ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Β Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα του Υπουργείου Παιδείας σε (3) ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες γνώσεις θεωρίας Β. Λυµένα παραδείγµατα Γ. Λυµένες ασκήσεις. Προτεινόµενα θέµατα Ε. Το ξεχωριστό θέµα Θέµατα που κινούν τη σκέψη και βοηθούν στο σωστό τρόπο µάθησης.

2

3 Συγγραφική οµάδα: Πανελλαδικά Συνεργαζόµενα Φροντιστήρια Τµήµα Μαθηµατικών: ΑΓΑΛΙΩΤΗΣ Θ. ΑΓΓΕΛΑΚΗΣ Ι. ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΑΪΒΑΛΙΩΤΟΥ Ο. ΑΛΒΑΝΟΣ. Θ ΑΛΕΞΑΝ ΡΗΣ Α. ΑΛΕΞΑΝ ΡΗΣ Χ. ΑΝ ΡΟΝΙΚΙ ΗΣ Ι. ΑΝ ΡΟΥΛΙ ΑΚΗΣ Χ. ΑΝΤΩΝΕΑΣ Σ. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Β. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ Ν. ΑΥΓΟΥΣΤΗΣ Α. ΒΑ ΑΛΟΥΚΑΣ Ι. ΒΑΪΟΣ Β. ΒΑΡΑΤΑΣΗΣ Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Π. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Σ. ΒΙ ΑΛΗΣ Ι. ΒΟΥ ΟΥΡΗΣ Σ. ΒΡΥΝΑΣ Γ. ΓΑΝΩΣΗΣ Ν. ΓΑΡΕΦΟΣ Θ. ΓΕΡΟΝΤΙΤΗΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΚΟΣ Π. ΓΙΑΝΝΟΥΣΗΣ Α. ΓΚΙΜΙΣΗΣ Β. ΓΟΥΜΕΝΑΚΗ Ε. Α ΙΩΤΗΣ Λ. ΑΜΒΑΚΑΚΗΣ Γ. ΗΜΗΤΡΙΟΥ Κ. ΙΑΚΑΚΗΣ Χ. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΟΥΒΗΣ Χ. ΡΑΓΑΖΗΣ. ΖΑΡΚΑΝΙΤΗΣ. ΖΗ Β. ΖΩΓΡΑΦΟΣ Β. ΘΕΟ ΩΡΑΚΗΣ Ι. ΚΑΚΑΛΕΤΡΗΣ Κ. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗΣ Λ. ΚΑΡΑΝΙΚΟΛΑΣ ΣΤ. ΚΑΡΑΦΟΥΛΙ ΗΣ Α. ΚΑΡ ΑΣΗΣ Χ. ΚΑΡΚΑΖΗΣ Ι. ΚΑΡΜΠΑ ΑΚΗΣ Γ. ΚΑΤΣΑΣ Ν. ΚΑΤΣΕΤΗΣ Θ. ΚΑΤΣΙΑΟΥΝΗΣ Χ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ Π. ΚΙΝΝΑΣ Κ. ΚΟΖΗΣ Χ. ΚΟΚΚΑΛΙ ΗΣ Ξ. ΚΟΝΤΙΖΑΣ Χ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ Μ. ΚΟΡΕΛΗΣ Ι. ΚΟΣΚΙΝΑΣ Σ. ΚΟΣΜΑΣ Λ. ΚΟΣΜΙ ΗΣ Χ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙ ΟΥ Ν. ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ Χ. ΛΕΠΤΟΚΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΛΙΑΚΟΥΡΑ Ε. ΛΙΑΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ. ΛΙΑΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΛΙΑΤΣΟΣ Ε. ΛΙΟΝΑΣ Α. ΛΟΥΒΕΡ ΗΣ Γ. ΛΟΥΚΙΣΑΣ Φ. ΛΥΚΚΑΣ. ΛΥΚΙ ΗΣ Κ. ΜΑΓΑΛΟΥ Σ. ΜΑΖΑΡΑΚΗΣ Α. ΜΑΛΙΑΜΑΝΗΣ Θ. ΜΑΝΘΟΣ Γ. ΜΑΝΟΥΣΕΛΗΣ Ν. ΜΑΝΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΜΑΝΤΑΣ Γ. ΜΑΝΩΛΗΣ Ν. ΜΗΛΑΚΗΣ Μ. ΜΗΤΣΟΥ Γ. ΜΙΓΚΟΣ Μ. ΜΙΤΟΓΛΟΥ. ΜΟΙΡΑΣ Σ. ΜΠΑΚΟΘΑΝΑΣΗΣ Τ. ΜΠΑΛΑ ΗΜΑΣ Π. ΜΠΕΚΑΣ Π. ΜΠΕΚΡΗΣ Μ. ΜΠΟΓΙΑΤΖΑΡΑΣ Κ. ΝΑΣΙΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΞΕΝΑΚΗΣ Ν. ΟΙΚΟΝΟΜΙ ΗΣ. ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ Κ. ΠΑΝΟΥΤΣΑΚΟΠΟΥΛΟΥ Θ. ΠΑΠΑΡΑΣ Β. ΠΑΠΑΣΠΥΡΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΠΑΡΑΘΥΡΑ Μ. ΠΑΥΛΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΠΕΠΟΝΗΣ Χ. ΠΕΠΟΝΗΣ ΣΠ. ΠΕΠΠΑΣ Ι. ΠΕΤΡΑΤΟΣ Γ. ΠΕΤΡΙ ΗΣ Π. ΠΙΣΤΟΦΙ ΗΣ Π. ΡΕΜΠΗΣ Θ. ΡΟΚΑ Μ. ΡΟΚΟΝΙ ΑΣ Κ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Π. ΣΕΡΦΑΣ T. ΣΙΑΤΕΡΛΗΣ Α. ΣΙΝΑΝΗΣ Γ. ΣΤΑΥΡΟΥ Ν. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Γ. ΣΥΓΛΕΤΟΣ Β. ΤΑΡΑΣΙ ΗΣ Ι. ΤΕΤΡΑ Η Κ. ΤΖΙΩΛΑ Μ. ΤΣΑΓΓΕΡΑΣ Γ. ΤΣΑΛΑΓΡΑ ΑΣ. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΣ Γ. ΦΑΚΟΣ Κ. ΦΑΣΙΤΣΑΣ Λ. ΦΕΤΣΗΣ Γ. ΦΙΛΙΠΠΙ ΗΣ Χ. ΦΡΑΓΚΙΑΣ Ν. ΦΡΑΓΚΟΣ Α. ΧΑΡΙΣΗΣ Μ. ΧΑΡΙΤΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ. ΧΟΥΣΙΩΝΗΣ Κ. ΧΡΥΣΑΦΙ ΟΥ Α. ΨΙΑΚΙ ΗΣ. ΨΥΡΟΥΚΗΣ Γ.

4 Copyright Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του παρόντος βιβλίου, µε οποιονδήποτε τρόπο, χωρίς την έγγραφη άδεια του Εκδοτικού Οίκου. / ΝΣΗ Εκπαιδευτικής σειράς: Α. ΖΥΡΜΠΑΣ Ηλ. Σελιδοποίηση - Γραφικά: Θεοχαρίδου Φωτεινή, Αχιλλιά Σουλτάνα Eκτύπωση Μάρτιος 003 Εκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε Λ. Ιωνίας ΑΘΗΝΑ τηλ.:

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό Εξετάσεις της Ελευθεροτυπίας. Παρουσιάσαµε στην εφηµερίδα τα µαθήµατα, όπως γίνονται στον πίνακα, δηµιουργώντας για το σκοπό αυτό την πολυπληθέστερη συγγραφική οµάδα που έχει ποτέ συσταθεί, προσπαθώντας την εµπειρία της τάξης να την αποτυπώσουµε στο χαρτί. Τη συγγραφική οµάδα αποτελούν καθηγητές συγγραφείς καταξιωµένοι στη συνείδηση γονιών και µαθητών για την ποιότητα της δουλειάς τους. Η συλλογική αυτή προσπάθεια, εµπλουτισµένη, σε σχέση µε το υλικό που παρουσιάστηκε στην εφηµερίδα, απευθύνεται, αφενός στον καθηγητή που θέλει να παρουσιάσει το µάθηµά του στην τάξη µε µια µεθοδικότητα, αφετέρου στο φιλόπονο µαθητή που θέλει να διαβάσει, να µελετήσει και να κατανοήσει την ύλη, χωρίς να σπαταλήσει τον πολύτιµο χρόνο του. Γι αυτό κάθε µάθηµα ολοκληρώνεται σ έναν τόµο. Στο βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιέχονται µια σειρά από νέες, στην Ελληνική βιβλιογραφία, ασκήσεις καθώς και συνδυαστικά θέµατα. Ο σκοπός µας: να δηµιουργήσουµε ένα εργαλείο δουλειάς για όλους µας. Η ύλη χωρίστηκε σε 3 ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Τις απαραίτητες γνώσεις θεωρίας, µε παρατηρήσεις για βαθύτερη κατανόηση. Λυµένα παραδείγµατα, στα οποία καταδεικνύεται η µεθοδολογία επίλυσής τους σε κίτρινο πλαίσιο. Λυµένες ασκήσεις. Τα προτεινόµενα θέµατα µε υποδείξεις - απαντήσεις σε µπλέ πλαίσιο. Το ξεχωριστό θέµα. Όσοι από τους συναδέλφους επιθυµούν να έχουν τις λύσεις των ασκήσεων, για έλεγχο των απαντήσεων, µε χαρά θα τις στείλουµε αν επικοινωνήσουν µαζί µας. Επίσης, θα θέλαµε κρίσεις, παρατηρήσεις, καθώς και επισηµάνσεις γι αυτή µας την προσπάθεια, ώστε η γόνιµη αυτή ανταλλαγή απόψεων να βοηθήσει στη βελτίωση των µελλοντικών µας εκδόσεων. Η συγγραφική οµάδα

6

7 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Μάθηµα ο : ιανύσµατα... Μάθηµα ο : Συντεταγµένες στο επίπεδο... 5 Μάθηµα 3 ο : Εσωτερικό γινόµενο Κεφάλαιο Μάθηµα 4 ο : Η ευθεία στο επίπεδο Μάθηµα 5 ο : Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Μάθηµα 6 ο : Απόσταση σηµείου από ευθεία Κεφάλαιο 3 Μάθηµα 7 ο : Ο κύκλος Μάθηµα 8 ο : Η παραβολή... 3 Μάθηµα 9 ο : Η έλλειψη Μάθηµα 0 ο : Η υπερβολή Κεφάλαιο 4 Μάθηµα ο : Μαθηµατική εισαγωγή Μάθηµα ο : Ευκλείδεια διαίρεση Μάθηµα 3 ο : ιαιρετότητα ακεραίων Επαναληπτικά - Συνδυαστικά Θέµατα... 7

8

9 ιανύσµατα 9.

10

11 ιανύσµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός διανύσµατος - Πράξεις µε διανύσµατα ιάνυσµα, ονοµάζουµε κάθε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ του οποίου έχουµε καθορίσει την αρχή και το τέλος. Το συµβολίζουµε µε ΑΒ ή µε µικρά γράµµατα α, β, u, w... Προφανώς είναι ΑΒ ΒΑ. Κάθε διάνυσµα χαρακτηρίζεται από: Τη διεύθυνσή του, η οποία καθορίζεται από την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσµα και η οποία ονοµάζεται φορέας. Τη φορά του. Το µέτρο του δηλαδή το µήκος του. Το µέτρο ενός διανύσµατος Αν AB =, τότε το διάνυσµα AB λέγεται µοναδιαίο. Αν οι φορείς δύο µη µηδενικών AB,Γ διανυσµάτων είναι παράλληλοι τότε τα διανύσµατα αυτά ονοµάζονται παράλληλα ή συγγραµµικά.λέµε ότι έχουν την ίδια διεύθυνση και γράφουµε : AB // Γ ΑΒ συµβολίζεται AB. ύο µη µηδενικά παράλληλα διανύσµατα ονο- µάζονται οµόρροπα αν έχουν την ίδια φορά και αντίρροπα αν έχουν αντίθετες φορές. Αν είναι οµόρροπα γράφουµε AB Γ, ενώ αν είναι αντίρροπα AB Γ. Αν η αρχή και το τέλος ενός διανύσµατος συµπίπτουν τότε το διάνυσµα αυτό ονοµάζεται µηδενικό διάνυσµα και το συµβολίζουµε 0. Προφανώς το µηδενικό διάνυσµα έχει µέτρο ίσο µε το µηδέν αφού ταυτίζεται µε σηµείο. Φορέας του µηδενικού διανύσµατος είναι οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται απ το σηµείο αυτό. Συµβατικά µπορούµε λοιπόν να θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα είναι οµόρροπο ή αντίρροπο ή κάθετο προς κάθε άλλο διάνυσµα.

12 . ιανύσµατα Ίσα διανύσµατα είναι τα οµόρροπα διανύσµατα που έχουν το ίδιο µέτρο. Αν τα α, β είναι ίσα γράφουµε α = β Αντίθετα διανύσµατα είναι τα αντίρροπα διανύσµατα που έχουν το ίδιο µέτρο. Στο διπλανό σχήµα τα διανύσµατα ΑΒ και Γ είναι αντίθετα διότι είναι αντίρροπα και έχουν ίσα µέτρα ΑΒ = Γ. Γράφουµε τότε: Γ = ΑΒ. Ονοµάζουµε γωνία των µη µηδενικών διανυσµάτων α και β την κυρτή γωνία ΑΟΒ και τη συµβολίζουµε µε α, β ή β, α ή απλά θ. Είναι α, β = β, α ο ο Φανερό είναι ότι: 0 θ 80 ή 0 θ π θ = 0 και ειδικότερα: θ= 0, αν α β θ=π, αν α β π θˆ =, αν α β ( α, β κάθετα) Σχόλιο: Αν ένα απ τα α, β είναι το µηδενικό διάνυσµα τότε γωνία των, β α µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία θ µε 0 θ π. Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσµάτων Με αρχή ένα σηµείο Ο γράφουµε τα διανύσµατα ΟΑ = α και ΑΒ = β. Το διάνυσµα ΟΒ=ΟΑ+ΑΒ=α+β λέγεται άθροισµα των ακαιβ.

13 ιανύσµατα 3. Παρατηρήστε ότι το τέλος του Αν µε αρχή το Ο γράψουµε το ΟΑ είναι η αρχή του ΑΒ (διαδοχικά διανύσµατα) ΟΓ = ΑΒ = β τότε το ΟΒ = ΟΑ+ ΟΓ είναι η διαγώνιος του παραλληλογράµµου ΟΑΒΓ. Η διαφορά β α του διανύσµατος α από το διάνυσµα β ορίζεται ως το άθροισµα του διανύσµατος β µε το αντίθετο του διανύσµατος α, δηλαδή: β α=β+ α Από τη σχέση ΟΑ+ ΑΒ = ΟΒ προκύπτει ΑΒ = ΟΒ ΟΑ. ηλαδή, κάθε διάνυσµα είναι ίσο µε τη διαφορά των διανυσµάτων που αντιστοιχούν στα άκρα του, θεωρώντας ως κοινή αρχή ένα οποιοδήποτε σηµείο, έστω Ο. Τα ΟΑ, ΟΒ λέ- γονται διανυσµατικές ακτίνες ή διανύσµατα θέσης των σηµείων Α και Β αντιστοίχως και το τυχαίο σηµείο Ο λέγεται διανυσµατική αρχή ( ή σηµείο αναφοράς ). ηλαδή έχουµε: ΑΒ = διανυσµατική ακτίνα του Β - διανυσµατική ακτίνα του Α. Για την πρόσθεση διανυσµάτων ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:. α+ β = β+α 5. α+ γ = β+ γ α=β. α+ β + γ =α+ β+ γ 6. α+ x = α x = 0 3. α+ 0 = α 7. α+ x = 0 x = α 4. α+ α = 0 Μέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων 8. α+β = α + β Έστω α, β δύο µη µηδενικά διανύσµατα. Τότε ισχύει : α β α+β α+β Αν τα α, β δεν είναι συγγραµµικά ισχύει α β <α+β <α+β Αν τα α, β είναι οµόρροπα ισχύει α β <α+β =α+β...

14 4. ιανύσµατα Αν τα α, β είναι αντίρροπα ισχύει α β =α+β <α+β Αν ένα τουλάχιστον από τα διανύσµατα α, β είναι το µηδενικό διάνυσµα ισχύει α β =α+β =α+β Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Το γινόµενο του πραγµατικού αριθµού λ 0 µε το διάνυ- σµα α 0 είναι το διάνυσµα λα για το οποίο ισχύουν : Είναι οµόρροπο του α αν λ > 0 και αντίρροπο του α αν λ < 0. Έχει µέτρο λα Αν λ = 0 ή α= 0 τότε θεωρούµε ότι το γινόµενο Βασικές ιδιότητες του γινοµένου αριθµού µε διάνυσµα Για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β και λ,µ R ισχύουν: λα είναι το µηδενικό διάνυσµα 0. λ µα = λµ α=µ λα α = α ( λ) α = λ α = λα α 0 καιλα=µ α τότε λ =µ ( ) λ α±β =λα±λβ ( ) Αν λ 0 καιλα=λβ τοτε α = β λ±µ α=λα±µ α Αν α 0 και λ α = µ α τότε λ = µ Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι: Αν α, β είναι δύο διανύσµατα µε α 0, τότε: α// β β =λα, λ R ( Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων ) Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων Αν α, β είναι δύο διανύσµατα, τότε κάθε διάνυσµα δ της µορφής: k, λ είναι πραγµατικοί αριθµοί, λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α, β. δ= k α+λβ όπου

15 ιανύσµατα 5. Παρατήρηση. Αποδεικνύεται ότι κάθε διάνυσµα µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός δύο µη συγγραµ- µικών διανυσµάτων του επιπέδου. Η γραφή αυτή είναι µοναδική. ηλαδή αν : δ= xα+ yβ και δ= x α+ y β τότε ισχύουν x = x και y = y ιανυσµατική ακτίνα του µέσου ευθυγράµµου τµήµατος. Το σηµείο Μ είναι µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, όταν και µόνο όταν, ισχύει: Πράγµατι, έχουµε: ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ ΑΜ = ΜΒ ΟΜ ΟΑ = ΟΒ ΟΜ ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ. Βασικές διανυσµατικές σχέσεις σε τρίγωνο ΟΑΒ Αν Κ, Λ, Μ είναι τα µέσα των πλευρών του τριγώνου ΟΒΑ,όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα, ισχύουν:. OA+ AB+ BO = ΑΒ = ΒΑ ΑΜ = ΑΒ ΜΑ = ΑΒ ΜΑ = ΒΑ ΒΜ = ΒΑ Μ Β = ΒΑ ΜΒ = ΑΒ 5. ΑΜ = Μ Β ΑΜ = ΒΜ ΜΑ = ΒΜ 6. ΑΜ=ΜΒ=ΒΜ=ΜΑ= ΑΒ= ΒΑ 7. ΟΜ = ΟΑ+ ΟΒ 8. ΑΜ=ΜΒ= ( ΟΒ ΟΑ) ΜΑ=ΒΜ= ΟΑ ΟΒ

16 6. ιανύσµατα 9. ΚΛ = ΑΒ 0. ΟΜ+ ΑΛ+ ΒΚ = 0 (το διανυσµατικό άθροισµα των διαµέσων ενός τριγώνου είναι 0 ) Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία - Mέθοδος Για να αποδείξουµε µια διανυσµατική ισότητα θεωρούµε ως διανυσµατική αρχή ένα σηµείο της δοσµένης σχέσης και εκφράζουµε όλα τα υπόλοιπα διανύσµατα ως διαφορές διανυσµατικών ακτίνων ως προς την αρχή που θεωρήσαµε. Π.χ. Αν η αρχή είναι το σηµείο Ο γράφουµε: ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Παράδειγµα Να αποδειχθεί ότι για έξι τυχαία σηµεία Α, Β, Γ,, Ε, Ζ ισχύει: Α +ΒΕ+ΓΖ=ΑΕ+ΒΖ+Γ Λύση Εκφράζουµε όλα τα διανύσµατα ως διαφορές διανυσµάτων µε αρχή π.χ. το σηµείο Α. Έτσι Α + ΒΕ+ ΓΖ = ΑΕ+ ΒΖ+ Γ Α + ΑΕ ΑΒ+ ΑΖ ΑΓ = ΑΕ+ ΑΖ ΑΒ+ Α ΑΓ 0 = 0, που ισχύει. Κατηγορία - Mέθοδος Όταν ζητείται να προσδιορίσουµε σηµείο το οποίο ικανοποιεί µια διανυσµατική ισότητα, τότε προσπαθούµε να εκφράσουµε το διάνυσµα που ορίζεται από το ζητούµενο σηµείο, κι ένα άλλο σταθερό σηµείο, συναρτήσει γνωστών σταθερών διανυσµάτων, δηλαδή διανυσµάτων που δεν περιέχουν το ζητούµενο σηµείο. Γι αυτό θεωρούµε ως διανυσµατική αρχή ένα από τα γνωστά σηµεία της δοσµένης σχέσης. Παράδειγµα ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε σηµείο Μ στο επίπεδο του τριγώνου τέτοιο ώστε να ισχύει: ΜΑ ΜΒ+ 3ΜΓ = 0 Λύση Θεωρούµε ως αρχή το σηµείο Α και εκφράζουµε όλα τα διανύσµατα της σχέσης ως διαφορές διανυσµάτων µε αρχή το σηµείο Α. Έχουµε: ΜΑ ΜΒ+ 3ΜΓ = 0 ΜΑ ΑΒ ΑΜ + 3 ΑΓ ΑΜ = 0

17 ιανύσµατα 7. 4ΜΑ ΑΒ+ 3ΑΓ = 0 4 AM = 3ΑΓ ΑΒ 3 ΑΜ = ΑΓ ΑΒ 4 4 Άρα το Α M προσδιορίζεται από το άθροισµα των διανυσµάτων 3 ΑΓ και ΑΒ τα οποία είναι γνωστά. 4 4 ηλαδή το σηµείο Μ καθορίζεται ως πέρας γνωστού διανύσµατος µε γνωστή αρχή. Κατηγορία - Mέθοδος 3 Για να αποδείξουµε ότι δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και β είναι παράλληλα, αποδεικνύουµε µια σχέση της µορφής α=λβ, όπου προς τρίτο διάνυσµα. λ R ή ότι είναι παράλληλα Παράδειγµα ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α = κ ΑΒ+ λ ΑΓ () και ότι Ε// ΒΓ ( κλ, R). Λύση Αφαιρούµε τις σχέσεις () και () και έχουµε: ΑΕ Α = λ ΑΒ+ κ ΑΓ κ ΑΒ λ ΑΓ ΑΕ = λ ΑΒ+ κ ΑΓ () να δείξετε Ε = λ ΑΒ ΑΓ + κ ΑΓ ΑΒ Ε=λΓΒ+κΒΓ Ε = λ ΒΓ+ κβγ Ε = ( κ λ) ΒΓ Εποµένως Ε = µ ΒΓ µε µ =κ λ,δηλαδή Ε // ΒΓ. Κατηγορία - Mέθοδος 4 Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά δείχνουµε ότι δύο απο τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ είναι παράλληλα.

18 8. ιανύσµατα Παράδειγµα Αν για οποιαδήποτε σηµεία Α, Β, Γ ισχύει 4ΟΑ ΟΒ 3ΟΓ = 0, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Λύση Είναι 4ΟΑ ΟΒ 3ΟΓ = 0 4ΟΑ ΑΒ ΑΟ 3 ΑΓ ΑΟ = 0 4ΟΑ ΑΒ+ ΑΟ 3ΑΓ+ 3ΑΟ = 0 ΑΒ = 3ΑΓ Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλα και επειδή έχουν κοινή αρχή το σηµείο Α τα σηµεία Α, Β, Γ θα είναι συνευθειακά. Κατηγορία - Mέθοδος 5. Αν δίνονται τα µέτρα των µη µηδενικών διανυσµάτων α, β, α+β, τότε για να δείξουµε ότι τα α και β, είναι οµόρροπα εξετάζουµε αν ισχύει α+β =α+β, ενώ αν ισχύει α+β = α β τα διανύσµατα α και β είναι αντίρροπα.. Αν δίνεται µια διανυσµατική ισότητα των µη µηδενικών διανυσµάτων α και β, τότε: α) α β α=λβ, λ> 0 β) α β α=λβ, λ< 0 Παράδειγµα Αν για τα διανύσµατα α, βγ, ισχύουν α+ β+ γ = 0 και α= 4 γ, β = 3 γ τότε να αποδείξετε ότι β γ και α β. Λύση α β β + γ β + γ Είναι = = γ = = () και επειδή α+ β+ γ = 0 α = β γ, α β γ β+ γ () β + γ οπότε = = = β + γ = β + γ, που σηµαίνει ότι β γ Επειδή β γ ισχύει: β =λγ µε 0 λ>. Τότε: ( ) α+ β+ γ = 0 α+λγ+ γ = 0 α = λ+ γ µε ( λ + ) > 0, άρα α γ και συνεπώς α β.

19 ιανύσµατα 9. Κατηγορία - Mέθοδος 6 Όταν ζητείται να εκφράσουµε ένα διάνυσµα x ως γραµµικό συνδυασµό µη συγγραµ- µικών διανυσµάτων έστω β και γ, τότε: Εκφράζουµε το διάνυσµα x ως γραµµικό συνδυασµό των β και γ µε δύο τρόπους. Επειδή η γραφή ενός διανύσµατος ως γραµµικού συνδυασµού των β και γ είναι µοναδική, από την ισότητα των συντελεστών προκύπτει το ζητούµενο. Παράδειγµα Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία, Ε πάνω στην ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα τέτοια ώστε να ισχύουν: Γ = ΓΑ και ΒΕ = ΒΓ. Αν Μ το σηµείο τοµής των Β και ΑΕ να εκφράσετε το ΓΜ ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων ΑΒ = β και ΑΓ = γ. 3 4 Λύση Σύµφωνα µε τα παραπάνω έχουµε: γ+λαε= γ+λ ΒΕ ΒΑ = ΓΜ = ΓΑ+ ΑΜ = λ = γ+λ ΒΓ ΒΑ = γ+ γ β λ β = λ λ λ λ = λ β+ γ = β+ γ Επίσης ΓΜ = ΒΜ ΒΓ = µβ ΑΓ ΑΒ = µ ΒΑ+Α ΑΓ+ΑΒ= µ ( µ ) ΑΒ + µ ΑΓ ΑΓ = ( µ ) β+ γ. 3 3 Πρέπει : 3λ = µ 4 3λ+ 4µ= 4 λ 4 µ 3 3λ 4µ= 0 = 4 3 λ= και 3 µ =. Άρα Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 ΓΜ = β γ. 6 Άσκηση. α. Να προσδιορίσετε το διάνυσµα x συναρτήσει των άλλων διανυσµάτων στο σχήµα.

20 0. ιανύσµατα β. Έστω ΑΕ, ΓΗ δύο ευθύγραµµα τµήµατα µε κοινό µέσον. Να υπολογίσετε το διάνυσµα x =ΗΕ συναρτήσει των διανυσµάτων α και β αν α = Γ και β =Α. ( σχ. ) Λύση α. Ισχύει: α β+ γ δ+ε ζ = x σχ. β. Είναι x =Η + Ε. Επειδή Η = Γ και Ε = Α ( το κοινό σηµείο των ευθύγραµµων τµηµάτων ΑΕ, ΓΗ) προκύπτει ότι: x = Γ+Α = α+β ή x = β α Άσκηση Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και Μ εσωτερικό σηµείο του τέτοιο ώστε ΑΜ = ΜΒ. 5 Αν Σ τυχαίο σηµείο του επιπέδου και α=σα, β =ΣΒ να δείξετε ότι: α. ΑΜ = β α 7, β. 5 ΒΜ = α β 7 και γ. ΣΜ = 5 α+ β 7 Λύση α. Επειδή τα διανύσµατα ΑΜ = ΜΒ παίρ- 5 νουµε: ΑΜ = ΜΒ 5 ΑΜ και ΜΒ είναι οµόρροπα από τη σχέση ΑΜ = ΑΒ ΑΜ ΑΜ = ΑΒ ΑΜ ΑΜ = ΑΒ ΑΜ = ΑΒ = ΣΒ ΣΑ = β α σχ. 5 5 β. ΒΜ = ΜΑ ΒΜ = ΒΑ ΒΜ ΒΜ = ΒΑ ΒΜ ΒΜ = ΒΑ ΒΜ = ΒΑ = ΣΑ ΣΒ = α β ( α) 5 γ. ΣΜ = ΣΑ+ ΑΜ = α+ β α = α+ β = 5 α+ β

21 ιανύσµατα. Άσκηση 3 Αν τα διανύσµατα α και β δεν είναι παράλληλα, να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τα διανύσµατα u = 5α+ 3β, υ=α β. Λύση Αν u// υ θα ισχύει: u =λυλ, R 5 α+ 3 β =λ α β 5 λ α = 3 λ β. ( ) ( ) Αν 5 λ 0ή 3 λ 0 τότε α// β, άτοπο. Οπότε 5 λ= 0 και 3 λ = 0 λ = 5και 3 λ =, που είναι επίσης άτοπο. Άσκηση 4 Έστω τα διανύσµατα α και β (µη παράλληλα) και τα σηµεία Α, Β, Γ τέτοια ώστε ΣΑ = 0α, ΣΒ 5 = β ΣΓ = 4α+ 3β όπου Σ τυχαίο σηµείο του επιπέδου. Να δείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Λύση Αρκεί να δείξουµε ότι ΑΒ = λ ΒΓ, λ R διότι τότε τα διανύσµατα ΑΒ και ΒΓ είναι παράλληλα και επειδή έχουν κοινό σηµείο το Β, έχουν και τον ίδιο φορέα, οπότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Είναι ΑΒ = ΣΒ ΣΑ = 5β 0α = 5 β α ΒΓ = ΣΓ ΣΒ = 4α+ 3β 5β = 4α β = β α () β α = ΒΓ ( ) 5 Από τις () και () προκύπτει ότι ΑΒ = ΒΓ ή ΑΒ// ΒΓ.Άρα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Άσκηση 5 Θεωρούµε τα σηµεία Ο, Α, Β, Γ και τα διανύσµατα ΟΑ = α+ β+ 5γ, ΟΒ = 3α+ β+ 6γ, ΟΓ = α+ 3β+ 4γ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Λύση Είναι ΑΒ = ΟΒ ΟΑ = 3α+ β+ 6γ α+ β+ 5γ = α β+ γ.

22 . ιανύσµατα και ΒΓ = ΟΓ ΟΒ = α+ 3β+ 4γ 3α+β+ 6γ = 4α+ β γ = α β+ γ = ΑΒ. Από τη σχέση ΒΓ = ΑΒ, προκύπτει ότι τα διανύσµατα ΒΓ και ΑΒ είναι παράλληλα και επειδή έχουν κοινό το σηµείο Β έχουν τον ίδιο φορέα, άρα τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και ορίζουµε στο επίπεδό του τα σηµεία και Ε σύµφωνα µε τις σχέσεις Α = 5ΑΒ+ 4ΑΓ και ΑΕ = 4ΑΒ+ 5ΑΓ. Να αποδειχθεί ότι τα διανύσµατα Ε και ΒΓ είναι παράλληλα. (Υπ: Εκφράστε το Ε µε αρχή το σηµείο Α).. Αν σε τετράπλευρο είναι είναι τραπέζιο. ΑΒ = α, Α = β, ΑΓ = 4α+ β τότε το τετράπλευρο ΑΒΓ (Υπ: είξτε ότι Γ = 4ΑΒ ). 3. Αν τα διανύσµατα α και β είναι παράλληλα, να αποδείξετε ότι το ίδιο συµβαίνει και για τα διανύσµατα γ και δ, όπου: γ =α β και δ= α+β. ) (Απ: α// β α = λβ και υπολογίστε τα γ, δ 4. Αν για οποιαδήποτε σηµεία Ο, Α, Β, Γ ισχύει 3ΟΑ ΟΒ ΟΓ = 0 να αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Υπ: είξτε ότι ΑΓ// ΑΒ ) 5. Αν Α, Β,, Ε, Ζ είναι σηµεία ενός επιπέδου τέτοια ώστε Α+ ΒΖ = Β+ 3ΒΑ+ ΑΕ να αποδείξετε ότι τα, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. ) (Υπ: Εκφράστε όλα τα διανύσµατα µε αρχή το Α και δείξτε ότι Ζ// Ε 6. ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ και τα µέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και Γ αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε το διάνυσµα y =ΑΓ+Β + ΝΜ. (Απ: y = 0 )

23 ιανύσµατα Αν για τα διανύσµατα α, βγ, ισχύουν α+ β+ γ = 0 και β γ και α β. α β = = γ να αποδείξετε ότι 5 4 (Υπ: Μέθοδος 5) 8. Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα α, βγ, µε α β και β = 4 γ. i. Να προσδιορίσετε διάνυσµα x για το οποίο ισχύει : αx + γ α + β α+ 4γ = βx + β αα+ β α β ii. Να χαρακτηρίσετε µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) και να δικαιολογήσετε τον χαρακτηρισµό, την πρόταση: Το διάνυσµα x είναι αντίρροπο του γ 9. Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα α, βγ, µε α β και α+ β = γ. Αν το µέτρο του διανύσµατος β είναι και το µέτρο του διανύσµατος α+ βγ είναι ίσο µε το µέτρο του διανύσµατος γ να βρείτε την ακριβή σχέση των διανυσµάτων α, β. 0. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΜ, ΒΕ, ΓΖ διαµέσους i. Να δείξετε ότι ΑΒ+ ΑΓ = ΑΜ, ΒΑ+ ΒΓ = ΒΕ, ΓΒ+ ΓΑ = ΓΖ. ii. Να προσδιορίσετε σηµείο G του επιπέδου του τριγώνου για το οποίο ισχύει GA+ GB+ GΓ = 0 υπολογίζοντας τα διανύσµατα AG, BG, Γ G συναρτήσει των διαµέσων ΑΜ, ΒΕ, Γ G αντίστοιχα. iii. Ποια χαρακτηριστική ιδιότητα έχει το σηµείο G. iv. Πως χαρακτηρίζεται το σηµείο G στην Γεωµετρία.. Θεωρούµε τα διανύσµατα α, β τέτοια ώστε: α+ β 0, α β 0. Να αποδειχθεί β α ότι: +. α+ β α β

24 4. ιανύσµατα. Aν ΟΓ = λοα και Ο = µοβ µε Γ // ΑΒ να αποδείξετε ότι λ = µ. Ποιο αντίστοιχο γεω- µετρικό θεώρηµα προκύπτει; 3. Έστω α, βγ,, 0 και ανα δύο µη συγγραµµικά αν α// β+ γ και β// α+ γ να αποδεί- ξετε και γ// α+ β. 4. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο σηµείο της πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει κ ΑΒ+ κ ΑΓ πραγµατικός αριθµός κ τέτοιος ώστε: ΑΜ = ( ) Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Για τα διανύσµατα υ Α, υ Β, υ Γ των ταχυτήτων τριών σωµατιδίων Α, Β, Γ αντίστοιχα, που κινούνται στο επίπεδο, ισχύει η σχέση: υ Α+υΒ υ Γ = 0 0 Το µέτρο της ταχύτητας του Α είναι σταθερό και ίσο µε τα του µέτρου της ταχύτητας του 3 0 Β και µε τα του µέτρου της ταχύτητας του Γ. Να αποδείξετε ότι τα σωµατίδια Β, Γ 7 κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις. (Υπ.: υβ υγ = υα και υβ + υγ = υα )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα του Υπουργείου Παιδείας σε (0) ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ . ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα α 0 λέγεται νέο διάνυσµα λα, που έχει µέτρο λα = λ α και είναι οµόρροπο του α όταν λ > 0 αντίρροπο του α όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

!! viii) Αν λ α = μα

!! viii) Αν λ α = μα Αν έχουμε το διάνυσμα α O και τον πραγματικό αριθμό * λ R τότε γινόμενο του λ με το διάνυσμα α! λέγεται το διάνυσμα λ α! το οποίο: i) είναι ομόρροπο του α! όταν λ>0 και είναι αντίρροπο του α! όταν λ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Περιεχόμενα Η Εννοια του διανύσματος Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα Ισα Αντίθετα διανύσματα Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων Διάνυσμα θέσεως Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου ΚΦΩΝΗΣΙΣ Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

1.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας . σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 26-29 A Οµάδας. ν α είναι ένα διάνυσµα, τι µπορείτε να πείτε για το µέτρο και την κατεύθυνση του διανύσµατος α = 0 α α ; α = 0 α = α α α = α α = Επειδή α > 0, το διάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα