame limitu v smere priamok, ktoré ležia v definičnom obore funkcie a daným bodom prechádzajú:,. Limita funkcie dvoch premenných počítaná v smere takejto priamky: sa totiž počíta ako limita funkcie jednej premennej, čo už vieme vypočítať. Pokiaľ dostaneme pri približovaní sa k bodu pre všetky možné smery priamok rovnakú limitu, potom môžeme pre limitu v bode písať:. Príklad. Vypočítajte limitu funkcie: v bode, Obr

232 Funkcia je definovaná na a na definičnom obore je spojitá. Budeme vyšetrovať jej správanie okolo bodu a počítať limitu:, pričom sa k počiatku budeme približovať po priamkach, ktoré prechádzajú počiatkom a ležia v rovine : Vidíme, že limity sú v rôznych smeroch ( je smernica priamok, ktoré smer priblíženia určujú), a preto funkcia nemá v bode limitu. z y x Obrázok 7.3. Graf funkcie: Parciálna derivácia Pripomeňme si definíciu a geometrický význam derivácie funkcie jednej premennej v bode, ktorá je definovaná ako limita [5.7.]:. Derivácia v bode je teda číslo, ktoré udáva veľkosť smernice dotyčnice ku krivke v dotykovom bode. V predchádzajúcej časti sme ukázali, že v prípade funkcie dvoch nezávisle premenných je limita funkcie komplikovanejšia ako u jednej premennej, pretože v tomto prípade sa môžeme blížiť k bodu z mnohých smerov. Ukazuje sa, že je výhodné sledovať správanie funkcie, keď sa približujeme k skúmanému bodu v smere súradnicových osí a. Počítaním limít v smere osí a sa dostávame k zavedeniu pojmu parciálnej derivácie 91 funkcie dvoch premenných. Definícia. Majme funkciu definovanú na okolí. Nech funkcie a sú funkciami jednej premennej definované na -okolí bodu, respektíve. Ak má funkcia v bode deriváciu, potom ju nazývame parciálnou deriváciou funkcie podľa premennej v bode a označujeme: 91 Význam pojmu parciálna derivácia môžeme vysvetliť aj ako čiastočná derivácia. 232

233 [7.3.] Ak má funkcia v bode deriváciu, potom ju nazývame parciálnou deriváciou funkcie podľa premennej v bode a označujeme: [7.4.] Ak má funkcia parciálne derivácie v ľubovoľnom bode, sú tieto derivácie funkciami premenných a. Funkcia dvoch premenných má dve parciálne derivácie prvého rádu. Pri parciálnom derivovaní v smere osi ( sa dívame na premennú ako na konštantu a derivujeme len podľa premennej. Naopak, pri derivovaní v smere osi ( sa dívame na premennú ako na konštantu a derivujeme len podľa premennej. Pretože parciálne derivácie a počítame ako obyčajné derivácie podľa jednej premennej, platia pre výpočet parciálnych derivácií rovnaké pravidlá ako pre derivovanie funkcií jednej premennej (ako napr. pravidlo o derivovaní zloženej funkcie, súčinu a podielu funkcií, a pod.). Parciálne derivácie v danom bode môžu (a nemusia) existovať a môžu byť vlastné alebo nevlastné. V každom prípade podávajú informáciu o tom, aké je zakrivenie hyperplochy v okolí bodu v kladnom smere osi a kladnom smere osi, Obr Obrázok 7.4. Parciálna derivácia v bode funkcie udáva smernicu dotyčnice v bode ku krivke vzniknutej rezom hyperplochy rovinou kolmou na os s rovnicou (krivka ). Podobne parciálna derivácia v bode funkcie udáva smernicu dotyčnice v bode ku krivke vzniknutej rezom hyperplochy rovinou kolmou na os s rovnicou (krivka ). Geometrická interpretácia parciálnych derivácií hovorí, že sú to smernice dotyčníc ku krivkám a v bode, ktoré vznikli ako rezy hyperplochy 233

234 rovinami kolmými na os ( a na os (, a ktoré prechádzajú bodom. Parciálne derivácie však nehovoria nič o zakrivení hyperplochy v okolí bodu v smeroch odlišných ako sú smery súradnicových osí a. Zatiaľ čo u funkcií jednej premennej vyplýva z existencie derivácie v bode spojitosť funkcie v danom bode, u funkcií dvoch premenných toto tvrdenie neplatí. Ak má funkcia v bode parciálnu deriváciu, nemusí ešte byť v tomto bode spojitá. Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie v bode. Funkcia predstavuje polynóm premenných a a je definovaná a spojitá na celom intervale. Najprv vypočítame parciálne derivácie vo všeobecnom bode a potom určíme ich konkrétne hodnoty v bode. Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale. Budeme ju derivovať ako súčin funkcií. Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale. Budeme ju derivovať ako podiel dvoch funkcií. Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie Funkcia je definovaná a spojitá na intervale, t.j. všade okrem tmavého údolia Obr Budeme ju derivovať ako zloženú funkciu. 234

235 Obrázok 7.5. Graf funkcie:. Vyšetrovanie priebehu funkcií dvoch premenných pomocou parciálnych derivácií je v princípe podobné postupom, ktoré sme použili v diferenciálnom počte funkcií jednej premennej. Podobne, podľa znamienka prvej parciálnej derivácie, vieme zistiť, či daná funkcia v určitom bode rastie alebo klesá v smere osí alebo, prípadne identifikovať aj body, v ktorých by funkcia mohla mať lokálny extrém. Keďže parciálna derivácia nevystihuje správanie funkcie v smeroch iných, ako sú osi nezávisle premenných, situácia môže byť komplikovanejšia Gradient funkcie Vo fyzikálnej terminológii sa vektor zložený z parciálnych derivácií funkcie nazýva gradient funkcie. Gradient funkcie ukazuje smer najväčšieho rastu funkcie a jeho absolútna hodnota zodpovedá strmosti nárastu funkcie v danom smere. Gradient je príkladom vektorovej funkcie. Vektorová funkcia je zobrazenie : vektor. Vektorová funkcia popisuje nielen veľkosť (danú dĺžkou vektora aj smer fyzikálnej veličiny (napr. gravitačnej sily alebo rýchlosti):, ktoré bodu v rovine priradí, vzťah [3.1.]), ale [7.5.] kde a sú funkcie. Vo fyzike sa namiesto skalárnej a vektorovej funkcie používa označenie skalárne alebo vektorové pole. Vektorové pole v rovine často zapisujeme pomocou jednotkových vektorov v smere súradnicových osí a : potom vektorové pole [7.5.] môžeme písať ako: a [7.6.] [7.7.] Vo fyzike sa vektorové pole, ktoré je gradientom nejakej skalárnej funkcie dvoch premenných: [7.8.] 235

236 nazýva konzervatívnym vektorovým poľom a danú funkciu nazývame potenciálovou funkciou (alebo potenciálom) poľa, pričom vektor parciálnych derivácií: pre funkcie dvoch premenných a pre funkcie troch premenných sa nazýva diferenciálny operátor alebo Hamiltonov operátor (skrátene Hamiltonián). 92 Pomerne jednoduchý spôsob, ako môžeme znázorniť vektorové pole v rovine, je nakresliť v niekoľkých bodoch mriežky v rovine šípky reprezentujúce vektory, ktoré začínajú v bodoch Príklad. Vypočítajte a nakreslite gradientové vektorové pole potenciálovej funkcie. Gradient funkcie je daný vzťahom [7.8.], preto dostávame: Potenciálová funkcia a jej gradientové pole sú znázornené na Obr Obrázok 7.6. Graf potenciálovej funkcie:. Pod hyperplochou je znázornená projekcia gradientového poľa: zobrazeného pomocou šípok pre Smerová derivácia Pomocou gradientu môžeme definovať derivácie funkcie dvoch premenných aj v iných smeroch, ako len v smere súradnicových osí a. Smerové derivácie predstavujú teda zovšeobecnenie parciálnych derivácií. Sú definované pomocou vektora, v smere ktorého deriváciu funkcie hľadáme. 92 Sir William Rowan Hamilton ( ) bol írsky matematik, fyzik a astronóm. Je známy svojimi príspevkami k rozvoju klasickej mechaniky, optiky, dynamiky a algebry. 236

237 Definícia. Majme funkciu, ktorá má spojité parciálne derivácie. Smerovou deriváciou funkcie v smere vektora nazývame skalárny súčin: kde je jednotkový vektor v smere vektora v rovine. [7.9.] Smerové derivácie popisujú rýchlosť zmeny funkcie v smere vektora. Parciálna derivácia je smerová derivácia v smere a v smere. Príklad. Pre funkciu vypočítajte smerovú deriváciu v smere vektora. Podľa vzťahu [7.9.] vypočítame smerovú deriváciu ako skalárny súčin gradientu funkcie a jednotkového vektora. Najprv vypočítame jednotkový vektor: Parciálne derivácie vypočítame ako: Po dosadení podľa vzťahu [7.9.] dostaneme pre veľkosť smerovej derivácie: pričom smer derivácie je určený jednotkovým vektorom Derivácie vyšších rádov Funkcia má definované dve parciálne derivácie a. Každá z prvých parciálnych derivácií predstavuje funkciu, ktorú je možné ďalej derivovať. Ak existujú druhé parciálne derivácie, potom dostaneme 4 funkcie: [7.10.] Tieto parciálne derivácie nazývame parciálne derivácie druhého rádu funkcie. Druhá parciálna derivácia funkcie podľa a podľa : znamená, že funkciu najprv derivujeme podľa premennej, čím získame funkciu, ktorú potom 237

238 derivujeme podľa premennej. Parciálne derivácie, sa nazývajú zmiešané parciálne derivácie a platí pre ne nasledujúca Schwarzova veta 93 o symetrii druhých derivácií. Veta. (Schwarzova veta) Nech funkcia má v okolí bodu spojité parciálne derivácie a. Potom platí: [7.11.] Schwarzova veta sa dá rozšíriť aj na derivácie vyšších rádov. Hovorí, že hodnota zmiešanej derivácie záleží len na tom, koľkokrát sa derivovalo podľa premennej a koľkokrát podľa premennej a nezáleží na poradí derivovania. Príklad. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie:. Definičným oborom funkcie bude a na tejto množine bude funkcia spojitá vrátane derivácií prvého a druhého rádu. Pre parciálne derivácie platí: Príklad. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v bode. Funkcia je spojitá na, na tejto množine budú spojité aj jej derivácie prvého a druhého rádu. Funkciu prepíšeme na jednoduchší tvar a parciálne derivácie vypočítame podľa vzorca pre súčin funkcií [5.12.]: 93 Karl Hermann Amandus Schwarz ( ) bol nemecký matematik, známy predovšetkým vďaka práci v oblasti komplexnej analýzy. 238

239 Hodnoty derivácií v bode dostaneme dosadením hodnôt nezávisle premenných: 7.7. Totálny diferenciál a totálna derivácia funkcie Pod diferenciálom funkcie jednej premennej v bode chápeme prírastok funkcie pozdĺž dotyčnice ku grafu funkcie prechádzajúcej bodom (vzťah [5.15.]):. Existencia diferenciálu funkcie je v tomto prípade ekvivalentná existencii derivácie funkcie v bode. Pre funkciu dvoch premenných je diferenciál definovaný analogicky, ako prírastok funkcie v dotykovej rovine k hyperploche prechádzajúcej dotykovým bodom. Takáto dotyková rovina má s danou hyperplochou v okolí bodu, kde ju zostrojujeme, spoločný len samotný dotykový bod. Definícia. Majme funkciu, ktorá má v bode spojité parciálne derivácie prvého rádu. Označme prírastky nezávisle premenných a ako:, Totálny diferenciál funkcie v bode je lineárnou funkciou prírastkov premenných a a má tvar: Ak má funkcia v danom bode diferenciál, hovoríme, že je v tomto bode diferencovateľná. [7.12.] Zo vzťahu [7.12.] vidíme, že totálny diferenciál je definovaný ako skalárny súčin gradientu funkcie v danom bode a vektora prírastkov nezávisle premenných : [7.13.] teda ako smerová derivácia v smere vektora prírastku, vzťah [7.9.]. Totálny diferenciál funkcie dvoch premenných je vlastnosť zásadnejšieho významu ako sú samotné parciálne derivácie. Platí totiž, ak má funkcia v danom bode totálny diferenciál, potom je v tomto bode spojitá. Avšak táto implikácia neplatí, ak je funkcia spojitá, nemusí byť v danom bode diferencovateľná. Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie: v bode. 239

240 Totálny diferenciál vypočítame podľa vzťahu [7.12.]. Najprv určíme parciálne derivácie: Totálny diferenciál bude mať tvar: Totálny diferenciál v bode bude: Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie: Totálny diferenciál: Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie: Totálny diferenciál v ľubovoľnom bode Ak je funkcia v bode diferencovateľná, potom má v danom bode dotykovú rovinu, ktorú charakterizuje nasledujúca veta. Veta. Ak má funkcia v bode totálny diferenciál, potom má graf funkcie v tomto bode dotykovú rovinu opísanú rovnicou: [7.14.] Rovnica dotykovej roviny predstavuje najlepšiu lineárnu aproximáciu funkcie v bode. Táto rovina je určená dotykovým bodom (kde ), a dvomi priamkami, ktoré cez tento bod prechádzajú, t.j. dotyčnicami a určenými smerovými vektormi a, Obr Približná hodnota funkcie v okolí dotykového bodu je daná výrazom: [7.15.] 240

241 Príklad. Napíšte rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode. Najprv vypočítame parciálne derivácie: Rovnicu dotykovej roviny dostaneme dosadením do vzťahu [7.14.] Alebo v implicitnom tvare: Príklad. Pomocou totálneho diferenciálu približne vypočítajte:. K výpočtu použijeme diferenciál funkcie v bode s diferenciami a. Najprv vypočítame parciálne derivácie: Totálny diferenciál v bode bude: Približnú hodnotu odhadneme podľa vzťahu [7.15.]: Výpočet na kalkulačke nám dá výsledok:. Majme funkciu dvoch premenných a, ktoré sú spojitými funkciami jednej nezávisle premennej : a. Potom funkcia bude zloženou funkciou, závislou od premennej. Zmenu (prírastok) funkcie v závislosti od premennej v bode vyjadruje totálna derivácia, ktorá sa vypočíta pomocou reťazového pravidla. Veta. Majme spojitú diferencovateľnú funkciu, ktorá má v bode spojité parciálne derivácie prvého rádu. Totálna derivácia funkcie podľa premennej má tvar: v bode [7.16.] kde a. Podobne, ak máme funkciu premenných a, ktoré sú funkciami dvoch (alebo viac) nezávisle premenných a : a, potom bude zloženou funkciou závislou od premenných a. Prírastky funkcie podľa týchto premenných v bode vyjadrujú derivácie, ktoré sa počítajú pomocou reťazového pravidla. 241

242 Veta. Majme spojitú diferencovateľnú funkciu, ktorá má v bode spojité parciálne derivácie prvého rádu. Parciálne derivácie funkcie v bode podľa premenných a majú tvar: kde a. [7.17.] Príklad. Nájdite deriváciu funkcie, kde, podľa premennej. Najprv nájdeme parciálne derivácie funkcie a derivácie funkcií : Potom podľa [7.16.]: Príklad. Nájdite derivácie a funkcie ak. Najprv nájdeme všetky parciálne derivácie: a dosadíme do vzťahu [7.17.]: 242

243 7.8. Kmeňová funkcia V tejto časti budeme riešiť jednoduchú úlohu. Máme daný výraz: a našou úlohou je zistiť, či existuje nejaká funkcia diferenciálom: taká, že daný výraz je jej totálnym [7.18.] Taká funkcia, ak existuje, sa nazýva kmeňová funkcia funkcií a. Pre kmeňovú funkciu musí platiť: a [7.19.] Ďalej zo Schwarzovej vety [7.11.] (za predpokladu spojitosti parciálnych derivácií 2. rádu) platí: a teda [7.20.] Ak je podmienka [7.20.] splnená, potom kmeňovú funkciu dokážeme určiť postupnou integráciou (všeobecný postup je vysvetlený v časti 8.4.) Poznámka. Pre úplnosť dodajme, že rovnosť [7.20.] musí platiť pre celú oblasť, odkiaľ vyberáme nezávisle premenné ( ). Oblasť musí byť pre všetky body jednoducho súvislá. To znamená, že ľubovoľnú uzavretú krivku, ktorá leží v, môžeme spojite transformovať do bodu, pričom hranicu množiny tvorí jediná uzavretá krivka. Príkladom jednoducho súvislej oblasti je kruh, alebo obdĺžnik, naopak množina, ktorá je tvorená medzikružím, nie je jednoducho súvislá. Príklad. Rozhodnite, či výraz: diferenciálom nejakej kmeňovej funkcie, a ak áno, nájdite jej tvar. Najprv zistíme, či je uvedený výraz totálnym diferenciálom. Pre všetky a platí: je Daný výraz je teda diferenciálom kmeňovej funkcie. Nájdeme ju postupnou integráciou: Pri integrovaní podľa premennej považujeme premennú za konštantu. Integračnú konštantu budeme pri hľadaní kmeňovej funkcie dvoch premenných považovať namiesto číselnej konštanty za funkciu závislú od. Jej derivácia medzivýsledku podľa dostaneme: je totiž rovná nule. Derivovaním 243

244 Kmeňová funkcia bude mať teda tvar: kde je integračná konštanta. Kmeňové funkcie nachádzajú svoje použitie v prírodných vedách. Napríklad vo fyzikálnej chémii sa používajú na popis vlastností makroskopických systémov. V termodynamike im hovoríme stavové funkcie. Tieto funkcie závisia na aktuálnom termodynamickom stave systému a nezávisia na ceste (spôsobe), ktorým bol tento stav dosiahnutý. Termodynamický stav systému, ktorý obsahuje jednu čistú homogénnu zložku, je určený dvoma stavovými premennými. Obvykle sú to veličiny objem a teplota. Funkcia premenných a, ktorá v termodynamike popisuje vnútornú energiu systému, bude stavovou funkciou takéhoto jednozložkového systému, ak je výraz: [7.21.] totálnym diferenciálom premenných a, teda ak platí: a zároveň podľa Schwarzovej vety, vzťah [7.11.], platí: a [7.22.] [7.23.] Z vlastností stavových funkcií potom vyplývajú dôsledky pre výpočet fyzikálnochemických veličín. Aké dôsledky to sú, si ukážeme na nasledovných príkladoch. Príklad. Dokážte pre 1 mol ideálneho plynu, že tlak je termodynamická stavová veličina, t.j. stavová funkcia premenných objem a teplota. Pri dôkaze použite stavovú rovnicu ideálneho plynu:. 94 Pre funkciu bude mať totálny diferenciál tvar: Zároveň platí: 94 je plynová konštanta,. 244

245 teda zmiešané parciálne derivácie sú rovnaké. Z toho vyplýva, že tlak ideálneho plynu ako funkcia objemu a teploty, je stavovou funkciou. Preto pri výpočtoch pre ideálny plyn stačí poznať počiatočnú a konečnú hodnotu tlaku plynu a nemusíme poznať cestu, po ktorej sa tlak plynu dostal z počiatočného do konečného stavu. Príklad. Ukážte, že teplo nie je termodynamickou stavovou funkciou. Budeme vychádzať z prvej vety termodynamickej, ktorá hovorí, že zmena vnútornej energie je rovná prírastku tepla a práce dodanej z okolia do systému: [7.24.] Vnútornú energiu ideálneho plynu považujeme za stavovú funkciu premenných a. Uvažujme najprv proces, ktorý prebieha pri konštantnom objeme systému (izochorický dej, ). S ním spojená zmena vnútornej energie systému bude daná výrazom: kde je molárna tepelná kapacita pri konštantnom objeme. [7.25.] Uvažujme teraz iný proces, ktorý prebieha pri konštantnej teplote systému (izotermický dej, ) a s ním spojenú zmenu vnútornej energie systému, ktorá bude daná výrazom: [7.26.] Podľa [7.23.] bude pre prírastok tepla dodaného do systému, ktorý sa riadi stavovou rovnicou pre 1 mol ideálneho plynu:, platiť: [7.27.] Preverme, či teplo ( ) vo vzťahu [7.27.] predstavuje stavovú funkciu tak, že porovnáme zmiešané druhé derivácie (Schwarzova veta [7.11.]): [7.28.] Preto výraz [7.27.] nie je totálnym diferenciálom a teplo nie je termodynamickou stavovou funkciou. Dodané množstvo tepla teda závisí na integračnej ceste, t.j. na tom, cez ktoré medzistavy sa systém dostane do konečného stavu. Príklad. Spojením prvej a druhej vety termodynamickej pre reverzibilný dej dostaneme vzťah pre diferenciál vnútornej energie uzavretého systému 95 : [7.29.] Vnútorná energia je chápaná ako funkcia entropie 96 a objemu, čiže: 95 Uzavretý termodynamický systém je taký, ktorý nevymieňa s okolím látku, t.j. počet častíc v systéme je konštantný. 245

246 [7.30.] Porovnaním vzťahov [7.29.] a [7.30.] získame výrazy pre parciálne derivácie vnútornej energie: Z rovnosti druhých derivácií totálneho diferenciálu : dostaneme: a [7.31.] a [7.32.] čo je užitočný vzťah používaný v termodynamike. Tento postup ilustruje využitie stavových funkcií vo fyzikálnej chémii a kmeňových funkcií v prírodných vedách vôbec Extrémy funkcií dvoch premenných Lokálne extrémy Vyšetrovanie priebehu a extrémov funkcií je jednou z podstatných častí diferenciálneho počtu. Prítomnosť lokálnych extrémov funkcií dvoch premenných zisťujeme skúmaním funkcií v blízkom okolí zvolených bodov. Definícia. Nech funkcia je definovaná na okolí bodu. Ak existuje kladné reálne číslo také, že pre všetky je: ( ) potom hovoríme, že funkcia dvoch nezávisle premenných má v bode lokálne maximum (lokálne minimum). Ak platí: ( ) potom hovoríme, že funkcia má v bode ostré lokálne maximum (ostré lokálne minimum). Príklad. Funkcia má v bode ostré lokálne maximum, pretože a pre každé je. Grafom tejto funkcie je časť kužeľovej plochy znázornenej na Obr Entropia je fyzikálna veličina, ktorá meria neusporiadanosť systému (náhodnosť, neporiadok, mieru neurčitosti, počet možných usporiadaní systému). Túto stavovú veličinu v termodynamike zaviedol a popísal nemecký fyzik Rudolf Julius Emanuel Clausius ( ). 246

247 Obrázok 7.7. Graf funkcie: s ostrým lokálnym maximom v bode. Keď má funkcia v bode lokálny extrém, potom musí mať v tomto bode lokálny extrém rovnakého typu aj každá krivka, ktorá vznikne rezom hyperplochy v uvažovanom bode rovinou rovnobežnou s osou (teda nielen rovinami a, ale aj, kde ). Príklad. Funkcia, na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, nemá v bode lokálny extrém. Rezy hyperplochou rovinami a tvoria krivky a, ktoré majú v bode nula lokálny extrém. Avšak, zatiaľ čo u prvej krivky sa jedná o lokálne maximum, u druhej krivky ide o lokálne minimum. Preto funkcia nemá v bode lokálny extrém. Takýto bod na hyperploche sa nazýva sedlový bod, Obr Obrázok 7.8. Graf funkcie: so sedlovým bodom v bode. Ak má funkcia dvoch premenných v bode lokálny extrém, potom jej parciálne derivácie v tomto bode (pokiaľ existujú), musia byť nulové. Príklad vrcholu kužeľovej plochy, Obr. 7.7., ukazuje, že v lokálnom extréme nemusia nutne parciálne derivácie existovať. Ak nás zaujímajú polohy vrcholov (maxím) a priehlbní (miním) na hyperploche, potom nám stačí hľadať body, v ktorých sú obe parciálne derivácie prvého rádu nulové, prípadne skúmať body, v ktorých jedna alebo obidve parciálne derivácie neexistujú. Body, v ktorých platí budeme nazývať stacionárne body. 247

248 Veta. Nech funkcia má v bode stacionárny bod a v tomto bode existujú obidve parciálne derivácie prvého rádu. Potom platí: [7.33.] Podmienku [7.33.] môžeme zapísať pomocou gradientu funkcie ako:. Existencia stacionárneho bodu je nutnou, ale nie postačujúcou podmienkou pre prítomnosť lokálneho extrému v danom bode. Podobne, ako u funkcií jednej premennej, existencia lokálneho extrému súvisí so znamienkami druhých parciálnych derivácií v bode. Extrém (teda maximum aj minimum) majú spoločné to, že znamienka druhých parciálnych derivácií podľa premenných a sú rovnaké, čo môžeme vyjadriť ako podmienku:. Naopak, ak, potom sa znamienka druhých derivácií musia od seba líšiť, teda v jednom reze vidíme maximum, v druhom minimum, čo znamená, že sa jedná o sedlový bod. Súčin druhých derivácií teda slúži ako ukazovateľ prítomnosti extrému alebo sedlového bodu. Ak sa v bode nachádza extrém, tak na rozlíšenie maxima a minima stačí uvažovať znamienko ktorejkoľvek z druhých derivácií, napríklad. Situácia je však trochu komplikovanejšia, keďže o priebehu funkcie dvoch premenných rozhoduje jej správanie aj v smeroch iných, ako v smere súradnicových osí a. Preto musíme pri vyšetrovaní stacionárnych bodov zobrať do úvahy aj zmiešané druhé derivácie v stacionárnom bode. Tak, ako sú prvé derivácie združené do vektora nazvaného gradient funkcie, druhé parciálne derivácie sa združujú do Hesseho matice: 97 [7.34.] O prítomnosti lokálneho extrému alebo sedlového bodu nebudeme teda rozhodovať podľa znamienka súčinu hlavnej diagonály Hesseho matice, ale na základe determinantu : [7.35.] Pripomíname, že podľa Schwarzovej vety, vzťah [7.11.], platí: pomocou určíme typ stacionárneho bodu hovorí tzv. Sylvestrovo kritérium. 98. Ako Veta. (Sylvestrovo kritérium) Nech funkcia má v bode a jeho blízkom okolí spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu a nech je bod jej stacionárnym bodom:. Ak platí: [7.36.] potom má funkcia v bode ostrý lokálny extrém. Ak je zároveň:, potom ide o minimum, ak je :, jedná sa o maximum. 97 Ludwig Otto Hesse ( ) bol nemecký matematik známy najmä prácami z oblasti algebry. 98 James Joseph Sylvester ( ) bol anglický matematik. 248

249 V prípade, že, potom má funkcia v bode sedlový bod. V prípade, že, potom nevieme na základe tohto kritéria rozhodnúť o aký typ stacionárneho bodu ide. Aby determinant Hesseho matice nadobudol kladnú hodnotu je nutné, aby mali druhé derivácie a rovnaké znamienka, t.j. aby mala funkcia v bode rovnaký typ extrému v smere osi aj. Avšak aj v tomto prípade sa stále môže jednať o sedlový bod, keďže smery v ktorých má funkcia odlišné lokálne extrémy, nemusia byť len smery osí a, ale aj môžu ležať aj medzi nimi. To sa však prejaví na veľkosti zmiešanej druhej derivácie, ktorej štvorec v takomto prípade posunie hodnotu do záporných čísel. Postup hľadania lokálnych extrémov bude teda nasledovný: riešením sústavy rovníc: nájdeme súradnice stacionárneho bodu, pre stacionárny bod nájdeme zodpovedajúcu Hesseho maticu, vzťah [7.34.] a vypočítame determinant, vzťah [7.36.], ak, v bode bude sedlový bod, ak, v bode bude lokálny extrém. Ak bude to maximum, ak bude to minimum, ak, nevieme rozhodnúť, použijeme iný postup. Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie:. Funkcia je polynómom tretieho stupňa premenných a, preto bude definovaná, a jej parciálne derivácie budú spojité na celej množine. Lokálne extrémy sa môžu nachádzať tam, kde má riešenie sústava rovníc: Z prvej rovnice vyplýva. Dosadením do druhej rovnice dostaneme: Kvadratický trojčlen má záporný diskriminant (komplexné korene) a je vždy kladný, preto korene vyššie uvedenej rovnice sú a. Dosadením do sústavy dopočítame príslušné hodnoty a dostaneme dva stacionárne body: a. Pre druhé parciálne derivácie platí: 249

250 Dosadením do vzťahu [7.36.] dostaneme: Pre stacionárny bod bude mať determinant hodnotu, preto má funkcia v bode sedlový bod. Pre stacionárny bod bude mať determinant hodnotu a hodnotu, preto má funkcia v bode lokálne minimum, Obr Obrázok 7.9. Graf funkcie: so sedlovým bodom v bode a lokálnym minimom v bode. Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie:. Najprv nájdeme stacionárne body: Exponenciála je vždy kladná, preto sa môžu rovnice vydeliť výrazom sústavu: alebo alebo, a stačí riešiť Prvá rovnica nám dáva dve možnosti. Ak, potom z druhej rovnice dostaneme. Ak v prvej rovnici, potom z druhej rovnice. Máme teda tri stacionárne body:, a. Vypočítame si druhé derivácie: Hesseho matica bude mať tvar: 250

251 Člen je vždy kladný, preto jeho vyňatie zo všetkých maticových prvkov pred maticu neovplyvní znamienko determinantu, ale zjednoduší výpočet. Počítajme teda hodnotu determinantu : ( pre jednotlivé stacionárne body: :,, lokálny extrém,, maximum so súradnicami :,, lokálny extrém,, minimum so súradnicami :,, sedlový bod so súradnicami, Obr Obrázok Graf funkcie: so sedlovým bodom v bode, lokálnym maximom v bode a lokálnym minimom v bode Absolútne extrémy Častou praktickou úlohou býva určiť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu, akú funkcia dvoch premenných nadobúda na určitej množine (napr. na svojom definičnom obore). Táto úloha teda vyžaduje identifikovať absolútne (globálne) extrémy funkcie na danej množine. Definícia. Nech je funkcia dvoch premenných a je množina bodov v rovine,. Hovoríme, že funkcia nadobúda v bode absolútne maximum na množine (absolútne minimum na množine ), ak pre všetky body tejto množiny platí: ( ) 251

252 Na to, aby sme mohli skúmať existenciu absolútnych extrémov na množine, musíme najprv bližšie popísať samotnú množinu. Hľadať absolútne extrémy vieme len na množine, ktorá je ohraničená a uzavretá. Tieto pojmy je na obmedzenom priestore ťažké definovať presne, preto si uvedieme len isté intuitívne vysvetlenie. Množinu budeme považovať za ohraničenú, ak existuje kruh s konečným polomerom a stredom v počiatku súradnicovej sústavy taký, že leží celá vo vnútri tohto kruhu. Z geometrického hľadiska teda polrovina alebo priamka nie sú obmedzené množiny. Presne definovať pojem hranice množiny je tiež pomerne náročné. Zjednodušene považujme za geometrickú hranicu množiny úsečky alebo krivky, ktoré vytvárajú obvod daného rovinného útvaru. Potom za uzavretú množinu v budeme považovať takú množinu, ktorá obsahuje aj celú svoju hranicu. Ohraničenej a uzavretej množine hovoríme kompaktná množina. O existencii absolútnych extrémov na kompaktnej množine hovorí Weierstrassova veta. 99 Veta. (Weierstrassova veta) Nech je ohraničená a uzavretá množina a je spojitá funkcia dvoch premenných taká, že. Potom existujú body a také, že pre akýkoľvek bod platí: Potom bod nazývame absolútnym minimom funkcie na množine a bod nazývame absolútnym maximom funkcie na množine. Spojitá funkcia na kompaktnej množine teda nadobúda svoje minimálne aj maximálne hodnoty, ale navyše aj všetky hodnoty medzi týmito extremálnymi hodnotami. Ostáva len vyriešiť otázku, ako nájsť body, v ktorých minimum a maximum ležia. Postup, ktorým hľadáme absolútne extrémy, môžeme zhrnúť takto: nájdeme stacionárne body funkcie a vyberieme tie, ktoré ležia vo vnútri množiny, potom vyšetrujeme danú funkciu na hranici množiny. Hranicu množiny väčšinou tvoria úsečky a krivky (nekonečný počet bodov). Rovnicu krivky, ktorá tvorí časť hranice v tvare alebo dosadíme do funkcie a hľadáme extrémy takto získaných funkcií jednej premennej: alebo. Globálne extrémy môžu ležať buď na hraniciach intervalov: alebo tam, kde, prípadne, porovnáme funkčné hodnoty vo všetkých bodoch vyšetrovaných z hľadiska globálnych extrémov a vo vnútri a na hraniciach a vyberieme body, ktoré zodpovedajú absolútnym extrémom. Príklad. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: oblasti ohraničenej nerovnicami:, a. Najprv vyšetríme lokálne extrémy funkcie. Stacionárne body určíme zo sústavy rovníc: na 99 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( ) bol nemecký matematik, je považovaný za otca modernej matematickej analýzy. 252

253 Z prvej rovnice vyjadríme a dosadíme do druhej rovnice. Zistíme, že funkcia má len jeden stacionárny bod so súradnicami, ktorý zjavne leží vo vnútri hraníc oblasti. Jedná sa o lokálne minimum so súradnicami. Funkčnú hodnotu porovnáme s hodnotami získanými na hranici oblasti - trojuholníka tvoreného tromi úsečkami: a), b), c) Teraz vyhľadáme extrémy na troch hraničných úsekoch a-c: a), dosadením do dostaneme: a hľadáme absolútne extrémy tejto funkcie jednej premennej pre. Platí:, odtiaľ:. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch intervalu sú:, a b), dosadením do dostaneme: a hľadáme absolútne extrémy tejto funkcie jednej premennej pre. Platí:, odtiaľ:. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch intervalu sú:, a c), dosadením do dostaneme: a hľadáme absolútne extrémy tejto funkcie jednej premennej pre. Platí:, odtiaľ:. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch intervalu sú:, a Dosadením do funkcie určíme funkčné hodnoty v nájdených bodoch: Porovnaním všetkých vypočítaných funkčných hodnôt vidíme, že funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu v bode a najväčšiu hodnotu v bodoch a. Príklad. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: v kruhu. Funkcia je, vrátane svojich parciálnych derivácií, spojitá na celom obore. Začneme s hľadaním stacionárnych bodov vo vnútri kruhu. Určíme ich zo sústavy: 253

254 Jediným stacionárnym bodom je bod determinantu Hesseho matice, ktorý leží v strede kruhu. Výpočtom zistíme, že v bode je sedlový bod. Budeme teda hľadať najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na hranici kruhu, kde platí:. Hranicu si rozdelíme na hornú a dolnú polkružnicu: a) horná polkružnica je popísaná rovnicou: pre. Dosadením do funkčného predpisu dostaneme: Dostali sme teda funkciu jednej premennej, extrémy ktorej nájdeme buď v krajných bodoch intervalu alebo stacionárnom bode polkružnice. V krajných bodoch nadobúda hodnoty:. Stacionárny bod leží tam, kde, t.j. v bode. Funkčná hodnota b) dolná polkružnica je popísaná rovnicou: pre. Dosadením do funkčného predpisu dostaneme rovnaké riešenia ako v prípade a). Porovnaním vypočítaných hodnôt vidíme, že absolútne maximum dosahuje funkcia v bodoch a a absolútne minimum v bodoch a Optimalizácia, metóda Lagrangeových multiplikátorov Podobne ako u funkcií jednej premennej, sa hľadanie globálnych extrémov funkcií dvoch a viacerých premenných využíva v optimalizačných úlohách. V takýchto prípadoch hľadáme také hodnoty premenných, pre ktoré účelová funkcia, vystihujúca kľúčové vlastnosti systému, nadobúda absolútne maximum alebo minimum na ohraničenej a uzavretej množine. Príklad. Rozdeľte číslo 120 na tri časti tak, aby suma súčinov dvojíc týchto častí bola maximálna. Máme teda úlohu nájsť čísla, a také, aby platilo: nadobúda maximálnu hodnotu, pričom. Ak tretiu časť vyjadríme ako:, potom dostaneme účelovú funkciu:. Funkcia bude mať stacionárny bod tam, kde: Sústava rovníc má riešenie a. Dosadením dostaneme. Pre takto vypočítané časti nadobúda funkcia hodnotu:. Dosadením blízkeho bodu, napr., a dostaneme, čím sme sa presvedčili, že nájdené riešenie zodpovedá globálnemu maximu. 254

255 Často sa pri aplikáciách optimalizácie funkcie stretneme s podmienkou (väzbou) v tvare, ktorú musí optimalizovaná funkcia spĺňať. V takomto prípade hovoríme o hľadaní tzv. viazaného extrému funkcie, Obr Definícia. Hovoríme, že funkcia definovaná na množine má v bode maximum viazané podmienkou (ohraničením), ak platí, a pre každé platí:. Obrázok Graf funkcie a viazaný extrém určený ohraničujúcou podmienkou, ktorá je zobrazená ako krivka vytvorená rezom hyperplochy rovinou. Viazané maximum je zobrazené ako fialový bod. Metóda Lagrangeových multiplikátorov spočíva v nahradení optimalizovanej funkcie novou funkciou nazvanou Lagrangeova funkcia, takou, že [7.37.] kde nová premenná, tzv. Lagrangeov multiplikátor, násobí podmienku, a má viazaný extrém v rovnakom bode ako funkcia : [7.38.] Podľa [7.38.] totiž platí, že dotyčnica v bode k funkcii je rovnobežná s dotyčnicou k ohraničujúcej podmienke násobenej multiplikátorom, Obr

256 Obrázok Vrstevnicová mapa funkcie a ohraničujúcej podmienky (červená krivka). Bod, v ktorom sa vrstevnica, kde, dotýka krivky predstavuje bod, v ktorom leží hľadané maximum, kde smernice dotyčníc k a, kolmé na smer gradientu (šípky), sú paralelné. Veta. (Lagrangeova veta) Nech je spojitá a diferencovateľná funkcia definovaná na množine a je spojitá a diferencovateľná funkcia definovaná na množine, ktorá definuje ohraničujúcu podmienku. Funkcia má v bode maximum viazané podmienkou, ak platí: a [7.39.] kde je Lagrangeova funkcia a je Lagrangeov multiplikátor. Postup pri určení polohy viazaného extrému funkcie Lagrangeových rovníc: teda spočíva v riešení sústavy [7.40.] a vzájomnom porovnaní funkčných hodnôt v stacionárnych bodoch. Príklad. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:. Hľadáme teda stacionárne body (pre a ) pomocou Lagrangeovej funkcie: pre ktoré platí: 256

257 Dostávame: z čoho vyplýva. Dosadením do tretej podmienky dostaneme: a z toho pre súradnice stacionárneho bodu: Vypočítame druhé derivácie a determinant Hesseho matice:, ide teda o extrém, ide o minimum. Funkcia má teda v bode minimum. Príklad. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:. Definičný obor funkcie je. Zostavíme Lagrangeovu funkciu: 1 a vypočítame parciálne derivácie: Riešením tejto jednoduchej sústavy dostaneme: Vypočítame druhé derivácie: Determinant Hesseho matice bude mať hodnotu: Preto funkcia bude mať len sedlový bod a žiadny viazaný extrém. 257

258 Obrázok Graf funkcie. Funkcia nemá viazaný extrém, iba sedlový bod. s ohraničujúcou podmienku Metóda najmenších štvorcov K významným aplikáciám diferenciálneho počtu funkcií dvoch premenných patrí aj metóda najmenších štvorcov, ktorá sa používa v matematickej štatistike (regresnej analýze) na popis meraných dát vhodnou funkčnou závislosťou. Je podstatne výhodnejšie pracovať namiesto stoviek nameraných hodnôt s krivkou určenou niekoľkými parametrami, ktorá čo najlepšie aproximuje namerané dáta. Majme dvojíc nameraných dát, a z podstaty uskutočneného experimentu vieme, že meraná veličina je lineárne závislá na meranej veličine, Obr Naším cieľom je preložiť cez množinu bodov (kde rádovo znamená desiatky bodov) priamku s rovnicou, sú reálne parametre. Teraz si môžeme položiť otázku, pre akú voľbu parametrov bude regresná priamka vystihovať množinu nameraných bodov najlepšie. Ako dobré kritérium posúdenia vhodnosti parametrov priamky sa javí výraz:, ktorý zodpovedá rozdielu medzi nameranou hodnotou a vypočítanou hodnotou, ktorá leží pre zodpovedajúcu hodnotu na preloženej priamke (modrý bod, Obr ). Obrázok Graf nameraných dát a regresná priamka, ktorá popisuje namerané dáta. 258

259 Ak sčítame druhé mocniny týchto odchýliek (druhé mocniny používame preto, že odchýlky ležia nad aj pod priamkou a teda majú kladné, aj záporné znamienka), dostaneme výraz: [7.41.] Tento súčet bude pre rôzne hodnoty parametrov iný a definuje spojitú polynomickú funkciu dvoch premenných, ktorá nadobúda nezáporné hodnoty. Našou úlohou je nájsť minimum tejto funkcie na definičnom obore. Pretože je diferencovateľná na celom, budeme hľadať také hodnoty parametrov, v ktorých platí:. Z tejto podmienky dostaneme sústavu rovníc: Rovnice vydelíme faktorom -2 a členy usporiadame: alebo keďže. Vyjadrením parametra z druhej rovnice a dosadením do prvej dostávame pre lokálne minimum : Výpočtom druhých derivácií a determinantu Hesseho matice a [7.42.] sa presvedčíme, že bod zodpovedá lokálnemu minimu funkcie a namerané body bude teda najlepšie popisovať priamka lineárnej regresie:. Podobný postup by sme zvolili aj v prípade, ak by sme chceli dáta popisovať kvadratickou rovnicou, kde by sme hľadali minimum funkcie troch premenných Dvojný integrál V tejto časti sa budeme zaoberať integrálnym počtom funkcií dvoch premenných, tzv. dvojným integrálom. Ukážeme si spôsob, ako možno uskutočniť výpočet dvojného integrálu prevedením na dva jednoduché integrály (integrály funkcie jednej premennej). Pripomeňme si geometrickú interpretáciu jednoduchého určitého integrálu, vzťah [6.22.], Obr Určitý integrál predstavuje plochu pod krivkou pre, ktorú počítame ako 259

260 Riemannov integrálny súčet, napr. podľa obdĺžnikového pravidla, ako sumu obsahov obdĺžnikov na intervale : Dvojný integrál spojitej funkcie dvoch premenných môžeme zaviesť analogickým postupom. Majme funkciu spojitú na množine, Obr Množina definuje oblasť v rovine ohraničenú rovinnou krivkou, na ktorej budeme počítať dvojný integrál. Rozdeľme oblasť pravouhlou mriežkou na malé podoblasti (štvorčeky), ktoré majú plošný obsah, Obr V každej podoblasti vyberme ľubovoľný bod a vypočítajme. Potom utvorme sumu:. [7.43.] Ak definujeme šírku štvorcovej podoblasti rovnú, pre mriežku so stále jemnejším delením na podoblasti bude platiť: ak sa bude počet podoblastí zvyšovať, t.j. pre:, potom:. Dvojný integrál funkcie na množine môžeme teda definovať ako limitu zo súčtu [7.43.] pre, ako: [7.44.] Ak funkčné hodnoty sú nezáporné na množine, potom dvojný integrál, definovaný vzťahom [7.44.], zodpovedá objemu telesa pod hyperplochou ohraničeného zdola rovinou, zhora funkciou a z bokov zvislým plášťom prechádzajúcim hranicou množiny definovanou funkciou, Obr Každý sčítanec v sume [7.44.]. prispieva k integrálu prírastkom, ktorý zodpovedá objemu elementárneho kvádra s podstavou a výškou Obrázok Geometrickou interpretáciou dvojného integrálu je objem telesa ohraničeného zdola rovinou, zhora funkciou a z bokov zvislým plášťom prechádzajúcim hranicou množiny definovanou funkciou. 260

261 Počítajme dvojný integrál pre teleso pod hyperplochou znázornené na Obr podľa nasledovnej iteratívnej schémy. Nech hraničná krivka oblasti v rovine je preťatá priamkami rovnobežnými s osami a v najviac dvoch bodoch, Obr Dotyčnice a, ktoré sa dotýkajú funkcie v dotykových bodoch K a L a dotyčnice a, ktoré sa dotýkajú funkcie v dotykových bodoch M a N, vymedzujú intervaly nezávisle premenných pre oblasť ako: a. Nech rovinná krivka hranice oblasti určená oblúkom KML je popísaná ohraničujúcou rovnicou a oblúk KNL je popísaný rovnicou. Rozdeľme interval na častí s deliacimi bodmi so šírkou. Rovnako rozdeľme interval na častí s deliacimi bodmi so šírkou a nakreslime mriežku prechádzajúcu deliacimi bodmi, Obr Dostaneme sieť malých obdĺžnikov s plochou (plus plošné útvary iného tvaru v blízkosti hraničnej krivky, ktoré zanedbáme). Na každej podoblasti zvoľme bod, vypočítajme funkčnú hodnotu a utvorme sumu: [7.45.] Výraz [7.45.] predstavuje len iný zápis, ktorý zodpovedá dvojnému integrálu [7.44.], keď aj a a. Obrázok Schéma iteratívneho výpočtu dvojného integrálu. Pri výpočte limity výrazu [7.45.] uvažujme jednotlivé indexy a sumy oddelene a počítajme najprv príspevky obdĺžnikov mriežky po riadkoch, takých ktoré majú konštantnú hodnotu (t.j. fixný index ): ( ) Limita pre a potom bude rovná: Teraz dopočítajme limitu sumy po stĺpcoch (cez index ) pre a : 261

262 [7.46.] Teda výpočet dvojného integrálu zahŕňa postupné vyriešenie dvoch určitých integrálov jednej premennej v príslušnom poradí. Najprv počítame prvý integrál funkcie podľa (keď premennú považujeme pri integrovaní za konštantu), od dolnej hranice po hornú hranicu na. Potom integrujeme výsledok prvého integrálu podľa premennej (pričom premennú považujeme za konštantu) v hraniciach od po. Tento postup, pri ktorom sa dvojný integrál premení na dvojnásobný integrál sa nazýva iteračný výpočet. Tento postup opisujú Fubiniho vety. 100 Veta. (Fubiniho veta) Nech funkcia je spojitá na množine, potom platí: [7.47.] Výsledok dvojného integrálu teda nezáleží na poradí, v akom integrujeme podľa premenných a (za predpokladu, že funkcia je na elementárnej oblasti spojitá). V prípade, ak integrovaná funkcia má tvar:, kde je spojitá funkcia na intervale a je spojitá na intervale, potom platí: Fubiniho veta [7.47.] zovšeobecnená pre prípad, keď integračné hranice funkcie definované všeobecnou elementárnou oblasťou: ; [7.48.] ohraničenou rovinnými krivkami a, pre, má potom nasledovný tvar: Veta. (Fubiniho veta) Nech funkcia je spojitá na množine ; potom platí: sú [7.49.] Príklad. Vypočítajte dvojný integrál:, kde. Funkcia je spojitá na obdĺžnikovej elementárnej oblasti, takže je integrovateľná. Podľa Fubiniho vety [7.47.] dostaneme: V tomto prípade sme mohli zvoliť aj iný postup a integrovať v opačnom poradí: 100 Guido Fubini ( ) bol taliansky matematik. Zaoberal sa rôznymi oblasťami matematickej analýzy a tiež aplikovanou matematikou. 262

263 Výsledok teda nezávisí na poradí integrovania. Príklad. Vypočítajte dvojný integrál:, kde ; Najprv si znázornime elementárnu oblasť, ktorej hranice sú časti parabol s rovnicami a, Obr Z obrázku vidíme, že je daná nerovnosťami: a y M Obrázok Elementárna oblasť ; Funkcia je spojitá na, a preto integrovateľná. Podľa Fubiniho vety dostaneme: Príklad. Vypočítajte dvojný integrál:, kde je oblasť ohraničená priamkou: a parabolou:. Najprv si znázorníme danú oblasť, určíme priesečníky priamky a paraboly a vyjadríme integračné hranice pomocou nerovností. Priesečníky hraníc dostaneme z podmienky: ako: a. Elementárnu oblasť môžeme vyjadriť dvoma spôsobmi: a) pri obvyklom poradí integrácie vyjadrujeme množinu pomocou intervalu premennej a funkcií premennej, ktoré ohraničujú premennú. V našom prípade sa však bude spodná hranica skladať z dvoch funkcií, a preto budeme musieť elementárnu oblasť rozdeliť na dve podmnožiny, Obr A: 263

264 Pri integrácii v poradí je teda potrebné rozdeliť integrál na dva integrály: čo je nepraktické. A B Obrázok Elementárna oblasť ohraničená priamkou a parabolou. Šípkami sú vyznačené smery od spodnej integračnej hranice k hornej hranici prvého integrálu. A. Najprv integrujeme podľa. B. Najprv integrujeme podľa. b) Výhodnejšie bude integrovať v opačnom poradí. Hranice oblasti potom vyjadríme ako, Obr B: Dvojný integrál je potom rovný: 264

265 Cvičenia Vypočítajte parciálne derivácie funkcie: Vypočítajte parciálne derivácie funkcie: 7.3. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie: 7.4. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie: 7.5. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie: 7.6. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie: 7.7. Nájdite gradientové vektorové pole funkcie: 7.8. Pre funkciu vypočítajte smerovú deriváciu v bode v smere vektora Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v bode Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode Nájdite rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode Pomocou totálneho diferenciálu približne vypočítajte: Nájdite totálnu deriváciu funkcie, keď podľa premennej Výška premenlivého kužeľa je rovná cm a narastá rýchlosťou cm/min. Polomer podstavy kužeľa sa rovný cm a zmenšuje sa rýchlosťou cm/min. Ako rýchlo sa mení objem kužeľa? 265

266 7.17. Zisťujeme, či výraz: je diferenciálom kmeňovej funkcie, a ak áno, nájdite jej tvar Nájdite lokálne extrémy funkcie: Nájdite lokálne extrémy funkcie: Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: v trojuholníku tvorenom súradnicovými osami a dotyčnicou ku grafu funkcie bode Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:. v Vypočítajte dvojný integrál: Vypočítajte dvojný integrál: Vypočítajte dvojný integrál, keď elementárna integračná oblasť leží v prvom kvadrante a je ohraničená plošnou krivkou a priamkou Vypočítajte dvojný integrál cez elementárnu integračnú oblasť, ktorá leží v prvom kvadrante a je ohraničená hyperbolou a priamkami, a. 266

267 Riešenia Funkcia predstavuje polynóm premenných a a je definovaná a spojitá na celom intervale. Parciálne derivácie vypočítame tak, že jednu z premenných považujeme za konštantu a podľa druhej derivujeme (a naopak): 7.2. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale okrem počiatku a súradnicových osí, t.j.. Parciálne derivácie budú mať tvar: 7.3. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale : 7.4. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale : 7.5. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale. V tomto prípade počítame parciálnu deriváciu podľa pravidla pre súčin funkcií, vzťah [5.12.]: 7.6. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale. Budeme ju derivovať ako podiel dvoch funkcií. 267

268 7.7. Gradientové vektorové pole funkcie: budeme počítať podľa vzťahu [7.8.]: Toto gradientové vektorové pole je zobrazené na nasledujúcom obrázku pomocou šípok, ktoré znázorňujú vektor poľa v bodoch množiny. Obrázok Gradientové vektorové pole funkcie: Smerovú deriváciu funkcie v bode vypočítame podľa vzťahu [7.9.] ako skalárny súčin gradientu funkcie v danom bode a jednotkového vektora. Najprv určíme jednotkový vektor pre vektor : Parciálne derivácie určíme ako: Hodnoty parciálnych derivácií v bode dostaneme dosadením: Pre veľkosť smerovej derivácie potom platí: 268

269 7.9. Počítame parciálne derivácie druhého rádu funkcie:. Definičným oborom funkcie bude, na tejto množine bude funkcia spojitá vrátane derivácií prvého a druhého rádu. Pre parciálne derivácie dostaneme: Počítame parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v bode. Funkcia je spojitá na, na tejto množine budú spojité aj jej derivácie prvého a druhého rádu. Pre prvé parciálne derivácie platí: Druhé parciálne derivácie budeme počítať ako deriváciu podielu funkcií, vzťah [5.12]: Hodnoty derivácií v bode dostaneme dosadením hodnôt nezávisle premenných: 269

270 7.11. Totálny diferenciál funkcie: v bode vypočítame podľa vzťahu [7.12.]. Najprv určíme parciálne derivácie: Totálny diferenciál bude mať tvar: Totálny diferenciál v bode bude: Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode. Najprv určíme parciálne derivácie: Derivácie v bode. Totálny diferenciál: Rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode nájdeme pomocou prvých parciálnych derivácií: Rovnicu dotykovej roviny dostaneme dosadením do vzťahu [7.14.] Alebo v implicitnom tvare: Počítame približnú hodnotu pomocou totálneho diferenciálu. K výpočtu použijeme diferenciál funkcie v bode s diferenciami a. Najprv vypočítame parciálne derivácie: 270

271 Totálny diferenciál v bode bude: Približnú hodnotu odmocniny odhadneme podľa vzťahu [7.15.]: Výpočtom na kalkulačke dostaneme: Rozdiel oproti presnému výpočtu na kalkulačke sa prejaví na treťom desatinnom mieste Hľadáme totálnu deriváciu funkcie podľa premennej, kde. Najprv vypočítame parciálne derivácie a obyčajné derivácie funkcií : Potom podľa [7.16.]: Výška premenlivého kužeľa je rovná 15 cm a narastá rýchlosťou 0,2 cm/min. Polomer podstavy kužeľa je rovný 10 cm a zmenšuje sa rýchlosťou 0,3 cm/min. Počiatočný objem kužeľa bude:. Výšku kužeľa a polomer podstavy považujeme za funkcie času:,. Rýchlosť zmeny výšky a polomeru s časom zodpovedá deriváciám týchto veličín podľa času: Parciálne derivácie objemu podľa premenných a sú rovné: 271

272 Rýchlosť akou sa mení objem kužeľa dostaneme ako: Objem kužeľa bude teda klesať rýchlosťou: Zisťujeme, či výraz: zodpovedá diferenciálu kmeňovej funkcie. Najprv zistíme, či je uvedený výraz totálnym diferenciálom. Pre všetky platí: a Daný výraz je teda diferenciálom kmeňovej funkcie nájdeme postupnou integráciou:. Pri integrovaní podľa premennej považujeme premennú za konštantu. Integračnú konštantu budeme pri hľadaní kmeňovej funkcie dvoch premenných považovať namiesto číselnej konštanty za funkciu závislú od. Jej derivácia je totiž rovná nule, rovnako, ako derivácia konštanty. Derivovaním medzivýsledku podľa : dostaneme, pretože je, ako sme ukázali vyššie, totálny diferenciál: Kmeňová funkcia bude mať teda tvar: kde je integračná konštanta Hľadáme lokálne extrémy funkcie:. Výraz pod odmocninou je polynómom druhého stupňa premenných a, ktorý nadobúda kladné hodnoty na celej 272

273 množine. Preto bude definovaná a jej parciálne derivácie budú spojité na celej množine R 2. Lokálne extrémy sa môžu nachádzať tam, kde má riešenie sústava rovníc: Riešením sústavy je jediný stacionárny bod. Pre druhé parciálne derivácie platí: Hodnoty druhých derivácií v stacionárnom bode dostaneme dosadením, : Dosadením do vzťahu [7.34.] dostaneme: a zároveň Preto stacionárny bod bude lokálnym maximom (pozri obrázok nižšie). Obrázok Hyperplocha funkcie:. 273

274 7.19. Nájdite lokálne extrémy funkcie:. Najprv nájdeme stacionárne body: Exponenciála je vždy kladná, preto môžeme rovnice vydeliť výrazom a riešiť sústavu: 0 Z druhej rovnice vyjadríme : dosadíme do prvej rovnice a dostaneme súradnice stacionárneho bodu: Vypočítame si druhé derivácie v stacionárnom bode: Hesseho matica bude mať tvar: Preto funkcia nemá v bode extrém ale sedlový bod (pozri obrázok nižšie). Obrázok Hyperplocha funkcie: Hľadáme najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: v trojuholníku tvorenom súradnicovými osami a dotyčnicou ku grafu funkcie v bode. 274

275 Funkcia je, vrátane svojich parciálnych derivácií, spojitá na celom obore. Začneme tým, že určíme rovnicu dotyčnice. Platí. Dotyčnica v bode bude mať rovnicu, z toho. Množina, na ktorej hľadáme absolútny extrém funkcie bude: Stacionárne body určíme z podmienky: Jediným stacionárnym bodom je bod, ktorý leží v. Výpočtom determinantu Hesseho matice a z hodnoty zistíme, že v bode je maximum so súradnicami. Ďalej budeme hľadať najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na hranici elementárnej oblasti, ktorá sa skladá z týchto úsečiek: a) pre, b) pre, c) pre, pre ktoré budeme riešiť extrémy individuálne: a) pre, dosadením do funkcie dostaneme: a hľadáme extrémy funkcie pre., odtiaľ. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch intervalu sú:,,. b) pre,, c) pre, dosadením do funkcie dostaneme: 275

276 Porovnaním vypočítaných funkčných hodnôt v stacionárnych bodoch a krajných bodoch intervalov vidíme, že absolútne maximum dosahuje funkcia v bode a absolútne minimum v bodoch a Hľadáme extrémy funkcie: viazané podmienkou:. Definičný obor funkcie je. Hľadáme stacionárne body pomocou Lagrangeovej funkcie: pre ktoré platí: Dostávame:, z čoho vyplýva. Dosadením do tretej podmienky dostaneme: a z toho pre súradnice stacionárneho bodu dostaneme:,, a pre multiplikátor: Vypočítame druhé derivácie a determinant Hesseho matice: ide o minimum. 0 ide teda o extrém, Funkcia má teda v bode minimum viazané podmienkou: Počítame dvojný integrál:. Funkcia je spojitá na, takže je integrovateľná. Podľa Fubiniho vety [7.44.] dostaneme: Počítame dvojný integrál:. Funkcia je spojitá na, takže je integrovateľná. 276

277 7.24. Počítame dvojný integrál cez elementárnu integračnú oblasť, ktorá leží v prvom kvadrante a je ohraničená plošnou krivkou a priamkou, (pozri obrázok nižšie). Priamka a parabola sa pretínajú v bodoch a, ktoré určujú integračné hranice premennej. Budeme integrovať po "stĺpcoch", najprv podľa, a potom podľa (element plochy : Obrázok Elementárna oblasť ohraničená funkciami: a Počítame dvojný integrál cez elementárnu integračnú oblasť, ktorá leží v prvom kvadrante a je ohraničená hyperbolou a priamkami, a (pozri obrázok nižšie). Z obrázku vidíme, že elementárnu oblasť musíme rozdeliť na dve časti, z ktorých každú budeme integrovať zvlášť v odlišných hraniciach: 277

278 Obrázok Elementárna oblasť ohraničená funkciami:, a. 278

279 8. Diferenciálne rovnice Na rozdiel, napríklad od algebraických rovníc, v ktorých neznámymi sú premenné, diferenciálne rovnice sú také rovnice, kde hľadanými neznámymi sú funkcie, a v ktorých vystupujú derivácie týchto funkcií. Ak neznámou funkciou je funkcia jednej premennej, potom hovoríme o obyčajných diferenciálnych rovniciach. Ak neznámu funkciu tvorí funkcia viacerých premenných, potom tieto rovnice nazývame parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Rádom diferenciálnej rovnice nazývame rád najvyššej derivácie, ktorá sa v rovnici nachádza. Riešením diferenciálnej rovnice je každá funkcia (definovaná na určitom intervale), ktorá po dosadení svojich príslušných derivácií, vrátane funkcie samotnej, spĺňa uvažovanú diferenciálnu rovnicu. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkcia, ktorá závisí od jedného parametra - konštanty, voľbou ktorej možno dostať každé riešenie danej rovnice. Partikulárne riešenie je jedno konkrétne riešenie, získané zo všeobecného riešenia výberom konkrétnej hodnoty konštanty. Výber jedného konkrétneho riešenia je často určený zadaním počiatočnej podmienky, napríklad v tvare:. Riešenie diferenciálnej rovnice s počiatočnou podmienkou sa nazýva počiatočná úloha. Diferenciálne rovnice hrajú dôležitú úlohu v prírodných vedách, pretože popisujú priebeh mnohých fyzikálnych, chemických alebo biologických procesov. Príkladom obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu je napr. rovnica. Jej riešením je funkcia,, je reálna konštanta, pretože platí:. Pre počiatočnú podmienku zadanú ako: bude potom riešením rovnice funkcia. Iným príkladom relatívne jednoduchej obyčajnej diferenciálnej rovnice je diferenciálna rovnica druhého rádu:. Jedným z riešení tejto rovnice je funkcia:, pretože:. Na druhej strane rovnica: 279 predstavuje parciálnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu. Jedným z riešení tejto diferenciálnej rovnice bude funkcia,, sú ľubovoľné reálne konštanty. Nie každá diferenciálna rovnica musí mať riešenie. Otázka existencie a jednoznačnosti riešení diferenciálnych rovníc je pomerne komplikovaná. Problematika diferenciálnych rovníc nebude úplne jednoduchá, aj keď sa budeme zaoberať len obyčajnými diferenciálnymi rovnicami prvého rádu. V tejto kapitole ukážeme, ako sa riešia základné diferenciálne rovnice, s ktorými sa študenti stretnú vo fyzike, fyzikálnej chémii, farmakokinetike a ďalších špecializovaných predmetoch Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu Obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre neznámu funkciu v explicitnom tvare všeobecne vyjadriť ako: môžeme [8.1.] Riešenie takejto rovnice závisí na tvare funkcie. O hľadanom riešení takejto jednoduchej diferenciálnej rovnice môžeme získať určité informácie pomocou geometrickej interpretácie diferenciálnej rovnice. Rovnica totiž priraďuje bodu v rovine hodnotu, teda hodnotu derivácie hľadanej funkcie v danom bode. Túto hodnotu derivácie

280 môžeme chápať ako smernicu dotyčnice ku krivke prechádzajúcej bodom. Takúto dotyčnicu môžeme znázorniť ako krátku úsečku so stredom v danom bode so smernicou. Táto úsečka sa nazýva lineárny element. Množinu všetkých lineárnych elementov diferenciálnej rovnice nazývame smerové pole, Obr Graf každého z možných riešení danej diferenciálnej rovnice, tzv. integrálna krivka, má tú vlastnosť, že dotyčnica zostrojená v každom bode krivky obsahuje príslušný lineárny element smerového poľa. Smerové pole teda zobrazuje tvar hľadaných kriviek a ukazuje smer, ktorý krivka naberá v každom bode. Ak máme zadanú počiatočnú podmienku riešenia, t.j. napr. bod, ktorým krivka riešenia prechádza, potom dokážeme v smerovom poli nakresliť približný tvar grafu riešenia tak, že začneme z bodu a sledujeme smer priľahlých lineárnych elementov, Obr Príslušnú neznámu funkciu však už musíme vypočítať vhodnými metódami, ktoré opíšeme v ďalšom texte. Obrázok 8.1. Smerové pole diferenciálnej rovnice (modrá krivka) spĺňajúce počiatočnú podmienku a jej riešenie (modrý bod na osi y). Príklad. Presvedčte sa, že riešením diferenciálnej rovnice s počiatočnou podmienkou je funkcia,. Či funkcia je riešením uvažovanej rovnice, zistíme derivovaním funkcie a dosadením do diferenciálnej rovnice, ktorá musí byť splnená: Dosadením do rovnice dostaneme: Príklad. Ukážte, že funkcia je riešením diferenciálnej rovnice:. Najprv vypočítame prvú deriváciu zadanej funkcie: 280

281 Dosadíme do ľavej strany rovnice za a : Porovnaním s pravou stranou rovnice vidíme, že obidva výrazy sú rovnaké, a teda spĺňa uvažovanú diferenciálnu rovnicu. Špeciálnym prípadom obyčajných diferenciálnych rovníc, kde, t.j. vo vyjadrení pravej strany diferenciálnej rovnice nevystupuje neznáma funkcia, ale len nezávisle premenná, je rovnica:. Táto rovnica sa dá priamo riešiť integráciou: (čo predstavuje výpočet neurčitého integrálu podľa premennej ). V prípade, že je zadaná aj počiatočná podmienka, potom dokážeme určiť aj veľkosť konštanty (dosadením počiatočnej podmienky do primitívnej funkcie ). Príklad. Vyriešte obyčajnú diferenciálnu rovnicu:. s počiatočnou podmienkou Tento špeciálny prípad diferenciálnej rovnice budeme riešiť priamo (integráciou per partes), vzťah [6.11.]: Dosadíme počiatočnú podmienku a pre konštantu dostaneme: Partikulárne riešenie danej diferenciálnej rovnice má tvar: Príklad. Overte, že funkcia:, kde, je riešením diferenciálnej rovnice:. Vypočítame deriváciu funkcie: Porovnaním s pravou stranou rovnice vidíme, že rovnicu spĺňa. Všimnime si ale, že zatiaľ čo definičným oborom pravej stany rovnice ( ) je celá množina, riešenie rovnice je definované len na obmedzenom intervale. 281

282 Pri riešení diferenciálnych rovníc môžeme naraziť na viaceré komplikácie, ako sú nejednoznačnosť riešenia (danú diferenciálnu rovnicu môžu spĺňať viaceré funkcie, k výberu vhodného riešenia môžu v niektorých prípadoch pomôcť počiatočné podmienky), definičný obor riešenia (ktorý môže byť odlišný od oboru, na ktorom je definovaná rovnica), existencia a zložitosť hľadania riešení (v mnohých prípadoch nedokážeme riešenie nájsť ani pre najjednoduchšie rovnice, ktoré riešime priamou integráciou nemusíme byť vždy v stave nájsť riešenie). Uveďme si jednu vetu, ktorá popisuje existenciu riešení obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu. Veta. Majme bod v rovine a funkciu definovanú na okolí tohto bodu. Ak je parciálna derivácia na tomto okolí ohraničenou funkciou, potom má diferenciálna rovnica s počiatočnou podmienkou: práve jedno riešenie. Veta presne nedefinuje veľkosť okolia bodu a predpokladá, že riešenie je spojitá funkcia (má v okolí bodu deriváciu) a hovorí len, že riešenie existuje. V nasledujúcich častiach ukážeme akými metódami môžeme pre niektoré tvary funkcie riešenie diferenciálnej rovnice vypočítať Rovnica so separovateľnými premennými Diferenciálnu rovnicu, ktorú je možné upraviť na tvar: nazývame rovnicou so separovateľnými premennými. Znamená to teda, že funkciu, ktorá vystupuje na pravej strane rovnice všeobecného tvaru obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu, je možné rozdeliť na člen závislý len od premennej a člen závislý len od premennej, ktoré sa násobia. Postup riešenia takejto rovnice je nasledovný. V rovnici budeme namiesto písať a rovnicu: upravíme na tvar: Obidve strany rovnice zintegrujeme (ľavú stranu podľa premennej premennej ) a dostaneme: [8.2.], pravú stranu podľa [8.3.] kde je primitívna funkcia k funkcii, je primitívna funkcia k funkcii a je integračná konštanta. Riešenie rovnice teda spočíva najmä v integrovaní funkcií a. Ak sú tieto funkcie spojité, potom ich neurčité integrály existujú, nemusíme ich však vždy vedieť vypočítať. Všimnime si, že ak, potom konštantná funkcia je riešením uvažovanej rovnice. Ak máme zo všetkých riešení určiť partikulárne riešenie, ktoré 282

283 spĺňa aj počiatočnú podmienku, potom je ešte potrebné určiť hodnotu integračnej konštanty dosadením do vzťahu [8.3.]:. Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:. Rovnicu budeme riešiť separáciou premenných, vzťah [8.2.] a následnou integráciou, vzťah [8.3.]: za predpokladu, že: Integráciou dostaneme: kde pričom je integračná konštanta, ktorá môže nadobúdať kladné, nulové aj záporné hodnoty (preto môžeme vynechať z výsledku znamienko ). Pripomeňme, že pre hodnotu konštanty, riešenie obsahuje aj triviálne riešenie. Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:. Najprv budeme riešiť prípad:. Vidíme, že funkcia: je riešením diferenciálnej rovnice. Riešme teraz prípad, keď:. Dostaneme: ak nahradíme kladnú konštantu po odlogaritmovaní rovnice ľubovoľnou konštantou, môžeme odstrániť absolútnu hodnotu a dostaneme: Toto riešenie zahŕňa aj triviálne riešenie:. Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:. 283

284 Rovnicu upravíme tak, aby sme mohli odseparovať premenné: kde. Konštanta môže nadobúdať kladné, aj záporné hodnoty, preto môžeme odstrániť absolútne hodnoty. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice preto bude mať tvar: Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:. Odseparujeme premenné za predpokladu, že a dostaneme: s počiatočnou podmienkou Kde integračná konštanta: nadobúda kladné, aj záporné hodnoty. Jej hodnotu určíme dosadením počiatočnej podmienky do všeobecného riešenia: Partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice s počiatočnou podmienkou teda bude: 284

285 8.3. Lineárne diferenciálne rovnice Obyčajnú lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu môžeme zapísať vo všeobecnom tvare: [8.4.] kde funkcie a budeme považovať za spojité funkcie jednej premennej. V tejto diferenciálnej rovnici teda vystupuje neznáma funkcia, ako aj jej derivácia, v lineárnom tvare. V niektorých prípadoch, napr. ak, je možné lineárnu diferenciálnu rovnicu upraviť na rovnicu so separovateľnými premennými, všeobecne však musíme siahnuť po iných metódach riešenia. Jedna z metód vhodných na riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc sa nazýva metóda variácie konštánt. Ukážeme teraz, ako máme pritom postupovať. Na začiatku budeme riešiť tzv. homogénnu rovnicu, t.j. rovnicu bez pravej strany, kde funkciu položíme rovnú nule: Všeobecné riešenie homogénnej rovnice nájdeme pomocou separácie premenných: [8.5.] Kde je primitívna funkcia k a je reálna konštanta. V nasledujúcom kroku, ktorý sa nazýva variácia konštanty, budeme riešiť rovnicu s pravou stranou tak, že budeme hľadať riešenie v tvare: kde sme konštantu nahradili funkciou premennej tak, aby modifikované riešenie spĺňalo nehomogénnu diferenciálnu rovnicu. Dosadením tohto riešenia do lineárnej rovnice [8.4.] dostaneme: Pretože je primitívna funkcia k, platí:, a preto sa druhý a tretí člen na ľavej strane predchádzajúcej rovnice navzájom zrušia, dostaneme: [8.6.] Funkciu teda určíme integrovaním výrazu [8.6.] pre spojité funkcie a. Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice má potom tvar: 285

286 Všimnime si, že funkcia všeobecného riešenia homogénnej lineárnej rovnice [8.7.] je vlastne súčet všeobecného riešenia a partikulárneho riešenia rovnice s pravou stranou. Ak teda poznáme všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany a nejakým jednoduchým spôsobom dokážeme nájsť partikulárne riešenie homogénnej rovnice, potom ich súčet bude popisovať všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice. Lineárne diferenciálne rovnice majú významné postavenie, pretože môžu v okolí daného bodu nahradiť mnohé zložitejšie nelineárne rovnice (podobne, ako možno graf funkcie jednej premennej v okolí bodu aproximovať dotyčnicou alebo funkciu dvoch premenných dotykovou rovinou) a môžu tak poskytnúť približné riešenie pre inak analyticky neriešiteľný problém. Príklad. Vyriešte lineárnu diferenciálnu rovnicu: Na riešenie použijeme metódu variácie konštánt. Najprv budeme riešiť homogénnu rovnicu: ktorá sa dá riešiť separáciou premenných: Teraz budeme hľadať riešenie rovnice s pravou stranou v tvare: Platí: z toho ostaneme: Integrovaním so substitúciou: Všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou potom môžeme napísať ako: Kde je reálna konštanta. 286

287 Príklad. Vyriešte počiatočnú úlohu:, keď. Rovnicu upravíme: Najprv budeme riešiť homogénnu rovnicu: Partikulárne riešenie rovnice s pravou stranou budeme hľadať v tvare:, Toto riešenie derivujeme ako podiel funkcií: Dosadíme do nehomogénnej rovnice: Partikulárne riešenie teda bude mať tvar: Dosadením počiatočnej podmienky:, dostaneme: Riešením počiatočnej úlohy je potom funkcia: 287

288 Príklad. Nájdite všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice:. Najprv vyriešime homogénnu rovnicu pomocou separácie premenných: Partikulárne riešenie dostaneme variáciou konštanty : Do rovnice s pravou stranou dosadíme a : odtiaľ: Integrál riešime substitúciou a per partes: Všeobecným riešením lineárnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou je funkcia: kde Exaktné diferenciálne rovnice Obyčajné diferenciálne rovnice sa zadávajú aj v tvare: [8.8.] Ak platí, že výraz na ľavej strane rovnice predstavuje totálny diferenciál funkcie : [8.9.] potom rovnicu [8.8.] nazývame exaktná diferenciálna rovnica a funkciu označujeme kmeňová funkcia (pozri časť 7.8.). Pripomeňme si, že pre kmeňovú funkciu musia platiť na jednoducho súvislej (pozri časť 7.8.) množine vzťahy [7.19.] a [7.20.]: 288

289 a [8.10.] čiže Kmeňová funkcia v tvare: kde je konštanta, potom predstavuje riešenie exaktnej diferenciálnej rovnice [8.8.] (pretože totálny diferenciál konštantnej funkcie sa rovná nule) a dá sa určiť postupnou integráciou funkcií a. Pri riešení postupujeme nasledovne: vyberieme si ľubovoľnú rovnosť zo vzťahu [8.10.], napr., potom musí platiť: pričom integračnú konštantu považujeme za funkciu závislú od premennej, v ďalšom kroku určíme funkciu, pre ktorú podľa [8.10.] platí: [8.11.] integráciou podľa premennej potom dostaneme: [8.12.] Príklad. Zistite, či rovnica: nájdite jej riešenie. Pre exaktnú diferenciálnu rovnicu musí platiť: je exaktná diferenciálna rovnica a teda: Keďže sa jedná o exaktnú diferenciálnu rovnicu, kmeňovú funkciu budeme počítať podľa vzťahov [8.12.]: Zároveň platí: potom dostaneme integráciou: kde je integračná konštanta. Dosadením dostaneme: 289

290 alebo kde je výsledná konštanta. Hodnotu určíme z počiatočnej podmienky. Príklad. Zistite, či rovnica: rovnicou, a ak áno, nájdite jej riešenie. Najprv overíme platnosť vzťahu [8.10.]: je exaktnou diferenciálnou Rovnica je exaktná. Kmeňovú funkciu a riešenie v tvare nájdeme integráciou: Zároveň platí: kde je integračná konštanta. Dosadením dostaneme: alebo 8.5. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc Existujú diferenciálne rovnice, ktoré nevieme vyriešiť analyticky, t.j. nevieme vypočítať funkciu, ktorá spĺňa diferenciálnu rovnicu. V takýchto prípadoch hľadáme aspoň približné riešenie pomocou grafických alebo numerických metód. Použitie grafických metód, založených na lineárnych elementoch a smerových poliach, ktoré vedú k nakresleniu približnej integrálnej krivky, sme ilustrovali na Obr Numerické metódy konštruujú riešenie diferenciálnej rovnice ako množinu bodov, pričom funkčné hodnoty sa vypočítajú približným spôsobom pre vybrané hodnoty nezávisle premennej, typicky pre hodnoty narastajúce o malý konštantný prírastok:. Majme počiatočnú úlohu, ktorú budeme riešiť numericky: [8.13.] 290

291 Eulerova metóda. Počiatočná podmienka definuje prvý bod približnej krivky [. Nasledujúci bod, pre nezávisle premennú:, vypočítame pomocou diferenciálu funkcie, vzťah [5.16.], Obr , ako: alebo skrátene: kde derivácia riešenia je určená zadaním počiatočnej úlohy:. Teda: Ďalšie body nájdeme opakovaním tohto postupu. Všeobecne, ak numerická hodnota približného riešenia v bode je, potom pre nasledujúci bod platí: Príklad. Nájdite pomocou Eulerovej metódy numerické riešenie počiatočnej úlohy:,. Zvolíme si prírastok a nájdeme približné hodnoty pre,, a. Dostaneme: V sekcii 8.1. sme ukázali, že riešením tejto počiatočnej úlohy je funkcia. Preto si môžeme v nasledujúcej tabuľke porovnať presnosť analytického a numerického riešenia. Tabuľka 8.1. Porovnanie presného analytického riešenia a numerického Eulerovho riešenia počiatočnej úlohy:, presná hodnota približná hodnota rozdiel Okrem jednoduchej Eulerovej metódy existujú aj komplikovanejšie a presnejšie postupy, napr. metódy vyvinuté autormi: Runge-Kuta, Adams-Bashford-Moulton, Milne, a ďalšie. 291

292 8.6. Aplikácie diferenciálnych rovníc v prírodných vedách V prírode je mnoho fyzikálnych, chemických a biologických procesov, ktoré sa dajú popísať pomocou matematických modelov. Procesy prevažne deterministickej povahy, u ktorých poznáme vplyv vonkajších faktorov na zmenu skúmanej veličiny, môžeme modelovať pomocou diferenciálnych rovníc. Pokiaľ sledujeme vývoj skúmaného systému v čase, na jeho popis postačia aj obyčajné diferenciálne rovnice, v ktorých vystupuje čas ako nezávisle premenná a sledovaná veličina ako závisle premenná. V nasledujúcich častiach opíšeme vybrané jednoduché matematické modely, ktoré opisujú časovú závislosť troch chemických a biologických procesov a ilustrujú využitie matematických metód Kinetika jednoduchej chemickej reakcie Rýchlosť chemickej reakcie je zjednodušene vyjadrená ako úbytok látkového množstva alebo pokles koncentrácie reagujúcej látky za časovú jednotku, prípadne ako množstvo vzniknutého produktu za jednotku času. Podľa Guldbergovho-Waageho zákona 101 účinku hmotností je rýchlosť chemickej reakcie úmerná koncentrácii ( ) reaktantu a konštante úmernosti, ktorá sa nazýva rýchlostná konštanta ( ). Pre jednoduchú premenu reaktantu na produkt :, teda pre rýchlosť chemickej premeny (úbytok reaktantu alebo prírastok produktu ) dostaneme: [8.14.] kde je čas (ktorý začíname merať od ), koncentráciu meriame v jednotkách a rýchlostnú konštantu tejto reakcie prvého poriadku meriame v jednotkách. Nech počiatočná koncentrácia reaktantu v čase je, potom riešenie diferenciálnej rovnice [8.14.], v tvare, nájdeme separáciou premenných: Absolútnu hodnotu môžeme vynechať, pretože hodnoty exponenciálnej funkcie sú vždy kladné. Integračnú konštantu určíme z počiatočnej podmienky dosadením do riešenia rovnice, ako. Potom pre koncentračnú závislosť reaktantu dostaneme: [8.15.] Pre produkt bude v uzavretom systéme (kde množstvo látky je konštantné) platiť: 101 Cato Maximilian Guldberg ( ) bol nórsky matematik a chemik. Peter Waage ( ) bol významný nórsky chemik. 292

293 [8.16.] Pretože a, ustáleným (stacionárnym) stavom sledovanej reakcie bude stav, kde všetky molekuly látky sa premenili na molekuly produktu. Časové priebehy koncentrácií a sú znázornené na Obr Obrázok 8.2. Časové závislosti koncentrácií reaktantu a produktu sledovanej chemickej reakcie:. Uvažujme teraz vratnú chemickú reakciu:, kde sú rýchlostné konštanty priamej a spätnej reakcie. Pre úbytok koncentrácie reaktantu v každom čase: ) bude teraz platiť: v uzavretom systéme (kde Riešenie nájdeme separáciou premenných: Z počiatočnej podmienky, t.j., vypočítame integračnú konštantu a po jej dosadení dostaneme partikulárne riešenie: [8.17.] 293

294 V ustálenom stave chemickej rovnováhy bude pre tento model platiť: t.j. v dynamickej rovnováhe bude proces premeny na neustále prebiehať (rovnakou rýchlosťou v oboch smeroch), pričom bude zachovaná rovnosť:. Hodnoty rýchlostných konštánt a budú rozhodovať o tom, na ktorú stranu sa posunie chemická rovnováha reakcie. Ak napr., potom, pretože spätná reakcia prebieha rýchlejšie. Časové priebehy koncentrácií a sú znázornené na Obr Obrázok 8.3. Časové závislosti koncentrácií reaktantu a produktu sledovanej chemickej reakcie:. Znázornené sú aj rovnovážne koncentrácie reaktantu a produktu a pre Kinetika rastu populácie buniek Majme bunkovú kultúru, v ktorej sa jednotlivé bunky neobmedzene delia. Množenie buniek teda nie je limitované ani dostupnosťou živín, ani priestorom, v ktorom sú pestované. Nech počet buniek v suspenzii v čase je rovný. Zmenu ich počtu za časový interval vyjadríme ako rozdiel medzi počtom novovzniknutých a odumretých buniek za čas : [8.18.] kde a sú rýchlostné konštanty množenia buniek a zániku buniek. Pre populáciu vo fáze rastu bude. Počet novovzniknutých buniek je úmerný počtu rodičovských buniek, ktoré sú v čase v kultúre prítomné, a rovnako aj počet odumierajúcich buniek závisí na aktuálnom počte buniek. Počet buniek musí byť dostatočne veľký, aby sme mohli použiť fenomenologický prístup, ktorý využíva štatisticky spriemernené chovanie individuálnych buniek. Časový interval musí byť dostatočne malý, aby sa počas neho hodnota príliš nemenila, ideálne budeme uvažovať. Dostaneme: 294

295 Pre rýchlosť rastu populácie teda dostaneme diferenciálnu rovnicu: [8.19.] A pre počiatočnú podmienku: potom máme: V prípade, že prevažuje rýchlosť zániku buniek nad množením ( [8.20.] ), potom a populácia buniek vyhynie. Naopak, ak prevažuje rýchlosť množenia buniek (, potom a populácia exponenciálne rastie do nekonečna, Obr Obrázok 8.4. Časový priebeh vývoja bunkovej populácie pre model [8.20.]. A. exponenciálny rast, B. pokles populácie. Z experimentálnych pozorovaní chovania bunkových kultúr je známe, že po určitej fáze exponenciálneho rastu populácie dochádza k jeho spomaleniu, a neskôr k zastaveniu rastu, pri dosiahnutí určitej limitnej hranice (ako napr. počet buniek v jednotkovom objeme). Preto model kinetiky rastu vyjadrený vzťahom [8.20.] je potrebné spresniť tak, že konštantnú rýchlosť množenia buniek ( ) nahradíme napr. lineárnou závislosťou na celkovom počte buniek v tvare:, kde je smernica tejto závislosti. Dostaneme teda modifikovaný vzťah pre rýchlosť rastu bunkovej populácie, nelineárnu diferenciálnu rovnicu: [8.21.] Označme:, dostaneme: 295

296 Racionálnu lomenú funkciu v integráli na ľavej strane rozložíme na parciálne zlomky: Potom: [8.22.] Integračnú konštantu vyjadríme z počiatočnej podmienky: (populácia buniek v čase ). Ak predpokladáme, že, potom pre konštantu dostaneme:. Dosadením konštanty v explicitnom tvare: a úpravami vzťahu [8.22.] dostaneme riešenie diferenciálnej rovnice [8.23.] Ak, rýchlostné konštanty, potom pre ustálený stav ( ) bude. Pre dostaneme rastúcu sigmoidnú krivku a pre má krivka klesajúci priebeh, Obr Vzťah [8.23.] predstavuje model obmedzeného rastu s počiatočným exponenciálnym rastom, vývoj ktorého smeruje k stabilnému ustálenému stavu. Obrázok 8.5. Časový priebeh vývoja bunkovej populácie pre model [8.23.]. A. obmedzený rast pre:, B. pokles pre: Kinetický model distribúcie liečiva Matematické modely využívané na popis časového priebehu šírenia aplikovaného liečiva v ľudskom organizme sa nazývajú farmakokinetické modely. Priestorovú a časovú závislosť 296

297 koncentrácie podanej chemickej látky v komplexnej štruktúre organizmu ovplyvňuje celý rad fyzikálnochemických faktorov, ktoré môžeme rozdeliť medzi štyri základné pochody: absorpcia, distribúcia, metabolizmus a eliminácia. Zložitú štruktúru ľudského tela farmakokinetické modely zjednodušene popisujú ako sériu navzájom prepojených kompartmentov, idealizovaných diskrétnych oddelení, ktoré majú definovaný objem a zloženie, a v ktorých sa predpokladá rovnomerné rozptýlenie liečiva. Väčšina dejov, ktoré ovplyvňujú osud liečiva v organizme (ako sú difúzia, biotransformácia, eliminácia, filtrácia,...) sa riadia kinetikou prvého poriadku, t.j. rýchlosť zmeny koncentrácie liečiva je úmerná jeho koncentrácii násobenej rýchlostnou konštantou. Preto pohyb molekúl medzi kompartmentami je popísaný jednoduchým spôsobom pomocou rýchlostných konštánt a závislosť zmeny koncentrácie od času vo zvolenom kompartmente môžeme popísať pomocou obyčajných lineárnych diferenciálnych rovníc. Zvoľme si jednoduchý dvojkompartmentový farmakokinetický model distribúcie liečiva. Prvý kompartment bude predstavovať tráviaci trakt, do ktorého aplikujeme liečivo (tabletku) perorálne (per os). Z neho sa účinná látka absorbuje cez membrány do druhého kompartmentu (krvný obeh), ktorý účinnú látku distribuuje po celom tele. V druhom kompartmente zároveň s distribúciou prebieha aj metabolická premena účinnej látky liečiva na neaktívny metabolit a tiež eliminácia (biotransformácia), ktorou sa liečivo vylučuje z organizmu, Obr Komp. 1 Komp. 2 krvný obeh tráviaci trakt podanie p.o. absorbcia eliminácia metabolizácia Obrázok 8.6. Dvojkompartmentový model (bloková schéma) pre popis absorpcie, metabolizácie a eliminácie liečiva v krvnej plazme po jednorazovej dávke podanej p. o. Rýchlostné konštanty určujú rýchlosť absorpcie, metabolizácie a eliminácie liečiva. Počítajme funkciu, ktorá vyjadruje časový závislosť koncentrácie liečiva v krvnej plazme (t.j. v kompartmente 2) po jednorazovom podaní dávky liečiva per os, čím získame vybrané farmakokinetické parametre, ktoré je možné z tejto funkcie odvodiť. Jednorazová dávka liečiva podaná do kompartmentu 1 vytvorí v tráviacom trakte počiatočnú koncentráciu liečiva. Liečivo bude difundovať z kompartmentu 1, absorbovať sa v kompartmente 2, kde sa však bude koncentrácia liečiva znižovať v dôsledku jeho metabolizácie a eliminácie (čo sú chemické reakcie s kinetikou prvého poriadku). Vzťah pre zmenu koncentrácie s časom v kompartmente 2 vyjadruje kinetická rovnica: 297 [8.24.] kde je okamžitá koncentrácia liečiva v kompartmente 1, sú rýchlostné konštanty absorpcie, metabolizácie a eliminácie. Rovnica vyjadruje zmenu koncentracie liečiva v plazme, ktorá závisí od rýchlosti prísunu liečiva z kompatmentu 1 a rýchlosti jeho úbytku v dôsledku metabolickej premeny a eliminácie. Pre okamžitú koncentráciu liečiva platí zas kinetická rovnica prvého poriadku, ktorá opisuje jej nárast v dôsledku

298 difúzie z kompartmentu 1 (spätnú difúziu a vratnosť chemických reakcií kvôli jednoduchosti zanedbávame), s počiatočnou podmienkou: koncentrácia liečiva v kompartmente 1 v čase je rovná: dávka liečiva/objem kompartmentu 1. Rovnicu riešime separáciou premenných Integračnú konštantu vyjadríme z počiatočnej podmienky: Okamžitú koncentráciu: [8.25.] dosadíme do rovnice [8.24.]: a úpravou dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre koncentráciu liečiva v kompartmente 2: ktorú riešime metódou variácie konštánt. Najprv vyriešime homogénnu rovnicu: [8.26.] Ak integračnú konštantu považujeme za funkciu času, [8.27.] potom pre deriváciu podľa platí: Dosadíme do rovnice s pravou stranou [8.26.]: 298

299 [8.28.] Dosadením počiatočnej podmienky pre kompartment 2,, t.j. v čase (okamih podania liečiva) sa v kompartmente 2 ešte žiadne liečivo nenachádza, vyjadríme integračnú konštantu Dosadením do [8.28.] dostaneme: [8.29.] A dosadením do [8.27.] dostaneme výslednú funkciu pre časovú závislosť koncentrácie liečiva v kompartmente 2 : Táto závislosť je známa aj ako Batemanova funkcia 102, Obr [8.30.] Obrázok 8.7. Časová závislosť koncentrácie liečiva v dvojkompartmentovom modeli, Obr A. v kompartmente 1 (tráviaci trakt), vzťah [8.25.]. B. v kompartmente 2 (krvný obeh), vzťah [8.30.] ( ). 102 Harry Bateman ( ) bol britský matematik. 299

300 Z Batemanovej krivky je možné odvodiť viacero farmakokineticky relevantných parametrov. Napríklad koncentrácia liečiva dosiahne v kompartmente 2 svoju maximálnu hodnotu v čase takom, keď, teda pre bude: Biodostupnosť liečiva podávaného per os zase súvisí s veľkosťou plochy pod krivkou, s parametrom AUC (area under the curve, Obr. 8.8.), ktorý vypočítame ako určitý integrál: c max A B Obrázok 8.8. Časová závislosť koncentrácie liečiva v dvojkompartmentovom modeli, Obr. 8.6., a farmakokinetické parametre. A. plocha pod krivkou ( ). B. Plocha pod krivkou nad minimálnou efektívnou koncentráciou (MEC):. Ďalší dôležitý farmakokinetický parameter, označovaný ako, predstavuje plochu pod krivkou na intervale kedy, t.j. koncentrácia liečiva v kompartmente prekračuje tzv. minimálnu efektívnu koncentráciu liečiva ( ), t.j. koncentráciu pod ktorou sa už nepozoruje farmakodynamický efekt liečiva. vypočítame pre funkciu [8.30.] ako: 300