TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

Transcript

1 DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai gretiniai 5 Binominiu oeficientu tapatybės 6 Rėčio principas 7 Netvaru uždavinys 8 Siurjeci saičius 9 Stirlingo saičiai 10 Sirtumo operatorius 11 Laipsninė generuojanti funcija 12 Katalano saičiai 13 Esponentinė generuojanti funcija 14 Reurentieji ryšiai Fibonačio saičiai 15 Bendra reurenčiu ryšiu teorija 16 Sudėtiniu funci Tayloro oeficientai 17 Grandininės trupmenos II GRAFU TEORIJA 1 Pagrindinės voos 2 Mišas ir medžiai 3 Viena optimizavimo problema 4 Grafo parametru ryšiai 5 Grafo planarumas 6 Grafo viršūniu spalvinimo problema 7 Medžiu saičius Priūferio odas 8 Grafu teorijos ir algebros ryšiai 1

2 LITERATŪRA 1 MBloznelis, Kombinatorios pasaitu cilas, Vilniaus universiteto leidyla, PTannenbaumas, RArnoldas, Kelionės šiuolaiine matematia, TEV, Vilnius, PJCameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, RWilson, Introduction to Graph Theory, Longman, 1985 (yra vertimas rusu ) 5 BBollobás, Graph Theory, Springer, LVolmann, Fundamente der Graphentheorie Springer, VNSačov, I vadas ombinatorinius disrečios matematios metodus, Naua, Masva, 1982 (rusu ) I KOMBINATORIKA 1 Natūralieji saičiai Matematinės inducijos principas Suniausia apibrėžti ombinatorios tyrimu objeta Kombinatoriai reitu prisirti uždavinius, nagrinėjančius strutūras, ty aibes su ažoiais vidiniais ryšiais Dažnai pačiu strutūru egzistavimas būna problematišas Jei jos egzistuoja, tada iešoma, ie yra iš viso Kombinatoriai tradicišai prisiriami vairūs algebriniai ryšiai, formulės, uriose nenaudojamos tolydžiosios matematios priemonės išvestinės, integralai Kombinatoria yra labiau linusi siūlyti specifiniu matematios uždaviniu sprendimo būdus, nei savintis pačius tyrimo objetus Ji siūlo principus, metodus, be uriu neišsiverčia šiuolaiinė matematia ar informatia Iš ombinatorios išsiristalizavo atsiros šaos ir tapo disrečiosios matematios disciplinomis Taip atsitio su grafu teorija, odavimo teorija Matematia ir juo labiau informatia nemėgsta dviprasmybiu, negriežtu teiginiu Tad ir šiame urse formaliai rodinėsime sudėtingesnius ar paprastesnius teiginius Be išsamesniu omentaru remsimės matematinės logios urse sužinotais dalyais bei dėsniais Štai pora pavyzdžiu : Neprieštaringumo dėsnis Du vienas itam priešingi teiginiai p ir p vienu metu negali būti teisingi (p p = 0) Trečiojo negalimo dėsnis Iš dvie priešingu teiginiu p ir p vienas visada yra teisingas (p p = 1) Didele urso dal sirsime tam tiru aibiu elementu saičiui nustatyti Siedami universalumo, neišvengsime pasaymu :,,su visais natūraliaisiais saičiais n teisinga, todėl svarbu prisiminti matematinės inducijos principus Jie yla iš paties natūraliu aibės asiominio apibrėžimo Voiečiu matematiui LKroneeriui (LKronecer,??) prisiriamas tos pasaymas:,,dievas suūrė saičius, visa ita yra žmogaus darbas Manoma, ad omenyje buvo turėti natūralieji saičiai Bet ir juos apibrėžiant žmogus vedė tvara Štai bene populiariausios GPeano (Giuseppe Peano, ) asiomos: 2

3 Apibrėžimas Natūraliaisiais saičiais vadiname netuščios aibės N elementus, jeigu tarp ai uriu iš egzistuoja ryšis,,a eina po a, teninantis asiomas: 1) egzistuoja saičius (vadinamas vienetu), neinantis po joio ito saičiaus; 2) po ievieno saičiaus eina ti vienas saičius; 3) ievienas saičius eina ne daugiau aip po vieno saičiaus; 4) aibės N poaibis M sutampa su pačia aibe N, jei jis turi toias savybes: a) 1 M, b) jeigu saičius a prilauso M, tai ir po a einantis saičius a taip pat prilauso aibei M Aibės N elementus 1, 1, (1 ) naujai pažymėime 1, 2, 3, Pasutinė asioma vadinama inducijos asioma, pirma art 1988 metais ja artu su itomis aibės N asiomomis suformulavo voiečiu matematias R Dedeindas (R Dedeind, ), nors pat principa jau naudojo B Pasalis (B Pascal, ) Mūsu urse inducijos principas dažniausiai bus naudojamas toia forma: Tegu p(n) ažos teiginys apie natūralu j n Tarime, ad p(1) yra teisingas, ir iš prielaidos, ad p(n) yra teisingas, sugebame išvesti, ad p(n ) irgi yra teisingas Darome išvada : teiginys p(n) yra teisingas visiems n N Žvilgtelėime, aip asiomišai apibrėžtoje aibėje N galėtume apibrėžti sudėties operacija Apibrėžime a + 1 = a ; toliau, tare, ad a + n žinoma, apibrėžiame a + (n + 1) = a + n = (a + n) Saičiu aibė M = {n} tenina abu 4) asiomos reialavimus, todėl iš jos išplauia, ad M sutampa su natūraliu aibe Kitaip tariant, a + n apibrėžta su visais n Panašiai apibrėžiant daugyba pradedama nuo a 1 = a, b a = a b + a Te siant gaunama algebrinė strutūra N, ty aibė su joje apibrėžtomis algebrinėmis operacijomis Asiomos, žinoma, užsimiršta ir natūraliuosius saičius naudojame, aip Dievo duotus Pastebėime, ad N yra sutvarytoji aibė: a < b apibrėžiama aip,, d N tos, ad a + d = b Galimos ir itos asiomu sistemos Kai uriose iš randame to teigin Archimedo asioma Bet uriai natūraliu porai a, b galima rasti to natūralu j n, ad an > b Šis teiginys išplauia iš Peano asiomu, todėl j reitu vadinti teorema, tačiau taip ir lio istorišai susiloste s pavadinimas Panašiai prigijo ir tos teiginys Mažiausiojo elemento principas Kievienas netuščias natūraliu aibės poaibis turi mažiausia elementa 3

4 Dirichlė (PGL Dirichlet, ) principas Jei m rutuliu yra sudėti n < m dėžiu, tai bent vienoje dėžėje yra 2 ar daugiau rutuliu 2 Dauginimo taisylė Aibe A = {a 1,, a n } vadinsime n aibe Elementu ie aibėje A arba jos galia galima žymėti A arba #A Vartosime pirma j žymen Toliau nagrinėsime, oiais būdais nustatomas vairiu baigtiniu aibiu elementu saičius Atreipime dėmes, ad terminus aibė, poaibis vartojame, ai elementai yra sirtingi, itais atvejais pora, rininys, sistema, visuma Aibės elementus ai ada vadinsime abėcėle, iš sudarytus sutvarytuosius rininius žodžiais Pabrėždami ilg, žod (a i1,, a i ) vadinsime žodžiu Jei A = {a 1,, a n } ir B = {b 1,, b m } yra dvi aibės, tai aibė A B = {(a i, b j ) : a i A, b j B, 1 i n, 1 j m} vadinama Dearto ( René Descartes, ) sandauga Tai sutvarytu poru aibė 1 teorema A B = A B Tarime, ad A yra n aibė, o B m aibė Su fisuotu elementu a i iš poru (a i, b j ) galime sudaryti m poaib, ai j = 1,, m Dabar eisime a i, imdami i = 1,, n Gausime n poru m poaibiu Todėl A B = nm Taiydami matematine inducija, apibendrinite š teigin bet urio saičiaus aibiu Dearto sandaugai: A 1 A s = A 1 A s, s 1 2 teorema Jei abėcėlė A turi n raidžiu, tai galime sudaryti n žodžiu, uriu ilgis yra Pastebėime, ad žodžiu aibė sutampa su Dearto sandauga A A, turinčia daugiliu Todėl teiginys išplauia iš 1 teoremos apibendrinimo 3 teorema Aibės A = {a 1,, a n } poaibiu, saitant ir tuščia j, saičius lygus 2 n Nagrinėime visu poaibiu aibės atvaizd aibėje, sudarytoje iš n žodžiu su,,raidėmis 0, 1 Šis atvaizdis apibrėžtas taip: A P = {a i1,, a i } (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0); čia,,raidė 1 rašyta i s -oje pozicijoje pabrėžiant, ad i s -asis aibės A elementas patena poaib P Atvaizdis yra bijecija Pagal 2 teorema šiu žodžiu aibės galia lygi 2 n ir sutampa su poaibiu aibės galia 4 teorema Jei X = {x 1,, x n } ir Y = {y 1,, y m }, tai funci f : X Y aibės galia lygi m n Kieviena funcija f : X Y galime vienareišmišai išreišti vetoriumi (f(x 1 ),, f(x n )) Kadangi dabar,,raidė f(x j ), 1 j n, imama iš abėcėlės Y, turinčios m raidžiu, teoremos teiginys išplauia iš 2 teoremos Šioje teoremoje išvesta formulė paaišina dažnai naudojama žymen {f : X Y } =: Y X 4

5 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai Abėcėlės A = {a 1,, a n } sirtingu raidžiu žodžius vadinsime gretiniais iš n elementu Jei toio žodžio ilgis yra, tai j vadinsime gretiniu Ju pažymėime A n 1 teorema A n = n(n 1)(n 2) (n + 1) I rodymas aivaizdus Gretinius iš n elementu po n vadinsime ėliniais Išvada Iš viso yra n! ėliniu iš n aibės elementu Raidžiu tvara žodyje yra svarbi Iš visu! žodžiu, sudarytu iš tu pačiu raidžiu, gautume ta pat nesutvaryta j sirtingu raidžiu rinin (poaib ), vadinama deriniu 2 teorema Deriniu iš n po saičius lygus C n = A n! = n!!(n )! I rodymas išplauia iš 1 teoremos ir ėliniu saičiaus formulės Deriniu saičius C n nurodo, ie poaibiu galime išrinti iš n aibės Kadangi = 0, 1,, n, tai pagal 23 teorema gauname tapatybe (1) C 0 n + C 1 n + + C n n = 2 n Čia n bet os natūralusis saičius Išvedant (1) lygybe, buvo panaudotas labai universalus principas: saičiuojant ažoios baigtinės aibės galia eliais būdais rezultatas yra tas pats J sutisite ir ateityje Moslinėje literatūroje vartojami ir toie deriniu iš n po žymemys: Pastara j lengviau apibendrinti ( ) n ( ) n =, n Uždavinys Kie sirtingu piriniu iš preiu sudarytume, jei galėtume rintis iš n preiu rūšiu be apribojimu? Sprendimas Sunumeruoime visas n preiu rūšis ir sudaryime pirinio oda : rašyime tie vienetu, ie imame pirmos rūšies preiu, dėime vertialu brūšn ir te sime š proce Baigsime paraše tie vienetu, ie imsime n-os rūšies preiu Taigi odas atrodys maždaug šitaip: Matome, ad šiame pirinyje yra dvi pirmos rūšies preės, 2-os rūšies preiu nebuvo imta Koda sudarys vienetu ir n 1 vertialus brūšnys Jis vienareišmišai nusao pirin Todėl piriniu galėsime sudaryti tie, ie bus toiu odu Kodai yra n 1 + žodžiai, turintys viena apribojima vienetu, lygu Kadangi vienetu padėtis ode vienareišmišai j nusao, o toiu padėčiu galime išrinti Cn+ 1 būdais, tai šis binominis oeficientas ir yra uždavinio atsaymas 5

6 Paimtas iš n aibės elementu rininys su galimais pasiartojimais vadinamas artotiniu šios aibės deriniu Ju saičius ( ) n + 1 Hn = Cn+ 1 = Pastebėime, ad spre sdami piriniu uždavin, suradome lygties x x n = sprendiniu sveiais neneigiamais saičiais ie Jis irgi lygus H n Apibendrindami jau turima medžiaga, sudarome raidžiu išrinimo iš n abėcėlės lentele : Sutvarytieji rininiai (žodžiai) Nesutvarytieji rininiai Sirtingi gretiniai, A n deriniai, C n Galimi pasiartojimai žodžiai, n artotiniai derin, C n+ 1 4 Kartotiniai gretiniai Apibendrinime Niutono binomo formule (a + b) n = p=0 eldami nežinomu suma n 2 laipsniu Tegu (1) (x x ) n = p ( ( ) n a p b n p, p n p 1,, p ) x p 1 1 xp Čia sumuojama pagal visus vetorius p = (p 1,, p ) su sveiomis neneigiamomis oordinatėmis, teninančiomis lyga p p = n (1) formulėje apibrėžtus oeficientus vadinime polinominiais oeficientais Kai = 2, turime susitarti, ad ( ) ( n p = n p,n p) Teorema Polinominiu oeficientu formulė yra ( ) n = p 1,, p n! p 1! p! Dauginime panariui n nežinomu sumu, imdami x i1 iš pirmosios sumos, x i2 iš antrosios sumos ir tt, x in iš n-osios sumos ir sudėime visas sandaugas (2) x i1 x in 6

7 Kadangi i j {1,, }, 1 j n, tai turėsime n sandaugu (visus n žodžius iš raidžiu x 1,, x ) Sudedant (2) sandaugas, reiia sutrauti panašius narius Jie bus to paties pavidalo, ty (3) x p 1 1 xp, nusaomo vetoriumi p Kie toiu panašiu nariu aip (3)? Raidė x 1 (2) sandaugoje galėjo užimti p 1 pozici iš n galimu, ty buvo ( ) n p būdu 1, x 2 ( n p 1 ) p būdu 2 ir tt Te sdami š proce, gautume ( ) ( ) ( ) n n p1 n p1 p 2 p 1 = p 1 p 2 Čia pasinaudojome binominio oeficiento formule p n! p 1! p! Iš abėcėlės {x 1,, x } sudaryime n žodžius, uriuose x j pasirodytu p j, 1 j, artu Jie vadinami artotiniais gretiniais Ju ie saičiavome rodydami teorema Iš tiesu (2) žodžiu, užrašytu dar ir (3) būdu, saičius buvo polinominis oeficientas Uždavinys Keliais būdais galime susirstyti n aibe nesiertančiu poaibiu, jei reialaujame, ad j-a ja paliūtu p j elementu? Čia p p = n, p j 0, 1 j Sprendimas Pritaiyite teoremos rodyme naudotus samprotavimus Atreipime dėmes šia (1) lygybės išvada : n = p ( n p 1,, p ), gaunama statant x j 1 Čia, aip ir ansčiau sumuojama pagal visus vetorius p = (p 1,, p ) su neneigiamomis omponentėmis, teninančius lyga p p = n 5 Binominiu oeficientu tapatybės Patogu išplėsti binominio oeficiento apibrėžima : ( ) { z z(z 1)(z +1) =!, ai z C, N {0}, 0, ai < 0 1 teorema ( ) ( ) n n =, 0 n n 2 teorema ( ) n + 1 Hn = ( ) n = ( 1), 0 n 7

8 3 teorema ( )( ) n m ( )( ) n n m =, 0 m n m m Visi šie teiginiai patirinami panaudojant binominio oeficiento formule Pvz, 3 teoremos atveju, airioji pusė lygi n!!(n )! = n! m!(n m)!! m!( m)! = n! (n )! 1 m!( m)! (n m)! ( m)!((n m) ( m))! = 4 teorema (Pasalio tapatybė) ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +, 0 n, 1 (n m)! (n m)! = ( )( ) n n m m m ( ) n 1 = 0 n Fisuoime abėcėlės A viena elementa, sayim, a 1 ir visus derinius susirstyim dvi lases: vienos lasės deriniuose tegu bus a 1, itos - ne Pastebėime, ad išvedamos formulės dešinioji pusė - tu lasiu deriniu suma Turime gauti visus derinius iš n elementu 5 teorema ( ) ( ) r + r + n + 1 = n Pritaiyite matematine inducija ir Pasalio tapatybe 6 teorema (Ortogonalumo ryšis) Tegu δ mn - Kroneerio simbolis, ty δ nn = 1 ir δ mn = 0, ai m n Jei m n, tai S nm := ( )( ) n ( 1) = ( 1) m δ mn m =m Pagal 3 teorema S nm = ( )( ) n n m ( 1) = m m =m Paeisime sumavimo inde m = j ir gausime S nm = ( ) n m n ( ) n m ( 1) j+m m j j=0 8 ( ) n n ( ) n m ( 1) m m =m ( ) n = ( 1) m (1 1) n m = 0, m

9 jei m n 7 teorema (Apgre žimo ryšis) Tegu a, b, 0 n - dvi seos Iš vienos iš šiu lygybiu ( ) n bn = ( 1) a, išplauia antroji a n = ( ) n ( 1) b Jei teisinga pirmoji lygybė, tai statydami patiriname antra ja Saičiuojame eisdami sumavimo tvara ( ) n ( )( ( ) n ( 1) b = ( 1) ( 1) m a m = m = ( 1) m a m m=0 n =m ( 1) ( n )( ) m m=0 = a n δ nn = a n Pasutiniame žingsnyje pritaiėme ortogonalumo ryš (6 teorema ) 8 teorema (Harmoniniu savybė) n n = ( ) n 1 ( 1) +1 Dešiniojoje lygybės pusėje esančiam binominiam oeficientui pritaiyime Pasalio lygybe Gauname (1) h n : = ( ) n 1 ( 1) +1 = =1 n =1 = h n 1 + ( 1) n+1 ( n 1 n =1 (( ) ( )) n 1 n 1 1 ( 1) = ) 1 n n + ( ) n 1 1 ( 1) +1 1 =1 Antrasis dėmuo lygus nuliui, saičiuojame trečia j Jis lygus +1 (n 1)! ( 1)!(n )! = 1 n =1 ( ) n ( 1) = 1 n [(1 1)n 1] = 1 n =1 I state (1) lygybe gauname reurentu j ryš h n = h n n 9

10 Kadangi f 1 = 1, pagal matematinės inducijos principa iš jo išplauia h n = n Išvada ( ) n ( 1) +1 h = 1 n =1 Papildyite sumas nuliniais dėmenimis (h 0 = 0) ir pritaiyite apgre žimo formule 6 Rėčio principas Saičiuosime elementu, patenančiu eletos gal būt persiertančiu aibiu junga Apibendrinsime nesuniai suvoiamas formules ir A B = A + B A B (1) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Jiems išvesti paana grafinės iliustracijos Panagrinėime pavyzd, pateita MBloznelio nygutėje, paeisdami saičius Uždavinys Kie sveiu sprendiniu (sutvarytu trejetu (x 0 1, x 0 2, x 0 3), y i 0, i = 1, 2, 3 ), teninančiu lygas turi lygtis 4 x 1 2; 0 < x 2 8; 4 x 3 5, (2) x 1 + x 2 + x 3 = 10? Sprendimas Kadangi esame nagrinėje panašiu lygčiu sveiu neneigiamu sprendiniu, todėl paeičiame nežinomuosius x = y 1, x 2 1 = y 2, x 3 4 = y 3, ir gauname lygt (3) y 1 + y 2 + y 3 = 9 Jos sprendiniu, teninančiu lygas (4) 0 y 1 6; 0 y 2 7; 0 y 3 1, 10

11 bus tie pat ie pradinio uždavinio sprendiniu Jei nebūtu (4) apribojimu, (3) lygtis turėtu ( ) ( ) H3 9 = = = sveiuosius neneigiamus sprendinius Taigi reiia,,atsijoti sprendinius, neteninančius (4) lygu Raide U pažymėime (3) lygties sprendiniu aibe, A 1 jos poaib, neteninant lygos 0 y 1 6, A 2 poaib, neteninant lygos 0 y 2 7, ir A 3 poaib, neteninant lygos 0 y 3 1 Aibiu jungos S := A 1 A 2 A 3 elementus ir reiia išsijoti iš U Liusios aibės U \ S elementai tenina visas (4) lygas Randame sanirtu galias: A 1 A 2 = 0; nes yra vienas sprendinys (7,0,2); Panašiai A 1 A 2 A 3 = 0 Po paeitimo A 1 A 3 = 1, A 2 A 3 = 0 y 1 7 = z 1, y 2 = z 2, y 3 = z 3 A 1 lygus lygties z 1 + z 2 + z 3 = 2 sveiu neneigiamu sprendiniu saičiui, ty A 1 = H 2 3 = 6; panašiai, A 2 = H 1 3 = 3 ir A 3 = H 7 3 = ( ) 9 = 7 I statydami gautuosius saičius (1) formule, gauname uždavinio sprendiniu ( ) 9 = 36 2 U S = 55 ( ) = 11 Trumpesnis elias: iešodami (3) lygties sveiu neneigiamu sprendiniu, sudėime tie vienetu, ie yra 1 = 1 (y 1,y 2,y 3 ) (3),(4) 0 y y y 1 +y 2 9 I žiūrėime šios sumos geometrine prasme Tai ploštumos tašu, uriu oordinatės tenina nurodytas lygas, saičius Brėžinyje gausime tam tira srit Joje, saitant ir ontūra, telpa 11 tašu su sveiomis oordinatėmis Gr žime prie teoriniu dalyu ir rasime elementu jungoje A 1 A n 11

12 Pažymėime a(i) = A i, a(i, j) = A i A j,, a(i 1,, i ) = A i1 A i Čia 1 i < j, i 1 < < i, 1 n Viso yra C 2 n galimybiu parinti nesutvaryta ja sirtingu indesu pora (i, j), panašiai, C n galimybiu parinti sirtingu indesu Trumpumo dėlei apibrėžime sumas S 1 = a(i), S 2 = a(i, j),, S = a(i 1,, i ) i=1 1 i<j n 1 i 1 <i 2 < <i n čia 1 n Pabrėžiame, ad S sumoje sumuojama pagal visus galimus indesu poaibius iš pirmu n natūraliu 1 teorema A 1 A n = S 1 S 2 + S ( 1) n+1 S n Pažymėime U = A 1 A n Fucija I A : U {0, 1} vadinsime poaibio A U indiatoriumi, jeigu I A (x) = 1 tada ir ti tada, ai x A Vadinasi, A = x U I A (x) Todėl a(i) = x U I Ai (x), a(i, j) = x U I Ai A j (x),, a(i 1,, i ) = x U I Ai1 A i (x), 1 i < j, i 1 < < i Vadinasi, Pažymėime S = I Ai1 A i (x), 1 n 1 i 1 <i 2 < <i n x U Z (x) = I Ai1 A i (x) 1 i 1 <i 2 < <i n Sueite sumavimo tvara, šiu žymėjimu dėa gauname S 1 S 2 + S ( 1) n+1 S n = x U 12 ( 1) +1 Z (x) =1

13 Reiia sitiinti, jog ši suma lygi U = x U I U (x) arba rodyti dėmenu lygybe (5) 1 = I U (x) = su ievienu x U Tarime, ( 1) +1 Z (x), =1 x A 1,, A m, bet x A m+1,, A n su ažoiu 1 m n Šiam x gauname ( 1) +1 Z (x) = Z 1 (x) Z 2 (x) + + ( 1) m+1 Z m (x) =1 Sumoje Z (x) yra sudedami 1 ir 0 Vienetu saičius lygus ieiui tu sanirtu A i1 A i, urias sudaro aibės iš rininio {A 1,, A m } Toiu sanirtu yra Cn Vadinasi, ( ) m Z (x) =, o ( 1) +1 Z (x) = =1 = ( ) m 0 (1 1) m = 1 ( ) m 1 ( ) ( ) m m + + ( 1) m+1 = 2 m su ievienu 1 m n Gave (5) lygybe, baigiame 1 teoremos rodyma bll Panaudoje užsieninėje literatūroje dažnai naudojamus žymenis, gauname seant jungimo ir išjungimo principa 2 teorema Tarime, ad A 1,, A n aibės X poaibiai, X := X, X J := i J A i Aibės X elementu, neprilausančiu joiai iš aibiu A i, saičius lygus ( 1) J X J J {1,,n} Jei Ā i := X \ A i, tai nagrinėjamas saičius lygus Ā1 Ān = X \ (A 1 A n ) = X A 1 A n Toliau paana pritaiyti 1 teorema 13

14 7 Netvaru uždavinys Kie yra n eilės eitiniu, uriuose bet os 1 i n paeičiamas j i, 1 j n? Toius ėlinius vadinime netvaringaisiais Kai ada ši problema sutinama inu restorano uždavinio pavadinimu Tada ji formuluojama buitišiau Štai vienas iš galimu variantu n džentelmenu būrelis atvysta pietauti inu restorana Rūbinėje visi atiduoda savo srybėles, urios po pietu gra žinamos atsititinai Koia tiimybė, ad m iš šiu lientu atgavo savo srybėles? Teorema Netvaringu eitiniu saičius lygus Bendras eitinio pavidalas n! ( 1)! ( 1 2 n i 1 i 2 i n Tegu A aibė eitiniu su savybe i =, X visa eitiniu aibė, o Ā = X \A, 1 n Iešomasis saičius pagal 62 teorema lygus (1) Ā1 Ān = X A i + i=1 1 i<j n ) = X S 1 + S 2 + ( 1) n S n A i A j + ( 1) n A 1 A n = Čia, aip ir ansčiau S = A i1 A i 1 i 1 <i 1 <i n Aibiu sanirta šioje sumoje yra sudaryta iš eitiniu, urie paliea vietoje i 1,, i Kitu n elementu eitimui joiu apribojimu nėra Todėl iš viso yra (n )! toiu eitiniu Taigi, ( ) n S = (n )! = (n )! = n!!, 1 i 1 <i 1 <i n nes sumoje buvo C n vienodu dėmenu Kadangi X = n!, tai state gautuosius saičius (1), baigiame teoremos rodyma Kinu restorano uždavinio sprendimas Paana lasiinio tiimybės apibrėžimo: surade, ie yra galimu vyiu, ada m lientu atgauna savo srybėles, š padalijame iš n!, visu galimu vyiu Sunumeruoime džentelmenus bei srybėles nuo 1 ii n Jei j-asis lientas gavo i j -a srybėle, tai eitiniai ( ) 1 2 n i 1 i 2 i n 14

15 žymi visus manomus elementariuosius vyius Mums palanius vyius žyminčiuose eitiniuose sutapimas i j = j turi pasiartoti lygiai m artu, o visu liusiu (n m) lientu aibės indesai turi sudaryti netvaringa j eitin Pagal teorema šis saičius lygus n m (n m)! ( 1)! Kadangi m poaibiu, uriu elementus eitinys paliea vietoje, yra C m n, tai gauname n m n! m!(n m)! (n m)! ( 1) palaniu vyiu Vadinasi, uždavinio atsaymas yra tiimybė 8 Siurjeci saičius n m 1 m! ( 1)! Nagrinėime atvaizdžius f : X Y, ai X = n, o Y = m Iš viso yra tie, ie n žodžiu, sudarytu iš m raidžiu abėcėlės O ie yra siurjeci, ty atvaizdžiu, ada ievienas y Y turi bent viena pirmvaizd iš aibės X? Aišu, lyga m n yra būtina Teorema n aibės m aibe, m n, siurjeci saičius lygus m ( m ( 1) ) (m ) n Jei U visu atvaizdžiu aibė, tai U = m n Tegu Y = {y 1,, y m }, o A j atvaizdžiai, ne gyjantys reišmės y j, 1 j m Pagal ta pačia atvaizdžiu saičiaus teorema gauname A j = (m 1) n, A i A j = (m 2) n,, A i1 A i = (m ) n Čia 1 i < j m, 1 i 1 < i 2 < i m Siurjeci vaizdai yra visi y j, todėl mus dominanti aibė yra lygi aibiu A j papildiniu ii U sanirtai, ty, S := Ā1 Ā2 Ān Pagal praeito syrelio teoremos išvada! (1) S = U S 1 + S 2 + ( 1) m S m 15

16 Čia S 1 = ( ) m (m 1) n, S 2 = 1 state (1) formule, baigiame rodyma Išvada ( ) ( ) m m (m 2) n,, S m 1 = (m m + 1) n, S m = 0 2 m 1 n! = ( ) n ( 1) (n ) n, n 1 Kieviena n aibės siurjecija ja pačia yra ir bijecija, o bijeci saičius sutampa su n eitiniu ieiu Toliau pritaiome teorema, ai n = m 9 Stirlingo saičiai Aibės A saidiniu ( saidiniu) vadiname išraiša (1) A = A 1 A, A j A, A j, A i A j =, 1 i < j n Jungiamu poaibiu tvara čia nesvarbi Tegu P(n, ) visu (1) saidiniu aibė Jos elementu saičius S(n, ) := P(n, ) vadinamas antros rūšies Stirlingo saičiumi (James Stirling, , - šotu matematias) Pastebėime, ad (1) saidinys susije s su aibės A siurjecijomis aibe, tarim, aibe B := {1,, } Tegu Iš 8 syrelio teoremos turime (2) Q(n, ) = Q(n, ) := {f : A B, f siurjecija} ( ) ( 1) j ( j) n j j=0 Iš (2) išvesime patogia formule antros rūšies Stirlingo saičiui S(n, ), 1 n, nustatyti Susitarime, be to, žymėti S(0, 0) = 1 1 teorema S(n, ) = Q(n, )! = 1! ( ) ( 1) j ( j) n j j=0 Jei A = {a 1,, a n }, f Q(n, ), tai pažymėje A j = {a i A : f(i) = j}, 1 j, 16

17 gauname vienintel saidin A = A 1 A Atvirščiai, turėdami to saidin, galėtume apibrėžti daug siurjeci Paatu aibės A j elementus atvaizduoti viena i j taip, ad saičiai i 1,, i sudarytu ėlin Kadangi toiu ėliniu yra!, iš viso gautume! siurjeci Taigi Q(n, ) =!S(n, ) Toliau paana pritaiyti (2) formule Jei B n visu galimu A išraišu, jungiant netuščius poaibius, saičius, vadinamas Belo saičiumi, tai B n = S(n, ) =1 Atreipime dėmes panašuma su ansčiau turėta poaibiu saičiaus formule 2 n = Dabar išvesime viena reurentu j ryš ( ) n 2 teorema Susitarime, ad S(0, 0) = 1 Tada S(n, ) = S(n 1, ) + S(n 1, 1), 1 < n Panašiai aip ir Pasalio teoremos rodyme, visus aibės A saidinius persirime dvi dalis Viena dal sudaryime iš toiu saidiniu, uriuose vienas iš jungiamu poaibiu yra {n} Ju pavidalas bus tos: A = A 1 A 1 {n} Čia poaibiuose A j, 1 1, nėra n Toiu saidiniu bus S(n 1, 1) Kita dal sudarantys liusieji saidiniai gali būti gauti toiu būdu {1,, n 1} saidinius Imime aibės {1,, n 1} = A 1 A, uriu bus S(n 1, ), ir prijungdami paeiliui n prie A j, 1 j, iš ievieno toio saidinio padarytume pradinės aibės A saidiniu Todėl antroje saidiniu grupėje yra S(n 1, ) A saidiniu Sudėje abie lasiu saičius, gauname S(n, ) Išvada Jei 1 n, tai S(n, ) n+1 Pritaiyite inducija Antros rūšies Stirlingo saičiai yra naudingi polinomu algebroje Pažymėime (x) = x(x 1) (x + 1) = 17 ( ) x!, (x) 0 = 1

18 3 teorema Jei S(n, 0) := 0, ai n N, ir S(0, 0) = 1, tai x n = S(n, )(x) x R, n 0, 0 0 := 1 Atvejis n = 0 yra trivialus Tegu toliau n N I rodinėjamos lygybės pusėse yra n laipsnio polinomai, todėl paana ja patirinti daugiau negu n tašu I rodysime, ad ji teisinga su visais natūraliaisiais x n Tuo tislu, nagrinėjame atvaizdžius g : A X := {1, 2,, x} Ju yra x n Š ie saičiuojame itu būdu Tegu Y = g(x) X funcijos g reišmiu aibė Tada g : A Y yra siurjecija Poaibiuose Y gali būti 1, 2,, n elementu Jei Y =, tai gausime Q(n, ) sirtingu siurjeci, atitinančiu sirtingus atvaizdžius g Paeite Y X, vėl gautume sirtingas siurjecijas bei atvaizdžius Vadinasi, visas atvaizdžiu g saičius gali būti užrašomas šitaip: x n = =1 Y X, Y = Q(n, ) Pagal 2 teorema x n = =1 Y X, Y = S(n, )! = S(n, )! =1 Y X, Y = 1 = S(n, )(x), nes aibė X turėjo ( x ) sirtingu poaibiu Jei n N, pagal susitarima S(n, 0) = 0, todėl pastarojoje sumoje galėtume prijungti nulin dėmen, atitinant = 0 Taip gautume teoremoje nurodyta formule Formulė (x) n = s(n, )x, x R, apibrėžia pirmos rūšies Stirlingo saičius s(n, ) 4 teorema (Ortogonalumo ryšis) S(n, )s(, m) = δ mn, m, n 0 =m Pasinaudoime auščiau nagrinėtu polinomu išraišomis per Stirlingo saičius Gauname x n = S(n, )(x) = =1 =1 ( S(n, ) m=0 s(, m)x m ) = 18 ( n m=0 =m =1 ) S(n, )s(, m) x m

19 Palygine polinomu oeficientus prie vienodu x laipsniu, baigiame 4 teoremos rodyma Uždavinys Išvesite reurenčia ja Belo formule ( ) n 1 B n = B n, n N 1 10 Sirtumo operatorius =1 Tiesinėje realiu funci erdvėje F apibrėžime sirtumo operatoriu, ty, atvaizd : F F f(x) = f(x + 1) f(x) Tai tiesinis atvaizdis, nes iš apibrėžimo išplauia lygybės (c 1 f(x) + c 2 g(x)) = c 1 f(x) + c 2 g(x) su bet oiom realiom onstantom c 1, c 2 bei funcijomis f(x), g(x) Naudojant sirtumo operatoriu, galima išvesti nemaža ombinatoriniu ryšiu Pažymėime m = ( m 1 ), ai m 0, 1 = ; 0 = I, čia I tapatusis atvaizdis 1 teorema Bet oiai funcijai f(x) ir m 0 teisingos tapatybės m ( ) m m ( ) m (1) m f(x) = ( 1) f(x + m ) = ( 1) m j f(x + j), j (2) f(x) = m ( m ( 1) (3) f(x + m) = m ) f(x), ( ) m f(x), Pirmoji iš (1) lygybiu rodoma matematinės inducijos pagalba, pasinaudojant Pasalio tapatybe Patirine (1) su m = 0, 1 ir tare ad ji ši lygybė yra teisinga dėl m 1 1, saičiuojame suma m ( ) m m ( ) m 1 S m := ( 1) f(x + m ) = ( 1) f(x + m )+ m ( ) m 1 + ( 1) f(x + m ) 1 Gautose sumose atmete po nulin dėmen, o antrojedar ir paeite 1 = j, gauname m 1 ( ) m 1 S m = ( 1) f ( (x + 1) + (m 1) ) m 1 ( ) m 1 ( 1) j f ( x + (m 1) j ) = m 1 f(x + 1) m 1 f(x) = j 1 j=0 = m 1( f(x + 1) f(x) ) 19

20 Taigi, (1) lygybė yra rodyta Antrosios iš (1) išraišu rodymui paana paeisti sumavimo inde Norėdami išvesti (2) formule, taiome binominiu oeficientu apgre žimo formule ir pirma ja iš (1) lygybiu Mūsu anstesniuose syrelio žymėjimuose imame a m = m f(x) bei b = f(x m ) Pasutinės (3) formulės išvedimui vėl taiome ta pat principa, bet vietoje pirmosios naudojame antra ja išraiša (1) lygybėje Išvada Jei n, m 0, tai m x n = m ( m ( 1) m 0 n := m x n x=0 = ) (x + m ) n ; m ( m ( 1) ) (m ) n Dydžiai m 0 n, m, n 0, vadinami Morgano saičiais Jei m n tai n aibės siurjeci m aibe saičius, ir jei m > n, tai bet oiam x R, m x n = 0 Iš tiesu, ievienas operatoriaus pritaiymas sumažina polinomo x n laipsn vienetu Kai x = 0, iš čia išplauia tapatybė (4) m 0 n = m ( m ( 1) ) (m ) n = 0, m > n Kadangi atveju m > n ir siurjeci saičius lygus nuliui, tai darome išvada, ad Morgano saičiai visada išreišia siurjeci ie Užduotis Panagrinėite postūmio operatoriaus P : F F, apibrėžiamo lygybe P f(x) = f(x + 1) arba P = + I, savybes Ivesite eleta ombinatoriniu formuliu 11 Laipsninė generuojanti funcija Dažnai ombinatorinius objetu išreišiančios seos yra sudėtingos, todėl tyrimui pasiteliama funci teorija Seai prisiriama formali laipsninė eilutė a 0, a 1,, a n, a j R, a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +, vadinama seos generuojančia funcija (lgf) Kai ada šia eilute pavysta susumuoti, rasti gana paprasta funcija, urios Teiloro eilutė tašo x = o aplinoje sutampa su šia generuojančia funcija Kombinatorioje dažnai net nenagrinėjant šios funcinės eilutės 20

21 onvergavimo lausimo, su ja formaliai manipuliuojama, atlieami matematinėje analizėje žinomi veismai (Persaityite MBloznelio nygelės 41 syrel ) Pavyzdžiui, nurodytos viršuje eilutės ir seos {b m }, m 0 generuojančios funcijos sandauga lygi eilutei su c 0 + c 1 x + c 2 x c n x n + c n = a b n, n 0 Analizėje prieš dauginant panariui laipsnines eilutes būtu pasidomėta, ar eilutės onverguoja absoliučiai Daug seu ryšiu, tapatybiu buvo atspėta manipuliuojant su generuojančiomis funcijomis, vėliau griežtai pagrindžiant atlitas operacijas arba rodant juos itais būdais Pasinaudoime binominiu oeficientu ( ) n, 0 n; ( ) n = 0, > n, generuojančia funcija ir išvesime pora formuliu ( ) n + 0 ( ) n x + 1 ( ) n x 2 + = (1 + x) n 2 1 teorema (Vandermondo sūa) Bet uriems natūraliesiems saičiams ir m,, m < n, teisinga lygybė ( ) n ( )( ) m n m = j j j=0 Panaudoje laipsniniu eilučiu (šiuo atveju, polinomu ) dauginimo taisyle, gauname (1 + x) n = (1 + x) n m (1 + x) m = i 0 = ( ( )( n m m i j 0 i,j 0 i+j= ( n m i )) x m Sulygine oeficientus prie x, baigiame teoremos rodyma 2 teorema Su bet oiu n 0 teisinga lygybė ( 1) ( ) n = 1 n ) x i j 0 ( ) m x j = j

22 Integruodami panariui generuojančia funcija gauname u ( ) n u (1 + x) n dx = x dx, I state u = 1, baigiame rodyma 0 1 ( (1 + u) n+1 1 ) = n u teoremos tapatybe palyginite su ansčiau nagrinėtomis harmoniniu savybėmis Matematinėje analizėje yra išvedama apibendrintoji Niutono binomo formulė ( ) u (1 + x) u = x n, x, u R, x < 1 n Čia, aip jau buvo minėta, ( ) u = n u(u 1) (u n + 1), n N {0} n! Funcija (1 + x) u yra apibendrintu binominiu oeficientu generuojanti funcija Matematinėje analizėje išvedamos funci laipsninės eilutės yra oeficientu generuojančios funcijos Taigi, formulės (1) log(1 x) = bei (2) e x = n=0 n=1 x n, x < 1, n 1 n! xn, x R, duoda seu {1/n}, n 1 ir {1/n!}, n 0 laipsnines generuojančias funcijas atitinamai Uždavinys I rodyite Koši tapatybe n n 0 1,, n n n =n j=1 1 j j j! = 1, n 1 Sprendimas Nagrinėjame vienetu seos lgf Naudodami (1) ir (2) formules, gauname x n = 1 { x j } = exp{ log(1 x)} = exp = 1 x j = { } x j exp j j 1 = j 1 22 ( x j 0 j ) 1! j 1

23 Formaliai dauginame eilutes (pagr site!) Dešinėje pusėje gauname 1,, n, 0 x 1 1 x ! 2! = n 0 x n 1,, n n n =n n j=1 1 j j j! Pasutiniame žingsnyje grupavome absoliučiai onverguojančios srityje x < 1 eilutės narius Taylor o oeficientai apibrėžiami vienareišmišai Vadinasi, oeficientas prie x n yra lygus vienetui Laipsniniu generuojančiu eilučiu nauda ypač išryšėja nagrinėjant reurenčia sias seas Vėliau šiuos ryšius panagrinėsime smuliau, dabar apsistosime ties vienu pavyzdžiu 12 Katalano saičiai Atlieant binaria sias algebrines operacijas, pvz, sudėt tena susliausti ir sudėti po du dėmenis paeiliui I sitiinite, ad yra 5 eturiu dėmenu susliaudimo būdai, nemaišant dėmenu tvaros Apibendrinant gauname to rezultata 1 teorema Yra n 2 dėmenu susliaudimo būdu C n = 1 n ( ) 2n 2 n 1 Bet aip susliaudžiant pasutiniame žingsnyje susliaudžiame du dėmenis E 1 + E 2 Jei naryje E 1 buvo dėmenu, tai 1 n 1, o E 2 n dėmenu Pagal saičiaus C apibrėžima, nesiertančiu aibiu jungos elementu formule gauname n 1 (1) C n = C C n, n 2 =1 Susitarime, be to, ad C 0 = 0, C 1 = 1 Rasime seos {C n }, n 0, generuojančiu funcija Apsaičiuojame, naudodami (1), F (x) 2 = n=2 Išsprende vadratine lygt, gauname n=0 ( n 1 C n x n =: F (x) C C n )x n = F (x) x =1 F (x) = 1 2 (1 ± (1 4x) 1/2 ) 23

24 Kadangi F (0) = 0, reiia imti minuso ženla Pasinaudodami apibendrinta ja Niutono binomo formule, eliame laipsniu 1/2, ir sulyginame oeficientus prie x n Gauname C n = 1 ( ) 1/2 ( 4) n = 2 n = (2n 3) (2n 2) = (n 1)!n! ( 4) n n! = Saičiai C n vadinami Katalano vardu 13 Esponentinės generuojančios funcijos Naudojant laipsnines generuojančias funcijas, tena pagr sti onvergavima netrivialioje tašo x = 0 aplinoje Kai oeficientu sea didėja palyginti greitai, to padaryti nepavysta Toio sunumo ai ada pavysta išvengti normuojant oeficientus Panagrinėsime labiausiai naudojama atvej, ai nagrinėjamos seos oeficientai dalijami iš indeso fatorialo Dažnai panašiu normavimu sieiama ir pačiu funci paprastumo Seos {a n }, n 0 esponentine generuojančia funcija (egf) vadinama formali eilutė f(x) := a 0 + a 1x 1! + a 2x 2 2! + + a nx n n! + Taigi vienetu seos egf yra e x, o seos {n!}, n 0, funcija 1/(1 x) Pastebėime pora savybiu, palengvinančiu saičiavimus Tarime g(x) seos {b n }, n 0, egf Lema Jei f(x) - seos {a n } egf, tai f (x) - seos {a n+1 }, n 0 egf Formali suma f(x) + g(x) atlita panariui yra seos {a n + b n }, n 0 egf, o sandauga f(x)g(x) seos ( ) n c n := a b n egf Pirmasis tvirtinimas gaunamas panariui diferencijuojant eilute f(x) Kiti teiginiai matosi atlius nurodytus veismus Panagrinėime eleta pavyzdžiu Pradžioje pritaie egf, rasime netvaringu n eilės eitiniu D n Prisimename atsayma D n = n! ( 1) +1! 24

25 Pradėime tapatybe n! = ( ) n D n, reišiančia, ad eitiniai išsaidyti nesiertančias lases, taip, ad vienoje lasėje esantys eitiniai paliea = 0, 1,, n elementu vietoje Kadangi ( n ) = 0, ai > n, tai pastaroji lygybė ir lema duoda generuojančiu funci lygybe Rade funcijos 1 1 x = ex D(x), D(x) = n-a Taylor o oeficienta, baigiame rodyma D(x) = e x /(1 x) n=0 D n n! xn 1 teorema Tegu S(n, ) antros rūšies Stirlingo saičiai Seos {S(n, )}, n egf lygi F (x) := (ex 1), 1! Naudodamiesi reurenčia ja Stirlingo formule, lygybe S(n, ) = 0, ai n <, saičiuojame F (x) = n S(n, ) xn n! = ( )x n S(n 1, ) + S(n 1, 1) n! = n = S(m, ) xm+1 (m + 1)! + m m 1 xm+1 S(m, 1) (m + 1)! Eilučiu onvergavima užtirina lengvai patirinamas vertis S(n, ) n+1 Diferencijuodami panariui, gauname reurenčia ja formule (1) F (x) = F (x) + F 1 (x) Ja naudodami rodyma baigiame matematinės inducijos būdu Kai = 1, S(n, 1) = 1, todėl norima lygybė išplauia iš esponentinės funcijos sleidinio (2) n 1 x n n! = ex 1 Tare, ad 1 teoremoje užrašyta lygybė yra teisinga su dėl 1 vietoje, iš (1) gauname F (x) F (x) = (ex 1) 1 ( 1)! 25

26 Diferencialiniu lygčiu teorijoje yra rodoma, ad toios lygtys turi ti viena sprendin, pateninant lyga, F (0) = 0 Vadinasi, paana patirinti, ar 1 teoremoje nurodyta funcija tenina šia lygt Išvada Belo seos {B n }, n 1, egf lygi (3) B(x) := exp{e x 1} Pagal lema ir Belo apibrėžima paana sudėti visiems ) teoremoje gautas formules ir pasinaudoti (2) išraiša 2 būdas Iš reurenčiosios formulės ir Lemos išplauia ryšis B n+1 = ( ) n B B (x) = e x B(x) Šios diferencialinės lygties sprendinys su lyga ir yra (3) funcija 2 teorema Tegu s(n, ) pirmos rūšies Stirlingo saičiai Seos {s(n, )}, n egf lygi f (x) := s(n, ) xn n! = 1 ( ), log(1 + x) x < 1, 0! n Lygybės dešinėje esanti logaritminė funcija yra apibrėžta srityje x < 1 Jos Taylor o oeficientai apibrėžiami vienareišmišai Vadinasi, reiia patirinti ar saičiai a(n, ) apibrėžiami lygybe 1 ( ) log(1 + x) =! n a(n, ) x n, n! sutampa su pirmos rūšies Stirlingo saičiais Dauginime pasutine lygybe iš m ir sudėime pagal visus 0 Gauname 0 1 ( ) m log(1 + x) m! 0 n a(n, ) x n n! Kairia ja puse saičiuojame pagal (2) formule, dešinėje eičiame sumavimo tvara Gauname exp{m log(1 + x)} = x n a(n, )m n! n 0 0 n Kadangi airioji pusė yra polinomas (1 + x) m, tai sulygine oeficientus prie vienodu x laipsniu, gauname ( ) m = 1 a(n, )m, n n! 26

27 ai n m Palygine su pirmos rūšies Stirlingo apibrėžimu, matome, ad a(n, ) = s(n, ) 14 Reurentieji ryšiai Pavyzdžiai Nagrinėsime seas, uriu n-tasis narys tam tira formule yra išreišiamas per jos narius su mažesniais indesais Be to, vienetinumui užtirinti nurodoma pirmu seos nariu Toios išraišos vadinamos reurenčiosiomis formulėmis Labiausiai žinomos yra aritmetinė ir geometrinė progresijos nusaomos formulėmis a n = a n 1 + d, a n = qa n 1 atitinamai Čia d yra bet os saičius, o q - saičius, nelygus nuliui ir vienetui Pasalio tapatybė binominiams oeficientams yra dvie indesu seos reurenčiosios formulės pavyzdys Labai daug uždaviniu apie seas yra sprendžiami dviem etapais Pradžioje randami reurentieji jos nariu ryšiai, o vėliau jie yra išnagrinėjami Antrajamaje žingsnyje pritaiomi ombinatorios metodai Taip dažnai elgiamasi n-os eilės determinantu teorijoje Pradėsime nuo itoiu paprastu pavyzdžiu 1 uždavinys I rodyite, ad n ploštumos tiesiu, tarp uriu nėra dvie lygiagrečiu ir bet urios trys iš nesierta viename taše, dalija ploštuma sričiu p n = 1 + n(n + 1) 2 Sprendimas Aivaizdu, ad p 1 = 2, p 2 = 4, p 3 = 7 Taiome inducijos principa Tarime, ad jau išvedėme tiesiu ir nustatėme ploštumos sričiu p Vedame, +1 tiese Keliauime ja nuo tašo, esančio dar ii pirmojo susiirtimo su viena iš pirmu tiesiu Šia srit naujoji tiesė padalijo pusiau, už susiirtimo su pirmaja tiese esančia srit - irgi pusiau Pratese šia elione, matome, ad ieviena nauja sritis dalijama pusiau Kadangi + 1 tiesė irs + 1 sričiu, gauname sričiu saičiaus išraiša p +1 = p + ( + 1) Pritaie inducijos prielaida dėl p, gauname p +1 = 1 + ( + 1) 2 + ( + 1) = 1 + ( + 1)( + 2) 2 Vadinasi, viršuje nurodyta p n formulė yra teisinga su visais natūraliaisiais saičiais n 2 uždavinys (Leonardo Fibonacci) Triušiu pora per antra mėnes atsivedė nauja porele jauniliu ir vėliau as mėnes dar po porele Kitos porelės elgėsi taip pat Pažymėime F n - triušiu poru n mėnesio gale I rodyite, ad F n = ( 5 + 1) +1 (1 5) +1 2 n+1, n

28 Sprendimas Nesunu matyti, ad sea F n (vadinama Fibonačio vardu) tenina reurentu j ryš (1) F n = F n 1 + F n 2, n 2 Išnagrinėime šia lygybe vairiais būdais 1 būdas Iešome laipsninės generuojančios funcijos Φ(x) = F n x n n=0 Kadangi ir tai xφ(x) = F n x n+1 = x + F n 1 x n n=0 n=2 x 2 Φ(x) = F n x n+2 = F n 2 x n, n=0 n=2 Φ(x) xφ(x) x 2 Φ(x) = 1, arba Čia α 1, α 2 - lygties Φ(x) = 1 1 x x 2 = 1 (1 α1 1 x)(1 α 1 2 x) x 2 + x 1 = 0 šanys, ty, α 1 = ( 1 + 5)/2, α 2 = ( 1 5)/2 Pastebėime, ad α 2 = α 1 1 Racionalia ja funcija išsaidome paprasčiausiu trupmenu suma Gauname Φ(x) = A 1 + α 1 x + B 1 + α 2 x = α α 1 x α α 2 x Pasinaudoje begalinės geometrinės progresijos sumos formule, ai x < ( 5 1)/2, gauname Φ(x) = α 1 ( α 1 ) n x n α 2 ( α 1 ) n x n 5 5 n=0 n=0 Sulygine oeficientus prie x n, baigiame F n formulės išvedima 28

29 2 būdas Galima naudoti ir esponentines generuojančias funcijas Perraše (1) formule patogesniu būdu, gauname F m+2 = F m+1 + F m, m 0 Pagal 13 syrelio lema funcija F n Ψ(x) = n! xn tenina diferencialine lygt n=0 Ψ (x) = Ψ (x) + Ψ(x) ir pradines lygas Ψ(0) = Ψ (0) = 1 Diferencialiniu lygčiu teorijoje rodoma, ad pastarojo uždavinio sprendinys yra funcija Ψ(x) = α 1e α 1x α 2 e α 2x 5 Išsleide esponentines funcijas Teiloro eilutėmis, randame n-ta nar 15 Reurentieji ryšiai Bendra teorija Dabar išvystysime bendresne teorija Tarime, ad sea {u n }, n 0 yra apibrėžta r eilės ryšiu (2) u n+r + a 1 u n+r a r u n = 0, n 0, ir pradiniais nariais u 0, u 1,, u r 1 (2) pavidalo formules vadiname tiesiniais homogeniniais reurenčiaisiais ryšiais, o polinomas A(x) = r a j x j, a 0 := 1 j=0 vadinamas charateristiniu polinomu (Galimas ir itos šio polinomo apibrėžimas: Ã(x) = r a r j x j, a 0 := 1, j=0 bet tada tolesnės formulės ompliuojasi) Prisilaiydami mūsu apibrėžimo, ištirime laipsnine generuojančia funcija U(x) = u n x n n=0 1 teorema Sandauga A(x)U(x) yra polinomas r 1 D(x) := d x 29

30 su d = a j u j, 0 r 1 j=0 I rodymas Daugindami A(x) ir U(x) panariui, gauname laipsnine eilute su oeficien- tais (3) d = a j u j j=0 Čia laiome, ad a j = 0, ai j r + 1 Jei r 1, (3) formulė yra iešomoji Imime paeiliui = r, r + 1, ir naudodami (2), sitiinime, ad tada d = 0 Išvada Generuojanti funcija U(x) = D(x)/A(x) yra racionalioji funcija Toliau funcijai U(x) taiysime racionaliu funci teorija C(x) egzistuoja U(x) išraiša paprasčiausiu trupmenu suma Toiu funci ūne (4) U(x) = r i i=1 j=1 l ij (1 λ i x) j Čia λ 1 i C, 1 i, - charateristinio polinomo A(x) šanys, r r - artotinumai, r r = r, o l ij C (4) išraiša galima rasti, jei pavysta rasti A(x) šanis Jei jau turime saidin A(x) = a r (x x 1 ) r 1 (x x ) r, x i C, tai neapibrėžtu oeficientu metodu randame oeficientus A ij teninančius lygybe racionaliu funci ūne U(x) = D(x) r i A(x) = A ij (x x i ) j i=1 j=1 Pastebėime, ad x i 0, nes a 0 = 1 Vadinasi, išėle x i prieš sliaustus, gautume (4) formule 2 teorema Jei U(x) turi (4) išraiša, tai u n = i=1 λ n i r i j=1 ( ) j + n 1 l ij n 0 n I rodymas Pagal apibendrinta ja Niutono binomo formule ( n + j 1 1 (1 λ i x) j = n=0 ( j n ) ( 1) n λ n i x n = 30 n=0 n ) λ n i x n, λ i x < 1

31 I state (4) formulė ir sulygine oeficientus prie vienodu x laipsniu, baigiame 2 teoremos rodyma 2 eilės tiesiniu reurenčiu ryšiu atveju gauname Išvada Tarime, ad sea {u n }, n 0, apibrėžta ryšiu u n+2 + a 1 u n+1 + a 2 u n = 0 ir pradinėmis lygomis u 0 = u 1 = 1 Jei A(x) = a 2 (x x 1 )(x x 2 ), x 1 x 2, λ i = x 1 1, tai u n = c 1 λ n 1 + c 2 λ n 2, o onstantos c 1, c 2 randamos iš pradiniu lygu Jei A(x) = a 2 (x x 1 ) 2, λ = x 1 1, tai u n = c 1 λ n + c 2 nλ n, o onstantos c 1, c 2 randamos iš pradiniu lygu Pavyzdys Rasime seos {u n }, n 0, teninančios etvirtos eilės reurentu j ryš u n+4 2u n+2 + u n = 0, bendra j nar, jei u 0 = u 1 = 1, o u 2 = u 3 = 2 Sprendimas Charateristinis polinomas turi pavidala todėl generuojanti funcija lygi A(x) = x 4 2x 2 + 1, U(x) = D(x) (1 x 2 ) 2 Čia ubinio polinomo D(x) = d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + d 3 x 3 oeficientai saičiuojami pagal 1 teoremoje naudotas formules Gauname Vadinasi, U(x) = d 0 = a 0 u 0 = 1, d 1 = a 0 u 1 + a 1 u 0 = 1, d 2 = a 0 u 2 + a 1 u 1 + a 2 u 0 = 0, d 3 = a 0 u 3 + a 1 u 2 + a 2 u 1 + a 3 u 0 = x (1 x 2 ) 2 = 1 (1 x) 2 (1 + x) = A 1 1 x + A 2 (1 x) 2 + A x Subendravardiline ir sulygine saitiliuose esančius polinomus, randame neapibrėžtuosius oeficientus A 1, A 2, A 3 Gauname 1 = A 1 (1 x 2 ) + A 2 (1 + x) + A 3 (1 2x + x 2 ) 31

32 arba A 1 + A 2 + A 3 = 1, A 2 2A 3 = 0, A 1 + A 3 = 0 Vadinasi, A 1 = 1/4, A 2 = 1/2 ir A 3 = 1/4 Dabar galime pasinaudoti 2 teorema Atsaymas u n = 1 + ( 1)n 4 + n Pastebėime, ad sprendžiant lengviau naudoti 2 teoremos rodymo metoda, negu išvesta sias formules! 16 Sudėtiniu funci Tayloro oeficientu reurentieji ryšiai Praeitame syrelyje, turėdami reurentu j ryš, iešojome bendrojo seos nario Pastarasis dažnai būna sudėtingas ir apsunina saičiavimus Programuojant žymiai paprasčiau naudoti reurenčia sias formules Tai ypač gerai atsispindi saičiuojant sudėtiniu funci Tayloro oeficientus Pradėime nuo pavyzdžio Pavyzdys Rasti funcijos { (1) F (x) = exp j=1 } a j j xj n-a j Tayloro oeficienta, jei a j yra aprėžta realiu sea Sprendimas Laipsninė eilutė po esponentės ženlu absoliučiai onverguoja srityje x < 1 Ja apsiribodami, dauginame žinomus sleidinius F (x) = = Taigi, iešomi oeficientai lygūs (2) b n := j=1 ( n=0 ( aj x j j 1,, n n n =n 1,, n n n =n ) 1! = n j=1 n j=1 a ) j j x n j j! a j j j j!, n 0 Toia ir ja panašios formulės yra labai nepatogios programuotojams 32

33 1 teorema Funcijos F (x) Tayloro oeficientai b n tenina reurentu j ryš n=1 b n+1 = 1 n + 1 a n j+1 b j, b 0 := 1, n 0 j=0 Irodymas Diferencijuodami gauname F (x) = nb n x n 1 = F (x) a l+1 x l = l=0 ( n b j a n j+1 )x n Kadangi funcijos, esančios airėje šios lygybės pusėje, oeficientas prie x n lygus (n + 1)b n+1, apsliaustoji suma yra jo išraiša 2 teorema Funcijos n=0 j=0 ( ) m G m (x) := (A(x)) m := a x, m N, a 0 0 su aprėžtais realiais a j Tayloro oeficientai g n := g n (m) tenina reurentu j ryš ( ) g n+1 = a 1 (m + 1)j 0 m a n j+1 g j, g 0 = a m 0, n 0 n + 1 j=0 Irodymas Vėl diferencijuodami gauname G (x) = ma m 1 (x)a (x) = (n + 1)g n+1 x n Padauginame abi puses iš A(x) ir panariui sudauginame eilutes Kairėje pusėje gauname ma m (x)a (x) = mg m (x)a (x) = n=0 n=0 ( m (n l + 1)g l a n l+1 )x n l=0 Panašiai dešinėje pusėje gauname eilute ( n A(x) (n + 1)g n+1 x n = (l + 1)g l+1 a n l )x n n=0 n=0 l=0 Sulyginame oeficientus prie x n : (l + 1)g l+1 a n l = m (n l + 1)g l a n l+1 l=0 l=0 33

34 Iš čia išsprendžiame g n+1 Gauname (n + 1)g n+1 a 0 = m (n l + 1)a n l+1 g l la n l+1 g l = l=0 l=0 ( ) m(n l + 1) l an l+1 g l l=0 Iš čia išplauia iešoma lygybė Užduotis Rasite funcijos ( log a j x ), j a 0 = 1, j=0 su realiais a j Tayloro oeficientu reurenčia ja formule Pastaruoju atveju funcijos abibrėžimui tetu reialauti, ad po logaritmo ženlu esanti eilutė ne ti onverguotu, bet ir nebūtu lygi nuliui Ir anstesniuose pavyzdžiuose seos a j aprėžtumas gali būti paeistas reialavimu, ad jos laipsninė generuojanti funcija turėtu netrivialia onvergavimo srit Pačios reurenčiosios formulės turi prasme be joiu išanstiniu apribojimu 15 Grandininės trupmenos Reišin α = q q q q q vadiname grandinine trupmena Trumpesnis žymuo: α = [q 0, q 1, q 2,, q ] Čia q 0 Z, q j N, 1 j, o 0 - sveiasis saičius 1 teorema Kieviena racionalu j galime išreišti grandinine trupmena, be to, vieninteliu būdu Irodymas Tegu α = a/b, a Z, b N, - nagrinėjamas racionalusis saičius Pritaiyyime Eulido algoritmo formules a = q 0 b + r 0, 0 < r 0 < b, b = q 1 r 0 + r 1, 0 < r 1 < r 0, r 0 = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 0, r 3 = q 1 r 2 + r 1, 0 < r 1 < r 2, r 2 = q r 1 34

35 Čia q 0 Z, o g j N Nelygybės b > r 0 > r 1 > > r 1 rodo, ad šiu formuliu yra baigtinis saičius Dabar išreišdami paeiliui a b = q 0 + 1, b/r 0 b = q 1 + 1, r 0 r 0 /r 1 r 0 = q 2 + 1, r 1 r 1 /r 2 r 3 = q 1 + r 2 r 2 = q r 1 1 r 2 /r 1, ir statydami auščiau stovinčias formules, gauname norima išraiša Atreipe dėmes tai, ad q j yra tam tiru sveiosios dalys, urios apibrėžiamos vienareišmišai, gauname ir vienaties pag stuma Trupmenu seos δ 0 := P 0 Q 0 := [q 0 ] = q 0, δ 1 := P 1 Q 1 := [q 0, q 1 ], δ 2 := P 2 Q 2 := [q 0, q 1, q 2 ], nariai vadinami artininiais (redutais) Atreipime dėmes tai, ad δ gaunamas iš δ 1 paeičiant q 1 saičiumi q 1 + 1/q 2 teorema Pažymėime P 1 = 1 ir Q 1 = 0 Artiniu saitiliai ir vardiliai tenina šiuos reurenčiuosius ryšius: P = q P 1 + P 2 Q = q Q 1 + Q 2 1 I rodymas Pritaiome inducija Jei = 1, tai P 1 = q 0 q = q 1 P 0 + P 1 ir Q 1 = q 1 = q 1 Q 0 + Q 1 Tare, jog formulės išvestos dėl visu P j, Q j, ai j, imame artin Kaip pastebėjom ansčiau, jis gaunamas iš vietoje q stačius q + 1/q +1 Taigi, δ +1 = P +1 /Q +1 = δ +1 = P +1 /Q +1 δ = P /Q = q P 1 + P 2 q Q 1 + Q 2 ( ) q + 1 q P P 2 ( ) q + 1 = q Q Q 2 = q +1(q P 1 + P 2 ) + P 1 q +1 (q Q 1 + Q 2 ) + Q 1 = q +1P + P 1 q +1 Q + Q 1 35

36 Ta ir reiėjo rodyti Išvada Sea Q, 0, griežtai monotonišai didėja 3 teorema Kai 1, tai ( ) P P det 1 = P Q 1 P 1 Q = ( 1) +1 Q Q 1 Be to, δ δ 1 = ( 1)+1 Q Q 1 I rodymassaičiuodami determinanta pritaiome 2 teorema Jis lygus priešingam determinantui, uriame elementu indesai vienetu yra mažesni Po žingsniu gauname jo reišme : ( 1) (P 0 Q 1 P 1 Q 0 ) = ( 1) (q ) = ( 1) +1 Išvedant antra ja formule, paana subendravardilinti ir pritaiyti a ti gauta lygybe Išvada Teisingos nelygybės δ 0 < δ 1 < < a b < δ 3 < δ 1 Be to, a b δ 1 Q Q +1 I rodymaspaana atidžiau i sižiūrėti i gauta sias formules Pastaroji nelygybė svarbi apytiriam saičiavimui I racionalieji saičiai sleidžiami begalinėmis grandinėmis trupmenomis Ju artiniai turi visas a ti išvardintas savybes Apsiribosime pavyzdžiu Uždavinys Ištrauime vadratine šan iš 5 Sprerndimas Kadangi saičiaus 5 sveioji dalis yra 2, tai 1 5 = 2 + ( 5 2) = 2 + 1/( 5 2), = 4 + ( 5 2) = = 1 1/( 5 2) Ir vėl vardilyje atsirado tos pats saičius Kartodanmi proce, 4 galėtume išsirti norimai ilgai Vadinasi, 5 = [2, 4, 4, 4, ] Pagal reurenčia sias 2 teoremos formules gauname artiniu sea : 2, 9 4, 38 17, , , 36

37 Priešpasutinė parašyta trupmena aprosimuoja 5 tislumu: Aprašytasis algoritmas yra labai greitas Galima būtu rodyti, ad periodinės grandininės trupmenos ir ti jos yra vadratiniu racionalybiu sleidiniai GRAFU TEORIJA 1 Pagrindinės voos Grafas - aibiu pora G = (V, E), čia V - viršūniu aibė, E - nesutvarytu viršūniu poru e := (x, y) =: xy = yx, x, y V arba briaunu (lanu ) aibė Kai poros xy laiomos sutvarytomis, G vadinamas digrafu Viršūnės vaizduojamos tašais, briaunos - jas jungiančiais lanais arba atarpomis Digrafo atveju papildomai nurodoma ir ryptis Kada vietoje briaunu aibės E imamas briaunu rininys (šeima) su pasiartojimais, pora (V, E) vadinama multigrafu J vaizduojant ploštumoje, dvi viršūnės jungiamos atitinamu ieiu briaunu Viršūnės x ir y vadinamos xy briaunos galais arba jai incidenčiomis viršūnėmis Viena itos atžvilgiu jos yra gretimosios (aimyninės) viršūnės Geometrinis vaizdavimas dažnai yra laidinantis, nes sirtingi brėžiniai gali atititi ta pat grafa (žr 1 pav dviem būdais pavaizduota grafa K 3,3 ) Grafai G = (V, E) ir G = (V, E ) vadinami izomorfišais, jei egzistuoja bijecija φ : V V toia, ad su ieviena briauna xy E yra pateninta lyga: xy E φ(x)φ(y) E Multigrafu atveju pastaroji lyga turi būti pateninta ievienai iš artotiniu briaunu, o digrafams atvaizdis φ turi išlaiyti ir briaunos rypt Kai ada grafo (arba digrafo) viršūniu aibėje tena vesti numeracija Tada grafai (digrafai) vadinami numeruotaisiais, o du toie grafai G = (V 1, E 1 ) ir G = (V 2, E 2 ),, čia V i = {v i1,, v in }, vadinami izomorfišais, jeigu grafu ansčiau apibrėžtas izomorfizmas išlaio dar ir numeracija, ty, Φ(v 1j ) = v 2j Pavyzdžiai: eitiniu grafinis vaizdavimas, visu baigtinės aibės atvaizdžiu save grafinis vaizdavimas Apsritai izomorfišus grafus galima sutapatinti, laiyti juos lygiais Nagrinėsime ti baigtinius grafus, ty ti poras (V, E) su baigtinėmis aibėmis V ir E Šiu aibiu galias žymėime V = n 1 ir E = m 0 Jei nebus pasayta priešingai, grafas neturės taip vadinamu ilpu, ty briaunu xx Kadangi grafas neturi artotiniu briaunu, tai m Cn 2 Čia Cn - binominis oeficientas Dažnai toie grafai vadinami paprastaisiais Saičius n vadinams grafo G eile, o m - grafo G didumu Kai m = 0, grafas G vadinamas tuščiuoju (tradicišai žymimas E n ), o ai m = Cn, 2 - pilnuoju Pilname grafe visos viršūnės yra tarpusavyje sujungtos, jis žymimas K n O ie iš viso galima sudaryti n eilės grafu? Numeruotu grafu atvejis yra paprastesnis 37

38 1 teorema Galima sudaryti sirtingu n eilės numeruotu grafu 2 n(n 1)/2 I rodymassaičiuojamu grafu didumai gali būti 0, 1,,,, N := ( n 2) Brėžiant didumo grafa, jo briaunu aibe galėtume parinti iš visos galimos briaunu aibės ( ) N būdu Taigi, sirtingu n eilės grafu gauname 1 + ( ) N ( ) N + + ( ) N = (1 + 1) N = 2 N N Viršūnės x laipsniu (valentingumu) δ(x) laiomas incidenčiu jai briaunu saičius Kai δ(x) = 0, x - izoliuotoji viršūnė Saičiai δ(g) = min{δ(x) : x G}, (G) = max{δ(x) : x G} atitinamai vadinami minimaliuoju bei masimaliuoju grafo laipsniais Kai δ(g) = (G) =:, grafas G vadinamas reguliariuoju (-valenčiu) Pvz, ubinis bei Petersen o grafai (žr 2 pav) yra trivalenčiai Grafas G = (V, E ) vadinamas G = (V, E) pografiu, jeigu V V ir E E Jeigu pografio G briaunu aibėje E yra visos E briaunos, jungiančios V viršūnes, tai G vadinamas V induuotoju pografiu, j žymėsime G[V ] Apibrėšime grafu veismu Tarime, ad G = (V, E) - grafas, x V V ir xy E E Tada ir G V := G[V \ V ] G E := (V, E \ E ) Taigi, grafas G x := G {x} gaunamas iš G išmetant ne ti viršūne x, bet ir jai incidenčias briaunas, o G xy := G {xy} - išmetant ti briauna xy Kai ada tislinga, atėmus iš grafo briauna xy, sutapatinti viršūnes x ir y Ši operacija vadinama grafo sutrauimu Grafas (V V, E E ) vadinamas G = (V, E) ir G = (V, E ) junga, žymima G G Dažniausiai grafu jungoje viršūniu aibėms dar išeliamas reialavimas neturėti bendru tašu Mes taip pat prisilaiysime šio reialavimo Grafu G ir G suma G+G apibrėžiama aip junga, papildomai išvedant visas briaunas, jungiančias V ir V viršūnes Grafa vaizdžiai charaterizuoja vairios lajojimo juo galimybės Viršūniu ir briaunu sea x 0, e 1, x 1,, e, x su e j = x j 1 x j, x j V, j = 0,, vadiname eliu (x 0 x eliu), o - jo ilgiu Kai elyje visos briaunos yra sirtingos, j vadiname trasa Uždara tra (ai x 0 = x ir 2) vadinsime grandine Jeigu elyje (arba trasoje) visos vidinės viršūnės x 1,, x 1 yra sirtingos, j vadiname tau, ir uždara taa, ai 2, - cilu (grandimi) Taus bei cilus žymėsime pereinamu viršūniu sea, pvz, P = x 1 x 2 x 3 x Aivaizdžia pasutine briauna x x 1 cile galime ir nenurodyti Jei grafe egzistuoja grandinė, sudaryta iš visu jo briaunu, tai jis vadinamas Euler io vardu, o jei 38