ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Transcript

1 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ.. Εισαγωγή Έστω ~ (, ~ ~ (, η ακιβής λύση ός ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ τιµώ και η λύση τω ξισώσω ππασµέω διαφοώ. Το σφάλµα της ποσέγγισης τότ ίαι: F( (. ~ Το σφάλµα της ποσέγγισης µας διαφέι ως πος δύο σηµία: α Ποια ίαι η συµπιφοά του σφάλµατος καθώς η αιθµητική παάµτος τίι στο άπιο για δδοµέα, ; β Ποια ίαι η συµπιφοά του σφάλµατος καθώς ο αιθµητικός κάαβος γίται λπτότος δηλαδή, τίι στο 0 για δδοµέο ; Η δύτη ώτηση ίαι πιο σηµατική για τη ποσέγγιση αφού σκοπός τέτοιω ποσγγίσω ίαι το σφάλµα στο όιο α πλησιάζι στο 0. Και για τις δύο ωτήσις ο αιθµός τω χοικώ βηµάτω τίι στο άπιο, το οποίο µποί α οδηγήσι σ απιόιστη µγέθυση του σφάλµατος. Εώτηση: Για τη απάτηση στα πααπάω ωτήµατα για απλά ποβλήµατα, όπως η πίλυση της ξίσωσης θµότητας σ οθογωικό χωίο, στη αχή υποθέτουµ τη ύπαξη ακιβούς λύσως αλλά και τη δυατότητα στη ακιβή λύση του διαχωισµού τω µταβλητώ. Υπό κατάλληλς ποϋποθέσις η ακιβής λύση µποί α γαφί ως σιά Forir: ΘΕΩΡΗΜΑ []: Έστω η συάτηση ( και οι παάγωγοι της, οι οποίς ίαι κατά τµήµατα συχίς στο διάστηµα [-π, π] και η ( πιοδική µ πίοδο π. Τότ η ( µποί α γαφί µ µοαδικό τόπο ως σιά Forir. Στη πίπτωση σηµίου ασυέχιας οι σχέσις διαµοφώοται αάλογα. Σηµίωση: Η ποϋπόθση της κατά τµήµατα συέχιας απαιτί ππασµέο πλήθος σηµίω ασυέχιας και για τη ( αλλά και για τις πααγώγους της. Έστω το πόβληµα αχικώ και συοιακώ τιµώ: όπου (,, (.α > 0, 0 π, 0 (.β

2 9 µ κ (,0 φ( κ( π ( 0, 0 και ( π, 0 π 0 π π (.γ όπου κ σταθά. Τότ α θωήσουµ ότι η φ( -φ(- για π<<0 η ακιβής λύση του ποβλήµατος µποί α γαφί: (, ( m A m p(im m (. µ π 0 m λ, λ N m φ( p( im i (. (m π ( m λ, λ N π πm A Η σχέση (. ίαι η γικυµέη λύση του ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ τιµώ µόο α η σιά Forir για τη φ( συγκλίι απόλυτα. ηλαδή ποκιµέου α υπάχι η αάλυση της ( σ σιές Forir ίαι απααίτητο οι αχικές συθήκς α ικαοποιού τη ολοκλήωση (.. Στο σηµίο αυτό παουσιάζται το σχήµα ππασµέω διαφοώ που χησιµοποιίται για τη αιθµητική λύση του ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ τιµώ:,,...,j 0,... (.5α 0, 0, 0, (.5β 0 0 ϕ(, 0,,...J (.5γ Υποθέτουµ ότι µία µη ππλγµέη λύση τω ξισώσω ππασµέω διαφοώ µποί α γαφί ως σιά Forir. Έστω Α, και m σταθές µ m φυσικό: im A (.6 Α η πααπάω σχέση ατικατασταθί στο σχήµα ππασµέω διαφοώ (.5α τότ ικαοποιί τη διαφοική ξίσωση (.α α:

3 9 ( m (.7 ( ( os( m Α η σταθά Α πάι κατάλληλς τιµές (. τότ το άπιο άθοισµα ή σιά Forir, im (m A m [ (m ] (.8 ίαι η ακιβής λύση του ποβλήµατος µ τη µοφή τω ππασµέω διαφοώ (.5(α-γ, αφού: (α Η σιά συγκλίι οµοιόµοφα γιατί συγκλίι για τη φ( και η (m ίαι φαγµέη (β Κάθ όος της σιάς ικαοποιί τη ξίσωση ππασµέω διαφοώ, άα και το άθοισµα (γ Για 0 αάγται στη φ( άα ικαοποιούται οι αχικές συθήκς του ποβλήµατος (δ Λόγω της ιδιότητας της ( α ίαι πιττή ικαοποιούται και οι συοιακές συθήκς. Συγκίοτας τη ακιβή λύση µ αυτή που ποκύπτι από το σχήµα ππασµέω διαφοώ παατηούµ ότι διαφέου ως πος το όο που αφοά τη χοική µταβολή. Στη ακιβή λύση ο συτλστής αποµίωσης µ το χόο της ( ίαι ίσος µ p(-m. Για τη µη ππλγµέη του σχήµατος ππασµέω διαφοώ, µποούµ α παατηήσουµ ότι το (m αποτλί το συτλστή µγέθυσης ή αποµίωσης της m αµοικής για κάθ βήµα. Α οι πααπάω ααφόµοι συτλστές ααλυθού σ σιές Taylor γύω από το m 0 για τη κθτική σχέση και m0 για τη συάτηση του συηµίτοου, παατηούµ ότι συµφωού στους όους πώτης τάξως: ( ( m m m (.9α m m m (.9β Άα για ακτά µικά και αλλά και m, η λύση του σχήµατος ππασµέω διαφοώ αποτλί καλή ποσέγγιση της λύσης της διαφοικής ξίσωσης. Είαι όµως φαό ότι για συγκκιµές απαιτήσις ακίβιας όλς οι αµοικές πέα από κάποια συγκκιµέη τιµή, δηλαδή για ακτά µγάλς αµοικές δηλαδή για m>m 0 ίαι αποκλίουσς από τη ακιβή λύση αφού από τις σχέσις (.9α, (.9β η διαφοά στους όους δυτέας τάξως γίται σηµατική για οποιαδήποτ και. Μποούµ α τις αποκλίσουµ αυτές τις αµοικές θέτοτας πιοισµό ως πος τη µγέθυση σύµφωα µ βασική ιδιότητα τω κθτικώ συατήσω. Οίζουµ λοιπό ως συθήκη υστάθιας: Ma ( m (m (.0

4 9 Α η συθήκη (.0 ικαοποιίται καµία αµοική του δ µγθύται. Η απάτηση λοιπό στη πώτη ώτηση ίαι ότι το σφάλµα ποσέγγισης πααµέι φαγµέο α ισχύι η συθήκη υστάθιας (.0[]. Απόδιξη []: Ακί α αποδίξουµ ότι τόσο η ακιβής λύση όσο και η λύση που ποκύπτι από το σχήµα ππασµέω διαφοώ ίαι φαγµές. Από τη σχέση (., (. και λόγω της απολύτου σύγκλισης της φ( η ακιβής λύση (, ίαι φαγµέη καθώς τίι στο άπιο. Όσο αφοά τη αιθµητική λύση, ακί η α ίαι φαγµέη καθώς τίι στο άπιο. Είαι: [ (m ] A [ (m ] (. im (m A m (m m Αφού ισχύι η (.0 ίαι: A (. (m m Είαι όµως για τη φ( η σιά Forir απολύτως συγκλίουσα οπότ το άπιο άθοισµα που µφαίζται στη πααπάω σχέση συγκλίι, οπότ ίαι και φαγµέο. Άα και η αιθµητική λύση ίαι φαγµέη. Εφαµόζοτας τη συθήκη υστάθιας στο πόβληµα (.5 παατηούµ ότι ο συτλστής µγέθυσης (.7 ίαι παγµατικός αιθµός µικότος του. Για α ισχύι η συθήκη ακί α µη γίται µικότος του. Για α συµβαίι αυτό ακί α ισχύι: (. Η πααπάω µέθοδος υστάθιας µ τη χήση σιώ Forir ίαι γωστή και ως µέθοδος vo Nma και µποί α πκταθί και σ ποβλήµατα όπου µία συιστώσα της ακιβούς λύσης α αυξάται κθτικά στο χόο, χησιµοποιώτας αάλογη συθήκη που α πιτέπι όµως τη αύξηση στο χόο, όπως θα δούµ παακάτω. Εώτηση : Όπως ποααφέαµ πιο σηµατική από τις ωτήσις ίαι αυτή που αφοά τη συµπιφοά του σφάλµατος όσο ο αιθµητικός κάαβος γίται όλο και πιο λπτός. Έστω το σηµίο (, ίαι έα σηµίο σ έα κάαβο µ βήµατα και για το οποίο έχι υπολογιστί η λύση του ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ τιµώ µ το σχήµα τω ππασµέω διαφοώ. Ποκιµέου α βλτιώσουµ τους υπολογισµούς δηµιουγούµ όλο και λπτότους κάαβους και ξαακάουµ τους υπολογισµούς. Η τιµή του για το συγκκιµέο χόο τίι στο άπιο και ίαι ξκάθαο ότι και σ αυτή τη πίπτωση πέπι α αποφυχθού συτλστές µγέθυσης µ απόλυτη τιµή µγαλύτη του, όπως και στη ποηγούµη πίπτωση, αφού από τη σχέση (.8 η ακιβής λύση του σχήµατος ππασµέω διαφοώ αποκλίι για τιµές του µγαλύτς από. Για το λόγο αυτό θωούµ

5 95 κάαβο µ βήµατα /Κ και /Κ όπου Κ φυσικός µ και τέτοια ώστ α ισχύι η συθήκη (. οπότ και η (.0. Έστω (, η λύση του σχήµατος ππασµέω διαφοώ στο σηµίο (, και (, η ακιβής λύση στο σηµίο αυτό, όπου. Τότ α ισχύι η (.0, η λύση (, συγκλίι στη (, για κάθ καθώς το Κ τίι στο άπιο. Απόδιξη []: Έστω m 0 έας θτικός ακέαιος. Για δοσµέο Κ ίαι: / m ( im / (m (m A m m m m m 0 0 (. Για το δύτο άθοισµα λόγω της (.0 και του αητικού κθέτη της κθτικής συάτησης, ισχύι: m > A (.5 m 0 (m m Το πααπάω άθοισµα µποί α γίι οσοδήποτ µικό ακί α πιλέξουµ ακτά µγάλο m 0 αφού η σιά Forir για τη φ( ίαι απολύτως συγκλίουσα. Για α υπολογίσουµ το πώτο άθοισµα παατηούµ ότι έχι τη µοφή αθοισµάτω ( λ όπου, λ οι συτλστές µγέθυσης. Όµως ισχύι: ( λ ( - λ ( - - λ... λ - (.6 Αφού τα και λ ίαι µικότα του, ο δύτος παάγοτας ίαι µικότος του. Για το πώτο παάγοτα χησιµοποιώτας τα ααπτύγµατα σ σιές Taylor (.9α, (.9β έχουµ m P (m m ( ( (.7 όπου Ρ κάποιο πολυώυµο µ µταβλητή τη παάσταση στη παέθση. Η πααπάω παάσταση ίαι φαγµέη καθώς η µταβλητή του πολυωύµου βίσκται στη πιοχή αάπτυξης τω σιώ (.9α, (.9β αφού ο τίτος όος τίι στο 0, ο δύτος και ο πώτος όος ίαι σταθοί σύµφωα µ τη υπόθση που έχι γίι για τη υποδιαίση του καάβου. Έστω το φάγµα α ίαι Β. Τότ: m m 0 m B A m B ( m ( m 0 ( m A m (.8 Επιλέγοτας µγάλο m 0 ποκιµέου α κάουµ ακτά µικό το άθοισµα Σ πιλέγουµ µικό για α κάουµ µικό το άθοισµα Σ. Μ αυτό το τόπο

6 96 µποούµ α έχουµ οσοδήποτ µικό σφάλµα ποσέγγισης θέλουµ πιλέγοτας το Κ α ίαι ικαοποιητικά µγάλο. Συοπτικά, δύο πιπτώσις υστάθιας έχου µλτηθί. Στη µία πίπτωση µ σταθό αφήσαµ το α τίι στο άπιο ή ατίστοφα, στη δύτη πίπτωση κατώτας το σταθό αφήσαµ το α τίι στο άπιο. Και στις δύο πιπτώσις ίαι ααγκαία η συθήκη (. ποκιµέου α αποφύγουµ τα κάθ ίδους λάθη, στο υπολογισµό της λύσης αιθµητικά µ το σχήµα ππασµέω διαφοώ, α γίου τόσο πολύ µγάλα ώστ τα αποτλέσµατα του υπολογισµού α γίου ααξιόπιστα. Στη παγµατικότητα η ααξιοπιστία τω αποτλσµάτω χιάζται µικούς κύκλους υπολογισµού για α µφαιστί α δ ισχύι η πααπάω ααφόµη συθήκη. Οπότ κάθ φοά που χησιµοποιούµ σχήµατα ππασµέω διαφοώ για το υπολογισµό ποσγγιστικώ λύσω σ ποβλήµατα αχικώ και συοιακώ συθηκώ ίαι απααίτητο α γωίζουµ τις συθήκς που πέπι α ισχύου ώστ α ίαι υσταθής... Συτλστής µγέθυσης Στο παάδιγµα πίλυσης ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ συθηκώ µ χήση σχήµατος ππασµέω διαφοώ που χησιµοποιήσαµ (.5α ο συτλστής µγέθυσης ποέκυψ α ίαι µοαδικός. ηλαδή, το στο συγκκιµέο πόβληµα ποκύπτι ως η µοαδική λύση από τη ξίσωση που ποκύπτι α ατικαταστήσουµ τη σχέση (.6 στη (.5α. Αυτό οφίλται στο γγοός ότι το πόβληµα ίαι µοοδιάστατο στο χώο αφός και αφτέου ότι το χησιµοποιούµο σχήµα ππασµέω διαφοώ ίαι δύο βηµάτω ως πος το χόο δηλαδή µποί α γαφί ως: B B0 (.9 όπου Β 0 Β 0 (, και Β Β (,, τλστές πάω στη συάτηση. Α γικά υπάχι B τότ υποθέτοτας ότι f( ίαι Β 0 Β 0 (, Β 0 (, Β Β (, Β ( και C B Β 0 η πααπάω σχέση γίται: C( (.0 Η πααπάω σχέση όπως ααφέαµ οοµάζται σχέση δύο βηµάτω γιατί µόο δύο χοικά βήµατα πιλαµβάοται σ αυτή, το ( και το. Στη πίπτωση που το πόβληµα αχικώ και συοιακώ τιµώ αφοά χωικές µταβλητές, (,(,..,( τότ η ακιβής λύση του ποβλήµατος µ χήση τω σιώ Forir παίι τη παακάτω µοφή, όσο αφοά τη λύση ως πος τη χωική παάµτο: ( A p(ik (. ( k k

7 97 Όπου k έα διάυσµα-παάµτος τω σιώ Forir, διάστασης που στη απλή πίπτωση που ίαι φυσικός αιθµός. Στη αιθµητική λύση οι πααπάω σιές παίου τη µοφή: i( k (, A (. (k k όπου A οι συτλστές τω σιώ Forir ατίστοιχοι µ τη (. και ( k p[ i(k ] p{i[k ( k (.. k ( ]} (. Τότ στη σχέση (.0 λόγω χωικής πολυδιάστασης ατιστοιχί και ο όος k: ( C(, k ( (. όπου C πίακας τλστής. O πααπάω πίακας καλίται τλστής µγέθυσης. Στη πίπτωση του ποβλήµατος πααδίγµατος (.5 πιδή αποτλίται από έα στοιχίο κφυλίζται σ συτλστή µγέθυσης. Στη πίπτωση που το πόβληµα αχικώ και συοιακώ τιµώ που µλτάµ στη µοφή ππασµέω διαφοώ που έχουµ πιλέξι πιλαµβάι πλέο τω δύο χοικώ βηµάτω, τότ ίαι της µοφής B B.. B q q q q 0 0 (.5 όπου B q,,b 0 ααφέοται στους τλστές ππασµέω διαφοώ. Μ αάλογς συοιακές συθήκς η πααπάω σχέση µποί α λυθί µοαδικά ως πος τη q. Θωώτας C C ( B q B 0,..., q (.6 και q q v~ (.7 : Τότ ίαι Cq I C ~ 0 : 0 C q 0 I : :... : I C0 0 0 : 0 (.8

8 98 και τλικά v~ C ~ (, k v~ (.9 Σ κάθ πίπτωση λοιπό η σχέση (. µας δίι το πίακα τλστή µγέθυσης. Η καοικότητα ή µη του πίακα αυτού καθοίζι και τη συθήκη υστάθιας η οποία στη γική πίπτωση έχι τη µοφή C (, k για 0 < < τ 0 Τ (.0 όπου τ ίαι η µέγιστη τιµή που µποί α πάι το. Μ τη πααπάω σχέση ααφέται ότι ο τλστής πίακας αυτής της µοφής πέπι α ίαι οµοιόµοφα φαγµέος. Στη Θωία Τλστώ [] α F ίαι έας τλστής στο χώο τλστώ B, ο οποίος έχι τη µοφή πίακα F(k µέσω µιας ξίσωσης της µοφής: w (k F(kv(k (. τότ ο τλστής φάσσται µ το παακάτω τόπο: F Ma F(k (. F (k όπου για δοσµέο k το φάγµα του πίακα F(k δίται από: F(k F(kv Ma F(kv Ma (. v v 0 v Οπότ F (k ίαι το µέτο ή όµα του πίακα F(k που υπολογίζται µέσω µτασχηµατισµού του πίακα. Άα η συθήκη υστάθιας αφοά και τη παάµτο διάυσµα k. Οπότ η συθήκη υστάθιας απαιτί για κάποιο θτικό αιθµό τ οι πίακς : (, k C για 0 < < τ 0 Τ k (. α ίαι οµοιόµοφα φαγµέοι. Όπου N στη πίπτωση που. Α F ίαι έας τταγωικός πίακας διάστασης και λ i, i,.., οι ιδιοτιµές του πίακα, η µέγιστη τω ιδιοτιµώ κατά απόλυτη τιµή οοµάζται φασµατική ακτία. Α R(, k ίαι η φασµατική ακτία του F, τότ ισχύι: Αγγλ. Spral rais

9 99 F R (.5 αφού ο λόγος Fv v δ ίαι µικότος από τη τιµή που ποκύπτι α στη θέση του v ατικαταστήσουµ το ιδιοδιάυσµα που ποκύπτι από τη φασµατική ακτία. Είαι γωστό από τη Γαµµική Άλγβα ότι η φασµατική ακτία του F ίαι R. Επίσης ισχύι: F Ma v 0 F(Fv Fv Fv v Ma v 0 w 0 Fw w Fv v F F F (.6 Οπότ τλικά η συθήκη υστάθιας απαιτί για κάποιο χόο ο συτλστής µγέθυσης: R (, k C(, k C(, k για 0 < < τ 0 < Τ k (.7 α ίαι οµοιόµοφα φαγµέος. Το απλούστο παάδιγµα αιθµητικής πίλυσης ποβλήµατος µ τη µέθοδο ππασµέω διαφοώ, του οποίου η µλέτη του συτλστή µγέθυσης α καταλήγι σ πίακα-τλστή, ίαι η κυµατική ξίσωση:, os.>0 (.8 Χησιµοποιώτας το παακάτω σχήµα ππασµέω διαφοώ ( (.9 παατηούµ ότι δ έχουµ τη πίπτωση ποβλήµατος δύο βηµάτω, δηλαδή δ έχουµ µόο και, αλλά και -. Θέτοτας y (.0 η ξίσωση.9 διαµοφώται σ πόβληµα δύο βηµάτω, αφού διαµοφώται στο παακάτω σύστηµα ξισώσω: y y ( (. Το πααπάω σύστηµα µ τη χήση τω σχέσω

10 00 y A Aξ im im (. καταλήγι στο παακάτω τλστή-πίακα µγέθυσης G a (, m 0 (. όπου a / και -os(m. Το χαακτηιστικό πολυώυµο του πααπάω πίακα ίαι λ λ 0 (. όπου a. Οι ίζς που ποκύπτου ίαι: λ ± (.5, Α τότ ma(λ i ίαι µγαλύτο του οπότ δ ισχύι η συθήκη (.0. Α < οι λύσις ίαι συζυγίς µιγαδικές µ µέτο. Άα η σχέση που ποκύπτι από τη φαµογή της συθήκης (.0 ίαι ( os( m < (.6 Από τη οποία ποκύπτι η τλική συθήκη υστάθιας για τη κυµατική ξίσωση: < (.7 Εαλλακτικά η ατικατάσταση τω σιώ Forir στο σχήµα ππασµέω διαφοώ, στη πίπτωση πολυβηµατικού αλγοίθµου (.5 µας δίι µια πολυωυµική ξίσωση τάξως q ως πος η οποία ατιστοιχί στη χαακτηιστική ξίσωση του τλστή µγέθυσης... Συθήκη Vo Nma Στη ποηγούµη παάγαφο καταλήξαµ στο συµπέασµα ότι η λύση ός ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ τιµώ µ τη αιθµητική µέθοδο τω ππασµέω διαφοώ, ποκιµέου α ίαι υσταθής µ τη έοια που δώσαµ στη υστάθια στη ατίστοιχη παάγαφο αυτής της γασίας, απααίτητη συθήκη ίαι η ύπαξη µιας σταθάς C έτσι ώστ

11 0 R 0 < < τ για 0 < Τ k (, k C (.8 Τότ θα ισχύι: R (,k C, Τ 0 (.9 οπότ Τ (, k R (.50 C Γικά µποί α ισχύι C και τλικά λ. Η συθήκη υστάθιας (.0 ποέκυψ από τις ιδιότητς της κθτικής συάτησης (.9 για το συτλστή µγέθυσης της ακιβούς λύσης του ποβλήµατος (.. Αάλογα για κάποιο άλλο πόβληµα µποί ο συτλστής µγέθυσης α έχι κθέτη θτικό αιθµό οπότ η συθήκη (.0 δ θα αταποκίται στις αάγκς του ποβλήµατος. Παακάτω πιγάφται ααλυτικά µία τέτοια φαµογή. Τ Για στο διάστηµα 0 < < τ, η έκφαση C στη πίπτωση αυτή ίαι φαγµέη από τη γαµµική έκφαση της µοφής C, όπου C σταθός αιθµός ξατώµος αποκλιστικά από το τ και το C. Από το οισµό της φασµατικής ακτίας ποκύπτι τότ ( R(, k λ O για 0 < < τ i,..., p (.5 όπου λ,...,λ G, k σ φθίουσα σιά. Η πααπάω σχέση αποτλί τη συθήκη υστάθιας vo Nma. Στη ισαγωγή της υστάθιας χησιµοποιήθηκ ως συθήκη η σχέση (.0 η οποία κατέληξ µ τη θωία που ααπτύξαµ α έχι ατίστοιχα τη παακάτω µοφή: ίαι οι ιδιοτιµές του τλστή µγέθυσης ( λ (.5 Πολλές κατηγοίς ποβληµάτω συοιακώ και αχικώ τιµώ, όπως ήδη ααφέαµ αφοού κθτική αύξηση για κάποια από τις συιστώσς της ακιβούς λύσης ως πος το χόο. Συθήκς υστάθιας όπως η (.0 δ πιτέπου σ αυτού του ίδους τα ποβλήµατα τέτοια αύξηση. Για αυτό το λόγο χησιµοποιίται η γικυµέη συθήκη υστάθιας (.5 η οποία πιτέπι ικαή αύξηση. Εφαµογή: Εφαµογή της πααπάω συθήκης (.5 αποτλί το τοποποιηµέο πόβληµα διάχυσης

12 0, > 0, > 0 (.5 Α γάψουµ τη ξίσωση ππασµέω διαφοώ της πααπάω διαφοικής ξίσωσης, τότ ποκύπτι: ( (.5 Τότ ο συτλστής µγέθυσης ποκύπτι από τη ατικατάσταση της (.6 στη (.5. Η λύση της ξίσωσης που ποκύπτι ως πος ίαι: m G(,m si (.55 ( και ίαι φαό ότι η συθήκη υστάθιας vo Nma ικαοποιίται α ισχύι: ( os. / (.56 όπως ίχ υπολογιστί για τη µη τοποποιηµέη ξίσωση διάχυσης.. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟΟΥ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ VON NEUMANN ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ.. Εισαγωγή Η συθήκη υστάθιας vo Nma ααφέται στη αιθµητική υστάθια της µθόδου τω ππασµέω διαφοώ. Αάλογα µ τη µοφή του ποβλήµατος η αιθµητική υστάθια πιτυγχάται υπό ποϋποθέσις. Οι ποϋποθέσις αυτές ποκύπτου από τους πιοισµούς που θέτουµ στη «βοηθητική» ααλυτική λύση που ποκύπτι από σιές Forir και συγκκιµέα στο µέος της λύσης που αφοά τη χοική µταβολή. Αάλογα µ τη µοφή του διαχυτικού χαακτήα του ποβλήµατος ποκύπτου και οι πιοισµοί για το συτλστή µγέθυσης που ποκύπτι από τη ατικατάσταση της σχέσης (.6 στο χησιµοποιούµο σχήµα ππασµέω διαφοώ. Ειδικά όµως η ααφόµη συθήκη µποί α φαµοστί σ πολλά ποβλήµατα χωίς α πηάζται από το διαχυτικό χαακτήα του ποβλήµατος. Θα φαµόσουµ τη συθήκη υστάθιας vo Nma στη αιθµητική λύση µ τη µέθοδο τω ππασµέω διαφοώ του ατιστόφου ποβλήµατος βαθιάς καθίζησης µ τη µέθοδο καοικοποίησης. Το πόβληµα αχικώ και συοιακώ τιµώ ίαι το ακόλουθο

13 0 για ( (.57α 0 ; 0 < (.57β και (,0 (, (α.σ. (.57γ (, 0 (σ.σ. (.57δ ( (0, 0 (σ.σ. (.57 ( (, 0 (σ.σ. (.57στ όπου η λύση στο υθύ πόβληµα βαθιάς καθίζησης και η λύση του ατιστόφου ποβλήµατος. Το πααπάω πόβληµα σύµφωα µ τη διαχυτική µοφή που µφαίστηκ στο υθύ πόβληµα ααµέται α όχι πιβάλλται α µφαίζι αύξηση τω υπολογιστικώ τιµώ ως πος το χόο. Συθήκς υστάθιας όπως η (.0 αποτέπου τη ύπαξη όπως έχουµ δίξι αυτής της διαχυτικής συµπιφοάς του ποβλήµατος. Στο συγκκιµέο πόβληµα οι απαιτήσις για πιοισµέα αυξαόµο καταλήγου στη συθήκη που µαθηµατικά κφάζται από τη σχέση (.5. Σύµφωα µ τη συθήκη vo Nma η υστάθια της αιθµητικής λύσης του ατιστόφου ποβλήµατος διαχύσως ξασφαλίζται α υπό ποϋποθέσις, οι οποίς ξατώται από τις αιθµητικές πααµέτους του ποβλήµατος, ισχύι (,, κ (.58 µ (, M 0 κ (.59 για µικά,. Η πααπάω ααφόµη συθήκη διαµοφώται αάλογα µ τη µοφή κάθ ποβλήµατος και ατίστοιχα κάθ ξίσωσης... Εφαµογή στο ατίστοφο πόβληµα Μέθοδος καοικοποίησης Η διακιτοποιηµέη µοφή της µικής διαφοικής ξίσωσης µτά από ατικατάσταση της (.6 µτατέπται στη ξίσωση της υστάθιας για το συτλστή µγέθυσης. Οπότ από τη σχέση

14 0 ( ( ( 6 ( ( (.60 µ τη ατικατάσταση της (.6 έχι τη µοφή im( im( im im( im( im( im im( im( im( im im (.6 η οποία καταλήγι στη παακάτω ξίσωση: i i i i i i i i (.6 όπου [0.8,.0]- (.6 0. (.6 ], [ (.65 [0,.0] (.66 Στις πααπάω ααφόµς πααµέτους παατηούµ ότι συµπιλαµβάοται οι όοι και οι οποίοι ατιστοιχού στις µταβλητές του ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ τιµώ - και. Η υστάθια όµως πιβάλι ως µταβλητές α ίαι τα αιθµητικά στοιχία του ποβλήµατος. Για αυτό το λόγο θωούµ τις πααπάω µταβλητές ως πααµέτους µ τιµές, αυτές που παίου σ όλς τις χοικές και χωικές φάσις του ποβλήµατος. Σύµφωα µ τη υστάθια που µλτήσαµ σ ποηγούµη παάγαφο µας διαφέι η συµπιφοά της/τω ίζας/ιζώ της ξίσωσης καθώς τα, κιούται πος το 0. Είαι

15 05 i si f f si 6 si (.67 Για το οποίο πέπι α ισχύι: 0 (.68 το οποίο ξασφαλίζται α R( f 0. Η πααπάω συθήκη ξασφαλίζται α ισχύι: 0 (.69 όπως ύκολα ποκύπτι από τη (.67 αφού η σχέση (si (λ/ (λ ίαι πολύ κοτά στο για τις χησιµοποιούµς τιµές. Η σχέση (.69 ξασφαλίζι τη ισχύ τόσο της (.57, όσο και τη ισχύ του αιστού µέλους της αισότητας (.59 αφού ίαι ισοδύαµς. Στη πίπτωση όµως που δ ισχύι η πααπάω συθήκη, όπως στη πίπτωση που µλτάµ θα πέπι α διυήσουµ πισσότο και α καταλήξουµ σ πιο πίπλοκη αλλά πίσης µη ππλγµέη σχέση για το. Πέπι α ισχύι: R( f R(f Im(f 0 (.70 Α Im( f τότ η πααπάω σχέση ισχύι πάτα. Εαλλακτικά πέπι α ισχύι: Im (f si ( / < για (.7 Στη πίπτωση τη οποία µλτάµ ισχύι η δύτη πίπτωση της πααπάω σχέσης. Το µέτο της f ίαι φθίουσα συάτηση του στο διάστηµα (0, οπότ το µικότο άω φάγµα του µέτου της f ίαι το (Παάτηµα Η: lim ( f 0 (.7 Στο Παάτηµα Η µφαίζοται πίσης οι πιθαές τιµές που µποί α πάι η πααπάω παάσταση. Η πααπάω ποσότητα αποτλί δικτικό συτλστή µγέθυσης για τη χοική µταβολή της (,. Όσο πιο µγάλος ίαι ο πααπάω συτλστής τόσο πιο πολύ αποκλίι η αιθµητική λύση από τη παγµατική.

16 06.. Μτπξγασία πίλυσης Εισαγωγή στη σύγκλιση Για ικαοποιητική υστάθια στο πόβληµα που ατιµτωπίζουµ δ µας διαφέι µόο η συθήκη (.58 όπως µφαίζται αλλά ακόµη πισσότο θα µλτήσουµ το αποτέλσµα της πίλυσης. Αφού έχουµ ξασφαλίσι τη συθήκη υστάθιας του ποβλήµατος όπως και στη πίπτωση της σύθτης πααγώγου θα µλτήσουµ τη ταχύτητα σύγκλισης του αλγοίθµου. Είαι φαό ότι ο παάγοτας µ το οποίο γίται µτήσιµη η ταχύτητα σύγκλισης ίαι το µέτο της f το οποίο ξατάται από το si(. Στο Παάτηµα Η µφαίζται η µοφή τω συατήσω, si(, si(/. Είαι φαό ότι πολύ κοτά στο 0 και πίπου για τιµές < 0. ίαι: f O( (.7.. Εφαµογή στο ατίστοφο πόβληµα Μέθοδος καοικοποίησης Η φαµογή της συθήκης υστάθιας vo Nma στη αιθµητική λύση µ τη µέθοδο τω ππασµέω διαφοώ του ατιστόφου ποβλήµατος βαθιάς καθίζησης µ τη µέθοδο καοικοποίησης ατιµτωπίζται σ αυτή τη παάγαφο. Το πόβληµα αχικώ και συοιακώ τιµώ ίαι το ακόλουθο για ( (.7α 0 ; 0 < (.7β και (,0 (, (α.σ (.7γ ( (0, 0 (σ.σ. (.7ζ (, 0 (σ.σ. (.7στ ( (,0 (, (α.σ (.7δ Οι απαιτήσις υστάθιας ίαι κοιές µ αυτές της καοικοποιήσως της µθόδου (,, κ (.75 µ

17 07 ( M, 0 κ (.76 για µικά,. Εφαµόζουµ τη µέθοδο υστάθιας στο έο σχήµα ππασµέω διαφοώ: ( ( (.77 δηλαδή ατικαθιστούµ τη (.6 στο σχήµα που ποκύπτι από το οποίο έχι απαλιφθί ο συτλστής Α: m i( im m i( m i( im m i( m i( im m i( ( (.78 καταλήγουµ σ µια δυτοβάθµια ξίσωση (Παάτηµα Θ ως πος το συτλστή µγέθυσης µ τη παακάτω µοφή: ( ( 0 (.79 όπου >0 (.80 >0 (.8 ( ( ( si i (.8

18 08 µ ( os( (.8 [0.8,.0]- (.8 0. (.85 [0,.0] (.86 [ ], (.87 Όµως si( και (.88 για µικές τιµές του. Οπότ >0 (.89 >0 (.90 ( i ( (.9 και µ απαλοιφή του ίαι >0 (.9 >0 (.9 ( i ( (.9 Η λύση της πααπάω ξίσωσης ίαι, ( ± ( ( ( ± ( ( ( (.95 Είαι φαό πως ότα τίι στο 0 τότ οι ίζς τίου στο. Παατηούµ ότι

19 09 >0, >0, R( >0, Im( >0 (.96 Οπότ ( ( ( ( ma ( ( ma ( ( ma ( ( ma (.97 όπου >0 (.98 i µ R( >0, Im( >0 (.99 Η αάπτυξη σ σιές γύω από το τω πααπάω πααστάσω µας δίι (Παάτηµα Θ: ( ( ( O O ( Μτπξγασία πίλυσης Εισαγωγή στη σύγκλιση Για ικαοποιητική υστάθια στο πόβληµα που ατιµτωπίζουµ δ µας διαφέι µόο η συθήκη (.58 όπως µφαίζται αλλά ακόµη πισσότο θα µλτήσουµ το αποτέλσµα της πίλυσης. Αφού έχουµ ξασφαλίσι τη συθήκη υστάθιας του ποβλήµατος όπως και στη πίπτωση της σύθτης πααγώγου θα µλτήσουµ τη ταχύτητα σύγκλισης του αλγοίθµου. Είαι φαό ότι η µταβλητή ως πος τη οποία γίται µτήσιµη η ταχύτητα σύγκλισης ίαι η. Από τη σχέση (.99 ίαι καθώς το τίι στο 0 ( O O( (.0

20 0. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΣΕΙΡΩΝ TAYOR ΣΥΓΚΛΙΣΗ.. Εισαγωγή Σύµφωα µ τις υποθέσις που έγια για τη υστάθια, η λύση του ός ποβλήµατος µ τη χήση ππασµέω διαφοώ συγκλίι στη ακιβής λύση, ά για, (ατίστοιχα τίου στο 0, ικαοποιίται η συθήκη υστάθιας του αιθµητικού αλγοίθµου. µας διαφέι όµως µόο η σύγκλιση αιθµητικής και ακιβούς λύσης αλλά για πακτικούς λόγους και η ταχύτητα σύγκλισης τω δύο λύσω. Στη παάγαφο αυτή µλτάται το θωητικό υπόβαθο της µλέτης της ταχύτητας σύγκλισης στη βάση του σφάλµατος ποσέγγισης µ χήση σιώ Taylor. Έστω ~, ~ ( (, ~ (.0 η ακιβής λύση του ποβλήµατος µ συχής µικές πααγώγους. Από τη χήση τω σιώ Taylor µ υπόλοιπο έχουµ: ~! ~ ~ ~ θ (.0 ~! ~! ~! ~ ~ ~ θ (.0 ~! ~! ~! 6 ~! ~! ~! ~! ~! ~! ~! ~! ~! ~ ~ ~ ~ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ (.05 και παόµοις κφάσις για τα ~, ~ και τις υπόλοιπς µοφές τω πος τα πίσω ππασµέω διαφοώ και θ κ, κ.. αιθµοί µταξύ 0 και. Θωούµ ως παάδιγµα τη ξίσωση Eisi Kolmogorov: Αγγλ. raio rror

21 , >0 (.06 µ «µπός» σχήµα ππασµέω διαφοώ για µική παάγωγο ως πος το χόο. Αφού η ακιβής λύση ικαοποιί τη διαφοική ξίσωση θωούµ το τλστή: Φ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ (.07 Ατικαθιστώτας τις πααπάω σχέσις στο τλστή καταλήγουµ: ( ( ( [ ] O O ~ ~ ~ ( ~ Φ θ θ θ (.08 Το πααπάω αποτέλσµα µποί α µηυθί ως ακολούθως: Υπάχου δύο σταθές Κ και Κ ξατώµς από τη ~, έτσι ώστ η απόλυτη τιµή του τλστή Φ α ίαι µικότη η ίση από Κ ( Κ ( για οσοδήποτ µικά,. Καλούµ το αποτέλσµα του τλστή Φ σφάλµα ποσέγγισης. Το αποτέλσµα του τλστή µας δίι τη πληοφοία της ταχύτητας σύγκλισης της αιθµητικής λύσης στη ακιβή καθώς ο αιθµητικός κάαβος γίται όλο και πιο λπτός []. Οπότ µ τη χήση της υστάθιας και του τλστή Φ αποδικύται η σύγκλιση, ός από τα τία στοιχία που χιάζοται για το ποσδιοισµό ός ποβλήµατος, που από τη αχική του µοφή θωίται µη καλώς οισµέο, ως καλώς οισµέου... Εφαµογή στη µέθοδο καοικοποίησης Ατικαθιστώτας στο παακάτω σχήµα ( ( ( 6 ( ( (.09 το αιθµητικό λάθος ίαι (Παάτηµα Ι: ( O( O( ~ ~ 6 ~ ~ Φ (.0 Άα υπάχου δύο σταθές Κ και Κ ξατώµς από τις πααµέτους του ποβλήµατος, έτσι ώστ η απόλυτη τιµή του τλστή Φ α ίαι µικότη η ίση από Κ ( Κ ( για οσοδήποτ µικά,. Όσο µικότς τιµές του και

22 θωήσουµ για τη λύση του ποβλήµατος µ τη µέθοδο τω ππασµέω διαφοώ τόσο καλύτη σύγκλιση παγµατικής και αιθµητικής λύσης θα έχουµ. Κατά συθήκη η πιλογή αιθµητικώ πααµέτω πιβάλλι <<<. Παατηώτας τη σχέση (.0 µποούµ α συµπάουµ ότι ο κύιος παάγοτας που πηάζι το σφάλµα ποσέγγισης ίαι αυτός που αφοά το. Ο συτλστής Κ ξατάται από τις πααγώγους της ως πος, τη χωική µταβλητή και τη χοική µταβλητή -. Το χωικό σηµίο τω αιθµητικώ υπολογισµώ το οποίο πηάζται σηµατικά από το αιθµητικό λάθος ίαι κοτά στο δξιό σύοο όπου οι παάγωγοι της ως πος ίαι σηµατικές και στη αχή της φαµογής του αλγοίθµου όπου πίσης η χοική µταβλητή παίι σηµατικά χαµηλές τιµές. Αυτό φαίται στα αποτλέσµατα όπου κοτά στο δξιό σύοο υπάχι σηµατική ασυµβατότητα στα αποτλέσµατα από το υθύ µ το ατίστοφο πόβληµα (Εικ.-α -γ. Ως πος τη κτική καθίζηση ίαι φαό ότι δ πηάζται από το σφάλµα ποσέγγισης, όπως και στη ποηγούµη µέθοδο... Εφαµογή στη µέθοδο καοικοποίησης Σύµφωα µ τα πααπάω ατικαθιστώτας στο τλστή Φ, όπου: (. Έχουµ ως αποτέλσµα (Παάτηµα ΙΑ: ( O( O( ~ 6 ~ ~ Φ (. Άα υπάχου δύο σταθές Κ και Κ ξατώµς από τις πααµέτους του ποβλήµατος, έτσι ώστ η απόλυτη τιµή του τλστή Φ α ίαι µικότη η ίση από Κ ( Κ ( για οσοδήποτ µικά,. Όσο µικότς τιµές του και θωήσουµ για τη λύση του ποβλήµατος µ τη µέθοδο τω ππασµέω διαφοώ τόσο καλύτη σύγκλιση παγµατικής και αιθµητικής λύσης θα έχουµ. Κατά συθήκη η πιλογή αιθµητικώ πααµέτω πιβάλλι <<<. Παατηώτας τη σχέση (. µποούµ α συµπάουµ ότι ο κύιος παάγοτας που πηάζι το σφάλµα ποσέγγισης ίαι αυτός που αφοά το. Ο συτλστής Κ ξατάται από τη δύτης τάξης παάγωγο της ως πος, τη

23 χωική µταβλητή και τη χοική µταβλητή -. Το χωικό σηµίο τω αιθµητικώ υπολογισµώ το οποίο πηάζται σηµατικά από το αιθµητικό σφάλµα ίαι και σ αυτή τη πίπτωση κοτά στο δξιό σύοο, λιγότο από τη ποηγούµη µέθοδο αφού η παάµτος, ίαι στη δύαµη. Στο σηµίο αυτό οι παάγωγοι της ως πος ίαι σηµατικές ώ στη αχή της φαµογής του αλγοίθµου η «χοική» µταβλητή παίι σηµατικά χαµηλές τιµές. Αυτό φαίται στα αποτλέσµατα (Εικ. -α -γ, όπου κοτά στο δξιό σύοο υπάχι σηµατική ασυµβατότητα στα αποτλέσµατα από το υθύ µ το ατίστοφο πόβληµα. Ως πος τη κτική καθίζηση ίαι φαό ότι δ πηάζται από το σφάλµα ποσέγγισης, όπως και στη ποηγούµη µέθοδο καοικοποίησης.

24 . ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στο Κφάλαιο µλτάται η υστάθια και η σύγκλιση του αιθµητικού αλγοίθµου για το ατίστοφο πόβληµα βαθιάς καθίζησης το οποίο στο ποηγούµο Κφάλαιο πιλύθηκ αιθµητικά µ χήση καοικοποιήσω. Η υστάθια µλτάται στη βάση τω σιώ Forir µ χήση της γικυµέης συθήκης υστάθιας vo Nmma. Παουσιάζται το θωητικό υπόβαθο για τη µλέτη υστάθιας και φαµόζται για τις δύο καοικοποίησις που φαµόστηκα στο ποηγούµο Κφάλαιο. Η υστάθια, κατά vo Nma, του αιθµητικού αλγοίθµου της καοικοποίησης µ τη µέθοδο πιτυγχάται µ κατάλληλς πιλογές της πααµέτου καοικοποίησης και κατάλληλη πιλογή του βάθους για το οποίο πιλύται αιθµητικά το ατίστοφο πόβληµα, το οποίο πηάζι τη παάµτο. Η ξασφάλιση της αιστής αισότητας της σχέσης (.59 δ αφοά µόο στη υστάθια του αλγοίθµου όσο αφοά στη σύγκλιση αιθµητικής και ακιβούς λύσης αφού η µοφή της χοικής µταβολής του ποβλήµατος ίαι αυξητική. Όσο πιο µικό ίαι το φάγµα του συτλστή f το οποίο πίσης πηάζται από τις πααπάω ααφόµς πααµέτους και, τόσο πισσότο πιτυγχάται η υστάθια αλλά και υθµίζται ο συτλστής µγέθυσης της αιθµητικής ποσέγγισης του ποβλήµατος ώστ α συγκλίι στα αποτλέσµατα της ακιβούς λύσης. Κατά όµοιο τόπο ποκύπτι και η συθήκη υστάθιας για το αιθµητικό αλγόιθµο πίλυσης του ατιστόφου ποβλήµατος µ τη µέθοδο καοικοποίησης. Οι παάµτοι από τις οποίς ξατάται η υστάθια ίαι η παάµτος καοικοποίησης και η χοική µταβλητή. Σύµφωα µ τις υποθέσις που έγια για τη υστάθια, η λύση του ποβλήµατος µ τη χήση τω ππασµέω διαφοώ συγκλίι στη ακιβής λύση ά για, τίου στο 0, η συθήκη υστάθιας ικαοποιίται. Στο Κφάλαιο η ταχύτητα σύγκλισης στη βάση του σφάλµατος ποσέγγισης µ χήση σιώ Taylor, για τις δύο µθόδους καοικοποίησης του ατιστόφου ποβλήµατος βαθιάς καθίζησης. Για τη µέθοδο καοικοποίησης ποκύπτι ότι υπάχου οι παάµτοι Κ και Κ ξατώµς από τις πααµέτους του ποβλήµατος, έτσι ώστ η απόλυτη τιµή του τλστή Φ α ίαι µικότη η ίση από Κ ( Κ ( για οσοδήποτ µικά,. Όσο µικότς τιµές του και θωήσουµ για τη λύση του

25 5 ποβλήµατος µ τη µέθοδο τω ππασµέω διαφοώ τόσο καλύτη σύγκλιση παγµατικής και αιθµητικής λύσης θα έχουµ. Ο συτλστής Κ ξατάται από τις πααγώγους της ως πος, τη χωική µταβλητή και τη χοική µταβλητή -. Το χωικό σηµίο τω αιθµητικώ υπολογισµώ το οποίο πηάζται σηµατικά από το αιθµητικό λάθος ίαι κοτά στο δξιό σύοο όπου οι παάγωγοι της ως πος ίαι σηµατικές και στη αχή της φαµογής του αλγοίθµου όπου πίσης η χοική µταβλητή παίι σηµατικά χαµηλές τιµές. Αυτό φαίται στα αποτλέσµατα όπου κοτά στο δξιό σύοο υπάχι σηµατική ασυµβατότητα στα αποτλέσµατα από το υθύ µ το ατίστοφο πόβληµα (Εικ.-0α -0γ. Ως πος τη κτική καθίζηση ίαι φαό ότι δ πηάζται από το σφάλµα ποσέγγισης. Όσο αφοά τη µέθοδο καοικοποίησης ποκύπτι ότι υπάχου οι παάµτοι Κ και Κ ξατώµς από τις πααµέτους του ποβλήµατος, έτσι ώστ η απόλυτη τιµή του τλστή Φ α ίαι µικότη η ίση από Κ ( Κ ( για οσοδήποτ µικά,. Όσο µικότς τιµές του και θωήσουµ για τη λύση του ποβλήµατος µ τη µέθοδο τω ππασµέω διαφοώ, τόσο καλύτη σύγκλιση παγµατικής και αιθµητικής λύσης θα έχουµ. Κατά συθήκη η πιλογή αιθµητικώ πααµέτω πιβάλλι <<<. Ο συτλστής Κ ξατάται από τη δύτης τάξης παάγωγο της ως πος, τη χωική µταβλητή και τη χοική µταβλητή -. Το χωικό σηµίο τω αιθµητικώ υπολογισµώ το οποίο πηάζται σηµατικά από το αιθµητικό σφάλµα ίαι και σ αυτή τη πίπτωση κοτά στο δξιό σύοο, λιγότο από τη ποηγούµη µέθοδο αφού η παάµτος, ίαι στη δύαµη. Στο σηµίο αυτό οι παάγωγοι της ως πος ίαι σηµατικές ώ στη αχή της φαµογής του αλγοίθµου η «χοική» µταβλητή παίι σηµατικά χαµηλές τιµές. Αυτό φαίται στα αποτλέσµατα (Εικ. -α -γ, όπου κοτά στο δξιό σύοο υπάχι σηµατική ασυµβατότητα στα αποτλέσµατα από το υθύ µ το ατίστοφο πόβληµα. Ως πος τη κτική καθίζηση ίαι φαό ότι δ πηάζται από το σφάλµα ποσέγγισης, όπως και στη ποηγούµη µέθοδο καοικοποίησης.

26 6

27 7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Rihmyr, R.D. a Moro, K.W., Diffr mhos for iiial val prolms, Joh Wily & Sos, 967

28 8