Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS"

Transcript

1 Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius, Lietuva Vilnius universitetas, 216

2 AS, Vertinimas Kontrolinis 1 (spalis-lapkritis) 1 Kontrolinis 2 (gruodis) 1 Koliokviumas (žiemos sesija, įskaitos metu) 3 Kontrolinis 3 (pavasario sem.) 1 Laboratoriniai (pavasario sem.) 1 Egzaminas (birželis) 3

3 TURINYS Lentelių sąrašas Iliustracijų sąrašas Pagrindiniai žymenys Pratarmė iv v ix ix 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos 1 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai Diferencialinė lygtis ir jos apibrėžimo sritis Diferencialinės lygties sprendiniai Kreivių šeimos diferencialinė lygtis Koši uždavinys Koši uždavinys Sprendinio egzistavimas ir vienatis Ypatingieji sprendiniai Sprendinio tęsinys Diferencialinių lygčiu sistemos n-osios eilės DL suvedimas į n-osios eilės normaliąją DLS n-osios eilės normaliosios DLS suvedimas į n-osios eilės DL Autonominės ir neautonominės DL SKYRIUS. Klasikinės pirmosios eilės diferencialinės lygtys ir jų integravimas DL y = f(x) Sprendinio tęsinys ir elgsena intervalo galuose DL y = g(y) Sprendinio egzistavimo ir vienaties teorema vienmatei autonominei lygčiai Kintamųjų atskyrimo metodas Lygtys pertvarkomos į lygtis su atsiskiriančiais kintamaisiais Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys Homogeninė tiesinė diferencialinė lygtis Nehomogeninė tiesinė diferencialinė lygtis Bernulio ir Rikačio lygtys Bernulio lygtis

4 Dalykinė rodyklė 55 Vardų rodyklė 57 Literatūra 58

5 Lentelių sąrašas

6 Paprastosios Diferencialinės Lygtys vi

7 Iliustracijų sąrašas 1.1 DL y = x(x 2 1) apibrėžimo sritys DL y = 1 x 2 y 2 apibrėžimo sritis DL apibrėžimo sritis ir DL sprendinio grafikas Integralinė kreivė ir jos projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = Kreivę apibrėžiančios funkcijos DL y = y 2 integralinės kreivės DL y = x y integralinės kreivės, kai y > DL xdx + ydy = integralinės kreivės pvz. DL sprendiniai: (a) išreikštinių sprendinių grafikai; (b) neišreikštiniai sprendiniai DL y = cos x integralinės kreivės Parabolių ir elipsių šeimos Koši uždavinys pirmos eilės lygčiai Koši uždavinys antros eilės lygčiai DL y = 3y 2/3 integralinės kreivės. DL ypatingasis taškas ir ypatingasis sprendinys Integralinės kreivės tęsinys iki kompakto krašto Nepratęsiamas į dešinę sprendinys Lygties y = f(x) sprendinio y = ϕ(x) elgsena intervale (a; b], b < + : (a) lim x b f(x) ; (b)lim x b f(x) = +, b x f(ξ) dξ < + ; (c) lim x b f(x) = +, b x f(ξ) dξ = Lygties y = f(x) sprendiniai Lygties y = f(x), f > sprendinių elgsena, kai x Lygties y = g(y) sprendiniai Lygties y = g(y) stacionarieji sprendiniai Lygties y = g(y) sprendinio y = ϕ(x) elgsena, kai y Lygties y = y 2 sprendiniai Lygties y = 3(y 1) 2/3 sprendiniai

8 2.1 Neišreikštinės (y ) 2 = y + 4ay 2 DL sprendiniai Homogeninės TDL integralinės kreivės Monodromijos operatorius Nulinio sprendinio stabilumas Stabilus periodinis sprendinys Bernulio lygties integralinės kreivės

9 Pagrindiniai žymenys įrodymo pabaiga apibrėžimo, pastabos, išvados pabaiga := priskirimo, apibrėžimo žymuo tapatumo žymuo, išdavos sekimo žymuo ( išplaukia ), implikacija ekvivalentiškumo žymuo ( būtina ir pakankama arba tada ir tik tada ) bendrumo kvantorius ( kiekvienas ) egzistavimo kvantorius ( egzistuoja )! egzistavimo ir vienaties kvantorius ( egzistuoja vienintelis ) N {,1,2, } natūraliųjų skaičių aibė Z {,-2,-1,,1,2, } sveikųjų skaičių aibė R realiųjų skaičių aibė R t, R x, R y realiųjų skaičių t-ašis, x-ašis, y-ašis C kompleksinių skaičių aibė x X x yra aibės X elementas, x priklauso aibei X X Y aibių sankirta X Y aibių sąjunga X Y aibių Dekarto sąjunga didėjimo žymuo mažėjimo žymuo iškilumas aukštyn iškilumas žemyn x R n erdvės R n elementas v vektorius x, A vektorius-stulpelis, matrica C tolydžiųjų funkcijų klasė C k tolydžiai k-kartų diferencijuojamųjų funkcijų klasė C glodžiųjų funkcijų klasė D( ) (atvaizdžio, lygties) apibrėžimo sritis R( ) (atvaizdžio) reikšmių sritis

10 1 skyrius Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos Šiame skyriuje susipažinsime su paprastosiomis diferencialinėmis lygtimis ir jų sprendiniais. Suformuluosime pradinį uždavinį. Nagrinėsime diferencialinių lygčių sistemas ir jų ryšį su aukštesniosios eilės diferencialine lygtimi. 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai? Matematikoje funkcija f vadinamas atvaizdis f : R n R, o f(x 1,..., x n) žymima funkcijos reikšmė taške (x 1,..., x n) R n, tačiau dažnai patogu taip žymėti ir pačią funkciją, kai reikia nurodyti jos argumentus. Laikysime, kad visos nagrinėjamos funkcijos yra tolydžios savo argumentų atžvilgiu, t.y. f C(D), čia D yra sritis. Sritimi vadinama atviroji ir jungioji aibė. Jeigu D yra atviroji aibė, tuomet kiekvienas tos aibės taškas yra vidinis. Realiųjų skaičių tiesėje R jungiosios aibės yra intervalai (a; b), [a; b), (a; b], [a; b], a, b R. Sritys yra tik atvirieji intervalai I = (a; b), ( ; b), (a; + ) ir pati tiesė R = ( ; + ). Žymėsime R = [ ; + ], R + = (; + ), R = ( ; ). Sąvoka glodžioji funkcija nėra vienareikšmiškai apibrėžta matematinėje literatūroje. Smooth function (angl.), glatte funktion (vok.) atitinka klasę C, гладкая функция arba непрерывно дифференцируемая функция (rus.) atitinka klasę C 1. Šiame konspekte glodžąja funkcija vadinsime C klasės funkciją, o tolydžiai diferencijuojamas funkcijas atitinka C 1 klasė.? Funkcijos y = f(x) išvestinės gali būti žymimos: y, y, y, y (n), f (x), f (x), f (n) dy (x), dx, d n y, ẏ, ÿ. dxn Tašku virš kintamojo dažniausiai žymėsime funkcijos x = x(t) išvestines pagal kintamąjį t, kurio prasmė dažnai yra laikas, žymėsime ẋ := dx dt, ẍ := d2 x dt 2, x(n) := dn x dt n Diferencialinė lygtis ir jos apibrėžimo sritis Tarkime, kad funkcija F (x, y, p 1,..., p n ) yra tolyžiai diferencijuojama ir būtinai priklauso nuo argumento p n. 1.1 apibrėžimas [Paprastoji diferencialinė lygtis]. Paprastąja diferencialine lygtimi (PDL) vadinama lygybė F (x, y, y,..., y (n) ) =, (1.1) kurioje x yra nepriklausomas kintamasis, y(x) ieškoma (nežinoma) funkcija.

11 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai pavyzdys [Paprastosios diferencialinės lygtys]. PDL pavyzdžiai: y = sin x, y + y xe x 1 =, e y + y x =. 1.2 pavyzdys [Diferencialinės dalinių išvestinių lygtys]. Lygtys y u x x u y =, v t = 2 v x + 2 v 2 y 2 nėra PDL, nes į jas įeina ieškomų funkcijų u(x, y) ir v(t, x, y) dalinės išvestinės. PDL uždaviniuose ieškoma nežinoma vieno kintamojo funkcija, tuo tarpu diferencialinėse dalinių išvestinių lygtyse ieškoma kelių kintamųjų funkcija. Kadangi šiame kurse nagrinėsime tik PDL, todėl trumpai jas vadinsime diferencialinėmis lygtimis (DL). 1.2 apibrėžimas [DL eilė]. Diferencialinės lygties eile vadinama aukščiausios išvestinės eilė diferencialinėje lygtyje. 1.3 pavyzdys [DL eilė]. DL F (x, y, y,..., y (n) ) = yra n-osios eilės, o DL F (x, y, y ) = yra pirmosios eilės. 1.1 pavyzdyje pateiktos pirmosios, trečiosios ir antrosios eilės DL. DL, užrašyta (1.1) pavidalu, vadinama neišreikštine diferencialine lygtimi. Neišreikštinės (1.1) DL apibrėžimo sritis yra sritis D F R n+2, kurioje funkcija F (x, y, p 1,..., p n ) yra tolydi kintamųjų (x, y, p 1,..., p n ) atžvilgiu. Jeigu D F nėra jungioji aibė, tuomet nagrinėsime DL kiekvienoje jungumo aibėje atskirai, t.y. laikysime, kad ta pati lygybė apibrėžia keletą DL. 1.4 pavyzdys [DL apibrėžimo sritis]. DL (y ) 2 + x + y 2 1 = apibrėžimo sritis yra D F = R + R R. 1.5 pavyzdys [Kelios DL]. Lygtis y + xy = apibrėžia dvi DL, kurių apibrėžimo sritys yra D 1 F = R + R + R ir D 2 F = R R R. 1.6 pavyzdys. DL y = x(x 2 1) (1.2) dešinioji pusė turi prasmę ir yra tolydi, kai x [ 1; ] ir x [1; + ] (žiūrėk 1.1 pav.). Vadinasi, turime dvi DL, užrašytas ta pačia formule (1.2), su D F = D 1 = ( 1; ) R R ir D F = D 2 = (1; + ) R R, atitinkamai.? Jeigu lygtis (nebūtinai DL) F (x, y, p 1,..., p n) = (1.3) aprašoma tolydžiai diferencijuojama funkcija F ir taške (x, y, p 1,..., p n ) išpildyta sąlyga F (x p, y, p n 1,..., p n ), (1.4) tuomet (remdamiesi neišreikštinės funkcijos teorema) (1.3) lygtį galima išspręsti p n atžvilgiu taško (x, y, p 1,..., p n) aplinkoje: p n = f(x, y, p 1,..., p n 1 ), (1.5) čia f yra tolydžiai diferencijuojama kintamųjų (x, y, p 1,..., p n 1 ) funkcija.

12 3 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] pav. DL y = x(x 2 1) apibrėžimo sritys. 1.2 pav. DL y = 1 x 2 y 2 apibrėžimo sritis. 1.3 pav. DL apibrėžimo sritis ir DL sprendinio grafikas. 1.3 apibrėžimas [DL kanoninis pavidalas]. DL yra užrašyta kanoniniu pavidalu, jei lygtis išspręsta aukščiausiosios eilės išvestinės atžvilgiu: y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ). (1.6) 1.7 pavyzdys [DL kanoninis pavidalas]. DL y + y xe x 1 = kanoninis pavidalas yra y = y + xe x + 1. Akivaizdu, kad (1.6) DL, užrašytos kanoniniu pavidalu, apibrėžimo sritis yra D F = D f R, čia D f yra sritis, kurioje yra apibrėžta ir tolydi funkcija f(x, y, y,..., y (n 1) ). Sritis D f vadinama išreikštinės DL apibrėžimo sritimi. Kintamųjų (y, y,..., y (n 1) ) erdvė vadinama fazine erdve, o kintamųjų (x, y, y,..., y (n 1) ) erdvė išplėstine fazine erdve. Vadinasi, D f yra sritis išplėstinėje fazinėje erdvėje. 1.1 pavyzdyje pirmoji lygtis yra išreikštinė DL. Pastebėsime, kad trečioji lygtis yra iš esmės neišreikštinė, nes y negalima išreikšti jokia elementariąja funkcija. Pirmoji lygtis yra pavyzdys lygties, kurioje išvestinė yra išreikšta kaip kintamųjų x ir y funkcija (nors dešinioji lygties pusė tiesiogiai nuo y nepriklauso). 1.1 uždavinys. Nustatykite 1.6 pavyzdyje apibrėžtų išreikštinių DL apibrėžimo sritis D f. 1.8 pavyzdys [DL apibrėžimo sritis]. DL y = 1 x 2 y 2 dešinioji pusė apibrėžta uždarame skritulyje {(x, y): x 2 + y 2 1}, o DL apibrėžimo sritis D f yra vienetinis atvirasis skritulys B 2 1(, ) := {(x, y): x 2 + y 2 < 1} su centru koordinačių pradžioje (žiūrėk 1.2 pav.). DL (y ) 2 +y 2 +x 2 1 = (neišreikštinis pavidalas) apibrėžimo sritis D F = R 3. Išreiškiant išvestinę, gaunama išreikštinė DL, užrašyta kanoniniu pavidalu, kurios apibrėžimo sritis D F = D f R = B1 2 (, ) R. Pirmosios eilės DL kanoninis pavidalas dar vadinamas normaliuoju. y = f(x, y) (1.7)

13 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai apibrėžimas [pirmosios eilės DL simetrinis pavidalas]. Jeigu v, w C(D), sritis D R 2 ir v(x, y) + w(x, y), tuomet lygtis v(x, y) dx + w(x, y) dy = (1.8) vadinama tiesine homogenine pirmosios eilės diferencialų lygtimi. Jeigu w(x, y ), tuomet (1.8) DL yra ekvivalenti (1.7) lygčiai dy v(x, y) = = f(x, y) (1.9) dx w(x, y) taško (x, y ) aplinkoje D f. Jeigu v(x, y ), tuomet (1.8) DL yra ekvivalenti lygčiai x := dx dy = w(x, y) v(x, y) = g(y, x) (1.1) taško (x, y ) aplinkoje D g. Pastaroji DL lygtis dar vadinama apverstąja lygtimi lygčiai (1.9). Lygybė (1.8) vadinama DL simetriniu pavidalu. 1.2 uždavinys. Užrašykite DL y = x/y simetrinį pavidalą ir apverstąją DL.? Jeigu pirmosios eilės DL lygtis užrašyta neišreikštiniu pavidalu, tai DL ir ją atitinkanti apverstoji DL užrašomos F (x, y, y ) = ir F (x, y, 1 x ) =, atitinkamai. Kiekvieną antrosios eilės DL galima užrašyti pavidalu F (x, y, y, y (1+(y ) 2 ) 3/2 ) =. (1.11) Paskutinio argumento išraiška (1.11) lygties kairėje pusėje atitinka kreivės (x, y(x)) kreivį. Šią DL atitinka apverstoji DL F (x, y, 1 x, x (1+(x ) 2 ) 3/2 ) =. (1.12) Jeigu duota kreivės parametrizacija (x(t), y(t)), tuomet jos kreivio formulė yra Aukštesnės eilės DL apverstosios DL pavidalas yra dar sudėtingesnis. ẋÿ ẍẏ (ẋ 2 +ẏ 2 ) 3/ uždavinys. Užrašykite DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = apverstąją DL. Kokia lygties prasmė? 1.9 pavyzdys. DL e y + y x = (žiūrėk 1.1 pavyzdys, trečioji lygtis) ir jos negalima užrašyti kanoniniu pavidalu su elementariąja funkcija f, tačiau ši DL parametrizuojama x = ϕ(t) := e t + t, y = ψ(t) := t, t.y. pastarosios funkcijos ϕ ir ψ paverčia lygtį e y + y x = tapatybe e ψ(t) + ψ(t) ϕ(t) ir rank (ϕ (t), ψ (t)) = rank (e t + 1, 1) = 1, t R.

14 5 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 1.4 pav. Integralinė kreivė ir jos projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = 1.? Bendruoju atveju n-osios eilės DL parametrizuotasis pavidalas yra: x = ϕ(t, t 1,..., t n), y = ϕ (t, t 1,..., t n), y = ϕ 1 (t, t 1,..., t n),... y (n) = ϕ n(t, t 1,..., t n). Laikysime, kad šios parametrizacijos Jakobio 1 matricos rank J = n + 1 ir ϕ, ϕ,..., ϕ n C 1 (D ϕ), D ϕ R n+1 t sritis, t = (t, t 1,..., t n). Sritį D ϕ vadinsime n-osios eilės DL, užrašytos parametrizuotuoju pavidalu, apibrėžimo sritimi. Jeigu parametrizuotojo pavidalo funkcijos ϕ, ϕ,...,ϕ n paverčia (1.1) DL tapatybe F ( ϕ(t), ϕ (t),..., ϕ ) n(t), t = (t, t 1,..., t n), tuomet turėsime (1.1) DL parametrizaciją. Nagrinėtame 1.9 pavyzdyje x = e t + t, y = s, y = u, y = t, D ϕ = R 3 = R t R s R u, tačiau kintamieji s, u lygties e y + y x = parametrizacijoje nenaudojami. 1.1 pavyzdys [DL parametrizuotasis pavidalas]. DL e y +y + y y + x 2 = parametrizuojama x = s, y = e t+u + t + s 2, y = u, y = t, D ϕ = R 3 = R t R s R u Diferencialinės lygties sprendiniai Nagrinėkime n-osios eilės DL užrašytą neišreikštiniu pavidalu (1.1). 1.5 apibrėžimas [DL sprendinys]. Tolydžiai diferencijuojama funkcija ϕ C n (I) vadinama DL sprendiniu, jeigu ją įstatę į DL gauname tapatybę. 1 Carl Gustav Jacob Jacobi ( ) vokiečiu matematikas.

15 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 6 Kol kas, apibrėždami sprendinį, laikysime, kad intervalas I yra atvirasis, t.y. I = (a; b) pavyzdys. DL (y ) 2 = 1 neturi sprendinių, o (y ) 2 + y 2 = turi vienintelį sprendinį y pavyzdys. DL y = 1 visi sprendiniai užrašomi funkcijų šeima priklausančia nuo vieno parametro C: ϕ(x) = x + C, C R. 1.6 apibrėžimas [DL integralinė kreivė]. Diferencialinės lygties integraline kreive vadinsime vektorinės funkcijos (y(x), y (x),..., y (n 1) (x)), atitinkančios sprendinį y(x), x I, grafiką. 1.7 apibrėžimas [fazinė trajektorija]. Integralinės kreivės projekciją (vaizdą) į kintamųjų (y, y,..., y (n 1) ) fazinę erdvę vadinsime fazine trajektorija. Integralinė kreivė yra C 1 klasės (vektorinė) funkcija. Fazinei trajektorijai, kuri yra kreivė, galima pridėti rodyklę, rodančią kaip juda projekcijos taškas didėjant x pavyzdys. Funkcija y = sin x yra DL y = y sprendinys. Integralinė kreivė (y, y ) = (sin x, cos x), x R, grafikas braižomas trimatėje erdvėje R x R y R y (žiūrėk 1.4 pav.), ir priklauso lygties apibrėžimo sričiai D f. Integralinės kreivės projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = 1. Funkcija y = e x yra DL y = y sprendinys. Integralinė kreivė y = e x, x R, yra šios funkcijos grafikas. Daugumoje vadovėlių integraline kreive vadinamas aukštesnių eilių diferencialinių lygčių sprendinio grafikas. Mes apibrėžėme tokioms lygtims integralinę kreivę kitaip. Pagal apibrėžimą integralinė kreivė priklauso lygties apibrėžimo sričiai D f išplėstinėje fazinėje erdvėje. Sprendinio grafikas gaunamas kaip integralinės kreivės projekcija į dvimatę plokštumą (x, y). Diferencialinė lygtis bus išspręsta, jei rasime visus jos sprendinius. DL sprendinių radimą vadinsime DL integravimu. Kiekviena n-osios eilės DL nusako bendrą geometrinę sprendinius apibrėžiančių integralinių kreivių sąvybę. Pirmosios eilės DL F (x, y, y ) = apibrėžia koordinačių x, y ir sprendinio grafiko liestinės polinkio sąryšį. Pirmosios eilės DL sprendinio grafikas yra integralinė kreivė. Pavyzdžiui, išreikštinės DL integralinės kreivės liestinės kampo su x ašimi tangentas kiekviename taške lygus DL dešiniosios pusės reikšmei tame taške (žiūrėk 1.3 pav.). Antrosios eilės DL apibrėžia koordinačių, sprendinio grafiko liestinės polinkio ir kreivio sąryšį (žiūrėk(1.11)).? Vienetinis apskritimas plokštumoje R 2 xy su centru koordinačių pradžioje aprašomas (globaliai) neišreikštine glodžiąja funkcija Ψ(x, y) := x 2 + y 2 1 =. Pusplokštumėje y > šio apskritimo dalį galime aprašyti glodžiąja funkcija y = 1 x 2, x ( 1; 1), o pusplokštumėje y < funkcija y = 1 x 2, x ( 1; 1). Tačiau jokia išreikštine funkcija y = ψ(x) negalime aprašyti šio apskritimo taškų ( 1; ) ir (1; ) aplinkoje. Tiesa, šių taškų aplinkoje apskritimas aprašomas funkcijomis x = 1 y 2, y ( 1; 1) ir x = 1 y 2, y ( 1; 1), atitinkamai. Mes pasirinkome

16 7 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] pav. Kreivę apibrėžiančios funkcijos. atviruosius intervalus, kad nekiltų klausimų dėl funkcijų tolydumo ir diferencijamumo apibrėžimų. Beje, funkcija y = 1 x 2, pvz. taške x = 1, yra tik tolydi iš kairės ir šiame taške neegzistuoja net vienpusė išvestinė. Vienetinį apskritimą galima aprašyti parametrizuotuoju pavidalu (x, y) = (cos t, sin t), t (; 2π) arba t ( π; π). Pastebėsime, kad šio vienetinio apskritimo atveju, galima globalioji parametrizacija t [; 2π], nes abi funkcijos x = cos t ir x = sin t yra apibrėžtos t R ir yra periodinės su periodu 2π. Bendruoju atveju globaliosios parametrizacijos gali ir nebūti. Jeigu funkcija Ψ C 1 (G), čia sritis G R 2 xy, (x, y ) G, ir Ψ(x, y ) (, ) (čia gradientas Ψ = ( Ψ x, Ψ y )), tuomet egzistuoja taško (x, y ) aplinka, kurioje funkcija Ψ apibrėžia kreivę, ir ją galima aprašyti trimis būdais (žiūrėk 1.5 pav.): 1) neišreikštine tolydžiai diferencijuojama funkcija Ψ : R 2 R, tiksliau lygybe Ψ(x, y) = Ψ(x, y ) = C; 2) išreikštine tolydžiai diferencijuojama funkcija ψ : I R (arba funkcija y = ϕ x(x), ϕ x C 1 (I x), arba funkcija x = ϕ y(y), ϕ y C 1 (I y)); 3) tolydžiai diferencijuojama vektorine funkcija (ψ, ϕ): I t R 2, t.y. parametrizuotuoju pavidalu (x, y) = (ψ(t), ϕ(t)), ψ, ϕ C 1 (I t), ψ (t ) + ϕ (t ) =, (x, y ) = (ψ(t ), ϕ(t )). Įrodymas remiasi neišreikštinės funkcijos teorema. Kita vertus, kreivę, aprašytą funkcija y = ψ x(x), galima užrašyti neišreištiniu pavidalu Ψ(x, y) := y ψ x(x) =, ir Ψ y = 1. Parametrizuotąją kreivę taško (x, y ) aplinkoje galima užrašyti išreištiniu pavidalu (jei ψ (t ), tai y = ϕ(ψ 1 (x)), čia ψ 1 žymime atvirkštinę funkciją, o įrodymas vėl remiasi neišreikštinės funkcijos teorema). Vadinasi, kreivę (lokaliai) irgi galime užrašyti tiek neišreikštiniu, tiek išreikštiniu, tiek parametrizuotuoju pavidalu. Todėl žemiau pateikti sprendinių apibrėžimai tėra to pačio sprendinio skirtingi užrašymo būdai. 1.8 apibrėžimas [Išreikštinis DL sprendinys]. Funkciją y = ϕ(x), x I R x, vadinsime (1.1) DL išreikštiniu sprendiniu, jei 1) ϕ C n (I); 2) ( x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x) ) D F, x I;

17 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai pav. DL y = y 2 integralinės kreivės. 1.7 pav. DL y = x y integralinės kreivės, kai y >. 1.8 pav. DL xdx + ydy = integralinės kreivės. 3) F ( x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x) ) pavyzdys [Pirmosios eilės DL sprendinys]. DL y = y 2 apibrėžta visoje plokštumoje, t.y. D f = R 2 xy. Funkcija y = 1 yra šios DL sprendinys intervaluose ( ; ) ir (; + ), nes kai x, tai funkcija y = 1 x C1 ir x ( 1 x ) = 1 ( 1 x 2 x )2. Taške x = sprendinys neapibrėžtas, nes jame funkcijos y = 1 reikšmė neapibrėžta (žiūrėk 1.6 pav.). Todėl funkcija x y = 1 apibrėžia du sprendinius: vieną intervale R, kitą R+. Šių x sprendinių integralinės kreivės yra hiperbolės šakos. 1.4 uždavinys. Koks DL y = y 2 sprendinys apibrėžtas visoje R? 1.9 apibrėžimas [Parametrizuotasis DL sprendinys]. Dvi funkcijas x = ψ(t), y = ϕ(t), t I R t (1.13) vadinsime (1.1) DL parametrizuotuoju sprendiniu, jei 1) ψ, ϕ C n (I), ψ ; 2) (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) dψ(t),..., 3) F (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) dψ(t),..., d dϕ(t) dψ(t) (... ( dψ(t) ))) D F, t I; d dψ(t) dϕ(t) (... ( dψ(t) ))) pavyzdys [DL parametrizuotieji sprendiniai]. Srityje y > DL y = x y parametrizuotieji sprendiniai yra (žiūrėk 1.7 pav.) x = C cos t, y = C sin t, t (; π), C >, nes ψ(t; C) = C cos t C 1 (; π), ψ = C cos t = C sin t, ϕ(t; C) = C sin t C 1 (; π), ir d(c sin t) d(c cos t) = C cos t C sin t C cos t C sin t.

18 9 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)]? Jeigu x = x(t), y = y(t), ir ẋ = dx dt y = dy dx = ẏ ẋ, 1.5 uždavinys. Raskite y išraišką., tuomet y = d2 y dx 2 = d dx ( ẏ ẋ ) = 1 ẋ d dt ( ẏ ) ÿẋ ẏẍ = ẋ ẋ 3. (1.14) Jei sprendinys užrašytas neišreiktiniu pavidalu Ψ(x, y) =, tai ne visada galima iš šio sąryšio išreikšti y (ir net x) elementariosiomis funkcijomis. Pavyzdžiui, e y + y x =. 1.6 uždavinys. Ar galima sprendinį, užrašytą formule e x+y + y + x =, išreikšti elementariąją funkcija. 1.1 apibrėžimas [Neišreikštinis DL sprendinys]. Sąryšis Φ(x, y) =, vadinamas DL neišreikštiniu sprendiniu, jeigu jis apibrėžia DL sprendinį y = ϕ(x) arba apverstosios DL sprendinį x = ψ(y). Nagrinėdami DL, visada ieškosime net tik sprendinių y = ϕ(x), bet ir apverstosios DL sprendinių x = ψ(y). Pirmosios eilės DL, užrašytai simetriniu pavidalu (1.8), funkcija Φ(x, y) apibrėžia neišreikštinį sprendinį Φ(x, y) =, jei teisinga tapatybė Φ(x, y) w(x, y) x Φ(x, y) v(x, y). y Kanoninio pavidalo (1.9) atveju neišreikštinį sprendinį apibrėžia tapatybė dφ Φ(x,y) := + Φ(x,y) f(x, y), dx x y o kanoninio pavidalo (1.1) atveju neišreikštinį sprendinį apibrėžia tapatybė dφ dy Φ(x,y) := g(y, x) + Φ(x,y). x y 1.7 uždavinys. Parodykite, kad lygybė e x+y + y + x = apibrėžia DL y = 1 neišreikštinį sprendinį. 1.8 uždavinys. Užrašykite DL, kurios neišreikštinis sprendinys yra e y + y x = pavyzdys [DL neišreikštinis sprendinys]. Funkcija Φ(x, y) = x 2 + y 2 C 2, C > apibrėžia DL dy = x neišreikštinius sprendinius dx y x2 + y 2 C 2 = srityje R 2 xy {(; )}, nes dφ = 2x + 2y( x dφ ), kai y, ir = dx y dy 2x( y ) + 2y, kai x (šiuo atveju sprendžiame apverstąją DL x dx = y ). Integralinės kreivės (apskritimai) pavaizduotos 1.8 pav. dy x Taške (; ) DL neapibrėžta pavyzdys [Antrosios eilės DL sprendiniai]. Nagrinėkime antrosios eilės DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 =, kurios apibrėžimo sritis yra D F = R 4. Funkcija ϕ(x; C 1, C 2) = C (x C 1) 2 yra šios DL sprendinys intervale I = (C 1 1; C 1 + 1): ϕ(x; C 1, C 2) C 2 (I), ϕ x C 1 (x; C 1, C 2) = (1 (x C 1) 2 ), 1/2 ϕ 1 (x; C 1, C 2) = (1 (x C 1) 2 ), 3/2

19 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 1 ir teisinga tapatybė ( 1 ) 2/3 ( 1 (1 (x C 1) 2 ) 3/2 x C 1 (1 (x C 1) 2 ) 1/2 ) 2. Kadangi ϕ(x; C 1, C 2) = C (x C 1) 2 yra DL sprendinys su bet kokiomis C 1 ir C 2 reikšmėmis, todėl gauname sprendinių šeimą (aibę) priklausančią nuo dviejų parametrų. Pastebėsime, kad funkcija ϕ(x; C 1, C 2) = C 2 1 (x C 1) 2 taip pat yra sprendinys su bet kokiomis C 1 ir C 2 reikšmėmis. Tai dar viena sprendinių šeima. DL sprendinių grafikai pavaizduoti 1.9(a) pav. Parametrizuotieji sprendiniai yra (x, y) = (C 1 + cos t, C 2 + sin t), t I = (; π) arba t I = ( π; ) nes ψ = C 1 + cos t, ϕ = C 2 + sin t C 1 (I), ψ = sin t, kai t π,, π. Pasinaudodami (1.14) formulėmis, randame y = cos t sin t, y = 1 sin 3 t. Istatę šias išraiškas į DL, gauname tapatybę ( 1 ) 2/3 ( cos t ) sin 3 t sin t Nagrinėjami parametrizuotieji sprendiniai atitinka išreikštinius sprendinius y = C (x C 1) 2 ir y = C 2 1 (x C 1) 2. Lygybė Φ(x, y; C 1, C 2) (x C 1) 2 + (y C 2) 2 1 = apibrėžia DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = neišreikštinius sprendinius. Jei y C 2, tuomet = 2(y C2), ir galime užrašyti sprendinių išreikštinius pavidalus Φ y y = C 2 ± 1 (x C 1) 2, x (C 1 1; C 1 + 1). Perrašykime DL pavidalu (1.11) ( y ) 2/3 = 1. (1 + (y ) 2 ) 3/2 Tada neišreikštinis apverstosios DL (žiūrėk (1.12)) pavidalas yra ( ) x 2/3 = 1. (1 + (x ) 2 ) 3/2 Ši DL sutampa su duotąja DL. Vadinasi, neišreikštiniai DL sprendiniai yra visi plokštumos vienetiniai apskritimai (žiūrėk 1.9(b) pav.). Dažniausiai DL lygtis turi begalo daug sprendinių, ir jie sudaro sprendinių šeimas, priklausančias nuo keleto konstantų pavyzdys [DL sprendiniai]. Lygties y = y sprendiniai yra y = C 1ch x + C 2sh x su C 1, C 2 R. Šie sprendiniai sudaro kreivių šeimą, priklausančią nuo dviejų konstantų C 1, C 2.

20 11 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] y ( C 1, C 2 ) x -1-1 (a) (b) 1.9 pav pvz. DL sprendiniai: (a) išreikštiniu sprendiniu grafikai; (b) neišreikštiniai sprendiniai. 1.1 pav. DL y = cos x integralinės kreivės. Konstantos C 1,..., C n, įeinančios į DL sprendinio išraišką, vadinamos laisvosiomis. Šios konstantos gali įgyti bet kokias reikšmes, o kartais ir begalinę reikšmę, t.y.. Laisvųjų konstantų skaičius gali būti įvairus ( n), bet dažniausiai lygus n. 1.9 uždavinys. Pateikite pavyzdį antros eilės DL, kurios visų spendinių šeima priklauso tik nuo vienos laisvosios konstantos apibrėžimas [Bendrasis DL sprendinys]. Bendruoju n-osios eilės DL sprendiniu vadinsime DL sprendinių šeimą y = ϕ(x; C 1,..., C n ), priklausančią nuo n laisvųjų konstantų C 1,..., C n, ir pasižyminčia savybe, kad sistema y = ϕ(x; C 1,..., C n ), y = ϕ (x; C 1,..., C n ), (1.15)... y (n 1) = ϕ (n 1) (x; C 1,..., C n ) yra vienareikšmiškai išspendžiama laisvųjų konstantų atžvilgiu: C 1 = ψ 1 (x, y,..., y (n 1) ),... (1.16) C n = ψ n (x, y,..., y (n 1) ). Bendrasis sprendinys gali būti užrašytas parametrizuotu pavidalu arba neišreikštiniu pavidalu x = ϕ(t; C 1,..., C n ), y = ψ(t; C 1,..., C n ), (1.17) Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =. (1.18) Pastaruoju atveju, sprendinių šeima dar vadinama bendruoju integralu. Iš bendrojo sprendinio (bendrojo integralo), imdami konkrečias C 1,..., C n reikšmes, gauname atskirąjį sprendinį (atskirąjį integralą).

21 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai pavyzdys. Funkcija y = sin x + C yra DL y = cos x bendrasis sprendinys, o y = sin x, y = sin x 2, y = sin x + 1 atskirieji sprendiniai (žiūrėk 1.1 pav.). 1.2 pavyzdys. DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = sprendiniais yra dvi bendrųjų (išreikštinių) sprendinių šeimos: y = C 2+ 1 (x C 1) 2 ir y = C 2 1 (x C 1) 2. Pavyzdžiui, pirmosios šeimos atveju, sistema y = C (x C 1) 2, y x C 1 = 1 (x C1) 2 yra vienareikšmiškai išspendžiama laisvųjų konstantų atžvilgiu: C 1 = x + y 1 + (y ) 2, C2 = y (y ) 2. Abi šias sprendinių šeimas galima apibrėžti vienu bendruoju integralu (x C 1) 2 + (y C 2) 2 = 1, C 1, C 2 R, kuris taip pat aprašo ir bendruosius sprendinius x = C 1+ 1 (y C 2) 2 ir x = C 1 1 (y C 2) 2 apverstajai DL. 1.1 uždavinys. Nustatykite DL eilę ir patikrinkite, ar duotoji funkcija (funkcijos) apibrėžia sprendinį: a) y + 9y =, y = C 1 cos(3x) + C 2 sin(3x); b) y, 5y =, y = Ce x/2 2; c) y = 2xy, ye x2 = C; d) y = x, y = Cch t, x = Csh t; y e) y = x + sin x, y = x3 sin x + C; 6 f) y = e x2, y = x e ξ2 dξ + C uždavinys. Patikrinkite, ar 1.1 uždavinio sprendiniai apibrėžia bendruosius sprendinius arba integralus Kreivių šeimos diferencialinė lygtis Jeigu spręsdami n-eilės DL radome jos bendrąjį sprendinį (integralą), tuomet turime kreivių šeimą, priklausančią nuo n laisvųjų konstantų. Pabandykime spręsti atvirkštinį uždavinį. Sakykime, duota kreivių šeima, apibrėžta lygtimi Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =. Sudarome sistemą Ψ (x, y; C 1,..., C n ) Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =, Ψ 1 (x, y, y ; C 1,..., C n ) Ψ x... + Ψ y y =, Ψ n (x, y, y,..., y (n) ; C 1,..., C n ) Ψn 1 x + Ψn 1 y y + + Ψn 1 y (n) =. y (n 1)

22 13 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] Eliminuodami konstantas C 1,..., C n, gautume šios kreivių šeimos n-osios eilės DL pavyzdys [vienetinių apskritimų šeima plokštumoje]. Visų vienetinių apskritimų šeimos plokštumoje lygtis yra (x C 1) 2 + (y C 2) 2 = 1. Diferencijuodami šią lygtį pagal kintamąjį x du kartus, gauname Randame 2(x C 1) + 2(y C 2)y =, 2 + 2(y ) 2 + 2(y C 2)y =. x C 1 = 1 + (y ) 2 y, y C y 2 = 1 + (y ) 2. y Įstatome šias išraiškas į apskritimų lygtį, gauname vienetinių apskritimų plokštumoje DL (1 + (y ) 2 ) 3 = (y ) 2. Kreivių šeima priklausanti tik nuo vieno parametro vadinama vienaparametrine kreivių šeima pavyzdys [Vienaparametrinių kreivių šeimos]. Žemiau pateikta keletas vienaparametrinių kreivių šeimų: Sistema 1. Φ(x, y, C) := x + y + C = apibrėžia lygiagrečių (tiesei y = x) tiesių šeimą; 2. Φ(x, y, C) := y Cx 2 = parabolių šeimą (žiūrėk 1.11 pav.); 3. Φ(x, y, C) := x 2 /2 + y 2 C 2 = koncentrinių elipsių su centru koordinačių pradžioje ir ašimis C 2 ir C šeimą (C > ) (žiūrėk 1.11 pav.). Φ(x, y, C) =, Φ x Φ dy (x, y, C) + y (x, y, C) dx =. ir yra vienaparametrinių kreivių šeimos DL, tiesa, užrašyta parametriniu pavidalu (parametras C). Vienaparametrinės kreivių šeimos DL sudaroma eliminuojant parametrą C pavyzdys [Kreivių šeimos DL]. Surasime 1.22 pavyzdžio kreivių šeimų DL: { x + y + C =, y = 1; y = { { y Cx 2 =, C = y/x 2, y = 2y 2xC + 1 y = y x = 2xC ; { x 2 /2 + y 2 C 2 =, y = x x + 2y y 2y =.

23 2. Koši uždavinys pav. Paraboliu ir elipsiu šeimos pav. Koši uždavinys pirmos eilės lygčiai pav. Koši uždavinys antros eilės lygčiai. Jeigu iš lygties Φ(x, y, C) = pavyksta išreikšti parametrą C = Ψ(x, y), tuomet šiai vienaparametrinei šeimai DL yra Ψ Ψ dy (x, y) + (x, y) x y dx = uždavinys. Suraskite vienaparametrinių kreivių šeimų DL: a) xy = C; b) e 3x y = C; c) y = e Cx2 ; d) y = Cxe x. Taikymuose dažnai reikia surasti kreivių šeimą, kertančią duotąją kreivių šeimą tam tikru kampu θ (pvz., stačiu). Tokios kreivių šeimos vadinamos izogonaliosiomis (ortogonaliosiomis, kai θ = π/2) trajektorijomis. Sakykime, duotosios kreivių šeimos ir jai izogonaliosios kreivių šeimos DL yra y = f(x, y), y = g(x, y), atitinkamai, o θ 2 ir θ 1 yra kampai, atitinkantys kryptis, kurias apibrėžia DL dešiniosios pusės. Tada funkcijos f ir g susijusios lygybe g f 1 + gf = tg θ 2 tg θ 1 = tg (θ 2 θ 1 ) = tg θ, 1 + tg θ 2 tg θ 1 jei θ π/2, (1.19) 1 + gf =, jei θ = π/2. (1.2) 1.24 pavyzdys [Ortogonaliosios trajektorijos]. Surasime ortogonaliąsias trajektorijas parabolių šeimai y = Cx 2, kurios DL y = 2y/x jau radome (žiūrėk pavyzdžius). Tada ortogonaliosios šeimos DL yra y = x/(2y). Kaip matėme, šios DL sprendiniais yra elipsių x 2 /2 + y 2 = C 2 šeima (žiūrėk pavyzdžius). Šios ortogonaliosios trajektorijos pavaizduotos 1.11 pav uždavinys [Ortogonaliosios trajektorijos]. Raskite ortogonalių trajektorijų DL šioms vienaparametrinėms kreivių šeimoms (pabandykite išspręsti gautas DL ir surasti šias trajektorijas): a) x 2 y 2 = C 2 ; b) x 2 + y 2 = C 2 ; c) y = Cx 3 ; d) x 2 + (y C) 2 = C uždavinys [Izogonaliosios trajektorijos]. Raskite izogonaliųjų su θ = π/4 trajektorijų DL apskritimų šeimai x 2 + y 2 = C 2. Pabandykite išspręsti gautą DL ir surasti trajektorijų šeimą.

24 15 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 2. Koši uždavinys Kaip matėme, DL dažniausiai turi be galo daug sprendinių. Norint išskirti kurį nors vieną sprendinį, reikia pareikalauti, kad sprendinys tenkintų papildomas sąlygas Koši uždavinys Jeigu sprendžiama n-osios eilės DL F (x, y, y,..., y (n) ) =, (2.1) tuomet tokiomis sąlygomis laikomos išreikštinio sprendinio ir jo išvestinių iki (n 1)-os eilės reikšmės, kai x = x : y(x ) = y, y (x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1). (2.2) DL su tokiomis sąlygomis vadinama Koši 2 (pradiniu) uždaviniu, o pačios sąlygos pradinėmis. Pradinę sąlygą apibrėžia taškas (x, y, y,..., y (n 1) ), kuris priklauso D f, jei DL užrašyta kanoniniu pavidalu uždavinys. Patikrinkite, kad y = Ce x2 yra DL y = 2xy sprendinys. Raskite integralinę kreivę, einančią per tašką (1, 4) pavyzdys. Koši uždavinys y = y/x, y() = 2 neturi išreikštinio sprendinio, nes taške x = DL neapibrėžta. Koši uždavinys apverstajai DL x = x/y, x(2) = turi sprendinį x. Ypač lengva spręsti Koši uždavinį, jeigu žinomas DL bendrasis sprendinys ir nėra kitų sprendinių. Šiuo atveju, bendrojo sprendinio sąvoka garantuoja, kad Koši uždavinys turi vienintelį sprendinį, nes iš (1.15) sistemos galime vienareikšmiškai rasti laisvąsias konstantas. Bendrasis sprendinys y = ϕ(x; x, y, y,..., y (n 1) ) (2.3) yra vadinamas bendrojo sprendinio Koši pavidalu pavyzdys. DL y = 2xy bendrojo sprendinio Koši pavidalas yra y = y e x2 x 2, o DL y + y = šis pavidalas yra y = y cos(x x ) + y sin(x x ). 2 Augustin Louis Cauchy ( ) prancūzu matematikas.

25 2. Koši uždavinys Sprendinio egzistavimas ir vienatis Kanoninei n-os eilės DL y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) (2.4) Koši uždavinio sprendinio egzistavimui pakanka, kad f C(G) srityje G D f R n+1 [18]. 1.1 teorema [Peano 3 ]. Tarkime, funkcija f yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja (2.4) lygties sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis (2.2) pradines sąlygas. Tačiau šios teoremos salygų neužtenka Koši uždavinio sprendinio vienačiai [8, 17, 18]. 1.2 teorema [Pikaro 4 ]. Tarkime, funkcija f ir jos dalinės išvestinės f y,..., f tolydžios srityje G. Tada egzistuoja vienintelis (2.4) lygties sprendinys y (n 1) y = ϕ(x), x I, tenkinantis pradines (2.2) sąlygas pavyzdys. Funkcijos y = sin x ir y = cos x yra DL y +y = sprendiniai. Šių dviejų sprendinių grafikai kertasi, tačiau šie sprendiniai nesutampa jokiame intervale (žiūrėk 1.13 pav.) uždavinys. Ar kertasi šio pavyzdžio integralinės kreivės? Panaši teorema teisinga ir (2.1) lygčiai srityje G D F [8]. Jos įrodymas išplaukia neišreikštinės funkcijos sąvybių (žiūrėk (1.3) (1.5) ) ir 1.2 teoremos. 1.3 teorema. Tarkime, funkcija F C 1 (G) ir taške (x, y, y,..., y(n) ) G išpildytos sąlygos F (x, y, y,..., F y(n) ) =, y (n) (x, y, y,..., y(n) ). Tada egzistuoja (2.1) lygties vienintelis sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis (2.2) pradines sąlygas. 1.4 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f C 1 (G), tuomet Koši uždavinio (2.4), (2.2) sprendinys ϕ(x; x, y, y,..., y (n 1) ) apibrėžtas, tolydus ir ϕ C 1 kiekvieno taško (x ; x, y, y,..., y (n 1) ) aplinkoje. Pikaro teoremą ir tolydžią priklausomybę nuo pradinės sąlygos įrodysime vėliau, bet jau dabar jomis naudosimės. Šios trys teoremos sprendinio sąvybes formuluoja lokaliai. Sritis G D f, kurios visuose taškuose Koši uždavinio sprendinys yra vienintelis, vadinsime DL sprendinio vienaties sritimi. DL dvi integralinės kreivės, sutampančios viename DL sprendinio vienaties srities G taške, sutampa visoje šioje srityje. Antros eilės DL tokiems sprendiniams integralinės kreivės sutaps, jeigu bendrame taške abu sprendiniai turės tą pačią liestinę. 3 Giuseppe Peano ( ) italu matematikas. 4 Émile Picard ( ) prancūzu matematikas.

26 17 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] G K K pav. DL y = 3y 2/3 integralinės kreivės. DL ypatingasis taškas ir ypatingasis sprendinys pav. Integralinės kreivės tęsinys iki kompakto krašto pav. Nepratęsiamas į dešinę sprendinys pavyzdys. Rasime DL y = 3y 2/3 integralinę kreivę, einančią per tašką (1, 1). Atitinkamas Koši (pradinis) uždavinys yra y = 3y 2/3, y(1) = 1. Patikriname, kad funkcija y = (x C) 3 yra DL sprendiniai. Įstatome pradines sąlygas: 1 = y(1) = (1 C) 3 C = (kitos šaknys yra kompleksinės). Vadinasi, šis Koši uždavinys turi sprendinį y = x 3 (žiūrėk 1.14 pav.). Rasime integralinę kreivę, einančią per tašką (, ). Per šį tašką eina jau rasta integralinė kreivė y = x 3, ir dar viena papildoma integralinė kreivė y. Vadinasi, šiuo atveju, Koši uždavinio sprendinys nėra vienintelis, ir šis taškas nepriklauso DL sprendinio vienaties sričiai uždavinys. Raskite 1.28 pavyzdžio DL sprendinio vienaties sritį (sritis) apibrėžimas. DL sprendinys, per kurio kiekvieną tašką eina tik vienas tos DL sprendinys, vadinamas atskiruoju sprendiniu uždavinys. Raskite Koši uždavinio sprendinius, jei žinomas bendrasis sprendinys arba bendrasis integralas: a) y = y, y(1) = 1; yx = C; x b) y = 1 x, y(1) = ; xey = C; c) y = 1, y() = 1, y () = 3 2 ; y = x2 2 d) y = x + sin x, y() = 1, y () = 1; y = x3 3 e) y = x y, y(3) = 4; y2 + x 2 = C. + C1x + C2; sin x + C1x + C2; 2.3. Ypatingieji sprendiniai

27 2. Koši uždavinys 18 DL gali turėti sprendinių, kurių taškuose neišpildyta vienaties sąlyga. Nagrinėtame 1.28 pavyzdyje sprendinio y negausime iš bendrojo sprendinio (kubinių parabolių šeimos) y = (x C) 3 su jokia konstanta C R (žiūrėk 1.14 pav.) uždavinys. Raskite 1.28 pavyzdžio DL visus sprendinius, kuriems neišpildyta vienaties sąlyga apibrėžimas [Ypatingasis taškas]. Ypatingaisiais taškais vadinsime tuos integralinės kreivės taškus, kuriose neišpildyta sprendinio vienaties sąlyga apibrėžimas [Ypatingasis sprendinys]. Ypatinguoju sprendiniu vadinsime sprendinį, kurio kiekvienas taškas yra ypatingasis taškas. Kai kanoninės (2.4) DL dešiniosios pusės funkcija yra tolydi ir turi dalines išvestines pagal kintamuosius y, y,..., y (n 1), jos ypatingieji sprendiniai gali būti tik tie, kuriuose tenkinama bent viena sąlyga: f y =,..., f =. y (n 1) Neišreikštinės (2.1) DL atveju, kai F C 1 (G), ypatingais gali būti sprendiniai F apibrėžti ir lygybėmis F =, =. y (n) 1.2 uždavinys. Patikrinkite, kad DL turi duotuosius sprendinius ir suraskite ypatinguosius sprendinius: 2.4. Sprendinio tęsinys a) y = 2 y, y = x C (x C); b) (y ) 2 + y 2 = 1, y = sin(x C). Jeigu sprendinys yra apibrėžtas intervale I, tai jis bus sprendinys ir intervale J I apibrėžimas [integralinės kreivės tęsinys]. Integralinę kreivę intervale I vadinsime integralinės kreivės intervale J I tęsiniu, o integralinę kreivę intervale J integralinės kreivės intervale I siauriniu. Koši uždavinio su pradinėmis sąlygomis (2.2) integralinė kreivė pratęsiama pirmyn (atgal) iki aibės Γ G D f, jeigu egzistuoja sprendinys su tomis pačiomis pradinėmis sąlygomis, kurio integralinė kreivė kertasi su Γ taške x x (x x ). Integralinė kreivė pratęsiama pirmyn (atgal) neaprėžtai, jeigu visiems x x (x x ) egzistuoja sprendinys su tomis pačiomis pradinėmis sąlygomis. Laikysime, kad sprendinys turi tęsinį, jeigu jo integralinė kreivė turi tęsinį. Vietoje pirmyn (atgal) taip pat naudosime terminus į dešinę (į kairę). Jeigu sprendinys pratęsiamas iš atvirojo intervalo (a; b) į intervalą (a; b] ([a; b)), tuomet tokį tęsinį vadinsime dešiniuoju (kairiuoju) plėtiniu. Sprendinys, kurio negalima pratęsti nei į kairę, nei į dešinę, vadinamas pilnuoju sprendiniu, o intervalas J vadinamas sprendinio egzistavimo maksimaliuoju intervalu. Toliau pagal nutylėjimą sprendinį suprasime kaip pilnąjį.

28 19 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)]? Aibė K R n vadinama kompaktu, jeigu ji yra uždara ir aprėžta. Jeigu kompaktą padengsime atvirųjų aibių denginiu, tuomet galima išrinkti baigtinį podenginį. Ši kompakto savybė Hausdorfo 5 topologinėse erdvėse naudojama kaip kompakto apibrėžimas. Didžiausia atviroji aibė, priklausanti aibei A vadinama aibės A vidumi, o mažiausia uždaroji aibė, dengianti aibę A vadinama aibės A uždariniu. Aibės A uždarinio taškai, kurie nepriklauso aibės A vidui, sudaro aibės A kraštą A. 1.5 teorema [apie sprendinio tęsinį]. Tarkime, K G D f yra kompaktas ir pradinė sąlyga (x, y, y,..., y (n 1) ) K ir f C 1 (G). Tada integralinė kreivė pratęsiama iki kompakto krašto ir toks pratęsimas yra vienintelis. Teorema teigia, kad per kiekvieną vidinį kompakto tašką eina vienintelė integralinė kreivė, kuri pratęsiama iki kompakto krašto (žiūrėk 1.15 pav.). Tęsinio vienatis suprantama ta prasme, kad dvi integralinės kreivės su tą pačia pradine sąlyga sutampa visur kur jos apibrėžtos pavyzdys. Koši uždavinio y = y 2, y() = 1, sprendinys užrašomas išreikštine funkcija y = 1/(1 x). Šį sprendinį galima pratęsti atgal (į kairę) neaprėžtai, tačiau negalima pratęsti pirmyn (į dešinę) iki tiesės x = 1, t.y. maksimalusis intervalas yra ( ; 1). Teorema apie tęsinį lieka teisinga. Jeigu kompaktas yra uždarasis stačiakampis [a; 1] [; b], tai sprendinys pratęsiamas į kairę iki stačiakampio kraštinės x = a su bet kokiu a <, t.y. visiems x, ir sprendinys pratęstas pirmyn (į dešinę) pasieks tik viršutinę stačiakampio kraštinę kokį b > 1 bepaimtume (žiūrėk 1.16) ir niekada nepasieks dešiniosios kraštinės. 1.3 pavyzdys. Koši uždavinio y = y, y() = 1, sprendinys užrašomas išreikštine funkcija y = e x. Šį sprendinį galima pratęsti atgal ir pirmyn neaprėžtai, nes su bet kokiu a > sprendinys kirs kairiąją ir dešiniąją uždarojo stačiakampio [ a; a] [; e a + 1] kraštines. 3. Diferencialinių lygčių sistemos Apibendrinsime DL lygties savoką DL sistemoms, t.y. nagrinėsime vektorinę DL F (x, y, y,..., y (m) ) =, (3.1) čia y = (y 1,..., y n ), F = (F 1,..., F n ) C 1 (D F ), D F R n(m+1)+1 yra funkcijos F (kartu ir vektorinės DL apibrėžimo sritis). Tokia vektorinė m-tosios eilės DL dar vadinama m-osios eilės diferencialinių lygčių sistema (DLS). Paprasčiausios yra pirmosios eilės DLS: F 1 (x, y 1,..., y n, y 1,..., y n ) =, F n (x, y 1,..., y n, y 1,..., y n ) =. 5 Felix Hausdorff ( ) vokiečiu matematikas.... (3.2)

29 3. Diferencialinių lygčių sistemos 2 Kai jakobianas D(F 1,...,F n ) D(y 1,...,y n ), pirmąsias išvestines galima išreikšti per likusius kintamuosius: y 1 = f 1 (x, y 1,..., y n ),... (3.3) y n = f n (x, y 1,..., y n ). Tokią DLS vadiname n-osios eilės normaliąja DLS. Jos vektorinis pavidalas yra y = f(x, y), f C(D f ), D f R n+1. Šiai DLS (vektorinei DL) apibendrinamos visos sąvokos, kurias apibrėžėme skaliarinei DL y = f(x, y). Pavyzdžiui, Koši uždavinys užrašomas kaip y = f(x, y), y(x ) = y. (3.4) 1.16 apibrėžimas [integralinė kreivė]. Normaliosios DLS (arba vektorinės DL) (3.3) integraline kreive vadinsime vektorinės funkcijos y(x), x I, grafiką apibrėžimas [fazinė erdvė]. Kintamųjų (y 1, y 2,..., y n ) erdvė vadinama fazine erdve apibrėžimas [fazinė trajektorija]. Integralinės kreivės projekciją į fazinę erdvę (y 1, y 2,..., y n ) vadinsime fazine trajektorija. Bendrasis sprendinys ir bendrasis integralas apibrėžiami kaip y = ϕ(x, C), Ψ(x, y, C) = arba Φ(x, y) = C, čia C = (C 1,..., C n ), o visos funkcijos yra tolydžiai diferencijuojamos. Suformuluosime Pikaro, tolydžios priklausomybės nuo pradinės sąlygos ir sprendinio tęsinio teoremų analogus. 1.6 teorema. Tarkime, funkcija f C 1 (G), G R n+1. Tada egzistuoja vienintelis (3.4) Koši uždavinio sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis pradinę sąlygą. 1.7 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f C 1 (G), tuomet funkcija ϕ(x; x, y ) apibrėžta, tolydi ir ϕ C 1 kiekvieno taško (x ; x, y ) aplinkoje. 1.8 teorema [apie sprendinio tęsinį]. Tarkime, K G D f yra kompaktas ir pradinė sąlyga (x, y ) K ir f C 1 (G). Tada integralinė kreivė pratęsiama iki kompakto krašto ir toks pratęsimas yra vienintelis.

30 21 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 3.1. n-osios eilės DL suvedimas į n-osios eilės normaliąją DLS Kiekvieną n-osios eilės kanoninę DL galima suvesti į normaliąją DLS. Parodysime tai Koši uždaviniui y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ), y(x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1). (3.5) Apibrėžkime vektorinę funkciją z = (z 1, z 2,..., z n ) := (y, y,..., y (n 1) ). Tada (3.5) Koši uždavinys ekvivalentus nomaliajai DLS z 1 = z 2, z 2 = z 3, z n 1 = z n,... (3.6) z n = f(x, z 1,..., z n ) su pradine (vektorine) sąlyga z(x ) = z := (y, y,..., y (n 1) ). Šis suvedimas rodo, kad 1.2 teorema (kai f C 1 (G)) išplaukia iš 1.6 teoremos, 1.4 teorema iš 1.7 teoremos, 1.4 teorema iš 1.8 teoremos pavyzdys. Koši uždavinys y + y =, y() = y, y () = y suvedamas į antrosios eilės DLS y = z, z = y su pradinėmis sąlygomis y() = y, z() = y uždavinys. Ar toks suvedimas vienintelis? Atsakymas: ne, nes galima suvesti ir y = z, z = y, su pradinėmis sąlygomis y() = y, z() = y uždavinys. Suvesti DL į DLS: a) y = sin y; b) y + 5xy + (y ) 2 sin x + y = ; c) y = sin ( 1 + (y ) 2 ) n-osios eilės normaliosios DLS suvedimas į n-osios eilės DL Kiekvieną n-osios eilės normaliąją (3.3) DLS galima suvesti į vieną n-osios eilės kanoninę DL. Diferencijuojame vieną DLS lygtį (pvz., pirmąją) n 1 kartą pagal x, ir keičiame pirmosios eilės išvestines normaliosios sistemos lygčių dešiniosiomis pusėmis. Įvedame naują funkciją z(x) := y 1 (x). Taip gaunama n

31 3. Diferencialinių lygčių sistemos 22 lygčių sistema: z = f 1 (x, z, y 2,..., y n ) := f 1 (x, y 1, y 2,..., y n ), f 1 i=1 z = f 2 (x, z, y 2,..., y n ) := f 1 x + n y f i, i... (3.7) z (n 1) = f n 1 (x, z, y 2,..., y n ) := z (n) = f n (x, z, y 2,..., y n ) := f n 2 x f n 1 x + n n 2 f i=1 y f i, i + n n 1 f i=1 y f i. i Iš (3.7) sistemos pirmųjų n 1 lygčių išreiškiame y 2,..., y n (kada tai galima padaryti?): y 2 = g 2 (x, z, z,..., z (n 1) ),... y n = g n (x, z, z,..., z (n 1) ), ir įstatome jas į (3.7) sistemos paskutinę lygtį z (n) = f n ( x, z, g2 (x, z, z,..., z (n 1) ),..., g n (x, z, z,..., z (n 1) ) ). Gaunama viena n-osios eilės DL Pradinės sąlygos šiai lygčiai yra z (n) = g(x, z, z,..., z (n 1) ). (3.8) z(x ) = y 1 (x ), z (i) (x ) = f i (x, y 1 (x ),..., y n (x )), i = 1,..., n 1. Išsprendę (3.8) lygtį, randame ir y 1 (x) = z(x). Analogiškai galima parašyti ir n-osios eilės lygtis kitoms funkcijoms y 2,..., y n. Jeigu suradome funkciją y 1, tuomet galima pašalinti iš sistemos pirmąją lygtį, įstatyti y 1 į likusias sistemos lygtis, t.y. nagrinėti normaliąją sistemą, sudarytą iš n 1-os lygties pavyzdys. Duota DLS dv = w, dw = v. dx x dx Apibrėžiame naują funkciją y = v, diferencijuojame pirmąją lygtį pagal x, ir gauname y = w, x y = dw 1 w = y w = y x, w y = y y x dx x x 2 x x 2 x DLS suvesta į antros eilės DL y = y+y x arba xy + y + y = uždavinys. Suveskite DLS į vieną DL: x 2. a) u = v, v = u; b) u = v, v = u; c) u = u v, v = u + v.

32 23 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 3.3. Autonominės ir neautonominės DL Jeigu funkcija f DL tiesiogiai nepriklauso nuo kintamojo x, tai DL (arba DLS) dy 1 y dx = f 1 (y 1,..., y n ), = f(y)... dy n dx = f n (y 1,..., y n ). vadinama autonomine. Priešingu atveju, vadinsime neautonomine. Kiekvieną neautominę DLS visada galima suvesti į autonominę dy 1 dx = f 1 (x, y 1,..., y n ),... dy n dx = f m (x, y 1,..., y n ) dx dt = f (x, y 1,..., y n ) 1, dy 1 dt = f 1 (x, y 1,..., y n ),... dy n dt = f n (x, y 1,..., y n ), čia y R n. Ir atvirkščiai, kiekvieną autonominę DLS srityje, kurioje f + f f n >, galima suvesti į neautonominę DLS. Pavyzdžiui, jeigu f, tai čia x := y. dy dt = f (y, y 1,..., y n ), dy 1 dt = f 1 (y, y 1,..., y n ),... dy n dt = f n (y, y 1,..., y n ) 1.33 pavyzdys. Neautonominė DL suvedama į autonominę DLS dx dt = y, dy dx = x y dy 1 dx = f 1 (x,y 1,...,y n ) f (x,y 1,...,y n ),... dy n dx = f n (x,y 1,...,y n ) f (x,y 1,...,y n ), dy dt = x uždavinys. Suveskite neautonomines DL (DLS) į autonomines DL (DLS): a) dy dx = y x ; dy b) dx = z + x, dz dx = y + x apibrėžimas [fazinė kreivė]. Autonominės sistemos trajektoriją vadinsime fazine kreive.

33 3. Diferencialinių lygčių sistemos 24

34 2 skyrius Klasikinės pirmosios eilės diferencialinės lygtys ir jų integravimas Šiame skyriuje nagrinėsime pirmosios eilės diferencialines lygtis, kurias galima išspręsti integruojant. Įrodysime sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremą vienmačiu atveju autonominei lygčiai. Daugelio tokių lygčių sprendiniai randami kintamųjų atskyrimo metodu. 1. DL y = f(x) Nagrinėkime DL dy dx = f(x), f C(I), I = (a; b). (1.1) 2.1 lema. Tarkime, f aprėžta intervale I. Tada DL (1.1) sprendinys randamas integruojant: y = f(x) dx + C. (1.2) Įrodymas. DL lygties (1.1) prasmė yra, kad ieškoma funkcija y yra funkcijos f pirmykštė funkcija. Iš matematinės analizės (Rymano 1 integralo teorija) žinome, kad funkcijos f pirmykščių funkcijų šeima yra (1.2). 2.1 pavyzdys. DL y = cos x visi sprendiniai yra y = sin x + C, t.y. visi jie aprašomi bendruoju sprendiniu. 2.2 pavyzdys. Intervale (; 1) sprendinys yra funkcija ϕ(x) = x, intervale ( 1; ) funkcija ϕ(x) = x, o taške x = sprendinio reikšmė turėtų būti nulinė (tolydumas). Tačiau funkcija ϕ(x) = x nėra diferencijuojama funkcija. Vadinasi, DL y = sign x, ( 1; 1) sprendinių neturi. Nagrinėkime Koši uždavinį (1.1) lygčiai su pradine sąlyga y(x ) = y. Tuomet pirmykščių funkcijų šeimą galima išreikšti apibrėžtiniu integralu y(x) = x 1 Bernhard Riemann ( ) vokiečiu matematikas. x f(ξ) dξ + C. (1.3)

35 1. DL y = f(x) 26 Kai x = x, iš pradinės sąlygos randame C = y. Vadinasi, integralinė kreivė einanti per tašką (x, y ) apibrėžia vienintelį sprendinį (Barou 2 formulė) y(x) = y + x x f(ξ) dξ. (1.4) 2.3 pavyzdys. Koši uždavinio y = cos x, y() = 1 sprendinys (žiūrėk 1.1 pav.) y(x) = 1 + x cos ξ dξ = 1 + sin ξ x = 1 + sin x. 2.1 uždavinys. Raskite DL arba Koši uždavinio sprendinius: a) y = x(1 x), x ( 1; 1), y() = 1; b) y = 1 1+x Sprendinio tęsinys ir elgsena intervalo galuose Jeigu dešinysis intervalo (a; b) galas yra baigtinis, t.y. b < +, tuomet sprendinio pratęsimas į šį tašką priklauso nuo ribos f := lim x b f(x) egzistavimo. Bendruoju atveju ji gali neegzistuoti. Kairiajame intervalo gale situacija analogiška. Nagrinėkime DL dy = f(x), f C(a; b), b < +. (1.5) dx Koši uždavinio su pradine sąlyga y(x ) = y, x (a; b) sprendinys x ϕ(x) := y + f(ξ) dξ, (1.6) x ϕ C 1 (a; b) ir ϕ (x) f(x), x (a; b). Jeigu f B(a; b), tai f(x) M ir x2 ϕ(x 2 ) ϕ(x 1 ) = f(ξ) dξ M x 2 x 1, x 1, x 2 (a; b). x 1 Remiantis funkcijos ribos Koši kriterijumi, egzistuoja sprendinio riba B := ϕ(b ) = b lim + x b f(ξ) dξ. x (1.7) 2.2 lema. Tarkime, f C(a; b) B(a; b), < a < b < +. Tada integralinė kreivė tolydžiai pratęsiama į intervalą [a; b]. Toliau nagrinėsime tik atvejus, kai egzistuoja baigtinė arba begalinė riba f = f(b ) = lim x b f(x). 2 Isaac Barrow ( ) anglu matematikas, filologas ir teologas.

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Techninis aprašymas Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Aprašymas Šie vožtuvai skirti naudoti su AMV(E) 335, AMV(E) 435 arba

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du = ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2010 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 2010 m. birželio 8 d. valstybinį matematikos

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius

Διαβάστε περισσότερα

KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS

KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Statybinių konstrukcijų katedra Tatjana Sankauskienė KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS AutoCAD sistemoje Mokomoji knyga inžinerinių specialybių

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Riebalų rūgščių biosintezė

Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių (RR) biosintezė Kepenys, pieno liaukos, riebalinis audinys pagrindiniai organai, kuriuose vyksta RR sintezė RR grandinė ilginama jungiant 2C atomus turinčius

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y x 4 +y 2 J (x, y) (0, 0) 0 J (x, y) = (0, 0) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t 2 ), a ÑL<ÝÉ b, ½-? A? 2t 2 at t 4 +a 2 t 2 = lim

2x 2 y x 4 +y 2 J (x, y) (0, 0) 0 J (x, y) = (0, 0) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t 2 ), a ÑL<ÝÉ b, ½-? A? 2t 2 at t 4 +a 2 t 2 = lim 9çB$ø`çü5 (-ç ) Ch.Ch4 b. è. [a] #8ƒb f(x, y) = { x y x 4 +y J (x, y) (, ) J (x, y) = (, ) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t ), a ÑL

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009 1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. Κεφάλαιο Ι. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. Κεφάλαιο Ι. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις http : //www.math.uoc.gr/gr/m embers/tersenov ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα... 1 Κεφάλαιο Ι. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Εισαγωγή...2 1. Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται

Διαβάστε περισσότερα

, t.y. per 41 valandą ir 40 minučių. (3 taškai) v Braižome h = f(t) priklausomybės grafiką.

, t.y. per 41 valandą ir 40 minučių. (3 taškai) v Braižome h = f(t) priklausomybės grafiką. 5 m. Lietuvos 7-ojo fizikos čempionato UŽDUOČIŲ SPENDIMI 5 m. gruodžio 5 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas taškų, visa galimų taškų suma ). L 5 m ilgio ir s m pločio baseino dugno profilis pavaizduotas

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas Vi du ri nio ug dy mo ben drų jų pro gra mų 3 prie das Matematika Redakcinė grupė: Alvyda Ambraškienė, Regina Rudalevičienė, Marytė Skakauskienė, dr. Eugenijus

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β Θ. (αʹ) Εστω ο μετασχηματισμός w f() + i i, C, i. 6 Μαρτίου, 25 Δείξτε ότι η w f() απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος

Διαβάστε περισσότερα

10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 7 η : Σφνκετεσ Συναρτιςεισ Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 016-017 Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, με V = x είναι της μορφής ψ n (x) = ( mω π )1/4 1 n n! H n (x)e x /, n = 0,1, (1) Με Η n τα πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Zita SAVICKIENĖ TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Prjekt kdas VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047 VGTU Elektrniks fakultet I pakps studijų prgramų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 2012 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης

Ενότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης Μηχανική των Ρευστών Ενότητα 9: Ασκήσεις Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 04 m. birželio 6 d. Nr. (.)-V-69birželio 4 04 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA I dalis Kiekvieno I dalies klausimo

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė.

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė. Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra 2007 m. brandos egzaminų užduočių analizė Matematika Vilnius 2008 Išleista Europos Socialinio fondo ir Lietuvos Respublikos

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 58 kab. Darbo tel.: 861033946 Vytautas.Stankus@ktu.lt Bendrosios fizikos

Διαβάστε περισσότερα

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2014 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2014 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS (miestas / rajonas, mokykla) klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2014 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

ESIM364 GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA VARTOTOJO VADOVAS ATITINKA EN GRADE 3, CLASS II REIKALAVIMUS

ESIM364 GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA VARTOTOJO VADOVAS ATITINKA EN GRADE 3, CLASS II REIKALAVIMUS ESIM364 GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA VARTOTOJO VADOVAS ATITINKA EN 50131-1 GRADE 3, CLASS II REIKALAVIMUS Vartotojo Vadovas v1.4 Suderinama su ESIM364 v02.10.01 ir vėlesne Saugos informacija Kad užtikrinti

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Α. Αργυρίου May 5, 205 Οι σημειώσεις αυτές περιέχουν λυμένες ασκήσεις από τις διάϕορες ενότητες του μαθήματος των Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων, ώστε να δώσουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα