ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ"

Transcript

1 69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΙΑΧΥΣΗΣ-ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ.. Εισαγωγή Η διαδικασία της άτλησης πτρλαίου ή ρού σ µγάλης κλίµακας προβλήµατα οδηγί σ µγάλη καθίζηση στη πιφάια της γης στη γική πρίπτωση. Η ποσότητα της καθίζησης µπορί α ίαι αρκτά µγάλη ώστ α πιφέρι σηµατικές και αρκτές φορές καταστρπτικές συέπις στις κατασκυές στη πιφάια της γης. Στο υθύ πρόβληµα διάχυσης-µτάδοσης καθίζησης χρησιµοποιώτας ως δδοµέα αρχικές συθήκς τη καθίζηση στη βάση του πτάσµατος καθίζησης υπολογίζουµ τη ποσότητα και τη µορφή του µηχαισµού καθίζησης στη πιφάια της γης. Η δυσκολία στο πρόβληµα αυτό ίαι ότι ίαι σχδό αδύατο α γωρίζουµ µ ακρίβια τη καθίζηση στη βάση του πτάσµατος. Ατίθτα, το «γγοός» του φαιοµέου αυτού, αυτό που µπορούµ α παρατηρήσουµ και α µτρήσουµ ίαι η καθίζηση στη πιφάια της γης. Η πίλυση του προβλήµατος χρησιµοποιώτας ως αρχικές συθήκς τη πιφαιακή καθίζηση µ σκοπό το υπολογισµό της καθίζησης βάσης αάγται στη πίλυση του ατιστρόφου, στο βάθος (χρόο, προβλήµατος διάχυσης-µτάδοσης βαθιάς καθίζησης (Εικ. 3-. z b (,b υθύ πρόβληµα ατίστροφο πρόβληµα 0 (,0 Εικ. 3- : Ευθύ και Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Αγγλ. Ivere SDC problem (ISDC

2 70 Τα ατίστροφα προβλήµατα, γικά, ίαι µη καλώς ορισµέα, που σηµαίι ότι η ύπαρη, η µοαδικότητα και η υστάθια της λύσης δ µπορού α ασφαλιστού. Αρκτές µέθοδοι καοικοποίησης έχου δηµιουργηθί για τα προβλήµατα αυτού του ίδους. Σ αυτή τη ργασία, σύµφωα µ τη δυϊκή µορφή του προβλήµατος (διάχυση-µτάδοση παρουσιάζται η φαρµογή δύο µθόδω καοικοποίησης που αφορά το ατίστοιχο υθύ πίπδο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης: Η µέθοδος της οιοί-ατιστροφής που προτίται από το J.L.Lio για ατίστροφα παραβολικά προβλήµατα [] και η µέθοδος zz... Τοποθέτηση του ατιστρόφου προβλήµατος Σύµφωα µ τη παράγραφο.3 του Κφαλαίου το υθύ πρόβληµα διάχυσης- µτάδοσης καθίζησης πριγράφται από τις παρακάτω σχέσις, µ κατάλληλη προσαρµογή τω αάρτητω και αρτηµέω µταβλητώ (ω->, ->z, ->, ĉ- >c: z c ( z z (3.α για 0 ; 0 < z b (3.β και (,0 (α.σ. (3.γ * w 0 (,z 0 (σ.σ. (3.δ (0,z 0 (σ.σ. (3. από το οποίο υπολογίζται η (,b και συγκκριµέα το αποτέλσµα της αριθµητικής πίλυσης του παραπάω αλγορίθµου (,b. ηλαδή, δίται η καταοµή της καθίζησης στη βάση του πτάσµατος καθίζησης και υπολογίζται η πιφαιακή. Ατίθτα, το φυσικό πρόβληµα, όπως έχι διατυπωθί ωρίτρα, ίαι πως θα υπολογιστί η καθίζηση στη βάση του πτάσµατος, έχοτας ως δδοµέη τη πιφαιακή καθίζηση. Σύµφωα µ τη µέθοδο της οιοί-ατιστροφής [], το ισοδύαµο µαθηµατικό πρόβληµα που προκύπτι από το φυσικό ίαι: z c ( z z (3.α για Αγγλ. The Metho of Qai-Reveribility

3 7 0 ; 0 < z b (3.β και (,b (,b (α.σ. (3.γ (,z 0 (σ.σ. (3.δ (0,z 0 (σ.σ. (3. από όπου προκύπτι η w * 0 όπως τη οοµάσαµ αρχικά στη διατύπωση που ααφέρται στο υθύ πρόβληµα ή (,0 µ το παρό συµβολισµό στο µαθηµατικό προσοµοίωµα. Το παραπάω πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ ίαι µη καλώς ορισµέο: η ύπαρη λύσης δ ασφαλίζται ώ ακόµα και α υπάρχι λύση, ίαι ασταθής. Αποδικύται ότι η προσθήκη ός παραβολικού τλστή ης τάως στη διαφορική ίσωση του παραπάω προβλήµατος τοποθτί το πρόβληµα ως καλώς ορισµέο [], υπό προϋποθέσις. Η προσθήκη του τλστή πρέπι α γίι όµως µ τέτοιο τρόπο ώστ α µη αλλάζι τη µορφή της ίσωσης και το φυσικό της όηµα ώ λόγω της τάης του τλστή χριάζοται ές συθήκς συµβατές µ τις προηγούµς καθώς και µ τη φυσική σηµασία του προβλήµατος. Μ τη κατάλληλη προσθήκη του τλστή, τη προσθήκη συοριακώ συθηκώ και µτασχηµατισµό της αάρτητης µταβλητής z, το ατίστροφο πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ έχι τη µορφή: z για c ( b z b z (3.3α 0 ; 0 < z b (3.3β και (,0 (, b (α.σ. (3.3γ (,z 0 (σ.σ. (3.3δ ( (0,z 0 (σ.σ. (3.3 ( (,z 0 (σ.σ. (3.3στ Όπως προκύπτι από τη σύγκριση τω ισώσω (3.3α και (3.α, η διαφορά τους αάγται στη προσθήκη του διαφορικού τλστή ης τάως ως προς πολλαπλασιαζόµου µ έα πολύ µικρό θτικό αριθµό ο οποίος οοµάζται παράµτρος καοικοποίησης και τη αλλαγή τω προσήµω τω όρω ης και ης

4 7 τάως ως προς. Η αλλαγή προσήµου οφίλται στο µτασχηµατισµό της αάρτητης µταβλητής z b-z, έτσι ώστ η µταβλητή αυτή κατά τη αριθµητική πίλυση α παίρι τιµές b 0 και όχι ατίθτα όπως υποδηλώι το πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ (3.. Όπως έχουµ ήδη ααφρθί, η καλή τοποθέτηση του ατιστρόφου προβλήµατος πραγµατοποιίται µ τη χρήση του τλστή ης τάως. Η παραµέτρος καοικοποίησης, απαιτίται α ίαι µικρή έτσι ώστ για 0 η ίσωση α τίι στη αρχική ίσωση. Οπότ η παράµτρος καοικοποίησης έχι έα µικρό ύρος τιµώ αφού για µγάλς τιµές αλλοιώοται τα χαρακτηριστικά του προβλήµατος ώ για πολύ µικρές τιµές µφαίζι τα χαρακτηριστικά του µη καλώς ορισµέου προβλήµατος (3. αφού τίι σ αυτό. Σηµατική διαφορά όµως αποτλί και η προσθήκη της συοριακής συθήκης (3.στ. Η συθήκη αυτή ίαι συµβατή τόσο µ το µη µτασχηµατισµέο υθύ πρόβληµα όσο και µ το πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ (3. αφού 0. Η συοριακή συθήκη για το τλστή ης τάως πιβάλλται λόγω της Σ τάης του τλστή που χρησιµοποιίται στη ίσωση (3.3α. Έτσι τίθται το ατίστροφο πρόβληµα καλά τοποθτηµέο κατά Haamar χωρίς αιρτική αλλοίωση τω χαρακτηριστικώ της ίσωσης []..3. Αριθµητική πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο καοικοποίησης Το παραπάω ααφρόµο πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ πιλύθηκ µ τη µέθοδο τω ππρασµέω διαφορώ µ τα δδοµέα του οκιµίου. Ο αλγόριθµος πίλυσης που χρησιµοποιήθηκ (µη ππλγµέος µφαίζται στη παρακάτω σχέση: z ( b z z c z ( b z ( ( ( 6 (3. Επιλκτικά σ αυτή τη ργασία παρουσιάζοται αποτλέσµατα πίλυσης του ατιστρόφου προβλήµατος για το οκίµιο. Η αριθµητική πίλυση του παραπάω προβλήµατος (Παράρτηµα µφαίζται στις Εικός 3-α 3.γ, όπου µφαίζοται τα αποτλέσµατα του ατιστρόφου προβλήµατος (διακκοµµέη γραµµή και τα αποτλέσµατα στο υθύ (πλήρης γραµµή. Σηµιώται τα αποτλέσµατα µφαίζοται στη µορφή / B * * f ( / B, z / H όπου B (H/B. Τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσης του προβλήµατος αφορού τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης 0.005< < Για τιµές της παραµέτρου κτός του διαστήµατος τα αποτλέσµατα διαφέρου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Παρατηρούµ ότι για µικρές τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης η κτρική καθίζηση (0 πλησιάζι στη λύση στο υθύ πρόβληµα. Επίσης, αάρτητα από τις τιµές της παραµέτρου, από τη αρχή της λύσης του ατιστρόφου προβλήµατος

5 73 παρατηρίται απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο µταύ τω αποτλσµάτω στο υθύ και το ατίστροφο πρόβληµα. Η παρατήρηση αυτή θα ααλυθί αργότρα σ αυτή τη ργασία. Mέθοδος, 5*0^ z/h /B Εικ. 3-(α : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Μέθοδος,.*0^ z/h /B Εικ. 3-(β : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Όπως ααφέρται σ προηγούµς ργασίς, [] η χρήση του κλιστού τύπου αλγορίθµου στη µέθοδο καοικοποίησης, δ µπορί α µας δώσι αιόπιστα

6 7 αποτλέσµατα σ ορισµές πριπτώσις: Για µγάλς τιµές της «χροικής» µταβλητής z, τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλύσης του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης (ISDC διαφέρου σηµατικά από τα αποτλέσµατα στο υθύ πρόβληµα. Α b ίαι το βάθος για το οποίο έχι πιλυθί το υθύ πρόβληµα, τότ η αρχική συθήκη για το ατίστροφο πρόβληµα δ µπορί α τοποθτηθί για τιµές του βάθους µγαλύτρς από z 0.5b. Οπότ πιλύται αριθµητικά το υθύ πρόβληµα για z 0.5b και η λύση του χρησιµοποιίται ως αρχικές συθήκς για το ατίστροφο πρόβληµα. Mέθοδος,.5*0^ z/h /B Εικ. 3-(γ : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Στο σηµίο αυτό θα πρέπι α ααφρθούµ στη µέθοδο ππρασµέω διαφορώ που χρησιµοποιήθηκ. Ατίθτα µ τη πίλυση στο υθύ πρόβληµα το οποίο λύθηκ µ χρήση µθόδου ππρασµέω διαφορώ έµµσης διατύπωσης, το ατίστροφο πιλύται µ χρήση άµσης µθόδου, αφού στη πρίπτωση τη οποία µλτάµ και οι δύο έχου πρίπου ίδια αποτλέσµατα, ώ ίαι το ίδιο ασταθής... Αριθµητική πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο καοικοποίησης zz Η πριορισµέη χροικά λύση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο, προκύπτι από το ισχυρό διαχυτικό χαρακτήρα του τλστή ης τάως. Η φύση του προβλήµατος (διάχυση-µτάδοση αλλά και η πριορισµέη χροικά λύση µ τη προηγούµη µέθοδο πιβάλλι τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη χρήση ός τλστή µ πρισσότρο µταδοτικό χαρακτήρα. Στη ργασία αυτή για τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης χρησιµοποιήθηκ ο τλστής zz, µ χρήση κατάλληλω αρχικώ και συοριακώ συθηκώ τόσο ως προς το φυσικό πρόβληµα αλλά και ως προς το µαθηµατικό προσοµοίωµα:

7 75 z για c ( b z b z z (3.α 0 ; 0 < z b (3.β και (,0 (,b (α.σ (3.γ ( (0,z 0 (σ.σ. (3.δ (,z 0 (σ.σ. (3. ( (,0 (,b (α.σ (3.στ z z Η διαφορά στις αρχικές και συοριακές συθήκς αάµσα στο υθύ και το ατίστροφο πρόβληµα µ τη µέθοδο καοικοποίησης zz, τοπίζται στη σχέση 3.στ. Η πρόσθτη αρχική συθήκη ααφέρται στα πρώτα δύο πίπδα βάθους από τη πιφάια και απλά θέτι τη καθίζηση γωστή σ αυτά τα στρώµατα αφού µπορί α υπολογιστί από γωτρήσις. Σ αυτή τη µέθοδο, όπως και στη προηγούµη η καοικοποιηµέη καταοµή συµβολίζται µ αάρτητα από το σύµβολο του συτλστή καοικοποίησης. Mέθοδος zz, v z/h /B Εικ. 3-3(α : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης

8 76 Η πίλυση του παραπάω προβλήµατος αρχικώ και συοριακώ τιµώ έγι χρησιµοποιώτας τη αριθµητική µέθοδο τω ππρασµέω διαφορώ. Ο αλγόριθµος πίλυσης του προβλήµατος 3. µφαίζται στη παρακάτω σχέση: z c ( b z z z ( b z z (3.5 Μέθοδος zz, v z/h /B Εικ. 3-3(β : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσης (Παράρτηµα Ε µφαίζοται συγκριτικά µ το υθύ πρόβληµα στις Εικός 3-3(α-γ. Για αυτή τη µέθοδο καοικοποίησης, οι τιµές της παραµέτρου που χρησιµοποιήθηκα κυµαίοται από 0.0 έως. Σηµιώται τα αποτλέσµατα µφαίζοται στη µορφή / B * f ( / B, z / H όπου * B (H/B. Για µικρότρς τιµές της παραµέτρου, µφαίζται σηµατική αστάθια στη λύση, αφού ο συτλστής της καοικοποίησης τίι στο 0 οπότ το καοικοποιηµέο πρόβληµα τίι στο µη καοικοποιηµέο, ώ για τιµές µγαλύτρς του τα αποτλέσµατα, τουλάχιστο ως προς τη κτρική καθίζηση, αποκλίου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Σ σύγκριση µ τα αποτλέσµατα από τη προηγούµη µέθοδο, χρησιµοποιώτας τη µέθοδο καοικοποίησης zz µπορούµ α πιλύσουµ το ατίστροφο πρόβληµα για πρισσότρο βάθος (µγαλύτρο από το διπλάσιο. Παρατηρίται, πίσης µικρότρη απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο.

9 77 Μέθοδος zz, z/h /B Εικ. 3-3(γ : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης. ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ.. Εισαγωγή Σ αυτή τη παράγραφο της ργασίας ααφρόµαστ στη γραµµικοποιηµέη αάλυση υστάθιας διαφορικώ ισώσω. Παρουσιάζται θωρία που αφορά τη καλή τοποθέτηση προβληµάτω αρχικώ τιµώ για γραµµικές διαφορικές ισώσις µ σταθρούς συτλστές. Στη πραγµατικότητα, οι πρισσότρς φαρµογές αφορού µη γραµµικά προβλήµατα αρχικώ και συοριακώ τιµώ, τις πρισσότρς φορές µ µη σταθρούς συτλστές, όπως συµβαίι και σ αυτή τη ργασία. Οι δύο πιο σηµατικές µέθοδοι λέγχου υστάθιας για διαφορικούς τλστές ίαι η µέθοδος Forier και η µέθοδος της έργιας. Η πρώτη µέθοδος µπορί α φαρµοστί µόο σ διαφορικές ισώσις µ σταθρούς συτλστές ώ η δύτρη φαρµόζται και σ µη γραµµικές ισώσις µ µταβλητούς συτλστές. Συχά πιλέγται η πρώτη µέθοδος, ακόµα και α οι συτλστές ίαι µταβλητοί, θωρώτας τους παραµέτρους µ τιµές σ καθορισµέο διάστηµα. Η θώρηση αυτή ίαι δυατή µόο ότα δ αλλάζου τη µορφή της διαφορικής ίσωσης ή δ παραβιάζου τις βασικές συθήκς υστάθιας τω διαφορικώ ισώσω. Τότ η µλέτη υστάθιας µ τη µέθοδο Forier αποτλί µία σαφής έδιη για τη καλή τοποθέτηση του προβλήµατος. Στη ργασία αυτή ααπτύσσται θωρία που αφορά τη µέθοδο Forier και φαρµόζται στο ατίστροφο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης και για τις δύο µθόδους καοικοποίησης. Αγγλ. Liear Stability Aalyi Αγγλ. Eergy metho

10 78.. Προβλήµατα αρχικώ τιµώ στο L µ σταθρούς συτλστές Ξκιάµ µ µρικές παρατηρήσις. Θα ργαστούµ στο σύολο Baach L L ( R µ τη όρµα R ( (3.6 Ορίζουµ έα πολυδίκτη ( α α,..., α µ α µη-αρητικούς ακέραιους α α α... (3.7 Θέτουµ D,..., και ακολούθως έχουµ τη ακόλουθη µορφή για i i i γικές παραγώγους τάως α α, δηλαδή D α α α α i,... (3.8 i ηλώουµ µ το C το σύολο τω άπιρα παραγωγίσιµω µιγαδικώ συαρτήσω µέσα στο R και µ το C 0 το υποσύολο τω συαρτήσω το οποίο ίαι συµπαγές. Επίσης ισάγουµ το σύολο J του C έτσι ώστ για κάθ πολυδίκτη α, β p R α D β ( < (3.9 Ισχύι ότι C 0 J C και ίαι γωστό ότι C 0 και J ίαι πυκά στο L. Για ολοκληρώσιµο πάω στο R ορίζουµ το µτασχηµατισµό Forier û ( i<, > (e, <, > (3.0 Είαι γωστό ότι α J τότ û J []. Επιπλέο για µτασχηµατισµό Forier J έχουµ το ατίστροφο ( i<, > ( π û( e (3. και τη σχέση Pareval

11 79 û ( π (3. και ως συέπια του ακόλουθου, το σύολο Ĉ 0 τω συαρτήσω στο J µ το µτασχηµατισµό Forier α αήκι στο C 0 ίαι πυκό στο L. Στη συέχια θα θωρήσουµ το διάυσµα συαρτήσω Ν διαστάσω ( (, (,...,N(. Είαι φυσικό α ορίσουµ ( L και ατίστοιχα τα σύολα J, C 0 κλπ αιώοτας ότι αυτό ισχύι για κάθ συιστώσα,,...n. Σηµιώται ότι οι απλές κάθτς γραµµές υποδηλώου όρµα ως προς διαύσµατα διάστασης N π.χ v N v (3.3 και για πίακς NN, A Av p (3. v 0 v και οι διπλές κάθτς γραµµές υποδηλώου όρµα ως προς το χώρο τω L συαρτήσω έτσι ώστ για διάυσµα N-διαστάσω ( L, ( (3.5 Επίσης παρακάτω θα χρησιµοποιήσουµ τα ακόλουθα: Λήµµα []: Έστω M έα πυκό υποσύολο του L και ας ίαι ( πίακας NN. Τότ α έας συχής p v M αv v ( p α (3.6 έα διάυσµα συαρτήσω N διαστάσω ορισµέο για Θωρούµ το πρόβληµα αρχικής τιµής και (,t R και t 0. P t α ( D P D, t 0 (,0 v(, α (3.7α a Μ (3.7β όπου P α ίαι σταθροί πίακς NN και όπου µπορούµ α θωρήσουµ P α ίαι ορισµέο για J και

12 80 α α α α ( P, P Τότ α M α Θώρηµα []: Το πρόβληµα αρχικής τιµής (3.7 ίαι καλώς ορισµέο στο L α και µόο α για κάθ T 0, υπάρχι έα C έτσι ώστ ep ( tp( C, R, 0 t T (3.8 Απόδιη: Υποθέτουµ ότι η (3.8 ισχύι. Ας ίαι (, t ( π ep( tp( vˆ ( e i<, > Μ τη παραγώγιση της παραπάω σχέσης ότι η (,t v J και θωρούµ (3.9 ικαοποιί τη (3.7α και ίαι πίσης µία λύση για το πρόβληµα αρχικώ τιµώ (3.7. Εφόσο για t 0,,t ίαι µια ακριβής λύση [] και ίαι πίσης µοαδική. Έτσι ( J ( t v (,t E 0 µ D 0 J (3.0 Από το ατίστροφο µτασχηµατισµό Forier και το θώρηµα Pareval (, t ( π ep ( tp( vˆ ( C ( π vˆ ( C v (3. Εφόσο το J ίαι πυκό στο L προκύπτι ότι το πρόβληµα αρχικής τιµής ίαι καλώς ορισµέο. Τώρα θέλουµ α αποδίουµ τη ααγκαιότητα του (3.8 για τη καλή τοποθέτηση. Έστω v Ĉ 0 και ορίζουµ το (,t από τη σχέση (3.9. Αρχικά βρίσκουµ ότι το (,t ικαοποιί το πρόβληµα αρχικής τιµής (3.7 και έτσι (,t E(tv. Από το ατίστροφο µτασχηµατισµό Forier και το θώρηµα Pareval ίαι E v ( t v ( ep( tp( vˆ ( ( vˆ ( (3. (3.3 έτσι ώστ από το Λήµµα,

13 8 E ( t p ep( tp(, (3. το οποίο αποδικύι τη χρησιµότητα του (3.8 φόσο το Ĉ 0 ίαι πυκό στο L. Παράδιγµα Θωρούµ το συµµτρικό υπρβολικό σύστηµα ισώσω t J A A A (3.5 Τότ το πρόβληµα αρχικώ τιµώ για το (3.5 ίαι καλώς ορισµέο µέσα στο L γιατί ισχύι ep ( tp( ep t i A (3.6 φόσο αυτό ίαι έας µοαδιαίος πίακας. Πρι προχωρήσουµ στο πόµο παράδιγµα ααφέρουµ µια λήµµα. Για έα τυχαίο πίακα Α NN µ ιδιοτιµές λ,,,n ορίζουµ Λ A ma Re( λ (3.7 ( Τότ έχουµ Λήµµα Α A ίαι έας πίακας NN έχουµ για t 0 ep( ta N ( tλ( A ( t A ep (3.8 0 Απόδιη Βλέπ []. Παράδιγµα Θωρούµ το σύστηµα (3.7 και θωρούµ πίσης το αρχικό µέρος P ~ του P το οποίο ατιστοιχί στο πολυώυµο P ~ P α ( α M α (3.9 Λέµ ότι το σύστηµα (3.7 ίαι παραβολικό σύµφωα µ τη λογική της θωρίας Petrowki α υπάρχι έα δ > 0 τέτοιο ώστ ~ ( P( δ Λ, (3.30 Το οποίο ίαι ισοδύαµο µ τη ύπαρη ός δ > 0 και ός C έτσι ώστ Λ M ( P( δ C, R (3.3

14 8 Στη συέχια έχουµ ότι α το (3.7 ίαι παραβολικό σύµφωα µ τη λογική της θωρίας Petrowki, το ατίστοιχο πρόβληµα αρχικώ τιµώ ίαι καλώς ορισµέο µέσα στο L. Απόδιη [] Από το Λήµµα έχουµ για 0 t T, ep M N M ( tp( C ( t ep( δt, (3.3 το οποίο ίαι φραγµέο. Για τη ακρίβια, η ίσωση θρµότητας δι αγωγής του Forier t αήκι σ αυτή τη κατηγορία..3. Εφαρµογή στο ατίστροφο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης µ τη µέθοδο καοικοποίησης Στη προηγούµη παράγραφο πιδή ακριβώς ααφρόµαστα σ αυστηρούς µαθηµατικούς όρους χρησιµοποιήθηκ η παραγώγιση ως προς το χρόο t. Από τη αρχή της ργασίας αυτής γωρίζουµ ότι στα προβλήµατα που έχουµ ατιµτωπίσι ατιστοιχί µ το βάθος z, οπότ και στη φαρµογή της µαθηµατικής θωρίας θα χρησιµοποιηθί µ το ίδιο τρόπο. Όπως ήδη έχι ααφρθί, η γραµµικοποιηµέη αάλυση υστάθιας διαφορικής ίσωσης που µλτήσαµ, ααφέρται σ γραµµικές διαφορικές ισώσις µ σταθρούς συτλστές. Αυστηρά δ µπορί α φαρµοστί στη παρούσα πρίπτωση αφού η διαφορική ίσωση που µλτάµ σ αυτή τη παράγραφο η ίσωση (3.3α z c ( b z b z (3.33 ίαι γραµµική, αλλά µ µη σταθρούς συτλστές. Θωρώτας τους συτλστές παραµέτρους µ τιµές σ καθορισµέο διάστηµα a c a [0., ] ( b z b b [0,0] ( b z (3.3

15 83 δ αλλάζι η µορφή της διαφορικής ίσωσης (παραβολική και δ παραβιάζοται συθήκς υστάθιας. Άρα η µλέτη υστάθιας µ τη µαθηµατική θωρία της προηγούµης παραγράφου, φόσο ικαοποιίται, αποτλί σηµατική έδιη για τη καλή τοποθέτηση του προβλήµατος αρχικώ και συοριακώ τιµώ, αφού πρόσθτα ααφρθί ότι οι αρχικές και συοριακές συθήκς του προβλήµατος δ παρουσιάζου καµία ιδιαίτρη ιδιοµορφία. Σύµφωα µ τη προηγούµη παράγραφο ίαι P( a (i bi (i a bi (3.35 Οπότ ep(z P( ep(z (a C R (3.36 Στο Παράρτηµα ΣΤ µφαίζται έα τυπικό γράφηµα συµπριφοράς της παραπάω έκφρασης του Ρ(.. Εφαρµογή στο ατίστροφο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης µ τη µέθοδο καοικοποίησης zz Στη πρίπτωση της µθόδου καοικοποίησης zz θα πρέπι α φαρµοστί το Θώρηµα που ααφέρται στη παράγραφο.. του παρότος Κφαλαίου, σ άλλη του µορφή αφού η ίσωση (3.α z c ( b z b z z (3.37 πριλαµβάι και άλλο διαφορικό ως προς το βάθος (χρόο κτός από τη z. Η απόδιη του θωρήµατος τοποθτίται ως προς τη λύση µιας µρικής διαφορικής ίσωσης µ µορφή P z ( D, z 0 (3.38 και τότ η πίλυση της συήθους διαφορικής ίσωσης που προκύπτι από το µτασχηµατισµό Forier της παραπάω ίσωσης ίαι (, z ( π ep( z P( vˆ ( e i<, > (3.39 Για α ίαι η γραµµική διαφορική ίσωση καλώς ορισµέη τότ πρέπι σύµφωα µ το Θώρηµα α ίαι ep ( z P( C, R, 0 z Z (3.0

16 8 Στη συγκκριµέη ίσωση ο µτασχηµατισµός Forier της γραµµικής διαφορικής ίσωσης (3.α ίαι û ( P û (i û 0 zz z (3. όπου i b a i b (i a ( P 0 (3. Τότ η λύση της διαφορικής ίσωσης (3.α ίαι (Παράρτηµα Z ( ( ( ( ( ( ( ( π > < e vˆ zp ep zp ep,z, i (3.3 οπότ το Θώρηµα για τη συθήκη υστάθιας µτατρέπται σ ( ( ( ( Z z 0, R, C zp ep, C zp ep (3. Από το Παράρτηµα Z προκύπτι ότι 0 i b (a ( P ( P (3.5 ib a ώ 0 i b (a ( P ( P (3.6 ib a Οπότ ( ± ±, b b ib a Re ib a Re ( P Re

17 85 ± b a ib Re b a ib Re, C b a (3.7

18 86 3. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 Η δυσκολία στη πίλυση του υθέως πρόβληµατος βαθιάς καθίζησης αάγται στο γγοός ότι ίαι σχδό αδύατο α γωρίζουµ µ ακρίβια τη καθίζηση στη βάση του πτάσµατος. Ατίθτα, αυτό που µπορούµ α παρατηρήσουµ και α µτρήσουµ ίαι η καθίζηση στη πιφάια της γης. Η πίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης χρησιµοποιώτας ως αρχικές συθήκς τη πιφαιακή καθίζηση µ σκοπό το υπολογισµό της καθίζησης βάσης αάγται στη πίλυση του ατιστρόφου, στο βάθος (χρόο, προβλήµατος διάχυσης-µτάδοσης βαθιάς καθίζησης που µλτήθηκ στο Κφάλαιο3. Στο Κφάλαιο αυτό µλτάται η πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µ χρήση καοικοποιήσω. Τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσης του προβλήµατος µ τη µέθοδο καοικοποίησης αφορού τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης 0.005< < Για τιµές της παραµέτρου κτός του διαστήµατος τα αποτλέσµατα διαφέρου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Για µικρές τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης η κτρική καθίζηση (0 πλησιάζι στη λύση στο υθύ πρόβληµα. Για µγάλς τιµές της «χροικής» µταβλητής z, τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσής του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης διαφέρου σηµατικά από τα αποτλέσµατα στο υθύ πρόβληµα. Α b ίαι το βάθος για το οποίο έχι πιλυθί το υθύ πρόβληµα, τότ η αρχική συθήκη για το ατίστροφο πρόβληµα δ µπορί α τοποθτηθί για τιµές του βάθους µγαλύτρς από z 0.5b. Αάρτητα από τις τιµές της παραµέτρου, από τη αρχή της λύσης του ατιστρόφου προβλήµατος, παρατηρίται απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο µταύ τω αποτλσµάτω στο υθύ και το ατίστροφο πρόβληµα το οποίο θα ατιµτωπισθί στο Κφάλαιο. Η πριορισµέη χροικά λύση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο, προκύπτι από το ισχυρό διαχυτικό χαρακτήρα του τλστή ης τάως. Η φύση του προβλήµατος (διάχυση-µτάδοση αλλά και η πριορισµέη χροικά λύση µ τη πιβάλλι τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη χρήση ός τλστή µ πρισσότρο µταδοτικό χαρακτήρα. Στη ργασία αυτή για τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης προτίται ο τλστής zz, πολλαπλασιασµέος µ κάποια παράµτρο

19 87 καοικοποίησης, µ χρήση κατάλληλω αρχικώ και συοριακώ συθηκώ τόσο ως προς το φυσικό πρόβληµα αλλά και ως προς το µαθηµατικό προσοµοίωµα. Η πρόσθτη αρχική συθήκη που χρησιµοποιίται ααφέρται στα πρώτα δύο πίπδα βάθους από τη πιφάια και απλά θέτι τη καθίζηση γωστή σ αυτά τα στρώµατα αφού µπορί α υπολογιστί από γωτρήσις. Για αυτή τη µέθοδο καοικοποίησης οι τιµές της παραµέτρου που χρησιµοποιήθηκα κυµαίοται από 0.0 έως. Για µικρότρς τιµές της παραµέτρου, µφαίζται σηµατική αστάθια στη λύση, αφού ο συτλστής της καοικοποίησης τίι στο 0 οπότ το καοικοποιηµέο πρόβληµα τίι στο µη καοικοποιηµέο, ώ για τιµές µγαλύτρς του τα αποτλέσµατα, τουλάχιστο ως προς τη κτρική καθίζηση, αποκλίου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Σ σύγκριση µ τα αποτλέσµατα από τη προηγούµη µέθοδο, χρησιµοποιώτας τη µέθοδο καοικοποίησης zz µπορούµ α πιλύσουµ το ατίστροφο πρόβληµα για πρισσότρο βάθος (µγαλύτρο από το διπλάσιο. Παρατηρίται, πίσης µικρότρη απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο, από τη προηγούµη µέθοδο καοικοποίησης.

20 88

21 89 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3. Latté, R. a Lio, J.L. The metho of qai-reveribility. America Elevier Pb. Co., New York, 969. Tomée, V., (970. Topic i Stability Theory for Partial Differece Operator, Lectre Note i Mathematic, Sympoim o the Theory of Nmerical Aalyi, Dee, Scotla

22 90

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, )

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, ) Η έοια του ορίου Όριο συάρτησης Ότα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε έα πραγµατικό αριθµό l, καθώς το προσεγγίζει µε οποιοδήποτε τρόπο το αριθµό, τότε γράφουµε lim f() = l και διαβάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@ otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Τυπολόγιο - Μεθοδολογία. Ορισµός: Έστω α έας πραγµατικός

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 6 ο ΥΪΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ A =. Σύµφωνα µε την Πρόταση 5.7 (σελ. 119), η συµπληρωµατική (δυϊκή)

Μάθηµα 6 ο ΥΪΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ A =. Σύµφωνα µε την Πρόταση 5.7 (σελ. 119), η συµπληρωµατική (δυϊκή) Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 7 Μάθηµα 6 ο ΥΪΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : σελ. 8 (από τη 4 η γραµµή) και σελ. 9, εδάφιο 5, σελ. 7, Πρόταση 6.8, σελ. 4 Παράδειγµα : Στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Για κάθε αριθµό, η -όρµα του διαύσµατος [ ] = συµβολίζεται και ισούται µε το θετικό αριθµό = = (5) Αποδεικύοται για τη -όρµα οι παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ.. Εισαγωγή Έστω ~ (, ~ ~ (, η ακιβής λύση ός ποβλήµατος αχικώ και συοιακώ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδιγµα Στο παρόν µάθηµα δίνται µ κάποια απλά παραδίγµατα-ασκήσις θέµατα πάνω στην κτίµηση νός πολλαπλού γραµµικού υποδίγµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΕΥΡΥΖΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α Β Εξάµηνο 2016

ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΕΥΡΥΖΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α Β Εξάµηνο 2016 ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΕΥΡΥΖΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α Β Εξάµηο 26 ΜΑΪΟΣ 27 Συτάκτης: Πρσφόη Αποστολέλλη ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Σύοψη... 3 2. Εξέλιξη υρυζωικώ

Διαβάστε περισσότερα

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5-5 Ασκήσεις :, 4, 6, 8, 9,, σελ 59 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 6 ο πίακας είαι η µοαδική ιδιοτιµή του,

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, ) 6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Μάθηµα 5 ο Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε 33 (όχι Πρόταση 63) εδάφιο, σε 4, Πρόταση 65, (χωρίς απόδειξη) και Πρόταση 66 εδάφιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ : Ααγκαία συθήκη για α κατασκευάζεται µε καόα και διαβήτη έα καοικό πολύγωο είαι το πλήθος τω πλευρώ του α είαι της µορφής ( + )...( + ) όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις7 80. AU διαγώνιο. αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω A o

Ασκήσεις7 80. AU διαγώνιο. αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω A o Ασκήσεις7 80 Ασκήσεις7 Διαγωοποίηση Ερμιτιαώ Πιάκω Βασικά σημεία Λήμμα του Schur (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Φασματικό θεώρημα (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Ορισμός και ιδιότητες καοικώ πιάκω Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

εδάφιο 3, σελ. 181 υπερβολή ή παραβολή. Η ταξινόµηση αυτή παρουσιάζεται στον 1 ο πίνακα, T

εδάφιο 3, σελ. 181 υπερβολή ή παραβολή. Η ταξινόµηση αυτή παρουσιάζεται στον 1 ο πίνακα, T Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 9 ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 7, εδάφιο, σελ 75, εδάφιο 3, σελ 8 Ασκήσεις :,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, σελ 75,, 4, 8, σελ 8, II, IV, σελ

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις * * *

Λυµένες Ασκήσεις * * * Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 1 από 6 Μάθηµα 9 ο ΓΙΝΟΜΕΝΟ KRONECKER Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 15 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 91 Α AB, είαι πίακες τύπου µ µ και ατίστοιχα, υπολογίσατε τη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Σημιώσις για το μάθημα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ε. Ε. Νισταζάκης Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικής Επιστήμης Πανπιστήμιο Αιγαίου ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κφάλαιο ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5.. Μ τι ασχολίται η αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ AA A A

Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ AA A A Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 0 Μάθηµα 7 ο ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : Από τη σχέση (54) µέχρι τέλος του εδαφίου, σελ 5, Πρόταση 6, σελ 45, Πρόταση 66 (θεώρηµα Schur), σελ 54

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών

ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών ΜΑΘΗΜΑ 9 Γεικές ασκήσεις µιγαδικώ. Για το µιγαδικό δίεται ότι. Να βρείτε i) το ii) το σύολο τιµώ του i. i) ( )( ) [ ] Άρα ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 () (). 0 ii) i i ( ) ( i) i ( ) ( i) ( ) i () i ( ) ( i)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΗΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Ι ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΗΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Ι ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R ΧΡΗΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ι ίεται η συεχής συάρτηση f : R Να δείξετε ότι f = ΛΥΣΗ R µε τη ιδιότητα αf α = f + α α+, α Η αρχική γράφεται: α f α α + = f + Έστω g = f +.Τότε: g g Η () α ( α ) =α

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 8 ο Ι ΙΑΖΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ. Λυµένες Ασκήσεις

Μάθηµα 8 ο Ι ΙΑΖΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ. Λυµένες Ασκήσεις Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από Μάθηµα 8 ο Ι ΙΑΖΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5 σελ 9 Ασκήσεις : 3 4 8 9 σελ 98 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 8 Να βρείτε τη ιδιάζουσα παραγοτοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση [5 μονάδς] Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς πί του αλφάβητου Α = {, }. (α) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ Ασκήσεις : 1, 2, 3, σελ. 107.

Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ Ασκήσεις : 1, 2, 3, σελ. 107. Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 4 ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 7, σελ 05 Ασκήσεις :,, 3, σελ 07 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 4 Α ο πίακας R είαι ορθογώιος, αποδείατε ότι I

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο 4: Πυροηλκτρισμός, Πιζο- ηλκτρισμός, Σιδηροηλκτρισμός Λιαροκάπης Ευθύμιος

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1.

Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1. Παράρτηµα Γ νότητα Γ. Απόδιξη θωρήµατος.5 Kφαλαίου. στω f ίναι συνχής και πραγµατική συνάρτηση στο κανονικοποιηµένη (αφαιρώντας µια σταθρά) ώστ f ( x) dx= u = Pr f αρµονική µ (,) v (,) =. Τότ η. στω u

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασµατοσκοπία

Μοριακή Φασµατοσκοπία Μοριακή Φασµατοσκοπία Ασκήσεις του χειµεριού εξαµήου 5-6. α) Για τη τρίτη "γραµµή" της σειράς Pasch του υδρογοοειδούς ιότος C VI (ή C 5+ ) α υπολογίσετε το κυµαταριθµό της µεταπτώσεως, τη συχότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER Tα υποδίγµατα Transfer αποτλούν µία καλύτρη προσέγγιση στην κτίµηση µονοµταβλητών υποδιγµάτων, στο κφάλαιο αυτό παρουσιάζονται πρισσότρο αναλυτικά. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 )

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ 1 ορισµοί Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) Γησίως αύξουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης Ο2 ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δίκτη διάθλασης 1. Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης n νός διαφανούς οπτικού µέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σηµαντικό µέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι µόνο µταβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Ε ίκουρος Καθηγητής eml : gul@t.tethe.gr Ιστοσλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J <<

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J << Αάλυση φασµάτω Στα προηγούµεα µαθήµατα συζητήσαµε τη σύζευξη πρώτης τάξης και τη εφαρµογή του καόα Ν για τη αάλυσή τω ατιστοίχω φασµάτω πρώτης τάξης. Στα φάσµατα πρώτης τάξης η σύζευξη σπι-σπι είαι ασθεής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

Κεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Κφάλαιο : Μτάδοση θρμότητας μ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Συντλστής όψως Στο προηγούμνο κφάλαιο μλτήσαμ κυρίως τις ιδιότητς ακτινοβολίας που κπέμπται, απορροφάται και αντανακλάται από μία πιφάνια Τώρα ξτάζουμ την ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα