III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:"

Transcript

1 III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia Kartais matricas žymėsime ir taip: α A = = β,, β n, α m yra n mačiai vektoriai eilutės, o α i ; i =,, m β j ; j =,, n yra m mačiai vektoriai stulpeliai Vektorius eilutė a,, a n yra n, o stulpelis b m b m eilės, matricos Matrica, kurios eilučiu ir stulpeliu skaičius vienodas, vadinsime kvadratine Kvadratinės matricos eile vadinsime eilučiu arba stulpeliu skaičiu Kvadratinės matricos elementai a, a 22, a nn vadinami pagrindinės i strižainės elementais, o elementai a n, a 2n, a n šalutinės i strižainės elementais Matricu aibėje, panašiai kaip ir vektoriu aibėje, yra apibrėžiama transponavimo operacija Tarkime, kad duota matrica a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Tada a a 2 a m A T = a 2 a 22 a m2 a n a 2n a mn 47

2 vadinsime, matricos A, transponuota ja matrica Nesunku pastebėti, kad transponavimo operacija sukeičia pradinės matricos eilutes ir stulpelius vietomis Taigi, jei pradinės matricos eilė m n, tai transponuotosios matricos eilė yra n m Kvadratinė matrica turinti savybe : a ik = a ki, i, j =,, n vadinama simetrine, o matrica, kurios elementams galioja sa ryšiai a ik = a ki, i, j =,, n vadinama asimetrine Matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui, vadinsime nuline ir žymėsime simboliu O Kvadratine, kurios visi pagrindinės i strižainės elementai lygūs vienam, o kiti elementai lygūs nuliui, vadinsime vienetine Ja žymėsime simboliu E n, kur indeksas apačioje reiškia matricos eile, taigi 0 0 E n = Matricu veiksmai Aibe m n eilės matricu, kuriu elementai realūs skaičiai, žymėsime simboliu R m n = { a ij ; i =,, m, j =,, n} Dvi tos pat eilės matricas vadinsime lygiomis, jeigu ju atitinkami elementai yra lygūs ir atvirkščiai, ty a ij = b ij tada ir tik tada, kai a ij = b ij Dvieju matricu A = a ij, B = bij Rm n suma vadinsime C = c ij Rm n, kurios elementai nusakyti tokiu būdu: cij = aik + b ik ; i =,, m, j =,, n Matricos A = a ij ir realaus skaičiaus l sandauga vadinsime matrica la = la ij ; i =,, m, j =,, n Taigi, aibė R m n yra uždara šios aibės elementu sudėties ir daugybos iš skaičiaus atžvilgiu Nurodysime kai kurias matricu veiksmu savybes Šias savybes i rodyti siūlome pačiam skaitytojui Matricu sudėtis yra komutatyvi sudėties atžvilgiu: A + B = B + A 2 Matricu sudėtis asociatyvi: A + B + C = A + B + C 3 Matricinė lygtis A + X = B turi vieninteli sprendini X = b ij a ij ; i =,, m, j =,, n Nesunku matyti, kad A + O = A, A + A = O Kitaip tariant, matricu aibėje galioja analogiška kėlimo i kita puse keičiant ženkla priešingu taisyklė, kaip ir skaičiu aibėje 48

3 4 Matricos ir realaus skaičiaus sandauga komutatyvi: la = Al 5 Tarkime, kad l, t R ir A, B kokios tai tos pačios eilės matricos Tuomet teisingi sa ryšiai: a l A + B = la + lb, b l + ta = la + lb, c lta = l ta Tarkime, kad A = a ij yra m s eilės, o B = bij yra s n eilės, matricos Tada matricu A ir B sandauga, žymėsime AB, vadinsime C = AB = c ij ; i =,, m, j =,, n, čia elementas c ij skaičiuojamas tokiu būdu: c ij = s a ik b kj ; i =,, m, j =,, n k= Taigi, norint apskaičiuoti matricos C elementa c ij mums teks matricos A, i osios eilutės elementus, padauginti iš atitinkamu matricos B j osios eilutės elementu, o po to visas sandaugas sudėti Iš paskutiniojo apibrėžimo aišku, kad daugybos operacija galima tik tarp matricu, kurios turi savybe : pirmojo daugiklio stulpeliu skaičius yra lygus antrojo daugiklio eilučiu skaičiui Iš pastaru ju samprotavimu aišku, kad kvadratiniu matricu aibė uždara ir daugybos atžvilgiu Daugyba priešingai negu sudėtis, bendrai paėmus, nėra komutatyvi ty, AB BA Siūlome skaitytojui tuo i sitikinti, atlikus daugybos operacija tarp dvieju, žemiau pateiktu matricu : 2 A = ir B = Teorema Bet kokiai n os eilės matricai teisinga lygybė: Be to, vienetinė matrica yra vienintelė Pažymėkime AE n = E n A = A δ ik = {, k = j, 0, k j Tuomet vienetine n os eilė galime pažymėti taip E n = δ ij ; i =,, n, j =,, n Ateityje kvadratinės matricos indeksu kitimo aibės nenurodysime, laikydami, kad i, k, j {,, n} Tad tarkime, kad A = a ik Pažymėje AE n = c ik turime, kad c ik = a ij δ jk = a ik δ kk = a ik ; i, k =,, n Antra vertus, pažymėje E n A = d ik turime, kad d ik = δ ij a jk = δ ii a ik = a ik, i, k =,, n Iš paskutiniu ju lygybiu išplaukia pirmosios teoremos dalies i rodymas Parodysime, kad vienetinė matrica n os eilės matricu aibėje yra vienintelė 49

4 Tarkime priešingai, ty egzistuoja kita matrica, pažymėkime ja E = e ij tokia, kad AE = EA = A Pasirinkime A taip, kad visi jos elementai būtu lygūs nuliui, išskyrus pagrindinės i strižainės elementus ty a ss 0 Tuomet iš lygybės AE = A gauname { a ii e ik = 0, i k, a ik = a ij e jk = a ii e ii = a ii, i = k Vadinasi, e ik = 0 kai i k ir e ii = Antra vertus, iš lygybės EA = A gauname { e ss a is = 0, i s, a is = e ij a js = e ss a ss = a ss, i = s Todėl e is = 0, kai tik i s Imdami s =,, n, gauname, kad matricos E visi pagrindinės i strižainės elementai yra vienetai, o like - nuliai O tai reiškia, kad E n = E 2 Teorema Kvadratiniu matricu daugyba yra asociatyvi, bei distributyvi, ty AB C = A BC ir A B + C = AB + BC Pažymėkime, AB = l km Aišku, kad lkm = n a kj b jm Tegu, AB C = dpq Tuomet d pq = Pažymėkime, BC = f km Taigi n l pj c jq = a pt b tj cjq t= = a pt btj c jq t= f km = b kj c jm Be to, pažymėje A BC = giq turėsime, giq = p= a ip b pj c jq = p= a ip f pq = p= a ip bpj c jq Iš paskutinosios ir lygybiu išplaukia, kad kvadratiniu matricu daugyba yra asociatyvi Distributyvumo savybe siūlome skaitytojui i rodyti savarankiškai 3 Teorema Bet kokios eilės matricu aibėje teisinga lygybė AB T = B T A T Tarkime, kad matrica A yra m s eilės, o matrica B yra s n eilės Pažymėkime 50

5 AB T = D = dik ir AB = C = cik Atkreipsime dėmesi, kad d ik = c ki ; i =,, n, k =,, m Be to c ki = n a kj b ji Dauginame matricas B T ir A T Visu pirma pažymėkime Tuomet čia b ik, a ik i rodyti h ik = B T A T = h ik b ij a jk = b ji a kj, yra atitinkami matricu B T, A T elementai Gavome, kad h ik = d ik Bet tai ir reikėjo 4 Teorema Teisinga nelygybė rang AB min{rang A, rang B} Tarkime, kad matricos A = a ij eilė yra m s, o matricos B = bjk eilė s n Pažymėkime matricu A, B, ir AB rangus raidėmis r A, r B ir r, atitinkamai Kadangi c ij = s a ik b kj ; i =,, m, j =,, n k= tai s k= c j c 2j c mj b kj = c k s a k b kj s a 2k b kj = s a mk b kj k= k= k= c 2k, j =,, n c mk Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad matricos AB stulpeliai yra matricos A stulpeliu tiesiniai dariniai Kadangi matricos A rangas lygus r A, o visi matricos AB stulpeliai yra matricos A stulpeliu tiesiniai dariniai, tai iš rango apibrėžimo išplaukia, kad bet kurie r A + matricos stulpeliai yra tiesiškai priklausomi Taigi r r A Analogiškai s ci, c i2,, c in = a ik b k, k= s a ik b k2,, k= s a ik b kn = k= s a ik b k, b k2,, b kn ; i =,, m k= Paskutiniosios lygybės reiškia, kad matricos AB eilutės yra matricos B eilučiu tiesiniai dariniai Vadinasi, r r B 5

6 33 Kvadratiniu matricu determinantai Pirmos eilės matricos a determinantu vadinsime skaičiu a Antros eilės kvadratinės matricos a a A = 2 a 2 a 22 determinantu, kuri žymėsime tokiu būdu: A = a a 2 a 2 a 22, vadinsime skaičiu A = a a 22 a 2a 2 Trečios eilės kvadratinės matricos a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 determinantu, kuri žymėsime a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33, vadinsime skaičiu A = a a 22a 33 + a 2a 23a 3 + a 3a 2a 32 a3 a 22 a 3 + a 2 a 2 a 33 + a a 23 a 32 Tarkime, kad duota n os eilės kvadratinė matrica a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Tada šios matricos determinanta žymėsime simboliu a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Prieš nurodydami n os eilės determinanto skaičiavimo taisykles, pateiksime keleta savoku Apibrėžimas n os eilės matricos determinanto A elemento a ij minoru žymėsime M ij vadinsime determinanta, kuris lieka iš šios matricos determinanto išbraukus i a ja eilute bei j a ji stulpeli Pavyzdžiui a 2 a n M = a 22 a 2n a n2 a nn Apibrėžimas Matricos elemento a ij adjunktu vadinsime skaičiu A ij = i+j M ij 52

7 Tarkime, kad duota n os eilės matrica Tada jos determinantu vadinsime skaičiu A = a j A j + a 2j A 2j + + a nj A nj = a j A j + a j2 A j2 + + a jn A jn, j =,, n jeigu jis egzistuoja Beje, pastarosios lygybės vadinamos determinanto skleidimu pagal j a ji stulpeli arba j a ja eilutes, atitinkamai Šiuo neefektyviu apibrėžimu mes šiek tiek rizikuojame, kadangi neatsakome i klausima ar šis apibrėžimas nėra tuščias ir antra, ar skaičiuojant visuomet reikia skaičiuoti sumas visiems j =,, n Iš karto nuraminsime skaitytoja, patvirtindami, kad taip iš tiesu šis apibrėžimas yra turiningas ir kas svarbiausia, kad minimas skaičius iš ties yra vienintelis visiems j =,, n Apie tai plačiau, jei skaitytojas susidomėtu, galima rasti A Matuliauskas Algebra arba P Survilos ir K Bulotos knygoje Algebra ir skaičiu teorija Determinantu savybės Iš pastarojo apibrėžimo išplaukia, kad A = A T 2 Aišku, kad jei bent vienos determinanto eilutės arba stulpelio visi elementai lygūs nuliui, tai šis determinantas lygus nuliui 3 Sukeitus determinanto eilutes vietomis, determinanto ženklas pasikeičia i priešinga, tačiau absoliuti jo reikšmė nesikeičia Tai išplaukia iš tokiu samprotavimu Žinome, kad A = a M a 2 M n a n M n Sukeite determinanto eilutes vietomis, tarkime pirma ja su antra ja, ir skaičiuodami determinanto reikšme pagal antra ja eilute turime, kad a 2 a 22 a 2n A = a a 2 a n = a n a n2 a nn a M + a 2 M 2 + n a n M n Tai ir i rodo nagrinėjamo teiginio teisinguma 4 Jei determinantas turi bent dvi vienodas eilutes arba stulpelius tai jo reikšmė lygi nuliui Pastarasis tvirtinimas yra tiesioginė 3 savybės išvada Pastebėsime, kad sukeite dvi vienodas eilutes vietomis gausime determinanta, kuris turi skirtis nuo pradinio ženklu, tačiau akivaizdu, kad tuo pat metu jo reikšmė turi būti tokia pat kaip ir pradinio juk sukeitėme vienodas eilutes determinanto Vadinasi šijuo atveju lygybė galima vieninteliu atvejis, ty kai determinanto reikšmė lygi nuliui 5 Iš determinanto eilutės stulpelio galime iškelti bendra daugikli Tai išplaukia iš determinanto apibrėžimo 6 Apibendrindami dvi paskutinia sias savybes galime tvirtinti, kad jei determinantas turi dvi proporcingas eilutes stulpelius, tai jo reikšmė lygi nuliui 7 Jei vienos determinanto eilutės elementus padauginsime iš kitos eilutės adjunktu ir sudėsime, tai ši suma bus lygi nuliui, pavyzdžiui Žinome, kad Užrašykime suma a k A j + + a in A jn = 0 A = a j A j + a j2 A j2 + + a jn A jn D = a ka j + a k2a j2 + + a kna jn Nesunku suprasti, kad paskutinioji suma reiškia determinanta, kurio j oji ir k oji eilutės sutampa Bet žinome, kad toks determinantas lygus nuliui 53

8 8 Jeigu determinanto kokia norw eilute stulpeli padauginsime iš skaičiaus nelygaus nuliui ir sudėsime su kita eilute stulpeliu tai naujai gautas determinantas lygus pradiniam Pastarasis tvirtinimas yra tiesioginė 6 savybės išvada Siūloma ja patikrinti skaitytojui pačiam 8 Paskutinia ja išvada galime papildyti tokiu teiginiu: Jei determinanto kokia nors eilutė yra kitu eilučiu tiesinis darinys, tai šis determinantas lygus nuliui Determinanto skaičiavimas remiantis jo savybėmis Determinanto eilučiu stulpeliu elemetariaisiais pertvarkiais vadinsime a eilučiu stulpeliu keitima vietomis, b eilučiu stulpeliu dauginima iš skaičiaus nelygaus nuliui ir c eilučiu stulpeliu sudėti Remdamiesi auksčiau išvardintomis savybėmis galime tvirtinti, kad elementarieji pertvarkiai keičia kita ir tokia, kad pradinės ir pakeistosios matricos determinantai sutampa Skaitytojui paliekame i sitikinti, kad matricos A determinanta visuomet galime perrašyti žemiau nurodytu būdu: a a 2 a n a a 22 a 2n = a 2 a 22 0 n = a ii 2 i= 0 0 a nn a n a n2 a nn 34 Atvirkštinė matrica Kramerio metodas Apibrėžimas Sakysime, kad kvadratinė matrica yra reguliari, jeigu jos rangas lygus matricos eilei Priešingu atveju sakoma, kad matrica singuliari Apibrėžimas Matrica A vadinsime matricai A atvirkštine matrica, jeigu A A = AA = E Taigi, norint rasti matricos atvirkštine tenka spresti tokia lygčiu : { AX = E n Y A = E n, 2 3 čia X ir Y nežinomos matricos Vadinasi, jei paskutiniosios lygčiu sistemos sprendiniai sutampa, tai atvirkštinė egzistuoja Pasirodo, kad teisinga tokia 5 Teorema Jeigu egzistuoja 3 sistemos bent vienos iš lygčiu sprendinys, tai egzistuoja ir kitos lygties sprendinys Dar daugiau, šie sprendiniai sutampa Sakykime, kad egzistuoja 3 sistemos lygties sprendinys X = A Padauginkime, iš matricos A, 2- a ja šios sistemos lygti iš dešinės Gauname Y AA = E n A Bet AA = E n ir Y E n = Y Taigi, Y = A Samprotaudami analogiškai galime parodyti, kad ir X = A Kyla klausimas, ar kiekviena matrica turi atvirkštine? 6 Teorema Tam, kad matrica turėtu atvirkštine būtina ir pakankama, kad ji būtu reguliari Tarkime, kad atvirkštinė matrica egzistuoja Žinome, kad matricos E n rangas lygus n Remdamiesi 4 teorema gauname, kad rangaa ranga Taigi, n ranga Antra vertus, kvadratinės matricos rangas ne didesnis už jos eile Gauname, kad matricos A rangas lygus n, taigi, matrica A reguliari 54

9 I rodysime atvirkštini teigini Tarkime, kad matricos A rangas lygus n Matricine lygti AX = E užrašykime taip: a j x j a j x jn 0 = a nj x j a nj x 0 jn Naudodamiesi matricu lygybės apibrėžimu, pakeiskime pastara ja lygybe tokia lygčiu sistema: a ij x jk = 0; i k, i =,, m, 4 a kj x jk = ; k =,, n Pastaroji sistema reiškia n tiesiniu lygčiu sistemu su n nežinomaisiais, aibe Pastebėkime, kad visu šiu sistemu koeficientu matricos sutampa ir lygios matricai A Kadangi matricos A rangas yra lygus n, tai visos šios sistemos turi sprendinius, tarkime xj, x j2,, x jn ; j =,, n Šiuos sprendinius suraše i ir turėsime ieškoma ja atvirkštine Atkreipsime skaitytojo dėmesi i tai, kad paskutinioji teorema pasiūlo metoda, kaip būtu galima apskaičiuoti matricos atvirkštine Bet šis metodas turi ir trūkuma, kadangi norint rasti, kad ir trečios eilės matricos atvirkštine, tektu spre sti tris lygčiu sistemas Tačiau nėra to blogo kas neišeitu i gera! Prisiminkime modifikuota Gauso metoda tiesiniu lygčiu sistemoms spre sti ir tai kas buvo auksčiau pasakyta Visos mūsu lygčiu sistemos turi tas pačias matricas ir sistemos skiriasi tik laisvu ju nariu stulpeliais O tai reiškia, kad visoms sistemoms atliekami tie patys eleminavimo žingsniai suvedimas i trikampi pavidala skiriasi tik operaciju rezultatai atliekami su laisvu ju nariu stulpeliais Tikimės, kad skaitytojas nesunkiai supras, kad 4 sistemu visuma galime perrašyti taip: a a 2 a n 0 0 a 2 a 22 a 2n 0 0 a n a n2 a nn 0 0 Kitaip tariant prie sistemu bendrosios matricos šalia prirašėme vienetine Beje, kiekvienas vienetinės matricos stulpelis kartu su sistemos matrica nusako tam tikra tl Gautoji matrica yra n 2n eilės Jau žinome, kad eilučiu elementariu ju pertvarkiu dėka, pastara ja galime pertvarkyti i tokia : 0 0 c c 2 c n 0 0 c 2 c 22 c 2n 0 0 c n c n2 c nn Tada matricos A atvirkštinė yra tokia c c 2 c n A = c 2 c 22 c 2n c n c n2 c nn kodėl? 55

10 7 Teorema Jeigu egzistuoja matricu A, ir B atvirkštinės matricos, tai egzistuoja ir ju sandaugos atvirkštinė, kuri skaičiuojama tokiu būdu: AB = B A Patikrinkime, ar iš tiesu B A yra matricos AB atvirkštinė Taigi, pakanka suskaičiuoti AB B A = A BB A = AA = E n 8 Teorema Jeigu egzistuoja matricos A atvirkštinė, tai egzistuoja ir jos transponuotosios matricos atvirkštinė Be to, transponuotosios atvirkštinė yra lygi atvirkštinės transponuota jai, trumpai A T = A T Aišku, kad AA T = E T n Todėl A T A T = En T = E n Tuo ir baigiame teoremos i rodyma 9 Teorema Jei tiesinės lygčiu sistemos matrica reguliari, tai jos sprendinys yra skaičiuojamas tokiu būdu: arba čia b X = A, b n X T = b,, b n A T, b β =, b n yra laisvu ju nariu stulpelis Nesunku suprasti, kad tiesiniu lygčiu, naudodami matricas, galime perrašyti taip AX = β, kur X nežinomu ju stulpelis Kadangi matrica A reguliari, tai ji turi atvirkštine Iš čia ir išplaukia teoremos i rodymas Pasirodo, matricos reguliarumas priklauso nuo to ar matricos determinantas nulis ar ne 0 Teorema Matrica A yra reguliari tada ir tik tada, kai A 0 Tarkime, kad matrica reguliari Tuomet jos rangas lygus n Dar daugiau, elementariu ju pertvarkiu dėka, šia galime transformuoti i Jau žinome, kad paskutiniosios matricos determinantas yra lygus žr 2 lygybe 56

11 I rodysime atvirkštini teigini Tarkime, kad matricos determinantas nelygus nuliui Elementariu ju pertvarkiu pagalba matricos determinanta galime transformuoti i determinanta a a 2 a n 0 a 22 a 2n, 0 0 a nn kuris lygus pradinės matricos determinantui, beje, pagrindinės i strižainės visi elementai nelygūs nuliui Pastebėsime, kad paskutini ji determinanta atstovaujanti matrica a a 2 a n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn reguliari, kadangi jos rangas lygus n Išvada Jei matrica singuliari, tai jos determinantas lygus nuliui Remdamiesi paskutinia ja teorema, 6 teorema perrašome taip: Teorema Matrica A turi atvirkštine tada ir tik tada, kai A 0 Dar daugiau, atvirkštinė gali būti skaičiuojama tokios formulės pagalba A = A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 A n A 2n A nn Pirmoji teoremos dalis tiesioginė 0 teoremos išvada Parodykime, kad pateiktoji matrica iš tiesu yra matricai A atvirkštinė Tam pakanka parodyti, kad matricos A ir nurodytos matricos sandauga yra vienetinė matrica Skaičiuokime: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn A A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 = A n A 2n A nn a ij A kj = δ ik ; i, k =,, n Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad nurodyta matrica yra atvirkštinė Tarkime, kad turime tiesiniu lygčiu a ji x i = b j ; j =,, n, i= kurios matricos determinantas nelygus nuliui Pastebėsime, kad pastara ja lygčiu galime užrašyti matricine forma taip: x b AX = β, X =, β = 5 x n b n 57

12 Kadangi matricos determinantas nelygus nuliui, tai egzistuoja šios matricos atvirkštinė A 5 lygybės abi puses padaugine iš kairės iš atvirkštinės matricos gauname, x b = A x n b n Antra vertus, A b b n = A A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 A n A 2n A nn A j b j x = A jn b x n j Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad x k = A b b n = A jk b j =: A k, k =,, n 6 A Apibendrindami pastebėsime, kad k asis nežinomasis yra lygus tlsistemos matricos, kurios k asis koeficientu stulpelis pakeistas laisvu ju nariu stulpeliu, determinanto kuri pažymėjome simboliu A k ir tiesiniu lygčiu sistemos matricos determinanto, santykiui, k =,, n 6 formulės yra vadinamos Kramerio formulėmis lygčiu sistemai spre sti Ir pabaigai pastebėsime, kad homogeninė tls turi nenulini sprendini tada ir tik tada, kai jos matricos determinantas yra lygus nuliui Šios pastabos i rodyma paliekame skaitytojui 35 Leontjevo modelis Laikysime, kad gamybine sudaro n ūkio subjektu, kuriuos pažymėkime simboliais U,, U n Kiekvienas iš šiu subjektu gamina kokia nors viena produkcijos rūši, P j ; j =,, n Gaminamos produkcijos kiekius pažymėkime x,, x n atitinkamai Tada vektoriu x α = x 2, vadinsime gamybos plano vektoriumi x n Papildomai tarkime, kad gamybos technologija yra tokia, kad dalis gaminamos produkcijos yra sunaudojama vietinėms reikmėms Tarkime, kad šie sunaudojami kiekiai yra y, y 2,, y n atitinkamai Tada β = y y 2 y n, vadinsime produkcijos sanaudu vektoriumi Skirtuma α β = γ vadinsime grynosios produkcijos vektoriumi, ty x y γ = x 2 y 2 x n y n 58

13 Tarkime, kad minėtosios produkcijos poreikiai yra tokie c,, c n Tada c c 2 δ = c n, vadinsime paklausos vektoriumi Atsakykime, i toki klausima : kada ekonominė sistema yra subalansuota, ty kada grynosios produkcijos kiekiai sutampa su paklausa? Kitaip tariant, kada γ = δ? Tarkime, kad produkcijos P i vienetui pagaminti, kuris naudojamas ekonominės sistemos vidaus poreikiams, yra sunaudojama visos produkcijos P j dalis a ij čia i, j =,, n Skaičiai a ij yra vadinami technologiniais koeficientais, o matrica a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, a n a n2 a nn vadinama technologine matrica Taigi, norint kad gamyba fukcionuotu, vidiniam vartojimui reikalingas toks produkcijos kiekis: β = Aα Tada grynosios produkcijos vektoriu galime išreikšti taip: γ = α β = α Aα Prisiminkime, kad α = E n α Tada α Aα = E n α Aα = E n A α Taigi, balanso lygti γ = δ galime perrašyti taip En A α = δ Bet paskutinioji lygybė reiškia tokia lygčiu : a x a 2 x 2 a n x n = c, a 2 x + a 22 x 2 a 2n x n = c 2,, a n x a n2 x 2 + a nn x n = c n Galime padaryti tokia išvada : norint sudaryti subalansuota ekonominės sistemos gamybinės veiklos plana α, reikia išspre sti paskutinia ja lygčiu Pastarosios sistemos sprendinys ir galėtu būti laikomas planu α = x,, x n, jeigu visos sprendinio komponentės x j, j =,, n yra neneigiamos Neigiamos komponentės turėdamos matematine prasme, šia savybe nepasižymi ekonomikoje Tad planas α turi būti ne tik lygties E n A α = δ sprendiniu, bet ir visos sprendinio komponentės turi būti neneigiamos Apibendrinkime tai Sakysime, kad ekonominė sistema, su technologine matrica A yra produktyvi, jeigu balanso lygtis E n A α = δ turi sprendini α, kurio visos komponentės neneigiamos, koks bebūtu produkcijos paklausos vektorius δ Mes žinome, kad būtina ir pakankama balanso lygties sprendinio egzistavimo sa lyga yra tokia: balanso lygties matrica yra reguliari Yra žinoma, kad 2 Teorema ekonominė sistema, kurios technologinė matrica A, yra produktyvi tada ir tik tada, kai atvirkštinė matrica E n A egzistuoja ir visi šios matricos elementai yra teigiami Ekonominės sistemos produktyvumo paieškos uždavinys yra vadinamas Leontjevo modeliu Aukščiau aptartas ekonominis modelis buvo išvystytas amerikiečiu ekonomisto W W Leonteff Technologinė matrica nurodo sa ryšius tarp i vairiu ekonominiu subjektu per tam tikra laiko momenta Beje, šie sa ryšiai yra išreikšti procentiniai santykiais Kiek kitaip apžvelkime aukščiau formalizuota ūkine Tarkime, kad ūkine sudaro trys gamybiniai subjektai A, B, C kurie tuo pat metu yra ir gamintojai ir vartotojai Be šiu subjektu galimi ir kiti 59

14 išoriniai vartotojai, nepriklausantys šiai gamintoju sistemai Kita vertus be šiu triju gamintoju gali būti ir kiti šiai triju gamintoju sistemai nepriklausantys gamintojai, beje šie gtamintojai savo produkcija siūlo vartotojams, bet subjektai A, B, C šios pagamintos produkcijos nevartoja Vartotoju sektorius kaip ir gamintoju sektorius sutampa Tai gali būti žemės ūkis, atskiro pramonės šakos, namu ūkis, vyriausybė ir kt Aptarta modeli aprašome tokia matrica: A B C KV A B C KG čia KV- kiti vartotojai ir KG- kiti gamintojai Matricos eilutėse nurodoma, kaip atitinkamu gamybiniu subjektu produkcija yra vartojama kitu subjektu Pavyzdžiui, gamybinio subjekto A 50 sa lyginiu vienetu suvartoja pats subjektas A, 70 vienetu suvartoja subjektas B, 200 vienetus subjektas C ir 360 kiti vartotojai Matricos stulpeliuose yra nurodoma kiek, kitu gamybos sektoriu, produkcijos suvartoja fiksuotas sektorius Pavyzdžiui subjektas B suvartoja 70 subjekto A produkto sa lyginiu vienetu, 30- subjekto B paties vienetu, 240- subjekto C vienetu ir 370 kitu gamintoju gaminamos produkcijos vienetu Jei nagrinėjama sistema subalansuota, tai eilutės bei atitinkamuose stulpeliuose bendra produktu vienetu suma turi sutapti Atkreipsime dėmesi, kad pirmosios eilutės bei pirmojo stulpelio sumos lygios 680 Akivaizdu, kad padidinus vieno kurio nors subjekto gamybinius pajėgumus turi augti ir kitu subjektu gamybiniai pajėgumai, o tuo pačiu ir vartojimas ir atvirkščiai, jei ūkinė sistema yra subalansuota Pastebėsime, kad pateiktos ūkinės sistemos technologinė matrica yra tokia: A = Ūkinėje sistemoje yra gamintojai ir vartotojai Beje, gamintojai tuo pačiu ir vartotojai Technologinėje matricoje koeficientai nurodo kokia visos pagamintos produkcijos dali suvartoja, gamybos procese, ūkinis subjektas Atkreipsime dėmesi, kad KG kiti gamintojai tenkina tik ūkinės sistemos poreikius ir nedalyvauja išoriniu poreikiu tenkinimo procese Vadinasi padidėjus vartojimui tuo pačiu turi didėti ir gamyba, tuo tarpu technologinės matricos koeficientai, esant subalansuotai ekonominei sistemai turi išlikti pastovūs, kadangi sa lyginiam vienetui pagaminti reikalinga kitu produktu dalis nepasikeičia Tad galima teigti, kad technologinė matrica yra ūkine charakterizuojantis dydis Tad norint nustatyti gamybos lygi plana, padidėjus vartojimui tereikia išspre sti balanso lygti Panagrinėkime aptarta teorine konstrukcija konkrečiu pavyzdžiu Tarkime ūkine sudaro du gamybiniai subjektai, o sistema aprašoma tokia matrica:

15 A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A B Kiti gamybos faktoriai Bendra apimtis Matome, kad šios ūkinės sistemos produkcijos išoriniai poreikiai yra tokie: A produkcijos 460, o produkcijos B 940 Sudarykime šios sistemos technologine Turime, kad A = Tarkim, kad A produktu poreikis padidėjo nuo 460 iki 500, o produktu B poreikis nuo 940 iki 200 Panagrinėkime kaip pasikeis gamybos apimtis Aišku, kad šiuo atveju atitinkamu gaminamu produktu skaičius poreikis X A, X B gali būti užrašytas tokiomis lygtimis: X A = 5 X A + 3 X B + 500; X B = 3 0 X A X B Užrašykime šia matricine lygtimi Turime, kad XA XA = arba X B X = A X + C, X = XA X B X B Spre sdami šia matricu lygti gauname plano lygti : X = E A C , , C = 200 Te sdami skaičiavimus gauname, kad 0 4 E A = = E A = Tada X = E A C = Sudarykime technologine lentele esant naujam gamybos planui Turime, kad 6

16 A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A 280, 9 623, , 5 B 42, , Kiti gamybos faktoriai 702, , Bendra apimtis 404, Mažiausiu kvadratu metodas Tarkime, kad tiesinė lygčiu sistema AX = Y yra nesuderinta Tada tiesinė lygčiu sistema A T AX = A T Y yra vadinama sistemos AX = Y normalia ja sistema Jei normalioji sistema yra suderinta, tai šios sistemos sprendiniai yra vadinami sistemos AX = B mažiausiu kvadratu sprendiniais Pavyzdys Tarkime plokštumoje duoti n tašku x, y ;, x n, y n Problema tokia: rasti k ojo laipsnio polinoma y = a k x k + a k x k + a x + a 0 geriausiai reprezentuojanti šiuos duomenis Kitaip tariant rasime k ojo laipsnio polinoma toki, kad atstumu nuo šiu tašku iki polinomo grafiko kadratu suma būtu minimali Sudarome lygčiu polinomo koeficientams rasti darydami prielaida, kad šiam polinomui priklauso minėti taškai a k x k + a k x k + a x + a 0 = y, a k x k 2 + a k x k 2 + a x 2 + a 0 = y 2,, a k x k n + a k xn k + a x n + a 0 = y n Užraše matricu lygtimi turime, kad AX = Y, čia x k x k x A = x k 2 x k 2 x 2, X = x k n x k n x n a k a k a 0, Y = I domu tai, kad ši sistema, bendrai nagrinėjant, sprendiniu neturi, kadangi laisvai pasirinkus taškus plokštumoje nereikia tikėtis, kad šie taškai priklausys polinomo grafikui Sudarome šios y y 2 y n 62

17 sistemos normalia ja, kuri jau turės sprendinius, o sprendiniai kaip tik ir bus ieškomi polinomo koeficientai Normalioji sistema yra tokia: x k x k 2 x k n x k CX = A T Y, C = A T A = x k x2 k x k x k x n x k 2 x k 2 x 2 x k n xn k x n Tada ieškomus koeficientus randame tokiu būdu: a k a k a a 0 = C A T Y Panagrinėkime pavyzdi Pavyzdys Duoti trys taškai, ; 2, 3; 3, 2 Naudodami mažiausiu kvadratu metoda raskite tiesės lygti ax + b = y geriausiai aproksimuojančia šiuos duomenis Sudarome AX = Y, čia: a + b =, 2a + b = 3 3a + b = 2; arba a = b 3 2 Padaugine abi lygybės puses iš matricos A T gauname: a 2 3 = 3 b 3 2 Atlike matricu aritmetinius veiksmus gauname 4 6 a 6 3 b Tada Arba a 3 = C = b 6 6 = a = 2 b gauname, kad mažiausiu kvadratu tiesė yra tokia: y = 2 x

18 Temos teoriniai klausimai Matricu veiksmai Veiksmu savybės 2 Kvadratiniu matricu determinantai Determinantu eilučiu stulpeliu savybės 2 Reguliarios siguliarios matricos Atvirkštinės matricos egzistavimo sa lygos 3 Matricu lygtys 4 Teorema apie matricu sandaugos ranga 5 Tiesiniu lygčiu sistemu sprendimas taikant atvirkštinės matricos metoda ir Kramerio metoda 6 Leontjevo modelis 7 Mažiausiu kvadratu metodas Uždaviniai savarankiškam darbui Matricos ir determinantai Duota matrica a Nustatykite matricos eile b Kam lygi suma A = a 2 + a 34 + a 42 + a 33? c Raskite šios matrios pagrindinės ir šalutinės i strižainiu elementu skirtuma Ats: a matricos eilė 4 4 arba tiesiog ketvirtos eilės matrica b 7 c - 2 Tarkime, kad matrica A yra 3 4 eilės, kurios elementai apibrėžti tokiu būdu: A = a ij ; aij = i+j 2i + 3j Sudarykite šia Ats: A = Kompanija parduoda triju rūšiu kilimėlius A, B, C, kurie be to yra raudonos, žalios, mėlynos bei violetinės spalvos Mėnesio pardavimu ataskaita kompanija surašo i, kurios eilutėse rašo atitinkamu rūšiu A, B, C pardavimu kiekius, o stulpeliuose nurodo spalvos koda - raudona, žalia, mėlyna, violetini, atitinkamai Žemiau yra pateiktos Sausio bei Vasario pardavimu ataskaitos: S = 0 3 5, V = a Kiek žaliu B rūšies kilimėliu buvo parduota Sausio mėnesi? b Kiek B rūšies kilimėliu buvo parduota vasario mėnesi? 64

19 c Kuri mėnesi buvo daugiausia parduota violetiniu kilimėliu? d Kurios rūšies ir kurios spalvos kilimėliu buvo parduota vienodai per abu mėnesius? e Kuri mėnesi daugiausia parduota B rūšies kilimėliu? f Kiek iš viso buvo parduota kilimėliu sausio mėnesi? g Sudarykite abieju mėnesiu pardavimu G h Raskite metiniu pardavimu M, jei žinoma, kad ji sudaroma tokiu būdu: 00% didesni visu rūšiu ir spalvu sausio pardavimai plius 200% didesni vasario mėnesio pardavimai Ats: a 7; b 3; c V asario; d B; mėlyni e V asario; f 35; g G = h S = Apskaičiuokite AB, BA bei, jei i manoma AB BA, kai a A =, B = b 2 2 A =, B = c A = 2 0 3, B = I sitikinkite, kad AB T = B T A T Ats: a skirtumas negalimas b b AB BA = b AB BA = Jei i manoma apskaičiuokite sandaugas AB, kai a A = , B = 4 4 ; b A = 2 3 4, B = 5 ; 6 c A = 2, B =

20 d A = 2 2, B = 5 3 ; Ats: a sandauga negalima b 32 6 c 2 2 d Apskaičiuokite ABC jei a A = 2, B = 3 4 I sitikinkite, kad ABC = ABC Ats: Apskaičiuokite AB + C jei 0 a A =, B = 2 3 I sitikinkite, kad AB + C = AB + BC Ats: ; C = ; C = Raskite 3A 2I, jei I vienetinė antros eilės matrico, o 3 2 A = 4 Ats: 3A 2I = Tarkime, kad duotos matricos: A =, B =, C = 0 3, D = 0, F = E = ,, G = 0 6 0, H = 0 0, I = Atlikite tokius matricu veiksmus: 66

21 a AB; b CF ; c DG; d EC; e DI G; f 3A 2BC; g 2I GH; h DCA 3 2 Ats: a 4 2, b g 3, c d e 0 ; f 0 ; h ; g , 23 0 Remiantis sutartimi firma privalo pastatyti 5 rastinius RA, 7 karkasinius KA bei 2 mūriniu MU namu Šia sutarti galima apibrėžti matrica A = Šiems pastatams pastatyti reikia metalo M, medienos W, stiklo S, gipso gaminiu G, darbo jėgos D Trumpiniais žymime atitinkamu poreikiu vienetu skaičiu Susiekime kiekviena pastata su medžiagu poreikiais tokia matrica M W S G D RA KA MU a Apskaičiuokite visu medžiagu bendruosius poreikius b Nustatykite kiekvieno namo bendra ja sa matine verte, jeigu M vienetas kainuoja 500 Lt, W- 800 Lt, S- 500 Lt,G- 00 Lt, D-000 Lt c Nustatykite visu namu bendra sias statybos išlaidas Ats: a ; b c Panagrinėkime supaprastinta ekonomine, kuria sudaro trys pramonės šakos, tarkime žemės ūkis Z, pramonė P bei aptarnavimo sfera A bei trys sa lyginiai vartotojai, 2, 3 Nesunku suprasti, kad ne tik išoriniai vartotojai, bet ir šios atskiros pramonės šakos gali būti kitu šaku produktu vartotojai Šiuo atveju laikome, kad pramonės šaka nėra savo produkcijos vartotoja, bet nesunju suprast, kad bendrai paėmus taip galėtu būti Tegu D, D 2, D 3 yra triju vartotoju poreikiu matricos, o D Z, D P, D A yra pramonės šaku 3 eilės vartojimo matricos Pavyzdžiui tarkime, kad ir D = 3 2 5, D 2 = 0 7, D 3 = D Z = 0 4, D 2 = , D 3 = Tarkime, kad sa lyginis žemės produkcijos kainuoja 0000 Lt, pramonės Lt, o aptarnavimo sferos LT 67

22 a Nustatykite bendra visu pramonės šaku gaminamos produkcijos poreikiu b Nustatykite kokias išlaidas turi kiekviena atitinkama ūkio šaka bei atitinkami išoriniai vartotojai esant nurodytoms sa lyginiu vienetu kainoms bei pirkimu kiekiams; c Nustatykite kiekvienos pramonės šakos gauta pelna Ats: a ; b ; , c Apskaičiuokite AX + B C, kai A = 0 2, B =, Ats: a O = C = 0 0, X = a Raskite visas antros eilės matricas, kuriu kvadratas yra lygus nulinei matricai b Raskite visas antros eilės matricas, kuriu kvadratas lygus vienetinei matricai Ats: a 0 0, a 0 0 a, 0 0 ab a b, ab ab a b ab b ± 0, a ± ± a 0 ± 4 Raskite pateiktu matricu atvirkštines, naudodami Gauso-Žordano metoda, jeigu egzistuoja: a A = 5 3 2, b B = c C = Ats: a A = ; b B = ; c C =

23 5 Išspre skite matricu lygti AX = B, naudodami Gauso-Žordano metoda : A = ; B = Ats: X = Apskaičiuokite determinantus: a ; b ; c d ; e ; f Ats: a 44; b 2 c 47 d 35; e 33 f 24 7 Apskaičiuokite determinantus: a ; b Ats: a 06; b 08 8 Apskaičiuokite matricos atvirkštine, naudodamiesi atvirkštinės matricos skaičiavimo formule naudojant adjunktus: a A = 3 0, b B = Ats: 2 2 a A = ; a B = Išspre skite pateiktas matricu lygtis: a AB 2 XA 2 + B = E, A = 69 2, B =

24 b B 2 ABXB A = E, A = 2, B = c AX + B = C, A = 2, B = 2 3, C = 0 0, Ats: a X = B 2 A E BA 2 = b X = B A B 2 A B = c X = A C B = Naudodami Kramerio metoda apskaičiuokite: { 2x + 3y =, 4x + 2y z = 5, a b x 3y + 8z = 7, 3x 4y = 9, 5x y + z = 6; 4x + 2y z + t =, 4x + y 3z = 3, 2x y + 8z = 9, c x 3y + 5z = 0, d 5x + 3y + 2z 4t = 3, 7x + 3y 9z = 4; x + y + 3z + t = 8 Ats: a, 3; b, 0, ; c, 2, ; d 2,,, 2 2 Naudodami Kramerio metoda nustatykite, kokios turi būti parametru m, n reikšmės, kad sistema 3x 2y + z = 2, x y + 4z = n, 5x + my 2z = 3; turėtu a vieninteli sprendini, b neturėtu sprendiniu, c turėtu begalo daug sprendiniu? Ats: a m 3; b m = 3, n ; c m = 3, n = 22 Kokia turi būti parametro reikšmė, kad sistema turėtu vieninteli sprendini x + y + z + mu = 5, x + y + mz + u =, 2 x + my + z + u =, mx + y + z + u = Ats: m 23 Tarkime, kad ekonomine sudaro du gamintojai Ju produkcijos paklausos matrica ir technologinė matrica, atitinkamai, yra tokie 70

25 560 a C =, b C =, ; Ar egzistuoja gamybos optimalus planas? Jei taip raskite ši plana Sudarykite su 6iuo planu susieta technologine lentele Ats: a b Tarkime, kad ekonominės sistemos gamintoju technologinės ir atitinkamos poreikiu matricos yra tokios: a A = , C = 200 ; b A = , C = Raskite gamybos planus esant nurodytiems poreikiams Sudarykite technologines lenteles, kurios būtu susietos su naujais poreikiais Ats: a X = b X Tarkime, kad ūkine sudaro du gamintojai, A ir B Gamybos ryšiu matrica apibrėžta tokiu būdu: A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A B Kiti gamybos faktoriai Bendra apimtis Raskite šios ūkinės sistemos technologine Raskite ūkiniu šaku A ir B pagamintos produkcijos kiekius X A ir X B gamybos plana, jei žinoma, kad produkcijos A poreikiai pakis nuo 500 iki 600, o produkcijos B poreikiai pakis nuo 900 iki 805 Raskite KG kitos gamybos faktoriu kaštus K Ats: a X A 290, X B 425 K = Tarkime, kad ūkine sudaro trys gamintojai, A B ir C Gamybos ryšiu matrica apibrėžta tokiu būdu: 7

26 A B C Kiti poreikiai A B C Kiti gamybos faktoriai Raskite šios ūkinės sistemos technologine Raskite ūkiniu šaku A, B ir C pagamintos produkcijos kiekius X A ir X B, X C gamybos plana, jei žinoma, kad a produkcijos A poreikiai pakis iki 50, produkcijos B poreikiai pakis iki 40 ir produkcijos C poreikiai pakis iki 30 b produkcijos A poreikiai pakis iki 0, produkcijos B poreikiai pakis iki 0 ir produkcijos C poreikiai pakis iki 24 Ats: a X A 298, X B 350, X C 443; b X A 02, X B 25, X C Užpildykite matricas taip, kad ūkinė sistema būtu subalansuota a A B Kiti poreikiai Galutiniai poreikiai A 400 y B x 500 Kiti gamybos faktoriai Bendra apimtis Ats: a x = 500, y = Naudodami mažiausiu kvadratu metoda matricine forma raskite lentelėje pateiktus taškus geriausiai aproksimuojančia tiesinės regresijos lygti : x y Ats: y = Naudodami mažiausiu kvadratu metoda, raskite kvadratinės regresijos lygti, jei duomenu aibė tokia: ; 3, 2; 3, 3; 7, ; 2, 2; 8 Ats: y = 4 54 x x

27 30 Naudodami mažiausiu kvadratu metoda, raskite kvadratinės regresijos lygti, jei duomenu aibė tokia: ; 0, 2; 4, 0; 2, ; 4, 2; Ats: y = 2 7 x2 5 x 7 35 Užduotys namu darbams Matricos ir determinantai Apskaičiuokite AB BA, kai A = 5 2, B = Išsprende lygti A + B + X = 2B A, apskaičiuokite matricos X determinanta, jei A = 2 2 3, B = Apskaičiuokite visas i manomas matricu sandaugas, kai a A = , B = 4 4 ; C = , D = Apskaičiuokite matricos X 2 determinanta, jei A 2 2X = AB 2, kai A = 2, B = Išspre skite matricu lygtis: A 2 BXAB = ABA, kai A = 2 ; B = Raskite X 2, jei BA XABA + B = A, kai A = ; B = Apskaičiuokite determinantus: a ; b ; c

28 7 Apskaičiuokite matricos atvirkštine, naudodamiesi atvirkštinės matricos skaičiavimo formule naudojant adjunktus: , b Apskaičiuokite matricos atvirkštine, naudodamiesi Gauso-Žordano būdu: a 2 2, b Naudodami Kramerio metoda apskaičiuokite: a 2x + y + z = 7, 4x + 3y + 2z = 6, 2x y 3z = 9; b c 2x + 3y + 2z + t = 6 x + 4y + 3z + 2t = 8, 4x + 2y + z + t = 7, x + 2y + 3z + t = 6 0 Duota gamybos- sa naudu matrica Raskite ūkinės sistemos technologine bei gamybos plana, kai esami galutiniai atitinkamu šaku poreikiai pasikeis i poreikius 200, 300 A B P oreikiai A B Kiti Faktoriai Sudarykite nauja gamybos sa naudu, kai poreikiai yra pakite Duota gamybos- sa naudu matrica Raskite ūkinės sistemos technologine bei gamybos plana, kai esami galutiniai atitinkamu šaku poreikiai pasikeis i poreikius 50, 40, 30 A B C P oreikiai A B C Kiti Faktoriai Sudarykite nauja gamybos sa naudu, kai poreikiai yra pakite 74

29 2 Duota gamybos- sa naudu matrica Raskite ūkinės sistemos technologine bei gamybos plana, kai esami galutiniai atitinkamu šaku poreikiai pasikeis i poreikius 500, 60, 240 A B C P oreikiai A B C Kiti Faktoriai Sudarykite nauja gamybos sa naudu, kai poreikiai yra pakite 3 Naudodami mažiausiu kvadratu metoda matricine forma raskite lentelėje pateiktus taškus geriausiai aproksimuojančia tiesinės regresijos lygti : x y Tarkime, kad y yra produkto vieneto vidutiniai kaštai, kai buvo pagaminta x produktu Lentelėje žemiau pateikiami vidutiniu kaštu bei pagamintos produkcijos kiekio priklausomybė Rade kvadratine regresijos lygti nustatykite, kokie apytiksliai kaštai buvo tuo atveju, kai buvo gaminami 7 produktai x y

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos 1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

DISKREČIOJI MATEMATIKA

DISKREČIOJI MATEMATIKA VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis

Διαβάστε περισσότερα

KADETAS (VII ir VIII klasės)

KADETAS (VII ir VIII klasės) ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

Donatas Surgailis Finansų matematika

Donatas Surgailis Finansų matematika Donatas Surgailis Finansų matematika Paskaitų konspektas Vilnius 2015 vasario 9 ii Turinys 1 Įvadas 1 2 Finansų rinka 3 2.1 Finansų rinkos struktūra................................. 3 2.2 Opcionai..........................................

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai 1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai

A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai Priedai A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai B priedas. Patikslintas tiesiakrumplės pavaros matematinis modelis C priedas. Patikslintas tiesiakrumplė pavaros matematinis modelis

Διαβάστε περισσότερα

Matematinis modeliavimas

Matematinis modeliavimas ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

5 klasė. - užduotys apie varniuką.

5 klasė. - užduotys apie varniuką. 5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides

Διαβάστε περισσότερα

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav. LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus

Διαβάστε περισσότερα

III.Termodinamikos pagrindai

III.Termodinamikos pagrindai III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas... MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

FRANKO IR HERCO BANDYMAS

FRANKO IR HERCO BANDYMAS VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.

Διαβάστε περισσότερα

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka. Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.

Διαβάστε περισσότερα

Taikomieji optimizavimo metodai

Taikomieji optimizavimo metodai Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()

Διαβάστε περισσότερα

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.

Διαβάστε περισσότερα

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla

Διαβάστε περισσότερα

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė Kompiuterinė lazerių fizika Viktorija Pyragaitė VILNIAUS UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS Viktorija Pyragaitė KOMPIUTERINĖ LAZERIŲ FIZIKA Elektroninis leidinys Mokomoji knyga Vilnius 2013 Apsvarstė ir

Διαβάστε περισσότερα

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir

Διαβάστε περισσότερα

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės

Διαβάστε περισσότερα

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos

Διαβάστε περισσότερα

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

dr. Juozas Gudzinskas, dr. Valdas Lukoševičius, habil. dr. Vytautas Martinaitis, dr. Edvardas Tuomas

dr. Juozas Gudzinskas, dr. Valdas Lukoševičius, habil. dr. Vytautas Martinaitis, dr. Edvardas Tuomas dr. Juozas Gudzinskas, dr. Valdas Lukoševičius, habil. dr. Vytautas Martinaitis, dr. Edvardas Tuomas Šilumos vartotojo vadovas VILNIUS 2011 Visos teisės saugomos. Jokia šio leidinio dalis be leidėjo raštiško

Διαβάστε περισσότερα

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS

Διαβάστε περισσότερα

Arenijaus (Arrhenius) teorija

Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl

Διαβάστε περισσότερα