UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík
|
|
- Σοφοκλής Παπανικολάου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004
2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA POČÍTAČOVEJ GRAFIKY A SPRACOVANIA OBRAZU BÉZIEROVE TELESÁ Martin Samuelčík Rigorózna práca BRATISLAVA 2004
3 Obsah Úvod 3 1 Bézierove telesá Barycentrické súradnice Zovšeobecnené Bernsteinove polynómy Bézierove štvorsteny Bézierove telesá tenzorového súčinu Racionálne Bézierove telesá Vizualizácia Bézierových telies Siete bodov Aproximácia Bézierových telies sieťou bodov Diskretizácia definičného oboru Zvyšovanie stupňa Casteljauov algoritmus Implementácia Poďakovanie 28 Literatúra 29 2
4 Úvod Cieľom tejto práce je vytvorenie základov jednotnej teórie Bézierovych telies v trojrozmernom euklidovskom priestore, presnejšie sa skúmajú dva základné typy týchto telies, Bézierove štvorsteny a Bézierove telesá tenzorového súčinu. Tieto trojparametrické telesá sú analógiou Bézierovych trojuholníkov resp. Bézierovych záplat a Bézierovych kriviek. Oba druhy telies sa zadefinujú podobne na základe zovšeobecnených Bernsteinových polynómov a barycentrických súradníc. Ďalej sa určia a popíšu základné vlastnosti, derivácie. Budeme sa venovať aj zovšeobecneniu v podobe racionálnych Bézierových telies, ktoré sa dajú použiť na modelovanie ďaľších útvarov (napr. kuželosečiek). Druhá časť práce je zameraná na grafické znázornenie telies, využijúc aj výsledky základnej teórie. Popíšu sa metódy, ktoré vedú k diskretizácii telies a ich následnej vizualizácii, taktiež sa popíšu základné implementačné postupy. Základným stavebným prvkom tejto časti je diskrétna štruktúra sieť bodov, ktorá slúži na uloženie riadiacej siete telesa ako aj výslednej aproximácie telesa. Na vizualizáciu použijeme grafické rozhranie OpenGL od SGI vo vývojovom prostredí Visual C++.Net od spoločnosti Microsoft. 3
5 Kapitola 1 Bézierove telesá 1.1 Barycentrické súradnice Definícia Majme dané v E m, m N m + 1 bodov A 1,..., A m+1 takých, že neležia v jednej nadrovine. Potom pre každý bod P E m definujeme jeho barycentrické súradnice vzhľadom na body A 1,..., A m+1 ako m + 1 čísel (u 1, u 2,..., u m+1 ) = u, u j R, j = 1,..., m + 1, pričom P = m+1 u j A j a m+1 u j = 1. Pre vektor d E m môžeme podobne definovať jeho barycentrické súradnice vzhľadom na body A 1,..., A m+1 ako m + 1 čísel (v 1, v 2,..., v m+1 ) = v, v j R, j = 1,..., m+1, pričom d = m+1 v j A j a m+1 v j = 0. Veta Pre výpočet barycentrických súradníc bodu alebo vektora platí: u j = A 1 A m+1 A 2 A m+1.. B A m+1.. A m A m+1 m, j = 1,..., m, u A 1 A m+1 m+1 = 1 u j A 2 A m+1... A m A m+1 V riadkoch sa nachádzajú rozdiely afinných súradníc daných bodov, B sú afinné súradnice bodu P resp. vektora u a B A m+1 sa nachádza presne v j-tom riadku. Dôkaz: Pretože body A 1,..., A m+1 neležia v jednej nadrovine, sú vektory A 1 A m+1,..., A m A m+1 lineárne nezávislé, ich počet je m, čiže tvoria bázu vektorového priestoru V (E m ). 4
6 Preto potom môžeme pre vektor B A m+1 V (E m ) písať: e 1,..., e m R, B A m+1 = m e j (A j A m+1 ) ( ) Úpravou dostaneme: B A m+1 = m e j A j m e j A m+1 B = m e j A j m e j A m+1 + A m+1 = m e j A j + (1 m e j )A m+1 = m+1 u j A j Porovnaním dostaneme u j = e j pre j = 1,..., m a u m+1 = (1 m e j ) = (1 m u j ). Pre výpočet e j sa v ( ) použije Cramerove pravidlo pre riešenie sústavy m lineárnych rovníc o m neznámych (môžu sa použiť aj iné metódy). Tým dostaneme požadované. Determinanty z predchádzajúcej vety nám až na znamienko určujú mieru množiny v danom priestore (v jednorozmernom euklidovskom priestore je to dĺžka úsečky, v dvojrozmernom priestore je to obsah trojuholníka, v trojrozmernom priestore objem štvorstena). Preto sa aj barycentrické súradnice dajú určiť (až na znamienko) ako pomer mier príslušných množín. Znamienko sa potom určí podľa polohy bodu vzhľadom na dané súradnicové body. 1.2 Zovšeobecnené Bernsteinove polynómy. Pred definíciou zovšeobecneného Bernsteinovho polynómu si zadefinujeme zovšeobecnené kombinačné číslo, ktore potom využijeme. Definícia Majme daný multiindex i = (i 1, i 2,..., i k ); k N; i j N pre j = 1, 2,..., k. Zovšeobecnené kombinačné číslo ( ) n i k-teho rádu definujeme ako ( ) n := i k i j! kde n = i = k i j pre i j 0. V prípade, že niektoré z čísel i j je záporné, kladieme ( ) n i = 0. Definícia Majme dané prirodzené číslo k, multiindex i = (i 1, i 2,..., i k ); n = i a barycentrické súradnice u = (u 1, u 2,..., u k ); k u k = 0, 1. Potom zovšeobecnený Bernsteinov polynóm B n i (u) k-teho rádu definujeme ako B n i (u) := ( ) n k i 5 u i k k
7 kde ( ) n i je zovšeobecnené kombinačné číslo k-teho rádu. V danom výraze kladieme 0 0 definitoricky rovné 1. V predchádzajúcich definíciách sa v definovanom výraze nepoužíva označenie rádu, pretože rád je zahrnutý v multiindexe resp. braycentrických súradniciach. Veta Zovšeobecnené Bernsteinove polynómy majú nasledovné vlastnosti: a) B n i (u) 0 b) B n i (u) = k u j B n 1 i e j (u), i = n, pričom e j sú základné multiindexy, ktore majú na j-tom mieste 1 a všade inde 0. c) i, B n i (u) = 1 d) Pre parciálnu deriváciu Bernsteinovho polynómu podľa u j, j = 1,..., k platí: pre u = (u 1, u 2,..., u k ), k u j = 1. u j B n i (u) = n [ B n 1 i e j (u) B n i (u) ] e) Funkcia Bi n (u) : R k R dosahuje svoje maximum pre u j = i j,j = 1,..., k n Dôkaz: a) Táto nerovnosť vyplýva z toho, že zovšeobecnené kombinačné číslo je nezáporné a aj čísla u i 1 1,..., u i k k su nezáporné. b) Úpravou pravej strany dostávame k u j B n 1 i e j (u) = k ( ) n 1 u j u i 1 i e j 1..u i j 1 j..u i k k k = (n 1)! i 1!..(i j 1)!..i k! ui 1 1..u i j j..u i k k = k i j n i 1!..i j!..i k! ui 1 1..u i j j..u i k k = Pretože je i = n, t.j k i j = n, platí k i j n Bn i (u) = B n i (u) k i j n k u j B n 1 i e j (u) = B n i (u) k i j n = Bn i (u) c) Matematickou indukciou podľa n ukážeme, že i, B n i (u) = (u 1 +u u k ) n = 1 1. Pre n = 0 platí i, i =0 B 0 i (u) = 0! 0!...0! u0 1...u 0 k = 1 = (u 1 + u u k ) 0 6
8 2. Nech rovnosť platí pre n, ukážeme, že platí aj pre n + 1: (u 1 + u u k ) n+1 = (u 1 + u u k )(u 1 + u u k ) n = = (u 1 + u u k ) = i, = i n + 1 i, i, B n i (u) = (u 1 + u u k ) i 1!...i k! ui u i k k i, (n + 1)! (i 1 + 1)!...i k! ui u i k k = i, i, i n + 1 Bn+1 i+e 1 (u) i, i, i 1!...i k! ui u i k+1 k = i k + 1 n + 1 i 1!...i k! ui u i k k = (n + 1)! i 1!...(i k + 1)! ui 1 i k + 1 n + 1 Bn+1 i+e k (u) Transformáciou indexov v jednotlivých sumách dostaneme: (u 1 + u u k ) n+1 = i,+1 i 1 n + 1 Bn+1 i (u) i, u i k+1 k = i k n + 1 Bn+1 i (u) = = i,+1 Bi n+1 (u) i i k n + 1 = i,+1 Tým sme dokázali indukčný krok a aj celé tvrdenie. Bi n+1 (u) d) Nech P s barycentrickými súradnicami u = (u 1, u 2,..., u k ) má homogénne súradnice U 1, U 2,..., U k, pričom k U j 0 a jeho barycentrické súradnice sú u i = U i k, i = 1,..., k. Označme ξ = k U U j. Potom: j u j B n i (u) = Nech i = (i 1, i 2,..., i k ), k i j = n. Počítajme: U j B n i (( U 1 ξ, U 2 ξ,..., U k ξ )) = U j B n i (( U 1 ξ, U 2 ξ,..., U k ξ, )) ξ=1 j = 1,..., k U j [ ( n i ( ) n = [ ( ) 1 i U j ξ U ] i 1 n 1 U i U i k n [ i j k = i ξ U i 1 n = n [ ( ) n 1 U i 1 1..U i j 1 j..u i k k ξ i e j ξ n 1 = n ξ Teraz pre ξ = 1 dostávame: ) ( U 1 ξ 1..U i j 1 j ) i1 ( U 2 ξ ) i2... ( U ) ] k ik = ξ..u i k k n ξ U i 1 n+1 ( ) n U i 1 1 U i 2 i ξ n 2...U i k ] [ B n 1 i e j (( U 1 ξ, U 2 ξ,..., U k ξ )) Bn i (( U 1 ξ, U 2 ξ,..., U k ξ )) ] u j B n i (u) = n [ B n 1 i e j (u) B n i (u) ] 7 k 1 U i 2 ] 2...U i k k
9 e) Ak by pre nejaké j = 0, 1,..., k bolo i j = 0, tak maximum sa pre tento index dosahuje pre u j = 0 = i j, pretože ( ) n n i u i 1 1..u i j j..u i k k ( ) n i u i u i k k. Čiže pre i j = 0 nám tvrdenie platí. Predpokladajme teraz, že i j 0 pre všetky j = 0, 1,..., k. Z vety o Lagrangeových multiplikátoroch definujme funkciu L(u) = B n i (u)+λ(u u k 1) pre λ R. Parciálne derivácie tejto funkcie sú: u j L(u) = u j B n i (u) + λ = n [ B n 1 i e j (u) B n i (u) ] + λ Teraz pre nájdenie extrémov Bernsteinovho polynómu potrebujeme nájsť stacionárne body funkcie L(u), t.j. keď sú všetky jej parciálne derivácie nulové. Z toho dostávame: u 1 L(u) = u 2 L(u) =... = u k L(u) = 0 n [ B n 1 i e 1 (u) B n i (u) ] +λ = n [ B n 1 i e 2 (u) B n i (u) ] +λ =... = n [ B n 1 i e k (u) B n i (u) ] +λ nb n 1 i e 1 (u) + λ = nb n 1 i e 2 (u) + λ =... = nb n 1 i e k (u) + λ (n 1)! n (i 1 1)!...i k! ui u i (n 1)! k k =... = n i 1!..(i k 1)! ui 1 i 1 u i u i k k =... = i k u i u i k 1 k 1...u i k 1 k Aby sme dosiahli maximum, musí byť u i 0, i = 1,..., k, pretože ak by sme mali aspoň jedno u i môžeme písať: nulové, dostali by sme B n i (u) = 0, a to nie je maximum. Preto u j = i j k, j = 1,.., k; S u i 1 i 1...u i k k 1 u 1 u i1 =... = i 1...u i k k k u k i 1 u 1 =... = i k u k = S, S R k i j k u j = 1 = S = S = i j = n = u j = i j n Definícia Majme daný vektor d s barycentrickými súradnicami d = (v 1, v 2,..., v k ). Potom definujeme smerovú deriváciu Bernsteinovho polynómu r-tého rádu v smere vektora d rekurzívne ako DdB r i n (u) = v 1 D r 1 d u Bn i (u) + v 2 D r 1 d 1 u Bn i (u) v k Dd r 1 2 u Bn i (u); r = 1,... k pričom D 0 db n i (u) = B n i (u). Veta Platí: D r db n i (u) = (n r)! B r j (d)b n r i j (u) 8
10 Dôkaz: Matematickou indukciou podľa r: 1. Pre r = 0 máme B n i (u) = D 0 db n i (u) = 2. Z definície smerovej derivácie máme: (n 0)! j =0 B 0 j (d)b n 0 i j (u) Dd r+1 Bn i (u) = v 1 D u db r n i (u) + v 2 D 1 u db r n i (u) v k D 2 u db r i n (u) k Teraz budeme upravovať člen predpokladu dostaneme: Použijeme Vetu 1.4.2: u l D r db n i (u) = (n (r + 1))! u l D r db n i (u) = (n r)! (n r)! u l DdB r i n (u) pre l = 1,..., k. Použitím indukčného u l (n r)! B r j (d) u l B n r i j (u) B r j (d)b n r i j (u) = [ ] Bj r (d)(n r) Bi j e n r 1 l (u) Bi j n r (u) = Bj r (d)b n r 1 i j e l (u) (n r) (n r)! Použitím indukčného predpokladu na druhý člen dostaneme: u l D r db n i (u) = (n (r + 1))! B r j (d)b n r i j (u) B r j (d)b n r 1 i j e l (u) (n r)d r db n i (u) Pretože máme určené parciálne derivácie DdB r i n (u), môžeme určiť Dd r+1 Bn i (u): Dd r+1 Bn i (u) = v 1 D u db r n i (u) + v 2 D 1 u db r n i (u) v k D 2 u db r i n (u) = k = [v 1 Bj r (d)b n r 1 i j e (n (r + 1))! 1 (u) + v 2 Bj r (d)bi j e n r 1 2 (u) v k B r j (d)b n r 1 i j e k (u) ] (n r)(v 1 + v v k )DdB r i n (u) Vieme, že k v j = 0. V jednotlivých sumách transformujeme premennú j + e l na j pre l = 1,..., k. Dostaneme: D r+1 d Bn i (u) = (n (r + 1))! 9 [v 1 +1 Bj e r 1 (d)bi j n r 1 (u)+
11 = +v 2 +1 (n (r + 1))! B r j e 2 (d)b n r 1 i j (u) v k +1 Použitím Vety dostaneme: D r+1 d Bn i (u) = Tým sme dokázali požadované. +1 B r j e k (d)b n r 1 i j (u) = [ ] B n (r+1) i j (u). v 1 Bj e r 1 (d) + v 2 Bj e r 2 (d) v k Bj e r k (d) (n (r + 1))! +1 B r+1 j (d)b n (r+1) i j (u) 1.3 Bézierove štvorsteny. Definícia Nech je dané: stupeň Bézierovho štvorstena, označenie n sieť riadiacich vrcholov V i E 3, kde i je štvorindex, i = (i, j, k, l) i = i+j+k+l = n. Zadanú sieť riadiacich vrcholov je možné schematicky zobraziť v tvare štvorstennej štruktúry s vrcholmi v bodoch V (n,0,0,0), V (0,n,0,0), V (0,0,n,0), V (0,0,0,n). Nech su dané štyri nekoplanárne body A, B, C, D E 3. Potom kladieme štvorsten ABCD definičným oborom Bézierovho štvorstena. Teraz môžeme definovať Bézierov štvorsten pomocou Casteljauovho algoritmu: majme daný bod P z definičného oboru Bézierovho štvorstena s barycentrickými súradnicami u = (u, v, w, t), u + v + w + t = 1 označme V 0 i (u) =V i pre i = n a ďalej označme základné multiindexy e 1 = (1, 0, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0, 0), e 3 = (0, 0, 1, 0), e 4 = (0, 0, 0, 1) rekurzívne definujeme: V r i(u) = uv r 1 i+e 1 (u) + vv r 1 i+e 2 (u) + wv r 1 i+e 3 (u) + tv r 1 i+e 4 (u) pre r = 1, 2,.., n ; i = n r bod Bézierovho štvorstena stupňa n so sieťou riadiacich vrcholov V i pre i = n, prislúchajúci parametru u definujeme ako V n 0 (u) a budeme ho označovať ako B n (u). 10
12 Veta (Analytické vyjadrenie Bézierovho štvorstena) Pre r = 0, 1,..., n platí V r i (u) = V i+j B r j (u) kde B r j (u) je zovšeobecnený Bernsteinov polynóm štvrtého rádu. Dôkaz: Matematickou indukciou podľa r. 1. Pre r = 0 máme V 0 i = V i = V i+j Bj 0 (u) j =0 i = n 2. Nech pre r platí V r i(u) = V i+j Bj r (u) Ukážeme, že platí aj pre r+1. Počítajme z definície: V r+1 i (u) = uvi+e r 1 (u) + vvi+e r 2 (u) + wvi+e r 3 (u) + tvi+e r 4 (u) = u V i+e1 +jbj r (u) + v V i+e2 +jbj r (u) + w V i+e3 +jbj r (u)+ t = V i+e4 +jb r j (u) = u +1 w V i+j B r j e 3 (u) + t V i+j B r j e 1 (u) + v V i+j B r j e 4 (u) = V i+j B r j e 2 (u)+ ] V i+j [ubj e r 1 (u) + vbj e r 2 (u) + wbj e r 3 (u) + tbj e r 4 (u) = = +1 V i+j Bj r+1 (u) kde sme využili Vetu a transformáciu multiindexu. Teraz pre r = n vo Vete dostaneme: B n (u) = V n 0 = j =n V j B n j (u) čím sme dostali analytické vyjadrenie Bézierovho štvorstena. Veta Bézierov štvorsten je afinne invariantný, t.j. ak A je afinná transformacia, potom A ( V i Bi n (u) ) = A(V i )Bi n (u) 11
13 Dôkaz: Podľa Vety môžeme B n (u) vyjadriť ako V i Bi n (u), t.j. ako lineárnu kombináciu bodov V i. A podľa Vety je Bi n (u) = 1. Čiže B n (u) môžeme vyjadriť ako barycentrickú kombináciu bodov V i. Keďže afinná transformácia zachováva barycentrickú kombináciu bodov, je Bézierov štvorsten B n (u) afinne invariantný. Veta Pre každé u z definičného oboru Bézierovho štvorstena patrí B n (u) do konvexného obalu bodov V i, i = n. Dôkaz: Pretože podľa Vety je B n (u) = V i Bi n (u) a pre každé u z definičného oboru je Bi n (u) 0 (Veta 1.2.1), potom je B n (u) konvexnou kombináciou bodov V i, i = n. t.j. B n (u) patrí do konvexného obalu bodov V i, i = n. Veta Rohové body Bézierovho štvorstena sú totožné s rohovými bodmi riadiacej siete, t.j. body V (n,0,0,0), V (0,n,0,0), V (0,0,n,0), V (0,0,0,n) patria Bézierovmu štvorstenu B n (u). Dôkaz: Ak máme daný definičný obor ABCD Bézierovho štvorstena B n (u), môžeme z neho vybrať práve body A, B, C, D. Tieto majú vzhľadom na štvorsten ABCD barycentrické súradnice (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1). Keď tieto súradnice dosadíme za u v rovnosti B n (u) = V i Bi n (u), dostaneme B n ((1, 0, 0, 0)) = V (n,0,0,0), B n ((0, 1, 0, 0)) = V (0,n,0,0), B n ((0, 0, 1, 0)) = V (0,0,n,0),, čo bolo treba ukázať. B n ((0, 0, 0, 1)) = V (0,0,0,n) Veta Hraničné plochy Bézierovho štvorstena sú Bézierove trojuholníky, hraničné krivky sú Bézierove oblúky. Dôkaz: Hraničné plochy Bézierovho štvorstena dostaneme vtedy, ak za u berieme súradnice v tvare (0, v, w, t), (u, 0, w, t), (u, v, 0, t), (u, v, w, 0). Preberieme prípad u = (0, v, w, t): = V i( n i ) B n (u) = V i Bi n ((0, v, w, t)) = 0 i v j w k t l = i=0 V i ( n i ) v j w k t l = j =n V j( n j ) v j w k t l kde j = (j, k, l) a v + w + t = 1. Takto sme dostali vyjadrenie pre jednu hraničnú plochu. Z jej analytického vyjadrenia vidíme, že táto plocha je Bézierova. Podobne sa určia aj ostatné tri hraničné plochy. 12
14 Analogicky pre hraničné krivky. Tieto krivky dostaneme dosadením nasledovných súradníc za u: (0, 0, w, t), (0, v, 0, t), (0, v, w, 0), (u, 0, 0, t), (u, 0, w, 0), (u, v, 0, 0). Preskúmaním prípadu u = (0, 0, w, t) by sme dospeli k analytickému vyjadreniu tejto hraničnej krivky: B n ((0, 0, w, t)) = ) n V j( w k t l j = (k, l), w + t = 1 j j =n čo je analytické vyjadrenie Bézierovho oblúka. Podobne pre ostatných päť hraničných kriviek. Veta Bézierov štvorsten je v premennej u polynomická funkcia stupňa n. Je však možné zapísť takýto Bézierov štvorsten ako Bézierov štvorsten stupňa n + 1: kde W i = B n (u) = V i Bi n (u) = +1 W i Bi n+1 (u) i V n+1 i e 1 + j V n+1 i e 2 + k V n+1 i e 3 + l V n+1 i e 4 pre i = (i, j, k, l), i+j +k+l = n+1. Dôkaz: Prvá časť vety priamo vyplýva z analytického vyjadrenia Bézierovho štvorstena podľa Vety Druhú časť ukážeme dokázaním rovnosti V i Bi n (u) = +1 W i Bi n+1 (u). Platí: v W i B n+1 i (u) = +1 [ i n + 1 V i e 1 + ] l (n + 1)! n + 1 V i e 4 i!j!k!l! ui v j w k t l = u V i e2 B n i e 2 (u) + w +1 j n + 1 V i e V i e3 B n i e 3 (u) + t V i e1 B n i e 1 (u)+ +1 Transformáciou parametrov v jednotlivých sumách dostaneme: +1 k n + 1 V i e 3 + V i e4 B n i e 4 (u) W i Bi n+1 (u) = (u + v + w + t) V i Bi n (u) = V i Bi n (u) Definícia Majme daný vektor d s barycentrickými súradnicami (d, e, f, g) ; d+e+ f + g = 0. Potom deriváciu štvorstena B n (u) v smere vektora d definujeme ako D d B n (u) = d u Bn (u) + e v Bn (u) + f w Bn (u) + g t Bn (u) kde u Bn (u), v Bn (u), w Bn (u), t Bn (u) sú parciálne derivácie Bézierovho štvorstena. Ak definujeme i B n i (u) = u i v j w k t l Bn (u) i = (i, j, k, l) potom môžeme prvú smerovú deriváciu napísať aj ako D d B n (u) = DdB 1 n (u) = i B n (u)bi 1 (d) 13 i =1
15 Ďalej môžeme rekurzívne definovať smerovú deriváciu r-tého rádu: D r db n (u) = d u Dr 1 d Bn (u) + e v Dr 1Bn (u) + f d + g t Dr 1 d Bn (u) w Dr 1 d Bn (u) + Veta Platí: DdB r n (u) = i B n (u)bi r (d) i =r Dôkaz: Matematickou indukciou podľa r: 1. Pre r = 1 vyplýva tvrdenie z definície 2. Nech tvrdenie platí pre nejaké r, 1 r n 1. Ukážeme, že platí aj pre r + 1. Použijeme definíciu smerovej derivácie vyššieho rádu: Dd r+1 Bn (u) = d u[ D r d B n (u) ] + e [ D r v d B n (u) ] + f [ D r w d B n (u) ] + g t [ D r d B n (u) ] = d [ i B n (u)bi r u (d)] + e [ i B n (u)bi r (d) ] + v i =r i =r +f [ i B n (u)bi r w (d)] + g [ i B n (u)bi r (d) ] = t i =r i =r d i =r f d f i =r+1 i =r d i =r f i =r i =r+1 i =r+1 [ u i B n (u) ] B r i (d) + e i =r [ w i B n (u) ] B r i (d) + g i =r [ v i B n (u) ] B r i (d)+ [ t i B n (u) ] B r i (d) = i+e 1 B n (u)bi r (d) + e i+e 2 B n (u)bi r (d)+ i =r i+e 3 B n (u)bi r (d) + g i+e 4 B n (u)bi r (d) = i B n (u)b r i e 1 (d) + e i B n (u)b r i e 3 (d) + g i =r i =r+1 i =r+1 i B n (u)b r i e 2 (d)+ i B n (u)b r i e 4 (d) = i B n (u) [ db r i e 1 (d) + eb r i e 2 (d) + fb r i e 3 (d) + gb r i e 4 (d) ] Použitím Vety dostaneme: D r+1 d Bn (u) = i =r+1 i B n (u)bi r+1 (d) 14
16 Veta Pre r tú smerovú deriváciu Bézierovho štvorstena B n (u) platí: Dôkaz: Platí: D r db n (u) = (n r)! D r db n (u) = D r d Pomocou Vety dostaneme: DdB r n (u) = [ V i (n r)! Oznacme k := i j. Potom: (n r)! D r db n (u) = Bj r (d) B r j (d)v n r j (u) = [ (n r)! k =n r (n r)! ] V i Bi n (u) = ] Bi j n r (u)br j (d) = k =n r V j+k B n r k (u) = (n r)! j =n r V i D r db n i (u) Bj n r (u)vj r (d) V j+k B n r k (u)b r j (d) = (n r)! V i B n r i j (u)br j (d) Bj r (d)vj n r (u) V poslednej rovnosti sme využili Vetu Podobnou úpravou dostaneme druhú dokazovanú rovnosť: (n r)! D r db n (u) = k =n r (n r)! k =n r Bk n r (u) V j+k Bj r (d) = V j+k B n r k (u)b r j (d) = (n r)! k =n r 1.4 Bézierove telesá tenzorového súčinu. Definícia Nech je dané: stupne Bézierovho telesa tenzorového súčinu, označenie n, m, o Bk n r (u)vk r (d) sieť riadiacich vrcholov V i E 3, kde i je trojindex, i = (i, j, k) 0 i n, 0 l m, 0 k o. Zadanú sieť riadiacich vrcholov je možné schematicky zobraziť v tvare kvádrovej štruktúry s vrcholmi v bodoch V (0,0,0), V (n,0,0), V (0,m,0), V (n,m,0), V (0,0,o), V (n,0,o), V (0,m,o), V (n,m,o) Nech je daný kváder ABCDEF GH, ktorý budeme nazývať definičným oborom Bézierovho telesa tenzorového súčinu. Teraz môžeme definovať Bézierove teleso tenzorového súčinu pomocou analytického vyjadrenia: 15
17 majme daný bod P z definičného oboru Bézierovho telesa tenzorového súčinu a nech u, v, w sú po rade dvojrozmerné barycentrické súradnice kolmého priemetu bodu P na priamky AB, AD, AE vzhľadom na body A, B (resp. A, C resp. A, E) bod Bézierovho telesa tenzorového súčinu stupňov n, m, o so sieťou riadiacich vrcholov V i pre i = (i, j, k) 0 i n, 0 l m, 0 k o prislúchajúci parametrom u, v, w budeme označovať ako B n,m,o (u, v, w) a definujeme ako B n,m,o (u, v, w) = j =m k =o V (i1,j 1,k 1 )B n i (u)b m j (v)b o k(w) kde B n i (u), B m j (v), B o k(w) sú zovšeobecnené Bernsteinove polynómy druhého stupňa, i = (i 1, i 2 ), j = (j 1, j 2 ), k = (k 1, k 2 ). Bézierove teleso tenzorového súčinu sa nedá vo všeobecnosti vyjadriť pomocou rekurzívneho Casteljauovho algoritmu, preto je definované analytickým vyjadrením. Len v prípade n = m = o sa to dá tak, ako hovorí nasledujúca veta. Veta Majme dané Bézierove teleso tenzorového súčinu stupňov n, n, n. Definujme V 0 (i,j,k) = V (i,j,k) pre 0 i, j, k n. Ďalej rekurzívne definujme V(i,j,k)(u, r v, w) = (1 u)(1 v)(1 w)v r 1 r 1 (i,j,k)(u, v, w) + (1 u)v(1 w)v(i,j+1,k) (u, v, w)+ u(1 v)(1 w)v r 1 r 1 (i+1,j,k)(u, v, w) + uv(1 w)v(i+1,j+1,k) (u, v, w)+ (1 u)(1 v)wv r 1 r 1 (i,j,k+1)(u, v, w) + (1 u)vwv(i,j+1,k+1) (u, v, w)+ u(1 v)wv r 1 r 1 (i+1,j,k+1)(u, v, w) + uvwv(i+1,j+1,k+1) (u, v, w) pre u = (u, 1 u), v = (v, 1 v), w = (w, 1 w),r = 1,..., n a i, j, k = 0, 1,..., n r. Potom platí V r (i 0,j 0,k 0 )(u, v, w) = i =r k =r pre i 0, j 0, k 0 = 0, 1,..., n r. Potom pre r = n dostaneme V n (0,0,0)(u, v, w) = j =n k =n V (i1 +i 0,j 1 +j 0,k 1 +k 0 )B r i (u)b r j (v)b r k(w) V (i,j,k) B n i (u)b n j (v)b n k(w) = B n,n,n (u, v, w) Dôkaz: Tak ako v prípade podobnej vety pre Bézierove štvorsteny sa použije matematická indukcia. V indukčnom kroku sa po dosadení predpokladu a úprave použije viackrát Veta 1.2.1b pre zovšeobecnené Bernsteinove polynómy druhého rádu. 16
18 Pre všeobecné Bézierove telesá tenzorového súčinu sa môže použiť krivkový Casteljauov algoritmus pre každý smer zvlášť. Najprv sa urobí tento algoritmus pre všetky krivky v u smere. Tieto majú riadiaci polygón (V 0,j,k, V 1,j,k,..., V m,j,k ). Keď urobíme tento algoritmus pre všetky j = 0,..., n; k = 0,..., o, dostaneme (m + 1).(o + 1) bodov. Na tieto body sa znova aplikuje m + 1 krivkových Casteljauových algoritmov vo v smere, dostaneme o + 1 bodov a na ne sa nakoniec aplikuje jeden krivkový Casteljauov algoritmus a tým dotaneme príslušný bod. Ďalej nám z tohto algoritmu vychádzajú aj čiastkové vrcholy ktoré sa dajú použiť ako lepšia aproximácia nášho telesa. Veta (Vlastnosti Bézierovho telesa tenzorového súčinu) Pre Bézierove teleso tenzorového súčinu platí: a) Je afinne invariantné b) Patrí do konvexného obalu svojich riadiacich bodov c) Jeho rohové body sú totožné s rohovými bodmi riadiacej siete, t.j. sem patria body V (0,0,0), V (n,0,0, V (0,m,0), V (n,m,0), V (0,0,o), V (n,0,o), V (0,m,o), V (n,m,o). d) Hraničné plochy sú Bézierove záplaty tenzorového súčinu, hraničné krivky sú Bézierove oblúky. e) Zvyšovať stupeň sa dá po zložkách, napr. ak chceme zvýšiť stupeň telesa v u smere, urobíme zvýšenie pre všetky krivky v u smere, čiže táto vlastnosť sa zredukuje na zvyšovanie stupňa Bézierovej krivky. Dôkaz predchádzajúcej vety neuvádzam, dokáže sa analogicky ako podobná veta pre Bézierove štvorsteny. Derivácia Bézierovho telesa tenzorového súčinu sa robia pre každý parameter zvlášť, preto sa možu použiť jednoduchšie postupy pre derivácie Bézirových kriviek. 1.5 Racionálne Bézierove telesá. Definícia Racionálne Bézierove telesá pridávajú ku každému vrcholu riadiacej reálny parameter, ktorý nazývame váha daného bodu. Pre racionálne Bézierove štvorsteny je definované analytické vyjadrenie ako: RB n (u) = j =n w j V j B n j (u) j =n w j B n j (u) a pre racionálne Bézierove telesá tenzorového súčinu RB n,m,o j =m k =o w (i1,j (u, v, w) = 1,k 1 )V (i1,j 1,k 1 )Bi n (u)bj m (v)bk(w) o j =m k =o w (i1,j 1,k 1 )Bi n(u)bm j (v)bo k (w) 17
19 kde w j resp. w (i1,j 1,k 1 ) sú váhy bodov V j resp. V (i1,j 1,k 1 ). Existuje aj alternatívna definícia, ktorá využíva základy projektívnej geometrie v E 4. Vložením telesa do E 4 s pomocou váh a následná projekcia do E 3 dáva všeobecnejšiu triedu telies. Definícia Majme danú riadiacu sieť V j resp. V (i1,j 1,k 1 ) v E 3 a pre každý vrchol siete jeho váhu w j resp. w (i1,j 1,k 1 ). Následne vložíme tieto body do priestoru E 4 nasledovne: V j = [x j, y j, z j ] V w j = [w j x j, w j y j, w j z j, w j ] V (i1,j 1,k 1 ) = [x (i1,j 1,k 1 ), y (i1,j 1,k 1 ), z (i1,j 1,k 1 )] V w (i 1,j 1,k 1 ) = [w (i1,j 1,k 1 )x (i1,j 1,k 1 ), w (i1,j 1,k 1 )y (i1,j 1,k 1 ), w (i1,j 1,k 1 )z (i1,j 1,k 1 ), w (i1,j 1,k 1 )] Teraz sa v E 4 vymodeluje obyčajné Bézierove teleso s riadiacou sieťou Vj w resp. V(i w 1,j 1,k 1 ) a toto teleso sa projektívne premietne v smere štvrtej súradnicovej osi do nadplochy xyz. Týmto postupom dostaneme racionálny Bézierov štvorsten resp. racionálne Bézierove teleso tenzorového súčinu. Veta Definície a sú ekvivalentné Dôkaz: Ukážeme, že vložením do E 4 a následnou projekciou do E 3 spomínaným v definícii dostaneme analytické vyjadrenie racionálneho Bézierovho telesa. Pre analytické vyjadrenie racionálneho Bézierovho štvorstena po vnorení máme: B w,n (u) = V w i Bi n (u) = [w j x j, w j y j, w j z j, w j ]Bi n (u) = [ w j x j Bi n (u), w j y j Bi n (u), w j z j Bi n (u), w j Bi n (u)] Projektívna projekcia z E 4 do E 3 sa analyticky uskutoční predelením prvých troch súradníc štvrtou súradnicou. Tým dostaneme jednoducho analytické vyjadrenie racionálneho Bézierovho štvorstena. Vyjadrenie racionálneho Bézierovho telesa tenzorového súčinu ako aj opačná implikácia sa dokážu analogicky. Racionálne Bézierove telesá tvoria zovšeobecnenie obyčajných Bézierovych telies, pretože nahrádzajú polynomické bázické funkcie racionálnymi: j =n w j V j B n j (u) j =n w j B n j (u) = V i w i Bi n (u) j =n w j Bj n(u) 18
20 j =m k =o w (i1,j 1,k 1 )V (i1,j 1,k 1 )Bi n (u)bj m (v)bk(w) o j =m k =o w (i1,j 1,k 1 )Bi n(u)bm j (v)bo k (w) = j =m k =o V (i1,j 1,k 1 ) w (i1,j 1,k 1 )Bi n (u)bj m (v)bk(w) o j =m k =o w (i1,j 1,k 1 )Bi n(u)bm j (v)bo k (w) Podobne ako v prípade obyčajných Bézierovych telies, aj v prípade racionálneho Bézierovho štvorstena resp. špeciálneho prípadu Bézierovho telesa tenzorového súčinu (n = m = o) existuje rekurzívny Casteljauov algoritmus na výpočet bodu telesa pre dané parametre. Tento algoritmus sa dostane aplikovaním štandardného Casteljauovho algoritmu na teleso vnorené do E 4 a následnou projekciou do E 3. Potom v prípade Bézierovho štvorstena sú vzťahy algoritmu nasledovné: V r i (u) = 1 w r i (u) [ uw r 1 i+e 1 (u)v r 1 i+e 1 (u) + vw r 1 i+e 2 (u)v r 1 i+e 2 (u) + ww r 1 i+e 3 (u)v r 1 i+e 3 (u)+ ] twi+e r 1 4 (u)vi+e r 1 4 (u) kde w r i (u) je rekurzívne definované ako: r = 1,.., n; i = n r w r i (u) = uw r 1 i+e 1 (u) + vw r 1 i+e 2 (u) + ww r 1 i+e 3 (u) + tw r 1 i+e 4 (u) r = 1,.., n; i = n r pre u = (u, v, w, t) A potom máme: V n 0 (u) = RB n (u) V prípade Bézierovho telesa tenzorového súčinu pre n = m = o máme: V r (i,j,k)(u, v, w) = w r (i,j,k) V 0 (i,j,k) = V (i,j,k) ; 0 i, j, k n 1 u)(1 v)(1 w)wr 1 (u, v, w)[(1 (i,j,k) (u, v, w)v r 1 (i,j,k) (u, v, w)+ (1 u)v(1 w)w r 1 r 1 r 1 (i,j+1,k)(u, v, w)v(i,j+1,k) (u, v, w)+u(1 v)(1 w)wr 1 (i+1,j,k)(u, v, w)v(i+1,j,k) (u, v, w)+ uv(1 w)w r 1 r 1 r 1 (i+1,j+1,k)(u, v, w)v(i+1,j+1,k) (u, v, w)+(1 u)(1 v)wwr 1 (i,j,k+1)(u, v, w)v(i,j,k+1) (u, v, w)+ (1 u)vww r 1 r 1 r 1 (i,j+1,k+1)(u, v, w)v(i,j+1,k+1) (u, v, w)+u(1 v)wwr 1 (i+1,j,k+1)(u, v, w)v(i+1,j,k+1) (u, v, w)+ uvww r 1 r 1 (i+1,j+1,k+1)(u, v, w)v(i+1,j+1,k+1) (u, v, w)] Postupné váhy sa vypočítajú podľa vzťahu: w 0 (i,j,k) = w (i,j,k) ; 0 i, j, k n w(i,j,k)(u, r v, w) = (1 u)(1 v)(1 w)w r 1 (i,j,k)(u, v, w) + (1 u)v(1 w)wr 1 (i,j+1,k)(u, v, w)+ u(1 v)(1 w)w r 1 (i+1,j,k)(u, v, w) + uv(1 w)wr 1 (i+1,j+1,k)(u, v, w)+ 19
21 (1 u)(1 v)ww r 1 (i,j,k+1)(u, v, w) + (1 u)vwwr 1 (i,j+1,k+1)(u, v, w)+ u(1 v)ww r 1 (i+1,j,k+1)(u, v, w) + uvwwr 1 (i+1,j+1,k+1)(u, v, w) Všetky vsťahy sa počítajú pre u = (u, 1 u), v = (v, 1 v), w = (w, 1 w),r = 1,..., n a i, j, k = 0, 1,..., n r. Potom platí V n (0,0,0)(u, v, w) = RB n,n,n (u, v, w) Pre racionálne Bézierove telesá platiatie isté vlastnosti ako pre obyčajné telesá, väčšinou sa tieto vlastnosti dajú ukázať z analytického vyjadrenia. Derivácia sa počíta ako derivácia podielu dvoch funkcií, takže dostávame zložitejšie výrazy, ktoré sa daju ťažšie vyjadriť analyticky pre deriváciu ľubovoľného rádu. 20
22 Kapitola 2 Vizualizácia Bézierových telies 2.1 Siete bodov Pretože sa zaoberáme trojrozmernými útvarmi (telesami), budeme používať trojrozmerné siete bodov. Najzákladnejšie dve konfigurácie bodov v sieti sú štvorstenná a kvádrová. Budeme ich používať hlavne preto, lebo majú úzky súvis s dvoma základnými druhmi Bézierovych telies. Okrem bodov máme v tejto štruktúre zavedenú topológiu, t.j. máme dané spojenie bodu s jeho sesednými bodmi. Tieto siete bodov sú definované nasledovne: Definícia Štvorstenná sieť bodov rozmeru n je množina bodov v priestore, ktorá sa dá usporiadať tak, aby sme ju mohli zapísať v tvare:v i E 3 ; i = (i, j, k, l); 0 i, j, k, l n; i = i + j + k + l = n. Pre bod V i,j,k,l máme daných jeho susedov nasledovne:v i 1,j+1,k,l, V i 1,j,k+1,l, V i 1,j,k,l+1, V i+1,j 1,k,l, V i,j 1,k+1,l, V i,j 1,k,l+1, V i+1,j,k 1,l+1, V i,j+1,k 1,l, V i,j,k 1,l+1, V i+1,j,k,l 1, V i,j+1,k,l 1, V i,j,k+1,l 1. Samozrejme musia patriť index pri danom susedovi do príslušných hraníc, ináč sused neexistuje. Definícia Kvádrová sieť bodov rozmerov n,m,o je množina bodov v priestore, ktorá sa dá usporiadať tak, aby sme ju mohli zapísať v tvare:v (i,j,k) E 3 ; 0 i n; 0 j m; 0 k o. Pre bod V i,j,k máme daných jeho susedov nasledovne:v i 1,j,k, V i+1,j,k, V i,j 1,k, V i,j+1,k, V i,j,k 1, V i,j,k+1. Index pri danom susedovi musí patriť do príslušných hraníc, ináč sused neexistuje. Ak teraz porovnáme tieto definície s definíciami Bézierových telies, vidíme, že riadiaca siet Bézieroveho štvorstena resp. Bézierovho telesa tenzorového súčinu sa dá napísť aj ako štvorstenná resp. kvádrová sieť bodov. Pre počet bodov siete bodov platí nasledujúce tvrdenie: Veta Kvádrová sieť bodov obsahuje (n + 1)(m + 1)(o + 1) bodov, štvorstenná sieť bodov obsahuje (n+1)(n+2)(n+3) 6 bodov. 21
23 Obr. 2.1: Jednoduchá štvorstenná sieť bodov s vykreslenými vrcholmi a hranami. Obr. 2.2: Jednoduchá kvádrová sieť bodov s vykreslenými vrcholmi, hranami a trojuholníkmi. 22
24 Dôkaz: Pre kvádrovú sieť bodov je dôkaz jednoduchý, pretože pre i máme n+1 možností, pre j máme m+1 možností a pre k máme o+1 možností, potom pre index (i,j,k) máme (n + 1)(m + 1)(o + 1) možností, čo je aj počet bodov kvádrovej siete bodov. V prípade štvorstennej siete bodov máme index (i, j, k, l) taký, že i+j+k+l = n. Keď položíme i ako pevné,0 i n, dostaneme j +k +l = n i. Teraz keď položíme aj j pevné,0 j n i, dostaneme k + l = n i j. Pretože teraz 0 k n i j, máme pre k (n i j + 1) možností (l je závislá od k, preto ju nezarátame). Teraz keď berieme j = 0,..., n i, dostávame pre j a k [(n i + 1) + (n i) ] možností, t.j. (n i+2)(n i+1) možností. 2 Posledná vec je brať i z intervalu 0,...,n a potom pre i,j,k dostávame [ (n+2)(n+1) + (n+1)n (n+1)(n+2)(n+3) ] možností, t.j. možností, čo je aj počet bodov štvorstennej siete 2 6 bodov. Výpočet súm spomýnaných v dôkaze sa dá ľahko ukázať pomocou matematickej indukcie. Na znázornenie definovaných sietí bodov je často potrebná ich vizualizácia. Vizualizovať sa môžu vrcholy siete, hrany ktoré spájajú susedné vrcholy siete a aj množina trojuholníkov siete. Táto množina trojuholníkov sa vytvára tak, že pre každú trojicu bodov, ktoré sú navzájom susedmi, sa pridá trojuholník tvorený týmito vrcholmi. Samozrejme pri tomto postupe treba dávať pozor, aby sa rovnaké trojuholníky neopakovali. V prípade, že nie je potrebné vizualizovať vnútro siete, je možné vykresliť sieť len pomocou bodov, ktoré tvoria hranicu siete. Obrázky 2.1 a 2.2 nám ilustrujú dva základné typy sietí s vizualizáciou možných častí siete. Pre každý vrchol siete bodov sa može pridávať nepovinný parameter alebo funkcia, ktoré možu určovať vlastnosti bodu v sieti (napr. či sa bod má vykresliť, hustotu v danom bode,...). 2.2 Aproximácia Bézierových telies sieťou bodov Keďže Bézierove teleso je spojitá štruktúra a na vizualizáciu potrebujeme diskrétnu štrukturu, aproximujeme Bézierove teleso sieťou bodov, v prípade Bézierovho štvorstena použijeme štvorstennú sieť bodov, v prípade Bézierovho telesa tenzorového súčinu použijeme kvádrovú sieť bodov. Taktiež si možeme všimnúť, že aj riadiaca sieť Bézierovho telesa je aproximácia toho telesa pomocou siete bodov, my ale väčšinou potrebujeme lepšiu aproximáciu. Teraz si popíšeme tri metódy na získanie takejto presnejšej siete bodov Diskretizácia definičného oboru V tejto metóde vyberáme z definičného oboru Bézierovho telesa konečný počet bodov, ktoré nám reprezentujú definičný obor. Na takto vybraté hodnoty sa potom aplikuje 23
25 výpočet bodu Bézierovho telesa pomocou analytického vyjadrenia alebo Casteljauovho algoritmu. V prípade Bézierovho štvorstena sa používa rozdelenie, pri ktorom sa pre zvolené prirodzené číslo p vyberajú body v tvare X = i A + j B + kc + l D, kde i, j, k, l = 0,..., p p p p p a i + j + k + l = p. Pre každý takto daný bod definičného oboru sa vypočíta príslušný bod Bézierovho štvorstena a ten sa uloží do výslednej štvorstennej siete bodov rozmeru p ako V (i,j,k,l). Číslo p nám určuje presnosť, s akou sa vyberajú body z definičného oboru a teda aj presnosť aproximácie Bézierovho štvorstena. V prípade Bézierovho telesa tenzorového súčinu sa používa rozdelenie, pri ktorom sa pre zvolené prirodzené čísla p 1, p 2, p 3 vyberajú body v tvare X = [x, y, z] = [A + i p 1 (B A), A + j p 2 (D A), A + k p 3 (A E)], kde i = 0,..., p 1 ; j = 0,..., p 2 ; k = 0,..., p 3 ;. Pre každý takto daný bod definičného oboru sa vypočíta príslušný bod Bézierovho telesa tenzorového súčinu a ten sa uloží do výslednej kvádrovej siete bodov rozmerov p 1, p 2, p 3 ako V (i,j,k) Zvyšovanie stupňa Vieme, že riadiacia sieť Bézierovho telesa je prvou aproximáciou tohto telesa. Keď teraz použijeme na túto riadiacu sieť algoritmus na zvyšovanie stupňa, dostaneme sieť bodov, ktorá je hustejšia a lepšie aproximuje dané teleso, pričom sa stále jedná aj o jeho riadiacu sieť. V prípade Bézierovho telesa je tento krok jednoduchý, v prípade Bézierovho telesa tenzorového súčinu sa musí urobiť zvýšenie stupňa vždy vo všetkých troch smeroch. Tento postup môžeme opakovať pokiaľ nemáme dostatočne presnú aproximáciu Bézierovho telesa Casteljauov algoritmus Tento postup je odlišný od predchádzajúcich dvoch. Teraz budeme mať viacero sietí bodov, ktore budú dokopy aproximovať Bézierove teleso. Najprv si ukážeme postup v prípade Bézierovho štvorstena. Na začiatku máme riadiacu sieť ako prvú aproximáciu. Vyberieme bod z definičného oboru a pre tento bod urobíme Casteljauov algoritmus. Jedným z výsledkov tohto algoritmu sú štyri podsiete, ktoré dokopy aproximujú zadaný Bézierov štvorsten. Tieto štyri siete bodov tvoria riadiace siete štyroch Bézierovych štvorstenov s definičnými obormi, ktoré vznikú rozdelením definičného oboru pomocou vybraného bodu. Preto môžeme tento postup opakovať na tieto štyri Bézierove štvorsteny. Takto dostávame v každom kroku nové siete bodov zo starých, ak nejaká sieť dostatočne aproximuje časť Bézierovho štvorstena, viac sa už nedelí. V prípade Bézierovho telesa tenzorového súčinu sa toto delenie robí v každom smere samostatne, t.j. robí sa len krivkový Casteljauov 24
26 algopritmus v každom smere. V každom kroku nám potom môže vzniknúť pre danú sieť bodov až 8 nových podsietí. 2.3 Implementácia Najdôležitejšou časťou implementácie sú triedy, ktoré obsahujú štvorstennú a kvádrovú sieť bodov a taktiež metódy na naplnenie a vykreslenie týchto štruktúr. Tieto triedy sa potom používajú na uloženie riadiacej siete v triedach, ktoré obsluhujú Bézierove štvorsteny a telesá tenzorového súčinu. Nakoniec sa tieto siete bodov použijú na uskladnenie a vizualizáciu siete, ktorá aproximuje vizualizáciu Bézierových telies sa použije prevod telesa na sieť bodov tak, aby dostatočne aproximoval dané teleso. Nasledovné obrázky zobrazujú rôzne typy a konfigurácie telies v roznych typoch vizualizácie. Obr. 2.3: Bézierov štvorsten v tvare kužela. Vykreslené sú hrany a trojuholníky siete bodov. 25
27 Obr. 2.4: Bézierove teleso v tvare valca s vykreslenou riadiacou sieťou. Obr. 2.5: Bézierove rotačné teleso s vykreslenou hranicou bez hornej hranice. 26
28 Obr. 2.6: Bézierove teleso v gule s vykreslenou riadiacou sieťou. Obr. 2.7: Bézierove skrutkové teleso. 27
29 Poďakovanie Chcel by som poďakovať doc.rndr. Valentínovi Zaťkovi, PhD. a RNDr. Andrejovi Ferkovi, PhD., za ich ochotnú pomoc a za mnohé cenné rady a pripomienky pri príprave tejto práce. Táto práca bola čiastočne podporovaná grantom VEGA Virtual Environments for WWW číslo 1/0174/03. 28
30 Literatúra [1] Farin G. Curves and Surfaces for Computer-Aided Geometric Design - A Practical Guide. ISBN , Academic Press, Boston, [2] Ferko A., Ružický E. Pocítačová grafika a spracovanie obrazu. ISBN , SAPIENTIA, Bratislava, [3] Žára J. a kol. Moderní pocítačová grafika. ISBN , Computer Press, Praha, [4] Piegl L., Tiller W. The NURBS Book. ISBN , Springer-Verlag, New York, [5] OpenGL webpage. [6] Samuelčík M. Bézierove štvorsteny v E 4 a ich aplikácie. Diplomová práca, FMFI UK, Bratislava,
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραAproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT
R. Královič Aproximačné algoritmy (7. októbra 2010) ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Algoritmy a zložitosť........................... 1 1.2 Lineárne programovanie......................... 1 1.3 Použité vzťahy..............................
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2
NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότερα