Un rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene
|
|
- Κλεοπάτρα Βούλγαρης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Un rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene Ingrid Beltiţă si Anders Melin Raport pentru contractul CEx-18 MDDS, faza octombrie 27 Introducere Consideram operatorii Schrödinger H v = v, unde v L q comp(r n ), q > n. In acest caz, operatorii de unda W ± = lim e t ± eithv ith exista si sunt completi completi si se poate defini matricea de scattering. Transformarea de backscattering v Bv pe care o consideram este, in afara unui termen neted dat de functiile proprii ale operatorului H v, transformata Fourier a partii antidiagonale a matricii de scattering (datele de backscattering). Atunci, daca v C (R n ), aplicatia λ B(λv) C (R n ) este intreaga analitica si exista operatorii N-liniari B N definiti pe C (R n ) cu valori in C (R n ) astfel incat B(λv) = λ N B N (v), 1 unde B N (v) = B N (v,, v). S-a aratat ca B N v este mult mai regulat decat v in cazul in care N este mare ([M3]). Mai precis, daca n 3 este impar, q > n, k N, atunci exista N suficient de mare, depinzand doar de n, q si k astfel incat daca Ω 1, Ω 2 sunt multimi deschise in R N, exista C = C(k, Ω 1, Ω 2, q) astfel incat k B N v L2 (Ω 1) C N v N L q/n!, pentru orice v L q cu supp v Ω 2 si pentru orice N N. Ramane deci de studiat ce se intampla cu termenii de ordin N mic, si de asemenea pentru v care nu are neaparat suport compact. Ne propunem sa stabilim estimari in spatii L 2 -Sobolev cu pondere pentru B N in dimensiuni impare arbitrare, iar dupa cum arata teorema de mai sus, un bun inceput este studiul termenilor de ordin mic. Cazul N = 2 face obiectul unui alt articol. Prezentul proiect isi propune obtinerea unor estimari in cazul N = 3. Fie E(y, z) = 4 1 (iπ) 1 n δ (n 2) ( y 2 z 2 ) solutia unica a operatorului ultra-hiperbolic y z care satisface: E(y, z) = E(z, y), iar E(y, z) este invarianta la rotatii separat in ambele variabile (a se vedea Corollary 1.2 of [M4]). 1
2 Pentru 1 j < k 3 definim E (j,k) (x 1, x 2, x 3 ) = E 2 (x j, x k ) δ(x l ), unde {j, k, l} = {1, 2, 3}. Cum E 2 (x, y) este suportata pe multimea unde x = y se vede ca putem defini: E 3 = E (1,2) (E (1,3) E (2,3) ). Aceasta este o distributie omogena de ordin 3n + 4 cu suportul in multimea {(x 1, x 2, x 3 ) x 3 = x 1 + x 2 }. Se poate atunci arata ca (B 3 v)(x) = E 3 (x 1, x 2, x 3 )v(x 1 2 (x 1 + x 2 + x 3 )) v(x 1 2 ( x 1 + x 2 + x 3 ))v(x 1 2 (x 1 x 2 + x 3 )) dx 1 dx 2 dx 3 cand v C (R n ), unde integrala este interpretata in sensul distributiilor. Prezentul raport prezinta rezultate de teoria distributiilor care sunt utilizate pentru a studia in detaliu distributia E 3. In prima sectiune este introdusa o clasa de distributii pentru care se demonstreaza un rezultat de uniciate care generalizeaza intr-un anumit sens distributiile omogene. Mai precis, daca X este o submultime din R m care este o reuniune de subspatii ale lui R m, este introdusa o conditie de regularitate in raport cu aceasta multime X astfel incat o distribuite definita pe R m \X care satisface aceasta conditie se poate extinde in mod unic la R m. Un caz particular il constituie X = {} si distributiile omogene de ordin a > m. Al doilea rezultat continut in acest raport este o descompunere a unei clase de distributii omogene intr-o integrala de distributii ale caror suport poate fi controlat cu usurinta. Acesta este un pas tehnic in demonstrarea estimarilor in spatii Sobolev cu pondere, care inlocuieste o buna partitie a unitatii, si care permite controlul cresterilor in timp ce sunt estimate singularitatile. Primul rezultat prezentat mai sus arata ca distribuitia E 3 este o combinatie liniara de forma ϑ j 3 ( x 1 k+1 n x 2 l+1 n x 3 k l Y 1 ( x 3 x 1 x 2 ) (.1) unde j k + l + (n 1)/2, k, l (n 1)/2 Y 1 (s) = s cand s si Y 1 (s) = cand s <, iar ϑ 3 = x 3, x3. Descompunerea prezentata in sectiunea 3 permite obtinerea unei forme mai simple pentru partea din B 3 v corespunzatoare fiecarui termen din (.1). Cateva notatii. Fie n 2 intreg. Notam si definim Ṙ n = R n \ Ω = Ṙn Ṙn Ṙn. Vom folosi de asemenea notatia x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3n unde x j R n, j = 1, 2, 3, si ˆx = x/ x cand x R n. De asemenea ϑ = x, x, iar eventualii indici arata variabila in care este aplicat acest operator. 2
3 1 Un rezultat de unicitate pentru distributii Fie V un spatiu liniar real m-dimensional impreuna cu o submultime X V care este o reuniune finita de subspatii. Vom introduce o conditie pentru u D (V ) astfel incat u este unic determinata de restrictia sa la V \ X. O situatie tipica este aceea cand V = R m si X = {}. Atunci, daca u este omogena de grad a, unde a nu este un intreg m, stim ca u este unic determinata de restrictia sa la V \ X. Un subspatiu liniar Y continut in X se numeste maximal pentru X daca Y nu este continut strict in nici un alt subspatiu liniar propriu al lui X. in X. Fie X 1,..., X N subspatiile liniare maximale ale lui V. (Daca X este reuniunea finita ale subspatiilor liniare Y k atunci subspatiile X j se gasesc printre Y k. Aceasta deoarece orice subpatiu liniar Y continut in X satisface Y = k (Y Y k ) deci Y trebuie sa fie continut intr-un Y k pentru un anume k.) Daca L este un camp vectorial pe V, spunem ca L este tangential la X daca L(v) ia valori in X j ori de cate ori v X j. Daca L este neted aceasta conditie nu inseamna altceva decat ca L este tangential, in sensul obisnuit, la orice v V pentru care X este o subvarietate neteda a lui V intr-o vecinatate a lui v. Spatiul L(V ) al aplicatiilor liniare pe V poate fi vazut ca spatiul campurilor vectoriale pe V ale caror coeficienti sunt forme liniare pe V. Daca A L(V ) este privit ca operator diferential si f C (V ), avem Af(v) = d dt f(v + tav) t=. Observam ca A L(V ) este tangential la X daca si numai daca subspatiile X j sunt subspatii invariante pentru A. Spatiul acestor A L(V ) este notat L X (V ). Consideram A X (V ) subalgebra algebrei Weyl A(V ) generata de 1 si L X (V ). Fie Π j : V V/X j proiectiile canonice si D j imaginea lui C (V/X j ) prin aplicatia f f Π j. Notam cu C(X) (V ) (sau D X (V )) subinelul fara unitate al lui C (V ) generat de D j. Intrucat aplicatiile Π j sunt liniare, rezulta ca spatiile D j, si deci si C (X) (V ), sunt invariante la dilatari. Lema 1.1. Exista f C(X) (V ) and supp(g) V \ X astfel incat 1 = f + g. Mai mult, A X (V )C(X) (V ) C (X)(V ). Dem. Alegem χ j C (V/X j ) astfel incat χ j = 1 intr-o vecinatate a lui si definim f j = χ j Π j, g j = 1 f j. Atunci N 1 = (f j + g j ) = f + g, 1 unde f C (X) (V ) iar g = g j are suport in complementara multimii X. Aceasta demonstreaza prima parte a lemei. Consideram A L X (V ). Daca A j : V/X j V/X j este aplicatia indusa de A, atunci Π j A = A j Π j, iar daca A si A j sunt priviti ca operatori diferenţiali, rezulta ca A(ϕ Π j ) = (A j ϕ) Π j cand ϕ C (V/X j ). Aceasta demonstreaza ca spaţiile D j sunt invariante la L X (V ), deci la A X (V ). Aplicari repetate ale formulei lui Leibniz arata atunci ca D X (V ) este invariant la A X (V ). Definitie. O distributie u D (V ) se numeste X-regulata (in origine) daca pentru orie f D X (V ) avem ca f(v/ε)u in D (V ) cand ε. 3
4 Lema 1.2. Daca u D (V ) este X-regulata in origine, atunci Qu este de asemenea X regulata in origine pentru orice Q A X (V ). In plus, daca u L 1 loc (V ), atunci u este X-regulata in origine. Dem. Notam f ε (v) = f(v/ε) pentru f C (V ) si observam ca (Af) ε = Af ε, unde A L(V ) este din nou privit ca operator diferential. Presupunem ca f D (X) (V ), A L X (V ) si scriem f ε (Au) = A(f ε u) (Af) ε u, unde u D (V ) este X-regulata in origine. Intrucat Af D (X) (V ), din lema 1.1 rezulta ca termenul din partea dreapta a egalitatii de mai sus tinde la in D (V ) cand ε. Deci Au este X-regulata in origine. Cum A X (V ) este generata de L X (V ), am demonstrat prima afirmatie din teorema. Cea de-a doua afirmatie rezulta din teorema Lebesgue de convergenta dominata, intrucat din f D X (V ) rezulta ca f este marginita si f(v/ε) a.p.t cand ε. Este usor de verificat ca daca X = {} iar u D (V ) este omogena de grad a > m, atunci u este X-regulata in origine. Pentru distributiile X-regulate putem demostra urmatorul rezultat de uniciate. Propozitie 1.3. Presupunem ca u D (V ) este X-regulata in origine si ca suportul sau este continut in X. Atunci u =. Dem. Vom folosi notatia din demostratia lemei precedente. Din lema 1.1 rezulta ca putem scrie 1 = f +g unde f D X (V ) si supp(g) V \ X. Atunci g ε u =, deci ceea ce incheie demonstratia. u = lim ε (f ε u + g ε u) = lim ε f ε u =, 2 O clasa de distributii omogene Consideram X = { x = (x 1, x 2, x 3 ) R n R n R n ; x 1 x 2 x 3 = }. (2.1) Atunci X este reuniunea subspatiilor X j = {x j = }, j = 1, 2, 3, care sunt subspatii maximale in X. Cu aceasta notatie avem Ω = (R n R n R n ) \ X. Pentru a 1, a 2, a 3 intregi si 1 p, notam prin Ha p 1,a 2,a 3 spatiul tuturor functiilor f(x 1, x 2, x 3 ) definite pe Ω astfel incat f este omogena de grad a j in variabila x j, j = 1, 2, 3, si f L p loc (Ω). Pentru µ intreg definim { Y (µ) Y + (x)x µ /( µ)! daca µ + (x) = δ (µ 1) (x) daca µ 1 si consideram u(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) (2.2) unde f H p a 1,a 2,a 3. In coordonate polare r j, ω j pentru x j distributia u are forma f(ω 1, ω 2, ω 3 )r a1+n 1 1 r a2+n 1 2 r a3+n 1 3 Y (µ) + (r 3 r 1 r 2 ), deci putem privi u ca si produsul tensorial al unei distributii in variabilele r j cu o distributie in variabilele ω j. Astfel u este bine definita pe Ω. 4
5 Lema 2.1. Presupunem ca a 1 + n >, a 2 + n >, a 1 + a 2 + a 3 + 3n > µ. (2.3) Atunci u se extinde in mod unic la o distributie X-regulata in R n R n R n. Dem. Unicitatea rezulta din propozitia 1.3. Presupunem intai ca µ. Intrucat r a1+n 1 1 r a2+n 1 2 r a3+n 1 3 (r 3 r 1 r 2 ) µ dr 1 dr 2 dr 3 r 1,r 2 r 3 R C 1 C 2 r 1,r 2 r 3 R R r a1+n 1 1 r a2+n 1 2 r a3+n 1 µ 3 dr 1 dr 2 dr 3 r a1+a2+a3+3n 1 µ 3 dr 3 C 3 R a1+a2+a3+3n µ cand R >, introducand coordonate polare si folosind omogeneitatea lui f, deducem ca u se extinde la o fuunctie local integrabila pe R n R n R n si deci la o distributie X-regulata. Pentru µ rationam prin inductie. Presupunem ca µ 1 si ca lema a fost demonstrata pentru valori mai mici ale lui µ. Scriem u = (ϑ a 3 )w, unde w(x 1, x 2, x 3 ) = g(x 1, x 2, x 3 )Y (µ 1), si g(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )/ x 3 satisface aceleasi conditii de omogenitate ca si f cu a 3 si µ inlocuite de a 3 1 si µ 1. Din ipoteza de inductie rezulta ca w se extinde la o distribuite X-regulata w definita pe tot spatiul si ca ũ = (ϑ c) w este extensia corespunzatoare a lui u. Aceasta extensie este X-regulata conform lemei 1.2. In ceea ce urmeaza, daca f H p a 1,a 2,a 3 si (2.3) este satisfacuta, vom nota f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) si extensia X-regulata a distributiei definita initial doar pe Ω. Definitie. Fie 1 p si µ, a 1, a 2, a 3 intregi astfel incat are loc (2.3). Spatiul Ha p,µ 1,a 2,a 3 toate distributiile in R n R n R n de forma unde f H p a 1,a 2,a 3. f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) consta din ca Presupunem ca µ, a j, b j, j = 1, 2, 3 sunt intregi si ca µ, b 1, b 2, b 3 satisfac (2.3). Presupunem in plus a 1 + b 1 + n >, a 2 + b 2 + n >, a 1 + a 2 + a 3 + b 1 + b 2 + b 3 + 3n > µ. 5
6 Fie 1 p, q astfel incat 1/p + 1/q = 1/r 1. Consideram u = g(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) unde g H q b 1,b 2,b 3. Daca f Ha p 1,a 2,a 3 vom nota cu fu unica distributie X-regulata care este egala cu f(x 1, x 2, x 3 )g(x 1, x 2, x 3 )Y pe Ω. In acest mod obtinem o aplicatie biliniara Avem de asemenea si aplicatiile liniare Ha p 1,a 2,a 3 H q,µ b 1,b 2,b 3 H r,µ a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3. (2.4) ϑ k a k : Ha p,µ 1,a 2,a 3 H p,µ+1 b 1,b 2,b 3, b j = a j + δ jk. (2.5) 3 Tehnici de descompunere pentru distributii din H p,µ a 1,a 2,a 3 Lema 3.1. Exista Ψ C (R n R n ) astfel incat 1/2 x j 2 pe suportul acestei functii, Ψ(x 1, x 2 ) este invarianta la rotatii separat in x 1 si x 2 si Dem. Observam mai intai ca si Ψ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) ) dt t dθ θ(1 θ) = 1 cand x 1, x 2. (3.1) ( x 1 + x 2 )/2 t 2( x 1 + x 2 ), x 1 4( x 1 + x 2 ) θ 1 x 2 4( x 1 + x 2 ) pe suportul integrandului din (3.1). Deci pentru orice multime compacta K din Ṙn Ṙn exista o multime compacta K R + (, 1) astfel incat suportul integrandului din (3.1) este continut in K cand (x 1, x 2 ) K. Alegem o functie Ψ in C (Ṙn Ṙn ), Ψ, cu suportul continut in multimea pe care 1/2 x j 2 si asftel incat Ψ depinde doar de x 1 si x 2. Definim Φ(x 1, x 2 ) = t 1 Ψ (x 1 /t, x 2 /t) dt. Atunci Φ C ((R n R n ) \ ) este omogena de grad and x 1 /4 x 2 4 x 1 pe suportul acesteia. Astfel Φ(x 1, x 2 ) = h( x 1 / x 2 ) cand x 2, unde h C (R) este suportata in intervalul (1/4, 4). Presupunem acum ca x 1, x 2 si punem ρ = x 1 / x 2. Atunci = 1 h(ρ 1 θ dθ ) θ θ(1 θ) = = Astfel (3.1) este adevarata pentru Ψ = Ψ /c. Ψ ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) ) dt t 1 h(ρs) ds s = h(ρ(1/θ 1)) dθ θ(1 θ) h(s) ds s = c >. 1 d(1 1/θ) 1/θ 1 6
7 Presupunem a 1 + n >, a 2 + n >, a 1 + a 2 + a 3 + 3n > µ, (3.2) unde a 1, a 2, a 3 si µ sunt intregi. Consideram si fie Ψ C (R n R n ) o functie ca in lema precedenta. Definim cand t > si < θ < 1. u p>1 H p,µ a 1,a 2,a 3 (3.3) ũ t,θ (x 1, x 2, x 3 ) = t 1 θ 1 (1 θ) 1 Ψ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) )u(x 1, x 2, x 3 ) (3.4) Lema 3.2. Presupunem ca (3.2) si(3.3) sunt adevarate. Atunci exista p (1, ) si L, N nenegative astfel incat ũ t,θ = ϑ j 3ũt,θ,j, < t, < θ < 1, j L unde x 3 N ũ t,θ,j L p (R n R n R n ) si x 3 N ũ t,θ,j L p dt dθ <, j L. (3.5) Mai mult x 1 + x 2 x 3 pe suportul lui ũ t,θ,j. Dem. Avem u(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) unde f H p a 1,a 2,a 3. Putem presupune p suficient de aproape de 1 pentru a garanta ca n + pa 1 >, n + pa 2 >, 3n + p(a 1 + a 2 + a 3 ) > µ. (3.6) Vom folosi aceeasi litera C pentru a nota diferite constante care depind numai de u. Presupunem intai ca µ =. Atunci, eventual inlocuind p cu un numar mai mic, daca este necesar, putem presupune ca pa 3 + n. Atunci ũ t,θ este o functie local integrabila astfel incat ũ t,θ (x 1, x 2, x 3 ) Ct 1 θ 1 (1 θ) 1 χ( x 1 tθ )χ( x 2 t(1 θ) ) f(x 1, x 2, x 3 ) Y, unde χ desemneaza functia caracteristica a inelului 1/2 x 2. Alegem N > astfel incat Cum x 3 t/2 pe suportul lui ũ t,θ, rezulta ca N > a 3 + n, N > 3n + a 1 + a 2 + a 3. (3.7) x 3 N ũ t,θ p L p Ct p θ p (1 θ) p γ p (t, θ) x 3 pa3 x 3 pn dx 3, (3.8) x 3 >t/2 7
8 unde Daca t > 1, din (3.7) rezulta ca γ p (t, θ) = x 3 >t/2 x 1 pa1 x 2 pa2 χ( x 1 tθ )χ( x 2 t(1 θ) ) dx 1dx 2 C(tθ) n+pa1 (t(1 θ)) n+pa2. (3.9) x 3 pa3 x 3 pn dx 3 Ct p(a3 N)+n, (3.1) in timp ce daca t < 1 atunci Din (3.8) (3.1) se deduce ca x 3 >t/2 x 3 pn x 3 pa3 dx 3 C(1 + t pa3+n ). (3.11) x 3 N ũ t,θ L p Ct 1 θ 1 (1 θ) 1 (tθ) n/p+a1 (t(1 θ)) n/p+a2 t a3 N+n/p Aceasta inegalitate, impreuna cu (3.6) si (3.7), arata ca x 3 N ũ t,θ L p dt dθ <. (1, ) (,1) Daca t < 1 din (3.8), (3.9) si (3.11) rezulta ca x 3 N ũ t,θ L p Ct 1 θ 1 (1 θ) 1 (tθ) n/p+a1 (t(1 θ)) n/p+a2 (1 + t a3+n/p ), iar atunci (3.6) implica x 3 N ũ t,θ L p dt dθ <. (,1) (,1) Aceasta demonstreaza lema in cazul µ =. Daca µ <, u se poate scrie ca o combinatie liniara de distributii de forma u j,k,l = f j,k,l (x 1, x 2, x 3 )Y unde f j,k,l (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 j x 2 k x 3 l f(x 1, x 2, x 3 ) iar j, k, l sunt intregi nenegativi satisfacand j + k + l = µ. Atunci u j,k,l H p, a 1+j,a 2+k,a 3+l, unde p poate fi ales arbitrar de aproape de 1. Intrucat a 1 + j + n >, a 2 + k + n >, a 1 + a 2 + a 3 + j + k + l + 3n > din prima parte a demonstratiei rezulta ca ũ t,θ satisface (3.5) daca N este destul de mare. 8
9 In final, consideram cazul µ >. Observam ca f(x 1, x 2, x 3 )Y = (ϑ a 3 ) x 3 1 f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ 1) daca f Ha p 1,a 2,a 3 si µ >. Aici am folosit faptul ca distributiile din ambii membrii ai egalitatii de mai sus sunt X-regulate. Avem asftel Ha p,µ 1,a 2,a 3 ϑ 3 H p,µ 1 a + 1,a 2,a 3 1 Hp,µ 1 a. 1,a 2,a 3 1 Cazul µ > se reduce la cazul µ = prin iterarea incluziunii de mai sus. Teorema 3.3. Presupunem ca (3.2), (3.3) sunt satisfacute si definim ũ t,θ prin (3.4), unde Ψ satisface conditiile lemei 3.1. Atunci ϕ, u = ϕ, ũ t,θ dt dθ, ϕ C (R n R n R n ). (3.12) Dem. Din lemm 3.2 rezulta ca integrala din partea dreapta a egalitatii (3.12) este o integrala convergenta si defineste o distributie U actionand pe φ. Din aceeasi lema este de asemenea clar ca putem scrie U = k L ϑk 3U k, unde U k sunt functii local integrabile. Rezulta (din lemma 1.2) ca U este X-regulata. Intrucat u este de asemena X-regulata, conform lemei 2.1, este suficiet sa demonstram ca ϕ, U = ϕ, u pentru ϕ suportata in Ω. Insa pentru astfel de ϕ avem ϕ, U = ϕ t,θ, u dt dθ, unde ϕ t,θ (x 1, x 2, x 3 ) = t 1 θ 1 (1 θ) 1 Ψ( x 1 tθ, x 2 t(1 θ) )ϕ(x 1, x 2, x 3 ). Ca o simpla consecinta a observatiilor de la inceputul demonstratiei lemei 3.1 vedem ca in integrala de mai sus putem integra intai in raport cu t si θ, iar apoi aplica distributia u. Teorema rezulta imediat tinand cont si de (3.1) Daca t > vom folosi notatia ϕ t (y) = ϕ(ty), cand ϕ L 1 loc (RM ), pentru un M >. Corolar 3.4. Fie a 1, a 2, a 3 si µ intregi satisfacand (3.2). Consideram u(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 )Y (µ) unde f Ha p 1,a 2,a 3 pentru un p (1, ]. Atunci exista o functie ψ C (R n R n ) cu suportul in multimea unde 1/2 x j 2, j = 1, 2, si astfel incat ϕ, u = t 3n µ+a1+a2+a3 1 θ n+a1 1 (1 θ) n+a2 1 ϕ t, u(θ) dθ dt (3.13) pentru ϕ C (R n R n R n ). Aici u(θ) D (R n R n R n ) este definita prin ϕ, u(θ) = Y (µ) + ( x 3 θ x 1 (1 θ) x 2 ) x 3 a3 ψ(x 1, x 2 ) f(ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 )ϕ(θx 1, (1 θ)x 2, x 3 ) dx 1 dx 2 dx 3. (3.14) Integrala din (3.14) trebuie considerata in sensul distributiilor. 9
10 Dem. Corolarul rezulta imediat din teorema precedenta. Intr-adevar, pentru ϕ C (R n R n R n ) scriem ϕ, ũ t,θ = ϕ, ũ t,θ T t,θ T 1 t,θ, unde T t,θ (x 1, x 2, x 3 ) = (tθx 1, t(1 θ)x 2, tx 3 ). Astfel Observam intai ca Din omogeneitatea lui f si Y (µ) + rezulta ca ϕ, ũ t,θ = θ n (1 θ) n t 3n ϕ T t,θ, ũ t,θ T t,θ. (3.15) (ϕ T t,θ )(x 1, x 2, x 3 ) = ϕ t (θx 1, (1 θ)x 2, x 3 ). (ũ t,θ T t,θ )(x 1, x 2, x 3 ) = θ a1 1 (1 θ) a2 1 t a1+a2+a3 µ 1 ψ(x 1, x 2) x 3 a3 f(ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 )Y (µ) + ( x 3 θ x 1 (1 θ) x 2 ), unde ψ(x 1, x 2 ) = x 1 a1 x 2 a2 Ψ(x 1, x 2 ), iar Ψ este o functie ca in lema 3.1. Am obtinut astfel ca ϕ, ũ t,θ = t 3n µ+a1+a2+a3 1 θ n+a1 1 (1 θ) n+a2 1 ϕ t, u(θ), cu u(θ) ca (3.14). Aceasta incheie demonstratia corolarului. References [BM] [H1] [M4] [M3] I. Beltita, A. Melin, Multilinear integral singular operators in backscattering. In Proceedings of the Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena 25, Växjö, AIP Conference Proceedings 834, pp , 26. L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, A. Melin, Some transforms in potential scattering in odd dimension. Contemporary Mathematics 344, 24, A. Melin, Smoothness of higher order terms in backscattering. In Wave phenomena and asymptotic analysis, RIMS Kokyuroku 1315 (23),
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραPseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare
Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραGeometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii
Διαβάστε περισσότεραTeorema lui Peano de existenţă
Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα1.7 Mişcarea Browniană
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραTransformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότερα2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
Διαβάστε περισσότεραVarietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Varietăţi algebrice 1 Spaţiul proiectiv 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Fie n N şi E un spaţiu vectorial de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 1
Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραFişier template preliminar
logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραMetode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -
Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραCURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II
CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II. Utiizarea transformării Lapace Să considerăm probema hiperboică de forma a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + )
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότερα