ΘΔΜΑΣΑ ΓΡΑΠΣΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΞΔΣΑΔΩΝ ΜΑΪΟΤ-ΙΟΤΝΙΟΤ 2012

Transcript

1 EΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΓΙΑ ΒΙΟΤ ΜΑΘΗΗ & ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΗ Γ/ΝΗ Π/ΘΜΙΑ ΚΑΙ Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η ΑΝ. ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ - ΘΡΑΚΗ Γ/ΝΗ Γ/ΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η ΡΟΓΟΠΗ ΜΟΤΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΛΤΚΔΙΟ ΚΟΜΟΣΗΝΗ ΘΔΜΑΣΑ ΓΡΑΠΣΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΞΔΣΑΔΩΝ ΜΑΪΟΤ-ΙΟΤΝΙΟΤ 01 ΘΔΜΑ 1 0 Α. Να απνδείμεηε όηη : α + β α + β γηα θάζε α,β πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο. Πόηε ηζρύεη ην ίζνλ; (μονάδες 7) Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ηε ιέμε ωζηό ή Λάθος 1. Η έθθξαζε «Γελ πξαγκαηνπνηείηαη θαλέλα από ηα Α θαη Β» δηαηππωκέλε ζηε γιώζζα ηωλ ζπλόιωλ ζεκαίλεη «( A B)». Γηα δπν ελδερόκελα Α,Β ίδηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω,ηζρύεη Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(Β) 3. Γηα α,β πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη ε ηζνδπλακία α +β =0 α=0 ή β=0 ΧΟΛΙΚΟ ΔΣΟ : ΣΑΞΗ : A ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ : 31 ΜΑΪΟΤ Σν ζύλνιν ηωλ αξηζκώλ ρ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ρ α ζπκβνιίδεηαη κε (-,α] 5. Γηα ρ 0 πξαγκαηηθό θαη ξ ζεηηθό πξαγκαηηθό ηζρύεη : χ - χ0 < ρ χ 0 - ρ < χ < χ0 + ρ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΔΒΡΑ. ΔΙΗΓΗΣΔ : ΒΑΙΛΔΙΟ ΣΔΦΑΝΙΓΗ 6. Γηα θάζε α πξαγκαηηθό αξηζκό ηζρύεη α = α 7. Η εμίζωζε ρ λ =α λ κε λ άξηην θπζηθό αξηζκό έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ ρ=α 8. Ο λ νο όξνο κηαο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ κε πξώην όξν α 1 θαη δηαθνξά ω είλαη : α λ =α 1 +λω 9. Σν άζξνηζκα ηωλ πξώηωλ λ όξωλ κηαο γεωκεηξηθήο πξνόδνπ (α λ ) κε ιόγν ι 1 είλαη Sν (μονάδες 9x=18) ν λ -1 = α1 λ -1 ΘΔΜΑ 0 i) Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο α) ρ -ρ=0, β) ρ 3-4ρ=0 (μονάδες 10) 1 4χ -1 ii) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ρ νξίδνληαη ηα θιάζκαηα α) β) γ) χ 3 χ - χ χ - 4χ 4χ -1 1 iii) Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε + = 3 (μονάδες 10) χ - 4χ χ - χ χ ΘΔΜΑ 3 0 (μονάδες 5) i) Να βξείηε ζε πνην δηάζηεκα αλήθεη ν ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο ώζηε λα ηζρύεη λ - 3 < 1 (μονάδες 5) ii) Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο παξάζηαζεο ι -6ι+8 γηα ι πξαγκαηηθό αξηζκό. (μονάδες 10)

2 iii) Γηα ην ι ηνπ i) εξωηήκαηνο λα απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε ρ -(ι-)ρ+ι-=0 είλαη αδύλαηε ζην ζύλνιν ηωλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ. (μονάδες 10) ΘΔΜΑ 4 0 ε κηα ηάμε 5 καζεηώλ νη 0 έρνπλ πηπρίν επηπέδνπ Β1 ζηα Αγγιηθά,νη 10 ζηα Γεξκαληθά θαη 8 θαη ζηηο δπν γιώζζεο.δπηιέγνπκε ζηελ ηύρε έλαλ καζεηή.να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα ν καζεηήο λα έρεη πηπρίν επηπέδνπ Β1 i) Σνπιάρηζηνλ ζε κηα γιώζζα (μονάδες 5) ii) ΜΟΝΟ ζηα γεξκαληθά (μονάδες 10) iii) ε θακία από ηηο γιώζζεο Αγγιηθά θαη Γεξκαληθά (μονάδες 10) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΦΙΑ Ο Διευθυντής Ο εισηγητής

3 ΣΦΟΛΙΚΟ ΓΤΟΣ ΠΑΛΕ Α ΘΓΙΑΠΑ ΓΞΑΝΠΩΚ ΝΞΜΑΓΩΓΖΗΩΚ ΓΛΓΠΑΟΓΩΚ ΝΓΞΖΜΔΜΡ ΙΑΖΜΡ ΖΜΡΚΖΜΡ 01 ΓΛΓΠΑΔΜΙΓΚΜ ΙΑΘΕΙΑ: ΑΘΓΓΒΞΑ ΑΘΕΚΑ 9/5/01 Δήηημα 1 ( ) Α. Να δείλεηε όηη γηα δύμ ζομπιενςμαηηθά εκδεπόμεκα Α θαη Α ηζπύεη : P( A ) 1 P( A). Β. Κα ταρακηηρίζεηε ηις προηάζεις ποσ ακολοσθούμ με Ο (ζωζηή) ή Θ (λαμθαζμέμη). 1. Ακ α,β >0, ηόηε : Σ-Λ. Γηα θάζε πναγμαηηθό ανηζμό α ηζπύεη a a. Σ-Λ β 3. Ακ a x θαη a 0ηόηε x α Σ-Λ 4. Ακ ημ ηνηώκομμ x x γ (με a 0) έπεη Δ>0, ηόηε εηενόζεμμ ημο α είκαη γηα ηηξ ηημέξ ημο x πμο βνίζθμκηαη μεηαλύ ηςκ νηδώκ. Σ-Λ 5. Ακ ζ>0, ηόηε : x x θ ή x -θ Σ-Λ Δήηημα ( ) Α. Δίκεηαη ε ανηζμεηηθή πνόμδμξ, 5, 8,. 1. Να βνεζεί ημ ς θαη μ α 1 ηεξ πνμόδμο.. Να βνεζεί μ α 0 ηεξ πνμόδμο. Β. Να ιοζμύκ : 1. ε ακίζςζε : x -. ε ακίζςζε : x - x ε ελίζςζε : x 3 5 Δήηημα 3 ( ) Η Καηηκίηζα έθηαζε πιέμκ ζε ειηθία γάμμο. Οη δοκαηέξ επηιμγέξ ηεξ ςξ πνμξ ηα πνμζόκηα ηςκ οπμρήθηςκ γαμπνώκ θαίκμκηαη ζημκ πίκαθα πμο αθμιμοζεί : Νροζόμηα Γπιλογές Γιζόδημα Υρειό (Υ), Μέζμ (Μ), Φαμειό (Φ) Ηορμαζηαζιά Χειόξ (Χ), Κμκηόξ (Κ) Ελικία Νέμξ (Ν), Ώνημμξ (Ω), Γνείπημ (Γ) 1. Να βνείηε ημκ δεηγμαηηθό πώνμ ημο πεηνάμαημξ (όιεξ ηηξ δοκαηέξ επηιμγέξ).. Να βνείηε ηα εκδεπόμεκα : Α: «ε Καηηκίηζα πήνε ρειό άκδνα». Β : «ε Καηηκίηζα πήνε πιμύζημ άκδνα (με ορειό εηζόδεμα)». 3. Να βνείηε ημ εκδεπόμεκμ A B 4. Ν βνείηε ηεκ πηζακόηεηα P( A B ) Δήηημα 4 ( ) Δίκεηαη ε ελίζςζε x ( )x λ 0 1. Να δείλεηε όηη έπεη πάκηα πναγμαηηθέξ νίδεξ.. Να βνείηε ηεκ ηημή ημο ι ώζηε ε ελίζςζε κα έπεη μηα δηπιή νίδα. 3. Να βνείηε ηεκ ηημή ημο ι ώζηε ε ελίζςζε κα έπεη δύμ άκηζεξ νίδεξ. 4. Να βνείηε ηεκ ηημή ημο ι ώζηε μη ιύζεηξ x 1 θαη x ηεξ ελίζςζεξ κα ηθακμπμημύκ 1 1 ηε ζπέζε : x x x 13 x. Κα απαμηήζεηε ζε όλα ηα ζηηήμαηα, καλή επιηστία. Μ διεσθσμηής Μ ειζηγηηής

4 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΣΩΝ ΥΟΛ.ΕΣΟ ΟΠΡΟΠΟΤΛΟΤ ΓΙΑΝΝΙΣΑ ΕΞΕΣΑΕΙ ΜΑΪΟΤ-ΙΟΤΝΙΟΤ 01 ΘΕΜΑΣΑ ΣΑΞΗ Α ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΑΝΝΙΣΑ ο ΘΕΜΑ: Α) Να αποδείξεηε όηι a αν α, β ππαγμαηικοί απιθμοί (15 μον) Β) Να απανηήζεηε ζηιρ παπακάηυ επυηήζειρ Συζηού-Λάθοςρ: ι) Ιζσύει όηι 3 3, α IR Λ ιι) Aν α = β α=β Λ ιιι) P( A B) P( A B) P( A) P( B) Λ Γ) Να ζςμπληπυθούν ηα κενά (6μον) ι) Ο ν-οζηορ όπορ απιθμηηικήρ πποόδος είναι a.. ιι) Αν Α(1,3) ζημείο ηος επιπέδος ηόηε ηο ζςμμεηπικό ηος υρ ππορ ηον άξονα σ σ είναι Α (, ) και υρ ππορ ηον άξονα τ τ είναι Α (, ) x x ο ΘΕΜΑ: Γίνεηαι η ζςνάπηηζη f( x) x 1 (4μον) ι) Να βπεθεί ηο πεδίο οπιζμού ηηρ (4 μον) ιι) Να απλοποιηθεί ο ηύπορ ηηρ f ιιι) Nα λςθεί η εξίζυζη f(x)= f(3)+1 iν) Nα λςθεί η ανίζυζη f(x-1)> (5 μον) (8 μον) (8 μον) 3 ο ΘΕΜΑ: ι) Να γπαθούν ζε απλούζηεπη μοπθή οι παπαζηάζειρ A 1 και Α3 x x 1 A1, x> x 1 A x 3, (10μον) A 81 3 ιι) αν 1,, 3 οι ηπειρ ππώηοι όποι απιθμηηικήρ πποόδος, να βπεθεί ο απιθμόρ σ. (7 μον) ιιι) Να βπεθεί ο απιθμόρ 01. (8 μον) 4 ο ΘΕΜΑ: Γίνεηαι ηο ηπιώνςμο (λ+) σ -λσ + 3λ = 0, ι) Να βπεθεί η διακπίνοςζα Γ ηος ηπιυνύμος και να λςθεί η ανίζυζη Γ<0 (13 μον) ιι) Να βπεθούν οι ηιμέρ ηος λ για ηιρ οποίερ η ανίζυζη (λ+) σ -λσ + 3λ < 0, αληθεύει για κάθε IR (1 μον) Ο ΓΙΔΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΔΙΣΗΓΗΤΔΣ

5 3º Γενικό Λύκειο Σερρών Περίοδος: Μαΐου Ιουνίου 01 ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : Τάξη : Πρώτη (Α) Μάθηµα : Άλγεβρα Θ Ε Μ Α Τ Α Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου Ιουνίου 01 των µαθητών της Α τάξης στο µάθηµα της Άλγεβρας ΘΕΜΑ 1 0 Α. Αν x 1, x οι δύο ρίζες της εξίσωσης α x + β x + γ = 0 µε α 0 και > 0 να αποδείξετε ότι : x 1 + x = - α β. Μον.9 Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις: 1. Αν x 1, x οι δύο ρίζες της εξίσωσης α x + β x + γ = 0 µε α 0 τότε x 1 x = - α γ. Για κάθε πραγµατικό α ισχύει : ν α ν = α. 3. Για κάθε πραγµατικό α, β 0 ισχύει : ν α ν β = α ν β. 4. Για κάθε πραγµατικό α ισχύει : α = -α. Μον.8 Γ. Να συµπληρωθούν οι ισοδυναµίες : x = θ (αν θ > 0) x = α (αν α R ) Μον.8 ΘΕΜΑ 0 Σε µία αριθµητική πρόοδο είναι α 17 = 49 και ω = 3α 1. Να υπολογίσετε : 1. Το α 1 και το ω. Μον.15. Το άθροισµα των 17 πρώτων όρων της προόδου. Μον.10 ΘΕΜΑ 3 0 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων : x 1 x x + 1 x Μον.5 ΘΕΜΑ 4 0 Αν το τριώνυµο f(x) = x + β x + γ έχει ρίζες τις x 1 = -1 και x = 3 1. Να βρείτε τους πραγµατικούς β, γ. Μον.10. Αν β = - και γ = -3 να γράψετε ως γινόµενο το τριώνυµο f(x). Μον. 5 f ( x) 3. Να λύσετε την ανίσωση ( x 1)( x+ 1) Μον.10 ΣΕΡΡΕΣ : 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 Ο /ΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

6 A ΤΑΞΗ o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ΚΑΖΟΥΛΛΕΙΟ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ Τ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑ ΘΗΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΤΡΙΤΗ 9 ΜΑΙΟΥ 01 Ονοµατεπώνυµο: µο:... Α.Κ.. ΘΕΜΑ A 1.Η δευτεροβάθµια εξίσωση α x +β x+γ= 0, α 0 (I) έχει ρίζες τους αριθµούς x 1, x. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των ριζών της (I) δίνεται από το τύπο: β S= x + x =. α 1 Μονάδες Τι ονοµάζουµε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β µε Α, Β ; Μονάδες 5 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Μονάδες x5=10 α. Το σηµείο Μ(x,y) µε x>0 και y<0 βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο. β. Η εξίσωση αx + βx+ γ = 0 µε α 0 έχει δυο άνισες ρίζες όταν 0. γ. Η εξίσωση x ν =α, µε ν περιττό και α αρνητικό είναι αδύνατη. δ. Για οποιουσδήποτε οµόσηµους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύει α + β = α + β. ε. Αν δυο αριθµοί x 1, x έχουν άθροισµα S και γινόµενο P, τότε η εξίσωση δευτέρου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς x 1 και x είναι η: x Sx + P = 0. ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνάρτηση µε τύπο : f( x) = 3 x 4.x x +.x 1.Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f..να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. 3.Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x x και y y Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : Π= Μονάδες =5

7 ΘΕΜΑ Γ A ΤΑΞΗ Θεωρούµε το δειγµατικό χώρο Ω={-5,-4,-3,,10},που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόµενα, και τα ενδεχόµενα του: Α= x Ω / x 4 { } { } { ( ) } Β= x Ω / x 4 x+ 3 0 Γ= λ Ω /ηεξίσωση x + 1 λ x+ 1= 0,έχειδιπλήρίζα. 1. Να γράψετε µε αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα Α, Β και Γ.. είξτε ότι το ενδεχόµενο να πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β είναι το βέβαιο ενδεχόµενο. Ρ Γ Β = 0. Μονάδες =5 3. Να αποδείξετε ότι: ( ) ΘΕΜΑ ίνονται οι συναρτήσεις f x = x + κ.x και ( ) 5 ( ) ( ) g x λ 3.x 4 = + µε κ, λ R. 1.Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέµνει το άξονα x x σε δύο διαφορετικά σηµεία για κάθε τιµή του κ R..Να βρείτε την τιµή του λ R, ώστε η γραφική παράσταση της g να είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. 3.Στο διπλανό σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των f και g,για κ=1 και λ=. Να βρείτε: i.την τιµή της παράστασης: 1 1 A( x) =. f 3 g x f 3 + g x ( ) ( ) ( ) ( ) ii. Τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της g (να αποδείξετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας). Μονάδες 6+6+( +(7+6) 6)=5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

8 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A να αποδείξετε ότι ισχύει: Μονάδες 7 Α. Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Να αντιστοιχίσετε κάθε σχέση της αριστερής στήλης του πίνακα όπου αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα, με τα στοιχεία της δεξιάς στήλης όπου αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων. (Δύο σχέσεις της δεξιάς στήλης περισσεύουν) i. Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β α. ω Α' (ή ω Α) ii. Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται β. ω Α Β iii. Πραγματοποιείται μόνο το Α γ. ω (Α Β)' iv. Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται δ. ω Α Β ε. ω Α Β (ή ω Α Β') στ. ω Α Μονάδες 8 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν α < 0 τότε β. Το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους ισχύει συμβολίζεται με γ. Η εξίσωση με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό είναι αδύνατη δ. Η εξίσωση και διακρίνουσα Δ > 0 είναι αδύνατη στο. ε. Ισχύει η ισοδυναμία: i. ii. iii. iv. ΘΕΜΑ Β Μονάδες 10 Ο πρώτος όρος μίας αριθμητικής προόδου είναι και ο όρος είναι. Β1. Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της παραπάνω προόδου είναι ω = 4. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε ποιος όρος της παραπάνω προόδου ισούται με 119. Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε το άθροισμα:

9 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Στον τελικό του σχολικού πρωταθλήματος Μπάσκετ θα αναμετρηθούν το Λύκειο της Αγιάσου με το Λύκειο της Καλλονής (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ ισόπαλοι). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Με Α συμβολίζουμε το ενδεχόμενο να νικήσει σε ένα αγώνα η ομάδα της Αγιάσου και με Κ το ενδεχόμενο να νικήσει σε ένα αγώνα η ομάδα της Καλλονής. Γ1. Να κάνετε το δενδροδιάγραμμα του παραπάνω πειράματος και να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. Μονάδες 6 Γ. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα: Β: Τον πρώτο αγώνα να τον κερδίσει η ομάδα της Καλλονής. Γ: Η ομάδα της Καλλονής να κάνει ακριβώς μία νίκη. Δ: Να κερδίσει το πρωτάθλημα η ομάδα της Αγιάσου. Μονάδες 6 Γ3. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα: Β, Β, Δ. Μονάδες 6 Γ4. Αν θεωρήσουμε ότι τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα να βρείτε τις πιθανότητες: Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Δ),, Ρ(Β ), Ρ(Β ) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση : ( I ), με λ. Δ1. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της παραπάνω εξίσωσης είναι. Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ είναι Δ < 0. Μονάδες 8 Δ3. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση ( I ) έχει δύο ρίζες άνισες. Μονάδες 4 Δ4. Αν οι ρίζες της εξίσωσης ( I ) να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: Μονάδες 7 Να απαντήσετε στην κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

10 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑΤΑ Α 1. Αν x 1, x είναι οι ρίζες τις εξίσωσης αx +βx+γ=0, µε α, β, γ R να αποδείξετε ότι : 1) x 1 + x = β Μονάδες 6 α ) x 1 x = γ α Μονάδες 7 Α. Στις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το Σ (Σωστό ) η το Λ (Λάθος ) : 1) Ισχύει αβ = α β για κάθε α,β πραγµατικούς αριθµούς Σ Λ ) α-β = β-α για κάθε α,β πραγµατικούς αριθµούς Σ Λ 3) Ισχύει α =α για κάθε πραγµατικό αριθµό α Σ Λ 4) Ισχύει α+ β = α + β για κάθε α,β πραγµατικούς αριθµούς Σ Λ ΘΕΜΑ Μονάδες 1 Β 1. Να λύσετε την εξίσωση : x -5x+6=0 Μονάδες 18 B. ίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 5x+ 6.Να βρείτε το πεδίο ορισµού της ΘΕΜΑ 3 Μονάδες 7 Γ 1. ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 3.Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. Μονάδες 1 Γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1 Μονάδες 13

11 ΘΕΜΑ 4 ίνεται η αριθµητική πρόοδος (α ν ), ν Ν *, µε διαφορά προόδου ω=1 και της οποίας ο πέµπτος όρος είναι ο α 5 =5. 1. Βρείτε τους α 1,α και α 3 Μονάδες 7. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(x)=x -α 4 x+α, όπου α 4 και α όροι της ακολουθίας Μονάδες 6 3. Εάν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0, να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων 1) x1 x Α= + Μονάδες 5 x x x x ) 1 Β= + Μονάδες Να λύσετε την εξίσωση : x -3Α + χ+β =0, όπου Α,Β οι παραστάσεις του 3 ερωτήµατος. Μονάδες 3 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΨΑΡΡΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ

12 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΠΠΕΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΤΑΞΗ : Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 4/05/01 ΘΕΜΑ A Α1. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α. Μονάδες 5 A. Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις : α. όπου. β. γ. Η ευθεία με εξίσωση y x τέμνει τον άξονα yy στο σημείο B(0, ). δ. Το γινόμενο των ριζών x 1, x μιας εξίσωσης x x 0, 0 δίνεται από τον τύπο P. ε. Αν A Bτότε P(A) P(B). Μονάδες 10 A3. Να αποδείξετε ότι όπου,. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ B Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού x 6x 3 0 (1) όπου. B1. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Μονάδες 5 Β. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζες. Για ποια από τις παραπάνω τιμές του μ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; Μονάδες 8 Β3. Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης (1) να βρείτε το άθροισμα S x1 x καθώς και το γινόμενο P x1 xτων ριζών της. Μονάδες 5 Β4. Για 1 να λύσετε την εξίσωση. Μονάδες 7

13 ΘΕΜΑ Γ Σε μία τάξη 30 μαθητών οι 0 ασχολούνται με το ποδόσφαιρο, οι 15 ασχολούνται με το μπάσκετ και οι 10 ασχολούνται και με τα δύο αθλήματα. Έστω τα ενδεχόμενα: Α: Ο μαθητής ασχολείται με το ποδόσφαιρο. Β: Ο μαθητής ασχολείται με το μπάσκετ. Γ1. Να γράψετε με τι ισούται κάθε μία από τις πιθανότητες P(A),P(B) και P(A B). Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες: α. P(A B). β. P(A ). Γ3. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να παίζει μόνο μπάσκετ. Μονάδες 6 Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f (x) x x 1,. Δ1. Να γράψετε το πεδίο ορισμού της f. Δ. Να βρείτε το ώστε το σημείο M(4, ) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Μονάδες Μονάδες 6 Δ3. Για 5να γράψετε τον τύπο της f και να βρείτε : Μονάδες α. τις τιμές f ( ) και f (5). Μονάδες 4 β. τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες xx και yy. Μονάδες 6 γ. Αν g(x) x 4, να βρείτε τα x για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g. Μονάδες 5 Ο Διευθυντής Ο Εισηγητής Σταύρος Βαμβακέλλης

14 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΥΔΡΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ EΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ.. ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΩΝΥΜΟ:.. ΟΝΟΜΑ:.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : ΑΡΜΑΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗ Εκατονταβάθμια κλίμακα Εικοσαβάθμια κλίμακα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Δίνεται η εξίσωση αx + βx+ γ = 0, α 0 Έστω x, x 1 οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Αν με S = x1 + x συμβολίσουμε το άθροισμα και με P = x1 x το γινόμενο β των ριζών αυτών, να αποδείξετε ότι: S = x1 + x = α και γ P = x1 x = α. (Μονάδες: 10) Β. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α. (Μονάδες: 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω αλγεβρικές εκφράσεις: : ( α + β) = α + 3αβ + 3α β + β, για κάθε α, β : Αν α, β ομόσημοι α β < 0 α < 0 β 3: Αν θ > 0 τότε: x < θ θ < x< θ 4: Ισχύει πάντοτε: α + β = α + β 5: Η εξίσωση αx + βx+ γ = 0, α 0με διακρίνουσα Δ = 0, έχει μία β διπλή ρίζα τη x = α (Μονάδες: 10)

15 ΘΕΜΑ ο Ένα κουτί περιέχει μπάλες: 15 άσπρες, 0 μαύρες, 5 κόκκινες και 10 πράσινες. Παίρνουμε τυχαίως μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων η μπάλα να είναι: Α) μαύρη (Μονάδες: 8) Β) άσπρη ή μαύρη (Μονάδες: 8) Γ) ούτε κόκκινη ούτε πράσινη (Μονάδες: 9) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 x + x 5 7x+ 6 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες: 6) x 1 x 6 Β. Για κάθε και, να γίνει απλοποίηση και να αποδείξετε ότι f(x) = x + 5 x 6 (Μονάδες: 7) Γ. Να λυθεί η εξίσωση x+ f( 5) + 3 = 10 (Μονάδες: 6) Δ. Να λυθεί η ανίσωση x+ f( 7) < 10 (Μονάδες: 6) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση x λ x+ 3λ = 0 (1), λ Α. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (1) έχει μια διπλή ρίζα; Β. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες άνισες; (Μονάδες: 8) (Μονάδες: 9) Γ. Αν S = x1 + x το άθροισμα και P = x1 x το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (1), να λύσετε την ανίσωση S ΝΑ ΕΧΕΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! P (Μονάδες: 8) Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΑΡΜΑΟΣ ΠΕΤΡΟΣ

16 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΜΦΙΛΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙOY 01 EΞETΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α 1. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών x 1, x της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 δίνονται από τους τύπους S = και P = αντίστοιχα. Α. Να γράψετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου. Α 3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΜΟΝΑΔΕΣ 5 i. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx+β είναι...η οποία έχει κλίση... και τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο... ii. Ο νιοστός όρος γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και λογο λ είναι α ν =... ενώ το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν) με λόγο λ 1 είναι S v... ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Α 4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) i. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει α = -α ii. Για κάθε α > 0, μ θετικό ακέραιο και ν θετικό ακέραιο ισχύει. iii. Η εξίσωση x ν = α με α >0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό έχει ακριβώς δύο λύσεις τις και. iv. Η ανίσωση αx + βx + γ > 0 με α > 0 και διακρίνουσα Δ < 0 αληθεύει για κάθε x. v. Για δύο πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει πάντα α+β = α + β. ΜΟΝΑΔΕΣ 10

17 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x 3x k με f(1)=3 και οι ευθείες ε και ζ με εξισώσεις ε: y=(f(0)-)x+3 και ζ: y= ( 3) x 4 αντιστοίχως. Β 1. Nα δείξετε ότι: κ=1 και f(0)=1. Β. Nα δείξετε ότι η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα x x αμβλεία γωνία. Β 3. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε οι ευθείες ε και ζ να είναι παράλληλες. ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)= Γ 1. Nα δείξετε ότι f(x) = x 3 4 για κάθε x x x 4 6x 9 4 και g(x)= Γ. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού Α της g και να δείξετε ότι g(x) = x για κάθε x Γ 3. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x)-6. Γ 4. Να λύσετε την ανίσωση f(x)<4 x. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ΜΟΝΑΔΕΣ 10 ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση (λ+)x -λx-1=0 με λ (1). Δ 1. Να αποδείξετε ότι >0 και στη συνέχεια ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Δ. α. Να βρείτε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών της εξίσωσης (1) ως συνάρτηση του λ. ΜΟΝΑΔΕΣ β. Να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει S= -P. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Δ 3. Για λ=1 α. Να λύσετε την εξίσωση (λ+)x -λx-1=0. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 β. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο ο πρώτος όρος της α 1 είναι η μεγαλύτερη ρίζα της παραπάνω εξίσωσης του ερωτήματος Δ 3.α και ω η μικρότερη ρίζα της να βρείτε τον τέταρτο όρο της α 4 και το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της S 10. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΣ ΝΙΚΟΣ ΒΑΡΟΥΤΙΔΟΥ ΝΑΤΑΣΑ

18 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο A. Να αποδείξετε ότι α.β = α. β, για κάθε α,β R (μονάδες 10) B. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω τύποι: ι. a.... ιι.... ιιι.... ιν. x <θ, θ>0.. ν. d(α,β)=. (μονάδες 5x1=5) C. Χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ), γράφοντάς το δίπλα στον αριθμό της πρότασης στην κόλλα σας: 1. Η εξίσωση x ν = α, με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την v a.. Η εξίσωση 0.x=-β είναι πάντα αδύνατη. 3. Το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0 με Δ>0 και ρίζες x 1,x μετασχηματίζεται σε αx + βx + γ = α(x + x 1 )(x + x ) 4. Αν x 1,x ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ=0, α 0 τότε x 1.x = 5. Το συμμετρικό του σημείου Α(α,β) ως προς τον άξονα x'x είναι το σημείο Δ (α,-β), που έχει ίδια τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη. (μονάδες 5x=10)

19 ΘΕΜΑ Ο x a Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x 1 α R. i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (μονάδες 6) ii. Αν το σημείο Α(0,1) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης, να βρεθεί η τιμή του α. (μονάδες 6) Για α=1: iii. Να δείξτε ότι f(x)= x +1 (μονάδες 6) iv. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=f(x-1) (μονάδες 7) ΘΕΜΑ 3 Ο ( x x 1)( x x 3) Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x 1 i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (μονάδες 6) ii. Να αποδειχθεί ότι, μετά τις απλοποιήσεις, η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f(x)=-x +4x-3. (μονάδες 7) iii. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x x και y y. (μονάδες 6) iv. Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x'x (μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 ο A. i. Να λυθεί η εξίσωση 3-x =1 (μονάδες 6) ii. Να λυθεί η ανίσωση 1-x (μονάδες 6) B. Δίνεται η εξίσωση x - 3-λ.x - 1-λ =0. i. Να δείξετε ότι έχει άνισες ρίζες x 1,x, για κάθε πραγματική τιμή του λ. (μονάδες 6) ii. Να βρεθεί η τιμή του λ R, ώστε x 1 +x =1 και x 1.x - (μονάδες 7) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα με όποια σειρά θέλετε. Μυτιλήνη 11/6/01 Η ΔΝΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΣΚΑΛΟΧΩΡΙΤΟΥ Γ. ΑΝΝΑ ΚΟΥΡΑΣΑΝΗ - ΧΡΗΣΤΕΛΗ ΠΑΖΙΑΝΟΥ Ε. ΚΟΥΤΣΚΟΥΔΗΣ Π.

20 11- UΓενικό Λυκείο Πέτρας U ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις Ιουνίου UΘΕΜΑ Α Α1. Για τους πραγματικούς α, β αποδείξτε ότι α+β α + β Moνάδες 10 Α. Για ποιες τιμές των πραγματικών α και β η εξίσωση αχ +β =0 είναι ταυτότητα; Μονάδες 5 Α3. Χαρακτηρίστε με Σ (σωστό ) ή Λ (λάθος ) τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας την απάντησή σας στην κόλλα δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση. α. Η εξίσωση λχ =χ+1 έχει για λ 1 ακριβώς μια λύση β. Η εξίσωση αχ + βχ +γ =0 έχει μια διπλή ρίζα αν Δ > 0 γ. Η ανίσωση χ +λχ+λ >0 με λ 0 αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του χ δ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με f(x) = 1- x είναι το Α = ( -, 1] ε. Υπάρχει συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση να διέρχεται από τα σημεία Α ( 1, ) και Β ( 1,3 ) Μονάδες 10

21 UΘΕΜΑ Β. Β1. Να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές την παράσταση Α = x+ - x-1 αν - < x < 1 Moνάδες 7 Β. Να λυθεί η εξίσωση 1-x x+ = x-1 Moνάδες 10 Β3. Να λυθεί η ανίσωση 1- x > 5 Mονάδες 8 UΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η εξίσωση x λ x + λ -1 = 0 με λ Γ1. Δείξτε ότι η εξίσωση έχει λύση στο R για κάθε λ R Μονάδες 5 Γ. Για ποιες τιμές του λ έχει δύο ρίζες ίσες και να βρεθούν Μονάδες 5 Γ3. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x - λ x + λ 1 =0 για ποιές τιμές του λ ισχύει : x 1 +x =3λ Μονάδες 10 Γ4. Αν x 1, x oι ρίζες της x λ x + λ -1 = 0 κατασκευάστε δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες ρ 1 = x 1 +4 και ρ = x +4 Moνάδες 5

22 UΘΕΜΑ Δ. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x kx +4 και g(x) = x-6 Δ1. Βρείτε τη τιμή του κ ώστε το σημείο Α (,- ) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Μονάδες 3 Αν κ=5 βρείτε : Δ. Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g Moνάδες 5 Δ3. Για ποιές τιμές των χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g. Μονάδες 7 Δ4. Υπολογίστε τη τιμή της παράστασης Γ= f ( ) g ( 1 ) Moνάδες 10 Ο Δ/ ντής Ο καθηγητής Ε. Ζορμπάς Χαλδεάκης Χρήστος

23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ.ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/νση Β/θµιας Εκπ/σης Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΥΤΙΛΗΝΗ 31/5/01 ΘΕΜΑ Α 1. α. Για δυο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α να αποδείξετε ότι ισχύει: P(A )=1-P(A). Μονάδες 10 β. Να δώσετε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου. Μονάδες 5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για θετικούς αριθµούς α,β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: α>β α ν >β ν. β. Η απόσταση δυο αριθµών α και β είναι: d(α,β)= α+β γ. Αν Δ>0, τότε: αx +βx+γ=α(x-x 1 )(x-x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωνύ- µου. δ. Τρεις αριθµοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. τότε: α γ β= ε. Αν θ>0, τότε x =θ x=θ ή x=-θ. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Έστω αριθµητική πρόοδος (α ν ) µε πρώτο όρο α 1= -10 και α 6 =5. 1. Να βρείτε τη διαφορά ω,. Να βρείτε τον εικοστό όρο α 0, 3. Να βρείτε το άθροισµα S 30 των 30 πρώτων όρων. Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9

24 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παράσταση Α=α +β - α -4 β +5 µε α,β R. 1. Na αποδείξετε ότι Α= ( α -1) + ( β -). Μονάδες 8. Αν Α 0, τότε να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και β. Μονάδες 7 3. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x,y ισχύει και µετά ότι ισχύει A ( + ) x y x + y α + β 3 ( ) Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x -5x+λ+=0 µε λ R. (1) 1. α. Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση (1) έχει δύο άνισες ρίζες. Μονάδες 10 β. Να προσδιορίσετε εκείνες τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση (1) έχει ρίζες των οποίων το γινόµενο είναι µικρότερο του 3. Μονάδες 10. Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η ανίσωση x -5x+λ+>λx-3 αληθεύει για κάθε x R. Μονάδες 5 Ο Δ/ντής Ο καθηγητής Ανδρεαδέλλης Σταύρος Καλπάκας Μιχαήλ

25 Θέμα Α ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΙΑΝΝΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαίου - Ιουνίου 01 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Α1) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει (Μονάδες 8) Α) Τι ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; (Μονάδες 7) Α3) Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ). (Μονάδες x5) i. Η εξίσωση x =α με a 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό είναι αδύνατη. ii. Ένας τύπος που δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων μία αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το a1 και διαφορά ω είναι ο S 1 ( 1). iii. Ισχύει a aγια οποιονδήποτε θετικό αριθμό α. iv. Το συμμετρικό του σημείου Μ(α,β) ως προς τον άξονα y y είναι το Μ (-α,β). v. Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f μπορεί να τέμνει τον άξονα y y σε περισσότερα από ένα σημεία. Θέμα Β Οι αριθμοί 3x-, x+1 και x-5 είναι διαδοχικοί όροι μίας αριθμητικής προόδου Β1) Να αποδείξετε ότι x=3. (Μονάδες 10) Β) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. (Μονάδες 4) Β3) Αν ο αριθμός 3x- είναι ο έκτος όρος της πρόοδου, να βρείτε: α) τον πρώτο όρο της προόδου (Μονάδες 5) β) το άθροισμα S 0 των 0 πρώτων όρων της προόδου. (Μονάδες 6) Θέμα Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 3 και g( x) x 3 Γ1) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων. (Μονάδες 8) Γ) Να λύσετε την εξίσωση g(x)= 4 (Μονάδες 8) Γ3) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x) (Μονάδες 9) a Θέμα Δ Δίνεται η παραβολή f x x x ( ) 3 Δ1) Να βρείτε την κορυφή της. (Μονάδες 7) Δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της f με τον άξονα x x και με τον άξονα y y. (Μονάδες 8) Δ3) Να κάνετε μία πρόχειρη γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης στην οποία να φαίνονται τουλάχιστον τα παραπάνω σημεία των ερωτημάτων Δ1 και Δ. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης (ή με όποιο άλλο τρόπο θέλετε) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. (Μονάδες 5+5) Ο Διευθυντής ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο εισηγητής Αλέξανδρος Συγκελάκης

26 ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 01 Α1. Έστω x1, x οι ρίζες της εξίσωσης + + = µε α 0. Να αποδείξετε ότι: αx βx γ 0 β γ x1+ x = και x1 x =. (Μονάδες 10) α α Α. Να γράψετε τον ορισµό της απόλυτης τιµής ενός πραγµατικού αριθµού α. (Μονάδες 5) Α3. Να χαρακτηρίσετε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ). 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: Ρ( Α Β ) =Ρ( Α) Ρ( Α B).. Αν θ > 0 ισχύει η ισοδυναµία: x = θ x = θ ή x = θ. 3. Αν η γραφική παράσταση συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο Μ(α, β) τότε f(β) = α. 4. Για τον µη αρνητικό πραγµατικό αριθµό α και τους θετικούς ακεραίους µ και ν ισχύει η σχέση: µ µ ν ν α = α. 5. Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει η ισοδυναµία: α < β αγ < βγ. Θέµα Α - Απαντήσεις Α1. Θεωρία σελ. 90 Α. Θεωρία σελ. 61 Α3. 1. Λ. Σ 3. Λ 4. Λ 5. Λ (Μονάδες 5 x = 10) ΘΕΜΑ Β Oι αριθµοί κ 3, κ + 3, 3κ 1 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Β1. Να αποδείξετε ότι κ = 5 και ότι η διαφορά ω της αριθµητικής προόδου ισούται µε 6. (Μονάδες 7) Β. Αν α4 = κ 3 να δείξετε ότι ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου είναι α 1= 16. (Μονάδες 6) Β3. Να υπολογίσετε το S 8. (Μονάδες 6) 4 Β4. Να λύσετε την εξίσωση x + a 1 = 0, όπου a 1 ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 6)

27 Θέµα Β - Απαντήσεις Β1. κ 3+ 3κ 1 κ+ 3= κ + 6= κ 3+ 3κ 1 κ = 10 κ = 5 ω= ( κ+ 3) ( κ 3) = κ + 3 κ + 3= 6 α = κ 3= 5 3= α + 3ω = α + 3 6= α = 16 Β S 8 = ( 16) + (8 1) 6 = = x + a1 = 0 x 16= 0 x = 16 x=± 16 x=± Β3. [ ] Β4. ΘΕΜΑ Γ ίνεται η εξίσωση 6x x 1= 0 µε ρίζες ρ1, ρ, όπου ρ1 < ρ. Γ1. Να βρείτε τα ρ 1 και ρ. Γ. Να λύσετε την εξίσωση: 5 ρ1 x = x 8 ρ. Γ3. Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει: 1 + <. ρ 1 x x 1 1 (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) (Μονάδες 8) Θέµα Γ Απαντήσεις Γ1. 6x x 1= 0 = = x 1, ( 1) 4 ( 1) ( 6) 5 1± 5 1/ = ρ = = 6 1/ 3 = ρ1 1 1 x Γ. 5 ρ1 x = x 8 ρ 5 x = x 8 5+ = x 3 3 x x = 3 x= = 6 x 5 x = 15 x = 3 3 x = 3 x = 1 Γ ρ x 1 < 3 3< x 1< 3 < x< 4 (1) και x 1 1 x x 1 1 () x 1 1 x 0 1 x x+ 1< 1 ( x 1) < 1 x 1 < 3 Με συναλήθευση των (1) και () προκύπτει: x (,0] [,4)

28 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f ( x) = 8+ 7x x x. 1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 8). Να αποδείξετε ότι f(0) + f(5) = 0. (Μονάδες 5) 1 3. Να µετατρέψετε την παράσταση σε ισοδύναµη µε ρητό παρονοµαστή. 1 + f (0) (Μονάδες 5) 4. Αν για τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω γνωρίζουµε ότι ( ) f Ρ( ) Ρ( Ω) Ρ( Β ) = και 4 α) τις πιθανότητες P(A) και P(B) ( ) β) την πιθανότητα ( ) Θέµα Απαντήσεις Ρ Α Β. 5 Ρ( Α Β ) =, τότε να υπολογίσετε: 8 [ f (5)] Ρ( Α ) =, 4 (Μονάδες 4) (Μονάδες 3) 1. Πρέπει x + 7x+ 8 0 και x 0 x = 7 4 ( 1) 8= 81, x1, Άρα Α= [ 1, ) (,8] 7± 9 1 = = ( 1) x + 7x f (0) = = = = = f (5) = = = = = f (0) + f (5) = + = α) = = = = ( ) ( ) 1 f (0) [ f ] (5) 1 Ρ( Α ) = = = 4 4 ( Ρ ) Ρ Ω ( ) ( ) f ( ) ( ) f (0) Ρ( Β ) = = = = γιατι P( )=0 και P(Ω)=

29 β) (( ) ) ( ) Ρ Α Β = 1 Ρ Α Β (1) Ρ( Α Β ) =Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β) Ρ( Α Β ) =Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β ) = + = () ( ) 1 Ρ () Α Β = 1 1 = ( ) ( )

30 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ της ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Γραπτές Προαγωγικές Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 01 Τάξη: Α Εξεταζόμενο Μάθημα: Άλγεβρα ΘΕΜΑ 1 Δίνεται η εξίσωση αx βx γ + + = 0 (1.) με α 0 και ρίζες x1, x. Έστω S = x1+ x και P= x 1 x. 1) Να δείξετε ότι I. S β = α II. P = γ α ) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1.) μετασχηματίζεται στην ισοδύναμη εξίσωση ΘΕΜΑ Δίνεται η παράσταση x Sx P + = 0 (.) x 3 4 x (3.) Μονάδες: ) Να γράψετε την παράσταση (3.) χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής στις ακόλουθες περιπτώσεις: ) Να λύσετε την εξίσωση 3) Για ποια τιμή του t ο αριθμός α) x < 3 β) 3 x 4 γ) x > 4 1 x 3 4 x = (4.) t + 1 t είναι λύση της (4.); Μονάδες: 9-8-8

31 ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η εξίσωση ( ) x 3 λx + = (άγνωστος ο x ) (5.) 1) α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (5.) έχει ρίζα το -; β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (5.) έχει δύο άνισες ρίζες. ) Με δεδομένο ότι η (5.) έχει δύο άνισες αντίστροφες ρίζες να βρείτε αυτές τις ρίζες. Μονάδες: ΘΕΜΑ 4 f x = x + x+ 3 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ) Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της f. Α( 1, ), Β(, 3 ), Γ( 1,1 ), Δ ( 4, ) 3) Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί α, β ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f και ισχύει f ( α ) f ( β ) = τότε: α = β ή α + β = Μονάδες: Νέα Σμύρνη 8 Ιουνίου 01 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές Ευστράτιος Βογιάννης Νικόλαος Μαυρογιάννης Καλλιόπη Σιώπη