Οικονοµετρία Ι..Σηµειώσεις ικ. Τσερκέζου.

Transcript

1 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΟΥ ΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟΥ ΟΡΟΥ.. Παουσίαση του Πολήµατος.. Που οφίλται.. Ποις ίναι οι Επιπτώσις της Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου.. Πως λέγχται. 5. Πως ιοθώνται η Αυτοσυσχέτιση του ιαταακτικού Όου. Στο Κφάλαιο αυτό αναλύται το πόληµα της Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου στο Κλασσικό Κανονικό Γαµµικό Υπόδιγµα. Ειδικότα παουσιάζται το πόληµα, ξηγούµ κάποιους λόγους όπου θα µποούµ να οφίλται και παουσιάζονται οι πιπτώσις του πολήµατος κατά την φαµογή της µθόδου των Απλών Ελάχιστων Τταγώνων. Επιπλέον παουσιάζουµ διάφοα Στατιστικά κυίως κιτήια λέγχου και ύπαξης του πολήµατος της αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου και τέλος παουσιάζονται οι ανάλογς µέθοδοι διόθωσης.

2 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Παουσίαση του Πολήµατος.. Γαφική Παουσίαση του Πολήµατος. Μία από τις ασικές ( ποϋποθέσις φαµογής της µθόδου των Απλών Ελαχίστων τταγώνων στο Κλασσικό Γαµµικό Υπόδιγµα ίναι ότι οι τιµές του διαταακτικού όου δν πέπι να αυτοσυσχτίζονται µταξύ τους. Η ύπαξη αυτοσυσχέτισης στις τιµές του διατακτικού όου συνπάγται ότι υπάχι κάποια πληοφόηση η οποία πέπι να ληφθί υπ όψη κατά την διαδικασία κτίµησης των πααµέτων του υποδίγµατος. Στά Σχδιάγαµµατα (Γ. και (Γ. παουσιάζουµ (υποθτικές τιµές δυο διαταακτικών όων. Ο πώτος κινίται γύω από το µηδέν αλλά αυτοσυσχτίζται νώ ο δύτος κινίτ γύω από το µηδέν χωίς να αυτοσυσχτίζται Σχδιάγαµµα Γ. Αυτοσυσχτιζόµνος ιαταακτικός Όος(Πηγή: Εξοµοιωµένα Στοιχία Σχδιάγαµµα Γ.. Τυχαίος ιαταακτικός Όος.(Πηγή: Εξοµοιωµένα Στοιχία. ν θα πέπι να ξχνάµ την δύτη υπόθση του Κλασσικού Γαµµικού Υποδίγµατος ότι ( 0. Η µη συνχής αλλαγή της φοάς (πόσηµου στις τιµές του διαταακτικού όου ίναι ένδιξη ύπαξης αυτοσυσχέτισης στις τιµές του διαταακτικού όου.

3 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Η µη συνχής αλλαγή της φοάς (πόσηµου στις τιµές του διαταακτικού όου ίναι ένδιξη ύπαξης αυτοσυσχέτισης στις τιµές του διαταακτικού όου. Στον Πίνακα Γ. παουσιάζουµ ένα δίγµα ναλλαγής του πόσηµου των Χονοδιαγαµµάτων Γ. και Γ.. Είναι µφανέστατη η συχνότη ναλλαγή του Πόσηµου στην πίπτωση του Τυχαίου ιαταακτικού Όου. Πίνακας Γ. Θτικές και Ανητικές τιµές των υο µταλητών των Χονοδιαγαµµάτων Γ. και Γ.. Αυτοσυσχτιζόµνος ιαταακτικός Όος Τυχαίος ιαταακτικός Όος 988:0 ( ( 988:05 ( ( 988:06 ( (- 988:07 ( ( 988:08 ( (- 988:09 ( (- 988:0 ( (- 988: ( (- 988: ( (- 989:0 ( ( 989:0 ( (- 989:0 ( (- 989:0 ( (- 989:05 ( (- 989:06 ( ( 989:07 ( ( 989:08 ( (- 989:09 ( (- 989:0 ( ( 989: ( ( 989: (- ( 990:0 (- ( 990:0 (- ( 990:0 (- ( 990:0 ( (- 990:05 ( ( 990:06 ( (- 990:07 (- (- 990:08 (- ( 990:09 (- ( 990:0 ( (- 990: ( ( 990: ( ( Πηγή: Εκτιµήσις µας.

4 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Ένα πιπλέον γαλίο για την ανίχνυση αυτοσυσχέτισης στις τιµές νός διαταακτικού όου ίναι να συγκίνουµ γαφικά τις τέχουσς τιµές του διαταακτικού όου µ τις αντίστοιχς τιµές του την ποηγούµνη ή και ποηγούµνς πιόδους. Στα Σχδιαγάµµατα Γ. και Γ. παουσιάζουµ τις γαφικές συγκίσις των διαταακτικών όων των Σχδιαγαµµάτων Γ. και Γ. σ σχέση µ τις αντίστοιχς τιµές τους την αµέσως ποηγούµνη πίοδο. Είναι µφανέστατς οι διαφοές τους στην πίπτωση του Αυτοσυσχτιζόµνου και µη αυτοσυσχτιζόµνου ιαταακτικού Όου. Αυτοσυσχτιζόµνος ιαταακτικός Όος Σχδιάγαµµα Γ.. Σύγκιση του διαταακτικού όου µ τις τιµές του την αµέσως ποηγούµνη πίοδο (Πηγή: Εξοµοιωµένα Στοιχία. Μη Αυτοσυσχτιζόµνος ιαταακτικός Όος Σχδιάγαµµα Γ.. Σύγκιση του διαταακτικού όου µ τις τιµές του την αµέσως ποηγούµνη πίοδο (Πηγή: Εξοµοιωµένα Στοιχία.

5 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Η Αλγική Ποσέγγιση της Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου... Παουσίαση του Πολήµατος µ άση το Κλασσικό Γαµµικό Υπόδιγµα στην µοφή: ο Στο ασικό κλασσικό γαµµικό υπόδιγµα: ο,,..., η ασική υπόθση της µη ύπαξης Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου ποϋποθέτι ότι: Cv (, s / { [ ( ]/ }{ [ s ( s ]/ } ( / ( / 0 s s πιδή ( / ( / 0 Τις πισσότς όµως φοές αυτό που ισχύι ίναι ότι: Cv s (, s / { [ ]/ }{ [ s ( s ]/ } ( / ( / 0 s δηλαδή ύπαξη Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου Εφ όσον ισχύι η πααπάνω σχέση η φαµογή της µθόδου των Απλών Ελαχίστων Τταγώνων καθίσταται ποληµατική µ µια σιά από πιπτώσις στις πααµέτους, στους στατιστικούς λέγχους και τις πολέψις του υποδίγµατος. Τις πιπτώσις αυτές τις παουσιάζουµ στο αµέσως πόµνο µέος. 5

6 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 6. Παουσίαση του Πολήµατος χησιµοποιώντας το Κλασσικό Γαµµικό Υπόδιγµα υπό την µοφή µητών: (. Μία από τις ασικές υποθέσις του Κλασσικού Γαµµικού Υποδίγµατος ίναι ότι οι τιµές του διαταακτικού όου δν συσχτίζονται µταξύ τους σ διάφος χονικές πιόδους. Αυτό σηµαίνι ότι οι τιµές του διαταακτικού όου δν αυτοσυσχτίζονται. Έστω το υπόδιγµα: N N L ( ή j M j j ( Το πααπάνω υπόδιγµα υπό µοφή µήτων και για τέσσις παατηήσις των µταλητών του υποδίγµατος η πααπάνω σχέση γάφται ως ξής: ( µ ( Η διακύµανση των τιµών του διαταακτικού όου γάφται: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

7 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. σ Cv Cv Cv Cv( Cv( Cv( ( σ Cv( Cv( ( Cv( σ Cv( ( Cv( Cv( σ Φ (5 Αν υποθέσουµ ότι: σ σ σ σ σ (6 (Οµοσκδαστικότητα τότ η πααπάνω µήτα γάφται ως ξής: Cv( Cv( Cv( ( Cv( Cv( ( Cv( Cv( ( Cv( Cv( ( Cv Φ (7 Cv Cv Για να έχουµ Άιστους Γαµµικούς και Αµόληπτους κτιµητές λαχίστων τταγώνων θα πέπι: ( 0 i j Cv i, j (8 Η (8 σηµαίνι ότι οι τιµές του διαταακτικού όου, δν θα πέπι να µφανίζουν κάποια συστηµατική συµπιφοά, δηλαδή δν θα πέπι να αυτοσυσχτίζονται µ κανένα τόπο. Μία πίσης νδιαφέουσα παουσίαση του πολήµατος της αυτοσυσχέτισης του διαταακτικού όου ποκύπτι και από την συσχέτιση των τιµών του διαταακτικού όου ως ξής: (8 Γνωίζουµ ότι ( Cv, (9 σ σ Επιδή σ σ σ 7

8 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. (, Cv Cv, σ ( σ (0 άα η µήτα Φ γάφτ ως ξής: σ σ Φ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ( πιδή στο Κλασσικό Γαµµικό Υπόδιγµα ( ϕ σ I K 0 i j 0. ij θα πέπι 8

9 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Αιτίς της Ύπαξης Αυτοσυσχέτισης στις τιµές του ιαταακτικού Όου. Η Αυτοσυσχέτιση στις τιµές του ιαταακτικού Όου παουσιάζται συνήθως σ υποδίγµατα που χησιµοποιούν στοιχία χονολογικών σιών. Μικές από τις αιτίς ύπαξης αυτοσυσχέτισης ίναι οι ξίς:. Παάλιψη σηµαντικής µηνυτικής µταλητής η οποία όµως αυτοσυσχτίζται. Έστω ότι η αληθινή παλινδόµηση στον πληθυσµό ίναι η ξής: ( z γz f, ( Αν αντί της ( κτιµήσουµ την παλινδόµηση: ( z z γ ( γ 0 γ z ω ( Αυτοσυσχτιζόµνη Εµηνυτική Μταλητή τότ έχουµ το πόληµα της αυτοσυσχέτισης του διαταακτικού όου, ιδιαίτα όταν η πααληφθίσα µηνυτική µταλητή z αυτοσυσχτίζται, και ταυτόχονα δν συσχτίζται ίναι ανξάτητη της µταλητής του. Μία χονολογική σιά µφανίζι (πώτου αθµού αυτοσυσχέτιση όταν η τέχουσς τιµές της σχτίζονται αιτιοδώς µ τια αντίσοιχς τιµς της χονοσιάς την ποηγούµνη πίοδο. 9

10 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Λανθασµένη ξιδίκυση της µαθηµατικής µοφής του υποδίγµατος. Αν το υπόδιγµα µας ίναι µη γαµµικό και για κάποιο λόγο κτιµήσαµ µία γαµµική του ποσέγγιση, τότ ίναι πολύ πιθανόν να ισάγουµ αυτοσυσχέτιση στις τιµές του διαταακτικού όου. Εάν η αληθινή παλινδόµηση στον πληθυσµό ίναι της µοφής: v και αντί αυτής υπολογίζουµ στην όπου v Λανθασµένη µέτηση στις τιµές των µταλητών του υποδίγµατος µποί να οδηγήσι σ πολήµατα αυτοσυσχέτισης του διαταακτικού όου. 0

11 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου... Παάληψη ιαχονικών Επιδάσων. ΠΑΡΑ ΟΣΕΙΣ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ

12 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου... Χησιµοποίηση Επξγασµένων δοµένων. Ακτές φοές στην διαδικασία ανάλυσης νός οικονοµικού φαινοµένου αναγκαζόµθα να µτασχηµατίσουµ τα αχικά δδοµένα ίτ για την υκολία των υπολογισµών ίτ για την ύπαξη συµατότητας στα οικονοµικά µας δδοµένα. Κλασσικό και πολύ συνηθισµένο παάδιγµα ίναι η πίπτωση που έχουµ για µικά µγέθη διαθέσιµα στοιχία σ µηνιαία άση και για άλλα σ τήσια άση. Η ποιο ύκολη (όχι όµως και η καλύτη λύση ίναι να µτατέψουµ τα µηνιαία στοιχία σ τήσια και να παγµατοποιήσουµ την υνα µας έχοντας µόνο τήσια στοιχία. Στην πίπτωση αυτή ίναι πάα πολύ πιθανόν να έχουµ ισαγάγι στα στοιχία µας αυτοσυσχτιζόµνα χαακτηιστικά που θα µφανισθούν στην διαδικασία της αξιολόγησης των αποτλσµάτων µας και που µικές φοές µποί να µας αλλάξουν σ µγάλο αθµό την παγµατική ικόνα που συνδέσι τα υπο ανάλυση οικονοµικά µγέθη. Στα σχδιαγάµµατα που ακολουθούν παουσιάζουµ ανάλογς πιπτώσις όπου µια µταλητή χωίς αυτοσυσχτιση µτά από µια απλή αιθµητική πάξη όπου λαµάνουµ τις µέσς της τιµές για µια διάκια 5 ηµών µφανίζι αυτοσυσχέτιση. Daa Manipulain Simulaed Daa Original Daa Y Manipulaed Daa -Mean alues ih Spann XMN Σχδιάγαµµα Γ.. (Πηγή: Εξοµοιωµένα Στοιχία.

13 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Daa Manipulain Simulaed Daa Original Daa DP( Jul ug Sep Oc Nv Dec Jan Feb Mar pr Ma Jun Jul ug Sep Oc Nv Dec Jan Manipulaed Daa - Mean alues ih Spann XMN Jul ug Sep Oc Nv Dec Jan Feb Mar pr Ma Jun Jul ug Sep Oc Nv Dec Jan Σχδιάγαµµα Γ.. (Πηγή: Εξοµοιωµένα Στοιχία.

14 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Οι Επιπτώσις της Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου.. Γνικά.. Οι Εκτιµητές Απλών Ελαχίστων Τταγώνων των πααµέτων του υποδίγµατος 0, ξακολουθούν να ίναι Γαµµικοί, Αµόληπτοι και Συνπίς.. Ο Απλών Ελαχίστων Τταγώνων Εκτιµητής της διακύµανσης του ιαταακτικού Όου δν ίναι αµόληπτος. Συνήθως οδηγί σ υποκτίµηση της αληθινής διακυµάνσης του ιαταακτικού Όου 5. ηλαδή ισχύι ότι: ( s e σ (Αληθινή ιακύµανση του ιαταακτικού Όου συνήθως : ( s e < σ Αποδικνύται ότι: ( s [ σ ( ( /( } r]/( f ( σ,,, r e µ r. Οι Εκτιµητές των διακυµάνσων των πααµέτων του υποδίγµατος δν ίναι αµόληπτοι και συνήθως οδηγούν σ υποκτιµήσις των αληθινών διακυµάνσων. s s eˆ ( ( s e σ φόσον s e s 5 Θα µποούσαµ να πούµ στον Πληθυσµό.

15 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Τα R τίνουν να µγθυνθούν (διογκωθούν: R N υποκτίµηση ( ( ( N N άα το R τίνι να διογκωθί ( R. 5. Το saisic τίνι να διογκωθί µ αποτέλσµα να έχουµ πολήµατα στους στατιστικού λέγχους. Γνωίζουµ ότι ο στατιστικός έλγχος για την παάµτο ίναι: και s s s ( φόσον s s φόσον έχουµ να διογκωθί. e s υποκτιµάτ, έχουµ και υποκτίµηση ( bls Αυτό σηµαίνι ότι µποούµ να δχθούµ ότι το άα τίνι νώ αυτό να µην ίναι σωστό, και να οφίλται στην ύπαξη αυτοσυσχέτισης στις τιµές του διαταακτικού όου (. 6. Η F saisic τίνι να διογκωθί. Γνωίζουµ ότι F ( k, k R k R k 5

16 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Εφόσον ( R σηµαίνι ότι αυξάνι ο αιθµητής του F κιτηίου και ταυτόχονα µικαίνι η παανοµαστής. Άα έχουµ µία ουσιαστική αύξηση. 7. Οι πολέψις οι οποίς ποκύπτουν όταν το υπόδιγµα µ τον αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο κτιµηθί µ λάχιστα ττάγωνα, δν ίναι αποτλσµατικές. Αυτό σηµαίνι ότι η διακύµανση του σφάλµατος πόλψης ίναι σχτικά µγάλη. ( f σ ( ( 6

17 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 7. Αναλυτική Παουσίαση των Επιπτώσων της Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου... Οι Εκτιµητές Απλών Ελαχίστων Τταγώνων στο υπόδιγµα 0, ξακολουθούν να ίναι Γαµµικοί 6, Αµόληπτοι και Συνπίς. Αλγική Απόδιξη 7 της Αµοληψίας των Ελαχίστων Τταγώνων Εκτιµητών: 0 (Γ. Μτασχηµατίζουµ του υπόδιγµα (Γ. σ αποκλίσις από του µέσους ως ξής: 0, 0, ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( ( 6 Η απόδιξη της γαµµικότητας ίναι ανάλογη της πίπτωσης του Κλασσικού Γαµµικού Υποδίγµατος στο Κφάλαιο??????/

18 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Αλγική Επαλήθυση της Συνέπιας των Απλών Ελαχίστων Τταγώνων Εκτιµητών. p lim p lim(/ n p lim(/ n Ο Απλών Ελαχίστων Τταγώνων Εκτιµητής της διακύµανσης του ιαταακτικού Όου δν ίναι αµόληπτος. Συνήθως οδηγί σ υποκτίµηση της αληθινής διακυµάνσης του ιαταακτικού Όου 8. ηλαδή ισχύι ότι: ( σ (Αληθινή ιακύµανση του ιαταακτικού Όου s e συνήθως : ( s e < σ Αποδικνύται αλγικά ότι : ( s [ σ ( ( /( } r]/( f ( σ,,, r e µ r 7 Στο Παάτηµα δίδονται οι ανάλογς αποδίξις χησιµοποιώντας το υπόδιγµα µ Άλγα Μητών. 8 Θα µποούσαµ να πούµ στον Πληθυσµό. 8

19 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 9 Οι Εκτιµήσις των διακυµάνσων των κτιµήσων των πααµέτων που ποκύπτουν από την φαµογή της µθόδου των λαχίστων τταγώνων δν ίναι αµόληπτς και συνήθως οδηγούν σ υποκτιµήσις των αληθινών διακυµάνσων. Αλγική Επαλήθυση. Έστω το υπόδιγµα : 0 Γνωίζουµ ότι: ( ( σ Η λαχίστων τταγώνων κτίµηση της πααµέτου θα ίναι : ( ( L µ (, Έστω ότι έχουµ δύο παατηήσις. Τότ: άα, Cv Αν υποθέσουµ ότι ( ( 0, ή ( 0 Cv, Cv

20 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 0 ( ( και πιδή ( ( ( ( σ L ( σ σ σ ( ( ( ( ( σ σ Σ πίπτωση που ( 0 Cv Cv 0 # ( (. Cv ls Άα από την φαµογή των λαχίστων τταγώνων στο υπόδιγµα που ( 0 Cv, έχουµ συνήθως υποκτίµηση τις διακυµάνσις των Απλών Ελαχίστων Τταγώνων Εκτιµητών. (. Cv ls

21 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Επιπτώσις της Ύπαξης Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου στην Αποτλσµατικότητα των Πολέψων µ άση το κτιµηµένο υπόδιγµα. Οι πολέψις οι οποίς ποκύπτουν όταν οι παάµτοι του υποδίγµατος µ αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο έχουν κτιµηθί µ την µέθοδο των Απλών Ελαχίστων τταγώνων δν ίναι αποτλσµατικές. Η διακύµανση του σφάλµατος πόλψης ίναι σχτικά µγάλη. ( f σ f σ ( f ( f Αλγική Ποσέγγιση της Επίπτωσης: Οι πολέψις σ ένα υπόδιγµα µ αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο της µοφής: ( n ( n ~ N(0, σ ( n < (,, K, Οι πολέψις µας θα ασισθούν στο υπόδιγµα ( για την πίοδο,, K, s. Επιδή ˆ ˆ n λαµάνουµ αυτοσυσχτιζόµνη. Άα µποούµ να γάψουµ: ˆ a ˆ (διότι n έχι µέσο 0 και δν ίναι Εάν θέλουµ παιτέω πολέψις, θα χησιµοποιήσουµ τις σχέσις;

22 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. ˆ ˆ M ˆ s ˆ ˆ s s και φυσικά 0 όταν το s αυξάνι. Μποούµ να αναπτύξουµ πιπλέον: ( n Η πόλψη θα ίναι η ξής: µ ( ˆ ˆ ˆ Μποούµ να γάψουµ τις πααπάνω σχέσις και ως ξής: Επιδή µίς ( ( ( ( ˆ ποκύπτι ότι ( ( ˆ Εάν οι παάµτοι, και ίναι γνωστές, τότ ˆ ˆ n Το σφάλµα πόλψης λοιπόν θα έχι: σ ( ( ( ( ( ( ( ( σ σ Μ άση τα πααπάνω οι πολέψις µας θα ίναι ˆˆ ˆ n ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ

23 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. s και φυσικά 0 όταν το s αυξάνι: Μποούµ να αναπτύξουµ πιπλέον: ( n Η πόλψη θα ίναι η ξής; ( ˆ ˆ ˆ µ Μποούµ να γάψουµ τα πααπάνω και ως ξής: ( ( ( ( ˆ Επιδή µίς ποκύπτι ότι ( ( ˆ

24 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Οι Έλγχοι της Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού όου. Στο µέος αυτό θα αναπτύξουµ µια σιά από λέγχους της αυτοσυσχέτισης του διαταακτικού όου. Θα παουσιάσουµ δύο οµάδς λέγχων της αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού όου 9. Στην πώτη οµάδα 0 θα παουσιάσουµ λέγχους της αυτοσυσχέτισης που δν κάνουν καµία υπόθση για την σχέση που συνδέι τις τιµές του ιαταακτικού όου.. O Έλγχος των Ροών ( Runs es. Αυτός ο έλγχος γνικά ξτάζι κατά πόσο µια σιά ίναι ανξάτητη λέγχοντας την συχνότητα συγκκιµένων παναληπτικών σχηµατισµών µέσα στην σιά. Αν το δίγµα µιας διαδικασίας ίναι τυχαίο τότ δν πέπι να υπάχουν πολλές ή λίγς οές (runs. Μια οή καθοίζται σαν η µη-διακοπτόµνη ακολουθία του ιδίου πόσηµου ή συµπιφοάς στην σιά. Σαν παάδιγµα έστω ότι ο διαταακτικός όος τα πόσηµα των οποίων έχουν ως ξής: πιλαµάνι 0 παατηήσις (((-((-(-(-(((- Η σιά αυτή πιλαµάνι 6 οές (ναλλαγές και «-»: οές θτικών τιµών, µ αιθµό στοιχίων κάθ οής -- και οές ανητικών τιµών µ αιθµό στοιχίων κάθ οής --. Ο έλγχος της τυχαιότητας των τιµών της χονοσιάς ασίζται στην κτίµηση του Κιτηίου: 9 Οι έλγχοι αυτοί θα µποούσαν να φαµοσθούν και στην πίπτωση µας µµονωµένης χονοσιας για να λέγξουµ κατά πόσον η χονοσια µφανίζι αυτοσυσχέτιζόµνα χαακτηιστικά. 0 Στην δύτη οµάδα πιλαµάνονται έλγχοι γνικότα της αυτοσυσχέτισης ίτ αυτή µποί να ποσγγισθί για αυτοπαλίνδοµο πώτο αθµό, δυτέου αθµού, ή νός σχήµατος κινητού µέσου ή ακόµα και νός µικτού κινητού µέσου σχήµατος µ αυτοπαλίνδοµα χαακτηιστηκα RM(p,q σχήµατος. Ο Έλγχος των φοών Εναλλαγής των Πόσηµων. he runs es (als called Wald-Wlfiz es is a nn-parameric es ha checks he randmness hphesis f a -valued daa sequence

25 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 5 (ω / κ κ σ µ Z k z k < όπου: N N N N κ µ ( ( ( N N N N N N N N N N k σ k Ο Αιθµός των Ροών. N Ο Αιθµός των Θτικών Πόσηµων. N Ο Αιθµός των Ανητικών Πόσηµων.

26 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Το Q es. Έλγχος των B και Piece (970. Ένα κιτήιο λέγχου της ύπαξης αυτοσυσχέτισης στον διαταακτικό όο του Κλασσικού Γαµµικού Υποδίγµατος ίναι ο Έλγχος των B και Piece, το Q es το οποίο υπολογίζται ως ξής: L Q r j (Κατανοµή j ~ L ( χ µ L Βαθµούς Ελυθίας όπου r j ίναι Ο Απλός Συντλστής Συσχέτισης των κτιµήσων του διαταακτικού όου, και Τ ίναι ο αιθµός των ιαθσίµων παατηήσων. Αναλυτικότα ό έλγχος Q-saisic µποί να γαφί ως ξής: Q L ( r r... rs rj ~ ( L j Μ άση τα πααπάνω οι έλγχοι 5 αυτοσυσχέτισης του διαταακτικού όου ίναι οι ξίς: Η 0 : r r r 0 : Όχι αυτοσυσχέτιση Η : ~ R( p : Ύπαξη αυτοσυσχέτισης Εφ όσον Q ω αποδχόµθα την υπόθση H ( K, δηλαδή την µη ύπαξη αυτοσυσχέτισης στον διαταακτικό όο. Εφ όσον Q ω αποδχόµθα ότι υπάχι αυτοσυσχέτισης στον διαταακτικό όο ( K B P and Pierce D.,970.,Disribuin f he residuals ucrrelain Ένας από τους παλαιότους λέγχους για ανξατησία στις τιµές µιας χονοσιάς ίναι ο έλγχος Prmaneau που χησιµοποιί την συνάτηση αυτοσυσχέτισης (CF. Αν µια χονολογική σιά ίναι ανξάτητα κατανµηµένη τότ οι συντλστές αυτοσυσχέτισης (κ ίναι ίσοι µ το µηδέν για οποιαδήποτ χονική υστέηση της διαφοοποιηµένης σιάς. Ένας µπιικός τύπος για το τυπικό σφάλµα του συντλστή (κ δίνται από τους Kendall και Suar (96: S..((κΤ /. Θα πέπι να σηµιωθί ότι ο έλγχος αυτός ξτάζι την ύπαξη συσχτίσων και ξατάται από τις υποθέσις της στασιµότητας και της κανονικής κατανοµής. Εάν µια τουλάχιστον από τις υποθέσις αυτές δν ικανοποιίται, τότ η δύναµη του λέγχου αυτή δν ίναι σηµαντική. 5 Dezhbaksh, Hashed 990, fr simulain evidence n he finie sample perfrmance f he es in his seing. 6

27 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Το Ljung B (979 Κιτήιο Ελέγχου της Αυτοσυσχέτισης (Q Μια πέκταση του κιτηίου Q ή B και Pierce ίναι το κιτήιο των b Ljung B (979. Η πέκταση αυτή έγιν διότι η δύναµη (per του κιτηίου των B και Pierce ίχ πολήµατα σ µικά δίγµατα. (Βλέπ Άσκηση 5. Q L j ( ( L j r j όπου r j ίναι ό Απλός Συντλστής Συσχέτισης των κτιµήσων του διαταακτικού όου και Τ ίναι ο αιθµός των ιαθσίµων παατηήσων. 7

28 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Έλγχοι Βασισµένοι στην Πώτου Βαθµού Αυτοσυσχέτιση( v. Στην δύτη οµάδα λέγχων πιλαµάνονται έλγχοι αυτοσυσχέτισης µ άση το αυτοπαλίνδοµο σχήµα: v (. ( 0, v σ (.. ~ N v µ άση το υπόδιγµα ο (.. Η υλοποίηση των όποιων λέγχων ασίζται στην ύπαξη των τιµών του διατακτικού όου οι οποίς όµως ίναι άγνωστς. Μποούµ όµως, µ κάποις ποϋποθέσις, να χησιµοποιήσουµ τις κτιµήσις ποκύπτουν ως ξής: του διαταακτικού όου. Οι κτιµήσις αυτές (. µ ο (.5 Άα αντί της (. µποούµ (µ ποϋποθέσις να χησιµοποιήσουµ την παλινδόµηση στο δίγµα: v 8

29 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Γαφικοί Έλγχοι. Από το διάγαµµα διασποάς των κτιµήσων του διαταακτικού όου (,, K, σ σχέση µ τις ανάλογς κτιµήσις της ποηγούµνης πιόδου µποούν να ποκύψουν νδίξις ύπαξης πολήµατος αυτοσυσχέτισης των διαταακτικών όων. Ο έλγχος αυτός δικαιολογίται υποθέτοντας ότι µταξύ των και - και υφίστανται ένα σχήµα της µοφής: Ειδικότα ισχύι ότι: v Θτική (> Αυτοσυσχέτιση Ανητική (<0 Καθόλου (0 Η γαφική µηνία των πααπάνω δίδται στο Σχδιάγαµµα. Θτική Αυτοσυσχέτιση Simulaed Daa Μηδνική Αυτοσυσχέτιση Ανητική Αυτοσυσχέτιση ου αθµού Σχδιάγαµµα Γ.. Γαφικοί έλγχοι της ύπαξης αυτοσυσχέτισης πώτου αθµού µ άση το σχήµα v. 9

30 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Ο Έλγχος µ την στατιστική ( saisic. Το κιτήιο αυτό ίναι µια ποέκταση της ανάλυσης στο αµέσως ποηγούµνο µέος των γαφικών λέγχων. Το κιτήιο αυτό ασίζται στην κτίµηση του υποδίγµατος: v (,, v NID (0, σ Μ άση τον έλγχο saisic λέγχουµ την υπόθση ότι: ν H 0 : 0. ν έχουµ πώτου αθµού Αυτοσυσχέτιση H : 0.Έχουµ πώτου αθµού Αυτοσυσχέτιση. Όταν ( / : Αποδχόµθα την υπόθση µηδέν. sr /( : Αποδχόµθα την υπόθση H, δηλαδή ότι υπάχι s p αυτοσυσχέτιση πώτου αθµού. 6 6 Πέπι να ίµαστ σχτικά ποσκτικοί όσον αφοά την µηνία αυτού του αποτλέσµατος ιδιαίτα στην ύπαξη πώτου αθµού αυτοσυσχέτισης. Στο πααπάνω αποτέλσµα θα µποούσ να υπάξι η πίπτωση µγαλύτου αθµού αυτοσυσχέτισης. 0

31 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου.. Το Κιτήιο των Durbin Wasn 7 (95. Έστω v ( 0, v σ ~ NID v Οι έλγχοι που µποούν να γίνουν µ άση την ( ίναι οι ξής: H : 0 ( ν υπάχι υτοσυσχέτιση. H : 0 (Θτική Αυτοσυσχέτιση. > H : 0 (Ανητική Αυτοσυσχέτιση. < H : 0 (Απλός υπάχι Αυτοσυσχέτιση. Ο έλγχος µποί να γίνι χησιµοποιώντας τον συνλστή συσχέτισης, (, ( ( Cv Cv ( [ ( 0 ( ], 0 ( [ ] ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 J. Durbin and G. S. Wasn, esing fr Serial Crrelain in Leas-Squares Regressin, Bimerika, vl. 8, 95, pp and R. W. Farebrher has calculaed d values hen he inercep erm is absen frm he mdel. See his he Durbin Wasn es fr Serial Crrelain When here Is N Inercep in he Regressin, cnmerica, vl. 8, 980, pp

32 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Αν συµολίσουµ µ την κτίµηση του διαταακτικού όου τότ η κτίµηση του συντλστή συσχέτισης θα ίναι: / / / / Εάν υποθέσουµ για στις e e. / / Στην πάξη όµως αντί για τον συντλστή συσχέτισης χησιµοποιούµ τον δίκτη των Durbin Wasn ο οποίος ασίζται στην σχέση: DW και πιδή για µγάλα δίγµατα ο δίκτης DW γάφται ως ξής: DW ( ˆ ˆ

33 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Μ άση τα πααπάνω µποούµ να καθοίσουµ τις τιµές του D.W σ σχέση µ τον συντλστή ˆ. ( ˆ DW ( ( ( DW (Ανητική Αυτοσυσχέτιση ( 0 DW (Θτική Αυτοσυσχέτιση ( ( 0 0 DW (Καθόλου Αυτοσυσχέτιση Σχδιάγαµµα. Είδη Αυτοσυσχέτισης του ιαταακτικού Όου

34 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Πέπι να πιστήσουµ την ποσοχή στο ότι το κιτήιο των Durbin Wasn ίναι για τον έλγχο µόνο της πώτου αθµού αυτοσυσχέτισης, όπως αυτή µποί να ξιδικυθί µ το αυτοπαλίνδοµο σχήµα v Αν το πόληµα της αυτοσυσχέτισης του διαταακτικού όου µποί να ξιδικυθί µ ένα M( ή RM(, σχήµα τότ δν µποί να χησιµοποιηθί το κιτήιο των Durbin Wasn. Οι Durbin Wasn ξιδίκυσαν ακόµη πισσότο τον δίκτη των Durbin Wasn καθοίζοντας δύο νέα όια µταολής της αυτοσυσχέτισης. Το Ανώτο όι d u ( upper και το κατώτο όιο d ( Ler. Το ασικό µιονέκτηµα της διαδικασίας λέγχου για την ύπαξη ή µη αυτοσυσχέτισης µ το κιτήιο των Durbin-Wasn ίναι ότι η ακιής κατανοµή της στατιστικής d δν ίναι ακιής αλλά ξατάται τόσο από την ακολουθία των καταλοίπων όσο και από την ακολουθία όλων των τιµών των υνητικών µταλητών. Αυτό το πόληµα αντιµτωπίσθηκ από τους Durbin Wasn που έδιξαν ότι η ακιής (rue κατανοµή της d στατιστικής κυµαίνται µταξύ δύο άλλων στατιστικών, d L (κατώτο όιο και d U (ανώτο όιο, που λαµάνουν υπόψη τόσο τον αιθµό των ανξάτητων µταλητών όσο και τον αιθµό των παατηήσων του υποδίγµατος. Αυτή η κατανοµή της d στατιστικής µποί ύκολα να κατανοηθί µ τη οήθια του παακάτω σχήµατος f(d Θτική Αυτοσυσχέτιση Αέαιη πιοχή Η 0 : 0 κτή Αέαιη πιοχή Ανητική Αυτοσυσχέτιση 0 d L d U -d U -d l Όπου U Ανώτατο όιο, L Κατώτατο όιο Από αυτό το σχήµα µποούµ να συνάγουµ τα ξής συµπάσµατα: Η υπόθση Η 0 γίνται δκτή όταν η στατιστική των Durbin Wasn ίσκται ανάµσα στα όια: d U < d < -d L Η υπόθση Η 0 αποίπτται όταν η στατιστική των Durbin Wasn ίσκται στα όια: Θτική Αυτοσυσχέτιση: 0 < d < d L

35 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. νητική Αυτοσυσχέτιση: -d L < d < Η υπόθση Η 0 δν µποί να πιαιωθί όταν η στατιστική των Durbin Wasn ίσκται στα όια: d L < d < d U -d U < d < - d L Το γγονός ότι ο συντλστής αυτοσυσχέτισης κυµαίνται µταξύ του µίον ένα, για την πίπτωση πλήους ανητικής αυτοσυσχέτισης, και συν ένα, για την πίπτωση πλήους θτικής αυτοσυσχέτισης (-, συνπάγται ότι η D-W,d, στατιστική ίσκται µταξύ του µηδέν και τέσσα (0 d. Αυτό σηµαίνι ότι: Όταν 0 < d < υπάχι κάποιος αθµός θτικής αυτοσυσχέτισης και Όταν < d < υπάχι κάποιος αθµός ανητικής αυτοσυσχέτισης. Οι Durbin Wasn έχουν πινακοποιήσι τις κίσιµς τιµές των d, L για Τα και για πίπδο σηµαντικότητας a 0.05, a 0. 0, καθώς και για συγκκιµένο αιθµό µηνυτικών µταλητών κ. 5

36 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 5. Μέθοδοι ιόθωσης του Πολήµατος της Αυτοσυσχέτισης. Όπως και στην τοσκδαστικότητα έτσι και στην πίπτωση της αυτοσυσχέτισης η διόθωση της ασίζται στον µτασχηµατισµό του (αχικού υποδίγµατος µ τον αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο, έτσι ώστ ο νέος διαταακτικός όος να µην µφανίζι πλέον αυτοσυσχέτιση. Οι πλέον χησιµοποιούµνοι 8 µέθοδοι διόθωσης του πολήµατος της αυτοσυσχέτισης που ασίζονται στην υπόθση ότι ο διαταακτικός όος ακολουθί αυτοπαλίδοµο 9 πώτου αθµού n ( n 0 ( σ n Cv n (Οµοσκδαστικότητα ( n n s j 0 (Όχι Αυτοσυσχέτιση ίναι οι ξίς : ( Πώτς ιαφοές - Firs Differences. ( Η Μέθοδος των Cchrane Orcu. ( Η Μέθοδος των Prais-Winsen. ( Η Μέθοδος του Durbin - Durbin s Mehd. (5 Η Μέθοδος του Klein - Klein s Mehd (6 Η παναληπτική µέθοδος των Hildreh Liu. Στα πόµνα µέη θα παουσιάσουµ τις µθόδους διόθωσης έχοντας υποθέσι ότι οι διαταακτικοί όοι ακολουθούν ένα αυτοπαλίνδοµο πώτου αθµού. Αναλυτικά οι µέθοδοι διόθωσης της αυτοσυσχέτισης τόσο αλγικά όσο και αιθµητικά ίναι οι έξης: 8 Πόκιται για τις µθόδους διόθωσης της αυτοσυσχέτισης που συνήθως χησιµοποιούνται από τα πισσότα λογισµικά πογάµµατα(rs,spss,iws,κ.λ.π 9 Σ πόµνο µέος αυτού του Κφαλαίου αναπτύσσουµ και την πίπτωση που ο διαταακτικός όος ακολουθί ένα σχήµα κινητού µέσου. 6

37 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 5. ιόθωση της Αυτοσυσχέτισης µ την Μέθοδο των Πώτων ιαφοών (Firs Differences. Έστω το απλό γαµµικό υπόδιγµα: ( µ αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο 0 : ( n n ( ( 0 n ( ( n σ (Οµοσκδαστικότητα (5 Cv( n n s j 0 (Αυτοσυσχέτιση Για να διοθώσουµ το πόληµα της αυτοσυσχέτισης λαµάνουµ την ( µ χονική υστέηση. Αφαιούµ την (6 από την ( (6 ( ( φ (7 φ (8 ( ( ( ( φ (9 Αν υποθέσουµ, τότ n n (0 Άα µποούµ να φαµόσουµ λάχιστα ττάγωνα στην (7 για να λάουµ µία κτίµηση της πααµέτου δδοµένου ότι η διακύµανση του νέου διαταακτικού φ όου ίναι: ( ( n NID( 0, σ φ (Σταθή ιακύµανση ( ~ n 0 Αυτοπαλίνδοµο σχήµα πώτου αθµού (Firs Order uregressive Prcess. 7

38 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 8 Όσον αφοά την µέθοδο κτίµησης των πααµέτων της (7, µποούµ να γάψουµ ( ( ( ( Οι υπό πιοισµό πολέψις (cndiinal frecass θα ληφθούν όταν στην σχέση: j 0 ( υποθέτουµ ότι ˆ, δηλαδή ( ( j ο ( ( (5 Ο υπολογισµός της κτιµήτιας συνάτησης ( γίνται ως ξής: ( ˆ ˆ Min µ

39 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 5.. Η Μέθοδος των Cchrane Orcu. Έστω το απλό γαµµικό υπόδιγµα: ( µ αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο : n ( ( 0 n ( ( σ n Cv (Οµοσκδαστικότητα ( n ( n n s j 0 (Αυτοσυσχέτιση (5 Για να διοθώσουµ το πόληµα της αυτοσυσχέτισης λαµάνουµ την ( µ χονική υστέηση. Πολλαπλασιάζουµ την ( πί (5 Αφαιούµ την (5 από την ( / ( ( n (6 n (7 Η (6 µ την (7 µποί να κτιµηθί µ τχνικές γαµµικών λαχίστων τταγώνων φόσον γνωίζουµ την τιµή του. Οι Cchrane Orcu πότιναν µία γαµµική φαµογή της µθόδου των λαχίστων τταγώνων ως ξής: Αυτοπαλίνδοµο σχήµα πώτου αθµού(firs Order uregressive Prcess. 9

40 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Βήµα. Εκτιµάµ την ( µ την µέθοδο των λαχίστων τταγώνων και λαµάνουµ τις κτιµήσις του διαταακτικού όου e. ο και λαµάνουµ µία κτίµηση του συντλστή συσχέτισης ˆ, ως ξής: Βήµα. Έχοντας την κτίµηση του ˆ κτιµάµ µ OLS την σχέση ή ( ( ( ο n n ο µ ˆ ˆ Λαµάνουµ κτιµήσις των n και φαµόζουµ το κιτήιο των Durbin Wasn για να λέγξουµ άν έχουµ αυτοσυσχέτιση. Αν ούµ αυτοσυσχέτιση φαµόζουµ ακιώς την ίδια διαδικασία την οποία σταµατάµ όταν δν ούµ αυτοσυσχτιζόµνα κατάλοιπα (δηλαδή µία τιµή του δίκτη των Durbin Wasn που να πιαιώνι την µη ύπαξη αυτοσυσχέτισης. 0

41 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 5.. H Μέθοδος των Prais-Winsen. (95. Έστω το απλό γαµµικό υπόδιγµα: ( µ αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο : ( n n ( ( 0 n ( ( n σ (Οµοσκδαστικότητα (5 Cv( n n s j 0 (Αυτοσυσχέτιση Λαµάνω την ( µ χονική υστέηση: Πολλαπλασιάζουµ την ( πί Αφαιούµ την (5 από την ( / ( ( n (6 n (7 Η (6 µ την (7 µποί να κτιµηθί µ τχνικές γαµµικών λαχίστων τταγώνων φόσον γνωίζουµ την τιµή του. Αυτοπαλίνδοµο σχήµα πώτου αθµού(firs Order uregressive Prcess.

42 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 5.. Μέθοδος του Durbin. Έστω το απλό γαµµικό υπόδιγµα: ( µ αυτοσυσχτιζόµνο διαταακτικό όο : ( n 0 ( σ n Cv n n (Οµοσκδαστικότητα ( n n s j 0 (Αυτοσυσχέτιση Λαµάνουµ την ( µ χονική υστέηση Πολλαπλασιάζουµ µ, Αφαιούµ την (5 από την ( ως ξής: ( n 678 a a a a ο ( ( 0, n σ ~ NID n Μ άση την Μέθοδο του Durbin η κτίµηση των πααµέτων και θα γίνι ως ξής: Βήµα. Εκτιµάµ την µέθοδο των λαχίστων τταγώνων το υπόδιγµα (6, και λαµάνουµ την κτίµηση ˆ (συντλστές της µταλητής. Βήµα. Έχοντας την κτίµηση ˆ, την φαµόζουµ στην σχέση (6 ως ξής: Αυτοπαλίνδοµο σχήµα πώτου αθµού(firs Order uregressive Prcess.

43 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. ή n 678 ο ( (7 a n 678 ( ο a n (8 µ ˆ (9 (0 ˆ ( ˆ ˆ ( Οι κτιµήσις ˆ και που ποκύπτουν από την φαµογή της µθόδου του Durbin, έχουν απαλλαγί από το πόληµα της αυτοσυσχέτισης.

44 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου Η Μέθοδος του Καθηγητή Klein. Η µέθοδος αυτή όπως και οι ποηγούµνς µέθοδοι διόθωσης ακολουθί παόµοια διαδικασία. Λαµάνουµ την ( µ χονική υστέηση και πολλαπλασιάζουµ µ ο ( Αφαιούµ την ( από την ( και λαµάνουµ: n 678 ( ο ( αντικαθιστούµ µ γ, γ, γ, και γ της από κτίµηση πααµέτου του υποδίγµατος (. ( n ( γ γ γ γ n (5 γ ο γ γ γ ( (6 Από τη σχέση (6 ποκύπτι: γ γ γ Ο Klein πότιν την κτίµηση αυτών των πααµέτων υπό τον πιοισµό γ γ γ (7

45 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Μ άση τη µέθοδο του Klein, φαµόζουµ λάχιστα ττάγωνα (υπό τον πιοισµό (7 και λαµάνουµ κτιµήσις των γ, γ, γ και γ. Έχοντας αυτές τις κτιµήσις µποούµ να υπολογίζουµ τις πααµέτους και ως ξής: ˆ γˆ ˆ ˆ γ ˆ γ ˆ ϕ ˆ γ ˆ γ Θα πέπι να τονισθί ότι η λύση του συστήµατος των ξισώσων (6 δν µας δίδι µοναδικές τιµές των πααµέτων, ˆ και. Αυτό διότι έχουµ τέσσις τιµές για τις πααµέτους γ, γ, γ, και γ νώ µίς θέλουµ να λάουµ απλώς κτιµήσις για τις πααµέτους, ˆ και. 5

46 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου Η Μέθοδος των Hildreh & Liu 5. Η µέθοδος των H L (Hildreh Liu ίναι µία παναληπτική µέθοδος (search echnique που ασίζται στο ότι ο συντλστής συσχέτισης, λαµάνι τιµές στο διάστηµα ±. Η µέθοδος H L ασίζται στην κτίµηση της ( n ( n ( για όλς τις δυνατές τιµές που µποί να λάι ο συντλστής. Η διαδικασία υπολογισµού των πααµέτων, και γίνται ως ξής: Για διάφος τιµές του συντλστή συσχέτισης στο διάστηµα τιµών ˆ (, δηµιουγούµ τις µταλητές: ˆ ˆ και υπολογίζουµ τις πααµέτους ˆ και του υποδίγµατος: n Επιλέγουµ κίνς τις τιµές των πααµέτων, και κί όπου το Μέσο ˆ Τταγωνικό Σφάλµα (Mean Square rrr λαχιστοποιίται. 5 Cliffrd Hildreh and Jhn. Y. Liu, Demand Relains ih ucrrelaed Disrbances. Michigan Sae Universi, S echnical Bullein 76, Nvember

47 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. Η όλη µέθοδος παουσιάζται γαφικά στο Γάφηµα Ροής. ˆ ηµιουγούµ τις µταλητές ˆ και φαµόζουµ την Μέθοδο των Απλών Ελαχίστων Τταγώνων στο: n ˆ nˆ ˆ ˆ ˆ nˆ n nˆ Επιλέγουµ κίνς τις τιµές των πααµέτων ˆ, ˆ και ˆ που λαχιστοποιούν το MS nˆ 7

48 Οικονοµτία Ι..Σηµιώσις ικ. Τσκέζου. 8