Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού

Transcript

1 5- Μθημτικά Γ Λυκείου Προσντολισμού Σημειώσεις μθημτικών ου ευθύνοντι σε μθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες γι την κλύτερη κτνόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5-

2 Πρόλογος Αγητέ νγνώστη Σκοός των σημειώσεων ου κολουθούν δεν είνι σε κμί ερίτωση ν υοκτστήσουν το σχολικό ιλίο. Άλλωστε έχουν γρφεί με δεδομένο ότι έχει ρώτ μελετηθεί υτό. Ο στόχος του ειμελητή υτής της έκδοσης είνι ν δώσει στους μθητές τη δυντότητ ν ειλύσουν ερισσότερες σκήσεις γι την εριτέρω κτνόηση της ύλης, κι ν τους εντάξει στο ύφος των σκήσεων ου θ τους ζητηθούν στις ολυτήριες/νελλδικές εξετάσεις. Είσης, είνι μι ευκιρί ώστε ν λλγούν ό σκόριες σημειώσεις κι φυλλάδι ου δίνοντι ό τον διδάσκοντ κτά την διάρκει της χρονιάς κι ν είνι όλ υτά συγκεντρωμέν σε έν μέρος. Όσον φορά το σχολείο, ήτν μι ρώτης τάξης ευκιρί ώστε ν μειώσει το κόστος των φωτοτυιών στις δύσκολες εοχές ου ερνάμε. Η γρφειοκρτί όμως της ελληνικής διοίκησης (σχολική ειτροή), ρά τις ροσάθειες της διεύθυνσης του ου Λυκείου, δεν το εέτρεψε. Γι υτό κι τυώνετι με ροσωικά έξοδ του ειμελητή της έκδοσης, Δούδη Δημήτρη. Σετέμριος 5 Αλεξνδρούολη Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

3 Ευχριστίες - Αφιερώσεις Τέλος, είνι χρέος μου ν τονίσω την εξιρετική συνεργσί μετξύ των μθημτικών του ου Ενιίου Λυκείου. Ειδικότερ, θ ήθελ ν ευχριστήσω τον Κνιστή Θόδωρο ου με τίμησε με την εμιστοσύνη του. Η ντλλγή όψεων, σχολίων κι σημειώσεων με τον τελευτίο κτέστησε εφικτό το συγκεκριμένο οτέλεσμ. Αφιερωμένο στην Αθηνά κι την Αλεξάνδρ Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

4 Κεφάλιο ο : Όριο Συνέχει Συνάρτησης Πίνκς Περιεχομένων Ενότητ η.) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ... σελ. 5 Ενότητ η.) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ σελ. Ενότητ η.) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ. σελ. 8 Ενότητ η.) - - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.. σελ. Ενότητ 5 η. -. Ερωτήσεις Σ-Λ στις Συνρτήσεις σελ. Ενότητ η. ΟΡΙΟ ΣΤΟ (Έννοι, Πλευρικά, Όριο Τυτοτικής Στθερής συνάρτησης).5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Διάτξη, Πράξεις).. σελ. Ενότητ 7 η.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Κριτήριο Πρεμολής, Τριγωνομετρικά Όρι, Όριο Σύνθετης). σελ. 7 Ενότητ 8 η. Μη Πεερσμένο Όριο στο... σελ. Ενότητ 9 η.7 Όρι Συνάρτησης στο Άειρο. σελ. Ενότητ η.8) Συνέχει συνάρτησης σελ. 7 Ενότητ η.8 Συνέχει συνάρτησης σε διάστημ & Βσικά Θεωρήμτ σελ. 5 ΚΕΦ ο: Διφορικός Λογισμός Ενότητ η. Η έννοι της ργώγου.. σελ. Ενότητ η. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. Ενότητ η. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. 8 Ενότητ 5 η. -. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.. σελ. 7 Ενότητ η. Ρυθμός Μετολής σελ. 79 Ενότητ 7 η. -. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ σελ. 8 Ενότητ 8 η.5) Θεώρημ Roll... σελ. 87 Ενότητ 9 η.5) Θεώρημ Μέσης Τιμής (Διφορικού Λογισμού) σελ. 95 Ενότητ η. ) Συνέειες Θεωρήμτος Μέσης Τιμής (Διφορικού Λογισμού) σελ. Ενότητ η.5 -. ) Ερωτήσεις Ενάληψης. σελ. Ενότητ η. ) Μονοτονί Συνάρτησης.. σελ. 8 Ενότητ η.7 Τοικά Ακρόττ Συνάρτησης Θεώρημ Frmat σελ. Ενότητ η.8 Κυρτότητ - Σημεί Κμής Συνάρτησης σελ. Ενότητ 5 η.9) ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.. σελ. Ενότητ η.9) ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ.. σελ. 7 Ενότητ 7 η. Μελέτη κι Χάρξη γρφικής ράστσης Συνάρτησης σελ. Ενότητ 8 η ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ. σελ. ΚΕΦ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Ενότητ 9 η. Πράγουσ Συνάρτησης. σελ. 8 Ενότητ η. Ορισμένο Ολοκλήρωμ.5 Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού - Μέθοδοι Ολοκλήρωσης. σελ. Ενότητ η.7 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΧΩΡΙΩΝ... σελ. 5 Ενότητ η.-.7_ερωτήσεις Ενάληψης Ολοκληρωτικού Λογισμού... σελ. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

5 Βιλιογρφί Πηγές [] Σχολικό ιλίο ΟΕΔΒ, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κτεύθυνσης Γ Λυκείου» [] Ψηφικά Εκιδευτικά Βοηθήμτ [ [] Χρ. Στεργίου, Χρ. Νάκης, Ιωάν. Στεργίου, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Γ, Γ, Εκδ. Σάλς» () [] Μάρλς Ανστάσιος, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Τεύχη Α Β, Ελληνοεκδοτική» () [5] Πδάκης Βσίλης, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ, Γ, Εκδ. Σάλς» () [] Κνιστής Θεόδωρος, Μθημτικός ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης, ροσωικές σημειώσεις. [7] Χτζόουλος Μάκης, [ [8] Ελευθερίου Πρόδρομος, Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Λέσου, «Η συνάρτηση ορισμένη ό ολοκλήρωμ». [9] Κυρικόουλος Αντώνης, «Συνρτήσεις ου ορίζοντι ό Ολοκλήρωμ». [] Μύρος Ιωάννης, ροσωικές σημειώσεις [ [] Ελευθεριάδης Μάριος, «Ολοκληρώμτ». Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Ολοκληρωτικός Λογισμός Σημντικές ρτηρήσεις Φυλλάδι555 Ενότητ 9 ο. Πράγουσ Συνάρτησης. Η διδικσί εύρεσης της ρχικής συνάρτησης ή Πράγουσς είνι ντίστροφη ορεί της ργώγισης. Εομένως ρέει ν γνωρίζουμε ολύ κλά τους κνόνες ργώγισης.. H έννοι της ρχικής συνάρτησης είνι μί έννοι ου ορίζετι σε διάστημ κι όχι σε ένωση διστημάτων. Έτσι γι ράδειγμ, οι συνρτήσεις () κι F() ln, ορίζοντι στο A(,)(,) κι F () = () γι κάθε κι A, οότε: Στο (, ), οι ράγουσες της είνι F() c, c. Στο (,), οι ράγουσες της είνι F() c, c. Στο A(,)(,), οι ράγουσες της δεν είνι F() c, c. Αν F,F είνι δύο ράγουσες της συνάρτησης, σε έν διάστημ Δ, τότε υτές θ διφέρουν κτά έν στθερό ργμτικό ριθμό c. Δηλδή: F() F() c, c R.. Κάθε συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ, δεν έχει νγκί ράγουσ. Πράδειγμ, Η συνάρτηση, είνι ορισμένη στο διάστημ Δ = (,), λλά δεν, υάρχει συνάρτηση F ργωγίσιμη στο Δ = (,) τέτοι ώστε F () = (). 5. Αοδεικνύετι ότι: Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ, τότε: ) Έχει ράγουσ στο Δ. ) Έχει άειρες ρχικές συνρτήσεις.. Αν δεν έχει ράγουσ, τότε δεν είνι συνεχής. (Αντιθετοντιστροφή) 7. Αν δεν είνι συνεχής, τότε δεν συνεάγετι ότι δεν έχει ράγουσ Πράδειγμ ημ συν, Η συνάρτηση () δεν είνι συνεχής στο,, ημ, λλά έχει ράγουσ την: F()., Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

7 8. Γι κάθε συνάρτηση με εδίο ορισμού έν διάστημ Δ, οι εφτόμενες των γρφικών ρστάσεων όλων των ργουσών της, στο Δ είνι ράλληλες. 9. Αό τον ίνκ των ργώγων σικών συνρτήσεων ρίσκουμε τον ρκάτω ίνκ ρχικών συνρτήσεων. Οι τύοι του ίνκ υτού ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οοίο οι ρστάσεις του ου εμφνίζοντι έχουν νόημ. ΠΙΝΑΚΑΣ Α/Α Συνάρτηση Πράγουσες () G() c, c R () G() c, c R () 5 () G() ln c, c R G() c, c R () G() c, c () συν G() ημ c, cr 7 () ημ G() συν c, c R 8 () 9 G() εφ c, cr συν () G() σφ c, cr ημ () (), G() c, c R G() c, c R ln. Συνέει του ορισμού της ρχικής συνάρτησης κι των κνόνων ργώγισης είνι οι εξής δύο ιδιότητες: Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι ράγουσες των κι g ντιστοίχως κι ο τότε: i) Η συνάρτηση F G είνι μι ράγουσ της συνάρτησης g ii) Η συνάρτηση λ F είνι μι ράγουσ της συνάρτησης λ. Κτά συνέει κι ο ρκάτω ίνκς κι * λ, Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

8 ΠΙΝΑΚΑΣ Α/Α Συνάρτηση Πράγουσες k() () g() K() () g() c, c * k() λ (), λ * K() λ () c, λ, c k() () g() () g() K() () g() c, c () g() () g() k() g() () k() c, c g() 5 k() g() () K() g () c, c. Με φορμή την τελευτί σειρά του ροηγούμενου ίνκ ροκύτει ο εόμενος ίνκς ργουσών συνρτήσεων οι οοίες ροέρχοντι ό σύνθεση μις συνάρτησης με μι σική συνάρτηση. Προφνώς κι εδώ: Οι τύοι του ίνκ υτού ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οοίο οι ρστάσεις του ου εμφνίζοντι έχουν νόημ. ΠΙΝΑΚΑΣ Α/Α Συνάρτηση Πράγουσες g() () G() () c, c () g() G() ln () c, c () ν g() ()(), ν ν () G() c, c, ν ν () g() G() () c, c () 5 g() () συν() G() ημ () c, c g() () ημ() () G() συν () c, c 7 g() συν () () G() εφ () c, c 8 g() ημ () G() σφ () c, c 9 g() () () () G() c, c g() () () () G() c, c ln Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

9 Ασκήσεις. Ν ρείτε την ράγουσ της συνάρτησης () τέμνει τον άξον y y στο σημείο με τετγμένη. [Α -7, Β - σελ 8-9], ότν η γρφική της ράστση. Γι κάθε μί ό τις ρκάτω συνρτήσεις, ν ρείτε την ρχική συνάρτηση της ο- οίς η γρφική ράστση διέρχετι ό το σημείο A(,). ) ) γ) δ) () συν, D () ημ, D(,) () ln, D () συν ημ, D. Ο συνολικός ριθμός Ν των ωλήσεων (σε χιλιάδες) ενός μοντέλου κινητού τηλεφώνου στους ρώτους μήνες της κυκλοφορίς του εμφνίζει ρυθμό μετολής 5 N(t) t, ( t σε μήνες). 9 Ν ρείτε τον συνολικό ριθμό των ωλήσεων στο τέλος του ου μήν με δεδομένο ότι τον ο μήν οι συνολικές ωλήσεις ήτν 7,5 χιλιάδες τηλέφων.. Η ειτάχυνση ενός σώμτος σε χρόνο t sc δίνετι ό την συνάρτηση (t) m / sc t γι t 5. Ν ρείτε την τχύτητ του σώμτος γι t sc, ν η ρχική τχύτητ του σώμτος είνι μηδέν. 5. Ν ρείτε τις ράγουσες των συνρτήσεων: ) () 8, ημ ) g() συν,, 7 συν γ) φ()( ) συν ημ δ) () ημ συν ε) g() στ) φ() ημ( 5) ζ) η) () 5 g()(). Ν ρείτε την ρχική συνάρτηση F της συνάρτησης F( ) F(). θ) φ(),, ι) () ( ) ι) g() ι) φ() ιγ) () 5, ότν () 7. Ν ρείτε την συνάρτηση, ν ξέρουμε ότι (), η ρουσιάζει κρόττο στο σημείο, κι (),. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

10 8. Ν ρεθεί η συνάρτηση :, κι η κλίση της στο είνι. η οοί έχει την ιδιότητ ()(), γι κάθε 9. Σε μι ειχείρηση τ έσοδά της (σε χιλιάδες ευρώ) τον ρώτο μήν του έτους μετάλλοντι με ρυθμό 5, τις ρώτες μέρες του μήν κι τ ντίστοιχ έξοδά της μετάλλοντι με ρυθμό 5. Ν ρεθούν: ) τ συνολικά κέρδη της ειχείρησης το δεύτερο δεκήμερο του μήν, ) τ κέρδη της δέκτης μέρς του ρώτου μήν του έτους.. Ν ρείτε τις ράγουσες των συνρτήσεων: ) () ()() ε) g() σφ,, ln ) g() στ) φ() γ) φ() ζ) () εφ εφ, 7, ημ συν δ) () η) g() +συν. Έστω ργωγίσιμη συνάρτηση : γι την οοί ισχύει () κι (). Ν οδείξετε ότι υάρχει (, ) γι το οοίο ισχύει ().. Ν οδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο διάστημ (,).. Ν ρείτε τις ράγουσες της συνάρτησης (). [Ισότητ με συνάρτηση κι ρχική F] Συνήθως, γίνετι χρήση της ιδιότητς F κι ργωγίζουμε ή υολογίζουμε ράγουσ.. Έστω η συνεχής συνάρτηση : Αν () κι γι κάθε είνι κι F μι ρχική της. () 5. Ν οδείξετε ότι δεν υάρχει συνάρτηση *, της οοίς μί ρχική συνάρτηση F ν ικνοοιεί την σχέση F(), ν ρεθεί η. : F()F( ) F() γι κάθε.. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : με () κι F μι ρχική της με την ιδιότητ: F() ( ), γι κάθε. ) Ν ρείτε το F(). ) Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση g() F() F() είνι στθερή. γ) Ν ρείτε τον τύο της. 7. Έστω η συνεχής συνάρτηση : κι F μι ρχική της. Aν () κι γι κάθε είνι ()( F ), τότε: ) Ν δείξετε ότι ()( F ) γι κάθε. ) Ν δείξετε ότι F()( F ) γι κάθε. γ) Ν ρείτε τον τύο της. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Ολοκληρωτικός Λογισμός Φυλλάδι555 Ενότητ ο. Ορισμένο Ολοκλήρωμ.5 Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού - Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Σημντικές ρτηρήσεις. Το ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνάρτησης είνι ριθμός. Γι το λόγο υτό συμερίνουμε ()d.. Το ορισμένο ολοκλήρωμ είνι νεξάρτητο της ειλογής της ράγουσς. Π.χ d κι d.. Κάθε συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ [,] είνι ολοκληρώσιμη σε υτό.. Αό το θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού ροκύτουν τ κόλουθ συμεράσμτ. ()d ( ) () ()d ( ) (). 5. Αν,g συνρτήσεις οι οοίες είνι συνεχείς στο [,] με () g(), τότε ()d g()d Αόδειξη: (χρειάζετι κάθε φορά ) () g() κι () g() συνεχής συνάρτηση ως διφορά συνεχών. () g() d ()d g()d ()d g()d. Άρ. Το ορισμένο ολοκλήρωμ ()d είνι ένς ργμτικός ριθμός ου εξρτάτι ό τ άκρ ολοκλήρωσης κι κι ό τις τιμές της στο κλειστό διάστημ με άκρ κι κι όχι ό το γράμμ ου ριστάνει την νεξάρτητη μετλητή της.. Έτσι.χ ()d (t)dt (y)dy 7. Υολογισμός ολοκληρώμτος ή δ ()d. γ ()d εφόσον είνι γνωστή η κι δεν είνι δυντόν ν υολογίσουμε τη συνάρτηση εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε () u (), οότε d (u)du (). Τ νέ άκρ ο- λοκλήρωσης είνι u κι u ντίστοιχ (), όου u κι u τις σχέσεις (u) οι οοίες είνι μονδικές φού η συνάρτηση είνι -. κι (u) οι τιμές ου ληθεύουν Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

12 εφόσον είνι γνωστή η κι δεν είνι δυντόν ν υολογίσουμε τη συνάρτηση εργζόμστε ως εξής : Θέτουμε (v) (), οότε d (v)dv (). Τ νέ άκρ ολοκλήρωσης είνι v κι v ντίστοιχ (), όου v κι v οι τιμές ου ληθεύουν τις σχέσεις δ οι οοίες είνι μονδικές φού η συνάρτηση είνι -. (v) γ κι (v) Πράδειγμ: Ν υολογιστεί το ()d Θέτουμε (u) () τότε d (u) du () με 5 (). Κι τ νέ άκρ ολοκλήρωσης είνι οι λύσεις των εξισώσεων (u) κι (u). Έχουμε 5 (u) u u u(u ) u u κι 5 (u) u u ου έχει την ροφνή λύση u = η οοί είνι μονδική φού η συνάρτηση είνι -. Συνεώς τ νέ άκρ ολοκλήρωσης είνι u κι u () Τότε λόγω των σχέσεων (),(),() το ολοκλήρωμ ίρνει τη μορφή: 9 ()d (u) (u)du u (u)du u(5u u)du. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. Μέθοδος Άμεσης Ολοκλήρωσης [Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού] ()d F()d F() F( ) F() Χρησιμοοιήστε τους ίνκες με τις ράγουσες ό το ροηγούμενο φυλλάδιο Β. Μέθοδος ολοκλήρωσης κτά ράγοντες: όου, g ργωγίσιμες συνρτήσεις σε έν διάστημ Δ. ()g()d ()g() ()g()d, Με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κτά ράγοντες είνι δυντόν ν υολογιστούν οι ρκάτω μορφές ολοκληρωμάτων: i) ii) iii) iv) v) vi) κλ d, όου P() ολυώνυμο του, P() P()ημ(κ λ)d, όου P() ολυώνυμο του, P()συν(κ λ)d, όου P() ολυώνυμο του, P()ln(κ λ)d, όου P() ολυώνυμο του, κ λ ημ(μ ν)d κ λ συν(μ ν)d, με, με * κ,μ κι λ, ν. * κ,μ κι λ, ν. * κ κι λ. * κ κι λ. * κ κι λ. * κ κι λ, με κ λ. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

13 Ότν μορούμε ν ειλέξουμε οοιδήοτε ό τις δύο συνρτήσεις γι την εύρεση ράγουσς, τότε ειλέγουμε κτά ροτεριότητ μετξύ της ρκάτω λίστς: λ κ [] [] ημ(λ κ) ή συν(λ κ) [] P() (ολυώνυμο) ή [] ln(()) Αν χρειστεί ν εφρμοστεί η ργοντική ολοκλήρωση κι δεύτερη φορά, τότε ειλέγουμε τον ίδιο ράγοντ με την ρώτη φορά. Πιο συγκεκριμέν, λοιόν: ΜΟΡΦΗ Πρτηρήσεις ΤΡΟΠΟΣ P() κλ d P()ημ(κ λ)d ή P()συν(κ λ)d P()ln(κ λ)d κ I λ ημ(μ ν)d κ I λ συν(μ ν)d P() ημ(κ λ) P() συν(κ λ) d ή d ή P() ολυωνυμική συνάρτηση θμού ν κι κ P() ολυωνυμική συνάρτηση θμού ν κι κ P() ολυωνυμική συνάρτηση θμού ν κι κ κμ P() ολυωνυμική συνάρτηση ου θμού κι κ Εφρμόζουμε ργοντική ολοκλήρωση, ν φορές, ξεκινώντς ό μι ράγουσ της εκθετικής συνάρτησης. Εφρμόζουμε ργοντική ολοκλήρωση, ν φορές, ξεκινώντς ό μι ράγουσ της τριγωνομετρικής συνάρτησης Εφρμόζουμε ργοντική ολοκλήρωση, ξεκινώντς ό μι ράγουσ της ολυωνυμικής συνάρτησης Εφρμόζουμε ργοντική ολοκλήρωση, φορές, ξεκινώντς ό μι ράγουσ της εκθετικής ή της τριγωνομετρικής συνάρτησης, οότε εμφνίζετι άλι το I. Προκύτει, έτσι, εξίσωση με «άγνωστο» το I. Εφρμόζουμε ργοντική ολοκλήρωση, φορά, ξεκινώντς ό μι ράγουσ της συνάρτησης.ή ημ κ λ συν κ λ. Αν η ργοντική ολοκλήρωση δεν μς οηθάει ν υολογίσουμε το ολοκλήρωμ, τότε: ) χωρίζουμε το ολοκλήρωμ σε ολοκληρώμτ ου ροσδιορίζοντι, είτε ) εφρμόζουμε άλλες μεθόδους ολοκλήρωσης. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

14 Γ. Μέθοδος Ολοκλήρωσης με ντικτάστση Με τη μέθοδο υτή υολογίζουμε ολοκληρώμτ ου έχουν ή μορούν ν άρουν την μορφή g() g()d κι ο τύος υολογισμού υτού του είδους ολοκληρωμάτων είνι ο κόλουθος: u g() g()d (u)du, όου,g είνι συνεχείς συνρτήσεις, u g(), du g()d κι u g(), u g(). Πιο συγκεκριμέν, σε ολοκληρώμτ ου φορούν σύνθεση συνρτήσεων [λέε ίνκ, στο φυλλάδιο ] θέτουμε u (). Ειδικές Κτηγορίες Ολοκληρωμάτων ******* u Δ. Ρητές συνρτήσεις Ότν κλούμστε ν υολογίσουμε ολοκλήρωμ ρητής συνάρτησης, δικρίνουμε τις ρκάτω εριτώσεις: P() d Q() [] Αν P() Q(), δηλδή ν ο ριθμητής είνι η ράγωγος του ρονομστή, τότε θέτουμε u Q() κι έχουμε Q() d ln Q() Q(). [] Αν, όμως, P() Q(), τότε εξετάζουμε ν ) Βθμός ριθμητή < Βθμό ρονομστή: Μεττρέουμε το Q() σε γινόμενο ργόντων της μορφής ή ν * ( ρ), νn ή γ με Στη συνέχει το ηλίκο P() Q() ρκάτω: Δ γ. Σε κάθε ράγοντ της μορφής Σε κάθε ράγοντ της μορφής A A A... ρ ( ρ)( ρ) ν ν Σε κάθε ράγοντ της μορφής A B γ. νλύετι σε άθροισμ κλσμάτων με άση τ. ν ( ρ) ντιστοιχεί έν κλάσμ ντιστοιχεί το άθροισμ: A. γ ντιστοιχεί έν κλάσμ Όλες οι στθερές ου εμφνίζοντι ράνω, υολογίζοντι εύκολ με - λοιφή ρονομστών. Πράδειγμ: Β Α Γ Δ ( )( )( )( )( ) Τελικά, νγόμστε στην ερίτωση []. Β Β Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

15 ) Βθμός ριθμητή Βθμό ρονομστή: Εκτελούμε την διίρεση P() : Q() κι έχουμε: P() Q() () υ(), όου (),υ() το ηλίκο κι το υόλοιο, ντίστοιχ, της διίρεσης με θμό υ() < θμό Q(). Τότε έχουμε:, οότε νγόμστε στην ροηγούμενη ερίτωση. P() υ() d ()d d Q() Q() Ε. Εκθετικές μορφές: Θέτουμε κ,)d λ. ( u, ln u, du d κι ίρνουμε ολοκλήρωμ ρητής συνάρτησης. ΣΤ. Τριγωνομετρικές συνρτήσεις ΜΟΡΦΗ Ύρξη εριττής δύνμης του ημ : ν ημ ημ d, ημ συν d, d ν ν κ. Τότε γράφουμε: κ συν ν ν ν ημ ημ ημ( συν ) ημ Αντικτάστση Θέτουμε u οότε du συν, ημd. Πράδειγμ: uσυν duημ συν συν ημ εφd d du ln u συν u συν συν uσυν du ημ συν ημ ημ d d d du... ημ ημ συν u (ρητή μορφή) συν Ύρξη εριττής δύνμης του συν : ν ν ν κ συν συν d, συν ημ d, d κ ημ. Θέτουμε u οότε du ημ, ημd. Τότε γράφουμε: ν ν ν συν συν συν( ημ ) συν Πράδειγμ: uημ du συν ημ συν συν d d d du... συν συν ημ u (ρητή μορφή) ημ Προσοχή! συν συν Αν δίνοντι οι τύοι «οτετργωνισμού»: ημ, συν, μορούμε ν υολογίσουμε ολοκληρώμτ όου όλες οι δυνάμεις του ημ κι συν είνι άρτιες. Άλλοι χρήσιμοι τύοι: εφ (εφ) συν σφ ( σφ) ημ ημ συν Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

16 .Πράδειγμ: συν ημ d d ημ... συν συν d d( συν συν )d... Ζ. Άρρητ ολοκληρώμτ ΜΟΡΦΗ Αντικτάστση Πρτηρήσεις ν μ (, κ λ, κ λ,...)d ν κ λd ή d ν κ λ (, )d (, )d (, )d Θέτουμε ε u κ λ ε Ε.Κ.Π.(ν,μ,...) Θέτουμε u κ λ ή ν u κ λ Θέτουμε Θέτουμε Θέτουμε ημu ημu εφu u, u, ή u, u, Η. Ανγωγικοί τύοι Η μέθοδος εφρμόζετι ότν στην συνάρτηση υάρχει δύνμη με εκθέτη φυσικό ριθμό ν κι το ολοκλήρωμ I ν υολογίζετι ό τ ροηγούμεν ολοκληρώμτ ( I ν,i ν,...). Ζητάμε ν υολογίσουμε το ολοκλήρωμ I ν ()d ν. Με ργοντική ολοκλήρωση (συνήθως) ρίσκουμε μι σχέση ου συνδέει τ ολοκληρώμτ I ν,i ν,i ν,... (νδρομικός τύος). Ανγόμστε, έτσι στον υολογισμό κάοιων ρχικών ολοκληρωμάτων (όσων ιτούντι γι ν έχει νόημ ο νδρομικός τύος) I,I,I κλ. Πράδειγμ. Ν ρεθεί ο νγωγικός τύος γι τ ολοκληρώμτ: ) ) ν ν ν ν ν ν ν I(ln ) d()(ln ) d (ln ) ν(ln ) d (ln ) νι... ν ν ν ν I( εφ) d(εφ) εφ d(εφ)( εφ )d ν ν ν ν uεφ du( εφ) d (εφ)( εφ )d(εφ) d(εφ)(εφ) d Ι... Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

17 Σημντικές Προτάσεις. Ολοκλήρωση άρτις ή εριττής (t)dt (t)dt : ρτι. (t)dt : εριττή. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,] τότε ()d () d.. Έστω συνάρτηση η οοί είνι συνεχής στο [,]. Ν δείξετε ότι: i) Υάρχουν m,μ τέτοι ώστε: ii) Υάρχει έν τουλάχιστον ξ(,) m( ) ()d Μ( ). τέτοιο ώστε: ()d (ξ)( ).. Αν γι κάθε [,] ισχύει η σχέση ()d τότε «υάρχει τουλάχιστον έν (,) τέτοιο ώστε () [όμοι γι τις σχέσεις «< ή =» ]. 5. Αν ισχύει ότι δ γ ()d ()d με γ δ κι δ γ, τότε υάρχει τουλάχιστον έν (,) κι τουλάχιστον έν ( γ, δ), άρ () (). δ. Αν συνεχής στο κι ()d= ()d, ν οδείξετε ότι: 7. Αν ισχύει η σχέση: (, γ) τέτοιο ώστε (). γ γ γ, τέτοι ώστε ν ισχύει ()d= ()d. ()d, ()d με γ, τότε υάρχει τουλάχιστον έν 8. Έστω συνεχής συνάρτηση στο [,], ν δείξετε: 9. Έστω συνεχής συνάρτηση στο [,] γι την οοί ισχύει: ()d ()d. δ ()ημd ()συνd. Ν δείξετε ότι: ()d.. (i). (Ανισότητ Cauchy Schwarz Buniakowsky) Αν οι, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο κλειστό διάστημ [,], ν οδείξετε ότι: ()g()d ()d g()d ή ()g()d ()d g()d (ii) Έστω :[,] συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι ()d ()d. Αν, g είνι συνεχείς στο, ν οδείξετε ότι: δ δ. (t)g()d dt= (t)g()dt d. γ γ. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι ισχύει () γι κάθε. Ν οδείξετε ότι: i) 9 8 ()d ()d ii) - ()d ()d.. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ [,] με () γι κάθε [,] κι ()d=, ν οδείξετε ότι ()d. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

18 Ασκήσεις. Ν υολογίσετε, οκλειστικά με την χρήση του ορισμού, τ ολοκληρώμτ: Α) d Β) d ν(ν ) ν(ν ) [Δίνοντι οι τύοι:.. ν κι.. ν ] [Κλσικά] [Α - σελ κι Α -, Β 7-9 σελ 8-9] [κι όλες οι εριτώσεις ό τις σκήσεις, 5,, φυλλάδιο ]. Α) d Β). Α) d Γ) d Δ) ημ συν d Β) 8 d Γ) εφ d Δ) d ημ συν d ημ. Α) d Β) ημσυν 8ημ συν d Γ) ημ συν d ημ συν 5. Α) ln d Β) ημ συν d Γ) συν ημd. Α) d Β) ημ συν d Γ) ημ συν d. ημ [Πργοντική Ολοκλήρωση] [Β 9- σελ 8-] 7. Α) 8. Α) d Β) ( )συν( )d d Γ) Β) 9. Α). Α). Α) ημd συν d Β) Γ) συνd Β) συν d lnd Β). Α). Α). Α) ln d Β) 5 ln d Β) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης d ημ( )d συνd ln d Γ) ln d Δ) ln 9 d ln d Γ) ln d Β) ln(5)ln(8)d ημ d Γ) ln d Δ) ημ d Δ) ln d ln d

19 [Θεωρητικές στην ργοντική ολοκλήρωση] 5. Έστω συνάρτηση με συνεχή στο διάστημ [,] κι () (). Ν οδειχθεί ότι: ()d () ().. Έστω δύο συνρτήσεις κι g με συνεχείς τις () () () g() g(), ν οδειχθεί ότι: κι g() στο R. Αν ισχύει ότι: ()g()d ()g()d. 7. Η συνάρτηση έχει συνεχή τρίτη ράγωγο στο [,] κι ισχύει: () (). Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ: Ι () ()() d. 8. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι (). Ν υολογίσετε το ολοκλήρω- Ι ()ημ ()συν d. μ : 9. Αν η συνάρτηση έχει συνεχή στο [,] κι ισχύει () () κι (), ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ: ()d J.. Η συνάρτηση έχει συνεχή ράγωγο στο [,] κι ισχύουν () (). Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: Ι () () d, J d () ().. Έστω μι συνάρτηση με συνεχή γι την οοί ισχύει: Αν ν υολογίσετε την (). () () συνd.. Έστω μι συνάρτηση με συνεχή στο R.Αν οι εφτόμενες της C στ σημεί κι σχημτίζουν με τον άξον γωνί 5 ο, ν υολογίσετε το ολοκλή- ρωμ: Ι () () d. [Ολοκλήρωση με Αντικτάστση] g() ) Σύνθεση μορφή g() g()d (u)du. Θέτω: u g() g(). Α) Β). Α) 5. Α). Α) 7. Α) d d Β) 5 d Β) σφd Β) d Β) d Γ) ln d Γ) ln d Γ) εφ d Γ) συν συν ln d Γ). ln ln( d )d d d d Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

20 ημσυν εφ εφ εφ d Β) ημ d Γ) 8. Α) 9. Α) 5 d Β) ) Μορφή:. Α),ln d. Θέτω u ln. ln d Β) d Γ) ln d Γ) ln ln ln. Α) d Β) d Γ) ημ ln. Α) d Β) d Γ) ln ln d ημ d ln d lnln d ln εφ ln συν d γ) Μορφή: (ημ)συνd ή (συν)ημd. Θέτω u ημ ή u συν ντίστοιχ.. Α). Α) 5. Α). Α) ημ d Β) συν συν ημ d Β) συν συν d Β) ημ ημ συν d Β) ημ δ) Μορφή: ν 7. Α) 7 ημ d Γ) συν ημ d Γ) εφ ln(συν)d Γ) συν d Δ) ημσυν d Γ) ημ ημ συν d ημ ημ Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης συν ημ d συν d ημ ημ συν P(),(κ λ) d, όου ν ρητός, P() ολυώνυμο. Θέτω u κ λ. d Β) ε) Ρητές συνρτήσεις 8. Α) 9. Α). Α) 7 P d. Q d Β) d Β) 7 7 d Β) d Γ) d Γ) d Γ) d d d 8 d Δ) 5 d Γ). 5 Α) d Β) d Γ). Α) d Β) d Γ). 9 Α) d Β) d d d d 9 d

21 στ) Μορφή:. Α) 5. Α). Α) λ κ (,)d d Β) d Β) ζ) Ριζικά. ln ημ d Β) λ Μορφή : ν κ. Τότε: u, lnu, du d (συνήθως κτλήγω σε ρητή συνάρτηση). d Γ) d Γ) d Γ) d Δ) d Δ) ln ( ) ln( ) d d, d. Τότε: u (ή u λλά δυσκολότερ οδηγούμστε στη σωστή μορφή γι την μέθοδο ντικτάστσης), κι κτλήγω σε ρητή συνάρτηση του u. d 7. Α) d Β) d Γ) d Δ) d 8. Α) d Β) d Γ) d Δ) d Μορφή : λ ν ν, ν,..., ρ d κ γ δ γ δ γ δ. Τότε: u ν, όου ν το Ε.Κ.Π. των γ δ ριθμών ν, ν,,νρ κι κτλήγω σε ρητή συνάρτηση του u. 9. Α) Μορφή : λ κ d Β) λ κ 8 d Γ) *** [Εκτός Ύλης] ***, d ή, d,. Τότε: 5. Α) d Β) λ Μορφή : κ 5. Α) d Γ), d,. Τότε: d Β) d Γ) d εφu, u, κι d du συν u d ημu, u, d κι d συνu du. λ Μορφή 5: κ, d,. Τότε:, u, ή u, συνu κι ημu d du. συν u 5. Α) d Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

22 η) Τριγωνομετρικές 5. Α) 5. Α) 55. Α) 5. Α) 57. Α) ημd Β) ημ d Β) ημ d Β) ημ d Β) συνd Γ) συν d Γ) συν d Γ) συν d Γ) ημ συν d Β) 58. Με τη οήθει των τύων: ημσυν ημ( ) ημ( ), συνσυν συν( ) συν( ) εφd Δ) εφ d Δ) εφ d Δ) εφ d Δ) συν ημ d Γ) ημημ συν( ) συν( ), ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: σφd σφ d σφ d σφ d ημ συν d Α) ημσυνd Β) συνσυν5d Γ) ημημd θ) Γενικές 59. Α) d Β) σφ ln ημ d Β). Α). Α). Α) d Β) ln ln d Β) d ημ συν d Γ) d Γ) Γ) d Γ) συν d Δ) ημ d συν d ln εφ d ημ συν d συν Δ) ln t d ι) Θεωρητικές στην ντικτάστση μετλητής. Έστω μι συνάρτηση συνεχής στο R. Ν οδειχθεί ότι: γ γ (i) ( γ)d ()d γ (ii) d γ ()d, γ γ γ (iii) ( )d ()d. Ν οδείξετε ότι: (ln ) (i) d ()d (ii) ln ( )d ()d ln 5. Αν η συνάρτηση : είνι συνεχής κι ντιστρέψιμη κι θεωρήσουμε γνωστό ότι η είνι κι υτή συνεχής στο (), ν οδείξετε ότι: Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης ()d () ()d ()

23 . Έστω μι συνάρτηση η οοί είνι ργωγίσιμη στο Δ [,] κι γνησίως ύξουσ. Αν (Δ) είνι συνεχής στο [,] ν οδείξετε ότι: [,] κι θεωρηθεί γνωστό ότι η ()d ()d. 7. (i) Έστω μι συνάρτηση η οοί είνι συνεχής στο διάστημ [,] γι την οοί υοθέτουμε ότι ισχύει: () ( ) c,, όου c ργμτική στθερά. Ν οδείξετε ότι: ()d () (). (ii) Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι ισχύει: () (-),, ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ: ()d. 8. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι ισχύει () ( ) γ,, ν οδείξετε ότι: γ ()d. 9. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι ισχύει () ( ), ν δείξετε ότι: κι με τη οήθει της σχέσης ν υολογίσετε το ολοκλήρω- ()d ()d ημ μ: J d συν 7. Έστω μι συνάρτηση :[,] με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι ()d (), τότε: i. () () Ν οδείξετε ότι () ii. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε ()() ξ. 7. Α. Αν είνι μι συνεχής συνάρτηση στο, ν δείξετε ότι ] [ν τότε ()d ( )d Β. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ Ι d κι 5 ()d ( )d. ημ J d. ημ συν Ανγωγικοί τύοι στο ορισμένο ολοκλήρωμ 7. Αν 7. Αν 7. Αν I I I ν ν ν ν * ln d, ν ν δείξετε ότι ν ν Ι νι, ν. ν * d, ν ν δείξετε ότι Ι ν νι, ν. ν ν Ι Ι, ν. ν ν * εφ d, ν ν δείξετε ότι ν ν ν * 75. Αν I ν ln d, ν ν δείξετε ότι ν ν ν Ι νι ln, ν κι ν υολογίσε- τε το ολοκλήρωμ ln d. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Ολοκληρωτικός Λογισμός Σημντικές ρτηρήσεις Φυλλάδι555 Ενότητ ο.7 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΧΩΡΙΩΝ Σε κάθε μί ό τις ρκάτω εριτώσεις ορίζετι ό την γρφική ράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι ό κάοιες ευθείες, έν είεδο χωρίο Ω, γι το οοίο θέλουμε ν υολογίσουμε το εμδό του Ε(Ω). Βσική ροϋόθεση σε όλες τις εριτώσεις είνι η συνέχει των συνρτήσεων.. Χωρίο ου ορίζετι ό την γρ. ράστση της, τον άξον κι τις ευθείες κι Γενικός τύος υολογισμού του εμδού: E(Ω) () d Ειδικότερ: Βρίσκουμε τις ρίζες κι το ρόσημο της στο διάστημ [, ] κι έχουμε:. Αν (), γι κάθε, τότε, = C = Ε () Ω ( )d Ω Ο. Αν (), γι κάθε, τότε, Ο Ε(Ω) () d ()d = Ω C = γ. Αν η δεν διτηρεί ρόσημο στο [, ], τότε το εμδό είνι το άθροισμ των εμδών = των χωρίων στ διστήμτ ου η είνι θετική ή ρνητική. Ε()( Ω Ε Ω ))) Ε(( Ω()d+ Ε Ω-( )d+ ()d γ δ γ δ όου γ, δ οι ρίζες της στο διάστημ [, ]. Άσκηση Ν ρεθεί το εμδό του χωρίου ου ορίζετι ό την γρφική ράστση της, κι τις ευθείες ου δίνοντι σε κάθε ερίτωση: Ω γ Ω C δ Ω = ) (),, =, = ) (),, =, = γ) () συν,, =, = δ) () ln,, =, = Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

25 . Χωρίο ου ορίζετι ό τις γρ. ρστάσεις των συνρτήσεων κι g κι τις ευθείες κι. Γενικός τύος υολογισμού του εμδού: Ε() Ω () g() d Cg Ω γ Ω δ Ω C = = Βρίσκουμε τις ρίζες κι το ρόσημο της διφοράς ()-g() στο διάστημ [, ]. Τότε: γ δ Ε(Ω γ δ Ε( Ω) Ε(Ω ))) Ε( Ω () g() d g( ) () d () g( ) d όου γ,δ οι ρίζες της διφοράς ()-g() στο διάστημ [,] Άσκηση Ν ρεθεί το εμδό του χωρίου ου ορίζετι ό τις γρφικές ρστάσεις των, g κι τις ευθείες ου δίνοντι σε κάθε ερίτωση: ) () ημ, g() συν,,.. Χωρίο ου ορίζετι ό την τομή των γρφικών ρστάσεων των κι g.. C Cg γ δ = = Λύνουμε την εξίσωση ()) g( Αν η μικρότερη κι κι ρίσκουμε τις τετμημένες των σημείων τομής. η μεγλύτερη ό τις τετμημένες το εμδό είνι E(Ω) () g() d Σχόλιο: ) Με την ίδι μέθοδο ρίσκουμε το εμδό του χωρίου ου ορίζετι ό την τομή της γρφικής ράστσης της κι τον άξον (g()=) ) Γι την ράνω ερίτωση τονίζετι ότι τ διστήμτ ου ροκύτουν είνι δεκτά, μόνο ν η ορίζετι σ υτά κι είνι συνεχής. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

26 Αν γι κάοιο διάστημ υάρχει εσωτερικό σημείο στο οοίο η δεν ορίζετι, τότε το διάστημ υτό διγράφετι, διότι δεν δημιουργείτι χωρίο. Άσκηση Ν ρεθεί το εμδό του χωρίου ου ορίζετι ό τις γρφικές ρστάσεις των, g ότν: (), g ( ). Άσκηση Ν ρεθεί το εμδό του χωρίου ου ορίζετι ό την ότν: ( ). C κι τον άξον,. Εμδόν μετλητού χωρίου Όρι Αν μί ό τις γρμμές ου ορίζουν το χωρίο Ω εριέχει μι ράμετρο λ, τότε το εμδόν E(Ω) του χωρίου είνι συνάρτηση του λ, δηλδή είνι E(λ). Εομένως, γι το E(λ) μορεί ν χρειστεί ν ρούμε έν όριο, όου γι ράδειγμ λ, λ ελάχιστο. κ.λ. ή ν ροσδιορίσουμε τις τιμές του λ ώστε υτό ν γίνει μέγιστο ή Στην ερίτωση υτή τονίζουμε ότι νάλογ με το ού τείνει το λ, το E(λ) ιθνόν ν είνι διφορετικό. Αυτό ροκύτει ό το σχήμ κι ιτεί ιδιίτερη ροσοχή! Πράδειγμ: Το εμδό του χωρίου Ω ου ορίζετι ό την C, τον άξον, την (στθερή) ευθεί κι την (μετλητή) ευθεί λ. υολογίζετι ως εξής: Δικρίνουμε δύο εριτώσεις: i) Ότν λ. Τότε το εμδό E(λ) του χωρίου Ω θ είνι = =λ E(Ω) E(λ) (t) dt Εδώ θ μορούσε ν μς ζητηθεί ν υολογί- λ Ο Ω λ σουμε κι το lim Ε(λ). λ ii) Ότν λ. Τότε το εμδό Ε(λ) του χωρίου Ω θ είνι =λ E(Ω) E(λ) (t) dt λ = Εδώ θ μορούσε ν μς ζητηθεί ν υολογί- Ω σουμε κι το lim Ε(λ). λ Ο λ ln Άσκηση 5 Δίνετι η συνάρτηση () κι Ω το χωρίο ου σχημτίζετι ό την C, τον άξον κι την ευθεί λ με λ. ) Ν ρεθεί το εμδό E(λ) του χωρίου Ω. ) Ν υολογίσετε τ όρι: A lim E(λ) κι B lim E(λ) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

27 5. Χωρίο ου ορίζετι ό γρ. ρστάσεις ερισσοτέρων των δύο συνρτήσεων (οι οριζόντιες ευθείες, ο άξονς, οι εφτόμενες κ.τ.λ. θεωρούντι γρφικές ρστάσεις συνρτήσεων) Cg Ch C Ω Ω Ω Cφ Ο γ δ Κάνουμε έν ρόχειρο σχήμ κι ρίσκουμε τις κορυφές του Αό κάθε κορυφή φέρουμε κτκόρυφες ευθείες κι χωρίζουμε το χωρίο σε μικρότερ χωρί της ερίτωσης. Το εμδό του χωρίου είνι: γ δ Ε( Ω) [()-g()]d+ [()-h()]d+ [φ()-h()]d (σχήμ) γ δ Άσκηση Κάνοντς ρώτ έν ρόχειρο σχήμ, ρείτε το εμδό του χωρίου ου ορίζετι: ) Αό τις γρ. ρστάσεις των (), g() κι τις ευθείες y κι. ) Αό την C της (), την εφτομένη στο σημείο Α(,) κι τον άξον.. Χωρίο ου ορίζετι ό την γρφική ράστση της ντίστροφης συνάρτησης - Γενικά: E(Ω) () d κι με «λλγή μετλητής»: Αν (), θέτουμε () = C y= (u) () u, d (u)du κι (λ) () λ. (κ) () κ - () C - Οότε: λ λ ()d u(u)du ()d κ κ Ω Το εμδό του χωρίου Ω μετξύ C είνι ίσο με το εμδό μετξύ των, κι = C, y y κι y= (λόγω συμμετρίς των C, C ως ρος την ευθεί y=) Εομένως θ είνι: () ()d [ -()]d (όου () ) Σχόλιο: ) Το συμμετρικό, ως ρος την y του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό την C κι την y είνι το χωρίο Ω' ου ερικλείετι ό την C κι την y. Άρ, το εμδόν του χωρίου μετξύ C κι C είνι διλάσιο του Ω. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

28 ) Το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης κι την γρφική ράστση της ντίστροφης της εί- νι ίσο με E () d όου, η μέγιστη κι ελάχιστη των τετμημένων των σημείων τομής των της C με την ευθεί y. Άσκηση 7 Δίνετι η συνάρτηση (). ) Ν μελετηθεί ως ρος την μονοτονί. ) Ν δειχθεί ότι η ντιστρέφετι κι ν ρεθεί το εδίο ορισμού της γ) Ν υολογισθεί το εμδό του χωρίου μετξύ της γρ. ράστσης της άξον κι της ευθείς.., του Πράδειγμ (λυμένο) Θεωρούμε την εφτομένη ε της () συν στο σημείο A,. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C, την ευθεί ε κι τις κτκόρυφες ευθείες κι. Λύση: Η συνάρτηση ορίζετι κι είνι συνεχής σε όλο το. Το σημείο A είνι σημείο κμής γι τη C στο [, ], φού () συν κι ροκύτει ότι η είνι κοίλη στο, κι κυρτή στο,, κι ορίζει εξίσωση εφτομένης στο. Είσης () ημ, άρ, οότε η εξίσωση της εφτομένης στο ε : y ε : y. Η ε είνι «άνω» ό τη C στο, γιτί εκεί η είνι κυρτή. Εομένως το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C, την ευθεί ε κι τις κτκόρυφες ευθείες κι ισούτι με: A, είνι:,, γιτί εκεί η είνι κοίλη κι «κάτω» ό τη C Ε συν d συν d ημ ημ E τ.μον. στο Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

29 Ασκήσεις (συμληρωμτικές) [Α Όλες Β Όλες, σελ 9-5]. Ν υολογιστεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της (), όου (), τον άξον κι τις ευθείες κι.. Ν υολογιστεί το εμδό ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της (),, τον άξον y y κι τις ευθείες y, y.. (i) Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση () είνι. (ii) Ν ρεθούν οι τετμημένες των σημείων τομής των C κι C. (iii) Ν υολογιστεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις. Έστω η συνάρτηση (),. C κι C. ) Ν δείξετε ότι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης, τον άξον κι τις ευθείες είνι E(λ) λ ln λ. λ, λ,όου λ, ) Ν ροσδιορίσετε την τιμή του λ γι την οοί το εμδόν E(λ) γίνετι ελάχιστο. 5. Έστω η συνάρτηση 5 (). ) Ν μελετήσετε την ως ρος την μονοτονί, τ κοίλ κι ν δείξετε ότι η έχει ντίστροφη. ) Ν δείξετε ότι (( ) ), γι κάθε. γ) Ν δείξετε ότι η εφτομένη της γρφικής ράστσης της στο σημείο (,) είνι άξονς συμμετρίς των γρφικών ρστάσεων της κι της -. δ) Ν υολογισθεί το εμδό του χωρίου μετξύ της γρ. ράστσης της -, του άξον κι της ευθείς.. ) Αν h,g συνεχείς στο [,] με h() g() γι κάθε [,], ν δειχθεί ότι h()d g()d. ) Δίνετι η ργωγίσιμη στο συνάρτηση γι την οοί ισχύει () (), κι (). i) Ν εκφρστεί η ως συνάρτηση της. ii) Ν δείξετε ότι () (), γι κάθε. iii) N δείξετε ότι E (), όου Ε το εμδόν του χωρίου ου ορίζετι ό την C, τον άξον κι τις ευθείες,. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Ολοκληρωτικός Λογισμός Φυλλάδι555 Ενότητ ο.-.7_ερωτήσεις Ενάληψης Ολοκληρωτικού Λογισμού Ερωτήσεις τύου Σωστό - Λάθος. δ γ δ ()d ()d ()d ()d. γ. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ, έχει μόνο μι ράγουσ στο Δ.. Οι εφτόμενες των γρφικών ρστάσεων των ρχικών μις συνάρτησης σ έν σημείο Δ, είνι ράλληλες.. Η ρχική μις συνάρτησης σ έν διάστημ Δ είνι συνεχής στο Δ. 5. Μι συνάρτηση η οοί δεν είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ μορεί ν έχει ράγουσ στο Δ.. Μι συνάρτηση ου δεν είνι ργωγίσιμη σε έν διάστημ μορεί ν έχει ρχική σ υτό. 7. Αν ()d τότε () γι κάθε,.. 8. Αν συνεχής τότε u()du=u ()d 9. Ισχύει:. Ισχύει:. Ισχύει: ()d () ()d. 8 c d c d. ()d ()d.. Αν η είνι εριοδική συνάρτηση στο με ερίοδο Τ, τότε θ ισχύει: Τ Τ Τ ()dt ()dt.. Ισχύει: ημd.. Αν () γι κάθε [,] τότε κι 5. Αν () g() γι κάθε [,] τότε κι. Αν <, τότε ισχύει ότι: ()d () d. 7. Η συνάρτηση g()= (t)dt ()d. ()d g()d. είνι μί ρχική της συνάρτησης g(). 8. Η ράγωγος της συνάρτησης t ()d είνι (t)., τότε () g() 9. Αν ()d g()d γι κάθε [,]. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --

31 τότε () g() c. Αν (t)dt g(t)dt g(). g() g() d (u)du.. g(). ()g()d ()g() ()g()d.. Αν ()d, τότε () γι κάθε [,].. Το ()d είνι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τον άξον, τις ευθείες, κι το διάγρμμ C της συνάρτησης. 5. Η ιδιότητ του ορισμένου ολοκληρώμτος: εφόσον γ. γ ()d ()d ()d, ισχύει μόνο γ. Αν 5 ()d, το ελάχιστο της στο διάστημ [, 5] δεν μορεί ν είνι. 7. Η συνάρτηση t ()d είνι συνεχής στο σύνολο ορισμού της. 8. Αν μί συνάρτηση είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι ()d, τότε εί- νι () γι κάθε [,]. 9. Το εδίο ορισμού της συνάρτησης. Το εδίο ορισμού της συνάρτησης () t t dt είνι το,, ln(5). () tdt είνι το Α(,].. Αν γι τη συνεχή συνάρτηση, ισχύει γι κάθε ότι είνι εριττή. (t)dt τότε η συνάρτηση Ερωτήσεις ολλλών ειλογών (Ειλογή μίς άντησης). Η τιμή του ολοκληρώμτος Α: () () Β: () () Γ: Δ: ( ) () ( ) () Ε: ()() ()() I ()()d είνι:. Η συνάρτηση συνt g() dt Α: στθερή Β: τριγωνομετρική Γ: εκθετική Δ: ρητή Ε: άρρητη είνι: Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- --