ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ"

Transcript

1 ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

2 Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύλ τυ συόλυ R τω πργμτικώ ριθμώ στ πί επεκτείτι ι πράξεις της πρόσθεσης κι τυ πλλπλσισμύ πυ ισχύυ στ R, με τ 0 είι τ υδέτερ στιχεί της πρόσθεσης κι τ είι τ υδέτερ στιχεί τυ πλλπλσισμύ. Υπάρχει έ στιχεί i τέτι ώστε i =-. Κάθε στιχεί z τυ C γράφετι κτά μδικό τρόπ με τη μρφή z=+i, όπυ,r. Ο πργμτικός ριθμός λέγετι πργμτικό μέρς (=Re(z)) τυ z κι πργμτικός ριθμός (=Im(z)) λέγετι φτστικό μέρς τυ z. Ο ριθμός i λέγετι φτστικός ριθμός. Ές μιγδικός ριθμός z είι πργμτικός κι μό Im(z)=0. Ές μιγδικός ριθμός z είι φτστικός κι μό Re(z)=0. Γεωμετρική πράστση μιγδικύ ριθμύ Κάθε μιγδικό ριθμό z=+i μπρύμε τ τιστιχίσυμε στ σημεί Μ(,) εός κρτεσιύ y M(,) επιπέδυ. Τ σημεί Μ(,) (ή Μ(z)) λέγετι εικό τυ μιγδικύ z. Ο άξς χ χ λέγετι πργμτικός άξς κι άξς y y λέγετι φτστικός άξς. Ο x Πράξεις μιγδικώ ριθμώ Έστω δύ μιγδικί ριθμί z =+i, z =γ+δi. Πρόσθεση: z +z =(+i)+(γ+δi)=(+γ)+(+δ)i H διυσμτική κτί τυ θρίσμτς τω μιγδικώ z κι z είι τ άθρισμ τω διυσμτικώ κτίω τυς. Αφίρεση: z z =(+i)-(γ+δi)=(-γ)+(-δ)i H διυσμτική κτί της διφράς τω μιγδικώ z κι z είι η διφρά τω διυσμτικώ κτίω τυς. Πλλπλσισμός:z z =(+i)(γ+δi)=γ+δi+γi+δi =(γ-δ)+(δ+γ)i Διίρεση: z z i ( i )( )iδγ γ δi γi δi iδγ ( iδγ )( )iδγ iδγ (γ δ γ() δ i) (γ δ) (δ δ) i δγ δγ δγ

3 Δύ μιγδικί ριθμί z =+i, z =γ+δi είι ίσι ότ =γ κι =δ, δηλδή: )zr e ()zr e ( zz κι )zi m ()zi m ( Πρτήρηση: Α ισχύει z z τότε είι: γ κι =δ=0 φύ διάτξη στ σύλ C δε ρίζετι, πότε ι z, z είι πργμτικί. z =z, z =zz, z =z - z με θετικό κέρι κι >. z =, z - = z με z 0 γι κάθε θετικό κέρι. i =, i =i, i =-, i 3 =-i, i 4 =. Γεικά ισχύει: Ισότητ μιγδικώ Δυάμεις τυ μιγδικύ z κι δυάμεις τυ i, 4ρ,i 4ρ i, ρ Ζ., 4ρ,i 4ρ 3 4ρυ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i i i i (i ) i i i, υ 0 i, υ, υ i, υ 3 Συζυγής μιγδικύ Συζυγής μιγδικύ ριθμύ z=+i μάζετι μιγδικός ριθμός z =-i, δηλδή ισχύει: Re(z)=Re( z ) κι Im(z)=-Im( z ). A Μ(,) είι η εικό τυ μιγδικύ z=+i, τότε τ Μ (,-) είι η εικό τυ συζυγή τυ, δηλδή τ Μ, Μ είι συμμετρικά ως πρς τ πργμτικό άξ χ χ. Γι τυς συζυγείς δύ μιγδικώ ριθμώ z =+i, z =γ+δi ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: zz zz zz R )z e ( κι zz i zz z i)z I m ( i z zz zz ( (γ (δ γ) (i (δ γ) ( δ)i) i ( (γ δi) zz i )

4 z zz zzzzzz )z()z( z z z z z)z ( Πρτηρήσεις: Α ριθμός z είι πργμτικός, τότε zr Im(z)=0 Im(z)i=0 Α ριθμός z είι φτστικός, τότε zi Re(z)=0 Re(z)=0 zz κι τιστρόφως φύ: κι zz τιστρόφως φύ zz0zz. zz0zz. Έστω η εξίσωση z +z+γ=0 () με,,γr κι 0 κι Δ= -4γ η δικρίυσ. Δικρίυμε τις εξής περιπτώσεις: Α Δ>0 η () έχει δύ πργμτικές λύσεις: z, Δ A Δ=0 η () έχει μί διπλή πργμτική λύση: z Α Δ<0 η () έχει δύ μιγδικές λύσεις (κι μάλιστ συζυγείς): z, i Δ Από τη μέθδ συμπλήρωσης τετργώω της εξίσωσης z +z+γ=0 με Δ<0 πρκύπτει: z Δ 4 ( )( Δ) i z z 4 4 Δ i Δ z z, i ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Λύσεις της εξίσωσης z +z+γ=0, 0 κι,,γr Δ γ Επίσης ισχύυ ι τύπι τυ Vieta δηλ.: z +z = κι z z =. Πρτηρήσεις: Από τ τύπ τω ριζώ τυ τριωύμυ z +z+γ=0 με Δ<0 πρκύπυ: z= z κι z =z

5 z+z= zz ) )R R κι e μίως ( z )R, πότε Re(z)=Re(z)= e ( z zz= γ z z πρκάτω). γ γ γ γ z z z κι μίως z, πότε γ (όπυ z,z είι τ μέτρ τω z, z τίστιχ όπως θ δύμε Έστω μιγδικός ριθμός z=x+yi κι η εικό τυ Μ(x,y). Ορίζυμε ως μέτρ τυ z τη πόστση τυ Μ πό τ Ο, δηλδή τ μέτρ τυ διύσμτς OM. Άρ: yxz Γι τ μέτρ εός μιγδικύ ριθμύ ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: zz zzzz zzz zzzzzz, πυ ισχύει. z z z z, z 0 z zzzzzz ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μέτρ μιγδικύ ριθμύ zz zzz zz Γεωμετρικί τόπι μιγδικώ Η πόστση τω εικόω Α, Β δύ μιγδικώ z, z είι ΑΒ= zz, δηλ. τ μέτρ της διφράς δύ μιγδικώ είι ίσ με τη πόστση τω εικόω τυς. Η εξίσωση πριστάει zzz τη μεσκάθετ εός ευθύγρμμυ τμήμτς ΑΒ με Α(z ) κι Β(z ).

6 Έστω z=x+yi κι z =x +y i δύ μιγδικί ριθμί. Η εξίσωση: zz ρ x( x ) y( y i) ρ, ρ>0 πριστάει εξίσωση κύκλυ με κέτρ Κ(χ,y ) κι κτί ρ δηλ. c: (χ-χ ) +(y-y ) =ρ. Πρτηρήσεις: Η ισϊσότητ zzz πριστάει τ ημιεπίπεδ πυ ρίζετι πό τη μεσκάθετ ΑΒ με Α(z) κι Β(z) κι τ σημεί Α(z). Η ίσωση zzz πριστάει τ ημιεπίπεδ πυ ρίζετι πό τη μεσκάθετ ΑΒ με Α(z) κι Β(z) κι τ σημεί Α(z) με εξίρεση τη ΑΒ. Η ισϊσότητ zz με ρ ρ>0 πριστάει κυκλικό δίσκ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση zz με ρ ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ισϊσότητ zz ρ με ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι πάω κι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση zz με ρ ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ισϊσότητ ρ zz ρ πριστάει κυκλικό δκτύλι πυ ρίζετι πό τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι πάω κι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ κι πάω κι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση ρ zz ρ πριστάει κυκλικό δκτύλι πυ ρίζετι πό τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ κι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ. Η εξίσωση z γ z χ y γ με,γ>0 πριστάει τη έλλειψη c:, = -γ. Η εξίσωση z γi z γi χ y με,γ>0 πριστάει τη έλλειψη c:, = -γ. Η εξίσωση z γ z χ y γ με,γ>0 πριστάει τη υπερλή c:, =γ -. Η εξίσωση z γi z γi ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ y x με,γ>0 πριστάει τη υπερλή c:, =γ -.

7 Έστω Α έ υπσύλ τυ R. Ομάζυμε πργμτική συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α μί διδικσί f, με τη πί κάθε στιχεί χα τιστιχίζετι σε έ μό πργμτικό ριθμό y. Τ y μάζετι τιμή της f στ χ κι συμλίζετι με f(χ). Τη διδικσί υτή τη εκφράζυμε f: Α R. Τ γράμμ χ, πυ πριστάει πιδήπτε στιχεί τυ Α λέγετι εξάρτητη μετλητή, εώ τ γράμμ y, πυ πριστάει τη τιμή της f στ χ, λέγετι εξρτημέη μετλητή. Ορισμός συάρτησης Γρφική πράστση συάρτησης Τ σύλ πυ έχει στιχεί τυ τις τιμές της f σε όλ τ χα, λέγετι σύλ τιμώ της f κι συμλίζετι με f(α). Είι δηλ.: f(α)={y/y=f(x) γι κάπι χα}. Έστω f μι συάρτηση με πεδί ρισμύ Α κι Οχy έ σύστημ συτετγμέω στ επίπεδ. Τ σύλ τω σημείω Μ(χ,y) γι τ πί ισχύει y=f(χ), δηλ. τ σύλ τω σημείω Μ(χ,f(χ)), χα, λέγετι γρφική πράστση της f. Η y=f(x) είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της f. Επειδή κάθε χα τιστιχίζετι σε έ μό yr, δε υπάρχυ σημεί της γρφικής πράστσης της f με τη ίδι τετμημέη. Τ πεδί ρισμύ της f είι τ σύλ Α τω τετμημέω της C f, εώ τ σύλ τιμώ της f είι τ σύλ f(α) τω τετγμέω τω σημείω της C f. Τέλς η τιμή της f στ χ Α είι η τετγμέη τυ σημείυ τμής της ευθείς χ=χ κι της C f. Η γρφική πράστση της συάρτησης f είι συμμετρική ως πρς τ άξ χ χ της γρφικής πράστσης της f. Η γρφική πράστση της f πτελείτι πό τ τμήμτ της C f πυ ρίσκτι πάω πό τ άξ χ χ κι πό τ συμμετρικά, ως πρς τ άξ χ χ, τω τμημάτω της C f πυ ρίσκτι κάτω πό τ άξ χ χ. Έστω δύ συρτήσεις f με πεδί ρισμύ τ Α κι g με πεδί ρισμύ τ Β. Ισχύυ: (f+g)(x)=f(x)+g(x) με D f+g=a B (f-g)(x)=f(x)-g(x) με D f-g=a B (fg)(x)=f(x)g(x) με D fg=a B Πράξεις συρτήσεω f g )x(f )x( με D f ={x/xa κι χβ, με g(χ) 0} )x(g g

8 Δύ συρτήσεις f κι g λέγτι ίσες ότ: έχυ τ ίδι πεδί ρισμύ Α κι γι κάθε χα ισχύει f(x)=g(x) δηλ. έχυ τ ίδι τύπ. Πρτήρηση: Α f(x) g(x) τότε δε είι πρίτητ f(x)= g(x). ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Ισότητ συρτήσεω Σύθεση συρτήσεω Α f κι g είι δύ συρτήσεις με πεδί ρισμύ Α, Β τίστιχ, τότε μάζυμε σύθεση της g με τη f κι τη συμλίζυμε fg τη συάρτηση με τύπ (fg)(x)=f(g(x)). Τ πεδί ρισμύ Γ της fg πτελείτι πό όλ τ χ τυ πεδίυ ρισμύ Β της g γι τ πί τ g(χ) ήκει στ πεδί ρισμύ Α της f, δηλδή: Γ={χΒ/g(x)Α} Γεικά, f,g είι δύ συρτήσεις κι ρίζτι ι fg κι gf τότε υτές δε είι υπχρεωτικά ίσες. Α f,g,h είι τρεις συρτήσεις κι ρίζετι η h(gf), τότε ρίζετι κι η (hg)f κι ισχύει: h(gf)=(hg)f. Μί συάρτηση f λέγετι: γησίως ύξυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x )<f(x ). Μτί συρτήσεω γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x )>f(x ). Μί συάρτηση πυ είι γησίως ύξυσ ή γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της λέμε ότι είι γησίως μότη στ Δ κι είι.

9 Μί συάρτηση f λέγετι: ύξυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x ) f(x ). φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x ) f(x ). Μί συάρτηση πυ είι ύξυσ ή φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της λέμε ότι είι μότη στ Δ. Πρτηρήσεις: Α η συάρτηση f είι γησίως ύξυσ σ έ διάστημ Δ τότε γι κάθε χ, χ Δ ισχύει: f(x)<f(x) x<x. Α η συάρτηση f είι γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τότε γι κάθε χ, χ Δ ισχύει: f(x)<f(x) x>x. Η μτί μις συάρτησης φέρετι πάττε σε συγκεκριμέ διστήμτ τυ πεδίυ ρισμύ της κι όχι πάτ στη έωσή τυς. Μί συάρτηση f με πεδί ρισμύ Α λέμε ότι: πρυσιάζει στ χ Α (λικό) μέγιστ, τ f(χ ) ότ, γι κάθε χα ισχύει: Ακρόττ συάρτησης f(x) f(x ) πρυσιάζει στ χ Α (λικό) ελάχιστ, τ f(χ ) ότ, γι κάθε χα ισχύει: f(x) f(x ) Τ (λικό) μέγιστ ή τ (λικό) ελάχιστ της f λέγτι κρόττ της f. Πρτήρηση: Μι γησίως μότη συάρτηση σε ιχτό διάστημ δε έχει κρόττ. Μί συάρτηση f: Α R λέγετι συάρτηση -, ότ γι πιδήπτε χ, χ Α ισχύει η συεπγωγή: χ χ τότε f(x ) f(x ) ή f(x )=f(x ) x =x Mί συάρτηση f είι - κι μό : Συάρτηση γι κάθε yf(a) η εξίσωση f(x)=y έχει κριώς μί λύση ως πρς χ.

10 δε υπάρχυ σημεί της γρφικής πράστσης της f με τη ίδι τετγμέη. Κάθε γησίως μότη συάρτηση f: Α R είι συάρτηση -. Τ τίστρφ δε ισχύει. Έστω μί συάρτηση f: Α R η πί είι -. Ομάζυμε τίστρφη συάρτηση της f, τη συάρτηση f - : f(a) R γι τη πί ισχύυ: έχει πεδί ρισμύ τ σύλ τιμώ f(a) της f έχει σύλ τιμώ τ πεδί ρισμύ Α της f ισχύει: f(x)=y f - (y)=x. Ατίστρφη συάρτηση Από τ πρπάω πρκύπτει ότι: f - (f(x))=x, xa κι f(f - (y))=y, yf(a). Πρτήρηση: Η f κι η f - έχυ τη ίδι μτί κι είι συμμετρικές ως πρς τη ευθεί y=χ. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ σύλ της μρφής (,χ ) (χ,). Ότ ι τιμές της μετλητής χ τείυ πρς τ πργμτικό ριθμό χ, τότε ι τιμές της συάρτησης f τείυ πρς έ πργμτικό ριθμό. Τότε λέμε ότι τ όρι της συάρτησης f στ χ είι κι συμλίζυμε )x(f. xx Σχόλι: Γι ζητήσυμε όρι μις συάρτησης f στ χ πρέπει η f ρίζετι σ έ σύλ της μρφής (,χ ) (χ,) ή (,χ ) ή (χ,). Τ χ μπρεί ήκει στ πεδί ρισμύ της συάρτησης ή μη ήκει σ υτό. Η τιμή της f στ χ μπρεί είι ίση με τ όριό της στ χ ή διφρετική π υτό. Επίσης τ όρι της f στ χ είι εξάρτητ τω άκρω, τω διστημάτω (,χ ) κι (χ,) στ πί θεωρύμε ότι είι ρισμέη η f. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ της μρφής (,χ ). Θ λέμε ότι η f έχει στ χ πό ριστερά όρι τ R κι γράφυμε )x(f. xx Ομίως μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ της μρφής (χ,) έχει στ χ πό δεξιά όρι τ R κι γράφυμε Όρι συάρτησης στ πργμτικό x )x(f. xx Γι μί συάρτηση f ρισμέη στ σύλ (,χ ) (χ,) ισχύει: )x(f )x(f )x(f xx xx xx Α )x(f )x(f, τότε η f δε έχει όρι στ χ. xx xx Επίσης ισχύυ ι ισδυμίες: )x(f 0) x ( f xx xx xx )x(f x(f )h 0h

11 Ιδιότητες ρίω ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ () Α xx 0)x(, τότε f(x)>0 (τίστιχ f 0)x(, τότε f(x)<0) κτά f στ χ. () A ι f, g έχυ όρι στ χ κι f(x) g(x), τότε (3) Ισχύυ xx xx κι cc xx xx )x(f )x(g. xx xx A ι f, g έχυ όρι στ χ τότε υπάρχυ τ πρκάτω όρι κι ισχύυ: (4) )x(g)x(f )x(f )x(g xx xx (5) κ )x(f κ )x(f xx xx, κr xx (6) )x(g)x(f )x(f )x(g (7) xx xx xx xx )x(f χ(f) xx, 0)x(g )x(g )x(g xx xx (8) )x(f xx xx )x(f (9) (0) κ )x(f k xx xx xx )x(f, f(x) 0 χ(f ) xx )x(f, Ν* () Α Ρ(χ)= χ + -χ χ+ έ πλυώυμ κι χ R τότε: xx )x(p)x(p. P(x) xx χχ χ χ xx xx xx xx - χ χχ Ρ(χ ) xx xx xx () Έστω f(χ)= Ρ(χ), όπυ Ρ(χ) κι Q(χ) πλυώυμ τυ χ κι χ R με Q(χ ) 0, )x(q τότε: )x(p )x(q xx )x(p. )x(q P(x) P(x) xx f(x) xx xx Q(x) Q(x) xx )P ( x. )Q ( x Πρτηρήσεις: Τ τίστρφ της ιδιότητς () δε ισχύει πάτ. Η ιδιότητ () ισχύει κι f(x)<g(x) κτά στ χ τότε f(x) g(x). xx xx Γι τη ιδιότητ (8) ισχύει ειδικά 0f ( 0f 0f. x ( ) x ( xx xx xx

12 Γι τις ιδιότητες (4), (6), (7) πδεικύετι ότι υπάρχυ τ όρι τω συρτήσεω f+g, fg, g f στ χ κι υπάρχει τ όρι της f στ χ (ή της g στ χ) τότε υπάρχει κι τ όρι της g στ χ (ή της f στ χ). Έστω ι συρτήσεις f, g, h. Α: h(x) f(x) g(x) κτά στ χ κι xx )x(h )x(g xx τότε υπάρχει τ όρι της f στ χ κι ισχύει: )x(f. xx Ισχύυ: ημχ ημχ xx ημχ 0x χ Ισχύει:, συχ συχ xx συχ κι 0 0x χ κι χη γι κάθε χr μ χ x(g(f )) )u(f, όπυ u=g(x), u = )x(g κι g(χ) u με τη xx uu πρϋπόθεση ότι υπάρχυ τ όρι xx )x(g κι xx uu )u(f. xx )x(f ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Κριτήρι πρεμλής Τριγωμετρικά όρι Όρι σύθετης συάρτησης Μη πεπερσμέ όρι στ πργμτικό x (ιδιότητες) xx )x(f xx )x(f κι xx )x(f xx )x(f xx )x(f Α xx )x(f (τ. ) τότε f(χ)>0 (τ. f(χ)<0) κτά στ χ. )x(f )x(f κι )x(f )x(f xx xx )x(f )x(f 0 xx xx xx xx xx xx, 0)x( f xx )x(f, )x(f )x(f xx 0)x( f κτά στ χ 0)x( f xx )x(f κ xx )x(f Πρτηρήσεις: Α Α f(x) xx f(x) xx <0 ή τότε υπάρχει κ κτά στ χr >0 ή + τότε υπάρχει κ κτά στ χr τέτις ώστε f(κ)<0. τέτις ώστε f(κ)>0.

13 (+ ) (+ ) (+ ) + (- ) Απρσδιόριστες μρφές )( )( )( 0 Α R: + (+ ) = (+ ) + (- )= (- ) (+ )= (- ) (- )= (+ ) Επιτρεπτές πράξεις )()(, 0 )()( )()(, 0 )()( 0 )( )( με 0 0 (+ ) + (+ )= (+ ) (- ) + (- )= (- ) (+ ) (- )= (+ ) )()()( 0 )( )( )()()( )()()( )( Γι τ όρι στ ισχύυ ι ίδιες ιδιότητες τω ρίω στ χ με τη πρϋπόθεση ότι ι συρτήσεις είι ρισμέες σε κτάλληλ σύλ κι δε κτλήγυμε σε πρσδιόριστη μρφή. Επιπλέ ισχύυ: x x, Ν* 0 x x, Ν* x x,, άρτις π ςό ε ρ ι τ τ ( x ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Απρσδιόριστες μρφές - Επιτρεπτές πράξεις Όρι στ άπειρ χχ )χ ( )χ χ

14 x κ κ χχ χ κ χ κ κ χχ χ κχ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ, χ χ,0 0,0 χ χ, 0 χ lg χ κι ln χ χ lg χ χ0 κι ln χ χ0 Οι τριγωμετρικές συρτήσεις δε έχυ όρι στ. Ακλυθίες Όρι κλυθιώ Ακλυθί μάζετι κάθε πργμτική συάρτηση : N* R. Θ λέμε ότι μί κλυθί ( ) έχει όρι R κι θ γράφυμε, ότ γι κάθε ε>0, υπάρχει Ν* τέτι, ώστε γι κάθε > ισχύει ε. Πρτήρηση: Οι γωστές ιδιότητες τω ρίω συρτήσεω ότ χ ισχύυ κι γι τις κλυθίες κι υπλγίζτι με τις ίδιες μεθόδυς. Συέχει συάρτησης Έστω μί συάρτηση f κι χ έ σημεί τυ πεδίυ ρισμύ της. Θ λέμε ότι η f είι συεχής στ χ, ότ: )x(f)x(f xx Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σ έ ικτό διάστημ (,), ότ είι συεχής σε κάθε σημεί τυ (,). Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ [,], ότ είι συεχής σε κάθε σημεί τυ (,) κι επιπλέ )x(f (f ) x )x(f (f ). Οι πλυωυμικές, ι ρητές, ι συρτήσεις ημχ κι συχ, ι εκθετικές κι ι x λγριθμικές συρτήσεις είι συεχείς συρτήσεις σ όλ τ πεδί ρισμύ τυς. κι Α ι συρτήσεις f, g είι συεχείς στ χ, τότε κι ι συρτήσεις f+g, cf, f gf,, f g, f, fg, gf (g συεχής στ f(χ )) είι συεχείς στ χ.

15 Πρτηρήσεις: Σύμφω με τ ρισμό της συέχεις μις συάρτησης πρκύπτει ότι μί συάρτηση f δε είι συεχής σ έ σημεί χ τυ πεδίυ ρισμύ της ότ δε υπάρχει τ όριό της στ χ ή υπάρχει τ όριό της στ χ λλά είι διφρετικό πό τη τιμή f(χ). Α μί συάρτηση είι - κι συεχής σ έ διάστημ Δ τότε είι κι γησίως μότη στ Δ. A μί συάρτηση f είι κι συεχής σ έ διάστημ Δ τότε η f - είι συεχής στ f(δ). Θεώρημ Blzan Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ κλειστό διάστημ [,]. Α: η f είι συεχής στ [,] (f (f) 0) τότε υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε: f(χ )=0, δηλδή υπάρχει μί τυλάχιστ ρίζ της εξίσωσης f(x)=0 στ (,). Πόρισμ: Από τ θεώρημ Blzan πρκύπτυ ότι: μί συάρτηση f είι συεχής σ έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι στ διάστημ υτό, τότε η f διτηρεί τ πρόσημό της στ Δ. μί συεχής συάρτηση f διτηρεί πρόσημ σε κθέ πό τ διστήμτ στ πί ι διδχικές ρίζες της f χωρίζυ τ πεδί ρισμύ της. Πρτηρήσεις: Τ τίστρφ τυ θεωρήμτς δε ισχύει: είι δυτό υπάρχει ρίζ στ (,) μις συεχύς συάρτησης στ [,] κι ισχύει f(a)f() 0 ή υπάρχει ρίζ στ (,) κι η f μη είι συεχής στ [,]. Γεικά η συθήκη f()f() είι ική κι όχι γκί γι έχει μί συεχής συάρτηση στ [,] ρίζ στ (,). Τ θεώρημ κι τ πόρισμ ισχύυ μό σε διάσημ κι όχι σε έωση διστημάτω.

16 Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Έστω μί συάρτηση f η πί είι ρισμέη σ έ κλειστό διάστημ [,]. Α: η f είι συεχής στ [,] f() f() τότε γι κάθε ριθμό η μετξύ τω f() κι f() υπάρχει ές τυλάχιστ χ (,) τέτις ώστε: f(χ )=η. Έστω f()<f(). Τότε θ ισχύει f()<η<f() όπως φίετι κι στ σχήμ. Θεωρύμε τη συάρτηση: g(x)=f(x) η, χ[,]. Η g είι συεχής στ [,] y f() η f() x O x g g f 0η g f η 0 g 0 Άρ σύμφω με τ θεώρημ Blzan, υπάρχει χ(,) τέτις ώστε: g(x)=0 f(x) η=0 f(x)=η Σύμφω με θεώρημ εδιάμεσω τιμώ πδεικύετι ότι: Η εικό f(δ) εός διστήμτς Δ μέσω μις συεχύς κι μη στθερής συάρτησης f είι διάστημ. Πρτηρήσεις: Α μί συάρτηση f δε είι συεχής στ [,] δε πίρει υπχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές. Α δε ισχύει τ θεώρημ τότε η συάρτηση δε είι συεχής. Η εικό μις στθερής συάρτησης είι σημεί. Η εικό ικτύ διστήμτς μέσω συεχύς κι γησίως μότης συάρτησης είι ικτό διάστημ. Θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής συάρτησης Α f είι μί συεχής συάρτηση στ [,], τότε η f πίρει στ [,] μί μέγιστη τιμή Μ κι μί ελάχιστη τιμή m, δηλδή m f(x) M γι κάθε χ[,]. Τ σύλ τιμώ της πρπάω συάρτησης θ είι τότε τ [m,μ]. Σύμφω με τ θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής πδεικύετι ότι: Α μι συάρτηση f είι γησίως ύξυσ (τ. γησίως φθίυσ) κι συεχής σ έ ιχτό διάστημ (,), τότε τ σύλ τιμώ της στ διάστημ υτό είι τ διάστημ (Α,Β) (τ. (Β,Α)), όπυ Α= x )x(f κι Β= x )x(f.

17 Πρτηρήσεις: Από τ πρπάω θεώρημ συμπερίυμε ότι μί συάρτηση f είι συεχής σ έ διάστημ [,] τότε υπάρχυ χ,χ[,] τέτιι ώστε f(x) f(x) f(x). Eιδικότερ η f είι επιπλέ γησίως ύξυσ στ [,] είι f() f(x) f() δηλ. f([,])=[f(),f()], εώ είι γησίως φθίυσ στ [,] είι f() f(x) f() δηλ. f([,])=[f(),f()].

18 Η έι της πργώγυ στ x Μί συάρτηση f λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημεί χ τυ πεδίυ ρισμύ της, υπάρχει τ xx xx )x(f)x(f κι είι πργμτικός ριθμός. Τ όρι υτό μάζετι πράγωγς της f στ χ κι συμλίζετι f (χ ), δηλδή: f (χ )= ή xx xx )x(f)x(f )x(f)hx(f f (χ )= 0h h Α τ σημεί χ είι εσωτερικό σημεί τυ πεδίυ ρισμύ μις συάρτησης f, τότε η f είι πργωγίσιμη στ χ κι μό υπάρχυ στ R τ όρι: κι είι ίσ. xx xx )x(f)x(f )x(f)x(f κι Εξίσωση εφπτμέης xx xx Έστω μι συάρτηση f κι Α(χ,f(χ )) έ σημεί της C f. Α υπάρχει τ xx xx )x(f)x(f κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ρίζυμε ως εφπτμέη της C f στ σημεί της Α, τη ευθεί ε πυ διέρχετι πό τ Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ, δηλ.: y-y =λ(χ-χ ). Η εξίσωση της εφπτμέης της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης f στ σημεί Α(χ,f(χ )) είι: y-f(x)=f (x)(x-x) O πράγωγς ριθμός f (χ ) (εφόσ υπάρχει) είι συτελεστής διεύθυσης της πρπάω εφπτμέης στ Α κι τη λέμε κλίση της f στ χ. Πρτηρήσεις: Μι εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f μπρεί έχει περισσότερ πό έ κιά σημεί με υτή. Μι ική συθήκη γι μη έχει η εφπτμέη δεύτερ κιό σημεί με τη γρφική πράστση της συάρτησης είι η συάρτηση είι πργωγίσιμη κι με πράγωγ.

19 Α μί συάρτηση f είι πργωγίσιμη σ έ σημεί χ, τότε είι κι συεχής στ σημεί υτό. Πράγωγς κι συέχει Γι χ χ έχυμε: f(x) )f ( xf ( x ) (x )f. Επμέως: x)x xx f(x) xx f' (x xx Άρ η f είι συεχής στ χ. )f (x ( )f xf ( )f x)x x (x ) ( )f xf ( ( x x) xx xx xx xx )f. ( x)f ( x0) Α μί συάρτηση f είι συεχής σ έ σημεί χ, τότε δε είι υπχρεωτικό η f είι πργωγίσιμη στ χ. Α μί συάρτηση f δε είι συεχής σ έ σημεί χ, τότε η f δε είι κι πργωγίσιμη στ χ. Έστω μί συάρτηση f με πεδί ρισμύ τ σύλ Α. Η f είι πργωγίσιμη στ Α ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ Α. Η f είι πργωγίσιμη σ έ ικτό διάστημ (,) τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ (,). Η f είι πργωγίσιμη σ έ κλειστό διάστημ [,] τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ (,) κι επιπλέ ισχύει: x Πργωγίσιμη συάρτηση (f)x(f) R κι x x (f)x(f ) R. x (c) =0, c πργμτική στθερά. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=c. Τότε: )f f (x)= cc ( xf ( x ) 00 xx x-x xx x-x xx Πράγωγι σικώ συρτήσεω (x) =, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=x. Τότε: )f xx ( xf ( x ) f (x)= xx x-x xx x-x xx

20 (x ) =x -, xr, Ν {0,}. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=x. Τότε: f (x)= xx - )f ( xx xf χ χ-( )(x ( x ) )χχχ x-x xx χ - χ χχ χ - χ (χ χχ χ )χχχ χ χ χ ', χ(0,+ ). χ Aπόδειξη: Έστω f(χ)= f (x)= xx χ χχ χ. Τότε: χ-( ) χ χ-( ) )f ( xx xf ( x χχχχ ) x-x xx χ - χ χχ χχ χ - χ χχ xx xx x (ημχ) =συχ, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=ημχ. Τότε: f(x f (x)= 0h h) f(x) ημ(x h 0h h) ημx ημχσυh συχημh ημχ h 0h h συh ημχ 0h h - ημh συχ h ημχ 0 συχ συχ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ (συχ) =-ημχ, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=συχ. Τότε: f (x)= f(x 0h h) f(x) συ(x h 0h h) συx συχσυh h 0h ημχημh συχ h συh συχ 0h h - ημh ημχ h συχ 0 ημχ ημχ

21 π Πρτήρηση: Α η γωί χ τυ ημχ κι συχ είι σε μίρες τότε: (ημχ) = συχ κι 80 π (συχ) = ημχ 80 Α ι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιμες στ χ, τότε: (f+g) (x )=f (x )+g (x ) Κόες πργώγισης Aπόδειξη: (f g)' (x (f g)(x) (f )g ) ( )g x ( x) ) xx xx xx xx 0 0 xx )f ( )g xf ( )f xg x ( ) )g xf x ( ) x xg ) ( f' (x ) g' (x xx 0 xx xx xx 0 xx xx (fg) (x )=f (x )g(x )+f(x )g (x ) (cf) (x )=cf (x ) ' f g )x( ( x ) x, N )x( 'g)x(f)x(g)x( ' f )x(g Aπόδειξη: Έστω η συάρτηση f( x) x, κι ισχύει, δηλδή f ( x) x N. Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στ ( x ) x Πράγμτι, γι κάθε x έχυμε: () x ( x ) x ( x ) x x ( x ) x. Είδμε, όμως, πι πρι ότι Z {0,}, τότε γι κάθε φυσικό ( x ). ( x ) x x N. Επμέως,

22 ( x) συ x Aπόδειξη: Έστω η συάρτηση f( x) x. Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στ { x συx 0} κι ισχύει f ( x), δηλδή ( x) συ x συ x Πράγμτι, γι κάθε x έχυμε: ημ x (ημ x) συx ημ x(συ x) συxσυ x ημxημx (εφ x) συx συ x συ x συ x ημ x. συ x συ x Πίκς πργώγω σικώ συρτήσεω Συάρτηση Πράγωγς Συάρτηση Πράγωγς c 0 e x e x x lnx x x χ - χ χ ln x lg χ x x ln ημχ συχ εφχ συχ -ημχ σφχ χσ υ ημ χ Πράγωγς σύθετης συάρτησης Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στ χ κι η f είι πργωγίσιμη στ g(χ ), τότε η συάρτηση fg είι πργωγίσιμη στ χ κι ισχύει: ) f' (x ) (x'f g')g g. ( x (χ ) =χ -, με R-Z κι χ>0. Α y=χ =e alnx κι θέσυμε u=lnχ, τότε είι y=e u. Έχυμε: y =(e u ) =e u u =e alnx χ χ. χ χ ( χ ) = χ ln με >0 κι χr. Α y= χ =e χln κι θέσυμε u=χln, τότε είι y=e u. Έχυμε: y =(e u ) =e u u =e xlna lna= χ lna.

23 ln x ' με χr* x Α χ>0 τότε: (ln x ) =(lnx) = χ A x<0 τότε: : ln x =ln(-x), πότε θέσυμε y=ln(-x) κι u=-x έχυμε y=lnu. Επμέως: y =(lnu) = u u ( ). x x Ρυθμός μετλής Α δύ μετλητά μεγέθη χ, y συδέτι με τη σχέση f(x)=y, ότ f είι μί συάρτηση πργωγίσιμη στ χ, τότε μάζυμε ρυθμό μετλής τυ y ως πρς τ χ στ σημεί χ τη πράγωγ f (x ). Ο ρυθμός μετλής τυ διστήμτς s ως πρς τ χρό t τη χρική στιγμή t είι η πράγωγς s (t ) κι λέγετι τχύτητ u(t ). Επίσης έ κιητό κιείτι πρς τ δεξιά κτά στ t ότ u(t ) 0, εώ κιείτι πρς τ ριστερά ότ u(t ) 0. Ο ρυθμός μετλής της τχύτητς u ως πρς τ χρό t τη χρική στιγμή t είι η πράγωγς u (t ) κι λέγετι επιτάχυση (t ). Είι δηλ.: u(t )=s (t ) κι (t )=u (t )=s (t ). Θεώρημ Rlle Α μί συάρτηση f είι: συεχής στ κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στ ικτό διάστημ (,) f()=f() τότε υπάρχει έ τυλάχιστ, χ (,) τέτι ώστε: f (χ )=0 Γεωμετρική ερμηεί Θ. Rlle: Γεωμετρικά τ Θ. Rlle σημίει ότι υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f στ σημεί (χ,f(χ )) είι πράλληλη στ άξ χ χ.

24 Θεώρημ Μέσης Τιμής τυ Διφρικύ Λγισμύ Α μί συάρτηση f είι: συεχής στ κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στ ικτό διάστημ (,) τότε υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε: )x('f (f (f) ). Γεωμετρική ερμηεί Θ.Μ.Τ.: Γεωμετρικά τ Θ.Μ.Τ. σημίει ότι υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f στ σημεί (χ,f(χ )) είι πράλληλη στη ευθεί ΑΒ με Α(,f()) κι Β(,f()). Πρτηρήσεις: Η πρώτη συθήκη τυ Θ. Rlle κι τυ Θ.Μ.Τ. μπρεί τικτστθεί πό τη συθήκη f συεχής στ κι φύ είι πργωγίσιμη (άρ κι συεχής) στ (,). Δεδμέες τις δύ πρώτες συθήκες τω πρπάω θεωρημάτω τ τίστρφ υτώ δε ισχύυ. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Α: η f είι συεχής στ Δ f (χ)=0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ τότε η f είι στθερή σ όλ τ διάστημ Δ. Συέπειες τυ Θ.Μ.Τ. Έστω χ, χδ. Α χ=χ τότε f(x)=f(x) δηλδή η f είι στθερή. Α χ<χ τότε η f ικπιεί τις πρϋπθέσεις τυ Θ.Μ.Τ. στ [χ,χ]. Επμέως υπάρχει χ(χ,χ) τέτι ώστε: f' (x ) f χ f χ. χχ Όμως χ(χ,χ) πότε η f είι στθερή. )f ( x)f ( x f' (x 0) )f, δηλδή x)f xx Α χ>χ μίως πδεικύετι ότι f(x)=f(x), δηλδή η f στθερή. Άρ σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f(x)=f(x), δηλδή η f στθερή.

25 Έστω δύ συρτήσεις f, g ρισμέες σ έ διάστημ Δ. Α: ι f, g είι συεχείς στ Δ f (x)=g (x) γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτι ώστε γι κάθε χδ ισχύει: f(x)=g(x)+c. Έστω f-g συάρτηση η πί είι συεχής στ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημεί χδ ισχύει: (f-g) (x)=f (x)-g (x)=0. Tότε η συάρτηση f-g είι στθερή στ Δ, πότε υπάρχει στθερά c τέτι ώστε γι κάθε χδ ισχύει f(x)-g(x)=c f(x)=g(x)+c. Πρτήρηση: Τ πρπάω ισχύυ σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω. Mτί συάρτησης Έστω μί συάρτηση f η πί είι συεχής σ έ διάστημ Δ. Α f (x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι γησίως ύξυσ στ Δ. Α f (x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι γησίως φθίυσ στ Δ. Έστω χ, χδ με χ<χ. Η f ικπιεί τις πρϋπθέσεις τυ Θ.Μ.Τ., επμέως υπάρχει χ(χ, χ) τέτι ώστε: Όμως είι: )f ( x)f ( x f' (x ) f' (x )(x )f. ( x)f xx f' (x 0) f' (x )(x 0xx Δηλδή γι χ<χ πρκύπτει f(x)<f(x) πότε η f είι γησίως ύξυσ. )f ( Πρόμι είι κι η πόδειξη στη περίπτωση της γησίως φθίυσς. Πρτηρήση: Α μί συεχής συάρτηση f κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ είι γησίως ύξυσ (τίστιχ γησίως φθίυσ) στ Δ τότε f (χ) 0 (τίστιχ f (χ) 0) (εφόσ δε υπάρχει υπδιάστημ τυ Δ στ πί η f είι στθερή, δηλ. η f μηδείζετι σε δικεκριμέες θέσεις πεπερσμέυ πλήθυς ή μη). Μί συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α, θ λέμε ότι πρυσιάζει στ χ Α τπικό μέγιστ, ότ υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: f(x) f(x ) γι κάθε χ A (χ -δ,χ +δ) Τ χ λέγετι θέση ή σημεί τπικύ μέγιστυ, εώ τ f(χ ) τπικό μέγιστ της f. Α η ισότητ f(χ) f(χ ) ισχύει γι κάθε χα, τότε η f πρυσιάζει στ χ λικό μέγιστ ή πλά μέγιστ τ f(χ ). Τπικά κρόττ συάρτησης

26 Μί συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α, θ λέμε ότι πρυσιάζει στ χ Α τπικό ελάχιστ, ότ υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: f(x) f(x ) γι κάθε χ A (χ -δ,χ +δ) Τ χ λέγετι θέση ή σημεί τπικύ ελάχιστυ, εώ τ f(χ ) τπικό ελάχιστ της f. Α η ισότητ f(χ) f(χ ) ισχύει γι κάθε χα, τότε η f πρυσιάζει στ χ λικό ελάχιστ ή πλά ελάχιστ τ f(χ ). Πρτηρήσεις: Μί στθερή συάρτηση σ έ διάστημ Δ έχει σε κάθε σημεί τυ Δ τπικό κι λικό ελάχιστ κι μέγιστ. Κάθε λικό μέγιστ (ελάχιστ) είι κι τπικό μέγιστ (ελάχιστ). Τ τίστρφ δε ισχύει. Έ τπικό μέγιστ (ελάχιστ) μπρεί είι μικρότερ (μεγλύτερ) πό έ τπικό ελάχιστ (μέγιστ). Τ μεγλύτερ (μικρότερ) πό τ τπικά μέγιστ (ελάχιστ) μις συεχύς συάρτησης σ έ ιχτό διάστημ δε είι πάτ λικό μέγιστ (ελάχιστ). Α μι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ, τότε τ μεγλύτερ (μικρότερ) πό τ τπικά μέγιστ (ελάχιστ) είι λικό μέγιστ (ελάχιστ). Α μί συάρτηση συεχής σε ιχτό διάστημ είι γησίως μότη τότε δε έχει τπικά κρόττ. Α μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ Δ (τ Δ δε είι έωση διστημάτω) δε έχει τπικά κρόττ, τότε είι γησίως μότη. Α μί συεχής συάρτηση σε ιχτό διάστημ έχει μδικό τπικό κρόττ τότε είι λικό.

27 Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ Δ κι χ έ εσωτερικό σημεί τυ Δ. Α η f πρυσιάζει τπικό κρόττ στ χ κι είι πργωγίσιμη στ σημεί υτό, τότε: f (χ )=0. Θεώρημ Fermat Έστω ότι η f πρυσιάζει στ χ τπικό μέγιστ. Επειδή τ χ είι εσωτερικό σημεί τυ Δ κι η f πρυσιάζει σ υτό τπικό μέγιστ, υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: (χ-δ,χ+δ) Δ κι f(x) f(x) γι κάθε χ(χ-δ,χ+δ). Αφύ η f είι πργωγίσιμη στ χ ισχύει: f' (x ) xx Δικρίυμε τις περιπτώσεις: )f ( )f xf ( x xf ) ( x ) xx xx xx )f ( xf ( )f x ) ( xf ( Α χ(χ-δ,χ) τότε: 0, πότε f' (x ) 0 () xx xx xx )f ( xf ( )f x ) ( xf Α χ(χ,χ+δ) τότε: 0, πότε f' (x ) 0 () xx xx xx Από τις () κι () πρκύπτει ότι f (χ)=0. Αάλγη είι η πόδειξη γι τπικό ελάχιστ. y f(x ) Ο x x -δ x +δ x Πρσδιρισμός τπικώ κρόττω Από τ θεώρημ Fermat πρκύπτει ότι τ εσωτερικά σημεί τυ Δ, στ πί η f είι διφρετική πό τ μηδέ, δε είι θέσεις τπικώ κρτάτω. Επμέως ι πιθές θέσεις τπικώ κρτάτω μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η πράγωγς μηδείζετι (στάσιμ σημεί), τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η f δε πργωγίζετι (γωικά σημεί), τ άκρ τυ Δ ( ήκυ στ πεδί ρισμύ της f). Τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η πράγωγς μηδείζετι ή δε πργωγίζετι (δηλ. τ στάσιμ κι τ γωικά σημεί) λέγτι κρίσιμ σημεί.

28 Κριτήρι πρώτης πργώγυ: Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ, ),( με εξίρεση ίσως έ σημεί τυ x 0, στ πί όμως η f είι συεχής. i) Α xfστ 0)( x 0 ),( κι xfστ 0)( x 0 ),(, τότε τ 0xfείι )( τπικό μέγιστ της f. (Σχ. 35) ii) Α xfστ 0)( x 0 ),( κι xfστ 0)( x 0 ),(, τότε τ 0xfείι )( τπικό ελάχιστ της f. (Σχ. 35) iii) A η )(xf διτηρεί πρόσημ στ 0 0 xx ),(),(, τότε τ xfδε 0 )( είι τπικό κρόττ κι η f είι γησίως μότη στ. ),( (Σχ. 35γ). i) Eπειδή xfγι 0)( κάθε x x 0 ),( κι η f είι συεχής στ x 0, η f είι ii) γησίως ύξυσ στ ],(. Έτσι έχυμε x 0 0xfxf )()(, γι κάθε x x 0 ],(. () Επειδή xfγι 0)( κάθε xx 0 ),( κι η f είι συεχής στ x 0, η f είι γησίως φθίυσ στ x ),[. Έτσι έχυμε: 0 0xfxf )()(, γι κάθε xx 0 ),[. () y f >0 f <0 y f >0 f <0 35a f(x 0 ) f(x 0 ) O a x 0 x O a x 0 x Επμέως, λόγω τω () κι (), ισχύει: 0xfxf )()(, γι κάθε x ),(, πυ σημίει ότι τ xfείι 0 )( μέγιστ της f στ κι ),( άρ τπικό μέγιστ υτής. ii) Εργζόμστε λόγως. y y 35 f <0 f >0 f <0 f >0 O ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ a x 0 x O a x 0 x iii) Έστω ότι xf, 0)( γι κάθε x. xx ),(),( 00

29 y f >0 y f >0 35γ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ f >0 f >0 O a x 0 x O a x 0 x Επειδή η f είι συεχής στ x 0 θ είι γησίως ύξυσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ x 0 ],( κι x 0 ),[. Επμέως, γι ισχύει xxx 0 0. xfxfxf )()()( Άρ τ xfδε 0 )( είι τπικό κρόττ της f. Θ δείξυμε, τώρ, ότι η f είι γησίως ύξυσ στ. ),( Πράγμτι, έστω xx ),(, με xx. Α xx ],(,, επειδή η f είι γησίως ύξυσ στ ],(, θ ισχύει x 0 )()( xfxf. Α xxx ),[,, επειδή η f είι γησίως ύξυσ στ x ),[, θ ισχύει )()( xfxf. 0 Τέλς, xxx 0, τότε όπως είδμε 0. xfxfxf )()()( x 0 0 Επμέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει xfxf )()(, πότε η f είι γησίως ύξυσ στ. ),( Ομίως, xfγι 0)( κάθε. xx ),(),( 00 Έστω μί συάρτηση f συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ θ λέμε ότι: Η συάρτηση f στρέφει τ κίλ πρς τ άω ή είι κυρτή στ Δ, η f είι γησίως ύξυσ στ εσωτερικό τυ Δ. Η συάρτηση f στρέφει τ κίλ πρς τ κάτω ή είι κίλη στ Δ, η f είι γησίως φθίυσ στ εσωτερικό τυ Δ. Έστω μί συάρτηση f συεχής σ έ διάστημ Δ δύ φρές πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ. Α f (χ)>0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι κυρτή στ Δ. Α f (χ)<0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι κίλη στ Δ. Α μί συάρτηση f είι κυρτή (τιστίχως κίλη) σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημεί τυ Δ ρίσκετι κάτω (τιστίχως πάω) πό τη γρφική πράστση της f με εξίρεση τ σημεί επφής τυς. Πρτηρήσεις: Μι κυρτή ή κίλη συάρτηση σ έ διάστημ Δ είι συεχής στ Δ κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ. Κυρτότητ συάρτησης

30 Α μι συάρτηση f είι κυρτή (κίλη) κι δύ φρές πργωγίσιμη σ έ διάστημ (,) τότε f (χ) 0 (f (χ) 0) γι κάθε χ(,). Έστω μί συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έ σημεί τυ χ. Α: η f είι κυρτή στ (,χ ) κι κίλη στ (χ,) ή τιστρόφως κι η c f έχει εφπτμέη στ σημεί Α(χ,f(χ )) τότε τ σημεί Α(χ,f(χ )) μάζετι σημεί κμπής της γρφικής πράστσης της f κι λέμε ότι η f πρυσιάζει κμπή στ χ. Α τ Α(χ,f(χ )) είι σημεί κμπής της c f κι η f είι δύ φρές πργωγίσιμη, τότε f (χ )=0. Από τ πρπάω πρκύπτει ότι τ εσωτερικά σημεί τυ Δ, στ πί η f είι διφρετική πό τ μηδέ, δε είι θέσεις σημείω κμπής. Επμέως ι πιθές θέσεις σημείω κμπής μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η f μηδείζετι, τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί δε υπάρχει η f. Α μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ (,) κι χ (,) κι: η f λλάζει πρόσημ εκτέρωθε τυ χ κι ρίζετι η εφπτμέη της c f στ Α(χ,f(χ )), τότε τ Α(χ,f(χ )) είι σημεί κμπής. Σημεί κμπής συάρτησης Πρσδιρισμός σημείω κμπής Πρτηρήσεις: Τ σημεί κμπής είι μό σε εσωτερικά σημεί διστημάτω τυ πεδίυ ρισμύ. Α τ (χ, f(χ)) είι σημεί κμπής μις συάρτησης f τότε η f είι πργωγίσιμη σ έ διάστημ πυ περιέχει τ χ κι η f διτηρεί διφρετικό είδς μτίς εκτέρωθε τυ χ στ διάστημ υτό. Στ σημεί κμπής η εφπτμέη της Cf «διπερά» τη κμπύλη. Α έ τυλάχιστ πό τ όρι Α xx λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της c f. x )x(f R (τιστίχως x σύμπτωτη της c f στ + (τιστίχως στ ). )x(f, )x(f είι, τότε η ευθεί χ=χ xx )x(f ), τότε η ευθεί y= λέγετι ριζότι Α λ()x(f x 0) (τιστίχως λ()x(f x 0) x Ασύμπτωτες συάρτησης x λέγετι πλάγι σύμπτωτη της c f στ (τιστίχως στ ). ), τότε η ευθεί y=λχ+

31 Πρτήρηση: Η διφρά f(χ) (λχ+) εκφράζει τη κτκόρυφη πόστση στη θέση χ τω συρτήσεω f(χ) κι y=λχ+. Η ευθεί y=λχ+ είι πλάγι σύμπτωτη της c f στ +, τιστίχως στ, κι μό : λ= τιστίχως λ= x x )x(f x )x(f x κι = λχ x κι = λχ x )x(f, λ,r )x(f, λ,r Πρτήρηση: Στη περίπτωση πυ λ=0 έχυμε ριζότι σύμπτωτη. Οι πλυωυμικές συρτήσεις θμύ μεγλύτερυ ή ίσυ τυ δε έχυ σύμπτωτες. Οι ρητές συρτήσεις )x(p, με θμό τυ Ρ(χ) μεγλύτερ τυλάχιστ κτά δύ )x(q τυ θμύ τυ πρμστή, δε έχυ πλάγιες σύμπτωτες. Ασύμπωτες μις συάρτησης f ζητύμε: στ άκρ τω διστημάτω τυ πεδίυ ρισμύ της στ πί η f δε ρίζετι. στ σημεί τυ πεδίυ ρισμύ της, στ πί η f δε είι συεχής, στ, εφόσ η συάρτηση είι ρισμέη σε διάστημ της μρφής (,+ ), τιστίχως (,). Α γι δύ πργωγίσιμες συρτήσεις f κι g κτά στ χ ισχύει xx xx 0)x(g (ή )x(f κι xx )x('f (πεπερσμέ ή άπειρ) τότε: )x('g Εύρεση πλάγις σύμπτωτης Συμπεράσμτ ρισμώ τω σύμπτωτω Κόες de L Hspital xx )x(g )x(f )x(g xx xx ), χ R )x('f )x('g xx, κι υπάρχει τ 0)x( κι f Πρτηρήσεις: Στ πρπάω κό ι f,g είι πργωγίσιμες με g (χ) 0 κτά στ χ. Οι f,g μπρεί μη είι πργωγίσιμες ή κι μη ρίζτι στ χ ότ χr. Τ θεώρημ de L Hspital ισχύει κι γι πλευρικά όρι κι μπρύμε, χρειάζετι, τ εφρμόσυμε περισσότερες φρές, ρκεί πληρύτι ι πρϋπθέσεις τυς.

32 Έστω f μί συάρτηση ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Αρχική συάρτηση ή πράγυσ συάρτηση της f στ Δ μάζετι κάθε συάρτηση F πυ είι πργωγίσιμη στ Δ κι ισχύει: F (χ)=f(x) γι κάθε χδ. Έστω f μί συάρτηση ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Α F είι μί πράγυσ της f στ Δ, τότε: όλες ι συρτήσεις της μρφής G(x)=F(x)+c, cr είι πράγυσες της f στ Δ, κάθε άλλη πράγυσ G της f στ Δ πίρει τη μρφή G(x)=F(x)+c, cr. Κάθε συάρτηση της μρφής G(x)=F(x)+c, cr είι μί πράγυσ της f στ Δ φύ: Aρχική συάρτηση ή πράγυσ συάρτηση G (x)=(f(x)+c) =F (x)=f(x) γι κάθε χδ. Έστω G μί πράγυσ της f στ Δ. Τότε γι κάθε χδ ισχύυ: F' (x) f(x) F' (x) G' cf, γι κάθε χδ. ( x )G G' (x) f(x) Ορισμέ λκλήρωμ Έστω μί συάρτηση f συεχής στ [,]. Με τ σημεί =χ <χ <χ < <χ = χωρίζυμε τ [,] σε ισμήκη υπδιστήμτ μήκυς Δχ=. Στη συέχει επιλέγυμε υθίρετ έ ξ κ[χ κ-,χ κ], γι κάθε κ{,,,} κι σχημτίζυμε τ άθρισμ S = κ ξ(f ) χδ. Τ όρι S μάζετι ρισμέ λκλήρωμ της f κ πό τ στ κι συμλίζετι: )x(f dx S. Έστω f, g συεχείς συρτήσεις στ Δ με,,γδ με <γ< κι λ,μr. Τότε ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: Ιδιότητες ρισμέυ λκληρώμτς )x(f dx )x(f dx )x(f dx 0

33 λ )x(f dx λ )x(f dx )x(g)x(f dx )x(f dx )x(g dx λ )x(f μ )x(g dx λ )x(f dx μ )x(g dx γ )x(f dx ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ )x(f dx )x(f dx γ Α f(χ) 0, τότε )x(f dx 0 Α f(χ) 0 κι η f δε είι πτύ μηδέ στ [,] τότε )x(f dx 0 c d (c x ) γι πιδήπτε cr. Πρτηρήσεις: Ισχύει: f(u)du f(x)dx. Η έκφρση: «f(χ) 0 κι η f δε είι πτύ μηδέ στ [,]» ισδυμεί με τη έκφρση: «υπάρχει κ[,] με f(κ)>0». Α c>0 τότε τ cdx εκφράζει τ εμδό εός ρθγωίυ με άση (-) κι ύψς c. Η συάρτηση F(x)= x f(t)dt Α f μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι είι έ σημεί τυ Δ, τότε η συάρτηση F(x)= χ )t(f, dt xδ είι μί πράγυσ της f στ Δ, δηλδή ισχύει: χ F (x)= ' )t(f dt =f(x), γι κάθε χδ

34 Σχόλι: Α Ε(Ω) είι τ εμδό τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f κι τ άξ χ χ πό χ έως χ+h με h>0 τότε τ συμπέρσμ τω πρπάω πρκύπτει ως εξής: F(x+h)-F(x)= hx )x(f)h )t(f dt Ω(E h)x(f) γι μικρά h>0 πότε )x(f. h x Άρ: F (χ)= 0h )x(f)h )x(f. h )x(g Γεικότερ ισχύει: F (x)= )t(f dt =f(g(χ))g (x), με τη πρϋπόθεση ότι τ χρησιμπιύμε σύμλ έχυ όημ. ' Πρτήρηση: Η εξάρτητη μετλητή της F είι η χδ, εώ η μετλητή t είι η μετλητή λκλήρωσης η πί ρίσκετι πάτ στ διάστημ [,χ] ή [χ,]. Τ κι χ τ πίρυμε πάτ στ ίδι διάστημ στ πί η f είι συεχής. Θεμελιώδες Θεώρημ τυ Ολκληρωτικύ Λγισμύ Έστω f μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [,]. Α G είι μί πράγυσ της f στ [,], τότε: )x(f=g()-g(). dx χ Έστω F(x)= f(t)dt μί πράγυσ της f στ [,]. Επειδή κι η G είι μί πράγυσ της f στ [,], θ υπάρχει cr τέτι ώστε: G(x)=F(x)+c () Γι χ= η () γράφετι: G()=F()+c= f(t)dt +c=0+c=c c=g(). Άρ: G(x)=F(x)+G() () Γι χ= η () γράφετι: G()=F()+G() F()=G() G() f(t)dt =G() G()

35 Μέθδι λκλήρωσης ρισμέυ λκληρώμτς ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Έστω δύ συρτήσεις f,g συεχείς στ [,] κι f, g συεχείς στ [,]. Τότε: Ολκλήρωση κτά πράγτες: )x('g)x(f dx )x(g)x('f dx )x(g)x(f Ολκλήρωση με τικτάστση: )x('g)x(gf dx du)u(f, όπυ u=g(x) κι du=g (x)dx, u =g(), u =g(). u u Πρτήρηση: Ο τύπς της λκλήρωσης με λλγή μετλητής ισχύει ότ η συάρτηση g είι στ διάστημ [,]. Εμδό επίπεδυ χωρίυ Α μι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστημ [,] κι ( ) 0 x,, τότε τ εμδό τυ f x γι κάθε χωρίυ Ω πυ ρίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες x=, χ= κι τ άξ χ χ είι E( ) f( x) dx Έστω, τώρ, δυ συρτήσεις f κι g, συεχείς στ διάστημ [,] με f( x) g( x) 0 x, κι Ω τ χωρί πυ περικλείετι πό τις γι κάθε γρφικές πρστάσεις τω f,g κι τις ευθείες χ= κι χ= (Σχ. ). Πρτηρύμε ότι Ε(Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) fxdx ( ) gxdx ( ) ( fx ( ) gx ( )) dx Επμέως, E( ) ( f( x) g( x)) dx () Ο τύπς () ρέθηκε με τη πρϋπόθεση ότι: (i) fx ( ) gx ( ) γι κάθε x, κι (ii) ι f κι g είι μη ρητικές στ [,]. y y=f(x) Ω y=g(x) O () x

36 Ο τύπς () ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση (ii). Πράγμτι, επειδή ι συρτήσεις είι συεχείς στ, θ υπάρχει ριθμός c τέτις ώστε fx ( ) c gx ( ) c 0, γι κάθε x,. Είι φερό ότι τ χωρί Ω (Σχ. 0) έχει τ ίδι εμδό με τ χωρί Ω (Σχ. 0). Επμέως, σύμφω με τ τύπ (), έχυμε: Ε(Ω) Ε(Ω ) [( fx ( ) c ) ( gx ( ) c )] dx ( fx ( ) gx ( )) dx. Άρ, E(Ω) ( f( x) g( x)) dx y y y=f(x)+c 0 Ω y=f(x) Ω y=g(x)+c ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ O x O x y=g(x) () () Με τη ήθει τυ πρηγύμευ τύπυ μπρύμε υπλγίσυμε τ εμδό τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τ άξ χ χ, τη γρφική πράστση μις συάρτησης g, με gx ( ) 0 γι κάθε x, κι τις ευθείες χ= κι χ= (Σχ. ). Πράγμτι, επειδή άξς χ χ είι η γρφική πράστση της συάρτησης fx ( ) 0, έχυμε y E(Ω) ( f( x) g( x)) dx [ g( x)] dx g( x) dx x O Επμέως, γι μι συάρτηση g ισχύει gx ( ) 0 Ω γι κάθε x,, τότε E(Ω) g( x) dx y=g(x) Ότ η διφρά fx ( ) gx ( ) δε διτηρεί στθερό πρόσημ στ,, όπως στ Σχήμ 3, τότε τ εμδό τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τις γρφικές

37 πρστάσεις τω f,g κι τις ευθείες χ= κι χ= είι ίσ με τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω Ω, Ω κι Ω 3. Δηλδή, y Ω y=g(x) Ω y=f(x) Ω 3 O γ δ x Ε(Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) Ε(Ω ) γ 3 ( fx ( ) gx ( )) dx ( gx ( ) fx ( )) dx ( fx ( ) gx ( )) dx γ δ δ γ δ fx ( ) gx ( ) dx fx ( ) gx ( ) dx fx ( ) gx ( ) dx γ δ fx ( ) gx ( ) dx Επμέως, E( ) f( x) g( x) dx Σχόλι: Σύμφω με τ πρπάω τ f( x) dx είι ίσ με τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω πυ ρίσκτι πάω πό τ άξ x x μεί τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω πυ ρίσκτι κάτω πό τ άξ x x y Ο a ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ + + x

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος

Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος Μί γείκευση της Αιθμητικής κι της Γεμετικής πόδυ - Ο Στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Δ. Πγιώτης Λ. Θεδόπυς Σχικός Σύμυς κάδυ ΠΕ0 www.p-theodoropoulos.gr Πείηψη Στη εγσί υτή μεετάτι η ειδική κτηγί τ κυθιώ όπυ

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR Σερίφης Κωννος Α. Βσικές γνώσεις Τυτότητες ± ) ± + ± ) 3 3 ± 3 +3 ± 3 + ± ) ++γ) + +γ ++γ+γ - -)+) 3-3 -) ++ ) ν - ν -) ν- + ν- + + ν- + ν- ) 3 + 3 +) -+ ) ν + ν +) ν- - ν- + - ν- + ν- ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ν ΠΕΡΙΤΤΟ.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΘΗΜΤΙΚΝ (+) = ++ (-) = -+ - = (-)(+) (+) 3 = 3 +3 +3 + 3 (-) 3 = 3-3 +3-3 - =(-)( - + - + + - ) πριττός + =(+)( - - - + - - ) ΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ = - < - - + + γι θ>:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα