Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier

Transcript

1 61 Εισαγωγή Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις Σειρές Fourier Είναι γνωστό αό τα Μαθηµατικά Ι ότι το ανάτυγµα Τaylor µιας αναλυτικής συνάρτησης σ ένα διάστηµα της ραγµατικής ευθείας I = ( x R, x + R) κέντρου x και ακτίνας R + είναι ( x ) f f x = x x x I +, (61) =! Το ανάτυγµα αυτό µορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Aν γνωρίζουµε όλες τις τιµές των αραγώγων µιας αναλυτικής συνάρτησης f σε κάοιο σηµείο της x και µόνον αυτές, τότε µορούµε ν ανακατασκευάσουµε την f σε µια εριοχή του σηµείου x µέσω της σχέσης (61) { f x : } Με άλλα λόγια αό ένα διακριτό σύνολο µορούµε να κατασκευάσουµε ένα συνεχές, τη συνάρτηση f υστυχώς το λήθος των αναλυτικών συναρτήσεων είναι ολύ µικρό ηλ η αναλυτικότητα είναι µια ισχυρή ιδιότητα Το ερώτηµα είναι µορούµε να έχουµε κάτι ανάλογο ου να ισχύει για µια ιο µεγάλη οικιλία συναρτήσεων; Πρώτος ο Fourier ισχυρίστηκε ότι κάθε εριοδική συνάρτηση µορεί να ανατυχθεί σε σειρά ηµιτόνων και συνηµιτόνων, τη λεγόµενη σειρά Fourier Αν και ο ισχυρισµός δεν ισχύει για κάθε εριοδική συνάρτηση, εν τούτοις ισχύει για µια αρκετά µεγάλη κλάση εριοδικών συναρτήσεων όως θα δούµε αρακάτω Οι σειρές Fourier µορούν να ερµηνευθούν α την οτική γωνία της µετατροής εριοδικού αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό Υό κατάλληλες ροϋοθέσεις, η γνώση µιας ακολουθίας αριθµών (ου οι τιµές τους εξαρτώνται αό µια εριοδική συνάρτηση) είναι αρκετή για να µας εξασφαλίσει τη γνώση ολόκληρης της συνάρτησης 18

2 6 Οι Σειρές Fourier R καλείται εριοδική µε >, αν ισχύει f ( x) = f( x+ ) για κάθε x R και Υενθυµίζουµε ότι µια συνάρτηση f : ερίοδο ειλέον ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή η σχέση Μια εριοδική συνάρτηση αρκεί να τη µελετήσουµε σε οοιοδήοτε διάστηµα µήκους ίσο µε την ερίοδό της Παράδειγµα (i) Οι συναρτήσεις si x,cos x είναι εριοδικές µε ερίοδο, ενώ οι συναρτήσεις ta x,cot x είναι εριοδικές µε ερίοδο Οι συναρτήσεις si x, cos x, ( N ) είναι εριοδικές µε ερίοδο / Ορισµός 61 Εστω f : R είναι µια εριοδική και αόλυτα /, / Ο χώρος ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ ] αυτών των συναρτήσεων συµβολίζεται µε L 1 Ορισµός 6 Έστω f L 1 Τότε ορίζεται µια νέα συνάρτηση ix 1 / ˆ ˆ f : L1 : f = f ( x) e, (61) / έτσι ώστε σε κάθε συνάρτηση f να αεικονίζεται µια ακολουθία { } µιγαδικών αριθµών f ˆ = Η τριγωνοµετρική σειρά [ ] ˆ = i x S f x = f e, (6) καλείται σειρά Fourier (σε µιγαδική µορφή) της συνάρτησης f { } και η ακολουθία f ˆ = συντελεστών Fourier της f Αό την (61) για έχουµε καλείται ακολουθία των µιγαδικών / ix 1 1 ˆ / x x f = f( x) e f( x) cos isi = / / 183

3 όου a ib =, 1 / a = f( x) / / x a = f( x)cos, 1,, / = / x b = f( x)si / (63) Θέτοντας όου το βρίσκουµε ˆ a ib a + ib f ( ) = =, οότε αό τη σχέση (6) σε συνδυασµό µε την (63) αίρνουµε ix 1 ix ix [ ] = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ S f x f e f e f f e = = =1 ˆ ˆ = f + f e fˆ + e =1 ix ix a ib x x a + = + cos isi =1 a ib x x + cos isi + και µετά αό στοιχειώδεις ράξεις ροκύτει µια ισοδύναµη µορφή του ανατύγµατος Fourier της f : x x S[ f] ( x) = a + acos + bsi =1, (64) όου οι συντελεστές a, b, =,1, είναι όως στην (63) και 184

4 καλούνται είσης συντελεστές Fourier της f Το άθροισµα N x x SN[ f]( x) = a + acos + bsi =1 καλείται N -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier S[ f] x της συνάρτησης f στο σηµείο x Σηµειώνουµε ότι η σειρά Fourier (6) (ή (64)) δε συγκλίνει ααραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υοχρεωτικά στη συνάρτηση f Παρ όλα αυτά έχουµε: Πρόταση 61 Αν f, g είναι συνεχείς εριοδικές συναρτήσεις, τότε fˆ = gˆ f = g Οσον αφορά τη συµεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήµµα 61 (Riema-Lebesgue) Αν f L 1, τότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier της f είναι µηδενική, δηλαδή ή ισοδύναµα lim f ˆ =, + lim a + = limb = + Οσον αφορά τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier έχουµε το ακόλουθο: 1 /, / είναι τµηµατικά συνεχής και έχει εερασµένο λήθος µέγιστα και ελάχιστα στο διάστηµα /, /, τότε Θεώρηµα 61 Εστω f L [ ] [ ] lim S [ f] x N σε κάθε σηµείο x [ /, /] ( + ), ( ) N = + + f x f x Υενθυµίζουµε ότι οι αριθµοί f x f x είναι το εκ δεξιών και εξ αριστερών όριο της f στο σηµείο x αντιστοίχως 185

5 Παράδειγµα Η 1-εριοδική συνάρτηση 1 x 1/ f( x) = 1 1/ < x < 1 ικανοοιεί τις συνθήκες Dirichlet στο διάστηµα (,1 ] υστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε µηδενική ακολουθία µορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier µιας αόλυτα ολοκληρώσιµης συνάρτησης Τότε όµως ως µορούµε να ξεχωρίσουµε ότε µια τριγωνοµετρική σειρά είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη µας δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα 6 (Riesz-Fischer) Εστω { } c είναι µια = τετραγωνικά αθροίσιµη ακολουθία µιγαδικών αριθµών, δηλαδή c < = Τότε υάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιµη εριοδική / συνάρτηση f (δηλαδή f () t dt < ) τέτοια ώστε / c = f ˆ Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων εριοδικών συναρτήσεων συµβολίζεται µε L και είναι ολύ σηµαντικός Κατ αρχήν εριέχεται στον L 1 Στο χώρο L µορούµε να ορίσουµε ένα εσωτερικό γινόµενο ως εξής: / / f, g = f x g( x) ότε, σε αναλογία µε την ευκλείδια γεωµετρία ορίζεται µια νόρµα f στον L έτσι ώστε / f f, f f x = = / Τότε λέµε ότι τα στοιχεία f, g L είναι κάθετα αν και µόνον αν 186

6 ix 1 f, g = Αοδεικνύεται ότι το σύνολο e είναι µια = βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε f L υάρχει µοναδική { } ακολουθία συντελεστών c ( f ) = έτσι ώστε ix imx ix imx,, = = f = c f e f e = c f e e imx ˆ f, e = c f c f = f m m m Eιλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 63 (Ταυτότητα του Parseval) Αν f L,τότε όου { },{ } ( ) 1 1, (65) / f ( x) = a / + a + b =1 a b είναι όως στην (63)Ισοδύναµα 1 / f ( x) = f / = Αόδειξη Η αόδειξη ου θα δούµε δεν είναι αυστηρή εχόµενοι ότι τα σύµβολα της ολοκλήρωσης και της άθροισης µορούν να εναλλαχθούν ως ρος τη σειρά εφαρµογής τους και κάνοντας χρήση των τύων υολογισµού τριγωνοµετρικών ολοκληρωµάτων, για a, b έχουµε 1 / 1 / x x f ( x) a / / acos bsi = + + =1 1 / x x a / acos = bsi + + =1 187

7 x x + a acos + bsi =1 / 1 x x = a + a cos si / b + =1 / 1 x x = a + a cos si / b + =1 / x x + a cos + b si / =1 m> mx mx amcos + bmsi / 1 x x = a + a cos si / b + =1 1 = a + ( a + b) =1 Σηµείωση (i) Aν η f είναι ραγµατική συνάρτηση, τότε c = c (ii) Υενθυµίζουµε ότι µια εριοδική συνάρτηση f :, R καλείται άρτια αν ισχύει f ( x) = f( x) για κάθε, x, ενώ καλείται εριττή αν f x = f x για κάθε, x Αν λοιόν η f είναι µια εριοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f αίρνει τη µορφή x S[ f] ( x) = a + acos =1 και µιλούµε για σειρά συνηµιτόνων της f Αν η f είναι µια 188

8 εριοδική και εριττή συάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f αίρνει τη µορφή x S[ f] ( x) = b si =1 και µιλούµε για σειρά ηµιτόνων της f (iii) Aς υοθέσουµε ότι ισχύει το Θεώρηµα 61 Τότε η σειρά Fourier είναι ένας µετασχηµατισµός ου αναλύει µια εριοδική συνάρτηση στο φάσµα συχνοτήτων της (διακριτών) ηλαδή αό µια (συνεχή) συνάρτηση f ροκύτει µια διακριτή ακολουθία fˆ, Το είναι η συχνότητα ου µετρά το λήθος των ταλαντώσεων ανά ερίοδο Eτσι ο αριθµός ˆf µας δίνει ένα µέτρο του κατά όσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην ανααράσταση της συνάρτησης µέσω της σειράς Fourier Με f ˆ το Θεώρηµα 61 { } γνώση µόνον της διακριτής ακολουθίας µας δείχνει τον τρόο ανακατασκευής της f Παράδειγµα Αν η συνάρτηση f είναι άρτια δείξτε ότι Αό τον ορισµό έχουµε / x a = f( x)cos / 4 / x a = f( x)cos, ( N ) b = x / x = f ( x)cos f( x)cos / + Mε αλλαγή µεταβλητής x = u στο ρώτο ολοκλήρωµα και λόγω αρτιότητας έχουµε: 189

9 u / x a = f( u)cos du f( x)cos / + / u / x = f ( u)cos du f( x)cos + 4 / x = f ( x)cos Για το υολογισµό του b έχουµε: / x b = f( x)si / x / x = f ( x)si f( x)si / + Οως και στον υολογισµό των a έτσι και εδώ κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής x = u στο ρώτο ολοκλήρωµα και εειδή η συνάρτηση είναι άρτια έχουµε: u / x b = f( u)si du f( x)si / + / u / x = f( u)si du f( x)si + = Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση < x < f( x) =, < x < την οοία την εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο 4 (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier της f (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) Να ορίσετε τη συνάρτηση κατάλληλα στα σηµεία x =,, 19

10 έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει στη συνάρτηση για x (i) Αό τον ορισµό έχουµε Για =1,, έχουµε: Η γραφική αράσταση της f 1 1 a = f( x) = 1= x a = f( x)cos 4 cos x x = = si = Είσης: 1 x b = f( x)si 4 si x = x = cos = 1 cos ( ( ) ) (ii) Αό την (i) ροκύτει ότι η σειρά Fourier της f είναι η ( ( ) ) 1 cos x S[ f]( x) = 1+ si =1 1 ( 1) x = 1+ si =1 4 x 1 3x 1 5x = 1+ si si si

11 (iii) Η συνάρτηση ικανοοιεί τις συνθήκες Dirichlet, άρα η σειρά συγκλίνει στην τιµή f ( x ) στα σηµεία συνέχειας αυτής και στο ηµιάθροισµα + f ( x ) + f( x ) ου ρέει να έχει στο x = είναι είναι + f () = = 1 και στο x = είναι Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση για x =,, Κατά συνέεια, η τιµή + f ( ) = = 1, στο x = + f () = = 1 f( x) = x, < x< την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) είξτε ότι 1 = 6 =1 (iv) Κάνοντας χρήση της ταυτότητας του Parseval δείξτε ότι 1 4 = 4 =1 9 Η γραφική αράσταση της f Σηµειώνουµε εδώ ότι λόγω εριοδικότητας ισχύει = + = ( + ) + / / / f x f x f x f x f x / / / / + = f x f x f x / 19

12 (i) Λόγω της αραάνω έχουµε x 1 a = f ( x) cos = x cos( x) Κάνοντας ολοκλήρωση κατά αράγοντες δύο φορές για αίρνουµε άρα: si x x cosx = x + xcosx si x, 3 1 six 4 a = x + xcosx si x 3 = Για = έχουµε a x 4 x 3 3 = = = Oµοίως υολογίζουµε 1 b = x si x 1 cosx = + + x xsi x cosx 3 4 = (ii) Η σειρά Fourier είναι =1 S [ f ]( x ) cos x si x = + Μορούµε ειλέον να αρατηρήσουµε ότι αό το θεώρηµα του Dirichlet ισχύει S[ f]( x) = f( x), x, (iii) Για x = η σειρά Fourier είναι ίση µε 193

13 S[ f]() =1 = + Τότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα του Dirichlet η σειρά S[ f ]() συγκλίνει στο + f + f =, άρα 4 4 = + 3 =1 Αό την αραάνω ροκύτει ότι = = =1 (iv) Εφαρµόζουµε την ταυτότητα Parseval (65) ( ) / f ( x) = f( x) a / a b = + + =1 Εχουµε: f ( x ) = x = 5 A την άλλη µεριά έχουµε a + a + b = + + = =1 9 =1 9 =1 =1 Αρα: 4 4 ( ) ( ) 1 1 f ( x) a a b = + + = = + + = =1 =1 =1 =1 194

14 1 = = = Παράδειγµα Να υολογισθεί η σειρά Fourier της συνάρτησης 1 < x < f( x) = x < x< Η γραφική αράσταση της f Εχουµε a 1 = 1 1 f( x) = 1 + x 1 = + 4 Για =1,, και κάνοντας ολοκλήρωση κατά αράγοντες έχουµε x a = f( x)cos 1 1 = cosx + xcosx si x si x cosx = + x + cos 1 ( 1) 1 = = Ανάλογα βρίσκουµε ελικά: b ( 1) (1 ) 1 = 1 ( 1) 1 ( 1) (1 ) 1 S[ f]( x) = + + cosx+ six 4 =1 =1 Παίρνοντας διαδοχικές ροσεγγίσεις στο αραάνω άθροισµα (βλέε τα αρακάτω σχήµατα), αρατηρούµε ότι καθώς το µεγαλώνει έχουµε καλύτερη ροσέγγιση στα σηµεία συνέχειας της 195

15 f Η γραφική αράσταση της f και της S [ f]( x ) 5 Η γραφική αράσταση της f και της S [ f]( x ) 1 Αοδεικνύεται ότι ακόµη και όσο και να µεγαλώνει το υάρχει άντα µια µέγιστη αόκλιση της ροσέγγισης S[ f]( x ) κοντά στο σηµείο ασυνέχειας της τάξεως του 75 f ( x + ) f ( x ) Το φαινόµενο αυτό καλείται φαινόµενο Gibbs ρος τιµήν του Αµερικανού Μαθηµατικού και Φυσικού Josiah Willard Gibbs ( ) ου το αρατήρησε 196

16 Ασκήσεις 1 ίνεται η συνάρτηση f ( x) εριοδικά µε ερίοδο (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) είξτε ότι 1 = =1 1 8 = x την οοία εεκτείνουµε Α (i) a a 4 =, = εριττος (ii) b = = x = ( ) ( ) 4cos 1 = 1 1 x Aν f, f L [, ] δείξτε ότι ( f ) ( ) i fˆ ( ) 1 = 3 Aν f L [ ] δείξτε ότι x + f () t dt = () 1, 4 Aν f, g [, ] L έστω f t dt x f g x = f t g x t dt είναι η συνέλιξη των f, g είξτε ότι ( f g) f g = 5 Υολογίστε τη σειρά συνηµιτόνων της συνάρτησης f ( x) = si x την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο 4 cos( x) Α si x = Υολογίστε τη σειρά ηµιτόνων της συνάρτησης f ( x) = x την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο = 1 197

17 Α = ( ) ηµ ( x) 1 x = 7 Υολογίστε τη σειρά Fourier της 4-εριοδικής συνάρτησης f ( x) x < x< = 4 x < x < 4 Στη συνέχεια µε χρήση της ταυτότητας Parseval δείξτε ότι 1 4 = 4 =1 96 ( 1) Α S[ f ]( x) 8 = 1 = 1 cos ( 1) ( 1) x 8 Aν f, g είναι οι µιγαδικοί συντελεστές Fourier των εριοδικών συναρτήσεων f, g L (, ) δείξτε ότι ( fg) ( ) = f ( k ) g ( k ) k= 198

18 63 Εφαρµογές των σειρών Fourier στην είλυση µερικών διαφορικών εξισώσεων 631 Βασικές έννοιες Ορισµός 63 Καλούµε µερική διαφορική εξίσωση (µδε) ή διαφορική εξίσωση µε µερικές αραγώγους (δεµ) µια εξίσωση ου εριέχει µια άγνωστη συνάρτηση δύο ή ερισσοτέρων µεταβλητών και τουλάχιστον µια αό τις µερικές αραγώγους της Ορισµός 64 Τάξη µιας µερικής διαφορικής εξίσωσης καλείται η τάξη της µεγαλύτερης αραγώγου ου εριέχεται στη διαφορική εξίσωση Παράδειγµα Αν u u( x, y) =, τότε η εξίσωση u = ( x+ y) xy είναι µια µδε δεύτερης τάξης Η συνάρτηση u είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και τα, x y είναι οι ανεξάρτητες µεταβλητές Ορισµός 65 Λύση µιας µδε καλείται οοιαδήοτε συνάρτηση ου ικανοοιεί τη διαφορική εξίσωση Ορισµός 66 Γενική λύση µιας µδε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής ου εριέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το λήθος των οοίων είναι ίσο µε την τάξη της Ορισµός 67 Μερική λύση µιας µδε καλείται κάθε συνάρτηση ου ικανοοιεί τη µδε και η οοία ροκύτει αό τη γενική λύση µε συγκεκριµένη ειλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων Παράδειγµα Η µδε uxy = ( x+ y) µορεί να ειλυθεί µε δυο αευθείας ολοκληρώσεις: uxy = ( x+ y) uy = ( x+ y) = x + xy+ a y ( ) u = x + xy + a y dy = x y + xy + a y dy + b x = u x y xy a1 y b x 199

19 Για ευκολία στο εξής θα θεωρούµε u u( x, y) των µδε 1 ης τάξης είναι ( x y) F xyuxy,,,, u xy,, u xy, = Για αράδειγµα u + u = x+ y+ 1 x y u + u u = x y x + u u + x y u xyu = x + y x y = Τότε η γενική µορφή είναι µδε 1 ης τάξης Yάρχουν δυο βασικές κατηγορίες µδε: οι γραµµικές και οι µη γραµµικές Υενθυµίζουµε ότι ένας τελεστής L :V V όου V είναι ένας ραγµατικός ή µιγαδικός διανυσµατικός χώρος) είναι γραµµικός αν,,,, L au + bv = al u + bl v a b u v V Αν λοιόν θεωρήσουµε µια µδε 1 ης τάξης της µορφής A x, y u + B( x, y) u +Γ x, y u = x τότε αυτή είναι µια οµογενής γραµµική δε 1 ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της αραάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Axyu (, ) x + Bxyu (, ) y +Γ( xyu, ), τότε L au + bv = al u + bl v Υενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις της οµογενούς µδε τότε και ο γραµµικός συνδυασµός τους είναι είσης µια λύση της µδε Γενικότερα οοιοσδήοτε γραµµικός συνδυασµός λύσεων µιας οµογενούς γραµµικής δε αοτελεί είσης λύση Με την ίδια λογική όως στις συνήθεις δε, κάθε µερική διαφορική εξίσωση της µορφής (, ) + (, ) +Γ (, ) = (, ) A xyu Bxyu xyu f xy x y καλείται µη οµογενής γραµµική δε 1 ης τάξης Στην ερίτωση y

20 αυτή αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς µδε και µια µερική λύση της µη οµογενούς, αίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς µδε Οµοίως, κάθε µδε ης τάξης της µορφής Axyu, + Bxyu (, ) +Γ xyu, + xyu, + Exyu, + Z xyu, = xx xy yy x y είναι οµογενής γραµµική δε ης τάξης, ενώ η A xyu, + Bxyu (, ) +Γ xyu, + xyu, + E xyu, + Z xyu, = f( xy, ) xx xy yy x y είναι µια µη οµογενής γραµµική δε ης τάξης Στις αραάνω ισότητες οι A, B,, Z και f είναι γνωστές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Μια γραµµική δε ης τάξης ταξινοµείται σε Ελλειτική, αν 4 A B Γ >, Υερβολική, 4 A B Γ <, Παραβολική, αν 4 A B Γ = Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµύλων στο είεδο Χαρακτηριστικές εριτώσεις µδε ης τάξης είναι οι u= u + u = (Εξίσωση Laplace ή δυναµικού), xx u ku ( k ) t xx yy = > (διάδοση θερµότητας σε µια διάσταση), utt uxx = (εξίσωση κύµατος σε µια διάσταση) Όταν σε µια µδε µας ζητούνται λύσεις ου ικανοοιούν κάοιες συνθήκες άνω στο σύνορο µιλούµε για ένα ρόβληµα συνοριακών συνθηκών Παράδειγµα ίνεται λετή ράβδος µε συντελεστή διάδοσης θερµότητας k > και άκρα τα σηµεία x = και x = L στον άξονα των x Η ειφάνεια είναι µονωµένη ώστε να µην µορεί να δεχθεί 1

21 ή να αοβάλλει θερµότητα στο εριβάλλον αρά µόνον αό τα άκρα της Εάν η αρχική θερµοκρασία ( t = ) είναι f ( x ) και το άκρο x = διατηρείται σε µηδενική θερµοκρασία διατυώστε το ρόβληµα συνοριακών τιµών αν (i) και το άκρο x = L διατηρείται σε µηδενική θερµοκρασία, (ii) τo άκρο x = L είναι µονωµένο Εχουµε ένα ρόβληµα διάδοσης θερµότητας σε µια διάσταση οότε έχουµε τη µδε ( ) u,,,, t = k uxx u= u x t < x< L t (i) Στην ερίτωση αυτή και τα δύο άκρα είναι σε θερµοκρασία, οότε u, t = u L, t =, t > Η αρχική θερµοκρασία είναι f ( x ), άρα ux (,) = f( x), < x< L Προφανώς η συνάρτηση u ρέει να είναι φραγµένη άρα (, ) (, ) u x t < M < x< L t (ii) Εειδή το δεξί άκρο x = L είναι µονωµένο, η ροή θερµότητας στο σηµείο x = L θα είναι ίση µε µηδέν, άρα θα ισχύει ότι και στην ροηγούµενη ερίτωση µε τη συνθήκη στη θέση της u( L, t ) = u L, t = x 63 Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Ενας τρόος είλυσης κάοιων µδε είναι η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Με αυτή την τεχνική ψάχνουµε για λύσεις ειδικής µορφής εχόµαστε ότι µια λύση µορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο αγνώστων συναρτήσεων, η κάθε µια εκ των οοίων εξαρτάται αό µια µόνο µεταβλητή Πιο συγκεκριµένα αναζητούµε λύσεις της µορφής

22 uxt (, ) = XxYt για καθορισµένες συναρτήσεις XY, Υοθέτοντας ότι µορούµε να βρούµε µια λύση της µδε αυτής της µορφής αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στη µδε και καταλήγουµε σε συνήθη δε Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών αίρνουµε µόνο µερικές λύσεις Παράδειγµα Να λυθεί το ρόβληµα των συνοριακών τιµών ux = uy u(, y) = e Θα χρησιµοοιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Υοθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή Παραγωγίζοντας έχουµε 5 y uxt (, ) = X( xyt ) και u (, ) x x y = X x Y y u (, ) y x y = X x Y y Στη συνέχεια αντικαθιστούµε στη µδε και αίρνουµε X ( x) Y( y) = X( x) Y ( y) Για να ισχύει αυτή η σχέση θα ρέει να έχουµε X ( x) Y ( y) = = λ X( x) Y( y) για κάοια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιόν υάρχει τέτοια λύση θα ρέει X ( x) λ X( x) = Y ( y) λy( y) = Οι αραάνω είναι γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ρώτης 3

23 τάξεως µε γενική λύση Συνεώς X( x) = Ae Y( y) = Be λx λ y ( x y) = uxy (, ) ABe λ + Αλλά αό την υόθεση έχουµε άρα λ y 5 y = =, u(, y) ABe e AB = λ = 5 Εοµένως η ζητούµενη λύση είναι η 5( x y) = uxy (, ) e + Παράδειγµα (Παλλόµενη χορδή) Εστω ότι η συνάρτηση uxt (, ) x, χορδής τη χρονική στιγµή t δίνει τη µετατόιση σηµείου [ ] µε ακίνητα άκρα u(, t) = u(, t) = Υοθέτουµε ότι η αρχική ταχύτητα σε κάθε σηµείο της χορδής είναι µηδέν, δηλαδή ut ( x,) = και τη χρονική στιγµή t = η θέση κάθε σηµείου της χορδής εριγράφεται αό µια συνάρτηση f ( x ), άρα Να υολογισθεί η uxt (, ) ux (,) = f( x) Η διαφορική εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση αυτή δίνεται αό τη σχέση u = c u, tt όου c σταθερά ου σχετίζεται µε την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος Υοθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή xx 4

24 uxt (, ) = XxYt Παραγωγίζοντας έχουµε: uxx( x, t) = X ( x) Y( t) uyy ( x, t) = X( x) Y ( t) Αντικαθιστώντας στη µδε αίρνουµε οότε X( x) Y ( t) = c X ( x) Y( t), Y () t X ( x) = () X( x) cy t Για να ισχύει η σχέση αυτή θα ρέει: Y () t X ( x) = = λ () X( x) cy t για κάοια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιόν υάρχει τέτοια λύση της διαφορικής εξίσωσης θα ρέει οι συναρτήσεις XY, να ικανοοιούν τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις X ( x) + λ X( x) = Y () t + λc Y() t = Αό τις συνοριακές συνθήκες έχουµε και άρα: u(, t) = X() Y( t) =, ut (, ) = XYt =, X() = X = Ετσι, έχουµε το ρόβληµα αρχικών τιµών: X ( x) + λ X( x) = X() = X = ( < x < ) 5

25 Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι r + λ = ιακρίνουµε τις ακόλουθες εριτώσεις: (i) Εστω b, ( b ) λ = > > Τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι r =± bi και άρα η γενική λύση δίνεται αό τη σχέση X ( x) = Acosbx+ Bsibx Αό την αρχική συνθήκη X () = ροκύτει ότι c = 1 ενώ αό την αρχική συνθήκη X = αίρνουµε και άρα Οι αριθµοί sib = b=, = 1,, λ = καλούνται ιδιοτιµές του ροβλήµατος συνοριακών τιµών και οι συναρτήσεις x B si καλούνται ιδιοσυναρτήσεις Για την εύρεση της Y (µε τα ήδη έχουµε υολογίσει) έχουµε λ ου pc pc Y() t = Ccos t+ Dsi t Αρα αό την αρχή της υέρθεσης και η pc pc x u( x, t) = Ccos t+ Dsi t Bsi = 1 6

26 pc pc x = Γ cos t+ si t si = 1 αοτελεί µια λύση της µδε Παραγωγίζοντας την αραάνω ως ρος t όρο ρος όρο αίρνουµε pc pc pc pc x ut = C si t+ D cos t Bsi = 1 και εειδή u x, = έχουµε t pc x si t si = = 1 Αό τη θεωρία των τριγωνοµετρικών σειρών η αραάνω υονοεί ότι pc si t = = t, άρα pc x u( x, t) = Γ cos tsi = 1 Τέλος για να ισχύει η συνθήκη u( x,) f ( x) = θα ρέει pc x f ( x) = Γ cos tsi, = 1 συνεώς αό τη θεωρία των σειρών Fourier θα ρέει οι είναι οι συντελεστές Fourier της f, δηλ x Γ = f x si (ii) Για λ καταλήγουµε σε τετριµένες λύσεις Γ να 7

27 Παράδειγµα (Η εξίσωση του Laplace σε κυκλικό δίσκο) Υενθυµίζουµε την εξίσωση Laplace σε καρτεσιανές συντ/νες: u xx + u = yy Η ίδια εξίσωση σε ολικές συντεταγµένες ( r, θ ), γράφεται:ως εξής: 1 ru + u + u = r rr r r θθ Ζητούµε τη λύση της αραάνω µδε για κάθε < r < 1, όταν µια αρχική συνοριακή συνθήκη δίνεται αό µια συνάρτηση f ( θ ) ου ορίζεται στην µοναδιαία εριφέρεια, δηλαδή f u 1, θ = θ, θ [, ] Το ρόβληµα αυτό είναι γνωστό ως Πρόβληµα του Dirichlet H λύση u = u(, r θ ) ρέει να ικανοοιεί τις συνθήκες: Η u είναι -εριοδική συνάρτηση του θ, δηλαδή Η u είναι συνεχής Θα χρησιµοοιήσουµε άλι τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Εστω ur (, θ ) = Rr () Θ () θ Τότε µε αντικατάσταση στη µδε αίρνουµε ( θ) ( θ) ( θ) Θ + Θ + Θ =, rr r rr r Rr οότε αν διαιρέσουµε µε R Θ έχουµε R R Θ r + r = R R Θ Παρατηρούµε ότι το ρώτο µέλος είναι ανεξάρτητο του θ και το δεύτερο είναι ανεξάρτητο του r Εειδή τα δύο µέλη είναι ίσα υάρχει µια σταθερά c έτσι ώστε 8

28 R R Θ + = =,, Θ R R Θ r r c R Έχουµε λοιόν δύο αλές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης ως ρος r και θ Υενθυµίζουµε τώρα ότι η συνήθης διαφορική εξίσωση xy + axy + by= z λύνεται αν θέσουµε y= x και λύσουµε ως ρος z Εάν z1, z ( z z ) είναι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης 1 1 z + ( a 1) z+ b= τότε έχουµε λύσεις της µορφής y( x)= ax + bx όου a και b είναι αυθαίρετες σταθερές Εάν z1 = z = z, τότε yx =( a+ blog xx ) z Θεωρούµε τώρα την Θ + cθ= της οοίας η γενική λύση εξαρτάται αό το ρόσηµο του c Είναι εύκολο να δει κανείς ότι i cθ i cθ Ae + Be c > Θ ( θ) = A+ Bθ, c= cθ cθ Ae + Be c < z z και η λύση της διαφορικής εξίσωσης αό το ρόσηµο του c : + = εξαρτάται rr rr cr c c ar + br c > Rr () = a+ blog, r c= i c i c ar + br c < Ετσι, κάθε γινόµενο R() r Θ () θ ου ροσδιορίζεται αό την ίδια τιµή του c δίνει µια λύση της µδε Υενθυµίζουµε όµως ότι κάθε λύση ρέει να ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες Ετσι, εφόσον η urθ (, ) είναι συνεχής συνάρτηση θα ρέει να είναι φραγµένη Εάν λοιόν c <, η τιµή της Θ δεν είναι φραγµένη εκτός αν Α=Β= Άρα για c < έχουµε την ροφανή µηδενική λύση Όµοια, για c = ρέει B = Οµοίως για την R έχουµε b = για c Αοµένει η ερίτωση c > Παρατηρούµε ακόµη ότι η λύση της Θ είναι -εριοδική αν και 9

29 µόνον αν η c είναι ακέραιος αριθµός, δηλαδή όταν c=, =,1,, Εάν τώρα γι αυτές τις τιµές ζητήσουµε η R να είναι c φραγµένη αίρονυµε b =, γιατί εάν b τότε br +, r Συνοψίζοντας τα ροηγούµενα συµεραίνουµε ότι οι λύσεις urθ (, ) ου ικανοοιούν τις συνοριακές συνθήκες εξαρτώνται αό κάοιο =,1,, και τις γράφουµε iθ iθ r ( Ae + Be ), > u(, r θ ) = aa, = Τότε και η =1 θ θ ( ) A + r Ae + B e i i είναι µια λύση της µδε Εάν τώρα θέσουµε A = f ( ) και B = f ( ) όου f είναι ο συντελεστής Fourier της f αίρνουµε τη λύση iθ ( θ ) u r, = r e f = ηλαδή µορούµε να εεκτείνουµε συνεχώς την urθ (, ) στον κλειστό δίσκο έτσι ώστε ur (, θ ) = f() θ στο σύνορο Η λύση urθ (, ) είναι µοναδική Το ρόβληµα ου µελετήσαµε είναι γνωστό ως ρόβληµα της διάδοσης της θερµότητας στο δίσκο Εάν f ( θ ) είναι η θερµότητα στο σύνορο του δίσκου, τότε η urθ (, ) είναι η θερµότητα στο σηµείο ( r, θ ) αυτού 1

30 Ασκήσεις 1 Ταξινοµήστε τη µδε ης τάξης: 3u + u + 5u + xu = xx xy yy y Α (Ελλειτική) είξτε ότι λύνοντας τη µδε διάδοσης θερµότητας µε u, t = u L, t =, x, L ροκύτουν οι συνοριακές συνθήκες ακόλουθες ιδιοσυναρτήσεις x 3x 5x si,si,si, L L L 3 είξτε ότι η λύση του ροβλήµατος συνοριακών τιµών x ut = uxx ux(, t) = ux(, t) =, < x<, t > u( x,) = f ( x) ( ) 1 u x t = f x + e x f x x t είναι η (, ) συν συν = 1 4 Λύστε την κυµατική εξίσωση utt = uxx µε συνοριακές συνθήκες = ( ) = u ( x,) u, t u, t u x, = ηµ x, < x<, t > t = 5 Λύστε το συνοριακό ρόβληµα ut = 3uxx u(, t) = u( 1, t) =, ( < x< 1, t > ) ut ( x,) = x 11