ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ"

Transcript

1 ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

2 Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύλ τυ συόλυ R τω πργμτικώ ριθμώ στ πί επεκτείτι ι πράξεις της πρόσθεσης κι τυ πλλπλσισμύ πυ ισχύυ στ R, με τ 0 είι τ υδέτερ στιχεί της πρόσθεσης κι τ είι τ υδέτερ στιχεί τυ πλλπλσισμύ. Υπάρχει έ στιχεί i τέτι ώστε i =-. Κάθε στιχεί z τυ C γράφετι κτά μδικό τρόπ με τη μρφή z=+i, όπυ,r. Ο πργμτικός ριθμός λέγετι πργμτικό μέρς (=Re(z)) τυ z κι πργμτικός ριθμός (=Im(z)) λέγετι φτστικό μέρς τυ z. Ο ριθμός i λέγετι φτστικός ριθμός. Ές μιγδικός ριθμός z είι πργμτικός κι μό Im(z)=0. Ές μιγδικός ριθμός z είι φτστικός κι μό Re(z)=0. Γεωμετρική πράστση μιγδικύ ριθμύ Κάθε μιγδικό ριθμό z=+i μπρύμε τ τιστιχίσυμε στ σημεί Μ(,) εός κρτεσιύ y M(,) επιπέδυ. Τ σημεί Μ(,) (ή Μ(z)) λέγετι εικό τυ μιγδικύ z. Ο άξς χ χ λέγετι πργμτικός άξς κι άξς y y λέγετι φτστικός άξς. Ο x Πράξεις μιγδικώ ριθμώ Έστω δύ μιγδικί ριθμί z =+i, z =γ+δi. Πρόσθεση: z +z =(+i)+(γ+δi)=(+γ)+(+δ)i H διυσμτική κτί τυ θρίσμτς τω μιγδικώ z κι z είι τ άθρισμ τω διυσμτικώ κτίω τυς. Αφίρεση: z z =(+i)-(γ+δi)=(-γ)+(-δ)i H διυσμτική κτί της διφράς τω μιγδικώ z κι z είι η διφρά τω διυσμτικώ κτίω τυς. Πλλπλσισμός:z z =(+i)(γ+δi)=γ+δi+γi+δi =(γ-δ)+(δ+γ)i Διίρεση: z z i ( i )( )iδγ γ δi γi δi iδγ ( iδγ )( )iδγ iδγ (γ δ γ() δ i) (γ δ) (δ δ) i δγ δγ δγ

3 Δύ μιγδικί ριθμί z =+i, z =γ+δi είι ίσι ότ =γ κι =δ, δηλδή: )zr e ()zr e ( zz κι )zi m ()zi m ( Πρτήρηση: Α ισχύει z z τότε είι: γ κι =δ=0 φύ διάτξη στ σύλ C δε ρίζετι, πότε ι z, z είι πργμτικί. z =z, z =zz, z =z - z με θετικό κέρι κι >. z =, z - = z με z 0 γι κάθε θετικό κέρι. i =, i =i, i =-, i 3 =-i, i 4 =. Γεικά ισχύει: Ισότητ μιγδικώ Δυάμεις τυ μιγδικύ z κι δυάμεις τυ i, 4ρ,i 4ρ i, ρ Ζ., 4ρ,i 4ρ 3 4ρυ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i i i i (i ) i i i, υ 0 i, υ, υ i, υ 3 Συζυγής μιγδικύ Συζυγής μιγδικύ ριθμύ z=+i μάζετι μιγδικός ριθμός z =-i, δηλδή ισχύει: Re(z)=Re( z ) κι Im(z)=-Im( z ). A Μ(,) είι η εικό τυ μιγδικύ z=+i, τότε τ Μ (,-) είι η εικό τυ συζυγή τυ, δηλδή τ Μ, Μ είι συμμετρικά ως πρς τ πργμτικό άξ χ χ. Γι τυς συζυγείς δύ μιγδικώ ριθμώ z =+i, z =γ+δi ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: zz zz zz R )z e ( κι zz i zz z i)z I m ( i z zz zz ( (γ (δ γ) (i (δ γ) ( δ)i) i ( (γ δi) zz i )

4 z zz zzzzzz )z()z( z z z z z)z ( Πρτηρήσεις: Α ριθμός z είι πργμτικός, τότε zr Im(z)=0 Im(z)i=0 Α ριθμός z είι φτστικός, τότε zi Re(z)=0 Re(z)=0 zz κι τιστρόφως φύ: κι zz τιστρόφως φύ zz0zz. zz0zz. Έστω η εξίσωση z +z+γ=0 () με,,γr κι 0 κι Δ= -4γ η δικρίυσ. Δικρίυμε τις εξής περιπτώσεις: Α Δ>0 η () έχει δύ πργμτικές λύσεις: z, Δ A Δ=0 η () έχει μί διπλή πργμτική λύση: z Α Δ<0 η () έχει δύ μιγδικές λύσεις (κι μάλιστ συζυγείς): z, i Δ Από τη μέθδ συμπλήρωσης τετργώω της εξίσωσης z +z+γ=0 με Δ<0 πρκύπτει: z Δ 4 ( )( Δ) i z z 4 4 Δ i Δ z z, i ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Λύσεις της εξίσωσης z +z+γ=0, 0 κι,,γr Δ γ Επίσης ισχύυ ι τύπι τυ Vieta δηλ.: z +z = κι z z =. Πρτηρήσεις: Από τ τύπ τω ριζώ τυ τριωύμυ z +z+γ=0 με Δ<0 πρκύπυ: z= z κι z =z

5 z+z= zz ) )R R κι e μίως ( z )R, πότε Re(z)=Re(z)= e ( z zz= γ z z πρκάτω). γ γ γ γ z z z κι μίως z, πότε γ (όπυ z,z είι τ μέτρ τω z, z τίστιχ όπως θ δύμε Έστω μιγδικός ριθμός z=x+yi κι η εικό τυ Μ(x,y). Ορίζυμε ως μέτρ τυ z τη πόστση τυ Μ πό τ Ο, δηλδή τ μέτρ τυ διύσμτς OM. Άρ: yxz Γι τ μέτρ εός μιγδικύ ριθμύ ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: zz zzzz zzz zzzzzz, πυ ισχύει. z z z z, z 0 z zzzzzz ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μέτρ μιγδικύ ριθμύ zz zzz zz Γεωμετρικί τόπι μιγδικώ Η πόστση τω εικόω Α, Β δύ μιγδικώ z, z είι ΑΒ= zz, δηλ. τ μέτρ της διφράς δύ μιγδικώ είι ίσ με τη πόστση τω εικόω τυς. Η εξίσωση πριστάει zzz τη μεσκάθετ εός ευθύγρμμυ τμήμτς ΑΒ με Α(z ) κι Β(z ).

6 Έστω z=x+yi κι z =x +y i δύ μιγδικί ριθμί. Η εξίσωση: zz ρ x( x ) y( y i) ρ, ρ>0 πριστάει εξίσωση κύκλυ με κέτρ Κ(χ,y ) κι κτί ρ δηλ. c: (χ-χ ) +(y-y ) =ρ. Πρτηρήσεις: Η ισϊσότητ zzz πριστάει τ ημιεπίπεδ πυ ρίζετι πό τη μεσκάθετ ΑΒ με Α(z) κι Β(z) κι τ σημεί Α(z). Η ίσωση zzz πριστάει τ ημιεπίπεδ πυ ρίζετι πό τη μεσκάθετ ΑΒ με Α(z) κι Β(z) κι τ σημεί Α(z) με εξίρεση τη ΑΒ. Η ισϊσότητ zz με ρ ρ>0 πριστάει κυκλικό δίσκ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση zz με ρ ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ισϊσότητ zz ρ με ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι πάω κι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση zz με ρ ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ισϊσότητ ρ zz ρ πριστάει κυκλικό δκτύλι πυ ρίζετι πό τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι πάω κι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ κι πάω κι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση ρ zz ρ πριστάει κυκλικό δκτύλι πυ ρίζετι πό τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ κι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ. Η εξίσωση z γ z χ y γ με,γ>0 πριστάει τη έλλειψη c:, = -γ. Η εξίσωση z γi z γi χ y με,γ>0 πριστάει τη έλλειψη c:, = -γ. Η εξίσωση z γ z χ y γ με,γ>0 πριστάει τη υπερλή c:, =γ -. Η εξίσωση z γi z γi ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ y x με,γ>0 πριστάει τη υπερλή c:, =γ -.

7 Έστω Α έ υπσύλ τυ R. Ομάζυμε πργμτική συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α μί διδικσί f, με τη πί κάθε στιχεί χα τιστιχίζετι σε έ μό πργμτικό ριθμό y. Τ y μάζετι τιμή της f στ χ κι συμλίζετι με f(χ). Τη διδικσί υτή τη εκφράζυμε f: Α R. Τ γράμμ χ, πυ πριστάει πιδήπτε στιχεί τυ Α λέγετι εξάρτητη μετλητή, εώ τ γράμμ y, πυ πριστάει τη τιμή της f στ χ, λέγετι εξρτημέη μετλητή. Ορισμός συάρτησης Γρφική πράστση συάρτησης Τ σύλ πυ έχει στιχεί τυ τις τιμές της f σε όλ τ χα, λέγετι σύλ τιμώ της f κι συμλίζετι με f(α). Είι δηλ.: f(α)={y/y=f(x) γι κάπι χα}. Έστω f μι συάρτηση με πεδί ρισμύ Α κι Οχy έ σύστημ συτετγμέω στ επίπεδ. Τ σύλ τω σημείω Μ(χ,y) γι τ πί ισχύει y=f(χ), δηλ. τ σύλ τω σημείω Μ(χ,f(χ)), χα, λέγετι γρφική πράστση της f. Η y=f(x) είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της f. Επειδή κάθε χα τιστιχίζετι σε έ μό yr, δε υπάρχυ σημεί της γρφικής πράστσης της f με τη ίδι τετμημέη. Τ πεδί ρισμύ της f είι τ σύλ Α τω τετμημέω της C f, εώ τ σύλ τιμώ της f είι τ σύλ f(α) τω τετγμέω τω σημείω της C f. Τέλς η τιμή της f στ χ Α είι η τετγμέη τυ σημείυ τμής της ευθείς χ=χ κι της C f. Η γρφική πράστση της συάρτησης f είι συμμετρική ως πρς τ άξ χ χ της γρφικής πράστσης της f. Η γρφική πράστση της f πτελείτι πό τ τμήμτ της C f πυ ρίσκτι πάω πό τ άξ χ χ κι πό τ συμμετρικά, ως πρς τ άξ χ χ, τω τμημάτω της C f πυ ρίσκτι κάτω πό τ άξ χ χ. Έστω δύ συρτήσεις f με πεδί ρισμύ τ Α κι g με πεδί ρισμύ τ Β. Ισχύυ: (f+g)(x)=f(x)+g(x) με D f+g=a B (f-g)(x)=f(x)-g(x) με D f-g=a B (fg)(x)=f(x)g(x) με D fg=a B Πράξεις συρτήσεω f g )x(f )x( με D f ={x/xa κι χβ, με g(χ) 0} )x(g g

8 Δύ συρτήσεις f κι g λέγτι ίσες ότ: έχυ τ ίδι πεδί ρισμύ Α κι γι κάθε χα ισχύει f(x)=g(x) δηλ. έχυ τ ίδι τύπ. Πρτήρηση: Α f(x) g(x) τότε δε είι πρίτητ f(x)= g(x). ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Ισότητ συρτήσεω Σύθεση συρτήσεω Α f κι g είι δύ συρτήσεις με πεδί ρισμύ Α, Β τίστιχ, τότε μάζυμε σύθεση της g με τη f κι τη συμλίζυμε fg τη συάρτηση με τύπ (fg)(x)=f(g(x)). Τ πεδί ρισμύ Γ της fg πτελείτι πό όλ τ χ τυ πεδίυ ρισμύ Β της g γι τ πί τ g(χ) ήκει στ πεδί ρισμύ Α της f, δηλδή: Γ={χΒ/g(x)Α} Γεικά, f,g είι δύ συρτήσεις κι ρίζτι ι fg κι gf τότε υτές δε είι υπχρεωτικά ίσες. Α f,g,h είι τρεις συρτήσεις κι ρίζετι η h(gf), τότε ρίζετι κι η (hg)f κι ισχύει: h(gf)=(hg)f. Μί συάρτηση f λέγετι: γησίως ύξυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x )<f(x ). Μτί συρτήσεω γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x )>f(x ). Μί συάρτηση πυ είι γησίως ύξυσ ή γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της λέμε ότι είι γησίως μότη στ Δ κι είι.

9 Μί συάρτηση f λέγετι: ύξυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x ) f(x ). φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x ) f(x ). Μί συάρτηση πυ είι ύξυσ ή φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της λέμε ότι είι μότη στ Δ. Πρτηρήσεις: Α η συάρτηση f είι γησίως ύξυσ σ έ διάστημ Δ τότε γι κάθε χ, χ Δ ισχύει: f(x)<f(x) x<x. Α η συάρτηση f είι γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τότε γι κάθε χ, χ Δ ισχύει: f(x)<f(x) x>x. Η μτί μις συάρτησης φέρετι πάττε σε συγκεκριμέ διστήμτ τυ πεδίυ ρισμύ της κι όχι πάτ στη έωσή τυς. Μί συάρτηση f με πεδί ρισμύ Α λέμε ότι: πρυσιάζει στ χ Α (λικό) μέγιστ, τ f(χ ) ότ, γι κάθε χα ισχύει: Ακρόττ συάρτησης f(x) f(x ) πρυσιάζει στ χ Α (λικό) ελάχιστ, τ f(χ ) ότ, γι κάθε χα ισχύει: f(x) f(x ) Τ (λικό) μέγιστ ή τ (λικό) ελάχιστ της f λέγτι κρόττ της f. Πρτήρηση: Μι γησίως μότη συάρτηση σε ιχτό διάστημ δε έχει κρόττ. Μί συάρτηση f: Α R λέγετι συάρτηση -, ότ γι πιδήπτε χ, χ Α ισχύει η συεπγωγή: χ χ τότε f(x ) f(x ) ή f(x )=f(x ) x =x Mί συάρτηση f είι - κι μό : Συάρτηση γι κάθε yf(a) η εξίσωση f(x)=y έχει κριώς μί λύση ως πρς χ.

10 δε υπάρχυ σημεί της γρφικής πράστσης της f με τη ίδι τετγμέη. Κάθε γησίως μότη συάρτηση f: Α R είι συάρτηση -. Τ τίστρφ δε ισχύει. Έστω μί συάρτηση f: Α R η πί είι -. Ομάζυμε τίστρφη συάρτηση της f, τη συάρτηση f - : f(a) R γι τη πί ισχύυ: έχει πεδί ρισμύ τ σύλ τιμώ f(a) της f έχει σύλ τιμώ τ πεδί ρισμύ Α της f ισχύει: f(x)=y f - (y)=x. Ατίστρφη συάρτηση Από τ πρπάω πρκύπτει ότι: f - (f(x))=x, xa κι f(f - (y))=y, yf(a). Πρτήρηση: Η f κι η f - έχυ τη ίδι μτί κι είι συμμετρικές ως πρς τη ευθεί y=χ. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ σύλ της μρφής (,χ ) (χ,). Ότ ι τιμές της μετλητής χ τείυ πρς τ πργμτικό ριθμό χ, τότε ι τιμές της συάρτησης f τείυ πρς έ πργμτικό ριθμό. Τότε λέμε ότι τ όρι της συάρτησης f στ χ είι κι συμλίζυμε )x(f. xx Σχόλι: Γι ζητήσυμε όρι μις συάρτησης f στ χ πρέπει η f ρίζετι σ έ σύλ της μρφής (,χ ) (χ,) ή (,χ ) ή (χ,). Τ χ μπρεί ήκει στ πεδί ρισμύ της συάρτησης ή μη ήκει σ υτό. Η τιμή της f στ χ μπρεί είι ίση με τ όριό της στ χ ή διφρετική π υτό. Επίσης τ όρι της f στ χ είι εξάρτητ τω άκρω, τω διστημάτω (,χ ) κι (χ,) στ πί θεωρύμε ότι είι ρισμέη η f. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ της μρφής (,χ ). Θ λέμε ότι η f έχει στ χ πό ριστερά όρι τ R κι γράφυμε )x(f. xx Ομίως μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ της μρφής (χ,) έχει στ χ πό δεξιά όρι τ R κι γράφυμε Όρι συάρτησης στ πργμτικό x )x(f. xx Γι μί συάρτηση f ρισμέη στ σύλ (,χ ) (χ,) ισχύει: )x(f )x(f )x(f xx xx xx Α )x(f )x(f, τότε η f δε έχει όρι στ χ. xx xx Επίσης ισχύυ ι ισδυμίες: )x(f 0) x ( f xx xx xx )x(f x(f )h 0h

11 Ιδιότητες ρίω ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ () Α xx 0)x(, τότε f(x)>0 (τίστιχ f 0)x(, τότε f(x)<0) κτά f στ χ. () A ι f, g έχυ όρι στ χ κι f(x) g(x), τότε (3) Ισχύυ xx xx κι cc xx xx )x(f )x(g. xx xx A ι f, g έχυ όρι στ χ τότε υπάρχυ τ πρκάτω όρι κι ισχύυ: (4) )x(g)x(f )x(f )x(g xx xx (5) κ )x(f κ )x(f xx xx, κr xx (6) )x(g)x(f )x(f )x(g (7) xx xx xx xx )x(f χ(f) xx, 0)x(g )x(g )x(g xx xx (8) )x(f xx xx )x(f (9) (0) κ )x(f k xx xx xx )x(f, f(x) 0 χ(f ) xx )x(f, Ν* () Α Ρ(χ)= χ + -χ χ+ έ πλυώυμ κι χ R τότε: xx )x(p)x(p. P(x) xx χχ χ χ xx xx xx xx - χ χχ Ρ(χ ) xx xx xx () Έστω f(χ)= Ρ(χ), όπυ Ρ(χ) κι Q(χ) πλυώυμ τυ χ κι χ R με Q(χ ) 0, )x(q τότε: )x(p )x(q xx )x(p. )x(q P(x) P(x) xx f(x) xx xx Q(x) Q(x) xx )P ( x. )Q ( x Πρτηρήσεις: Τ τίστρφ της ιδιότητς () δε ισχύει πάτ. Η ιδιότητ () ισχύει κι f(x)<g(x) κτά στ χ τότε f(x) g(x). xx xx Γι τη ιδιότητ (8) ισχύει ειδικά 0f ( 0f 0f. x ( ) x ( xx xx xx

12 Γι τις ιδιότητες (4), (6), (7) πδεικύετι ότι υπάρχυ τ όρι τω συρτήσεω f+g, fg, g f στ χ κι υπάρχει τ όρι της f στ χ (ή της g στ χ) τότε υπάρχει κι τ όρι της g στ χ (ή της f στ χ). Έστω ι συρτήσεις f, g, h. Α: h(x) f(x) g(x) κτά στ χ κι xx )x(h )x(g xx τότε υπάρχει τ όρι της f στ χ κι ισχύει: )x(f. xx Ισχύυ: ημχ ημχ xx ημχ 0x χ Ισχύει:, συχ συχ xx συχ κι 0 0x χ κι χη γι κάθε χr μ χ x(g(f )) )u(f, όπυ u=g(x), u = )x(g κι g(χ) u με τη xx uu πρϋπόθεση ότι υπάρχυ τ όρι xx )x(g κι xx uu )u(f. xx )x(f ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Κριτήρι πρεμλής Τριγωμετρικά όρι Όρι σύθετης συάρτησης Μη πεπερσμέ όρι στ πργμτικό x (ιδιότητες) xx )x(f xx )x(f κι xx )x(f xx )x(f xx )x(f Α xx )x(f (τ. ) τότε f(χ)>0 (τ. f(χ)<0) κτά στ χ. )x(f )x(f κι )x(f )x(f xx xx )x(f )x(f 0 xx xx xx xx xx xx, 0)x( f xx )x(f, )x(f )x(f xx 0)x( f κτά στ χ 0)x( f xx )x(f κ xx )x(f Πρτηρήσεις: Α Α f(x) xx f(x) xx <0 ή τότε υπάρχει κ κτά στ χr >0 ή + τότε υπάρχει κ κτά στ χr τέτις ώστε f(κ)<0. τέτις ώστε f(κ)>0.

13 (+ ) (+ ) (+ ) + (- ) Απρσδιόριστες μρφές )( )( )( 0 Α R: + (+ ) = (+ ) + (- )= (- ) (+ )= (- ) (- )= (+ ) Επιτρεπτές πράξεις )()(, 0 )()( )()(, 0 )()( 0 )( )( με 0 0 (+ ) + (+ )= (+ ) (- ) + (- )= (- ) (+ ) (- )= (+ ) )()()( 0 )( )( )()()( )()()( )( Γι τ όρι στ ισχύυ ι ίδιες ιδιότητες τω ρίω στ χ με τη πρϋπόθεση ότι ι συρτήσεις είι ρισμέες σε κτάλληλ σύλ κι δε κτλήγυμε σε πρσδιόριστη μρφή. Επιπλέ ισχύυ: x x, Ν* 0 x x, Ν* x x,, άρτις π ςό ε ρ ι τ τ ( x ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Απρσδιόριστες μρφές - Επιτρεπτές πράξεις Όρι στ άπειρ χχ )χ ( )χ χ

14 x κ κ χχ χ κ χ κ κ χχ χ κχ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ, χ χ,0 0,0 χ χ, 0 χ lg χ κι ln χ χ lg χ χ0 κι ln χ χ0 Οι τριγωμετρικές συρτήσεις δε έχυ όρι στ. Ακλυθίες Όρι κλυθιώ Ακλυθί μάζετι κάθε πργμτική συάρτηση : N* R. Θ λέμε ότι μί κλυθί ( ) έχει όρι R κι θ γράφυμε, ότ γι κάθε ε>0, υπάρχει Ν* τέτι, ώστε γι κάθε > ισχύει ε. Πρτήρηση: Οι γωστές ιδιότητες τω ρίω συρτήσεω ότ χ ισχύυ κι γι τις κλυθίες κι υπλγίζτι με τις ίδιες μεθόδυς. Συέχει συάρτησης Έστω μί συάρτηση f κι χ έ σημεί τυ πεδίυ ρισμύ της. Θ λέμε ότι η f είι συεχής στ χ, ότ: )x(f)x(f xx Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σ έ ικτό διάστημ (,), ότ είι συεχής σε κάθε σημεί τυ (,). Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ [,], ότ είι συεχής σε κάθε σημεί τυ (,) κι επιπλέ )x(f (f ) x )x(f (f ). Οι πλυωυμικές, ι ρητές, ι συρτήσεις ημχ κι συχ, ι εκθετικές κι ι x λγριθμικές συρτήσεις είι συεχείς συρτήσεις σ όλ τ πεδί ρισμύ τυς. κι Α ι συρτήσεις f, g είι συεχείς στ χ, τότε κι ι συρτήσεις f+g, cf, f gf,, f g, f, fg, gf (g συεχής στ f(χ )) είι συεχείς στ χ.

15 Πρτηρήσεις: Σύμφω με τ ρισμό της συέχεις μις συάρτησης πρκύπτει ότι μί συάρτηση f δε είι συεχής σ έ σημεί χ τυ πεδίυ ρισμύ της ότ δε υπάρχει τ όριό της στ χ ή υπάρχει τ όριό της στ χ λλά είι διφρετικό πό τη τιμή f(χ). Α μί συάρτηση είι - κι συεχής σ έ διάστημ Δ τότε είι κι γησίως μότη στ Δ. A μί συάρτηση f είι κι συεχής σ έ διάστημ Δ τότε η f - είι συεχής στ f(δ). Θεώρημ Blzan Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ κλειστό διάστημ [,]. Α: η f είι συεχής στ [,] (f (f) 0) τότε υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε: f(χ )=0, δηλδή υπάρχει μί τυλάχιστ ρίζ της εξίσωσης f(x)=0 στ (,). Πόρισμ: Από τ θεώρημ Blzan πρκύπτυ ότι: μί συάρτηση f είι συεχής σ έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι στ διάστημ υτό, τότε η f διτηρεί τ πρόσημό της στ Δ. μί συεχής συάρτηση f διτηρεί πρόσημ σε κθέ πό τ διστήμτ στ πί ι διδχικές ρίζες της f χωρίζυ τ πεδί ρισμύ της. Πρτηρήσεις: Τ τίστρφ τυ θεωρήμτς δε ισχύει: είι δυτό υπάρχει ρίζ στ (,) μις συεχύς συάρτησης στ [,] κι ισχύει f(a)f() 0 ή υπάρχει ρίζ στ (,) κι η f μη είι συεχής στ [,]. Γεικά η συθήκη f()f() είι ική κι όχι γκί γι έχει μί συεχής συάρτηση στ [,] ρίζ στ (,). Τ θεώρημ κι τ πόρισμ ισχύυ μό σε διάσημ κι όχι σε έωση διστημάτω.

16 Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Έστω μί συάρτηση f η πί είι ρισμέη σ έ κλειστό διάστημ [,]. Α: η f είι συεχής στ [,] f() f() τότε γι κάθε ριθμό η μετξύ τω f() κι f() υπάρχει ές τυλάχιστ χ (,) τέτις ώστε: f(χ )=η. Έστω f()<f(). Τότε θ ισχύει f()<η<f() όπως φίετι κι στ σχήμ. Θεωρύμε τη συάρτηση: g(x)=f(x) η, χ[,]. Η g είι συεχής στ [,] y f() η f() x O x g g f 0η g f η 0 g 0 Άρ σύμφω με τ θεώρημ Blzan, υπάρχει χ(,) τέτις ώστε: g(x)=0 f(x) η=0 f(x)=η Σύμφω με θεώρημ εδιάμεσω τιμώ πδεικύετι ότι: Η εικό f(δ) εός διστήμτς Δ μέσω μις συεχύς κι μη στθερής συάρτησης f είι διάστημ. Πρτηρήσεις: Α μί συάρτηση f δε είι συεχής στ [,] δε πίρει υπχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές. Α δε ισχύει τ θεώρημ τότε η συάρτηση δε είι συεχής. Η εικό μις στθερής συάρτησης είι σημεί. Η εικό ικτύ διστήμτς μέσω συεχύς κι γησίως μότης συάρτησης είι ικτό διάστημ. Θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής συάρτησης Α f είι μί συεχής συάρτηση στ [,], τότε η f πίρει στ [,] μί μέγιστη τιμή Μ κι μί ελάχιστη τιμή m, δηλδή m f(x) M γι κάθε χ[,]. Τ σύλ τιμώ της πρπάω συάρτησης θ είι τότε τ [m,μ]. Σύμφω με τ θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής πδεικύετι ότι: Α μι συάρτηση f είι γησίως ύξυσ (τ. γησίως φθίυσ) κι συεχής σ έ ιχτό διάστημ (,), τότε τ σύλ τιμώ της στ διάστημ υτό είι τ διάστημ (Α,Β) (τ. (Β,Α)), όπυ Α= x )x(f κι Β= x )x(f.

17 Πρτηρήσεις: Από τ πρπάω θεώρημ συμπερίυμε ότι μί συάρτηση f είι συεχής σ έ διάστημ [,] τότε υπάρχυ χ,χ[,] τέτιι ώστε f(x) f(x) f(x). Eιδικότερ η f είι επιπλέ γησίως ύξυσ στ [,] είι f() f(x) f() δηλ. f([,])=[f(),f()], εώ είι γησίως φθίυσ στ [,] είι f() f(x) f() δηλ. f([,])=[f(),f()].

18 Η έι της πργώγυ στ x Μί συάρτηση f λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημεί χ τυ πεδίυ ρισμύ της, υπάρχει τ xx xx )x(f)x(f κι είι πργμτικός ριθμός. Τ όρι υτό μάζετι πράγωγς της f στ χ κι συμλίζετι f (χ ), δηλδή: f (χ )= ή xx xx )x(f)x(f )x(f)hx(f f (χ )= 0h h Α τ σημεί χ είι εσωτερικό σημεί τυ πεδίυ ρισμύ μις συάρτησης f, τότε η f είι πργωγίσιμη στ χ κι μό υπάρχυ στ R τ όρι: κι είι ίσ. xx xx )x(f)x(f )x(f)x(f κι Εξίσωση εφπτμέης xx xx Έστω μι συάρτηση f κι Α(χ,f(χ )) έ σημεί της C f. Α υπάρχει τ xx xx )x(f)x(f κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ρίζυμε ως εφπτμέη της C f στ σημεί της Α, τη ευθεί ε πυ διέρχετι πό τ Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ, δηλ.: y-y =λ(χ-χ ). Η εξίσωση της εφπτμέης της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης f στ σημεί Α(χ,f(χ )) είι: y-f(x)=f (x)(x-x) O πράγωγς ριθμός f (χ ) (εφόσ υπάρχει) είι συτελεστής διεύθυσης της πρπάω εφπτμέης στ Α κι τη λέμε κλίση της f στ χ. Πρτηρήσεις: Μι εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f μπρεί έχει περισσότερ πό έ κιά σημεί με υτή. Μι ική συθήκη γι μη έχει η εφπτμέη δεύτερ κιό σημεί με τη γρφική πράστση της συάρτησης είι η συάρτηση είι πργωγίσιμη κι με πράγωγ.

19 Α μί συάρτηση f είι πργωγίσιμη σ έ σημεί χ, τότε είι κι συεχής στ σημεί υτό. Πράγωγς κι συέχει Γι χ χ έχυμε: f(x) )f ( xf ( x ) (x )f. Επμέως: x)x xx f(x) xx f' (x xx Άρ η f είι συεχής στ χ. )f (x ( )f xf ( )f x)x x (x ) ( )f xf ( ( x x) xx xx xx xx )f. ( x)f ( x0) Α μί συάρτηση f είι συεχής σ έ σημεί χ, τότε δε είι υπχρεωτικό η f είι πργωγίσιμη στ χ. Α μί συάρτηση f δε είι συεχής σ έ σημεί χ, τότε η f δε είι κι πργωγίσιμη στ χ. Έστω μί συάρτηση f με πεδί ρισμύ τ σύλ Α. Η f είι πργωγίσιμη στ Α ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ Α. Η f είι πργωγίσιμη σ έ ικτό διάστημ (,) τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ (,). Η f είι πργωγίσιμη σ έ κλειστό διάστημ [,] τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ (,) κι επιπλέ ισχύει: x Πργωγίσιμη συάρτηση (f)x(f) R κι x x (f)x(f ) R. x (c) =0, c πργμτική στθερά. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=c. Τότε: )f f (x)= cc ( xf ( x ) 00 xx x-x xx x-x xx Πράγωγι σικώ συρτήσεω (x) =, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=x. Τότε: )f xx ( xf ( x ) f (x)= xx x-x xx x-x xx

20 (x ) =x -, xr, Ν {0,}. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=x. Τότε: f (x)= xx - )f ( xx xf χ χ-( )(x ( x ) )χχχ x-x xx χ - χ χχ χ - χ (χ χχ χ )χχχ χ χ χ ', χ(0,+ ). χ Aπόδειξη: Έστω f(χ)= f (x)= xx χ χχ χ. Τότε: χ-( ) χ χ-( ) )f ( xx xf ( x χχχχ ) x-x xx χ - χ χχ χχ χ - χ χχ xx xx x (ημχ) =συχ, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=ημχ. Τότε: f(x f (x)= 0h h) f(x) ημ(x h 0h h) ημx ημχσυh συχημh ημχ h 0h h συh ημχ 0h h - ημh συχ h ημχ 0 συχ συχ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ (συχ) =-ημχ, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=συχ. Τότε: f (x)= f(x 0h h) f(x) συ(x h 0h h) συx συχσυh h 0h ημχημh συχ h συh συχ 0h h - ημh ημχ h συχ 0 ημχ ημχ

21 π Πρτήρηση: Α η γωί χ τυ ημχ κι συχ είι σε μίρες τότε: (ημχ) = συχ κι 80 π (συχ) = ημχ 80 Α ι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιμες στ χ, τότε: (f+g) (x )=f (x )+g (x ) Κόες πργώγισης Aπόδειξη: (f g)' (x (f g)(x) (f )g ) ( )g x ( x) ) xx xx xx xx 0 0 xx )f ( )g xf ( )f xg x ( ) )g xf x ( ) x xg ) ( f' (x ) g' (x xx 0 xx xx xx 0 xx xx (fg) (x )=f (x )g(x )+f(x )g (x ) (cf) (x )=cf (x ) ' f g )x( ( x ) x, N )x( 'g)x(f)x(g)x( ' f )x(g Aπόδειξη: Έστω η συάρτηση f( x) x, κι ισχύει, δηλδή f ( x) x N. Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στ ( x ) x Πράγμτι, γι κάθε x έχυμε: () x ( x ) x ( x ) x x ( x ) x. Είδμε, όμως, πι πρι ότι Z {0,}, τότε γι κάθε φυσικό ( x ). ( x ) x x N. Επμέως,

22 ( x) συ x Aπόδειξη: Έστω η συάρτηση f( x) x. Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στ { x συx 0} κι ισχύει f ( x), δηλδή ( x) συ x συ x Πράγμτι, γι κάθε x έχυμε: ημ x (ημ x) συx ημ x(συ x) συxσυ x ημxημx (εφ x) συx συ x συ x συ x ημ x. συ x συ x Πίκς πργώγω σικώ συρτήσεω Συάρτηση Πράγωγς Συάρτηση Πράγωγς c 0 e x e x x lnx x x χ - χ χ ln x lg χ x x ln ημχ συχ εφχ συχ -ημχ σφχ χσ υ ημ χ Πράγωγς σύθετης συάρτησης Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στ χ κι η f είι πργωγίσιμη στ g(χ ), τότε η συάρτηση fg είι πργωγίσιμη στ χ κι ισχύει: ) f' (x ) (x'f g')g g. ( x (χ ) =χ -, με R-Z κι χ>0. Α y=χ =e alnx κι θέσυμε u=lnχ, τότε είι y=e u. Έχυμε: y =(e u ) =e u u =e alnx χ χ. χ χ ( χ ) = χ ln με >0 κι χr. Α y= χ =e χln κι θέσυμε u=χln, τότε είι y=e u. Έχυμε: y =(e u ) =e u u =e xlna lna= χ lna.

23 ln x ' με χr* x Α χ>0 τότε: (ln x ) =(lnx) = χ A x<0 τότε: : ln x =ln(-x), πότε θέσυμε y=ln(-x) κι u=-x έχυμε y=lnu. Επμέως: y =(lnu) = u u ( ). x x Ρυθμός μετλής Α δύ μετλητά μεγέθη χ, y συδέτι με τη σχέση f(x)=y, ότ f είι μί συάρτηση πργωγίσιμη στ χ, τότε μάζυμε ρυθμό μετλής τυ y ως πρς τ χ στ σημεί χ τη πράγωγ f (x ). Ο ρυθμός μετλής τυ διστήμτς s ως πρς τ χρό t τη χρική στιγμή t είι η πράγωγς s (t ) κι λέγετι τχύτητ u(t ). Επίσης έ κιητό κιείτι πρς τ δεξιά κτά στ t ότ u(t ) 0, εώ κιείτι πρς τ ριστερά ότ u(t ) 0. Ο ρυθμός μετλής της τχύτητς u ως πρς τ χρό t τη χρική στιγμή t είι η πράγωγς u (t ) κι λέγετι επιτάχυση (t ). Είι δηλ.: u(t )=s (t ) κι (t )=u (t )=s (t ). Θεώρημ Rlle Α μί συάρτηση f είι: συεχής στ κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στ ικτό διάστημ (,) f()=f() τότε υπάρχει έ τυλάχιστ, χ (,) τέτι ώστε: f (χ )=0 Γεωμετρική ερμηεί Θ. Rlle: Γεωμετρικά τ Θ. Rlle σημίει ότι υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f στ σημεί (χ,f(χ )) είι πράλληλη στ άξ χ χ.

24 Θεώρημ Μέσης Τιμής τυ Διφρικύ Λγισμύ Α μί συάρτηση f είι: συεχής στ κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στ ικτό διάστημ (,) τότε υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε: )x('f (f (f) ). Γεωμετρική ερμηεί Θ.Μ.Τ.: Γεωμετρικά τ Θ.Μ.Τ. σημίει ότι υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f στ σημεί (χ,f(χ )) είι πράλληλη στη ευθεί ΑΒ με Α(,f()) κι Β(,f()). Πρτηρήσεις: Η πρώτη συθήκη τυ Θ. Rlle κι τυ Θ.Μ.Τ. μπρεί τικτστθεί πό τη συθήκη f συεχής στ κι φύ είι πργωγίσιμη (άρ κι συεχής) στ (,). Δεδμέες τις δύ πρώτες συθήκες τω πρπάω θεωρημάτω τ τίστρφ υτώ δε ισχύυ. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Α: η f είι συεχής στ Δ f (χ)=0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ τότε η f είι στθερή σ όλ τ διάστημ Δ. Συέπειες τυ Θ.Μ.Τ. Έστω χ, χδ. Α χ=χ τότε f(x)=f(x) δηλδή η f είι στθερή. Α χ<χ τότε η f ικπιεί τις πρϋπθέσεις τυ Θ.Μ.Τ. στ [χ,χ]. Επμέως υπάρχει χ(χ,χ) τέτι ώστε: f' (x ) f χ f χ. χχ Όμως χ(χ,χ) πότε η f είι στθερή. )f ( x)f ( x f' (x 0) )f, δηλδή x)f xx Α χ>χ μίως πδεικύετι ότι f(x)=f(x), δηλδή η f στθερή. Άρ σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f(x)=f(x), δηλδή η f στθερή.

25 Έστω δύ συρτήσεις f, g ρισμέες σ έ διάστημ Δ. Α: ι f, g είι συεχείς στ Δ f (x)=g (x) γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτι ώστε γι κάθε χδ ισχύει: f(x)=g(x)+c. Έστω f-g συάρτηση η πί είι συεχής στ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημεί χδ ισχύει: (f-g) (x)=f (x)-g (x)=0. Tότε η συάρτηση f-g είι στθερή στ Δ, πότε υπάρχει στθερά c τέτι ώστε γι κάθε χδ ισχύει f(x)-g(x)=c f(x)=g(x)+c. Πρτήρηση: Τ πρπάω ισχύυ σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω. Mτί συάρτησης Έστω μί συάρτηση f η πί είι συεχής σ έ διάστημ Δ. Α f (x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι γησίως ύξυσ στ Δ. Α f (x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι γησίως φθίυσ στ Δ. Έστω χ, χδ με χ<χ. Η f ικπιεί τις πρϋπθέσεις τυ Θ.Μ.Τ., επμέως υπάρχει χ(χ, χ) τέτι ώστε: Όμως είι: )f ( x)f ( x f' (x ) f' (x )(x )f. ( x)f xx f' (x 0) f' (x )(x 0xx Δηλδή γι χ<χ πρκύπτει f(x)<f(x) πότε η f είι γησίως ύξυσ. )f ( Πρόμι είι κι η πόδειξη στη περίπτωση της γησίως φθίυσς. Πρτηρήση: Α μί συεχής συάρτηση f κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ είι γησίως ύξυσ (τίστιχ γησίως φθίυσ) στ Δ τότε f (χ) 0 (τίστιχ f (χ) 0) (εφόσ δε υπάρχει υπδιάστημ τυ Δ στ πί η f είι στθερή, δηλ. η f μηδείζετι σε δικεκριμέες θέσεις πεπερσμέυ πλήθυς ή μη). Μί συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α, θ λέμε ότι πρυσιάζει στ χ Α τπικό μέγιστ, ότ υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: f(x) f(x ) γι κάθε χ A (χ -δ,χ +δ) Τ χ λέγετι θέση ή σημεί τπικύ μέγιστυ, εώ τ f(χ ) τπικό μέγιστ της f. Α η ισότητ f(χ) f(χ ) ισχύει γι κάθε χα, τότε η f πρυσιάζει στ χ λικό μέγιστ ή πλά μέγιστ τ f(χ ). Τπικά κρόττ συάρτησης

26 Μί συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α, θ λέμε ότι πρυσιάζει στ χ Α τπικό ελάχιστ, ότ υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: f(x) f(x ) γι κάθε χ A (χ -δ,χ +δ) Τ χ λέγετι θέση ή σημεί τπικύ ελάχιστυ, εώ τ f(χ ) τπικό ελάχιστ της f. Α η ισότητ f(χ) f(χ ) ισχύει γι κάθε χα, τότε η f πρυσιάζει στ χ λικό ελάχιστ ή πλά ελάχιστ τ f(χ ). Πρτηρήσεις: Μί στθερή συάρτηση σ έ διάστημ Δ έχει σε κάθε σημεί τυ Δ τπικό κι λικό ελάχιστ κι μέγιστ. Κάθε λικό μέγιστ (ελάχιστ) είι κι τπικό μέγιστ (ελάχιστ). Τ τίστρφ δε ισχύει. Έ τπικό μέγιστ (ελάχιστ) μπρεί είι μικρότερ (μεγλύτερ) πό έ τπικό ελάχιστ (μέγιστ). Τ μεγλύτερ (μικρότερ) πό τ τπικά μέγιστ (ελάχιστ) μις συεχύς συάρτησης σ έ ιχτό διάστημ δε είι πάτ λικό μέγιστ (ελάχιστ). Α μι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ, τότε τ μεγλύτερ (μικρότερ) πό τ τπικά μέγιστ (ελάχιστ) είι λικό μέγιστ (ελάχιστ). Α μί συάρτηση συεχής σε ιχτό διάστημ είι γησίως μότη τότε δε έχει τπικά κρόττ. Α μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ Δ (τ Δ δε είι έωση διστημάτω) δε έχει τπικά κρόττ, τότε είι γησίως μότη. Α μί συεχής συάρτηση σε ιχτό διάστημ έχει μδικό τπικό κρόττ τότε είι λικό.

27 Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ Δ κι χ έ εσωτερικό σημεί τυ Δ. Α η f πρυσιάζει τπικό κρόττ στ χ κι είι πργωγίσιμη στ σημεί υτό, τότε: f (χ )=0. Θεώρημ Fermat Έστω ότι η f πρυσιάζει στ χ τπικό μέγιστ. Επειδή τ χ είι εσωτερικό σημεί τυ Δ κι η f πρυσιάζει σ υτό τπικό μέγιστ, υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: (χ-δ,χ+δ) Δ κι f(x) f(x) γι κάθε χ(χ-δ,χ+δ). Αφύ η f είι πργωγίσιμη στ χ ισχύει: f' (x ) xx Δικρίυμε τις περιπτώσεις: )f ( )f xf ( x xf ) ( x ) xx xx xx )f ( xf ( )f x ) ( xf ( Α χ(χ-δ,χ) τότε: 0, πότε f' (x ) 0 () xx xx xx )f ( xf ( )f x ) ( xf Α χ(χ,χ+δ) τότε: 0, πότε f' (x ) 0 () xx xx xx Από τις () κι () πρκύπτει ότι f (χ)=0. Αάλγη είι η πόδειξη γι τπικό ελάχιστ. y f(x ) Ο x x -δ x +δ x Πρσδιρισμός τπικώ κρόττω Από τ θεώρημ Fermat πρκύπτει ότι τ εσωτερικά σημεί τυ Δ, στ πί η f είι διφρετική πό τ μηδέ, δε είι θέσεις τπικώ κρτάτω. Επμέως ι πιθές θέσεις τπικώ κρτάτω μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η πράγωγς μηδείζετι (στάσιμ σημεί), τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η f δε πργωγίζετι (γωικά σημεί), τ άκρ τυ Δ ( ήκυ στ πεδί ρισμύ της f). Τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η πράγωγς μηδείζετι ή δε πργωγίζετι (δηλ. τ στάσιμ κι τ γωικά σημεί) λέγτι κρίσιμ σημεί.

28 Κριτήρι πρώτης πργώγυ: Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ, ),( με εξίρεση ίσως έ σημεί τυ x 0, στ πί όμως η f είι συεχής. i) Α xfστ 0)( x 0 ),( κι xfστ 0)( x 0 ),(, τότε τ 0xfείι )( τπικό μέγιστ της f. (Σχ. 35) ii) Α xfστ 0)( x 0 ),( κι xfστ 0)( x 0 ),(, τότε τ 0xfείι )( τπικό ελάχιστ της f. (Σχ. 35) iii) A η )(xf διτηρεί πρόσημ στ 0 0 xx ),(),(, τότε τ xfδε 0 )( είι τπικό κρόττ κι η f είι γησίως μότη στ. ),( (Σχ. 35γ). i) Eπειδή xfγι 0)( κάθε x x 0 ),( κι η f είι συεχής στ x 0, η f είι ii) γησίως ύξυσ στ ],(. Έτσι έχυμε x 0 0xfxf )()(, γι κάθε x x 0 ],(. () Επειδή xfγι 0)( κάθε xx 0 ),( κι η f είι συεχής στ x 0, η f είι γησίως φθίυσ στ x ),[. Έτσι έχυμε: 0 0xfxf )()(, γι κάθε xx 0 ),[. () y f >0 f <0 y f >0 f <0 35a f(x 0 ) f(x 0 ) O a x 0 x O a x 0 x Επμέως, λόγω τω () κι (), ισχύει: 0xfxf )()(, γι κάθε x ),(, πυ σημίει ότι τ xfείι 0 )( μέγιστ της f στ κι ),( άρ τπικό μέγιστ υτής. ii) Εργζόμστε λόγως. y y 35 f <0 f >0 f <0 f >0 O ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ a x 0 x O a x 0 x iii) Έστω ότι xf, 0)( γι κάθε x. xx ),(),( 00

29 y f >0 y f >0 35γ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ f >0 f >0 O a x 0 x O a x 0 x Επειδή η f είι συεχής στ x 0 θ είι γησίως ύξυσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ x 0 ],( κι x 0 ),[. Επμέως, γι ισχύει xxx 0 0. xfxfxf )()()( Άρ τ xfδε 0 )( είι τπικό κρόττ της f. Θ δείξυμε, τώρ, ότι η f είι γησίως ύξυσ στ. ),( Πράγμτι, έστω xx ),(, με xx. Α xx ],(,, επειδή η f είι γησίως ύξυσ στ ],(, θ ισχύει x 0 )()( xfxf. Α xxx ),[,, επειδή η f είι γησίως ύξυσ στ x ),[, θ ισχύει )()( xfxf. 0 Τέλς, xxx 0, τότε όπως είδμε 0. xfxfxf )()()( x 0 0 Επμέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει xfxf )()(, πότε η f είι γησίως ύξυσ στ. ),( Ομίως, xfγι 0)( κάθε. xx ),(),( 00 Έστω μί συάρτηση f συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ θ λέμε ότι: Η συάρτηση f στρέφει τ κίλ πρς τ άω ή είι κυρτή στ Δ, η f είι γησίως ύξυσ στ εσωτερικό τυ Δ. Η συάρτηση f στρέφει τ κίλ πρς τ κάτω ή είι κίλη στ Δ, η f είι γησίως φθίυσ στ εσωτερικό τυ Δ. Έστω μί συάρτηση f συεχής σ έ διάστημ Δ δύ φρές πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ. Α f (χ)>0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι κυρτή στ Δ. Α f (χ)<0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι κίλη στ Δ. Α μί συάρτηση f είι κυρτή (τιστίχως κίλη) σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημεί τυ Δ ρίσκετι κάτω (τιστίχως πάω) πό τη γρφική πράστση της f με εξίρεση τ σημεί επφής τυς. Πρτηρήσεις: Μι κυρτή ή κίλη συάρτηση σ έ διάστημ Δ είι συεχής στ Δ κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ. Κυρτότητ συάρτησης

30 Α μι συάρτηση f είι κυρτή (κίλη) κι δύ φρές πργωγίσιμη σ έ διάστημ (,) τότε f (χ) 0 (f (χ) 0) γι κάθε χ(,). Έστω μί συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έ σημεί τυ χ. Α: η f είι κυρτή στ (,χ ) κι κίλη στ (χ,) ή τιστρόφως κι η c f έχει εφπτμέη στ σημεί Α(χ,f(χ )) τότε τ σημεί Α(χ,f(χ )) μάζετι σημεί κμπής της γρφικής πράστσης της f κι λέμε ότι η f πρυσιάζει κμπή στ χ. Α τ Α(χ,f(χ )) είι σημεί κμπής της c f κι η f είι δύ φρές πργωγίσιμη, τότε f (χ )=0. Από τ πρπάω πρκύπτει ότι τ εσωτερικά σημεί τυ Δ, στ πί η f είι διφρετική πό τ μηδέ, δε είι θέσεις σημείω κμπής. Επμέως ι πιθές θέσεις σημείω κμπής μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η f μηδείζετι, τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί δε υπάρχει η f. Α μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ (,) κι χ (,) κι: η f λλάζει πρόσημ εκτέρωθε τυ χ κι ρίζετι η εφπτμέη της c f στ Α(χ,f(χ )), τότε τ Α(χ,f(χ )) είι σημεί κμπής. Σημεί κμπής συάρτησης Πρσδιρισμός σημείω κμπής Πρτηρήσεις: Τ σημεί κμπής είι μό σε εσωτερικά σημεί διστημάτω τυ πεδίυ ρισμύ. Α τ (χ, f(χ)) είι σημεί κμπής μις συάρτησης f τότε η f είι πργωγίσιμη σ έ διάστημ πυ περιέχει τ χ κι η f διτηρεί διφρετικό είδς μτίς εκτέρωθε τυ χ στ διάστημ υτό. Στ σημεί κμπής η εφπτμέη της Cf «διπερά» τη κμπύλη. Α έ τυλάχιστ πό τ όρι Α xx λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της c f. x )x(f R (τιστίχως x σύμπτωτη της c f στ + (τιστίχως στ ). )x(f, )x(f είι, τότε η ευθεί χ=χ xx )x(f ), τότε η ευθεί y= λέγετι ριζότι Α λ()x(f x 0) (τιστίχως λ()x(f x 0) x Ασύμπτωτες συάρτησης x λέγετι πλάγι σύμπτωτη της c f στ (τιστίχως στ ). ), τότε η ευθεί y=λχ+

31 Πρτήρηση: Η διφρά f(χ) (λχ+) εκφράζει τη κτκόρυφη πόστση στη θέση χ τω συρτήσεω f(χ) κι y=λχ+. Η ευθεί y=λχ+ είι πλάγι σύμπτωτη της c f στ +, τιστίχως στ, κι μό : λ= τιστίχως λ= x x )x(f x )x(f x κι = λχ x κι = λχ x )x(f, λ,r )x(f, λ,r Πρτήρηση: Στη περίπτωση πυ λ=0 έχυμε ριζότι σύμπτωτη. Οι πλυωυμικές συρτήσεις θμύ μεγλύτερυ ή ίσυ τυ δε έχυ σύμπτωτες. Οι ρητές συρτήσεις )x(p, με θμό τυ Ρ(χ) μεγλύτερ τυλάχιστ κτά δύ )x(q τυ θμύ τυ πρμστή, δε έχυ πλάγιες σύμπτωτες. Ασύμπωτες μις συάρτησης f ζητύμε: στ άκρ τω διστημάτω τυ πεδίυ ρισμύ της στ πί η f δε ρίζετι. στ σημεί τυ πεδίυ ρισμύ της, στ πί η f δε είι συεχής, στ, εφόσ η συάρτηση είι ρισμέη σε διάστημ της μρφής (,+ ), τιστίχως (,). Α γι δύ πργωγίσιμες συρτήσεις f κι g κτά στ χ ισχύει xx xx 0)x(g (ή )x(f κι xx )x('f (πεπερσμέ ή άπειρ) τότε: )x('g Εύρεση πλάγις σύμπτωτης Συμπεράσμτ ρισμώ τω σύμπτωτω Κόες de L Hspital xx )x(g )x(f )x(g xx xx ), χ R )x('f )x('g xx, κι υπάρχει τ 0)x( κι f Πρτηρήσεις: Στ πρπάω κό ι f,g είι πργωγίσιμες με g (χ) 0 κτά στ χ. Οι f,g μπρεί μη είι πργωγίσιμες ή κι μη ρίζτι στ χ ότ χr. Τ θεώρημ de L Hspital ισχύει κι γι πλευρικά όρι κι μπρύμε, χρειάζετι, τ εφρμόσυμε περισσότερες φρές, ρκεί πληρύτι ι πρϋπθέσεις τυς.

32 Έστω f μί συάρτηση ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Αρχική συάρτηση ή πράγυσ συάρτηση της f στ Δ μάζετι κάθε συάρτηση F πυ είι πργωγίσιμη στ Δ κι ισχύει: F (χ)=f(x) γι κάθε χδ. Έστω f μί συάρτηση ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Α F είι μί πράγυσ της f στ Δ, τότε: όλες ι συρτήσεις της μρφής G(x)=F(x)+c, cr είι πράγυσες της f στ Δ, κάθε άλλη πράγυσ G της f στ Δ πίρει τη μρφή G(x)=F(x)+c, cr. Κάθε συάρτηση της μρφής G(x)=F(x)+c, cr είι μί πράγυσ της f στ Δ φύ: Aρχική συάρτηση ή πράγυσ συάρτηση G (x)=(f(x)+c) =F (x)=f(x) γι κάθε χδ. Έστω G μί πράγυσ της f στ Δ. Τότε γι κάθε χδ ισχύυ: F' (x) f(x) F' (x) G' cf, γι κάθε χδ. ( x )G G' (x) f(x) Ορισμέ λκλήρωμ Έστω μί συάρτηση f συεχής στ [,]. Με τ σημεί =χ <χ <χ < <χ = χωρίζυμε τ [,] σε ισμήκη υπδιστήμτ μήκυς Δχ=. Στη συέχει επιλέγυμε υθίρετ έ ξ κ[χ κ-,χ κ], γι κάθε κ{,,,} κι σχημτίζυμε τ άθρισμ S = κ ξ(f ) χδ. Τ όρι S μάζετι ρισμέ λκλήρωμ της f κ πό τ στ κι συμλίζετι: )x(f dx S. Έστω f, g συεχείς συρτήσεις στ Δ με,,γδ με <γ< κι λ,μr. Τότε ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: Ιδιότητες ρισμέυ λκληρώμτς )x(f dx )x(f dx )x(f dx 0

33 λ )x(f dx λ )x(f dx )x(g)x(f dx )x(f dx )x(g dx λ )x(f μ )x(g dx λ )x(f dx μ )x(g dx γ )x(f dx ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ )x(f dx )x(f dx γ Α f(χ) 0, τότε )x(f dx 0 Α f(χ) 0 κι η f δε είι πτύ μηδέ στ [,] τότε )x(f dx 0 c d (c x ) γι πιδήπτε cr. Πρτηρήσεις: Ισχύει: f(u)du f(x)dx. Η έκφρση: «f(χ) 0 κι η f δε είι πτύ μηδέ στ [,]» ισδυμεί με τη έκφρση: «υπάρχει κ[,] με f(κ)>0». Α c>0 τότε τ cdx εκφράζει τ εμδό εός ρθγωίυ με άση (-) κι ύψς c. Η συάρτηση F(x)= x f(t)dt Α f μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι είι έ σημεί τυ Δ, τότε η συάρτηση F(x)= χ )t(f, dt xδ είι μί πράγυσ της f στ Δ, δηλδή ισχύει: χ F (x)= ' )t(f dt =f(x), γι κάθε χδ

34 Σχόλι: Α Ε(Ω) είι τ εμδό τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f κι τ άξ χ χ πό χ έως χ+h με h>0 τότε τ συμπέρσμ τω πρπάω πρκύπτει ως εξής: F(x+h)-F(x)= hx )x(f)h )t(f dt Ω(E h)x(f) γι μικρά h>0 πότε )x(f. h x Άρ: F (χ)= 0h )x(f)h )x(f. h )x(g Γεικότερ ισχύει: F (x)= )t(f dt =f(g(χ))g (x), με τη πρϋπόθεση ότι τ χρησιμπιύμε σύμλ έχυ όημ. ' Πρτήρηση: Η εξάρτητη μετλητή της F είι η χδ, εώ η μετλητή t είι η μετλητή λκλήρωσης η πί ρίσκετι πάτ στ διάστημ [,χ] ή [χ,]. Τ κι χ τ πίρυμε πάτ στ ίδι διάστημ στ πί η f είι συεχής. Θεμελιώδες Θεώρημ τυ Ολκληρωτικύ Λγισμύ Έστω f μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [,]. Α G είι μί πράγυσ της f στ [,], τότε: )x(f=g()-g(). dx χ Έστω F(x)= f(t)dt μί πράγυσ της f στ [,]. Επειδή κι η G είι μί πράγυσ της f στ [,], θ υπάρχει cr τέτι ώστε: G(x)=F(x)+c () Γι χ= η () γράφετι: G()=F()+c= f(t)dt +c=0+c=c c=g(). Άρ: G(x)=F(x)+G() () Γι χ= η () γράφετι: G()=F()+G() F()=G() G() f(t)dt =G() G()

35 Μέθδι λκλήρωσης ρισμέυ λκληρώμτς ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Έστω δύ συρτήσεις f,g συεχείς στ [,] κι f, g συεχείς στ [,]. Τότε: Ολκλήρωση κτά πράγτες: )x('g)x(f dx )x(g)x('f dx )x(g)x(f Ολκλήρωση με τικτάστση: )x('g)x(gf dx du)u(f, όπυ u=g(x) κι du=g (x)dx, u =g(), u =g(). u u Πρτήρηση: Ο τύπς της λκλήρωσης με λλγή μετλητής ισχύει ότ η συάρτηση g είι στ διάστημ [,]. Εμδό επίπεδυ χωρίυ Α μι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστημ [,] κι ( ) 0 x,, τότε τ εμδό τυ f x γι κάθε χωρίυ Ω πυ ρίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες x=, χ= κι τ άξ χ χ είι E( ) f( x) dx Έστω, τώρ, δυ συρτήσεις f κι g, συεχείς στ διάστημ [,] με f( x) g( x) 0 x, κι Ω τ χωρί πυ περικλείετι πό τις γι κάθε γρφικές πρστάσεις τω f,g κι τις ευθείες χ= κι χ= (Σχ. ). Πρτηρύμε ότι Ε(Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) fxdx ( ) gxdx ( ) ( fx ( ) gx ( )) dx Επμέως, E( ) ( f( x) g( x)) dx () Ο τύπς () ρέθηκε με τη πρϋπόθεση ότι: (i) fx ( ) gx ( ) γι κάθε x, κι (ii) ι f κι g είι μη ρητικές στ [,]. y y=f(x) Ω y=g(x) O () x

36 Ο τύπς () ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση (ii). Πράγμτι, επειδή ι συρτήσεις είι συεχείς στ, θ υπάρχει ριθμός c τέτις ώστε fx ( ) c gx ( ) c 0, γι κάθε x,. Είι φερό ότι τ χωρί Ω (Σχ. 0) έχει τ ίδι εμδό με τ χωρί Ω (Σχ. 0). Επμέως, σύμφω με τ τύπ (), έχυμε: Ε(Ω) Ε(Ω ) [( fx ( ) c ) ( gx ( ) c )] dx ( fx ( ) gx ( )) dx. Άρ, E(Ω) ( f( x) g( x)) dx y y y=f(x)+c 0 Ω y=f(x) Ω y=g(x)+c ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ O x O x y=g(x) () () Με τη ήθει τυ πρηγύμευ τύπυ μπρύμε υπλγίσυμε τ εμδό τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τ άξ χ χ, τη γρφική πράστση μις συάρτησης g, με gx ( ) 0 γι κάθε x, κι τις ευθείες χ= κι χ= (Σχ. ). Πράγμτι, επειδή άξς χ χ είι η γρφική πράστση της συάρτησης fx ( ) 0, έχυμε y E(Ω) ( f( x) g( x)) dx [ g( x)] dx g( x) dx x O Επμέως, γι μι συάρτηση g ισχύει gx ( ) 0 Ω γι κάθε x,, τότε E(Ω) g( x) dx y=g(x) Ότ η διφρά fx ( ) gx ( ) δε διτηρεί στθερό πρόσημ στ,, όπως στ Σχήμ 3, τότε τ εμδό τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τις γρφικές

37 πρστάσεις τω f,g κι τις ευθείες χ= κι χ= είι ίσ με τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω Ω, Ω κι Ω 3. Δηλδή, y Ω y=g(x) Ω y=f(x) Ω 3 O γ δ x Ε(Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) Ε(Ω ) γ 3 ( fx ( ) gx ( )) dx ( gx ( ) fx ( )) dx ( fx ( ) gx ( )) dx γ δ δ γ δ fx ( ) gx ( ) dx fx ( ) gx ( ) dx fx ( ) gx ( ) dx γ δ fx ( ) gx ( ) dx Επμέως, E( ) f( x) g( x) dx Σχόλι: Σύμφω με τ πρπάω τ f( x) dx είι ίσ με τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω πυ ρίσκτι πάω πό τ άξ x x μεί τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω πυ ρίσκτι κάτω πό τ άξ x x y Ο a ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ + + x

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης Σελίδ πό 3 Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

α+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0

α+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0 Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Τι οοµάζουµε µιγδικό ριθµό Μιγδικός ριθµός είι κάθε ριθµός που έχει τη µορφή + i, όπου, R κι i Τι λέγετι πργµτικό κι τι φτστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου,

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου, ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ποιο είι το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις.

1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις. o ΓΕΛ Λιδειάς Μθημτικά Προστολισμού Ορισμοί Θεωρήμτ- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηείες- Σχόλι Ατιπρδείγμτ - Πρτηρήσεις* ΟΡΙΣΜΟΣ ος πργμτική συάρτησησελ5 Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Όλη η θεωρί γι τις πελλήιες Εξετάσεις Κ Κρτάλη 28 με Δημητριάδος Τηλ 242 32 598 Περιεχόμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλει: Οµάδ Μθηµτικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρ, 7 Μ ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, β]. Α G είι μι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Τι οομάζετι πληθυσμός μις σττιστικής έρευς; Οομάζετι το σύολο τω τικειμέω (έμψυχω ή άψυχω γι τ οποί συλλέγοτι στοιχεί.. Τι οομάζετι άτομο

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ

ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Το σύολο C τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου Επληπτικά θέµτ Θεωρίς Γ Λυκείου Α i κι γ δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί τότε: 3 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: i γ δi γ δ i γ δ i i γδi Οι πρπάω ιδιότητες κι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής Επάληψη Τελευτίς Στιγμής kanellopoulos@otmailcom 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Ορισμοί εοιώ & Θεωρήμτ χωρίς πόδειξη Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως:

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως: ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Γωρίζουµε ότι η δευτεροάθµι εξίσωση µε ρητική δικρίουσ δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ Ειδικότερ η εξίσωση = δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ, φού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α Έστω συνάρτηση f συνεχής στ R κι ( ) είξτε ότι 3 g() ( 3 ) f (t)dt i Υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (3, ) ώστε Θέτυµε h() f (t)dt Η g() γράφετι g() g() f (t)dt (t )dt, R

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4.

+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4. 993 ΘΕΜΑΤΑ. ίετι η συάρτηση f() = + + µε >. ) Ν εξετάσετε τη µοοτοί της συάρτησης f. β) Ν υπολογίσετε το lim f(t) dt. + + ) Έχουµε f () = () + ( + ) ( + ) + = + (+ ) ( + ) = - 3 + + = - 3 . + +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. 5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ http://cutemathswordpresscom/ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ 56 Α) Ν υολογίσετε τ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 3 f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω f φ(x) τότε:

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 4 έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι

Διαβάστε περισσότερα

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopasdfghjklzcvbnmq wertyuiopasdfghjklzcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzcvbnmqwertyui ΟΛΟΚΛΗΡΩΤ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Π ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας.

Π ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας. Π ρ ό λ ο γ ο ς Το ιλίο υτό γράφτηκε με στόχο τη πληρέστερη προετοιμσί τω μθητώ μς. Περιέχει συοπτική θεωρί,πρωτότυπες σκήσεις λλά κι θέμτ εξετάσεω τω τελευτίω ετώ του σχολείου μς. Ελπίζουμε ποτελέσει

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Η Έοι του Ορίου Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Στο σχήμα 1, έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (1) και παρατηρούμε ότι όσο το x πλησιάζει στο xο = 2 από τα μικρά ( x

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Στο σχήμα 1, έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (1) και παρατηρούμε ότι όσο το x πλησιάζει στο xο = 2 από τα μικρά ( x Πγόσμι χωριό γνώσης ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 ΜΑΘΗΜΑ 2.9. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2.9.. Έννι τυ ρίυ Θεωρύμε τη συνάρτηση: x+, x 2 f ( x ) = x 2, x > 2 / [,4] () Έστω x 2. Η τιμή υτή πυ περιέχετι στ πεδί ρισμύ της συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΙΘ / Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα / Βασικές γνώσεις θεωρίας Μαθηματικών μέχρι την Β Λυκείου. Στοιχεία άλγεβρας

ΥΠΑΙΘ / Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα / Βασικές γνώσεις θεωρίας Μαθηματικών μέχρι την Β Λυκείου. Στοιχεία άλγεβρας ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ. Αριθμί Στιχεί άλερς Σύλ Φυσικώ ριθμώ:,,,,... Σύλ Ακέριω ριθμώ:...,,,,,,,,... Σύλ Ρητώ ριθμώ: /, κέριι με Άρρητι ριθμί:

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ολοκληρωτικος λογισμος

ολοκληρωτικος λογισμος γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πγκόσμι χωριό γνώσης ΜΑΘΗΜΑ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.. Έννι της πργώγυ Ορισμός: Αν f/α είνι μι συνάρτηση κι Α, νμάζετι πράγωγς της f στ σημεί κι συμβλίζετι f(), τ όρι: f() f f() () εφόσν βέβι υπάρχει κι νήκει

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 28 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. Ν βρείτε το ολοκλήρωμ: (8x 3 ημx 5 + 7) dx ex (8x 3 ημx 5 e x + 7) dx = (8x3 ημx 5e x + 7)dx =

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα