OBSAH Sférický rozklad δ 3 ( x x 0 ) a 1/ x x Zhrnutie

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OBSAH Sférický rozklad δ 3 ( x x 0 ) a 1/ x x Zhrnutie"

Transcript

1 Obsah Úvodné poznámky 5. Prirodzené jednotky:, c Manipulácie s komutátormi Operátor hybnosti Manipulácie s faktoriálmi Viacnásobné sumy a integrály Funkcie komplexnej premennej. Nieko ko dôleºitých integrálov Komplexné derivácie a integrály Fourierova transformácia a δ funkcia Funkcie gama Γ(z) a beta B(x, y) Bernoulliho ísla Riemannova ζ funkcia Bernoulliho polynómy Euler-Maclaurinova sumácia Výpo et Γ(z) a ζ(z) pomocou E-M rozvoja Zhrnutie Sféricky symetrický potenciál Sférické súradnice Operátory momentu hybnosti Sférické harmonické funkcie Rie²enie pre m Rie²enie pre ostatné m Legendreove polynómy Konkrétny tvar niektorých funkcií Zhrnutie

2 OBSAH 4 Vo ná astica Kartézske a sférické súradnice Sférické Besselove funkcie Sférické Neumannove funkcie Sférické Hankelove funkcie Rozklad rovinnej vlny Zhrnutie Lineárny harmonický oscilátor Mocninový rozvoj Posuvné operátory Normalizácia Posuvné operátory Generujúca funkcia a koherentné stavy Zhrnutie Sférický harmonický oscilátor Mocninový rozvoj Posuvné operátory Normalizácia Posuvné operátory Zhrnutie Axiálne symetrický potenciál Cylindrické súradnice Vo ná astica Besselove funkcie Rozklad rovinnej vlny Asymptotický rozvoj Besselovej funkcie Axiálny oscilátor mocninový rozvoj Axiálny oscilátor posuvné operátory Sférický vs. axiálny a lineárny oscilátor Zhrnutie Atóm vodíka 9 8. Mocninový rozvoj Posuvné operátory Normalizácia Spojitá as spektra Zhrnutie

3 OBSAH 3 9 Diracova rovnica vo sférickom poli 3 9. Diracova rovnica Moment hybnosti a operátor ˆK Spinorbitaly Radiálna Diracova rovnica Vo ná astica Atóm vodíka Normalizácia Zhrnutie Skladanie momentov hybnosti. Clebsch-Gordanove koecienty Sférické vektory V²eobecný vzorec pre C-G koecienty Symetria C-G koecientov Skladanie 3 momentov hybnosti: 6j symbol Skladanie 4 momentov hybnosti: 9j symbol Vzorce pre 9j symbol s argumentmi, / Tenzorové operátory 45. Ŷλµ a Wigner-Eckartova veta Skalárny a vektorový sú in Rotácie a Wignerove funkcie D j m m (α, β, γ) Súvislos Dm l a Y lm. Skladanie funkcií Y lm Operátory ˆx µ, ˆp µ, ˆL µ, Ŝµ a diferenciály Y lm Sférický rozklad δ 3 ( x x ) a / x x Zhrnutie

4 4 OBSAH

5 Kapitola Úvodné poznámky Táto kniha je zbierkou odvodení rozli ných vzorcov a ²peciálnych funkcií, ktoré sa pouºívajú v kvantovej mechanike, najmä pri rie²ení úloh vo sférickej symetrii. Samotná kvantová mechanika a jej interpretácia tu nie je podrobne diskutovaná. Pri výbere tém a odvodzovaných vzorcov som sa in²piroval najmä poznámkami prof. Jana Kvasila z Karlovej univerzity v Prahe a knihou Varshalovich, Moskalev, Khersonskii: Quantum Theory of Angular Momentum. Medzi al²ie zdroja patria Edwards: Riemann's Zeta Function u ζ funkcie a Euler-Maclaurinovho rozvoja, Sakurai: Modern Quantum Mechanics u koherentných stavov a Wignerových D funkcií (najmä odvodenie skladania funkcií Y lm ), a nakoniec Schi: Quantum Mechanics pri rie²ení Diracovej rovnice vo sférickom poli. Niektoré vzorce a zna enie sú vybrané aj s oh adom na pouºitie v kvantovej teórii po a (napr. Srednicki: Quantum Field Theory ).. Prirodzené jednotky:, c Sústava jednotiek SI denuje ako základné jednotky hmotnos, d ºku, as, teplotu, elektrický prúd, at. Vzh adom k preur enosti veli ín vystupujú vo fyzikálnych vzorcoch niektoré kon²tanty, ktoré je moºné eliminova spolu s príslu²nými nadbyto nými veli inami. Rýchlos svetla c m s V ²peciálnej teórii relativity spájame niektoré veli iny do ²tvorvektorov ( µ {,,, 3}): as + poloha: x µ (ct, x) ( ) E energia + hybnos : p µ c, p ( ) ω uhlová frekvencia + vlnový vektor: k µ c, k 5

6 6 KAPITOLA. ÚVODNÉ POZNÁMKY hustota náboja + prúdu: j µ (cρ, j) ( ) φ elektrický + vektorový potenciál: A µ c, A energia alej súvisí s hmotnos ou: E mc Planckova kon²tanta h/π, kg m s V kvantovej mechanike sa stotoºní ²tvorhybnos s vlnovým ²tvorvektorom: p µ k µ, t.j. E ω p k Vlnový vektor je reciproký k vektoru polohy, t. j. ich funkcie sa navzájom transformujú Fourierovou transformáciou (podobne aj ω t): ψ( k) d 3 x e i k x ψ( x) ψ( x) d 3 k e i k x ψ( (π) 3/ (π) k) 3/ ψ( p) (π ) 3/ d 3 x e i p x/ ψ( x) ψ( x) (π ) 3/ d 3 p e i p x/ ψ( p) Uvedené vz ahy vyjadrujú transformáciu vlnovej funkcie medzi tzv. X-reprezentáciou a P -reprezentáciou. Heaviside-Lorentzove jednotky v elektrodynamike Maxwellove rovnice v sústave SI a vz ahy pre elektrický a vektorový potenciál: E SI ρ SI ε ESI B SI t E SI φ SI A SI t B SI BSI j SI ε c + E SI c t B SI A SI Kvôli eliminácii permitivity vákua, ε /(c µ ) /(c 4π 7 N A ) 8, kg m 3 s 4 A, zavediem jednotky: (cρ, j) (cρ, j) SI ε, E ε ESI, B BSI µ c ε BSI, (φ, A) ε (φ, c A) SI Maxwellove rovnice a príslu²né potenciály majú potom tvar: E ρ B E B c t B j c + E c t E φ A c t B A

7 .. MANIPULÁCIE S KOMUTÁTORMI 7 Elementárny náboj e (náboj elektrónu) moºno vyuºi spolu s a c na kon- ²trukciu bezrozmernej kon²tanty kon²tanty jemnej ²truktúry vyjadrujúcej silu elektromagnetickej interakcie: α e 4π c e SI 4πε c. 7, ,35999 V kvantovej mechanike je výhodné pracova s jednotkami, v ktorých a c. Je potom potrebné si zvoli jednu jednotku, ktorá zostane nezmenená (obvykle sa volí energia v ev, ev, J) a ostatné jednotky vyjadrova pomocou nej. Ak by som do racionalizácie jednotiek zahrnul aj gravita nú kon²tantu, G 6,674 kg m 3 s, neostala by ºiadna vo ná jednotka a v²etky veli iny by sa vyjadrovali ako bezrozmerné násobky Planckovej hmotnosti, d ºky a asu. Kvôli nepresnosti ur enia G a kvôli neprítomnosti gravitácie v kvantovej mechanike sa to v²ak nerobí. Prevod medzi veli inami v kvantovej mechanike (zaloºenými na energii) a jednotkami SI moºno zapísa nasledovne (aº na prevod ev J): E QM E SI, m QM ( E) m SI c, p QM ( E) p SI c, x QM ( E ) x SI / c, t QM ( E ) t SI /, ψ( x QM ) ( c) d/ ψ( x SI ), c 97,3697 MeV.fm (.) Hmotnos budem alej zna i µ namiesto m, aby som predi²iel zámene s magnetickým kvantovým íslom (projekciou momentu hybnosti do z). Vo viazaných stavoch ju môºem priamo identikova s redukovanou hmotnos ou µ m m /(m + m ).. Manipulácie s komutátormi Komutátor [, ] a antikomutátor {, } sú denované: [Â, ˆB] Â ˆB ˆBÂ {Â, ˆB} Â ˆB + ˆBÂ Sú iny sa dajú rozpísa (metódou vezmem-vrátim): [Â ˆB, Ĉ] Â ˆBĈ ĈÂ ˆB Â ˆBĈ ÂĈ ˆB + ÂĈ ˆB ĈÂ ˆB [Â ˆB, Ĉ] Â[ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB Â{ ˆB, Ĉ} {Â, Ĉ} ˆB {Â ˆB, Ĉ} Â[ ˆB, Ĉ] + {Â, Ĉ} ˆB Â{ ˆB, Ĉ} [Â, Ĉ] ˆB (.)

8 8 KAPITOLA. ÚVODNÉ POZNÁMKY.3 Operátor hybnosti V klasickej mechanike je invariancia vo i posunutiu spojená so zákonom zachovania hybnosti. V kvantovej mechanike sa to prejaví tým, ºe operátor hybnosti generuje operáciu posunutia. Posun polohy o a (v jednom rozmere): x x + a Posun systému reprezentovaného vlnovou funkciou ψ: ( ψ(x ) ψ (x ) ψ(x a) ψ(x ) a ψ (x )+ a!... exp a d ) ψ(x) dx Posledný výraz je skráteným vyjadrením Taylorovho rozvoja. Denujem operátor hybnosti ˆp nasledovne (znamienko pri i je vecou konvencie): ψ(x a) exp( iaˆp)ψ(x) t. j. ˆp i d dx ˆp SI i d dx xx (.3) To, ºe pred operátorom ˆp je i, zaru uje, ºe operátor ˆp je hermitovský (a naopak, pomocou hermitovského  moºno zostroji unitárny Û eiâ, U U ). Pre deriváciu a vlnové funkcie v X-reprezentácii platí (predpokladám, ºe funkcie χ(x) a ψ(x) vymiznú v ± ): + χ (x) d dx ψ(x)dx [ χ (x)ψ(x) + ] + ( d dx χ(x) + ) ψ(x)dx dχ (x) dx ψ(x)dx hermitovské zdruºenie:  (ÂT ) α Âβ  α β ( ) d teda: d ( dx dx, ale i d ) i d lebo i i dx dx Operátor hybnosti je hermitovský: ˆp ˆp. Jeho komutátor s operátorom polohy: ( [ˆx, ˆp]f(x) x i d ) ( dx f(x) i d ) (xf(x)) if(x) dx [ˆx, ˆp] i [ˆx SI, ˆp SI ] i (.4) Hermitovské operátory majú reálne vlastné ísla: λ ψ ψ ψ Âψ Âψ ψ λ ψ ψ (.5) Ich vlastné stavy prislúchajúce rôznym vlastným íslam sú navzájom ortogonálne: Âψ ψ ψ Âψ (λ λ ) ψ ψ (.6)

9 .4. MANIPULÁCIE S FAKTORIÁLMI 9.4 Manipulácie s faktoriálmi Faktoriál je zvlá² uºito ný pri zápise lenov mocninových radov, je denovaný: n! 3 (n ) n n k alej sa denuje!. Pri rie²ení al²ích úloh budú funkcie asto denované mocninovým radom, napr.: f(x) a k x k k Na základe rekurentne zadaného vz ahu medzi za sebou nasledujúcimi koecientmi a k moºno nájs absolútne vyjadrenie, zostáva v²ak neur ená kon²tanta c: k a k+ (k + )a k a k k! c a k+ (n k)a k c a k (n k)! a k+ (k + )a k a k k k! c Pre skrátenie a zjednodu²enie al²ích výpo tov sa zavádza dvojitý faktoriál: (n + )!! 3 5 (n ) (n + ) n (k + ) k a k+ (k + )a k a k (k )!! c a k+ (n k + )a k c a k (n k + )!! Tento dvojitý faktoriál vºdy moºno zapísa pomocou oby ajného: (n + )!! (n + )! n n! (n )!! (n)! n n!.5 Viacnásobné sumy a integrály (.7) Viacnásobné sumy s navzájom závislými indexmi moºno prepisova nasledovne: n k k j n j,k j k n n j kj

10 KAPITOLA. ÚVODNÉ POZNÁMKY n k j k j i n i,j,k i j k n n n i ji kj Podobné vz ahy platia pre integrály (kde neskôr zanedbávam objemy niº²ej dimenzie v prípade, ºe napr. x x ): b a b a xn dx n dx n a x b dx dx dx dx a a;x x x a dx b a;x <x <...<x n d n x b a b a dx b dx b x dx x dx b x n dx n Ak integrovaná funkcia je symetrická vo i permutácii premenných (napr. je to kon²tantná funkcia), potom prezna ením premenných môºem zostroji integrály (ktoré vedú na rovnaký výsledok) cez asti intervalu (a, b) n, pre ktoré platí postupne: x < x < < x n ; x < x < x 3 < < x n ; x < x 3 < x < < x n... Tieto oblasti integrácie (ich po et je n!) sa navzájom neprekrývajú a ich zjednotením dostávam celý interval (a, b) n (so zanedbaním prípadov x i x j ). H adaný integrál je potom /n!-tinou z integrálu cez celý objem (a, b) n. Nazna eným spôsobom potom moºno h ada n-tú primitívnu funkciu (opak n-tej derivácie): b a dx n xn a x dx n... dx f(x ) a b a b f(x ) b b dx d n x (n )! x a a b b dx f(x ) dx... x dx n x n f(x) (b x) n dx (.8) (n )!

11 Kapitola Funkcie komplexnej premennej V tejto kapitole je odvodených nieko ko pokro ilej²ích matematických poznatkov, ktoré nie sú nevyhnutné pre pochopenie al²ích kapitol vä ²inou sta ia len integrály z prvej asti. Ostatné poznatky sa uplatnia v kvantovej teórii po a a pri niektorých numerických výpo toch.. Nieko ko dôleºitých integrálov Integrál z klesajúcej exponenciály je (aj pre komplexné a, kde R(a) > ) + e ax dx ] + [ e ax a a (.) Tento výsledok moºno alej roz²íri na exponenciálu vynásobenú polynómom integrovaním per partes. (fg) f g + fg a b a f (x)g(x)dx [ f(x)g(x) ] b b a f(x)g (x)dx e ax dx [ xe ax] + a xe ax dx Pokra ovaním tohto postupu pre vy²²ie mocniny x získam: xe ax dx a a x n e ax dx n! a n+ (.) Rovnaký výsledok sa dá získa derivovaním integrálu pod a parametra derivujem avú aj pravú stranu rovnice (.) pod a a. Substitúciou y x získam: n! a n+ y n e ay dy x n+ e ax dx

12 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Integrál z Gaussovej funkcie si ozna ím x n+ e ax dx n! a n+ (.3) I(a) + e ax dx a získam ho trikom cez dvojrozmerný integrál a zmenou súradníc z kartézskych na polárne: x x x r cos ϕ r ϕ y r sin ϕ y y cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ r r ϕ I(a) + e a(x +y ) dxdy π dϕ + re ar dr π a Popri Gaussovej funkcii získam al²ie integrály derivovaním pod a a (alebo integrovaním per partes): + + e ax dx π a x n e ax dx (n )!! π n+ a n+ (n)! π n+ n!a n+. Komplexné derivácie a integrály (.4a) (.4b) Derivácia je denovaná f (z) df(z) dz f(z + z) f(z) lim z z (.5) Poºadujem, aby táto denícia bola jednozna ná aj pre komplexné z x + iy (x a y sú reálne, i ; budem zna i tieº x R(z), y I(z)). Musí teda plati : f (x + iy) df(x + iy) dx df(x + iy) idy (.6) Porovnaním reálnej a imaginárnej asti tejto rovnice získam Cauchy-Riemannove vz ahy pre reálne funkcie u(x, y) a v(x, y): f(x + iy) u(x, y) + iv(x, y)

13 .. KOMPLEXNÉ DERIVÁCIE A INTEGRÁLY 3 Pre deriváciu f (z) teda platí: u x v y v x u y f (x + iy) u x + i v x v y i u y (.7) Za predpokladu hladkosti funkcií u a v platia Cauchy-Riemannove vz ahy aj pre funkciu f (z) (a indukciou aj pre al²ie derivácie), pretoºe derivovaním (.7) získam u x v x y u y v x u x y v y Funkcia sp ajúca Cauchy-Riemannove podmienky (.7) sa nazýva analytická (holomorfná). Vä ²ina beºných spojitých funkcií neobsahujúcich komplexné zdruºenie (polynómy, racionálne lomené funkcie, exponenciála, logaritmus, goniometrické funkcie) je analytických na vä ²ine komplexnej roviny, môºu v²ak obsahova isté patologické oblasti, napríklad bodové singularity, a to najmä jednoduché ( iºe póly, typu /z), alebo vy²²ieho stup a (/z n ), alebo podstatné singularity (nekone ného stup a, napr. e /z v z ), alebo vetviace body ( z alebo ln z v z, tieto si rozoberiem neskôr). Na základe existencie v²etkých derivácií v bode z, kde je funkcia f(z) analytická, ju môºem rozvinú do Taylorovho radu (pretoºe n-tá derivácia avej aj pravej strany v bode z sa rovnajú): f(z) f(z ) + f (z )(z z ) + f (z ) (z z ) +...! n f (n) (z ) (z z ) n n! (.8) Taylorov rozvoj konverguje v kruhovej oblasti okolo bodu z, ktorej hranica je ur ená najbliº²ou singularitou. Dá sa to ilustrova na funkcii ln( + z) (logaritmická singularita v z ) a arctg z: darctg x dx dln( + x) dx + x ln( + z) ( ) dtg ϕ dϕ + x ϕarctg x ( + ix + ix d n ln( + x) dx n ( )n (n )! ( + x) n ( ) n z n z < (.9) n n ( cos ϕ + sin ) ϕ cos ϕ + tg ϕ + x ) d n dx n ± ix ( i)n n! ( ± ix) n+

14 4 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ arctg z z z3 3 + z ( ) n n + zn+ z < (.) n Hoci je funkcia arctg z dobre denovaná pre v²etky reálne ísla, má logaritmické singularity v bodoch ±i (pretoºe jej derivácia má v týchto bodoch póly), a preto jej Taylorov rad konverguje len pre z <. Taylorov rad vhodný na vy íslenie logaritmu na celej kladnej reálnej osi sa dá získa rozvojom funkcie f(t) ln + t + t ln( + t) ln( t) z t t f (t) + t + t ln z n t z z + ( ) ( ) f (n) n (t) (n )! ( + t) n + ( t) n ( ) n+ z R(z) > (.) n + z + Hoci Taylorov rad konverguje len na ur itom kruhu, dá sa zostavi iný Taylorov rad okolo iného bodu (patriaceho do pôvodného kruhu), pri om derivácie sa dajú vyhodnoti pomocou pôvodného rozvoja. Kruh konvergencie tohto nového Taylorovho radu môºe potom zasahova aj do oblasti, v ktorej pôvodný rad nekonvergoval (tento postup sa volá analytické pred ºenie). Do²lo teda k resumácii divergentného radu a ukázalo sa, ºe mu moºno priradi kone ný výsledok, teda pôvodný Taylorov rad moºno v istom zmysle stále povaºova za ekvivalentný danej funkcii, aº na to, ºe formálne nekonverguje mimo kruhu konvergencie (nie o podobné sa neskôr prejaví aj pri vy ís ovaní Riemanovej ζ funkcie). Ak ale popisujem funkciu s logaritmickou singularitou alebo iným vetviacim bodom, jeho obchádzaním z oboch strán získam odli²ný výsledok pre dané z, pôjde teda o viaczna nú funkciu, u ktorej treba jasne denova spôsob vo by jej hodnoty. Viazna nos logaritmu vidno z rovnosti e x+iy e x (cos y + i sin y) e x+i(y+π) (.) Platnos prvej rovnosti sa dá ukáza jej opakovaným derivovaním pod a y a jej vyhodnotením v y. K hodnote logaritmu teda moºno pripo íta ubovo ný celo íselný násobok πi a stále pôjde o inverznú funkciu k exponenciále. Zvy- ajne sa volí obor hodnôt tak, aby y ( π, π). Exponenciála sa pri derivovaní nemení, a preto jej Taylorov rozvoj je e z + z + z! + z3 3! +... n z n ( n! lim + x ) N (.3) N N

15 .. KOMPLEXNÉ DERIVÁCIE A INTEGRÁLY 5 Výraz vpravo tieº v limite vyhovuje podmienke o nemennosti pri derivovaní. Z rovnosti Taylorovho a binomického rozvoja vyplýva lim N N! (N n)!n n (.4) Funkciu s n-násobnou singularitou v z je moºné rozvinú priamo v tomto bode na tzv. Laurentov rozvoj: f(z) a k (z z ) k d n+k [ a k (z z (n + k)! dz n+k ) n f(z) ] (.5) zz k n ƒasto je potrebné ur i koecient a, ktorý sa nazýva reziduum a ozna uje sa Rez zz f(z). Pri výpo te rezidua si treba da pozor na zmenu znamienka v závislosti od spôsobu dosadzovania (dochádza totiº k zmene znamienok koecientov v Laurentovom rozvoji): Rez f(z) Rez f( z) (.6) zz z z Pri výpo toch sa naj astej²ie vyskytujú funkcie s pólmi (n ). Ak sa takáto funkcia dá rozdeli na podiel funkcií g(z) a h(z), kde g(z ) je kone né a h(z ), potom sa reziduum vypo íta takto: f(z) g(z) h(z) a Rez zz f(z) g(z ) h (z ) (.7) Z funkcie h(z) sa totiº pod a predpokladu o -násobnosti singularity dá vydeli (z z ): h(z) (z z ) h(z) h (z) h(z) + (z z ) h (z) h (z ) h(z ) g(z) f(z) (z z ) h(z) ( ) g(z ) z z h(z ) + O(z z ) V prípade integrovania analytických funkcií je k dispozícii dvojrozmerná komplexná rovina, a preto má zmysel uvaºova o integrovaní po uzavretých krivkách. Ak integrujem v protismere hodinových ru i iek po krivke, ktorú si parametrizujem ako z(t) x(t)+iy(t), a ktorá je hranicou oblasti S, na ktorej je funkcia f(z) analytická (t.j. bez singularít), môºem si integrál rozloºi na reálnu a imaginárnu as, potom pouºi Stokesovu vetu S v d l S ( v) ds a nakoniec Cauchy-Riemannove vz ahy (.7) dajú nulu: [ ] [ ] f(z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy S S S ( v x u y ) dxdy + i S S ( u x v y ) dxdy

16 6 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Teda integrál z analytickej funkcie po uzavretej krivke, ktorá uzatvára plochu neobsahujúcu ºiadnu singularitu, je nulový (Cauchyho veta): f(z)dz (ak f(x) nemá singularity na S) (.8) S Ak táto plocha obsahuje vetviaci bod, krivka sa nedá dobre uzavrie, preto tento prípad alej neuvaºujem. Ak obsahuje n-násobnú singularitu, môºem integra nú krivku deformova na kruºnicu so stredom v singularite (deformácia krivky nemení hodnotu integrálu v aka (.8)): z z + re iϕ dz ire iϕ dϕ Integrovanú funkciu v tejto singularite potom rozviniem do Laurentovho radu: f(z)dz k π a k ir k+ e i(k+)ϕ dϕ a πi K integrálu teda prispieva len reziduum v danej singularite. Ak krivka uzatvára viacero singularít, môºem si ou uzatvorenú plochu rozdeli na asti obsahujúce po jednej singularite sú et kriviek na ich hraniciach dáva pôvodnú krivku tieto krivky potom deformujem na kruºnice a integrály vyhodnotím pod a vy²²ie uvedeného postupu. Výsledok moºno vyjadri vo forme sú tu cez singularity z i (reziduová veta): f(z)dz πi Rez f(z) (.9) zz i z i S S Ak je funkcia na celej danej oblasti analytická, môºem si pól vyrobi umelo: f(z) dz πif(z ) (.) z z S.3 Fourierova transformácia a δ funkcia Fourierova transformácia má v kvantovej mechanike ve ký význam vyjadruje vz ah medzi funkciami závislými na ase a na frekvencii, prípadne medzi vlnovými funkciami v X- a P -reprezentácii. Najprv sa v²ak pozriem na Fourierove rozvoje, ktoré rozkladajú periodickú funkciu ako sú et sínusov a kosínusov. Periodickej funkcii je týmto priradená mnoºina ísel (amplitúdy jednotlivých harmonických módov). Diskrétnou Fourierovou transformáciou, ktorá pracuje s mnoºinou ísel v asovej aj frekven nej doméne, sa tu nebudem zaobera, hoci má ve ký význam v digitálnom spracovaní dát.

17 .3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA 7 Reálnu funkciu s periódou π moºno rozvinú : f(x) a + a k cos kx + b k sin kx f(x + π) k k (.a) π π π a f(x)dx a k f(x) cos kx dx b k f(x) sin kx dx π π π (.b) Na ur enie koecientov a k, b k som pouºil ortogonalitu sínusu a kosínusu, ktorú si odvodím pomocou sú tových vzorcov: e i(a±b) e ia e ±ib cos(a ± b) + i sin(a ± b) (cos a + i sin a)(cos b ± i sin b) cos(a ± b) cos a cos b sin a sin b sin(a ± b) sin a cos b ± cos a sin b cos a cos b [ ] cos(a + b) + cos(a b) sin a cos b [ ] sin(a + b) + sin(a b) sin a sin b [ ] cos(a b) cos(a + b) (.) (.3) π π π π cos mx cos nx dx [ ] cos(m + n)x + cos(m n)x dx [ ] π sin(m + n)x sin(m n)x + (pre m n) m + n m n π (pre m n) sin mx cos nx dx π π [ sin(m + n)x + sin(m n)x ] dx sin mx sin nx dx [ ] cos(m n)x cos(m + n)x dx [ sin(m n)x m n π (pre m n) ] π sin(m + n)x (pre m n) m + n Pre normu funkcie f(x) platí Parsevalova rovnos, ktorá vyplýva z (.a) a ortogonality: π f(x) dx πa + π a k + π b k (.4) k k

18 8 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Obd ºnikový pulz Fourierov rozvoj Fourierov rozvoj si ilustrujem na príklade funkcie { pre x ( π/ + kπ, π/ + kπ) f(x) inak f(x) a a k π π π π x k V aka periodicite si môºem integra ný interval posunú z (, π) na ( π, π). a π a k+ π π π π/ f(x)dx π/ π π/ cos(k + )x dx π dx b k a k π/ [ ] π/ sin(k + )x ( )k k + π(k + ) π/ alej ukáºem, ako sa Fourierov rozvoj zmení pri roz²írení periódy na 4π. f(x) a + a k/ cos kx + b k/ sin kx k k a 4π 4π f(x)dx a k/ π 4π f(x) cos kx dx b k/ π 4π f(x) sin kx dx Funkciu zvolím podobne (len pulzy budú navzájom vzdialenej²ie): { pre x ( π/ + 4kπ, π/ + 4kπ) f(x) inak f(x) a a k π π π π x k

19 .3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA 9 a π/ 4π π/ dx 4 a (4k+)/ π/ cos π π/ (4k + )x dx π b k a 4k/ ( )k a (4k+3)/ ( )k π(4k + ) π(4k + 3) a (4k+)/ [ ] π/ sin(k + )x ( )k π k + π(k + ) π/ [ ] π/ sin(4k + )x/ (4k + )/ π/ Fourierov rozvoj roz²írim na komplexné funkcie (premenná x zostáva reálna): f(x) c k π cos kx eikx + e ikx π k sin kx eikx e ikx i c k e ikx c a c ±k a k ib k f(x)e ikx dx π f(x) dx π k (.5) (.6) c k (.7) Pomocou prechodu k spojitej frekven nej doméne môºem odstráni podmienku periodicity. Priama a spätná Fourierova transformácia je potom: f(k) π + f(x)e ikx dx f(x) + f(k)e ikx dk (.8) Zatia som nedokázal správnos faktorov pred integrálmi, tá sa potvrdí v al²ích príkladoch. V zásade platí, ºe pri pouºití e ±ikx má ma sú in predintegrálnych faktorov hodnotu /π (symetrickej²ia vo ba by teda bola da pred oba integrály /π). V prípade integrovania s e ±πikx sú predintegrálne faktory jednotkové. Pred uvedením príkladov popí²em najprv operáciu, nazvanú konvolúcia, ktorá má ²iroké uplatnenie v spracovaní signálov a pri interpretácii experimentálnych dát. Ide o to, ºe neporu²ený signál f(x) (napr. elektrické napätie, energetické spektrum, difrak ný záznam) sa vplyvom ved aj²ích okolností (parazitné kapacity, kone ná doba ºivota, kone ná ve kos kry²tálu) rozmaºe, pri om tento vplyv sa popí²e funkciou g(x) ide o odozvu systému na nekone ne ostrý pík (delta funkciu, teda f(x) δ(x)). Výsledný signál je (f g)(x) + f(x y)g(y)dy (.9)

20 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Jeho Fourierova transformácia je (s pouºitím substitúcie x x y) (f g)(x)e ikx dx f(x y)e ik(x y) g(y)e iky dx dy π π f(x )e ikx dx g(y)e iky dy π π f(k) g(k) (.3) Fourierova transformácia teda zmenila konvolúciu na sú in. V praxi teda rozmazanie signálu znamená utlmenie vysokofrekven nej zloºky f(k). Totiº ím je ²ir²í pík funkcie g(x) (vä ²ie rozmazanie), tým rýchlej²ie k nule klesá funkcia g(k) to bude vidno na nasledujúcich príkladoch. Podobne mení Fourierova transformácia sú in na konvolúciu (treba si len da pozor na íselný faktor, ktorý závisí od faktorov zvolených v priamej a spätnej Fourierovej transformácii). Klesajúca exponenciála a Lorentzova funkcia Klesajúcu exponenciálu najprv symetricky doplním na zápornej osi, aby výsledkom transformácie bola reálna funkcia. Klesajúca exponenciála v ase zodpovedá spontánnej deexcitácii vzbudeného stavu, a preto spektrálny pík má tvar Lorentzovej krivky (niº²ie uvedená ako f(k)). f(x) e a x f(k) a/π a + k 3 a a a a a 3 a x 3a a a a a 3a k f(x) e a x f(k) + [ e e a x ikx (a ik)x dx π π(a ik) ( π a ik + ) a a + ik π(a + k ) f(x) + f(k)e ikx dk + ] ae ikx π(a + k ) dk [ ] e (a+ik)x + + π(a + ik) (.3a) (.3b) Pri spätnej transformácii budem integrova pod a obrázka po hornej polrovine pre x > a pouºijem (.9) (pre x < treba pouºi dolnú polrovinu).

21 .3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA I(z) I exp(izx) a + z x > ia ia I R R(z) x < + + e ikx a + k dk lim I πi Rez R zia x> πi e ax ia lim lebo I e ikx a + k dk πi Rez x< z ia π e izx R π xr sin ϕ a + z lim R I exp(ixre iϕ ) a + R e iϕ ireiϕ dϕ πe ax a e R a Rdϕ e izx a + z πeax a Popri potvrdení spätnej transformácie som získal integrál + e ibx + a + x dx cos bx a + x dx π a e a b (.3) Po aplikácii priamej a spätnej Fourierovej transformácie teda dostanem pôvodnú funkciu, a preto ich môºem pouºi na získanie vzorca pre δ-funkciu (takto denovaná δ-funkcia je vhodná len na konvolúciu so spojitými funkciami, ktoré v nekone ne idú do nuly): f(x ) π + dk + δ(x x ) π Deni ná vlastnos δ-funkcie je f(x ) f(x)e ik(x x) dx f(x)δ(x x )dx e ik(x x) dk (.33) f(x)δ(x x )dx (.34) Z toho sa dá o akáva, ºe je to párna funkcia, pribliºne nulová pre x, v bode x ide jej hodnota do nekone na, ale tak, aby jej integrál bol rovný (vidno

22 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ to dosadením kon²tantnej funkcie f(x) ). Funkciu f(k) z predchádzajúceho odstavca je tieº moºné pouºi ako delta funkciu v limite a + : a δ(x) lim a + π(a + x ) (.35) Splnenie (.34) vyplýva z toho, ºe konvolúcia s touto funkciou zodpovedá vynásobeniu frekven nej domény kon²tantnou funkciou: lim e a k a + Na základe (.8) a (.33) odvodím Parsevalovu rovnos (faktor π je daný vo bou faktora /π pred Fourierovou transformáciou, v prípade vo by /π dostanem jednotku): + f(x) dx π + f(k) f (k )e i(k k )x dk dk dx f(k) dk (.36) Gaussova funkcia Gaussova funkcia je ²peciálna v tom, ºe transformáciou sa získa opä Gaussova funkcia. f(x) e ax f(k) e k 4a (.37) 4πa f(x) e x e az I(z) ik a I I 3 f(k) π I 3,4 + k/a e ax ikx dx π x + I 4 ik a(x+ e a ) k I R e k 4a 4a dx π R(z) k/a e a(±r+iy) idy ie ar e ay iary dy I I + I 3 I 4 π a + lim R I Pri tom som vyuºil nulovos uzavretého integrálu (.8) a integrál Gaussovej funkcie (.4).

23 .3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA 3 Obd ºnikový pulz (neperiodický), sin x x f(x) f(k) a/π sin ak πk a a x π a π a 3π a 4π a k { pre x ( a, a) f(x) pre x / ( a, a) f(k) a [ e e ikx ikx dx π πik a Spätná Fourierova transformácia: f(x) + f(k)e ikx dk ] a a + eika e ika πik sin ak πk e ik(x+a) e ik(x a) dk πik (.38a) (.38b) Integrály cez exponenciály vyhodnotím jednotlivo pomocou krivkových integrálov s vyuºitím (.8). Pre kladnú kon²tantu v exponente pouºijem integra nú krivku v hornej polrovine, pre zápornú pouºijem krivku v dolnej polrovine alebo substitúciu k k: I(z) I 4 e iaz z I I I 3 ε R a > R(z) a < + e ika k dk lim (I + I 3 ) lim (I + I 4 ) I i I 4 ε R π π π ε R π exp(iaεe iϕ ) εe iϕ iεe iϕ dϕ i exp(iaεe iϕ )dϕ [ + iaεe iϕ + O(ε ) ] dϕ iπ exp(iare iϕ ) Re iϕ ire iϕ dϕ π ie ar sin ϕ+iar cos ϕ dϕ

24 4 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ I 4 π e ar sin ϕ dϕ < π/ + e ika e arϕ π k dk Teraz môºem dokon i spätnú transformáciu: f(x) [ e arϕ π dϕ ar/π ] π/ { iπ pre a > iπ pre a < { iπ+iπ πi pre x < a iπ+iπ πi pre x ( a, a) iπ iπ πi pre x > a Popritom som získal aj hodnotu integrálu (ako f()) + π(e ar ) ar (.39) sin ax dx π (.4) x Pomocou Parsevalovej rovnosti (.36) získam z (.38) al²í integrál, ktorý sa vyskytuje v asovej poruchovej teórii: + sin ax x a π dx πa (.4) π a Tento integrál si pre ilustráciu vypo ítam aj pomocou Cauchyho vety. sin ax x (eiax e iax ) 4x eiax e iax 4x R eiax x Funkciu, ktorú som dostal, budem integrova po krivke z predchádzajúcej strany (v hornej polrovine): I I I 4 ε R π π e iax R e iax x dx ε x dx I 3 exp(iaεe iϕ ) ε e iϕ iεe iϕ dϕ π exp(iare iϕ ) R e iϕ ire iϕ dϕ I 4 Z toho nakoniec získam o akávaný výsledok: + sin ax + sin ax x x lim ε + R + R aεe iϕ + O(ε ) εe iϕ dϕ a π ε + e R e iax x dx π ar sin ϕ dϕ πa dϕ (I + I 3 ) lim (I + I 4 ) πa ε + R +

25 .4. FUNKCIE GAMA Γ(Z) A BETA B(X, Y ) 5.4 Funkcie gama Γ(z) a beta B(x, y) 4 3 Γ(x) 3 3 x Funkcia gama je roz²írením faktoriálu (denovaného na celých íslach) na reálne a neskôr na komplexné ísla. Pri denícii sa ale premenná posúva o jednotku: Γ(n) (n )! Γ(n + ) n! (.4) Roz²írenie na komplexné ísla (zatia pre R(z) > ) vykonám pomocou vzorca (.). al²ie vzorce získam rôznymi substitúciami: Γ(z) t z e t dt t ax dt adx az x z e ax dx (.43a) t ln x dt dx ( ln x) z dx (.43b) x t ax dt axdx az x z e ax dx (.43c) Vzorec (.43c) umoº uje v kombinácii s (.4) vyjadri gama funkciu v polo íselných argumentoch: ( ) Γ a e ax dx π (.44a) ( Γ n + ) (n )!! (n)! π π (.44b) n n n! Pomocou (.4) a (.43c) ur ím povrch S n a objem V n jednotkovej n-rozmernej gule: ( ) n/ ( π + n e dx) ax a e ar S n r n dr S nγ(n/) a n/

26 6 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ S n πn/ Γ(n/) V n S n r n dr π n/ Γ(n/ + ) (.45) Deriváciou (.43a) pod a a získam funkcionálnu rovnicu pre gama funkciu: Γ(z) a z x z e ax dx a zγ(z) Γ(z + ) (.46) Jej opakovaným pouºitím sa získa analytické pred ºenie Γ(z) do R(z) < (neskôr odvodím vzorec (.56) umoº ujúci pred ºenie z z v jedinom kroku). Ukazuje sa, ºe gama funkcia má v záporných celých íslach póly, ktorých reziduum je: Γ(z) Γ(z + n + ) z(z + ) (z + n) ( )n Rez Γ(z) z n n! V uvedenej rovnici po²lem n do nekone na a dosadím (.4) a (.4): Γ(z + ) (N + z)! (z + )(z + ) (z + N) lim N N lim N N z n N!N z (z + )(z + ) (z + N) (.47) ( + z n) (.48) Takéto pouºitie vzorcov platiacich pre faktoriál aj pre necelo íselné argumenty predpokladá ur itú hladkos gama funkcie. Rigoróznej²í postup by asi zah al odvodenie (.4) pomocou Stirlingovho vzorca (.54), ktorého odvodenie nezah a predpoklad o celo íselnosti. al²ím cie om bude odvodenie Taylorovho rozvoja gama funkcie (presnej²ie jej logaritmu), ktorý sa zíde najmä pri malých hodnotách z. Vzorec (.48) preusporiadam tak, aby jednotlivé leny boli v limite kone né, a tým umoºním prepis vo forme nekone ného sú inu: [ ( N )] Γ(z + ) lim exp N e z/n z ln N N n + z e γz e z/n n n + z (.49) n n n Denoval som Euler-Mascheroniho kon²tantu γ, ktorá sa dá ahko vy ísli pomocou Euler-Maclaurinovej sumácie, ktorá bude odvodená neskôr (.88). ( N ) γ lim N n ln N Γ ()., (.5) n Vzorec (.49) zlogaritmujem a logaritmy rozviniem pomocou (.9): [ ( z ln Γ(z + ) γz + n ln + z )] [ ( γz + z ) k ] n k n n n k

27 .4. FUNKCIE GAMA Γ(Z) A BETA B(X, Y ) 7 Nakoniec vyuºijem deníciu Riemannovej ζ funkcie ζ(z) n n z (.64): ζ(k) ln Γ(z + ) γz + k ( z)k z < (.5) k V kvantovej teórii po a je potrebné analyticky aproximova gama funkciu v okolí jej pólov na zápornej reálnej osi. Príslu²ný vzorec získam úpravou (.47): Γ(z + ) ( ) n n ( Γ( n + z) z ) z n! k [ k n ( ( )n exp ln Γ(z + ) ln z )] (.5) n!z k Funkcie v exponente sa dajú jednoducho rozloºi do Taylorových radov pomocou (.9) a (.5), výsledok sa dosadí do Taylorovho radu pre exponenciálu (.3), z neho potom vä ²inou sta í nieko ko prvých mocnín z (u vy²²ích mocnín rýchlo stúpa náro nos ich výpo tu). Na pribliºné vy íslenie Γ(z) pre ve ké z sa nepouºíva Taylorov rad, ale Stirlingov vzorec, ktorý neskôr spresním pomocou Euler-Maclaurinovho rozvoja. Pri odvodení pouºijem aproximáciu sedlového bodu (pozri tieº (7.4)): + + e f(x) dx e f(x) e f (x )(x x ) / dx e f(x) π f (x ) (.53) Pri tom sa pouºíva predpoklad, ºe funkcia v exponente má globálne minimum v x (teda f (x ) ). Za neprítomnosti iných miním s blízkou funk nou hodnotou teda do integrálu prispieva len blízke okolie x, a preto som funkciu f(x) v tomto okolí rozloºil do Taylorovho radu, z ktorého beriem len prvé tri leny (z toho druhý je nulový). V prípade integrálu (.43a) pre Γ(z + ) platí: k f(x) ax z ln x f (x) a z x x z a f (x ) z x a z+ x z e ax dx a z+ e ax+z ln x dx a z+ e z ln z πz a z a z Γ(z + ) z z e z πz (Stirlingov vzorec) (.54) Beta funkcia je funkcia dvoch komplexných premenných a získam ju úpravou sú inu dvoch gama funkcií: u tz v t( z) e u v u x v y dudv (u,v) (t,z) z t z t t e t t x+y dt a z x ( z) y dz

28 8 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Prvý integrál na pravej strane zodpovedá gama funkcii, preto ho môºem vydeli, ím získam beta funkciu. Jej al²ie integrálne vyjadrenia získam príslu²nými substitúciami: B(x, y) Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) z x ( z) y dz (.55a) z +t dz dt t y x+y dt (.55b) (+t) ( + t) z sin ϕ π/ dz cos ϕ sin ϕ dϕ sin x ϕ cos y ϕ dϕ (.55c) Na základe (.55b) odvodím dôleºitý zrkadliaci vzorec pre gama funkciu. Integrál ozna ený I vyhodnotím pre R(z) (, ) pod a krivkového integrálu na obrázku. Γ( z)γ(z) t z + t dt t ex + dt e x dx e zx + e x dx I e zx + e x R(z) (, ) I(x) πi Ie πzi iπ I R R(x) I Ie πzi e zx πieiπz πi Rez xiπ + e x e iπ πieiπz Γ(z)Γ( z) π (.56) sin πz Hoci bol vzorec odvodený pre R(z) (, ), platí v celej komplexnej rovine v aka analytickému pred ºeniu (nevyskytujú sa vetviace body), ale môºem to ukáza aj explicitne: funkcia vpravo je periodická s periódou + zmenou znamienka. Funkcia v avo je tieº periodická: Γ(z)Γ( z) zγ(z)γ( z) Γ(z + )Γ( z) Tak isto avá aj pravá strana majú póly v celých íslach z n s reziduom ( ) n. Zo zrkadliaceho vzorca tieº vyplýva Γ(z) pre z C (.57) lebo sin πz nemá pod a (.5) ºiadne singularity a Γ(n) je pre kladné celé n nenulové.

29 .5. BERNOULLIHO ƒísla 9 alej odvodím duplika ný vzorec pre gama funkciu, ktorý bude výsledkom vyhodnocovania B(z, /) (pre R(z) > ) pod a (.55a): Γ(z)Γ( ) Γ(z + ) x z x t dx dx/ / x 4dt x x 4t 4t 4 z [t( t)] z dt z [t( t)] z z Γ(z)Γ(z) dt Γ(z) ( z Γ(z)Γ z + ) ( ) Γ(z)Γ π Γ(z) (.58).5 Bernoulliho ísla V al²ích astiach budem potrebova tzv. Bernoulliho ísla, ktoré sa objavujú pri rie²ení zdanlivo nesúvisiaceho problému h adanie vzorca pre n k kp, kde p je celé íslo, napríklad: k n n(n + ) n n3 3 + n + n 6 Vidie teda, ºe sú et p-tých mocnín sa dá vyjadri ako polynóm (p+). stup a. Úlohou je nájs koecienty tohto polynómu. Budem vychádza z geometrického radu exponenciál e kx, z ktorých získam príslu²né k p derivovaním. Po vys ítaní vznikne podiel dvoch nulových výrazov, ktoré si rozdelím tak, aby som predi²iel vzniku singularity. Nakoniec rozviniem exponenciálu v itateli do Taylorovho radu a pouºijem binomickú vetu pre p-tú deriváciu. n n k p dp dx p e kx k k x dp dx p ex enx e x dp e nx x dx p e x x dp e nx x p p! n p k+ dx p x e x x k!(p k)! p k + d k x dx k e x k x p p!b k k!(p k + )! np k+ (.59) Denoval som Bernoulliho ísla B k : B k dk x dx k e x x x e x k B k k! xk (.6)

30 3 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Ak do uvedeného Taylorovho rozvoja dosadím x a od ítam ho od toho pôvodného, zistím, ºe nepárne Bernoulliho ísla (okrem B ) sú nulové: x e x xe x e x k ( ) k B k x k x k! k B k [ ( ) k ] x k k! B B k+ k N (.6) Rekurentný vzorec pre Bernoulliho ísla získam najjednoduch²ie dosadením n do (.59), potom p n: n k n!b k k!(n k + )! Nieko ko prvých Bernoulliho ísel je: k n n! B n k!(n k + )! B k (.6) B B B B 4 B 6 B 8 B B 69 B 4 7 B B B B B B B Rekurentný vzorec v trochu inom tvare získam pri dôkaze vzorca (.59) matematickou indukciou typu n k kp n p n k kp : p p!b k n p k+ p k!(p k+)! p!b k (n ) p k+ np k!(p k + )! k p k p k+ p j p+ k k k p k k k k p!( ) j B k n p k j+ k!j!(p k j + )! p k + (k p + ) k k p!( ) k k B k n p k + p k!(k k)!(p k + )! + subst.: j + k k k p k p!( ) p k+ B k k!(p k + )! Porovnám koecienty pri jednotlivých mocninách n. Z nulovosti koecientu pri n (posledná suma) vyplýva: B p p k p!( ) p k+ k!(p k + )! B k (.63)

31 .6. RIEMANNOVA ζ FUNKCIA 3 Pre leny pri n p+ a n p platí: k : B p + B p + k : B B + B Rovnos u ostatných mocnín sa overí priamo iaro pomocou vzorca (.63): B k k! k k ( ) k k B k k!(k k)!.6 Riemannova ζ funkcia (k p + ) ζ(x) x Riemannova dzeta funkcia je denovaná ako sú et prevrátených mocnín prirodzených ísel (tento rad v beºnom zmysle dobre konverguje len pre R(z) > ). Rozkladom prirodzených ísel na prvo ísla p (ten je jednozna ný), ich vybratím pred zátvorku a vys ítaním geometrických radov získam vyjadrenie vo forme nekone ného sú inu: ζ(z) n prvo ísla n z p ( + p z + ) p z +... prvo ísla p ( p) (.64) Takto denované ζ(z) sa dá jednozna ne analyticky pred ºi na zvy²ok komplexnej roviny. Kvôli tomu prejdem od sumy k integrálnemu vyjadreniu s vyu- ºitím (.43a), kde dosadím a n: n n z Γ(z) x z ( n ) e nx dx Γ(z) Z toho získam vyjadrenie, ktoré platí zatia len pre R(z) > : ζ(z) Γ(z) x z e x dx e x x z e x dx (.65)

32 3 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ V komplexnej rovine budem skúma integrál: x z e x dx I εe +iπ + I εe iπ I(x) nπi 4πi πi I πi 4πi I n R(x) x re iϕ dx x idϕ ϕ ( π, π) nπi Integrály I + a I uvaºujem tak, ºe oba leºia na zápornej reálnej osi od do ε (limitne idúceho do nuly). Ke ºe v²ak x je vetviaci bod pre x z (nazna ený krúºkom; okrem prípadov, ke z je reálne celé íslo), neintegrujú sa rovnaké funk né hodnoty, ale iné poschodie viaczna nej funkcie, ako je to nazna ené na obrázku (lí²iace sa o e π(z )i ). Ich vz ah je jednozna ne daný spojitým napojením pomocou I a I n. I + I + r z e iπ(z ) + e r ( dr) e iπz x z + e x dx I lim ε +π r z e iπ(z ) + e r ( dr) e iπz e x dx π ε z e izϕ idϕ exp( εe iϕ ) i lim ε x z + +π π Pre R(z) > tak pod a (.65) a (.56) platí: ε z e izϕ dϕ εe iϕ + O(ε ) pre R(z) > ζ(z) I + I + I + Γ( z) x z (e iπz e iπz )Γ(z) πi e x dx (.66) kde som zaviedol ozna enie pre sú et I + I + I +, ktorý predstavuje integrál so spojitou dráhou od, obchádzajúci nulu v kladnom smere a kon iaci znova v. Uvedená integra ná krivka sa dá bez zmeny výsledku deformova, napríklad zvä ²ením ε (av²ak bez prekro enia singularity, teda len do π), ím sa stanú v²etky asti integrálu kone né pre v²etky komplexné z. Tým som získal vzorec pre ζ(z) platný pre v²etky z. Problém môºe nasta len pri jeho pouºití na kladné celé ísla (okrem ), kde je integrál nulový a

33 .6. RIEMANNOVA ζ FUNKCIA 33 Γ( z) má pól výraz (.66) má vtedy odstránite nú singularitu (t.j. má dobre denovanú limitu v z n). Najprv ma budú zaujíma hodnoty ζ( n), kde n je nezáporné celé íslo. V tom prípade nie je v x vetviaci bod, len singularita. Preto I + I + a pod a (.6) platí: I ε x z e x dx k ε B k k! xz+k dx Do integrálu prispeje pod a reziduovej vety (.9) len k z + : ζ( n) Γ( + n) πi B n+ πi (n + )! B n+ n + (.67) ζ() ζ( ) ζ( ) ζ( 3) ζ( 4) Uvedený postup moºno pouºi e²te pri ζ(), kde integrál je nenulový, ale gama funkcia má pól, teda aj ζ() má pól: Rez ζ(z) B Rez Γ( z) (.68) z z Je to jediná singularita ζ funkcie v komplexnej rovine. Na vyhodnotenie ζ(z) aj pre ostatné R(z) < pouºijem reziduovú vetu (.9), pri om doplním integra nú dráhu o I n pod a obrázka vy²²ie: I n I I I + πi n ( k Integrál I n je v limite n nulový: Rez xkπi x z e x + Rez x kπi I n < (πn)r(z) π pre R(z) < / x z ) e x V limite n dosadím zvy²né integrály pod a (.66) a reziduá pod a (.7), pri om fázový faktor u x je e ±iπ/. πiζ(z) Γ( z) πi ( ) πz (kπ) z (ie iπz/ ie iπz/ ) (π) z ζ( z)i sin k Tento vzorec uº obsahuje vz ah medzi ζ(z) a ζ( z). Najprv ho pouºijem na ur enie ζ(n) pod a (.67) pre celé kladné n (kde n z): ζ(n) πζ( n) (π) n Γ(n) sin ( π nπ) ( )n+(π)n B n (n)! (.69)

34 34 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ ζ() π ζ(4) π4 ζ(6) π6 ζ(8) π8 ζ() π Symetrické vyjadrenie zrkadliaceho vzorca pre ζ funkciu získam al²ou úpravou pomocou duplika ného (.58) a zrkadliaceho (.56) vzorca pre gama funkciu: Γ( z) ( ) ( z π z Γ Γ z ) ( ) ( z Γ Γ z ) ( ) πz sin π ζ(z)γ ( ) ( z ζ( z)γ z ) (.7) π z/ π ( z)/ Zrkadliaci vzorec (.7) vyjadruje symetriu pri zámene z z a nazna uje, ºe ζ ( + it) bude ma ²peciálne vlastnosti. Denujem preto funkciu ξ(z) z(z )ζ(z)γ( ) z ξ(z) ξ( z) (.7) π z/ Pridaním z(z ) som odstránil póly Γ() a ζ(). Nulovos ζ( n) odstra uje póly Γ( n). Funkcia ξ(z) je teda dobre denovaná na celej komplexnej rovine, nemá ºiadne singularity a nemá ani nuly na reálnej osi. Na reálnej osi je reálna a teda aj jej Taylorov rozvoj má reálne koecienty. Z toho vyplýva: ( ) ( ) ξ(z) ξ(z ) ξ( z ) ξ + it ξ + it Funkcia ξ ( + it) je teda reálna pre reálne t. Dá sa o akáva, ºe v aka oscila nému príspevku I(z) do (.66) sa bude ζ ( + it) pohybova okolo nuly a v aka reálnosti ξ ( + it) ju bude aj pretína (gama funkcia nemá ºiadne nuly pod a (.57)). O týchto nulách hovorí Riemannova hypotéza: Okrem triviálnych núl v n leºia v²etky ostatné nuly ζ funkcie na priamke R(z). Hoci numerické výsledky to zatia potvrdzujú, táto hypotéza zostáva nedokázaná uº viac neº 5 rokov. ξ( + it) eπt/4 t t

35 .7. BERNOULLIHO POLYNÓMY 35.7 Bernoulliho polynómy Vzorec pre ζ(n) (.69) odvodím e²te inak, bez pouºitia krivkového integrálu. Popritom odvodím Bernoulliho polynómy, ktoré neskôr vyuºijem pri odvodení Euler-Maclaurinovej sumácie. Ako sa asom ukáºe, Bernoulliho polynómy súvisia s Bernoulliho íslami. Na formulovanie výsledkov budú nakoniec sta i len Bernoulliho ísla. Na Bernoulliho polynóm B n (x) (n je kladné celé íslo) si zvolím tieto predbeºné poºiadavky: je to polynóm stup a n s jednotkovým koecientom pri x n a jeho integrál od do je nula. Takýto polynóm si môºem periodicky roz²íri na funkciu s periódou a tú potom rozvíja do Fourierovho radu. Preto v²etky al²ie vyjadrenia B n (x) vo forme Fourierovho radu sa vz ahujú len na interval x (, ). Za nem s prvým polynómom: B (x) x k a k sin(kπx) a k x sin(kπx)dx B (x) sin(kπx)dx kπ [ x cos(kπx) kπ B (x) k ] + lebo: cos(kπx) dx kπ kπ + sin(kπx) (.7) kπ al²ie polynómy získam h adaním primitívych funkcií (neur itým integrálom), pri om podmienka na nulovos zabezpe uje, ºe Fourierov rozvoj si zachová svoj charakter (kvôli neprítomnosti kon²tantného lena nevzniknú lineárne, parabolické a al²ie neperiodické leny). Z jednotkovosti koecientu pri najvy²²ej mocnine alej vyplýva: Platí teda: B n(x) nb n (x) (.73) B n (x) (n)!( ) n+ k B n+ (x) (n + )!( ) n+ cos(kπx) (kπ) (.74a) n k sin(kπx) (kπ) (.74b) n+

36 36 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Dosadením x do (.74a) získam: ζ(n) k k n ( )n+ (π) n B n () (n)! (.75) Kvôli konzistencii e²te dokáºem B n () B n () (okrem B (x)): B n () B n () Pod a (.73) potom platí: B n(x)dx n n B n (x) x n + k B n (x)dx n!b n k () k!(n k)! xk (.76) Dosadením x, vykrátením B n () B n () a substitúciu n p +, a potom k p k + získam: B p () p p + p! k!(p k + )! B p k+() k p p + p! k!(p k + )! B k() (.77) k To je ekvivalentné s (.63) za predpokladu B B k ( ) k B k () B k () (.78) Nakoniec uvediem e²te jednu vlastnos Bernoulliho polynómov: Výraz B n (x+ ) B n (x) by mal by polynóm stup a n vzh adom k x. Pri dosadení x získam nulu, rovnako ako pri jeho derivovaní a následnom dosadení x, okrem prípadu, ke ho zderivujem (n )-krát vtedy dostanem Z toho vyplýva n![b (x + ) B (x)] n! B n (x + ) B n (x) nx n n n+ x+ x B n (x)dx x n (.79)

37 .8. EULER-MACLAURINOVA SUMÁCIA 37.8 Euler-Maclaurinova sumácia Niektoré íselné rady konvergujú dos pomaly, ak ich ale aproximujem integrálom, ten sa môºe da jednoducho vypo íta to je aj prípad radu, ktorým denujem ζ funkciu. Budem sa teda snaºi ur i rozdiel medzi sumou a integrálom a tým nájs spôsob na výpo et pomaly konvergujúcich súm. Najprv sa budem zaobera kone nými sumami: N f(n) nm R N M f(m) + f(n) [ + N nm N + f(x)dx + R (.8) M ] δ(x n) f(x)dx Delta funkciu volím tak, ºe na hranici integra ného intervalu prispieva /. Jej integrálom je skoková funkcia: { pre x < θ(x) / pre x (.8) pre x > Pri integrovaní per partes si zvolím integra nú kon²tantu M /, aby zostal len len s integrálom: R [( M x + + N N M n+ nm n N nm N nm ( x M + ( x n ) ] N θ(x n) f(x) M ) N nm θ(x n) ) N f (x)dx nm f (x)dx ( t ) f (n + t)dt B (t)f (n + t)dt (.8) Spätne si vyhodnotím jeden integrál zo sumy, aby som ukázal, ºe som pomocou skokovej a delta funkcie ni nezamietol pod koberec: ( t ) [( f (n + t)dt t ) ] f(n + t) f(n + t)dt f(n + ) + f(n) n+ n f(x)dx

38 38 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Budem alej pokra ova v integrovaní per partes, pri om vyuºijem (.78): B n () B n () B n B n+ () B n+ () R N nm [ ] B (t)f (n + t) B [ f (N) f (M) ] N + p k Zvy²ok s integrálom som ozna il: nm N nm B (t)f (n + t)dt 3 B 3(t)f (n + t)dt B k [ f (k ) (N) f (k ) (M) ] + R p (.83) (k)! R p N nm B p (t) (p)! f (p) (n + t)dt (.84) E²te treba vyrie²i otázku konvergencie radu (.83). Z (.69) vyplýva: ζ(k) B k (k)! (π) k (.85) Chyba tejto aproximácie je len 8% pre k, % pre k 3 a rýchlo klesá. Pre zvy²ok R p platí pod a (.74a) a za predpokladu klesajúcej f (p) (x): p+ (p)! B p (x) ( ) cos(πx) (π) p N R p f (p) (x) (π) p cos(πx)dx f (p) (M) (.86) (π) p M Z toho je vidie, ºe zvy²ok má zhruba rovnakú ve kos ako predposledný len (ide teda o asymptotický rozvoj ). Aj ke sa zdá, ºe ve kos lenov klesá kaºdým krokom (π) -násobne, tento pokles môºe by ahko zvrátený nárastom derivovanej funkcie, napr. (x k ) k(x k ) k(k + )x k Teda pre k > π x za ína by rozvoj divergentný. Totiº kým leny rozvoja klesajú, ich s ítavanie vedie k výsledku stále bliº²iemu správnej hodnote, od istého okamihu v²ak za ínajú rás a potom uº ich s ítanie nemá zmysel, lebo rad diverguje (presnej²í výsledok sa napriek tomu niekedy dá získa Padého aproximáciou re azovými zlomkami). K podobnej situácii dochádza v poruchovej teórii v

39 .8. EULER-MACLAURINOVA SUMÁCIA 39 kvantovej mechanike a kvantovej teórii po a: kým pre elektromagnetickú interakciu (malá väzbová kon²tanta) má zmysel s íta poruchový rozvoj (prakticky spo ítaný len do 4. poriadku), u silnej interakcie rozvoj diverguje hne od za iatku. Výsledky tejto asti zhrniem vo forme Euler-Maclaurinovho rozvoja: N f(n) nm N M f(x)dx+ f(m) + f(n) + k B k [ f (k ) (N) f (k ) (M) ] (k)! (.87) Pri om vys ítavanie k do nekone na som uviedol len symbolicky. Ako som popísal vy²²ie, má to zmysel len kým f (k) (M) < π f (k ) (M) Ak nesplnenie tejto podmienky zabra uje výpo tu daného radu do poºadovanej presnosti, vä ²inou sta í beºným spôsobom vys íta nieko ko prvých lenov radu ( ím sa zvý²i M) a Euler-Maclaurinov rozvoj pouºi aº na al²ie leny. Nakoniec si uvediem nieko ko príkladov. Sú et celo íselných mocnín prirodzených ísel sa zhoduje s (.59) a Euler-Maclaurinov rozvoj je kone ný: N n p n N x p dx + N p + p/ k B k p!n p k+ (k)! (p k + )! Zo sumy som odstránil prípadný posledný len k p +, pretoºe vtedy je výsledkom derivovania kon²tantná funkcia a f(n) f() (totiº vo v²etkých predchádzajúcich lenoch platilo p k+, v tomto poslednom to neplatí). Sú et geometrického radu klesajúcich exponenciál (v tomto prípade E-M rozvoj konverguje a je zhodný s (.6)): e a e na n e ax dx + + k B k (k)! ak Ur enie Euler-Mascheroniho kon²tanty (kde vhodne zvolím M, M < N): N M n n + ln N ln M + ( M + )... + N n n ( N ) γ lim N n ln N n M n k n +... M ln M + ( B k k M k ) N k k B k km k (.88) Pre výpo et na desatinných miest, ako je to v (.5), sta í zvoli napríklad M a k max 3.

40 4 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ.9 Výpo et Γ(z) a ζ(z) pomocou E-M rozvoja Vy íslenie Γ(z) a ζ(z) pomocou Euler-Maclaurinovho rozvoja zah a nieko ko trikov, preto ich preberiem dôkladnej²ie. Najprv budem ur ova logaritmus faktoriálu pod a (.8) a (.8), ktorý neskôr zov²eobecním na komplexné ísla: ln N! N ln n n N ln x dx + ln + ln N + N k Vyhodnotenie integrálu (per partes) a sumy: ln x dx x ln x x dx x ln x x x R N k B (t) k + t dt k B (t) k + t dt k B (t) k + t dt B (t) N + k + t dt Mechanický prepis R do E-M rozvoja by viedol k divergentnému radu, preto treba postupova opatrnej²ie a rozdeli si to na dve sumy. Tá prvá nezávisí na N a je kone ná (lebo po rozdelení integrálov v / dostanem alternujúci klesajúci rad), u tej druhej uº moºno pokra ova s vyhodnotením pomocou Euler-Maclaurinovho rozvoja. Po zov²eobecnení na gama funkciu ( N z): ln Γ(z + ) ( z + ) ln z z + A k Kone né leny nezávislé na z som zhrnul pod kon²tantu A. A + k B (t) k + t dt B (t) dt (.89) z + k + t Vyhodnotím ju nepriamo v limite z, a to bu porovnaním so Stirlingovým vzorcom (.54) to dáva A ln π, alebo dosadením do duplika ného vzorca (.58), ím dostanem to isté: π Γ(z + ) z Γ ( ) z + Γ(z + ) π(z) z+ e A z z (z /) z z z+ e A z+ z e z z+ e A z+ Výsledkom je Stirlingov rad pre logaritmus gama funkcie: ( ln Γ(z + ) z + ) ln z z +... ln π + B k (.9) k(k ) z k k

41 .9. VÝPOƒET Γ(Z) A ζ(z) POMOCOU E-M ROZVOJA 4 Kritérium konvergencie je k < π z, ale v prípade blízkosti zápornej reálnej osi môºu by odchýlky od správnej hodnoty vy²²ie ako by to nazna ovala ve kos posledného zarátaného lenu. Presnos double sa napríklad pre z dá dosiahnu s k max 8. Pre malé z sa presnos dá zvý²i pomocou zγ(z) Γ(z + ) (.47): n ln Γ(z + ) ln Γ(z + n + ) ln(z + k) (.9) Nakoniec poznamenám, ºe Stirlingov rad sa pomocou (.67) dá zapísa do tvaru, ktorý nápadne pripomína Taylorov rad (.5), hoci jeho oblas konvergencie je úplne opa ná: ln Γ(z + ) N k ( z + ) ln z z + ln π k ζ( k) k (.9) z k Riemannovu ζ funkciu vyhodnotím iasto ným vys ítaním radu a vys ítaním zvy²ku Euler-Maclaurinovou sumáciou. Najprv si vyhodnotím integrál [ ] x z dz ( z)x z (z )N z Pri dosadzovaní do E-M rozvoja vy²krtnem leny, do ktorých sa dosadzuje horná hranica sumácie/integrálu nekone no. Zatia o tieto leny sú nulové pre R(z) >, v iných prípadoch divergujú práve v ich vy²krtnutí spo íva analytické pred ºenie. Ak totiº nejaká funkcia (t.j. vy²krtnuté leny) je nulová v istom okolí niektorého bodu (a teda má nulový Taylorov rozvoj), je v aka analytickému pred ºeniu nulová na celej komplexnej rovine. Ostatné leny rozvoja sú analytickými funkciami z, a preto aj ich sú et ostáva analytický (aspo v asymptotickom zmysle). H adané vyjadrenie je potom: ζ(z) n N n z n n z +... N z + (z )N z + N k B k (k)! k j (z + j) N z+k (.93) Kritérium konvergencie je z + k < πn. Pre ve ké z teda treba voli ve ké N. S tým je spojený výpo et e z ln n pre kaºdý len sumy (ob as to moºno obís rozkladom na delitele). To sa nepriaznivo prejavuje predov²etkým pri h adaní núl typu z +it. alej v prípade R(z) < sa síce dá dosiahnu konvergencia vo bou dostato ne vysokého N, pri jeho al²om zvy²ovaní ale dochádza k tomu, ºe E-M rozvoj dlhý as len od íta ve ké hodnoty, ktoré vznikli pri predbeºnej sume. Preto je lep²ie pre R(z) < vyuºi zrkadliaci vzorec (.7), napríklad v pôvodnom nesymetrickom tvare ζ(z) (π) z ζ( z)γ( z) sin ( πz ) (.94)

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Základy automatického riadenia

Základy automatického riadenia Základy automatického riadenia Predná²ka 6 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Základy automatického riadenia

Základy automatického riadenia Základy automatického riadenia Predná²ka 8 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Zbierka rie²ených úloh z matematickej fyziky

Zbierka rie²ených úloh z matematickej fyziky Zbierka rie²ených úloh z matematickej fyziky Milan šukovi 22. novembra 2009 2 Obsah Komplexné ísla. Úvod.................................................................2 Úlohy...............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Eulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db).

Eulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db). Eulerovské grafy Denícia Nech G = (V, E) je graf. Uzavretý ah v G sa nazýva eulerovská kruºnica, ak obsahuje v²etky hrany G. Otvorený ah obsahujúci v²etky hrany grafu sa nazýva eulerovská cesta. Graf sa

Διαβάστε περισσότερα

f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)

f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z) Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte

22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová

MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2 Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Základy automatického riadenia

Základy automatického riadenia Základy automatického riadenia Predná²ka 9 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Zbierka úloh

Numerické metódy Zbierka úloh Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11 Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

F19MC2 Solutions 9 Complex Analysis

F19MC2 Solutions 9 Complex Analysis F9MC Solutions 9 Complex Analysis. (i) Let f(z) = eaz +z. Then f is ifferentiable except at z = ±i an so by Cauchy s Resiue Theorem e az z = πi[res(f,i)+res(f, i)]. +z C(,) Since + has zeros of orer at

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Príklady k Matematike 1

Príklady k Matematike 1 Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie komplexnej premennej

Funkcie komplexnej premennej (prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Maticové hry. doc. RNDr. tefan Pe²ko. 9. marca Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu

Maticové hry. doc. RNDr. tefan Pe²ko. 9. marca Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu 9. marca 2018 Antagonistický konikt dvoch hrá ov s kone nými priestormi stratégií modeluje maticová hra. Denícia 3.1 Kone nú hra s nulovým sú tom

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Analysis of Waves

Fourier Analysis of Waves Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman

Διαβάστε περισσότερα

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana. Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

1. [Carrier, Krook and Pearson, Section 3-1 problem 1] Using the contour

1. [Carrier, Krook and Pearson, Section 3-1 problem 1] Using the contour . [Carrier, Krook and Pearson, Section 3- problem ] Using the contour Γ R Γ show that if a, b and c are real with b < 4ac, then dx ax + bx + c π 4ac b. Let r and r be the roots of ax + bx + c. By hypothesis

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetické pole

Elektromagnetické pole Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia na zlepšenie obrazu sa používajú frekvenčné metódy a priestorové metódy.

Motivácia na zlepšenie obrazu sa používajú frekvenčné metódy a priestorové metódy. OBRAZOVÉ TRANSFORMÁCIE Motivácia na zlepšenie obrazu sa používajú frekvenčné metódy a priestorové metódy. Fourierova transformácia Jednorozmerný spojitý prípad Nech f(x je spojitá funkcia reálnej premennej

Διαβάστε περισσότερα

Pravdepodobnos a ²tatistika (1-INF-435) Poznámky k predná²kam. Radoslav Harman, KAM, FMFI UK

Pravdepodobnos a ²tatistika (1-INF-435) Poznámky k predná²kam. Radoslav Harman, KAM, FMFI UK Pravdepodobnos a ²tatistika (1-INF-435) Poznámky k predná²kam Radoslav Harman, KAM, FMFI UK 15. januára 2014 Obsah 1 Úvod 3 2 Axiomatická denícia pravdepodobnosti 3 2.1 Priestor udalostí..................................

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ako si nájs chybu? o a ako sa pýta výsledkov

Ako si nájs chybu? o a ako sa pýta výsledkov o a ako sa pýta výsledkov Katedra teoretickej fyziky a didaktitky fyziky FMFI, UK Letná ²kola FKS/TMF 29.7.2016 Keby ste sa nudili Túto prezentáciu a mnoºstvo al²ích príkladov nájdete na davinci.fmph.uniba.sk/

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium

Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium Škola: Predmet: Skupina: Trieda: Dátum: Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium Fyzika Fyzikálne veličiny a ich jednotky Obsah a metódy fyziky, Veličiny a jednotky sústavy SI, Násobky a diely fyzikálnych

Διαβάστε περισσότερα

Pavol Jozef afárik University in Ko²ice Faculty of Science. Testovanie a verikácia programov Floydova metóda Gabriela Andrejková

Pavol Jozef afárik University in Ko²ice Faculty of Science. Testovanie a verikácia programov Floydova metóda Gabriela Andrejková Pavol Jozef afárik University in Ko²ice Faculty of Science Testovanie a verikácia programov Floydova metóda Gabriela Andrejková Pri dokazovaní správnosti programov je potrebné ma ²pecikované: a) programovací

Διαβάστε περισσότερα

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint) Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

6.642, Continuum Electromechanics, Fall 2004 Prof. Markus Zahn Lecture 8: Electrohydrodynamic and Ferrohydrodynamic Instabilities

6.642, Continuum Electromechanics, Fall 2004 Prof. Markus Zahn Lecture 8: Electrohydrodynamic and Ferrohydrodynamic Instabilities 6.64, Continuum Electromechnics, Fll 4 Prof. Mrus Zhn Lecture 8: Electrohydrodynmic nd Ferrohydrodynmic Instilities I. Mgnetic Field Norml Instility Courtesy of MIT Press. Used with permission. A. Equilirium

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 06 Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Μιγαδικοί Αριθμοί 3 Μιγαδικές συναρτήσεις 5. Όριο & Συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής............

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα