SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE

Transcript

1 VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4

2 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės sąvokos..... Perdavimo režimai Inormaijos matas Kanalo pralaida ir idealiosios telekomunikaijų sistemos Duomenų perdavimo klaidos ir duomenų kodavimas Blokiniai kodai Konvoliuiniai kodai Kodo eektyvumas Uždavinių sprendimo pavyzdžiai...4 Uždaviniai...5. SIGNALAI IR SPEKTRAI Signalo ir triukšmo galia Furjė transormaija ir spektrai Pagrindiniai apibrėžimai Furjė transormaijos savybės. Signalo energijos spektrinis tankis Dirako δ unkija ir vienetinė laiptinė unkija Sinusoidės spektras Stačiakampio ir trikampio impulsų spektrai Galios spektrinis tankis ir autokoreliaijos unkija Galios spektrinis tankis Autokoreliaijos unkija Sinusoidės galios spektrinis tankis Signalų išraiška ortogonaliosiomis eilutėmis Ortogonaliosios unkijos. Ortogonaliosios kompleksinės eksponentinės unkijos Ortogonaliosios eilutės Furjė eilutės Kompleksinė Furjė eilutė Kvadratūrinė Furjė eilutė Polinė Furjė eilutė Įvairių rūšių Furjė eilučių tapatumas. Signalų aproksimavimas baigtinėm Furjė eilutėm Periodinio signalo spektras Periodinio signalo galios spektrinis tankis Tiesinių sistemų pagrindai Tiesinės sistemos sąvoka. Laikinis invariantiškumas Tiesinės sistemos impulsinis atsakas Tiesinės sistemos perdavimo unkija Žemųjų dažnių RC iltro impulsinis atsakas ir perdavimo unkija... 35

3 ii.6.5. Signalų perdavimas be iškraipymų tiesinėse sistemose Signalo iškraipymai, kuriuos sukelia žemųjų dažnių RC iltras Riboto dažnio signalai Ėmimo teorema Impulsinis ėmimas Dažnių juostos plotis Uždavinių sprendimo pavyzdžiai...45 Uždaviniai SKAITMENINIŲ IMPULSINIŲ SIGNALŲ PERDAVIMAS Impulsų amplitudės moduliavimas Natūralusis ėmimas Momentinis ėmimas Kodinis impulsinis moduliavimas Ėmimas, kvantavimas ir kodavimas Kodinio impulsinio moduliavimo signalo dažnių juostos plotis Triukšmas PCM sistemos išėjimo analoginiame signale PCM sistemų projektavimo pavyzdžiai Netolyginis kvantavimas Skaitmeninių signalų matematinė analizė Skaitmeninio signalo bendrasis pavidalas Skaitmeninio signalo dažnių juostos plotis Daugialygiai signalai Linijos kodai ir jų spektrai Dvilygiai linijos kodai Įvairių linijos kodų galios spektrinis tankis Dierenialinis kodavimas Filtravimo ir triukšmo eektų matavimas Regenerainiai retransliatoriai Bitų sinhronizavimas Daugialygių signalų galios spektrinis tankis Skaitmeninio signalo spektro panaudojimo eektyvumas Tarpženklinė intererenija Pagrindinės sąvokos Pirmasis Naikvisto metodas tarpženklinei intererenijai sumažinti Tarpženklinės intererenijos sumažinimas, naudojant pakelto kosinuso ormos kryčio iltrą Antrasis ir trečiasis Naikvisto metodai tarpženklinei intererenijai sumažinti Laikinis tankinimas Laikinio tankinimo sąvoka Bitų grupių sinhronizavimas Sinhroninės, asinhroninės ir kvazisinhroninės sistemos Laikinio tankinimo multipleksoriaus projektavimo pavyzdys... 96

4 iii 3.9. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai...98 Uždaviniai JUOSTINIŲ SIGNALŲ PERDAVIMO PRINCIPAI IR GRANDINĖS Juostinių signalų kompleksinė išraiška Pagrindinės sąvokos: žemadažnis signalas, juostinis signalas, moduliavimas Juostinio signalo kompleksinės gaubtinės sąvoka Moduliuotojo signalo matematinė išraiška Juostinio signalo spektras, galios spektrinis tankis ir normuotoji galia Juostinio signalo spektro ir galios bendrosios išraiškos Moduliuotos amplitudės signalo spektras ir galia Juostiniai iltrai ir tiesiniai iškraipymai Juostinio iltro pakeitimas ekvivalenčiu žemųjų dažnių iltru Juostinio signalo tiesiniai iškraipymai Juostinio signalo ėmimo teorema Netiesiniai iškraipymai Signalo ribotuvai Signalų maišikliai ir aukštinamieji bei žeminamieji dažnio keitikliai Dažnio daugintuvai Detektoriai Gaubtinės detektorius Sandaugos detektorius Dažnio detektoriai Fazės derinimo kilpos (PLL kilpos) ir dažnio sintezatoriai Siųstuvai ir imtuvai Apibendrintieji siųstuvai Apibendrintieji imtuvai Uždavinių sprendimo pavyzdžiai...49 Uždaviniai AM, FM IR SKAITMENINIO MODULIAVIMO SISTEMOS Amplitudės moduliavimas Dvipusės šalinės juostos numalšintojo nešlio (DSB-SC) signalai DSB-SC signalo detektoriai: Kosto PLL kilpa ir kėlimo kvadratu sistema Asimetrinių šalinių juostų signalai Vienpusės šalinės juostos signalai Liekamosios šalinės juostos signalai Fazės moduliavimas ir dažnio moduliavimas PM ir FM signalų matematinės išraiškos ir generavimo būdai Moduliuoto kampo signalų spektrai PM arba FM signalo spektras, kai moduliavimo signalas yra sinusoidės pavidalo... 74

5 iv Siaurajuostis kampo moduliavimas Plačiajuostis dažnio moduliavimas Išankstinė korekija ir atvirkštinė korekija kampo moduliavimo sistemose Dažninis tankinimas ir moduliuoto dažnio stereooniniai signalai Dvilygio skaitmeninio moduliavimo juostiniai signalai Dvilygio skaitmeninio moduliavimo rūšys Amplitudės manipuliavimas Apgrąžinis azės manipuliavimas Fazių skirtumo manipuliavimas Dažninis manipuliavimas Daugialygio skaitmeninio moduliavimo juostiniai signalai Ketvirtinis azės manipuliavimas ir daugiakartis azės manipuliavimas Kvadratūrinis amplitudės moduliavimas MPSK ir QAM signalų galios spektrinis tankis Uždavinių sprendimo pavyzdžiai...99 Uždaviniai...6 Priedas A. Matematiniai metodai, tapatybės ir lentelės... A-. Trigonometrija... Apibrėžimai... Trigonometrinės tapatybės... A-. Dierenialinis skaičiavimas... Išvestinės apibrėžimas... Dierenijavimo taisyklės... Išvestinių lentelė... A-3. Neapibrėžtumų aiškinimas...3 A-4. Integralinis skaičiavimas...3 Integralo apibrėžimas...3 Integravimo metodai... 3 A-5. Integralų lentelės...4 Neapibrėžtiniai integralai... 4 Apibrėžtiniai integralai... 6 A-6. Eilutės...7 Baigtinės eilutės... 7 Begalinės eilutės... 8 Priedas B. Furjė transormaijos savybės...9 Priedas C. Įvairių moduliavimo tipų kompleksinės gaubtinės... Priedas D. Beselio unkijų lentelės... Literatūra...3

6 . ĮVADAS Telekomunikaijos yra elektrotehnikos šaka. Elektrotehnikoje sprendžiami dviejų tipų uždaviniai: vienas yra elektros energijos gaminimas ir perdavimas, o kitas inormaijos perdavimas. Telekomunikaijų sistema arba ryšių sistema tai įrenginių ir metodų sistema, kurios paskirtis yra inormaijos perdavimas per atstumą. Esminis skirtumas tarp elektros energijos sistemų ir ryšių sistemų yra tas, kad elektros energijos sistemose perduodamo signalo pavidalas yra iksuotas (pagrindinis tikslas kuo labiau sumažinti energijos nuostolius), o telekomunikaijų sistemose signalo pavidalas priklauso nuo perduodamos inormaijos (pagrindinis tikslas kuo labiau sumažinti perduodamos inormaijos iškraipymus, esant duotoms siųstuvo galiai ir inormaijos perdavimo spartai). Šioje mokymo priemonėje aprašytos įvairios signalų transormaijos, kurios atliekamos telekomunikaijų sistemose: moduliavimas, detektavimas, kodavimas ir kt.; aprašyti signalų matematinės analizės metodai. Maždaug 9% čia pateiktos medžiagos yra paimta iš knygos Couh, Leon W. Digital and Analog Communiation Systems, 5 th ed. Upper Saddle River, NJ: Prentie Hall, p. Iš tos pačios knygos paimti ir visi uždaviniai bei matematiniai priedai... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės sąvokos Telekomunikaijų sistemos supaprastinta struktūrinė shema pateikta.. pav. Sistemą sudaro trys pagrindinės dalys: siųstuvas, perdavimo aplinka (kanalas) ir imtuvas. Siųstuvo paskirtis transormuoti inormaijos šaltinio generuojamą inormaiją taip, kad ją būtų įmanoma siųsti kanalu. Perdavimo aplinka arba kanalas iziškai sujungia imtuvą su siųstuvu (pvz., metalinis laidininkas, šviesolaidis arba laisva erdvė). Inormaija kanalu perduodama elektromagnetinių bangų pavidalu. Dažnai kanalu vadinamas ir perduodamojo signalo dažnių intervalas (žr. žemiau apie moduliavimą). Imtuvo paskirtis atkurti inormaijos šaltinio signalą... pav. Telekomunikaijų sistemos supaprastinta struktūrinė shema. Dažniausiai inormainis signalas netinka tiesioginiam perdavimui. Todėl siųstuvas jį transormuoja į tinkamesnį pavidalą. Ši signalų transormaija vadinama aukšto dažnio signalo moduliavimu inormainiu signalu. Pvz., gali būti, kad duotajame kanale sklindančių bangų dažnis turi būti žymiai didesnis už mikroono generuojamos įtampos dažnį. Tokiu atveju perduodamas ne pats inormainis signalas, o aukšto dažnio signalas, kurio momentinė amplitudė, dažnis arba azė proporinga inormainiam signalui (paprasčiausiu atveju). Moduliuojamasis aukšto dažnio signalas vadinamas nešliu. Imtuvas atstato pradinį inormaijos pavidalą, t.y., demoduliuoja priimtąjį signalą. Signalas, kuris naudojamas nešlio moduliavimui, vadinamas moduliavimo signalu. Moduliavimo signalas gali skirtis nuo inormainio signalo (žr. žemiau). Inormainis signalas bei signalas, kuris sklinda kanalu, gali būti skaitmeninis arba analoginis. Skaitmeninis signalas tai laiko unkija, kuri gali įgyti tik diskrečias vertes (pvz., diskretūs įtampos lygiai), o analoginis signalas tai laiko unkija, kurios verčių

7 rinkinys yra tolydus (pvz., harmoninė įtampa). Tikslesnis skaitmeninio signalo apibrėžimas pateiktas 3.3. poskyryje. Ryšių sistemos taip pat skirstomos į skaitmenines ir analogines. Analoginėje ryšių sistemoje inormaija perduodama analoginiu pavidalu, pvz., tolydžiai kintančios įtampos pavidalu. Skaitmeninėje ryšių sistemoje inormaija perduodama skaitmeniniu pavidalu (pvz., diskretūs įtampos lygiai V ir 5 V arba pastovios amplitudės harmoninė įtampa, kurios pradinė azė gali įgyti dvi arba daugiau diskrečių verčių). Analoginėse ryšių sistemose perduodami tik analoginiai signalai. Skaitmeninėse ryšių sistemose gali būti perduodami ir skaitmeniniai, ir analoginiai signalai. Pvz., jeigu perduodama harmoninė įtampa, kurios dažnio vertės yra diskrečios, tuomet duotoji ryšių sistema yra skaitmeninė, tačiau joje perduodamas analoginis signalas. Taigi, ryšių sistemų skirstymas į analogines ir skaitmenines grindžiamas ne perduodamo signalo analoginiu arba skaitmeniniu pobūdžiu, o moduliavimo būdu. Reikia turėti omenyje, kad skaitmeninė ryšių sistema gali būti naudojama analoginės inormaijos perdavimui, o analoginė ryšių sistema gali būti naudojama skaitmeninės inormaijos perdavimui. Pirmuoju atveju siųstuvas prieš moduliavimą paverčia analoginį inormainį signalą skaitmeniniu signalu, o antruoju atveju skaitmeninis inormainis signalas paverčiamas analoginiu. Imtuvas po demoduliavimo atlieka priešingą transormaiją. Vadinasi, moduliavimo signalas bendruoju atveju skiriasi nuo inormainio signalo... pav. parodyta, kaip susiję inormainis (moduliavimo) signalas m( (nuo angliško žodžio message pranešimas ), nešlys (moduliuojamasis signalas) s(, perduodamasis signalas (moduliuota banga) r(, triukšmas n( ir priimamasis signalas m ~ ( t ). Ženklas ~ nurodo, kad priimtasis pranešimas gali skirtis nuo išsiųsto pranešimo dėl triukšmo įtakos arba dėl kitų sistemos deektų, pvz., netiesiškumo. Moduliavimo signalą suormuoja signalų proesorius, kuris yra siųstuve. Šio signalų proesoriaus paskirtis pakeisti inormainio signalo pavidalą taip, kad inormaijos perdavimas būtų kuo eektyvesnis. Pvz., analoginėje sistemoje siųstuvo signalų proesorius gali būti analoginis žemųjų dažnių iltras, kuris apriboja signalo m( dažnių juostą iš viršaus. Skaitmeninėje sistemoje, kuri naudoja analoginį inormaijos šaltinį, siųstuvo signalų proesorius yra skaitmeninis analogo keitiklis (SAK). SAK apdoroja analoginį inormainį signalą dviem etapais: ) diskretizuoja jį, t.y., paverčia impulsų seka; ) kiekvieno impulso amplitudę išreiškia dvejetainiu skaičiumi, t.y., loginių nulių ir vienetų seka. Tokiu būdu suormuojamas skaitmeninis žodis, kuris nusako analoginio signalo amplitudes tam tikrais diskrečiais laiko momentais. Toks įėjimo inormainio signalo apdorojimas apibendrintai vadinamas šaltinio kodavimu (soure oding), nes jo paskirtis išgauti esminę inormaiją iš inormaijos šaltinio ir užkoduoti ją skaitmeniniu pavidalu (apie šaltinio kodavimą smulkiau kalbama 3 skyriuje). Be to, signalų proesorius gali papildyti skaitmeninį žodį lyginumo bitais, kuriuos naudoja imtuvo signalo proesorius klaidų aptikimui ir ištaisymui. Toks skaitmeninio pranešimo kodavimas vadinamas kanalo kodavimu (hannel oding), nes jo paskirtis sumažinti kanalo triukšmo sąlygotų klaidų skaičių (apie kanalo kodavimą smulkiau kalbama.5 poskyryje). Moduliatorius naudojamas tik analoginėse ryšių sistemose ir tose skaitmeninėse ryšių sistemose, kuriose perduodamas analoginis signalas. Moduliatoriaus paskirtis nešlio moduliavimas signalu, kuris yra signalų proesoriaus išėjime. T.y., šis signalas perkeliamas į dažnių juostą, kuri atitinka duotąjį kanalą. Tokiu būdu suormuojamas siųstuvo išėjimo signalas s(, kurio spektras sutelktas nešlio dažnio aplinkoje. Todėl moduliuotieji signalai vadinami juostiniais signalais. Pavyzdžiui, jeigu kanalą sudaro optinis kabelis, o signalų proesoriaus išėjimo signalas yra garsinio dažnio, tuomet moduliatorius transormuoja garsinius dažnius į šviesos dažnius. Tokiu atveju s( yra šviesa. 4 skyriuje bus parodyta, kad juostinį signalą visuomet galima išreikšti tokiu pavidalu:

8 [ ω t + ( )] s( = R( os θ t, (..) kur ω = π. Jeigu R( = onst ir θ( = onst, tuomet s( yra harmoninė unkija, kurios dažnis =. Moduliavimas pasireiškia tuo, kad juostinio signalo amplitudė R( arba azė θ( kinta kaip inormainio signalo m( unkijos. Dėl šio R( ir θ( kitimo s( turi nenulinio pločio spektrą (dažnių juostą). Sklindant signalui kanalu, signalas silpsta, o triukšmas auga. Triukšmas tai nereikalinga priimamo signalo dalis, kuri neneša jokios inormaijos... pav. ši signalo dalis žymima n(. Kanalo triukšmą gali sukelti natūralūs elektriniai trikdžiai (pvz., žaibas) arba dirbtinės kilmės šaltiniai (pvz., aukštos įtampos perdavimo linijos). Siekiant išlaikyti pakankamai didelį naudingo signalo ir triukšmo santykį, kanale naudojami aktyvieji stiprinimo įrenginiai retransliatoriai. Taigi, dėl triukšmo ir kitų kanalo deektų signalas imtuvo įėjime r( skiriasi nuo signalo siųstuvo išėjime s(. Imtuvas sustiprina iškraipytą signalą r( ir demoduliuoja jį, t.y., grąžina į pradinio inormainio signalo dažnių juostą. Imtuvo signalų proesorius dekoduoja šį signalą (skaitmeninėje sistemoje) ir suormuoja išėjimo inormainį signalą m ~ ( t ), kuris apytiksliai sutampa su įėjimo inormainiu signalu m(. Skaitmeninis ryšys turi keletą privalumą, lyginant su analoginiu: Skaitmeninės elektrinės grandinės yra pigesnės už analogines. Perduodamą inormaiją galima užkoduoti ir tokiu būdu užtikrinti jos slaptumą. Pasiekiamas didesnis dinaminis diapazonas (didžiausios ir mažiausios perduodamo dydžio verčių santykis). Inormaiją, kurią generuoja skirtingo tipo inormaijos šaltiniai (garso, vaizdo ir duomenų) galima vienu metu perduoti viena skaitmenine ryšių sistema. Net ir tuo atveju, kai priimamo signalo triukšmas yra didelis, galima užtikrinti pakankamai mažas duomenų klaidas. Klaidas dažnai įmanoma ištaisyti, speialiu būdu užkodavus perduodamą inormaiją. Skaitmeninio ryšio trūkumai: Reikalingas didesnis dažnių juostos plotis, negu analoginėse sistemose. Duomenų detektavimui imtuve reikalingas sinhronizavimo signalas. Šis signalas turi būti atkuriamas pagal priimtąją duomenų seką arba perduodamas atskiru kanalu. Skaitmeninio ryšio privalumai dažniausiai nusveria jo trūkumus. Todėl skaitmeninės ryšių sistemos palaipsniui išstumia analogines. Pagrindinis tikslas, projektuojant ryšių sistemas, yra užtikrinti kuo mažesnius perduodamos inormaijos iškraipymus, tuo pat metu laikantis perduodamos galios, perduodamo signalo dažnių juostos pločio ir sistemos kainos apribojimų. Skaitmeninėse ryšių sistemose inormaijos iškraipymų matas yra bito klaidos tikimybė (P e ) priimtuose duomenyse m ~. Šis dydis dar vadinamas klaidingų bitų dažniu (bit error rate). Analoginių ryšių sistemų eektyvumo matas yra inormainio signalo ir triukšmo santykis imtuvo išėjime... Perdavimo režimai Ryšių sistemas galima suskirstyti į sistemas, kurios perduoda inormaiją tik viena kryptimi, pakaitom priešingom kryptim, vienu metu priešingom kryptim arba vienu metu dviem kryptim, kurios nebūtinai yra priešingos. Šie inormaijos perdavimo būdai vadinami 3

9 4 perdavimo režimais. Galimi keturi perdavimo režimai: vienpusis ryšys (simpleksas), pakaitinis dvipusis ryšys (pusiau dupleksas), vienalaikis dvipusis ryšys (pilnas dupleksas) ir pilnas/pilnas dupleksas. Vienpusis ryšys arba simpleksas ( simplex, SX) tai toks ryšys, kai inormaija perduodama tik viena kryptimi. T.y., duotajame ryšio punkte inormaija gali būti tik priimama arba tik perduodama. Vienpusio ryšio pavyzdys yra komerinis radijo ir televizijos programų transliavimas. Pakaitinis dvipusis ryšys arba pusiau dupleksas ( hal-duplex, HDX) tai toks ryšys, kai inormaija perduodama abiem kryptim, tačiau ne vienu metu. T.y., duotojoje vietoje inormaija gali būti priimama arba perduodama, tačiau negali būti vienu metu priimama ir perduodama. Todėl kiekviena ryšio stotis turi nuolat persijungti iš perdavimo režimo į priėmimo režimą ir atgal. Pakaitinis dvipusis ryšys naudojamas, pvz., poliijos radijo ryšio sistemose. Vienalaikis dvipusis ryšys arba pilnasis dupleksas ( ull duplex, FDX) arba tiesiog dupleksas ( duplex, DX) tai toks ryšys, kai inormaija gali būti perduodama vienu metu abiem kryptim. T.y., duotojoje vietoje inormaija gali būti vienu metu priimama ir perduodama. Stotis, iš kurios priimama inormaija, turi būti ta pati stotis, kuriai perduodama inormaija. Tokios ryšių sistemos pavyzdys yra standartinė teleono ryšių sistema. Pilnas/pilnas dupleksas ( ull/ull duplex, F/FDX) tai toks ryšys, kai inormaija gali būti vienu metu perduodama ir priimama, tačiau nebūtinai tarp tų pačių dviejų punktų. T.y., viena stotis gali perduoti inormaiją į antrą stotį ir tuo pat metu priimti inormaiją iš trečios stoties..3. Inormaijos matas Ryšių sistemos paskirtis yra inormaijos perdavimas iš inormaijos šaltinio inormaijos vartotojui. Tačiau kaip tiksliai apibrėžti inormaijos sąvoką ir kaip ji matuojama? Intuityviai aišku, kad perduotos inormaijos kiekis yra susijęs su jos netikėtumu, t.y., su gautojo pranešimo tikimybe: kuo labiau netikėtas pranešimas (t.y., kuo mažesnė jo tikimybė), tuo daugiau inormaijos jis perduoda. Skaitmeninio inormaijos šaltinio j-tojo pranešimo perduotas inormaijos kiekis I j apibrėžiamas šitaip: I j = log, (.3.a) Pj kur P j yra j-tojo pranešimo perdavimo tikimybė. Inormaijos matavimo vienetas yra bitas. Pagal (.3.a) ormulę, bitas tai inormaijos kiekis, kurį perduoda pranešimas, kurio tikimybė lygi.5. Sąvoka bitas naudojama ir kita prasme kaip dvejetainių duomenų vienetas, t.y., duomenų kiekis, kurį nusako dvejetainio skaičiaus skaitmuo (nulis arba vienetas). Jeigu dvejetainio nulio ir dvejetainio vieneto tikimybės yra vienodos ir lygios.5, tai vieno dvejetainio skaitmens perduotas inormaijos kiekis lygus bitui. Taigi, abi žodžio bitas prasmės yra artimai susijusios. Toliau bito sąvoka bus naudojama abiem šiom prasmėm, o konkreti prasmė bus aiški iš konteksto. Kadangi dešimtainį arba natūrinį logaritmą apskaičiuoti paprasčiau, negu dvejetainį logaritmą, tai praktiniuose skaičiavimuose vietoj (.3.a) naudojamos šios dydžio I j išraiškos: I j = log Pj = ln Pj. (.3.b) log ln Kadangi skirtingų pranešimų tikimybės yra skirtingos, tai skiriasi ir jų perduodamas inormaijos kiekis. Todėl skaitmeninį inormaijos šaltinį patogiau apibūdinti vidutiniu inormaijos kiekiu, kurį perduoda vienas pranešimas. Pasinaudoję vidurkio apibrėžimu ir vieno pranešimo inormaijos kiekio išraiška (.3.a), randame šitokią vidutinio inormaijos kiekio išraišką:

10 5 m m H = P = ji j Pj log, (.3.) j= j = Pj kur m yra pilnasis galimų pranešimų skaičius. Vidutinis vieno pranešimo inormaijos kiekis H yra vadinamas inormaijos šaltinio entropija. Inormaijos šaltinio sparta apibrėžiama šitaip: H R =, (.3.3) T kur T yra vidutinė vieno pranešimo perdavimo trukmė. Šaltinio sparta matuojama bitais per sekundę (b/s). Visi aukščiau pateikti apibrėžimai galioja tik skaitmeniniams inormaijos šaltiniams. Analoginiai šaltiniai čia neaprašomi, nes atitinkamos matematinės išraiškos yra sudėtingesnės, o jų izikinė prasmė mažiau akivaizdi. Tačiau atskiras analoginių šaltinių aprašymas ir nėra būtinas, nes analoginį šaltinį galima aproksimuoti skaitmeniniu bet kokiu pageidaujamu tikslumu..4. Kanalo pralaida ir idealiosios telekomunikaijų sistemos Pagrindiniai rodikliai, kurie apibūdina ryšių sistemos eektyvumą, yra jos kaina, dažnių juostos plotis, naudojamoji siųstuvo galia, signalo ir triukšmo santykis įvairiuose sistemos taškuose, klaidingų bitų dažnis (skaitmeninėse sistemose) ir signalo vėlinimas. Optimalioji skaitmeninė telekomunikaijų sistema tai sistema, kurioje pasiekiamas mažiausias klaidingų bitų dažnis, tenkinant duotuosius galios ir dažnių juostos pločio apribojimus. Iškyla klausimas: ar įmanoma sukurti skaitmeninę ryšių sistemą, kurios imtuvo išėjime visiškai nebūtų klaidų, nors kanale egzistuoja triukšmas? Į šį klausimą 948 m. atsakė amerikiečių matematikas Klodas Šenonas (Claude Shannon). Jis įrodė, kad tokia idealioji skaitmeninė telekomunikaijų sistema teoriškai gali egzistuoti, tačiau su sąlyga, kad inormaijos perdavimo sparta yra mažesnė už tam tikrą ribinę vertę C, kuri priklauso nuo sistemos dažnių juostos pločio bei nuo signalo ir triukšmo santykio. Ši ribinė inormaijos sparta C vadinama kanalo pralaida, o jos išraiška yra S C = Blog +, (.4.) N kur B yra kanalo dažnių juostos plotis (Hz), o S/N yra signalo ir triukšmo galių, tenkančių kanalo dažnių juostai, santykis imtuvo įėjime. Kanalo pralaidos išraiška (.4.) vadinama Šenono teorema. Realiose sistemose klaidos tikimybė niekada nebūna lygi nuliui, tačiau ją galima sumažinti iki pakankamai mažų verčių, naudojant duomenų kodavimą (apie tai kalbama sekančiame poskyryje). Taigi, Šenono teoremą galima suormuluoti taip: egzistuoja toks optimaliojo kodavimo būdas, kad klaidingų bitų dažnis imtuvo išėjime būtų lygus nuliui, jeigu inormaijos sparta yra mažesnė už ribinę vertę C (.4.). Optimalioji analoginė telekomunikaijų sistema tai sistema, kurioje pasiekiamas didžiausias signalo ir triukšmo santykis imtuvo išėjime, tenkinant duotuosius galios ir dažnių juostos pločio apribojimus. Idealioji analoginė telekomunikaijų sistema tai sistema, kurios išėjime signalo ir triukšmo santykis yra be galo didelis. Esant kanalo triukšmui, tokia ideali analoginė sistema iš prinipo negali egzistuoti..5. Duomenų perdavimo klaidos ir duomenų kodavimas Skaitmeninėje ryšių sistemoje perduodama inormaija yra dvejetainio pavidalo. T.y., perduodamą inormaiją galima išreikšti dvejetainių simbolių loginių nulių ir vienetų seka (bitų seka). Dėl kanalo triukšmo kuris nors simbolis gali virsti kitu (t.y., nulis gali virsti vienetu arba vienetas nuliu). Toks pakitimas vadinamas duomenų perdavimo klaida. Jeigu

11 priimtuose duomenyse pasikeitė du bitai, tuomet sakoma, kad duomenyse yra dvi klaidos, ir t.t. Jeigu duomenyse, kurie priimami skaitmeninės ryšių sistemos imtuvo įėjime, yra klaidų, jų skaičius gali būti sumažintas vienu iš dviejų būdų: automatinis kartojamasis klaidų taisymas (automati repeat request, ARQ); tiesioginis klaidų taisymas (orward error orretion, FEC). ARQ sistemoje, kai imtuvas aptinka klaidą duomenyse, jis pareikalauja, kad duomenys būtų perduoti dar kartą. T.y., šiuo atveju perduodamus duomenis pakanka užkoduoti taip, kad imtuvas galėtų klaidas aptikti (bet nebūtinai ištaisyti). FEC sistemoje perduodami duomenys yra užkoduoti tokiu būdu, kad imtuvas galėtų ne tik aptikti klaidas, bet ir pats jas ištaisyti. Duomenų kodavimas, kurio paskirtis aptikti arba ištaisyti kanalo triukšmo sukeltas klaidas, vadinamas kanalo kodavimu (skirtingai nuo šaltinio kodavimo, kuris aprašomas 3 skyriuje). Automatinio kartojamojo klaidų taisymo (ARQ) privalumas yra tas, kad jį galima realizuoti palyginti pigiai. ARQ dažniausiai naudojamas kompiuterinių ryšių sistemose, kuriose yra patikimas dvipusis ryšys (pilnas dupleksas arba pusiau dupleksas), pvz., vietiniuose tinkluose (LAN). Naudojant ARQ, duomenys perduodami blokais (paketais). Jeigu priimtajame duomenų bloke aptinkama klaida, imtuvas perduoda siųstuvui pranešimą NAC ( negative aknowledge ), kuris reiškia, kad šį duomenų bloką reikia perduoti dar kartą. Jeigu duomenų bloke klaidų nerasta, tuomet siųstuvui perduodamas pranešimas ACK ( aknowledge ). Ankstyvosiose ARQ sistemose siųstuvas po kiekvieno perduoto duomenų bloko laukdavo ACK arba NAC pranešimo, po kurio perduodavo sekantį duomenų bloką arba pakartotinai siųsdavo tą patį duomenų bloką. Naujesnėse sistemose imtuvui kartu su duomenų paketu perduodamas ir to paketo eilės numeris. Patikrinus, ar priimtajame duomenų pakete nėra klaidų, imtuvas praneša siųstuvui, kuris paketas buvo patikrintas ir ar jame rasta klaida. Todėl siųstuvas neturi laukti ACK/NAC pranešimo po kiekvieno perduoto paketo, o gali iš karto siųsti sekantį paketą. Automatinio kartojamojo klaidų taisymo įtaką inormaijos perdavimo spartai galima pastebėti, pvz., atidarant interneto tinklapį vietiniame tinkle: lygiagrečiai su duomenų priėmimu, vyksta ir duomenų perdavimas. Šie perduotieji duomenys ir yra ARQ pranešimai, kuriuos imtuvas siunčia siųstuvui. Vienpusio ryšio sistemose ARQ metodikos neįmanoma pritaikyti. Dvipusio ryšio sistemose su dideliu perdavimo vėlinimu (t.y., su ilgom pauzėm tarp duomenų paketų) ARQ įdiegimas nėra raionalus, nes tuomet siųstuvas didžiąją dalį laiko praleistų laukdamas ACK/NAC pranešimo. Tokiais atvejais pritaikomas tiesioginis klaidų taisymas (FEC), apie kurį kalbama likusioje šio poskyrio dalyje. Kaip minėta, tiesioginis klaidų taisymas įgyvendinamas kanalo kodavimo būdu. Kanalo kodavimas pasireiškia tuo, kad į duomenų srautą įterpiami papildomi (pertekliniai) bitai, kuriuos imtuvas naudoja klaidų radimui ir taisymui. T.y., pradinį skaičių k inormainių (įėjimo) bitų atitinka didesnis skaičius n > k kodinių (išėjimo) bitų. Konkrečios k ir n reikšmės priklauso nuo kodavimo metodo (tačiau tas pačias k ir n reikšmes gali atitikti įvairūs kodavimo metodai). Kodavimo metodas dažniausiai vadinamas tiesiog kodu. Santykis R = k/n vadinamas kodo sparta. Kodo sparta tai užkoduoto signalo bitų skaičius per sekundę, laikant, kad įėjimo signalo bitų sparta lygi b/s. Kuo mažesnė kodo sparta (kuo daugiau perteklinių bitų), tuo daugiau klaidų galima ištaisyti. Tačiau, didinant perteklinių bitų skaičių, perduodamos naudingos inormaijos kiekis nedidėja. Todėl, norint išsaugoti tą pačią inormaijos perdavimo spartą, esant didesniam perteklinių bitų skaičiui, reikalingas didesnis kanalo dažnių juostos plotis. Daugumą kodų galima suskirstyti į dvi dideles grupes: blokiniai kodai ir konvoliuiniai kodai. Žemiau pateiktas trumpas šių dviejų kodų grupių aprašymas. 6

12 7.5.. Blokiniai kodai Naudojant blokinį kodą, koduotuvas užkuoduoja kiekvieną iksuoto skaičiaus k bitų seką ("bloką"), pakeisdamas ją n kodinių bitų seka (kodiniu žodžiu). Šiuo atveju n išėjimo bitų priklauso tik nuo paskutiniųjų k įėjimo bitų. T.y., blokinis koduotuvas yra įrenginys be atminties. Blokiniai kodai žymimi (n, k), kur k svyruoja nuo 3 iki kelių šimtų, o kodo sparta k/n nuo /4 iki 7/8. Blokinio kodo atveju klaida priimtuose duomenyse aptinkama pagal tai, kad priimtasis n bitų žodis nėra vienas iš kodinių žodžių (t.y., neturi prasmės duotajame kode). Klaida ištaisoma, pakeičiant priimtąjį žodį artimiausiu kodiniu žodžiu. Kodavimo teorijoje naudojama Hemingo atstumo tarp dviejų žodžių sąvoka. Hemingo atstumas ( Hamming distane ), arba tiesiog atstumas tarp dviejų dvejetainių žodžių tai bitų, kuriais jie skiriasi, skaičius. Pvz., atstumas tarp žodžių ir lygus d =. Kiekviena klaida duotajame žodyje vienetu padidina atstumą tarp to žodžio ir teisingojo žodžio ir priartina duotąjį žodį prie kitų kodinių žodžių. Kai žodis dėl klaidų nutolsta nuo teisingojo žodžio tiek, kad šis jau nėra artimiausias kodinis žodis, klaidos ištaisyti neįmanoma. Kuo didesnis mažiausias atstumas tarp kodinių žodžių, tuo daugiau klaidų gali įvykti viename žodyje, nesikeičiant artimiausiam kodiniam žodžiui (t.y., neprarandant inormaijos, kuri reikalinga klaidos ištaisymui). Žemiau pateikti pavyzdžiai, kurie iliustruoja šį teiginį. Tarkime, naudojamas blokinis kodas (, ), kuriame kiekvieną įėjimo loginį nulį () atitinka du loginiai nuliai išėjime (), o kiekvieną įėjimo loginį vienetą () atitinka du loginiai vienetai išėjime (). (n, ) tipo blokinis kodas, kuris kiekvieną įėjimo bitą pakeičia n tokių pačių išėjimo bitų, vadinamas kartojamuoju kodu. Kartojamajame kode (n, ) yra tik du kodiniai žodžiai:... ir.... Kartojamajame kode (, ) kodiniai žodžiai yra ir. n n Atstumas tarp jų lygus. Iš viso galima sudaryti keturis dvejetainius žodžius, kurių ilgis lygus n = :,, ir. Du iš jų ( ir ) šiame kode neturi prasmės, todėl imtuvas juos laikys klaidingais. Žodžiai arba priimami tuo atveju, kai perduotame kodiniame žodyje ( arba ) pasikeičia vienas bitas, t.y., kai žodyje yra viena klaida. Tačiau šios klaidos imtuvas negali ištaisyti, nes klaidingieji žodžiai ir nutolę nuo abiejų kodinių žodžių vienodu atstumu (d = ). Taigi, kartojamasis kodas (, ) leidžia aptikti (bet ne ištaisyti) vieną klaidą žodyje. Dviejų klaidų (kai pasikeičia abu bitai) aptikti šiuo atveju neįmanoma, nes tuomet vienas kodinis žodis virsta kitu kodiniu žodžiu ( virsta arba atvirkščiai). Aukščiau aprašyto kartojamojo kodo (, ) atveju Hemingo atstumas tarp kodinių žodžių lygus. Apskritai, blokinis kodas, kurio mažiausias Hemingo atstumas lygus, leidžia tik aptikti (bet ne ištaisyti) vieną klaidą žodyje. Pats paprasčiausias tokio tipo kodavimo būdas yra žodžio papildymas lyginumo bitu. Lyginumo bito reikšmė parenkama taip, kad pilnas vienetų skaičius žodyje visuomet būtų lyginis arba visuomet būtų nelyginis (atitinkamai, toks kodas vadinamas lyginiu lyginumu arba nelyginiu lyginumu). Pvz., jeigu naudojamas lyginio lyginumo blokinis kodas (5,4), tuomet vietoj žodžio perduodamas žodis, o vietoj žodžio perduodamas žodis. Įvykus vienai klaidai, vienetų skaičiaus lyginumas pasikeičia pagal tai aptinkama klaida. Lyginumo bito reikšmė tai inormainių bitų suma moduliu. Dviejų bitų suma moduliu žymima simboliu ir skaičiuojama pagal šias taisykles: =, =, =, =. (loginė operaija, kuri tenkina šias taisykles, vadinama nevienareikšmiškumo logine operaija ir žymima XOR: "Exlusive OR"). Taigi, jeigu naudojami, pvz., 4 inormainiai bitai i, i, i 3 ir i 4, tuomet lyginumo bito reikšmę ormaliai galima išreikšti šitaip: p = i i i 3 i 4.

13 Kitas blokinio kodo pavyzdys kartojamasis kodas (3, ). Šio kodo žodžiai yra ir. Iš trijų simbolių iš viso galima sudaryti 3 = 8 dvejetainius žodžius. Šį aštuonių žodžių rinkinį patogu vaizduoti taškais, esančiais kubo viršūnėse (.5. pav.). Atstumas tarp dviejų žodžių tai mažiausias kubo briaunų skaičius, kurį reikia pereiti, einant nuo vieno žodžio prie kito. Kodiniai žodžiai ir yra priešingose kubo viršūnėse: atstumas tarp jų lygus 3. Kiekviena klaida pasireiškia žodžio poslinkiu išilgai briaunos link.5. pav. Kartojamasis kodas (3, ). kurios nors iš trijų kaimyninių viršūnių. Jeigu įvyko tik viena klaida (pvz., vietoj kodinio žodžio priimtas žodis ), tuomet arčiausiai esantis kodinis žodis sutampa su teisinguoju žodžiu, todėl imtuvas gali ištaisyti šią klaidą. Jeigu įvyko dvi klaidos (pvz., vietoj kodinio žodžio priimtas žodis ), tuomet imtuvas gali aptikti klaidą, nes priimtasis žodis nėra vienas iš kodinių, tačiau negali tos klaidos ištaisyti, nes arčiausiai esantis kodinis žodis yra klaidingas. Jeigu įvyko trys klaidos (t.y., pasikeitė visi trys žodžio bitai), tuomet klaidos aptikti neįmanoma. Aukščiau pateiktus teiginius galima apibendrinti bet kokio tipo (t.y., ne vien kartojamiesiems) blokiniams kodams. Tarkime, kad mažiausias atstumas tarp kodinių žodžių yra d. Tuomet: ) kad imtuvas galėtų patikimai nustatyti, jog įvyko bent viena klaida, klaidų skaičius turi būti nedidesnis už d ; ) kad imtuvas galėtų teisingai nustatyti klaidų skaičių, šis skaičius turi būti nedidesnis už [d/] (laužtiniai skliaustai reiškia skaičiaus sveikąją dalį); 3) kad imtuvas galėtų ištaisyti visas klaidas, jų skaičius turi būti nedidesnis už [(d )/]. Taigi, jeigu priimtajame dvejetainiame žodyje yra t klaidų, visos jos gali būti ištaisytos tik tuo atveju, kai mažiausias atstumas tarp kodinių žodžių tenkina nelygybę d t +. (.5.) Vadinasi, blokinis kodas, kurio mažiausias Hemingo atstumas lygus 3 (pvz., aukščiau aprašytasis kartojamasis kodas (3, )), leidžia ištaisyti tik vieną klaidą žodyje. Kadangi šiuolaikinėse skaitmeninėse ryšių sistemose duomenų perdavimo klaidos yra gana retos, tai praktikoje dažnai pakanka naudoti tik tokius blokinius kodus. Amerikiečių matematikas Ričardas Hemingas (Rihard W. Hamming) 948 m. suormulavo blokinių kodų, kurių mažiausias Hemingo atstumas lygus 3, sudarymo būdą. Šiuose koduose naudojami keli lyginumo bitai. T.y., kodinis žodis bendruoju atveju yra tokio pavidalo: i i i 3 i k p p p 3 p m, kur i, i, i 3,, i k yra inormainiai bitai, o p, p, p 3, p m yra lyginumo bitai. Lyginumo bitai nebūtinai yra kodinio žodžio pabaigoje. Kiekvienas lyginumo bitas nusako tam tikro inormainių bitų pogrupio lyginumą. Kaip ir paprasčiausiame lyginumo kode, klaida aptinkama pagal tai, ar pilnojo vienetų skaičiaus lyginumas atitinka kodo lyginumą. Tačiau Hemingo kodo ypatybė yra ta, kad, dėl klaidos pasikeitus kuriam nors žodžio bitui, pagal lyginumo bitus galima apskaičiuoti klaidingo bito numerį (netgi tuo atveju, kai klaida yra lyginumo bite). Taigi, Hemingo kodas leidžia ne tik aptikti vieną klaidą, bet ir ištaisyti ją. 8

14 9 Hemingo kode lyginumo bitų skaičius (m) visuomet didesnis už, o inormainių bitų skaičius lygus k = m m. T.y., galimi Hemingo kodų ilgiai yra (n, k) = ( m, m m) (m 3). Vadinasi, galimi Hemingo kodai yra (7, 4), (5, ), (3, 6), (63, 57), (7, ) ir t.t. Didėjant m, Hemingo kodo sparta artėja į vienetą. Jeigu naudojamas Hemingo kodas, tuomet, sudėjus kiekvieną priimtąjį lyginumo bitą su atitinkamais inormainiais bitais priimtajame žodyje, gaunamas klaidingo bito numeris žodyje. Lyginumo bitai ir inormainiai bitai kodiniame žodyje išdėstomi taip, kad ryšys tarp lyginumo bitų numerių ir atitinkamų inormainių bitų numerių būtų kuo paprastesnis. Žemiau pateiktos Hemingo kodų sudarymo ir panaudojimo taisyklės: ) Lyginumo bitų numeriai (skaičiuojant dvejetainio skaitmens svorio didėjimo kryptimi) yra =, =, = 4,, m-. Pvz., Hemingo kodo (7, 4) atveju kodinis žodis yra tokio pavidalo: p p i 3 p 4 i 5 i 6 i 7. ) Kiekvienas lyginumo bitas apskaičiuojamas, sudėjus inormainius bitus, kurių numeriai dvejetainiame pavidale turi vienetą toje pačioje padėtyje, kaip ir atitinkamo lyginumo bito numeris. Pvz., Hemingo kodo (7, 4) atveju p = i 3 i 5 i 7 ; p = i 3 i 6 i 7 ; p 4 = i 5 i 6 i 7. 3) Jeigu priimtajame žodyje tik vienas bitas yra klaidingas, tuomet jo numerio dvejetainiai skaitmenys ( 4... m ) randami, sudėjus kiekvieną lyginumo bitą su atitinkamais inormainiais bitais. Pvz., Hemingo kodo (7, 4) atveju = p i 3 i 5 i 7 ; = p i 3 i 6 i 7 ; 4 = p 4 i 5 i 6 i 7. Pvz., tarkime, kad reikia perduoti inormainį žodį, t.y., pradiniai inormainiai bitai yra i 3 =, i 5 =, i 6 =, i 7 =. Tuomet lyginumo bitai yra p =, p =, p 4 =. Vadinasi, perduodamas kodinis žodis. Kaip matome, bendras vienetų skaičius yra lyginis (4). T.y., šis Hemingo kodas yra lyginio lyginumo kodas. Tarkime, klaida yra šeštajame kodinio žodžio bite (trečiajame inormainiame bite), t.y., priimamas žodis, kurio šeštasis bitas i 6 =. Klaida aptinkama pagal tai, kad priimtajame žodyje vienetų skaičius yra nelyginis (3). Sudėję kiekvieną lyginumo bitą su atitinkamais trim inormainiais bitais, gauname: =, =, 4 =. Taigi, gavome dvejetainį skaičių, kuris sutampa su klaidingo bito numeriu (6). Be Hemingo kodų, egzistuoja daug kitų tipų blokinių kodų. Pvz., naudojami ikliniai kodai, kuriuose kiekvienas kodinis žodis gali būti gautas, paėmus kažkurį kitą kodinį žodį, paslinkus jo bitus į dešinę, o atliekamus paskutiniuosius bitus perkėlus į žodžio pradžią. Tokių kodų pranašumas tai palyginti paprastas jų realizavimas, naudojant pigius postūmio registrus. Blokiniai kodai dažniausiai naudojami žemo dažnio sistemose (pvz., personaliniuose kompiuteriuose ir kompaktinių diskų grotuvuose).

15 .5.. Konvoliuiniai kodai Konvoliuinis koduotuvas, taip pat, kaip ir blokinis, priima k įėjimo bitų ir generuoja n > k išėjimo bitų, tačiau šiuo atveju išėjimo bitai priklauso ne vien nuo paskutiniųjų k įėjimo bitų, bet ir nuo ankstesniųjų v įėjimo bitų. T.y., konvoliuinis koduotuvas turi atmintį. Tipiškos k reikšmės svyruoja nuo iki 8, v reikšmės kinta nuo iki 6, o kodo sparta sparta k/n nuo /4 iki 7/8. Konvoliuinio kodavimo atveju įėjimo bitų srautas nėra skaidomas į blokus, t.y., su bet kuriais paskutiniaisiais k + v bitų atliekami tie patys veiksmai, kurių metu suormuojami n išėjimo bitų. Todėl toks kodavimo būdas kartais vadinamas "nuolatiniu kodavimu" (ontinuous oding). Konvoliuinio koduotuvo veikimą iliustruoja.6. pav. Kaip matome, kiekviena n išėjimo bitų grupė priklauso nuo K > paskutiniųjų įėjimo bitų grupių po k bitų. Kiekvienas iš n išėjimo bitų suormuojamas, sudedant (moduliu ) tam tikrus iš minėtųjų kk bitų. Kiekviena iš K bitų grupių vadinama konvoliuinio koduotuvo pakopa (stage). Pakopų skaičius K lemia sudėties operaijų skaičių, t.y., koduotuvo ir dekoderio sudėtingumą, bei koduotuvo "atminties" dydį (v = kk k). Kuo didesnė koduotuvo atmintis (kuo didesnis pakopų skaičius K), tuo daugiau klaidų galima ištaisyti. Tačiau, augant K, dekodavimo trukmė auga eksponentiškai, todėl praktikoje K beveik niekada neviršija 9. Paprasčiausio konvoliuinio koduotuvo shema pateikta.6.3 pav. Šiame pavyzdyje k =, n =, o K = 3. Taigi, šio kodo sparta yra /. Yra įrodyta, kad.6.3 pavaizduotasis koduotuvas yra "geriausias" šioms parametrų k, n ir K reikšmėms (nes mažiausiasis Hemingo atstumas tarp dviejų kodinių sekų yra maksimalus). Iš shemos akivaizdu, kad kiekvienas įėjimo bitas įtakoja K = 3 išėjimo bitų poras (kitais žodžiais, kiekviena išėjimo bitų pora priklauso nuo trijų paskutinių įėjimo bitų, o koduotuvo atmintis lygi v = kk k = 3 = ). Tai yra labai svarbi konvoliuinio koduotuvo savybė, kuri ir suteikia galimybę ištaisyti bitų klaidas dekodavimo metu..6.4 pav. pavaizduotos šio koduotuvo išėjimo bitų sekos, atitinkančios įvairias įėjimo bitų sekas. Ši diagrama vadinama kodo medžiu. Kodo medis naudojamas tokiu būdu: jeigu įėjime yra loginis, pasirenkamas posūkis į viršų, o jeigu loginis posūkis į apačią. Pvz., įėjimo bitų seką atitinka išėjimo bitų seka (.5.4 pav. kelias A). Konvoliuinio koduotuvo užkoduotas signalas dekoduojamas, lyginant priimtuosius duomenis su atitinkama bitų seka kodo medyje. Paprasčiausias teisingo kelio radimo būdas panašus į vairuotojo veiksmus, kai jis, važiuodamas keliu, kartais pasirenka klaidingą posūkį, tačiau po to pastebi savo klaidą, grįžta atgal ir pasirenka kitą kelią. Jeigu kanale yra triukšmas, kai kurie iš priimtųjų bitų gali būti klaidingi. Tokiu atveju pasirenkamas tas kelias, kuris yra arčiausiai priimtosios bitų sekos (Hemingo atstumo prasme). Optimalusis konvoliuinio kodo dekodavimo algoritmas yra taip vadinamas Viterbi algoritmas, kurį 967 m sukūrė amerikiečių mokslininkas Andrew J. Viterbi. Viterbi algoritmas šiuo metu yra dažniausiai naudojamas praktikoje. Kadangi šis algoritmas yra gana sudėtingas, jis čia neaprašytas. Konvoliuinis kodavimas labiau tinka, koduojant ilgas bitų sekas kanale su triukšmu, negu blokinis kodavimas. Be to, konvoliuinį kodavimą lengviau realizuoti praktiškai. Todėl konvoliuinis kodavimas šiuo metu plačiai naudojamas mobilaus teleoninio ryšio (GSM) sistemose, palydovinio ryšio sistemose bei standartiniuose 56 kb/s spartos modemuose.

16 .5. pav. Konvoliuinio koduotuvo apibendrintoji shema (k = 3, n = 4, K = 5, R = 3/4)..5.3 pav. Konvoliuinio koduotuvo pavyzdys (R = /, K = 3).

17 .5.4 pav. Konvoliuinio koduotuvo, kuris pavaizduotas.5.3 pav., kodo medis Kodo eektyvumas Klaidingų bitų dažnio (P e ) priklausomybė nuo bito energijos ir triukšmo galios spektrinio tankio santykio (E b /N ) įvairioms skaitmeninėms ryšių sistemoms pavaizduota.5.5 pav. Čia pavaizduotos keturios kreivės: viena atitinka apgrąžinį azės manipuliavimą be kodavimo, antroji atitinka apgrąžinį azės manipuliavimą su konkrečiu blokiniu kodu, trečioji atitinka taip vadinamą turbo kodą (dviejų konvoliuinių kodų derinį), o ketvirtoji atitinka idealiąją skaitmeninę sistemą. Šiame paveiksle matyti, kad, mažėjant bito energijos ir triukšmo galios tankio santykiui, klaidingų bitų dažnis auga. Be to, idealiosios sistemos atveju, sumažėjus santykio E b /N vertei iki tam tikros ribinės vertės, klaidingų bitų dažnis šuoliškai išauga nuo nulio iki.5. Šis ribinis santykis E b /N vadinamas Šenono riba. Taigi, Šenono riba tai mažiausias bito energijos ir triukšmo galios tankio santykis E b /N, kuriam esant, yra įmanomas duomenų perdavimas be klaidų skaitmeninėje ryšių sistemoje..5.5 pav. taip pat parodyta, kaip apibrėžiamas kodavimo našumas. Duotąjį klaidingų bitų dažnį atitinkantis kodavimo našumas (oding gain) nusako, kiek kartų skiriasi santykio E b /N vertės nekoduotam signalui ir koduotam signalui, esant duotam klaidingų bitų dažniui. Kodavimo našumas matuojamas deibelais (žr.. poskyrį). Pvz.,.5.5 pav. atveju duotojo tipo kodo našumas, atitinkantis klaidingų bitų dažnį P e = -3, yra.33 db, o P e = -5 atitinka kodavimo našumas.5 db. Optimaliojo kodavimo našumas, atitinkantis P e = -5, apgrąžinio azės manipuliavimo sistemoje lygus (-.59) =. db.

18 3.5.5 pav. Įvairių skaitmeninių telekomunikaijų sistemų kodavimo našumo palyginimas. Be to,.5.5 pav. akivaizdu, kad egzistuoja kodavimo slenkstis mažiausias bito energijos ir triukšmo galios tankio santykis E b /N, kuriam esant, sistemos su kodavimu klaidingų bitų dažnis yra didesnis už analogiškos sistemos be kodavimo klaidingų bitų dažnį. Šiame pavyzdyje kodavimo slenkstis lygus maždaug 3.5 db. T.y., kai bito energijos ir triukšmo galios santykis tampa mažesnis už 3.5 db, sistema be kodavimo tampa eektyvesnė už analogišką sistemą su kodavimu. Šenono ribą idealiajai sistemai galima apskaičiuoti, naudojantis Šenono teorema (.4.). Visų pirma reikia rasti būdą eliminuoti kanalo dažnių juostos plotį B. Jeigu norima išsaugoti tą pačią inormaijos perdavimo spartą, koduotos sistemos dažnių juostos plotis turi būti n/k kartų didesnis už nekoduoto signalo dažnių juostos plotį (čia n yra pilnasis kodinio žodžio bitų skaičius, o k yra inormainių bitų skaičius). Blokinių kodų atveju, kad imtuvas galėtų ištaisyti visas klaidas, jų skaičius žodyje turi tenkinti (.5.) nelygybę. Kadangi klaidų skaičius t teoriškai gali būti lygus bet kokiam teigiamam sveikajam skaičiui, kuris nedidesnis už žodžio ilgį n, tai, kad (.5.) nelygybė galiotų visuomet, reikia, kad mažiausias Hemingo atstumas tarp kodinių žodžių d būtų begalinis. Tai reiškia, kad ir bitų skaičius n viename žodyje turėtų būti begalinis. Kadangi šis bitų skaičius turėtų būti perduodamas per baigtinį laiko tarpą, tai ir kanalo dažnių juostos plotis tokiu atveju turėtų būti begalinis. Šis teiginys galioja tik blokinių kodų atveju. Pagal Šenono teoremą, egzistuoja kito tipo kodas, kuris leidžia ištaisyti visas klaidas priimtajame signale, net jeigu B yra baigtinis (su sąlyga, kad inormaijos sparta neviršija kanalo pralaidos (.4.)). Nors šis optimalusis kodas yra nežinomas, tačiau iš blokinių kodų aprašymo aišku, kad ir optimaliojo kodo atveju B turėtų būti žymiai didesnis už nekoduoto signalo dažnių juostos plotį. Todėl, skaičiuojant kanalo pralaidą C pagal (.4.), galima pereiti prie ribos B. Be to, galima pasinaudoti tuo, kad skaitmeninio signalo galia tai energijos E b, kuri išeikvojama vieno inormaijos bito

19 4 perdavimui, ir bito trukmės T b santykis: S = E b /T b, o triukšmo galia lygi triukšmo galios tankio N ir kanalo dažnių juostos pločio B sandaugai: N = N B. Tokiu būdu gauname S E = + = + b / Tb E = + b C lim Blog lim Blog lim ln x. B N B N B x xln NTb Vadinasi, reikia apskaičiuoti neapibrėžtumo / ribinę reikšmę. Iš matematinės analizės kurso žinoma, kad ši riba lygi skaitiklio ir vardiklio išvestinių santykio ribinei reikšmei (Lopitalio taisyklė). Tokiu būdu randame Eb C =. (.5.) N Tb ln Antra vertus, didžiausia inormaijos sparta yra lygi atvirkštinei bito perdavimo trukmei: C = /T b. Įrašę tai į (.5.), randame Šenono ribą: E b / N = ln =.59dB. (.5.3) Vadinasi, mažiausias bito energijos ir triukšmo galios tankio santykis, kuriam esant, idealiojoje sistemoje inormaija perduodama be klaidų, yra lygus -.59 db..6. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai Pavyzdys Nr. Teleono pultas turi mygtukus su skaitmenimis nuo iki 9 bei mygtukus * ir #. Simbolio * arba # siuntimo tikimybė lygi.5, o kiekvieno skaitmens siuntimo tikimybė lygi.99. Mygtukai spaudžiami mygt./s sparta. Apskaičiuokite šio inormaijos šaltinio spartą. H Sprendimas Pagal ormulę (.3.), vidutinis vieno pranešimo inormaijos kiekis (entropija) lygus m m = P log lg j = =.99 lg.5 = 3.38 b/mygt. lg lg + Pj.99.5 j= Pj j= Pj Vidutinė vieno pranešimo (skaitmens arba simbolio) perdavimo trukmė lygi T = / ( mygt./s) =.5 s / mygt. Pagal ormulę (.3.3), šaltinio sparta lygi H 3.38 R = = = 6.76 b/s. T.5 Pavyzdys Nr. Kompiuterio vartotojas ketina pirkti modemą duomenų perdavimui analogine teleono linija. Teleono linijos signalo ir triukšmo santykis lygus 5 db, o perduodamieji garso dažniai priklauso intervalui nuo 3 Hz iki 3 Hz. Apskaičiuokite didžiausią inormaijos perdavimo spartą, kurią įmanoma pasiekti, su sąlyga, kad priimtuose duomenyse nebūtų klaidų. Sprendimas Perėjus nuo deibelų prie natūraliųjų vienetų, signalo ir triukšmo santykis lygus S / N = (5/) = 36. (žr. deibelo apibrėžimą. poskyryje), o kanalo dažnių juostos plotis lygus B = 3 3 = 9 Hz. Pagal Šenono teoremą (.4.), didžiausia inormaijos sparta lygi

20 5 S lg( + 36.) R = Blog + = 9 = 4.97 b/s. N lg Vadinasi, 57.6 kb/s arba 8.8 kb/s spartos modemas neveiktų su tokia teleono linija; tačiau 4.4 kb/s spartos modemas turėtų perduoti inormaiją be klaidų. Uždaviniai.. Skaitmeninis inormaijos šaltinis generuoja - V, V, +3 V ir +4 V įtampos lygius. Kiekvieno iš dviejų lygių - V ir V tikimybės lygios., o kiekvieno iš likusiųjų dviejų lygių tikimybės lygios.3. Apskaičiuokite šaltinio vidutinį inormaijos kiekį (entropiją)... Įrodykite, kad dvejetainio inormaijos šaltinio entropija H yra didžiausia tuomet, kad dvejetainio vieneto siuntimo tikimybė yra lygi dvejetainio nulio siuntimo tikimybei. Apskaičiuokite šią didžiausią entropijos vertę..3. Skaičiaus atvaizdavimo vieno skaitmens skystakristaliame rodytuve tikimybė lygi.5, kiekvieno iš skaičių ir atvaizdavimo tikimybė lygi.5, kiekvieno iš skaičių 3, 4, 5, 6, 7 ir 8 atvaizdavimo tikimybė lygi.7, o skaičiaus 9 atvaizdavimo tikimybė lygi.3. Raskite šio inormaijos šaltinio entropiją..4. Skaitmeninis pultas turi mygtukus su skaitmenimis,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9. Visų skaitmenų siuntimo tikimybės yra vienodos. Apskaičiuokite, kokiu dažniu turi būti nuspaudžiami mygtukai, kad inormaijos perdavimo sparta būtų lygi b/s..5. Kompiuterio klaviatūra turi simbolių, ir kiekvienas simbolis yra perduodamas, naudojant dvejetainį žodį. (a) Koks bitų skaičius reikalingas vieno simbolio kodavimui? (b) Kokia didžiausia sparta galima perduoti simbolius (simboliai/s) teleono linija, kurios dažnių juostos plotis 3. khz, o signalo ir triukšmo santykis db? () Koks yra vieno simbolio perduodamas inormaijos kiekis, jeigu visų simbolių perdavimo tikimybės yra vienodos?.6. Apskaičiuokite konvoliuinio koduotuvo, kurio struktūrinė shema pavaizduota žemiau, išėjimo bitų seką, kai įėjimo bitų seka yra. Kokie yra šio kodo sparta (k/n) ir pakopų skaičius (K)?

21 6. SIGNALAI IR SPEKTRAI.. Signalo ir triukšmo galia Ryšių sistemose priimtajame signale galima išskirti naudingąją dalį, kuri neša reikalingą inormaiją, ir pašalinę dalį. Pašalinė dalis vadinama triukšmu. Be klaidų priimti inormaiją įmanoma tik tuo atveju, kai priimtojo signalo ir triukšmo vidutinių galių santykis yra pakankamai didelis (šį teiginį iliustruoja Šenono teorema (.4.)). Todėl vidutinė galia yra viena iš svarbiausių signalo harakteristikų. Kaip žinoma, galia yra darbas per laiko vienetą, įtampa yra darbas, tenkantis vienetiniam krūviui, o srovė yra krūvis per laiko vienetą. Iš čia išplaukia ši gerai žinoma elektros srovės momentinės galios išraiška: p( = v(i(, (..) kur v( yra įtampa grandinės įėjime, o i( įėjimo srovė. Vidutinė galia lygi P = p( = v(i(, (..) kur skliaustai žymi laikinio vidurkio operatorių: T / [ ] = lim [ ] dt. (..3) T T T / Pagal Omo dėsnį, vidutinę galią (..) galima susieti su v( ir i( eektiniais vidurkiais: ( Vrms P = v = i ( R = = I rmsr = VrmsI rms. (..4) R R Čia V rms žymi įtampos vidutinę kvadratinę vertę ( root mean square ), I rms srovės vidutinę kvadratinę vertę, o R apkrovos varžą. Signalo w( vidutinės kvadratinės vertės bendrasis apibrėžimas yra šitoks: W = rms w (. (..5) Signalo vidutinė kvadratinė vertė radioelektronikoje dažnai vadinama eektiniu vidurkiu. Reikia turėti omenyje, kad vidutinės galios išraiška (..4) galioja tik aktyviajai (ominei) apkrovai, tuo tarpu ormulė (..) yra bendra: ji galioja bet kokio tipo apkrovai ir bet kokio pavidalo signalui. Kadangi telekomunikaijose signalo ir triukšmo galių santykis yra svarbesnė sistemos harakteristika, negu signalo galia, tai dažnai naudojama normuotos galios sąvoka. Signalo w( normuotoji galia apibrėžiama sąryšiu p( = w (, (..6) o vidutinė normuotoji galia lygi T / P = w ( = lim w ( dt. (..7) T T Vadinasi, srovės arba įtampos normuotoji galia tai to paties didumo srovės arba įtampos galia Ω apkrovoje. Skaičiuojant signalo ir triukšmo galių santykį, varža išsiprastina, todėl normuotųjų galių santykis lygus tikrųjų galių santykiui. Iš (..7) ir (..5) išplaukia, kad kvadratinė šaknis iš vidutinės normuotosios galios sutampa su signalo eektiniu vidurkiu. Galių santykis išreiškiamas deibelais (db). Deibelais išreikštas galių santykis tai to santykio dešimtainis logaritmas, padaugintas iš. Pvz., jeigu grandinės išėjimo vidutinė galia lygi P out, o įėjimo galia lygi P in, tuomet stiprinimo koeiientas lygus log(p out /P in ) db. Reikia turėti omenyje, kad deibelais praktikoje matuojamas tik galių santykis. Pvz., jeigu sakoma, kad dviejų signalų eektinių vidurkių santykis lygus db, turimas omenyje tų signalų vidutinių galių santykis. Kadangi signalo eektinis vidurkis lygus šakniai iš T /

22 7 normuotosios galios (žr. (..7)), tai db reiškia, kad signalų eektinių vidurkių santykis lygus =. Pagal galios apibrėžimą, signalo energija lygi galios integralui laiko atžvilgiu nuo - iki +. Vadinasi, signalo w( normuotoji energija E lygi E = w ( dt. (..8) Signalų matematinėje analizėje kartais reikia įvertinti kompleksinio signalo vidutinę normuotąją galią (pvz., žr poskyrį). Ši galia apibrėžiama sąryšiu T / P = w( = lim w( dt. (..9) T T Palyginus su realiojo signalo vidutinės galios išraiška (..7), matyti, kad, skaičiuojant kompleksinio signalo vidutinę galią, vietoj signalo kvadrato reikia naudoti jo absoliutinės vertės kvadratą. Ta pati taisyklė galioja, skaičiuojant kompleksinio signalo normuotąją energiją: T / E = w( dt (..) (plg. su (..8)). Toliau, kalbant apie signalo galią, vidutinę galią arba energiją, visuomet bus turima omenyje normuotoji galia (..6), vidutinė normuotoji galia (..9) arba normuotoji energija (..). Perėjimo nuo normuotosios galios prie tikrosios galios arba nuo normuotosios energijos prie tikrosios energijos taisyklės išplaukia iš (..4): a) tuo atveju, kai w( yra įtampos kritimas varžoje R, normuotąją galią arba energiją reikia padalinti iš R; b) tuo atveju, kai w( yra srovė varžoje R, normuotąją galią arba energiją reikia padauginti iš R... Furjė transormaija ir spektrai... Pagrindiniai apibrėžimai Nuo laiko priklausantis signalas w( tai suma įvairių dažnių ir azių harmoninių signalų (..). Kiekvieno dažnio santykinį indėlį į pilnąjį signalą nusako signalo spektras. Signalo w( spektras apskaičiuojamas Furjė transormaijos būdu: W + j πt ( ) = F[ w( ] = w( e dt, (..) kur simboliai F[] žymi Furjė transormaiją, j žymi menamąjį vienetą, o yra parametras, kurio dimensija sutampa su dažnio dimensija [Hz]. Formulė (..) kartu apibrėžia ir dažnio sąvoką: dažnis tai Furjė transormaijos (..) parametras. Spektras, kurį apibrėžia (..) ormulė, vadinamas dvipusiu spektru, nes parametras gali būti ir teigiamas, ir neigiamas. Toliau, kaip ir iki šiol, laiko unkijos bus žymimos mažosiomis raidėmis, o dažnio unkijos, kurios nusako laiko unkijų spektrus, bus žymimos didžiosiomis raidėmis (pvz., žr. (..)). Kadangi dydis exp(-jπ yra kompleksinis, tai bendruoju atveju W() yra kompleksinė dažnio unkija, kurią galima išreikšti tokiu būdu: (Dekarto orma) arba (polinė orma), kur W ( ) = X ( ) + jy ( ) (..) W ( ) jθ ( ) = W ( ) e (..3)

23 8 Y ( ) W ( ) = X ( ) + Y ( ) ir θ ( ) = artan. (..4) X ( ) Dydis W() vadinamas dažnio spektro dedamosios amplitude, o dydis θ() aze. Dažnio unkija W() nusako signalo w( amplitudžių spektrą, o dažnio unkija θ() azių spektrą. Norint įvertinti įvairių dažnių santykinį indėlį į signalą, pakanka žinoti tik amplitudžių spektrą W(). Pvz., Hz dažnis yra signale (spektre) tada ir tik tada, kai W(). Žinant signalo spektrą, patį signalą galima apskaičiuoti atvirkštinės Furjė transormaijos būdu: + j πt w( = W ( ) e d. (..5) Taigi, laiko unkija w( ir dažnio unkija W() suteikia vienodą inormaiją apie tiriamąjį signalą. Funkijos w( ir W(), kurios susijusios Furjė transormaija (..) ir (..5), sudaro Furjė porą. Simboliškai šis teiginys užrašomas šitaip: w( W().... Furjė transormaijos savybės. Signalo energijos spektrinis tankis Visi praktikoje sutinkami signalai w( tai realios laiko unkijos. Realiojo signalo spektro simetrija pasireiškia tuo, kad W ( ) = W * ( ). (..6) Čia ženklas * reiškia kompleksiškai jungtinį dydį. Iš (..6) išplaukia, kad amplitudžių spektras yra lyginis, t.y., W ( ) = W ( ), (..7) o azių spektras nelyginis: θ ( ) = θ ( ). (..8) Be to, jeigu signalas w( yra lyginis (t.y., w( = w(-), tuomet jo Furjė transormaija W() yra realioji unkija (t.y., Im[W()] = ). Jeigu signalas w( yra nelyginis (t.y., w( = -w(-), tuomet jo Furjė transormaija W() yra menamoji unkija (t.y., Re[W()] = ). Tarpiniu atveju, kai w( nėra nei lyginė, nei nelyginė unkija, W() yra kompleksinis skaičius, kurio realioji ir menamoji dalys nėra tapačiai lygios nuliui. Kitą naudingą Furjė transormaijos savybę išreiškia Parsevalio teorema: Jeigu w ( = w ( = w(, iš (..9) išplaukia * * w ( w ( dt = W ( ) W ( ) d. (..9) w( dt = W ( ) d. (..) Šios lygybės kairioji pusė tai signalo normuotoji energija (..). Vadinasi, Parsevalio teorema pateikia alternatyvų signalo energijos skaičiavimo būdą, naudojant signalo amplitudžių spektrą W() vietoj paties signalo w(. Iš (..) išplaukia, kad dydis W() tai energijos spektrinis tankis: ε ( ) = W ( ), (..) o signalo normuotoji energija E lygi plotui po energijos spektrinio tankio unkija ε(): Energijos spektrinis tankis matuojamas džauliais į herą (J/Hz). E = ε ( ) d W ( ) d. (..)

24 9 Be Parsevalio teoremos, egzistuoja daug kitų teoremų, kurios palengvina Furjė transormaijos skaičiavimą įvairiais atskirais atvejais, pvz., vėlinimo, mastelio pakeitimo, dualumo, dierenijavimo, integravimo ir kitos teoremos. Kai kurios Furjė transormaijų teoremos pateiktos priede, lentelėje B-. Lentelėje B- pateiktos kai kurios Furjė poros...3. Dirako δ unkija ir vienetinė laiptinė unkija Viena iš unkijų, kurios dažnai sutinkamos telekomunikaijos uždaviniuose, yra Dirako δ unkija. Dirako δ unkija apibrėžiama sąryšiu w( x) δ ( x) dx = w(), (..3) kur w(x) yra bet kokia unkija, kuri yra tolydi taške x =. Kintamasis x gali būti laikas arba dažnis, priklausomai nuo konkretaus uždavinio. Kitas Dirako δ unkijos apibrėžimas yra toks: Dirako δ unkija tai unkija, kuri tenkina šiuos du sąryšius: δ ( x) dx =, (..4a), x = ; δ ( x) = (..4b), x. Iš (..3) išplaukia, kad δ unkijai yra būdinga vertės išskyrimo savybė : w x) δ ( x x ) dx = w( ), (..5a) ( x t.y., δ unkija δ(x-x ) išskiria unkijos w(x) vertę w(x ) iš integralo. Kadangi δ unkija yra lyginė, tai (..5a) lygybę galima perrašyti šitaip: w x) δ ( x x) dx = w( ). (..5b) ( x Šios lygybės kairiojoje pusėje esantis integralas tai unkijų w(x) ir δ(x) sąsūka, kurios argumentas yra x. Vadinasi, šią δ unkijos savybę žodžiais galima suormuluoti šitaip: duotosios unkijos w( ir δ unkijos sąsūka sutampa su w(. Kai kuriuose uždaviniuose taip pat naudojama δ unkijos išraiška integralu ± jπxy = e dy δ ( x). (..6) Ši ormulė gaunama, apskaičiavus δ unkijos Furjė transormaiją (naudojantis (..5a)), o po to gautosios lygybės abiem pusėms pritaikius atvirkštinę Furjė transormaiją. δ unkijos savybė (..6) žodžiais ormuluojama šitaip: δ unkija tai vienetinės unkijos (vieneto) tiesioginė arba atvirkštinė Furjė transormaija: δ ( ) = F[], δ ( x) = F []. (..7) Su Dirako δ unkija susijusi vienetinė laiptinė unkija u(, kuri apibrėžiama šitaip:, t > ; u( = (..8), t <. Vienetinė laiptinė unkija ir Dirako δ unkija susijusios sąryšiu iš kurio išplaukia t δ ( λ) dλ = u(, (..9)

25 du( dt = δ (. (..)..4. Sinusoidės spektras Rasime sinusoidės pavidalo įtampos v ( = Asinω t, kur ω = π, (..) spektrą. Visų pirma sinusoidę išreikšime kompleksiniu pavidalu: jω t jω t e e A jω t A jω t v ( = Asinωt = A = e e. (..) j j j Pagal spektro apibrėžimą (..), sinusoidės spektras lygus + jωt jωt e e jωt A jπ ( A ) t jπ ( + ) t V ( ) = A e dt = e dt e dt. (..3) j j j Atsižvelgus į (..6), pastaruosius du integralus galima pakeisti Dirako δ unkijom: A V ( ) = j [ δ ( + ) δ ( )]. (..4) T.y., sinusoidės spektre yra tik du dažniai teigiamas ir neigiamas. Atitinkamas amplitudžių spektras yra A A V ( ) = δ ( ) + δ ( + ), (..5) kur A yra teigiamas skaičius. Kadangi spektre yra tik du dažniai ( = ± ), tai azių spektras θ(), griežtai kalbant, gali būti apibrėžtas tik šiems dviems dažniams. T.y., θ() yra diskretaus argumento unkija, kuri apibrėžta tik dviejuose taškuose = ± : θ( ) = -9, θ(- ) = 9. Tačiau, turint omenyje, kad amplitudžių spektras lygus nuliui visur, išskyrus tuos du taškus, spektras V() nepasikeis, jeigu taškuose ± azei θ() bus priskirta bet kokia vertė. Pvz., galima laikyti, kad θ() yra tolydaus argumento unkija, kuri apibrėžta visoje dažnių tiesėje (- < < ) ir kurios vertės lygios π /, > 9, > θ ( ) = rad =. (..6) + π /, < 9, < Sinusoidės amplitudžių spektras ir azių spektras pavaizduoti.. pav. Rodyklės ant spektro linijų nurodo, kad graike pavaizduotasis linijos ilgis nusako plotą po spektro maksimumu (t.y., spektro linijos svorį), o ne maksimumo aukštį, kuris yra begalinis. Akivaizdu, kad amplitudžių spektras yra lyginis, o azių spektras nelyginis, kaip ir buvo galima tikėtis (žr. (..7) ir (..8))... pav. Sinusoidės amplitudžių spektras (a) ir azių spektras (b).

26 Aukščiau buvo laikoma, kad sinusoidės pradinė azė lygi nuliui. Dabar tarkime, kad pradinė azė θ gali būti bet kokia. T.y., rasime signalo w ( = Asin( ω t + θ ) = Asin[ ω( t + θ / ω )], (..7) spektrą. Pagal vėlinimo teoremą (žr. B- lentelę) ir pagal (..4), A jθ ( ) ( / ) W = j e [ δ ( + ) δ ( )]. (..8) j ( / ) Vadinasi, lyginant su nulinės pradinės azės atveju (..4), atsirado daugiklis e θ. Kadangi šio daugiklio absoliutinė vertė lygi vienetui, tai amplitudžių spektras yra toks pats, kaip ir ankstesniu atveju (žr. (..5)). Fazių spektras lygus ankstesniojo azių spektro (..6) ir tiesinės dažnio unkijos (θ / ) sumai. Tačiau, kadangi pilnasis signalo spektras lygus nuliui visuose dažniuose, išskyrus du dažnius = ±, tai, kaip ir anksčiau, izikinę prasmę turi tik azės vertės, atitinkančios tuos du dažnius. Esant dažniui =, azė yra θ - π/, o esant dažniui = -, azė yra (θ π/). Matematiniu požiūriu, dažnio sinusoidę sudaro du dažniai: = + ir = -. Tai akivaizdu.. pav. Šis teiginys išplaukia iš to, kad sinusoidė sin(π tai dviejų jπ t jπ t eksponentinių unkijų e ir e tiesinys darinys (..). Tačiau praktikoje dažnai sakoma, kad sinusoidę sudaro vienas teigiamas dažnis =. Dėl tokios terminologijos nekyla nesusipratimų, nes realiųjų signalų spektro simetrijos savybė (..6) rodo, kad bet kurį teigiamąjį dažnį spektre visuomet atitinka priešingas dažnis... pav. akivaizdu, kad sinusoidės spektras sudarytas iš atskirų linijų (t.y., iš Dirako δ unkijų)..5.5 poskyryje bus įrodyta, kad toks spektro pavidalas yra signalo periodiškumo pasekmė. Jeigu sinusoidė yra baigtinės trukmės (t.y., turi pradžią ir pabaigą), tuomet signalas jau nėra periodinis, todėl spektras yra ištisinis. Tačiau jame galima išskirti du ryškius maksimumus ties dažniais = ±. Kuo ilgesnė sinusoidės trukmė, tuo šie du maksimumai yra siauresni ir tuo panašesnis spektras į idealios sinusoidės spektrą...5. Stačiakampio ir trikampio impulsų spektrai Be sinusoidės, telekomunikaijos uždaviniuose dažnai sutinkami dar kelių tipų signalai, pvz., stačiakampis impulsas, trikampis impulsas, unkija sinx/x. Šios unkijos nurodomos speialiais žymėjimais: Funkija Π(t/T) tai vienas T trukmės stačiakampis impulsas: T t, t ; Π = (..9) T T, t >. Žymėjimas Sa(x) reiškia unkiją (sinx)/x: sin x Sa ( x) =. (..3) x Funkija Λ(t/T) tai vienas T trukmės trikampis impulsas: t t, t T; Λ = T (..3) T, t > T. Šios unkijos pavaizduotos.. pav. kairiojoje pusėje. Stačiakampio ir trikampio impulsų spektrai išreiškiami unkija Sa(x): t sin( πt ) sin( πt ) Π T Sa( πt ) T =, (..3) T πt π

27 W Sa(π W Π = Π, (..33) W W t sin ( πt ) sin ( πt ) Λ T Sa ( π T ) T =. (..34) T π T π T Šie spektrai pavaizduoti.. pav. dešiniojoje pusėje. Šie spektrai yra realūs, nes unkijos (..9) (..3) yra lyginės (žr... poskyrį). Jeigu impulso entras pasislinkęs atžvilgiu koordinačių pradžios t =, tuomet spektras yra kompleksinis. Pvz., tarkime, kad v( yra stačiakampis impulsas, kurio priekinis rontas yra taške t =, o plotis lygus T (t.y., impulso entras yra taške t = T/):, < t < T t T / v ( = = Π. (..35), t arba t T T Pasinaudoję entruotojo impulso Furjė transormaija (..3) ir vėlinimo teorema (žr. B- lentelę), randame jπt V ( ) = Te Sa( πt ). (..36) Vadinasi, T trukmės vienetinės amplitudės stačiakampio impulso amplitudžių spektras yra sin( πt ) V ( ) = T Sa( πt ) =. (..37) π.. pav. Stačiakampis, (sinx)/x ir trikampis impulsai ir jų spektrai.

28 3.3.. Galios spektrinis tankis.3. Galios spektrinis tankis ir autokoreliaijos unkija.. poskyryje buvo apibrėžtas energijos spektrinis tankis ε() (..). Signalų teorinėje analizėje realieji (baigtinės trukmės) signalai dažnai pakeičiami begalinės trukmės periodiniais signalais (pvz., harmoninis signalas (..)). Tokio signalo energija (..) arba (..) yra begalinė. Todėl tokį signalą patogiau aprašyti ne energijos spektrinio tankio unkija, o galios spektrinio tankio unkija. Galios spektrinio tankio apibrėžimas analogiškas energijos spektrinio tankio apibrėžimui: bendroji vidutinės galios išraiška (..9) perrašoma, remiantis Parsevalio teorema (..). Tačiau šiuo atveju integravimo rėžiai nėra begaliniai, o yra susiję su daugikliu prieš integralą (/T), todėl tiesiogiai Parsevalio teoremos pritaikyti neįmanoma. Dėl šios priežasties tiriamąjį signalą w( reikia pakeisti pagalbine laiko unkija w T (, kuri sutampa su tiriamuoju signalu intervale T/ < t < T/ ir lygi nuliui už šio intervalo ribų: w(, kai T / < t < T / ; w T ( = (.3.), kai t < T / arba t > T /. Dabar integravimo rėžius jau galima laikyti begaliniais: P = lim wt ( dt. (.3.) T T Pritaikę Parsevalio teoremą (..) šiam integralui, randame WT ( ) P = lim WT ( ) d = lim d. (.3.3) T T T T Čia W T () yra pagalbinės unkijos w T ( Furjė transormaija. Iš (.3.3) išplaukia, kad galios spektrinis tankis lygus WT ( ) Pw ( ) = lim. (.3.4) T T Naudojant galios spektrinį tankį, signalo vidutinė galia lygi P = Pw ( ) d. (.3.5) Galios spektrinis tankis matuojamas vatais į herą (normuotosios galios spektrinis tankis matuojamas V /Hz arba A /Hz). Kadangi W T () yra realioji dažnio unkija, iš (.3.4) išplaukia, kad P w () taip pat yra realioji unkija: * Pw ( ) = Pw ( ). (.3.6) (.3.) (.3.6) ormulės galioja bendruoju kompleksinio signalo w( atveju. Jeigu w( yra realusis signalas, tuomet W T () yra lyginė dažnio unkija (žr. (..7)), todėl iš (.3.4) išplaukia, kad P w () taip pat yra lyginė unkija: P w (-) = P w (). (.3.7).3.. Autokoreliaijos unkija Su galios spektriniu tankiu P w susijusi signalo autokoreliaijos unkija R w (τ), kuri apibrėžiama šitaip:

29 4 * * Rw( τ ) = w ( w( t + τ ) = lim w ( w( t + τ ) dt. (.3.8) T T T / Iš (.3.8) išplaukia, kad kompleksinio signalo autokoreliaijos unkijai yra būdinga ši laikinės simetrijos savybė: R ( ) * w τ = Rw( τ ). (.3.9) Realiojo signalo atveju jo autokoreliaijos unkija (.3.8) yra realioji laiko unkija, todėl (.3.9) virsta teiginiu, kad realiojo signalo autokoreliaijos unkija yra lyginė. Galios spektrinis tankis ir autokoreliaijos unkija sudaro Furjė porą: Rw ( τ ) Pw ( ), (.3.) t.y., P w () yra autokoreliaijos unkijos Furjė transormaija. Šis teiginys vadinamas Vinerio ir Chinčino teorema (Wiener-Khinthine theorem). Taigi, galios spektrinis tankis gali būti apskaičiuotas vienu iš šių dviejų būdų: ) tiesiogiai pagal apibrėžimą (.3.4); ) netiesiogiai visų pirma apskaičiavus autokoreliaijos unkiją (.3.8), o po to apskaičiavus jos Furjė transormaiją (šis skaičiavimo būdas dažniausiai yra paprastesnis už tiesioginį). Tuo tarpu signalo w( vidutinę normuotąją galią galima apskaičiuoti keturiais būdais: T / P = w ( = Wrms = P ( ) d = w R w (). (.3.).3.. Sinusoidės galios spektrinis tankis Tarkime, kad signalas yra tokio pavidalo: w( = Asinωt. (.3.) Rasime šio signalo galios spektrinį tankį netiesioginiu metodu. T.y., visų pirma apskaičiuosime autokoreliaijos unkiją (.3.8), o po to pasinaudosime sąryšiu (.3.). Autokoreliaijos unkija yra T / Rw ( τ ) = w( w( t + τ ) = lim A sinωtsinω( t + τ ) dt. T T T / Pasinaudoję trigonometrine tapatybe sin x sin y = [os( x y) os( x + y)], randame T / T / A A Rw( τ ) = osωτ lim dt lim os(ω t + ωτ ) dt. T T T T T / T / Pirmoji riba lygi, o antroji. Vadinasi, sinusoidės (.3.) autokoreliaijos unkija yra A R w ( τ ) = osωτ. (.3.3) Signalo (.3.) galios spektrinis tankis P w () yra šios unkijos Furjė transormaija. Pasinaudoję tapatybe osω τ = sin(ω τ+π/) ir anksčiau gauta sinusoidės (..7) Furjė transormaijos išraiška (..8), randame A P w ( ) = [ δ ( + ) + δ ( )]. (.3.4) 4 Taigi, kaip ir reikėjo tikėtis, sinusoidės galios spektrinio tankio priklausomybė nuo dažnio savo pavidalu yra panaši į sinusoidės amplitudžių spektrą (žr. (..5) ir..a pav.): ji sudaryta iš dviejų linijų ties dažniais = ±. Žinant galios spektrinį tankį, sinusoidės vidutinę normuotąją galią galima apskaičiuoti pagal (.3.5):

30 5 P = A A [ δ ( + ) + δ ( )] d =. (.3.5) 4 Ši vertė atitinka žinomą teiginį, kad sinusoidės (.3.) eektinis vidurkis lygus A / : P = w ( = W = ( A/ ) = A /. (.3.6).4. Signalų išraiška ortogonaliosiomis eilutėmis Iki šiol buvo kalbama tik apie signalo transormaijas bei jo parametrus spektrą, vidutinę galią, eektinį vidurkį tačiau nebuvo kalbama apie paties signalo (laiko unkijos) w( pavidalą. Telekomunikaijos uždaviniuose svarbią reikšmę turi signalo išraiška ortogonaliosiomis eilutėmis. Ortogonalioji eilutė tai laiko unkijos skleidinys ortogonaliosiomis unkijomis..4.. Ortogonaliosios unkijos. Ortogonaliosios kompleksinės eksponentinės unkijos Funkijos ϕ n ( ir ϕ m ( vadinamos tarpusavyje ortogonaliomis intervale a < t < b, jeigu jos tenkina sąlygą b, n m * ϕ n( ϕm( dt = = Knδ nm, (.4.) K a n, n = m kur δ nm yra Kronekerio δ unkija, kuri apibrėžiama šitaip:, n m δ nm =. (.4.), n = m Jeigu visos konstantos K n yra lygios vienetui, tuomet unkijos ϕ n ( vadinamos ortonormuotomis unkijomis. Jeigu unkijos ϕ n ( yra ortogonalios, tuomet jas galima padaryti ortonormuotomis, padauginus iš / Kn. Šie daugikliai vadinami normavimo konstantom. jnω t Pvz., kompleksinės eksponentinės unkijos ϕ n( = e (n =, ±, ±, ) yra tarpusavyje ortogonalios intervale a < t < b, kur b = a + T, T = /, ω = π. Tuo lengva įsitikinti, įrašius šių unkijų išraiškas į integralą (.4.): j( n m) ωa j( n m)π e [ e ] b a + T a T, m n + * jnω t jmω t j( n m) ω t j( n m) ω ϕn( ϕm( dt = e e dt = e dt = a + T = Tδ nm. a a a dt, m = n a (.4.3) Kadangi T bendruoju atveju nelygus vienetui, tai šios unkijos ϕ n ( nėra ortonormuotos. Ortonormuotosios kompleksinės eksponentinės unkijos gaunamos, padauginus senąsias unkijas iš / T : rms jnω t ϕ n( = e. (.4.4) T.4.. Ortogonaliosios eilutės Tarkime, kad w( nusako kažkokį signalą arba triukšmą, kurį mes norime išreikšti matematiniu pavidalu intervale a < t < b. Tokiu atveju galima pasinaudoti šia teorema: unkiją w( intervale a < t < b galima išreikšti ortogonalių tame intervale unkijų eilute w ( = a n ϕ n(, (.4.5) n

31 6 kurios koeiientai apibrėžiami šitaip: b * a n = w( ϕ n( dt, (.4.6) Kn a o sumavimo indeksas n įgyja visas įmanomas vertes, kurios įeina į ortogonaliųjų unkijų ϕ n ( žymėjimus. (.4.5) eilutės koeiientai a n vadinami ortogonaliaisiais koeiientais, o ortogonaliosios unkijos ϕ n ( vadinamos eilutės bazinėmis unkijomis. Norint (.4.5) pavidalu išreikšti bet kokį izikinį signalą ( izikinio signalo sąvoka tiksliai apibrėžta.7 poskyryje), unkijų rinkinys {ϕ n (} turi būti pilnasis ortogonaliųjų unkijų rinkinys. Tai reiškia, kad bet kokią unkiją galima aproksimuoti ortogonaliąja eilute (.4.5) su kiek norima maža paklaida. Paklaida yra tuo mažesnė, kuo daugiau ortogonaliųjų unkijų įtraukiama į (.4.5) skleidinį. Aukščiau minėtasis kompleksinių eksponentinių unkijų rinkinys yra pilnas. Kitas pilnojo rinkinio pavyzdys yra realiųjų harmoninių unkijų rinkinys (žr..5. poskyrį). Praktikoje (.4.5) eilutę galima panaudoti, atkuriant signalą w( pagal žinomas koeiientų a n vertes, kai yra žinomos ortogonaliosios unkijos ϕ n (. Šį proesą, kai koeiientai a n ir unkijos ϕ n ( yra realūs, iliustruoja.4. pav. Čia panaudojami sinhronizuoti ortogonaliųjų unkijų generatoriai, kurių išėjimuose yra stiprintuvai. Visų stiprintuvų išėjimo signalai sudedami tokiu būdu suormuojamas galutinis signalas w(..4. pav. Signalo sintezė, naudojant ortogonaliųjų unkijų generatorius..5. Furjė eilutės Furjė eilutė tai ortogonalioji eilutė, kurios bazinės unkijos yra kompleksinės eksponentinės unkijos arba sinusoidės..5.. Kompleksinė Furjė eilutė Kompleksinėje Furjė eilutėje naudojamos kompleksinės eksponentinės unkijos jnω t ϕ n( = e (n =, ±, ±, ), (.5.) kur ω = π/t, o T = b a yra tiriamojo laiko intervalo plotis. Pritaikę ortogonaliosios eilutės matematinį apibrėžimą (.4.5) (.4.6) šiam ortogonaliųjų unkijų rinkiniui, randame, kad bet kurį izikinį signalą intervale a < t < a + T galima išreikšti kompleksine Furjė eilute

32 7 n= jn t w( = n e n= ω, (.5.) kurios koeiientai (atsižvelgus į normavimo konstantos išraišką: žr. (.4.4)) yra a+ T jnωt n = w( e dt, (.5.3) T o ω = π = π/t. Koeiientai n vadinami Furjė koeiientais. Funkijos ϕ n ( yra periodinės ir jų visų periodai turi bendrą kartotinį T. Vadinasi, kompleksinė Furjė eilutė (.5.) yra periodinė unkija, kurios periodas lygus T. Todėl, jeigu signalas w( yra periodinis ir jo periodas sutampa su parametru T, kuris įeina į kompleksinės Furjė eilutės apibrėžimą (.5.) (.5.3), tuomet ormulė (.5.) galioja visiems laiko momentams (t.y., intervale - < t < ). Vadinasi, kad periodinio signalo išraiška Furjė eilute (.5.) galiotų visais laiko momentais, Furjė eilutės parametras T turi sutapti su signalo periodu. Tokiu atveju parametro a, kuris įeina į eilutės koeiientų apibrėžimą (.5.3), vertė gali būti bet kokia. Dažniausiai laikoma, kad a = arba a = -T /. Periodinės unkijos, kurios periodas T, dažnis = /T vadinamas pagrindiniu dažniu, o n-tosios ortogonaliosios unkijos (.5.) dažnis n vadinamas n-tosios harmonikos dažniu. Pati kompleksinė eksponentinė unkija ϕ n ( (.5.) tokiu atveju vadinama n-tąja harmonika. Koeiientas nusako signalo nuolatinę dedamąją. Koeiientai n bendruoju atveju yra kompleksiniai skaičiai. Kompleksinių Furjė eilučių kai kurios savybės pateiktos žemiau.. Jeigu w( yra realioji unkija, * n = n. (.5.4). Jeigu w( yra realioji lyginė unkija (t.y., w( = w(-), tuomet kompleksinės Furjė eilutės koeiientai yra realieji skaičiai, t.y., Im[ n ] =. (.5.5) 3. Jeigu w( yra realioji nelyginė unkija (t.y., w( = -w(-), tuomet kompleksinės Furjė eilutės koeiientai yra menamieji skaičiai, t.y., Re[ n ] =. (.5.6) 4. Jeigu w( yra periodinis signalas, tuomet jo vidutinė normuotoji galia (žr. (..7)) lygi P w kur n yra kompleksinės Furjė eilutės koeiientai. a n = n n= ( =, (.5.7).5.. Kvadratūrinė Furjė eilutė Iš (.5.4) savybės išplaukia, kad kompleksinėje Furjė eilutėje (.5.) dėmenys su priešingais indeksais n yra kompleksiškai jungtiniai. Vadinasi, jų suma yra realioji laiko unkija, kurios pavidalas priklauso tik nuo n absoliutinės vertės. Šią unkiją galima išreikšti vienodo dažnio ir nulinės pradinės azės sinusoidės ir kosinusoidės suma. Tokiu būdu gaunama kvadratūrinė Furjė eilutė. Šioje eilutėje ortogonaliosios unkijos yra sinnωt (n =,,, ), (.5.8) osnωt kur ω = π/t, o T = b a yra tiriamojo laiko intervalo plotis. Taigi, šiuo atveju eilutėje nelieka dėmenų su neigiamais indeksais, tačiau kiekvieną indekso n reikšmę (išskyrus n = ) atitinka dvi ortogonaliosios unkijos. Tuo pačiu metodu, kaip ir kompleksinės Furjė eilutės atveju, randame šitokią kvadratūrinės Furjė eilutės išraišką:

33 8 kur ir n= n = n= w( = a osnω t + b sinnωt, (.5.9) T a = T n a + T a a + T a w( dt, a + T n= w( os( nω dt, n n = ; n (.5.) bn = w( sin( nω dt, n >. (.5.) T a Kaip ir kompleksinė Furjė eilutė (.5.), kvadratūrinė Furjė eilutė (.5.9) yra periodinė unkija, kurios periodas T. Todėl tuo atveju, kai signalas w( yra periodinė unkija, kurios periodas T, lygybė (.5.9) galioja visais laiko momentais. Kvadratūrinės Furjė eilutės (.5.9) koeiientai a n ir b n susiję su kompleksinės Furjė eilutės (.5.) koeiientais n tokiu sąryšiu: an j bn, n > ; n = a, n = ; (.5.) a n + j b n, n <. Atvirkštinės ormulės yra = =, n an (.5.3) Re[ n ], n ir b = Im[ ], n. (.5.4) n n.5.3. Polinė Furjė eilutė Polinė Furjė eilutė gaunama, apjungus kvadratūrinėje Furjė eilutėje (.5.9) sinusoidės ir kosinusoidės pavidalo dėmenis su vienodu indeksu n į vieną dėmenį: n= + Dn os( n t + n ) n= w( = D ω ϕ, (.5.5) Kompleksinės Furjė eilutės (.5.) koeiientų išraiška polinės Furjė eilutės (.5.5) koeiientais: iϕ n Dne, n > ; n = D, n = ; (.5.6) iϕ n D ne, n <. Kvadratūrinės Furjė eilutės (.5.9) koeiientų išraiška polinės Furjė eilutės (.5.5) koeiientais: D = =, n ; an (.5.7) Dn osϕn, n ; b = sinϕ, n. (.5.8) n D n n

34 9 Polinės Furjė eilutės (.5.5) koeiientų išraiška kvadratūrinės bei kompleksinės Furjė eilučių koeiientais: a, n =, n = ; Dn = = (.5.9) an + bn, n n, n ; b n Im[ n ] ϕ n = artan = artan. (.5.) an Re[ n ].5.4. Įvairių rūšių Furjė eilučių tapatumas. Signalų aproksimavimas baigtinėm Furjė eilutėm Visų trijų minėtųjų Furjė eilučių tipų koeiientų tapatumą iliustruoja.5. pav. Kaip matome, kvadratūrinės Furjė eilutės koeiientai a n ir b n nusako kompleksinių skaičių n realiąją ir menamąją dalis, o polinės Furjė eilutės koeiientai D n ir ϕ n nusako tų pačių kompleksinių skaičių absoliutines vertes ir kampus. Taigi, kompleksinė Furjė eilutė atitinka harmonikų užrašymą kompleksinių amplitudžių metodu, kvadratūrinė Furjė eilutė atitinka harmonikų kompleksinių amplitudžių n užrašymą stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje, o polinė Furjė eilutė atitinka harmonikų kompleksinių amplitudžių n užrašymą polinėje koordinačių sistemoje..5. pav. Ryšys tarp skirtingų rūšių Furjė eilučių koeiientų. Praktikoje, išreiškiant signalus Furjė eilutėmis, naudojamas baigtinis dėmenų (harmonikų) skaičius. Pvz., stačiakampių impulsų bangą pakankamu tikslumu galima aproksimuoti harmonikų. Svarbi tokios baigtinės eilutės savybė yra ta, kad jos koeiientų optimalios vertės sutampa su begalinės eilutės atitinkamų koeiientų vertėm. Nors kompleksinė, kvadratūrinė ir polinė Furjė eilutės yra matematiškai ekvivalenčios, tačiau, sprendžiant skirtingus praktinius uždavinius, gali būti patogiau naudoti skirtingas Furjė eilutes. Pvz., jeigu uždavinys sprendžiamas analiziškai, patogiau operuoti kompleksiniais koeiientais. Jeigu signalas matuojamas laboratorijoje, tuomet polinė orma dažniausiai yra patogiausia, nes matavimo prietaisai dažniausiai matuoja amplitudę ir azę. Praktikoje signalo spektras dažnai sudaromas tokiu būdu: išmatuojamos polinės Furjė eilutės amplitudės D n (n ), o po to virš dažnių tiesės ties atitinkamais dažniais = n nubraižomos vertikalios linijos, kurių aukštis proporingas D n. Toks spektras vadinamas vienpusiu spektru, nes jame yra tik teigiami dažniai. Tačiau reikia turėti omenyje, kad tikrasis spektras tai Furjė

35 3 transormaija (..), kuri yra apibrėžta visoje dažnių tiesėje - < <. T.y., spektrą tiksliausiai nusako kompleksinės Furjė eilutės koeiientai. Teorema, kuri tiksliai išreiškia pastarąjį teiginį, pateikta žemiau Periodinio signalo spektras Jeigu signalas w( yra periodinis, o jo periodas lygus T, tuomet signalo spektras lygus n= ( ) = n ( n n= W δ ), (.5.) kur = /T, o n yra signalo kompleksinės Furjė eilutės (.5.) koeiientai. Ši teorema įrodoma, apskaičiavus kompleksinės Furjė eilutės (.5.) Furjė transormaiją (..) ir pasinaudojus δ unkijos integraline išraiška (..6). Taigi, periodinės unkijos spektras visuomet yra sudarytas iš atskirų linijų. Šią periodinių unkijų savybę iliustruoja, pvz., sinusoidės spektras (..4) (t.p. žr...a pav.): šiuo atveju = -ja/, - = ja/, o visi kiti koeiientai n lygūs nuliui. Be to, kadangi = (nėra linijos ties = ), tai sinusoidės atveju nėra nuolatinės dedamosios. Iš (.5.) išplaukia, kad periodinio signalo spektrą (Furjė transormaiją) pilnai nusako signalo Furjė koeiientai n ir periodas T. Periodinio signalo Furjė koeiientus galima apskaičiuoti tokiu būdu. Periodinį signalą w(, kurio periodas T, galima išreikšti begaline suma neperiodinių unkijų, kurios apibrėžia signalą nepersiklojančiuose T pločio intervaluose: n= n= w ( = h( t nt ), (.5.) kur T w(, t < ; h ( (.5.3) T, t. T.y., unkija h( nusako w( kitimą vieno periodo metu. Todėl periodinio signalo Furjė koeiientus n galima apskaičiuoti, remiantis unkijos h spektru H(). Išvesime ormulę, kuri sieja n ir H(). Kadangi bet kurią unkiją galima pakeisti tos unkijos ir δ unkijos sąsūka (žr. (..5b)), tai signalą (.5.) galima užrašyti šitaip: ( = h( * ( t nt ) = h( * δ ( t nt n = n = w δ ), (.5.4) kur ženklas žymi dviejų unkijų sąsūkos operaiją. (.5.4) lygybės dešiniojoje pusėje esanti δ unkijų suma yra periodinė unkija, kurios periodas lygus T. Vadinasi, šią sumą galima išreikšti Furjė eilute (.5.) visoje laiko ašyje (žr..5. poskyrį). Šios eilutės koeiientai n skaičiuojami pagal (.5.3) ormulę, kurioje apatinio integravimo rėžio a vertė gali būti bet kokia. Apskaičiavę šį integralą, gauname kad n = /T. Vadinasi, n= jnπ t t nt) = e n= δ (, (.5.5) Lygybė (.5.5) vadinama Puasono sumos ormule. Įrašę (.5.5) į periodinio signalo išraišką (.5.4), gauname: jn t w( = h( * e n= ω. (.5.6) Šio signalo Furjė transormaiją nesunku apskaičiuoti, pasinaudojus tuo, kad dviejų unkijų sąsūkos Furjė transormaija lygi jų spektrų sandaugai (žr. B- lentelę). Tokiu būdu gauname

36 3 ( ) = H ( ) ( n ) = [ H ( n )] δ ( n n= n= W δ ). (.5.7) Palyginus (.5.7) ir (.5.), randamas koeiientų n ir vieno periodo Furjė transormaijos H() sąryšis: H ( n / T ) n = H ( n) =, (.5.8) T kur = /T. Pagal vėlinimo teoremą (žr. B- lentelę), vieno periodo Furjė transormaija H() nepriklauso nuo unkijos h( apibrėžimo intervalo padėties laiko ašyje, o priklauso tik nuo jo pločio T. Periodinės unkijos Furjė koeiientus patogu skaičiuoti pagal (.5.8) ormulę tais atvejais, kai H() pavidalas yra žinomas arba gali būti lengvai apskaičiuotas (pvz., pagal Furjė transormaijų lenteles B- ir B-). Pvz., tarkime, kad reikia apskaičiuoti stačiakampių impulsų sekos, kuri pavaizduota.5. pav., Furjė koeiientus. Pagal (.5.8), šie koeiientai lygūs A n = V ( n). (.5.9) T Čia V(n ) yra vienetinio impulso Furjė transormaija (..36), kur T = T /. Įrašę (..36) į (.5.9) ir atsižvelgę į tai, kad = /T, randame A, n = ; A jnπ / A jnπ / sin( nπ / ) A n = e Sa( nπ / ) = e = j, n nelyginis; (.5.3) nπ / nπ kitais atvejais. Tą patį rezultatą galima gauti, ir tiesiog įrašius (.5.) (.5.3) į n apibrėžimą (.5.3)..5. pav. Periodinė stačiakampių impulsų seka Periodinio signalo galios spektrinis tankis Jeigu signalas w( yra periodinis, o jo periodas lygus T, tuomet signalo galios spektrinis tankis lygus n= w( ) = n ( n n= P δ ), (.5.3) kur = /T, o n yra signalo kompleksinės Furjė eilutės (.5.) koeiientai. Ši teorema įrodoma, apskaičiavus kompleksinės Furjė eilutės (.5.) autokoreliaijos unkiją (.3.8), o po to apskaičiavus jos Furjė transormaiją ir pasinaudojus sąryšiu (.3.).

37 3 Vadinasi, periodinio signalo galios spektrinį tankį pilnai nusako signalo periodas T ir Furjė koeiientų n absoliutinių verčių kvadratai. Turint omenyje, kad periodinio signalo vidutinė normuotoji galia P lygi jo Furjė koeiientų absoliutinių verčių kvadratų sumai (žr. (.5.7)), lygybė (.5.3) suteikia galimybę ne tik įvertinti periodinio signalo galios spektrinį tankį, bet ir apskaičiuoti signalo dažnių juostos plotį. Pvz., dažnių intervalą, kuriame sutelkta 9 % viso signalo galios, nusako dažniai n, kuriuos atitinkančių koeiientų n absoliutinių verčių kvadratų suma lygi.9p. Apskaičiuosime stačiakampių impulsų sekos, kuri pavaizduota.5. pav., galios spektrinį tankį. Kadangi šis signalas yra periodinis, tai galios spektrinį tankį galima skaičiuoti pagal (.5.3) ormulę. Vadinasi, kaip ir periodinio signalo spektro atveju, pakanka apskaičiuoti kompleksinės Furjė eilutės koeiientus n. Šiuo atveju koeiientus n nusako (.5.3) ormulė. Vadinasi, galios spektrinis tankis lygus A sin( nπ / ) Pw ( ) = δ ( n). (.5.3) n= nπ / Šis galios spektrinis tankis pavaizduotas.5.3 pav. ištisinėmis linijomis..5.3 pav. Periodinės stačiakampių impulsų sekos, kuri pavaizduota.5. pav., galios spektrinis tankis..6. Tiesinių sistemų pagrindai.6.. Tiesinės sistemos sąvoka. Laikinis invariantiškumas Elektroninė sistema vadinama tiesine, jeigu ji tenkina signalų superpoziijos sąlygą, t.y., jeigu išėjimo signalas, atitinkantis dviejų įėjimo signalų tiesinį darinį su pastoviais koeiientais, yra lygus atitinkamų dviejų išėjimo signalų tiesiniam dariniui su tais pačiais koeiientais. Pažymėjus išėjimo signalą y(, o įėjimo signalus x ( ir x ( (žr..6. pav.), superpoziijos sąlygą galima užrašyti šitaip: y ( = L[ ax ( + ax ( ] = al[ x( ] + al[ x ( ]. (.6.) Čia L[ ] žymi tiesinį dierenialinį operatorių, kuris veikia įėjimo signalą (bet kurios tiesinės sistemos poveikį įėjimo signalui nusako kažkoks tiesinis dierenialinis operatorius). Jeigu, užvėlinus įėjimo signalą dydžiu t, išėjimo signalas užvėlinamas tiek pat, tuomet sakoma, kad sistemai būdinga laikinio invariantiškumo savybė. T.y., jeigu įėjimo signalą x( atitinka

38 33.6. pav. Tiesinė sistema išėjimo signalas y(, tuomet įėjimo signalą x(t t ) atitinka išėjimo signalas y(t t ). Laikinis invariantiškumas reiškia, kad sistemos átsako (išėjimo signalo) pavidalas nepriklauso nuo poveikio (įėjimo signalo) momento..6.. Tiesinės sistemos impulsinis atsakas Tiesinė sistema, kuriai būdingas laikinis invariantiškumas, yra aprašoma tiesine dierenialine lygtimi su pastoviais koeiientais. Žemiau parodyta, kad tokią sistemą pilnai apibūdina jos impulsinis atsakas h(. Impulsinis atsakas tai dierenialinės lygties sprendinys, kai poveikis (įėjimo signalas) yra Dirako δ unkija. T.y., y( = h(, kai x( = δ(. Be to, izikinių sistemų impulsinis atsakas turi tenkinti priežastingumo prinipą, kuris teigia, kad pasekmė negali įvykti anksčiau už priežastį. T.y., h( =, kai t =. Priežastingumo prinipą galima suormuluoti ir kaip reikalavimą impulsinio atsako spektrui H(): ln H ( + ) d <. (.6.) Pvz., iš (.6.) išplaukia, kad impulsinio atsako spektras negali būti tiksliai lygus nuliui, kai dažnis yra didesnis už tam tikrą ribinį dažnį: tokiu atveju impulsinis atsakas neturėtų pradžios (žr..7 poskyrį), t.y., netenkintų priežastingumo prinipo. Sistemos impulsinį atsaką galima panaudoti, skaičiuojant sistemos išėjimo signalą, kai įėjimo signalas nėra impulso pavidalo. Tuo tikslu bendro pavidalo signalas x( aproksimuojamas δ unkijos pavidalo impulsų seka: n= x( x( nδ δ ( t nδ Δt, (.6.3) kur Δt yra intervalas tarp impulsų. T.y., tolydi unkija x( pakeičiama diskrečiu jos verčių rinkiniu laiko momentais t = nδt. Pasinaudojus superpoziijos ir laikinio invariantiškumo savybėmis, sistemos atsakas į poveikį x( lygus n= y ( x( nδ h( t nδ Δt. (.6.4) Ši apytikslė lygybė virsta tikslia, kai Δt. Tuomet suma (.6.4) virsta integralu y( = x( λ ) h( t λ) dλ x( * h(, (.6.5)

39 34 kur ženklas žymi dviejų unkijų sąsūkos operaiją (unkijų x( ir h( sąsūka tai (.6.5) integralas). Taigi, tiesinės sistemos, kuriai būdingas laikinis invariantiškumas, išėjimo signalas tai įėjimo signalo ir impulsinio atsako sąsūka Tiesinės sistemos perdavimo unkija Pagal signalo spektro apibrėžimą (..), tiesinės sistemos išėjimo signalo spektras Y() lygus reiškinio (.6.5) Furjė transormaijai. Yra žinoma, kad dviejų unkijų sąsūkos Furjė transormaija yra lygi tų unkijų Furjė transormaijų sandaugai (žr. B- lentelę). Vadinasi, Y ( ) = X ( ) H ( ) (.6.6) arba Y ( ) H ( ) =, (.6.7) X ( ) kur H() yra impulsinio atsako Furjė transormaija (H() F[h(]). Funkija H() vadinama sistemos perdavimo unkija arba dažnine harakteristika. Taigi, impulsinis atsakas h( ir dažninė harakteristika sudaro Furjė porą: h( H(). (.6.8) Bendruoju atveju perdavimo unkija yra kompleksinis dydis: jθ ( ) H ( ) = H ( ) e. (.6.9) Šio kompleksinio skaičiaus absoliutinė vertė H() vadinama sistemos dažnine amplitudės harakteristika, o kampas θ() dažnine azės harakteristika: Im{ H ( )} θ ( ) = artan. (.6.) Re{ H ( )} Kadangi realiose sistemose h( yra realioji laiko unkija, tai, pagal Furjė transormaijos savybes (..7) ir (..8), H() yra lyginė dažnio unkija, o θ() nelyginė dažnio unkija: H ( ) = H ( ), (.6.) θ ( ) = θ ( ). (.6.) Tiesinės sistemos perdavimo unkiją galima išmatuoti, naudojant sinusoidės pavidalo įėjimo įtampą. Taip yra todėl, kad dažnio sinusoidės spektras sudarytas iš dviejų linijų ties dažniais = ± (žr. (..8)). Pvz., jeigu x( = Asinω t = Asin π t, tuomet įėjimo signalo Furjė transormaija X() yra (..4). Įrašę šį reiškinį į (.6.6) ir atsižvelgę į (.6.) ir (.6.), gauname, kad tiesinės sistemos atsako į sinusoidės pavidalo poveikį spektras yra A jθ ( )( / ) ( ) ( ) Y = j H e [ δ ( + ) δ ( )]. (.6.3) Palyginę šį reiškinį su bendrojo pavidalo sinusoidės (..7) Furjė transormaija (..8), matome, kad spektras Y() sutampa su sinusoidės y( = A H ( ) sin[π t + θ ( )] (.6.4) spektru. Vadinasi, unkija (.6.4) tai tiesinės sistemos atsakas į sinusoidės pavidalo poveikį. Taigi, tiesinės sistemos perdavimo unkiją H() = H() exp(jθ()) galima išmatuoti, matuojant sistemos išėjimo įtampos amplitudę ir azę, kai įėjimo įtampa yra sinusoidės pavidalo. Bendrojo pavidalo periodinio įėjimo signalo x( spektrą X() galima išreikšti (.5.) pavidalo begaline suma: n= ( ) = n ( n n= X δ ), (.6.5) kur { n } yra įėjimo signalo kompleksiniai Furjė koeiientai. Įrašę (.6.5) į (.6.6), randame

40 35 n= ( ) = nh ( n ) ( n n= Y δ ). (.6.6) Susiesime tiesinės sistemos išėjimo ir įėjimo signalų galios spektrinius tankius P y () ir P x (). Pagal apibrėžimą (.3.4), išėjimo signalo y( galios spektrinis tankis lygus YT ( ) Py ( ) = lim. (.6.7) T T Funkiją Y T () galima išreikšti unkija X T () pagal (.6.6). Įrašę šią Y T () išraišką į (.6.7), randame X T ( ) Py ( ) = H ( ) lim T T arba Py ( ) = H ( ) Px ( ). (.6.8) Vadinasi, tiesinės sistemos galios perdavimo unkija yra Py ( ) Gh ( ) = H ( ). (.6.9) P ( ) x.6.4. Žemųjų dažnių RC iltro impulsinis atsakas ir perdavimo unkija Žemųjų dažnių RC iltras pavaizduotas.6.a pav. Čia x( ir y( žymi atitinkamai įėjimo ir išėjimo signalus. Pagal Kirhhoo taisyklę, x ( = Ri( + y(, kur i( = C dy(/dt. Vadinasi, sprendžiamoji dierenialinė lygtis yra dy RC + y( = x(. dt (.6.) Pasinaudoję unkijos išvestinės Furjė transormaijos išraiška (žr. B- lentelę), randame dierenialinės lygties (.6.) Furjė atvaizdą: RC ( jπ ) Y ( ) + Y ( ) = X ( ). (.6.) Vadinasi, pagal (.6.7), šio iltro perdavimo unkija yra Y ( ) H ( ) = =, X ( ) + j( / ) (.6.) o galios perdavimo unkija (pagal (.6.9)) yra G h ( ) = H ( ) = + ( / ), (.6.3) kur. πrc (.6.4) Suradę (.6.) pavidalo unkiją Furjė transormaijų lentelėje B-, gauname žemųjų dažnių iltro impulsinį atsaką: t / τ e, t ; h( = τ, t <, (.6.5) kur τ yra iltro laiko konstanta: τ = RC = π. (.6.6) Žemųjų dažnių RC iltro impulsinio atsako unkija h( ir galios perdavimo unkija G h () yra pavaizduotos.6.b, pav..6.b pav. akivaizdu, kad laiko konstantaτ

41 36 R xt () it () C yt () (a) Žemųjų dažnių RC iltras.6. pav. Žemųjų dažnių RC iltras (a), jo impulsinio atsako unkija (b) ir galios perdavimo unkija (). nusako laiką, per kurį išėjimo amplitudė sumažėja e.7 kartų, lyginant su pradine verte..6. pav. akivaizdu, kad ribinis dažnis tai dažnis, kuriame galios stiprinimo koeiientas yra kartus (t.y., 3 db) mažesnis, lyginant su maksimalia verte ties =. Šis teiginys trumpai ormuluojamas šitaip: šio iltro 3 db lygio dažnių juostos plotis yra = (apie dažnių juostos plotį smulkiau kalbama.8 poskyryje) Signalų perdavimas be iškraipymų tiesinėse sistemose Telekomunikaijų sistemose dažnai reikalingas signalų perdavimas be iškraipymų. Tai reiškia, kad sistemos išėjimo signalas y( yra proporingas užvėlintam įėjimo signalui x(: y = Ax( t T ), (.6.7) ( d

42 37 kur A yra stiprinimo koeiientas (kuris gali būti mažesnis už vienetą), o T d yra signalo vėlinimas. Be to, A ir T d nepriklauso nuo įėjimo signalo pavidalo. Apskaičiavę (.6.7) lygybės abiejų pusių Furjė transormaiją ir įrašę gautąją Y() išraišką į perdavimo unkijos išraišką (.6.7), randame atitinkamą reikalavimą sistemos perdavimo unkijai: Y ( ) j πt H ( ) = = Ae d. (.6.8) X ( ) Taigi, kad tiesinė sistema perduotų signalą be iškraipymų, turi būti patenkintos dvi sąlygos: ) dažninė amplitudės harakteristika turi būti plokščia, t.y., H ( ) = A = onst ; (.6.9a) ) dažninė azės harakteristika turi būti tiesinė dažnio unkija, t.y., θ ( ) = πt d. (.6.9b) Jeigu tenkinama pirmoji sąlyga, tuomet sakoma, kad nėra amplitudinių iškraipymų. Jeigu tenkinama antroji sąlyga, tuomet sakoma, kad nėra azinių iškraipymų. Jeigu tiesinė grandinė netenkina kurios nors iš šių dviejų sąlygų, tuomet jos išėjimo signale atsiranda iškraipymai, kurie vadinami tiesiniais iškraipymais. Antrąjį reikalavimą (.6.9b) galima suormuluoti šiek tiek kitaip. Kaip minėta, tiesinės sistemos atsakas į sinusoidės pavidalo signalą yra to paties dažnio sinusoidė (žr. (.6.4)). Vadinasi, tiesinėje sistemoje sinusoidės pavidalo signalo atveju visuomet galioja lygybė (.6.7). Tačiau bendruoju atveju (kai egzistuoja tiesiniai iškraipymai) parametrai A ir T d priklauso nuo sinusoidės dažnio. Funkija T d () vadinama sistemos vėlinimo unkija. Pagal (.6.9b), vėlinimo unkija lygi T d ( ) = θ ( ), (.6.3) π kur θ() yra sistemos dažninė azės harakteristika. Vadinasi, azės iškraipymų nebuvimo sąlygą galima suormuluoti šitaip: T d ( ) = onst. (.6.3) Tiesinės sistemos išėjimo signalo spektrą sudaro tie patys dažniai, kaip ir įėjimo signalo spektrą net ir tuo atveju, kai signalas iškraipomas. Netiesinėje sistemoje, be amplitudės ir azės iškraipymų, galimi ir kito tipo iškraipymai, dėl kurių išėjimo signalo spektre atsiranda nauji dažniai. Kartais šie naujieji dažniai yra reikalingi, todėl juos neteisinga būtų vadinti iškraipymais. Tokie atvejai aprašyti 4 skyriuje Signalo iškraipymai, kuriuos sukelia žemųjų dažnių RC iltras Aprašysime iškraipymus, kuriuos sukelia.6.4 poskyryje aprašytas žemadažnis RC iltras. Pagal (.6.), šio iltro dažninė amplitudės harakteristika lygi H ( ) =, (.6.3) + ( / ) o dažninė azės harakteristika yra θ ( ) = artan. (.6.33) Pagal (.6.3), atitinkama signalo vėlinimo unkija yra T d ( ) = artan. (.6.34) π Šios trys dažnio unkijos pavaizduotos.6.3 pav. ištisinėm linijom. Akivaizdu, kad žemadažnis RC iltras netenkina sąlygų (.6.9a) ir (.6.9b) (arba (.6.3)), todėl iškraipo įėjimo signalą. Tačiau tuo atveju, kai įėjimo signalo spektre yra tik dažniai, kurie tenkina

43 pav. Žemųjų dažnių RC iltro dažninė amplitudės harakteristika (a), dažninė azės harakteristika (b) ir signalo vėlinimo unkija (). nelygybę <.5, šie iškraipymai yra labai silpni (amplitudės paklaida <.5 db, o azės paklaida <. ). T.y., šioje dažnių juostoje RC iltras elgiasi beveik kaip iltras be iškraipymų, kurį atitinka punktyrinės linijos.6.3 pav. Jeigu <, amplitudės paklaida yra mažesnė už 3 db, o azės paklaida mažesnė už.3. Praktikoje tokios paklaidos taip pat dažnai laikomos priimtinomis. Gautieji rezultatai taip pat rodo, kad signalų, kurių spektras sutelktas dažnių

44 39 intervale <.5, vėlinimas yra beveik pastovus ir lygus /(π ). Aukštesniųjų dažnių signalų vėlinimas yra mažesnis..7. Riboto dažnio signalai Praktikoje dažniausiai naudojami riboto dažnio signalai, t.y., signalai, kurių spektrai skiriasi nuo nulio baigtinio pločio dažnių juostoje. Jeigu signalo Furjė transormaija tenkina sąlygą W ( ) = F[ w( ] =, kai B, (.7.) tuomet sakoma, kad signalo ribinis dažnis yra mažesnis už B (herų). Jeigu signalas tenkina sąlygą w ( =, kai t T, (.7.) tuomet toks signalas vadinamas baigtinės trukmės signalu (time limited waveorm). Galima įrodyti, kad bet kuris riboto dažnio signalas yra neribotas laike (t.y., begalinės trukmės), o bet kuris baigtinės trukmės signalas yra neriboto dažnio. Pvz., stačiakampis impulsas turi begalinio pločio spektrą (žr...a pav.). Reikia turėti omenyje, kad atvirkštiniai teiginiai negalioja, t.y., neribotas laike signalas gali turėti begalinio pločio spektrą (pvz., tiksliai stačiakampių impulsų periodinė seka). Visi praktikoje sutinkami signalai yra baigtinės trukmės. Todėl, griežtai kalbant, realių signalų spektrai yra begalinio pločio. Tačiau praktiniu požiūriu visuomet galima laikyti, kad signalo spektras yra baigtinio pločio, nes visuomet egzistuoja kažkoks ribinis dažnis, virš kurio signalo amplitudžių spektras tampa mažesnis už matavimo prietaisų jautrį. Šį teiginį galima įrodyti, remiantis signalo energijos išraiška (..). Kadangi izikinis signalas yra baigtinės trukmės, tai jo energija taip pat yra baigtinė. Kadangi (..) integralo rėžiai yra begaliniai, tai šis integralas gali būti baigtinis tik tuo atveju, kai energijos spektrinis tankis W() tampa nykstamai mažas dažnių intervale > B, kur B yra kažkoks pakankamai didelis dažnis. Vadinasi, visi izikiniai signalai yra baigtinės trukmės ir riboto dažnio. Žemiau pateiktos visos sąlygos, kurias tenkina izikiniai signalai:. Signalas pastebimai skiriasi nuo nulio baigtinio pločio laiko intervale.. Signalo spektras pastebimai skiriasi nuo nulio baigtinio pločio dažnių intervale. 3. Signalas yra tolydžioji laiko unkija. 4. Signalo maksimali vertė yra baigtinė. 5. Signalas yra realusis dydis. Tačiau teorinėje signalų analizėje dažnai naudojami signalų matematiniai modeliai, kurie netenkina vienos arba kelių iš šių sąlygų. Pvz., bet kuris periodinis signalas yra neribotas laike, t.y., netenkina pirmosios sąlygos. Idealiai stačiakampių impulsų periodinė seka netenkina pirmųjų trijų sąlygų, tačiau toks modelis dažnai naudojamas praktikoje..7.. Ėmimo teorema Skaitmeninėje ryšių sistemoje be iškraipymų įmanoma perduoti tik riboto dažnio inormainius signalus. Taip yra todėl, kad skaitmeninėse ryšių sistemose yra perduodamos inormainio signalo vertės diskrečiais laiko momentais. Šių diskrečių verčių atranka vadinama signalo ėmimu (sampling), atrankos dažnis vadinamas ėmimo sparta (sampling rate), o kiekviena diskrečioji vertė vadinama imtimi (sample). Norint, kad imtuvas galėtų tiksliai atstatyti pradinio (tolydžiojo) inormainio signalo pavidalą, signalo verčių ėmimo sparta turi būti didesnė už dvigubą inormainio signalo ribinį dažnį. Šis teiginys vadinamas ėmimo teorema. Matematine prasme, ėmimo teorema yra vienas iš ortogonaliųjų eilučių pritaikymų. Ėmimo teoremos pilnąją ormuluotę sudaro du teiginiai:. Bet kurį izikinį signalą w( intervale - < t < galima išreikšti eilute

45 4 kur w( = sin{ π [ t ( n / s )]}, (.7.3) ( n / )] n= s an n = πs[ t s sin{ πs[ t ( n / s )]} an = w( dt, (.7.4) πs[ t ( n / s )] o s yra kažkoks teigiamas dažnis.. Jeigu signalo w( ribinis dažnis yra B herų, tuomet (.7.3) eilutė tiksliai aprašo signalą w( tik tuo atveju, kai parametras s tenkina nelygybę s B. (.7.5) Be to, šiuo atveju (.7.3) eilutės koeiientai a n sutampa su signalo w( vertėm, išmatuotom kas / s sekundžių: a n = w(n/ s ). (.7.6) Norint įrodyti pirmąją ėmimo teoremos dalį, pakanka įrodyti, kad unkijos sin{ πs[ t ( n / s )]} ϕ n( = (.7.7) π s[ t ( n / s )] yra ortogonalios intervale - < t < ir kad kiekvienos unkijos kvadrato integralas nuo - iki + lygus / s (žr. ortogonaliųjų unkijų ir ortogonaliosios eilutės apibrėžimus (.4.) ir (.4.5) (.4.6)). Šis teiginys įrodomas, įrašius ϕ n ( išraišką (.7.7) į integralą (.4.) (a = -, b = + ) ir pasinaudojus Parsevalio teorema (..9) bei tuo, kad unkijos ϕ n ( (.7.7) Furjė transormaija lygi jπ ( n / s ) Φ n( ) = Π e s (.7.8) s (žr. B- lentelę ir vėlinimo teoremą B- lentelėje). Įrodysime antrąją ėmimo teoremos dalį. Pasinaudojus Parsevalio teorema (..9), integralą (.7.4) galima užrašyti šitaip: a * n s W ( ) Φ n ( ) = d s, (.7.9) kur W() yra signalo w( Furjė transormaija, o Φ n () yra unkijos ϕ n ( (.7.7) Furjė transormaija (.7.8). Įrašę (.7.8) išraišką į integralą (.7.9) ir atsižvelgę į tai, kad stačiakampio impulso unkija Π(/ s ) lygi vienetui dažnių intervale - s / < < s / ir lygi nuliui už šio intervalo ribų (žr. (..9)), randame a n = s / s / W ( ) e jπ ( n / s ) d. (.7.) Vadinasi, jeigu netenkinama (.7.5) sąlyga, tuomet, skaičiuojant koeiientus a n, prarandama inormaija apie signalo spektro dalį, kuri yra dažnių intervale s / < < B. Kadangi signalo spektras W() suteikia lygiai tiek pat inormaijos apie signalą w(, kiek ir paties signalo matematinė išraiška, tai tuo atveju, kai netenkinama (.7.5) sąlyga, (.7.3) eilutė negali tiksliai aprašyti signalo w(. Jeigu s tenkina (.7.5) sąlygą, tuomet, skaičiuojant integralą (.7.), integruojama visame dažnių intervale, kuriame W(), todėl signalo išraiška eilutės pavidalu (.7.3) yra tiksli. Be to, turint omenyje, kad W() =, kai > B, šiuo atveju integravimo sritį galima išplėsti iki (-, ), nekeičiant integralo vertės. Tokiu būdu gautas integralas tai unkijos W() atvirkštinė Furjė transormaija taške t = n/ s (plg. su atvirkštinės Furjė transormaijos apibrėžimu (..5)). Taigi, gaunama (.7.6) lygybė, kurią ir reikėjo įrodyti.

46 4 Iš (.7.) išplaukia, kad mažiausia ėmimo sparta, kuri reikalinga tiksliam ribotos dažnių juostos inormainio signalo atkūrimui imtuve, yra lygi dvigubam signalo ribiniam dažniui: ( s ) min = B. (.7.) Šis dažnis vadinamas Naikvisto dažniu (Nyquist requeny). Imties teorema yra ypač svarbi skaitmeninėse ryšio sistemose, nes ji nusako optimaliąją ėmimo spartą (.7.) ir signalo atkūrimo taisyklę, kai yra žinomos jo vertės atskirais laiko momentais (žr. (.7.3)). Tačiau (.7.3) eilutė yra begalinė, o praktikoje siųstuvas gali perduoti tik baigtinį verčių skaičių. Todėl praktikoje naudojamasi tuo, kad signalą w( duotajame baigtinio pločio laiko intervale galima aproksimuoti baigtine suma n= n + N n= n + w( a n ϕ (, (.7.) kurią sudaro N dėmenų. Šiuos dėmenis reikia parinkti taip, kad atitinkamų unkijų ϕ n ( maksimumai priklausytų tiriamajam laiko intervalui (žr..7. pav.). Vadinasi, norint išsaugoti arba perduoti inormaiją apie signalo w( kitimą baigtinės trukmės intervale, pakanka išmatuoti jo vertes tame intervale kas /( s ) min = /(B) sekundžių, o po to išsaugoti tas vertes skaitmeninio kompiuterio atmintyje arba perduoti jas skaitmenine ryšių sistema. Bet kuriuo atveju patį signalą galima vėliau atkurti, naudojantis (.7.) lygybe. Signalo verčių skaičius, kuris reikalingas signalo atkūrimui, turi tenkinti sąlygą T N N min = = BT, (.7.3) /( s ) min kur T yra laiko intervalo, kuriame reikia atkurti signalą, plotis, o B yra signalo ribinis dažnis. n.7. pav. Ėmimo teorema.

47 4.7.. Impulsinis ėmimas Signalo atkūrimo metodo, kuris remiasi ortogonaliąja eilute (.7.), trūkumas yra tas, kad, norint jį pritaikyti, reikia turėti atkuriamojo signalo vertes visame laiko intervale, kurį siekiama atkurti. Tai reiškia, kad atkurtasis signalas yra užvėlintas atžvilgiu perduodamojo signalo atkuriamojo intervalo trukme T (žr..7. pav.). Jeigu siekiama, kad šio vėlinimo nebūtų (t.y., kad signalo atkūrimas vyktų lygiagrečiai su jo diskrečių verčių perdavimu), naudojamas žemiau aprašytasis impulsinis ėmimas. Naudojant impulsinį ėmimą, inormainis signalas w( padauginamas iš vienetinio ploto impulsų sekos suormuojamas ėmimo signalas (sampled waveorm) w s (. Matematiškai vienetinio ploto ( vienetinio svorio ) impulsų seką galima modeliuoti δ unkijų suma (žr. δ unkijos apibrėžimą (..4). T.y., ėmimo signalas lygus n= w ( = w( δ ( t nt ) = w( nt ) δ ( t nt ). (.7.4) s Čia T s = / s, kur s yra ėmimo sparta. Tokią inormainio signalo transormaiją iliustruoja.7. pav. Šiame paveiksle kiekvienos rodyklės ilgis nusako impulso kreivės ribojamą plotą (impulso svorį). Rasime ėmimo signalo spektrą W s (). Pasinaudoję tuo, kad dviejų unkijų sandaugos Furjė transormaija lygi jų Furjė transormaijų sąsūkai, bei Puasono sumos ormule (.5.5), randame Ws ( ) = W ( )* F n= W ( λ) δ ( λ n s ) dλ = W ( λ) δ ( λ n s ) dλ. Ts n= Ts n= Pasinaudoję δ unkijos savybe (..5b), randame W s( ) = W ( ns ). (.7.5) T s n= δ ( t nts ) = W ( )* Ts s n = s n= s δ ( n s ).7. pav. Impulsinis ėmimas.

48 43 Taigi, ėmimo signalo spektrą sudaro pradinio inormainio signalo spektro kopijos, kurios pasislinkusios viena kitos atžvilgiu s Hz. Kaip akivaizdu.7. pav., tuo atveju, kai s B, šios kopijos nepersikloja ir pradinio signalo spektrą galima atkurti, nupjovus W s () dalį, kuri yra virš s /, t.y., praleidus w s ( pro idealųjį žemųjų dažnių iltrą, kurio ribinis dažnis yra = s /. Jeigu s < B, tuomet pradinio spektro kopijos persikloja tarpusavyje (žr..7.3 pav.), todėl vien iltravimu neįmanoma atstatyti pradinio spektro. Šis reiškinys vadinamas spektrų sanklota (aliasing, spetral olding). Vadinasi, vėl gavome tą patį pagrindinį rezultatą, kuris suormuluotas ėmimo teoremoje: mažiausią ėmimo spartą, kuri reikalinga tiksliam signalo atkūrimui pagal jo diskrečių verčių rinkinį, nusako Naikvisto dažnis (.7.)..7.3 pav. Spektrų sanklota..8. Dažnių juostos plotis Dažnių juostos pločio sąvoka yra svarbi dėl dviejų priežasčių. Visų pirma, radijo dažnių vartotojų skaičius nuolat auga, todėl svarbu tiksliai įvertinti kiekvienam vartotojui skiriamą dažnių intervalą, kad skirtingų vartotojų dažnių juostos nepersiklotų. Be to, į signalo dažnių juostos plotį reikia atsižvelgti, projektuojant elektrinius įrenginius, kurie apdoros tą signalą: šių įrenginių dažnių juostos plotis turi atitikti signalo dažnių juostos plotį. Yra žinoma, kad realiojo signalo amplitudžių spektras yra dvipusis, t.y., sudarytas iš dviejų dalių, kurios yra simetriškos atžvilgiu nulinio dažnio (žr. (..7)). Tas pats teiginys galioja ir galios spektriniam tankiui, nes jis proporingas signalo amplitudžių spektro kvadratui (žr. (.3.4)). Tačiau praktikoje, kalbant apie juostos plotį, turima omenyje tik teigiamųjų dažnių juosta. T.y., bendruoju atveju dažnių juostos plotis tai dviejų teigiamų dažnių skirtumas, kur >.

49 44 Jeigu signalas yra baigtinės trukmės, tuomet jo dažnių juostos plotis yra atvirkščiai proporingas signalo trukmei. Šį teiginį iliustruoja.. pav.: pavienio impulso spektro plotis yra atvirkščiai proporingas impulso trukmei T. Egzistuoja keletas dažnių juostos pločio apibrėžimų. Beveik visi jie signalo dažnių juostos plotį tiesiogiai arba netiesiogiai sieja su signalo galios spektrinio tankio P w () mažėjimo sparta, tolstant nuo maksimumo dažnio: kuo greičiau mažėja P w (), tuo mažesnis signalo dažnių juostos plotis. Jeigu kalbama apie elektrinio įtaiso (keturpolio) dažnių juostos plotį, tuomet vietoj galios spektrinio tankio turima omenyje to keturpolio galios perdavimo unkija. Tiesinio keturpolio atveju galios perdavimo unkija yra lygi dažninės amplitudės harakteristikos kvadratui H() (žr. (.6.9)). Todėl, norint pritaikyti kurį nors signalo dažnių juostos apibrėžimą tiesiniam keturpoliui, pakanka signalo galios spektrinį tankį P w () pakeisti dažninės amplitudės harakteristikos kvadratu H(). Keli konkretūs dažnių juostos pločio apibrėžimai pateikti žemiau:. 3 db lygio juostos plotis arba pusės galios juostos plotis tai dažnių skirtumas, kur ir parinkti taip, kad intervale < < galios spektrinis tankis būtų nemažesnis už pusę maksimalaus galios spektrinio tankio. Pvz.,.6. pav. pavaizduoto žemųjų dažnių RC iltro galios spektro 3 db lygio dažnių juostos plotis lygus iltro ribiniam dažniui = /(πrc).. Pirmojo nulio juostos plotis (null-to-null bandwidth; zero-rossing bandwidth) tai dažnių skirtumas, kur yra pirmasis amplitudžių spektro nulis virš šio spektro maksimumo dažnio, o yra artimiausias amplitudžių spektro nulis žemiau maksimumo dažnio. Jeigu žemiau maksimumo iki pat nulinio dažnio amplitudžių spektras neturi nulių arba maksimumas yra ties nuliniu dažniu, tuomet =. Pvz., T trukmės stačiakampio impulso pirmojo nulio dažnių juostos plotis lygus /T (žr...a pav.). 3. Absoliutinis juostos plotis tai dažnių skirtumas, kur ir parinkti taip, kad spektras būtų lygus nuliui už intervalo < < ribų. Pvz., sin(x)/x pavidalo impulso absoliutinis dažnių juostos plotis yra atvirkštinis impulso trukmei nuo nulio iki nulio (žr...b pav.). 4. Riboto spektro juostos plotis (bounded spetrum bandwidth) tai dažnių skirtumas, kur ir parinkti taip, kad už intervalo < < ribų galios spektrinis tankis būtų ne didesnis už tam tikrą lygį, pvz., bent 5 db žemiau galios spektrinio tankio maksimumo. 5. Galios juostos plotis (power bandwidth) tai dažnių skirtumas, kur ir parinkti taip, kad intervale < < būtų sutelkti 99 % viso signalo galios. 6. Ekvivalentusis juostos plotis (equivalent bandwidth; equivalent noise bandwidth) tai tariamojo stačiakampio spektro plotis, kuriame sutelkta tokia pati galia, kaip ir tikrojo signalo teigiamųjų dažnių srityje, laikant, kad šio stačiakampio spektro aukštis yra lygus duotojo signalo didžiausiam galios spektriniam tankiui. Taigi, laikant, kad yra signalo w( galios spektrinio tankio maksimumo dažnis, ekvivalentusis juostos plotis lygus Beq = Pw ( ) d ; (.8.) Pw ( ) čia P w () yra signalo w( galios spektrinis tankis.

50 45.9. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai Pavyzdys Nr. v( yra periodinis signalas, kuris pavaizduotas.9. pav. Šio signalo periodas lygus T = s. Laiko intervale < t < v( = e t. Apskaičiuokite šio signalo vidurkį V d = v( ir eektinį vidurkį V rms = v ( t ). Sprendimas Bendruoju atveju vidurkis skaičiuojamas pagal ormulę (..3). Tačiau periodinės unkijos atveju pakanka integruoti tik vieno periodo atžvilgiu: T t Vd = v ( = v( dt = e dt = e e = e =.7 V. T Analogiškai apskaičiuojamas ir kvadrato vidurkis:.9. pav. Vadinasi, V rms T t v ( = v ( dt = ( e ) dt = ( e e ) = 3.9 V. = T V = 3.9 =.79 V. rms Pavyzdys Nr. Periodinė įtampa, kuri pavaizduota.9. pav., yra prijungta prie 6 Ω varžinės apkrovos. Šio signalo periodas lygus T = s, o laiko intervale < t < v( = e t. Apskaičiuokite vidutinę srovės galią apkrovoje ir išreiškite ją dbm vienetais (deibelai mw atžvilgiu). Sprendimas Pagal ormulę (..4), Vrms (.79) P = = = 5.3 mw. R 6

51 46 Išreiškus šią galią dbm vienetais, 3 P 5.3 lg lg = 7.6 dbm 3 = 3. Pastaba: Didžiausioji momentinė galia lygi v ( ( e) max[ p( ] = max[ v ( i( ] = max = =.3 mw. R 6 Pavyzdys Nr. 3 Apskaičiuokite signalo spektrą W(). t 5 w( = Π + 8sin(6πt ) Sprendimas Signalo w( spektras yra stačiakampio impulso ir sinusoidės spektrų suma. Pagal lentelę B- (žr. priedą), entruotojo stačiakampio impulso Π(t/) spektras yra t sin(π ) F Π = Sa(π ). π ) t 5 t Funkija Π gaunama, užvėlinus entruotąjį impulsą Π dydžiu T d = 5. Pagal vėlinimo teoremą (žr. priedo lentelę B-), t t j j F 5 π 5 sin(π ) π Π F e = e = Π. π ) Dėmenį 8sin(6π galima užrašyti šitaip: π 8sin(6πt ) = 8os 6πt. Pagal lenteles B- ir B-, šios unkijos spektras lygus π π 8 jπ / jπ / F 8os 6πt = 8 os 6 = ( 3) + ( F πt e δ e δ ± Atsižvelgus į tai, kad e j π / = ± j, F[ 8sin(6π ] = j4[ δ ( + 3) δ ( 3)]. Taigi, sin(π ) jπ W ( ) = e + j4[ δ ( + 3) δ ( 3)]. π ) [ + 3) ]. Pavyzdys Nr. 4 Apskaičiuokite signalo spektrą W(). w( = 5 5e t u( Sprendimas Pagal Furjė transormaijos apibrėžimą (..),

52 47 jωt j πt t j πt W ( ) = w( e dt = 5e dt 5e e dt. Pagal δ unkijos integralinę išraišką (..6), pirmasis integralas lygus 5δ(). Antrasis integralas lygus (+ jπ ) t t j πt (+ jπ ) t e 5 5e e dt = 5 e dt = 5 =. ( + jπ ) + jπ Taigi, 5 W ( ) = 5δ ( ). + jπ Pavyzdys Nr. 5 Įrodykite, kad unkijos φ ( = Π( ir φ ( = sin πt yra ortogonalios intervale -.5 < t <.5. Sprendimas Reikia įrodyti, kad unkijų φ ( ir φ ( sandaugos integralas nuo a = -.5 iki b =.5 yra lygus nuliui (žr. ortogonalumo sąlygą (.4.)). Šis integralas lygus b a.5 os πt ϕ ( ϕ ( dt = sin(πt ) dt = = [osπ os( π )] = π π Pastaba: Analogiškai galima įsitikinti, kad šios dvi unkijos nėra ortogonalios intervale < t <. Taip yra todėl, kad Π( =, kai t >.5. Vadinasi, šiuo atveju unkija sin(π integruojama nuo iki.5, o šis integralas nėra lygus nuliui. Pavyzdys Nr. 6 Apskaičiuokite.9. pav. pavaizduoto signalo kompleksinės Furjė eilutės koeiientus n ir šio signalo galios spektrinį tankį. Šio signalo periodas lygus T = s, o laiko intervale < t < v( = e t. Sprendimas Kompleksinė Furjė eilutė apibrėžiama sąryšiu (.5.), o jos koeiientai skaičiuojami pagal ormulę (.5.3). Kadangi šiuo atveju signalas yra periodinis, Furjė eilutės parametras T sutampa su signalo periodu T =, o integralo (.5.3) reikšmė nepriklauso nuo apatinio integravimo rėžio a. Laikysime, kad a =. Tuomet, turint omenyje, kad ω = π = π/t = = π, n = v( e jnπt dt = t e e jnπt ( e dt = j πn) t jπn. e = =.7 jπn. j6.8n Taigi, j πnt v ( =.7 e. n= j6.8n Bet kurio periodinio signalo galios spektrinis tankis skaičiuojamas pagal ormulę (.5.3). Įrašę gautąją n išraišką į (.5.3), randame P ( ) =.95 ( n 39.48n δ ). n=

53 48 Uždaviniai.. Įrodykite, kad harmoninio signalo, kurio amplitudė A, o dažnis, eektinis vidurkis lygus A /... Įtampos kritimas apkrovoje yra lygus v ( = A osωt, o srovės stipris apkrovoje yra teigiamų ir neigiamų stačiakampių impulsų seka t nt t nt ( T / ) i( = I Π Π, n= T / T / kur ω = π/t, T = s, A = V, o I = 5 ma. (a) Raskite momentinės galios prieklausos nuo laiko išraišką ir pavaizduokite ją graiškai. (b) Apskaičiuokite vidutinę galią..3. Stiprintuvo įėjime prijungtas harmoninės srovės šaltinis, kurio srovės eektinis vidurkis lygus I rms =.5 ma, o stiprintuvo išėjime prijungta 5 Ω apkrova. Stiprintuvo įėjimo varža lygi kω, o išėjimo varža lygi Ω. Apskaičiuokite ir išreiškite deibelais šio grandyno stiprinimo koeiientą..4. Apskaičiuokite šio signalo spektrą: e w( =, αt, t t <.5. Apskaičiuokite Gauso unkijos pavidalo signalo ( t / T ) π w( = e spektrą W() (dydis T turi įeiti į W() išraišką kaip parametras). Kaip keičiasi unkijų w( ir W() plotis, didėjant parametrui T? Pastaba: Sprendžiant šį uždavinį, reikia pasinaudoti sąryšiu (A-75)..6. Apskaičiuokite dviejų skirtingo dažnio harmoninių signalų sandaugos w( = sin π t os π t spektrą (skaičiuojant, reikia pasinaudoti lentele B-)..7. Apskaičiuokite trikampio signalo At, < t < T s( =, t arba t T spektrą W() (dydžiai A ir T turi įeiti į W() išraišką kaip parametrai)..8. Apskaičiuokite žemiau pavaizduoto signalo spektrą.

54 49.9. Yra žinomas signalo w( spektras: jπ W ( ) =. + jπ Raskite žemiau pateiktų signalų x( spektrus X(): (a) x ( = w(t + ). (b) ( ) = jt x t e w( t ) ; čia j yra menamasis vienetas. dw () x( =. dt (d) x( = w(... Įrodykite, kad: (a) Jeigu w( yra realioji lyginė laiko unkija, jos Furjė transormaija W() yra realioji unkija. (b) Jeigu w( yra realioji nelyginė laiko unkija, jos Furjė transormaija W() yra menamoji unkija... Įrodykite, kad dviejų signalų sandaugos w = w ( w ( ) spektras lygus ( t ( ) = W ( λ) W ( λ dλ ; W ) čia W () ir W () yra signalų w ( ir w ( Furjė transormaijos (spektrai)... Apskaičiuokite signalo ( = AΠ( t / T )sinω t spektrą. w.3. Duotas signalas w( = 5 + osωt ; čia ω = π, o = Hz. (a) Apskaičiuokite šio signalo autokoreliaijos unkiją R w (τ). (b) Apskaičiuokite šio signalo galios spektrinį tankį P w ()..4. Duotas signalas s ( = A os( ω t + ϕ) + A os( ωt + ϕ ). Raskite šio signalo eektinį vidurkį, kaip parametrų A ir A unkiją, šiais atvejais: (a) ω = ω ir ϕ = ϕ. (b) ω = ω ir ϕ = ϕ + π /. () ω = ω ir ϕ = ϕ + π. (d) ω = ω ir ϕ = ϕ. (e) ω = ω ir ϕ = ϕ + π..5. Įrodykite, kad begalinės δ unkijos pavidalo impulsų sekos spektras yra k= k= δ t kt ) ( δ ( k ) ; čia = /T. Pastaba: sprendžiant šį uždavinį, reikia pirmąją sumą išreikšti Furjė eilute, o po to apskaičiuoti jos Furjė transormaiją.

55 5.6. Žemiau pateiktuose graikuose yra pavaizduotos trys unkijos. (a) Įrodykite, kad šios unkijos yra ortogonalios intervale -4 < t < 4. (b) Raskite atitinkamą ortonormuotųjų unkijų rinkinį. () Išreiškite signalą, t 4 w ( =, t < arba t > 4 ortogonaliąja eilute, naudodami gautąsias ortonormuotąsias unkijas. (d) Apskaičiuokite gautosios ortogonaliosios eilutės vidutinį kvadratinį nuokrypį nuo signalo w(. Šiuo atveju vidutinį kvadratinį nuokrypį reikia skaičiuoti pagal ormulę 3 3 ε = w( akϕk ( w( akϕk ( dt. k= 8 4 k= (e) Pakartokite punktus () ir (d) signalui os( πt / 4), t 4 w( =, t < arba t > Įrodykite, kad kvadratūrinės Furjė eilutės (.5.9) bazinės unkijos os(nω ir sin(nω yra ortogonalios intervale a < t < a + T ; čia ω = π/t..8. Raskite žemiau pavaizduoto signalo kompleksinės Furjė eilutės koeiientų išraišką.

56 5.9. Periodinis signalas, kuris pavaizduotas.8 uždavinio sąlygoje, yra praleidžiamas pro αt tiesinį iltrą, kurio impulsinis atsakas yra h( = e u( ; čia t >, α >, o u( yra vienetinio šuolio unkija (žr. lentelę B-). (a) Raskite iltro išėjimo signalo y( = x( h( kompleksinės Furjė eilutės koeiientus. (b) Raskite išėjimo signalo y( vidutinę normuotąją galią... Išreiškite žemiau pavaizduotąjį signalą (a) kompleksine Furjė eilute, (b) kvadratūrine Furjė eilute... Duotas periodinis signalas s ( = p( t nt ), kur n= At, < t < T; p ( =, t arba t T; o T T. (a) Raskite kompleksinės Furjė eilutės koeiientus n. (b) Raskite kvadratūrinės Furjė eilutės koeiientus {x n, y n }. () Raskite polinės Furjė eilutės koeiientus {D n, φ n }... Įrodykite kompleksinės ir kvadratūrinės Furjė eilučių koeiientų sąryšį (.5.)..3. v( yra trikampis periodinis signalas, kuris pavaizduotas žemiau. (a) Raskite kompleksinę Furjė eilutę, kuri atitinka signalą v(. (b) Apskaičiuokite normuotąją vidutinę galią. () Apskaičiuokite ir pavaizduokite graiškai signalo v( amplitudžių spektrą. (d) Apskaičiuokite ir pavaizduokite graiškai signalo v( galios spektrinį tankį..4. Naudodamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais jz jz jz jz e e e + e sin z ir os z, j

57 5 įrodykite šias trigonometrines tapatybes: (a) os z os z = os( z z ) + os( z + z ), (b) sin z sin z = os( z z ) os( z + z ), () sin z os z = sin( z z ) + sin( z + z )..5. Duoti du kompleksiniai skaičiai = x + jy ir = x + jy ; čia x, x, y ir y yra realieji skaičiai. Įrodykite, kad * Re( )Re( ) = Re( ) + Re( )..6. Žemiau pateikta iltro shema:.5 μf.5 kω w( 8 Ω w( (a) Raskite šio iltro perdavimo unkiją. (b) Graiškai pavaizduokite amplitudžių ir azių spektrus. () Raskite šio iltro galios perdavimo unkiją. (d) Nubraižykite galios perdavimo unkijos graiką..7. Signalas x(, kurio galios spektrinis tankis π P x ( ) = (/ 4 ) + yra prijungtas prie žemiau pavaizduoto keturpolio: Ω, xt () 4 Ω yt ().5 F (a) Apskaičiuokite išėjimo signalo y( galios spektrinį tankį. (b) Apskaičiuokite signalo y( vidutinę normuotąją galią..8. Signalo x( galios spektrinis tankis lygus K P x ( ) = ; [ + ( π / B) ]

58 53 čia K ir B yra teigiamos konstantos. (a) Išreiškite šio signalo 3-dB lygio dažnių juostos plotį. (b) Išreiškite šio signalo ekvivalentųjį dažnių juostos plotį. = π + π yra praleidžiamas pro žemųjų dažnių.9. Signalas x.5 +.5os(.5sin( V ( 3 3 RC iltrą (žr..6.a pav.), kurio R = Ω, o C = F. (a) Apskaičiuokite įėjimo signalo x( galios spektrinį tankį P x (). (b) Apskaičiuokite išėjimo signalo y( galios spektrinį tankį P y (). () Apskaičiuokite išėjimo signalo vidutinę normuotąją galią P y..3. Žemiau pateikta keterinio iltro (omb ilter) struktūrinė shema. + xt () yt () Vėlinimas T d Σ - Vėlinimas lygus T d =.. (a) Graiškai pavaizduokite šio iltro dažninę amplitudės harakteristiką. (b) Graiškai pavaizduokite šio iltro išėjimo signalo y( amplitudžių spektrą Y(), kai įėjimo signalas yra x( = Π( t / T ), kur T =..3. Duotas trikampio impulso ormos signalas: s( = Λ( t / T ). (a) Raskite šio signalo absoliutinį dažnių juostos plotį. (b) Išreiškite šio signalo 3 db lygio juostos plotį. () Išreiškite šio signalo ekvivalentųjį juostos plotį. (d) Išreiškite šio signalo pirmojo nulio juostos plotį.

59 54 3. SKAITMENINIŲ IMPULSINIŲ SIGNALŲ PERDAVIMAS Šiame skyriuje bus kalbama apie tai, kaip užkoduoti analoginį signalą impulsų seka, kaip tą impulsų seką paversti skaitmeniniu signalu ir kaip apdoroti skaitmeninį signalą, kad jo dažnių juostos plotis būtų kuo mažesnis. Skaitmeniniai signalai yra plačiai naudojami dėl palyginti žemos skaitmeninių grandinių kainos ir dėl to, kad skaitmeninius duomenis iš skaitmeninių inormaijos šaltinių galima apjungti su užkoduotais skaitmeniniu pavidalu duomenim, kurie gauti iš analoginių inormaijos šaltinių, ir tokiu būdu sukurti bendros paskirties telekomunikaijų sistemą. Šio skyriaus pagrindinės temos yra šios: Analoginių signalų keitimas skaitmeniniais signalais. Skaitmeninių signalų spektro skaičiavimas. Filtravimo įtaka impulsinio signalo kokybei. Kelių skaitmeninių duomenų srautų laikinis sutankinimas į vieną skaitmeninį srautą. 3.. Impulsų amplitudės moduliavimas Impulsų amplitudės moduliavimu (pulse amplitude modulation, PAM) vadinamas analoginio signalo keitimas impulsiniu signalu, kuriame analoginę inormaiją nusako impulsų amplitudės. Šį PAM signalą galima pakeisti skaitmeniniu signalu, kuris moduliuoja nešlį arba tiesiogiai perduodamas kanalu. Todėl analoginio signalo keitimas PAM signalu yra pirmasis žingsnis, perduodant analoginį signalą skaitmenine ryšių sistema. Naudojant impulsų amplitudės moduliavimą, perduodamasis analoginis inormainis signalas pakeičiamas kitokio pavidalo signalu, kuris yra impulsų pavidalo, tačiau turi visą inormaiją, kuri buvo pradiniame signale. Tokio tipo signalo keitimas jau buvo minimas.7. poskyryje, kur buvo kalbama apie analoginio signalo keitimą δ unkijos pavidalo impulsų seka. Naudojant bendrojo pavidalo (t.y., baigtinio pločio) impulsus, taip pat galioja išvada, kuri buvo suormuluota.7. poskyryje ir.7. poskyryje (imties teorema): kad PAM signalas pilnai nusakytų pradinį analoginį inormainį signalą, impulsų dažnis s turi būti nemažesnis už Naikvisto dažnį (.7.), t.y., s B, kur B yra analoginio signalo ribinis dažnis (žemadažnio signalo atveju ribinis dažnis sutampa su signalo dažnių juostos pločiu). Egzistuoja du PAM signalų gavimo būdai: natūralusis ėmimas ir momentinis ėmimas. Natūraliojo ėmimo atveju PAM signalo kitimas impulso metu tiksliai atitinka pradinio signalo kitimą tame laiko intervale (žr. 3.. pav.). Momentinio ėmimo atveju visi PAM signalo impulsai yra stačiakampiai, o jų amplitudės nusako pradinio signalo vertes diskrečiais laiko momentais (žr pav.). Stačiakampių impulsų seką lengviau paversti skaitmeniniu signalu, tačiau natūraliojo ėmimo PAM signalą lengviau generuoti Natūralusis ėmimas Natūraliojo ėmimo PAM signalo generavimui pakanka paprasto elektroninio jungiklio (žr. 3.. pav.). Natūraliojo ėmimo PAM signalą w s ( matematiškai apibrėžia lygybė w s ( = w(s(, (3..) kur s( yra perjungimo signalas (swithing signal). Natūraliojo ėmimo atveju perjungimo signalas yra periodinė stačiakampių τ trukmės impulsų seka (žr. 3..b pav.) t kt s( = Π s, (3..) k = τ kurios periodas T s = / s /(B).

60 pav. Natūraliojo ėmimo PAM signalas. a pradinis signalas, b perjungimo signalas, galutinis natūraliojo ėmimo PAM signalas. 3.. pav. Natūraliojo ėmimo PAM signalo generavimas.

61 56 Rasime natūraliojo ėmimo PAM signalo (3..) spektrą. Funkijų sandaugos (3..) Furjė transormaija yra lygi jų spektrų sąsūkai (žr. B- lentelę): W s ( ) = W ( ) * S( ), (3..3) kur S() yra perjungimo signalo (3..) spektras. Kadangi s( yra periodinė unkija, jos spektrą galima skaičiuoti pagal (.5.) ormulę, kur = s : o n yra Furjė eilutės (.5.) koeiientai: n= n ( n s n= S ( ) = δ ), (3..4) n= n n= jnωst s( = e, (3..5) kur ω s = π s (žr. periodinių signalo Furjė eilučių aprašymą.5. poskyryje). Įrašę (3..4) į (3..3) ir pasinaudoję tuo, kad unkijos W() ir δ unkijos sąsūka sutampa su W() (žr. (..5b)), randame n= nw ( n s n= W ( ) = ). (3..6) Periodinės unkijos Furjė eilutės koeiientus n galima apskaičiuoti pagal (.5.8) ormulę, kur H() yra vieno periodo spektras, = s, o T = T s : = H n ). (3..7) Kadangi šiuo atveju taškas t = atitinka impulso entrą (žr. 3..b pav.), tai H() sutampa su entruotojo stačiakampio τ trukmės impulso Furjė transormaija (..3), kur T = τ. Vadinasi, sin( πnτ s ) sin( πnd) sin( πnd ) n = sτ d =, (3..8) πnτs πnd πn kur d yra impulso trukmės ir impulsų periodo santykis: d τ/t s = τ s. (3..9) Įrašę (3..8) į (3..6), randame sinπnd W s( ) = F[ ws ( ] = d W ( ns ). (3..) n= πnd Vadinasi, natūraliojo ėmimo PAM signalo spektras skiriasi nuo nulio atskiruose dažnių intervaluose, kurių kiekvieno plotis lygus dvigubam pradinio signalo dažnių juostos pločiui B ir kurie pasislinkę vienas kito atžvilgiu impulsų dažniu s (žr. 3..3b pav.). Be to, n- tajame dažnių intervale (n s B < < n s + B) spektras yra lygus pradinio signalo spektrui, sin(π nd) padaugintam iš pastovaus daugiklio d. πnd 3..3 pav. matyti, kad PAM signalo spektro plotis yra žymiai didesnis už pradinio analoginio signalo spektro plotį. Pvz., spektro pirmojo nulio padėtis sutampa su dažnio sin(πτ ) unkijos pirmojo nulio padėtimi /τ. Vadinasi, jeigu, pvz., d = /3, tuomet PAM πτ signalo spektro pirmojo nulio dažnis yra /(dt s ) = 3/T s = 3 s 6B. Priėmus PAM signalą, pradinį analoginį signalą galima atstatyti, praleidus PAM signalą pro žemųjų dažnių iltrą, kurio ribinis dažnis r tenkina nelygybę B < r < s B (žr. 3..3b pav.). Priimtasis signalas skirsis nuo pradinio signalo tik pastoviu daugikliu d = τ/t s sinπnd (kai n =, d = d ), kurį galima kompensuoti, naudojant stiprintuvą. Be to, 3..3b pav. πnd matyti, kad priimtajame signale nėra iškraipymų tik tuo atveju, kai s B, nes priešingu n s ( s

62 pav. Natūraliojo ėmimo PAM signalo spektras. a įėjimo signalo amplitudžių spektras, b atitinkamo natūraliojo ėmimo PAM signalo amplitudžių spektras. atveju pradinio signalo spektro kopijos persikloja (žr..7. poskyrį). Tai yra dar vienas Naikvisto ėmimo spartos (.7.) reikalavimo pavyzdys. Praktikoje visiškai išvengti spektrų sanklotos neįmanoma, nes visi realieji signalai yra baigtinės trukmės, todėl jų absoliutinis dažnių juostos plotis yra begalinis (žr..7 poskyrį). Siekiant sumažinti tokio pobūdžio signalų iškraipymus, prieš PAM signalo ormavimą analoginis inormainis signalas dažniausiai praleidžiamas pro žemųjų dažnių iltrą, kurio ribinis dažnis yra nedidesnis už s /. Pradinį analoginį signalą galima atkurti ne tik pagal entrinę jo spektro kopiją PAM signalo spektre (t.y., pagal PAM signalo spektro dalį, kuri yra dažnių intervale nuo iki B), bet ir pagal bet kurią kitą PAM signalo spektro dalį. Kartais tokiu būdu atkurtas signalas yra mažiau iškraipytas, negu signalas, kuris gautas iš entrinės dalies. Taip yra dėl žemųjų dažnių triukšmo PAM signale. Pvz., maitinimo įtampos pulsaijos arba įrenginio mehaninė vibraija gali sukelti triukšmą, kurio spektras persikloja su PAM signalo žemųjų dažnių sritimi, tačiau neturi įtakos toms spektro sritims, kurios atitinka n =, ir t.t. Tokiais atvejais priimtasis PAM signalas apdorojamas tokiu būdu, kad jo spektras pasislinktų į žemųjų dažnių pusę atstumu n s (n =,, ). Tuo tikslu PAM signalas padauginamas iš sinusoidės pavidalo signalo, kurio dažnis lygus n s (n =,, ) (žr. realiojo signalo dažnio poslinkio teoremą B- lentelėje; apie tokios signalo transormaijos įtaką signalo spektrui taip pat kalbama 4 skyriuje). Tokiu būdu suormuoto signalo spektro dalis, kuri yra dažnių intervale -B < < B, sutampa su priimtojo PAM signalo spektro dalimi, kuri yra dažnių intervale n s B < < n s + B. Ši spektro dalis išskiriama, naudojant žemųjų dažnių iltrą (žr pav.).

63 pav. Natūraliojo ėmimo PAM signalo demoduliavimas Momentinis ėmimas Analoginį signalą galima paversti PAM signalu, kuriame kiekvieno impulso amplitudė sutampa su analoginio signalo verte tam tikru laiko momentu. Pvz., 3..5 pav. kiekvieno impulso amplitudė sutampa su analoginio signalo w( verte laiko momentu, atitinkančiu impulso entrą. Toks analoginio signalo keitimas PAM signalu vadinamas momentiniu ėmimu. Matematiškai momentinio ėmimo signalas w s ( apibrėžiamas šitaip: k = w ( = w( kt ) h( t kt ), (3..) s kur T s = / s yra impulsų periodas, o h( nusako entruotąjį stačiakampį τ < T s trukmės vienetinį impulsą: t, t < τ / ; h ( = Π = (3..) τ, t > τ /. Kaip ir natūraliojo ėmimo atveju, momentinio ėmimo sparta s turi būti nemažesnė už Naikvisto dažnį B. Rasime momentinio ėmimo PAM signalo (3..) spektrą. Visų pirma signalo išraišką (3..) perrašysime, pasinaudoję tuo, kad bet kurią unkiją galima pakeisti tos unkijos ir δ unkijos sąsūka (žr. (..5b)): = = = ws ( w( kts ) h( * δ ( t kts ) h( * w( kts ) δ ( t kts ) h( * w( δ ( t kts ). (3..3) k = k = k = Atsižvelgę į tai, kad: ) sąsūkos spektras lygus spektrų sandaugai, ) sandaugos spektras lygus spektrų sąsūkai, 3) δ unkijos spektras lygus vienetinei unkijai (žr. (..6)), ir pasinaudoję vėlinimo teorema (žr. B- lentelę), gauname tokią ėmimo signalo (3..3) spektro išraišką: = jπkts Ws ( ) H ( ) W ( ) * e, (3..4) k = kur H() yra stačiakampio τ trukmės impulso spektras (žr. (..3)): sin( πτ ) sin( πτ ) H ( ) = τ =. (3..5) πτ π Suma (3..4) lygybės dešiniojoje pusėje tai Furjė eilutė, kurios argumentas yra dažnis, o visi koeiientai lygūs vienetui. Kadangi (3..4) lygybė galioja, esant visiems dažniams, tai s s

64 pav. Momentinio ėmimo PAM signalas. a pradinis analoginis signalas, b imties signalas, galutinis momentinio ėmimo PAM signalas. ši suma yra periodinės dažnio unkijos, kurios periodas lygus /T s s, išraiška Furjė eilute (žr..5. poskyrį). Žinome, kad periodinės unkijos Furjė koeiientus galima išreikšti vieno periodo spektru pagal (.5.8) ormulę. Vadinasi, vienas periodas šiuo atveju tai dažnio unkija, kurios Furjė transormaija lygi konstantai s /T s. Konstantos atvirkštinė Furjė transormaija tai δ unkija, padauginta iš tos konstantos (žr. (..6)). Vadinasi, suma lygybės (3..4) dešiniojoje pusėje tai periodinė δ unkijų seka: jπkt s F δ ( t kts ) = e = δ ( ks ). (3..6) k = k = Ts k = (antroji lygybė tai Puasono sumos ormulė (.5.5)). Įrašę (3..6) į (3..4), randame Ws ( ) = H ( ) W ( ) * δ ( k s ) = H ( ) W ( k s ). (3..7) Ts k = Ts k = Atskiru atveju, kai h( yra δ unkijos pavidalo, (3..7) lygybė virsta impulsinio ėmimo signalo spektro išraiška (.7.5).

65 6 Momentinio ėmimo PAM spektras, kai pradinio signalo spektras yra stačiakampis, pavaizduotas 3..6b pav. Palyginus su natūraliojo ėmimo PAM signalo spektru (3..) (žr. 3..3b pav.), matyti, kad šiuo atveju kiekviena pradinio signalo spektro kopija dauginama ne iš pastovaus daugiklio sinπnd d π nd, o iš dažnio unkijos H(). Todėl momentinio ėmimo signalo spektro dalys, esančios spektro srityse n s - B < < n s + B (n =, ±, ±, ), savo pavidalu šiek tiek skiriasi nuo pradinio analoginio signalo spektro W(). Pvz., jeigu pradinis signalas atkuriamas, naudojant žemųjų dažnių iltrą, kurio ribinis dažnis r tenkina nelygybę B < r < s B, tuomet priimtajame signale santykinis aukštųjų dažnių indėlis yra šiek tiek sumažintas, lyginant su pradiniu signalu. Šiuos nuostolius galima sumažinti, naudojant mažesnę impulsų trukmę τ arba naudojant speialų žemųjų dažnių iltrą, kurio perdavimo unkija yra proporinga /H(). Toks iltras vadinamas išlyginimo iltru. Analoginio signalo, kuris atkurtas pagal PAM signalą, naudojant žemųjų dažnių iltrą, amplitudė yra T s /τ kartų sumažinta, lyginant su pradiniu signalu. Tai galioja ir natūraliajai imčiai (žr. (3..)), ir momentinei imčiai (žr. (3..7) ir (3..5)). Todėl impulso trukmė τ dar vadinama apertūra pav. Momentinio ėmimo PAM signalo spektras. a pradinio signalo amplitudžių spektras, b atitinkamo momentinio ėmimo PAM signalo amplitudžių spektras. Momentinio ėmimo PAM signalo spektro plotis yra toks pats, kaip ir natūraliojo ėmimo PAM signalo spektro plotis: pirmojo nulio dažnis lygus /τ (žr. 3..6b pav.). Dėl mažos impulso trukmės τ PAM signalo perdavimas kanalu reikalauja labai plačios dažnių juostos. Ši dažnių juosta yra žymiai platesnė už pradinio analoginio signalo dažnių juostą. Be to, triukšmas priimtajame PAM signale negali būti mažesnis už tą triukšmą, kuris atsirastų, jeigu pradinis analoginis signalas būtų perduodamas tiesiogiai. Todėl PAM signalas nėra tinkamas tiesioginiam perdavimui dideliais atstumais. Pagrindinė impulsų amplitudės moduliavimo paskirtis paruošti analoginį inormainį signalą transormavimui į kodinio

66 6 impulsinio moduliavimo signalą. Be to, impulsų amplitudės moduliavimas suteikia galimybę suskaidyti signalą į laiko intervalus. Į atsiradusius laisvus laiko tarpus galima įterpti kitų šaltinių signalus ir tokiu būdu vienu metu perduoti inormaiją iš kelių šaltinių. Ši kanalo sutankinimo metodika vadinama laikiniu sutankinimu. Apie laikinį sutankinimą bus smulkiau kalbama 3.8 poskyryje. 3.. Kodinis impulsinis moduliavimas Kodinis impulsinis moduliavimas (pulse ode modulation, PCM) tai toks analoginio signalo keitimo skaitmeniniu signalu būdas, kai inormaija apie analoginio signalo vertes diskrečiais laiko momentais yra perduodama skaitmeninių žodžių pavidalu nuosekliajame bitų sraute. Laikant, kad kiekvienas skaitmeninis žodis tai dvejetainis skaičius, kuris sudarytas iš n dvejetainių skaitmenų, egzistuoja M = n skirtingų kodinių žodžių, ir kiekvienas kodinis žodis nusako tam tikrą analoginio signalo vertę. Tačiau analoginio signalo vertės gali būti kiek norima artimos viena kitai, todėl nebūtinai sutampa su kodinių žodžių nusakomom vertėm. Tokiais atvejais naudojamas tas kodinis žodis, kurio nusakoma vertė yra artimiausia tikrajai analoginio signalo vertei. Šis proesas vadinamas kvantavimu. T.y., tikroji imties vertė w(kt s ) pakeičiama artimiausia leistina verte, kurių kiekviena atitinka vieną kodinį žodį. Šios vertės vadinamos kvantavimo lygiais. Kodinis impulsinis moduliavimas yra plačiai naudojamas dėl šių priežasčių: PCM sistemų pagrindą sudaro palyginti pigios skaitmeninės grandinės. PCM signalus, kurie suormuoti iš įvairių analoginių šaltinių signalų, galima apjungti su duomenų signalais (pvz., skaitmeninių kompiuterių signalais) ir perduoti viena greitaeige skaitmenine duomenų sistema, naudojant laikinį sutankinimą. Didelio nuotolio skaitmeninėse teleono ryšių sistemose, kuriose naudojami retransliatoriai, kiekvieno retransliatoriaus išėjime galima atkurti neiškraipytą PCM signalą, nors įėjimo signalas yra iškraipytas triukšmo. Tačiau triukšmas įėjime gali sąlygoti bitų klaidas atkurtajame PCM signale. Skaitmeninių sistemų atsparumas triukšmui yra didesnis, lyginant su analoginėm sistemom. Šie kodinio impulsinio moduliavimo pranašumai dažniausiai yra svarbesni už pagrindinį jo trūkumą: PCM signalo dažnių juostos plotis yra žymiai didesnis už atitinkamo analoginio signalo dažnių juostos plotį Ėmimas, kvantavimas ir kodavimas PCM signalas generuojamas trim etapais: ėmimas, kvantavimas ir kodavimas. Visą PCM signalo perdavimo proesą iliustruoja 3.. pav. Visų pirma analoginis signalas praleidžiamas pro žemųjų dažnių iltrą, siekiant sumažinti PAM signalo iškraipymus dėl spektrų sanklotos eekto (žr..7. poskyrį). Po to signalas patenka į diskretizatorių, kuris generuoja stačiakampių impulsų pavidalo momentinio ėmimo PAM signalą. Kvantuotuvas šį signalą pakeičia impulsais, kurių amplitudės atitinka skaitmeninius žodžius. Šis kvantuotasis PAM signalas perduodamas į koduotuvą, kuris kiekvieną impulsą pakeičia kodinių impulsų seka, t.y., generuoja galutinį PCM signalą. Jeigu signalas perduodamas dideliu atstumu, kanale gali būti keli regenerainiai retransliatoriai, kurie išvalo triukšmo iškraipytą PCM signalą. Regeneravimo grandinė yra ir imtuvo įėjime. Imtuvo dekoderis dekoduoja priimtąjį PCM signalą, t.y., paverčia jį kvantuotuoju PAM signalu. Šis signalas praleidžiamas pro žemųjų dažnių iltrą, ir tokiu būdu atstatomas pradinis signalas (žr. 3.. poskyrį).

67 6 PCM 3.. pav. PCM sistemos shema

68 3.. pav. Signalai PCM sistemoje. a kvantuotuvo harakteristika, b pradinis analoginis signalas, momentinio ėmimo PAM signalas ir kvantuotasis PAM signalas, kvantavimo paklaidos signalas, d galutinis PCM signalas. 63

69 64 Pagal kvantuotąjį PAM signalą atkurtas analoginis signalas visuomet šiek tiek skiriasi nuo pradinio analoginio signalo, nes kvantuotojo PAM signalo impulsų amplitudės šiek tiek skiriasi nuo tikrųjų pradinio signalo verčių atitinkamais laiko momentais. Tai akivaizdu 3.. pav., kuris iliustruoja kvantavimo operaiją, kai kvantavimo lygių skaičius lygus M = a pav. pavaizduota kvantuotuvo harakteristika, t.y., kvantuotuvo išėjimo įtampos priklausomybė nuo įėjimo įtampos. Įėjimo įtampos verčių intervalas tarp gretimų harakteristikos laiptelių vadinamas kvantavimo žingsniu (pvz., 3..a pav. kvantavimo žingsnis lygus V). Dėl tokios harakteristikos tolydusis įėjimo signalas pakeičiamas laiptiniu signalu (žr. 3..b pav.). T.y., dėl kvantavimo atsiranda kvantavimo triukšmas arba paklaidos signalas, kurį nusako pradinio momentinio ėmimo PAM signalo ir kvantuotuvo išėjimo signalo skirtumas (žr. 3.. pav.). Kvantavimo triukšmas tai apvalinimo paklaida. Šios paklaidos didžiausia vertė lygi pusei kvantuotuvo išėjimo įtampos mažiausio pokyčio (3.. pav. atveju šis pokytis lygus yra V, todėl kvantavimo paklaida neviršija ± V). PCM signalas gaunamas iš kvantuotojo PAM signalo, užkoduojant kiekvieno impulso amplitudę skaitmeninio žodžio pavidalu. Praktikoje naudojami įvairūs kodai. Pvz., 3.. lentelėje pateiktas Grėjaus kodas aštuonių kvantavimo lygių atvejui (4 teigiami lygiai ir 4 priešingi lygiai). Kaip matome, priešingi lygiai vaizduojami papildomuoju kodu, t.y.: ) ženklą nusako pirmasis (kairysis) bitas, ) kiekvieną kodinį žodį galima gauti iš priešingą lygį nusakančio žodžio, pakeitus visus vienetus nuliais, o nulius vienetais (įskaitant ženklo bitą), ir pridėjus vienetą (neįskaitant ženklo bito). Grėjaus kodo privalumas yra tas, kad, dėl kanalo triukšmo pasikeitus bet kuriam dvejetainio žodžio bitui, išskyrus ženklo bitą, kvantuotojo PAM signalo vertė virsta gretima to paties ženklo verte, t.y., paklaida yra mažiausia. 3..d pav. pateiktas PCM signalas, atitinkantis 3..b pav. pavaizduotą analoginį signalą, kai naudojamas Grėjaus kodas. 3.. lentelė. Trijų bitų Grėjaus kodas (kvantavimo lygių skaičius M = 3 = 8) Kvantavimo lygis (V) Kodinis žodis Bendruoju atveju PCM signalą gali sudaryti ir kito pagrindo (ne dvejetainiai) skaitmeniniai žodžiai, t.y., signalas gali būti ne dvilygis, o daugialygis. Daugialygių signalų dažnių juostos plotis žymiai mažesnis, negu dvilygių, tačiau jų generavimui reikalinga žymiai sudėtingesnė aparatūra (apie daugialygius signalus smulkiau kalbama poskyryje) Kodinio impulsinio moduliavimo signalo dažnių juostos plotis 3. poskyryje PAM signalo spektras buvo išreikštas įėjimo analoginio signalo spektru (žr. (3..) ir (3..7)). Tokia išraiška buvo galima dėl to, kad PAM signalas yra įėjimo analoginio signalo tiesinė unkija, t.y., PAM signalą galima išreikšti įėjimo signalo ir kažkokios kitos unkijos sandauga (žr. (3..) ir (3..)). PCM signalas yra netiesinė įėjimo analoginio signalo unkija, todėl jo spektro neįmanoma tiesiogiai išreikšti įėjimo signalo spektru. PCM signalo dažnių juostos plotis priklauso nuo bitų spartos ir impulso ormos. Bitų sparta tai perduodamų bitų skaičius per laiko vienetą. Šis skaičius lygus ėmimo spartos ( s ) ir bitų skaičiaus viename PCM žodyje (įskaitant ir lyginumo bitus) sandaugai: R = n s. (3..)

70 65 Jeigu iš anksto žinoma tik bitų sparta, tačiau nežinoma PCM signalo impulso orma, tuomet galima įvertinti tik dažnių juostos pločio apatinę ribą: BPCM R = n s. (3..) T.y., PCM signalo dažnių juostos plotis yra nemažesnis už pusę bitų spartos. Be to, s turi tenkinti nelygybę s B, kur B yra įėjimo analoginio signalo dažnių juostos plotis (žr. 3.. poskyrį). Vadinasi, B PCM nb. (3..3) Konkreti dažnių juostos pločio vertė priklauso nuo impulsų ormos. Mažiausias dažnių juostos plotis (.5R =.5n s ) pasiekiamas tuomet, kai naudojami (sinx)/x pavidalo impulsai (žr...b pav.). Reikia atkreipti dėmesį į tai, kad (sinx)/x pavidalo impulsų atveju bito trukmę nusako pusė laiko intervalo tarp arčiausiai pagrindinio maksimumo esančių nulių, t.y., laiko intervalas, kurio metu sinuso argumentas pakinta dydžiu π (žr. eilutę (.7.3) ir.7.b pav.). Jeigu vienetus ir nulius atitinka vienodo didumo, tačiau priešingo poliarumo stačiakampiai impulsai, kurių trukmė sutampa su vieno bito trukme, tuomet pirmojo nulio dažnių juostos plotis yra du kartus didesnis: B PCM = R = n s nb. (3..4) Vadinasi, esant mažiausiai ėmimo spartai ( s = B) ir naudojant 6 bitų kodinius žodžius, tokio tipo PCM signalo dažnių juostos plotis yra 3 kartus didesnis už įėjimo analoginio signalo dažnių juostos plotį. Šio dažnių juostos pločio negalima sumažinti, naudojant žemųjų dažnių iltrą, nes priešingu atveju impulsai išplis ir persiklos, todėl imtuvo detektorius negalės jų išskirti. Šis reiškinys vadinamas tarpženkline intererenija (intersymbol intererene, ISI). Reikia turėti omenyje, kad (3..) (3..4) ormulėse n yra pilnasis perduodamo kodinio žodžio ilgis (įskaitant ir lyginumo bitus) Triukšmas PCM sistemos išėjimo analoginiame signale Egzistuoja du veiksniai, kurie sąlygoja triukšmą analoginiame inormainiame signale, kuris priimamas PCM sistemoje: Kvantavimo triukšmas, kurį sąlygoja kvantavimo žingsnio baigtinė vertė (žr. 3.. poskyrį). Bitų klaidos priimtajame PCM signale. Bitų klaidas sąlygoja kanalo triukšmas ir netinkamas signalo iltravimas, dėl kurio gali pasireikšti tarpženklinė intererenija. Be to, kaip minėta 3.. poskyryje, jeigu įėjimo analoginio signalo absoliutinis dažnių juostos plotis yra begalinis, tuomet išėjimo analoginis signalas yra papildomai iškraipomas dėl spektrų sanklotos eekto. Statistinės radioizikos metodais įrodoma, kad tuo atveju, kai imtuvo įėjimo analoginio signalo didžiausioji ir mažiausioji vertės sutampa su didžiausiuoju ir mažiausiuoju kvantavimo lygiais, o visos vertės šiame intervale yra vienodai tikėtinos, PCM sistemoje priimtojo analoginio signalo maksimalios galios ir vidutinės triukšmo galios santykis lygus S 3M =, (3..5a) N max out + 4( M ) P e kur M = n yra PCM sistemoje naudojamų kvantavimo lygių skaičius (čia n yra inormainių bitų skaičius kodiniame žodyje), o P e yra klaidingų bitų dažnis signale, kurį priima imtuvo analoginis skaitmenų keitiklis. Vidutinės signalo galios ir vidutinės triukšmo galios santykis yra 3 kartus mažesnis:

71 66 S M =. (3..5b) N out + 4( M ) P e Klaidingų bitų dažnį P e galima sumažinti, naudojant kanalo kodavimą (žr..5 poskyrį). Todėl daugumoje praktinių PCM sistemų klaidingų bitų dažnį P e galima laikyti lygiu nuliui. Tuomet vietoj (3..5) gauname ir S N max out = 3M, (3..6a) S = M. (3..6b) N out Pastarosios dvi ormulės galioja tuo atveju, kai egzistuoja tik kvantavimo triukšmas. Lygybės (3..5) ir (3..6) išvestos, laikant, kad PCM koduotuvo įėjimo analoginis signalas su vienoda tikimybe įgyja visas vertes tarp didžiausiojo ir mažiausiojo kvantavimo lygių, kuriems apskaičiuotas kvantuotuvas (pvz., kvantuotuvo, kurio harakteristika pavaizduota 3..a pav., ribiniai kvantavimo lygiai yra +8 V ir 8 V). Jeigu įėjimo analoginis signalas netenkina šios sąlygos, tuomet gali atsirasti kitokio pobūdžio kvantavimo triukšmas. Iš viso skiriamos keturios kvantavimo triukšmo rūšys: perkrovos triukšmas, atsitiktinis triukšmas, grūdėtasis triukšmas ir lygio neapibrėžtumo triukšmas. Perkrovos triukšmas (overload noise) atsiranda tada, kai kvantuotuvo įėjimo signalas viršija didžiausią kvantavimo lygį, kuriam apskaičiuotas kvantuotuvas. Tuomet analoginio signalo dalis, kuri išeina už kvantavimo intervalo ribų, yra nupjaunama, ir PCM sistemos išėjime atkurtasis analoginis signalas turi plokščius maksimumus. Atsitiktinį triukšmą (random noise) sukelia atsitiktinės kvantavimo paklaidos PCM sistemoje normaliomis veikimo sąlygomis, kai įėjimo signalo ribinės vertės sutampa su ribiniais kvantavimo lygiais arba yra tik nežymiai mažesnės už juos. (3..6) ormulės galioja tuomet, kai egzistuoja tik atsitiktinis triukšmas. Garso signale atsitiktinis triukšmas pasireiškia nuolatiniu šnypštimu, panašiu į baltąjį triukšmą. Jeigu įėjimo signalo amplitudė yra tik kelis kartus didesnė už kvantavimo žingsnį, tuomet kvantavimo paklaidos nustoja būti atsitiktinės. Garso signale toks kvantavimo triukšmas pasireiškia šiurkščiu garsu, panašiu į byrančio žvyro garsą. Toks triukšmas vadinamas grūdėtuoju triukšmu (granular noise). Grūdėtąjį triukšmą galima paversti atsitiktiniu (ir tuo pačiu sumažinti jo galią), didinant kvantavimo lygių skaičių M. Tačiau tuomet reikėtų didinti ir bitų spartą, t.y., signalo juostos plotį. Kitas būdas sumažinti grūdėtąjį triukšmą yra netolyginis kvantavimas, apie kurį kalbama 3..4 poskyryje. Ketvirtasis kvantavimo triukšmo tipas yra lygio neapibrėžtumo triukšmas (hunting noise). Toks triukšmas pasireiškia tuomet, kai įėjimo signalas yra beveik pastovus, o jo vertė artima vertikaliajam laipteliui kvantuotuvo harakteristikoje (žr. 3..a pav.). Šiomis sąlygomis kvantuotuvo išėjimo impulsų amplitudės gali osiliuoti tarp dviejų kaimyninių kvantavimo lygių. Tai pasireiškia pašaliniu harmoniniu signalu, kurio dažnis lygus.5 s. Lygio neapibrėžtumo triukšmas gali būti sumažintas, naudojant užtvarinį iltrą, kuris pašalina šį harmoninį signalą. Be to, šio tipo triukšmo galima išvengti, naudojant tokį kvantuotuvą, kurio harakteristika neturi vertikalaus laiptelio ties pastoviosiomis įėjimo signalo vertėmis. Pvz., vertikaliojo laiptelio neturi būti kvantuotuvo harakteristikos pradžioje (žr. 3..a pav.), kad lygio neapibrėžtumo triukšmo nebūtų, kai įėjime nėra jokio signalo (t.y., kai signalas yra nulinis). Kadangi M = n, signalo ir triukšmo galių santykio (3..6a) arba (3..6b) išraiška deibelais yra šitokia:

72 67 S = 6.n + α, (3..7) N db kur n yra bitų skaičius PCM žodyje, α = 4.77 maksimalaus santykio atveju (3..6a) ir α = vidurkių santykio atveju (3..6b). Iš šios lygybės išplaukia, kad PCM žodžio papildymas vienu bitu padidina signalo ir triukšmo galių santykį 6 db. Todėl (3..7) lygybė vadinama 6 db taisykle. 6 db taisyklė (3..7) galioja, esant įvairaus pavidalo įėjimo signalams ir įvairioms kvantuotuvo harakteristikoms (tačiau α vertė priklauso nuo šių veiksnių). Be to, laikoma, kad nėra klaidingų bitų ir kad egzistuoja tik atsitiktinis kvantavimo triukšmas (žr. aukščiau). Jeigu įėjimo signalas su didesne tikimybe įgyja mažas vertes, negu dideles vertes, tuomet 6 db taisyklė reikia galioti, tačiau pasikeičia dėmuo α (žr poskyrį) PCM sistemų projektavimo pavyzdžiai Tarkime, reikia perduoti garsinio dažnio signalą, kuris užima dažnių juostą nuo 3 Hz iki 34 Hz, dvejetaine PCM sistema. Vadinasi, ėmimo sparta turi būti nemažesnė už 3.4 = 6.8 khz. Praktikoje ėmimo sparta visuomet būna šiek tiek didesnė už dvigubą signalo dažnių juostos plotį. Pvz., skaitmeninėse teleono ryšių sistemose standartinė ėmimo sparta yra 8 khz. Tarkime, kad kiekvieną kodinį žodį sudaro 7 inormainiai bitai ir vienas lyginumo bitas (žr..5. poskyrį). Tuomet PCM signalo bitų sparta yra R = n s = (8 bitai/žodyje)(8k žodžių/s) = 64 kb/s. (3..8) Vadinasi, pagal (3..) nelygybę, PCM signalo dažnių juostos pločio teorinis minimumas yra lygus ( B ) min = R = 3 khz. (3..9) Šis mažiausias juostos plotis pasiekiamas tuo atveju, kai naudojami (sinx)/x pavidalo impulsai. Jeigu nulius ir vienetus atitinka priešingo poliarumo stačiakampiai impulsai, tuomet, pagal (3..4) ormulę, pirmojo nulio juostos plotis lygus (B) null = R = 64 khz. (3..) Vadinasi, norint perduoti 4 khz dažnių juostos pločio garso signalą, reikalingas 64 khz juostos pločio skaitmeninis PCM signalas. Didžiausią signalo ir kvantavimo triukšmo galių santykį nusako (3..6a) ormulė, kurioje M = 7, arba (3..7) ormulė, kurioje n yra inormainių bitų skaičius (n = 7), o α = Tokiu būdu randame: S 7 = 3( ) = = 46.9 db. (3..) N max out Taigi, lyginumo bitas neturi įtakos kvantavimo triukšmui. Tačiau kanalo kodavimas (lyginumo bitai) mažina bito klaidų, kurias sukelia kanalo triukšmas arba tarpženklinė intererenija, tikimybę P e. Šiame pavyzdyje buvo laikoma, kad P e =. Kitas pavyzdys: tarkime, kad reikia suprojektuoti PCM sistemą, kurios dinaminis diapazonas, perduodant aukštos kokybės garso signalus, yra 9 db. Dinaminis diapazonas apibrėžiamas kaip didžiausios ir mažiausios perduodamo signalo verčių santykis ir yra apytiksliai lygus signalo ir triukšmo vidutinių galių santykiui (3..6b) arba (3..7), kur α =. Iš (3..7) ormulės išplaukia, kad, norint pasiekti 9 db signalo ir triukšmo vidutinių galių santykį, reikia naudoti bent 9/6. 5 bitų ilgio kodinius žodžius (neįskaitant lyginumo bitų). Aukštos kokybės analoginio garso signalo dažnių juostos plotis yra khz. Vadinasi, jeigu PCM signalą sudaro priešingo poliarumo stačiakampiai impulsai, jo dažnių juostos plotis pagal (3..4) turi būti nemažesnis už 5 khz = 6 khz. Siekiant išvengti bito klaidų, kurias sukelia triukšmas ir tarpženklinė intererenija, ir atsižvelgiant į tai, kad ėmimo

73 68 sparta yra šiek tiek didesnė už khz = 4 khz, ir į tai, kad stereooninių signalų perdavimui reikalingi du kanalai (kairysis ir dešinysis), bendrasis reikalingas ryšių kanalo dažnių juostos plotis turėtų būtų dar didesnis maždaug.5 MHz. Todėl aukštos kokybės skaitmeninių garso signalų įrašymui ir atkūrimui reikalingi vaizdo magnetoonų tipo įrenginiai arba kompaktiniai diskai. Kompaktinis diskas naudoja 6 bitų ilgio PCM žodį ir 44. khz ėmimo spartą kiekviename iš dviejų garso kanalų Netolyginis kvantavimas Garso signalai su didesne tikimybe įgyja artimas nuliui vertes, negu vertes, kurios artimos ribinėms kvantuotuvo vertėms. Siekiant sumažinti grūdėtąjį triukšmą (žr poskyrį) tokiuose signaluose, kvantavimo žingsnis sumažinamas mažoms įėjimo signalo vertėms ir padidinamas didelėms įėjimo signalo vertėms. Toks kvantavimo būdas vadinamas netolyginiu kvantavimu. Netolyginio kvantavimo harakteristikos pavyzdys pateiktas 3..3a pav. Netolyginis kvantavimas gali būti realizuotas, iš pradžių praleidus analoginį signalą pro netiesinį stiprintuvą, o po to pro PCM grandinę, kuri naudoja tolyginį kvantavimą. Siekiant, kad mažàs signalo vertes atitiktų daugiau kvantavimo lygių, o dideles vertes atitiktų 3..3 pav. Spūdos harakteristikos. a 8 lygių kvantuotuvo harakteristikos tolyginio ir netolyginio kvantavimo atvejais, b - μ harakteristika, A harakteristika.

74 69 mažiau kvantavimo lygių, tokio stiprintuvo stiprinimo koeiientas turi būti didesnis už vienetą, esant mažoms įėjimo signalo vertėms, ir mažesnis už vienetą, esant didelėms įėjimo signalo vertėms. Toks netiesinis signalo stiprinimas siųstuvo įėjime vadinamas signalo spūda, o netiesinio stiprintuvo išėjimo signalo priklausomybė nuo įėjimo įtampos vadinama spūdos harakteristika. Skaitmeninėse teleonų sistemose naudojamos dviejų tipų signalo spūdos harakteristikos. Pvz., JAV naudojama μ harakteristika, kuri apibrėžiama tokiu būdu: w + ( ln μ w( = wmax, (3..) w ( ln( + μ) kur w ( ir w ( yra stiprintuvo įėjimo ir išėjimo signalai, w max yra įėjimo (ir išėjimo) signalo maksimali vertė (t.y., kvantuotuvo ribinis lygis), o μ yra teigiamas parametras. Kuo didesnė μ vertė, tuo labiau spūdos harakteristika skiriasi nuo tiesės (žr. 3..3b pav.). JAV, Kanadoje ir Japonijoje naudojama vertė μ = 55. Europoje naudojama A harakteristika, kuri apibrėžiama šitaip: A w ( / wmax w (, ; w( + ln A wmax A = (3..3) w ( ) + ln( ( ) / max ) w ( t A w t w,, + ln A A wmax kur A yra didesnė už vienetą konstanta, o kiti žymėjimai turi tą pačią prasmę, kaip ir (3..) lygybėje. Spūdos harakteristika (3..3) yra tiesinė, kai w /w max < /A, ir logaritminė, kai /A < w /w max. Kuo labiau skiriasi A vertė nuo vieneto, tuo netiesiškesnė spūdos harakteristika (žr pav.). Tipiška parametro A vertė yra Jeigu siųstuvo įėjime signalas yra suspaudžiamas, tai siųstuvo išėjime jis turi būti išplėstas, siekiant atstatyti pradinį signalo pavidalą. Plėtros harakteristika yra atvirkštinė spūdos harakteristikai. Kai įėjimo signalo ribinės vertės yra mažesnės už kvantuotuvo ribinius lygius, ir tolyginio, ir netolyginio kvantavimo atveju lieka galioti 6 db taisyklė (3..7), tačiau reikia šiek tiek modiikuoti dėmenį α: a) tolyginio kvantavimo atveju α = 4.77 log( V / xrms) ; (3..4a) b) μ dėsnis, kai įėjimo lygis pakankamai didelis, α 4.77 log[ln( + μ)] ; (3..4b) ) A dėsnis, kai įėjimo lygis pakankamai didelis, α 4.77 log[ + ln A]. (3..4) Čia V yra didžiausias kvantavimo lygis, o x rms yra siųstuvo įėjimo signalo eektinis vidurkis. Formulės (3..4a ) galioja tuo atveju, kai skaičiuojamas didžiausias signalo ir triukšmo santykis. Jeigu skaičiuojamas vidutinis signalo ir triukšmo santykis, vietoj 4.77 reikia naudoti. Taigi, imtuvo išėjimo signalo ir triukšmo santykis yra signalo didumo unkija tolyginio kvantavimo atveju, tačiau beveik nepriklauso nuo signalo vertės signalo spūdos-plėtros atveju (žr pav.). Santykis V/x rms vadinamas apkrautumo aktoriumi (loading ator) pav. 8 bitų PCM sistemos išėjimo signalo ir triukšmo santykis, naudojant tolygųjį kvantavimą ir μ tipo netolygųjį kvantavimą

75 7 Praktikoje, siekiant išvengti perkrovos triukšmo, signalo amplitudė dažnai parenkama taip, kad apkrautumo aktorius būtų lygus 4, t.y., db. Kaip išplaukia iš (3..4) ormulių, kai signalas yra silpnas (apkrautumo aktorius didesnis už = db), signalo spūda leidžia žymiai padidinti signalo ir triukšmo santykį imtuvo išėjime. Mažiausia apkrautumo aktoriaus vertė yra 4.77 db =, nes, toliau didinant x rms, pradeda sparčiai augti perkrovos triukšmas (pagal (.3.6), sinusoidės amplitudė lygi x rms ) Skaitmeninių signalų matematinė analizė Skaitmeninio signalo bendrasis pavidalas Bendruoju atveju perduodamieji skaitmeniniai duomenys nebūtinai yra dvejetainiai, t.y., duomenų simbolių (skaitmenų) skaičius gali skirtis nuo duomenų bitų skaičiaus. Todėl duomenų perdavimo spartai apibūdinti naudojamos dvi sąvokos: simbolių sparta per laiko vienetą perduotų simbolių skaičius: D = N/T simbolių/s, (3.3.) kur N yra simbolių skaičius, kuris buvo perduotas per T s; bitų sparta per laiko vienetą perduotų duomenų bitų skaičius: R = n/t bits/s, (3.3.) kur n yra bitų skaičius, kuris buvo perduotas per T s. Skaitmeninį signalą, kaip ir analoginį signalą, galima išreikšti ortogonaliųjų unkijų eilute (.4.5). Tačiau skaitmeninio signalo atveju ortogonaliąsias unkijas ϕ k ( patogiausia apibrėžti taip, kad kiekviena ortogonalioji unkija atitiktų kažkurį perduodamojo skaitmeninio žodžio skaitmenį (simbolį). Tuomet, jeigu laiko intervale < t < T buvo perduoti N simbolių, skaitmeninį signalą šiame laiko intervale galima išreikšti šitaip: N w( = wk ϕ k (, < t < T, (3.3.3) k = kur w k yra perduodamieji skaitmenys, o ϕ k ( (k =,,, N) yra ortogonaliosios unkijos. Kiekviena ortogonalioji unkija ϕ k ( tai impulsas, kurio entras sutampa su duotojo simbolio perdavimo laiko intervalo entru. T.y., ϕ k ( = ( t kts ), (3.3.4) kur ( yra vieno impulso pavidalą nusakanti unkija (pvz., stačiakampis impulsas arba sin(x)/x pavidalo impulsas), o T s yra vieno simbolio perdavimo trukmė (impulso plotis). Jeigu duomenys perduodami dvejetainiu pavidalu, tuomet koeiientai w k (3.3.3) eilutėje gali įgyti tik dvi reikšmes, pvz., arba. Tuomet signalas w( vadinamas dvilygiu signalu. Dvilygio signalo atveju n = N, R = D. Jeigu w k gali įgyti daugiau negu dvi reikšmes (t.y., perduodamieji skaičiai nėra dvejetainiai), signalas w( vadinamas daugialygiu signalu. Reikia atkreipti dėmesį, kad sąvoka lygių skaičius reiškia ne paties signalo galimų verčių skaičių, o (3.3.3) eilutės koeiientų galimų verčių skaičių. Signalo galimų verčių skaičius priklauso nuo naudojamų ortogonaliųjų unkijų ϕ k ( pavidalo. Bendruoju atveju signalo galimų verčių skaičius yra didesnis už lygių skaičių. Pvz., naudojant sin(x)/x pavidalo impulsus (žr...b pav.), skaitmeninis signalas yra tolydus, t.y., jo galimų verčių skaičius yra begalinis. Kai ortogonaliosios unkijos ϕ k ( yra stačiakampių impulsų pavidalo, signalo galimų verčių skaičius yra lygus eilutės (3.3.3) koeiientų galimų verčių skaičiui (žr. sekančią pastraipą). Dvilygio signalo išraišką ortogonaliąja eilute iliustruoja 3.3. pav. Šiame pavyzdyje perduodamas dvejetainis skaičius. Vienetą atitinka 5 V lygis, o nulį V lygis (žr. 3.3.a pav.). Ortogonaliosios unkijos p j (j =,, 3), kurios atitinka kiekvieną skaitmenį tai 5 V

76 7 amplitudės stačiakampiai impulsai. Kiekvieno impulso plotis ir padėtis laiko ašyje atitinka laiko intervalą, kuriame perduodamas atitinkamas skaitmuo (žr pav.). Šios unkijos yra ortogonalios, nes impulsai nepersikloja (žr. (.4.) integralą) pav. Dvilygio signalo išraiška ortogonaliąja eilute. a trijų bitų dvilygis signalas, b ortogonaliųjų unkijų pavidalas (stačiakampiai impulsai), ortogonaliųjų unkijų tarpusavio išsidėstymas laiko ašyje. Vienas iš būdų detektuoti skaitmeninius duomenis priimtajame skaitmeniniame signale yra paremtas ortogonaliosios eilutės koeiientų apibrėžimu (.4.6). T.y., imtuvas turi apskaičiuoti integralus T k * wk = w( ϕ ( dt, k =,,, N. (3.3.5) Kk Čia w( yra imtuvo įėjimo signalas, o ϕ k ( (k =,,, N) yra žinomos ortogonaliosios unkijos, kurios buvo panaudotos priimtojo signalo generavimui. Tuo atveju, kai ortogonaliosios unkijos ϕ k ( yra stačiakampiai impulsai (kaip 3.3. pav.), kiekvieno impulso plotis yra lygus simbolio perdavimo trukmei T s, o w k sutampa su signalo w( verte k-tojo impulso metu. Tuo atveju, kai ortogonaliosios unkijos yra sin(x)/x impulsai (žr...b pav.), kiekvieno impulso maksimumo plotis nuo nulio iki nulio yra lygus T s, o w k sutampa su signalo w( verte k-tojo impulso entre (žr. ėmimo teoremą (.7.3) ir (.7.6)) Skaitmeninio signalo dažnių juostos plotis Skaitmeninio signalo (3.3.3) dažnių juostos plotis B tenkina nelygybę N B = = D Hz, (3.3.6) T Ts kur T s yra vieno simbolio trukmė, o D = /T s yra simbolių sparta (3.3.). Šis teiginys tai (3..) nelygybės apibendrinimas daugialygiams signalams (žr poskyrį). Mažiausias juostos plotis (.5D) pasiekiamas tuomet, kai ortogonaliosios unkijos ϕ k ( yra sin(x)/x

77 7 pavidalo. Naudojant kitokios ormos (pvz., stačiakampius) impulsus, signalo dažnių juostos plotis visuomet bus didesnis. (3.3.6) sąryšis yra naudingas tais atvejais, kai reikia iš anksto numatyti skaitmeninio signalo dažnių juostos plotį Daugialygiai signalai Daugialygių signalų panaudojimo praktinė nauda išplaukia iš to, kad (3.3.6) nelygybės dešiniojoje pusėje yra simbolių sparta D. Kaip žinome, bitų sparta R lygi ėmimo spartos s ir kvantavimo lygių skaičiaus dvejetainio logaritmo n sandaugai (3..). Nė vieno iš šių dviejų dydžių negalima sumažinti žemiau tam tikros ribos: ėmimo sparta turi būti didesnė už įėjimo analoginio signalo dvigubą dažnių juostos plotį (žr..7 poskyrį), o kodavimo lygių skaičius M = n turi būti pakankamai didelis, siekiant sumažinti kvantavimo triukšmą (žr. 3.. ir 3..3 poskyrius). Tačiau simbolių spartą galima sumažinti, apjungiant du arba daugiau bitų, įeinančių į vieną skaitmeninį žodį, į vieną simbolį (skaitmenį). Jeigu mes apjungiame l bitų į vieną skaitmenį, tuomet to skaitmens galimų reikšmių skaičius yra L = l. Vadinasi, ortogonaliosios eilutės (3.3.3) koeiientai w k gali įgyti L = l > verčių. Toks skaitmeninis signalas w( vadinamas daugialygiu signalu. Daugialygio signalo bitų sparta R ir simbolių sparta D susiję sąryšiu R = ld, (3.3.7) kur l yra bitų skaičius, kuris reikalingas, norint nusakyti vieną simbolį. Pvz., tarkime, kad reikia perduoti dvejetainį skaičių, naudojant keturlygį skaitmeninį signalą. Keturiems lygiams išreikšti reikalingi l = bitai. Vadinasi, kiekvieną bitų porą turi atitikti apibrėžta signalo vertė. Šių keturių signalo lygių generavimui galima panaudoti l = bitų analoginį skaitmenų keitiklį. l bitų analoginis skaitmenų keitiklis (ASK) kiekvieną įėjimo dvilygio signalo l bitų seką pakeičia viena iš l išėjimo signalo verčių. Pvz., bitų ASK galėtų generuoti signalo vertes, kurios pateiktos 3.3. lentelėje lentelė. bitų analoginio skaitmenų keitiklio kodas Dvejetainis įėjimo signalas (l = bitai) Išėjimo įtampos lygis (V) Jeigu 3.3. lentelėje apibrėžto analoginio skaitmenų keitiklio įėjime yra dvejetainis signalas, tuomet išėjimo signalo lygių seka bus -3, -, +3, + (žr pav.). Apjungus l bitų į vieną simbolį, bitų sparta R nepasikeičia, tačiau simbolių sparta D sumažėja l kartų (žr. (3.3.7)), todėl tiek pat kartų sumažėja ir signalo dažnių juostos plotis (3.3.6). Šį sumažėjimą galima suprasti, remiantis (3.3.3) eilutės pavidalu. Kiekviena ortogonalioji unkija ϕ k šioje eilutėje atitinka vieną simbolį (o ne bitą). Apjungus l bitų į vieną simbolį, simbolio trukmė išauga l kartų. Vadinasi, atitinkama ortogonalioji unkija išsiplečia l kartų išilgai laiko ašies. Pagal mastelio pakeitimo teoremą (žr. B- lentelę), toks unkijos išplitimas reiškia, kad jos spektras susispaudžia l kartų išilgai dažnio ašies. Daugialygio skaitmeninio signalo dažnių juostos sumažėjimą, lyginant su dvilygiu signalu, iliustruoja 3.3. pav. 3.3.a pav. pavaizduotas dvilygis signalas, kuris nusako dvejetainį skaičių, naudojant stačiakampius impulsus, o 3.3.b pav. pavaizduotas dvilygis signalas, kuris perduoda tą patį skaičių, naudojant sin(x)/x pavidalo ortogonaliąsias unkijas: π sin [ t ( kts )] Ts ϕ k ( =. (3.3.8) π [ t ( kts )] T s

78 3.3. pav. Dvilygio ir daugialygio signalų palyginimas, kai perduodamas dvejetainis skaičius. a, b dvilygis signalas,, d keturlygis signalas. a, ortogonaliosios unkijos yra stačiakampių impulsų pavidalo, b, d ortogonaliosios unkijos yra sin(x)/x pavidalo. 73

79 pav. pavaizduotas keturlygis signalas, kuris perduoda tą patį skaičių, naudojant dviejų bitų analoginį skaitmenų keitiklį, kurio veikimą nusako 3.3. lentelė. 3.3.d pav. pavaizduotas keturlygis signalas, kuris perduoda tą pačią inormaiją, naudojant (3.3.8) pavidalo ortogonaliąsias unkijas. 3.3.a,b pav. simbolio trukmė T s sutampa su bito trukme T b = ms, o 3.3.,d pav. simbolio trukmė yra dvigubai didesnė: T s = T b = ms. Visais atvejais perduodamo lygio vertę nusako signalo vertė kiekvieno simbolio intervalo entre (t.y., laiko momentais t = (k - /)T s, kur k =,,, 8 dvilygio signalo atveju ir k =,, 3, 4 keturlygio signalo atveju). Kad keturlygio signalo dažnių juostos plotis yra mažesnis už dvilygio signalo juostos plotį, akivaizdu vien iš pavaizduotųjų kreivių pavidalo: keturlygis signalas yra glodesnis, t.y., tame pačiame laiko intervale turi mažiau maksimumų ir minimumų, negu dvilygis signalas Linijos kodai ir jų spektrai Dvilygiai linijos kodai Dvejetainiai vienetai ir nuliai gali būti pavaizduoti, naudojant įvairios ormos signalus. Taisyklė, pagal kurią suormuojamas dvejetainį vienetą arba nulį atitinkantis dvilygis signalas, vadinama linijos kodu (line ode) arba kodavimo ormatu (enoding orma. Formaliai linijos kodą apibrėžia ortogonaliųjų unkijų ϕ k (, kurios naudojamos signalo išraiškoje (3.3.3), pavidalas. Kai kurie linijos kodai pavaizduoti 3.4. pav. Egzistuoja dvi linijos kodų grupės: grįžties prie nulio (return-to-zero, RZ) linijos kodai ir negrįžties prie nulio (nonreturn-to-zero, NRZ) linijos kodai. Naudojant grįžties prie nulio linijos kodą, signalas kiekvieno bito perdavimo metu grįžta prie nulinės vertės tam tikram laiko tarpui, kuris dažniausiai lygus pusei bito perdavimo trukmės T b (žr. 3.4.,d pav.). Naudojant negrįžties prie nulio linijos kodą, signalo vertė kiekvieno bito metu yra pastovi (žr. 3.4.a,b pav.) arba signalas tampa lygus nuliui tik atskirais laiko momentais, kai pakinta signalo ženklas (žr. 3.4.e pav.). Be to, linijos kodus galima suklasiikuoti pagal tai, kuriais atvejais duomenų bitą nusakančio impulso amplitudė yra teigiama, neigiama arba lygi nuliui: Vienpoliai linijos kodai. Naudojant teigiamos logikos vienpolį linijos kodą, dvejetainį vienetą atitinka teigiamas įtampos lygis (+A voltų), o dvejetainį nulį nulinis įtampos lygis (žr. 3.4.a, pav.). Poliniai linijos kodai. Dvejetainius vienetus ir nulius atitinka vienodo didumo, tačiau priešingų ženklų įtampos vertės (žr. 3.4.b pav.). Dvipoliai (pseudo-trilygiai) linijos kodai. Dvejetainiai vienetai vaizduojami pakaitom teigiamom arba neigiamom vertėm, o dvejetainiai nuliai nuline verte (žr. 3.4.d pav.). Mančesterio linijos kodai. Kiekvieną dvejetainį vienetą atitinka teigiamas pusės bito trukmės impulsas, po kurio seka neigiamas pusės bito trukmės impulsas. Kiekvieną dvejetainį nulį atitinka neigiamas pusės bito trukmės impulsas, po kurio seka teigiamas pusės bito trukmės impulsas (žr. 3.4.e pav.). Nors oiialaus Mančesterio kodo standarto nėra, tačiau praktikoje dažniausiai naudojamas atvirkščias vieneto ir nulio apibrėžimas (vienetą atitinka teigiamas šuolis bito intervalo entre, o nulį neigiamas šuolis). Šis linijos kodas naudojamas vietiniuose tinkluose (LAN). Toliau vienpoliai NRZ signalai kartais bus vadinami tiesiog vienpoliais signalais, poliniai NRZ tiesiog poliniais signalais, o dvipoliai RZ signalai tiesiog dvipoliais signalais.

80 pav. Dvilygiai linijos kodai. Kiekvienas iš linijos kodų, kurie pavaizduoti 3.4. pav., turi savo privalumus ir trūkumus. Pvz., vienpolių NRZ signalų privalumas yra tas, kad jų generavimui galima naudoti grandines, kurios naudoja tik vieną įtampos šaltinį. Tačiau šių signalų nuolatinė dedamoji nėra lygi nuliui, todėl tuo atveju, kai toks signalas perduodamas tiesiogiai (o ne moduliuoja sinusoidės pavidalo analoginį signalą), perdavimo linija turi praleisti nuolatinę srovę. Nuolatinė dedamoji sukuria papildomus energijos nuostolius. Poliniai NRZ signalai nereikalauja linijos laidumo nuolatinei dedamajai, su sąlyga, kad perduodamieji dvejetainiai duomenys pakankamai dažnai persijungia iš nulio į vienetą ir atgal. Tačiau grandinėms, kurios generuoja polinius NRZ signalus, reikalingi teigiamos ir neigiamos įtampos šaltiniai. Mančesterio NRZ linijos kodo privalumas yra tas, kad jo nuolatinė dedamoji visuomet lygi nuliui. Tačiau, lyginant su vienpoliu arba poliniu NRZ linijos kodais, Mančesterio linijos kodo impulsų trukmė yra du kartus mažesnė, todėl dažnių juostos plotis yra du kartus didesnis. Praktikoje pageidautina, kad linijos kodas turėtų šias savybes:

81 76 Sinhronizavimasis. Tai reiškia, kad sinhronizavimo signalas, pagal kurį imtuvas nustato kiekvieno bito pradžios momentą, gali būti atkurtas tiesiog pagal priimtąją bitų seką. Mažas klaidingų bitų dažnis. Tai reiškia, kad įmanoma sukurti imtuvus, kurie atkurtų dvejetainius duomenis tais atvejais, kai imtuvo įėjimo signalas yra iškraipytas triukšmo arba tarpženklinės intererenijos. Spektras, kuris atitinka duotąjį kanalą. Pvz., jeigu kanalas nėra laidus nuolatinei srovei, signalo galios spektras turi būti lygus nuliui, esant nuliniam dažniui. Signalo dažnių juostos plotis turi būti kuo mažesnis. Siekiant išvengti tarpženklinės intererenijos, signalo dažnių juostos plotis turi būti mažesnis už kanalo juostos plotį. Galimybė aptikti ir ištaisyti klaidas. Šis savybė turi būti lengvai įgyvendinama, naudojant kanalo kodavimą (žr..5 poskyrį), arba turėtų būti realizuota pačiame linijos kode. Pvz., Mančesterio kodo atveju bito klaidą galima aptikti pagal tai, kad nėra signalo šuolio bito intervalo entre. Kodo skaidrumas. Tai reiškia, kad imtuvas gali priimti ir teisingai dekoduoti bet kokią įmanomą bitų seką ir kad sinhronizavimo signalas gali būti atkurtas, esant bet kokiai bitų sekai. Pvz., visi 3.4. pav. pavaizduoti kodai, išskyrus Mančesterio NRZ kodą, nėra skaidrūs, nes, perduodant ilgą nulių seką, prarandamas sinhronizavimo signalas. Įvairių linijos kodų privalumai ir trūkumai yra smulkiau aprašomi 3.4. poskyryje Įvairių linijos kodų galios spektrinis tankis Skaitmeninio signalo galios spektrinį tankį galima apskaičiuoti dviem būdais determinuotųjų proesų metodu arba statistiniu metodu. Pirmuoju atveju suormuojama kažkokia konkreti skaitmeninių duomenų seka, pasirenkamas linijos kodas, ir galios spektras apskaičiuojamas, naudojantis jo apibrėžimu (.3.4) arba (jeigu signalas yra periodinis) pagal (.5.3). Naudojant statistinį metodą, užduodamas ne konkretus skaitmeninis signalas, o įvairių signalo lygių (simbolių) tikimybės. Praktikoje sutinkamų skaitmeninių signalų perduodama inormaija yra atsitiktinė duomenų seka, todėl statistinis metodas yra tinkamesnis už determinuotųjų proesų metodą. Pagal (3.3.3) ir (3.3.4), bendroji skaitmeninio signalo išraiška yra n nt s n= s ( = a ( t ), (3.4.) kur ( yra vieno impulso ormą nusakanti unkija, T s yra vieno simbolio perdavimo trukmė, o koeiientai {a n } nusako perduodamus duomenis (pvz., įtampos lygius). Dvejetainių duomenų atveju T s = T b, kur T b yra vieno bito perdavimo trukmė. Daugialygio signalo atveju T s = lt b, kur l yra bitų skaičius, kuris reikalingas vieno simbolio atvaizdavimui dvejetainiu pavidalu. Naudojant statistinį metodą, duomenų rinkinys {a n } laikomas atsitiktiniu. Bendroji skaitmeninio signalo (3.4.) galios spektrinio tankio išraiška, kuri gaunama statistiniu metodu, yra šitokia: F( ) jπkts Ps ( ) = R( k) e, (3.4.a) Ts k = kur F() yra pavienio impulso ( Furjė transormaija, o R(k) yra duomenų autokoreliaija, kuri apibrėžiama taip: I R( k) = ( a a ) P. (3.4.b) i= n n+ k i i

82 77 Čia I yra dviejų lygių galimų derinių skaičius, o P i yra i-tojo derinio tikimybė. Iš (3.4.a) išplaukia, kad skaitmeninio signalo galios spektras priklauso nuo vieno impulso amplitudės spektro F() ir nuo duomenų autokoreliaijos R(k). Duomenų autokoreliaija priklauso nuo linijos kodo ir nuo duomenų statistinių savybių. Pvz., rasime dvilygio polinio NRZ signalo duomenų autokoreliaiją, kai vieneto ir nulio tikimybės yra vienodos ir kai visi bitai yra nepriklausomi. Šiuo atveju dauginamųjų a n ir a n+k galimos vertės yra +A ir -A. Vadinasi, kai k =, galimi tik du variantai: a n = ±A. Kadangi abiejų variantų tikimybės lygios /, tai, kai k =, R ( ) = A + ( A) = A. Kai k, galimi keturi variantai: ) a n = A, a n+k = A; ) a n = A, a n+k = -A; ) a n = -A, a n+k = A; ) a n = -A, a n+k = -A. Kadangi bitai nepriklausomi, tai kiekvieno iš šių variantų tikimybę galima apskaičiuoti pagal nepriklausomų įvykių tikimybių sandaugos teoremą. Kadangi vieneto ir nulio tikimybės yra lygios /, gauname, kad kiekvieno varianto tikimybė lygi (/) (/) = /4. Vadinasi, kai k, 4 R( k) = ( an an+ k ) i Pi = A + ( A)( A) + ( A)( A) + ( A) =. i= Taigi, šiuo atveju sumoje (3.4.a) lieka tik vienas dėmuo, kuris atitinka k = : F( ) P ( ) = A ; (3.4.3a) polar čia T b yra vieno bito trukmė. Vienetinio stačiakampio impulso spektrą F() nusako ormulė (..3). Įrašę šią išraišką į (3.4.3a), randame ( sinπt polar ) b P = A T b. (3.4.3b) πtb 3.4. pav. pateikti reiškinio (3.4.a) skaičiavimo rezultatai penkių tipų linijos kodams, kurie pavaizduoti 3.4. pav. Čia maksimalus įtampos lygis A (žr pav.) parinktas taip, kad vidutinė normuotoji signalo galia būtų lygi vienetui. Remiantis šiomis dažninėmis priklausomybėmis, galima padaryti šias išvadas apie skirtingų tipų linijos kodus: Vienpolių NRZ signalų galios spektrinio tankio dažninė priklausomybė turi δ unkijos pavidalo maksimumą ties nuliniu dažniu (žr. 3.4.a pav.; A = ). Šio maksimumo plotas lygus /. Tai reiškia, kad pusė signalo galios yra išeikvojama nuolatinei dedamajai. Tai yra pagrindinis vienpolio NRZ linijos kodo trūkumas. Šio kodo privalumas yra tas, kad grandinės, kurios generuoja tokius signalus, yra palyginti paprastos. Polinių NRZ signalų galios spektrinis tankis ties nuliniu dažniu neturi δ unkijos pavidalo maksimumo, tačiau neartėja į nulį (žr. 3.4.b pav.; A = ). Tai reiškia, kad nuolatinė dedamoji lygi nuliui, tačiau tokio signalo perdavimui be iškraipymų taip pat reikalingas kanalas, kuris praleidžia dažnius, kurie yra žymiai mažesni už bitų spartą R. Polinių NRZ signalų privalumas yra tas, kad juos palyginti lengva generuoti, nors reikalingos dviejų poliarumų maitinimo įtampos. Be to, polinio NRZ kodo atveju klaidingų bitų dažnis yra mažesnis, negu naudojant kitus skaitmeninės inormaijos perdavimo būdus. Vienpoliai RZ signalai skiriasi nuo vienpolių NRZ signalų tuo, kad jų impulso trukmė yra du kartus mažesnė (plg pav. ir 3.4.a pav.). Todėl vienpolio RZ signalo pirmojo nulio dažnių juostos plotis yra du kartus didesnis, negu vienpolio NRZ signalo atveju (žr pav.; A = ). Be to, vienpolio RZ signalo galios spektre yra papildomi δ unkijos pavidalo maksimumai ties dažniais, kurie lygūs R, 3R, 5R ir t.t. (žr pav.). Maksimumo ties dažniu R plotas lygus.. Tai reiškia, kad vienpolis RZ signalas turi dažnio R dedamąją, T b

83 78 kurios galia lygi. viso signalo galios. Šią dedamąją galima panaudoti bitų sinhronizavimui. Tačiau, kaip ir vienpolio NRZ A = signalo atveju, signalas turi nuolatinę dedamąją. Kitas šio linijos kodo trūkumas yra tas, kad, norint išsaugoti tokį patį klaidingų bitų dažnį, kaip ir polinio NRZ kodo atveju, reikalinga 3 db didesnė signalo galia. A = Dvipolių RZ signalų galios spektrinis tankis lygus nuliui, esant nuliniam dažniui (žr. 3.4.d pav.; A = ). Tai reiškia, kad signalą galima perduoti grandine, kuri nepraleidžia nuolatinės dedamosios. Bitų sinhronizavimo signalą galima atkurti, pavertus dvipolį RZ signalą vienpoliu RZ signalu, kurio A = galios spektras turi δ unkijos pavidalo maksimumą ties bitų sparta R (žr pav.). Norint atlikti tokią signalo transormaiją, pakanka visus neigiamus impulsus paversti teigiamais (žr. 3.4.d pav. A = ir 3.4. pav.). Dvipolio RZ kodo trūkumas yra tas, kad imtuvas turi sugebėti atskirti tris signalo lygius (+A, -A ir ) vietoj dviejų, kaip anksčiau minėtuose koduose. Klaidos tikimybė yra tokia pati, kaip ir vienpolio signalo, t.y., didesnė, A = negu polinio. Mančesterio NRZ signalų pirmojo nulio dažnių juostos plotis yra du kartus didesnis, negu polinio, dvipolio arba vienpolio NRZ kodo atveju (žr. 3.4.e pav.; A = ) pav. Įvairių linijos kodų galios spektrinis tankis. Tačiau tokių signalų privalumai yra tie, kad jų nuolatinė dedamoji visuomet lygi nuliui, ir jokiomis sąlygomis neprarandamas sinhronizavimo signalas Dierenialinis kodavimas Kai kuriuose linijos koduose svarbus yra signalo vertės ženklas. Pvz., poliniame NRZ linijos kode teigiami impulsai atitinka vienetus, o neigiami nulius (žr. 3.4.b pav.) Kai duomenys perduodami dideliu skaičiumi grandinių, kurios sudaro ryšio sistemą, gali atsitikti, kad kuriame nors sujungimo taške laidai bus sukeisti vietomis ir signalas bus invertuotas (t.y., signalo ženklas pasikeis į priešingą). Tokiu atveju vietoj dvejetainių nulių gali būti priimti vienetai, o vietoj vienetų nuliai (tai negalioja dvipoliam signalui: žr poskyrį ir 3.4.d

84 79 pav.). Siekiant to išvengti, dažnai naudojamas dierenialinis kodavimas, kurį iliustruoja pav. Naudojant dierenialinį kodavimą, užkoduoti duomenys apibrėžiami šitaip: e n = dn en, (3.4.4) kur d n yra pradinių duomenų n-tasis bitas, o e n ir e n- yra užkoduotųjų dierenialinių duomenų n-tasis ir n--asis bitai. T.y., dierenialinių duomenų bitas yra lygus atitinkamo pradinių duomenų bito ir ankstesniojo dierenialinių duomenų bito sumai. Suma moduliu, kuri įeina į (3.4.4), realizuojama, naudojant vėlinimo grandinę, kurios vėlinimo trukmė lygi vieno bito trukmei T b (žr pav.). Imtuvas dierenialinius duomenis dekoduoja tokiu būdu: ~ d ~ ~ n = en en, (3.4.5) kur tildos ženklas ~ nurodo, kad turimi omenyje priimtieji duomenys. T.y., duomenų bitas yra lygus atitinkamo dierenialinių duomenų bito ir ankstesniojo dierenialinių duomenų bito sumai. Pradinių ir atitinkamų dierenialinių duomenų pavyzdys pateiktas 3.4. lentelėje. Akivaizdu, kad, invertavus užkoduotus duomenis, priimtoji dekoduotoji bitų seka nepasikeičia pav. Dierenialinio kodavimo sistema lentelė. Dierenialinio kodavimo pavyzdys

85 Filtravimo ir triukšmo eektų matavimas Kanalo iltravimo ir triukšmo poveikį skaitmeniniam signalui galima įvertinti, stebint priimtąjį linijos kodą osilograo ekrane pav. kairiojoje pusėje pavaizduotas linijos kodo pavidalas, kai (a) kanalo dažnių juostos plotis yra žymiai didesnis už linijos kodo dažnių pirmojo nulio juostos plotį (idealus atvejis), (b) kanalo dažnių juosta yra mažesnė už linijos kodo pirmojo nulio juostos plotį, todėl pasireiškia tarpženklinė intererenija (žr. 3.. poskyrį), () be tarpženklinės intererenijos, signalą iškraipo kanalo triukšmas pav. dešiniojoje pusėje pavaizduotas tų pačių linijos kodų vaizdas osilograe. Skleistinė sinhronizuojama bitų sinhronizavimo grandine (t.y., impulsais, kurių periodas lygus bito trukmei T b ), o skleistinės trukmė yra šiek tiek didesnė už bito trukmę T b. Šie vaizdai vadinami akies diagramomis (eye patterns), nes jie savo pavidalu panašūs į žmogaus akį. Normaliomis veikimo sąlygomis (kai nėra bito klaidų), ši akis yra atvira. Jeigu signalas yra stipriai iškraipytas triukšmo arba tarpženklinės intererenijos, akis užsimerkia ; tai reiškia, kad imtuvo išėjime neišvengiamos bitų klaidos. Akies diagrama suteikia galimybę įvertinti priimtojo linijos kodo kokybę. Kaip parodyta pav., akies diagrama pateikia tokią inormaiją: Sinhronizavimo paklaida tai didžiausias leistinas bitų sinhronizavimo grandinės impulso vėlinimas atžvilgiu optimalaus ėmimo momento (t.y., atžvilgiu bito intervalo entro). Sinhronizavimo paklaidą nusako akies plotis horizontaliąja kryptimi. Jautris sinhronizavimo paklaidai tai akies krašto polinkis (krypties koeiientas) prie sankirtos su t ašimi. Triukšmo atsarga tai akies aukštis. Triukšmo atsarga nusako didžiausią triukšmo amplitudę, kuriai esant, dar įmanoma ištaisyti bitų klaidas pav. Kairioji pusė: linijos kodo pavidalas, kai (a) kanalo dažnių juostos plotis yra žymiai didesnis už linijos kodo dažnių pirmojo nulio juostos plotį (idealusis atvejis), (b) kanalo dažnių juosta yra mažesnė už linijos kodo pirmojo nulio juostos plotį, todėl pasireiškia tarpženklinė intererenija, () signalą iškraipo ne tik tarpženklinė intererenija, bet ir kanalo triukšmas. Dešinioji pusė: tų pačių linijos kodų vaizdas osilograe.

86 Regenerainiai retransliatoriai Perduodant skaitmeninį signalą laidų pora, koaksialiniu kabeliu, bangolaidžiu arba šviesolaidžiu, signalas yra silpninamas, iltruojamas ir iškraipomas triukšmo. Todėl didelio nuotolio ryšio linijose imtuvas gali atkurti duomenis tik tuo atveju, kai linijoje naudojami retransliatoriai (žr. 3.. pav.), kurie signalą periodiškai sustiprina ir išvalo. Jeigu signalas būtų ne skaitmeninis, o analoginis, galima būtų naudoti tik tiesinius stiprintuvus, nes reikėtų išsaugoti amplitudžių santykines vertes. Tuomet signalo iškraipymai kauptųsi nuo vieno stiprintuvo prie kito. Tai yra vienas iš analoginio signalo trūkumų. Tačiau tuo atveju, kai perduodamas skaitmeninis signalas, jį galima apdoroti netiesiškai ir tokiu būdu atkurti signalą, kuriame jau nebūtų triukšmo. Įrenginys, kuris atkuria neiškraipytą skaitmeninį signalą, vadinamas regenerainiu retransliatoriumi. Regenerainio retransliatoriaus, kuris naudojamas vienpolio NRZ signalo atkūrimui, supaprastinta struktūrinė shema pateikta pav. Stiprintuvas atstato pradinio signalo amplitudę, iltras dalinai kompensuoja signalo iškraipymus dėl iltravimo kanale ir tokiu būdu sumažina tarpženklinę interereniją (žr. 3.5 poskyrį). Bitų sinhronizatorius generuoja impulsus laiko momentais, kurie atitinka akies diagramos maksimumą (žr poskyrį). Tie impulsai valdo imties ir laikymo grandinę: kai bitų sinhronizatorius generuoja impulsą, imties ir laikymo grandinė išmatuoja signalo momentinę vertę, ir iki sekančio valdymo impulso ta signalo vertė būna komparatoriaus įėjime. Komparatorius generuoja aukštą įtampos lygį (dvejetainį vienetą) tik tuo atveju, kai išmatuotoji signalo vertė yra didesnė už slenkstinę įtampą V T. Slenkstinė įtampa V T dažniausiai parenkama taip, kad ji būtų apytiksliai lygi skaitmeninio signalo didžiausios ir mažiausios verčių vidurkiui. Jeigu triukšmas ir tarpženklinė intererenija įėjimo signale yra pakankamai maži, komparatoriaus išėjime aukštasis įtampos lygis bus tik tuo atveju, kai įėjimo signale yra dvejetainio vieneto lygis. Tokiu būdu vienpolis NRZ linijos kodas išvalomas nuo triukšmo, išskyrus bito klaidas, kurios gali atsirasti, jeigu triukšmo amplitudė viršija slenkstinės įtampos ir dvejetainio nulio arba vieneto skirtumą. Didelio nuotolio skaitmeninėse ryšių sistemose gali būti daug nuosekliai sujungtų regenerainių retransliatorių (žr. 3.. pav.). Atstumas tarp retransliatorių priklauso nuo signalo energijos nuostolių ir nuo triukšmo padidėjimo kelio vienete. Retransliatorius reikalingas tame taške, kuriame signalo ir triukšmo galių santykis pasidaro mažesnis už vertę, kuri reikalinga, norint išlaikyti reikiamą klaidingų bitų dažnį. Jeigu vieno retransliatoriaus klaidingų bitų dažnis P e yra žymiai mažesnis už vienetą, tuomet klaidingų bitų dažnis sistemoje su m retransliatorių (įskaitant ir imtuvo regeneravimo grandinę) yra lygus P me mp e. (3.4.6) pav. Regenerainio retransliatoriaus shema vienpolio NRZ signalo atvejui Bitų sinhronizavimas Bitų sinhronizavimo signalai tai impulsai, pagal kuriuos imtuvas atskiria vieną bito intervalą nuo kito. T.y., kiekvienas bitų sinhronizavimo impulsas nurodo laiko momentą, kai imtuvas turi matuoti priimtojo skaitmeninio signalo vertę. Bitų sinhronizavimo signalą galima perduoti atskiru kanalu, tačiau patogiau jį atkurti tiesiog pagal priimtąjį skaitmeninį

87 8 signalą. Bitų sinhronizavimo grandinės sudėtingumas priklauso nuo naudojamo linijos kodo. Bitų sinhronizatorius yra paprasčiausias tuo atveju, kai naudojamas vienpolis RZ linijos kodas (žr pav.), nes šio kodo galios spektrinio tankio unkija turi δ unkijos pavidalo maksimumą ties bitų sparta = R (žr pav.). Todėl, norint gauti stačiakampių impulsų pavidalo bitų sinhronizavimo signalą, pakanka priimtąjį signalą praleisti pro siaurajuostį iltrą, kuris suderintas dažniui = R = /T b, o po to pro komparatorių (žr d,e pav.). Atitinkama sinhronizatoriaus grandinė gaunama iš 3.4.6a pav., išmetus kvadratinio dėsnio įrenginį. Jeigu naudojamas polinis NRZ linijos kodas, šį kodą visų pirma reikia transormuoti į vienpolį RZ linijos kodą. Tai atliekama, naudojant kvadratinio dėsnio įrenginį (žr a pav.) pav pateiktas šio įrenginio išėjimo signalas, atitinkantis 3.4.6b pav. pavaizduotą polinį NRZ kodą. Šis signalas panašus į vienpolį RZ kodą, kuris sudarytas tik iš dvejetainių vienetų (žr pav.). Todėl tokio signalo galios spektre yra δ unkijos pavidalo maksimumas ties bitų sparta = R, ir sinhronizavimo signalą galima gauti, naudojant siaurajuostį iltrą ir komparatorių (žr a pav.) pav. Bitų sinhronizavimas polinio NRZ signalo atveju, naudojant kvadratinio dėsnio įrenginį.

88 83 Jeigu signalas neturi δ unkijos pavidalo maksimumo ties bitų sparta = R, tuomet bitų sinhronizavimo signalą galima gauti, naudojantis paties linijos kodo laikinės simetrijos savybe. Akies diagramoje, kuri pavaizduota pav. ir pav., matyti, kad polinio NRZ signalo vidutinės vertės laiko momentais, kurie yra simetriški atžvilgiu bito intervalo entro, sutampa. T.y., w ( τ + ntb Δ) w ( τ + ntb + Δ), (3.4.7) kur w ( žymi NRZ linijos kodą po iltravimo, T b yra bito trukmė, < Δ < T b /, τ yra laiko intervalas nuo n+-ojo bito pradžios momento iki bitų sinhronizavimo impulso momento, τ yra optimalioji τ vertė, kuri atitinka didžiausią akies aukštį (žr pav.), n+ yra bito, kurio metu matuojamas signalas, numeris. Signalo vertė w (τ + nt b - Δ) vadinama ankstesniąja imtimi, o vertė w (τ + nt b + Δ) vėlesniąja imtimi. Jeigu < τ < τ, tuomet ankstesniosios imties absoliutinė vertė yra mažesnė už vėlesniosios imties absoliutinę vertę, o jeigu τ < τ < T b, tuomet ankstesniosios imties absoliutinė vertė yra didesnė už vėlesniosios imties absoliutinę vertę (žr pav.). Todėl skirtumo w( = w ( τ + ntb Δ) w ( τ + ntb + Δ) (3.4.8) laikinį vidurkį w 3( = w ( (3.4.9) galima panaudoti automatiniam sinhronizavimo signalo dažnio reguliavimui: dažnis yra optimalus, kai τ = τ, t.y., kai w 3 ( =. Vidurkinimo operaija reikalinga tam, kad bitų sinhronizatorius veiktų ir tuo atveju, kai dvejetainis skaitmuo nesikeičia kas T b sekundžių. Polinio NRZ signalo bitų sinhronizatoriaus, kuriame įgyvendintas aukščiau aprašytasis metodas, struktūrinė shema pateikta pav. Sinhronizavimo impulsus generuoja valdomo dažnio generatorius, kurio dažnį valdo įtampa w 3 ( (žr. (3.4.9)). Ši įtampa suormuojama tokiu būdu. Naudojant vėlinimo grandines, suormuojamas dydžiu Δ užvėlintas sinhronizavimo signalas ir tiek pat paskubintas signalas (paskuba Δ ir vėlinimas +Δ yra tapatūs vėlinimams T b - Δ ir T b + Δ). Šie signalai valdo imties grandines, kurios atitinkamais laiko momentais (τ + nt b - Δ ir τ + nt b + Δ) užiksuoja įėjimo signalo vertes. Lygintuvai šias vertes pakeičia jų absoliutinėmis vertėmis. Sumavimo įrenginys atima jas vieną iš kitos (t.y., apskaičiuoja w ( (3.4.8)), o žemųjų dažnių iltras išskiria šio skirtumo žemadažnę dedamąją, t.y., laikinį vidurkį w 3 (. Jeigu sinhronizavimo impulsai yra laiko momentais τ + nt b, t.y., jeigu τ = τ, tuomet dažnio valdymo įtampa w 3 ( =. Jeigu sinhronizavimo impulsai vėluoja (τ > τ ), tuomet w 3 ( > ir dažnis padidinamas. Jeigu sinhronizavimo impulsai skuba (τ < τ ), tuomet w 3 ( < ir dažnis sumažinamas. Todėl bitų sinhronizatoriaus generuojamas signalas w 4 ( tai siauri impulsai laiko momentais t = τ + nt b. Vienpoliai, poliniai ir dvipoliai bitų sinhronizatoriai veikia tik tuo atveju, kai priimamuose duomenyse dvejetainius vienetus pakankamai dažnai keičia dvejetainiai nuliai ir atvirkščiai. Egzistuoja du būdai išvengti sinhronizavimo signalo praradimo, kai priimama ilga vienetų arba nulių seka. Vienas būdas tai duomenų širavimas (srambling). Jo esmė yra ta, kad siųstuvas perduodamuosius bitus sumaišo, t.y., sukeičia vietomis pagal tam tikrą taisyklę. Imtuvas atlieka atvirkščią operaiją, t.y., atstato pradinę bitų tvarką. Laiko intervalas tarp sukeičiamų vietomis bitų turi būti bent kelis kartus didesnis už tipišką vienetų arba nulių sekos trukmę. Tokiu atveju imtuvo įėjime nebūna ilgų vienų ir nulių sekų, todėl galima naudoti vienpolį, polinį arba dvipolį linijos kodą. Kitas būdas naudoti linijos kodą, kuriame ilgos vienetų arba nulių sekos netrukdo sinhronizavimui. Pvz., galima panaudoti Mančesterio NRZ linijos kodą (žr. 3.4.e pav.), tačiau tuomet bus reikalingas kanalas, kurio dažnių juostos plotis bent du kartus didesnis už tą, kuris reikalingas poliniam NRZ linijos kodui.

89 pav. Paskubos-vėlinimo bitų sinhronizatorius polinio NRZ signalo atvejui Daugialygių signalų galios spektrinis tankis poskyryje jau buvo minėta, kad daugialygio signalo dažnių juostos plotis yra mažesnis už tos pačios bitų spartos dvilygio signalo dažnių juostos plotį. Dabar šį teiginį pagrįsime matematiškai pav. parodyti 3 bitų analoginio skaitmenų keitiklio įėjimo ir išėjimo signalai. Šiuo atveju įėjimo signalas yra dvilygis, o išėjimo signalas yra 8-lygis. Jeigu vienam daugialygio signalo simboliui išreikšti reikalingi l bitų, tuomet daugialygio signalo lygių skaičius yra L = l. Daugialygio signalo simbolių sparta D susijusi su bitų sparta R sąryšiu R D = =, (3.4.) Ts ltb l kur T s yra simbolio trukmė, o T b yra bito trukmė. Pvz., 3.4.8b pav. atveju simbolių sparta yra 3 kartus mažesnė už bitų spartą. Daugialygio signalo galios spektrinį tankį galima apskaičiuoti pagal (3.4.a) ormulę, kuri buvo panaudota 3.4. poskyryje, skaičiuojant dvilygio signalo galios spektrą. Ši ormulė įgyja ypač paprastą pavidalą tuo atveju, kai daugialygio signalo autokoreliaija (3.4.b) skiriasi nuo nulio tik taške k =. Tokio signalo pavyzdys tai daugialygis polinis NRZ signalas, kuriame visos lygių vertės yra vienodai tikėtinos. 8 lygių polinio NRZ signalo pavyzdys pateiktas 3.4.8b pav. Atitinkamas 3 bitų ASK kodas pateiktas 3.4. lentelėje lentelė. 3 bitų analoginio skaitmenų keitiklio kodas Skaitmeninis žodis Išėjimo lygis (a n )

90 pav. 3 bitų analoginio skaitmenų keitiklio įėjimo (a) ir išėjimo (b) signalai. Jeigu intervalas tarp bitų (k) yra nelygus nuliui, tuomet aukščiau minėtomis sąlygomis autokoreliaijos išraiškoje (3.4.b) kiekvienam dėmeniui (a n a n+k )P i galima surasti kitą dėmenį, kurio vertė priešinga. Todėl R(k) =, kai k (dvilygio signalo atveju šis teiginys įrodytas 3.4. poskyryje). Pavyzdyje, kuris pavaizduotas 3.4.8b pav., lygio kvadratas (a n ) gali įgyti 4 vertes:, 9, 5 ir 49, o kiekvienos iš jų tikimybė (P i ) lygi /4. Todėl 4 R () = ( a n ) i Pi = ir, pagal (3.4.a), i= F( ) Pw ( ) =. Ts Pasinaudoję stačiakampio impulso amplitudžių spektro išraiška (..3) ir atsižvelgę į tai, kad T s = 3T b, randame sin3πt ( ) 63 3 b Pw = Tb. πtb Palyginimui polinio NRZ signalo (žr. 3.4.b pav.), kuriame dvejetainio vieneto ir nulio tikimybės yra vienodos, galios spektrinis tankį nusako reiškinys (3.4.3b) (ši dažnio unkija, kai A =, pavaizduota 3.4.b pav.). Vadinasi, 8-lygio polinio NRZ signalo pirmojo nulio dažnių juostos plotis yra B null = /(3T b ) = R/3, t.y., 3 kartus mažesnis už tos pačios bitų spartos

91 86 dvilygio polinio NRZ, vienpolio NRZ arba dvipolio RZ signalo pirmojo nulio juostos plotį ir 6 kartus mažesnis už dvilygio vienpolio RZ arba Mančesterio NRZ signalo pirmojo nulio juostos plotį (žr pav.). Bendruoju atveju, kai lygių skaičius yra L = l, daugialygio signalo su stačiakampiais impulsais galios spektrinis tankis lygus sin lπt multilevel NRZ ( ) b P = K lπtb, (3.4.) kur K yra konstanta, o pirmojo nulio dažnių juostos plotis lygus B null = R/l. (3.4.) Taigi, daugialygių signalų panaudojimas leidžia sumažinti skaitmeninio signalo dažnių juostos plotį, lyginant su dvilygiu signalu. Praktikoje daugialygiai signalai dažniausiai ne tiesiogiai perduodami kanalu, o moduliuoja nešlį. Tokiu būdu suormuojamas palyginti siaurajuostis skaitmeninis signalas Skaitmeninio signalo spektro panaudojimo eektyvumas Skaitmeninio signalo spektro panaudojimo eektyvumas η tai bitų skaičius per sekundę, tenkantis vienam dažnių juostos herui: R η = (bits/s) / Hz, (3.4.3) B kur R yra bitų sparta, o B yra signalo dažnių juostos plotis. Praktikoje, kuriant ryšių sistemą, pagrindinis tikslas yra pasiekti kuo didesnį spektro panaudojimo eektyvumą, tenkinant duotuosius sistemos kainos ir klaidos tikimybės sistemos išėjime apribojimus. Teorinė spektro panaudojimo eektyvumo riba išplaukia iš Šenono teoremos (.4.): C S η = max = log + B N, (3.4.4) kur S/N yra signalo ir triukšmo galių santykis imtuvo įėjime. Daugialygio NRZ signalo spektro panaudojimo eektyvumas randamas, įrašius signalo pirmojo nulio dažnių juostos plotį (3.4.) į η apibrėžimą (3.4.3): η = l (bits/s)/hz (multilevel NRZ), (3.4.5) kur l yra ASK bitų skaičius. Tačiau, didinant l, spektro panaudojimo eektyvumas negalės viršyti teorinio maksimumo (3.4.5). Visų minėtųjų linijos kodų spektro panaudojimo eektyvumai pateikti lentelėje. Kaip matome, visų dvilygių linijos kodų η. Naudojant daugialygius signalus, galima žymiai padidinti spektro panaudojimo eektyvumą, tačiau daugialygių signalų generavimo ir apdorojimo grandinės yra žymiai brangesnės. Linijos kodo tipas lentelė. Įvairių linijos kodų spektro panaudojimo eektyvumai Pirmojo nulio juostos plotis (Hz) Spektro panaudojimo eektyvumas η = R/B Vienpolis NRZ R Polinis NRZ R Vienpolis RZ R / Dvipolis RZ R Mančesterio NRZ R / Daugialygis NRZ R/l l

92 pav. Tarpženklinės intererenijos pavyzdžiai dvilygių signalų atveju Tarpženklinė intererenija Pagrindinės sąvokos Kaip minėta.8 poskyryje, impulso dažnių juostos plotis yra atvirkščiai proporingas impulso trukmei. Vadinasi, jeigu kanalo, kuriuo perduodamas impulsas, juostos plotis yra mažesnis už impulso dažnių juostos (pirmojo nulio) plotį arba jeigu kanale naudojami pernelyg siaurajuosčiai iltrai, tuomet impulsas, sklisdamas kanalu arba praėjęs pro iltrą, išplis. Tokiu būdu kaimyniniai impulsai gali persikloti, ir juos bus sunku išskirti (žr pav.). Šis reiškinys vadinamas tarpženkline intererenija (intersymbol intererene, ISI). Visiškai išvengti stačiakampių impulsų išplitimo neįmanoma, nes stačiakampio impulso absoliutinis dažnių juostos plotis yra begalinis (žr. (..3) ir..a pav.), o kanalo juostos plotis visuomet yra baigtinis. Dėl to praktikoje impulsai visuomet turi užapvalintus kampus. Egzistuoja trys būdai pasiekti, kad impulsų iltravimas nesukeltų tarpženklinės intererenijos. Šie trys būdai aprašyti žemiau. Tačiau visų pirma uždavinį suormuluosime matematiškai. Tarkime, duota skaitmeninė ryšių sistema, kurios kanalu perduodamas daugialygis skaitmeninis signalas, kurį sudaro stačiakampiai impulsai (pvz., žr b pav.): w in ( = anh( t nt s ), (3.5.) n kur a n yra signalo lygiai (perduodamieji duomenys), T s yra vieno simbolio perdavimo trukmė, o h( yra T s trukmės stačiakampis vienetinis impulsas: t h ( = Π. (3.5.) T s (žr. unkijos Π(x) apibrėžimą (..9)). Impulsai, kurie patenka į kanalą, niekuomet nebūna idealiai stačiakampiai (žr. aukščiau). Galima laikyti, kad realūs impulsai tai pro tiesinį iltrą praėję stačiakampiai impulsai pav. šio iltro dažninė harakteristika (impulsinio atsako spektras) pažymėta H T (). Kanalas papildomai iškraipo (iltruoja) impulsus. Šiuos iškraipymus atspindi kanalo dažninė harakteristika H C () (žr pav.). Imtuvas, prieš matuodamas impulsų amplitudes, turi transormuoti impulsus taip, kad jie būtų kuo panašesni į stačiakampius impulsus (siekiant minimizuoti ISI). Atitinkamo iltro dažninę harakteristiką žymėsime H R () (žr pav.).

93 pav. Stačiakampių impulsų perdavimo sistema. Pagal superpoziijos ir laikinio invariantiškumo savybes (žr..6. poskyrį), imtuvo iltro išėjimo signalas bus tokio pavidalo: w out ( = anhe ( t nts ), (3.5.3) kur h e ( yra imtuvo iltro išėjimo signalas, kai siųstuvo iltro įėjime yra vienetinis stačiakampis impulsas h(. Žinome, kad tiesinės sistemos išėjimo signalas lygus įėjimo signalo ir sistemos impulsinio atsako sąsūkai (žr. (.6.5)). Siųstuvo iltro išėjimo signalas tai kanalo įėjimo signalas, o kanalo išėjimo signalas tai imtuvo iltro įėjimo signalas. Vadinasi, norint gauti imtuvo iltro išėjimo signalą h e (, kai siųstuvo iltro įėjime yra impulsas h(, reikia tris kartus nuosekliai atlikti sąsūkos operaiją: he ( = h( * ht ( * hc ( * hr(, (3.5.4) kur h T (, h C ( ir h R ( yra atitinkamai siųstuvo iltro, kanalo ir imtuvo iltro impulsiniai atsakai. Kadangi sąsūkos spektras lygus spektrų sandaugai, tai signalo h e ( spektras lygus H e ( ) = H ( ) HT ( ) HC ( ) H R( ), (3.5.5) kur H() yra vienetinio stačiakampio T s trukmės impulso h( spektras (žr. (..3)): t sin(π Ts ) H ( ) = F Π = Ts T. (3.5.6) πts Spektras H e () (3.5.5) vadinamas sistemos ekvivalentine perdavimo unkija (sąvokos impulsinis atsakas ir perdavimo unkija vartojamos, ne tik kalbant apie atsaką į δ unkiją, bet ir kalbant apie atsaką į vienetinį stačiakampį impulsą). Tikslas rasti tokią ekvivalentinę perdavimo unkiją H e (), kad tarpženklinė intererenija būtų mažiausia. Radus tokią unkiją, ją būtų galima realizuoti, atitinkamai parinkus siųstuvo ir imtuvo iltrų dažnines harakteristikas H T () ir H R () (žr. (3.5.5)). Kanalo perdavimo unkija H C () dažniausiai būna duota iš anksto, ir jos pakeisti negalima. Jeigu duota siųstuvo iltro dažninė harakteristika H T (), reikalingoji ekvivalentinė perdavimo unkija H e () realizuojama, parinkus imtuvo iltro dažninę harakteristiką H R () tokiu būdu: H e( ) H R ( ) =. (3.5.7) H ( ) HT ( ) HC ( ) Jeigu H e () yra parinkta taip, kad tarpženklinė intererenija būtų mažiausia, tuomet imtuvo iltras, kurio dažninė harakteristika H R () tenkina (3.5.7) lygybę, vadinamas išlyginimo iltru. Parenkant H e () pavidalą, reikia turėti omenyje, kad šiuo atveju svarbi tik išėjimo signalo orma, o signalo vėlinimas ir jo amplitudė gali būti įvairūs. Vėlinimas T d pasireiškia daugikliu exp(-jπt d ) signalo spektro išraiškoje (žr. B- lentelę), o signalo stiprinimas arba silpninimas pasireiškia pastoviu realiuoju daugikliu. Vadinasi, siųstuvo ir imtuvo iltrų dažnines harakteristikas H T () ir H R () visuomet galima padauginti iš daugiklio Kexp(-jπT d ), kur K yra bet koks patogus stiprinimo koeiientas, o T d yra bet koks patogus vėlinimas. Praktikoje šie parametrai parenkami taip, kad iltrus būtų lengviau pagaminti, o teoriniuose skaičiavimuose taip, kad ormulės būtų paprastesnės. n

94 Pirmasis Naikvisto metodas tarpženklinei intererenijai sumažinti Tarpženklinės intererenijos panaikinimo pirmasis Naikvisto metodas remiasi tuo, kad imtuvas skaitmeninį signalą matuoja diskrečiais laiko momentais kas T s sekundžių, kur T s yra simbolio trukmė (žr poskyrį). Vadinasi, norint išvengti tarpženklinės intererenijos, pakanka pasiekti, kad jos nebūtų tik signalo vertės matavimo momentais kt s + τ, kur k yra simbolio numeris, o τ yra sistemos vėlinimas. T.y., laiko momentu kt s + τ visų impulsų, išskyrus k-tąjį, indėlis į skaitmeninį signalą turi būti lygus nuliui. Tai reiškia, kad ekvivalentinis impulsinis atsakas (imtuvo iltro išėjimo impulsas, atitinkantis k = ) turi tenkinti šią sąlygą: C, k = ; he ( kts + τ ) = (3.5.8), k. Čia C yra nenulinė konstanta (kaip minėta 3.5. poskyryje, konkrečios C ir τ vertės neturi reikšmės). Jeigu tenkinama (3.5.8) lygybė ir jeigu k-tojo stačiakampio impulso, kuris perduodamas į siųstuvo iltro įėjimą, amplitudė lygi a, tuomet laiko momentu t = kt s + τ imtuvo iltro išėjimo signalo vertė bus lygi ac, t.y., proporinga pradinio impulso amplitudei. Vadinasi, jeigu imtuvas matuos signalo vertes laiko momentais t = kt s + τ, tuomet tarpženklinė intererenija nepasireikš. Reikalavimas (3.5.8) vadinamas pirmuoju Naikvisto kriterijumi. Pvz., laikant, kad τ =, (3.5.8) reikalavimą tenkina sin(x)/x pavidalo unkija sinπdt h e ( =, (3.5.9) π Dt kur D yra atvirkštinė simbolio trukmė (simbolių sparta): D = /T s. Impulso (3.5.9) spektras yra stačiakampio impulso pavidalo (žr. (..33)): H e ( ) = Π. (3.5.) D D Vadinasi, jeigu siųstuvo ir imtuvo iltrai suprojektuoti taip, kad pilnoji perdavimo unkija būtų (3.5.) pavidalo, tuomet tarpženklinės intererenijos nebus. Be to, skaitmeninio signalo, kurį sudaro (3.5.9) pavidalo impulsai, dažnių juostos plotis sutampa su pavienio impulso dažnių juostos pločiu, kuris lygus D/ (žr. (3.5.)). Iš (3.3.6) nelygybės išplaukia, kad tai yra mažiausias dažnių juostos plotis, kuris gali būti pasiektas, esant duotai simbolių spartai D. Todėl signalo iltravimas, kurį nusako (3.5.) lygybė, yra optimalus. Tačiau tokią sistemą sunku realizuoti praktikoje dėl to, kad, tolstant nuo unkijos sin(x)/x pagrindinio maksimumo, antrinių maksimumų aukštis mažėja palyginti lėtai /x dėsniu. Tai reiškia, kad šios unkijos polinkis nulių taškuose yra palyginti didelis. Vadinasi, net mažas ėmimo momentų nuokrypis nuo optimaliųjų verčių (kt s + τ) gali sukelti tarpženklinę interereniją. T.y., net jeigu būtų įmanoma realizuoti (3.5.) pavidalo perdavimo unkiją, išvengti tarpženklinės intererenijos būtų gana sudėtinga, nes tam reikėtų praktiškai idealaus dekodavimo grandinės sinhronizavimo Tarpženklinės intererenijos sumažinimas, naudojant pakelto kosinuso ormos kryčio iltrą Pakelto kosinuso ormos kryčio iltro (raised osine-rollo ilter) išėjimo signalo spektras, kai įėjime yra vienetinis stačiakampis impulsas (3.5.), kurio trukmė T s = /( ), yra tokio pavidalo:, < ; π ( ) H e ( ) = + os, < < B; (3.5.) Δ, > B,

95 pav. Pakelto kosinuso ormos kryčio iltro dažninė amplitudės harakteristika. kur B yra iltro absoliutinis dažnių juostos plotis, o parametrai ir Δ apibrėžiami sąryšiais Δ B, (3.5.) Δ. (3.5.3) yra iltro 6 db lygio dažnių juostos plotis. Kryčio koeiientas (rollo ator) apibrėžiamas sąryšiu r = Δ. (3.5.4) Dažninė amplitudės harakteristika H e () pavaizduota pav. Tokio iltro išėjimo signalas, kai įėjime yra /( ) trukmės vienetinis stačiakampis impulsas, yra lygus spektro (3.5.) atvirkštinei Furjė transormaijai: sinπ t osπ Δt he ( = F [ H e( )] =. (3.5.5) π t (4 Δ Šios unkijos nuliai yra taškuose t = k/( ), kur k yra bet koks nenulinis sveikasis skaičius. Vadinasi, jeigu simbolių sparta (/T s ) lygi D =, (3.5.6) tuomet pakelto kosinuso kryčio iltras tenkina pirmąjį Naikvisto kriterijų (3.5.8), kur τ =. Formulė (3.5.6) nusako didžiausią leistiną impulsų spartą. Pirmasis Naikvisto kriterijus tenkinamas ir tuo atveju, kai simbolių sparta yra sveiką skaičių kartų mažesnė už tą, kurią nusako ormulė (3.5.6). Šio iltro pranašumus, lyginant su stačiakampiu iltru (3.5.), iliustruoja pav a pav. pavaizduotos dažninės amplitudės harakteristikos, esant trims kryčio koeiiento vertėms r =, r =.5 ir r = b pav. pavaizduoti atitinkami impulsiniai atsakai. Kai r = ( Δ = ), dažninė harakteristika (3.5.) yra stačiakampė, o impulsinis atsakas (3.5.5) yra sin(x)/x pavidalo, t.y., atitinka 3.5. poskyryje aprašytą atvejį. Didinant Δ ir nekeičiant, kryčio koeiientas r ir išėjimo signalo absoliutinis dažnių juostos plotis B auga (žr. (3.5.) ir 3.5.4a pav.) a pav. akivaizdu, kad, padidėjus kryčio koeiientui r (ir absoliutiniam dažnių juostos pločiui B), dažninės amplitudės harakteristikos polinkis pereinamojoje srityje sumažėja, t.y., tokį iltrą lengviau pagaminti b pav. akivaizdu, kad, padidėjus kryčio koeiientui r (ir absoliutiniam dažnių juostos pločiui B), impulsinio atsako antrinių maksimumų santykinės amplitudės sumažėja, t.y., sumažėja reikalavimai ėmimo momentų sinhronizavimui dekodavimo grandinėje (žr poskyrį). Iš (3.5.) ir (3.5.4) išplaukia B =. (3.5.7) + r Įrašę (3.5.7) į (3.5.6), randame simbolių spartą, kuri turi būti naudojama sistemoje su tokia iltravimo harakteristika:

96 pav. Pakelto kosinuso ormos kryčio iltro dažninės amplitudės harakteristikos, esant trims kryčio koeiiento r vertėms (a) ir atitinkami impulsiniai atsakai (b). B D =. + r (3.5.8) Pakelto kosinuso kryčio iltras yra vienas iš taip vadinamų Naikvisto iltrų. Naikvisto iltras tai iltras, kurio atsako į vienetinį T s trukmės entruotąjį stačiakampį impulsą spektras yra Π + < Y ( ), ; H e ( ) =,, (3.5.9) kur Y() yra realioji unkija, kuri yra lyginė atžvilgiu nulinio dažnio ir nelyginė atžvilgiu =. T.y., Y(-) = Y(), < ; (3.5.) Y(- + ) = -Y( + ), <. (3.5.) Galima įrodyti, kad dažnio unkijos (3.5.9) atvirkštinė Furjė transormaija lygi nuliui laiko momentais t = k/( ), kur k. Vadinasi, Naikvisto iltras tenkina pirmąjį Naikvisto kriterijų (3.5.8), jeigu simbolių sparta tenkina (3.5.6) lygybę Antrasis ir trečiasis Naikvisto metodai tarpženklinei intererenijai sumažinti Antrasis Naikvisto metodas remiasi tuo, kad, iš anksto žinant imtuvo iltro išėjimo impulsų ormą, impulsus galima atskirti vieną nuo kito net ir tuo atveju, kai jie persikloja.

97 9 Panaikinant tarpženklinę interereniją šiuo metodu, visų pirma dirbtinai sukeliama tarpženklinė intererenija, o po to, remiantis žinomais jos dėsningumais, imtuvas ją pašalina. Naudojant trečiąjį Naikvisto metodą, imtuvas matuoja ne signalo vertes diskrečiais laiko momentais, o plotą po h e ( pavidalo impulsu kiekviename T s trukmės simbolio intervale. h e ( pavidalas parenkamas taip, kad plotas po h e ( būtų nelygus nuliui tik duotojo simbolio intervale ir būtų lygus nuliui visų kitų simbolių intervaluose Laikinis tankinimas Laikinio tankinimo sąvoka Kanalo laikiniu tankinimu (time-division multiplexing, TDM) vadinamas imčių iš kelių šaltinių perdavimas pakaitom vienu ryšių kanalu pav. iliustruoja TDM sąvoką tam atvejui, kai trijų analoginių šaltinių generuojami signalai vienu metu perduodami PCM sistema. Visi trys signalai periodiškai pakaitom prijungiami prie linijos, naudojant elektroninį komutatorių multipleksorių. Šiame pavyzdyje multipleksoriaus išėjime yra TDM PAM signalas (žr pav.), kurio impulso trukmė yra T s /3 = /(3 s ), kur s yra ėmimo sparta, t.y., komutatoriaus iklų ( sukimosi ) dažnis. Praleidus TDM PAM signalą pro kvantuotuvą ir koduotuvą (žr. 3.. pav.), suormuojamas galutinis TDM PCM signalas, kuriame kiekvienas T s /3 trukmės impulsas pakeičiamas n bitų dvilygiu arba daugialygiu skaitmeniniu žodžiu (žr. 3. poskyrį). Šio TDM PCM signalo impulso trukmė yra T s /(3n). Kiekvieno signalo ėmimo sparta turi būti nemažesnė už to signalo dvigubą dažnių juostos plotį (Naikvisto ėmimo sparta; žr. 3.. poskyrį). Jeigu kiekvienas inormaijos šaltinis prijungtas tik prie vieno multipleksoriaus įėjimo, tuomet visų signalų ėmimo spartos sutampa ir yra lygios multipleksoriaus iklų dažniui. Jeigu skirtingų signalų dažnių juostų pločiai stipriai skiriasi, tuomet plačiajuosčius šaltinius galima prijungti prie kelių komutatoriaus įėjimų: tuomet šių šaltinių signalo ėmimo sparta tampa atitinkamą skaičių kartų didesnė už multipleksoriaus iklų dažnį. Multipleksoriaus įėjimuose gali būti ne tik analoginiai, bet ir dvilygiai arba daugialygiai skaitmeniniai signalai (žr., pvz., pav. ir pav.). Tokiu atveju multipleksorius periodiškai atrenka kiekvieno įėjimo simbolius (bitus) ir įterpia juos tarp kitų įėjimų simbolių (bitų). Tokiu būdu suormuojamas TDM PCM signalas. Kiekvieno signalo ėmimo sparta turi būti lygi jo simbolių spartai (arba nežymiai didesnė už pastarąją: žr poskyrį). Jeigu sutankinamų skaitmeninių šaltinių simbolių spartos stipriai skiriasi, tuomet didelės simbolių spartos šaltinius galima prijungti prie kelių komutatoriaus įėjimų (kaip ir analoginių signalų atveju: žr. aukščiau). Imtuve TDM PCM signalas yra dekoduojamas, t.y., vėl paverčiamas TDM PAM signalu, ir perduodamas į imtuvo komutatorių demultipleksorių, kuris periodiškai prijungia liniją prie kiekvieno iš savo išėjimų (žr pav.). Demultipleksorius turi būti sinhronizuotas su priimamuoju signalu, kad kiekviename jo išėjime atsirastų tik vieno apibrėžto šaltinio PAM ėmimo signalas. Pradiniai analoginiai signalai atkuriami pagal atitinkamus PAM signalus, naudojant žemųjų dažnių iltrus (žr. 3.. poskyrį). Jeigu siųstuvo multipleksorius sutankino jau užkoduotus PCM signalus, tuomet demultipleksavimas atliekamas prieš dekodavimą. Tokiu atveju demultipleksorius turi būti sinhronizuotas taip, kad kiekvieno jo išėjimo prijungimo prie linijos momentas sutaptų su vieno apibrėžto šaltinio bito momentu. Toks sinhronizavimas vadinamas bitų grupių sinhronizavimu (rame synhronization).

98 3.8. pav. Trijų kanalų laikinio tankinimo PCM sistema. 93

99 Bitų grupių sinhronizavimas Bitų grupė (rame) tai yra skaitmeniškai užkoduotas multipleksoriaus išėjimo signalas, kuris suormuojamas per vieną multipleksoriaus komutavimo iklą. Bitų grupėje kiekvieną inormaijos šaltinį atitinka bent vienas daugialygio arba dvilygio skaitmeninio signalo inormainis žodis. Inormainis žodis tai skaitmeniškai užkoduota inormainio signalo vertė, kuri išmatuojama per laiko tarpą tarp dviejų persijungimų nuo vieno multipleksoriaus įėjimo prie kito. T.y., inormainis žodis tai vieno inormaijos šaltinio perduodama duomenų seka, kuri nėra skaidoma į smulkesnes duomenų sekas laikinio tankinimo metu. Jeigu sutankinimas atliekamas prieš skaitmeninį kodavimą, t.y., jeigu sutankinami PAM signalai (kaip 3.8. pav.), tuomet kiekvienas inormainis žodis nusako atitinkamo PAM signalo impulso amplitudę (t.y., sutampa su kodiniu žodžiu). Jeigu sutankinimas atliekamas po skaitmeninio kodavimo, t.y., jeigu sutankinami dvilygiai arba daugialygiai PCM signalai, tuomet kiekvienas inormainis žodis sutampa su atitinkamo PCM signalo bitu arba simboliu (t.y., gali ne tik sutapti su kodiniu žodžiu, bet ir būti tik kodinio žodžio dalis). Vieną inormaijos šaltinį bitų grupėje gali atitikti keli inormainiai žodžiai. Taip yra tuo atveju, kai inormainis signalas prijungtas prie kelių multipleksoriaus įėjimų (žr poskyrį). Kad imtuvas galėtų išrūšiuoti skirtingus inormainius žodžius pagal inormaijos šaltinius, jis turi būti valdomas bitų grupių sinhronizavimo impulsais, kurie nusako kiekvienos grupės pradžios momentą. Grupių sinhronizavimo signalas gali būti perduodamas atskiru kanalu arba gali būti atkurtas pagal patį TDM signalą. Pastaruoju atveju grupių sinhronizavimo signalo atkūrimui galima panaudoti speialų K bitų sinhronizavimo žodį kiekvienos bitų grupės pradžioje (žr pav.). Atitinkamo grupių sinhronizatoriaus struktūrinė shema pateikta pav. Pirmieji trys šios shemos komponentai išlyginimo iltras, bitų sinhronizatorius ir signalo regeneravimo grandinė buvo aprašyti atitinkamai 3.5, ir poskyriuose. Bitų grupių sinhronizatorius nuolat lygina paskutiniuosius K regeneruoto signalo bitų su atitinkamais sinhronizavimo žodžio bitais (s, s,, s K ). Tam panaudojamas K skilčių postūmio registras, kurio skiltys prijungtos prie loginio IR (loginės sandaugos) elemento įėjimų. Registre nuolat saugomi paskutinieji K signalo bitų pav. trikampiai su užrašais s, s,, s K nusako signalo invertoriaus buvimą arba nebuvimą: jeigu duotasis sinhronizavimo žodžio bitas lygus, tuomet tarp atitinkamos registro skilties ir loginio dauginimo elemento įėjimo turi būti invertorius, o jeigu duotasis bitas lygus, tuomet invertoriaus neturi būti. Loginio IR elemento išėjime impulsas atsiranda tik tuomet, kai visuose jo įėjimuose yra vienetai, t.y., kai priimamas grupių sinhronizavimo žodis. Tokiu būdu atkuriamas grupių sinhronizavimo signalas pav. Sinhronizavimo žodžių panaudojimas bitų grupių sinhronizavimui TDM sistemoje.

100 pav. Bitų grupių sinhronizatoriaus struktūrinė shema. Klaidingas grupių sinhronizavimo impulsas atsiranda tuomet, kai K inormainių bitų seka atsitiktinai sutampa su sinhronizavimo žodžiu. Jeigu TDM signale visi bitai yra nepriklausomi, o vieneto ir nulio tikimybės yra vienodos ir lygios /, tuomet tokio įvykio tikimybė lygi P K = = K. (3.8.) Sinhroninės, asinhroninės ir kvazisinhroninės sistemos Duomenų bitų, kuriuos perduoda skirtingi inormaijos šaltiniai, laiko momentai gali būti sinhronizuoti arba nesinhronizuoti tarpusavyje. Atitinkamai, duomenų perdavimo sistemos gali būti sinhroninės arba asinhroninės. Sinhroninėje sistemoje visi įrenginiai sinhronizuojami vienu sistemos laikrodžiu. Šio laikrodžio impulsai gali būti perduodami atskira linija arba atkuriami pagal duomenų signalą (žr poskyrį). Be to, sinhroninėse TDM sistemose reikalinga ir aukštesniojo lygio sinhronizaija, kad imtuvas galėtų nustatyti duomenų blokų pradžios ir pabaigos momentus (žr poskyrį). Asinhroninėje sistemoje sinhronizuojami tik vieno simbolio arba inormainio žodžio bitai. Tokiu atveju kiekvienas simbolis prasideda pradžios bitu, kuris startuoja imtuvo sinhronizavimo laikrodį, ir pasibaigia vienu arba dviem pabaigos bitais, kurie sustabdo sinhronizavimo laikrodį. Todėl imtuvo sinhronizavimo laikrodis yra startuojamas neperiodiškai ir nėra būtina jį sinhronizuoti su sistemos laikrodžiu. Tokia sistema yra ypač tinkama klaviatūros terminalams, nes simbolių priėmimo iš klaviatūros sparta kinta laike. Tokie asinhroniniai terminalai dažnai naudoja 7 bitų ASCII kodą, o visas simbolis susideda iš vieno pradžios bito, 7 ASCII kodo bitų, vieno lyginumo bito ir vieno pabaigos bito. T.y., pilnasis simbolio ilgis yra bitų. Asinhroninėse TDM sistemose inormainiai žodžiai (žr poskyrį) yra asinhroninio kodo simboliai (pvz., aukščiau aprašytieji bitų simboliai), o ne bitai. Kvazisinhroninėje sistemoje duomenų šaltiniai yra sinhronizuoti tik apytiksliai. Tuomet multipleksoriaus išėjimo signalo (imties) dažnis turi būti šiek tiek padidintas. Jeigu

101 96 imties momentu kuriame nors multipleksoriaus įėjime nėra naujo bito (yra senasis bitas), tuomet į TDM išėjimo duomenų srautą įterpiamas tariamasis bitas (stu bi. Tariamieji bitai gali būti dvejetainiai vienetai arba nuliai arba gali sudaryti kažkokią vienetų ir nulių seką. Šį proesą iliustruoja pav. Šiame pavyzdyje komutuojami du dvilygiai skaitmeniniai signalai, kurių bitų trukmės šiek tiek skiriasi: pirmojo signalo bito trukmė yra maždaug % didesnė už antrojo signalo bito trukmę. Komutavimo iklo trukmė lygi trumpiausiajai bito trukmei, kad antrajame įėjime kiekvienu imties momentu būtų naujas duomenų bitas. T.y., intervalas tarp dviejų komutavimų (imties momentų) lygus pusei trumpiausios bito trukmės. Nelyginiais momentais priimamas pirmasis signalas, o lyginiais antrasis. Todėl, jeigu abiejų signalų pirmųjų bitų pradžios momentai sutampa, tuomet penktuoju imties momentu (t.y., trečiojo komutavimo iklo pradžioje) pirmajame įėjime dar bus antrasis bitas (žr pav.). Tokiu atveju multipleksorius įterpia į įėjimo bitų srautą tariamąjį bitą (3.8.4 pav. jis pažymėtas žvaigždute ). Sinhroninis duomenų perdavimas yra eektyvesnis už asinhroninį, nes nenaudoja pradžios ir pabaigos bitų. Tačiau sinhroniniam duomenų perdavimui reikalingas sinhronizavimo signalo perdavimas kartu su duomenimis pav. Duomenų sinhronizavimas dviejų kanalų laikinio tankinimo sistemoje, kai duomenų šaltiniai nėra tiksliai sinhronizuoti Laikinio tankinimo multipleksoriaus projektavimo pavyzdys Tarkime, kad reikia suprojektuoti multipleksorių, kuris sutankintų šaltinių perduodamą inormaiją. Laikysime, kad šaltinių harakteristikos yra šios: I šaltinis yra analoginis, dažnių juostos plotis lygus khz; II šaltinis yra analoginis, dažnių juostos plotis lygus 4 khz; III šaltinis yra analoginis, dažnių juostos plotis lygus khz; IV XI šaltiniai yra skaitmeniniai, dvilygiai, sinhroniniai, vieno šaltinio bitų sparta lygi 7 bits/s.

102 97 Be to, laikysime, kad analoginių šaltinių inormaiją reikia perduoti 4 bitų dvilygių PCM žodžių pavidalu. TDM sistemoje yra naudojamos sinhroninės linijos, o grupių sinhronizavimo signalas perduodamas atskiru kanalu. Siekiant patenkinti Naikvisto ėmimo spartos reikalavimą (žr. (.7.)), pirmojo, antrojo ir trečiojo šaltinių ėmimo sparta turi būti atitinkamai 4, 8 ir 4 khz. Kaip parodyta pav., tai galima pasiekti, pasirinkus multipleksoriaus iklų dažnį = 4 khz ir matuojant antrojo šaltinio signalą du kartus kiekviename ikle. Vadinasi, vieno iklo metu išmatuojamos 4 imtys. Kiekviena imtis išreiškiama 4 bitų PCM žodžiu, naudojant 4 bitų skaitmeninį analogo keitiklį. Šio keitiklio išėjime yra 64 kb/s spartos dvilygis TDM PCM signalas ((4 khz) (4 imtys) (4 bitai) = 64 kb/s). Po to į šį signalą reikia įterpti skaitmeninių inormaijos šaltinių bitus. Tuo tikslu panaudojamas antrasis multipleksorius. Jeigu skaitmeninių duomenų šaltiniai nėra tiksliai sinhronizuoti, tuomet jų signalų ėmimo sparta turi būti šiek tiek didesnė už bitų spartą, pvz., 8 khz. Tokiu būdu, naudojant tariamuosius bitus (žr poskyrį), suormuojami 8 dvilygiai signalai, kurių kiekvieno bitų sparta 8 kb/s. Šiuos aštuonis signalus galima sutankinti, naudojant 8 įėjimų multipleksorių, kurio iklų dažnis lygus 8 khz. Kiekvieno skaitmeninio šaltinio signalas patenka į vieną šio multipleksoriaus įėjimą. Kadangi pirmojo multipleksoriaus išėjimo signalo bitų sparta yra aštuonis kartus didesnė (64 kb/s), tai antrajame multipleksoriuje šį signalą turi atitikti 8 kartus daugiau įėjimų, negu atitinka vieną skaitmeninį signalą. T.y., turi būti dar aštuoni įėjimai, į kuriuos patenka pirmojo multipleksoriaus išėjimo signalas. Todėl antrasis multipleksorius turi 6 įėjimų: lyginiais (nelyginiais) momentais šis multipleksorius perduoda skaitmeninių šaltinių signalus, o nelyginiais (lyginiais) momentais pirmojo multipleksoriaus išėjimo signalą (žr pav.) pav. Laikinio tankinimo multipleksoriaus pavyzdys.

103 Uždavinių sprendimo pavyzdžiai Pavyzdys Nr. Analoginis signalas w( paverčiamas momentinio ėmimo PAM signalu (žr pav.). Ėmimo sparta lygi 8 khz, o impulso plotis yra μs. Signalo w( spektras yra trikampio ormos: W ( ) = Λ( / B) (žr. (..3)), o jo absoliutinis dažnių juostos plotis lygus B = 3 khz. (a) Apskaičiuokite ir pavaizduokite graiškai PAM signalo amplitudžių spektrą. (b) Apskaičiuokite PAM signalo pirmojo nulio juostos plotį Sprendimas (a) PAM signalo spektras gaunamas, įrašius sąlygoje duotąją analoginio signalo spektro išraišką W ( ) = Λ( / B) į PAM signalo spektro išraišką (3..7). Gautasis PAM signalo amplitudžių spektras pavaizduotas 3.9. pav. Šiame graike matome, kad PAM signalo spektras sudarytas iš pradinio analoginio signalo spektro kopijų, kurios pasislinkusios viena πτ kitos atžvilgiu ėmimo sparta 8 khz ir padaugintos iš unkijos τ sin, kurią sąlygoja πτ stačiakampė impulsų orma pav. Pavyzdžio Nr. sprendimas (b) PAM signalo spektro pirmojo nulio dažnis yra lygus pradinio signalo absoliutiniam juostos pločiui, t.y., 3 khz. Tačiau šiuo atveju 3 khz nėra tinkamas juostos pločio matas, nes aukštesniuose dažniuose amplitudžių spektras vėl tampa didelis. Praktikoje, įvertinant PAM signalo dažnių juostos plotį, dažniausiai naudojamas jo spektro gaubtinės pirmojo nulio juostos plotis. Spektro gaubtinė tai unkija πτ τ sin πτ. Šios unkijos pirmojo nulio dažnis yra B null = /τ = /( μs) = khz.

104 99 Pavyzdys Nr. Balso dažnio signalas, kurio dažnių juostos plotis 3 Hz, yra paverčiamas kodinio impulsinio moduliavimo (PCM) signalu, naudojant ėmimo spartą 7 s - ir 64 lygių tolygųjį kvantuotuvą. PCM ormato dvejetainiai duomenys perduodami kanalu, kuriame dėl triukšmo klaidingų bitų dažnis siekia -4. (a) Koks yra PCM signalo pirmojo nulio juostos plotis, jeigu naudojamas polinis linijos kodas (žr. 3.4.b pav.)? (b) Koks yra vidutinis signalo ir triukšmo santykis imtuvo išėjime? Sprendimas (a) M = 64 kvantavimo lygių atitinka n = 6 bitų PCM žodžius, nes M = n. Pagal ormulę (3..4), polinio linijos kodo atveju pirmojo nulio juostos plotis lygus B null = n s = 6 7 = 4 khz. Pastaba: Jeigu būtų naudojami sinx/x pavidalo impulsai, tuomet PCM signalo juostos plotis būtų du kartus mažesnis ir lygus khz. (b) Pagal ormulę (3..5b), kai M = 64 ir P e = -4, signalo ir triukšmo santykis imtuvo išėjime lygus S M 496 = = = 55 = 3.9 db. N + 4( M ) +.64 out P e Pastaba: Pirmasis vienetas vardiklyje atitinka kvantavimo triukšmą, o dėmuo.64 atitinka triukšmą, kuris atsiranda dėl klaidingų bitų. Šiame pavyzdyje abiejų šių eektų indėlis į pilnutinį triukšmą yra beveik vienodas. Jeigu klaidingų bitų dažnis būtų mažesnis už -5, vyrautų kvantavimo triukšmas, o jeigu klaidingų bitų dažnis būtų klaidingų bitų dažnis būtų didesnis už -3, vyrautų klaidingų bitų sąlygotas triukšmas. Pavyzdys Nr. 3 Vienpolio NRZ ormato (žr. 3.4.a pav.) dvilygis signalas transormuojamas į daugialygį signalą. Daugialygio signalo galimų lygių skaičius lygus 3, jo impulsai yra stačiakampiai, impulso trukmė.347 ms. (a) Kokia yra daugialygio signalo simbolių sparta? (b) Kokia yra daugialygio signalo bitų sparta? () Koks yra daugialygio signalo pirmojo nulio juostos plotis? (d) Pakartokite punktus (a) () pradiniam dvilygiui signalui. Sprendimas (a) Pagal simbolių spartos apibrėžimą (3.3.), - D = N / T = /(.347 ms) = 88 s. (b) Kadangi lygių skaičius L ir vieną lygį atitinkantis bitų skaičius l susiję sąryšiu L = l, tai, kai L = 3, l = 5. Vadinasi, pagal (3.3.7), bitų sparta lygi R = ld = 5 88 = 44 b/s. () Pagal (3.4.), pirmojo nulio juostos plotis lygus B null = R/l = D = 88 Hz. (d) Dvilygio signalo atveju L =, l =, todėl D = R = 44 s -, B null = R = D = 44 Hz.

105 Pavyzdys Nr. 4 Kompiuterio nuoseklioji prieiga RS-3 perduoda polinio NRZ ormato (žr. 3.4.b pav.) duomenis 384 b/s sparta. Dvejetainio ir dvejetainio pasikartojimo dažniai yra vienodi. Apskaičiuokite ir pavaizduokite graiškai šio RS-3 signalo galios spektrinio tankio prieklausą nuo dažnio. Šiame graike galios spektrinis tankis turi būti išreikštas deibelais ir normuotas taip, kad maksimumas atitiktų db. Apskaičiuokite šio signalo 3 db lygio dažnių juostos plotį (t.y., dažnį, virš kurio galios spektrinis tankis yra mažesnis už -3 db). Apskaičiuokite 3 db lygio juostos plotį, kuris gaunamas, kai šis signalas praleidžiamas pro pakelto kosinuso kryčio iltrą, kurio kryčio koeiientas r =.5 (žr. ormulę (3.5.) ir 3.5.4a pav.). Sprendimas Pagal ormulę (3.4.3b), dvilygio signalo su priešingo poliarumo stačiakampiais impulsais ir vienodai tikėtinais ir galios spektrinis tankis lygus sinπt b P( ) = ; πtb čia daugiklis prieš skliaustus lygus, nes sąlygoje reikalaujama, kad, esant nuliniam dažniui, galios spektrinis tankis būtų lygus (t.y., db). T b yra vieno bito trukmė, t.y., T b = /R = (/384) s. Išreiškus šį galios spektrinį tankį deibelais, sinπt b P = db ( ) log. πtb Pastaroji unkija yra pavaizduota 3.9. pav. Matome, kad 3 db lygio spektro plotis yra žymiai didesnis už bitų spartą: net esant khz dažniui, galios spektrinis tankis yra didesnis už -3 db (nors egzistuoja siauri dažnių intervalai, kuriuose jis nukrenta žemiau šios ribos) pav. 384 b/s spartos RS-3 signalo galios spektrinis tankis Tokio pavidalo spektro juostos plotis apibrėžiamas, naudojant spektro gaubtinę. Ją nusako galios spektrinio tankio vertės taškuose, kurie atitinka unkijos sin πt b maksimumus, išskyrus

106 dažnius = ±.5/T b. Šie taškai apytiksliai sutampa su galios spektrinio tankio maksimumais. Kadangi šiuose taškuose sin πt b =, tai galios spektrinio tankio gaubtinė lygi PdB gaubt ( ) = log = log( πt ) b. ( πtb ) Įrašę T b vertę ir laikydami, kad dažnis išreikštas Hz, randame: PdB gaubt ( ) = ( log ) = 8.7 log. Vadinasi, dažnis, kuriame P db gaubt = -3 db, yra lygus ( = 3) / = = 387 khz =. R. Taigi, norint perduoti visas dažnines dedamąsias, kurios yra aukščiau -3 db lygio, reikalingas kanalas, kurio juostos plotis yra maždaug kartų didesnis už bitų spartą. Šis pavyzdys iliustruoja bendrąjį teiginį, kuris buvo suormuluotas 3. poskyryje: jeigu naudojami stačiakampiai impulsai, tuomet impulsinio signalo spektras yra platus. Jeigu siekiama perduoti PCM signalą kanalu, kurio juostos plotis yra mažesnis už PCM signalo spektrą, PCM signalą reikia iltruoti. Filtravimas turi būti toks, kad, iš vienos pusės, sumažintų signalo juostos plotį iki kanalo juostos pločio, o iš kitos pusės, leistų išvengti tarpženklinės intererenijos (žr. 3.5 poskyrį). Tokio iltro pavyzdys pakelto kosinuso ormos kryčio iltras (žr poskyrį). Kai šio iltro įėjime yra /D trukmės vienetinis stačiakampis impulsas, išėjimo signalo absoliutinis juostos plotis B skaičiuojamas pagal ormulę (3.5.8): B = ( + r) D ; čia r yra kryčio koeiientas, o D yra simbolių sparta, kuri šiuo atveju sutampa su bitų sparta R = 384 b/s. Kai r =.5, B = ( +.5)384 = 88 khz =.75 R. Toks pats yra ir polinio signalo, kuris naudoja tokios ormos impulsus, absoliutinis juostos plotis (nes, pagal ormulę (3.4.3a), dvilygio polinio signalo galios spektrinis tankis yra proporingas pavienio impulso amplitudžių spektro kvadratui). Dažnis, kuris atitinka galios spektrinio tankio vertę -3 db, randamas pagal ormulę (3.5.). Kadangi H e () =, tai galios spektrinis tankis, kuris normuotas į vienetą, esant nuliniam dažniui, yra lygus tiesiog H e ( ). Lygis -3 db atitinka galios spektrinio tankio sumažėjimą kartų. Vadinasi, ieškomasis 3 db lygio juostos plotis yra šios lygties sprendinys: H e ( ) =.. Filtro parametrų ir Δ vertės randamos pagal ormules (3.5.) ir (3.5.3), turint omenyje, kad B =.75R (žr. aukščiau), o = R/ (žr. (3.5.6)). Taigi, Δ = R/4 ir = R/4. Todėl iltro išėjimo signalo spektras kryčio srityje lygus π ( ) π ( R / 4) π π π H e ( ) = + os = + os = + os = + sin. Δ R / R R 3 db lygio juostos plotis tai dažnis, kuriam esant, šis reiškinys lygus. =. 36. Vadinasi, R = [ π + arsin(.36)] =.693 R 66 Hz. π Šis juostos plotis yra beveik 5 kartų mažesnis už tą, kuris reikalingas stačiakampių impulsų perdavimui (žr. aukščiau). Uždaviniai 3.. Analoginis signalas, kurio spektras pavaizduotas žemiau, turi būti perduotas kintamos srovės linija, kuri nepraleidžia nuolatinės įtampos. Todėl vietoj pavienių stačiakampių impulsų naudojami Mančesterio tipo impulsai, t.y., teigiamo ir neigiamo impulsų pora (žr. 3.4.e pav):

107 t + τ / 4 t τ / 4 ( = Π Π. τ / τ / Imties dažnis s = khz, impulso trukmė τ = 5 μs. Apskaičiuokite ir pavaizduokite graiškai tokio momentinio ėmimo PAM signalo amplitudžių spektrą. 3.. Raskite mažiausią bitų skaičių n impulsinio kodinio moduliavimo (PCM) žodyje, kuris reikalingas, kad kvantavimo paklaida neviršytų ±.P (w max - w min ); čia w max - w min yra analoginio signalo didžiausios ir mažiausios verčių skirtumas, o P yra proentais išreikštas didžiausios kvantavimo paklaidos ir minėtojo skirtumo santykis Inormaiją, kurią nusako analoginė įtampa, reikia perduoti PCM sistema ±. % tikslumu. Analoginio signalo absoliutinis dažnių juostos plotis lygus B = Hz. Raskite šiuos sistemos parametrus: a) mažiausią ėmimo spartą s, b) mažiausią bitų skaičių PCM žodyje n, ) mažiausią PCM signalo bitų spartą R, d) mažiausią kanalo dažnių juostos plotį B PCM, kuris reikalingas šio PCM signalo perdavimui MB talpos kietajame diske saugomi PCM ormato dvejetainiai duomenys, kurie nusako garsinio dažnio signalo diskrečias vertes, kurios buvo išmatuotos s = 8 khz dažniu. Laikinėje priklausomybėje, kuri bus atkurta pagal šiuos duomenis, signalo ir kvantavimo triukšmo vidutinių galių santykis turi būti nemažesnis už (S/N) db = 3 db. Kiek minučių inormaijos galima išsaugoti šiame kietajame diske? MHz juostos pločio analoginis signalas turi būti paverstas dvejetainiu PCM signalu ir perduotas kanalu. Didžiausias signalo ir kvantavimo triukšmo santykis imtuvo išėjime turi būti nemažesnis už 55 db. (a) Laikant, kad klaidingų bitų dažnis P e = ir nėra tarpženklinės intererenijos, kokie turėtų būti skaitmeninio žodžio ilgis ir kvantavimo žingsnių skaičius? (b) Kokia yra šio PCM signalo bitų sparta? () Laikant, kad naudojami stačiakampiai impulsai, koks yra šio signalo pirmojo nulio juostos plotis? 3.6. Signalo ir triukšmo santykio išraiškos (3..6a) ir (3..6b) yra gautos, laikant, kad nėra tarpženklinės intererenijos ir klaidingų bitų (t.y., P e = ). Kadangi klaidingų bitų dažnis P e niekada nebūna tiksliai lygus nuliui, ormulės (3..6a,b) yra apytikslės. Koks turi būti klaidingų bitų dažnis P e, kad reiškinių (3..6a,b) paklaida neviršytų.%, jeigu kvantavimo lygių skaičius lygus: a) M = 4, b) M = 8, ) M = 6?

108 PCM sistemoje bito klaidos tikimybė dėl kanalo triukšmo lygi -4. Atkurtajame analoginiame signale didžiausias signalo ir triukšmo galių santykis turi būti nemažesnis už (S/N) db peak = 3 db. (a) Raskite mažiausią PCM žodžio bitų skaičių n. (b) Jeigu pradinio analoginio signalo absoliutinis dažnių juostos plotis lygus B =.7 khz ir naudojamas polinis NRZ linijos kodas, koks yra PCM signalo pirmojo nulio dažnių juostos plotis B null? 3.8. Daugialygė skaitmeninė telekomunikaijų sistema perduoda vieną iš 6 galimų lygių kanalu kas.8 ms. (a) Kiek bitų atitinka kiekvieną lygį? (b) Kokia yra simbolių sparta? () Kokia yra bitų sparta? 3.9. Daugialygė skaitmeninė ryšių sistema turi veikti, esant bitų spartai R = 96 bits/s. (a) Koks yra mažiausias kanalo dažnių juostos plotis B, jeigu kiekvienas signalo lygis nusako l = 4 bitų skaitmeninį žodį? (b) Pakartokite a) dalį, kai l = Duota periodinė dvejetainių duomenų seka, kuri sudaro pakaitom vienetai ir nuliai (...). Išreiškite signalo amplitudžių spektrą, kai naudojamas vienas iš šių dviejų kodavimo ormatų: (a) Vienpolis NRZ (žr. 3.4.a pav.). (b) Vienpolis RZ (žr pav.), kuriame impulso trukmė τ = 3 4 T b ; čia T b yra bito trukmė. Abiem atvejais bito trukmė T b turi įeiti į unkijos išraišką kaip parametras. Kaip pasikeistų kiekvienas iš šių spektrų, jeigu dvejetainiai vienetai ir nuliai būtų perduodami po keturis (...)? 3.. Duota atsitiktinė dvejetainių duomenų seka, kurioje vienetų ir nulių tikimybės sutampa ir yra lygios /. Išreiškite signalo galios spektrinį tankį, kai naudojamas vienas iš šių dviejų kodavimo ormatų: (a) Vienpolis NRZ (žr. 3.4.a pav.). (b) Vienpolis RZ (žr pav.), kuriame impulso trukmė τ = 3 4 T b ; čia T b yra bito trukmė. Abiem atvejais bito trukmė T b turi įeiti į unkijos išraišką kaip parametras. Koks yra spektro panaudojimo eektyvumas kiekvienu iš šių dviejų atvejų? 3.. Išreiškite dvipolio RZ signalo (žr. 3.4.d pav.) galios spektrinį tankį, laikant, kad dvejetainio vieneto ir nulio tikimybės yra vienodos, o bitai yra nepriklausomi. Impulso plotis lygus T b /; čia T b yra bito trukmė. T b turi įeiti į galios spektrinio tankio išraišką kaip parametras Išreiškite Mančesterio NRZ signalo (žr. 3.4.e pav.) galios spektrinį tankį, laikant, kad dvejetainio vieneto ir nulio tikimybės yra vienodos, o bitai yra nepriklausomi. Impulso plotis lygus T b /; čia T b yra bito trukmė. T b turi įeiti į galios spektrinio tankio išraišką kaip parametras Naudodamiesi ormulėmis (3.4.a,b), suormuluokite sąlygas, kuri turi būti patenkintos, kad dvilygio signalo galios spektrinis tankis turėtų delta unkijos pavidalo dėmenis ties nenuliniais dažniais (pasinaudokite Puasono sumos ormule (.5.5)).

109 Dvejetainiai duomenys užkoduoti, naudojant sinusoidės pusperiodžio pavidalo impulsus: πt os <, t Tb / ( = Tb, t Tb / Čia T b yra vieno bito (impulso) trukmė. Dvejetainį vienetą atitinka teigiamas impulsas (+(), o dvejetainį nulį neigiamas impulsas (-(). Dvejetainio vieneto ir nulio tikimybės yra vienodos, o bitai yra nepriklausomi. (a) Pavaizduokite tokio signalo pavyzdį (8 bitų). (b) Išreiškite ir pavaizduokite graiškai šio signalo galios spektrinį tankį. () Koks yra tokio dvejetainio signalo spektro panaudojimo eektyvumas? 3.6. Dierenialinio koduotuvo įėjimo duomenų seka yra. Priklausomai nuo pradinės koduotuvo būsenos ( arba ), raskite dvi galimas dierenialinių duomenų sekas Analoginis signalas, kurio dažnių juostos plotis yra B = 7 Hz, visų pirma užkoduojamas PCM signalo pavidalu, o po to paverčiamas 8-lygiu signalu, kuris perduodamas kanalu. Imtuvo išėjime analoginio signalo paklaida turi būti nedidesnė už %. Apskaičiuokite šiuos sistemos parametrus: a) PCM signalo mažiausią bitų spartą R, b) daugialygio signalo mažiausią simbolių spartą D, ) mažiausią absoliutinį kanalo dažnių juostos plotį B, kuris reikalingas šio daugialygio signalo perdavimui Reikia ištirti 64 lygių vienpolio RZ signalo (žr pav.) spektro savybes. Impulsai yra stačiakampiai, vieno impulso trukmė lygi T s /; čia T s yra simbolio trukmė. (a) Išreiškite galios spektrinį tankį, laikydami, kad visi lygiai yra vienodai tikėtini, o didžiausias lygis yra + V (mažiausias lygis yra V). (b) Koks yra šio signalo pirmojo nulio juostos plotis? () Koks yra šio signalo spektro panaudojimo eektyvumas? 3.9. Dvejetainėje ryšių sistemoje naudojamas polinis kodavimo ormatas. Impulso ormą imtuvo iltro išėjime nusako ormulė (3.5.9), todėl nėra tarpženklinės intererenijos. Bitų sparta lygi R = s = 3 b/s. (a) Koks yra šio signalo absoliutinis juostos plotis? (b) Pavaizduokite signalą sistemos išėjime, kai įėjimo duomenų seka yra. Ar įmanoma pagal šį graiką vizualiai nustatyti duomenų seką? 3.. Įrodykite, kad pakelto kosinuso kryčio iltro atsaką į vienetinį stačiakampį impulsą, kurio trukmė lygi /( ), nusako ormulė (3.5.5). Pastaba: Reikia pasinaudoti ormule (3.5.). 3.. Išreiškite pakelto kosinuso kryčio iltro, kurio kryčio koeiientas r =.5, išėjimo signalo galios spektrinį tankį, kai iltro įėjime yra polinis NRZ signalas (žr. 3.4.b pav.). Laikykite, kad dvejetainio vieneto ir nulio tikimybės yra vienodos, o bitai yra nepriklausomi. Vieno bito trukmė lygi /( ); čia yra iltro parametras (žr. ormulę (3.5.)).

110 5 3.. Analoginis signalas turi būti paverstas PCM signalu, kuris naudoja polinį NRZ linijos kodą (žr. 3.4.b pav.). Šis signalas perduodamas kanalu, kurio absoliutinis juostos plotis yra 4 khz. PCM kvantuotuvas turi 6 lygių, o sistemos atsako į vienetinį /( ) trukmės stačiakampį impulsą spektras yra (3.5.). (a) Apskaičiuokite didžiausią PCM bitų spartą, kuri gali būti pasiekta šioje sistemoje, išvengiant tarpženklinės intererenijos. (b) Apskaičiuokite didžiausią analoginio signalo juostos plotį Išspręskite uždavinį 3. daugialygio polinio NRZ signalo atveju, kai lygių skaičius lygus Daugialygiai duomenys perduodami kanalu, naudojant 4 lygių linijos kodą. Bitų sparta lygi 4 b/s; siųstuvo išėjimo impulsai yra stačiakampiai. Visa sistema (t.y., siųstuvas, kanalas ir imtuvas) turi pakelto kosinuso ormos kryčio iltravimo harakteristiką, kurios kryčio koeiientas lygus r =.5. (a) Apskaičiuokite priimtojo signalo simbolių spartą. (b) Apskaičiuokite šios sistemos 6 db lygio juostos plotį. () Apskaičiuokite šios sistemos absoliutinį dažnių juostos plotį Pirmojo analoginio signalo w ( absoliutinis dažnių juostos plotis yra 3 khz, o antrojo analoginio signalo w ( absoliutinis juostos plotis yra 9 khz. Šie du signalai turi būti perduodami laikinio tankinimo (TDM) sistema. (a) Apskaičiuokite kiekvieno signalo mažiausią ėmimo spartą ir suprojektuokite atitinkamus multipleksorių ir demultipleksorių. (b) Nubraižykite signalų w ( ir w ( pavyzdžius bei atitinkamą TDM PAM signalą analoginiai signalai, kurių kiekvieno dažnių juostos plotis 3.4 khz, yra diskretizuojami, naudojant 8 khz ėmimo spartą, ir multipleksuojami kartu su sinhronizavimo signalu (8 khz). Šis PAM signalas perduodamas kanalu, kuris turi pakelto kosinuso ormos kryčio iltravimo harakteristiką su kryčio koeiientu r =.75. (a) Nubraižykite šios sistemos struktūrinę shemą, kurioje nurodyti multipleksoriaus iklų dažnis (kaip pav.) ir TDM PAM signalo pilnutinis impulsų dažnis. (b) Apskaičiuokite reikalingą kanalo absoliutinį juostos plotį Išspręskite uždavinį 3.6, kai TDM PAM signalas yra kvantuojamas ir užkoduojamas 8 bitų dvejetainių žodžių pavidalu, o po šis dvejetainis PCM signalas perduodamas kanalu Suprojektuokite TDM PCM sistemą, kuri naudoja keturis 3 b/s spartos sinhroninius skaitmeninius įėjimo signalus ir vieną analoginį įėjimo signalą, kurio juostos plotis 5 Hz. Analoginio signalo imtys užkoduojamos 4 bitų PCM žodžių pavidalu. Nubraižykite šios sistemos struktūrinę shemą, kurioje nurodytos duomenų perdavimo spartos įvairiuose taškuose (kaip pav.). Paaiškinkite šios sistemos veikimą Suprojektuokite TDM PCM sistemą, kuri naudoja du 4 b/s spartos sinhroninius skaitmeninius įėjimo signalus ir vieną analoginį įėjimo signalą, kurio juostos plotis 7 Hz. Analoginio signalo ėmimo sparta yra /9 kartų didesnė už Naikvisto spartą, o imtys užkoduojamos 4 bitų PCM žodžių pavidalu. Nubraižykite šios sistemos struktūrinę shemą, kurioje nurodytos duomenų perdavimo spartos įvairiuose taškuose (kaip pav.). Paaiškinkite šios sistemos veikimą.

111 6 4. JUOSTINIŲ SIGNALŲ PERDAVIMO PRINCIPAI IR GRANDINĖS 4.. Juostinių signalų kompleksinė išraiška 4... Pagrindinės sąvokos: žemadažnis signalas, juostinis signalas, moduliavimas Žemadažniu signalu vadinamas signalas, kurio amplitudžių spektras nėra lygus nuliui ties nuliniu dažniu ( = ) ir mažėja, augant dažniui. Juostiniu signalu vadinamas signalas, kurio spektras skiriasi nuo nulio tik vienoje dažnių juostoje, kuri yra aukštojo dažnio = ± aplinkoje. Dažnis vadinamas nešlio dažniu. Telekomunikaijų uždaviniuose inormainis signalas (m() dažniausiai būna žemadažnis signalas, pvz., loginio tranzistorinio-tranzistorinio (TTL) grandyno išėjimo signalas arba mikroono generuojamas analoginis signalas. Telekomunikaijų speialisto darbas yra sukurti sistemą, kuri perduotų signale m( esančią inormaiją į duotąjį priėmimo tašką. Kaip parodyta 4.. pav., tokiam perdavimui dažniausiai prireikia juostinio signalo s(. Šio signalo spektras sutelktas ties dažniu ±, kuris parinktas taip, kad signalas s( sklistų ryšių kanalu. 4.. pav. Telekomunikaijų sistema. Moduliavimu vadinamas šaltinio perduodamos inormaijos perkėlimas į juostinį signalą, pakeičiant dažnio nešlio amplitudę arba azę. Tuomet šis juostinis signalas vadinamas moduliuotuoju signalu s(, o inormaijos šaltinio generuojamas žemadažnis signalas vadinamas moduliavimo signalu. Inormainis signalas gali būti arba tiesiogiai panaudojamas moduliavimui, arba transormuojamas į kitokio pavidalo žemadažnį signalą g( (žr. 4.. pav.). Tokios transormaijos pavyzdys analoginio signalo keitimas skaitmeniniu signalu arba atvirkščiai. Moduliuotajam signalui sklindant kanalu, triukšmas jį iškraipo. Todėl imtuvo įėjime yra juostinio signalo ir triukšmo suma r( (žr. 4.. pav.). Imtuvo užduotis yra pabandyti atkurti inormaiją, kuri buvo siunčiama. Šio atkūrimo metu suormuojamas iškraipytasis inormainis signalas m ~ ( t ) Juostinio signalo kompleksinės gaubtinės sąvoka Visus juostinius signalus, nepriklausomai nuo jų kilmės, galima išreikšti tokiu pavidalu: jω t v ( = Re{ g( e }. (4..a) Čia unkija g( vadinama signalo v( kompleksine gaubtine, o ω yra nešlio iklinis dažnis: ω = π. (4..a) lygybė yra juostinio signalo kompleksinė išraiška. Juostinį signalą (4..a) galima užrašyti dar dviem tapačiais pavidalais: polinė išraiška v ( = R( os[ ω t + θ ( ] (4..b) ir kvadratūrinė išraiška v ( = x( osωt y( sinωt, (4..) kur jθ ( g( = x( + jy( R( e, (4..)

112 7 x( = Re{ g( } R( osθ (, (4..3a) y( = Im{ g( } R( sinθ (, (4..3b) R ( g( x ( + y (, (4..4a) y( θ ( artan. (4..4b) x( Funkija R( vadinama signalo v( realiąja gaubtine, o unkija θ( vadinama signalo v( pradine aze. Pradinė azė θ( apibūdina ne tik moduliuotos azės signalą, bet ir moduliuoto dažnio signalą (žr poskyrį). Laiko atskaitos momentas dažniausiai parenkamas taip, kad θ( laikinis vidurkis būtų lygus nuliui. Tuomet, kai signalo dažnis ir pradinė azė nekinta laike, θ( (pvz., žr. sandaugos detektoriaus analizę 4.. poskyryje). Formulėje (4..) akivaizdu, kad x( yra kompleksinės gaubtinės realioji dalis, o y( menamoji dalis. Pirmasis (4..) reiškinio dėmuo vadinamas juostinio signalo sinazine dedamąja, o antrasis kvadratūrine dedamąja. Funkijų g(, x(, y(, R( ir θ( spektrai sutelkti ties nuliniu dažniu, t.y., šios unkijos yra žemadažniai signalai. Žemiau pateiktas pastarojo teiginio ir (4..a) lygybės įrodymas. Bet kurią laiko unkiją v( galima pakeisti jos spektro atvirkštine Furjė transormaija (..5): j πt v ( = V ( ) e d. (4..5) Jeigu v( yra realioji laiko unkija, tuomet, pagal (..7), jπt jπ ( ) t jπ t v ( = Re V ( ) e d Re V ( ) e d e, (4..6) kur yra bet koks dažnis. Vadinasi, gavome (4..a) pavidalo lygybę, kurioje jπ ( ) t jπt d = V ( + ) e g( V ( ) e d. (4..7) (užrašant paskutiniąją lygybę, buvo atlikti integravimo kintamojo pakeitimai - ir ). Reiškinys (4..7) yra atvirkštinė Furjė transormaija unkijos, kuri intervale < - lygi nuliui, o intervale > - sutampa su padaugintu iš ir paslinktu į neigiamųjų dažnių pusę signalo v( spektru. Poslinkio dydis lygus. Jeigu sutampa su juostinio signalo v( nešlio dažniu, tuomet, pagal juostinio signalo apibrėžimą, unkija V( + ) skiriasi nuo nulio tik arti dažnių = ir = -. Tačiau pastarasis dažnis nepriklauso integralo (4..7) integravimo intervalui. Vadinasi, unkijos g( spektras skiriasi nuo nulio tik arti nulinio dažnio =, ką ir reikėjo įrodyti. 4.. Moduliuotojo signalo matematinė išraiška Kaip minėta 4.. poskyryje, moduliavimas yra inormaijos m( (moduliavimo signalo) perkėlimas į juostinį signalą s( (moduliuotąjį signalą). Vadinasi, moduliuotasis signalas yra atskiras juostinio signalo atvejis. Todėl moduliuotąjį signalą taip pat galima išreikšti (4..a) pavidalu: jω t s( = Re{ g( e }, (4..) kur ω = π. yra nešlio dažnis. Moduliuotojo signalo kompleksinė gaubtinė g( yra moduliavimo signalo m( unkija, t.y., g( = g[m(]. (4..) Priedo C lentelėje C- pateikti keli priklausomybės (4..) pavyzdžiai ir atitinkamos prieklausos x(, y(, R( ir θ(: amplitudės moduliavimas (AM), dvipusė šalinė juosta su

113 8 numalšintuoju nešliu (double-sideband suppressed arrier, DSB-SC), azės moduliavimas (phase modulation, PM), dažnio moduliavimas (requeny modulation, FM), vienpusės šalinės juostos amplitudės moduliavimas su numalšintuoju nešliu (single-sideband AM suppressed arrier, SSB-AM-SC), vienpusės šalinės juostos azės moduliavimas (SSB-PM) ir vienpusės šalinės juostos dažnio moduliavimas (SSB-FM). Reikia turėti omenyje, kad, nepriklausomai nuo pasirinktosios unkinės priklausomybės g[m], moduliavimo signalas m( gali būti ir analoginis, ir skaitmeninis. C- lentelėje matyti, kad pradinė azė θ( nusako ne tik PM signalą, bet ir FM signalą: PM atveju θ( proporinga moduliavimo signalui m(, o FM atveju θ( proporinga m( integralui, t.y., momentinio dažnio nuokrypis dθ/dt proporingas m( Juostinio signalo spektras, galios spektrinis tankis ir normuotoji galia Juostinio signalo spektro ir galios bendrosios išraiškos Iš (4..a) išplaukia, kad juostinį signalą vienareikšmiškai nusako jo kompleksinė gaubtinė g( ir nešlio dažnis. Vadinasi, juostinio signalo spektrą (Furjė transormaiją) turi vienareikšmiškai nusakyti jo kompleksinės gaubtinės spektras ir nešlio dažnis. Rasime juostinio signalo spektro bendrąją išraišką. Juostinį signalą jω t v ( = Re{ g( e } (4.3.) galima užrašyti tokiu pavidalu: jω t jω t * jω t v ( = Re{ g( e } = g( e + g ( e. (4.3.) Vadinasi, juostinio signalo spektras yra jω t * jω t V ( ) = F[ v ( ] = F[ g( e ] + F[ g ( e ]. (4.3.3) Šios lygybės dešiniąją pusę galima užrašyti kitokiu pavidalu, pasinaudojus šiom dviem Furjė transormaijos savybėm (žr. B- lentelę): ) laiko unkijos g( daugyba iš exp(jπ yra tapati jos spektro G() poslinkiui išilgai dažnių ašies dydžiu ; ) kompleksiškai jungtinės laiko unkijos spektras lygus pradinės unkijos kompleksiškai jungtiniam spektrui, kuriame dažnio ženklas pakeistas į priešingą. Tokiu būdu gauname: * V ( ) = [ G( ) + G ( )]. (4.3.4) Iš (4.3.4) išplaukia, kad juostinio signalo spektre galima išskirti dvi sritis: viena sritis tai atstumu teigiamųjų dažnių kryptimi paslinktas kompleksinės gaubtinės spektras, o kita sritis gaunama iš kompleksinės gaubtinės spektro G(), atlikus tris veiksmus: ) apskaičiavus gaubtinės spektro kompleksiškai jungtinį dydį G*(), ) atspindėjus gautąjį spektrą atžvilgiu tiesės =, 3) paslinkus gautąjį spektrą atstumu (t.y., atstumu neigiamųjų dažnių kryptimi). Jeigu kompleksinės gaubtinės absoliutinis dažnių juostos plotis B yra mažesnis už nešlio dažnį, tuomet šios dvi spektro sritys nepersikloja. Juostinio signalo (4.3.) galios spektrinį tankį apskaičiuosime pagal Vinerio ir Chinčino teoremą (.3.), t.y., visų pirma rasime signalo autokoreliaijos unkiją, o po to apskaičiuosime jos Furjė transormaiją. Pagal autokoreliaijos unkijos apibrėžimą (.3.8), jω t jω ( t ( ) = ( ) ( + ) = Re{ ( ) }Re{ ( + ) + τ ) Rv τ v t v t τ g t e g t τ e }. (4.3.5) Pasinaudoję tapatybe * Re( ) Re( ) = Re( ) + Re( ), (4.3.6) jω t ω ( t + τ ) kur = g( e, o = ( + τ ) e j g t, gauname

114 9 * jω t jω ( t + τ ) jω t jω ( t + τ ) R v ( τ ) = Re{ g ( g( t + τ ) e e } + Re{ g( g( t + τ ) e e }. Kadangi ir Re{ } yra tiesiniai operatoriai, juos galima sukeisti vietomis: * jω τ jω t jω τ R v ( τ ) = Re{ g ( g( t + τ ) e } + Re{ g( g( t + τ ) e e }. Pirmasis vidurkis šiame reiškinyje yra kompleksinės gaubtinės g( autokoreliaijos unkija R g (τ). Antrasis vidurkis yra artimas nuliui, nes, pagal juostinio signalo apibrėžimą, unkijos g( jω t kitimo dažnis yra žymiai mažesnis už nešlio dažnį. T.y., g( g( t + τ ) e yra dideliu dažniu osiliuojanti laiko unkija, kurios amplitudė kinta lėtai. Tokių unkijų laikinis vidurkis artimas nuliui. Vadinasi, jω τ R v ( τ ) = Re{ R g ( τ ) e }. (4.3.7) Skaičiuodami unkijos R v (τ) Furjė transormaiją, atsižvelgiame į tai, kad reiškinio (4.3.7) matematinis pavidalas yra toks pats, kaip reiškinio (4.3.). Vadinasi, reiškinio (4.3.7) Furjė transormaiją galima skaičiuoti pagal (4.3.4) ormulę, kurioje vietoj G() yra kompleksinės gaubtinės autokoreliaijos unkijos R g (τ) Furjė transormaija (kompleksinės gaubtinės galios spektrinis tankis) P g (), padauginta iš daugiklio /. Atsižvelgę į tai, kad galios spektrinis tankis yra realioji unkija (žr. (.3.6)), gauname tokią juostinio signalo galios spektrinio tankio išraišką: Pv ( ) = [ Pg ( ) + Pg ( )]. (4.3.8) 4 Remiantis (4.3.7), juostinio signalo normuotąją galią galima nesunkiai susieti su jo kompleksinės gaubtinės normuotąja galia. Tuo tikslu pasinaudojame paskutiniąja (.3.) lygybe: P = Rv ( ) = g(. (4.3.9) Vadinasi, juostinio signalo vidutinė normuotoji galia lygi pusei jo kompleksinės gaubtinės vidutinės normuotosios galios (..9). Atskiru atveju, kai kompleksinės gaubtinės absoliutinė vertė g( (t.y., juostinio signalo amplitudė: žr. (4..4a) ir (4..b)) yra pastovi, (4.3.9) lygybė virsta gerai žinomu teiginiu, kad sinusoidės vidutinė normuotoji galia lygi pusei amplitudės kvadrato (žr. (.3.6)). Remiantis šiuo teiginiu, galima nesunkiai paaiškinti (4.3.9) lygybę. Kadangi nešlio dažnis visuomet būna žymiai didesnis už gaubtinės spektro plotį, tai juostinio signalo amplitudė g( beveik nekinta kelių nešlio periodų pločio laiko intervale. Todėl juostinio signalo vidutinė normuotoji galia šiame intervale lygi pusei amplitudės kvadrato g( /. Vadinasi, galios vidurkis visoje laiko ašyje lygus šio dydžio vidurkiui g( /. Praktikoje siųstuvo galios apibūdinimui dar naudojama didžiausioji gaubtinės galia (peak envelope power, PEP) vidutinė juostinio signalo galia, kuri būtų gauta tuo atveju, jeigu jo kompleksinės gaubtinės absoliutinė vertė g( būtų pastovi ir lygi maksimaliai vertei. Iš (4.3.9) išplaukia, kad normuotoji PEP yra lygi P PEP = [max g( ]. (4.3.) Moduliuotos amplitudės signalo spektras ir galia Kaip pavyzdį, apskaičiuosime moduliuotosios amplitudės (AM) signalo spektrą. Pagal C- lentelę, AM signalo kompleksinė gaubtinė yra g( = A [ + m( ], (4.3.) kur m( yra realusis moduliavimo signalas. Įrašę (4.3.) į (4..), randame AM signalo bendrąją išraišką:

115 s( = A [ + m( ]osωt. (4.3.) Gaubtinės (4.3.) spektras, atsižvelgus į δ unkijos savybę (..7), yra G( ) = A δ ( ) + A M ( ), (4.3.3) kur M() yra moduliavimo signalo m( spektras. Įrašę (4.3.3) į (4.3.4), gauname: * S( ) = A [ δ ( ) + M ( ) + δ ( ) + M ( )]. Kadangi δ unkija yra lyginė, tai δ(- - ) = δ( + ). Kadangi moduliavimo signalas m( yra realus, tai M*(- ) = M( + ) (žr. (..6)). Vadinasi, S ( ) = A [ δ ( ) + M ( ) + δ ( + ) + M ( + )]. (4.3.4a) Tarkime, kad moduliavimo signalo spektras M() yra trikampės unkijos pavidalo (žr. 4.3.a pav.). Atitinkamas AM signalo amplitudžių spektras, kuris išplaukia iš (4.3.4a), pavaizduotas 4.3.b pav. Kadangi šiuo atveju spektro sritys G( ) ir G(- - ) nepersikloja, tai (4.3.4a) lygybės dešiniojoje pusėje nelygūs nuliui tik du dėmenys: kai >, nelygūs nuliui tik du pirmieji dėmenys, o kai < trečiasis ir ketvirtasis dėmenys. Todėl (4.3.4a) lygybę galima pakeisti dviem paprastesnėm lygybėm, kurių viena galioja teigiamiems dažniams, o kita neigiamiems dažniams: Aδ ( ) + A M ( ), > ; S( ) = (4.3.4b) Aδ ( + ) + A M ( + ), <. δ unkijos ties dažniais = ± spektre atsiranda dėl pastovaus dėmens A kompleksinės gaubtinės išraiškoje (4.3.). Vadinasi, AM signalo spektras gaunamas, paslinkus moduliavimo signalo spektrą atstumu ir papildžius jį δ unkija ties nešlio dažniu. Moduliavimo ir AM signalų spektrų sąryšis yra toks paprastas dėl to, kad gaubtinė yra proporinga moduliavimo signalui (žr. (4.3.)). Kitų moduliavimo rūšių atveju gaubtinės priklausomybė nuo moduliavimo signalo yra sudėtingesnė (žr. C- lentelę), todėl gaubtinės spektras nėra proporingas moduliavimo signalo spektrui. Atitinkamai, kaip išplaukia iš moduliuotojo signalo spektro bendrosios išraiškos (4.3.4), moduliuotojo signalo spektras bendruoju atveju nesutampa su paslinktu moduliavimo signalo spektru. Juostinio signalo spektro dalis, kuri yra dažnių intervale >, vadinama viršutine šaline juosta (upper sideband) o spektro dalis, kuris yra dažnių intervale < <, vadinama apatine šaline juosta (lower sideband). Kadangi AM 4.3. pav. AM signalo spektras. a moduliavimo signalo amplitudžių spektras, b atitinkamo AM signalo amplitudžių spektras. signalo gaubtinė g( yra realioji laiko unkija (žr. (4.3.)), tai viršutinė ir apatinė šalinės juostos yra simetriškos viena kitai nešlio dažnio atžvilgiu (žr. (..7) ir 4.3.b pav.). Įrašę (4.3.) į (4.3.9), gauname AM signalo vidutinę galią: P = g( = A [ + m( ] = A [ + ( ) + m t m ( ].

116 Laikant, kad moduliavimo signalo nuolatinė dedamoji m( lygi nuliui (tai pasireiškia tuo, kad moduliavimo signalo spektre M() nėra δ unkijos taške = : žr. 4.3.a pav.), A A Pm P = A [ + m ( ] = A [ + Pm ] = +, (4.3.5) kur P m = m ( yra moduliavimo signalo vidutinė galia, A / yra nešlio galia, kurią nusako δ unkijų ties = ± svoris galios spektre, o A / yra AM signalo šalinių juostų galia. P m 4.4. Juostiniai iltrai ir tiesiniai iškraipymai Juostinio iltro pakeitimas ekvivalenčiu žemųjų dažnių iltru.6. ir.6.3 poskyryje buvo suormuluota bendroji tiesinių iltrų analizės metodika, kuri remiasi iltro impulsiniu atsaku ir jo spektru (perdavimo unkija). Dabar įrodysime, kad juostinio iltro įėjimo ir išėjimo signalų kompleksines gaubtines (ir jų spektrus) galima susieti sąryšiais, kurie analogiški bendriesiems sąryšiams (.6.5) ir (.6.6), tačiau vietoj juostinio iltro impulsinio atsako h( ir jo spektro H() reikia naudoti unkijos h( kompleksinę gaubtinę k( ir jos spektrą K(), padaugintus iš /. 4.4.a pav. pavaizduota tipiška juostinio iltro dažninė harakteristika (impulsinio atsako spektras). Remiantis šios harakteristikos pavidalu ir bendruoju juostinio signalo apibrėžimu (žr. 4.. poskyrį), galima teigti, kad juostinio iltro impulsinis atsakas h( yra juostinis signalas, t.y., jį galima išreikšti (4..a) pavidalu: jω t h( = Re{ k( e }, (4.4.a) kur ω = π yra iklinis nešlio dažnis, kuriam suderintas juostinis iltras, o k( yra juostinio iltro impulsinio atsako kompleksinė gaubtinė. Kai tokio iltro įėjime yra juostinis signalas jω t v ( = Re{ g( e }, (4.4.b) tuomet išėjimo signalas taip pat yra juostinis, o jo nešlio dažnis taip pat lygus : jω t v ( = Re{ g( e }. (4.4.) Rasime juostinių signalų h(, v ( ir v ( gaubtinių k(, g ( ir g ( sąryšį ir a gaubtinių spektrų sąryšį. Pagal (.6.6), išėjimo signalo spektras yra V ( ) = V ( ) H ( ). (4.4.) Kadangi v (, v ( ir h( yra juostiniai signalai, tai jų spektrus galima išreikšti atitinkamų kompleksinių gaubtinių spektrais b pagal (4.3.4): * [ G( ) + G ( )] = 4.4. pav. Tipiška juostinio iltro (a) ir ekvivalentaus žemųjų dažnių iltro (b) dažninė harakteristika. * * = [ G( ) + G ( )] [ K( ) + K ( * = [ G( ) K( ) + G ( ) K( ) + 4 * * * + G( ) K ( ) + G ( ) K ( )]. (4.4.3)

117 Čia G (), G () ir K() yra, atitinkamai, įėjimo signalo, išėjimo signalo ir impulsinio atsako kompleksinių gaubtinių spektrai. Kadangi g ( ir k( yra žemadažniai signalai, tai G ( ) ir * * K( ) skiriasi nuo nulio tik dažnio = aplinkoje, o G ( ) ir K ( ) skiriasi nuo * nulio tik dažnio = - aplinkoje. Vadinasi, sandaugos G ( ) K( ) ir * G ( ) K ( ) lygios nuliui. Taigi, * * * G( ) + G ( ) = [ G( ) K( ) + G ( ) K ( )]. (4.4.4) Ši lygybė gali būti teisinga tik tuomet, kai atitinkami dėmenys abiejose jos pusėse sutampa, t.y., kai galioja sąryšis G ( ) = G( ) K( ) (4.4.5) (plg. su (.6.6)). (4.4.5) lygybės atvirkštinė Furjė transormaija yra g ( = g( * k( (4.4.6) (plg. su (.6.5)). (4.4.5) ir (4.4.6) lygybės rodo, kad juostinį iltrą galima aprašyti ir analizuoti, naudojant ekvivalentųjį žemųjų dažnių iltrą, kurio impulsinis atsakas lygus duotojo juostinio iltro impulsinio atsako kompleksinei gaubtinei, padaugintai iš /, ir kurio įėjime yra įėjimo juostinio signalo kompleksinė gaubtinė, o išėjime yra išėjimo juostinio signalo kompleksinė gaubtinė. 4.4.b pav. pateikta tipiška ekvivalenčiojo iltro dažninė harakteristika Juostinio signalo tiesiniai iškraipymai.6.5 poskyryje buvo suormuluotos dvi sąlygos, kurias turi tenkinti tiesinė sistema, kad neiškraipytų signalo: plokščia dažninė amplitudės harakteristika (žr. (.6.9a)) ir tiesiškai mažėjanti dažninė azės harakteristika (žr. (.6.9b)). Be to, kadangi dažninė azės harakteristika yra nelyginė dažnio unkija (žr. (..8)), tai tiesė, kuri nusako azės priklausomybę nuo dažnio, turi kirsti azių ašį taške θ =. Taip yra idealiuoju atveju, kai iltras neiškraipo jokių įėjimo signalų. Tačiau praktikoje pakanka, kad iltras neiškraipytų tik tų signalų, kurių dažnių juosta priklauso iltro dažnių praleidimo juostai. Kaip bus įrodyta žemiau, atitinkami reikalavimai iltro (kanalo) dažninei harakteristikai yra šie: ) Filtro (kanalo) praleidimo juostoje dažninė amplitudės harakteristika yra konstanta. T.y., H() = A, (4.4.7a) kur A yra realioji teigiama konstanta. ) Filtro (kanalo) praleidimo juostoje dažninės azės harakteristikos išvestinė yra neigiama konstanta, t.y., praleidimo juostoje dažninė azės harakteristika tiesiškai mažėja: dθ ( ) = T g, (4.4.7b) π d kur T g yra realioji teigiama konstanta, kuri vadinama gaubtinės vėlinimu arba grupiniu vėlinimu. Kaip matome, reikalavimas dažninei amplitudės harakteristikai (4.4.7a) yra toks pats, kaip ir idealiuoju atveju (žr. (.6.9a)), tačiau reikalavimas dažninei azės harakteristikai (4.4.7b) mažiau apriboja jos pavidalą, negu (.6.9b): nėra reikalaujama, kad dažninės azės harakteristikos tęsinys kirstų azių ašį taške θ =. Juostinio iltro dažninė amplitudės harakteristika ir dažninė azės harakteristika, kurios tenkina (4.4.7) reikalavimus, pavaizduotos atitinkamai 4.4.a pav. ir 4.4.b pav. 4.4.b pav. akivaizdu, kad dažninės azės harakteristikos

118 pav. Juostinio iltro (arba kanalo) be iškraipymų dažninė amplitudės harakteristika (a) ir dažninė azės harakteristika (b). tęsinys kerta azių ašį taške θ = θ, kuris gali būti bet koks. Tačiau akivaizdu ir tai, kad tuo atveju, kai duotasis iltras yra žemųjų dažnių iltras, reikalavimas (4.4.7b) yra tapatus reikalavimui (.6.9b). Tuomet taškas = yra iltro praleidimo juostoje, todėl tiesė θ() turi kirsti azių ašį taške θ = : priešingu atveju dažninė azės harakteristika nebūtų nelyginė. Suintegravę lygtį (4.4.7b), gauname juostinio iltro, kuriame nėra azinių iškraipymų, dažninę azės harakteristiką: θ ( ) πt + θ. (4.4.8) = g θ nusako tašką, kuriame azių ašį kerta juostinio iltro dažninės azės harakteristikos tęsinys. Kai θ =, (4.4.8) savo pavidalu sutampa su (.6.9b). Įsitikinsime, kad tuo atveju, kai juostinio iltro praleidimo juostoje tenkinami reikalavimai (4.4.7a) ir (4.4.7b) (arba (4.4.8)), juostinis signalas perduodamas be iškraipymų (net ir tuo atveju, kai θ ). Atitinkama iltro perdavimo unkija teigiamųjų dažnių praleidimo juostoje lygi j( πtg + θ ) jθ jπt H ( ) = Ae = ( Ae ) e g ( ). (4.4.9a) Kadangi tiesinės sistemos dažninė azės harakteristika yra nelyginė dažnio unkija, tai neigiamųjų dažnių praleidimo juostoje j( πtg θ ) jθ jπt H ( ) = Ae = ( Ae ) e g ( - ). (4.4.9b) Pagal (4..), iltro įėjimo juostinį signalą galima išreikšti šitaip: v( = x( osωt y( sinωt x( osωt y( os( ωt π / ). (4.4.) Pagal realiojo signalo dažnio postūmio teoremą (žr. B- lentelę), šio signalo spektras yra

119 4 jπ / jπ / V ( ) = [ X ( ) + X ( + )] + [ e Y ( ) + e Y ( + )]. (4.4.) Įrašę (4.4.9) ir (4.4.) į (4.4.) ir atsižvelgę į tai, kad x( ir y( yra žemadažniai signalai (t.y., X( ) ir Y( ) skiriasi nuo nulio tik aplinkoje, o X( + ) ir Y( + ) skiriasi nuo nulio tik - aplinkoje), randame iltro išėjimo signalo spektrą: V ( ) = jπ T A j j A g θ θ j( θ π / ) j( θ π / ) = e [ e X ( ) + e X ( + )] + [ e Y ( ) + e Y ( + )]. (4.4.) Pagal realiojo signalo dažnio postūmio teoremą (žr. B- lentelę), (4.4.) lygybės dešiniojoje pusėje tarp riestinių skliaustų užrašyto reiškinio atvirkštinė Furjė transormaija tai iš A padaugintas (4.4.) pavidalo signalas, kurio kosinusoidžių azės padidintos pastoviu dėmeniu jπtg θ. Pagal vėlinimo teoremą (žr. B- lentelę), spektro daugiklis e pasireiškia signalo vėlinimu T g. Vadinasi, iltro išėjimo signalas yra v( = Ax( t Tg )os[ ω ( t Tg ) + θ] Ay( t Tg )sin[ ω( t Tg ) + θ]. (4.4.3) Apibrėžus naują laiko konstantą T d = T g, (4.4.4) ω (4.4.3) reiškinį galima užrašyti šitaip: v ( = Ax( t Tg )os[ ω( t Td )] Ay( t Tg )sin[ ω( t Td )]. (4.4.5) Palyginus išėjimo juostinį signalą (4.4.5) su įėjimo juostiniu signalu (4.4.), akivaizdu, kad iltravimas pasireiškia moduliavimo signalo (x( ir y() vėlinimu T g (grupiniu vėlinimu) ir nešlio vėlinimu T d. Kadangi θ( ) = -π T d, kur θ( ) yra nešlio azės pokytis, T d dar vadinamas azės vėlinimu. Iš (4.4.4) išplaukia, kad T d ir T g sutampa tik tuomet, kai θ =. Grupinis ir azės vėlinimai neiškraipo signalo. Vadinasi, (4.4.7a) ir (4.4.7b) sąlygos yra pakankamos, kad juostinis iltras neiškraipytų signalo. T.y., kad juostinis signalas tiesinėje sistemoje būtų perduodamas be iškraipymų, pakanka, kad signalo dažnių juostoje sistemos dažninė amplitudės harakteristika ir dažninės azės harakteristikos išvestinė būtų konstantos Juostinio signalo ėmimo teorema Praktikoje telekomunikaijų sistemos dažnai modeliuojamos kompiuteriu. Tokiam modeliavimui reikia išmatuoti tiriamojo signalo ir triukšmo vertes diskrečiais laiko tarpais. Pagal Naikvisto ėmimo spartos reikalavimą (.7.5), norint pilnai nusakyti bet kokio pavidalo signalą, jo ėmimo sparta turi būti nemažesnė už signalo dvigubą ribinį dažnį (ribinis dažnis sutampa su maksimaliu dažniu signalo spektre). Tačiau praktikoje juostinių signalų ribinis dažnis yra artimas nešlio dažniui, t.y., gali siekti Hz arba daugiau (pvz., palydovinėse ryšių sistemose). Tokia didelė ėmimo sparta yra praktiškai nepasiekiama, be to, ji reikalautų labai didelio skaičiaus imčių (matavimų) ir, atitinkamai, didelės atminties bei labai greitaeigio kompiuterio. Laimei, tuo atveju, kai tiriamasis signalas yra juostinis ir yra bent apytiksliai žinomas jo nešlio dažnis, ėmimo sparta, kuri reikalingas pilnam signalo aprašymui, priklauso tik nuo signalo dažnių juostos pločio (o ne nuo ribinio dažnio). Šį teiginį tiksliai išreiškia juostinio signalo ėmimo teorema, kuri suormuluota žemiau. Jeigu realiojo juostinio signalo spektras skiriasi nuo nulio tik dažnių intervale < < (4.5.) (perdavimo juostoje; transmission bandwidth), tuomet signalo ėmimo sparta, kuri reikalinga tiksliam signalo atkūrimui pagal imtis, turi tenkinti sąlygą, (4.5.) s B T θ

120 5 kur B T yra signalo perdavimo juostos plotis (absoliutinis dažnių juostos plotis: žr..8 poskyrį): B T. (4.5.3) Šią teoremą galima įrodyti, naudojant juostinio signalo kvadratūrinę išraišką (4..): v ( = x( osωt y( sinωt. (4.5.4) Jeigu nešlio dažnis yra žinomas, tuomet signalo v( pavidalą pilnai nusako unkijų x( ir y( pavidalas. Remiantis (4.5.4), unkijos x( vertės tai signalo v( vertės laiko momentais, kai osω t = (ir sinω t = ), o unkijos y( vertės tai signalo v( vertės laiko momentais, kai sinω t = - (ir osω t = ). Norint tiksliai atkurti šių unkijų pavidalą, kiekvienos iš jų vertės turi būti išmatuotos dažniu, kuris nemažesnis už B, kur B yra didesnysis iš signalų x( ir y( dažnių juostų pločių. Turint omenyje, kad matuojamos dvi nepriklausomos unkijos, pilnutinė signalo v( ėmimo sparta turi būti dar du kartus didesnė, t.y., s 4B. (4.5.5) Vadinasi, reikia įrodyti, kad mažiausias įmanomas unkijų x( ir y( dažnių juostos plotis B yra B T / (plg. (4.5.5) ir (4.5.)). Jeigu signalo v( pavidalas yra žinomas, tuomet unkijų x( ir y( pavidalas priklauso tik nuo pasirinktojo nešlio dažnio. Taigi, reikia rasti šių unkijų dažnių juostos pločio, kaip nešlio dažnio unkijos, minimumą poskyryje buvo įrodyta, kad juostinio signalo (4.3.) kompleksinės gaubtinės g( spektras G() yra proporingas dydžiu neigiamųjų dažnių kryptimi paslinktai signalo v( spektro daliai, esančiai teigiamųjų dažnių srityje >. Todėl, jeigu v( amplitudžių spektras skiriasi nuo nulio tik dažnių intervale (4.5.), tai G() skiriasi nuo nulio tik dažnių intervale < <. (4.5.6) Tačiau G() yra unkijų x( ir y( spektrų X() ir Y() tiesinis darinys: G() = X() + jy() (žr. (4..)). Vadinasi, G() gali būti nelygus nuliui tik ten, kur bent viena iš unkijų X() ir Y() nelygi nuliui. Kadangi unkijos X() ir Y() yra nepriklausomos, tai galioja ir atvirkščias teiginys: X() ir Y() gali skirtis nuo nulio tik dažnių intervale (4.5.6). Kadangi unkijos x( ir y( yra realios, tai jų amplitudžių spektrai yra lyginės dažnio unkijos (žr. (..7)). Pagal (4.5.6), tai reiškia, kad šių unkijų dažnių juostos plotis yra B = max(, ). (4.5.7) Šio dydžio, kaip unkijos, minimumas yra taške + =, (4.5.8) o atitinkama B vertė yra B B T min =. (4.5.9) Vadinasi, mažiausia ėmimo sparta lygi ( s ) min = 4B min = B T, ką ir reikėjo įrodyti (žr. (4.5.)) Netiesiniai iškraipymai.6 poskyryje buvo apibrėžta tiesinės grandinės sąvoka: grandinė yra tiesinė, jeigu ji tenkina signalų superpoziijos sąlygą (.6.). Matematiniu požiūriu, ši sąlyga reiškia, kad grandinės išėjimo įtampos laikinę priklausomybę nusako dierenialinė lygtis, kurios koeiientai nepriklauso nuo įėjimo ir išėjimo įtampų (tačiau gali priklausyti nuo laiko). Jeigu tiesinės grandinės išėjimo signalas proporingas užvėlintam įėjimo signalui (žr. (.6.7), tuomet sakoma, kad grandinė neiškraipo įėjimo signalo. Priešingu atveju signale atsiranda tiesiniai iškraipymai. Tačiau lieka galioti grandinės tiesiškumo savybė (.6.). Tai pasireiškia, pvz., tuo, kad, pakeitus įėjimo signalo amplitudę ir nepakeitus jo ormos, išėjimo signalo amplitudė pasikeičia tiek pat kartų, o jo orma nepasikeičia. Be to, kai įėjimo signalas yra sinusoidės pavidalo, tiesinės grandinės išėjimo signalas visuomet yra to paties dažnio sinusoidė (žr. (.6.4)).

121 6 Daugumą realių grandinių (pvz., stiprintuvus) galima laikyti tiesinėmis, tik kai įėjimo signalas yra pakankamai silpnas. Didėjant įėjimo signalo amplitudei, išėjimo signale atsiranda netiesiniai iškraipymai, t.y., nustoja galioti lygybė (.6.). Pvz., tai pasireiškia tuo, kad, pakeitus įėjimo signalo amplitudę ir nepakeitus jo ormos, išėjimo signalo orma pasikeičia, o jo amplitudės santykinis pokytis nėra lygus įėjimo signalo amplitudės santykiniam pokyčiui. Kad būtų paprasčiau, netiesinių iškraipymų analizėje dažniausiai laikoma, kad signalo vėlinimas yra lygus nuliui, o tiesiniame režime signalo iškraipymų nėra. Tuomet, kai įėjimo signalo vertės yra pakankamai mažos, išėjimo signalas v ( yra tiesiai proporingas įėjimo signalui v (: v ( = Kv(, (4.6.) kur K yra realioji konstanta, kuri vadinama signalo stiprinimo koeiientu. Išėjimo signalo priklausomybė nuo įėjimo signalo vadinama išėjimo harakteristika. Stiprėjant įėjimo signalui v (, netiesiniai iškraipymai pasireiškia tuo, kad stiprinimo koeiientas K pradeda priklausyti nuo įėjimo įtampos v (, t.y., išėjimo įtampa nustoja būti proporinga įėjimo įtampai. Praktikoje išėjimo harakteristika visuomet įsisotina, kai įėjimo signalas viršija tam tikrą ribinę vertę (žr pav.). Netiesinę išėjimo signalo v ( priklausomybę nuo įėjimo signalo v ( galima modeliuoti Teiloro eilute = n v = K + Kv + Kv +... K n v, (4.6.) n= kur n d v K n =. (4.6.3) n n! dv v = Netiesiniai iškraipymai atsiranda tuomet, kai koeiientai K, K 3, yra nelygūs nuliui. Jeigu netiesinio stiprintuvo įėjime yra harmoninis signalas v ( = A sinωt, (4.6.4) tuomet išėjimo signale bendruoju atveju yra ir dažniai, kurie kartotiniai dažniui ω (aukštesniosios harmonikos). Aukštesniųjų harmonikų atsiradimas išėjimo signale vadinamas harmoniniais iškraipymais. Pvz., (4.6.) eilutės antrosios eilės dėmuo yra KA K( A sinω = ( osω. (4.6.5) 4.6. pav. Netiesinio stiprintuvo išėjimo harakteristika. Vadinasi, dėl antrosios eilės iškraipymų išėjimo signale atsiranda papildoma nuolatinė dedamoji K A / ir antroji harmonika, kurios amplitudė lygi K A /. Dėl trečiosios eilės iškraipymų (kuriuos atspindi trečiosios eilės dėmuo (4.6.) eilutėje) atsiranda papildoma pirmoji harmonika (dažnis ω ) ir trečioji harmonika (dažnis 3ω ). Bendruoju atveju, kai įėjime yra dažnio ω sinusoidė, išėjimo signalas v = V + V os( ω t + ϕ ) + V os(ω t + ϕ ) + V os(3ω t + ϕ )..., (4.6.6) ( kur V n yra dažnio n dėmens amplitudė. Harmoninių iškraipymų koeiientas (total harmoni distortion, THD) apibrėžiamas šitaip: THD(%) = n= V V n. (4.6.7)

122 7 Jeigu netiesinio stiprintuvo įėjime yra kelių skirtingų dažnių harmoninių virpesių suma, tuomet stiprintuvo išėjimo signale atsiranda ne tik tų virpesių aukštesnieji laipsniai, bet ir skirtingų dažnių virpesių sandaugos. Šias sandaugas galima išreikšti kombinainių dažnių virpesių tiesiniais dariniais. Kombinainis dažnis tai dažnis, kuris lygus įėjimo signalo harmoninių komponenčių dažnių tiesiniam dariniui su sveikais koeiientais. Kombinainių dažnių atsiradimas išėjimo signale vadinamas intermoduliainiais iškraipymais (intermodulation distortion, IMD). Pvz., jeigu įėjimo signalas yra dviejų sinusoidžių suma v ( = A sinω t + A sinωt, (4.6.8) tuomet antrosios eilės dėmuo (4.6.) eilutėje yra K( A sinω t + A sinω = K( A sin ωt + A A sinωt sinωt + A sin ω. (4.6.9) Pirmasis ir trečiasis dėmenys šios lygybės dešiniojoje pusėje sąlygoja harmoninius iškraipymus, dėl kurių atsiranda papildomi dažniai ir ir pasikeičia nuolatinė dedamoji (žr. (4.6.5)). Pirmasis dėmuo atsiranda ir tuo atveju, kai įėjimo signalas yra viena dažnio sinusoidė, o trečiasis kai įėjimo signalas yra viena dažnio sinusoidė. Antrasis dėmuo atsiranda tik tuomet, kai įėjimo signale yra abu šie dažniai. Šis dėmuo atspindi intermoduliainius iškraipymus. Jį galima užrašyti šitaip: KA A sinω t sinωt = KA A{os[( ω ω) t] os[( ω + ω) t]}. (4.6.) Vadinasi, dėl antrosios eilės intermoduliainių iškraipymų išėjimo signale atsiranda suminis ir skirtuminis dažniai ω + ω ir ω - ω. Kai įėjimo signalas yra (4.6.8), trečiosios eilės dėmuo (4.6.) eilutėje yra 3 3 K3v = K3( A sinωt + A sinω = (4.6.) = K3( A sin ωt + 3A A sin ωt sinωt + 3A A sinωt sin ωt + A sin ω. Pirmasis ir paskutinis dėmenys šios lygybės dešiniojoje pusėje sąlygoja harmoninius iškraipymus, dėl kurių atsiranda papildomi dažniai 3 ir 3 ir modiikuojamos dažnių ir virpesių amplitudės: K3Ai sin ωit = K3Ai (3sinωit sin3ω i (i =, ). (4.6.) 4 Antrąjį ir trečiąjį dėmenis galima užrašyti šitaip: 3 3K3A A sin ωt sinωt = K3A A sinωt( osωt ) = (4.6.3) 3 = K3A A sinωt [sin(ω + ω) t sin(ω ω) t], 3 3K3A A sinωt sin ωt = K3A A sinωt [sin(ω + ω) t sin(ω ω) t]. (4.6.4) Paskutiniai du dėmenys (4.6.3) ir (4.6.4) lygybių dešiniosiose pusėse atspindi intermoduliainius iškraipymus. Vadinasi, dėl trečiosios eilės intermoduliainių iškraipymų išėjimo signale atsiranda keturi kombinainiai dažniai ω + ω, ω - ω, ω + ω ir ω - ω. Juostinių signalų stiprinimui dažniausiai naudojami juostiniai stiprintuvai, kuriuose suderintos signalo stiprinimo ir iltravimo unkijos. Visos aukštesniosios harmonikos būna už stiprintuvo pralaidumo juostos ribų, todėl išėjimo signale jų nelieka. Taip pat nuslopinami ir dalis kombinainių dažnių, pvz., ω + ω, ω - ω, ω + ω ir ω + ω. Intermoduliainiai iškraipymai juostiniuose stiprintuvuose pagrindinai pasireiškia kombinainiais dažniais ω - ω ir ω - ω, kurie priklauso pralaidumo juostai. Reiškiniuose (4.6.3) ir (4.6.4) matyti, kad kombinainių dažnių ω - ω ir ω - ω dedamųjų amplitudės yra proporingos atitinkamai A A ir A A. T.y., intermoduliainių iškraipymų indėlis į stiprintuvo išėjimo signalą auga greičiau už naudingojo signalo indėlį. Kai įėjimo signalo galia viršija tam tikrą ribinę vertę, kombinainių dažnių dalis išėjimo signalo

123 8 galioje viršija naudingojo signalo dalį. Ši didžiausioji įėjimo signalo galia praktikoje įvertinama tokiu būdu. Laikoma, kad stiprintuvo įėjime yra (4.6.8) pavidalo signalas, kurio abiejų harmoninių dedamųjų amplitudės sutampa: A = A = A. Tuomet šių dedamųjų (naudingojo signalo) amplitudės stiprintuvo išėjimo signale bus lygios K A (žr. (4.6.)), o kombinainių dažnių ω - ω ir ω - ω dedamųjų amplitudės bus lygios 3K 3 A 3 /4 (žr. (4.6.3) ir (4.6.4)). Vadinasi, naudingojo signalo ir intermoduliainių iškraipymų amplitudžių santykis lygus 4 K R IMD =. (4.6.5) 3 K3A Šis dydis vadinamas intermoduliainių iškraipymų koeiientu. Stiprintuvo įėjimo galia, atitinkanti R IMD =, vadinama stiprintuvo trečiosios eilės sankirtos tašku (third-order interept poin. Toks pavadinimas atsirado dėl to, kad ši R IMD vertė atitinka įėjimo signalo galią, kuriai esant, stiprintuvo išėjimo naudingojo signalo ir trečiosios eilės intermoduliainių iškraipymų galios sutampa, jeigu įėjimo signalas yra dviejų vienodos amplitudės sinusoidžių suma (žr pav.). Išreiškus galią deibelais (pvz., atžvilgiu mw), šios dvi priklausomybės yra dvi tiesės, kurių vienos polinkis lygus (tiesinė priklausomybė), o kitos 3 (kubinė priklausomybė). Didėjant įėjimo signalo galiai, išėjimo naudingojo signalo galia įsisotina, nes dėl netiesinių iškraipymų signale atsiranda dėmenys, kurių dažniai sutampa su įėjimo signalo harmoninių dedamųjų dažniais, o ženklas yra priešingas. Pvz., reiškinių (4.6.) (4.6.4) pirmųjų dėmenų dažniai sutampa su įėjimo sinusoidžių dažniais, o ženklas yra priešingas, nes K 3 <. Sankirtos taškas randamas, pratęsus tiesinę priklausomybę iš mažų galių srities (žr pav.). Naudingųjų harmoninių dedamųjų ir intermoduliainių iškraipymų galios 4.6. pav. Stiprintuvo išėjimo harakteristikos. matuojamos, naudojant spektro analizatorių pav. atveju sankirtos taškas yra dbm (žymėjimas dbm reiškia deibelus atžvilgiu mw). Be to, šiame paveiksle iliustruojamos ir kai kurios kitos stiprintuvo harakteristikos. Stiprintuvo stiprinimo koeiientas tiesinėje srityje yra 5 db. Įėjimo signalo galia, atitinkanti stiprinimo koeiiento sumažėjimą 3 db, yra 5 dbm (t.y., šiame taške realioji naudingojo signalo galia yra 3 db mažesnė už tą, kuri gaunama, pratęsus tiesinę priklausomybę iš mažų galių srities). Vadinasi, stiprintuvą galima laikyti tiesiniu, tik kol įėjimo signalo galia yra mažesnė už 5 dbm. Be to, jeigu reikia, kad kombinainių dažnių ir dedamųjų galios būtų bent 45 db žemiau naudingojo signalo galios, įėjimo signalo galia turi būti mažesnė už 3 dbm. Iki šiol buvo laikoma, kad įėjimo signalo harmoninių dedamųjų amplitudės A ir A yra pastovios. Jeigu kurios nors dedamosios amplitudė kinta laike, tuomet išėjimo signale, be intermoduliainių iškraipymų, pasireiškia ir kito tipo netiesiniai iškraipymai, kuriuos sąlygoja pirmieji dėmenys (4.6.3) ir (4.6.4) reiškiniuose. Šie iškraipymai atsiranda dėl to, kad šių

124 9 dėmenų amplitudės priklauso nuo abiejų harmoninių dedamųjų įėjimo amplitudžių. Todėl, jeigu, pvz., vietoj harmoninio signalo A sinω t įėjimo signale (4.6.8) yra AM signalas A [ + m( ] sinωt, tuomet iš (4.6.3) išplaukia, kad išėjimo signale atsiranda dėmuo 3 K3A A [ + m( ] sinωt. (4.6.6) Vadinasi, vienos harmoninės dedamosios (dažnis ) amplitudės moduliavimas sąlygoja ir kitų harmoninių dedamųjų (dažnis ) papildomą amplitudės moduliavimą. T.y., jeigu netiesinio stiprintuvo įėjime yra du AM signalai, išėjime kiekvienas iš šių signalų bus papildomai moduliuotas kitu moduliavimo signalu. Šis reiškinys vadinamas kryžminiu moduliavimu (rossmodulation) Signalo ribotuvai Ribotuvas tai keturpolis, kurio išėjimo harakteristika turi dvi įsisotinimo sritis, atitinkančias neigiamas ir teigiamas įėjimo signalo vertes. Pereinamoji sritis tarp įsisotinimo sričių turi būti kuo siauresnė. Idealiojo ribotuvo išėjimo harakteristika yra laiptinės unkijos pavidalo (žr pav.). T.y., idealusis ribotuvas veikia kaip komparatorius su nuliniu atraminiu lygiu. Plačiajuostis ribotuvas moduliuotos amplitudės signalą pakeičia vienodos amplitudės stačiakampių impulsų seka (žr pav.). Juostinis ribotuvas tai plačiajuostis ribotuvas, kurio išėjime yra juostinis iltras. Juostinis iltras išskiria iš stačiakampių impulsų sekos pirmąją harmoniką. Jeigu idealiojo juostinio ribotuvo įėjime yra juostinis signalas v ( = R( os[ ω t + θ ( ] (4.7.) (žr. (4..)), tuomet išėjimo signalas yra v ( = KVL os[ ω t + θ ( ], (4.7.) kur V L yra stačiakampių impulsų sekos pirmosios harmonikos amplitudė, o K yra išėjimo juostinio iltro stiprinimo koeiientas. Vadinasi, ribotuvo poveikis įėjimo signalui pasireiškia tuo, kad pašalinamas signalo amplitudės moduliavimas, išsaugant dažnio arba azės moduliavimą. Todėl ribotuvai naudojami dažnio ir azės moduliavimo sistemose, siekiant pašalinti imtuvo įėjimo signalo realiosios gaubtinės pokyčius, kuriuos sukelia kanalo triukšmas ir signalo silpimas pav. Idealiojo plačiajuosčio ribotuvo harakteristika bei įėjimo ir išėjimo signalai.

125 4.8. Signalų maišikliai ir aukštinamieji bei žeminamieji dažnio keitikliai Maišiklis (mixer) tai elektroninė grandinė, kuri sudaugina du įėjimo signalus. Dažniausiai vienas iš šių signalų yra sinusoidė. Vadinasi, idealusis maišiklis veikia kaip tiesinis įrenginys, kurio stiprinimo koeiientas yra sinusoidė (tačiau, kaip pamatysime žemiau, maišiklio pagrindinė dalis gali būti netiesinis įtaisas). Maišiklius, kurie naudojami telekomunikaijose, nereikia painioti su garsinių signalų maišikliais, kurie sudeda du arba daugiau garsinio dažnio signalų. Dažniausiai maišiklio paskirtis yra įėjimo signalo spektro poslinkis. Tarkime, kad įėjimo signalas yra juostinis signalas, kurio spektras skiriasi nuo nulio tik siauroje juostoje nešlio dažnio aplinkoje. Pagal (4..a), tokį signalą galima išreikšti tokiu pavidalu: jω t v in( = Re{ gin( e }, (4.8.) kur g in ( yra įėjimo signalo žemadažnė kompleksinė gaubtinė. Jeigu kitame maišiklio įėjime yra dažnio kosinusoidė, tuomet idealiojo maišiklio išėjimo signalas yra jω t A jωt * jωt jωt jωt v( = [Re{ gin ( e }] A osωt = [ gin ( e + gin ( e ]( e + e ) = 4 A j( ω + ω ) t * j( ω + ω ) t j( ω ω ) t * j( ω ω ) t = [ gin ( e + gin ( e + gin ( e + gin ( e ] 4 arba A j( ω + ω ) t A j( ω ω ) t v ( = Re{ gin ( e } + Re{ gin ( e }. (4.8.) Vadinasi, kai idealiojo maišiklio įėjime yra juostinis signalas, tuomet išėjimo signalas yra suma dviejų juostinių signalų, kurių gaubtinės sutampa su įėjimo signalo gaubtine, o nešlio dažnis dydžiu didesnis arba mažesnis už įėjimo signalo nešlio dažnį. Tai reiškia, kad šių signalų spektrai tai atitinkamai dydžiu arba - paslinktas įėjimo signalo spektras (žr. juostinio signalo spektro bendrąją išraišką (4.3.4)). Šis dažnio pokytis vadinamas atitinkamai signalo aukštinamuoju dažnio keitimu (up onversion) ir žeminamuoju dažnio keitimu (down onversion). Kaip parodyta 4.8. pav., aukštinamojo arba žeminamojo dažnio keitimo dedamąją galima išskirti, naudojant iltrą. Maišiklis kartu su tokiu iltru vadinamas dažnio keitikliu. Jeigu reikia išskirti aukštinamojo dažnio keitimo dedamąją, reikalingas juostinis iltras. Jeigu reikia išskirti žeminamojo dažnio keitimo dedamąją, tuomet iltro tipas priklauso nuo šios dedamosios dažnio. Jeigu žeminamojo dažnio keitimo dedamosios nešlio dažnis yra didesnis už gaubtinės g in ( dažnių juostos plotį, iltras turi būti juostinis. Priešingu atveju (pvz., kai = ), reikalingas žemųjų dažnių iltras. Jeigu <, tuomet (4.8.) antrajame dėmenyje ω ω <. Tačiau juostinio signalo nešlio dažnis negali būti neigiamas. Todėl, kai <, (4.8.) lygybę reikia perrašyti šitaip: A j( ω + ω ) t A * j( ω ω ) t v ( = Re{ gin( e } + Re{ gin( e }. (4.8.3) 4.8. pav. Maišiklis su iltru.

126 Vadinasi, kai <, žeminamasis dažnio keitimas pasireiškia signalo gaubtinės kompleksiniu jungimu ir gautojo signalo spektro poslinkiu atstumu ( ) = į žemųjų dažnių pusę. Jeigu < /, toks poslinkis yra tapatus poslinkiui atstumu į aukštųjų dažnių pusę. Gaubtinės kompleksinis jungimas yra tapatus jos amplitudžių spektro šalinių juostų sukeitimui vietomis ir azių spektro invertavimui (žr. B- lentelę ir amplitudžių bei azių spektrų apibrėžimą (..3)). Taigi, aukštinamojo dažnio keitimo atveju iltro išėjimo signalo gaubtinė yra A g = g ( ) (4.8.4a) ( in t (žr. pirmąjį dėmenį (4.8.) ir (4.8.3) reiškiniuose), o žeminamojo dažnio keitimo atveju išėjimo signalo gaubtinės pavidalas priklauso nuo to, kuris iš dažnių ir yra didesnis. Jeigu <, tuomet A g ( = gin( (4.8.4b) (žr. antrąjį dėmenį (4.8.) reiškinyje), o jeigu >, tuomet A * g ( = gin( (4.8.4) (žr. antrąjį dėmenį (4.8.3) reiškinyje). Praktikoje signalų daugybos operaija realizuojama, naudojant vieną iš trijų tipų įtaisą:. Valdomo statumo įtaisas (pvz., dvigubos užtūros lauko tranzistorius).. Netiesinis įtaisas. 3. Tiesinis įtaisas su priklausančiu nuo laiko diskrečiu stiprinimo koeiientu. Keturpolio harakteristikos statumas g tai išėjimo srovės i išvestinė įėjimo įtampos v in atžvilgiu, esant pastoviai išėjimo įtampos nuolatinei dedamajai: i g =. (4.8.5) v in Mažo signalo režime išėjimo srovės kintamoji dedamoji i yra proporinga įėjimo signalo kintamajai dedamajai v in, o proporingumo koeiientas lygus statumui: i = gv in. (4.8.6) Jeigu įtaisas turi antrą įėjimą ir jeigu statumas g yra proporingas įtampai šiame įėjime, tuomet išėjimo srovė i yra proporinga abiejų įėjimo įtampų sandaugai. Valdomo statumo įtaiso pavyzdys bendro emiterio shemos stiprintuvas, kurio emiterinėje grandinėje prijungtas sinusinis signalas (žr. 5..a pav.). Toks įtaisas praktikoje naudojamas kaip mažo galingumo amplitudės moduliatorius: nešlio virpesys atlieka įėjimo signalo vaidmenį, o vietoj sinusinio signalo naudojamas žemadažnis moduliavimo signalas. Šiuo atveju išėjimo srovė i tai kolektoriaus srovės kintamoji dedamoji, išėjimo įtampa v tai kolektoriaus įtampos kintamoji dedamoji, o įėjimo įtampa v in tai bazės įtampos kintamoji dedamoji. Mažo signalo tiesinio stiprinimo režime tokio stiprintuvo harakteristikos statumas yra i ie g =, (4.8.7) v in v in re kur i E yra emiterio srovės kintamoji dedamoji, o r e yra emiterinės sandūros (diodo) dierenialinė varža, kuri yra atvirkščiai proporinga emiterio srovės nuolatinei dedamajai i E : kt / q 5 mv re (4.8.8) ie ie (šis sąryšis išplaukia iš (5..4)). Vadinasi, g ~ i E. T.y., išėjimo įtampa yra proporinga įėjimo įtampos ir emiterio srovės nuolatinės dedamosios sandaugai (žr. (4.8.6)). Emiterio srovės nuolatinę dedamąją valdo žemadažnis moduliavimo signalas v m : emiterio grandinės rezistoriaus

127 R E nuolatinė įtampa i E R E yra lygi emiterio potenialo ir v m skirtumui. Kadangi emiterio potenialas yra praktiškai pastovus (jis lygus bazės potenialo ir atidarytos emiterinės sandūros įtampos skirtumui), tai i E = onst (v m /R E ). T.y., kolektoriaus įtampos nuolatinė dedamoji yra proporinga v m, o kolektoriaus įtampos aukštadažnės dedamosios amplitudė yra proporinga -v m. Kadangi išėjimo skiriamasis kondensatorius C praleidžia tik aukštadažnę dedamąją, tai stiprintuvo išėjimo įtampa v( ~ v m ( v in (. Šio amplitudės moduliatoriaus shema smulkiau aprašyta 5. poskyryje. Antrojo metodo shema pavaizduota 4.8. pav. Čia panaudojamas tas aktas, kad, prijungus prie netiesinio įrenginio dviejų signalų v in ir v LO sumą, išėjimo signale atsiranda dėmuo, kuris proporingas tų signalų sandaugai. Šis dėmuo atsiranda dėl kvadratinio dėmens K (v in + v LO ) išėjimo signalo išraiškoje Teiloro eilute (4.6.): Kv inv LO = KAv in( osωt. (4.8.9) Jeigu v in ( yra juostinis signalas, tuomet žeminamojo arba aukštinamojo dažnio keitimo dedamąją galima išskirti, naudojant juostinį iltrą (žr pav.). Tačiau generatoriaus dažnis ir nešlio dažnis turi būti parinkti taip, kad išskiriamojoje dažnių juostoje nebūtų kitų kombinainių dažnių (n ± m ) ir aukštesniųjų harmonikų dažnių (n ir n ), kurie taip pat atsiranda netiesinio įrenginio išėjime (žr. 4.6 poskyrį) pav. Netiesinio įtaiso panaudojimas maišiklyje. Naudojant trečiąjį metodą, tiesinio įrenginio su valdomu stiprinimo koeiientu vaidmenį atlieka elektroninis jungiklis arba tokių jungiklių sistema. Tuomet stiprinimo koeiientas gali įgyti tik dvi vertes, ir jo laikinė priklausomybė yra ne sinusoidė, o stačiakampių impulsų seka s(. Kaip ir kito tipo maišikliuose, aukštinamojo arba žeminamojo dažnio keitimo dedamoji išskiriama iš jungiklio išėjimo signalo, naudojant iltrą pav. pavaizduotas paprasčiausias tokio tipo įrenginys. Čia tiesinis įrenginys yra jungiklis, kurį valdo periodinė stačiakampių impulsų seka. Valdymo impulso metu jungiklis prijungia įėjimo signalą prie iltro įėjimo, o laiko tarpuose tarp impulsų atjungia įėjimo signalą nuo iltro įėjimo. T.y., jungiklis veikia kaip tiesinis keturpolis, kurio stiprinimo koeiientas yra periodinė vienetinių stačiakampių impulsų seka s(. Šio keturpolio išėjimo signalas (iltro įėjimo signalas) yra v ( = vin( s(. (4.8.) Šis signalas savo pavidalu sutampa su natūraliojo ėmimo PAM signalu (žr. (3..) ir (3..)). Perjungimo signalo s( Furjė eilutės koeiientus nusako (3..8) ormulė, kurioje d yra impulso trukmės ir signalo s( periodo santykis. Įėjimo signalas turi būti padaugintas tik iš tų šios Furjė eilutės dėmenų, kurie atitinka n = ±. Todėl d vertė turi būti parinkta taip, kad s( išraiškoje Furjė eilute būtų kuo mažiau kitų dėmenų. Optimalioji d vertė yra /: tuomet Furjė eilutėje lieka tik nelyginiai dėmenys ir nuolatinė dedamoji. Laikant, kad d = /,

128 pav. Tiesinio įtaiso su priklausančiu nuo laiko stiprinimo koeiientu panaudojimas maišiklyje. = + sin( nπ / ) v ( vin( osnωt. (4.8.) n= nπ Dažnio keitimui reikalingas tik dėmuo, kuris atitinka n =. Šis dėmuo lygus in( osωt π v. (4.8.) Jeigu v in yra juostinis signalas, tuomet šis dėmuo pasireiškia aukštinamojo ir žeminamojo dažnio keitimo signalais, kurių spektrai yra atitinkamai ties dažniais + ir. Tačiau (4.8.) reiškinyje akivaizdu, kad, be šių dažnių, jungiklio išėjimo signale yra ir kitos dažnių juostos ties dažniais = ± n (n = 3, 5, 7). Be to, jungiklio išėjime yra ir dėmuo v in (/, kuris tiesiogiai proporingas įėjimo signalui. Pašalinius dažnius nuslopina iltras. Ir tuo atveju, kai maišiklyje naudojamas netiesinis įrenginys (žr pav.), ir tuo atveju, kai naudojamas elektroninis jungiklis (žr pav.), maišiklio išėjime, be signalų sandaugos (4.8.9) arba (4.8.), yra daug pašalinių dėmenų. Bendruoju atveju maišiklio išėjimo signalas yra v( = Cv in( + Cv ( + C3v in( v( + kiti dėmenys. (4.8.3) Filtras išskiria dėmens C 3 v in (v ( spektro dalį (aukštinamojo dažnio keitimo juostą arba žeminamojo dažnio keitimo juostą). Tačiau, kadangi idealių iltrų nebūna, pašaliniai dėmenys šiek tiek iškraipo ir iltro išėjimo signalą v out (. Siekiant, kad iltro išėjimo signalo spektras kuo tiksliau sutaptų su paslinktu išilgai dažnių ašies įėjimo signalo spektru, reikia, kad pašalinių dėmenų amplitudė būtų kuo mažesnė. Maišikliai dažnai klasiikuojami pagal tai, ar jų išėjime yra pašaliniai dėmenys, kurie proporingi vienam iš dauginamųjų signalų v in ( ir v (. Jeigu abu koeiientai C ir C nėra lygūs nuliui (žr. (4.8.3)), tuomet maišiklis vadinamas nesubalansuotuoju maišikliu. Nesubalansuotojo maišiklio pavyzdys pavaizduotas 4.8. pav. Kadangi šio maišiklio išėjimo harakteristikos išraiškoje Teiloro eilute (4.6.) yra tiesinis dėmuo K v, tai netiesinio įrenginio išėjimo signale yra dedamosios, kurios proporingos dauginamiesiems signalams v in ( ir v (. Jeigu maišiklio išėjimo signalo išraiškoje (4.8.3) tik vienas iš koeiientų C ir C skiriasi nuo nulio, tuomet maišiklis vadinamas viengubo balanso maišikliu. Tokio maišiklio pavyzdys pateiktas pav. Šio maišiklio išėjimo signalo išraiškoje (4.8.) yra dėmuo v in (/ (t.y., C = /), tačiau nėra dėmens, kuris proporingas v ( (t.y., C = ). Jeigu abu koeiientai C ir C lygūs nuliui, tuomet maišiklis vadinamas dvigubo balanso maišikliu. Formaliai dvigubo balanso maišiklį galima gauti, pašalinus nuolatinę dedamąją iš perjungimo signalo s( (pašalinus dėmenį / iš reiškinio, kuris užrašytas laužtiniuose skliaustuose (4.8.) lygybės dešiniojoje pusėje). T.y., reikia pasiekti, kad perjungimo signalas būtų vienodo aukščio ir vienodos trukmės teigiamų ir neigiamų

129 4 stačiakampių impulsų seka (žr d pav.). Tokio maišiklio pavyzdys aprašytas kitoje pastraipoje a pav. pavaizduota dvigubo balanso maišiklio prinipinė shema. Įėjimo įtampa v in ( ir generatoriaus (loal osillator) harmoninė įtampa v LO ( prijungtos prie dviejų tiesinių transormatorių pirminių apvijų, o maišiklio išėjimo įtampa v ( matuojama tarp tų transormatorių antrinių apvijų entrinių taškų. Pagrindinė maišiklio dalis yra keturi diodai, kurie prijungti taip, kad, priklausomai nuo įtampos v LO ( ženklo, bet kuriuo laiko momentu būtų atidaryti tik du diodai. Signalo v LO ( galia yra žymiai (bent kartų) didesnė už įėjimo signalo v in ( galią (pastaroji dažniausiai neviršija 5 dbm). Todėl diodus valdo būtent signalas v LO (, o ne įėjimo signalas v in (. Kai įtampa v LO ( yra teigiama (ženklų taisyklė parodyta 4.8.4a pav.), atidaryti tik viršutiniai du diodai, todėl grandinės ekvivalentinė shema yra tokia, kaip pavaizduota 4.8.4b pav. Kai įtampa v LO ( yra neigiama, atidaryti tik apatiniai du diodai, todėl grandinės ekvivalentinė shema yra tokia, kaip pavaizduota pav. Pastarosiose dviejose ekvivalentinėse shemose matyti, kad įėjimo transormatoriaus antrinė apvija visą laiką yra atvira (nes maišiklio apkrovos varžą galima laikyti praktiškai begaline), todėl jos entrinio taško potenialas lygus nuliui. Dešiniojo transormatoriaus antrinės apvijos entrinio taško potenialas visuomet sutampa su taško, esančio tarp dviejų atidarytųjų diodų, potenialu. Šis taškas tai vienas iš kraštinių įėjimo transormatoriaus antrinės apvijos kontaktų. Vadinasi, maišiklio išėjimo įtampa tai iš daugiklio ±/ padauginta įėjimo transormatoriaus antrinės apvijos įtampa, kuri proporinga įėjimo signalui v in (. Daugiklio ženklas sutampa su įtampos v LO ( ženklu. Todėl išėjimo įtampą galima užrašyti tokiu pavidalu: v ( = Kv in ( s(, (4.8.4) kur s( yra dvipolis perjungimo signalas, kuris pavaizduotas 4.8.4d pav. Kadangi perjungimo signalą valdo harmoninis signalas v LO (, tai signalo s( periodas lygus T = /, o impulso trukmė lygi T /. Tokio signalo išraiška Furjė eilute yra sin( nπ / ) s( = 4 os nωt. (4.8.5) n= nπ Įrašę (4.8.5) į (4.8.4), gauname = sin( nπ / ) v ( v in ( 4K os nωt (4.8.6) n= nπ (plg. su (4.8.)). Vadinasi, šiuo atveju maišiklio išėjimo signale nėra dėmenų, kurie būtų proporingi v in ( arba v LO (, t.y., šis maišiklis iš tikrųjų yra dvigubo balanso maišiklis. Tuo atveju, kai maišiklio įėjimo signalas v in ( yra žemadažnis signalas, maišiklį galima panaudoti kaip moduliatorių, kuris perkelia žemadažnį signalą į radijo dažnių juostą. Tuo atveju, kai maišiklio įėjimo signalas v in ( yra moduliuotasis radijo dažnių signalas, o jo nešlio dažnis sutampa su generatoriaus signalo v LO ( dažniu, maišiklį galima panaudoti kaip detektorių, kuris atkuria moduliavimo signalą. Šie maišiklių pritaikymai bus aprašyti vėliau.

130 pav. Dvigubo balanso maišiklio grandinės analizė. a dvigubo balanso maišiklio prinipinė shema, b ekvivalentinė grandinė, kai generatoriaus (loal osillator) įtampa yra teigiama, ekvivalentinė grandinė, kai generatoriaus įtampa yra neigiama, d perjungimo signalas, kurį sąlygoja generatorius Dažnio daugintuvai Dažnio daugintuvas tai įtaisas, į kurio įėjimą padavus dažnio virpesį, išėjime gaunamas dažnio n virpesys (n sveikasis skaičius). Jeigu dažnio daugintuvo įėjime yra juostinis signalas, kurio nešlio dažnis yra, tuomet išėjimo signalo spektras bus ties dažniu n. Dažnio daugintuvą sudaro netiesinis įtaisas, kurio išėjime yra juostinis iltras (žr. 4.9.a pav.). Dėl harmoninių iškraipymų netiesinio įtaiso išėjimo signale atsiranda įėjimo signalo dažnių aukštesniosios harmonikos (žr. 4.6 poskyrį). Juostinis iltras išskiria n-tąją harmoniką. Juostinio iltro vaidmenį dažniausiai atlieka virpesių kontūras, kuris suderintas įėjimo signalo n-tosios harmonikos dažniui. Virpesių kontūro 3 db lygio dažnių juostos plotis yra lygus

131 pav. Dažnio daugintuvas. a struktūrinė shema, b prinipinė shema. res B =, (4.9.) Q kur res yra kontūro rezonansinis dažnis, o Q yra kontūro kokybė (šių dydžių išraiškos kontūro parametrais pateiktos 4..3 poskyryje). Paprasčiausio tranzistorinio dažnio daugintuvo prinipinė shema pateikta 4.9.b pav. Tranzistorius įjungtas pagal bendro emiterio shemą. Kolektoriaus grandinėje nuosekliai prijungtas lygiagretusis virpesių kontūras, kuris suderintas dažniui n, kur yra nešlio dažnis. Tranzistoriaus bazės įtampos nuolatinė dedamoji yra lygi nuliui (todėl nereikalingas įtampos daliklis). Tuomet emiterinė sandūra atsidaro tik teigiamųjų įėjimo signalo pusperiodžių metu. T.y., bazės srovė yra ribojama iš apačios. Todėl kolektoriaus srovė yra impulsų pavidalo (žr. 5..3b pav., antroji kreivė). Vadinasi, kolektoriaus srovėje yra ir aukštesniosios įėjimo signalo harmonikos. Išėjimo signalas tai lygiagrečiojo kontūro įtampa. Kurio nors dažnio indėlis į lygiagrečiojo kontūro įtampą yra lygus to dažnio kolektoriaus srovės dedamosios ir kontūro impedanso, esant tam dažniui, sandaugai. Lygiagrečiojo kontūro impedansas yra didžiausias, esant rezonansiniam dažniui, ir sparčiai mažėja, tolstant nuo rezonansinio dažnio. Todėl dažnių, kurie artimi rezonansiniam dažniui, indėlis į kontūro įtampą yra padidintas, lyginant su kitais dažniais. T.y., lygiagretusis virpesių kontūras veikia kaip juostinis iltras, kuris išskiria iš kolektoriaus srovės n-tąją harmoniką. Be kurį juostinį signalą galima išreikšti (4..b) pavidalu: v in ( = R( os[ ω t + θ ( ]. (4.9.) Netiesinio įrenginio išėjimo signalą galima išreikšti (4.6.) pavidalo laipsnine eilute, kurios n- tosios eilės dėmuo yra

132 7 n n n v ( = Knv in ( = KnR ( os [ ω t + θ ( ] arba n v ( = CR ( os[ nω t + nθ ( ] + kiti dėmenys. Kadangi juostinis iltras praleidžia tik tuos dažnius, kuris yra n aplinkoje, tai dažnio daugintuvo išėjimo signalas, atitinkantis įėjimo signalą (4.9.), yra n v out ( = CR ( os[ nω t + nθ ( ]. (4.9.3) Vadinasi, dažnio daugintuvas iškraipo signalo amplitudės laikinę priklausomybę, nes išėjimo signalo realioji gaubtinė pakeliama n-tuoju laipsniu. Pradinės azės θ( pavidalas nėra iškraipomas, tačiau azės kitimo ribos padidėja n kartų (išėjimo signalo pradinė azė yra nθ(). Dėl šių savybių dažnio daugintuvai nėra naudojami tais atvejais, kai reikia išsaugoti signalo realiąją gaubtinę, tačiau naudojami tais atvejais, kai reikia sustiprinti moduliuotos azės laikinę priklausomybę. Dažnio daugintuvo nereikia painioti su maišikliu (žr. 4.8 poskyrį). Dažnio daugintuvas yra netiesinis įrenginys, o maišiklis yra tiesinis įrenginys, kurio stiprinimo koeiientas priklauso nuo laiko. Dažnio daugintuvo netiesinis pobūdis pasireiškia tuo, kad juostinio signalo realioji gaubtinė yra iškraipoma, o signalo spektro plotis padidėja ir spektras atsiduria ties n-tosios harmonikos dažniu. Tuo tarpu daugybos iš sinusoidės operaija, kurią atlieka maišiklis, pasireiškia juostinio signalo spektro poslinkiu išilgai dažnių ašies, nekintant signalo kompleksinės gaubtinės ir spektro ormai. 4.. Detektoriai Detektorius tai įtaisas, kuris atkuria moduliuojantįjį signalą pagal moduliuotąjį juostinį signalą. Žemiau aprašyti kelių tipų detektoriai Gaubtinės detektorius Idealusis gaubtinės detektorius tai įtaisas, kurio išėjimo signalas yra proporingas įėjimo juostinio signalo realiajai gaubtinei R( (žr. juostinio signalo išraišką (4.9.)): v out ( t ) = KR(. (4..) Gaubtinės detektoriaus išėjimo įtampos priklausomybė nuo įėjimo signalo amplitudės (realiosios gaubtinės) vadinama gaubtinės detektoriaus harakteristika. Idealiojo gaubtinės detektoriaus harakteristika yra tiesinė (žr. (4..)). Paprasčiausio gaubtinės detektoriaus prinipinė shema pavaizduota 4..a pav. Diodu srovė teka tik tuomet, kai įėjimo įtampa v in ( yra didesnė už kondensatoriaus C įtampą, kuri sutampa su išėjimo įtampa v out (. Tokiu atveju kondensatorius įsikrauna, o išėjimo įtampa sutampa su įėjimo įtampa (žr. 4..b pav.). Kai įėjimo įtampa pradeda mažėti, ji pasidaro mažesnė už kondensatoriaus įtampą, todėl diodas užsidaro, o kondensatorius pradeda išsikrauti pro rezistorių R. Laikas, per kurį kondensatoriaus įtampa sumažėja e kartų, yra lygus rezistoriaus varžos ir kondensatoriaus talpos sandaugai RC. Jeigu šis laikas būtų mažesnis už nešlio periodą, tuomet kondensatoriaus įtampa sutaptų su įėjimo įtampa. Kitu ribiniu atveju, kai per laiką RC įėjimo signalo gaubtinė spėja pastebimai pasikeisti, išėjimo įtampa nespėja sekti gaubtinės kitimo, todėl jos laikinė priklausomybė tik apytiksliai sutampa su gaubtine. Vadinasi, kad galiotų (4..) lygybė, kondensatoriaus išsikrovimo trukmė RC turi būti žymiai didesnė už nešlio periodą, tačiau žymiai mažesnė už laiką, per kurį gaubtinės vertė R( pastebimai pasikeičia. Tai reiškia, kad turi galioti nelygybės B << <<, (4..) π RC

133 8 4.. pav. Diodinis gaubtinės detektorius. a prinipinė shema, b įėjimo ir išėjimo signalai. kur B yra moduliavimo signalo (gaubtinės) dažnių juostos plotis, o yra nešlio dažnis. Gaubtinės detektoriaus įėjimo ir išėjimo signalų pavidalą iliustruoja 4..b pav. Gaubtinės detektoriai dažniausiai naudojami, detektuojant amplitudės moduliavimo signalus. Šiuo atveju įėjimo signalo v in ( kompleksinė gaubtinė yra g( = A [+m(], kur A yra nemoduliuoto nešlio amplitudė, o m( yra moduliavimo signalas. Jeigu m( <, tuomet v out ( = KR( = K g( = KA [ + m( ] = KA + KA m(. (4..3) Taigi, AM signalo gaubtinės detektoriaus išėjimo signalas yra proporingas moduliavimo signalo ir nuolatinės įtampos KA sumai. Ši nuolatinė įtampa naudojama AM imtuvo automatiniam stiprinimo reguliavimui: kai KA vertė yra maža (t.y., AM signalas yra silpnas), imtuvo stiprinimas padidinamas, ir atvirkščiai. Tuo atveju, kai moduliavimo signalas m( yra garsinio dažnio signalas, tipiškos R ir C vertės yra R = kω ir C = nf. Tuomet žemųjų dažnių iltro, kurį sudaro RC grandinėlė, ribinis dažnis (3 db lygio dažnių juostos plotis) yra o = /(πrc) = 5.9 khz. Šis dažnis yra žymiai mažesnis už nešlio dažnį, tačiau didesnis už didžiausią garsinį dažnį B, kuris naudojamas amplitudės moduliavimui Sandaugos detektorius Sandaugos detektorius tai dažnio keitiklis (žr. 4.8 poskyrį), kuris paslenka juostinio signalo spektrą dažnio mažėjimo kryptimi atstumu, kuris lygus nešlio dažniui. Sandaugos detektoriaus struktūrinė shema pavaizduota 4.. pav. Sandaugos detektorių sudaro maišiklis, kurio generatoriaus dažnis sutampa su įėjimo signalo nešlio dažniu, ir žemųjų dažnių iltras. Jeigu įėjime yra juostinis signalas v in ( = R( os[ ω t + θ ( ] (4..4) (čia θ( atspindi azės arba dažnio moduliavimą: žr. C- lentelę), o generatoriaus signalas yra v ( = A os[ ω t + θ], (4..5) tuomet maišiklio (signalų daugintuvo) išėjimo įtampa yra

134 9 4.. pav. Sandaugos detektorius. v( = R( os[ ωt + θ ( ] A os( ωt + θ ) = = A R( os[ θ ( θ ] + A R( os[ω t + θ ( + θ ]. Žemųjų dažnių iltras išskiria iš šio signalo žeminamojo dažnio keitimo dedamąją (žr. 4.8 poskyrį), t.y., pirmąjį dėmenį: jθ v out ( = A R( os[ θ ( θ] = A Re{ g( e }, (4..6) kur g( yra įėjimo signalo kompleksinė gaubtinė (žr. (4..a) ir (4..)): jθ ( g( = R( e = x( + jy(. (4..7) Čia x( ir y( yra kompleksinės gaubtinės realioji ir menamoji dalys. Generatoriaus virpesio pradinės azės θ prasmė tai generatoriaus virpesio ir nešlio azių skirtumas. Jeigu θ =, tuomet, pagal (4..6) ir (4..7), išėjimo signalas yra v out ( t ) = A x(. (4..8a) Jeigu θ = 9, tuomet v out( t ) = A y(. (4..8b) Vadinasi, priklausomai nuo generatoriaus ir nešlio azių skirtumo, sandaugos detektorius gali atkurti įėjimo juostinio signalo kompleksinės gaubtinės realiąją dalį (sinazinės dedamosios amplitudę) arba menamąją dalį (kvadratūrinės dedamosios amplitudę). Dėl šios savo savybės sandaugos detektorius gali detektuoti ir moduliuotos amplitudės, ir moduliuotos azės signalus. Jeigu detektoriaus įėjime yra AM signalas (θ( ), kurio azė sutampa su generatoriaus virpesio aze (θ = ), tuomet, pagal (4..7) ir (4..8a), v out ( t ) = A R(, (4..9a) t.y., detektoriaus išėjime yra realioji gaubtinė, kaip ir gaubtinės detektoriaus atveju (žr. 4.. poskyrį). Jeigu detektoriaus įėjime yra moduliuotos azės arba moduliuoto dažnio signalas (θ( kinta laike), kurio amplitudė yra pastovi ir lygi A, o θ = 9, tuomet, pagal (4..7) ir (4..8b), v out( = A A sinθ (. (4..9b) Vadinasi, šiuo atveju sandaugos detektorius veikia kaip azės detektorius, nes jo išėjimo įtampa priklauso nuo įėjimo signalo pradinės azės θ(. Šios priklausomybės pavidalas vadinamas azės detektoriaus harakteristika. Šiuo atveju azės detektoriaus harakteristika yra sinusinė, nes išėjimo įtampa yra proporinga θ( sinusui. Jeigu pradinė azė yra maža ( θ( << π/), tuomet sinθ( θ( ir

135 3 v out( A Aθ (. (4..) Vadinasi, mažiems moduliavimo kampams azės detektoriaus harakteristika yra tiesinė, t.y., jo išėjimo įtampa yra proporinga įėjimo signalo ir generatoriaus virpesio azių skirtumui. Visus detektorius taip pat galima suklasiikuoti pagal įėjimų skaičių. Koherentinis detektorius turi du įėjimus vieną įėjimą atraminiam signalui (pvz., generatoriaus virpesiui) ir vieną įėjimą signalui, kurį reikia demoduliuoti. Pvz., sandaugos detektorius yra koherentinis detektorius. Nekoherentinis detektorius turi tik vieną įėjimą, į kurį paduodamas moduliuotasis signalas. Nekoherentinio detektoriaus pavyzdys yra gaubtinės detektorius (žr. 4.. poskyrį) Dažnio detektoriai Idealusis dažnio detektorius tai įtaisas, kurio išėjimo įtampa yra proporinga įėjimo signalo momentiniam dažniui. Juostinio signalo R(os[ω t + θ(] (žr. (4..b)) momentinis dažnis tai kosinusoidės argumento išvestinė laiko atžvilgiu. Vadinasi, jeigu įėjime yra juostinis signalas, tuomet idealiojo dažnio detektoriaus išėjimo signalas yra d[ ω t + θ ( ] dθ ( v out( = K = K ω + dt dt. (4..) Dažniausiai dažnio detektoriaus išėjimo įtampoje nėra nuolatinės dedamosios Kω : dθ ( v out( = K. (4..) dt Tuomet dažnio detektorius vadinamas balansiniu dažnio detektoriumi. Dažnio detektoriaus išėjimo įtampos priklausomybė nuo įėjimo signalo dažnio vadinama dažnio detektoriaus harakteristika. Idealiojo dažnio detektoriaus harakteristika yra tiesinė (žr. (4..)). Daugumoje dažnio detektorių išėjimo signalas ormuojamas vienu iš šių trijų metodų: dažnio moduliavimo vertimas amplitudės moduliavimu, kvadratūrinis detektavimas, perėjimo per nulį detektavimas. Pvz., pirmasis iš šių metodų įgyvendintas polinkio detektoriuje (slope detetor), kurio struktūrinė shema pavaizduota 4..3 pav. Juostinis ribotuvas (žr. 4.7 poskyrį) pašalina įėjimo signalo amplitudės kitimą. T.y., juostinio ribotuvo išėjime yra (4.7.) pavidalo signalas: v ( = VL os[ ω t + θ ( ]. (4..3) Jeigu tai yra moduliuotojo dažnio (requeny modulation, FM) signalas, tuomet pradinė azė θ( yra proporinga moduliavimo signalo integralui (žr. C- lentelę): t t ) = K m ( t ) dt θ (. (4..4) 4..3 pav. Polinkio detektoriaus struktūrinė shema.

136 3 Diereniatoriaus išėjimo signalas yra proporingas įėjimo signalo laikinei išvestinei: dv( dθ ( v ( = K = KV L ω sin[ ωt + θ ( ] dt + dt. (4..5) Vadinasi, diereniatoriaus išėjimo signalas tai juostinis signalas, kurio kompleksinė gaubtinė yra proporinga įėjimo signalo momentiniam dažniui. Gaubtinės detektorius atkuria signalo realiąją gaubtinę (žr. 4.. poskyrį), t.y., gaubtinės detektoriaus išėjime yra įėjimo juostinio signalo kompleksinės gaubtinės absoliutinė vertė: dθ ( v out( = KV L ω + dt. Kadangi praktikoje visuomet galioja nelygybė ω > dθ(/dt, tai dθ ( v out ( = KV L ω + dt. (4..6) Įrašę (4..4) į (4..6), randame v out ( = KV L ω + KV LK m(. (4..7) T.y., polinkio detektoriaus išėjimo signalas sudarytas iš nuolatinės dedamosios K V L ω ir kintamosios dedamosios K V L K m(, kuri proporinga dažnio moduliavimo signalui m(. Kintamąją dedamąją galima išskirti, prijungus gaubtinės detektoriaus išėjime kondensatorių. Palyginus (4..3) ir (4..5) lygybes, matyti, kad sinusoidės dierenijavimas pasireiškia jos amplitudės moduliavimu sinusoidės argumento išvestine ir azės pokyčiu, kuris lygus π/. Tačiau azės pokytis dažnio detektavimui neturi reikšmės, nes gaubtinės detektorius detektuoja tik išvestinės realiąją gaubtinę. Todėl polinkio detektoriaus harakteristika sutampa su diereniatoriaus dažnine amplitudės harakteristika. Vadinasi, diereniatoriaus vaidmenį gali atlikti bet kuris įtaisas, kurio dažninė amplitudės harakteristika yra proporinga įėjimo signalo dažniui, kai jis yra artimas nešlio dažniui, t.y., kuris dažnio moduliavimą paverčia amplitudės moduliavimu. Bet kuri dažnio unkija, kuri turi perlinkio tašką, yra tiesinė šio taško aplinkoje. Vadinasi, juostinio signalo diereniavimui galima panaudoti iltrą, kurio dažninės amplitudės harakteristikos perlinkio taškas yra ties nešlio dažniu. Be to, pageidautina, kad šios harakteristikos statumas šiame taške būtų kuo didesnis, nes tuomet padidėja diereniatoriaus jautrumas įėjimo signalo dažnio pokyčiui. Pvz., diereniatoriaus vaidmenį gali atlikti virpesių kontūras (žr. 4..4a pav.), kurio rezonansinis dažnis šiek tiek didesnis už nešlio dažnį. Šis dažnių skirtumas turi būti toks, kad diereniatoriaus dažninės amplitudės harakteristikos perlinkio taškas būtų ties nešlio dažniu (žr. 4..4b pav.). Varža R diereniatoriaus shemoje (žr. 4..4a pav.) būti pakankamai didelė, kad žymiai sumažintų įėjimo varžos (ir įėjimo srovės amplitudės) priklausomybę nuo kontūro impedanso (t.y., nuo dažnio), ir kartu pakankamai maža, kad signalo galios nuostoliai joje nebūtų per dideli. Mat, kintant dažniui, kontūro impedansas (įėjimo varžos dalis) ir įėjimo srovės amplitudė kinta priešingom kryptim, todėl, kuo silpniau srovės amplitudė priklauso nuo dažnio, tuo stipriau nuo dažnio priklauso kontūro įtampa, kuri lygi įėjimo srovės ir kontūro impedanso sandaugai. Vadinasi, kuo didesnė varža R, tuo siauresnis yra diereniatoriaus dažninės amplitudės harakteristikos maksimumas tuo didesnis šios harakteristikos statumas perlinkio taške.

137 pav. Polinkio detektorius su virpesių kontūru. a prinipinė shema, b harakteristika. Polinkio detektoriaus, kuris pavaizduotas 4..4a pav., trūkumai yra jo harakteristikos tiesinės srities siaurumas (žr. 4..4b pav.) ir tas aktas, kad ši harakteristika nėra lygi nuliui ties nešlio dažniu, t.y., išėjimo signalas turi nenulinę nuolatinę dedamąją. Šių trūkumų neturi balansinis dažnio detektorius, kuris pavaizduotas 4..5 pav. Šis dažnio detektorius vadinamas balansiniu diskriminatoriumi. Balansinį diskriminatorių sudaro du lygiagrečiai sujungti virpesių kontūrai, kurių kiekvieno išėjime yra gaubtinės detektorius. Vieno kontūro rezonansinis dažnis ( ) yra didesnis už nešlio dažnį, o kito kontūro rezonansinis dažnis ( ) mažesnis už. Nešlio dažnis turi būti lygus abiejų kontūrų rezonansinių dažnių vidurkiui. Gaubtinių detektorių išėjimuose yra abiejų virpesių kontūrų įtampų realiosios gaubtinės. Dažnio detektoriaus išėjimo signalas lygus abiejų gaubtinių skirtumui, t.y., detektoriaus harakteristika lygi abiejų kontūrų dažninių amplitudės harakteristikų skirtumui. Kadangi kiekvieno virpesių kontūro dažninė amplitudės harakteristika yra lyginė atžvilgiu rezonansinio dažnio, tai tuo atveju, kai abiejų harakteristikų orma yra vienoda, jos yra simetriškos viena kitai atžvilgiu nešlio dažnio (žr. 4..5a pav., viršutinės kreivės). Vadinasi, atėmus vieną harakteristiką iš kitos, gaunama dažnio unkija, kuri yra nelyginė nešlio dažnio atžvilgiu (žr. 4..5a pav., apatinė kreivė). Tai reiškia, kad detektoriaus harakteristika lygi nuliui taške = (t.y., dažnio detektorius yra balansinis), o jos skleidinys Teiloro eilute taško aplinkoje neturi lyginių laipsnių. Kontūrų išderinimą nešlio dažnio atžvilgiu visuomet galima parinkti taip, kad jų dažninių amplitudės harakteristikų trečiosios išvestinės taške būtų lygios nuliui (virpesių kontūro atveju trečiosios išvestinės nuliai yra arti perlinkio taškų). Tuomet trečiojo laipsnio dėmuo detektoriaus harakteristikos skleidinyje Teiloro eilute taip pat lygus nuliui, o pagrindinis dėmuo, kuris lemia detektoriaus harakteristikos nuokrypį nuo tiesės, tolstant nuo perlinkio taško =, yra penktojo laipsnio

138 pav. Balansinis diskriminatorius. a struktūrinė shema, b prinipinė shema. dėmuo, kuris pradeda pasireikšti žymiai toliau nuo perlinkio taško, negu pradinių harakteristikų kvadratiniai dėmenys. Todėl, lyginant su detektorium, kuris pavaizduotas 4..4 pav., šio detektoriaus harakteristika yra tiesinė žymiai platesniame dažnių intervale (plg. 4..4b pav. ir 4..5a pav., apatinė kreivė). Balansinį diskriminatorių, kurio struktūrinė shema pavaizduota 4..5a pav., galima realizuoti, sujungus du dažnio detektorius, kurių shema atitinka 4..4a pav., taip, kaip pavaizduota 4..5b pav. Įėjimo įtampa padalinta po lygiai tarp dviejų virpesių kontūrų, kurie išderinti atžvilgiu nešlio dažnio aukščiau aprašytuoju būdu. Viršutinis diodas yra atidarytas tik teigiamųjų įėjimo signalo pusperiodžių metu, o apatinis tik neigiamųjų pusperiodžių metu. Abiejų gaubtinės detektorių išėjimo įtampų ženklai yra priešingi, o absoliutinių verčių dažninės priklausomybės atitinka virpesių kontūrų dažnines amplitudės harakteristikas. Todėl šių

139 34 harakteristikų atimties operaija realizuojama, tiesiog sudedant abiejų gaubtinės detektorių išėjimo įtampas (žr. 4..5b pav.). Praktikoje balansiniai diskriminatoriai naudojami retai, nes praktiškai sunku pasiekti, kad abiejų virpesių kontūrų dažninių harakteristikų orma būtų vienoda, o jų rezonansiniai dažniai būtų vienodai nutolę nuo nešlio dažnio. Be to, tokius dažnio detektorius sunku derinti. Balansinius diskriminatorius pastaruoju metu išstūmė integriniai grandynai, kuriuose panaudojamas kvadratūrinis detektavimo metodas. Kvadratūrinio detektoriaus struktūrinė shema pateikta 4..6 pav. Tarkime, kad įėjimo signalas yra v in( = VL os[ ω t + θ ( ]. (4..8) Šis signalas praleidžiamas pro kondensatorių C, kuris nuosekliai sujungtas su lygiagrečiuoju virpesių kontūru LRC, kuris suderintas nešlio dažniui. Maišiklis sudaugina pradinį įėjimo signalą ir lygiagrečiojo kontūro įtampą. Praleidus šią signalų sandaugą pro žemųjų dažnių iltrą, gaunamas signalas, kuris proporingas įėjimo signalo momentiniam dažniui. Žemiau šis teiginys pagrįstas matematiškai. v in () t i t ( ) C v m () t v quad () t Žemųjų dažnių iltras v out () t C R L 4..6 pav. Kvadratūrinis dažnio detektorius. Kondensatorius C sukuria π/ azių skirtumą tarp signalų v quad ir v in : π i( = ω CV L os ωt + θ ( + = ω CV L sin[ ωt + θ ( ]. (4..9) Iš virpesių teorijos yra žinoma, kad, esant mažam kontūro išderinimui ( ω ω = / LC ) ir aukštai kontūro kokybei (ω L >> R), lygiagrečiojo kontūro įtampos ir kontūro įėjimo srovės azių skirtumas yra lygus Q dθ Δ θ ( Δθ << ); (4..) ω dt

140 35 čia dθ/dt yra įėjimo srovės (4..9) momentinio iklinio dažnio nuokrypis nuo kontūro rezonansinio dažnio ω =, (4..) LC kuris sutampa su įėjimo signalo nešlio dažniu, o Q yra kontūro kokybė: L L Q = = ω = (4..) R C R ωcr (lygiagrečiojo kontūro kokybė nusako jo elementais tekančios srovės ir įėjimo srovės amplitudžių santykį rezonanso metu). Esant tokiam mažam išderinimui, kai galioja nelygybė (4..), lygiagrečiojo kontūro įtampos ir kontūro įėjimo srovės amplitudžių santykis beveik nepriklauso nuo dažnio ir yra lygus kontūro rezonansinei varžai R (žr. (4..9)). Kadangi kontūro įėjimo srovės amplitudė yra proporinga detektoriaus įėjimo įtampai V L (žr. (4..9)), tai, atsižvelgus į papildomą azės pokytį Δθ (žr. (4..)), kontūro įtampa yra v quad( = KV L sin[ ωt + θ ( + Δθ( ]. (4..3) Šis signalas vadinamas kvadratūriniu signalu, nes tuo atveju, kai Δθ <<, jo azė skiriasi nuo įėjimo signalo azės dydžiu π/. Maišiklio išėjimo signalas (žr pav.) yra proporingas signalų v in ( ir v quad ( sandaugai: v ( = K v ( v ( = K K V os[ ω t + θ ( ]sin[ ω t + θ ( + Δθ ( ] m in quad L KKV L {sin Δθ( sin[ω t + θ ( + Δθ( ]}. Žemųjų dažnių iltras (žr pav.) išskiria šios sumos pirmąjį dėmenį. Atsižvelgus į (4..), iltro išėjimo signalas yra Q dθ v out ( KKV L Δθ( KKV L. (4..4) ω dt Įrašę (4..4) į (4..4), gauname Q v ( K K V K m(. (4..5) out L ω Vadinasi, kvadratūrinis detektorius atkuria dažnio moduliavimo signalą. Tiesinę išėjimo įtampos priklausomybę nuo įėjimo įtampos momentinio dažnio (4..) galima gauti, naudojant įtaisą, kuris registruoja kiekvieną įėjimo įtampos perėjimą per nulinę vertę. Dažnio detektorius, kuriame naudojamas toks įtaisas, vadinamas perėjimo per nulį detektoriumi (zero-rossing detetor) Perėjimo per nulį balansinio dažnio detektoriaus struktūrinė shema pateikta 4..7a pav. Įėjimo signalas visų pirma patenka į plačiajuostį ribotuvą (žr. 4.7 poskyrį), kuris suormuoja to paties dažnio stačiakampių impulsų seką. Šie impulsai patenka į monovibratorių dviejų išėjimų įtaisą, kuris įėjimo impulso teigiamojo ronto metu abiejuose išėjimuose generuoja po vieną vienodos trukmės ir aukščio, tačiau priešingo poliarumo stačiakampį impulsą, o po to grįžta į pradinę stabiliąją būseną. Stabilioje būsenoje išėjime Q yra nulinė įtampa, o išėjime Q kažkokia teigiama įtampa A. Įėjimo impulso teigiamojo ronto metu monovibratorius pereina į kvazistabiliąją būseną. Šis perėjimas pasireiškia tuo, kad abiejų išėjimų įtampos susikeičia vietomis : išėjime Q nusistovi aukštasis įtampos lygis A, o išėjime Q nulinis lygis. Tačiau po tam tikro laiko monovibratorius savaime šuoliškai grįžta į stabiliąją būseną. T.y., išėjime Q atsiranda teigiamas impulsas, o išėjime Q neigiamas impulsas žr. (4..7b pav., antroji ir trečioji kreivės). Dažnio detektoriuje naudojamo monovibratoriaus išėjimo impulso trukmė lygi pusei nešlio periodo, t.y., T / = /( ). Pavyzdyje, kuris pavaizduotas 4..7b pav., įėjimo signalo momentinis dažnis i yra šiek tiek

141 pav. Perėjimo per nulį detektorius. a struktūrinė shema, b ribotuvo ir monovibratoriaus išėjimo signalai. didesnis už nešlio dažnį, t.y., įėjimo signalo periodas T i < T. Intervalas tarp monovibratoriaus impulsų yra lygus T i T / (žr. 4..7b pav. antrąją ir trečiąją kreives). Abiejų monovibratoriaus išėjimų (Q ir Q ) signalai praleidžiami pro vienodus žemųjų dažnių iltrus, kurių ribinis dažnis (žr..6.4 poskyrį) yra žymiai mažesnis už nešlio dažnį, tačiau žymiai didesnis už įėjimo signalo kompleksinės gaubtinės dažnių juostos plotį. Tuomet iltrų išėjimuose yra monovibratoriaus išėjimo signalų laikiniai vidurkiai laiko intervale, kuris žymiai ilgesnis už nešlio periodą, tačiau žymiai trumpesnis už laiką, per kurį šis periodas pastebimai pasikeičia. Šie vidurkiai lygūs i i A T A T Q = = ir = = i i i A T T A T Q. Abiejų žemadažnių iltrų išėjimo signalai patenka į dierenialinį stiprintuvą, kurio išėjimo įtampa yra proporinga dviejų įėjimų įtampų skirtumui i i A A Q Q = =.

142 37 Vadinasi, perėjimo per nulį balansinio dažnio detektoriaus išėjimo signalas yra proporingas įėjimo signalo dažnio momentiniam nuokrypiui nuo nešlio dažnio, t.y., moduliavimo signalui (žr. (4..4)). 4.. Fazės derinimo kilpos (PLL kilpos) ir dažnio sintezatoriai Fazės derinimo kilpa (phase-loked loop, PLL), arba PLL kilpa tai grįžtamojo ryšio sistema, kurioje grįžtamojo ryšio signalo vaidmenį atlieka ne išėjimo įtampa, o jos dažnis. PLL kilpa sudaryta iš trijų pagrindinių dalių (žr. 4.. pav.): ) azės detektorius (žr. 4.. poskyrį), ) žemųjų dažnių iltras, 3) įtampa valdomas generatorius. Žemųjų dažnių iltras gali įeiti ir į paties azės detektoriaus sudėtį (žr., pvz., 4.. pav.). Įtampa valdomas generatorius tai osiliatorius, kurio signalo dažnio nuokrypis nuo tam tikro iksuoto dažnio priklauso nuo valdymo įtampos v (. Generatoriaus dažnis, kai valdymo įtampa v ( lygi nuliui, vadinamas laisvųjų virpesių dažniu arba savuoju dažniu. Įtampos v ( kitimo sparta lemia generatoriaus dažnio kitimo spartą. Fazės detektoriaus išėjimo signalas v ( yra periodinė įėjimo signalo v in ( ir generatoriaus signalo v ( azių skirtumo θ e unkija, kurios periodas lygus π (pvz., harmoninė unkija (4..9b)). Keletas galimų azės detektoriaus harakteristikų pateiktos 4.. pav. Reikia turėti omenyje, kad azių skirtumas θ e gali būti atskaitomas ne nuo nulio, o nuo kažkokios baigtinės vertės, pvz., -π/ (žr. žemiau analoginės PLL kilpos analizę). θ e atskaitos tašką patogiausia pasirinkti taip, kad nulinį azių skirtumą atitiktų nulinė azės detektoriaus išėjimo įtampa (žr. azės detektoriaus harakteristikas 4.. pav.). θ e keičiasi tik tuo atveju, kai įėjimo signalo ir generatoriaus virpesio dažniai skiriasi. Šių dažnių skirtumas nusako azių skirtumo laikinę išvestinę, t.y., θ e kitimo spartą. Jeigu dažnių skirtumas būtų pastovus, tuomet θ e tiesiškai kistų laike ir azės detektoriaus išėjime būtų jo harakteristikos pavidalo periodinis signalas, kurio dažnis lygus dažnių skirtumui. Tarkime, kad tam tikru laiko momentu įėjimo signalo ir generatoriaus dažniai sutampa ir yra lygūs savajam dažniui. Tuomet jų azių skirtumas yra pastovus, o azės detektoriaus išėjimo įtampa ir iltro išėjimo įtampa lygios nuliui, todėl generatoriaus dažnis nekinta. Laikysime, kad, didėjant generatoriaus valdymo įtampai v (, jo dažnis auga. Tuomet, jeigu generatoriaus dažnis nežymiai sumažėja arba įėjimo įtampos dažnis nežymiai padidėja, dažnių skirtumas pasidaro teigiamas, azių skirtumas ir v ( pradeda lėtai augti, generatoriaus valdymo įtampa v ( taip pat pradeda augti, todėl generatoriaus dažnis pradeda augti, dažnių skirtumas pradeda mažėti, azių skirtumo augimas sulėtėja, ir galų gale dažniai vėl pasidaro vienodi, o azių skirtumas ir valdymo įtampa v ( nusistovi ties naujom didesnėm vertėm. Lygiai taip pat galima įrodyti, kad, nežymiai padidėjus generatoriaus dažniui arba nežymiai sumažėjus įėjimo įtampos dažniui, generatoriaus dažnis pradeda mažėti, ir mažėja tol, kol vėl tampa lygus įėjimo signalo dažniui, o azių skirtumas ir valdymo įtampa v ( nusistovi ties naujom mažesnėm vertėm. Jeigu dažnių svyravimai yra maži, tuomet azių skirtumas visą laiką yra azės detektoriaus harakteristikos tiesinėje dalyje (žr. 4.. pav.), o jo pokytis proporingas dažnio pokyčiui. Vadinasi, įtampos v ( pokytis proporingas įėjimo signalo v in ( dažnio pokyčiui. Pradėjus kisti azės detektoriaus išėjimo įtampai v (, indėlį į valdymo įtampos v ( kitimą įneša tik tos signalo v ( harmoninės dedamosios, kurių dažniai priklauso iltro pralaidumo juostai. T.y., v ( spektras yra proporingas įėjimo signalo v in ( 4.. pav. PLL kilpos struktūrinė shema.

143 pav. Keletas galimų azės detektoriaus harakteristikų. spektro daliai, kuri sutelkta ties generatoriaus dažniu ir kurios plotis atitinka iltro dažnių juostos plotį. Jeigu iltras be iškraipymų praleidžia visą skirtuminių dažnių (v in ( kompleksinės gaubtinės) spektrą, tuomet generatoriaus dažnis sutampa su momentiniu įėjimo signalo v in ( dažniu, o įtampa v ( yra proporinga šio dažnio vertei (šis teiginys įrodytas toliau šiame poskyryje). T.y., šiuo atveju PLL kilpą galima panaudoti kaip dažnio detektorių, kurio išėjimo signalas yra v (. Jeigu žemųjų dažnių iltro pralaidumo juostos plotis yra žymiai mažesnis už v in ( kompleksinės gaubtinės juostos plotį, tuomet pakankamai didelę valdymo įtampos vertę galima gauti tik tuomet, kai įėjimo signalo v in ( kompleksinės gaubtinės nuolatinė dedamoji nelygi nuliui (valdymo įtampos vertė turi būti pakankamai didelė, kad generatoriaus dažnis spėtų sekti įėjimo signalo arba jo nešlio dažnį). T.y., v in ( spektre ties nešlio dažniu turi būti δ unkijos pavidalo maksimumas (žr., pvz., AM signalo spektro išraišką (4.3.4a)). Tokiu atveju v ( dažnis sutampa su šios spektro linijos dažniu, ir iltro išėjimo signalas reaguoja tik į lėtus jos dažnio pokyčius. Vadinasi, šiuo atveju signalą v ( galima panaudoti, pvz., sandaugos detektoriuje vietoj generatoriaus signalo (žr. 4.. poskyrį). Taigi, jeigu pradiniu laiko momentu įėjimo signalo momentinis arba nešlio dažnis sutampa su generatoriaus dažniu, tuomet PLL kilpoje atsiranda neigiamas dažninis ryšys, dėl kurio generatoriaus dažnis visuomet tiksliai lygus įėjimo signalo momentiniam arba nešlio dažniui, o generatoriaus valdymo įtampa proporinga šio dažnio nuokrypiui nuo savojo dažnio. T.y., PLL kilpos generatoriaus dažnis seka įėjimo signalo momentinį arba nešlio dažnį. Tuomet sakoma, kad PLL kilpa yra sinhronizuota ( loked ). Tačiau įėjimo signalo dažnių intervalas, kuriame PLL kilpa lieka sinhronizuota, yra baigtinio pločio. Taip yra todėl, kad,

144 39 didėjant dažnio nuokrypiui nuo, auga įėjimo įtampos ir generatoriaus signalo azių skirtumas (žr. aukščiau), o generatoriaus dažnis yra periodinė šio azių skirtumo unkija (žr. 4.. pav.). Didžiausias įmanomas sinhronizuotos PLL dažnio nuokrypis nuo savojo dažnio vadinamas sinhronizavimo diapazonu (hold-in range; lok range). Jeigu įėjimo signalo dažnis skiriasi nuo, tuomet PLL kilpos sinhronizavimas gali ir neįvykti. Taip atsitinka tuomet, kai įėjimo signalo dažnio ir skirtumas (v ( dažnis) yra didesnis už žemųjų dažnių iltro pralaidumo juostą: tokiu atveju šio dažnio amplitudė iltro išėjime yra maža, todėl generatoriaus dažnis kinta lėtai ir nespėja pastebimai pakisti per vieną v ( pusperiodį, o po to v ( ženklas pasikeičia, todėl generatoriaus dažnio kitimo kryptis taip pat pasikeičia ir t.t. Didžiausias įėjimo signalo dažnio nuokrypis nuo savojo dažnio, kuriam esant, dar yra įmanomas PLL kilpos sinhronizavimas, vadinamas pagavimo diapazonu (pull-in range; apture range). Pagavimo diapazonas negali būti didesnis už sinhronizavimo diapazoną. Kitas svarbus PLL kilpos parametras yra didžiausia sinhronizuotos sistemos dažnio kitimo sparta didžiausia įėjimo signalo dažnio kitimo sparta, kuriai esant, PLL kilpa lieka sinhronizuota. Jeigu įėjimo signalo dažnis kinta greičiau už šį dydį, PLL kilpa pameta sinhronizavimo dažnį. Jeigu PLL kilpoje panaudotos analoginės grandinės, tuomet ji vadinama analogine azės derinimo kilpa (APLL), o jeigu skaitmeninės grandinės skaitmenine azės derinimo kilpa (DPLL). Nuo analoginio arba skaitmeninio PLL kilpos pobūdžio priklauso azės detektoriaus harakteristikos pavidalas. Pvz., sinusoidės pavidalo harakteristika, kuri pavaizduota 4..a pav., gaunama tuo atveju, kai azės detektoriaus vaidmenį atlieka analoginis sandaugos detektorius (žr. 4.. poskyrį). Šiuo atveju maišiklis, kuris įeina į sandaugos detektoriaus sudėtį, gali būti, pvz., dvigubo balanso maišiklis, kuris pavaizduotas 4.8.4a pav. Trikampė ir pjūklinė azės detektoriaus harakteristikos, kurios pavaizduotos, atitinkamai, 4..b pav. ir 4.. pav., gaunamos, naudojant skaitmenines grandines. Bendrąsias PLL kilpų savybes galima gauti, tiriant APLL kilpą. Ši PLL kilpa skiriasi nuo 4.. pav. pavaizduoto sandaugos detektoriaus tik tuo, kad generatoriaus dažnį valdo žemadažnio iltro išėjimo įtampa (žr pav.). Tarkime, kad APLL įėjime yra moduliuotos azės arba moduliuoto dažnio signalas (žr. C- lentelę): v in ( = Ai sin[ ω t + θi ( ], (4..) kur ω yra įtampa valdomo generatoriaus savasis dažnis. Kaip minėta 4.. poskyryje, sandaugos detektorius veikia kaip azės detektorius tik tuo atveju, kai generatoriaus signalo ir įėjimo įtampos vidutinis azių skirtumas lygus π/. Todėl laikysime, kad generatoriaus išėjimo signalas yra v = A os[ ω t + θ ( )], (4..) ( t 4..3 pav. Analoginės PLL kilpos struktūrinė shema.

145 4 Generatoriaus dažnio nuokrypis nuo ω yra proporingas valdymo įtampai v (: dθ( Δω = Kvv ( (4..3) dt arba (laikant, kad θ (- ) = ) t ( = K v θ v ( τ ) dτ. (4..4) T.y., generatoriaus išėjime yra FM signalas, kurį moduliuoja žemųjų dažnių iltro išėjimo signalas v ( (plg. (4..4) ir (4..4)). Maišiklio (signalų daugintuvo) išėjimo signalas yra v( = K mv in ( v ( = K m Ai A sin[ ωt + θi ( ]os[ ωt + θ ( ] = K A A K A A (4..5) m i m i = sin[ θi ( θ ( ] + sin[ω t + θi ( + θ ( ], kur K m yra maišiklio stiprinimo koeiientas (žr pav.). Kadangi žemųjų dažnių iltras praleidžia tik skirtuminį dažnį (t.y., (4..5) pirmąjį dėmenį), tai iltro išėjimo signalas yra v ( = Kd [sinθ e ( ]* (, (4..6) kur θ ( θ ( θ (, (4..7) e Km Ai A F() Kd, (4..8) ( (/F(). (4..9) ( yra žemųjų dažnių iltro impulsinis atsakas, o F() yra jo spektro vertė, esant nuliniam dažniui. Todėl ekvivalenčiojo iltro, kurio impulsinis atsakas yra ( (žr. (4..9)), perdavimo unkija lygi vienetui taške =. Dydis θ e ( vadinamas azės paklaida (azės paklaida yra dydžiu π/ didesnė už signalų v in ( ir v ( azių skirtumą), o koeiientas K d vadinamas azės detektoriaus perdavimo konstanta. Lygybės (4..3), (4..6) ir (4..7) sudaro trijų lygčių sistemą atžvilgiu trijų nežinomųjų unkijų v (, θ ( ir θ e (. Šią lygčių sistemą pakeisime viena lygtimi atžvilgiu θ e (. Įrašę (4..6) į (4..3), randame dθ ( = K K [sin ( ]* ( t d v θ e ). (4..) dt Išreiškę θ ( pagal (4..7), randame dθ e ( dθi ( = Kd Kv [sinθ e ( ]* (. (4..) dt dt Čia θ e ( yra nežinomoji unkija, o θ i nusako išorinį poveikį sistemai. Jeigu koeiientas K d yra pakankamai didelis, tuomet generatoriaus valdymo įtampos pokytis, pakitus įėjimo įtampos dažniui, taip pat yra didelis, todėl generatoriaus dažnio kitimo sparta yra didelė ir azės paklaida θ e nespėja išaugti iki didelių verčių. Tokiu atveju galima laikyti, kad sinθ e ( θ e (, ir lygtys (4..) bei (4..) virsta tiesinėm lygtim dθ ( = K K ( * ( K K [ ( * ( ( * ( t d v θ e d v θi θ )], (4..) dt dθ e ( dθi ( = Kd Kvθ e ( * (. (4..3) dt dt Pastarosios lygties integralas nuo - iki t yra i t [ θ ] e( * ( t θ t ) = θ ( K Kv ) dt. (4..4) e( i d

146 pav. Analoginės PLL kilpos tiesinis modelis. Palyginus (4..4) su (4..7), akivaizdu, kad antrasis dėmuo yra priešingas generatoriaus signalo pradinei azei θ (. (4..4) lygtį galima pavaizduoti shema, kurioje vietoj signalų v in ( ir v ( yra jų azės θ in ( ir θ (. Ši shema pateikta 4..4 pav. Rasime APLL kilpos sinhronizavimo diapazoną. Kaip minėta šio poskyrio pradžioje, PLL kilpos sinhronizavimo diapazonas atitinka θ e ( verčių intervalą nuo azės detektoriaus harakteristikos nulio iki maksimumo arba minimumo. APLL kilpos atveju šis intervalas yra -π/ < θ e < π/ (žr. 4..a pav.) Jeigu įėjimo signalo dažnis kinta pakankamai lėtai, tuomet azių skirtumas θ e ( taip pat kinta lėtai, todėl maišiklio išėjimo signalo skirtuminė dedamoji K d sinθ e ( praeina pro žemųjų dažnių iltrą be iškraipymų. Vadinasi, pagal (4..3), Δ ω = Kv K d sinθ e. (4..5) Sinhronizavimo diapazonas atitinka sinθ e = (žr. aukščiau): Δ = K. (4..6) h v K d π PLL kilpos generatoriaus valdymo įtampos v priklausomybė nuo harmoninio įėjimo signalo dažnio vadinama PLL kilpos sinhronizavimo harakteristika. Tipiška sinhronizavimo harakteristika pavaizduota 4..5 pav. Kai lėtai kintantis įėjimo dažnis pasiekia pagavimo diapazoną, PLL kilpa sinhronizuojasi, t.y., jos dažnis tampa lygus įėjimo dažniui, o valdymo įtampa tampa proporinga dažniui. Kai dažnis išeina iš sinhronizavimo diapazono, sinhronizavimas prarandamas ir valdymo įtampa grįžta prie nulio, t.y., PLL kilpos dažnis grįžta prie savojo dažnio. PLL kilpos yra plačiai naudojamos ryšių sistemose. Kai kurie PLL kilpų pritaikymai yra: ) dažnio detektavimas, ) FM signalų generavimas, 3) koherentinis AM detektavimas, 4) dažnio dauginimas, 5) dažnio sintezė, 6) bitų sinhronizavimas skaitmeninėse ryšių sistemose.

147 pav. Tipiška PLL kilpos sinhronizavimo harakteristika. Šio poskyrio pradžioje jau buvo trumpai aprašytas PLL kilpos panaudojimas dažnio detektavimui. Rasime sąlygas, kurios turi būti patenkintos, kad PLL kilpos generatoriaus valdymo įtampa v ( būtų proporinga įėjimo dažnio moduliavimo signalui m(. Naudosimės analoginės PLL kilpos tiesiniu modeliu (žr pav.). Signalo v ( spektras yra ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( H F K F K F K V i d i d e d Θ Θ Θ Θ =, (4..7) kur F () = F[ (], Θ e () = F[θ e (], Θ i () = F[θ i (], Θ () = F[θ (], o H() yra uždarojo kontūro perdavimo unkija: H() Θ ()/Θ i () (keturpolio su grįžtamuoju ryšiu uždarojo kontūro perdavimo unkija apibrėžiama kaip grąžinamo į įėjimą signalo ir įėjimo signalo Furjė transormaijų santykis). Funkija H() randama, apskaičiavus lygties (4..) Furjė transormaiją: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F K K j F K K H d d i v v + = Θ Θ = π. (4..8) Įrašę (4..8) į (4..7), gauname ) ( ) ( ) ( ) ( K K j F F K j V i d Θ + = v v π π. (4..9) Tarkime, PLL kilpos įėjimo signalas (4..) yra moduliuoto dažnio (FM) signalas, t.y., = t i d m D t λ λ θ ) ( ) (. (4..) (žr. C- lentelę). Tuomet ) ( ) ( M j D i π = Θ, (4..) kur M() yra moduliavimo signalo m( spektras (žr. integralo Furjė transormaijos išraišką B- lentelėje). Įrašę (4..) į (4..9), randame

148 43 D F ( ) K V( ) = v M ( ) π. (4..) F ( ) + j Kd Kv Tikslas rasti sąlygas, kuriomis V () yra proporingas M(). Tarkime, kad moduliavimo signalo dažnių juostoje ( < B ) iltras neiškraipo ir neužvėlina signalo, t.y., galioja lygybė F () = F () =, < B (4..3) (žr. (.6.9)). Tuomet, jeigu K d Kv >> B, (4..4) π (4..) reiškinys virsta D V( ) = M ( ) (4..5) Kv arba v ( = Cm(, (4..6) kur proporingumo konstanta yra C = D /K v. Vadinasi, APLL kilpa, kuri pavaizduota 4..3 pav., veikia kaip dažnio detektorius, jeigu tenkinamos sąlygos (4..3) ir (4..4). PLL kilpos panaudojimas AM detektavimui remiasi tuo, kad sandaugos detektorius, kurio shema pavaizduota 4.. pav., veikia kaip gaubtinės detektorius, jeigu generatoriaus virpesio ir nešlio azių skirtumas lygus nuliui (žr. (4..9a)). T.y., tokiame sandaugos detektoriuje galima panaudoti PLL kilpos generatorių, kurio išėjimo signalo azė pasukta -9 kampu (žr. (4..) ir (4..)). Tokio AM detektoriaus struktūrinė shema pavaizduota 4..6 pav. Kadangi sandaugos detektoriuje generatoriaus dažnis turi būti pastovus ir lygus įėjimo signalo nešlio dažniui, tai šiuo atveju PLL kilpos žemadažnio iltro pralaidumo juostos plotis turi būti žymiai mažesnis už įėjimo signalo realiosios gaubtinės dažnių juostos plotį, tačiau nemažesnis už reikalingą pagavimo diapazoną (žr. aukščiau) pav. PLL kilpos panaudojimas koherentiniame AM detektoriuje pav. iliustruoja PLL kilpos panaudojimą dažnio sintezatoriuje. Dažnio sintezatorius tai įtaisas, kuris gali generuoti įvairaus stabilaus dažnio signalus, kombinuodamas mažesnį skaičių iksuotų dažnių. Paprasčiausias dažnio sintezatorius, kuris pavaizduotas 4..7 pav. naudoja tik vieną stabilaus dažnio x generatorių, tačiau gali generuoti daug įvairių dažnių out. Tai pasiekiama, naudojant PLL kilpą ir du dažnio daliklius, kurie dalina signalo dažnį M ir N kartų. Parametrai M ir N gali būti kintami. Kai PLL kilpa yra sinhronizuota, jos generatoriaus dažnis out yra toks, kad abiejuose maišiklio įėjimuose būtų vienodo dažnio signalai, t.y.,

149 pav. PLL kilpos panaudojimas dažnio sintezatoriuje. x = out. (4..7) M N Vadinasi, dažnio sintezatoriaus generuojamas dažnis yra N out = x. (4..8) M Šio dažnio sintezatoriaus pagrindinis privalumas yra jo paprastumas: dažnio daliklio vaidmenį gali atlikti paprastas skaitmeninis įtaisas, kuris skaičiuoja įėjimo signalo perėjimus per nulį. Kai M =, šis dažnio sintezatorius veikia kaip dažnio daugintuvas. 4.. Siųstuvai ir imtuvai 4... Apibendrintieji siųstuvai Siųstuvo paskirtis perkelti žemadažnį moduliavimo signalą m( į dažnių juostą, kuri yra nešlio dažnio aplinkoje. Apibendrintąją siųstuvo shemą galima sudaryti, naudojantis juostinio signalo matematine išraiška. 4. ir 4. poskyriuose buvo minėta, kad bet kokio pavidalo moduliuotąjį signalą galima išreikšti vienu iš šių trijų ekvivalenčių pavidalų: jω t v ( = Re{ g( e }, (4..) v ( = R( os[ ω t + θ ( ], (4..) v ( = x( osωt y( sinωt, (4..3) kur kompleksinė gaubtinė g( lygi jθ ( g( = R( e = x( + jy(. (4..4) Kompleksinė gaubtinė g( yra moduliavimo signalo m( unkija. Šios unkijos pavidalas nusako moduliavimo rūšį, pvz., AM, FM, SSB ir kt. (žr. C- lentelę). Kadangi visi izikiniai signalai yra realieji dydžiai, tai praktinę vertę turi tik (4..) ir (4..3) ormulės (signalo užrašymas (4..) pavidalu naudingas signalų teorinėje analizėje, siekiant supaprastinti ormules). Priklausomai nuo juostinio signalo ormavimo būdo, galima sudaryti dvi skirtingas apibendrintąsias siųstuvo shemas, kurių kiekviena realizuoja vieną iš (4..) ir (4..3) signalo išraiškų. Kadangi šios dvi išraiškos yra matematiškai ekvivalenčios, tai bet kuri iš šių shemų gali būti panaudota bet kurios rūšies moduliavimui. Konkrečios shemos pasirinkimas priklauso tik nuo tehninių reikalavimų siųstuvui ir nuo jo kainos apribojimų. Juostinio signalo išraiška (4..) nusako AM-PM generavimo metodą. Atitinkamos grandinės struktūrinė shema pavaizduota 4.. pav. Šioje grandinėje galima išskirti dvi dalis: žemadažnę dalį, kuri žemadažnį moduliavimo signalą paverčia dviem žemadažniais signalais R( ir θ(, ir aukštadažnę dalį, kuri suormuoja nešlio dažnio signalą, moduliuoja jo azę signalu θ( ir padaugina iš realiosios gaubtinės R(. Žemadažnę dalį gali sudaryti netiesinės analoginės

150 pav. AM-PM generavimo metodą naudojančio apibendrintojo siųstuvo struktūrinė shema. 4.. pav. Kvadratūrinį generavimo metodą naudojančio apibendrintojo siųstuvo struktūrinė shema. grandinės arba skaitmeninis kompiuteris. Pastaruoju atveju įėjime reikalingas vienas skaitmeninis analogo keitiklis žemadažnės dalies įėjime ir po vieną analoginį skaitmenų keitiklį kiekviename jos išėjime. Juostinio signalo išraiška (4..3) nusako kvadratūrinį generavimo metodą. Šiuo atveju atskirai suormuojamos juostinio signalo sinazinė dedamoji x(osω t ir kvadratūrinė dedamoji y(sinω t. Todėl šis metodas dar vadinamas IQ generavimo metodu (in-phase and quadraturephase). Atitinkamos grandinės struktūrinė shema pavaizduota 4.. pav. Kaip ir AM-PM metode, siųstuvą sudaro žemadažnė ir aukštadažnė dalys, tačiau šiuo atveju žemadažnės dalies išėjimuose yra ne realioji gaubtinė ir pradinė azė (R( ir θ(), o sinazinės ir kvadratūrinės dedamųjų amplitudės (x( ir y(). Sinazinė signalo komponentė (x(osω suormuojama, dauginant nešlio dažnio signalą iš x(, o kvadratūrinė komponentė (y(sinω suormuojama, pakeitus nešlio signalo azę -9 ir padauginus jį iš y(. Kaip ir 4.. pav. atveju, žemadažnę dalį gali sudaryti netiesinės analoginės grandinės arba skaitmeninis kompiuteris. Dauguma praktikoje naudojamų siųstuvų tai šių apibendrintųjų siųstuvų atskirieji atvejai. Žemadažnėje siųstuvo dalyje dažnai naudojamas skaitmeninis kompiuteris, ir moduliavimo tipas užduodamas programiškai Apibendrintieji imtuvai Imtuvo paskirtis atkurti moduliavimo signalą pagal priimtąjį moduliuotąjį signalą, kuris gali būti iškraipytas triukšmo. Du pagrindiniai imtuvų tipai yra suderintasis radijo dažnio (tuned radio requeny, TRF) imtuvas ir superheterodininis imtuvas.

151 pav. Suderintojo radijo dažnio imtuvo struktūrinė shema. Suderintojo radijo dažnio imtuvo struktūrinė shema pateikta 4..3 pav. TRF imtuvą sudaro kelių aukštadažnių stiprinimo pakopų stiprintuvas, detektorius (žr. 4. poskyrį) ir žemadažnis stiprintuvas. Kelios aukštadažnės stiprinimo pakopos reikalingos signalo iltravimui ir pakankamai stipraus detektoriaus įėjimo signalo užtikrinimui. TRF imtuvų pranašumai yra jų paprastumas ir didelis jautris tam dažniui, kuriam jie suderinti. Tačiau kintamo (derinamo) dažnio TRF imtuvai praktikoje nenaudojami dėl šių priežasčių:. TRF imtuvo dažnių juostos plotis priklauso nuo suderinimo dažnio ω. Taip yra dėl paviršiaus eekto, kuris pasireiškia tuo, kad radijo dažnių diapazone elektros srovė yra sutelkta arti laidininko paviršiaus, ir laidininko skerspjūvio ploto dalis, kuria teka srovė, yra tuo mažesnė, kuo aukštesnis dažnis. Dėl šios priežasties laidininko varža R, esant aukštiems dažniams, yra apytiksliai proporinga dažniui. Kadangi ritės induktyvumas L nepriklauso nuo dažnio (suderinimas pasiekiamas, keičiant talpą C), tai, kai R ~ ω, virpesių kontūro kokybė Q (4..) nepriklauso nuo dažnio. Tačiau virpesių kontūro, kuris suderintas dažniui ω, 3 db lygio dažnių juostos plotis lygus ω /Q. Vadinasi, dėl paviršiaus eekto šis juostos plotis auga, didėjant suderinimo dažniui. Todėl, jeigu imtuvo dažnių juosta atitinka kažkurio dažnio juostinio signalo perdavimo juostos plotį (4.5.3), tai dukart didesnio dažnio signalui imtuvo juostos plotis bus dukart didesnis už perdavimo juostos plotį. T.y., imtuvas galės vienu metu priimti dviejų kaimyninių kanalų signalus. Ir atvirkščiai: dukart mažesnio dažnio signalui imtuvo juostos plotis taps dukart mažesnis už perdavimo juostos plotį, t.y., priimtasis signalas bus stipriai iškraipomas.. Kelių pakopų radijo dažnio stiprintuve sunku išvengti teigiamo grįžtamojo ryšio, dėl kurio stiprintuvas gali virsti generatoriumi. 3. Praktiškai sunku pasiekti, kad kelių pakopų radijo dažnio stiprintuvo perdavimo koeiientas nepriklausytų nuo dažnio. 4. Keičiant suderinimo dažnį, visas radijo dažnio stiprinimo pakopas reikia perderinti vienu metu. Norint, kad tai būtų galima atlikti vienu reguliatoriumi, visų suderintųjų kontūrų harakteristikos turi būti vienodos, o tai pasiekti yra neįmanoma. Daugumoje imtuvų įgyvendintas superheterodininis priėmimo metodas. Naudojant šį metodą, priimtojo juostinio signalo spektras perkeliamas į iksuoto dažnio, kuris vadinamas tarpiniu dažniu, aplinką, ir tik po to detektuojamas. Imtuvai, kurie naudoja šį metodą, vadinami superheterodininiais imtuvais. Tokio imtuvo struktūrinė shema pavaizduota 4..4 pav. Signalas iš pradžių sustiprinamas radijo dažnio (radio requeny, RF) stiprintuvo, o po to dauginamas iš sinusinio generatoriaus (loal osillator, LO) signalo, naudojant maišiklį (žr. 4.8 poskyrį). Pastarojo generatoriaus vaidmenį gali atlikti dažnio sintezatorius (žr. 4. poskyrį).

152 pav. Superheterodininio radijo imtuvo struktūrinė shema. Tarpinis dažnis (intermediate requeny, IF) tai nešlio dažnio ir generatoriaus dažnio suma arba skirtumas (dažniausiai skirtumas). Tarpinio dažnio juostą išskiria IF stiprintuvas ir iltras. Imtuvo derinimas pasireiškia įėjimo stiprintuvo pralaidumo juostos entrinio dažnio ir generatoriaus dažnio sinhroniniu keitimu, kad jų suma arba skirtumas (t.y., tarpinis dažnis) būtų pastovus. Pagrindiniai superheterodininio imtuvo pranašumai, lyginant su derinamo dažnio TRF imtuvu, yra susiję su tuo, kad tarpinis dažnis yra pastovus ir gali žymiai skirtis nuo nešlio dažnio. Todėl tarpinį dažnį galima parinkti nepriklausomai nuo nešlio dažnio, remiantis vien reikalavimais stiprintuvo kokybei ir kainai. Reikalavimai tarpiniam dažniui yra šie: Tarpinis dažnis turi būti toks, kad būtų kuo paprasčiau pagaminti stabilų didelio stiprinimo koeiiento IF stiprintuvą. Tarpinis dažnis turi būti pakankamai žemas, kad būtų galima pasiekti pakankamai aukštą virpesių kontūrų kokybę, naudojant pigius komponentus IF iltruose (aukšta kontūrų kokybė reikalinga tam, kad IF iltrų perdavimo unkija kuo staigiau mažėtų už IF signalo perdavimo juostos ribų). Tarpinis dažnis turi būti pakankamai aukštas, kad veidrodinis dažnis kuo labiau skirtųsi nuo nešlio dažnio. Veidrodinis dažnis (image requeny) apibrėžiamas tokiu būdu: jeigu IF signalas ormuojamas žeminamojo dažnio keitimo būdu, tuomet veidrodinis dažnis yra simetriškas nešlio dažniui atžvilgiu generatoriaus dažnio, o jeigu aukštinamojo dažnio keitimo būdu, tuomet veidrodinis dažnis yra simetriškas nešlio dažniui atžvilgiu tarpinio dažnio. Veidrodinio dažnio signalas priimamas todėl, kad po daugybos su generatoriaus signalu veidrodinio dažnio signalo žeminamojo dažnio keitimo spektras atsiduria ties tarpiniu dažniu (žr. žemiau). Vienintelis būdas išvengti šio reiškinio pasiekti, kad veidrodinis dažnis būtų kuo toliau nuo įėjimo RF stiprintuvo pralaidumo juostos, t.y., kad kuo labiau skirtųsi nuo nešlio dažnio. Tarpinio dažnio IF ir veidrodinio dažnio image išraiškos nešlio dažniu ir generatoriaus dažniu LO priklauso nuo to, ar IF iltras išskiria aukštinamojo dažnio keitimo dedamąją, ar žeminamojo dažnio keitimo dedamąją (žr. 4.8 poskyrį). Be to, jeigu naudojama žeminamojo dažnio keitimo dedamoji, tuomet šios išraiškos priklauso nuo to, kuris iš dažnių ir LO yra didesnis (plg. antrąjį dėmenį (4.8.) ir (4.8.3) reiškiniuose). Jeigu tarpinis dažnis yra žeminamojo dažnio keitimo dažnis, tuomet jo išraiška dažniais ir LO yra LO, jeigu LO > ( high - side injetion); IF = (4..5) LO, jeigu LO < ( low - side injetion),

153 48 o veidrodinio dažnio atitinkamos išraiškos yra + IF, jeigu LO > ; image = (4..6) IF, jeigu LO <, Jeigu tarpinis dažnis yra aukštinamojo dažnio keitimo dažnis, tuomet IF = + LO, (4..7) image = + LO = IF. (4..8) Veidrodinis atsakas tai pašalinio signalo, kurio perdavimo juosta yra ties veidrodiniu dažniu (veidrodinio signalo), priėmimas kartu su naudinguoju signalu. Šį reiškinį iliustruoja 4..5 pav. Šiame pavyzdyje tarpinis dažnis IF tai žeminamojo dažnio keitimo dažnis, o generatoriaus dažnis LO yra didesnis už nešlio (RF) dažnį. Akivaizdu, kad image LO = LO = IF. T.y., po žeminamojo dažnio keitimo veidrodinio signalo spektras atsiduria ties tarpiniu dažniu. (4..6) ir (4..8) ormulėse matyti, kad, didėjant tarpiniam dažniui IF, veidrodinio dažnio image ir nešlio dažnio skirtumas auga. Todėl, didėjant tarpiniam dažniui IF, mažėja veidrodinio dažnio indėlis į IF signalą. Tai akivaizdu 4..6 pav. Šiame paveiksle ištisinėm linijom pavaizduoti RF signalo ir generatoriaus virpesio amplitudžių spektrai, o punktyrine linija įėjimo RF stiprintuvo dažninė amplitudės harakteristika. Kadangi stiprinimas mažėja, tolstant nuo stiprintuvo pralaidumo juostos entrinio dažnio, tai, norint išvengti veidrodinio atsako, tarpinis dažnis turi būti pakankamai didelis (t.y., veidrodinis dažnis turi būti kuo toliau nuo dažnio, kuriam suderintas radijo dažnių stiprintuvas). IF IF IF LO image Dažnis 4..5 pav. Veidrodinis dažnis pav. Radijo dažnio signalo ir generatoriaus signalo amplitudžių spektrai (ištisinės linijos) ir įėjimo RF stiprintuvo dažninė amplitudės harakteristika (punktyrinė linija). IF signalo detektoriaus tipas priklauso nuo moduliavimo rūšies. Pvz., azės moduliavimo sistemoje galima panaudoti sandaugos detektorių, kurio generatoriaus dažnis sutampa su tarpiniu dažniu, o generatoriaus ir IF signalo nešlio azių skirtumas lygus 9 (žr. 4.. poskyrį ir (4..9b) lygybę). AM radioonijos imtuvuose naudojami gaubtinės detektoriai (žr. 4.. poskyrį). Egzistuoja imtuvai su IQ detektoriais (in-phase and quadrature phase detetors), kurie vienu metu detektuoja juostinio signalo (4..3) sinazinės dedamosios amplitudę x( ir

154 49 kvadratūrinės dedamosios amplitudę y(. Tokio detektoriaus struktūrinė shema pateikta 4..7 pav. Superheterodininio imtuvo pranašumai yra šie: Net tuo atveju, kai tarp imtuvo įėjimo ir išėjimo egzistuoja teigiamas grįžtamasis ryšys, stiprintuvai lieka stabilūs, esant dideliems stiprinimo koeiientams, nes stiprinimas gaunamas trijose dažnių juostose, kurios yra toli viena nuo kitos: RF dažniai, IF dažniai ir žemieji dažniai (žr pav.). Imtuvą galima lengvai suderinti kitam dažniui, keičiant generatoriaus dažnį ir perderinant įėjimo RF stiprintuvą. Aukštos kokybės virpesių kontūrai, kurie reikalingi eektyviam kaimyninių kanalų slopinimui, naudojami tik IF stiprintuve, kuris suderintas pastoviam dažniui. Superheterodininio imtuvo pagrindinis trūkumas yra tas, kad šalia to RF dažnio, kuriam jis yra suderintas, imtuvas gali priimti ir pašalinius dažnius. Vienas iš tokių dažnių tai aukščiau minėtasis veidrodinis dažnis. Be to, jeigu generatoriaus signalas nėra idealiai harmoninis, tuomet gali būti priimami RF dažniai, kurie atitinka generatoriaus signalo aukštesniąsias harmonikas Uždavinių sprendimo pavyzdžiai 4..7 pav. IQ detektoriaus struktūrinė shema Pavyzdys Nr. Duotas moduliuotos amplitudės įtampos signalas s(, kurio nešlio dažnis 5 khz, nešlio amplitudė A = 5 V, o moduliavimo signalas yra khz sinusoidė: m( =.8 sin(π. (4.3.) Apskaičiuokite signalo s( spektrą. Sprendimas Visų pirma signalą m( išreiškiame kompleksiniu pavidalu (žr. priedo A ormulę (A-)):.8 jπt j πt m( = ( e e ). (4.3.) j Įrašę m( išraišką (4.3.) į Furjė transormaijos apibrėžimą (..) ir pasinaudoję delta unkijos integraline išraiška (..6), randame moduliavimo signalo spektrą: M ( ) = j.4 δ ( ) + j.4δ ( + ). (4.3.3) Įrašę (4.3.3) į AM signalo spektro bendrąją išraišką (4.3.4a), gauname signalo s( spektrą:

155 5 S( ) = 5δ ( + 5δ ( + ) ) j δ ( j δ ( + ) + ) + j δ ( j δ ( + + ) + + ). (4.3.4) Pavyzdys Nr. Apskaičiuokite signalo, kuris aprašytas ankstesniajame uždavinyje, galios spektrinį tankį. Sprendimas Pagal ormulę (.3.3), signalo (4.3.) autokoreliaijos unkija lygi A A jωτ jωτ Rm ( τ ) = osωτ = ( e + e ) ; (4.3.5) 4 čia A =.8, ω = π. Pagal Vinerio ir Chinčino teoremą (.3.), moduliavimo signalo m( galios spektrinis tankis yra jo autokoreliaijos unkijos (4.3.5) Furjė transormaija. Įrašę (4.3.5) į Furjė transormaijos apibrėžimą (..) ir pasinaudoję delta unkijos integraline išraiška (..6), randame moduliavimo signalo galios spektrinį tankį: A P m ( ) = [ δ ( ) + δ ( + )] 4 arba P m ( ) =.6[ δ ( ) + δ ( + )]. (4.3.6) Pagal autokoreliaijos unkijos apibrėžimą (.3.8), AM signalo kompleksinės gaubtinės g( autokoreliaijos unkija lygi Rg ( τ ) = g ( g( t + τ ) = A [ + m( ][ + m( t + τ )] = A [ + m( + m( t + τ ) + m( m( t + τ ) ]. Tačiau =, m( =, m(t+τ) =, o m(m(t+τ) R m (τ). Vadinasi, R g ( τ ) = A + A Rm ( τ ). (4.3.7) Apskaičiavę lygybės (4.3.7) abiejų pusių Furjė transormaiją, gauname Pg ( ) = A δ ( ) + A Pm ( ). (4.3.8) Įrašę reiškinį (4.3.8) į juostinio signalo galios spektrinio tankio bendrąją išraišką (4.3.8) ir atsižvelgę į (4.3.6), gauname AM signalo s( galios spektrinį tankį: Ps ( ) = 65δ ( ) + δ ( ) + δ ( + ) + (4.3.9) + 65δ ( + ) + δ ( + ) + δ ( + + ). Pavyzdys Nr. 3 Moduliuotos amplitudės įtampos signalas s(, kuris aprašytas šio poskyrio pirmajame uždavinyje, yra prijungtas prie 5 Ω varžinės apkrovos. Apskaičiuokite vidutinius galios nuostolius apkrovoje (čia turima omenyje tikroji, o ne normuotoji galia). Sprendimas Pagal ormulę (4.3.5), AM signalo vidutinė normuotoji galia lygi.8 ( Ps ) norm = ( Vs ) rms = A [ + ( Vm ) rms ] = (5) + = 65 kw ; (4.3.) čia (V s ) rms yra juostinio s( eektinis vidurkis, o (V m ) rms yra moduliavimo signalo m( eektinis vidurkis (užrašant lygybę (4.3.), pasinaudota tuo, kad harmoninio signalo eektinis vidurkis yra lygus signalo amplitudės ir skaičiaus santykiui). Pastaba: (P s ) norm gali būti apskaičiuota ir kitu būdu suintegravus galios spektrinį tankį (4.3.9) dažnio atžvilgiu nuo - iki :

156 5 ( Ps ) norm = ( Vs ) rms = Ps ( ) d = 65 kw. (4.3.) Tikroji vidutinė galia R = 5 Ω varžinėje apkrovoje lygi 5 ( Ps ) norm ( Vs ) rms.65 ( Ps ) tikr = = = = 3.3 kw. (4.3.) R R 5 Pastaba: Jeigu s( nusakytų ne įtampą, o srovę, tuomet, skaičiuojant tikrąją galią, normuotąją galią reikėtų dauginti iš varžos: ( P ) = ( P ) R = ( I R s tikr s norm s ) rms Pavyzdys Nr. 4 Moduliuotos amplitudės įtampos signalas s(, kuris aprašytas šio poskyrio pirmajame uždavinyje, yra prijungtas prie 5 Ω varžinės apkrovos. Apskaičiuokite didžiausiąją gaubtinės galią apkrovoje (čia turima omenyje tikroji, o ne normuotoji galia). Sprendimas Pagal ormulę (4.3.), normuotoji didžiausioji gaubtinės galia lygi ( PPEP ) norm = [max g( ] = A [ + max m( ] = (5) [ +.8] = 45 kw. (4.3.3) Tikroji didžiausioji gaubtinės galia 5 Ω varžinėje apkrovoje lygi 5 ( PPEP ) norm 4.5 ( P PEP ) tikr = = = 8.kW. (4.3.4) R 5 Pavyzdys Nr. 5 Juostinis signalas išmatuojamas atskirais laiko momentais ir matavimų duomenys (imtys) išsaugomi vėlesnei analizei. Šio juostinio signalo juostos plotis B T yra žymiai mažesnis už nešlio dažnį, o dažnių juostos entras sutampa su (žr pav. viršuje). Atranka atliekama, naudojant vieną iš trijų metodų, kurių shemos pavaizduotos 4.3. pav. Kiekvienam iš šių trijų metodų išreiškite mažiausią atrankos dažnį (t.y., mažiausią valdymo impulsų generatoriaus dažnį) ir aptarkite kiekvieno metodo privalumus ir trūkumus. Sprendimas I metodas. Pirmasis metodas, kurio shema pavaizduota 4.3.a pav., naudoja tiesioginę atranką, apie kurią buvo kalbama.7 poskyryje. Pagal ormulę (.7.), mažiausias atrankos dažnis yra ( s ) min = B; čia B yra aukščiausias dažnis signalo spektre. Duotajam juostiniam signalui aukščiausias dažnis yra B = + B T /. Vadinasi, I metodo atveju mažiausias atrankos dažnis yra ( s ) min = B = + BT (I metodas). (4.3.5) Pvz., jeigu = MHz, o B T = MHz, reikalingas atrankos dažnis yra ( s ) min = MHz. II metodas. Naudojant antrąjį metodą, kurio shema pavaizduota 4.3.b pav., visų pirma atliekamas žeminamasis dažnio keitimas, todėl aukščiausias dažnis signalo spektre žymiai sumažėja. Dažnio pokytis turi būti toks, kad teigiamųjų ir neigiamųjų dažnių spektro dalys (žr pav. viršuje) nepersiklotų, nes priešingu atveju signalas būtų iškraipytas (jeigu šalinės juostos nėra simetriškos viena kitai). Vadinasi, didžiausias leistinas dažnio pokytis yra toks, kad teigiamųjų dažnių spektro srities kairysis kraštas atsidurtų ties nuliniu dažniu. Tokiu atveju generatoriaus dažnis turi būti lygus = B T /. Vadinasi, po žeminamojo dažnio keitimo didžiausias dažnis signalo spektre yra B = ( + B T /) = B T. Pagal ormulę (.7.), mažiausias atrankos dažnis yra ( ) min = B = (II metodas). (4.3.6) s B T

157 5 Diskretizatorius 4.3. pav. Trys juostinio signalo diskretizavimo metodai Kai = B T /, juostinis iltras 4.3.b pav. shemoje virsta žemųjų dažnių iltru, kurio ribinis dažnis B T. Pastaba: Daugiklis prieš osω t 4.3.b pav. shemoje reikalingas, siekiant kompensuoti galios nuostolius, kurie atsiranda, pašalinus aukštinamojo dažnio keitimo dedamąją. Akivaizdu, kad II metodas leidžia žymiai sumažinti atrankos dažnį, lyginant su I metodu. Pvz., jeigu = MHz, o B T = MHz, tuomet mažiausias atrankos dažnis yra ( s ) min = MHz vietoj MHz, kurie reikalingi I metodo atveju. Tai yra svarbus II metodo privalumas. Tačiau, iš kitos pusės, II metodo shema yra sudėtingesnė: ji naudoja žeminamąjį dažnio keitiklį (tai yra II metodo trūkumas). Be to, reikia pastebėti, kad II metodo atveju dažnis ( s ) min sutampa su dažniu, kurį numato juostinio signalo ėmimo teorema (4.5.). Vadinasi, II metodas yra vienas iš eektyviausių juostinio signalo ėmimo metodų. Tačiau, atkūrus juostinį signalą iš imčių pagal ormules (.7.3) ir (.7.6), gauname signalą, pagal kurį palyginti sunku atkurti pradinio juostinio signalo kompleksinę gaubtinę. Tai apsunkina imčių skaitmeninį apdorojimą. Šio trūkumo neturi III metodas.

158 53 III metodas. Trečiasis metodas, kurio shema pavaizduota 4.3. pav., naudoja sinazinį ir kvadratūrinį sandaugos detektorius, kurie atkuria signalo s( kompleksinės gaubtinės realiąją ir menamąją dalis x( ir y(. Aukščiausias dažnis signalų x( ir y( spektruose yra B = B T /. Todėl, pagal (.7.), mažiausia kiekvieno iš šių signalų ėmimo sparta yra ( s ) min = B = B T kiekvienam diskretizatoriui (III metodas). (4.3.7) Kadangi naudojami du diskretizatoriai, tai pilnutinė ėmimo sparta yra dvigubai didesnė: ( s ) min piln = B T. Ši vertė taip pat sutampa su mažiausiąja juostinių signalų ėmimo sparta (žr. (4.5.)). Taigi, III metodas, kaip ir II metodas, yra vienas iš eektyviausių juostinio signalo ėmimo būdų. Tačiau, naudojant III metodą, gaunamos kompleksinės gaubtinės realiosios ir menamosios dalių x( ir y( imtys. Tai yra privalumas, lyginant su II metodu, nes, turint šias imtis, galima atlikti įvairias signalo transormaijas. Pvz., žinant moduliavimo tipą, pagal šias imtis galima palyginti lengvai atkurti moduliavimo signalą m (žr. priedo C lentelę C-). Uždaviniai 4.. Įrodykite, kad juostinio signalo išraiškos (4..b) ir (4..) išplaukia iš (4..a), laikant, kad g( = x( + j y( = R(e jθ(. 4.. Dvipusės šalinės juostos numalšintojo nešlio signalo s( gaubtinė yra g( = A m(. Nešlio amplitudė A = 5 V, o moduliavimo signalas m( yra khz dažnio sinusoidė: m( = sin(π. Apskaičiuokite signalo s( spektrą Dvipusės šalinės juostos numalšintojo nešlio įtampos signalas s(, kuris aprašytas uždavinio 4. sąlygoje, yra prijungtas prie 5 Ω varžinės apkrovos. (a) Apskaičiuokite tikruosius vidutinius galios nuostolius apkrovoje. (b) Apskaičiuokite tikrąją didžiausiąją gaubtinės galią Juostinio iltro shema pavaizduota žemiau. (a) Išreiškite šio iltro perdavimo unkiją H() = V ()/V (). Dydžiai R, L ir C turi įeiti į perdavimo unkijos išraišką kaip parametrai. Graiškai pavaizduokite dažninę amplitudės harakteristiką H(). (b) Išreiškite ekvivalenčiojo žemųjų dažnių iltro perdavimo unkiją ir pavaizduokite atitinkamą dažninę amplitudės harakteristiką. C L v () t R v () t 4.5. Moduliuoto dažnio signalas yra tokio pavidalo: t s( = os ω + t D m( σ ) dσ ; čia m( yra moduliavimo signalas, o ω = π, kur yra nešlio dažnis. Įrodykite, kad unkijų g(, x(, y(, R( ir θ( išraiškos, kurios pateiktos priedo C lentelėje C- moduliuoto dažnio atvejui, yra teisingos.

159 Duotas juostinis signalas s( = sin( ω + ωa ) t + 5osωt sin( ω ωa ) t, kuris gautas, moduliuojant nešlio signalą 5 osω t. (a) Raskite signalo s( kompleksinę gaubtinę. Kokio tipo moduliavimas tai yra? Koks yrs moduliavimo signalas? (b) Raskite signalo s( kompleksinės gaubtinės realiąją ir menamąją dalis x( ir y(. () Raskite signalo s( realiąją gaubtinę R( ir pradinę azę θ(. (d) Apskaičiuokite vidutinę signalo s( galią 5 Ω varžinėje apkrovoje Apskaičiuokite 4.6 uždavinyje aprašyto signalo s( spektrą dviem būdais: (a) tiesiogiai skaičiuojant unkijos s( Furjė transormaiją, (b) naudojant (4.3.4) Juostinio stiprintuvo išėjimo harakteristika nusakoma reiškiniu (4.6.). Stiprintuvo tiesiškumas įvertinamas, naudojant dviejų sinusinių signalų sumą (4.6.8). (a) Išreiškite penktosios eilės intermoduliainių iškraipymų dažnius, kurie priklauso stiprintuvo dažnių juostai. (b) Išreiškite penktosios eilės intermoduliainių iškraipymų amplitudes dydžiais A, A ir K Stiprintuvo harmoniniai iškraipymai matuojami, naudojant sinusinį įėjimo signalą. Išėjimo signalas tiriamas spektro analizatoriumi. Nustatyta, kad trijų išmatuotųjų harmonikų amplitudės mažėja eksponentiškai, t.y., V n+ = V e -n, kur n =,, 3. Apskaičiuokite harmoninių iškraipymų koeiientą. 4.. Sinusinis signalas praleidžiamas pro idealųjį ribotuvą. Apskaičiuokite išėjimo signalo harmoninių iškraipymų koeiientą. 4.. Apskaičiuokite perėjimo per nulį dažnio detektoriaus (zero-rossing detetor), kuris pavaizduotas 4..7a pav., jautrį. Šio detektoriaus jautris tai koeiientas K sąryšyje v out = K d, kur v out yra detektoriaus išėjimo įtampa, o d yra įėjimo signalo momentinio dažnio i nuokrypis nuo nešlio dažnio : d = i. Jautris K turi būti išreikštas žemųjų dažnių iltrų parametrais R ir C (žr. 4..7a pav.) bei dierenialinio stiprintuvo stiprinimo koeiientu A, kuris susieja stiprintuvo išėjimo įtampą ir jo įėjimo įtampų skirtumą: v out ( = A[v ( v 3 (]. Monovibratoriaus išėjimo signalų Q ir Q maksimali vertė lygi 4 V. 4.. (a) Naudodamiesi sąryšiu (4..3) arba (4..4), įrodykite, kad PLL kilpos tiesinis modelis nusakomas 4..4 pav. (b) Įrodykite, kad 4..4 pav. pavaizduotos shemos uždarojo kontūro perdavimo unkija išreiškiama ormule (4..8) Superheterodininis FM radijo imtuvas yra suderintas dažniui 96.9 MHz. Yra žinoma, kad generatoriaus dažnis yra didesnis už nešlio dažnį, o tarpinis dažnis yra.7 MHz. (a) Apskaičiuokite generatoriaus dažnį. (b) Apskaičiuokite radijo dažnių ir tarpinio dažnių iltrų ribinius dažnius, jeigu FM signalo juostos plotis yra 8 khz. () Apskaičiuokite veidrodinį dažnį Palydovinio ryšio imtuvas yra suderintas 4 GHz dažniui. Tarpinis dažnis yra 7 MHz. Koks yra veidrodinis dažnis, kai: (a) Generatoriaus dažnis yra didesnis už nešlio dažnį?

160 55 (b) Generatoriaus dažnis yra mažesnis už nešlio dažnį? 4.5. Superheterodininis radijo imtuvas suderintas MHz dažniui. Generatoriaus dažnis yra 8 MHz, o tarpinis dažnis yra MHz. (a) Koks yra veidrodinis dažnis? (b) Jeigu generatorius generuoja ne tik pirmosios, bet ir antrosios harmonikos virpesį, kokie du pašaliniai radijo dažniai yra priimami? () Jeigu radijo dažnių stiprintuvas turi suderintąjį lygiagretųjį virpesių kontūrą, kurio kokybė Q = 5, koks yra veidrodinio dažnio slopinimas (deibelais)? Pastaba: Atliekant punktą (), reikia pasinaudoti lygiagrečiojo virpesių kontūro rezonanso kreivės išraiška: I C = ; ( I ) C max + Q čia I C yra kontūro kondensatoriumi tekančios srovės (kontūro išėjimo signalo) amplitudė, o (I C ) max yra šios amplitudės didžiausioji vertė, kuri pasiekiama, kai kontūro rezonanso dažnis sutampa su įėjimo srovės (kontūro įėjimo signalo) dažniu Naudodami matematinę tiesiškumo apibrėžtį, kuri pateikta.6 poskyryje, įrodykite, kad pav. pavaizduotasis įrenginys yra tiesinis Moduliuotos amplitudės (AM) signalo imtuvas su gaubtinės detektoriumi yra suderintas vienpusės šalinės juostos numalšintojo nešlio (single sideband suppressed arrier, SSB-AM) signalui, kurio moduliavimo signalas yra m(. Išreiškite imtuvo išėjimo garsinį signalą moduliavimo signalu m(. Ar garsinis signalas yra iškraipytas?

161 56 5. AM, FM IR SKAITMENINIO MODULIAVIMO SISTEMOS 5.. Amplitudės moduliavimas Pagal Priedo C lentelę C-, AM signalo kompleksinė gaubtinė yra g( = A [ + m( ], (5..) kur A yra nemoduliuoto nešlio amplitudė, o m( yra analoginis arba skaitmeninis moduliavimo signalas. Pagal bendrąją juostinio signalo išraišką (4..a), kompleksinė gaubtinė (5..) atitinka tokią AM signalo išraišką: s( = A [ + m( ]osωt, (5..) kur ω = π yra nešlio dažnis. AM signalo pavyzdys pateiktas 5.. pav. (šiame pavydyje moduliavimo signalas yra sinusoidė). AM signalo nešlio amplitudės santykinio kitimo ribas nusako moduliavimo proentas. Praktikoje 5.. pav. (a) moduliavimo signalas, (b) atitinkamas naudojami trys moduliavimo proento moduliuotosios amplitudės (AM) signalas. apibrėžimai: AM signalo teigiamo moduliavimo proentas lygus + A A k = max = max[ m( ], (5..3) A kur A max yra didžiausia nešlio amplitudė (A max > A ), o neigiamo moduliavimo proentas A A k = min = min[ m( ], (5..4) A kur A min yra mažiausia nešlio amplitudė (A min < A ). Pilnutinis moduliavimo proentas lygus A Amin max[ m( ] min[ m( ] k = max = A. (5..5) Dydžiai A max, A min ir A yra parodyti 5..b pav. Pagal (4.3.9), AM signalo vidutinė normuotoji galia lygi s ( = g( = A [ + m( ] = (5..6) = A + m( + m ( = A + A m( + A m (. Jeigu moduliavimo signalo nuolatinė dedamoji lygi nuliui ( m( = ), tuomet AM signalo vidutinė normuotoji galia yra s ( = A + A m ( (5..7) nešlio galia šalinių juostų galia (viršutinės ir apatinės šalinių juostų sąvoka buvo apibrėžta 4.3. poskyryje).

162 57 Moduliuotojo signalo galios dalis, kuri naudojama inormaijos perdavimui, vadinama moduliavimo eektyvumu. AM signale inormaiją perduoda tik šalinės juostos, todėl moduliavimo eektyvumas, pagal (5..7), yra m ( E = %. (5..8) + m ( AM signalo, kurio moduliavimo proentas yra %, didžiausias moduliavimo eektyvumas yra 5 %. Šis moduliavimo eektyvumas pasiekiamas tuomet, kai m ( =, t.y., kai m( gali įgyti tik dvi vertes + ir - (stačiakampių impulsų seka). Jeigu moduliavimo signalas yra sinusoidė, o AM signalo moduliavimo proentas yra %, tuomet m ( = / (žr. (.3.6)). Vadinasi, šiuo atveju moduliavimo eektyvumas lygus 33 %. Pagal (4.3.), AM signalo didžiausioji gaubtinės galia lygi A PPEP = { + max[ m( ]}. (5..9) AM signalo spektras buvo gautas 4.3. poskyryje (žr. (4.3.4a)): A S ) = [ δ ( ) + M ( ) + δ ( + ) + M ( + )] (5..) ( (šio spektro pavyzdys pateiktas 4.3.b pav.). Taigi, AM spektras gaunamas palyginti paprastai: tai yra paslinktas moduliavimo signalo spektras ir δ unkija (nešlio dažnio linija). AM signalo dažnių juostos plotis yra lygus dvigubam moduliavimo signalo dažnių juostos pločiui, nes moduliavimo signalo spektro neigiamųjų dažnių dalis po poslinkio atsiduria teigiamųjų dažnių srityje (žr. juostos pločio apibrėžimus.8 poskyryje). AM siųstuvą galima kurti įvairiais būdais. Vienas būdas generuoti mažos galios AM signalą (naudojant maišiklį: žr. 4.8 poskyrį), o po to tiesiškai sustiprinti jį. Tokio maišiklio shema pavaizduota 5..a pav. Šiuo atveju nešlio dažnio kintamoji įtampa v apytiksliai lygi tranzistoriaus bazės įtampos kintamai dedamajai Δv B (kondensatoriaus C varža nešlio dažnio signalui yra žymiai mažesnė, o moduliavimo dažnio signalui žymiai didesnė už stiprintuvo įėjimo varžą R R ). Todėl mažo signalo stiprinimo koeiientas yra lygus Δv K v K Δv Δv K B ΔiK R = Δi R E ap E total R R ap E total, (5..) kur Δv K yra kolektoriaus įtampos nešlio dažnio kintamoji dedamoji, R ap yra kolektoriaus apkrovos varža, R E total yra pilnoji emiterinės grandinės varža, o Δi K ir Δi E kolektoriaus ir emiterio srovių aukštadažnės kintamosios dedamosios. Kolektoriaus apkrova tai rezistorius R C, prie kurio lygiagrečiai prijungta nuoseklioji RC grandinėlė R L C (maitinimo šaltinio vidinę varžą galima laikyti lygia nuliui). Emiterinė grandinė tai emiterinė sandūra, prie kurios nuosekliai prijungta lygiagrečioji RC grandinėlė R E C 3. Talpos C ir C 3 parinktos taip, kad jų varžos nešlio dažnio signalui būtų žymiai mažesnės, o moduliavimo dažnio signalui žymiai didesnės, atitinkamai, už R L ir emiterinės sandūros varžą r e. Todėl nešlio dažnio signalui R ap R C R L, o R E total apytiksliai sutampa su emiterio sandūros dierenialine varža r e. Vadinasi, RC RL K. (5..) re Emiterio sandūros (diodo) dierenialinė varža r e apibrėžiama sąryšiu Δv B dv B re = = =, (5..3) Δi di di / dv E E E B

163 5.. pav. Emiterinio mažos galios amplitudės moduliatoriaus prinipinė shema (a) ir jo išėjimo signalai (b). 58

164 59 kur Δv B ir Δi E yra bazės įtampos ir emiterio srovės kintamosios dedamosios, o i E yra emiterio srovės nuolatinė dedamoji, atitinkanti bazės įtampos nuolatinę dedamąją v B. Laikant, kad v B > kt/q (t.y., tiesioginė srovė žymiai didesnė už atgalinę), qv B ie = onst exp, (5..4) kt todėl kt / q 5 mv re = ; (5..5) ie ie čia q yra elementarusis krūvis, k yra Bolmano konstanta, o T yra absoliutinė temperatūra. Įrašę (5..5) į (5..), gauname, kad įtampos perdavimo koeiientas yra proporingas emiterio srovės nuolatinei dedamajai i E. Vadinasi, amplitudės moduliavimo eektą galima gauti, valdant srovę i E žemadažniu moduliavimo signalu v m. Tuo tikslu moduliavimo signalas prijungiamas emiterio grandinėje (žr. 5..a pav.). Kadangi moduliavimo dažniui kondensatoriaus C 3 varža yra žymiai didesnė už R E, tai, pagal Kirhhoo dėsnį, v B v BE v m ie =. (5..6) RE Taigi, emiterio srovės nuolatinė dedamoji (vadinasi, ir aukštadažnės įtampos perdavimo koeiientas K) yra proporinga moduliavimo įtampai v m su minuso ženklu. T.y., teigiamuose moduliavimo signalo pusperiodžiuose K išauga, o neigiamuose sumažėja. Kolektoriaus įtampa lygi v K = V CC i K R C - Δi K R ap V CC i E R C Δi E R ap, (5..7) kur i K i E yra kolektoriaus srovės nuolatinė dedamoji. Vadinasi, kolektoriaus įtampos laikinė priklausomybė yra proporinga apverstai emiterio srovės laikinei priklausomybei: teigiamuose moduliavimo signalo pusperiodžiuose kolektoriaus įtampos nuolatinė dedamoji (V CC i E R C ) sumažėja (nes i E išauga), o aukštadažnė išauga (nes padidėja K); neigiamuose moduliavimo signalo pusperiodžiuose nuolatinė kolektoriaus įtampos dedamoji išauga (nes i E sumažėja), o aukštadažnė sumažėja (nes sumažėja K). Šią laikinę priklausomybę iliustruoja viršutinė kreivė 5..b pav. Pro aukštųjų dažnių iltrą, kurį sudaro nuoseklioji RC grandinėlė R L C, praeina tik aukštadažnė kolektoriaus įtampos dedamoji, t.y., AM signalas (žr. apatinę kreivę 5..b pav.). Pagrindinis aukščiau aprašytojo AM signalo generavimo būdo trūkumas yra tas, kad išėjimo signalo galia yra palyginti maža, todėl prieš signalo perdavimą kanalu jį reikia sustiprinti. Stiprinimas turi būti tiesinis, kad nebūtų iškraipyta signalo gaubtinė. Tačiau tiesinių stiprintuvų našumas yra žemas. Našumas tai išėjimo signalo galios ir maitinimo šaltinio galios nuostolių santykis. Tiesiniuose stiprintuvuose didžioji naudojamos galios dalis išeikvojama maitinimo šaltinio srovės nuolatinei dedamajai, kuri nenaudojama moduliavimui. Didinant stiprintuvo galią, tuo pačiu didinami ir šie nenaudingi galios nuostoliai. Todėl praktikoje AM signalų generavimui naudojami netiesiniai stiprintuvai, kurių našumas žymiai didesnis, negu tiesinių, ir po moduliavimo signalas iš karto perduodamas į kanalą. Atitinkamai, amplitudės moduliatoriai dažniausiai yra didelio galingumo įtaisai, kurių naudojama galia siekia kelis kilovatus arba daugiau. Šių netiesinių stiprintuvų didesnį našumą sąlygoja tas aktas, kad jų išėjimo grandinės srovė yra trumpų impulsų pavidalo, o moduliavimo signalas valdo ne srovės nuolatinę dedamąją, o maitinimo įtampą. Tokio AM moduliatoriaus supaprastinta prinipinė shema pateikta 5..3a pav. Nešlio signalas prijungiamas prie bazės. Bazės įtampos nuolatinė dedamoji artima nuliui, todėl tranzistorius atsidaro tik teigiamų pusperiodžių metu. Kai nėra moduliavimo signalo, kolektoriaus srovė yra vienodos amplitudės impulsų pavidalo (žr. 5..3b pav. antroji kreivė). Kadangi tarp impulsų kolektoriaus srovė lygi nuliui, tai kolektoriaus įtampa tarp impulsų lygi maitinimo įtampai V CC (žr. 5..3b pav., apatinė kreivė). Kolektoriaus apkrovos (ritės RFC) impedansas nešlio dažniui yra didelis, todėl atidarytas tranzistorius pereina į soties būseną. Atitinkamai, kolektoriaus įtampa srovės impulso metu pakinta nuo maitinimo įtampos

165 pav. Vidutinės galios aukšto našumo amplitudės moduliatorius. a prinipinė shema, b kolektoriaus įtampa, kai nėra moduliavimo signalo, kolektoriaus įtampa, kai egzistuoja sinusoidės pavidalo moduliavimo signalas. V CC iki nulio (žr. 5..3b pav., apatinė kreivė). Moduliavimo signalas prijungiamas nuosekliai su kolektoriumi (o ne su emiteriu, kaip aukščiau aprašytame moduliatoriuje), t.y., jis pridedamas prie kolektoriaus maitinimo įtampos. Vadinasi, moduliavimas pasireiškia maitinimo įtampos keitimu. Kolektoriaus įtampos laikinė priklausomybė, esant moduliavimo signalui, yra panaši į moduliavimo signalo ir kolektoriaus įtampos, kai nėra moduliavimo signalo, sumą (žr pav., apatinė kreivė). Tačiau ši suma yra iškraipyta: nepriklausomai nuo maitinimo įtampos vertės, kiekvieno impulso metu tranzistorius pereina į soties būseną, t.y., jo kolektoriaus įtampa sumažėja iki nulio ir negali sumažėti žemiau šios vertės. Vadinasi, eektas toks pats, lyg moduliavimo signalo ir didelės amplitudės neigiamų impulsų suma būtų ribojama iš apačios. Signalo vertės ribojimas tai netiesinis iškraipymas (žr. 4.6 poskyrį). Vadinasi, kolektoriaus įtampa tai netiesiškai iškraipyta dviejų signalų suma. Todėl jos spektre yra ir suminio bei

166 6 skirtuminio dažnio linijos (žr. 4.6 poskyrį ir (4.6.) ormulę). Šios suminio ir skirtuminio dažnio komponentės ir sudaro AM signalą. Kadangi jos yra arti viena kitos (moduliavimo dažnis yra žymiai mažesnis už nešlio dažnį), tai jas galima išskirti, naudojant juostinį iltrą. Juostinio iltro vaidmenį galėtų atlikti, pvz., kolektoriaus grandinėje vietoj ritės RFC prijungtas lygiagretusis virpesių kontūras, kuris suderintas nešlio dažniui (5..3a pav. juostinis iltras neparodytas). Šio moduliatoriaus našumas yra žymiai didesnis už 5..a pav. pavaizduoto moduliatoriaus našumą, nes didžiąją laiko dalį tranzistorius yra uždarytas, t.y., beveik nenaudoja energijos (tuo metu galią naudoja tik moduliatoriaus apkrova). Impulsų plotį (ir moduliatoriaus našumą) galima reguliuoti, keičiant varžą R. Įtampos kritimas šioje varžoje lygus bazės srovės nuolatinės dedamosios ir R sandaugai. Šis įtampos kritimas pasireiškia kaip papildoma neigiama įtampa emiterinėje sandūroje. Didėjant R, ši papildoma įtampa auga, todėl tranzistorius vėliau atsidaro ir anksčiau užsidaro, todėl kolektoriaus srovės impulsai trumpėja. 5..3a pav. shemoje moduliavimo įtampa turi būti tos pačios eilės, kaip tranzistoriaus maitinimo įtampa V CC, t.y., kelių dešimčių voltų eilės. Tokių didelių moduliavimo signalo verčių galima išvengti, moduliavimo įtampą naudojant maitinimo įtampos jungiklio valdymui. Tuo tikslu panaudojamas impulsų trukmės moduliavimas (pulse width modulation, PWM): maitinimo šaltinis prijungiamas prie įtaiso trumpiems laiko tarpams, kurie proporingi moduliavimo signalo m( vertėms diskrečiais laiko momentais (žr. 5..4a pav.). Kitais žodžiais, maitinimo įtampa pakeičiama PWM impulsų seka v ( (žr. 5..4b pav., antroji kreivė). Po to ši PWM impulsų seka praleidžiama pro žemųjų dažnių iltrą. Jeigu PWM impulsų dažnis yra žymiai didesnis už žemųjų dažnių iltro juostos plotį, tuomet žemųjų dažnių iltro išėjimo signalas v 3 ( tai impulsų sekos laikinis vidurkis per laiko tarpą, kuris žymiai didesnis už intervalą tarp impulsų. Jeigu iltro juostos plotis atitinka m( juostos plotį, tuomet žemųjų dažnių iltro išėjimo signalas v 3 ( proporingas moduliavimo signalui m( (plg. 5..4b pav. pirmąją ir trečiąją kreives). Pvz., jeigu m( yra garso dažnio signalas, PWM impulsų dažnis dažniausiai pasirenkamas tarp 7 khz ir 8 khz, o žemųjų dažnių iltro juostos plotis artimas khz. Tuomet iltras pilnai nuslopina PWM signalo pagrindinę ir aukštesniąsias harmonikas, tačiau nuolatinė 5..4 pav. Aukštos galios AM signalų generavimas, naudojant impulsų trukmės moduliavimą. a moduliatoriaus struktūrinė shema, b signalai įvairiuose sistemos taškuose.

167 6 maitinimo įtampa gali kisti pakankamai aukštu garsiniu dažniu (pvz., khz arba 5 khz). Taigi, eektas toks pats, kaip ir 5..3a pav. shemoje: prie nuolatinės maitinimo įtampos pridedamas tos pačios eilės dėmuo, kuris proporingas moduliavimo signalui. Tačiau šiuo atveju moduliatoriaus išėjimo grandinėje nenaudojamas garsinio dažnio transormatorius, todėl mažesni moduliavimo signalo iškraipymai. 5.. Dvipusės šalinės juostos numalšintojo nešlio (DSB-SC) signalai Dvipusės šalinės juostos numalšintojo nešlio signalas (double-sideband suppressed arrier, DSB-SC) tai AM signalas, kurio spektre nėra nešlio linijos. DSB-SC signalo kompleksinė gaubtinė yra g( = A m(, (5..) kur A yra nešlio amplitudė, o m( yra moduliavimo signalas, kurio nuolatinė dedamoji lygi nuliui. Atitinkama DSB-SC signalo išraiška yra s( = A m( osωt. (5..) DSB-SC signalo spektras gaunamas iš AM signalo spektro (5..), pašalinus δ unkijas ties dažniais ± : A S ) = [ M ( ) + M ( + )]. (5..3) ( DSB-SC signalo moduliavimo proentas yra begalinis (žr. 5. poskyrį), o moduliavimo eektyvumas lygus %, nes energija neeikvojama nešlio perdavimui. Tačiau DSB-SC signalo detektavimui negalima naudoti gaubtinės detektoriaus (žr. 4.. poskyrį), o reikia naudoti brangesnį sandaugos detektorių (žr. 4.. poskyrį). Jeigu (5..) ormulėje m( yra dvilygis skaitmeninis signalas, kuris išreikštas poliniu NRZ linijos kodu (žr. 3.4.b pav.), tuomet m( = ±. Tokio pavidalo moduliavimas vadinamas apgrąžiniu azės manipuliavimu, nes tuomet signalą s( galima užrašyti šitaip: s( = A os( ω t + θ ), θ =, π. (5..4) Čia nulinė pradinės azės vertė atitinka dvejetainį vienetą (m( = ), o vertė π atitinka dvejetainį nulį (m( = -) DSB-SC signalo detektoriai: Kosto PLL kilpa ir kėlimo kvadratu sistema Sandaugos detektoriuje įėjimo signalas dauginamas iš sinusinio generatoriaus virpesio, kurio dažnis lygus nešlio dažniui (žr. 4.. poskyrį ir 4.. pav.). Detektuojant AM signalą, vietoj generatoriaus naudojama PLL kilpa (žr. 4. poskyrį ir 4..6 pav.), kurią sinhronizuoja įėjimo signalo spektro linija ties nešlio dažniu. Tačiau tuo atveju, kai moduliavimo signalo m( nuolatinė dedamoji lygi nuliui, DSB-SC signalas (5..) neturi δ unkijos pavidalo maksimumo ties nešlio dažniu (žr. 5. poskyrį), todėl toks atraminio sinusinio virpesio generavimo metodas netinka (žr. 4. poskyrį). Praktikoje naudojami du DSB-SC signalų detektavimo būdai. Pirmasis būdas tai Kosto PLL kilpa (Costas PLL), kurios shema pavaizduota 5.3.a pav. Kosto PLL kilpa skiriasi nuo įprastos analoginės PLL kilpos (žr pav.) sudėtingesne azės detektoriaus shema, kurią sudaro trys maišikliai ir trys žemųjų dažnių iltrai (vietoj vieno maišiklio ir vieno iltro 4..3 pav. shemoje). Kosto PLL kilpos veikimas aprašytas žemiau. Visų pirma verta prisiminti PLL kilpos sinhronizavimo sąlygas, kurios jau buvo minėtos 4. poskyryje. Tarkime, kad, didėjant generatoriaus valdymo įtampai, jo dažnis mažėja. Tuomet, kad generatorius sinhronizuotųsi su nešliu, reikia, kad generatoriaus valdymo įtampos pokyčio ženklas sutaptų su generatoriaus ir nešlio dažnių skirtumo ženklu. Pvz., jeigu generatoriaus dažnis yra didesnis už nešlio dažnį, valdymo įtampos pokytis turi būti toks, kad generatoriaus dažnis sumažėtų, t.y., teigiamas. Vadinasi, augant generatoriaus ir nešlio azių skirtumui θ e, valdymo įtampa turi augti (reikia atkreipti dėmesį, kad čia azių skirtumas θ e apibrėžiamas šiek tiek kitaip, negu 4. poskyryje). Be to, šis augimas turi būti pakankamai

168 pav. DSB-SC signalų detektoriai. a Kosto PLL kilpa, b kėlimo kvadratu sistema. greitas, kad generatoriaus dažnio kitimas spėtų sekti nešlio dažnio kitimą, t.y., kad per sinhronizavimo laikotarpį θ e pokytis būtų mažesnis už azės detektoriaus harakteristikos periodą (pvz., 4.. pav. pavaizduotų harakteristikų periodas lygus π). Norint visa tai įgyvendinti, reikia iš įėjimo signalo ir generatoriaus signalo suormuoti signalą, kuris būtų pakankamai greitai didėjanti azių skirtumo θ e unkija. Tai atliekama tokiu būdu. Įėjimo signalas sudauginamas su dviem signalais: pirmasis signalas tai generatoriaus virpesys, o antrasis gautas iš generatoriaus virpesio, pasukus jo azę -9 kampu (žr. 5.3.a pav.). Po to abi signalų sandaugos praleidžiamos pro žemųjų dažnių iltrus, kurie išskiria visą skirtuminių dažnių juostą. Abiejų iltrų išėjimo signalus nusako (4..6) ormulė, kurioje A yra generatoriaus virpesio amplitudė, R( = A m(, θ( = -θ e, o θ lygus, atitinkamai, nuliui arba -9. T.y., pirmojo (viršutinio) iltro išėjimo signalas lygus v ( = A A osθ e m(, (5.3.) o antrojo (apatinio) v ( = A A sinθ e m(. (5.3.) Po to šie du signalai sudauginami, suormuojant signalą v 3( = v( v ( = A A m ( sin θ e. (5.3.3)

169 64 Šis signalas jau yra panašus į AM detektavimui naudojamos PLL kilpos (žr pav.) maišiklio išėjimo signalo skirtuminę dedamąją: daugiklis prieš sin(θ e ) turi pakankamai didelę nuolatinę dedamąją, kurią galima išskirti siaurajuosčiu žemadažniu iltru ir panaudoti generatoriaus dažnio valdymui (žr. 5.3.a pav.). Tačiau šio iltro išėjimo signalo v 4, kaip θ e unkijos (t.y., azės detektoriaus harakteristikos), periodas yra lygus ne π, o π/. Vadinasi, sinhronizavimo diapazono ribas atitinka θ e = ±π/ (o ne θ e = ±π, kaip (4..5) ormulėje). Be to, šiuo atveju generatoriaus valdymo signalas v 4 ( yra proporingas moduliavimo signalo kvadrato laikiniam vidurkiui m (. Praktikoje visuomet galioja nelygybė θ e <<, todėl os(θ e ) ir (5.3.) virsta v A A m( ). (5.3.4) ( t Vadinasi, kai azės paklaida θ e <<, Kosto PLL kilpą galima naudoti kaip DSB-SC signalo demoduliatorių (amplitudės detektorių). Kitas nešlio atkūrimo būdas tai kėlimo kvadratu sistema, kurios struktūrinė shema pavaizduota 5.3.b pav. Šiuo atveju harmoninis nešlio dažnio signalas suormuojamas, praleidžiant įėjimo signalą pro keturis nuosekliai sujungtus įtaisus: kėlimo kvadratu įtaisą, juostinį iltrą, kuris suderintas dvigubam nešlio dažniui, ribotuvą ir dažnio daliklį iš. Įėjimo signalo kvadrato spektre yra dvigubo nešlio dažnio linija, kurios intensyvumas proporingas moduliavimo signalo kvadrato vidurkiui. Šią liniją išskiria juostinis iltras ir ribotuvas. Dažnio daliklis atkuria galutinį nešlio dažnio virpesį, kuris sudauginamas su įėjimo signalu, kaip įprastiniame koherentiniame AM detektoriuje. Pagrindinis Kosto PLL kilpos ir kėlimo kvadratu sistemos trūkumas yra tas, kad, pakeitus moduliavimo signalo ženklą, detektoriaus išėjimo signalas nepasikeičia. T.y., nėra žinoma, ar detektoriaus išėjimo signalas nusako moduliavimo signalą m(, ar priešingą dydį -m(. Taip yra todėl, kad abiem šiais atvejais, atkuriant nešlio dažnio signalą, moduliavimo signalas keliamas kvadratu (žr pav.). Tai pasireiškia tuo, kad sandaugos detektoriuje virpesio, iš kurio dauginamas įėjimo signalas, azė gali būti priešinga nešlio azei. Jeigu m( yra garso signalas, tuomet šis azės neapibrėžtumas neturi reikšmės, nes žmogaus ausis nėra jautri garso virpesių pradinei azei. Tačiau, jeigu m( yra polinis dvejetainių duomenų signalas (pvz., apgrąžinio azės manipuliavimo signalas (5..4)), tuomet, pasikeitus signalo ženklui, dvejetainiai nuliai virsta vienetais, ir atvirkščiai. Šį pradinės azės neapibrėžtumą galima panaikinti dviem būdais: ) įjungus detektoriaus sistemą, siųstuvas gali trumpam laikui moduliuoti nešlį žinomo poliarumo pastoviu bandomuoju signalu, kad imtuvas galėtų nustatyti, ar sistema invertuoja moduliavimo signalą, ar ne; ) galima naudoti dierenialinį duomenų kodavimą ir dekodavimą (žr poskyrį) Asimetrinių šalinių juostų signalai Vienpusės šalinės juostos signalai Vienpusės šalinės juostos (single sideband, SSB) signalu vadinamas juostinis signalas, kurio spektras lygus nuliui dažnių intervale < arba dažnių intervale >, kur yra nešlio dažnis. Viršutinės vienpusės šalinės juostos (upper single sideband, USSB) signalu vadinamas juostinis signalas, kurio spektras lygus nuliui dažnių intervale <. Apatinės vienpusės šalinės juostos (lower single sideband, LSSB) signalu vadinamas juostinis signalas, kurio spektras lygus nuliui dažnių intervale >. Vienpusės šalinės juostos signalą galima gauti, naudojant įvairų unkinį ryšį tarp juostinio signalo kompleksinės gaubtinės g ir moduliavimo signalo m (žr. C- lentelę). Dažniausiai naudojami moduliuotos amplitudės SSB signalai (SSB-AM), nes šių signalų juostos plotis sutampa su moduliavimo signalo juostos pločiu (t.y., du kartus mažesnis už AM

170 65 arba DSB-SC signalų juostos plotį). Todėl toliau bus kalbama tik apie SSB-AM signalus, ir jie bus vadinami tiesiog SSB signalais. SSB signalo gaubtinė yra g( = A [ m( ± jmˆ ( ], (5.4.) kur m ˆ ( yra moduliavimo signalo m( Hilberto transormaija: m( λ) mˆ ( m( * h( dλ, (5.4.) π t λ kur h( =. (5.4.3) πt + ženklas (5.4.) ormulėje atitinka USSB signalą, o - ženklas LSSB signalą. Žemiau įrodyta, kad (5.4.) ormulė iš tikrųjų nusako SSB signalą. Hilberto transormaiją (5.4.) atlieka azės poslinkio -9 įtaisas. Tokio įtaiso perdavimo unkija (impulsinio atsako h( spektras) yra j, > H ( ) = (5.4.4) j, < (dažninė azės harakteristika visuomet yra nelyginė dažnio unkija: žr. (.6.)). Iš (5.4.) išplaukia, kad m ˆ ( spektras yra lygus moduliavimo signalo m( spektro M() ir perdavimo unkijos H() sandaugai (žr. B- lentelę). Todėl kompleksinės gaubtinės (5.4.) spektras lygus G( ) = A M ( )[ ± jh ( )]. (5.4.5) Jeigu (5.4.5) reiškinyje yra + ženklas (USSB signalas), tuomet reiškinys laužtiniuose skliaustuose lygus nuliui, kai <, ir lygus, kai > (žr. (5.4.4)). T.y., A M ( ), > G( ) = USSB atveju. (5.4.6), < Moduliavimo signalo amplitudžių spektro M() ir atitinkamo USSB signalo kompleksinės gaubtinės amplitudžių spektro G() pavyzdys pateiktas 5.4.a ir 5.4.b pav.). Akivaizdu, kad gaubtinės spektras lygus nuliui, kai <, ir proporingas moduliavimo signalo spektrui, kai >. USSB signalo spektras S() lygus paslinktam į teigiamųjų dažnių pusę atstumu ir padalintam iš kompleksinės gaubtinės spektrui (žr. juostinio signalo spektro bendrąją išraišką (4.3.4)): M ( ), >, > S( ) = A + A. (5.4.7), < M ( + ), < 5.4. pav. pavaizduotas USSB signalo amplitudžių spektras S(), atitinkantis kompleksinės gaubtinės amplitudžių spektrą, kuris pavaizduotas 5.4.b pav. Akivaizdu, kad šis spektras iš tikrųjų atitinka USSB signalo apibrėžimą (žr. aukščiau). Jeigu kompleksinės gaubtinės išraiškoje (5.4.) būtų naudojamas - ženklas, tuomet tokiu pačiu būdu gautume LSSB signalą. Be to, palyginus SSB signalo spektrą (žr pav.) su atitinkamo AM signalo spektru (žr. 4.3.b pav.), galima padaryti išvadą, kad SSB signalo spektro plotis yra du kartus mažesnis. Rasime SSB signalo vidutinę normuotąją galią. Įrašę kompleksinės gaubtinės išraišką (5.4.) į juostinio signalo galios bendrąją išraišką (4.3.9), randame P ( ) { ( ) [ ˆ ( )] s = g t = A m t + m t ]. (5.4.8) Bet kurio signalo galią galima išreikšti galios spektrinio tankio integralu (žr. (.3.5)): mˆ ( = P ( ) d = H ( ) P ( d, (5.4.9) m ˆ m )

171 pav. Viršutinės vienpusės šalinės juostos (USSB) signalo spektras. a moduliavimo signalo amplitudžių spektras, b atitinkamo USSB signalo kompleksinės gaubtinės amplitudžių spektras, USSB signalo amplitudžių spektras. kur perdavimo unkiją H() nusako (5.4.4) ormulė (užrašant paskutiniąją lygybę, pasinaudota (.6.9) sąryšiu). Pagal (5.4.4), H() =. Todėl signalų m( ir m ˆ ( galių spektriniai tankiai ir normuotosios vidutinės galios sutampa: m ˆ ( = m (. (5.4.) Įrašę (5.4.) į (5.4.8), gauname Ps = s ( = A m (. (5.4.) SSB signalo didžiausioji gaubtinės galia pagal apibrėžimą (4.3.) yra lygi max{ g( } = A max{ m ( [ mˆ ( ] + }, (5.4.) t.y., didesnė už atitinkamo DSB-SC signalo didžiausiąją gaubtinės galią A max{m (}/ pav. iliustruoju du SSB signalo generavimo būdus. Fazavimo metodo shema (žr. 5.4.a pav.) sutampa su anksčiau aprašyto apibendrintojo IQ generavimo metodo shema, kuri pavaizduota 4.. pav. Šiuo atveju sinazinės dedamosios amplitudė sutampa su moduliavimo signalu, o kvadratūrinės dedamosios amplitudė tai moduliavimo signalo m( Hilberto transormaija m ˆ (, kurią suormuoja azės poslinkio -9 kampu įtaisas. Naudojant iltravimo metodą (žr. 5.4.b pav.), pirmiausia suormuojamas DSB-SC signalas, o po to viena šalinė juosta nuslopinama, naudojant juostinį iltrą. Perduodant garso signalus, iltravimo metodas yra populiariausias, nes tipiško garso signalo spektras žemiau 3 Hz praktiškai lygus nuliui. Vadinasi, slopinant vieną šalinę juostą, egzistuoja 3 = 6 Hz pločio dažnių intervalas, kuriame iltro dažninės harakteristikos pavidalas beveik neturi įtakos signalo perdavimo kokybei. Šis intervalas yra pakankamai platus, kad juostinio iltro dažninė amplitudės harakteristika sumažėtų jame nuo didžiausios vertės beveik iki nulio.

172 pav. SSB signalų generavimas. a azavimo metodas, b iltravimo metodas. Iš juostinio signalo realiosios gaubtinės išraiškos (4..4a) ir iš SSB signalo kompleksinės gaubtinės apibrėžimo (5.4.) išplaukia, kad SSB signalo realioji gaubtinė lygi R( = g( = A m ( + [ mˆ ( ]. (5.4.3) Iš juostinio signalo pradinės azės išraiškos (4..4b) išplaukia, kad SSB signalo pradinė azė lygi ± mˆ ( θ ( = artan. (5.4.4) m( Vadinasi, ir SSB signalo amplitudė, ir jo azė yra moduliuoti. SSB signalo detektavimui galima panaudoti detektorių, kuris atkuria juostinio signalo kompleksinės gaubtinės realiąją dalį (žr. SSB signalo kompleksinės gaubtinės išraišką (5.4.)). Tokio detektoriaus pavyzdys yra sandaugos detektorius, kurio generatoriaus virpesio azė sutampa su nešlio aze (žr. (4..8a)) Liekamosios šalinės juostos signalai Kai kuriais atvejais (pvz., televizijos transliavime) DSB moduliavimo signalų juostos plotis yra per didelis, o SSB moduliavimas yra per brangus. Tokiais atvejais naudojamas kompromisinis moduliavimo būdas, kuris vadinamas liekamosios šalinės juostos (vestigial sideband, VSB) moduliavimu: viena DSB signalo šalinė juosta nuslopinama dalinai. DSB signalas gali būti AM arba DSB-SC signalas. Šį moduliavimo būdą iliustruoja pav. Šalinės juostos daliniam slopinimui naudojamas liekamosios šalinės juostos iltras (žr a pav.), kurio dažninė amplitudės harakteristika nėra simetrinė atžvilgiu nešlio dažnio ± (žr pav.). VSB signalas yra svsb( = s( * hv (, (5.4.5) kur s( yra DSB signalas (AM signalas (5..) arba DSB-SC signalas (5..)), o h v ( yra VSB iltro impulsinis atsakas. VSB signalo spektras yra

173 68 SVSB( ) = S( ) Hv ( ) (5.4.6) (žr d pav.). VSB signalą galima detektuoti, naudojant sandaugos detektorių, kuris pavaizduotas 4.. pav. (generatoriaus virpesio ir nešlio azių skirtumas θ turi būti lygus nuliui). Rasime sąlygą, kurią turi tenkinti VSB iltro perdavimo unkija H v (), kad sandaugos detektoriaus išėjimo signalo spektras būtų proporingas pradinio DBS moduliavimo signalo m( spektrui M(). Tarkime, kad s( yra DSB-SC signalas (5..). Įrašę šio signalo spektro išraišką (5..3) į (5.4.6), gauname A S VSB ( ) = [ M ( ) H v ( ) + M ( + ) H v ( )]. (5.4.7) pav. VSB signalų generavimas. a VSB siųstuvo struktūrinė shema, b tarpinio DSB signalo spektras, liekamosios šalinės juostos iltro (VSB iltro) dažninė amplitudės harakteristika, d VSB signalo spektras, e sąlyga, kurią turi tenkinti VSB iltro dažninė amplitudės harakteristika.

174 69 Maišiklio, kuris įeina į sandaugos detektoriaus sudėtį, išėjimo signalas yra signalo s VSB ir generatoriaus signalo A osω t sandauga. Todėl detektoriaus išėjimo signalas yra v out ( = [ A svsb( osωt]* h(, (5.4.8) kur h( yra žemųjų dažnių iltro impulsinis atsakas. Signalo (5.4.8) spektras yra Vout ( ) = A { SVSB( ) *[ δ ( ) + δ ( + )]} H ( ). (5.4.9) Įrašę (5.4.7) į (5.4.9) ir pasinaudoję tapatybe x() δ(-a) = x(-a), kuri išplaukia iš δ unkijos savybės (..5b), randame A A Vout ( ) = [ M ( ) Hv ( ) + M ( ) Hv ( ) M ( ) Hv ( + ) + M ( + ) Hv ( + )] H ( ). Kadangi M() skiriasi nuo nulio, tik kai, tai pirmasis dėmuo laužtiniuose skliaustuose skiriasi nuo nulio, kai, antrasis ir trečiasis kai, o ketvirtasis kai -. Todėl, laikant, kad H() =, kai B < <<, šiame reiškinyje nelieka pirmojo ir paskutiniojo dėmens. Laikant, kad H() =, kai < B, A A V out ( ) = M ( )[ Hv ( ) + Hv ( + )], < B. 4 Vadinasi, kad sandaugos detektoriaus išėjimo signalo spektras būtų proporingas moduliavimo signalo spektrui, žemųjų dažnio iltro pralaidumo juostos plotis B turi atitikti moduliavimo signalo juostos plotį, o VSB iltro perdavimo unkija turi tenkinti sąlygą Hv ( ) + Hv ( + ) = C, < B. (5.4.) Čia C yra konstanta. Galiojant (5.4.) lygybei, detektoriaus išėjimo signalas v out ( = Km(, kur K = A A /4. Pavyzdžiui, (5.4.) sąlygą tenkina VSB iltras, kurio perdavimo unkija tiesiškai mažėja slopinamosios šalinės juostos kryptimi ir ties dažniu sumažėja iki pusės didžiausios vertės (žr pav. ir 5.4.3e pav.). Tokie VSB iltrai naudojami, ormuojant televizijos transliavimo VSB signalą. Pagal JAV galiojančius TV transliavimo standartus, viršutinės šalinės juostos plotis yra 4.5 MHz, o iltro parametras Δ, kuris nusako dalinai nuslopintos apatinės šalinės juostos plotį (žr pav.), yra.75 MHz. Pilnutinis TV kanalo dažnių juostos plotis yra 6 MHz, t.y., bent.5 karto mažesnis už tą, kurio reikėtų AM arba DSB-SC signalo perdavimui ( 4.5 = 9 MHz) Fazės moduliavimas ir dažnio moduliavimas PM ir FM signalų matematinės išraiškos ir generavimo būdai Fazės moduliavimas ir dažnio moduliavimas yra atskirieji kampo moduliavimo atvejai. Moduliuoto kampo signalo kompleksinė gaubtinė (žr. (4..)) yra jθ ( t ) g( = A e. (5.5.) Tai atitinka tokią signalo išraišką: s( = A os[ ω t + θ ( ]. (5.5.) Taigi, kampo moduliavimo atveju realioji gaubtinė yra konstanta, kuri sutampa su nešlio amplitude A (R( = g( = A ), o pradinė azė θ( yra moduliavimo signalo m( unkija. Fazės moduliavimo (phase modulation, PM) atveju pradinė azė θ( yra proporinga moduliavimo signalui: θ ( = Dpm(, (5.5.3) o dažnio moduliavimo (requeny modulation, FM) atveju pradinė azė proporinga moduliavimo signalo integralui:

175 7 t θ ( = D m( σ ) dσ. (5.5.4) Ši išraiška galioja tik tuo atveju, kai signalas turi pradžią (t.y., kai m(- ) = ). Jeigu moduliavimo signalas m( yra periodinis, tuomet apatinis integravimo rėžis turi būti baigtinis ir turi nusakyti laiko momentą, kai unkiją θ( susitarta laikyti lygia nuliui. Palyginus (5.5.3) ir (5.5.4), galima teigti, kad moduliuotos azės signalą galima laikyti moduliuoto dažnio signalu, kurio moduliavimo signalas m yra proporingas pradinio signalo m p laikinei išvestinei: D p dm p ( m ( = D, (5.5.5) dt o moduliuoto dažnio signalą galima laikyti moduliuotos azės signalu, kurio moduliavimo signalas m p proporingas pradinio signalo integralui: t D m p ( = m(σ ) dσ. (5.5.6) D Vadinasi, FM signalą galima generuoti, naudojant PM moduliatorių ir moduliavimo signalo integratorių (žr. 5.5.a pav.), o PM signalą galima generuoti, naudojant FM moduliatorių ir moduliavimo signalo diereniatorių (žr. 5.5.b pav.). p 5.5. pav. FM signalo ormavimas iš PM signalo ir atvirkščiai. Tiesiogiai PM arba FM signalą galima gauti, naudojant virpesių kontūrą, kurio rezonansinį dažnį valdo moduliavimo signalas. PM atveju šis kontūras naudojamas kaip nešlio generatoriaus apkrova (žr. 5.5.a pav.), o FM atveju jis pats įeina į aukšto dažnio generatoriaus sudėtį, kaip dažnį užduodantis elementas (žr. 5.5.b pav.). PM ir FM moduliatorių grandinėse, kurios pavaizduotos 5.5. pav., kontūro rezonansinis dažnis keičiamas, naudojant varikapus, t.y., diodus, kurių talpą valdo prie jų prijungta moduliavimo įtampa. Kintant moduliavimo įtampai, kinta pilnutinė kontūro talpa C, todėl kinta ir rezonansinis dažnis ω = / LC. PM moduliatoriuje (5.5.a pav.) azės moduliavimo eektas gaunamas dėl to, kad, esant mažiems išderinimams, lygiagrečiojo kontūro įtampos (moduliuotojo signalo) ir jo įėjimo srovės (nešlio) azių skirtumas yra proporingas kontūro rezonansinio dažnio ir įėjimo srovės dažnio skirtumui: Q θ ( = ( ), (5.5.7) kur Q yra kontūro kokybė. Kalbant apie PM ir FM signalus, svarbi yra momentinio dažnio sąvoka. Užrašius juostinį signalą tokiu pavidalu: s( = R( osψ ( (ψ( ω t + θ(), signalo s( momentinis dažnis i apibrėžiamas šitaip:

176 pav. Fazės (a) ir dažnio (b) moduliatorių shemos. = = dt t d t t i i ) ( ) ( ) ( ψ π ω π arba + = dt t d t i ) ( ) ( θ π. (5.5.8) FM atveju, įrašę (5.5.4) į (5.5.8), gauname ) ( ) ( t m D t i π + =. (5.5.9) Būtent todėl tokio tipo signalas vadinamas moduliuotojo dažnio signalu: momentinio dažnio i nuokrypis nuo nešlio dažnio yra proporingas moduliavimo signalui m( b pav. parodytas momentinio dažnio kitimas, kai moduliavimo signalas yra sinusoidė, kuri pavaizduota 5.5.3a pav. Atitinkamas FM signalas pavaizduotas pav.

177 pav. FM signalas, kai moduliavimo signalas yra sinusoidės pavidalo. a moduliavimo signalas, b atitinkamo FM signalo momentinio dažnio kitimas laike, atitinkamas FM signalas. Dažnio nuokrypis nuo nešlio dažnio apibrėžiamas sąryšiu dθ ( d ( = i ( = dt, (5.5.) π o didžiausiasis dažnio nuokrypis yra dθ ( ΔF = max. (5.5.) π dt FM atveju didžiausiasis dažnio nuokrypis yra proporingas didžiausiai moduliavimo signalo (įtampos) vertei (žr. (5.5.9)): Δ F = D V p, (5.5.) π kur V p = max[m(] (žr a pav.). Kai kuriais atvejais (pvz., skaitmeninio moduliavimo atveju) naudojama dažnio nuokrypio kitimo intervalo pločio sąvoka (peak-to-peak deviation): dθ ( dθ ( ΔFpp = max min. (5.5.3) π dt π dt Didžiausiojo azės nuokrypio apibrėžimas analogiškas didžiausiojo dažnio nuokrypio apibrėžimui (5.5.):

178 73 Δ θ = max[ θ ( ]. (5.5.4) PM atveju didžiausiasis azės nuokrypis yra proporingas didžiausiai moduliavimo signalo (įtampos) vertei (žr. (5.5.3)): Δθ = D p V p, (5.5.5) kur V p = max[m(]. Remiantis didžiausiuoju dažnio arba azės nuokrypiu, apibrėžiamos dar dvi FM arba PM signalo harakteristikos azės moduliavimo indeksas, kuris sutampa su didžiausiuoju azės nuokrypiu: β p = Δθ = D p max[ m( ], (5.5.6) ir dažnio moduliavimo indeksas: ΔF D max[ m( ] β = =, (5.5.7) B πb kur ΔF yra didžiausiasis dažnio nuokrypis (5.5.), o B yra moduliavimo signalo ribinis dažnis. Harmoninio moduliavimo signalo atveju B yra lygus moduliavimo signalo dažniui. Žemadažnio moduliavimo signalo atveju ribinis dažnis B sutampa su dažnių juostos pločiu. Jeigu kampo moduliavimo signalas yra skaitmeninis, moduliavimo indeksas apibrėžiamas šiek tiek kitaip (žr poskyrį). Augant dažnio arba azės moduliavimo indeksui, FM arba PM signalo vidutinė A normuotoji galia nesikeičia ir lieka lygi. Tačiau signalo dažnių juostos plotis auga, nes signalo spektro dažnių intervalas apima visas momentinio dažnio vertes. Vadinasi, augant didžiausiajam dažnio nuokrypiui, arti nešlio dažnio esančių spektrinių komponenčių amplitudė mažėja. Tuo kampo moduliavimas iš esmės skiriasi nuo amplitudės moduliavimo: AM signalo vidutinė galia yra proporinga moduliavimo signalo vidutinei galiai (žr. (5..7)), o spektro pavidalą lemia moduliavimo signalo spektras (žr. (5..)), t.y., AM signalo dažnių juostos plotis nepriklauso nuo moduliavimo signalo galios Moduliuoto kampo signalų spektrai Pagal juostinio signalo spektro bendrąją išraišką (4.3.4), moduliuoto kampo signalo spektras yra * S( ) = [ G( ) + G ( )], (5.5.8) kur G() yra kompleksinės gaubtinės (5.5.) Furjė transormaija: jθ (t ) G( ) = F[ g( ] = F[ A e ]. (5.5.9) AM, DSB-SC ir SSB atveju juostinio signalo spektro S() ir moduliavimo signalo spektro M() ryšys yra gana paprastas (AM (5..), DSB-SC (5..3), USSB (5.4.7)), nes visais šiais atvejais signalo kompleksinė gaubtinė g( yra tiesinė moduliavimo signalo m( unkija (AM (5..), DSB-SC (5..)), SSB (5.4.)). FM ir PM atveju juostinio signalo pradinė azė θ( yra tiesinė moduliavimo signalo m( unkija (PM (5.5.3), FM (5.5.4)), tačiau kompleksinė gaubtinė (5.5.) yra netiesinė m( unkija. Todėl kampo moduliavimo atveju neįmanoma išvesti bendros ormulės, kuri susietų kompleksinės gaubtinės spektrą G() ir moduliavimo signalo spektrą M(). T.y., kiekvienam moduliavimo signalui spektrą reikia skaičiuoti atskirai. Be to, kadangi g( yra netiesinė m( unkija, negalioja superpoziijos prinipas. Tai reiškia, kad tuo atveju, kai moduliavimo signalas yra lygus dviejų signalų sumai, moduliuotojo signalo spektras nėra lygus sumai dviejų spektrų, kurie būtų gauti, moduliuojant tik pirmuoju ir tik antruoju signalu. Praktikoje svarbiausias yra moduliavimo harmoniniu signalu atvejis. Atitinkami FM ir PM signalų spektrai apskaičiuoti sekančiame poskyryje.

179 PM arba FM signalo spektras, kai moduliavimo signalas yra sinusoidės pavidalo Tarkime, kad PM moduliavimo signalas yra mp( = Am sinωmt. (5.5.) Tuomet, pagal (5.5.3), (5.5.4) ir (5.5.6) pradinę azę θ( galima užrašyti šitaip: θ ( = β sinωmt, (5.5.) kur β = β p = D p A m yra azės moduliavimo indeksas. To paties pavidalo (5.5.) pradinė azė gaunama ir FM atveju, kai moduliavimo signalas yra m ( = Am osωmt. (5.5.) Įrašę (5.5.) į (5.5.4), gauname (5.5.) pavidalo unkiją, kurioje β = D A m /ω m. Pagal (5.5.) ir (5.5.7), taip apibrėžtas dydis sutampa su dažnio moduliavimo indeksu: β = β. Kompleksinė gaubtinė yra jθ ( jβ sinω mt g( = A e = A e. (5.5.3) Tai yra periodinė unkija, kurios periodas lygus T m = / m. Vadinasi, visoje laiko ašyje (- < t < ) galioja g( skleidinys Furjė eilute n= n n= jnωmt g( = e, (5.5.4) kur Tm / Tm / A jnωmt A jβ sinωmt jnωmt n = g( e dt = ( e ) e dt (5.5.5) Tm T Tm / m Tm / (žr..5. poskyrį). Atlikę integravimo kintamojo pakeitimą t θ = ω m t, gauname π j( β sinθ nθ ) n = A e dθ = A J n( β ) π. (5.5.6) π Funkija J n (β), kuri lygi reiškiniui laužtiniuose skliaustuose, vadinama pirmosios rūšies n-tosios eilės Beselio unkija. Beselio unkijos neįmanoma išreikšti analiziškai, tačiau egzistuoja jos verčių lentelės. Be to, daugumoje kompiuterio programų, kurios skirtos matematinių uždavinių sprendimui (MATHCAD, MATLAB ir pan.), Beselio unkija yra viena iš standartinių unkijų. Beselio unkijos pasižymi šia simetrijos savybe: n J n( β ) = ( ) J n( β ). (5.5.7) pav. pavaizduotos įvairios eilės Beselio unkijos. Priedo D lentelėje D- pateiktos įvairių eilių Beselio unkijų vertės, esant įvairioms argumento β vertėms. Pagal (.5.), kompleksinės gaubtinės spektras yra lygus arba n= n ( n m n= G ( ) = δ ) (5.5.8) n= n n= G ( ) = A J ( β ) δ ( n ). (5.5.9) Vadinasi, sinusoide moduliuoto PM signalo (arba kosinusoide moduliuoto FM signalo) kompleksinės gaubtinės spektras sudarytas iš diskrečių linijų ties dažniais, kurie yra moduliavimo signalo dažnio kartotiniai. Vadinasi, gaubtinės dažnių juostos plotis yra proporingas moduliavimo signalo dažniui. Be to, n- m pav. Įvairių eilių Beselio unkijos.