Dinamika rotacionog kretanja krutog tela.

Transcript

1 Dnamka otaconog ketanja kutog tela. Delovanje sla momenata sla na kuto telo Čvsto (kuto) telo je sstem čvsto povezanh matejalnh tačaka (masa Δm 1, Δm,, Δm,, Δm n ) koje maju svaka svoju težnu (ΔQ 1, ΔQ,, ΔQ,, ΔQ n ), čj zb pedstavlja ukupnu težnu tela Q. Napadna tačka ezultante svh ovh sla težne koje deluju na pojednačne matejalne tačke je težšte tela. Bez obza na položaj tela, ona ostaje na stom mestu, kao da je sva masa skoncentsana u jednoj tačk, tzv. centu mase tela C. Težšte (tačka cg ) 105

2 Delovanje sla momenata sla na kuto telo. Centa mase je tačka koja epezentuje posečan položaj ukupne mase tela. Centa mase je tačka kaaktestčna za čvsto telo zloženo delovanju spoljašnje sle, koja se keće na st načn kao što se b se ketala matejalna tačka (mase jednake mas datog tela) pod dejstvom te ste ezultantne spoljašnje sle. U homogenom gavtaconom polju se težšte centa mase poklapaju. U pmeu, napadna tačka ezultantne sle na slkama (a) (b) se ne poklapa sa centom mase tela (spojena špkom zanemaljve mase) pod utcajem sle započnju otacono ketanje. Kada je napadna tačka sle u centu mase, kao na slc (c) sstem tela ne ota, već se keće tanslatono. 106

3 Delovanje sla momenata sla na kuto telo Svako ketanje kutog (čvstog) tela može se pedstavt kao kombnacja tanslatonog otaconog o og ketanja. Kod tanslatonog ketanja pave koje spajaju tačke u telu u toku ketanja ostaju same seb paalelne. Kod otaconog ketanja tačke u telu se keću po koncentčnm kužncama azlčth polupečnka. Na složeno ketanje kutog tela deluju sle moment sla. 107

4 Moment sle U pmeu na slc na vata koja mogu otat oko vetkalne ose deluje se slom F stog ntenzteta ustoj napadnoj tačk. Razlka je u pavcma delovanja sle u odnosu na vekto položaja (adjus vekto) ) napadne tačke sle. Najlakše je zaotat vata kada adjus vekto napadne tačke sle vekto sle zaklapaju pav ugao, a otacje vata nema kada se pavc ova dva vektoa poklapaju. 108

5 Moment sle Moment M sle F je vektosk pozvod adjus vektoa napadne tačke sle vektoa sle F. Jednca za moment sle je [Nm]. M = F sn θ θ = (, F) M = Ft = F d M = F Samo tangencjalna komponenta sle (F t ) uzokuje otacono ketanje kutog tela. 109 Jednca za moment sle u SI sstemu Njutn puta meta, al da se ne može zament Džulom, je je fzčk smsao momenta sle enegje (ada) btno azlčt:

6 Moment sle Tangencjalna komponenta sle F t koja stvaa moment sle M odgovoan za otacju kutog tela, ujedno daje tangencjalno ubzanje a t telu, čme se ugaona bzna ω stalno povećava. Dugm ečma, kuto telo ma neko ugaono ubzanje α. Za ugaono ubzanje α kutog tela odgovon su moment sla. Na velčnu ugaonog ubzanja α, međutm, utču ne samo moment sla, već masa tela, tačnje aspoed masa u kutom uo telu euuu odnosu osu na osu otacje. ed Tako je u dnamc otaconog ketanja defnsan tzv. moment necje I, velčna koja opsuje utcaj aspoeda masa u kutom telu na otacju, tj. na ugaono ubzanje. 110

7 Moment necje Za svaku matejalnu tačku u telu mase Δm koja se nalaz na astojanju od ose otacje, moment necje I je defnsan peko: I = Δm Sumanjem momenata necje I za sve matejalne tačke koje čne kuto telo, dobja se moment necje I tela u odnosu na datu osu otacje. Jednca za moment necje je [kgm ]. I = I = Δ m I = ρδv = ρ l ΔV 111

8 Moment necje Moment necje I je velčna analogna mas u dnamc tanslatonog ketanja. Moment necje je skalana velčna, mea netnost tela p otaconom ketanju. Masa je nezavsna osobna tela, a moment necje zavs od zboa ose otacje u odnosu na koju se posmata aspoed mase u telu. Moment necje za matejalnu tačku I = m Moment necje za kuto telo I = Δ m I = M 0 dm l I = ρ V 0 d V 11

9 Moment necje za azna geometjsk pavlna tela 113

10 Moment necje Štajneova teoema (teoema paalelnh osa) Ako telo u odnosu na osu otacje koja polaz koz njen centa masa ma moment necje I 0,tadaće u odnosu na blo koju dugu paalelnu osu, na astojanju d od pomenute ose, mat moment necjej I df defnsan elacjom: Pme I = I 0 + md Moment necje I 0 je u odnosu na osu koja polaz koz centa mase. mr I = + mr = 3 mr Moment necje I je u odnosu na osu koja je paalelna os otacje koz centa mase na astojanju d od nje. 114

11 Osnovna jednačna dnamke otaconog ketanja Za ugaono ubzanje α kutog tela odgovon su moment sla. Pema II Njutnovom zakonu, tangencjalna komponenta sle F t koja uzokuje tangencjalno a t ugaono ubzanje α čja je napadna tačka na astojanju od ose otacje (kak sle), stvaa moment sle M koj se može zazt u oblku koj sadž nfomacju o aspoedu masa uodnosuna osu otacje, tj. velčnu momenta necje I kutog tela: Pme otacje matejalne tačke: a = α F = m a = m α t M = F t t = m M = F sn θ t Moment necje za matejalnu tačku α I = m θ = (, F) II Njutnov zakon za otacju matejalne tačke oko nepoketne ose M = I α 115

12 Osnovna jednačna dnamke otaconog ketanja U kutom telu se delovanje unutašnjh sla f j = f j međusobno ponštava. Samo tangencjalne komponente spoljašnjh sla F t koje deluju na pojedne delće mase Δm kutog tela uzokuju otacono ketanje. Moment M takvh spoljašnjh sla se sabaju, čme se dobja ezultantn moment lj jh l k j k j b j M spoljašnjh sla, koj uzokuje ugaono ubzanje α. Pme otacje kutog tela: = = = M M Ft Δm α = Iα at = α Ft = Δm at = Δm α M = F sn θ θ = (, F) II Njutnov zakon za otacju kutog tela oko nepoketne ose M = I α 116

13 Knetčka enegja ad kod otaconog ketanja P otacj kutog tela (bez tanslatonog ketanja): v Δm v = Δm ω = = ω Ek Vš se sumanje knetčkh enegja za svak delć kutog tela: E R k = I ω P složenom ketanju kutog tela ukupna knetčka enegja je suma knetčkh enegja tanslatonog ketanja centa mase otaconog ketanja tela: mvc I ω Ek = + Ako se p otacj telo obne za ugao θ (u [ad]) pod utcajem momenta sle M, zvšen ad je dat peko: A = M θ 117

14 Moment kolčne ketanja L Moment kolčne ketanja L matejalne tačke oko nepoketne ose otacje je vektosk pozvod njenog vektoa položaja vektoa njene kolčne ketanja k: L = k = mv L = k sn θ = m vsn θ L = Iω (, v) = 90 v = ω L = m ω 118

15 Moment kolčne ketanja L Moment kolčne ketanja L kutog tela oko nepoketne ose otacje dobja se sumanjem momenata kolčneketanjazasvematejalnetačke koje čne telo: = = Δ = Δ = L L mv mv Δm ω = Iω L = Iω 119

16 Moment kolčne ketanja L Vemenska pomena momenta kolčne ketanja L matejalne tačke oko nepoketne ose otacje: dl d d( mv) dl = mv + = M dl M - ukupn moment spoljašnjh sla = v mv + F = 0 + M v - pefena bzna matejalne tačke 0 usled delovanja momenta sle M ( v,( mv)) = 0 Ovo je dug oblk II Njutnovog zakona za otacono ketanje analogja sa slom koja je jednaka bzn pomene kolčne ketanja kod tanslatonog ketanja tela: dk d( mv) = = ma = F Vemenska pomena momenta kolčne ketanja L kutog tela oko nepoketne ose otacje: dl d( Iω) dω = = I = Iα = M 10

17 Zakon odžanja momenta kolčne ketanja Zakon odžanja momenta kolčne ketanja u zolovanom sstemu: Ako je ezultanta momenata spoljašnjh sla, koje deluju na kuto telo uzokuju njegovo otacono ketanje, jednaka nul (M=0), tj.ako je sstem zolovan zatvoen, ugaono ubzanje je jednako nul (α=0 ω=const.), a moment kolčne ketanja L ma konstantnu vednost (konstantn ntenztet pavac): dl = M = Iα dl za M = 0 = 0 L = const. Analogja sa I Njutnovm zakonom dnamke, pema kome tela zadžavaju svoje stanje ketanja (movanja l pavolnjskog avnomenog ketanja) ukolko je ezultatntna sla koja na njega deluje jednaka nul: dk k d( mv ) ukolko je F = 0 a = 0 v = const. = = 0 mv = const. Ako kuto telo ota oko nepoketne ose otacje, moment kolčne ketanja L se može pedstavt kao: L = Iω = const. Zakon odžanja momenta kolčne ketanja je: U zatvoenom zolovanom sstemu ukupan moment mpulsa sstema L je konstantan, bez obza na pomene koje se mogu dešavat unuta sstema. Iω

18 Pme zakona odžanja momenta kolčne ketanja Rotacjačge Rotacja balstčkh pojektla Panlova stolca 1

19 Analogne velčne jednačne koje važe kod tanslatonog otaconog ketanja tanslatono ketanje otacono ketanje pomeaj, x bzna, v ubzanje, a dx v = d v a = ugaon pomeaj, θ ugaona bzna, ω ugaono ubzanje, α dθ ω = ω e = e dω d θ α = e = e = αe masa, m moment necje, I I = m kolčna ketanja, k sla, F knetčka enegja, E k snaga, P k = mv F = ma mv E k = d( mv) dk F = = moment kolčne ketanja, L moment sle, M otacona knetčka enegja, L = I ω M = Iα P = F v snaga, P P = M ω R E k E R k d( Iα) dl M = = = Iω

20 Statka čvstog tela Pme delovanja sla na kuto telo: a) delovanje jedne sle zazva samo pomeanje tela na jednu stanu; b) delovanje dve sle stog ntenzteta pavca, a supotnog smea daju ezultantnu slu koja je jednaka nul telo je u tanslatonoj u otaconoj avnotež; c) dl delovanje dve sle stog ntenzteta supotnog smea, čj se pavc ne poklapaju daju ezultantn moment, pod čjm utcajem telo počnje otacju telo nje u otaconoj avnotež. 14

21 Uslov avnoteže čvstog tela Za avnotežu je neophodno da se ponštavaju ne samo spoljašnje sle, već moment spoljašnjh sla. Uslov avnoteže čvstog (kutog) tela: Rezultantna spoljašnja sla koja deluje na telo teba da je jednaka nul. Rezultantn moment spoljašnjh sla oko blo koje ose otacje teba da je jednak nul. F = 0 M = 0 a = 0 v = const. α = 0 ω = const. Uslov avnoteže za sve pavce koodnatnog sstema: F = 0 F = 0 F = 0 x M x = 0 y M y = 0 z M z = 0 15

22 Uslov avnoteže čvstog tela Pme: 16

23 Postoj: a) stablna, b) lablna, c) ndfeentna avnoteža. Vste avnoteže. Stablnost. Pme lenj okačen o konac: a) težšte C je spod tačke vešanja; b) težšte C je znad tačke vešanja; c) težšte C tačka vešanja se poklapaju. Pema velčn potencjalne enegje koju telo poseduje u gavtaconom polju Zemlje: 17