2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS"

Πρόκρις Παπανικολάου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis fukcijs (sursti jų išvesties) mokom mokykloje Griežti pibrėžti išvestię reiki griežtos ribos sąvokos Geometriė išvestiės prsmė susijusi su fukcijos grfiko liestie Liestię pprstom kreivėm glim pibrėžti ir be ribos Seovės griki mokėjo pibrėžti pskritimų ir ki kurių kitų kreivių liesties bei žiojo jų pgridies svybes Skykime turime fukciją y = f( ) I či I itervls Nubrėžime fukcijos f grfiką Fiksuojme tšką I ir tšką grfike ( ; f( )) Psirekme tšką I ir tšką grfike ( ; f( )) Nubrėžime grfiko kirstię per psiriktus tškus f( ) f Užršome kirstiės posvyrį posv( kirst) = Apskičiuojme ribą (jei egzistuoj) f( ) f lim (61) Ribą pvdime fukcijos išvestie tške žymime f Jei rib (61) egzistuoj ti reiški kd fukcijos grfiks turi liestię tme tške o grfiko liestiės posvyris yr f Pršome liestiės lygtį y = f + f ( ) (6) Krtis rib (61) pkeičim kit kuri lbi dži turi pprstesę išrišką Pkeičimi kitmieji = = + 0 f( ) f f( + ) f lim = f (63) 0 6 Pvyzdys Fukcij f( ) = Td k k f( ) + = k k = 0 1 ( 1) = (64) ( + ) 1 ( 1) 1 = (65) Mtome kd (65) lygybės dešiėje pusėje visi rii išskyrus pirmąjį yr lipsii Jų visų ribos lygios uliui ki 0 Todėl ( + ) 1 lim = = f f ( ) = (66) 0 Či iškyl žymėjimo kolizij Mes skitome f - fukcijos f išvestiė tške Jei fiksuojme ti eglime ršyti ( ) 1 išvestiė ulis Glim žymėti tip ( ) 1 lygtį = es td yr kostt ir jos = Dbr glime pršyti liestiės = 1

2 y = + 1 ( ) (67) Jei tidžii pžiūrėsime į lygybės (64) dešiiąją pusę prisimisime kd = ti pstebėsime kd jos pirmieji du rii sutmp su liestiės lygties (67) dešiiąj puse Tie pirmieji du rii vdimi tiesie fukcijos dlimi Ko reiki kd jie ir uskytų liestię? Pžymėkime ( 1) r ( ) = + + (68) Ride r žymime uo gliško žodžio rest liek Td ( + ) 1 r( ) = + (69) Kd egzistuotų (69) lygybės kiriosios pusės rib ki 0 reiki jog r ( ) lim = 0 (610) 0 Kd gliotų sąlyg (610) pkk turėti (guti) tokį įvertį r ( ) C δ (611) či C ir δ kokie ors teigimi skičii ty elygybė (611) glioj kokioje ors tško = 0 plikoje Tokį įvertį guti visi esuku ( 1) r ( ) = + + ( 1) + + ( 1) = + + (iškelime ) ( 1) (ki 1) 1 ( 1) (pridedme du rius) = ( + 1) (biomo formulė) (61) Koks visų šių išvedžiojimų morls? Ti pibedrisime ir suformuluosime kip teoremą 63 Teorem Jei egzistuoj tokios kosttos A ir C kd f( ) = f( + ) = f + A + r( ) (613) o r ( ) teki sąlygą (611) ti fukcij f turi išvestię tške ir f = A Įrodyms Perkėlę du rius iš lygybės (613) dešiiosios pusės į kiriąją pdlię iš ir psiudoję elygybe (611) gume f( + ) f( ) r( ) C A = = C < ε (614) Pčią pskutię (614) elygybę spręsti mokmeiš to išpluki kd f( + ) f( ) lim A = 0 0 bet ti ekvivletu kd

3 f( + ) f( ) f = A 0 64 Pvyzdys Rodikliės fukcijos y = ep( ) = e! išvestiė Kdgi rodikliė fukcij buvo pibrėžt kip rib ti įsttę tą pibrėžimą į išvestiės pibrėžimą (63) elbi žiotume ką dryti lim 1+ lim 1+ lim Iš prdžių griėsime rodiklię fukciją ulio tško plikoje Išskleiskime fukciją ( ) = 1+ pgl biomo formulę ( 1) ( ) = 1+ = (615) Pstrosios elygybės dešiiojoje pusėje pirmieji du rii sudro tiesię dlį Perkelkime juos į kiriąją pusę ir likutį įvertikime: ( 1) ( ) 1 = r( ) = + + ( 1) r ( ) = + + ( 1) + + ( 1) 1 = + + ( 1) ( 1) = 1+ 1 e (616) Ti ju e krtą mtyt! Iš šio įverčio gume ( ) 1 = r ( ) e (617) Pereikime prie ribos šioje elygybėje ki lim ( ) 1 e lim ( ) 1 e ep( ) 1 e (618) Teorem 63 teigi kd iš elygybės (618) išpluki jog rodikliė fukcij tške = 0 turi išvestię ir ( ep (0) = e ) = 0 = 1 Dbr pskičiuosime rodikliės fukcijos išvestię bet kokime tške 3

4 ty ep( + ) ep ep 0 ep(ep( ) 1) 0 ep( ) 1 = eplim = ep 0 = rb ( ) ep ( ) ep( ) e = e! (619) 65 Pstbos Kd gliotų teoremos (63) tvirtiims sąlyg (611) ėr būti pkk ir sąlygos (610) Jei trtume kd fukcij tške turi išvestię ir pžymėtume r ( ) = f( + ) f f ( ) ti kivizdu kd f( + ) f f( + ) f f r( ) lim = f lim = Jei fukcij r() teki sąlygs (610) r (611) ti tokioms fukcijoms yr suglvoti specilūs žymėjimi: r ( ) jei lim = 0 ti r ( ) = o ( ) 0 (60) 0 jei CC > 0 δδ > 0 r ( ) C δ ti r ( ) = O ( ) 0 (61) Sąlyg (61) yr stipresė už sąlygą (60) Ti mtyti iš pskutiiųjų (614) 3 1 r ( ) elygybių Bet e tvirkščii Pvz r ( ) = Td 0 = ki 0 bet fukcij r() sąlygos (61) eteki Mes likysime kd pskymi fukcij turi išvestię tške (rb ibėje) ir fukcij yr diferecijuojm tške (rb ibėje) yr ekvivlečios Ki kurie utorii skiri šis sąvoks ir sko: fukcij turi išvestię tške jei f( + ) f lim = f ; (6) 0 fukcij diferecijuojm tške jei egzistuoj kostt A kd f( + ) = f + A + o( ) 0 (63) Mes įsitikiome kd iš tikrųjų bi sąlygos yr ekvivlečios ir td A= f 66 Tolydumo ir diferecijuojmumo ryšys Jei fukcij diferecijuojm tške ti ji ir tolydi tme tške tške bet e tvirkščii Kotrpvyzdys Fukcij f( ) = Ji yr tolydi visur bet ediferecijuojm tške = 0 0 lim = lim =

5 0 Iš či išpluki kd eegzistuoj lim ty eegzistuoj fukcijos išvestiė 0 tške = 0 Skykime fukcij diferecijuojm tške ty glioj sąlyg (63) Td pėmę ε = 1 gume kd egzistuoj toks δδ> 0 kd o ( ) 1 < δ rb o ( ) f( + ) f = A+ o( ) A + = ( A + 1) (64) Iš pstrojo įverčio išpluki fukcijos tolydums tške 67 Teorem (Aritmetiės išvestiių svybės) Jei fukcios f ir g turi išvesties tške c! ti fukcijos cf f ± g fg f turi išvesties tške ir g ( cf )( ) = c f ( f + g) = f + g ( f g) = f g + f g ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f g f g g = jei g ( ) 0 g Įrodyms Pirmosios dvi lygybės yr tiesiogiės titikmų fukcijų ribų svybės Įrodykime trečiąją lygybę f( + ) g( + ) f g ( f g) 0 f( + g ) ( + ) f( g ) ( + ) + f( g ) ( + ) f( g ) ( ) 0 f( + ) f g( + ) g g ( + ) + lim f 0 0 = f g + f g Pskutiioje lygybėje reikėjo psiudoti fukcijos g tolydumu tške Pšii įrodom ir fukcijų stykio išvestiės formulė 68 Trigoometriių fukcijų išvestiės ( ) si( ) si si si cos (siusų skirtumo formulė) 0 si + si t cos (udojmės rib lim = 1) 0 t 0 t = cos (udojmės kosiuso tolydumu) (65) Alogiški gutume ( cos ) = si (66) 5

6 Tgeto ir kotgeto išvesties glim pskičiuoti pgl fukcijų stykio išvestiių formules: ( ) ( ) ( ) si si cos si cos 1 t = = = (67) cos cos cos ir logiški 1 ( ctg ) = (68) si 69 Teorem (sudėtiės fukcijos išvestiė) Jei fukcij y = f( ) yr diferecijuojm tške b= f fukcij z = g( y) yr diferecijuojm tške b ti sudėtiė fukcij z = ( g" f )( ) = g( f( )) yr diferecijuojm tške ir ( g" f ) = g ( f) f (69) Įrodyms Glime pršyti pprstą lygybę g( f( )) g( f) g( f( )) g( f) f( ) f = (630) f( ) f Jei šioje lygybėje pkeisime f( ) = y f = b pereisime prie ribos ki ti y b (diferecijuojm tške fukcij f yr tolydi tme tške) Td g( f( )) g( f) g( f( )) g( f) f( ) f lim f( ) f g( y) g( b) f( ) f lim y b y b = g ( b) f = g ( f) f Gvome ti ko reikėjo Tik reiki įsitikiti kd vrdiklis lygybėje (630) elygus uliui Jei f 0 ti egzistuoj toki tško plik V kd f( ) f f V f f( ) f 0 ki Jei f = 0 ti tiesiogii įrodysime kd ( f " g) = 0 Td bi lygybės (69) pusės bus lygios uliui Fukciji g pršykime elygybę (64) kuri glioj tm tikroje tško b plikoje: g( y) g( b) ( g ( b) + 1) y b (631) Įsttykime į šią elygybę y = f( ) b= f pdlikime iš ir pereikime prie ribos ki g( f( )) g( f) ( g ( b) + 1) f( ) f g( f( )) g( f) f( ) f ( g ( b) + 1) g( f( )) g( f) f( ) f lim ( g ( b) + 1)lim ( g ( b) + 1) f = 0 Mtome kd įrodyms išėjo evisi trumps Buvo glim įrodyti eskirit į tvejus bet td būtų reikėję udotis pibrėžimu (63) 6

Σχετικά έγγραφα

2.7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI

2.7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI .7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI 7.. Ferm teorem. (Pierre de Fermt, 6-665, http://www-history.mcs.std.c.uk/~history/mthemticis/fermt.html). Jei fukcij, pibrėžt itervle I vidiime jo tške turi