1. Individualios užduotys:
|
|
- Νέμεσις Παπαδόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios eilės paprasčiausiųjų diferencialinių lgčių sprendimas.9 psl. Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lgčių su pastoviaisiais koeficientais sprendimas psl. Tiesinių diferencialinių lgčių sistemų sprendimas. psl. Fizikos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis 6 psl. Geometrijos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis 7 psl. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių skaitinis sprendimas..0 psl.. Išspręstosios užduots... psl.
2 . Individualios užduots Diferencialinių lgčių sprendimas ir taikmas Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas Pirmosios eilės diferencialine lgtimi vadinama lgtis, siejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą funkciją ir jų diferencialus d d, d arba išvestinę = d. Pirmosios eilės diferencialinės lgties pavidalai: = f(, ), F (,, ) = 0 arba Pd (, ) + Qd (, ) = 0. Pirmosios eilės diferencialinės lgties bendruoju sprendiniu vadinama funkcija = ϕ(, C), kurią įrašius į lgtį, gaunama tapatbė. Norint rasti bendrąjį sprendinį, reikia atpažinti lgties tipą ir taikti atitinkamą sprendimo metodą. Čia nagrinėsime tokius lgčių tipus: ) paprasčiausios lgts (žmėsime P) ) su atskiriamais kintamaisiais (A) ) homogeninės (H) 4) tiesinės (T) 5) Bernulio (B) 6) pilnųjų diferencialų (D). Paprasčiausios lgts ra tokios: = f( ). Nežinoma funkcija gaunama integruojant išvestinę: = d = f( ) d. Su atskiriamais kintamaisiais vadinama lgtis = f( ) g( ) arba f( ) g ( ) d = f( ) g ( ) d. d Jei lgtje ra išvestinė, tai įrašius = ir po to atskrus d kintamuosius, integruojamos abi lgties pusės:
3 d = f( ) d g ( ) arba f( ) f d g ( ) = ( ) g ( ) d. Dviejų kintamųjų funkcija f(, ) vadinama k-ojo laipsnio homogenine funkcija, jei teisinga tokia lgbė: k f( λ, λ) = λ f(, ). Pirmosios eilės diferencialinė lgtis Pd (, ) + Qd (, ) = 0 vadinama homogenine, jei P (, ), Q (, ) ra to paties laipsnio homogeninės funkcijos. Lgtis = f(, )vadinama homogenine, jei f(, ) ra nulinio laipsnio homogeninė funkcija. Homogeninę diferencialinę lgtį galima pertvarkti į tokį pavidalą: = F. Pakeitę ieškomą funkciją =() nauja nežinoma funkcija u=u() pagal lgbę u = ir į homogeninę lgtį vietoje ir įrašę = u, = u + u, gauname lgtį su atskiriamais kintamaisiais. Pavzds Rasime diferencialinės lgties ( ) bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: d d = +, = + + d= d. Pakeičiame kintamąjį pagal lgbę u = ir į homogeninę lgtį įrašę = u, = u + u, gauname tokią lgtį:
4 u u + u= + u. Šią lgtį pertvarkome ir atskiriame kintamuosius: = u u u u + + u u u du d =. + Abi gautosios lgties puses integruojame: u + u u du d u + = + du = uu ( + ) A B + du = ln. u u + Randame neapibrėžtuosius koeficientus iš tapatbės Au + + Bu u+, d, paėmę u=0 ir u= : A=6, B=. Tuomet: 6 du = ln, u u + lnu lnu+ = ln + lnc, u ln u + C = ln u u + C =, 4
5 u u + C =± u = C u+, C 0. Vietoje u įrašę ir pertvarkę gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: = C +. Pirmosios eilės tiesine diferencialine lgtimi vadinama lgtis + p( ) = g( ), o Bernulio lgtimi + p( ) = g( ) n, ( n 0, n ). Abi šias lgtis galima išspręsti Bernulio metodu. Jo esmė tokia: nežinoma funkcija keičiama dviejų funkcijų u() ir v() sandauga = u( ) v( ). Viena iš jų tam tikru būdu parenkama, o kita apskaičiuojama. Įrašę = uv ir = u v+ uv, pavzdžiui, į tiesinę lgtį, gauname: u v + uv + p( ) uv = g( ) uv + uv ( + pv ( ) ) = g ( ). Šiuo atveju parenkame funkciją v. Ji ra vienas diferencialinės lgties v + p( ) v= 0 sprendins. Po to iš paprasčiausios diferencialinės lgties uv = g ( ) gauname funkciją u. Pavzds Raskime diferencialinės lgties = cos bendrąjį sprendinį. Ši lgtis ra tiesinė. Ją sprendžiame Bernulio metodu. 5
6 Taigi įrašome = uv ir = u v+ uv į duotąją lgtį ir pertvarkome: uv v uv + uv = cos uv + u v = cos. v ) Sprendžiame lgtį v = 0. Ši lgtis ra su atskiriamais kintamaisiais. Todėl atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv v dv d dv d = = d v = v lnv = ln, v = v =±. Parenkame vieną funkciją v, pavzdžiui, v =. ) Įrašę šią funkciją v į lgtį v uv + u v = cos, gauname: u = cos u = cos. Iš čia: u= cos d u=sin + C. = sin + C, C R. Taigi ( ) Pilnųjų diferencialų lgtimi vadinama lgtis Pd (, ) + Qd (, ) = 0, kai jos kairioji pusė ra kažkurios funkcijos U(, ) pilnasis diferencialas: Pd (, ) + Qd (, ) = du(, ). Šitaip bus, jei P (, ) Q (, ) =. Pilnųjų diferencialų lgties bendrasis sprendins: U(, ) = C. Funkciją U(, ) galima rasti pagal tokią formulę: U(, ) = Pd (, ) + Q ( 0, d ) ; 0 6 0
7 čia 0 ir 0 ra laisvai parinkti skaičiai, kuriems užraštieji integralai turi prasmę. uždavins. Raskite dviejų pirmosios eilės diferencialinių lgčių bendruosius sprendinius: ) = + ln + = e ) = d + ( ) d = 0 ) = e + + =sin 4) ctg= sin + + = 5) = + tg= 6) + tg= cos + = 7) = + + = = e 8) = + + 9) = ln cos + sin = 0) + = e ( + ) + tg =0 ) = + tg + = ln + 6 ) = sin =
8 ) d cos + cos d = 0 = e 4) + = si n ( ) = 5) d = d ctg + = cos ctg 6) + = d sin = sin d d = + d = e 7) ( ) 8) + = + + d = + d 9) ( ) 5 0) = 5 = + ( ) tg= cos arcsin = ) = = e ) = + = + ( ) ( ) ) ( ) d + d =0 ctg= sin 4) + = 4 + ( ) = 0 5) d = ( + ) d tg= cos 6) + = ( ) d= d 7) si n + = sin + tg= tg 8
9 8) = + + 9) + d = 0) + = + ctg = 0 d = + ( + ) 4= Antrosios eilės paprasčiausiųjų diferencialinių lgčių sprendimas Antrosios eilės diferencialine lgtimi vadinama lgtis F (,,, ) = 0, kurioje ra nežinomos funkcijos antroji išvestinė ir aukštesnių eilių išvestinių nėra. Lgties bendrasis sprendins = ϕ(, C, C ), turintis dvi laisvąsias konstantas ra tokia funkcija, kurią įrašius į diferencialinę lgtį gaunama tapatbė. Kai žinomos pradinės sąlgos ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 0, randamas diferencialinės lgties atskirasis sprendins. Antrosios eilės diferencialinė lgtis vadinama paprasčiausiąja, jei joje nėra arba, arba, arba ir. Šiais atvejais dar sakoma, kad galima sumažinti diferencialinės lgties eilę. Iš pradžių nagrinėkime lgtį = f( ), (P ) kurioje nėra nei, nei. Šiuo atveju integruodami pirmiausia randame : = d= f( ) d. Po to integruodami gautąją išvestinę, randame : = d. Spręsdami diferencialinę lgtį F(,, ) = 0, (P ) 9
10 kurioje nėra ieškomos funkcijos, keičiame kintamąjį pagal lgbę z= (čia z nauja nežinoma funkcija). Tuomet = z, ir gaunama pirmosios eilės diferencialinė lgtis: F( zz,, ) = 0. Radę šios lgties bendrąjį sprendinį z= ϕ (, C ) ir vietoje z įrašę, vėl gauname pirmosios eilės diferencialinę lgtį = ϕ (, C ). Išsprendę šią lgtį gauname (P ) lgties bendrąjį sprendinį. Spręsdami diferencialinę lgtį F(,, ) = 0, (P ) kurioje nėra nepriklausomo kintamojo, keičiame kintamąjį pagal lgbę p= (čia p nauja nežinoma funkcija). Tuomet = p dp, ir gaunama pirmosios eilės diferencialinė lgtis d F(, p, dp ) = 0. d Pavzdžiai ) Rasime lgties = cos atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas: ( 0) = 0, ( 0) =. Matome, kad duotoji lgtis ra pirmojo tipo, todėl pirmiausia ieškome : = d = cos d = d sin. Integruojame dalimis: = sin sin d, = sin + cos + C. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir ( 0) =, galime rasti laisvąją konstantą C : =+ C. Iš čia gauname, kad C = 0. Taigi = sin + cos. Integruodami gautąją išvestinę, ieškome : 0
11 = d d= sin d+ cos d. = d cos + sin = cos + cos d + sin, = cos +sin+c. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir = 0, randame laisvąją konstantą C : 0 = C. Tuomet = cos +sin. = ( sin + cos ) ) Rasime lgties ctg + = 0 atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas: ( 0) = 0, ( 0) =. Pastebime, kad lgtje nėra funkcijos, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbę z=. Tuomet = z, ir gauname pirmosios eilės diferencialinę lgtį: zctg + z= 0. Ši lgtis ra su atskiriamais kintamaisiais. Todėl: dz dz z = z tg = ztg = tg d. d z Atskrę kintamuosius abi puses integruojame: dz sin tg d z = ln z = cos d, dcos ln z = ln z = lncos + lnc, cos z= C cos = C cos. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir ( 0) =, galime rasti laisvąją konstantą C : = C. Taigi = cos. Integruodami gauname: = d = sin + C. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir = 0, randame konstantą C = 0. Tuomet
12 = sin. ) Rasime lgties = 5 atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas: ( ) = 5, ( ) =. Pastebime, kad lgtje nėra, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbes = p, = p dp. Tuomet gauname tokią pirmosios d eilės diferencialinę lgtį p dp d = 5. Joje atskiriame kintamuosius ir integruojame: pdp = 5 d pdp = 5 d, p 5 C = 5 + = + C. Pritaikę pradines sąlgas = 5 ir =, randame konstantą C = 0. Tuomet 5 =. Atsižvelgę, kad ir ra teigiamos, gauname: 5 =. d Tuomet: = 5 d = 5 d d d d = 5, = 5+ C. Pritaikę pradines sąlgas = ir = 5, randame konstantą C = 5. Tuomet = 5 ( + ). uždavins. Raskite dviejų antrosios eilės diferencialinių lgčių atskiruosius sprendinius, tenkinančius pradines sąlgas:
13 ) = 50 ; ( ) =, ( ) = 5 tg = + ; π π π ( ) =, ( ) = 0 ) = ; ( 0) =, ( 0) = = + = ; ( ), ( ) = ) = 0 = 0 = = 6+ sin ; ( 0) = 0, ( 0) = 0 6 4) = = = 4 + = 4; ( ) =, ( ) = 5) = e ; ( ) = 0, ( ) = e = 98 ; ( ) =, ( ) = 7 6) + sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = + = + ; 5 5 ( ) =, ( ) = 4 π 7) = = π ctg sin ;, = 0 + 8sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = 8) = e ; ( 0) = 0, ( 0) = = = = 0 9) = e ; ( 0) =, ( 0) = 4 4
14 ( ) = ; ( 0) =, ( 0) = 0) = 7 ; ( ) =, ( ) = 6 + = ; ( ) = 4, ( ) = ) ln = ; ( e) = 0, ( e) = = 49; ( 0) = 7, ( 0) = ) = ; ( 0) =, ( 0) = = = = ) = ln ; ( ) =, 4 ( ) = 0 = + ; ( 0) =, ( 0) = π 4) = sin cos ; ( ) =, ( ) = 4 ctg = ( + ); ( 0) = 0, ( 0) = 0 5) = ; ( ) = 0, ( ) = + 9= 0; ( ) =, ( ) = 6) + 6 = 0; ( 0) =, ( 0) = + = ; 4 ( ) =, ( ) = 9 7) = ; ( ) = 0, ( ) = 0 = 8 ; ( 0) =, ( 0) = 8) = ; ( 0) =, ( 0) = = ; ( ) =, ( ) = 4
15 9) + = ; ( ) = 0, ( ) = 0 = ; ( 0) =, ( 0) = 0) = = ;, = + = ; ( ) =, ( ) = ) = + cos ; ( 0) = 0, ( 0) = 0 π = 8 sin cos ; ( ) =, ( ) = ) + 8sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = = = = + = ; ( 0) = 0, ( 0) = ) ( ) = 4; ( 0) =, ( 0) = 4) + = ; ( ) =, ( ) = ( + sin ) = cos ; ( 0) =, ( 0) = 5) = 8 ; ( 0) =, ( 0) = 8 = + ln ; ( ) =, ( ) = e 6) = ; ( ) =, ( ) = π π tg = ; ( ) =, ( ) = 4 4 7) = 64; ( 0) = 4, ( 0) = = sin ; ( 0) =, ( 0) = 0 8) + sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = 4 + = ; ( ) =, ( ) = 5
16 π 9) = 8sin cos ; ( ) =, ( ) = = ln ; ( ) = 0, ( ) = e 0) = ; ( 0) =, ( 0) = = + 0 = 0 0 = 0 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lgčių su pastoviaisiais koeficientais sprendimas Antrosios eilės tiesine diferencialine lgtimi su pastoviaisiais koeficientais vadinama lgtis + a + a = f( ). Kai dešinioji lgties pusė ra 0, lgtis vadinama homogenine, priešingu atveju, nehomogenine. Homogeninė lgtis + a + a = 0 (H) turi trivialų sprendinį = 0. Jei () ir () ra homogeninės lgties sprendiniai, o C ir C bet kurie realieji skaičiai, tai funkcija C () + C () taip pat ra homogeninės lgties sprendins. Funkcijos () ir () vadinamos tiesiškai nepriklausomomis intervale (a; b), jei tapatbė α ( ) + α ( ) = 0 teisinga tik tada, kai α = α = 0. Funkcijų () ir () Vronskio determinantu vadinamas toks determinantas: ( ) ( ) W( ) = ( ). ( ) 6
17 Funkcijos () ir () ra tiesiškai nepriklausomos intervale (a; b) tik tada, kai jų Vronskio determinantas visiems (a; b) nelgus nuliui. Bet kurie du tiesiškai nepriklausomi homogeninės lgties sprendiniai () ir () sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Tuomet (H) lgties bendrasis sprendins ra toks: 0 = C () + C (). Kvadratinė lgtis λ + aλ + a = 0, (Ch) kuri gaunama homogeninėje lgtje + a + a = 0 pakeitus,, atitinkamai λ, λ ir, vadinama charakteristine lgtimi. Jei (Ch) lgties šakns λ ir λ ra realiosios ir skirtingos, tai funkcijos = e λ ir = e λ sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Šiuo atveju λ 0 = C e λ + C e. Jei charakteristinės lgties šakns λ ir λ ra lgios ( λ = λ ), tai funkcijos = e λ λ ir = e sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Šiuo atveju λ 0 = e ( C + C). Jei charakteristinės lgties šakns λ ir λ ra kompleksinės, t.. λ = α + β i, λ = α β i, tai funkcijos = e α cos β ir = e α sin β sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Šiuo atveju homogeninės lgties bendrasis sprendins α 0 = e ( Ccosβ+ Csin β). Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lgties + a + a = f( ) bendrasis sprendins lgus šios lgties atskirojo sprendinio ~ ir homogeninės lgties bendrojo sprendinio 0 sumai: = 0 + ~. 7
18 Nehomogeninės lgties atskirąjį sprendinį ~ galima rasti neapibrėžtųjų koeficientų metodu, kai lgties dešinioji pusė f() ra specialaus pavidalo. Išskirsime tokius tris atvejus: a ) f( ) = e P m ( ) ; čia Pm ( ) ra m-ojo laipsnio daugianaris, m = 0,,,... Šiuo atveju ~ a k = e Qm( ) ; čia Qm ( ) ra m-ojo laipsnio daugianaris su neapibrėžtaisiais koeficientais. Pavzdžiui, kai m=, Q ( ) = A + B+ C. Laipsnio rodiklis k parodo, kiek kartų a ra charakteristinės lgties šaknimi; k gali įgti tris reikšmes: k = 0,,. a ) f( ) = e ( c cosb+ d sin b). Šiuo atveju ~ a r = e ( Acosb+ Bsin b) ; čia A ir B ra neapibrėžtieji koeficientai. Laipsnio rodiklis r parodo, kiek kartų a + bi ra charakteristinės lgties šaknimi; r gali įgti dvi reikšmes: r = 0,. ) f() = f ()+f (); čia f () ir f () ra pirmojo arba antrojo tipo funkcijos. Šiuo atveju nehomogeninės lgties + a + a = f( ) atskirasis sprendins ~ gaunamas sudedant dviejų nehomogeninių lgčių + a + a = f ( ), + a + a = f ( ) atskiruosius sprendinius ~, ~ : ~ = ~ ~ +. Pavzdžiai ) Rasime lgties + = + bendrąjį sprendinį. Iš pradžių sprendžiame homogeninę lgtį + = 0. Jos charakteristinė lgtis: 8
19 λ λ+ = 0. Šios lgties šakns λ = ir λ = ra realiosios ir skirtingos. Todėl homogeninės lgties bendrasis sprendins 0 = C e + C e. Nehomogeninės lgties dešinioji pusė f() ra pirmojo tipo, m= ir laipsnio rodiklio dauginamasis a = 0 nėra charakteristinės lgties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio ~ pavidalas ra toks: ~ = A+B. Neapibrėžtieji koeficientai A ir B parenkami tokie, kad funkcija ~ = A+B būtų nehomogeninės lgties + = + sprendins. Todėl ieškome išvestinių: ~ = A, ~ = 0. Įrašę šias išvestines į nehomogeninę lgtį, gauname tapatbę: A+ ( A+ B) +. Iš jos apskaičiuojame, kad A =, B =. 4 Tuomet nehomogeninės diferencialinės lgties bendrasis sprendins = 0 + ~, = C e + C e ) Rasime lgties = e sin bendrąjį sprendinį. Iš pradžių sprendžiame homogeninę lgtį = 0. Jos charakteristinė lgtis: λ + 4λ+ 4= 0. Šios lgties šakns λ = λ =. Todėl homogeninės lgties bendrasis sprendins e C + C. 0 = ( ) 9
20 Nehomogeninės lgties dešinioji pusė f() ra antrojo tipo, laipsnio rodiklio dauginamasis a =, +i nėra charakteristinės lgties šaknis, todėl atskirojo sprendinio ~ pavidalas ra toks: ~ = e ( A cos + B sin ). Neapibrėžtieji koeficientai A ir B parenkami tokie, kad funkcija ~ būtų nehomogeninės lgties sprendins. Todėl ieškome išvestinių: ~ = e ( A cos + B sin A sin + B cos ), ~ = e ( Asin+ Bcos ). Įrašę šias išvestines į nehomogeninę lgtį, gauname tapatbę: ( 6A+ 8B) sin + ( 8A+ 6B) cos sin. Sulginame abiejų lgbės pusių sin ir cos koeficientus: 6A+ 8B =, 8A+ 6B = 0 Iš šios sistemos apskaičiuojame, kad A =, B = Tuomet nehomogeninės diferencialinės lgties bendrasis sprendins = 0 + ~, = e ( C+ C) + e ( cos+ sin ) ) Rasime lgties + = e + bendrąjį sprendinį. Iš pradžių sprendžiame homogeninę lgtį + = 0. Jos charakteristinė lgtis: λ + = 0. Šios lgties šakns λ, =±i. Todėl homogeninės lgties bendrasis sprendins 0 = C cos + C sin. Nehomogeninės lgties dešinioji pusė f() ra trečiojo tipo, todėl atskirasis sprendins ~ = ~ + ~. 0
21 ~ ra nehomogeninės lgties + = e atskirasis sprendins. Jo pavidalas: ~ = Ae. Rasime neapibrėžtąjį koeficientą A: ~ = Ae, ~ = Ae 4, 4 Ae + Ae e, A = 5. ~ ra nehomogeninės lgties + = atskirasis sprendins. Jo pavidalas: ~ = A + B + C. Rasime neapibrėžtuosius koeficientus A, B ir C: ~ = A+ B, ~ = A, A + A + B + C, A =, B = 0, C =. Tuomet ~ = e +, 5 o nehomogeninės diferencialinės lgties bendrasis sprendins = 0 + ~, = C cos + C sin + e +. 5 uždavins. Raskite antrosios eilės diferencialinių lgčių bendruosius sprendinius: ) + = + + = cos ) 4 + 5= e 0= sin + cos ) = e + = sin + 4cos
22 4) = 8 e + + = + sin 5) = = si n 6) + = = 8sin 7) + 8= e + = sin+ cos 8) 5 + 4= e ( ) = cos 9) + = e ( 5 4) + = cos 0) + = = sin ) 4 + 5= 0 e = cos ) = = 65cos 4 ) + = + e 4= sin 4) 4 + = e + 4= cos 5) 4 + 5= e ( 0+ 4) = sin 6) + = e ( 5 ) = 5cos 7) + = 6 + e + = sin 8) + = + e + = 5sin 9) = + = cos+ sin 0) + 4= e + = cos sin ) + 9= e + = cos + sin ) + = e ( 6+ ) + = cos 4sin ) = e + e + = 4cos 4sin 4) 5 + 4= e ( 0+ ) 4= 4cos
23 5) + = + 4= 7sin 6) = = sin + cos 7) = 5 4= 68cos 8) 6 7= e 4 + 4= sin 9) = 5+ + = sin cos 0) 5 + 4= e ( 4+ ) + = sin + cos Tiesinių diferencialinių lgčių sistemų sprendimas Dviejų tiesinių diferencialinių lgčių sistemą d = a+ a, dt d = a + a, dt kurioje nežinomos funkcijos ra = (t), = (t), galima spręsti suvedant sistemą į antrosios eilės diferencialinę lgtį + a + a = 0. Tuo tikslu diferencijuojame antrąją sistemos lgtį: = a + a. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos pirmosios lgties, gauname lgtį = a( a+ a ) + a. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos antrosios lgties, gauname + a + a = 0 pavidalo lgtį. Sudarę šios lgties charakteristinę lgtį λ + aλ + a = 0 ir suradę jos šaknis, gauname bendrąjį sprendinį = (t). Apskaičiavę, iš sistemos antrosios lgties gauname nežinomą funkciją = (t).
24 Pavzds Rasime diferencialinių lgčių sistemos =, = bendrąjį sprendinį = (t), = (t). Diferencijuojame antrąją sistemos lgtį: =. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos pirmosios lgties, gauname lgtį =. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos antrosios lgties, gauname: = ( + ) = 0. Sudarę gautosios lgties charakteristinę lgtį λ + 4λ + 4= 0 ir suradę jos šaknis λ, =, gauname bendrąjį sprendinį t = e ( C + Ct). Apskaičiuojame : t = e ( C Ct+ C). Iš sistemos antrosios lgties gauname: = +. Įrašome ir išraiškas į šią lgtį: t t = e ( C Ct+ C) + e ( C + Ct), t = e ( C C t+ C ). 4 uždavins. Raskite diferencialinių lgčių sistemų bendruosius sprendinius = (t), = (t), suvesdami sistemą į antrosios eilės diferencialinę lgtį + a + a = 0. ) = + 4, = + = +, ) = + ) = +, = + 4
25 4) = 5+ 4, = + = + 4, 5) = + 6) =, = 4 7) =, = + 8) =, = + 6 9) = 5+, = + 9 0) = + 6, = + 9 =, ) = =, ) = ) =, = 4) = +, = + 4 = + 8, 5) = + 4 6) = +, = 8+ 7) = 4+ 6, = 4+ 8) = 5+ 8, = + = +, 9) = + 4 0) = + 5, = 7+ ) = +, = + ) = 5+ 4, = + ) = 7+, = 5 =, 4) = 5) =, = 6) = +, = + 7) = +, = 4+ 8) = 4+, = + = 6, 9) = + 0) = +, = 4+ 5
26 Fizikos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis Tarkime, kad kuriam nors procesui aprašti pakanka dviejų kintamųjų, ir. Funkcinė ir priklausombė =f() nėra žinoma, bet žinoma apie nagrinėjamo proceso greitį, kurį apibrėžia. Tarkime, kad proceso greitis ( kitimo greitis) proporcingas pačiam. Tuomet šio proceso matematinis modelis ra diferencialinė lgtis =k (k proporcingumo koeficientas). Turėdami diferencialinę lgtį, iš pradžių randame jos bendrąjį sprendinį. Po to, panaudoję turimas pradines sąlgas ir papildomus duomenis, randame atskirąjį sprendinį =f(). Pavzdžiai ) Jei cheminio elemento skilimo greitis (jo masės kitimo greitis) proporcingas masei laiko momentu t, tai masės ir laiko funkcinė priklausombė =f(t) randama iš diferencialinės lgties =k. ) Jei besisukantį diską stabdo trinties jėga, proporcinga sukimosi kampiniam greičiui ω, tai šio greičio priklausombė nuo laiko t randama, jei iš diferencialinės lgties ω = k ω. ) Jei tiesiai judančio kūno greitis V proporcingas laiko t kvadratui, tai nueito kelio S priklausombė nuo laiko t randama iš diferencialinės lgties S = kt. Šią lgtį išsprendžiame: Tarkime, kad S= kt dt= k t + C. S =0, kai t=0; Tuomet C=0, k= ir S= t. S =8, kai t=. 6
27 Geometrijos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis Nagrinėsime tokius geometrijos uždavinius, kuriuose reikia rasti kreivės lgtį =f() pagal žinomą kreivės bet kurios liestinės savbę. Šiuose uždaviniuose taikoma išvestinės geometrinė prasmė: funkcijos išvestinės reikšmė duotame taške ra lgi šios funkcijos grafiko liestinės šiame taške krpties koeficientui. Be to, taikomi kai kurie analizinės geometrijos teiginiai ir pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimo metodai. Pirmiausia užrašoma kreivės diferencialinė lgtis, po to randami jos bendrasis ir atskirasis sprendiniai. Pavzdžiai ) Jei liestinės bet kuriame kreivės taške M krpties koeficientas ra kartus didesnis už tiesės OM krpties koeficientą, tai kreivės lgtis randama iš diferencialinės lgties: =. ) Tarkime, kad kreivės bet kurios liestinės atkarpa, esanti tarp lietimosi taško M(, ) ir O ašies, kirsdama O ašį dalijama pusiau. Pritaikome kreivės =f() liestinės, nubrėžtos per lietimosi tašką M(, ), lgtį: Y = ( X ); čia (X, Y) bet kurio liestinės taško koordinatės. Jei liestinės tašką, kuriame ji kerta O ašį, pažmėsime N, tai atsižvelgę į nurodtą liestinės savbę, kad jos atkarpą MN O ašis dalo pusiau, gausime N koordinates: N(, 0). Įrašome šio taško koordinates į liestinės lgtį: 0 = ( ). Taigi ieškomos kreivės diferencialinė lgtis ra tokia: =. Ši lgtis ra su atskiriamais kintamaisiais. Todėl: 7
28 d = d d = d d 8 d =, ln = ln ln C, C 0; =± C. Pažmėję C=± C, gauname parabolių lgtis = C, C 0. Konkreti parabolė gaunama, žinant jos tašką, pavzdžiui, A(, ). Šiuo atveju: =. 5 uždavins. Suveskite uždavinį į pirmosios eilės tiesinę diferencialinę lgtį su atskiriamais kintamaisiais ir jį išspręskite. Cheminės medžiagos skilimo greitis proporcingas jos masei m kiekvienu momentu t. Raskite masės priklausombę nuo laiko t, jei m=m 0, kai t=t 0, ir m=m, kai t=t (masė m matuojama gramais, o laikas t metais). Nr. m 0 =, m =, t =600; Nr. m 0 =0, m =8, t =00; Nr. m 0 =, m =, t =000; Nr. 4 m 0 =5, m =, t =000. Kūno atšalimo greitis proporcingas kūno ir kambario temperatūrų skirtumui. Raskite kūno temperatūros T priklausombę nuo laiko t, jei kambarje, kurio temperatūra 0 0 C, kūnas per t minučių atvėso nuo T laipsnių iki T laipsnių. Per kiek laiko kūnas atvės iki T laipsnių? Nr. 5 T =00, T =60, T =5, t =0; Nr. 6 T =0, T =70, T =45, t =0; Nr. 7 T =00, T =40, T =5, t =0; Nr. 8 T =00, T =60, T =5, t =0. Skstje besisukantį diską stabdo trinties jėga, kuri proporcinga sukimosi kampiniam greičiui ω. Raskite šio greičio priklausombę nuo laiko t, jei iš pradžių diskas sukosi ω 0 aps. min
29 aps. greičiu, o po t minučių sukosi ω greičiu. Kokiu greičiu min suksis diskas po t minučių nuo sukimosi pradžios? Nr. 9 ω 0 = 00, ω = 0, t =, t =; Nr. 0 ω 0 = 00, ω = 50, t =0,5, t =0,5; Nr. ω 0 = 80, ω = 0, t =, t =; Nr. ω 0 = 60, ω = 0, t =0,5, t =. Motorinei valčiai ežere plaukiant v 0 km h greičiu, variklis buvo išjungtas, ir po t minučių valties greitis sumažėjo iki v km h. Raskite valties greičio v priklausombę nuo laiko t, jei vandens pasipriešinimo jėga proporcinga valties greičiui. Koks bus valties greitis po t minučių nuo variklio išjungimo? Nr. v 0 =0, v =0,5, t =, t = ; Nr.4 v 0 =0, v =6, t =, t =; Nr.5 v 0 =0, v =5, t =0, t =5; Nr.6 v 0 =5, v =5, t =0, t =4. Tiesiai judančio kūno greitis V= kt n (t laikas, k proporcingumo koeficientas). Raskite nueito kelio S priklausombę nuo laiko t, jei S=S 0, kai t=0. Kokį atstumą įveiks kūnas per pirmąsias t sekundes? (atstumas matuojamas metrais, o laikas sekundėmis). Nr.7 n=, k=, S 0 =0, t =; Nr.8 n=, k=6, S 0 =5, t =5; Nr.9 n=, k=4, S 0 =, t =; Nr.0 n=, k=, S 0 =5, t =. Raskite lgtį kreivės, einančios per tašką A(, ), jei jos liestinės bet kuriame kreivės taške M krpties koeficientas ra n kartų didesnis už tiesės OM krpties koeficientą. 9
30 Nr. A(, ), n=; Nr. A(, 4), n=; Nr.5 A(, ), n=. Nr. A(, ), n= ; Nr.4 A(, 5), n=4; Raskite lgtį kreivės, einančios per tašką A(, ), jei jos liestinės atkarpa, esanti tarp koordinačių ašių, lietimosi taške M ra dalijama pusiau. Nr.6 A(, 4); Nr.7 A(5, 4); Nr.8 A(-, ); Nr.9 A(, ); Nr.0 A(, ). Pirmosios eilės diferencialinių lgčių skaitinis sprendimas Spręskime Koši uždavinį: reikia rasti pirmosios eilės diferencialinės lgties = f(, ) atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradinę sąlgą ( 0 ) = 0. Tarkime, kad funkcija f(, ) ra toldžioji ir jos f(, ) dalinė išvestinė ra aprėžtoji kurioje nors pradinio taško M 0 ( 0, 0 ) aplinkoje. Tada šioje aplinkoje Koši uždavins turi vieną sprendinį. Kai Koši uždavinio negalima išspręsti tiksliai, jį galima išspręsti aptiksliai. Šiuo atveju parenkamos nepriklausomo kintamojo reikšmės = 0 +h, = +h,..., n = n +h ir pagal tam tikras formules apskaičiuojamos ieškomos funkcijos reikšmės,,..., n.. Oilerio metodo formulės ra tokios: i+ = i + h f( i, i ), i=0,,,..., n. Rungės ir Kutos metodo formulės: h k k = hf( i, i), k hf i = ( +, i + ), h k k hf i = ( +, i + ), k4 = hf( i + h, i + k), i+ = i + ( k + k + k + k4), i=0,,,..., n. 6 0
31 Pavzds Pateiksime diferencialinės lgties = ( + ) ln( + ) atskirojo sprendinio, tenkinančio pradinę sąlgą ()=, keturių reikšmių ieškojimo, kai įgja reikšmes: = 0 +h, = +h, = +h, 4 = +h (h=0,) rezultatus Oilerio bei Rungės ir Kutos metodais.,,86,,67,,549,4,89 k k k k 4, 0,86 0,579 0,5887 0,8009,587, 0,8007 0,0 0,04 0,965,68, 0,96 0,57 0,584 0,887,60,4 0,885 0,07 0,8 0,575,949 6 uždavins. Oilerio bei Rungės ir Kutos metodais apskaičiuokite pirmosios eilės diferencialinės lgties atskirojo sprendinio, tenkinančio pradinę sąlgą ( 0 )= 0, keturias reikšmes 0,000 tikslumu, kai įgja reikšmes: = 0 +h, = +h, = +h, 4 = +h. Žemiau pateiktame diferencialinių lgčių variante galima imti: a=, b=, 0 =, 0 =, h=0,. ) = a+ b ) = a+ b ) = a+ b 4) = + a+ b 5) = a + b + 6) = a+ b +
32 a 7) = + b 8) = a+ b + 9) = + 0) = a+ bsin( + ) a b b ) = + ) = a+ a b a + ) = a+ b+ 4 4) = b + b a 5) = + e 6) = a+ e 7) = a + 4 b + 5 9) ( ) = a + e b ) = ( + a) ( b+ ) ( ) 8) = a b + b 5 0) = ( a+ ) ln ( + b) aln( + b) ln ) = + a e ln( a + ) ) = 4) = b + 4 b + 4 a + 5) = 6) = a+ b ln + b 7) = a+ b 8) = a+ bln( + ) 9) = + 4 b + 0) = e b a +
33 . Išspręstosios užduots Diferencialinių lgčių sprendimas Pirmos eilės diferencialinės lgts uždavins. Lgts su atskiriamais kintamaisiais ) Rasime lgties ' + = 0 bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: d + = 0 d = d d Tai jau lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir abi gautosios lgties puses suintegruojame: d d d d = =, iš kur gauname bendrąjį sprendinį: C ln = ln + ln C =. ) Rasime lgties ' tg = 4 bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: d d cos d tg = + 4 = d + 4 sin Tai jau lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir abi gautosios lgties puses suintegruojame: d d d cos d d cosd = = = = + 4 tg + 4 sin + 4 sin ( + 4) d( sin ) d = +, 4 sin iš kur gauname bendrąjį sprendinį:
34 ) Rasime lgties ( + ) d + ( ) d = 0 ln + 4 = ln sin + ln C + 4 = C sin = C sin 4. bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: ( + ) d + ( ) d = 0. Tai jau lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir abi gautosios lgties puses suintegruojame: d d d d d d + = = = d( ) d( + ) = + ; iš kur gauname bendrąjį sprendinį: ln = ln + + ln C = C ( ) ( ) ( + ) =. C uždavins. Homogeninės lgts ) Rasime diferencialinės lgties ( ) d = d bendrąjį sprendinį. Įsitikinkime, kad ši lgtis homogeninė: λ λ d λ = λd λ ( ) ( ) ( ), λ ( ) d = λ d, ( ) d = d. Pertvarkome lgtį: d =, d 4
35 ' =. Pakeičiame kintamąjį u =, iš kur = u. Tada ' = u' + u. Įstačius keitinius į lgtį, gauname u u' + u =. u Šią lgtį pertvarkome į lgtį su atskiriamais kintamaisiais: ' u du u + u u u d du du u = u = du = = u d u u u u d, Abi gautos lgties puses integruojame: du du d =, u u ln u = ln + ln C. u Vietoj u įrašę, gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: ln + ln = ln + ln C ln = ln C. ) Rasime diferencialinės lgties sin ' + = sin bendrąjį sprendinį. Įsitikinkime, kad ši lgtis homogeninė: 5
36 ( λ) λ + λ = λ sin ( λ) λ λ d λ sin λ d d λ sin + = λsin, d sin ' + = sin. Pakeičiame kintamąjį u =, iš kur = u. Tada ' = u' + u. Įstačius keitinius į lgtį, gauname sin u u' + u + = usin ( ) u sin u u' + usin u + = usin u sin u u'= sin u u' = d sin udu =. Abi gautosios lgties puses integruojame: d sin udu =. cos u = ln + ln C Vietoj u įrašę, gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: cos = ln + ln C. ) Rasime diferencialinės lgties ' = + bendrąjį sprendinį. Įsitikinkime, kad ši lgtis homogeninė: 6
37 ( λ) λ = ( λ) ( λ) d λ +, d λ d = +. d Pakeičiame kintamąjį u =, iš kur = u. Tada ' = u' + u. Įstačius keitinius į lgtį, gauname: d u ' + u = + u u' = udu = u u. Abi gautos lgties puses integruojame: d udu =, u = ln + ln C Vietoj u įrašę, gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: ln C. = uždavins. Tiesinės lgts ) Rasime diferencialinės lgties ' = bendrąjį sprendinį. Atliekame pakeitimą = uv, ' = u' v + uv'. Duotąją lgtį pertvarkome : uv v u ' v uv' u' v u v' + = + =. 7
38 v Sprendžiame lgtį v ' = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv d dv d = = ln v = ln. v v Tegu v =. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime u' = du = d du = d Iš čia: u = + C. Taigi, = uv = + C. ) Rasime diferencialinės lgties ' + tg = cos bendrąjį sprendinį. Atliekame pakeitimą = uv, ' = u' v + uv'. Duotąją lgtį pertvarkome : u ' v + uv' + uvtg = cos. ( v' + vtg) cos, u ' v + u = Sprendžiame lgtį v ' +vtg = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv dv sin dv d( cos ) dv d cos = tgd = d = v v cos v cos = v cos ln v = ln cos. Tegu v = cos. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime u'cos = cos u' = cos du = cos d du = cos d. Iš čia: u = sin + C. 8
39 Taigi, = uv = sin cos + cos = sin + C cos. 4 uždavins. Bernulio lgts ) Rasime diferencialinės lgties ' 4 = bendrąjį sprendinį. Pertvarkome lgtį, dalindami abi jos puses iš 0. Atliekame pakeitimą z = ; z' = ' ir įstatome į lgtį: z z' 4z = z' + = Tai jau tiesinė lgtis. Atliekame pakeitimą: z = uv; z' = u' v + uv' ir pertvarkome sprendžiamą lgtį: v u' v uv' uv u' v u v' + + = + + =. v Sprendžiame lgtį v ' + = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv d dv d = = ln v = ln v = ln. v v Imame v =. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime: u' = u' = du = d du = d. Iš čia C u = + C ir = uv = +. 9
40 Tada = = =. z C + C ' = bendrąjį sprendinį. Pertvarkome lgtį: d = =. ' d Tai Bernulio lgtis atžvilgiu kintamojo. Padaliname abi jos puses iš 0. d = d ' = Atliekame pakeitimą z = ; z' = ' ir įstatome į lgtį: z z z' = z' + =. Tai jau tiesinė lgtis. Atliekame pakeitimą: z = uv; z' = u' v + uv' ir pertvarkome sprendžiamą lgtį: ) Rasime diferencialinės lgties ( ) v u' v uv' uv u' v u v' + + = =. + + v Sprendžiame lgtį v ' + = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv d dv d = = ln v = ln. v v 40
41 Imame v =. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime: u d d ' = du = du =. Iš čia u = ln + ln C ir z = uv = ln ln C. Tada = =. z ln ln C 5 uždavins. Pilnųjų diferencialų lgts ) Rasime diferencialinės lgties d + d = 0 4 bendrąjį sprendinį. Įsitinkinkime, kad tai ra pilnųjų diferencialų lgtis, t..,. 4 = Tikrindami gauname: 6 6 =. 4 4 Tuomet kairė duotosios lgties pusė ra kurios nors funkcijos u = u(, ) u pilnasis diferencialas ir =. Iš čia, integruojami, gauname u išraišką: u = d + ϕ ( ) = + ϕ( ). 4
42 Ieškome funkcijos u dalinės išvestinės pagal : u = + ϕ '( ) =. 4 Iš čia ϕ '( ) = ir, integruojant, ϕ ( ) = + C. Tuomet, u, + ( ) = C, o bendrasis integralas lgus = C. ) Rasime diferencialinės lgties sin sin + d + = 0 d bendrąjį sprendinį. Įsitinkinkime, kad tai ra pilnųjų diferencialų lgtis, sin sin t.., + =. Tikrindami gauname: sin sin =. Tuomet kairė duotosios lgties pusė ra kuris nors funkcijos u = u(, ) u sin pilnasis diferencialas ir = +. Iš čia, integruojami, gauname u išraišką: sin cos u = d + d + ϕ ( ) = + + ϕ( ). Ieškome funkcijos u dalinės išvestinės pagal : 4
43 u cos = + ϕ' = sin + ϕ' cos ( ) = + ϕ' ( ) = + ϕ' ( ) sin sin ( ) = ; sin Iš čia, ϕ '( ) = ir, integruojant, ϕ ( ) = + + C. Tuomet, u (, ) C, sin cos = o bendrasis integralas cos lgus = C. = Antrosios eilės paprasčiausiųjų diferencialinių lgčių sprendimas ) Rasime lgties '' = atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas () =, ' () = 0. d ' = '' d = = + C Pritaikę pradinę sąlgą '() = 0, gauname 0 = + C C =. Taigi, ' = +. Integruodami šią lgtį su atskirais kintamaisiais, gauname: d d d = + d d = + d = ln + + C 4
44 Pritaikę pradinę sąlgą () =, gauname = ln + + C C = 0. Tuomet = ln +. ) Rasime lgties ' ' = ln atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas () =, ' () = 0. 4 ' = '' d = ln d. Integruojame dalimis: = ln d ln = ln d = ln C. + ' Pritaikę pradinę sąlgą '() = 0, gauname 0 = ln + C C =. Taigi, ' = ln +. Integruodami šią lgtį su atskirais kintamaisiais, gauname: d = ( ln + ) d d = ln d d + d. Integralą ln d integruojame dalimis: ln d = ln d( ) = ln d ln = ln + C. 4 Toliau integruodami, gauname: = ln + + C 4 Pritaikę pradinę sąlgą () =, gauname 4 = ln + + C C = Tuomet = ln
45 ) Rasime lgties '' + ' = + atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines 5 5 sąlgas () =, ' () =. 4 Lgtje nėra funkcijos, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbę z = '. Tuomet z ' = ' '. Įstačius į lgtį, gauname: z ' + z = +. Tai tiesinė lgtis, atliekame pakeitimą z = uv, z ' = u' v + uv' ir įstatome į lgtį: ' ' ' ' = + v u v + uv + uv = + u v + u v +. v Sprendžiame lgtį v ' + = 0. dv d = ln v = dv d = ln. v v Imame v = ir statome į lgtį: u' = + u' = + du = ( + ) d du = ( + ) d ( + ) d( + ) ( + ) u = u = + C ( + ) C Tuomet z = uv = +. ( + ) C Iš čia ' +. gauname: 5 4 ( + ) = + C C = ir ' = = Pritaikę pradines sąlgas '() =, 5
46 Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais: ( + ) d d = d +. d d = + d + d + = ln C. 4 d Pritaikę pradinę sąlgą (), 5 = ln+ + + C C = Tad = ln = gauname 4 ' 4) Rasime lgties ' ' ' = + ln atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas () =, ' () = e. Lgtje nėra funkcijos, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbę z = '. Tuomet z ' = ''. Įstačius į lgtį, gauname: z z z ' = + ln. z Tai homogeninė lgtis, atliekame pakeitimą u =, z = u, z ' = u' + u ir įstatome į lgtį: u ' + u = u + u ln u u' = u ln u. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais: 46
47 du u ln u = d du d d ln u d = = ln ln u = ln + u ln u ln u ln C. Imame ln, C u = C u = e, tada ' = z = u = e C. Pritaikę pradines sąlgas '() = e, gauname: C e = e C =. Tad ' = e. ai lgtis su atskiriamais kintamaisiais: d = e d d = e d = e d. Išintegruojame dalimis: = e d = e e d = e e + C. Pritaikę pradinę sąlgą () =, gauname = e e + C C =. Tad = e e +. 5) Rasime lgties '' = 7 atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas ( ) =, ' ( ) = 6. Lgtje nėra nepriklausomojo kintamojo, todėl keičiame nežinomąją funkciją pagal dp lgbę = p'. Tuomet '' = p. Įstačius į lgtį, gauname: d dp p = 7. d Šioje lgtje atskiriame kintamuosius ir integruojame: 47
48 4 p C 4 pdp = 7 d = 7 + p = 6 + pdp = 7 d C. 4 Pritaikę pradines sąlgas ( ) =, p = ' ( ) = 6, randame konstantą C : 6 = 6 + C C = 0. 4 Tad ' = 6. Atsižvelgę, kad ir ra teigiamos, gauname: ' = 6. Tuomet: d d d = 6, = 6d = 6 d = 6 + C d = 6 + C Pritaikę pradinę sąlgą ( ) =, C =. Tuomet =. 6. gauname =, iš kur + C 6) Rasime lgties '' = + ' atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas ( 0 ) =, ' ( 0) =. Lgtje nėra nepriklausomojo kintamojo, todėl keičiame nežinomąją funkciją dp pagal lgbę = p'. Tuomet '' = p. Įstačius į lgtį, gauname: d dp p = + p. d Šioje lgtje atskiriame kintamuosius ir integruojame: 48
49 pdp = ( + p ) d p + p d dp = pdp + p d( + p ) d = + p pdp d d( + p ) d = = ln( + p ) + p + p = ln + ln C + p = C. Pritaikę pradines sąlgas ( 0 ) =, p = ' ( 0) =, = d = randame konstantą C : + = C C =. Tad ' = ' =. Integruodami gauname: d = d d d = d = = d d = + C. Pritaikę pradinę sąlgą ( 0 ) =, Tuomet = + = ( + ) gauname = C C. = + + = ( ). ( ) d 49
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραFIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU
EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto
Διαβάστε περισσότεραMatematinis modeliavimas
ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10
Διαβάστε περισσότεραKetvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:
PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės
Διαβάστε περισσότερα9. Sukimas Bendrosios žinios
9. Sukimas 9.. Benrosios žinios Sukimas ra eformavimo tias, aibūinamas skersjūvių asisukimu stro ašies atžvilgiu nuo sukimo momento (9. av.). Jis susijęs su kaminėmis eformacijomis (žr. 8. oskrį). ai eformuojasi
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότερα9. KEVALŲ ELEMENTAI. Pavyzdžiai:
9. KEVALŲ ELEMENTAI Kealai Tai ploni storio krptii kūnai, sudarti iš kreių plokštuų. Geoetrija nusakoa iduriniu pairšiui ir storiu t. Kiekiena pairšiaus taške galia rasti di kreies, atitinkančias inialius
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότερα1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos
1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότερα3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija
P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραTeorinė mechanika I. Uždavinių sprendimo vadovas
VILNIUS GEDIINO TEHNIKOS UNIVERSITETS R. UŠYS, J. KSNUSKS Teorinė mechania I. Uždavinių sprendimo vadovas OKOOJI KNYG Vilnius Technia 00 R. aušs, J. Kasnausas. TEORINĖ EHNIK I. UŽDVINIŲ SPRENDIO VDOVS
Διαβάστε περισσότερα= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t
Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότεραLeaving Certificate Applied Maths Higher Level Answers
0 Leavin Certificate Applied Maths Hiher Level Answers ) (a) (b) (i) r (ii) d (iii) m ) (a) 0 m s - 9 N of E ) (b) (i) km h - 0 S of E (ii) (iii) 90 km ) (a) (i) 0 6 (ii) h 0h s s ) (a) (i) 8 m N (ii)
Διαβάστε περισσότεραIII.Termodinamikos pagrindai
III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότερα8. LENKIAMŲ PLOKŠTELIŲ ELEMENTAI
8. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ ELEMENAI 8.1. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ EORIJA Įtempimai: storį: paprastai operuojama įrąžomis įtempimų atstojamosiomis per plokštelės z τ z t τ z M t = zdz, M =...., M =.. t t = τzdz, =
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραt. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.
LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότερα. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai)
0 m. ietuvos 6-ojo fizikos čempionato UŽDUOČŲ SPRENDMA 0 m. gruodžio 6 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas 0 taškų, visa galimų taškų suma 00). Pervyniojant transformatoriaus ritę buvo pastebėta, kad ritėje
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra Juozas Navickas FIZIKA I dalis MOKOMOJI KNYGA KAUNAS, ARDIVA 8 UDK 53(75.8) Na95 Juozas Navickas FIZIKA, I dalis
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραPraeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010
Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos
Διαβάστε περισσότεραMECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA
LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA III KURSO III TURO METODINIAI NURODYMAI IR UŢDUOTYS
Διαβάστε περισσότερα04 Elektromagnetinės bangos
04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότεραTRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA
Marijonas Bogdevičius RANSPORO PRIEMONIŲ DINAMIKA Projekto kodas VP-.-ŠMM 7-K--3 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότεραCheminės kinetikos kurso KONSPEKTAS
VILNIUS PEDGOGINIS UNIVERSITETS Gamtos moslų faultetas Chemijos atedra lbertas alinausas Cheminės inetios urso KONSPEKTS etodinė priemonė Vilnius 5 etodinė priemonė buvo aprobuota:. Chemijos atedros posėdyje
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραAUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA
Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραPapildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.
Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότεραGabija Maršalkaitė Motiejus Valiūnas. Astronomijos pratybų užduočių komplektas
Gabija Maršalkaitė Motiejus Valiūnas Astronomijos pratybų užduočių komplektas Vilnius 2014 1 Įvadas 1.1 Astronomijos olimpiados Lietuvoje kylant moksleivių susidomėjimu astronomijos olimpiada buvo pastebėta,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
Διαβάστε περισσότεραPrima Esercitazione. Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli 1
Prima Esercitazione Cordeschi, Patriarca, Polli 1 Formula della Convoluzione + y() t = x( ) h( t ) d τ = τ τ τ x(t) Ingresso h(t) Filtro Uscita y(t) Cordeschi, Patriarca, Polli 2 Primo esercizio Si calcoli
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραPav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.
Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2013 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVS RESPUBLIKS ŠVIETIM IR MKSL MINISTERIJ NINLINIS EGZMINŲ ENTRS 03 METŲ MTEMTIKS VLSTYBINI BRNS EGZMIN REZULTTŲ STTISTINĖ NLIZĖ 03 m. birželio 5 d. matematikos valstbinį brandos egzaminą leista laikti
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραKLASIKIN E MECHANIKA
KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότεραSkalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka
WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs
Διαβάστε περισσότερα4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas
SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti
Διαβάστε περισσότερα