Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier"

Transcript

1 61 Εισαγωγή Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις Σειρές Fourier Είναι γνωστό αό τα Μαθηµατικά Ι ότι το ανάτυγµα Τaylor µιας αναλυτικής συνάρτησης σ ένα διάστηµα της ραγµατικής ευθείας I = ( x R, x + R) κέντρου x και ακτίνας R + είναι ( x ) f f x = x x x I +, (61) =! Το ανάτυγµα αυτό µορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Aν γνωρίζουµε όλες τις τιµές των αραγώγων µιας αναλυτικής συνάρτησης f σε κάοιο σηµείο της x και µόνον αυτές, τότε µορούµε ν ανακατασκευάσουµε την f σε µια εριοχή του σηµείου x µέσω της σχέσης (61) { f x : } Με άλλα λόγια αό ένα διακριτό σύνολο µορούµε να κατασκευάσουµε ένα συνεχές, τη συνάρτηση f υστυχώς το λήθος των αναλυτικών συναρτήσεων είναι ολύ µικρό ηλ η αναλυτικότητα είναι µια ισχυρή ιδιότητα Το ερώτηµα είναι µορούµε να έχουµε κάτι ανάλογο ου να ισχύει για µια ιο µεγάλη οικιλία συναρτήσεων; Πρώτος ο Fourier ισχυρίστηκε ότι κάθε εριοδική συνάρτηση µορεί να ανατυχθεί σε σειρά ηµιτόνων και συνηµιτόνων, τη λεγόµενη σειρά Fourier Αν και ο ισχυρισµός δεν ισχύει για κάθε εριοδική συνάρτηση, εν τούτοις ισχύει για µια αρκετά µεγάλη κλάση εριοδικών συναρτήσεων όως θα δούµε αρακάτω Οι σειρές Fourier µορούν να ερµηνευθούν α την οτική γωνία της µετατροής εριοδικού αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό Υό κατάλληλες ροϋοθέσεις, η γνώση µιας ακολουθίας αριθµών (ου οι τιµές τους εξαρτώνται αό µια εριοδική συνάρτηση) είναι αρκετή για να µας εξασφαλίσει τη γνώση ολόκληρης της συνάρτησης 18

2 6 Οι Σειρές Fourier R καλείται εριοδική µε >, αν ισχύει f ( x) = f( x+ ) για κάθε x R και Υενθυµίζουµε ότι µια συνάρτηση f : ερίοδο ειλέον ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή η σχέση Μια εριοδική συνάρτηση αρκεί να τη µελετήσουµε σε οοιοδήοτε διάστηµα µήκους ίσο µε την ερίοδό της Παράδειγµα (i) Οι συναρτήσεις si x,cos x είναι εριοδικές µε ερίοδο, ενώ οι συναρτήσεις ta x,cot x είναι εριοδικές µε ερίοδο Οι συναρτήσεις si x, cos x, ( N ) είναι εριοδικές µε ερίοδο / Ορισµός 61 Εστω f : R είναι µια εριοδική και αόλυτα /, / Ο χώρος ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ ] αυτών των συναρτήσεων συµβολίζεται µε L 1 Ορισµός 6 Έστω f L 1 Τότε ορίζεται µια νέα συνάρτηση ix 1 / ˆ ˆ f : L1 : f = f ( x) e, (61) / έτσι ώστε σε κάθε συνάρτηση f να αεικονίζεται µια ακολουθία { } µιγαδικών αριθµών f ˆ = Η τριγωνοµετρική σειρά [ ] ˆ = i x S f x = f e, (6) καλείται σειρά Fourier (σε µιγαδική µορφή) της συνάρτησης f { } και η ακολουθία f ˆ = συντελεστών Fourier της f Αό την (61) για έχουµε καλείται ακολουθία των µιγαδικών / ix 1 1 ˆ / x x f = f( x) e f( x) cos isi = / / 183

3 όου a ib =, 1 / a = f( x) / / x a = f( x)cos, 1,, / = / x b = f( x)si / (63) Θέτοντας όου το βρίσκουµε ˆ a ib a + ib f ( ) = =, οότε αό τη σχέση (6) σε συνδυασµό µε την (63) αίρνουµε ix 1 ix ix [ ] = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ S f x f e f e f f e = = =1 ˆ ˆ = f + f e fˆ + e =1 ix ix a ib x x a + = + cos isi =1 a ib x x + cos isi + και µετά αό στοιχειώδεις ράξεις ροκύτει µια ισοδύναµη µορφή του ανατύγµατος Fourier της f : x x S[ f] ( x) = a + acos + bsi =1, (64) όου οι συντελεστές a, b, =,1, είναι όως στην (63) και 184

4 καλούνται είσης συντελεστές Fourier της f Το άθροισµα N x x SN[ f]( x) = a + acos + bsi =1 καλείται N -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier S[ f] x της συνάρτησης f στο σηµείο x Σηµειώνουµε ότι η σειρά Fourier (6) (ή (64)) δε συγκλίνει ααραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υοχρεωτικά στη συνάρτηση f Παρ όλα αυτά έχουµε: Πρόταση 61 Αν f, g είναι συνεχείς εριοδικές συναρτήσεις, τότε fˆ = gˆ f = g Οσον αφορά τη συµεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήµµα 61 (Riema-Lebesgue) Αν f L 1, τότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier της f είναι µηδενική, δηλαδή ή ισοδύναµα lim f ˆ =, + lim a + = limb = + Οσον αφορά τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier έχουµε το ακόλουθο: 1 /, / είναι τµηµατικά συνεχής και έχει εερασµένο λήθος µέγιστα και ελάχιστα στο διάστηµα /, /, τότε Θεώρηµα 61 Εστω f L [ ] [ ] lim S [ f] x N σε κάθε σηµείο x [ /, /] ( + ), ( ) N = + + f x f x Υενθυµίζουµε ότι οι αριθµοί f x f x είναι το εκ δεξιών και εξ αριστερών όριο της f στο σηµείο x αντιστοίχως 185

5 Παράδειγµα Η 1-εριοδική συνάρτηση 1 x 1/ f( x) = 1 1/ < x < 1 ικανοοιεί τις συνθήκες Dirichlet στο διάστηµα (,1 ] υστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε µηδενική ακολουθία µορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier µιας αόλυτα ολοκληρώσιµης συνάρτησης Τότε όµως ως µορούµε να ξεχωρίσουµε ότε µια τριγωνοµετρική σειρά είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη µας δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα 6 (Riesz-Fischer) Εστω { } c είναι µια = τετραγωνικά αθροίσιµη ακολουθία µιγαδικών αριθµών, δηλαδή c < = Τότε υάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιµη εριοδική / συνάρτηση f (δηλαδή f () t dt < ) τέτοια ώστε / c = f ˆ Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων εριοδικών συναρτήσεων συµβολίζεται µε L και είναι ολύ σηµαντικός Κατ αρχήν εριέχεται στον L 1 Στο χώρο L µορούµε να ορίσουµε ένα εσωτερικό γινόµενο ως εξής: / / f, g = f x g( x) ότε, σε αναλογία µε την ευκλείδια γεωµετρία ορίζεται µια νόρµα f στον L έτσι ώστε / f f, f f x = = / Τότε λέµε ότι τα στοιχεία f, g L είναι κάθετα αν και µόνον αν 186

6 ix 1 f, g = Αοδεικνύεται ότι το σύνολο e είναι µια = βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε f L υάρχει µοναδική { } ακολουθία συντελεστών c ( f ) = έτσι ώστε ix imx ix imx,, = = f = c f e f e = c f e e imx ˆ f, e = c f c f = f m m m Eιλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 63 (Ταυτότητα του Parseval) Αν f L,τότε όου { },{ } ( ) 1 1, (65) / f ( x) = a / + a + b =1 a b είναι όως στην (63)Ισοδύναµα 1 / f ( x) = f / = Αόδειξη Η αόδειξη ου θα δούµε δεν είναι αυστηρή εχόµενοι ότι τα σύµβολα της ολοκλήρωσης και της άθροισης µορούν να εναλλαχθούν ως ρος τη σειρά εφαρµογής τους και κάνοντας χρήση των τύων υολογισµού τριγωνοµετρικών ολοκληρωµάτων, για a, b έχουµε 1 / 1 / x x f ( x) a / / acos bsi = + + =1 1 / x x a / acos = bsi + + =1 187

7 x x + a acos + bsi =1 / 1 x x = a + a cos si / b + =1 / 1 x x = a + a cos si / b + =1 / x x + a cos + b si / =1 m> mx mx amcos + bmsi / 1 x x = a + a cos si / b + =1 1 = a + ( a + b) =1 Σηµείωση (i) Aν η f είναι ραγµατική συνάρτηση, τότε c = c (ii) Υενθυµίζουµε ότι µια εριοδική συνάρτηση f :, R καλείται άρτια αν ισχύει f ( x) = f( x) για κάθε, x, ενώ καλείται εριττή αν f x = f x για κάθε, x Αν λοιόν η f είναι µια εριοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f αίρνει τη µορφή x S[ f] ( x) = a + acos =1 και µιλούµε για σειρά συνηµιτόνων της f Αν η f είναι µια 188

8 εριοδική και εριττή συάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f αίρνει τη µορφή x S[ f] ( x) = b si =1 και µιλούµε για σειρά ηµιτόνων της f (iii) Aς υοθέσουµε ότι ισχύει το Θεώρηµα 61 Τότε η σειρά Fourier είναι ένας µετασχηµατισµός ου αναλύει µια εριοδική συνάρτηση στο φάσµα συχνοτήτων της (διακριτών) ηλαδή αό µια (συνεχή) συνάρτηση f ροκύτει µια διακριτή ακολουθία fˆ, Το είναι η συχνότητα ου µετρά το λήθος των ταλαντώσεων ανά ερίοδο Eτσι ο αριθµός ˆf µας δίνει ένα µέτρο του κατά όσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην ανααράσταση της συνάρτησης µέσω της σειράς Fourier Με f ˆ το Θεώρηµα 61 { } γνώση µόνον της διακριτής ακολουθίας µας δείχνει τον τρόο ανακατασκευής της f Παράδειγµα Αν η συνάρτηση f είναι άρτια δείξτε ότι Αό τον ορισµό έχουµε / x a = f( x)cos / 4 / x a = f( x)cos, ( N ) b = x / x = f ( x)cos f( x)cos / + Mε αλλαγή µεταβλητής x = u στο ρώτο ολοκλήρωµα και λόγω αρτιότητας έχουµε: 189

9 u / x a = f( u)cos du f( x)cos / + / u / x = f ( u)cos du f( x)cos + 4 / x = f ( x)cos Για το υολογισµό του b έχουµε: / x b = f( x)si / x / x = f ( x)si f( x)si / + Οως και στον υολογισµό των a έτσι και εδώ κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής x = u στο ρώτο ολοκλήρωµα και εειδή η συνάρτηση είναι άρτια έχουµε: u / x b = f( u)si du f( x)si / + / u / x = f( u)si du f( x)si + = Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση < x < f( x) =, < x < την οοία την εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο 4 (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier της f (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) Να ορίσετε τη συνάρτηση κατάλληλα στα σηµεία x =,, 19

10 έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει στη συνάρτηση για x (i) Αό τον ορισµό έχουµε Για =1,, έχουµε: Η γραφική αράσταση της f 1 1 a = f( x) = 1= x a = f( x)cos 4 cos x x = = si = Είσης: 1 x b = f( x)si 4 si x = x = cos = 1 cos ( ( ) ) (ii) Αό την (i) ροκύτει ότι η σειρά Fourier της f είναι η ( ( ) ) 1 cos x S[ f]( x) = 1+ si =1 1 ( 1) x = 1+ si =1 4 x 1 3x 1 5x = 1+ si si si

11 (iii) Η συνάρτηση ικανοοιεί τις συνθήκες Dirichlet, άρα η σειρά συγκλίνει στην τιµή f ( x ) στα σηµεία συνέχειας αυτής και στο ηµιάθροισµα + f ( x ) + f( x ) ου ρέει να έχει στο x = είναι είναι + f () = = 1 και στο x = είναι Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση για x =,, Κατά συνέεια, η τιµή + f ( ) = = 1, στο x = + f () = = 1 f( x) = x, < x< την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) είξτε ότι 1 = 6 =1 (iv) Κάνοντας χρήση της ταυτότητας του Parseval δείξτε ότι 1 4 = 4 =1 9 Η γραφική αράσταση της f Σηµειώνουµε εδώ ότι λόγω εριοδικότητας ισχύει = + = ( + ) + / / / f x f x f x f x f x / / / / + = f x f x f x / 19

12 (i) Λόγω της αραάνω έχουµε x 1 a = f ( x) cos = x cos( x) Κάνοντας ολοκλήρωση κατά αράγοντες δύο φορές για αίρνουµε άρα: si x x cosx = x + xcosx si x, 3 1 six 4 a = x + xcosx si x 3 = Για = έχουµε a x 4 x 3 3 = = = Oµοίως υολογίζουµε 1 b = x si x 1 cosx = + + x xsi x cosx 3 4 = (ii) Η σειρά Fourier είναι =1 S [ f ]( x ) cos x si x = + Μορούµε ειλέον να αρατηρήσουµε ότι αό το θεώρηµα του Dirichlet ισχύει S[ f]( x) = f( x), x, (iii) Για x = η σειρά Fourier είναι ίση µε 193

13 S[ f]() =1 = + Τότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα του Dirichlet η σειρά S[ f ]() συγκλίνει στο + f + f =, άρα 4 4 = + 3 =1 Αό την αραάνω ροκύτει ότι = = =1 (iv) Εφαρµόζουµε την ταυτότητα Parseval (65) ( ) / f ( x) = f( x) a / a b = + + =1 Εχουµε: f ( x ) = x = 5 A την άλλη µεριά έχουµε a + a + b = + + = =1 9 =1 9 =1 =1 Αρα: 4 4 ( ) ( ) 1 1 f ( x) a a b = + + = = + + = =1 =1 =1 =1 194

14 1 = = = Παράδειγµα Να υολογισθεί η σειρά Fourier της συνάρτησης 1 < x < f( x) = x < x< Η γραφική αράσταση της f Εχουµε a 1 = 1 1 f( x) = 1 + x 1 = + 4 Για =1,, και κάνοντας ολοκλήρωση κατά αράγοντες έχουµε x a = f( x)cos 1 1 = cosx + xcosx si x si x cosx = + x + cos 1 ( 1) 1 = = Ανάλογα βρίσκουµε ελικά: b ( 1) (1 ) 1 = 1 ( 1) 1 ( 1) (1 ) 1 S[ f]( x) = + + cosx+ six 4 =1 =1 Παίρνοντας διαδοχικές ροσεγγίσεις στο αραάνω άθροισµα (βλέε τα αρακάτω σχήµατα), αρατηρούµε ότι καθώς το µεγαλώνει έχουµε καλύτερη ροσέγγιση στα σηµεία συνέχειας της 195

15 f Η γραφική αράσταση της f και της S [ f]( x ) 5 Η γραφική αράσταση της f και της S [ f]( x ) 1 Αοδεικνύεται ότι ακόµη και όσο και να µεγαλώνει το υάρχει άντα µια µέγιστη αόκλιση της ροσέγγισης S[ f]( x ) κοντά στο σηµείο ασυνέχειας της τάξεως του 75 f ( x + ) f ( x ) Το φαινόµενο αυτό καλείται φαινόµενο Gibbs ρος τιµήν του Αµερικανού Μαθηµατικού και Φυσικού Josiah Willard Gibbs ( ) ου το αρατήρησε 196

16 Ασκήσεις 1 ίνεται η συνάρτηση f ( x) εριοδικά µε ερίοδο (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της f (iii) είξτε ότι 1 = =1 1 8 = x την οοία εεκτείνουµε Α (i) a a 4 =, = εριττος (ii) b = = x = ( ) ( ) 4cos 1 = 1 1 x Aν f, f L [, ] δείξτε ότι ( f ) ( ) i fˆ ( ) 1 = 3 Aν f L [ ] δείξτε ότι x + f () t dt = () 1, 4 Aν f, g [, ] L έστω f t dt x f g x = f t g x t dt είναι η συνέλιξη των f, g είξτε ότι ( f g) f g = 5 Υολογίστε τη σειρά συνηµιτόνων της συνάρτησης f ( x) = si x την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο 4 cos( x) Α si x = Υολογίστε τη σειρά ηµιτόνων της συνάρτησης f ( x) = x την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο = 1 197

17 Α = ( ) ηµ ( x) 1 x = 7 Υολογίστε τη σειρά Fourier της 4-εριοδικής συνάρτησης f ( x) x < x< = 4 x < x < 4 Στη συνέχεια µε χρήση της ταυτότητας Parseval δείξτε ότι 1 4 = 4 =1 96 ( 1) Α S[ f ]( x) 8 = 1 = 1 cos ( 1) ( 1) x 8 Aν f, g είναι οι µιγαδικοί συντελεστές Fourier των εριοδικών συναρτήσεων f, g L (, ) δείξτε ότι ( fg) ( ) = f ( k ) g ( k ) k= 198

18 63 Εφαρµογές των σειρών Fourier στην είλυση µερικών διαφορικών εξισώσεων 631 Βασικές έννοιες Ορισµός 63 Καλούµε µερική διαφορική εξίσωση (µδε) ή διαφορική εξίσωση µε µερικές αραγώγους (δεµ) µια εξίσωση ου εριέχει µια άγνωστη συνάρτηση δύο ή ερισσοτέρων µεταβλητών και τουλάχιστον µια αό τις µερικές αραγώγους της Ορισµός 64 Τάξη µιας µερικής διαφορικής εξίσωσης καλείται η τάξη της µεγαλύτερης αραγώγου ου εριέχεται στη διαφορική εξίσωση Παράδειγµα Αν u u( x, y) =, τότε η εξίσωση u = ( x+ y) xy είναι µια µδε δεύτερης τάξης Η συνάρτηση u είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και τα, x y είναι οι ανεξάρτητες µεταβλητές Ορισµός 65 Λύση µιας µδε καλείται οοιαδήοτε συνάρτηση ου ικανοοιεί τη διαφορική εξίσωση Ορισµός 66 Γενική λύση µιας µδε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής ου εριέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το λήθος των οοίων είναι ίσο µε την τάξη της Ορισµός 67 Μερική λύση µιας µδε καλείται κάθε συνάρτηση ου ικανοοιεί τη µδε και η οοία ροκύτει αό τη γενική λύση µε συγκεκριµένη ειλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων Παράδειγµα Η µδε uxy = ( x+ y) µορεί να ειλυθεί µε δυο αευθείας ολοκληρώσεις: uxy = ( x+ y) uy = ( x+ y) = x + xy+ a y ( ) u = x + xy + a y dy = x y + xy + a y dy + b x = u x y xy a1 y b x 199

19 Για ευκολία στο εξής θα θεωρούµε u u( x, y) των µδε 1 ης τάξης είναι ( x y) F xyuxy,,,, u xy,, u xy, = Για αράδειγµα u + u = x+ y+ 1 x y u + u u = x y x + u u + x y u xyu = x + y x y = Τότε η γενική µορφή είναι µδε 1 ης τάξης Yάρχουν δυο βασικές κατηγορίες µδε: οι γραµµικές και οι µη γραµµικές Υενθυµίζουµε ότι ένας τελεστής L :V V όου V είναι ένας ραγµατικός ή µιγαδικός διανυσµατικός χώρος) είναι γραµµικός αν,,,, L au + bv = al u + bl v a b u v V Αν λοιόν θεωρήσουµε µια µδε 1 ης τάξης της µορφής A x, y u + B( x, y) u +Γ x, y u = x τότε αυτή είναι µια οµογενής γραµµική δε 1 ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της αραάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Axyu (, ) x + Bxyu (, ) y +Γ( xyu, ), τότε L au + bv = al u + bl v Υενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις της οµογενούς µδε τότε και ο γραµµικός συνδυασµός τους είναι είσης µια λύση της µδε Γενικότερα οοιοσδήοτε γραµµικός συνδυασµός λύσεων µιας οµογενούς γραµµικής δε αοτελεί είσης λύση Με την ίδια λογική όως στις συνήθεις δε, κάθε µερική διαφορική εξίσωση της µορφής (, ) + (, ) +Γ (, ) = (, ) A xyu Bxyu xyu f xy x y καλείται µη οµογενής γραµµική δε 1 ης τάξης Στην ερίτωση y

20 αυτή αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς µδε και µια µερική λύση της µη οµογενούς, αίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς µδε Οµοίως, κάθε µδε ης τάξης της µορφής Axyu, + Bxyu (, ) +Γ xyu, + xyu, + Exyu, + Z xyu, = xx xy yy x y είναι οµογενής γραµµική δε ης τάξης, ενώ η A xyu, + Bxyu (, ) +Γ xyu, + xyu, + E xyu, + Z xyu, = f( xy, ) xx xy yy x y είναι µια µη οµογενής γραµµική δε ης τάξης Στις αραάνω ισότητες οι A, B,, Z και f είναι γνωστές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Μια γραµµική δε ης τάξης ταξινοµείται σε Ελλειτική, αν 4 A B Γ >, Υερβολική, 4 A B Γ <, Παραβολική, αν 4 A B Γ = Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµύλων στο είεδο Χαρακτηριστικές εριτώσεις µδε ης τάξης είναι οι u= u + u = (Εξίσωση Laplace ή δυναµικού), xx u ku ( k ) t xx yy = > (διάδοση θερµότητας σε µια διάσταση), utt uxx = (εξίσωση κύµατος σε µια διάσταση) Όταν σε µια µδε µας ζητούνται λύσεις ου ικανοοιούν κάοιες συνθήκες άνω στο σύνορο µιλούµε για ένα ρόβληµα συνοριακών συνθηκών Παράδειγµα ίνεται λετή ράβδος µε συντελεστή διάδοσης θερµότητας k > και άκρα τα σηµεία x = και x = L στον άξονα των x Η ειφάνεια είναι µονωµένη ώστε να µην µορεί να δεχθεί 1

21 ή να αοβάλλει θερµότητα στο εριβάλλον αρά µόνον αό τα άκρα της Εάν η αρχική θερµοκρασία ( t = ) είναι f ( x ) και το άκρο x = διατηρείται σε µηδενική θερµοκρασία διατυώστε το ρόβληµα συνοριακών τιµών αν (i) και το άκρο x = L διατηρείται σε µηδενική θερµοκρασία, (ii) τo άκρο x = L είναι µονωµένο Εχουµε ένα ρόβληµα διάδοσης θερµότητας σε µια διάσταση οότε έχουµε τη µδε ( ) u,,,, t = k uxx u= u x t < x< L t (i) Στην ερίτωση αυτή και τα δύο άκρα είναι σε θερµοκρασία, οότε u, t = u L, t =, t > Η αρχική θερµοκρασία είναι f ( x ), άρα ux (,) = f( x), < x< L Προφανώς η συνάρτηση u ρέει να είναι φραγµένη άρα (, ) (, ) u x t < M < x< L t (ii) Εειδή το δεξί άκρο x = L είναι µονωµένο, η ροή θερµότητας στο σηµείο x = L θα είναι ίση µε µηδέν, άρα θα ισχύει ότι και στην ροηγούµενη ερίτωση µε τη συνθήκη στη θέση της u( L, t ) = u L, t = x 63 Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Ενας τρόος είλυσης κάοιων µδε είναι η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Με αυτή την τεχνική ψάχνουµε για λύσεις ειδικής µορφής εχόµαστε ότι µια λύση µορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο αγνώστων συναρτήσεων, η κάθε µια εκ των οοίων εξαρτάται αό µια µόνο µεταβλητή Πιο συγκεκριµένα αναζητούµε λύσεις της µορφής

22 uxt (, ) = XxYt για καθορισµένες συναρτήσεις XY, Υοθέτοντας ότι µορούµε να βρούµε µια λύση της µδε αυτής της µορφής αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στη µδε και καταλήγουµε σε συνήθη δε Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών αίρνουµε µόνο µερικές λύσεις Παράδειγµα Να λυθεί το ρόβληµα των συνοριακών τιµών ux = uy u(, y) = e Θα χρησιµοοιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Υοθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή Παραγωγίζοντας έχουµε 5 y uxt (, ) = X( xyt ) και u (, ) x x y = X x Y y u (, ) y x y = X x Y y Στη συνέχεια αντικαθιστούµε στη µδε και αίρνουµε X ( x) Y( y) = X( x) Y ( y) Για να ισχύει αυτή η σχέση θα ρέει να έχουµε X ( x) Y ( y) = = λ X( x) Y( y) για κάοια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιόν υάρχει τέτοια λύση θα ρέει X ( x) λ X( x) = Y ( y) λy( y) = Οι αραάνω είναι γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ρώτης 3

23 τάξεως µε γενική λύση Συνεώς X( x) = Ae Y( y) = Be λx λ y ( x y) = uxy (, ) ABe λ + Αλλά αό την υόθεση έχουµε άρα λ y 5 y = =, u(, y) ABe e AB = λ = 5 Εοµένως η ζητούµενη λύση είναι η 5( x y) = uxy (, ) e + Παράδειγµα (Παλλόµενη χορδή) Εστω ότι η συνάρτηση uxt (, ) x, χορδής τη χρονική στιγµή t δίνει τη µετατόιση σηµείου [ ] µε ακίνητα άκρα u(, t) = u(, t) = Υοθέτουµε ότι η αρχική ταχύτητα σε κάθε σηµείο της χορδής είναι µηδέν, δηλαδή ut ( x,) = και τη χρονική στιγµή t = η θέση κάθε σηµείου της χορδής εριγράφεται αό µια συνάρτηση f ( x ), άρα Να υολογισθεί η uxt (, ) ux (,) = f( x) Η διαφορική εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση αυτή δίνεται αό τη σχέση u = c u, tt όου c σταθερά ου σχετίζεται µε την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος Υοθέτουµε ότι η ζητούµενη λύση γράφεται στη µορφή xx 4

24 uxt (, ) = XxYt Παραγωγίζοντας έχουµε: uxx( x, t) = X ( x) Y( t) uyy ( x, t) = X( x) Y ( t) Αντικαθιστώντας στη µδε αίρνουµε οότε X( x) Y ( t) = c X ( x) Y( t), Y () t X ( x) = () X( x) cy t Για να ισχύει η σχέση αυτή θα ρέει: Y () t X ( x) = = λ () X( x) cy t για κάοια αυθαίρετη σταθερά λ Αν λοιόν υάρχει τέτοια λύση της διαφορικής εξίσωσης θα ρέει οι συναρτήσεις XY, να ικανοοιούν τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις X ( x) + λ X( x) = Y () t + λc Y() t = Αό τις συνοριακές συνθήκες έχουµε και άρα: u(, t) = X() Y( t) =, ut (, ) = XYt =, X() = X = Ετσι, έχουµε το ρόβληµα αρχικών τιµών: X ( x) + λ X( x) = X() = X = ( < x < ) 5

25 Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι r + λ = ιακρίνουµε τις ακόλουθες εριτώσεις: (i) Εστω b, ( b ) λ = > > Τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι r =± bi και άρα η γενική λύση δίνεται αό τη σχέση X ( x) = Acosbx+ Bsibx Αό την αρχική συνθήκη X () = ροκύτει ότι c = 1 ενώ αό την αρχική συνθήκη X = αίρνουµε και άρα Οι αριθµοί sib = b=, = 1,, λ = καλούνται ιδιοτιµές του ροβλήµατος συνοριακών τιµών και οι συναρτήσεις x B si καλούνται ιδιοσυναρτήσεις Για την εύρεση της Y (µε τα ήδη έχουµε υολογίσει) έχουµε λ ου pc pc Y() t = Ccos t+ Dsi t Αρα αό την αρχή της υέρθεσης και η pc pc x u( x, t) = Ccos t+ Dsi t Bsi = 1 6

26 pc pc x = Γ cos t+ si t si = 1 αοτελεί µια λύση της µδε Παραγωγίζοντας την αραάνω ως ρος t όρο ρος όρο αίρνουµε pc pc pc pc x ut = C si t+ D cos t Bsi = 1 και εειδή u x, = έχουµε t pc x si t si = = 1 Αό τη θεωρία των τριγωνοµετρικών σειρών η αραάνω υονοεί ότι pc si t = = t, άρα pc x u( x, t) = Γ cos tsi = 1 Τέλος για να ισχύει η συνθήκη u( x,) f ( x) = θα ρέει pc x f ( x) = Γ cos tsi, = 1 συνεώς αό τη θεωρία των σειρών Fourier θα ρέει οι είναι οι συντελεστές Fourier της f, δηλ x Γ = f x si (ii) Για λ καταλήγουµε σε τετριµένες λύσεις Γ να 7

27 Παράδειγµα (Η εξίσωση του Laplace σε κυκλικό δίσκο) Υενθυµίζουµε την εξίσωση Laplace σε καρτεσιανές συντ/νες: u xx + u = yy Η ίδια εξίσωση σε ολικές συντεταγµένες ( r, θ ), γράφεται:ως εξής: 1 ru + u + u = r rr r r θθ Ζητούµε τη λύση της αραάνω µδε για κάθε < r < 1, όταν µια αρχική συνοριακή συνθήκη δίνεται αό µια συνάρτηση f ( θ ) ου ορίζεται στην µοναδιαία εριφέρεια, δηλαδή f u 1, θ = θ, θ [, ] Το ρόβληµα αυτό είναι γνωστό ως Πρόβληµα του Dirichlet H λύση u = u(, r θ ) ρέει να ικανοοιεί τις συνθήκες: Η u είναι -εριοδική συνάρτηση του θ, δηλαδή Η u είναι συνεχής Θα χρησιµοοιήσουµε άλι τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Εστω ur (, θ ) = Rr () Θ () θ Τότε µε αντικατάσταση στη µδε αίρνουµε ( θ) ( θ) ( θ) Θ + Θ + Θ =, rr r rr r Rr οότε αν διαιρέσουµε µε R Θ έχουµε R R Θ r + r = R R Θ Παρατηρούµε ότι το ρώτο µέλος είναι ανεξάρτητο του θ και το δεύτερο είναι ανεξάρτητο του r Εειδή τα δύο µέλη είναι ίσα υάρχει µια σταθερά c έτσι ώστε 8

28 R R Θ + = =,, Θ R R Θ r r c R Έχουµε λοιόν δύο αλές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης ως ρος r και θ Υενθυµίζουµε τώρα ότι η συνήθης διαφορική εξίσωση xy + axy + by= z λύνεται αν θέσουµε y= x και λύσουµε ως ρος z Εάν z1, z ( z z ) είναι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης 1 1 z + ( a 1) z+ b= τότε έχουµε λύσεις της µορφής y( x)= ax + bx όου a και b είναι αυθαίρετες σταθερές Εάν z1 = z = z, τότε yx =( a+ blog xx ) z Θεωρούµε τώρα την Θ + cθ= της οοίας η γενική λύση εξαρτάται αό το ρόσηµο του c Είναι εύκολο να δει κανείς ότι i cθ i cθ Ae + Be c > Θ ( θ) = A+ Bθ, c= cθ cθ Ae + Be c < z z και η λύση της διαφορικής εξίσωσης αό το ρόσηµο του c : + = εξαρτάται rr rr cr c c ar + br c > Rr () = a+ blog, r c= i c i c ar + br c < Ετσι, κάθε γινόµενο R() r Θ () θ ου ροσδιορίζεται αό την ίδια τιµή του c δίνει µια λύση της µδε Υενθυµίζουµε όµως ότι κάθε λύση ρέει να ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες Ετσι, εφόσον η urθ (, ) είναι συνεχής συνάρτηση θα ρέει να είναι φραγµένη Εάν λοιόν c <, η τιµή της Θ δεν είναι φραγµένη εκτός αν Α=Β= Άρα για c < έχουµε την ροφανή µηδενική λύση Όµοια, για c = ρέει B = Οµοίως για την R έχουµε b = για c Αοµένει η ερίτωση c > Παρατηρούµε ακόµη ότι η λύση της Θ είναι -εριοδική αν και 9

29 µόνον αν η c είναι ακέραιος αριθµός, δηλαδή όταν c=, =,1,, Εάν τώρα γι αυτές τις τιµές ζητήσουµε η R να είναι c φραγµένη αίρονυµε b =, γιατί εάν b τότε br +, r Συνοψίζοντας τα ροηγούµενα συµεραίνουµε ότι οι λύσεις urθ (, ) ου ικανοοιούν τις συνοριακές συνθήκες εξαρτώνται αό κάοιο =,1,, και τις γράφουµε iθ iθ r ( Ae + Be ), > u(, r θ ) = aa, = Τότε και η =1 θ θ ( ) A + r Ae + B e i i είναι µια λύση της µδε Εάν τώρα θέσουµε A = f ( ) και B = f ( ) όου f είναι ο συντελεστής Fourier της f αίρνουµε τη λύση iθ ( θ ) u r, = r e f = ηλαδή µορούµε να εεκτείνουµε συνεχώς την urθ (, ) στον κλειστό δίσκο έτσι ώστε ur (, θ ) = f() θ στο σύνορο Η λύση urθ (, ) είναι µοναδική Το ρόβληµα ου µελετήσαµε είναι γνωστό ως ρόβληµα της διάδοσης της θερµότητας στο δίσκο Εάν f ( θ ) είναι η θερµότητα στο σύνορο του δίσκου, τότε η urθ (, ) είναι η θερµότητα στο σηµείο ( r, θ ) αυτού 1

30 Ασκήσεις 1 Ταξινοµήστε τη µδε ης τάξης: 3u + u + 5u + xu = xx xy yy y Α (Ελλειτική) είξτε ότι λύνοντας τη µδε διάδοσης θερµότητας µε u, t = u L, t =, x, L ροκύτουν οι συνοριακές συνθήκες ακόλουθες ιδιοσυναρτήσεις x 3x 5x si,si,si, L L L 3 είξτε ότι η λύση του ροβλήµατος συνοριακών τιµών x ut = uxx ux(, t) = ux(, t) =, < x<, t > u( x,) = f ( x) ( ) 1 u x t = f x + e x f x x t είναι η (, ) συν συν = 1 4 Λύστε την κυµατική εξίσωση utt = uxx µε συνοριακές συνθήκες = ( ) = u ( x,) u, t u, t u x, = ηµ x, < x<, t > t = 5 Λύστε το συνοριακό ρόβληµα ut = 3uxx u(, t) = u( 1, t) =, ( < x< 1, t > ) ut ( x,) = x 11

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα Έστω το ακόλουθο εριοδικό σήµα f ( f

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι : V 0 2 3 ωt -V Η κυματομορφή είναι εριττή Η κυματομορφή, όως φαίνεται εύκολα αό το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή!

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα

Διαβάστε περισσότερα

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Τα κύµατα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όως για διδακτικούς λόγους κάνουµε 1. Η διάδοση ενός αλµού. Έστω ότι έχουµε ένα ελαστικό µέσο,.χ. µια τεντωµένη οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόο ανάτυξης σε σειρά Fourir ενός εριοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir ενός µη εριοδικού αναλογικού

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες... Διαφορικές εξισώσεις... Συμβολισμοί... Λύσεις... Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών... Κεφάλαιο Ταξινόμηση τν διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης...

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής v.kouras@fme.aegea.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 & Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Νικόλαος. Ατρέας Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 6/7 Περιεχόµενα A. Ορολογία. 4 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. 6 B. Πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema. 6 B. Mη γνήσια ολοκληρώµατα Riema σε µη φραγµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό. Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1 Περιγραφή Συστηµάτων στο Είεδο Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς Νοέµβριος 005 ΨΕΣ Rmindr Ο Μετασχηµατισµός Ζ µιας ακολουθίας xn διακριτού χρόνου ορίζεται αό την σχέση: X x n n n Η µιγαδική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα