ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Β Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα του Υπουργείου Παιδείας σε (3) ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες γνώσεις θεωρίας Β. Λυµένα παραδείγµατα Γ. Λυµένες ασκήσεις. Προτεινόµενα θέµατα Ε. Το ξεχωριστό θέµα Θέµατα που κινούν τη σκέψη και βοηθούν στο σωστό τρόπο µάθησης.

2

3 Συγγραφική οµάδα: Πανελλαδικά Συνεργαζόµενα Φροντιστήρια Τµήµα Μαθηµατικών: ΑΓΑΛΙΩΤΗΣ Θ. ΑΓΓΕΛΑΚΗΣ Ι. ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΑΪΒΑΛΙΩΤΟΥ Ο. ΑΛΒΑΝΟΣ. Θ ΑΛΕΞΑΝ ΡΗΣ Α. ΑΛΕΞΑΝ ΡΗΣ Χ. ΑΝ ΡΟΝΙΚΙ ΗΣ Ι. ΑΝ ΡΟΥΛΙ ΑΚΗΣ Χ. ΑΝΤΩΝΕΑΣ Σ. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Β. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ Ν. ΑΥΓΟΥΣΤΗΣ Α. ΒΑ ΑΛΟΥΚΑΣ Ι. ΒΑΪΟΣ Β. ΒΑΡΑΤΑΣΗΣ Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Π. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Σ. ΒΙ ΑΛΗΣ Ι. ΒΟΥ ΟΥΡΗΣ Σ. ΒΡΥΝΑΣ Γ. ΓΑΝΩΣΗΣ Ν. ΓΑΡΕΦΟΣ Θ. ΓΕΡΟΝΤΙΤΗΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΚΟΣ Π. ΓΙΑΝΝΟΥΣΗΣ Α. ΓΚΙΜΙΣΗΣ Β. ΓΟΥΜΕΝΑΚΗ Ε. Α ΙΩΤΗΣ Λ. ΑΜΒΑΚΑΚΗΣ Γ. ΗΜΗΤΡΙΟΥ Κ. ΙΑΚΑΚΗΣ Χ. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΟΥΒΗΣ Χ. ΡΑΓΑΖΗΣ. ΖΑΡΚΑΝΙΤΗΣ. ΖΗ Β. ΖΩΓΡΑΦΟΣ Β. ΘΕΟ ΩΡΑΚΗΣ Ι. ΚΑΚΑΛΕΤΡΗΣ Κ. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗΣ Λ. ΚΑΡΑΝΙΚΟΛΑΣ ΣΤ. ΚΑΡΑΦΟΥΛΙ ΗΣ Α. ΚΑΡ ΑΣΗΣ Χ. ΚΑΡΚΑΖΗΣ Ι. ΚΑΡΜΠΑ ΑΚΗΣ Γ. ΚΑΤΣΑΣ Ν. ΚΑΤΣΕΤΗΣ Θ. ΚΑΤΣΙΑΟΥΝΗΣ Χ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ Π. ΚΙΝΝΑΣ Κ. ΚΟΖΗΣ Χ. ΚΟΚΚΑΛΙ ΗΣ Ξ. ΚΟΝΤΙΖΑΣ Χ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ Μ. ΚΟΡΕΛΗΣ Ι. ΚΟΣΚΙΝΑΣ Σ. ΚΟΣΜΑΣ Λ. ΚΟΣΜΙ ΗΣ Χ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙ ΟΥ Ν. ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ Χ. ΛΕΠΤΟΚΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΛΙΑΚΟΥΡΑ Ε. ΛΙΑΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ. ΛΙΑΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΛΙΑΤΣΟΣ Ε. ΛΙΟΝΑΣ Α. ΛΟΥΒΕΡ ΗΣ Γ. ΛΟΥΚΙΣΑΣ Φ. ΛΥΚΚΑΣ. ΛΥΚΙ ΗΣ Κ. ΜΑΓΑΛΟΥ Σ. ΜΑΖΑΡΑΚΗΣ Α. ΜΑΛΙΑΜΑΝΗΣ Θ. ΜΑΝΘΟΣ Γ. ΜΑΝΟΥΣΕΛΗΣ Ν. ΜΑΝΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΜΑΝΤΑΣ Γ. ΜΑΝΩΛΗΣ Ν. ΜΗΛΑΚΗΣ Μ. ΜΗΤΣΟΥ Γ. ΜΙΓΚΟΣ Μ. ΜΙΤΟΓΛΟΥ. ΜΟΙΡΑΣ Σ. ΜΠΑΚΟΘΑΝΑΣΗΣ Τ. ΜΠΑΛΑ ΗΜΑΣ Π. ΜΠΕΚΑΣ Π. ΜΠΕΚΡΗΣ Μ. ΜΠΟΓΙΑΤΖΑΡΑΣ Κ. ΝΑΣΙΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΞΕΝΑΚΗΣ Ν. ΟΙΚΟΝΟΜΙ ΗΣ. ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ Κ. ΠΑΝΟΥΤΣΑΚΟΠΟΥΛΟΥ Θ. ΠΑΠΑΡΑΣ Β. ΠΑΠΑΣΠΥΡΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΠΑΡΑΘΥΡΑ Μ. ΠΑΥΛΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΠΕΠΟΝΗΣ Χ. ΠΕΠΟΝΗΣ ΣΠ. ΠΕΠΠΑΣ Ι. ΠΕΤΡΑΤΟΣ Γ. ΠΕΤΡΙ ΗΣ Π. ΠΙΣΤΟΦΙ ΗΣ Π. ΡΕΜΠΗΣ Θ. ΡΟΚΑ Μ. ΡΟΚΟΝΙ ΑΣ Κ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Π. ΣΕΡΦΑΣ T. ΣΙΑΤΕΡΛΗΣ Α. ΣΙΝΑΝΗΣ Γ. ΣΤΑΥΡΟΥ Ν. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Γ. ΣΥΓΛΕΤΟΣ Β. ΤΑΡΑΣΙ ΗΣ Ι. ΤΕΤΡΑ Η Κ. ΤΖΙΩΛΑ Μ. ΤΣΑΓΓΕΡΑΣ Γ. ΤΣΑΛΑΓΡΑ ΑΣ. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΣ Γ. ΦΑΚΟΣ Κ. ΦΑΣΙΤΣΑΣ Λ. ΦΕΤΣΗΣ Γ. ΦΙΛΙΠΠΙ ΗΣ Χ. ΦΡΑΓΚΙΑΣ Ν. ΦΡΑΓΚΟΣ Α. ΧΑΡΙΣΗΣ Μ. ΧΑΡΙΤΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ. ΧΟΥΣΙΩΝΗΣ Κ. ΧΡΥΣΑΦΙ ΟΥ Α. ΨΙΑΚΙ ΗΣ. ΨΥΡΟΥΚΗΣ Γ.

4 Copyright Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του παρόντος βιβλίου, µε οποιονδήποτε τρόπο, χωρίς την έγγραφη άδεια του Εκδοτικού Οίκου. / ΝΣΗ Εκπαιδευτικής σειράς: Α. ΖΥΡΜΠΑΣ Ηλ. Σελιδοποίηση - Γραφικά: Θεοχαρίδου Φωτεινή, Αχιλλιά Σουλτάνα Eκτύπωση Μάρτιος 003 Εκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε Λ. Ιωνίας ΑΘΗΝΑ τηλ.:

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό Εξετάσεις της Ελευθεροτυπίας. Παρουσιάσαµε στην εφηµερίδα τα µαθήµατα, όπως γίνονται στον πίνακα, δηµιουργώντας για το σκοπό αυτό την πολυπληθέστερη συγγραφική οµάδα που έχει ποτέ συσταθεί, προσπαθώντας την εµπειρία της τάξης να την αποτυπώσουµε στο χαρτί. Τη συγγραφική οµάδα αποτελούν καθηγητές συγγραφείς καταξιωµένοι στη συνείδηση γονιών και µαθητών για την ποιότητα της δουλειάς τους. Η συλλογική αυτή προσπάθεια, εµπλουτισµένη, σε σχέση µε το υλικό που παρουσιάστηκε στην εφηµερίδα, απευθύνεται, αφενός στον καθηγητή που θέλει να παρουσιάσει το µάθηµά του στην τάξη µε µια µεθοδικότητα, αφετέρου στο φιλόπονο µαθητή που θέλει να διαβάσει, να µελετήσει και να κατανοήσει την ύλη, χωρίς να σπαταλήσει τον πολύτιµο χρόνο του. Γι αυτό κάθε µάθηµα ολοκληρώνεται σ έναν τόµο. Στο βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιέχονται µια σειρά από νέες, στην Ελληνική βιβλιογραφία, ασκήσεις καθώς και συνδυαστικά θέµατα. Ο σκοπός µας: να δηµιουργήσουµε ένα εργαλείο δουλειάς για όλους µας. Η ύλη χωρίστηκε σε 3 ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Τις απαραίτητες γνώσεις θεωρίας, µε παρατηρήσεις για βαθύτερη κατανόηση. Λυµένα παραδείγµατα, στα οποία καταδεικνύεται η µεθοδολογία επίλυσής τους σε κίτρινο πλαίσιο. Λυµένες ασκήσεις. Τα προτεινόµενα θέµατα µε υποδείξεις - απαντήσεις σε µπλέ πλαίσιο. Το ξεχωριστό θέµα. Όσοι από τους συναδέλφους επιθυµούν να έχουν τις λύσεις των ασκήσεων, για έλεγχο των απαντήσεων, µε χαρά θα τις στείλουµε αν επικοινωνήσουν µαζί µας. Επίσης, θα θέλαµε κρίσεις, παρατηρήσεις, καθώς και επισηµάνσεις γι αυτή µας την προσπάθεια, ώστε η γόνιµη αυτή ανταλλαγή απόψεων να βοηθήσει στη βελτίωση των µελλοντικών µας εκδόσεων. Η συγγραφική οµάδα

6

7 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Μάθηµα ο : ιανύσµατα... Μάθηµα ο : Συντεταγµένες στο επίπεδο... 5 Μάθηµα 3 ο : Εσωτερικό γινόµενο Κεφάλαιο Μάθηµα 4 ο : Η ευθεία στο επίπεδο Μάθηµα 5 ο : Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Μάθηµα 6 ο : Απόσταση σηµείου από ευθεία Κεφάλαιο 3 Μάθηµα 7 ο : Ο κύκλος Μάθηµα 8 ο : Η παραβολή... 3 Μάθηµα 9 ο : Η έλλειψη Μάθηµα 0 ο : Η υπερβολή Κεφάλαιο 4 Μάθηµα ο : Μαθηµατική εισαγωγή Μάθηµα ο : Ευκλείδεια διαίρεση Μάθηµα 3 ο : ιαιρετότητα ακεραίων Επαναληπτικά - Συνδυαστικά Θέµατα... 7

8

9 ιανύσµατα 9.

10

11 ιανύσµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός διανύσµατος - Πράξεις µε διανύσµατα ιάνυσµα, ονοµάζουµε κάθε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ του οποίου έχουµε καθορίσει την αρχή και το τέλος. Το συµβολίζουµε µε ΑΒ ή µε µικρά γράµµατα α, β, u, w... Προφανώς είναι ΑΒ ΒΑ. Κάθε διάνυσµα χαρακτηρίζεται από: Τη διεύθυνσή του, η οποία καθορίζεται από την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσµα και η οποία ονοµάζεται φορέας. Τη φορά του. Το µέτρο του δηλαδή το µήκος του. Το µέτρο ενός διανύσµατος Αν AB =, τότε το διάνυσµα AB λέγεται µοναδιαίο. Αν οι φορείς δύο µη µηδενικών AB,Γ διανυσµάτων είναι παράλληλοι τότε τα διανύσµατα αυτά ονοµάζονται παράλληλα ή συγγραµµικά.λέµε ότι έχουν την ίδια διεύθυνση και γράφουµε : AB // Γ ΑΒ συµβολίζεται AB. ύο µη µηδενικά παράλληλα διανύσµατα ονο- µάζονται οµόρροπα αν έχουν την ίδια φορά και αντίρροπα αν έχουν αντίθετες φορές. Αν είναι οµόρροπα γράφουµε AB Γ, ενώ αν είναι αντίρροπα AB Γ. Αν η αρχή και το τέλος ενός διανύσµατος συµπίπτουν τότε το διάνυσµα αυτό ονοµάζεται µηδενικό διάνυσµα και το συµβολίζουµε 0. Προφανώς το µηδενικό διάνυσµα έχει µέτρο ίσο µε το µηδέν αφού ταυτίζεται µε σηµείο. Φορέας του µηδενικού διανύσµατος είναι οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται απ το σηµείο αυτό. Συµβατικά µπορούµε λοιπόν να θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα είναι οµόρροπο ή αντίρροπο ή κάθετο προς κάθε άλλο διάνυσµα.

12 . ιανύσµατα Ίσα διανύσµατα είναι τα οµόρροπα διανύσµατα που έχουν το ίδιο µέτρο. Αν τα α, β είναι ίσα γράφουµε α = β Αντίθετα διανύσµατα είναι τα αντίρροπα διανύσµατα που έχουν το ίδιο µέτρο. Στο διπλανό σχήµα τα διανύσµατα ΑΒ και Γ είναι αντίθετα διότι είναι αντίρροπα και έχουν ίσα µέτρα ΑΒ = Γ. Γράφουµε τότε: Γ = ΑΒ. Ονοµάζουµε γωνία των µη µηδενικών διανυσµάτων α και β την κυρτή γωνία ΑΟΒ και τη συµβολίζουµε µε α, β ή β, α ή απλά θ. Είναι α, β = β, α ο ο Φανερό είναι ότι: 0 θ 80 ή 0 θ π θ = 0 και ειδικότερα: θ= 0, αν α β θ=π, αν α β π θˆ =, αν α β ( α, β κάθετα) Σχόλιο: Αν ένα απ τα α, β είναι το µηδενικό διάνυσµα τότε γωνία των, β α µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία θ µε 0 θ π. Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσµάτων Με αρχή ένα σηµείο Ο γράφουµε τα διανύσµατα ΟΑ = α και ΑΒ = β. Το διάνυσµα ΟΒ=ΟΑ+ΑΒ=α+β λέγεται άθροισµα των ακαιβ.

13 ιανύσµατα 3. Παρατηρήστε ότι το τέλος του Αν µε αρχή το Ο γράψουµε το ΟΑ είναι η αρχή του ΑΒ (διαδοχικά διανύσµατα) ΟΓ = ΑΒ = β τότε το ΟΒ = ΟΑ+ ΟΓ είναι η διαγώνιος του παραλληλογράµµου ΟΑΒΓ. Η διαφορά β α του διανύσµατος α από το διάνυσµα β ορίζεται ως το άθροισµα του διανύσµατος β µε το αντίθετο του διανύσµατος α, δηλαδή: β α=β+ α Από τη σχέση ΟΑ+ ΑΒ = ΟΒ προκύπτει ΑΒ = ΟΒ ΟΑ. ηλαδή, κάθε διάνυσµα είναι ίσο µε τη διαφορά των διανυσµάτων που αντιστοιχούν στα άκρα του, θεωρώντας ως κοινή αρχή ένα οποιοδήποτε σηµείο, έστω Ο. Τα ΟΑ, ΟΒ λέ- γονται διανυσµατικές ακτίνες ή διανύσµατα θέσης των σηµείων Α και Β αντιστοίχως και το τυχαίο σηµείο Ο λέγεται διανυσµατική αρχή ( ή σηµείο αναφοράς ). ηλαδή έχουµε: ΑΒ = διανυσµατική ακτίνα του Β - διανυσµατική ακτίνα του Α. Για την πρόσθεση διανυσµάτων ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:. α+ β = β+α 5. α+ γ = β+ γ α=β. α+ β + γ =α+ β+ γ 6. α+ x = α x = 0 3. α+ 0 = α 7. α+ x = 0 x = α 4. α+ α = 0 Μέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων 8. α+β = α + β Έστω α, β δύο µη µηδενικά διανύσµατα. Τότε ισχύει : α β α+β α+β Αν τα α, β δεν είναι συγγραµµικά ισχύει α β <α+β <α+β Αν τα α, β είναι οµόρροπα ισχύει α β <α+β =α+β...

14 4. ιανύσµατα Αν τα α, β είναι αντίρροπα ισχύει α β =α+β <α+β Αν ένα τουλάχιστον από τα διανύσµατα α, β είναι το µηδενικό διάνυσµα ισχύει α β =α+β =α+β Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Το γινόµενο του πραγµατικού αριθµού λ 0 µε το διάνυ- σµα α 0 είναι το διάνυσµα λα για το οποίο ισχύουν : Είναι οµόρροπο του α αν λ > 0 και αντίρροπο του α αν λ < 0. Έχει µέτρο λα Αν λ = 0 ή α= 0 τότε θεωρούµε ότι το γινόµενο Βασικές ιδιότητες του γινοµένου αριθµού µε διάνυσµα Για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β και λ,µ R ισχύουν: λα είναι το µηδενικό διάνυσµα 0. λ µα = λµ α=µ λα α = α ( λ) α = λ α = λα α 0 καιλα=µ α τότε λ =µ ( ) λ α±β =λα±λβ ( ) Αν λ 0 καιλα=λβ τοτε α = β λ±µ α=λα±µ α Αν α 0 και λ α = µ α τότε λ = µ Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι: Αν α, β είναι δύο διανύσµατα µε α 0, τότε: α// β β =λα, λ R ( Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων ) Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων Αν α, β είναι δύο διανύσµατα, τότε κάθε διάνυσµα δ της µορφής: k, λ είναι πραγµατικοί αριθµοί, λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α, β. δ= k α+λβ όπου

15 ιανύσµατα 5. Παρατήρηση. Αποδεικνύεται ότι κάθε διάνυσµα µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός δύο µη συγγραµ- µικών διανυσµάτων του επιπέδου. Η γραφή αυτή είναι µοναδική. ηλαδή αν : δ= xα+ yβ και δ= x α+ y β τότε ισχύουν x = x και y = y ιανυσµατική ακτίνα του µέσου ευθυγράµµου τµήµατος. Το σηµείο Μ είναι µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, όταν και µόνο όταν, ισχύει: Πράγµατι, έχουµε: ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ ΑΜ = ΜΒ ΟΜ ΟΑ = ΟΒ ΟΜ ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ. Βασικές διανυσµατικές σχέσεις σε τρίγωνο ΟΑΒ Αν Κ, Λ, Μ είναι τα µέσα των πλευρών του τριγώνου ΟΒΑ,όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα, ισχύουν:. OA+ AB+ BO = ΑΒ = ΒΑ ΑΜ = ΑΒ ΜΑ = ΑΒ ΜΑ = ΒΑ ΒΜ = ΒΑ Μ Β = ΒΑ ΜΒ = ΑΒ 5. ΑΜ = Μ Β ΑΜ = ΒΜ ΜΑ = ΒΜ 6. ΑΜ=ΜΒ=ΒΜ=ΜΑ= ΑΒ= ΒΑ 7. ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ 8. ΑΜ=ΜΒ= ( ΟΒ ΟΑ) ΜΑ=ΒΜ= ΟΑ ΟΒ

16 6. ιανύσµατα 9. ΚΛ = ΑΒ 0. ΟΜ+ ΑΛ+ ΒΚ = 0 (το διανυσµατικό άθροισµα των διαµέσων ενός τριγώνου είναι 0 ) Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία - Mέθοδος Για να αποδείξουµε µια διανυσµατική ισότητα θεωρούµε ως διανυσµατική αρχή ένα σηµείο της δοσµένης σχέσης και εκφράζουµε όλα τα υπόλοιπα διανύσµατα ως διαφορές διανυσµατικών ακτίνων ως προς την αρχή που θεωρήσαµε. Π.χ. Αν η αρχή είναι το σηµείο Ο γράφουµε: ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Παράδειγµα Να αποδειχθεί ότι για έξι τυχαία σηµεία Α, Β, Γ,, Ε, Ζ ισχύει: Α +ΒΕ+ΓΖ=ΑΕ+ΒΖ+Γ Λύση Εκφράζουµε όλα τα διανύσµατα ως διαφορές διανυσµάτων µε αρχή π.χ. το σηµείο Α. Έτσι Α + ΒΕ+ ΓΖ = ΑΕ+ ΒΖ+ Γ Α + ΑΕ ΑΒ+ ΑΖ ΑΓ = ΑΕ+ ΑΖ ΑΒ+ Α ΑΓ 0 = 0, που ισχύει. Κατηγορία - Mέθοδος Όταν ζητείται να προσδιορίσουµε σηµείο το οποίο ικανοποιεί µια διανυσµατική ισότητα, τότε προσπαθούµε να εκφράσουµε το διάνυσµα που ορίζεται από το ζητούµενο σηµείο, κι ένα άλλο σταθερό σηµείο, συναρτήσει γνωστών σταθερών διανυσµάτων, δηλαδή διανυσµάτων που δεν περιέχουν το ζητούµενο σηµείο. Γι αυτό θεωρούµε ως διανυσµατική αρχή ένα από τα γνωστά σηµεία της δοσµένης σχέσης. Παράδειγµα ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε σηµείο Μ στο επίπεδο του τριγώνου τέτοιο ώστε να ισχύει: ΜΑ ΜΒ+ 3ΜΓ = 0 Λύση Θεωρούµε ως αρχή το σηµείο Α και εκφράζουµε όλα τα διανύσµατα της σχέσης ως διαφορές διανυσµάτων µε αρχή το σηµείο Α. Έχουµε: ΜΑ ΜΒ+ 3ΜΓ = 0 ΜΑ ΑΒ ΑΜ + 3 ΑΓ ΑΜ = 0

17 ιανύσµατα 7. 4ΜΑ ΑΒ+ 3ΑΓ = 0 4 AM = 3ΑΓ ΑΒ 3 ΑΜ = ΑΓ ΑΒ 4 4 Άρα το Α M προσδιορίζεται από το άθροισµα των διανυσµάτων 3 ΑΓ και ΑΒ τα οποία είναι γνωστά. 4 4 ηλαδή το σηµείο Μ καθορίζεται ως πέρας γνωστού διανύσµατος µε γνωστή αρχή. Κατηγορία - Mέθοδος 3 Για να αποδείξουµε ότι δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και β είναι παράλληλα, αποδεικνύουµε µια σχέση της µορφής α=λβ, όπου προς τρίτο διάνυσµα. λ R ή ότι είναι παράλληλα Παράδειγµα ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α = κ ΑΒ+ λ ΑΓ () και ότι Ε// ΒΓ ( κλ, R). Λύση Αφαιρούµε τις σχέσεις () και () και έχουµε: ΑΕ Α = λ ΑΒ+ κ ΑΓ κ ΑΒ λ ΑΓ ΑΕ = λ ΑΒ+ κ ΑΓ () να δείξετε Ε = λ ΑΒ ΑΓ + κ ΑΓ ΑΒ Ε=λΓΒ+κΒΓ Ε = λ ΒΓ+ κβγ Ε = ( κ λ) ΒΓ Εποµένως Ε = µ ΒΓ µε µ =κ λ,δηλαδή Ε // ΒΓ. Κατηγορία - Mέθοδος 4 Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά δείχνουµε ότι δύο απο τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ είναι παράλληλα.

18 8. ιανύσµατα Παράδειγµα Αν για οποιαδήποτε σηµεία Α, Β, Γ ισχύει 4ΟΑ ΟΒ 3ΟΓ = 0, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Λύση Είναι 4ΟΑ ΟΒ 3ΟΓ = 0 4ΟΑ ΑΒ ΑΟ 3 ΑΓ ΑΟ = 0 4ΟΑ ΑΒ+ ΑΟ 3ΑΓ+ 3ΑΟ = 0 ΑΒ = 3ΑΓ Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλα και επειδή έχουν κοινή αρχή το σηµείο Α τα σηµεία Α, Β, Γ θα είναι συνευθειακά. Κατηγορία - Mέθοδος 5. Αν δίνονται τα µέτρα των µη µηδενικών διανυσµάτων α, β, α+β, τότε για να δείξουµε ότι τα α και β, είναι οµόρροπα εξετάζουµε αν ισχύει α+β =α+β, ενώ αν ισχύει α+β = α β τα διανύσµατα α και β είναι αντίρροπα.. Αν δίνεται µια διανυσµατική ισότητα των µη µηδενικών διανυσµάτων α και β, τότε: α) α β α=λβ, λ> 0 β) α β α=λβ, λ< 0 Παράδειγµα Αν για τα διανύσµατα α, βγ, ισχύουν α+ β+ γ = 0 και α= 4 γ, β = 3 γ τότε να αποδείξετε ότι β γ και α β. Λύση α β β + γ β + γ Είναι = = γ = = () και επειδή α+ β+ γ = 0 α = β γ, α β γ β+ γ () β + γ οπότε = = = β + γ = β + γ, που σηµαίνει ότι β γ Επειδή β γ ισχύει: β =λγ µε 0 λ>. Τότε: ( ) α+ β+ γ = 0 α+λγ+ γ = 0 α = λ+ γ µε ( λ + ) > 0, άρα α γ και συνεπώς α β.

19 ιανύσµατα 9. Κατηγορία - Mέθοδος 6 Όταν ζητείται να εκφράσουµε ένα διάνυσµα x ως γραµµικό συνδυασµό µη συγγραµ- µικών διανυσµάτων έστω β και γ, τότε: Εκφράζουµε το διάνυσµα x ως γραµµικό συνδυασµό των β και γ µε δύο τρόπους. Επειδή η γραφή ενός διανύσµατος ως γραµµικού συνδυασµού των β και γ είναι µοναδική, από την ισότητα των συντελεστών προκύπτει το ζητούµενο. Παράδειγµα Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία, Ε πάνω στην ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα τέτοια ώστε να ισχύουν: Γ = ΓΑ και ΒΕ = ΒΓ. Αν Μ το σηµείο τοµής των Β και ΑΕ να εκφράσετε το ΓΜ ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων ΑΒ = β και ΑΓ = γ. 3 4 Λύση Σύµφωνα µε τα παραπάνω έχουµε: γ+λαε= γ+λ ΒΕ ΒΑ = ΓΜ = ΓΑ+ ΑΜ = λ = γ+λ ΒΓ ΒΑ = γ+ γ β λ β = λ λ λ λ = λ β+ γ = β+ γ Επίσης ΓΜ = ΒΜ ΒΓ = µβ ΑΓ ΑΒ = µ ΒΑ+Α ΑΓ+ΑΒ= µ ( µ ) ΑΒ + µ ΑΓ ΑΓ = ( µ ) β+ γ. 3 3 Πρέπει : 3λ = µ 4 3λ+ 4µ= 4 λ 4 µ 3 3λ 4µ= 0 = 4 3 λ= και 3 µ =. Άρα Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 ΓΜ = β γ. 6 Άσκηση. α. Να προσδιορίσετε το διάνυσµα x συναρτήσει των άλλων διανυσµάτων στο σχήµα.

20 0. ιανύσµατα β. Έστω ΑΕ, ΓΗ δύο ευθύγραµµα τµήµατα µε κοινό µέσον. Να υπολογίσετε το διάνυσµα x =ΗΕ συναρτήσει των διανυσµάτων α και β αν α = Γ και β =Α. ( σχ. ) Λύση α. Ισχύει: α β+ γ δ+ε ζ = x σχ. β. Είναι x =Η + Ε. Επειδή Η = Γ και Ε = Α ( το κοινό σηµείο των ευθύγραµµων τµηµάτων ΑΕ, ΓΗ) προκύπτει ότι: x = Γ+Α = α+β ή x = β α Άσκηση Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και Μ εσωτερικό σηµείο του τέτοιο ώστε ΑΜ = ΜΒ. 5 Αν Σ τυχαίο σηµείο του επιπέδου και α=σα, β =ΣΒ να δείξετε ότι: α. ΑΜ = β α 7, β. 5 ΒΜ = α β 7 και γ. ΣΜ = 5 α+ β 7 Λύση α. Επειδή τα διανύσµατα ΑΜ = ΜΒ παίρ- 5 νουµε: ΑΜ = ΜΒ 5 ΑΜ και ΜΒ είναι οµόρροπα από τη σχέση ΑΜ = ΑΒ ΑΜ ΑΜ = ΑΒ ΑΜ ΑΜ = ΑΒ ΑΜ = ΑΒ = ΣΒ ΣΑ = β α σχ. 5 5 β. ΒΜ = ΜΑ ΒΜ = ΒΑ ΒΜ ΒΜ = ΒΑ ΒΜ ΒΜ = ΒΑ ΒΜ = ΒΑ = ΣΑ ΣΒ = α β ( α) 5 γ. ΣΜ = ΣΑ+ ΑΜ = α+ β α = α+ β = 5 α+ β

21 ιανύσµατα. Άσκηση 3 Αν τα διανύσµατα α και β δεν είναι παράλληλα, να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τα διανύσµατα u = 5α+ 3β, υ=α β. Λύση Αν u// υ θα ισχύει: u =λυλ, R 5 α+ 3 β =λ α β 5 λ α = 3 λ β. ( ) ( ) Αν 5 λ 0ή 3 λ 0 τότε α// β, άτοπο. Οπότε 5 λ= 0 και 3 λ = 0 λ = 5και 3 λ =, που είναι επίσης άτοπο. Άσκηση 4 Έστω τα διανύσµατα α και β (µη παράλληλα) και τα σηµεία Α, Β, Γ τέτοια ώστε ΣΑ = 0α, ΣΒ 5 = β ΣΓ = 4α+ 3β όπου Σ τυχαίο σηµείο του επιπέδου. Να δείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Λύση Αρκεί να δείξουµε ότι ΑΒ = λ ΒΓ, λ R διότι τότε τα διανύσµατα ΑΒ και ΒΓ είναι παράλληλα και επειδή έχουν κοινό σηµείο το Β, έχουν και τον ίδιο φορέα, οπότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Είναι ΑΒ = ΣΒ ΣΑ = 5β 0α = 5 β α ΒΓ = ΣΓ ΣΒ = 4α+ 3β 5β = 4α β = β α () β α = ΒΓ ( ) 5 Από τις () και () προκύπτει ότι ΑΒ = ΒΓ ή ΑΒ// ΒΓ.Άρα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Άσκηση 5 Θεωρούµε τα σηµεία Ο, Α, Β, Γ και τα διανύσµατα ΟΑ = α+ β+ 5γ, ΟΒ = 3α+ β+ 6γ, ΟΓ = α+ 3β+ 4γ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Λύση Είναι ΑΒ = ΟΒ ΟΑ = 3α+ β+ 6γ α+ β+ 5γ = α β+ γ.

22 . ιανύσµατα και ΒΓ = ΟΓ ΟΒ = α+ 3β+ 4γ 3α+β+ 6γ = 4α+ β γ = α β+ γ = ΑΒ. Από τη σχέση ΒΓ = ΑΒ, προκύπτει ότι τα διανύσµατα ΒΓ και ΑΒ είναι παράλληλα και επειδή έχουν κοινό το σηµείο Β έχουν τον ίδιο φορέα, άρα τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και ορίζουµε στο επίπεδό του τα σηµεία και Ε σύµφωνα µε τις σχέσεις Α = 5ΑΒ+ 4ΑΓ και ΑΕ = 4ΑΒ+ 5ΑΓ. Να αποδειχθεί ότι τα διανύσµατα Ε και ΒΓ είναι παράλληλα. (Υπ: Εκφράστε το Ε µε αρχή το σηµείο Α).. Αν σε τετράπλευρο είναι είναι τραπέζιο. ΑΒ = α, Α = β, ΑΓ = 4α+ β τότε το τετράπλευρο ΑΒΓ (Υπ: είξτε ότι Γ = 4ΑΒ ). 3. Αν τα διανύσµατα α και β είναι παράλληλα, να αποδείξετε ότι το ίδιο συµβαίνει και για τα διανύσµατα γ και δ, όπου: γ =α β και δ= α+β. ) (Απ: α// β α = λβ και υπολογίστε τα γ, δ 4. Αν για οποιαδήποτε σηµεία Ο, Α, Β, Γ ισχύει 3ΟΑ ΟΒ ΟΓ = 0 να αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Υπ: είξτε ότι ΑΓ// ΑΒ ) 5. Αν Α, Β,, Ε, Ζ είναι σηµεία ενός επιπέδου τέτοια ώστε Α+ ΒΖ = Β+ 3ΒΑ+ ΑΕ να αποδείξετε ότι τα, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. ) (Υπ: Εκφράστε όλα τα διανύσµατα µε αρχή το Α και δείξτε ότι Ζ// Ε 6. ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ και τα µέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και Γ αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε το διάνυσµα y =ΑΓ+Β + ΝΜ. (Απ: y = 0 )

23 ιανύσµατα Αν για τα διανύσµατα α, βγ, ισχύουν α+ β+ γ = 0 και β γ και α β. α β = = γ να αποδείξετε ότι 5 4 (Υπ: Μέθοδος 5) 8. Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα α, βγ, µε α β και β = 4 γ. i. Να προσδιορίσετε διάνυσµα x για το οποίο ισχύει : αx + γ α + β α+ 4γ = βx + β αα+ β α β ii. Να χαρακτηρίσετε µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) και να δικαιολογήσετε τον χαρακτηρισµό, την πρόταση: Το διάνυσµα x είναι αντίρροπο του γ 9. Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα α, βγ, µε α β και α+ β = γ. Αν το µέτρο του διανύσµατος β είναι και το µέτρο του διανύσµατος α+ βγ είναι ίσο µε το µέτρο του διανύσµατος γ να βρείτε την ακριβή σχέση των διανυσµάτων α, β. 0. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΜ, ΒΕ, ΓΖ διαµέσους i. Να δείξετε ότι ΑΒ+ ΑΓ = ΑΜ, ΒΑ+ ΒΓ = ΒΕ, ΓΒ+ ΓΑ = ΓΖ. ii. Να προσδιορίσετε σηµείο G του επιπέδου του τριγώνου για το οποίο ισχύει GA+ GB+ GΓ = 0 υπολογίζοντας τα διανύσµατα AG, BG, Γ G συναρτήσει των διαµέσων ΑΜ, ΒΕ, Γ G αντίστοιχα. iii. Ποια χαρακτηριστική ιδιότητα έχει το σηµείο G. iv. Πως χαρακτηρίζεται το σηµείο G στην Γεωµετρία.. Θεωρούµε τα διανύσµατα α, β τέτοια ώστε: α+ β 0, α β 0. Να αποδειχθεί β α ότι: +. α+ β α β

24 4. ιανύσµατα. Aν ΟΓ = λοα και Ο = µοβ µε Γ // ΑΒ να αποδείξετε ότι λ = µ. Ποιο αντίστοιχο γεω- µετρικό θεώρηµα προκύπτει; 3. Έστω α, βγ,, 0 και ανα δύο µη συγγραµµικά αν α// β+ γ και β// α+ γ να αποδεί- ξετε και γ// α+ β. 4. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο σηµείο της πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει κ ΑΒ+ κ ΑΓ πραγµατικός αριθµός κ τέτοιος ώστε: ΑΜ = ( ) Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Για τα διανύσµατα υ Α, υ Β, υ Γ των ταχυτήτων τριών σωµατιδίων Α, Β, Γ αντίστοιχα, που κινούνται στο επίπεδο, ισχύει η σχέση: υ Α+υΒ υ Γ = 0 0 Το µέτρο της ταχύτητας του Α είναι σταθερό και ίσο µε τα του µέτρου της ταχύτητας του 3 0 Β και µε τα του µέτρου της ταχύτητας του Γ. Να αποδείξετε ότι τα σωµατίδια Β, Γ 7 κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις. (Υπ.: υβ υγ = υα και υβ + υγ = υα )

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 06 12 2014)

(Έκδοση: 06 12 2014) (Έκδοση: 06 04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr η έκδοση: 06 04 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 41. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 71. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Α. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤ. ΜΑΡΚΑΤΗΣ. Επίκ. Καθηγητής Ε. Μ. Π. ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤ. ΜΑΡΚΑΤΗΣ. Επίκ. Καθηγητής Ε. Μ. Π. ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤ. ΜΑΡΚΑΤΗΣ Επίκ. Καθηγητής Ε. Μ. Π. ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 2011 1 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright, 1994-2011 Απαγορεύεται η µε όλα τα µέσα µετάφραση ή ανατύπωση, ολική

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα