III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:"

Transcript

1 III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia Kartais matricas žymėsime ir taip: α A = = β,, β n, α m yra n mačiai vektoriai eilutės, o α i ; i =,, m β j ; j =,, n yra m mačiai vektoriai stulpeliai Vektorius eilutė a,, a n yra n, o stulpelis b m b m eilės, matricos Matrica, kurios eilučiu ir stulpeliu skaičius vienodas, vadinsime kvadratine Kvadratinės matricos eile vadinsime eilučiu arba stulpeliu skaičiu Kvadratinės matricos elementai a, a 22, a nn vadinami pagrindinės i strižainės elementais, o elementai a n, a 2n, a n šalutinės i strižainės elementais Matricu aibėje, panašiai kaip ir vektoriu aibėje, yra apibrėžiama transponavimo operacija Tarkime, kad duota matrica a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Tada a a 2 a m A T = a 2 a 22 a m2 a n a 2n a mn 47

2 vadinsime, matricos A, transponuota ja matrica Nesunku pastebėti, kad transponavimo operacija sukeičia pradinės matricos eilutes ir stulpelius vietomis Taigi, jei pradinės matricos eilė m n, tai transponuotosios matricos eilė yra n m Kvadratinė matrica turinti savybe : a ik = a ki, i, j =,, n vadinama simetrine, o matrica, kurios elementams galioja sa ryšiai a ik = a ki, i, j =,, n vadinama asimetrine Matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui, vadinsime nuline ir žymėsime simboliu O Kvadratine, kurios visi pagrindinės i strižainės elementai lygūs vienam, o kiti elementai lygūs nuliui, vadinsime vienetine Ja žymėsime simboliu E n, kur indeksas apačioje reiškia matricos eile, taigi 0 0 E n = Matricu veiksmai Aibe m n eilės matricu, kuriu elementai realūs skaičiai, žymėsime simboliu R m n = { a ij ; i =,, m, j =,, n} Dvi tos pat eilės matricas vadinsime lygiomis, jeigu ju atitinkami elementai yra lygūs ir atvirkščiai, ty a ij = b ij tada ir tik tada, kai a ij = b ij Dvieju matricu A = a ij, B = bij Rm n suma vadinsime C = c ij Rm n, kurios elementai nusakyti tokiu būdu: cij = aik + b ik ; i =,, m, j =,, n Matricos A = a ij ir realaus skaičiaus l sandauga vadinsime matrica la = la ij ; i =,, m, j =,, n Taigi, aibė R m n yra uždara šios aibės elementu sudėties ir daugybos iš skaičiaus atžvilgiu Nurodysime kai kurias matricu veiksmu savybes Šias savybes i rodyti siūlome pačiam skaitytojui Matricu sudėtis yra komutatyvi sudėties atžvilgiu: A + B = B + A 2 Matricu sudėtis asociatyvi: A + B + C = A + B + C 3 Matricinė lygtis A + X = B turi vieninteli sprendini X = b ij a ij ; i =,, m, j =,, n Nesunku matyti, kad A + O = A, A + A = O Kitaip tariant, matricu aibėje galioja analogiška kėlimo i kita puse keičiant ženkla priešingu taisyklė, kaip ir skaičiu aibėje 48

3 4 Matricos ir realaus skaičiaus sandauga komutatyvi: la = Al 5 Tarkime, kad l, t R ir A, B kokios tai tos pačios eilės matricos Tuomet teisingi sa ryšiai: a l A + B = la + lb, b l + ta = la + lb, c lta = l ta Tarkime, kad A = a ij yra m s eilės, o B = bij yra s n eilės, matricos Tada matricu A ir B sandauga, žymėsime AB, vadinsime C = AB = c ij ; i =,, m, j =,, n, čia elementas c ij skaičiuojamas tokiu būdu: c ij = s a ik b kj ; i =,, m, j =,, n k= Taigi, norint apskaičiuoti matricos C elementa c ij mums teks matricos A, i osios eilutės elementus, padauginti iš atitinkamu matricos B j osios eilutės elementu, o po to visas sandaugas sudėti Iš paskutiniojo apibrėžimo aišku, kad daugybos operacija galima tik tarp matricu, kurios turi savybe : pirmojo daugiklio stulpeliu skaičius yra lygus antrojo daugiklio eilučiu skaičiui Iš pastaru ju samprotavimu aišku, kad kvadratiniu matricu aibė uždara ir daugybos atžvilgiu Daugyba priešingai negu sudėtis, bendrai paėmus, nėra komutatyvi ty, AB BA Siūlome skaitytojui tuo i sitikinti, atlikus daugybos operacija tarp dvieju, žemiau pateiktu matricu : 2 A = ir B = Teorema Bet kokiai n os eilės matricai teisinga lygybė: Be to, vienetinė matrica yra vienintelė Pažymėkime AE n = E n A = A δ ik = {, k = j, 0, k j Tuomet vienetine n os eilė galime pažymėti taip E n = δ ij ; i =,, n, j =,, n Ateityje kvadratinės matricos indeksu kitimo aibės nenurodysime, laikydami, kad i, k, j {,, n} Tad tarkime, kad A = a ik Pažymėje AE n = c ik turime, kad c ik = a ij δ jk = a ik δ kk = a ik ; i, k =,, n Antra vertus, pažymėje E n A = d ik turime, kad d ik = δ ij a jk = δ ii a ik = a ik, i, k =,, n Iš paskutiniu ju lygybiu išplaukia pirmosios teoremos dalies i rodymas Parodysime, kad vienetinė matrica n os eilės matricu aibėje yra vienintelė 49

4 Tarkime priešingai, ty egzistuoja kita matrica, pažymėkime ja E = e ij tokia, kad AE = EA = A Pasirinkime A taip, kad visi jos elementai būtu lygūs nuliui, išskyrus pagrindinės i strižainės elementus ty a ss 0 Tuomet iš lygybės AE = A gauname { a ii e ik = 0, i k, a ik = a ij e jk = a ii e ii = a ii, i = k Vadinasi, e ik = 0 kai i k ir e ii = Antra vertus, iš lygybės EA = A gauname { e ss a is = 0, i s, a is = e ij a js = e ss a ss = a ss, i = s Todėl e is = 0, kai tik i s Imdami s =,, n, gauname, kad matricos E visi pagrindinės i strižainės elementai yra vienetai, o like - nuliai O tai reiškia, kad E n = E 2 Teorema Kvadratiniu matricu daugyba yra asociatyvi, bei distributyvi, ty AB C = A BC ir A B + C = AB + BC Pažymėkime, AB = l km Aišku, kad lkm = n a kj b jm Tegu, AB C = dpq Tuomet d pq = Pažymėkime, BC = f km Taigi n l pj c jq = a pt b tj cjq t= = a pt btj c jq t= f km = b kj c jm Be to, pažymėje A BC = giq turėsime, giq = p= a ip b pj c jq = p= a ip f pq = p= a ip bpj c jq Iš paskutinosios ir lygybiu išplaukia, kad kvadratiniu matricu daugyba yra asociatyvi Distributyvumo savybe siūlome skaitytojui i rodyti savarankiškai 3 Teorema Bet kokios eilės matricu aibėje teisinga lygybė AB T = B T A T Tarkime, kad matrica A yra m s eilės, o matrica B yra s n eilės Pažymėkime 50

5 AB T = D = dik ir AB = C = cik Atkreipsime dėmesi, kad d ik = c ki ; i =,, n, k =,, m Be to c ki = n a kj b ji Dauginame matricas B T ir A T Visu pirma pažymėkime Tuomet čia b ik, a ik i rodyti h ik = B T A T = h ik b ij a jk = b ji a kj, yra atitinkami matricu B T, A T elementai Gavome, kad h ik = d ik Bet tai ir reikėjo 4 Teorema Teisinga nelygybė rang AB min{rang A, rang B} Tarkime, kad matricos A = a ij eilė yra m s, o matricos B = bjk eilė s n Pažymėkime matricu A, B, ir AB rangus raidėmis r A, r B ir r, atitinkamai Kadangi c ij = s a ik b kj ; i =,, m, j =,, n k= tai s k= c j c 2j c mj b kj = c k s a k b kj s a 2k b kj = s a mk b kj k= k= k= c 2k, j =,, n c mk Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad matricos AB stulpeliai yra matricos A stulpeliu tiesiniai dariniai Kadangi matricos A rangas lygus r A, o visi matricos AB stulpeliai yra matricos A stulpeliu tiesiniai dariniai, tai iš rango apibrėžimo išplaukia, kad bet kurie r A + matricos stulpeliai yra tiesiškai priklausomi Taigi r r A Analogiškai s ci, c i2,, c in = a ik b k, k= s a ik b k2,, k= s a ik b kn = k= s a ik b k, b k2,, b kn ; i =,, m k= Paskutiniosios lygybės reiškia, kad matricos AB eilutės yra matricos B eilučiu tiesiniai dariniai Vadinasi, r r B 5

6 33 Kvadratiniu matricu determinantai Pirmos eilės matricos a determinantu vadinsime skaičiu a Antros eilės kvadratinės matricos a a A = 2 a 2 a 22 determinantu, kuri žymėsime tokiu būdu: A = a a 2 a 2 a 22, vadinsime skaičiu A = a a 22 a 2a 2 Trečios eilės kvadratinės matricos a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 determinantu, kuri žymėsime a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33, vadinsime skaičiu A = a a 22a 33 + a 2a 23a 3 + a 3a 2a 32 a3 a 22 a 3 + a 2 a 2 a 33 + a a 23 a 32 Tarkime, kad duota n os eilės kvadratinė matrica a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Tada šios matricos determinanta žymėsime simboliu a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Prieš nurodydami n os eilės determinanto skaičiavimo taisykles, pateiksime keleta savoku Apibrėžimas n os eilės matricos determinanto A elemento a ij minoru žymėsime M ij vadinsime determinanta, kuris lieka iš šios matricos determinanto išbraukus i a ja eilute bei j a ji stulpeli Pavyzdžiui a 2 a n M = a 22 a 2n a n2 a nn Apibrėžimas Matricos elemento a ij adjunktu vadinsime skaičiu A ij = i+j M ij 52

7 Tarkime, kad duota n os eilės matrica Tada jos determinantu vadinsime skaičiu A = a j A j + a 2j A 2j + + a nj A nj = a j A j + a j2 A j2 + + a jn A jn, j =,, n jeigu jis egzistuoja Beje, pastarosios lygybės vadinamos determinanto skleidimu pagal j a ji stulpeli arba j a ja eilutes, atitinkamai Šiuo neefektyviu apibrėžimu mes šiek tiek rizikuojame, kadangi neatsakome i klausima ar šis apibrėžimas nėra tuščias ir antra, ar skaičiuojant visuomet reikia skaičiuoti sumas visiems j =,, n Iš karto nuraminsime skaitytoja, patvirtindami, kad taip iš tiesu šis apibrėžimas yra turiningas ir kas svarbiausia, kad minimas skaičius iš ties yra vienintelis visiems j =,, n Apie tai plačiau, jei skaitytojas susidomėtu, galima rasti A Matuliauskas Algebra arba P Survilos ir K Bulotos knygoje Algebra ir skaičiu teorija Determinantu savybės Iš pastarojo apibrėžimo išplaukia, kad A = A T 2 Aišku, kad jei bent vienos determinanto eilutės arba stulpelio visi elementai lygūs nuliui, tai šis determinantas lygus nuliui 3 Sukeitus determinanto eilutes vietomis, determinanto ženklas pasikeičia i priešinga, tačiau absoliuti jo reikšmė nesikeičia Tai išplaukia iš tokiu samprotavimu Žinome, kad A = a M a 2 M n a n M n Sukeite determinanto eilutes vietomis, tarkime pirma ja su antra ja, ir skaičiuodami determinanto reikšme pagal antra ja eilute turime, kad a 2 a 22 a 2n A = a a 2 a n = a n a n2 a nn a M + a 2 M 2 + n a n M n Tai ir i rodo nagrinėjamo teiginio teisinguma 4 Jei determinantas turi bent dvi vienodas eilutes arba stulpelius tai jo reikšmė lygi nuliui Pastarasis tvirtinimas yra tiesioginė 3 savybės išvada Pastebėsime, kad sukeite dvi vienodas eilutes vietomis gausime determinanta, kuris turi skirtis nuo pradinio ženklu, tačiau akivaizdu, kad tuo pat metu jo reikšmė turi būti tokia pat kaip ir pradinio juk sukeitėme vienodas eilutes determinanto Vadinasi šijuo atveju lygybė galima vieninteliu atvejis, ty kai determinanto reikšmė lygi nuliui 5 Iš determinanto eilutės stulpelio galime iškelti bendra daugikli Tai išplaukia iš determinanto apibrėžimo 6 Apibendrindami dvi paskutinia sias savybes galime tvirtinti, kad jei determinantas turi dvi proporcingas eilutes stulpelius, tai jo reikšmė lygi nuliui 7 Jei vienos determinanto eilutės elementus padauginsime iš kitos eilutės adjunktu ir sudėsime, tai ši suma bus lygi nuliui, pavyzdžiui Žinome, kad Užrašykime suma a k A j + + a in A jn = 0 A = a j A j + a j2 A j2 + + a jn A jn D = a ka j + a k2a j2 + + a kna jn Nesunku suprasti, kad paskutinioji suma reiškia determinanta, kurio j oji ir k oji eilutės sutampa Bet žinome, kad toks determinantas lygus nuliui 53

8 8 Jeigu determinanto kokia norw eilute stulpeli padauginsime iš skaičiaus nelygaus nuliui ir sudėsime su kita eilute stulpeliu tai naujai gautas determinantas lygus pradiniam Pastarasis tvirtinimas yra tiesioginė 6 savybės išvada Siūloma ja patikrinti skaitytojui pačiam 8 Paskutinia ja išvada galime papildyti tokiu teiginiu: Jei determinanto kokia nors eilutė yra kitu eilučiu tiesinis darinys, tai šis determinantas lygus nuliui Determinanto skaičiavimas remiantis jo savybėmis Determinanto eilučiu stulpeliu elemetariaisiais pertvarkiais vadinsime a eilučiu stulpeliu keitima vietomis, b eilučiu stulpeliu dauginima iš skaičiaus nelygaus nuliui ir c eilučiu stulpeliu sudėti Remdamiesi auksčiau išvardintomis savybėmis galime tvirtinti, kad elementarieji pertvarkiai keičia kita ir tokia, kad pradinės ir pakeistosios matricos determinantai sutampa Skaitytojui paliekame i sitikinti, kad matricos A determinanta visuomet galime perrašyti žemiau nurodytu būdu: a a 2 a n a a 22 a 2n = a 2 a 22 0 n = a ii 2 i= 0 0 a nn a n a n2 a nn 34 Atvirkštinė matrica Kramerio metodas Apibrėžimas Sakysime, kad kvadratinė matrica yra reguliari, jeigu jos rangas lygus matricos eilei Priešingu atveju sakoma, kad matrica singuliari Apibrėžimas Matrica A vadinsime matricai A atvirkštine matrica, jeigu A A = AA = E Taigi, norint rasti matricos atvirkštine tenka spresti tokia lygčiu : { AX = E n Y A = E n, 2 3 čia X ir Y nežinomos matricos Vadinasi, jei paskutiniosios lygčiu sistemos sprendiniai sutampa, tai atvirkštinė egzistuoja Pasirodo, kad teisinga tokia 5 Teorema Jeigu egzistuoja 3 sistemos bent vienos iš lygčiu sprendinys, tai egzistuoja ir kitos lygties sprendinys Dar daugiau, šie sprendiniai sutampa Sakykime, kad egzistuoja 3 sistemos lygties sprendinys X = A Padauginkime, iš matricos A, 2- a ja šios sistemos lygti iš dešinės Gauname Y AA = E n A Bet AA = E n ir Y E n = Y Taigi, Y = A Samprotaudami analogiškai galime parodyti, kad ir X = A Kyla klausimas, ar kiekviena matrica turi atvirkštine? 6 Teorema Tam, kad matrica turėtu atvirkštine būtina ir pakankama, kad ji būtu reguliari Tarkime, kad atvirkštinė matrica egzistuoja Žinome, kad matricos E n rangas lygus n Remdamiesi 4 teorema gauname, kad rangaa ranga Taigi, n ranga Antra vertus, kvadratinės matricos rangas ne didesnis už jos eile Gauname, kad matricos A rangas lygus n, taigi, matrica A reguliari 54

9 I rodysime atvirkštini teigini Tarkime, kad matricos A rangas lygus n Matricine lygti AX = E užrašykime taip: a j x j a j x jn 0 = a nj x j a nj x 0 jn Naudodamiesi matricu lygybės apibrėžimu, pakeiskime pastara ja lygybe tokia lygčiu sistema: a ij x jk = 0; i k, i =,, m, 4 a kj x jk = ; k =,, n Pastaroji sistema reiškia n tiesiniu lygčiu sistemu su n nežinomaisiais, aibe Pastebėkime, kad visu šiu sistemu koeficientu matricos sutampa ir lygios matricai A Kadangi matricos A rangas yra lygus n, tai visos šios sistemos turi sprendinius, tarkime xj, x j2,, x jn ; j =,, n Šiuos sprendinius suraše i ir turėsime ieškoma ja atvirkštine Atkreipsime skaitytojo dėmesi i tai, kad paskutinioji teorema pasiūlo metoda, kaip būtu galima apskaičiuoti matricos atvirkštine Bet šis metodas turi ir trūkuma, kadangi norint rasti, kad ir trečios eilės matricos atvirkštine, tektu spre sti tris lygčiu sistemas Tačiau nėra to blogo kas neišeitu i gera! Prisiminkime modifikuota Gauso metoda tiesiniu lygčiu sistemoms spre sti ir tai kas buvo auksčiau pasakyta Visos mūsu lygčiu sistemos turi tas pačias matricas ir sistemos skiriasi tik laisvu ju nariu stulpeliais O tai reiškia, kad visoms sistemoms atliekami tie patys eleminavimo žingsniai suvedimas i trikampi pavidala skiriasi tik operaciju rezultatai atliekami su laisvu ju nariu stulpeliais Tikimės, kad skaitytojas nesunkiai supras, kad 4 sistemu visuma galime perrašyti taip: a a 2 a n 0 0 a 2 a 22 a 2n 0 0 a n a n2 a nn 0 0 Kitaip tariant prie sistemu bendrosios matricos šalia prirašėme vienetine Beje, kiekvienas vienetinės matricos stulpelis kartu su sistemos matrica nusako tam tikra tl Gautoji matrica yra n 2n eilės Jau žinome, kad eilučiu elementariu ju pertvarkiu dėka, pastara ja galime pertvarkyti i tokia : 0 0 c c 2 c n 0 0 c 2 c 22 c 2n 0 0 c n c n2 c nn Tada matricos A atvirkštinė yra tokia c c 2 c n A = c 2 c 22 c 2n c n c n2 c nn kodėl? 55

10 7 Teorema Jeigu egzistuoja matricu A, ir B atvirkštinės matricos, tai egzistuoja ir ju sandaugos atvirkštinė, kuri skaičiuojama tokiu būdu: AB = B A Patikrinkime, ar iš tiesu B A yra matricos AB atvirkštinė Taigi, pakanka suskaičiuoti AB B A = A BB A = AA = E n 8 Teorema Jeigu egzistuoja matricos A atvirkštinė, tai egzistuoja ir jos transponuotosios matricos atvirkštinė Be to, transponuotosios atvirkštinė yra lygi atvirkštinės transponuota jai, trumpai A T = A T Aišku, kad AA T = E T n Todėl A T A T = En T = E n Tuo ir baigiame teoremos i rodyma 9 Teorema Jei tiesinės lygčiu sistemos matrica reguliari, tai jos sprendinys yra skaičiuojamas tokiu būdu: arba čia b X = A, b n X T = b,, b n A T, b β =, b n yra laisvu ju nariu stulpelis Nesunku suprasti, kad tiesiniu lygčiu, naudodami matricas, galime perrašyti taip AX = β, kur X nežinomu ju stulpelis Kadangi matrica A reguliari, tai ji turi atvirkštine Iš čia ir išplaukia teoremos i rodymas Pasirodo, matricos reguliarumas priklauso nuo to ar matricos determinantas nulis ar ne 0 Teorema Matrica A yra reguliari tada ir tik tada, kai A 0 Tarkime, kad matrica reguliari Tuomet jos rangas lygus n Dar daugiau, elementariu ju pertvarkiu dėka, šia galime transformuoti i Jau žinome, kad paskutiniosios matricos determinantas yra lygus žr 2 lygybe 56

11 I rodysime atvirkštini teigini Tarkime, kad matricos determinantas nelygus nuliui Elementariu ju pertvarkiu pagalba matricos determinanta galime transformuoti i determinanta a a 2 a n 0 a 22 a 2n, 0 0 a nn kuris lygus pradinės matricos determinantui, beje, pagrindinės i strižainės visi elementai nelygūs nuliui Pastebėsime, kad paskutini ji determinanta atstovaujanti matrica a a 2 a n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn reguliari, kadangi jos rangas lygus n Išvada Jei matrica singuliari, tai jos determinantas lygus nuliui Remdamiesi paskutinia ja teorema, 6 teorema perrašome taip: Teorema Matrica A turi atvirkštine tada ir tik tada, kai A 0 Dar daugiau, atvirkštinė gali būti skaičiuojama tokios formulės pagalba A = A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 A n A 2n A nn Pirmoji teoremos dalis tiesioginė 0 teoremos išvada Parodykime, kad pateiktoji matrica iš tiesu yra matricai A atvirkštinė Tam pakanka parodyti, kad matricos A ir nurodytos matricos sandauga yra vienetinė matrica Skaičiuokime: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn A A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 = A n A 2n A nn a ij A kj = δ ik ; i, k =,, n Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad nurodyta matrica yra atvirkštinė Tarkime, kad turime tiesiniu lygčiu a ji x i = b j ; j =,, n, i= kurios matricos determinantas nelygus nuliui Pastebėsime, kad pastara ja lygčiu galime užrašyti matricine forma taip: x b AX = β, X =, β = 5 x n b n 57

12 Kadangi matricos determinantas nelygus nuliui, tai egzistuoja šios matricos atvirkštinė A 5 lygybės abi puses padaugine iš kairės iš atvirkštinės matricos gauname, x b = A x n b n Antra vertus, A b b n = A A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 A n A 2n A nn A j b j x = A jn b x n j Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad x k = A b b n = A jk b j =: A k, k =,, n 6 A Apibendrindami pastebėsime, kad k asis nežinomasis yra lygus tlsistemos matricos, kurios k asis koeficientu stulpelis pakeistas laisvu ju nariu stulpeliu, determinanto kuri pažymėjome simboliu A k ir tiesiniu lygčiu sistemos matricos determinanto, santykiui, k =,, n 6 formulės yra vadinamos Kramerio formulėmis lygčiu sistemai spre sti Ir pabaigai pastebėsime, kad homogeninė tls turi nenulini sprendini tada ir tik tada, kai jos matricos determinantas yra lygus nuliui Šios pastabos i rodyma paliekame skaitytojui 35 Leontjevo modelis Laikysime, kad gamybine sudaro n ūkio subjektu, kuriuos pažymėkime simboliais U,, U n Kiekvienas iš šiu subjektu gamina kokia nors viena produkcijos rūši, P j ; j =,, n Gaminamos produkcijos kiekius pažymėkime x,, x n atitinkamai Tada vektoriu x α = x 2, vadinsime gamybos plano vektoriumi x n Papildomai tarkime, kad gamybos technologija yra tokia, kad dalis gaminamos produkcijos yra sunaudojama vietinėms reikmėms Tarkime, kad šie sunaudojami kiekiai yra y, y 2,, y n atitinkamai Tada β = y y 2 y n, vadinsime produkcijos sanaudu vektoriumi Skirtuma α β = γ vadinsime grynosios produkcijos vektoriumi, ty x y γ = x 2 y 2 x n y n 58

13 Tarkime, kad minėtosios produkcijos poreikiai yra tokie c,, c n Tada c c 2 δ = c n, vadinsime paklausos vektoriumi Atsakykime, i toki klausima : kada ekonominė sistema yra subalansuota, ty kada grynosios produkcijos kiekiai sutampa su paklausa? Kitaip tariant, kada γ = δ? Tarkime, kad produkcijos P i vienetui pagaminti, kuris naudojamas ekonominės sistemos vidaus poreikiams, yra sunaudojama visos produkcijos P j dalis a ij čia i, j =,, n Skaičiai a ij yra vadinami technologiniais koeficientais, o matrica a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, a n a n2 a nn vadinama technologine matrica Taigi, norint kad gamyba fukcionuotu, vidiniam vartojimui reikalingas toks produkcijos kiekis: β = Aα Tada grynosios produkcijos vektoriu galime išreikšti taip: γ = α β = α Aα Prisiminkime, kad α = E n α Tada α Aα = E n α Aα = E n A α Taigi, balanso lygti γ = δ galime perrašyti taip En A α = δ Bet paskutinioji lygybė reiškia tokia lygčiu : a x a 2 x 2 a n x n = c, a 2 x + a 22 x 2 a 2n x n = c 2,, a n x a n2 x 2 + a nn x n = c n Galime padaryti tokia išvada : norint sudaryti subalansuota ekonominės sistemos gamybinės veiklos plana α, reikia išspre sti paskutinia ja lygčiu Pastarosios sistemos sprendinys ir galėtu būti laikomas planu α = x,, x n, jeigu visos sprendinio komponentės x j, j =,, n yra neneigiamos Neigiamos komponentės turėdamos matematine prasme, šia savybe nepasižymi ekonomikoje Tad planas α turi būti ne tik lygties E n A α = δ sprendiniu, bet ir visos sprendinio komponentės turi būti neneigiamos Apibendrinkime tai Sakysime, kad ekonominė sistema, su technologine matrica A yra produktyvi, jeigu balanso lygtis E n A α = δ turi sprendini α, kurio visos komponentės neneigiamos, koks bebūtu produkcijos paklausos vektorius δ Mes žinome, kad būtina ir pakankama balanso lygties sprendinio egzistavimo sa lyga yra tokia: balanso lygties matrica yra reguliari Yra žinoma, kad 2 Teorema ekonominė sistema, kurios technologinė matrica A, yra produktyvi tada ir tik tada, kai atvirkštinė matrica E n A egzistuoja ir visi šios matricos elementai yra teigiami Ekonominės sistemos produktyvumo paieškos uždavinys yra vadinamas Leontjevo modeliu Aukščiau aptartas ekonominis modelis buvo išvystytas amerikiečiu ekonomisto W W Leonteff Technologinė matrica nurodo sa ryšius tarp i vairiu ekonominiu subjektu per tam tikra laiko momenta Beje, šie sa ryšiai yra išreikšti procentiniai santykiais Kiek kitaip apžvelkime aukščiau formalizuota ūkine Tarkime, kad ūkine sudaro trys gamybiniai subjektai A, B, C kurie tuo pat metu yra ir gamintojai ir vartotojai Be šiu subjektu galimi ir kiti 59

14 išoriniai vartotojai, nepriklausantys šiai gamintoju sistemai Kita vertus be šiu triju gamintoju gali būti ir kiti šiai triju gamintoju sistemai nepriklausantys gamintojai, beje šie gtamintojai savo produkcija siūlo vartotojams, bet subjektai A, B, C šios pagamintos produkcijos nevartoja Vartotoju sektorius kaip ir gamintoju sektorius sutampa Tai gali būti žemės ūkis, atskiro pramonės šakos, namu ūkis, vyriausybė ir kt Aptarta modeli aprašome tokia matrica: A B C KV A B C KG čia KV- kiti vartotojai ir KG- kiti gamintojai Matricos eilutėse nurodoma, kaip atitinkamu gamybiniu subjektu produkcija yra vartojama kitu subjektu Pavyzdžiui, gamybinio subjekto A 50 sa lyginiu vienetu suvartoja pats subjektas A, 70 vienetu suvartoja subjektas B, 200 vienetus subjektas C ir 360 kiti vartotojai Matricos stulpeliuose yra nurodoma kiek, kitu gamybos sektoriu, produkcijos suvartoja fiksuotas sektorius Pavyzdžiui subjektas B suvartoja 70 subjekto A produkto sa lyginiu vienetu, 30- subjekto B paties vienetu, 240- subjekto C vienetu ir 370 kitu gamintoju gaminamos produkcijos vienetu Jei nagrinėjama sistema subalansuota, tai eilutės bei atitinkamuose stulpeliuose bendra produktu vienetu suma turi sutapti Atkreipsime dėmesi, kad pirmosios eilutės bei pirmojo stulpelio sumos lygios 680 Akivaizdu, kad padidinus vieno kurio nors subjekto gamybinius pajėgumus turi augti ir kitu subjektu gamybiniai pajėgumai, o tuo pačiu ir vartojimas ir atvirkščiai, jei ūkinė sistema yra subalansuota Pastebėsime, kad pateiktos ūkinės sistemos technologinė matrica yra tokia: A = Ūkinėje sistemoje yra gamintojai ir vartotojai Beje, gamintojai tuo pačiu ir vartotojai Technologinėje matricoje koeficientai nurodo kokia visos pagamintos produkcijos dali suvartoja, gamybos procese, ūkinis subjektas Atkreipsime dėmesi, kad KG kiti gamintojai tenkina tik ūkinės sistemos poreikius ir nedalyvauja išoriniu poreikiu tenkinimo procese Vadinasi padidėjus vartojimui tuo pačiu turi didėti ir gamyba, tuo tarpu technologinės matricos koeficientai, esant subalansuotai ekonominei sistemai turi išlikti pastovūs, kadangi sa lyginiam vienetui pagaminti reikalinga kitu produktu dalis nepasikeičia Tad galima teigti, kad technologinė matrica yra ūkine charakterizuojantis dydis Tad norint nustatyti gamybos lygi plana, padidėjus vartojimui tereikia išspre sti balanso lygti Panagrinėkime aptarta teorine konstrukcija konkrečiu pavyzdžiu Tarkime ūkine sudaro du gamybiniai subjektai, o sistema aprašoma tokia matrica:

15 A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A B Kiti gamybos faktoriai Bendra apimtis Matome, kad šios ūkinės sistemos produkcijos išoriniai poreikiai yra tokie: A produkcijos 460, o produkcijos B 940 Sudarykime šios sistemos technologine Turime, kad A = Tarkim, kad A produktu poreikis padidėjo nuo 460 iki 500, o produktu B poreikis nuo 940 iki 200 Panagrinėkime kaip pasikeis gamybos apimtis Aišku, kad šiuo atveju atitinkamu gaminamu produktu skaičius poreikis X A, X B gali būti užrašytas tokiomis lygtimis: X A = 5 X A + 3 X B + 500; X B = 3 0 X A X B Užrašykime šia matricine lygtimi Turime, kad XA XA = arba X B X = A X + C, X = XA X B X B Spre sdami šia matricu lygti gauname plano lygti : X = E A C , , C = 200 Te sdami skaičiavimus gauname, kad 0 4 E A = = E A = Tada X = E A C = Sudarykime technologine lentele esant naujam gamybos planui Turime, kad 6

16 A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A 280, 9 623, , 5 B 42, , Kiti gamybos faktoriai 702, , Bendra apimtis 404, Mažiausiu kvadratu metodas Tarkime, kad tiesinė lygčiu sistema AX = Y yra nesuderinta Tada tiesinė lygčiu sistema A T AX = A T Y yra vadinama sistemos AX = Y normalia ja sistema Jei normalioji sistema yra suderinta, tai šios sistemos sprendiniai yra vadinami sistemos AX = B mažiausiu kvadratu sprendiniais Pavyzdys Tarkime plokštumoje duoti n tašku x, y ;, x n, y n Problema tokia: rasti k ojo laipsnio polinoma y = a k x k + a k x k + a x + a 0 geriausiai reprezentuojanti šiuos duomenis Kitaip tariant rasime k ojo laipsnio polinoma toki, kad atstumu nuo šiu tašku iki polinomo grafiko kadratu suma būtu minimali Sudarome lygčiu polinomo koeficientams rasti darydami prielaida, kad šiam polinomui priklauso minėti taškai a k x k + a k x k + a x + a 0 = y, a k x k 2 + a k x k 2 + a x 2 + a 0 = y 2,, a k x k n + a k xn k + a x n + a 0 = y n Užraše matricu lygtimi turime, kad AX = Y, čia x k x k x A = x k 2 x k 2 x 2, X = x k n x k n x n a k a k a 0, Y = I domu tai, kad ši sistema, bendrai nagrinėjant, sprendiniu neturi, kadangi laisvai pasirinkus taškus plokštumoje nereikia tikėtis, kad šie taškai priklausys polinomo grafikui Sudarome šios y y 2 y n 62

17 sistemos normalia ja, kuri jau turės sprendinius, o sprendiniai kaip tik ir bus ieškomi polinomo koeficientai Normalioji sistema yra tokia: x k x k 2 x k n x k CX = A T Y, C = A T A = x k x2 k x k x k x n x k 2 x k 2 x 2 x k n xn k x n Tada ieškomus koeficientus randame tokiu būdu: a k a k a a 0 = C A T Y Panagrinėkime pavyzdi Pavyzdys Duoti trys taškai, ; 2, 3; 3, 2 Naudodami mažiausiu kvadratu metoda raskite tiesės lygti ax + b = y geriausiai aproksimuojančia šiuos duomenis Sudarome AX = Y, čia: a + b =, 2a + b = 3 3a + b = 2; arba a = b 3 2 Padaugine abi lygybės puses iš matricos A T gauname: a 2 3 = 3 b 3 2 Atlike matricu aritmetinius veiksmus gauname 4 6 a 6 3 b Tada Arba a 3 = C = b 6 6 = a = 2 b gauname, kad mažiausiu kvadratu tiesė yra tokia: y = 2 x

18 Temos teoriniai klausimai Matricu veiksmai Veiksmu savybės 2 Kvadratiniu matricu determinantai Determinantu eilučiu stulpeliu savybės 2 Reguliarios siguliarios matricos Atvirkštinės matricos egzistavimo sa lygos 3 Matricu lygtys 4 Teorema apie matricu sandaugos ranga 5 Tiesiniu lygčiu sistemu sprendimas taikant atvirkštinės matricos metoda ir Kramerio metoda 6 Leontjevo modelis 7 Mažiausiu kvadratu metodas Uždaviniai savarankiškam darbui Matricos ir determinantai Duota matrica a Nustatykite matricos eile b Kam lygi suma A = a 2 + a 34 + a 42 + a 33? c Raskite šios matrios pagrindinės ir šalutinės i strižainiu elementu skirtuma Ats: a matricos eilė 4 4 arba tiesiog ketvirtos eilės matrica b 7 c - 2 Tarkime, kad matrica A yra 3 4 eilės, kurios elementai apibrėžti tokiu būdu: A = a ij ; aij = i+j 2i + 3j Sudarykite šia Ats: A = Kompanija parduoda triju rūšiu kilimėlius A, B, C, kurie be to yra raudonos, žalios, mėlynos bei violetinės spalvos Mėnesio pardavimu ataskaita kompanija surašo i, kurios eilutėse rašo atitinkamu rūšiu A, B, C pardavimu kiekius, o stulpeliuose nurodo spalvos koda - raudona, žalia, mėlyna, violetini, atitinkamai Žemiau yra pateiktos Sausio bei Vasario pardavimu ataskaitos: S = 0 3 5, V = a Kiek žaliu B rūšies kilimėliu buvo parduota Sausio mėnesi? b Kiek B rūšies kilimėliu buvo parduota vasario mėnesi? 64

19 c Kuri mėnesi buvo daugiausia parduota violetiniu kilimėliu? d Kurios rūšies ir kurios spalvos kilimėliu buvo parduota vienodai per abu mėnesius? e Kuri mėnesi daugiausia parduota B rūšies kilimėliu? f Kiek iš viso buvo parduota kilimėliu sausio mėnesi? g Sudarykite abieju mėnesiu pardavimu G h Raskite metiniu pardavimu M, jei žinoma, kad ji sudaroma tokiu būdu: 00% didesni visu rūšiu ir spalvu sausio pardavimai plius 200% didesni vasario mėnesio pardavimai Ats: a 7; b 3; c V asario; d B; mėlyni e V asario; f 35; g G = h S = Apskaičiuokite AB, BA bei, jei i manoma AB BA, kai a A =, B = b 2 2 A =, B = c A = 2 0 3, B = I sitikinkite, kad AB T = B T A T Ats: a skirtumas negalimas b b AB BA = b AB BA = Jei i manoma apskaičiuokite sandaugas AB, kai a A = , B = 4 4 ; b A = 2 3 4, B = 5 ; 6 c A = 2, B =

20 d A = 2 2, B = 5 3 ; Ats: a sandauga negalima b 32 6 c 2 2 d Apskaičiuokite ABC jei a A = 2, B = 3 4 I sitikinkite, kad ABC = ABC Ats: Apskaičiuokite AB + C jei 0 a A =, B = 2 3 I sitikinkite, kad AB + C = AB + BC Ats: ; C = ; C = Raskite 3A 2I, jei I vienetinė antros eilės matrico, o 3 2 A = 4 Ats: 3A 2I = Tarkime, kad duotos matricos: A =, B =, C = 0 3, D = 0, F = E = ,, G = 0 6 0, H = 0 0, I = Atlikite tokius matricu veiksmus: 66

21 a AB; b CF ; c DG; d EC; e DI G; f 3A 2BC; g 2I GH; h DCA 3 2 Ats: a 4 2, b g 3, c d e 0 ; f 0 ; h ; g , 23 0 Remiantis sutartimi firma privalo pastatyti 5 rastinius RA, 7 karkasinius KA bei 2 mūriniu MU namu Šia sutarti galima apibrėžti matrica A = Šiems pastatams pastatyti reikia metalo M, medienos W, stiklo S, gipso gaminiu G, darbo jėgos D Trumpiniais žymime atitinkamu poreikiu vienetu skaičiu Susiekime kiekviena pastata su medžiagu poreikiais tokia matrica M W S G D RA KA MU a Apskaičiuokite visu medžiagu bendruosius poreikius b Nustatykite kiekvieno namo bendra ja sa matine verte, jeigu M vienetas kainuoja 500 Lt, W- 800 Lt, S- 500 Lt,G- 00 Lt, D-000 Lt c Nustatykite visu namu bendra sias statybos išlaidas Ats: a ; b c Panagrinėkime supaprastinta ekonomine, kuria sudaro trys pramonės šakos, tarkime žemės ūkis Z, pramonė P bei aptarnavimo sfera A bei trys sa lyginiai vartotojai, 2, 3 Nesunku suprasti, kad ne tik išoriniai vartotojai, bet ir šios atskiros pramonės šakos gali būti kitu šaku produktu vartotojai Šiuo atveju laikome, kad pramonės šaka nėra savo produkcijos vartotoja, bet nesunju suprast, kad bendrai paėmus taip galėtu būti Tegu D, D 2, D 3 yra triju vartotoju poreikiu matricos, o D Z, D P, D A yra pramonės šaku 3 eilės vartojimo matricos Pavyzdžiui tarkime, kad ir D = 3 2 5, D 2 = 0 7, D 3 = D Z = 0 4, D 2 = , D 3 = Tarkime, kad sa lyginis žemės produkcijos kainuoja 0000 Lt, pramonės Lt, o aptarnavimo sferos LT 67

22 a Nustatykite bendra visu pramonės šaku gaminamos produkcijos poreikiu b Nustatykite kokias išlaidas turi kiekviena atitinkama ūkio šaka bei atitinkami išoriniai vartotojai esant nurodytoms sa lyginiu vienetu kainoms bei pirkimu kiekiams; c Nustatykite kiekvienos pramonės šakos gauta pelna Ats: a ; b ; , c Apskaičiuokite AX + B C, kai A = 0 2, B =, Ats: a O = C = 0 0, X = a Raskite visas antros eilės matricas, kuriu kvadratas yra lygus nulinei matricai b Raskite visas antros eilės matricas, kuriu kvadratas lygus vienetinei matricai Ats: a 0 0, a 0 0 a, 0 0 ab a b, ab ab a b ab b ± 0, a ± ± a 0 ± 4 Raskite pateiktu matricu atvirkštines, naudodami Gauso-Žordano metoda, jeigu egzistuoja: a A = 5 3 2, b B = c C = Ats: a A = ; b B = ; c C =

23 5 Išspre skite matricu lygti AX = B, naudodami Gauso-Žordano metoda : A = ; B = Ats: X = Apskaičiuokite determinantus: a ; b ; c d ; e ; f Ats: a 44; b 2 c 47 d 35; e 33 f 24 7 Apskaičiuokite determinantus: a ; b Ats: a 06; b 08 8 Apskaičiuokite matricos atvirkštine, naudodamiesi atvirkštinės matricos skaičiavimo formule naudojant adjunktus: a A = 3 0, b B = Ats: 2 2 a A = ; a B = Išspre skite pateiktas matricu lygtis: a AB 2 XA 2 + B = E, A = 69 2, B =

24 b B 2 ABXB A = E, A = 2, B = c AX + B = C, A = 2, B = 2 3, C = 0 0, Ats: a X = B 2 A E BA 2 = b X = B A B 2 A B = c X = A C B = Naudodami Kramerio metoda apskaičiuokite: { 2x + 3y =, 4x + 2y z = 5, a b x 3y + 8z = 7, 3x 4y = 9, 5x y + z = 6; 4x + 2y z + t =, 4x + y 3z = 3, 2x y + 8z = 9, c x 3y + 5z = 0, d 5x + 3y + 2z 4t = 3, 7x + 3y 9z = 4; x + y + 3z + t = 8 Ats: a, 3; b, 0, ; c, 2, ; d 2,,, 2 2 Naudodami Kramerio metoda nustatykite, kokios turi būti parametru m, n reikšmės, kad sistema 3x 2y + z = 2, x y + 4z = n, 5x + my 2z = 3; turėtu a vieninteli sprendini, b neturėtu sprendiniu, c turėtu begalo daug sprendiniu? Ats: a m 3; b m = 3, n ; c m = 3, n = 22 Kokia turi būti parametro reikšmė, kad sistema turėtu vieninteli sprendini x + y + z + mu = 5, x + y + mz + u =, 2 x + my + z + u =, mx + y + z + u = Ats: m 23 Tarkime, kad ekonomine sudaro du gamintojai Ju produkcijos paklausos matrica ir technologinė matrica, atitinkamai, yra tokie 70

25 560 a C =, b C =, ; Ar egzistuoja gamybos optimalus planas? Jei taip raskite ši plana Sudarykite su 6iuo planu susieta technologine lentele Ats: a b Tarkime, kad ekonominės sistemos gamintoju technologinės ir atitinkamos poreikiu matricos yra tokios: a A = , C = 200 ; b A = , C = Raskite gamybos planus esant nurodytiems poreikiams Sudarykite technologines lenteles, kurios būtu susietos su naujais poreikiais Ats: a X = b X Tarkime, kad ūkine sudaro du gamintojai, A ir B Gamybos ryšiu matrica apibrėžta tokiu būdu: A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A B Kiti gamybos faktoriai Bendra apimtis Raskite šios ūkinės sistemos technologine Raskite ūkiniu šaku A ir B pagamintos produkcijos kiekius X A ir X B gamybos plana, jei žinoma, kad produkcijos A poreikiai pakis nuo 500 iki 600, o produkcijos B poreikiai pakis nuo 900 iki 805 Raskite KG kitos gamybos faktoriu kaštus K Ats: a X A 290, X B 425 K = Tarkime, kad ūkine sudaro trys gamintojai, A B ir C Gamybos ryšiu matrica apibrėžta tokiu būdu: 7

26 A B C Kiti poreikiai A B C Kiti gamybos faktoriai Raskite šios ūkinės sistemos technologine Raskite ūkiniu šaku A, B ir C pagamintos produkcijos kiekius X A ir X B, X C gamybos plana, jei žinoma, kad a produkcijos A poreikiai pakis iki 50, produkcijos B poreikiai pakis iki 40 ir produkcijos C poreikiai pakis iki 30 b produkcijos A poreikiai pakis iki 0, produkcijos B poreikiai pakis iki 0 ir produkcijos C poreikiai pakis iki 24 Ats: a X A 298, X B 350, X C 443; b X A 02, X B 25, X C Užpildykite matricas taip, kad ūkinė sistema būtu subalansuota a A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A 400 y B x 500 Kiti gamybos faktoriai Bendra apimtis Ats: a x = 500, y = Naudodami mažiausiu kvadratu metoda matricine forma raskite lentelėje pateiktus taškus geriausiai aproksimuojančia tiesinės regresijos lygti : x y Ats: y = Naudodami mažiausiu kvadratu metoda, raskite kvadratinės regresijos lygti, jei duomenu aibė tokia: ; 3, 2; 3, 3; 7, ; 2, 2; 8 Ats: y = 4 54 x x

27 30 Naudodami mažiausiu kvadratu metoda, raskite kvadratinės regresijos lygti, jei duomenu aibė tokia: ; 0, 2; 4, 0; 2, ; 4, 2; Ats: y = 2 7 x2 5 x 7 35 Užduotys namu darbams Matricos ir determinantai Apskaičiuokite AB BA, kai A = 5 2, B = Išsprende lygti A + B + X = 2B A, apskaičiuokite matricos X determinanta, jei A = 2 2 3, B = Apskaičiuokite visas i manomas matricu sandaugas, kai a A = , B = 4 4 ; C = , D = Apskaičiuokite matricos X 2 determinanta, jei A 2 2X = AB 2, kai A = 2, B = Išspre skite matricu lygtis: A 2 BXAB = ABA, kai A = 2 ; B = Raskite X 2, jei BA XABA + B = A, kai A = ; B = Apskaičiuokite determinantus: a ; b ; c

28 7 Apskaičiuokite matricos atvirkštine, naudodamiesi atvirkštinės matricos skaičiavimo formule naudojant adjunktus: , b Apskaičiuokite matricos atvirkštine, naudodamiesi Gauso-Žordano būdu: a 2 2, b Naudodami Kramerio metoda apskaičiuokite: a 2x + y + z = 7, 4x + 3y + 2z = 6, 2x y 3z = 9; b c 2x + 3y + 2z + t = 6 x + 4y + 3z + 2t = 8, 4x + 2y + z + t = 7, x + 2y + 3z + t = 6 0 Duota gamybos- sa naudu matrica Raskite ūkinės sistemos technologine bei gamybos plana, kai esami galutiniai atitinkamu šaku poreikiai pasikeis i poreikius 200, 300 A B P oreikiai A B Kiti Faktoriai Sudarykite nauja gamybos sa naudu, kai poreikiai yra pakite Duota gamybos- sa naudu matrica Raskite ūkinės sistemos technologine bei gamybos plana, kai esami galutiniai atitinkamu šaku poreikiai pasikeis i poreikius 50, 40, 30 A B C P oreikiai A B C Kiti Faktoriai Sudarykite nauja gamybos sa naudu, kai poreikiai yra pakite 74

29 2 Duota gamybos- sa naudu matrica Raskite ūkinės sistemos technologine bei gamybos plana, kai esami galutiniai atitinkamu šaku poreikiai pasikeis i poreikius 500, 60, 240 A B C P oreikiai A B C Kiti Faktoriai Sudarykite nauja gamybos sa naudu, kai poreikiai yra pakite 3 Naudodami mažiausiu kvadratu metoda matricine forma raskite lentelėje pateiktus taškus geriausiai aproksimuojančia tiesinės regresijos lygti : x y Tarkime, kad y yra produkto vieneto vidutiniai kaštai, kai buvo pagaminta x produktu Lentelėje žemiau pateikiami vidutiniu kaštu bei pagamintos produkcijos kiekio priklausomybė Rade kvadratine regresijos lygti nustatykite, kokie apytiksliai kaštai buvo tuo atveju, kai buvo gaminami 7 produktai x y

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2010 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 2010 m. birželio 8 d. valstybinį matematikos

Διαβάστε περισσότερα

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS

NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Žemėtvarkos katedra Audrius ALEKNAVIČIUS NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS Metodiniai patarimai Akademija, 2007 UDK 332.6(076) Spausdino UAB Judex, Europos pr. 122, LT-46351

Διαβάστε περισσότερα

Termochemija. Darbas ir šiluma.

Termochemija. Darbas ir šiluma. Termochemija. Darbas ir šiluma. Energija gyvojoje gamtoje. saulės šviesa CO 2 H 2 O O 2 gliukozė C 6 H 12 O 6 saulės šviesa Pavyzdys: Fotosintezė chloroplastas saulės 6CO 2 + 6H 2 O + šviesa C 6 H 12 O

Διαβάστε περισσότερα

Išorinės duomenų saugyklos

Išorinės duomenų saugyklos Išorinės duomenų saugyklos HDD, SSD, sąsajos 5 paskaita Išorinė atmintis Ilgalaikiam informacijos (programų ir duomenų) saugojimui kompiuteriuose naudojami: standieji diskai; lankstieji diskeliai (FDD);

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Πλυντήριο πιάτων Indaplovė Машинa за прање посуђа Pomivalni stroj ESL 46010 2 electrolux Περιεχόμενα Electrolux. Thinking of

Διαβάστε περισσότερα

open open Die KlimaFassade Kvėpuojanti šilumos izoliacija Komfortiškas patalpų klimatas visam gyvenimui

open open Die KlimaFassade Kvėpuojanti šilumos izoliacija Komfortiškas patalpų klimatas visam gyvenimui Die KlimaFassade Kvėpuojanti šilumos izoliacija Komfortiškas patalpų klimatas visam gyvenimui Padidinto kvėpavimo šilumos izoliacija Taupanti energijos sąnaudos Seniems ir naujiems pastatams Patalpų klimato

Διαβάστε περισσότερα

1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija

1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija 1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija Mokslas, kaip viena protinės veiklos sudėtinė dalis - tai žmonių veikla, kurios funkcijos yra gauti ir teoriškai sisteminti objektyvias žinias apie tikrovę.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 004 m. gegužės 7 d. įsakymu Nr. ISAK-75 MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė.

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė. Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra 2007 m. brandos egzaminų užduočių analizė Matematika Vilnius 2008 Išleista Europos Socialinio fondo ir Lietuvos Respublikos

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Techninis katalogas Plokščių radiatoriai LIETUVA 2012

Techninis katalogas Plokščių radiatoriai LIETUVA 2012 Techninis katalogas Plokščių radiatoriai LIETUVA 2012 2 turinys plokščių radiatoriai charakteristika...4 plokščių radiatoriai charakteristika... 88 Compact... 10 Ventil Compact 200 mm... 91 Ventil Compact...

Διαβάστε περισσότερα

VALIUTOS RIZIKOS VALDYMAS

VALIUTOS RIZIKOS VALDYMAS I Ž D O D E P A R T A M E N T A S VALIUTOS RIZIKOS VALDYMAS SEMINARO MEDŽIAGA praneš jas: Mindaugas Vaičiulis Iždo departamento direktorius Lietuvos žem s ūkio bankas Tel. 22-393567, 393601 Faks. 22-393568

Διαβάστε περισσότερα

KOMISIJOS ĮGYVENDINIMO REGLAMENTAS (ES)

KOMISIJOS ĮGYVENDINIMO REGLAMENTAS (ES) 2016 4 29 L 115/37 KOMISIJOS ĮGYVENDINIMO REGLAMENTAS (ES) 2016/670 2016 m. balandžio 28 d. kuriuo nustatoma išankstinė Sąjungos priežiūra, taikoma tam tikriems importuojamiems tam tikrų trečiųjų šalių

Διαβάστε περισσότερα

Regina Jasiūnienė Virgina Valentinavičienė. Vadovėlis X klasei

Regina Jasiūnienė Virgina Valentinavičienė. Vadovėlis X klasei Regina Jasiūnienė Virgina Valentinavičienė Vadovėlis X klasei UDK 54(075.3) Ja61 Recenzavo mokytoja ekspertė JANĖ LIUTKIENĖ, mokytoja metodininkė REGINA KAUŠIENĖ Leidinio vadovas REGIMANTAS BALTRUŠAITIS

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas. Tomas Nemunas Mickevičius

Įvadas. Tomas Nemunas Mickevičius ISSN 1392 1126. PROBLEMOS 2013 83 HEIDEGGERIS IR PLATONAS: TIESOS SAMPRATA Tomas Nemunas Mickevičius Vilniaus universiteto Filosofijos istorijos ir logikos katedra Universiteto g. 9/1, LT-01513 Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

ISOKRATAS APIE εὖ φρονοῦντες: KAI KURIE SEMANTINIAI IR STILISTINIAI ŠIO KONCEPTO ASPEKTAI

ISOKRATAS APIE εὖ φρονοῦντες: KAI KURIE SEMANTINIAI IR STILISTINIAI ŠIO KONCEPTO ASPEKTAI ISSN 0258-0802. LITERATŪRA 2015 57 (3) ISOKRATAS APIE εὖ φρονοῦντες: KAI KURIE SEMANTINIAI IR STILISTINIAI ŠIO KONCEPTO ASPEKTAI Tomas Veteikis Klasikinės filologijos katedra Vilniaus universitetas Anotacija.

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

DVB-T, DVB-S ir WiMAX sistemų radijo sąsajų signalų tyrimas

DVB-T, DVB-S ir WiMAX sistemų radijo sąsajų signalų tyrimas Vilniaus universiteto Fizikos fakultetas, Radiofizikos katedra Telekomunikacijų sistemų mokomoji laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 9 DVB-T, DVB-S ir WiMAX sistemų radijo sąsajų signalų tyrimas Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

INSTRUKCIJOS ŢYMENYS:

INSTRUKCIJOS ŢYMENYS: 0 INSTRUKCIJOS ŢYMENYS: SUSIDEDA IŠ DVIEJŲ DALIŲ: Bendra: Šie ţenklai turi būti ant viršelio, viršelio kitoje pusėje, arba kituose instrukcijos puslapiuose, gerai paţymėtos fonui kontrastinga spalva, ţymėjimo

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

išankstiniu nustatymu

išankstiniu nustatymu RA-N radiatorių ventiliai su integruotu išankstiniu nustatymu Sertifikuotas pagal EN215 Tiesus Kampinis Horizontalusis Kairinis Kampinis su išoriniu sriegiu Taikymas Visus RA-N ventilius galima naudoti

Διαβάστε περισσότερα

Alytaus miesto savivaldybės šilumos ūkio specialiojo plano sprendinių keitimas (TPD reg. Nr )

Alytaus miesto savivaldybės šilumos ūkio specialiojo plano sprendinių keitimas (TPD reg. Nr ) 2012 m. specialiojo plano sprendinių keitimas (TPD reg. Nr. 00112000609) Planavimo organizatorius: Alytaus miesto savivaldybės administracijos direktorius Specialiojo plano rengėjas: UAB AF-Consult Direktorius

Διαβάστε περισσότερα

AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS

AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Romualdas Malinauskas AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS Mokomoji knyga Vilnius 2007 UDK 621.396.9:629.7(075.8) Ma 308 Romualdas Malinauskas. AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ LT INDAPLOVĖ SK UMÝVAČKA ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 2 NAUDOJIMO INSTRUKCIJA 22 NÁVOD NA POUŽÍVANIE 40

EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ LT INDAPLOVĖ SK UMÝVAČKA ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 2 NAUDOJIMO INSTRUKCIJA 22 NÁVOD NA POUŽÍVANIE 40 ESI4500LOX EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ LT INDAPLOVĖ SK UMÝVAČKA ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 2 NAUDOJIMO INSTRUKCIJA 22 NÁVOD NA POUŽÍVANIE 40 2 ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ 1. ΠΛΗΡΟΦΟΡΊΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΆΛΕΙΑ... 3 2. ΟΔΗΓΊΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΆΛΕΙΑ...

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

MATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA

MATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA MATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA Matavimo priemonių metrologin priežiūra (teisin metrologija) Pagrindin s metrologin s priežiūros (pagal metrologijos įstatymą) rūšys: tipo patvirtinimas pirmin

Διαβάστε περισσότερα

ATEX Ventiliatorių eksploatacijos ir aptarnavimo vadovas

ATEX Ventiliatorių eksploatacijos ir aptarnavimo vadovas ATEX Ventiliatorių eksploatacijos ir aptarnavimo vadovas Techninis pasas ATEX VENTILIATORIAI Techninės priežiūros ir naudojimo vadovas 1 REV. 11/05 1. Ventiliatoriaus tipas 2. Ventiliatoriaus kodas 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Tavo bičiulis kompiuteris

Tavo bičiulis kompiuteris VALENTINA DAGIENĖ, LINA ZAJANČKAUSKIENĖ Tavo bičiulis kompiuteris Informacinės technologijos VII VIII klasėms I knyga Vilnius 2007 Mažeikių Sodų vidurinė mokykla Darbas atliktas Matematikos ir informatikos

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Chemijos eksperimentai

Chemijos eksperimentai Chemijos eksperimentai TURINYS ĮŽANGA... 3 I. CHEMINĖ KATALIZĖ: H 2 O 2 SKAIDYMAS KATALIZATORIUMI NAUDOJANT MNO 2... 4 II. CHEMINĖ PUSIAUSVYRA: PUSIAUSVYROS KONSTANTOS K NUSTATYMAS... 8 III. DEGIMO ŠILUMA...

Διαβάστε περισσότερα

VETERINARINIO VAISTO APRAŠAS

VETERINARINIO VAISTO APRAŠAS VETERINARINIO VAISTO APRAŠAS 1. VETERINARINIO VAISTO PAVADINIMAS GENTACIN, 85 mg/ml, injekcinis tirpalas 2. KOKYBINĖ IR KIEKYBINĖ SUDĖTIS 1 ml tirpalo yra: veikliosios medžiagos: gentamicino sulfato 85

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B

&,'-- #- > #'$,/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'$8 ''#&$'!&0-##-#;-# B !"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#

Διαβάστε περισσότερα

TEMA: Šviesos banginės savybės, apibendrinimas Fizika: 10 klasė Mokytoja: Rasa Armonienė 2014 m.

TEMA: Šviesos banginės savybės, apibendrinimas Fizika: 10 klasė Mokytoja: Rasa Armonienė 2014 m. TEMA: Šviesos banginės savybės, apibendrinimas Fizika: 10 klasė Mokytoja: Rasa Armonienė 2014 m. 1. Šviesos dispersija 2. Elektromagnetinių bangų skalė 3. Spektrai 4. Šviesos interferencija 5. Šviesos

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Prgramą rengė D. Dbravlskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė 1. ĮVADAS Brands egzaminus laik mksleiviai, kurie mkėsi pagal Bendrąsias prgramas ir išsilavinim

Διαβάστε περισσότερα

Περι φυσεως. Apie prigimtį

Περι φυσεως. Apie prigimtį Περι φυσεως I Ἵπποι ταί με φέρουσιν, ὅσον τ' ἐπὶ θυμὸς ἱκάνοι, πέμπον, ἐπεί μ' ἐς ὁδὸν βῆσαν πολύφημον ἄγουσαι δαίμονος, ἣ κατὰ πάντ' ἄστη φέρει εἰδότα φῶτα τῇ φερόμην τῇ γάρ με πολύφραστοι φέρον ἵπποι

Διαβάστε περισσότερα

Plazminių ląstelių mieloma MM

Plazminių ląstelių mieloma MM Plazminių ląstelių mieloma MM Klasifikatoriai WHO ir TLK-10 klasifikacija Plazminių ląstelių mieloma WHO: 97323, TLK-10: C90.0 Solitarinė kaulo plazmacitoma WHO: 97313, TLK-10: C90 Ekstraosalinė plazmacitoma

Διαβάστε περισσότερα

seka Suintegravus pagal x nuo 0 iki d gauname maksimalią injektuotos srovės tankį (erdvinio krūvio ribotą srovė EKRS)

seka Suintegravus pagal x nuo 0 iki d gauname maksimalią injektuotos srovės tankį (erdvinio krūvio ribotą srovė EKRS) Srovė dielektrike Krūvininų pernaša dielektrike skiriasi nuo pernašos puslaidininkyje, kur judantis krūvis yra neutralizuojamas pusiausvyrųjų krūvininkų greičiau negu nudreifuoja tarp elektrodų. Dielektrike

Διαβάστε περισσότερα

NACIONALINIS ATSINAUJINANČIŲ IŠTEKLIŲ ENERGIJOS VEIKSMŲ PLANAS

NACIONALINIS ATSINAUJINANČIŲ IŠTEKLIŲ ENERGIJOS VEIKSMŲ PLANAS NACIONALINIS ATSINAUJINANČIŲ IŠTEKLIŲ ENERGIJOS VEIKSMŲ PLANAS 2010 TURINYS 1. NACIONALINöS ATSINAUJINANČIŲ IŠTEKLIŲ ENERGIJOS POLITIKOS APIBENDRINIMAS... 4 2. TIKöTINAS GALUTINIS ENERGIJOS SUVARTOJIMAS

Διαβάστε περισσότερα

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors - SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Meren virsi Eino Leino

Meren virsi Eino Leino œ_ œ _ q = 72 Meren virsi Eino Leino Toivo Kuua o. 11/2 (1909) c c F c Kun ne F iu L? c œ J J J J œ_ œ_ nœ_ Min ne rien nät, vie ri vä vir ta? Kun ne c c F c Kun ne F iu L? c œ J J J J œ_ œ_ nœ_ Min ne

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Μάθημα 12ο O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Γενική και Ανόργανη Χημεία 201-17 2 Η χημεία ΠΠΠ (= προ περιοδικού πίνακα) μαύρο χάλι από αταξία της πληροφορίας!!! Καμμία οργάνωση των στοιχείων.

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

HYUNDAI i30 rimtas. ... ir kas blogesnius? Kas gamina geriausius automobilius... GOLF TESTAS. 24 gamintoj ^vertinimas. konkurentas.

HYUNDAI i30 rimtas. ... ir kas blogesnius? Kas gamina geriausius automobilius... GOLF TESTAS. 24 gamintoj ^vertinimas. konkurentas. www.autobild.lt Nr. 14 (47), 2007 07 07--20 24 gamintoj ^vertinimas 2007 Kas gamina geriausius automobilius... m. Kokyb s testas ISSN 1822- Dvisavaitinis žurnalas... ir kas blogesnius? 1. Mazda 2. Toyota

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. VECTƠ PHÁP TUYẾN (HAY PHÁP VECTƠ) CỦA MẶT PHẲNG Vectơ 0 gọi là vtpt của mặt phẳng a nếu giá của vuông góc mặt phẳng a. Vtpt của mp a thường ký hiệu

Διαβάστε περισσότερα

AMENDMENTS XM United in diversity XM. European Parliament 2014/2248(INI) Draft opinion Petri Sarvamaa (PE585.

AMENDMENTS XM United in diversity XM. European Parliament 2014/2248(INI) Draft opinion Petri Sarvamaa (PE585. European Parliament 2014-2019 Committee on Budgetary Control 2014/2248(INI) 13.9.2016 AMENDMENTS 1-31 Petri Sarvamaa (PE585.777v01-00) Possible evolutions of and adjustments to the current institutional

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVIŲ GIMTOSIOS KALBOS

LIETUVIŲ GIMTOSIOS KALBOS STANDARTIZAVIMO PROCEDŪRŲ APRAŠAS. II DALIS. 8 KLASĖS LIETUVIŲ GIMTOSIOS KALBOS (SKAITYMO, RAŠYMO) MATEMATIKOS IR ISTORIJOS STANDARTIZUOTOS PROGRAMOS IR TESTŲ PAVYZDŽIAI PROJEKTAS STANDARTIZUOTŲ MOKINIŲ

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

Montavimo ir naudojimo vadovas Išmanusis radiatorių termostatas eco

Montavimo ir naudojimo vadovas Išmanusis radiatorių termostatas eco Montavimo ir naudojimo vadovas Montavimo vadovas Montavimo vadovas 1. Montavimas 1.1 Atpažinkite eco termostatą...4 1.2 Pakuotėje...4 1.3 Ventilių adapterių apžvalga...5 1.4 Tinkamo adapterio montavimas...6

Διαβάστε περισσότερα

VETERINARINIO VAISTO APRAŠAS

VETERINARINIO VAISTO APRAŠAS VETERINARINIO VAISTO APRAŠAS 1. VETERINARINIO VAISTO PAVADINIMAS VITAMIN E+SELEN VET, injekcinis tirpalas galvijams, kiaulėms, avims 2. KOKYBINĖ IR KIEKYBINĖ SUDĖTIS 1 ml tirpalo yra: veikliųjų medžiagų:

Διαβάστε περισσότερα

K a t a l i k ų Ba ž n yč i o s Katekizmas Santrauka

K a t a l i k ų Ba ž n yč i o s Katekizmas Santrauka K a t a l i k ų Ba ž n yč i o s Katekizmas Santrauka Katalikų interneto tarnyba UDK 23/28:282 Ka575 Viršelyje: Gerasis Ganytojas. Krikščionių antkapinio akmens fragmentas. III a. pab. Roma (Italija), Domicilės

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Πολυδιάστατοι πίνακες. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Πολυδιάστατοι πίνακες. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Πολυδιάστατοι πίνακες Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

T U R I N Y S. Žmogus 3. Pavasarį pasitinkant

T U R I N Y S. Žmogus 3. Pavasarį pasitinkant SPECIALIZUOTAS ŽURNALAS PROFILAKTINĖS MEDICINOS, PSICHOLOGIJOS IR SVEIKATOS TEMOMIS 2006 Nr. 3 Kaina 4.44 Lt Prenumeratoriams 3.25 Lt T U R I N Y S Pavasarį pasitinkant Naujiena! Radio laida Sveikas zmogus

Διαβάστε περισσότερα

Prostatos vėžio epidemija

Prostatos vėžio epidemija Laikraščio partneris 2005 m. kovas gegužė 6 Numeryje: 2 psl. Kaip vyksta pirmoji atrankinė sveikatos patikra Lietuvoje Kiekvienas Vilniaus gyventojas gali tapti savanoriu ES struktūrinių fondų iš dalies

Διαβάστε περισσότερα

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ :

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.: FAX: e mail:othris.ate@gmail.com ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ : ΚΥΡΙΟΣ ΕΡΓΟΥ : ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ, ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΘΕΣΗ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΗΛΕΛΕΓΧΟΥ ΤΗΛΕΧΕΙΡΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

YTONG INTERIO nauja erdvės dimensija

YTONG INTERIO nauja erdvės dimensija YTONG INTERIO nauja erdvės dimensija YTONG INTERIO nauja erdvės dimensija Papildomi erdvės padalijimo elementai, kuriais galima sukurti draugišką patalpų interjerą. Svarbiausia galimybė pritaikyti erdvę

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Πίνακες (i) Δομημένη μεταβλητή: αποθηκεύει μια συλλογή από τιμές δεδομένων Πίνακας (array): δομημένη μεταβλητή που αποθηκεύει πολλές τιμές του ίδιου τύπου INTEGER:: pinakas(100)ή INTEGER, DIMENSION(100)::pinakas

Διαβάστε περισσότερα

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys 6 Tikimybių modelių avyzdžiai Sakome, kad atsitiktiis dydis X yra asiskirstęs agal biomiį dėsį su arametrais ir <

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Χημικός δεσμός

Κεφάλαιο 1 Χημικός δεσμός Κεφάλαιο 1 Χημικός δεσμός 1.1 Άτομα, Ηλεκτρόνια, και Τροχιακά Τα άτομα αποτελούνται από + Πρωτόνια φορτισμένα θετικά μάζα = 1.6726 X 10-27 kg Νετρόνια ουδέτερα μάζα = 1.6750 X 10-27 kg Ηλεκτρόνια φορτισμένα

Διαβάστε περισσότερα

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5. Μέθοδος διάσπασης LU Η µέθοδος πραγµατοποίησης η διάσπασης διάσπασης ενός πίνακα Α στη µορφή LU αναφέρεται στο πρόβληµα της A=LU (III.5.) Όπου Ο L είναι κάτω τριγωνικός

Διαβάστε περισσότερα

! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * / ) ",. #

!  #  $ #% $ ! #&'() ' ( * / ) ,. # Ψ ƒ! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * +",-.'!( / ) ",. # 0# $"!"#$%# Ψ 12/345 6),78 94. ƒ 9)")1$/):0;3;::9 >'= ( ? 9 @ '&( % A! &*?9 '( B+)C*%++ &*%++C 0 4 3'+C( D'+C(%E $B B - " % B

Διαβάστε περισσότερα

GIESM S IR VAIKû DAINOS

GIESM S IR VAIKû DAINOS GIEM IR VAIKû DAIN GIEM IR VAIKû DAIN Ißleido Pastar^j^ Dien^ πent^j^ J zaus Kristaus aωny ia olt Leik itis, Juta 1994, 1997, 2000 Intellectual Reserve, Inc. Leidybin s teis s priklauso leid jams Printed

Διαβάστε περισσότερα

Návod k obsluze KATILO MONTAVIMO IR NAUDOJIMOSI INSTRUKCIJA

Návod k obsluze KATILO MONTAVIMO IR NAUDOJIMOSI INSTRUKCIJA Hercules FANDA U26 Návod k obsluze KATILO MONTAVIMO IR NAUDOJIMOSI INSTRUKCIJA Turinys: psl. 1. Katilo paskirtis ir privalumai...3 2. Katilo techniniai duomenys...4 3. Katilo aprašymas...6 3.1 Katilo konstrukcija...6

Διαβάστε περισσότερα

Διαταραχή ιδιοτιμών συμμετρικού πίνακα. Ειρήνη Καλαθά

Διαταραχή ιδιοτιμών συμμετρικού πίνακα. Ειρήνη Καλαθά ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ Διαταραχή ιδιοτιμών συμμετρικού πίνακα Ειρήνη Καλαθά ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επιβλέποντες Μαρία Αδάμ Παντελεήμων Μπάγκος Επίκουροι Καθηγητές

Διαβάστε περισσότερα

Skaitmeninis tachografas DTCO 1381

Skaitmeninis tachografas DTCO 1381 Skaitmeninis tachografas DTCO 1381 Versijos 2.0 2.1 Vartotojo vadovas savininkui ir vairuotojui DTCO SmartLink (galima funkcija) www.dtco.vdo.com Duomenys apie leidinį Gerbiamieji vartotojai, Skaitmeninis

Διαβάστε περισσότερα

!"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7

!#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+45 64.%*)52(/7 !"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7 2010 2012 !"#$%!&'()$!!"#$% &!#'()* +(, $-(./!'$% $+0 '$ 1!")& '(, 2,3!4#*'& '&5 67µ3(, 0'$# (%!)%/µ(" '&5 $+849!:5 ()(-)&4:;(.# -$% & +4

Διαβάστε περισσότερα