ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ Τ.Ε.Ι. ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ρ. Κ ελήµπασης Ρ. Ν. Ασηµάκης ΛΑΜΙΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

3 ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

4 ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ένα σήµα διακριτού χρόνου είναι µία ακολουθία πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών που παριστάνεται ως συνάρτηση x της οποίας η ανεξάρτητη µεταβλητή παίρνει διακριτές ακέραιες τιµές. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

5 Το σήµα διακριτού χρόνου µπορεί να παριστάνεται ως x ή x[], όπου ακέραιος. Ένα σήµα διακριτού χρόνου παράγεται µε δύο τρόπους Με µία µαθηµατική σχέση xf Από ένα σήµα συνεχούς χρόνου xt, t πραγµατικός αριθµός, µέσω δειγµατοληψίας. ειγµατοληψία είναι η διαδικασία µέτρησης της τιµής ενός σήµατος σε διακριτές χρονικές στιγµές, οι οποίες ισαπέχουν: tts, όπου Ts η περίοδος δειγµατοληψίας. Για το δειγµατοληπτηµένο σήµα, xtxts x αφού Ts είναι σταθερά. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

6 Πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου πραγµατικές τιµές x διακριτές ακέραιες τιµές 3 x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

7 Μιγαδικό σήµα διακριτού χρόνου x a + j b x e jφ πραγµατική συνιστώσα a φανταστική συνιστώσα b πλάτος x a + b / φάση φ ata b/a όπου e jφ cosφ + j siφ, e jφ Συζυγές µιγαδικό σήµα x* a - j b x e -jφ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

8 Σήµα µοναδιαίου δείγµατος ακολουθία µοναδιαίου δείγµατος δ 0, 0 0, 0 fuctio [x,]sigimp0,, % impulse sigal % d-0.. [:]; x[-00]; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

9 Σήµα µοναδιαίου δείγµατος Παράδειγµα: δ, δ-, δ+4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

10 Σήµα µοναδιαίου βήµατος µοναδιαία βηµατική ακολουθία u 0, 0, < 0 0 fuctio [x,]sigstep0,, % step sigal % u-0.. [:]; x[-0>0]; δ u u ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

11 Σήµα µοναδιαίου βήµατος Παράδειγµα: u, u-, u+4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

12 Πραγµατικό εκθετικό σήµα xr fuctio [x,]sigrexpr,, % real exp sigal % r^.. [:]; xr.^; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

13 Πραγµατικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: x0.9 x. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

14 Φανταστικό εκθετικό σήµα xe jω cosω+jsiω η πραγµατική συνιστώσα του σήµατος είναι cosω η φανταστική συνιστώσα του σήµατος είναι siω το πλάτος του σήµατος είναι η φάση του σήµατος είναι ω η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος είναι ω σε rad fuctio [rex,imx,mx,fx,]sigiexpw,, % imagiary exp sigal % expjwcosw+jsiw.. [:]; rexcosw*; imxsiw*; mx.^; fxw*; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

15 Φανταστικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: xe jπ/5 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

16 Μιγαδικό εκθετικό σήµα xr e jω r [cosω+jsiω] η πραγµατική συνιστώσα του σήµατος είναι r cosω η φανταστική συνιστώσα του σήµατος είναι r siω το πλάτος του σήµατος είναι r η φάση του σήµατος είναι ω η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος είναι ω σε rad fuctio [rex,imx,mx,fx,]sigcexpr,w,, % complex exp sigal % r^*expjw r^*{cosw+jsiw} %.. [:]; mxr.^; fxw*; rexmx.*cosw*; imxmx.*siw*; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

17 Μιγαδικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: x0.9 e j0.3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

18 Ηµιτονοειδές σήµα x { jω+ φ Im e } si ω+ φ η συχνότητα του σήµατος είναι ω η φάση του σήµατος είναι φ fuctio [x,]sigsiw,f,, % siusoidal sigal % xsiw*+f.. [:]; xsiw.*+f; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

19 Ηµιτονοειδές σήµα Παράδειγµα: xsi0.+π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

20 ιάρκεια σήµατος διακριτού χρόνου Σήµα πεπερασµένου µήκους x, Σήµα απείρου µήκους - Ακολουθία δεξιάς πλευράς x, 0 - Ακολουθία αριστερής πλευράς x, 0 - Αµφίπλευρη ακολουθία x, - <<+ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

21 ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ένα σήµα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό αν ισχύει η ακόλουθη σχέση: x x+n Η θεµελιώδης περίοδος του σήµατος είναι ο ελάχιστος ακέραιος θετικός αριθµός N για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

22 Ισοδυναµία µεταξύ εκθετικής και Σχέση του Euler: ηµιτονικής αναπαράστασης e j θ cosθ+ j siθ, j Αντίστροφες σχέσεις του Euler jθ jθ e + e cosθ jθ jθ e e siθ j Κατά συνέπεια, το ηµιτονικό σήµα παράγεται από το φανταστικό µέρος Im του φανταστικού εκθετικού σήµατος, ενώ το συνηµίτονο παράγεται από το πραγµατικό µέρος Re του φανταστικού εκθετικού σήµατος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

23 Παράδειγµα Μπορεί να χρησιµοποιηθεί η σχέση του Euler για να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνοµετρικές σχέσεις: cos si a+ b cos a cosb si asi a+ b si a cosb+ cos a si b b ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

24 Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήµα Το φανταστικό εκθετικό σήµα x e jω cosω + j siω είναι περιοδικό αν η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος ω είναι ρητό πολλαπλάσιο του π Η θεµελιώδης περίοδος του περιοδικού φανταστικού σήµατος είναι N π/ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

25 Περιοδικότητα φανταστικού εκθετικού σήµατος Το φανταστικό εκθετικό σήµα xe jω είναι περιοδικό αν xx+n, δηλαδή αν e jω e jω+ν ή αν e jω e jω e jων ή αν e jων ή αν cosων + j siων ή αν cosων και siων 0 ή αν ων kπ, όπου k φυσικός αριθµός ή αν ω π k/n δηλαδή αν η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος ω είναι ρητό πολλαπλάσιο του π Για k προκύπτει η θεµελιώδης περίοδος Nπ/ω του περιοδικού φανταστικού σήµατος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

26 Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: xe jω ωπ/8 Νπ/ω6 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

27 Περιοδικό ηµιτονοειδές σήµα Το ηµιτονοειδές σήµα siω+φ είναι περιοδικό αν η συχνότητα του σήµατος ω είναι ρητό πολλαπλάσιο του π Η θεµελιώδης περίοδος του περιοδικού ηµιτονοειδούς σήµατος είναι N π/ω si ω ϕ si ω N ϕ ω+ ϕ+ kπ ω+ ωn+ ϕ k kπ ωn ω π N ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

28 Περιοδικό ηµιτονοειδές σήµα Παράδειγµα: xsiω ωπ/4 Ν8 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

29 Άθροισµα περιοδικών σηµάτων Αν το σήµα x είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο Ν και το σήµα x είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο Ν τότε το σήµα xx+x είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο ΝΝ N/ΜΚ N,N Παρατήρηση: Αν NN, τότε ΝΝΝ Παράδειγµα: xcosπ/ µε θεµελιώδη περίοδο Ν4 xsiπ/8 µε θεµελιώδη περίοδο Ν36 xx+xcosπ/+siπ/8 µε θεµελιώδη περίοδο ΝΝN/ΜΚ N,N4 36/7 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

30 Υποπερίπτωση αθροίσµατος περιοδικών σηµάτων Αν προσθέσουµε περιοδικά σήµατα µε την ίδια περίοδο, αλλά µε διαφορετικό πλάτος και φάση, προκύπτει περιοδικό σήµα µε την ίδια περίοδο N k A e k j φ k A k e j φ k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 30

31 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

32 Πράξεις Μετασχηµατισµού Πλάτους. πρόσθεση σηµάτων yx+x. πολλαπλασιασµός σηµάτων yxx 3. κλιµάκωση στο πλάτος ycx ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

33 Πρόσθεση Σηµάτων fuctio [y,]sigaddx,,x, % additio % yx+x mimi,mi:maxmax,max; yzeros,legth; yy; yfid>mi&<maxx; yfid>mi&<maxx; yy+y; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 33

34 Πρόσθεση Σηµάτων: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 34

35 Πολλαπλασιασµός Σηµάτων fuctio [y,]sigmultx,,x, % multiplicatio % yxx mimi,mi:maxmax,max; yzeros,legth; yy; yfid>mi&<maxx; yfid>mi&<maxx; yy.*y; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 35

36 Πολλαπλασιασµός Σηµάτων: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 36

37 Κλιµάκωση στο Πλάτος yc x όπου c πραγµατικός αριθµός ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 37

38 Κλιµάκωση στο Πλάτος: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 38

39 Πράξεις Μετασχηµατισµού Χρόνου. µετατόπιση σήµατος yx-0 Αν 0>0, τότε έχουµε καθυστέρηση το σήµα µετατοπίζεται δεξιά Αν 0<0, τότε έχουµε πρωτοπορία το σήµα µετατοπίζεται αριστερά. αντιστροφή σήµατος yx- 3. κλιµάκωση στο χρόνο yxc Αν cm, τότε έχουµε διαίρεση συχνότητας Αν c/m, τότε έχουµε πολλαπλασιασµό συχνότητας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 39

40 Μετατόπιση fuctio [y,]sigshiftx,m,0 % shift % yx-0 m+0; yx; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 40

41 Μετατόπιση: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

42 Αντιστροφή fuctio [y,]sigfoldx, % fold % yx- yfliplrx; -fliplr; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

43 Αντιστροφή: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 43

44 Παράδειγµα: δείξτε ότι η µετατόπιση και η αντιστροφή δεν είναι µεταθετικές πράξεις Αντιστροφή: Axx- Μετατόπιση: Μ k xx-k Μ k Ax Μ k x-x--k AΜ k xax-kx-+k k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 44

45 ιαίρεση Συχνότητας fuctio [y]sigscaldivc,x % frequecy divisio % x :l % yxc % c> llegthx; mfloorl/c; for i:m yixi*c; ed; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 45

46 Πολλαπλασιασµός Συχνότητας fuctio [y]sigscalmulc,x % frequecy multiplicatio % x :l % yx/c % c> llegthx; ml*c; for i:m yi0; if modi,c0 yixi/c; ed; ed; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 46

47 Κλιµάκωση στο Χρόνο: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 47

48 Μετατώπιση και κλιµάκωση στο χρόνο Καθυστέρηση ιαίρεση x x x- 0 x x MxM- 0 ιαίρεση Καθυστέρηση x x xm x x - 0 xm- 0 M Προώθηση - ιαίρεση x x x+ 0 x x MxM+ 0 ιαίρεση Προώθηση x x xm x x + 0 xm+ 0 M Καθυστέρηση Πολλαπλασιασµός x x x- 0 x x /Mx/M- 0 Πολλαπλασιασµός Καθυστέρηση x x x/m x x - 0 x/m- 0 / M ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 48

49 Μετατώπιση και κλιµάκωση στο χρόνο ΕΝ αντιµετατίθονται. Τυχαία η αντιµετάθεση είναι δυνατό να ισχύει: Καθυστέρηση ιαίρεση 0 8, Μ x x x-8 x x x-8 ιαίρεση Καθυστέρηση 0 4, Μ x x x x x -4x-8 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 49

50 Μετατώπιση και Αντιστροφή Καθυστέρηση και Αντιστροφή x x x- 0 x x -x-- 0 Αντιστροφή και Καθυστέρηση x x x- x x - 0 x-+ 0 Προώθηση και Αντιστροφή x x x+ 0 x x -x-+ 0 Αντιστροφή και Προώθηση x x x- x x + 0 x-- 0 Μετατώπιση και Αντιστροφή: εν Αντιµετατίθενται ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 50

51 Παράδειγµα ίνεται το σήµα x[,,3,,],,,5. Υπολογίστε το x x 3 Καθυστέρηση x- 3 Καθ. Αντιστροφή x-- 3 Αντιστροφή x- 3 Αντιστροφή και Προώθηση x-- 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

52 Κλιµάκωση στο χρόνο και Αντιστροφή Αντιστροφή - ιαίρεση συχνότητας x x x- x x Mx-M ιαίρεση συχνότητας - Αντιστροφή x x xμ x x -x-m Αντιστροφή - Πολλαπλασιασµός συχνότητας x x x- x x /Mx-/M Πολλαπλασιασµός συχνότητας - Αντιστροφή x x x/m x x -x-/m Κλιµάκωση στο χρόνο και Αντιστροφή: Αντιµετατίθενται ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

53 Παραδείγµατα ίνεται το σήµα s[,,0,] ορισµένο στο διάστηµα [0,4]. Να εκφραστεί σα γραµµικός συνδυασµός συναρτήσεων δ, µε χρήση µετασχηµατισµών πλάτους και χρόνου sδ-δ-+ δ-3 Να υπολογιστεί το -s Να υπολογιστεί το s-3 Να υπολογιστεί το s/ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 53

54 Παράδειγµα ίνεται Υπολογίστε: yx- yx+ x 3 x 3 0 otherwise y/3x-+x+x+ ymediax-+x+x+ ίνεται: x u Υπολογίστε: y x k x k + x k y + k k k 0 + ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 54

55 Παράδειγµα ίνεται η ακολουθία x6-*[u-u-6]. Υπολογίστε και σχεδιάστε την ακολουθία yx-3 Πρώτα διαιρούµε τη συχνότητα µε το. Μετά κάνουµε µετατόπιση προς τα δεξιά κατά 3 θέσεις yx4- Πρώτα µετατόπιση κατά +4 αριστερά και µετά αντιστροφή όχι ανάποδα. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 55

56 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ένα πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου είναι άρτιο αν xx- Ένα πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου είναι περιττό αν x-x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 56

57 Άθροισµα τιµών συµµετρικού πραγµατικού σήµατος άρτιο σήµα xx x x x x x x x x περιττό σήµα x-x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ x x x x x x x x x x x x για 0 είναι: x0-x-0-x0 οπότε x00 άρα: x00

58 Γινόµενο άρτιου σήµατος επί περιττό σήµα Αν το σήµα x είναι άρτιο και το σήµα x είναι περιττό, τότε το σήµα xx x είναι περιττό Απόδειξη: xx- x-x- xx x x-x- x- x -x - x x -x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 58

59 Ανάλυση σε άρτιο και περιττό σήµα Κάθε πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου x µπορεί να αναλυθεί σε άθροισµα άρτιου σήµατος xe και περιττού σήµατος xo: xxe+xo όπου xe½ [x+x-] xo½ [x-x-] Μπορούµε εύκολα να επιβεβαιώσουµε ότι: x x x e o e xe xo + x x o ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 59

60 Παράδειγµα ανάλυσης σε άρτιο και περιττό σήµα Αναλύστε σε άρτιο και περιττό σήµα τη µοναδιαία βηµατική συνάρτηση u. u e 0 u + u + δ 0 u o u u u δ e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 60

61 Παράδειγµα ανάλυσης u σε άρτιο και περιττό σήµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

62 Παράδειγµα Ισχύς ενός σήµατος x ορίζεται ως: P + x Εστω ότι το άρτιο µέρος του σήµατος είναι Αν P5 να βρεθεί η ισχύς του περιττού µέρους του x. + + e o e o x + x x + x + x x P e e + xo + o x x x Ο 3 ος όρος είναι 0, διότι το γινόµενο άρτιου * περιττό είναι περιττό σήµα, ενώ ο ος όρος υπολογίζεται ως 5/ xe e o x e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

63 Συµµετρία µιγαδικού σήµατος Ένα µιγαδικό σήµα διακριτού χρόνου είναι συζυγές συµµετρικό αν xx*- Ένα µιγαδικό σήµα διακριτού χρόνου είναι συζυγές αντισυµµετρικό αν x-x*- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 63

64 Παράδειγµα συµµετρικού µιγαδικού σήµατος Το σήµα xje jπ/4 είναι συζυγές αντισυµµετρικό Απόδειξη: xje jπ/4 j [cosπ/4 + j siπ/4] -siπ/4] + j cosπ/4 x- j [cos-π/4 + j si-π/4] j [cosπ/4 - j siπ/4] siπ/4] + j cosπ/4 -x- -siπ/4] - j cosπ/4 -x*- -siπ/4] + j cosπ/4 x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 64

65 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 65

66 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ Ένα σύστηµα διακριτού χρόνου είναι ένας µετασχηµατισµός. x T y είσοδος µετασχηµατισµός έξοδος απόκριση: ytx ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 66

67 Μνήµη συστήµατος Σύστηµα χωρίς µνήµη Η έξοδος για 0 εξαρτάται µόνο από την είσοδο για 0 Παράδειγµα: yx Σύστηµα µε µνήµη Η έξοδος για 0 εξαρτάται από τις εισόδους για 0 Παράδειγµα: yx+x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 67

68 Αρχή της επαλληλίας αρχή της υπέρθεσης T[x+x] T[x] + T[x] Παράδειγµα: yt[x]x+x- Ισχύει η αρχή της επαλληλίας υπέρθεσης: T[x+x] x+x + x-+x- x+x- + x+x- T[x] + T[x] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 68

69 Οµογένεια T[c x] c T[x] Παράδειγµα: yt[x]x /x- Το σύστηµα είναι οµογενές: T[c x] c x / c x- c x /x- c T[x] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 69

70 Γραµµικό Σύστηµα Liear System T[c x + c x] c T[x] + c T[x] Ισχύει η αρχή της επαλληλίας και η οµογένεια Παράδειγµα: yt[x]xsiπ/ Το σύστηµα είναι γραµµικό: T[c x + c x] c x + c x siπ/ c x siπ/ + c x siπ/ c T[x] + c T[x] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 70

71 Παράδειγµα: ελέγξτε την γραµµικότητα των παρακάτω συστηµάτων y T x x T a x a x a x a x T a x T a x a T x a T x a x a x To σύστηµα είναι γραµµικό y T x x T x x at x + at x ax + ax T x x T a x + a x a x + a x a x + a x + a x a x To σύστηµα δεν είναι γραµµικό ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

72 ymediax,x-,x- ymaxx,x-,x- ylogx yx+ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

73 Σύστηµα Αµετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση Time Ivariat system Αν yt[x], τότε y- 0 T[x- 0 ] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 73

74 Ελεγχος της αµεταβλητότητας µετατώπισης µε εναλλαγή στη σειρά των υποσυστηµάτων Καθυστέρηση κατά 0 x-0 Σύστηµα T Εξοδος x Σύστηµα T y Καθυστέρηση κατά 0 y-0 Συγκρίνουµε την Εξοδο µε το y- 0. Αν είναι ίσα, τότε το T είναι χρονικά αµετάβλητο. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 74

75 Είναι το σύστηµα χρονικής αναστροφής yx- αµετάβλητο στη µετατώπιση? Είναι το σύστηµα χρονικής αναστροφής yx αµετάβλητο στη µετατώπιση? ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 75

76 Γραµµικό Αµετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση ΓΑΚΜ Σύστηµα Liear Time Ivariat LTI System νεια οµογ δ ας επαλληλ αρχ δ των λυση σηµ αν δ έ h k x k k x ί ή k k x ά ά k k x T x T y k k k k k Τ Τ ] [ ] [ ] [ ] [ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 76 πιση τη µετατ βλητο κατ αµετ ό ά ά k h k x k ] [ ] [ ] [ ] [ 0 0 ί ό ό ή h h k T k h T h x T y x T y k σοδοδ κρισηγιαε απ κριση απ κρουστικ δ δ + k έ ή h x k h k x y λιξη συν γραµµικ *

77 Αιτιότητα Η έξοδος για 0 εξαρτάται από τις εισόδους µέχρι 0, y x k h k h k k > k LTI αιτιατό: h0, <0 Παράδειγµα: Αιτιατό: yx+x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 77

78 Ευστάθεια Bouded Iput Bouded Output BIBO stability Αν x <A, τότε y <B LTI ευσταθές: + h p C Απόδειξη της αναγκαίας συνθήκης για ευστάθεια LTI συστήµατος: y x k h k x k h k A h k h k B k k k k Παράδειγµα: Ευσταθές: ha u αν a < ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 78

79 Αντιστρεψιµότητα Αν x x, τότε y] y Η είσοδος µπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο µε µοναδικό τρόπο ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 79

80 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ Η συνέλιξη αποτελεί πράξη µεταξύ σηµάτων x, h που ορίζεται στην θέση ως εξής: + k y h * x x k h k Η µεταβλητή k είναι βοηθητική µεταβλητή της άθροισης. fuctio [y,y]sigcovx,x,h,h % liear covolutio % yx*h ybx+h; yexlegthx+hlegthh ; y[yb:ye]; ycovx,h; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 80

81 Ιδιότητες Γραµµικής Συνέλιξης ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης είναι η το σήµα δ x*δx αντιµεταθετική ιδιότητα x*xx*x προσεταιριστική ιδιότητα x*[x*x3][x*x]*x3 επιµεριστική ιδιότητα x*[x+x3]x*x+x*x3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

82 l h l x h x y l * + Αλλαγή µεταβλητής k l x k x l x k x k x x x x x l k k * * * Αλλαγή Απόδειξη της αντιµετάθεσης Απόδειξη της προσεταιριστικότητας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8 x h k x k h k h k x k k l * + + µεταβλητής k-l x x x q x l q x l x q x l q x l x q x l q x l x q l q l l q l k * * Αλλαγή µεταβλητής kq-l

83 Γραµµική Συνέλιξη σηµάτων πεπερασµένου µήκους Όταν τα σήµατα είναι πεπερασµένου µήκους, τότε η συνέλιξή τους είναι και αυτή ένα σήµα πεπερασµένου µήκους: Αν το σήµα h είναι πεπερασµένου µήκους L h στο διάστηµα [M h,n h ] και το σήµα x είναι πεπερασµένου µήκους L x στο διάστηµα [M x,n x ], τότε το σήµα y h*x είναι πεπερασµένου µήκους L y στο διάστηµα [M y,n y ], όπου L y L x +L h - M y M x +M h N y N x +N h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 83

84 Υπολογισµός Γραµµικής Συνέλιξης σηµάτων πεπερασµένου µήκους x [,3] 3 h [-,] 3 h- 3 3 y y y y y yx*h [0,4] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 84

85 Υπολογισµός γραµµικής συνέλιξης µε µήτρα Toeplitz Ο πίνακας Toeplitz έχει κάθε στοιχείο της κύριας διαγωνίου του σταθερό. Αν yx*h και το x ορίζεται στο [,] το x γίνεται στήλη και το h πίνακας Toeplitz µε διαστάσεις Lx+ Lh Lx y y y + Lh Ly Lx * Lx ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 85

86 Υπολογισµός Γραµµικής Συνέλιξης σηµάτων πεπερασµένου µήκους µε τη µέθοδο του πολυωνυµικού πολλαπλασιασµού x h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 86

87 Γραµµική Συνέλιξη: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 87

88 Παράδειγµα - Συνέλιξη ίνεται το σήµα x[,,] µε [0,]. Υπολογίστε τη συνέλιξη x*x. δ + δ + δ x δ δ δ δ δ δ x * x k + k + k k + k + k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ + k k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ + k k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ k k k [,, 3,, ], [ 0, 4] δ + δ + δ + δ + δ + δ 3 + δ + δ 3 + δ 4 δ δ δ δ δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 88

89 Παράδειγµα - Συνέλιξη Σας δίνεται η κρουστική απόκριση και η είσοδος ενός συστήµατος. Βρείτε την έξοδο του 6 x u h u 6 3, 3 x * h x k h k u k u k k k 3 k6 k 6 3 k k 3 k 6 k k k 0 k 0 k , Για <3 η συνέλιξη είναι ίση µε 0, όπως προκύπτει και από το πεδίο ορισµού των x, h. Χρησιµοποιούµε την ακόλουθη σειρά: N 0 a N a a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 89

90 Παράδειγµα - Συνέλιξη Σας δίνεται η κρουστική απόκριση και η είσοδος ενός συστήµατος. Βρείτε την έξοδο του 3, x u h u k x * h x k h k k3 u k u k k 0 k k k k 3 k3 k + k , Η συνέλιξη είναι ίση µε 0 για >, όπως προκύπτει και από το πεδίο ορισµού των σηµάτων. Χρησιµοποιούµε την ακόλουθη σειρά: N 0 a N+ a N N a Na + a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 90

91 r xy Ετεροσυσχέτιση Cross-correlatio + x k y + k x k y k x * y k + k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

92 r x Αυτοσυσχέτιση Autocorrelatio + x k y + k x k y k x * x k + k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

93 Παράδειγµα εφαρµογής της συσχέτισης Εστω το x[,,,,,], 0,,,5 και h[,,],,3,4. Να υπολογιστεί η συσχέτιση τους, καθώς και η συνέλιξη x-*h. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 93

94 ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Η είσοδος x και η έξοδος y ενός συστήµατος γραµµικού αµετάβλητου κατά τη µετατόπιση Liear Time Ivariat LTI συνδέονται µε τη σχέση: yx*h όπου h είναι η κρουστική απόκριση του συστήµατος, δηλαδή η έξοδος του συστήµατος για είσοδο xδ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 94

95 Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, κρουστική απόκριση h και έξοδο w συνδεθεί σε σειρά µε ένα σύστηµα που έχει κρουστική απόκριση h και έξοδο y, δηλαδή: yw*h wx*h τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και κρουστική απόκριση hh*h όπου yx*h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 95

96 Συστήµατα συνδεδεµένα παράλληλα Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, κρουστική απόκριση h και έξοδο w συνδεθεί παράλληλα µε ένα σύστηµα που έχει που έχει είσοδο x, κρουστική απόκριση h και έξοδο v προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: yw+v wx*h vx*h τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και κρουστική απόκριση hh+h όπου yx*h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 96

97 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Κάθε γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα φίλτρο περιγράφεται µε µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές ΓΕ ΣΣ: y M k 0 b k x k N k a k y k Η κρουστική απόκριση του φίλτρου h είναι η λύση της εξίσωσης διαφορών για xδ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 97

98 Κατηγορίες Φίλτρων Τα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα φίλτρα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα µε το µήκος της κρουστικής τους απόκρισης: τα φίλτρα πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης Fiite-duratio Impulse Respose FIR τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης Ifiite-duratio Impulse Respose IIR ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 98

99 Φίλτρα πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης Τα FIR φίλτρα περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών: M k k x k b y 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 99 k 0 Movig Average MA Κρουστική Απόκριση φίλτρων FIR M k k k b h 0 δ

100 Φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης Τα IIR φίλτρα περιγράφονται από τις εξισώσεις διαφορών: N k k y k a x y ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 00 Auto Regressive AR Auto Regressive Movig Average ARMA N k M k k y k a k x k b y 0

101 Επίλυση ΓΕ ΣΣ FIR Φίλτρων Υπολογισµός κρουστικής απόκρισης h yx*h Παράδειγµα yx-x- xu hδ-δ- yu--u-x*h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

102 FIR MA Παράδειγµα: yx-x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

103 Επίλυση ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρων yy p +y h Η µερική λύση y p ικανοποιεί τη ΓΕ ΣΣ για τη δεδοµένη είσοδο x µε µηδενικές αρχικές συνθήκες: ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Η οµογενής λύση y h αντιστοιχεί στην απόκριση του φίλτρου για µηδενική είσοδο x0 µε τις δεδοµένες αρχικές συνθήκες: ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 03

104 Μερική Λύση Όρος στην είσοδο x Μερική Λύση c c c c +c c a c a c cosω c cosω+c siω c siω c cosω+c siω c δ 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 04

105 Οµογενής Λύση y h z Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο z N + a z N + a z N a N z + a N 0 Αν το Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο έχει απλές ρίζες, τότε N h k k k y A z Οι συντελεστές A k υπολογίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 05

106 Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ φίλτρου IIR y ay + x, y 0 για x δ Να βρεθεί η κρουστική απόκριση h. p ay Μερική λύση y 0 Οµογενής λύση y 0 y z z az 0 z z a 0 z a y h Aa p h δ + y 0 y 0 + y 0 A 0 + ay A h y y y a p h Παρατηρούµε ότι η κρουστική απόκριση έχει άπειρο µήκος. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 06

107 kljkhg Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ y y + x, y 0 Να βρεθεί η κρουστική απόκριση h. Μερική λύση y 0 p για x δ z x y a k y k Οµογενής λύση y, h Α λλά N, a yh A Υπολογισµός του Α βάσει οριακών συνθηκών: y 0 y + δ 0 y 0 A A A Τ ελικά : h y p + yh h N k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 07

108 Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρου Μ y c c c x c c y ύ ή p p ση λ ερικ h h h y y x z y ύ ή 0 5 Ο και ση λ ς µογεν 0,, 5 u x y y x y + ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 08 h A y z z z z h p y A A y A y y x y A y A y y y

109 Συνέχεια προηγούµενου παραδείγµατος: Εναλλακτική προσέγγιση Εναλλακτικά, επιλύουµε το ίδιο LTI σύστηµα για είσοδο xδ, υπολογίζουµε το h και στη συνέχεια για οποιαδήποτε είσοδο πχ xu, υπολογίζουµε τη συνέλιξη x*h: y x + y, y 0 5 x δ Μερική λύση: y 0 Οµογενής λύση: y yh A 5 p h k 0 k 0 z z z z z 0 Χαρακτηριστικό πολυώνυµο 5 5 Υπολογισµός του Α: y h 5 5 A x y y u δ h u Εξοδος για x : y k + + k Εξοδος για x u : y x * h x k h k u k u k 5 k k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 09 k

110 Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρου 3 y y y + x x Αρχικ έςσυνθ ήκες y y δ αρχικ ς συνθ κες x, έ ή y 0 3 yh z, x 0 z z+ 0 z, z yh A + A 4 p 0 y 0 A + A y y p + yh y A + A 4 Από τον ορισµό του y 3 y 0 y y + δ 0 δ 4 8 Α, Α 3 3 y y 0 y + δ δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

111 Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρου µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο µε µιγαδικές ρίζες , 0.5 y y y y y x x x u Αρχικές συνθήκες 0.5, 0.75 Μερική λύση: p x 0.5 u, y c 0.5 Αντικαθιστούµε στη ΓΕ ΣΣ: c 0.5 c 0.5 c u u, 0 c c c + c y p 0.5 Οµογενής λύση: y z, x z z z + 0 h j 3 z + e z j 3 e π j 3 π j 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

112 π π y A + A j j 3 3 y y p + yh A e + A e y 0.5+ A e + A e Από τις αρχικές συνθήκες του y 0 0 π π j j y 0 y y u u y y 0 y u u π j 3 3 e A 0.5 A 3 4 j π 0.5 j e e 3 3 e + 4 π π j j 3 3 A A ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

113 IIR AR Παράδειγµα: yx+0.5y- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

114 IIR ARMA Παράδειγµα: yx-x-+0.5y- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

115 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ DTFT ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕ ΣΣ ΜΕ DTFT ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

116 ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Discrete Time Fourier Trasform DTFT ενός σήµατος x ορίζεται ως ακολούθως: X e jω + x e jω Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου του σήµατος x υπάρχει αν ισχύει η σχέση: + x < Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω µε περίοδο π S ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

117 Ζευγάρια DTFT σήµα µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου x διακριτού χρόνου DTFT Xe jω δ δ- 0 e -jω0 πδω e jω0 πδω-ω 0 a u, -<a< /-ae -jω + a u, a < j ae ω cosω 0 πδω+ω 0 +πδω-ω 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

118 DTFT Παράδειγµα: x0.9 e jπ/3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

119 Παράδειγµα: Υπολογισµός DTFT x a u, a < x a u a 0 a < X e jω jω jω jω jω x e a u e a e ae 0 0 ae jω ae jω a e jω a cos ω + j si ω a a < ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

120 Ιδιότητες DTFT ιδιότητα µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου DTFT σήµα διακριτού χρόνου x µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT Xe jω γραµµικότητα c x + c x c Xe jω + c Xe jω µετατόπιση στο χρόνο x- 0 e -jω0 Xe jω αντιστροφή στο χρόνο x- Xe -jω µετατόπιση στη συχνότητα e -jω0 x Xe jω-ωo συνέλιξη στο χρόνο x*x Xe jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

121 Οµογένεια υπέρθεση Μετατόπιση στο χρόνο Απόδειξη Ιδιοτήτων DTFT jω jω jω c x + c x e c x e + c x e jω jω + c X e c X e jω jω jω jω x 0 e x e e e X e Αντιστροφή στο χρόνο * j jω jω αλλαγ ήµεταβλητ ής ω jω DTFT x x e x e X e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

122 Συνέλιξη jω Y e FT y x k h k e k jω x k h k e e k k jω k jωk jωk jω jω jω k x k e h k e X e H e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

123 Μετατόπιση στη συχνότητα Παράδειγµα: xcosπ/ ye jπ/4 x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

124 Συµµετρία στον DTFT Μιγαδική συζυγία FT x x e x e FT x jω + jω * jω x X e FT µίας πραγµατικής συνάρτησης xr x + x FT xr FT x + FT x Χ e +Χ e Για jω jω z z z zr zi zr zi + + z z z z R R I I eve odd Το φάσµα µίας πραγµατικής συνάρτησης έχει άρτιο πραγµατικό µέρος και περιττό φανταστικό µέρος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

125 FT µίας φανταστικής συνάρτησης jω jω x y y Y e Y e Για + + z z z zr zi zr zi + + zr zr zi zi odd eve Το φάσµα µίας φανταστικής συνάρτησης έχει άρτιο πραγµατικό µέρος και περιττό φανταστικό µέρος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

126 Συµµετρία συνέχεια jω jω cos ω + si ω X e x e x j x x πραγµατική και άρτια: Χe jω πραγµατική και άρτια jω cos ω + si ω cos ω X e x j x x άρτια * περιττ ή περιττ ή jω jω cos ω X e x X e x φανταστική και περιττή Χe jω πραγµατική και άρτια jω + άρτια* περιττ ή περιττ ή jω jω Re si ω X e j Re x cos ω j j Re x si ω Re x si ω X e x X e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

127 jω jω cos ω + si ω X e x e x j x x πραγµατική και περιττή: Χe jω φανταστική και άρτια jω cos ω + si ω si ω X e x j x j x άρτια* περιττ ή περιττ ή jω jω si ω X e j x X e x φανταστική και άρτια Χe jω φανταστική και άρτια jω cos ω + si ω cos ω X e j x j j x x jω jω cos ω X e x X e άρτια* περιττ ή περιττ ή ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

128 Να βρεθεί ο DTFT της Να βρεθεί ο DTFT της x*- Παράδειγµα x u + u δ jω X e + jω jω e e DTFT x x e x e x e X e * * j ω * * j ω j ω j ω αλλαγ ήµεταβλητ ής * ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

129 Υπολογισµός αντίστροφου DTFT Ο αντίστροφος DTFT IDTFT υπολογίζει το σήµα x, δεδοµένου του µετασχηµατισµού Xe jω. Προσοχή: ο DTFT προυποθέτει διακριτό χρόνο και συνεχή συχνότητα ω ο IDTFT παράγεται µε ολοκλήρωµα αντί για διακριτό άθροισµα. jω jωk jω jω jωk jω X e x k e e X e x k e e k k π π π jω jω jωk jω jωk jω e X e d x k e e d x k e e d π π k k π π π jωk jω k e e dω 0 k π jω jω jω jω e X e dω π x x e X e dω π π ω ω ω Ορθογωνιότητα των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων π π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

130 Παράδειγµα υπολογισµού συνέλιξης στο πεδίο του χώρου και της συχνότητας Υπολογισµός της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου δ + δ x + + x * x x k x k k + k k + k k δ δ δ δ k k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ + δ δ k k k k δ δ δ δ δ δ δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 30

131 Εφαρµογή FT και υπολογισµός της συνέλιξης ως γινόµενο jω δ δ x + H e + e * x x H e H e e e e e Αντίστροφος FT του Χe jω.xe jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω + + δ + δ + δ H e H e e e Παράδειγµα της ισοδυναµίας συνέλιξης πολλαπλασιασµού στο πεδίο συχνότητας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

132 Παράδειγµα υπολογισµού συνέλιξης στο πεδίο του χώρου και της συχνότητας Υπολογισµός της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου h a u, a < x b u, b < + + k k * h x h k x k a u k b u k u k k 0 k u k k k a k h * x a b b b a k 0 k 0 b b a b + k k + + k k a b b a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

133 Εφαρµογή FT και υπολογισµός της συνέλιξης ως γινόµενο jω jω jω h a u, a < H e a u e ae ae 0 jω x b u, b < X e jω be jω jω h * x H e X e j j ω ae ω be Μετατροπή του He jω.xe jω σε άθροισµα γνωστού FT jω jω X e H e jω jω A B A+ B Ab+ Ba e + jω jω jω jω jω jω ae be ae be ae be A+ B b a B, A Ab+ Ba 0 a b a b a b x * y IFT + a b j j ae ω a b be ω a b a b a b a b a b + + a u b u u Απόδειξη της ορθότητας της ιδιότητας της συνέλιξης µέσω παραδείγµατος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 33

134 Παράδειγµα Να βρεθεί ο αντίστροφος DTFT της jω X e cos ω X e e e e e jω jω jω jω jω δ + δ + + δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 34

135 Παράδειγµα: κλιµάκωση συχνότητας Εστω η y που αποτελεί κλιµάκωση συχνότητας της x. y x, kl L 0, kl jω jω jωl jωl jωl Y e y e y L e x e X e Χρησιµοποιώντας την παραπάνω ιδιότητα, να βρεθεί ο αντίστροφος DTFT της συνάρτησης: X e x u j0ω e jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 35

136 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT He jω της κρουστικής απόκρισης h ονοµάζεται απόκριση συχνότητας: H e jω + h e jω Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT Xe jω της εισόδου x και ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT Ye jω της εξόδου y του φίλτρου συνδέονται µε τη σχέση: Ye jω He jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 36

137 Εστω σύστηµα Τ µε κρουστική απόκριση h που δέχεται για είσοδο το ηµιτονοειδές e iω. Τότε η έξοδος θα είναι jω jkω jω jω h * x h k x k e h k e H e e y k k όπου H e jω + h e jω Αρα, αν και µόνο αν το x είναι ηµιτονοειδές, τότε y jω H e x Η απόκριση συχνότητας Η είναι µιγαδικός και µπορεί να γραφεί σαν µέτρο και φάση µιγαδικού ένα ηµιτονοειδές που διέρχεται από το Τ θα υφίσταται αλλαγή του πλάτους και της φάσης του, αλλά όχι της συχνότητας του. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 37

138 Ιδιότητες της απόκρισης Η FIR Περιοδικότητα µε περίοδο π: Συζηγής συµµετρία: ισχύει όταν hk πραγµατικός, δηλ ω ω π ω π ω π ω j k k j k k j k j k k j j e H e k h e e k h e k h e H + + hk h * k: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 38 ω ω ω ω ω j k k j k k j k k j j e H e k h e k h e k h e H + * * *

139 Απόδειξη του Η απόκριση συχνότητας Η είναι µιγαδικός και µπορεί να γραφεί σαν µέτρο και φάση µιγαδικού ένα ηµιτονοειδές που διέρχεται από το Τ θα υφίσταται αλλαγή του πλάτους και της φάσης του, αλλά όχι της συχνότητας του. Εστω ΓΑΚΜ µε πραγµατική κρουστική απόκριση h που δέχεται είσοδο xcosω 0. Τότε: jω 0 jω0 x e + e jω0 jω 0 jω0 jω0 y H e e + H e e jω 0 jω0 * jω0 jω0 H e e + H e e jh j Φ ω0 jhφ jω0 H M e e + H M e e jω0+ HΦ jω0 HΦ H M e + e H M cos ω0 + H Φ Αντίστροφη σχέση Euler Υπέρθεση Συζηγής συµµετρία της Η Η Μ και Η Φ το µέτρο και η φάση της Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 39

140 Παράδειγµα Εστω FIR µε b k {,,}. Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας. ω ω ω ω j j k k j k j e e e b e H Μέτρο: +cosω Φάση: -ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 40 ω ω ω ω ω cos j j j j e e e e

141 Εστω ότι στο προηγούµενο FIR δίνουµε ως είσοδο το xcosπ/3- π/. Να υπολογιστεί η έξοδος *cos π π ω π π π ω ω e e e H e H x e H y j j j j j Πολλαπλασιασµός µέτρου και πρόσθεση φάσης. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ cos cos π π π π π π π π π π π π π π π π π ω e e e e e e x e H j j j j j j j

142 Παράδειγµα: Υπολογισµός απόκρισης συχνότητας δ + 5δ + 4δ h + jω jω 0 jω j ω H h e h e h e h e k jω + 5e + 4e 4 + j ω u h + jω jω jω H e h e u e jω jω jω e e e jω jω jω e e e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4 e jω j 4 e ω

143 Παράδειγµα: Υπολογισµός απόκρισης συχνότητας του φίλτρου τρέχουσας µέσης τιµής M M y x k h δ k M + M + k 0 k 0 M M j M+ ω jω jω jkω e H e δ k e e jω M + M + M + e k 0 k 0 M+ M+ M+ M + j ω + j ω j ω e e e si M ω j ω e M + jω + jω jω M + ω e e e si ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 43

144 Παράδειγµα Εστω σύστηµα µε είσοδο x και έξοδο y. Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση και να επιβεβαιωθεί η ορθότητα της συνέλιξης x u y u 4 jω x u X e jω e, j ω y u Υ e 4 jω e 4 jω jω e Υ e jω jω Η e e h u u jω e jω jω Χ jω e e e k k + k k h * x h k x k u k u k u k u k k k 4 4 k k k k k k k 4 u k 0 k k 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 44

145 Παράδειγµα Εστω σύστηµα µε είσοδο xu και έξοδο yδ. Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση και να επιβεβαιωθεί η ορθότητα της συνέλιξης jω x u X e e jω δ jω Υ e jω jω Χ e y Υ e jω Η e jω e h jω e * δ δ k + + k k δ δ h x h k x k k u k + + k u k k u k 0 u 0 u u u δ δ δ δ δ k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 45

146 Εστω LTI µε x u Παράδειγµα 3 y u u Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση x + u u j ω e jω X e FT + u FT u j ω ae ae e + e 4 jω jω 3 jω Y e e e jω e 3 jω jω jω jω H e jω jω Y e X e jω 3 jω jω jω e e e + e 4 jω 3 jω 3 3 jω 4 jω e e e e j j + ω ω jω 4 8 e e e 3 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 46

147 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕ ΣΣ ΜΕ DTFT Αν γνωρίζουµε την ΓΕ ΣΣ ενός LTI, µπορούµε άµεσα να υπολογίσουµε την µορφή της απόκρισης συχνότητας He jω. Στη συνέχεια µε αντίστροφο DTFT µπορούµε να υπολογίσουµε την κρουστική απόκριση h. Προυπόθεση αποτελεί να µην υπάρχουν µη µηδενικές αρχικές συνθήκες. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 47 + N k jk M k jk j j j e k a e k b e X e Y e H 0 0 ω ω ω ω ω N k M k k y k a k x k b y 0

148 Απόδειξη του προηγούµενου τύπου Λαµβάνουµε τον DTFT της ΓΕ κατά µέλη, εφαρµόζουµε την ιδιότητα της µετατόπισης στο χρόνο και υπολογίζουµε το πιλήκο He jω Ye jω / Xe jω M y b k x k a k y k k 0 k N M N jω FT y y e b k x k a k y k k 0 k M jω jω b k x k e a k y k e k 0 k M k 0 N k jωk jω b k e x k e a k y k e N jω k k jω jω M N Y e b k e jω jωk jω jωk jω k 0 X e b k e Y e a k e H e N k 0 k X e + a k e M k jωk jωk ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 48

149 Απόδειξη του προηγούµενου τύπου Β τρόπος Γνωρίζουµε ότι ένα LTI αν έχει απόκριση συχνότητας He jω και έχει είσοδο xe jω0, τότε παράγει έξοδο e jω0 He jω Εφαρµόζοντας εν προκειµένω: M N y k b k x k a k y k M N jω jω j ω k jω j ω k jω k 0 k H e e b k e a k H e e H e M + k 0 N k 0 k k b k e a k e jωk jωk ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 49

150 Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ µε DTFT ω ω ω ω ω j j j j j e e e X e Y e H 4 4 Εστω LTI σύστηµα µε ΓΕ και είσοδο. Να βρεθεί η έξοδος του συστήµατος. y x x y x + δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ u u y j x X e ω δ ω ω ω ω j j j j e e e e Y 4 4

151 Παράδειγµα ίνεται LTI µε απόκριση συχνότητας: Να βρεθεί η εξίσωση διαφορών που υλοποιεί το σύστηµα jω jω jω Y j e ω + e + e j ω j ω j ω j ω j ω e + 0,5e 0.5e + 0.5e X e jω jω jω jω jω jω jω jω H e jω H e jω + e jω e + 0,5e Y e e Y e + e Y e X e + e X e y y y x x jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

152 Παράδειγµα π ίνεται LTI µε κρουστική απόκριση : h cos u 4 3 Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας και η εξίσωση διαφορών που υλοποιεί το σύστηµα j π j π j π j h e e u e u π + + e u jω H e j j 3 jω 3 jω e e + e e π π j j π π 3 jω 3 jω j j 3 jω 3 jω e e e e e e e e π π j j jω 3 3 e e + e jω π e cos jω 3 Y e π π jω j j jω j j 3 3 jω ω π ω cos X e e e + e + e e + e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5 π π

153 jω jω π jω jω jω jω jω π jω Y e e cos Y e e Y e + X e e cos X e 3 3 jω jω π jω jω jω jω jω π jω Y e e cos Y e e Y e + X e e cos X e π π y y y x x cos + 0.5cos ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 53

154 ίνεται LTI Παράδειγµα + + y bx x ay a, b, a < Για ποια συνθήκη των a,b θα ισχύει iω H e iω b+ e ae a a cos jω jω ω ω j H e ω jω jω b + + b e + e jω + jω iω iω iω b+ e b+ e H e H e H e ae ae + a + a e + e b + + b cos + + H e ab jω + jω jω jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 54

155 Παράδειγµα Αποδείξτε την ορθότητα του παρακάτω ζεύγους DTFT: + a u, a < j ae ω h * h a u * j j a u ω ω ae ae jω ae + + k k k k + h k h k a u k a u k a a a a u k k k 0 k 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 55

156 Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο w συνδεθεί σε σειρά µε ένα σύστηµα που έχει απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο y, δηλαδή: Ye jω He jω We jω We jω He jω Xe jω τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και απόκριση συχνότητας He jω He jω He jω όπου Ye jω He jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 56

157 Συστήµατα συνδεδεµένα παράλληλα Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο w συνδεθεί παράλληλα µε ένα σύστηµα που έχει που έχει είσοδο x απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο v προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: Ye jω We jω Ve jω We jω He jω Xe jω Ve jω He jω Xe jω τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και απόκριση συχνότητας He jω He jω + He jω όπου Ye jω He jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 57

158 ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Τα ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων έχουν κατά τµήµατα σταθερό πλάτος απόκρισης συχνότητας χαµηλοπερατά φίλτρα Low Pass He jω για ω [-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π υψηπερατά φίλτρα High Pass He jω για ω [-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π ζωνοπερατά φίλτρα Bad Pass He jω για ω [-ω,-ω] και για ω [ω,ω] µε 0<ω<ω<π ζωνοφρακτικά φίλτρα Bad Stop He jω για ω [-ω,-ω] και για ω [ω,ω] µε 0<ω<ω<π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 58

159 Ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο Ideal Low Pass χαµηλοπερατά φίλτρα Low Pass, He jω για ω [-ω c,ω c ] όπου 0<ωc<π. Γραφική παράσταση του µέτρου, πραγµατικού και φανταστικού µέρους σαν συνάρτηση της συχνότητας ω εκφρασµένη σε ακτίνια. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 59

160 High Pass ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 60

161 Bad Pass ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

162 Bad Stop ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

163 Παράδειγµα: Το ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο συχνοτήτων Το ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω c έχει απόκριση συχνότητας He jω He jω 0.5 j H e ω -ω c ω ω c ω < ωc 0 ω ωc h samples Η κρουστική απόκριση h για ω c π/4 jω jω h X e e dω π ω c jω jω ωc e dω e π π j ωc ω c π π ω si c jω, 0 c jω c e e π π j, 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 63

164 Παράδειγµα: Ιδανικό υψηπερατό φίλτρο: υπολογισµός κρουστικής απόκρισης Να βρεθεί η κρουστική απόκριση ενός LTI συστήµατος που έχει την ακόλουθη απόκριση συχνότητας He jω 3π π π jω jω jω jω jω π jω 3π 4 ω ω ω π π 3π 4 π 3π π π j π j π π 4 4 He jω -π -3π/4 3π/4 π ω h X e e d e d + e d e + e 3π 3π 3π 3π 3π 3π j j j j j π j π jπ 4 4 jπ 4 4 jπ 4 4 e e + e e e + e e e + e π j π j π j π π π si j π j π π π 4 4 j j jπ jπ e e + e e e + e π j π j π π hlowpass ωc 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 64

165 Παράδειγµα: Ιδανικό υψηπερατό φίλτρο: Β τρόπος υπολογισµού κρουστικής απόκρισης Παρατηρούµε ότι η απόκριση συχνότητας H προκύπτει από την απόκριση συχνότητας του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου, µετατοπισµένη προς τα δεξιά κατά π. Βάσει των ιδιοτήτων του DTFT: jπ lowpass π jω j ωπ H e Hlowpass e h e h si π ω c 4 π 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 65

166 Παράδειγµα: Ιδανικό φίλτρο Bad pass Να βρεθεί η κρουστική απόκριση LTI που έχει την ακόλουθη απόκριση συχνότητας He jω π He jω 3π π 4 4 jω jω jω jω -3π/4 -π/4 π/4 3π/4 ω h X e e d ω e d ω e d ω π π + π π π 3π 4 4 3π 3π π π j j j j jω π jω π e + e e e e e π j π 4 π j 3π 4 π j π j 3π π si si 4 4 hlowpass 3π h π π lowpass π ωc ωc 4 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 66

167 Παράδειγµα: Ιδανικό ολοπερατό φίλτρο Το ιδανικό ολοπερατό φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας:, jω H e c ω Παράδειγµα ολοπερατού φίλτρου jω H e jω e a j ae jω * jω jω ω jω jω e a e a j ω j ω ae ae H e H e H e ω ω jω jω ae ae + a + a a cos jω jω ae ae + a + a a cos Η κρουστική απόκριση υπολογίζεται ως:. h a u a a u ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 67

168 Παράδειγµα: Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Badstop He jω Το ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας: ω ω π j H e ω -π -ω -ω ω ω π ω ω ω 0 αλλού Το ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο υλοποιείται σαν παράλληλη σύνδεση ενός βαθυπερατού µε ω c ω και ενός υψηπερατού µε ω c ω µε ω > ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 68

169 Παράδειγµα: διασύνδεση LTI Θεωρείστε τα ακόλουθα δύο LTI µε την απεικονιζόµενη διασύνδεση. Να βρεθεί η έξοδος, αν ισχύει: δ h H j e ω, π, ω π 0, < ω π π π k π π x π π jω jω si h H e e dω π h kπ w H e jω si y h w h k w k δ k δ k π si π si π k y ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 69

170 Παράδειγµα: διασύνδεση LTI Θεωρείστε την ακόλουθη διασύνδεση σύστηµα ανάδρασης. Υπολογίστε την συνολική απόκριση συχνότητας. x w y f + * w x g y jω jω jω jω + jω jω jω Y e F e W e jω F j e ω jω X j j e ω ω G e F e W e X e G e Y e Y e g jω jω jω jω jω jω Y e F e X e + F e G e Y e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 70

171 Παράδειγµα Η είσοδος ενός LTI µε κρουστική απόκριση h, είναι x. Να βρεθεί η έξοδος του. π si π 3π π cos 3si, π h x π si h h, π όπου h είναι η κρουστική απόκριση του ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου j + ω jω H e h e h e h e e h e e H e H e jω jω jω jω jω jω jω jω π e, ω π 0, < ω π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

172 Παράδειγµα Εστω h η κρουστική απόκριση ενός ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου µε συχνότητα αποκοπής ω c 3π/4. Αν η είσοδος και η έξοδος πολλαπλασιαστούν διαµορφωθούν µε τον παράγοντα -, ποια είναι η απόκριση συχνότητας του συστήµατος που προκύπτει? + k y h * x h k x k k + + k k k h k x k h k x k h * x k Η απόκριση συχνότητας υπολογίζεται ως εξής jω jω jπ jω Η απόκριση συχνότητας είναι αυτή του ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου, µετατωπισµένη δεξιά στον άξονα των συχνοτήτων κατά π. Η νέα ΓΕ ΣΣ υπολογίζεται ως εξής: ω π ω π G e h e e h e h e H e j j ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

173 jkω jω b k e jω Y e k 0 H e jω N X e jkω + a k e ω π H e M k 0 M M M jk ωπ jkπ jkω jkω k b k e e b k e b k e j k 0 k 0 k 0 N N N jk ωπ jkπ jkω jkω k + a k e + e a k e + a k e k 0 k 0 k 0 Οι περιττοί όροι των ak και bk γίνονται αρνητικοί. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 73

174 Αντίστροφα συστήµατα Το αντίστροφο ενός συστήµατος µε κρουστική απόκριση h είναι ένα σύστηµα µε κρουστική απόκριση g, τέτοια ώστε h*gδ Ισοδύναµα: j ω j ω e G e G e j ω Η Το αντίστροφο σύστηµα ενδέχεται: jω H e Να µην υπάρχει, πχ στην περίπτωση του ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου Να µην είναι αιτιατό, πχ: H e e G e g u e jω jω jω jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 74

175 Παράδειγµα αντίστροφου συστήµατος Να βρεθεί η κρουστική απόκριση ενός LTI που είναι αντίστροφο του jω G e jω H e e 4 + e jω jω jω + e jω + e jω H e jω jω jω e e e g u u ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 75

176 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ ΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 76

177 ΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο δίπλευρος µετασχηµατισµός z bilateral z-trasform ενός σήµατος διακριτού χρόνου x ορίζεται ως ακολούθως: + X z x z όπου η µιγαδική µεταβλητή z ονοµάζεται µιγαδική συχνότητα και είναι ίση µε z z e jω όπου ω είναι η πραγµατική συχνότητα. Κατά συνέπεια, ο Ζ είναι DTFT της ακολουθίας x z jω X z x z z x e DTFT z x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 77

178 Περιοχή Σύγκλισης Περιοχή Σύγκλισης ΠΣ Regio Of Covergece - ROC είναι το σύνολο των τιµών της µεταβλητής z για το οποίο υπάρχει η Xz. + x z < Η σχέση z ή ze jω ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο Uit Circle στο µιγαδικό επίπεδο. Αν η Περιοχή Σύγκλισης περιέχει το Μοναδιαίο Κύκλο, τότε η Xz υπολογίζεται πάνω στο Μοναδιαίο κύκλο και ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Xe jω αποτελεί ειδική περίπτωση του µετασχηµατισµού z Xz. X z j z e ω X e jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 78

179 Ιδιότητες της Περιοχής Σύγκλισης - αν x είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς: x0, <0 τότε η ΠΣ είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου z >a - αν x είναι ακολουθία αριστερής πλευράς: x0, >0 τότε η ΠΣ είναι η εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου z <b - αν x είναι αµφίπλευρη ακολουθία τότε η ΠΣ είναι η δακτυλιοειδής επιφάνεια a< z <b - αν x είναι ακολουθία πεπερασµένου µήκους: x0, << τότε η ΠΣ είναι ολόκληρο το µιγαδικό επίπεδο z εκτός ίσως από τα σηµεία z0 και z αν >0 τότε το σηµείο z0 δεν ανήκει στην ΠΣ αν <0 τότε το σηµείο z δεν ανήκει στην ΠΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 79

180 Ζευγάρια Μετασχηµατισµού z σήµα διακριτού χρόνου x µετασχηµατισµός z Xz περιοχή σύγκλισης δ z a u /-az - z > a -a u-- /-az - z < a a u az - /-az - z > a -a u-- az - /-az - z < a cosω 0 u -cosω 0 z - /-cos ω 0 z - +z - z > siω 0 u siω 0 z - /-cos ω 0 z - +z - z > ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 80

181 Απόδειξη ζευγών Ζ a u x X z x z a z az 0 0 Περιοχή σύγκλισης: az - < z >α z az z a Αρα η ΠΣ είναι η εξωτερική επιφάνεια του κύκλου στο µιγαδικό επίπεδο µε ακτίνα ίση µε α. Επειδή ο µοναδιαίος κύκλος περιέχεται στην ΠΣ, υπάρχει ο DTFT της x. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

182 Εναλλακτικός τρόπος απόδειξης του ζέυγους Ζ µε χρήση ιδιοτήτων: + z x a u X z az z a Υπολογισµός του µετασχηµατισµού Ζ του u, Uz και εφαρµογή της ιδιότητας µετατόπισης στη συχνότητα: 0 u u δ U z z U z U z z a u az ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

183 Ιδιότητες Μετασχηµατισµού z ιδιότητα µετασχηµατισµού z σήµα διακριτού χρόνου x µετασχηµατισµός z Xz περιοχή σύγκλισης γραµµικότητα c x +c x c X z+c X z Rx Rx µετατόπιση στο χρόνο x- 0 z -0 Xz R x αντιστροφή στο χρόνο x- Xz - / R x µετατόπιση στη συχνότητα a x Xa - z a R x συνέλιξη στο χρόνο x * x X z X z R x R x µιγαδική συζυγία x* X*z* R x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 83

184 Απόδειξη Ιδιοτήτων Μετασχηµατισµού z Γραµµικότητα a x + a x z a x z + a x z + + Χρονική καθυστέρηση + + a x z a x z a X a X Χρονική αντιστροφή x z z x z z X Z 0 0 x z x z X z ROC : a z b z b a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 84

185 Μιγαδική συζυγία * jω * * jω Μετατόπιση στη συχνότητα * * X z x z x z e x z e x z X z * * * * Συνέλιξη a x z x a z X a z, ROC : a z < a< z * y x h h k x k k k x h k Y z h k x k z h k z x k z H z X z k k ROC Y z R R ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 85

186 Παράδειγµα συνέλιξης στο πεδίο Ζ ίνονται οι συναρτήσεις και ζητείται ο Ζ της συνέλιξης τους a u δ + δ x h a X z ROC : x a< z az H z az ROC < z h : 0 Y z X z H z az az Η ΠΣ της Y είναι όλο το επίπεδο Ζ. Γενικά, όταν εξουδετερώνεται ένας πόλος µε ένα µηδενικό της Υ, δηλ. όταν απλοποιείται ένας παράγοντας του αριθµητή µε ένα παράγοντα του παρονοµαστή, τότε η ΠΣ που προκύπτει είναι υπερσύνολο των ΠΣ των πολλαπλασιαστέων. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 86

187 Παράδειγµα συνέλιξης στο πεδίο Ζ ίνονται οι συναρτήσεις και ζητείται ο Ζ της συνέλιξης τους. Επιβεβαιώστε την ορθότητα της σχετικής ιδιότητας του µετασχηµατισµού Z. 3δ δ δ δ 3+ x x X z z X z z δ + δ δ X z X z z z z z Υπολογισµός της συνέλιξηςβάσει του ορισµού της: x * x x k x k 3 k k k k k + k + + δ δ δ δ k 6δ k δ k 3δ k δ k + 4δ k δ k δ k δ k + 6δ δ δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 87

188 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 88

189 Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο Ζ της ακολουθίας x a u x a u a u, z > a u, z > az a a z a Αντιστροφή στο χρόνο: a u a u, z > a + a z Παραγώγιση: a a z d d za x -z X z a u z z + dz dz a z a z f x Σηµείωση: Για την παράγωγο κλάσµατος ισχύει: g x f x + g f x g x g x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 89

190 Παράδειγµα υπολογισµού της Xz από δεδοµένη ακολουθία x Έστω ότι δίνεται αριθµητικά η x. Τότε η Ζ υπολογίζεται άµεσα. Παράδειγµα < >5 x δ 4δ 6δ 4δ 3 δ x X z z z z z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 90

191 Πόλοι και Μηδενικά Έστω Xz είναι ρητή συνάρτηση του z: XzBz/Az Οι ρίζες του Bz καλούνται µηδενικά zeros της Xz Οι ρίζες του Az καλούνται πόλοι poles της Xz Στο διάγραµµα πόλων-µηδενικών στο µιγαδικό επίπεδο τα µηδενικά συµβολίζονται µε το σύµβολο o και οι πόλοι µε το σύµβολο x Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαµβάνει τους πόλους ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

192 Υπολογισµός Πόλων και Μηδενικών X z 8 0 z zplaeb,a z z 8 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

193 Υπολογισµός Μετασχηµατισµού z z a z z x z X u a x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 93 a z ή az a z z az az > < + 0 αν

194 Παραδείγµατα ζευγών Ζ Επιβεβαιώστε τα παρακάτω ζεύγη Ζ 3δ + δ + δ x X z z z k z x u u 0 δ k X z z, ROC z > z kπ j 0 0 k z k 0 k 0 Ρίζες του z : z e, k 0,,...,9 9 kπ j 0 e z 9 kπ k 0 j 0 k X z e z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 94

195 Απόδειξη ζεύγους Ζ Χρήσιµο ζεύγος: a u az m m a u a u z a z a z m m + + m m m a z a z a z m m 0 a z a z az RoC : a z < z < a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 95

196 Παραδείγµατα ζευγών Ζ 3 z 3z x u + 3 u X z + + z z z z ROC : z > z > 0 x u u u u z 3 X z + z ROC : z < z > 3 z + ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 96

197 Σήµατα µε ίδιο Μετασχηµατισµό Z ιαφορετικά σήµατα µπορούν να έχουν την ίδια συναρτησιακή µορφή µετασχηµατισµού z µε διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης ΠΣ. Αρα, για να βρούµε τον αντίστροφο Ζ πρέπει να δίνεται και η ΠΣ. 0.5 u, z < z u, z < z x 0.5 u u X z + 0.5z z µεπεριοχήσύγκλισης 0.5 u, z > z u, z > z x 0.5 u + u X z + 0.5z z µεπεριοχήσύγκλισης z > 0.5 z < 0.5< z < z > 0.5 z > z > ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 97

198 Θεώρηµα Αρχικής Τιµής , 0, 0 x z x z x x z x z z x z X x z X ό x z z < Α + + τε τ ν ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ , 0, x x z x z x z z x z x z X x z X ό x z z > Α + + τε τ ν

199 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Αν η Xz είναι ρητή συνάρτηση του z µε πόλους p k, k,,,n τότε για τον υπολογισµό του αντίστροφου µετασχηµατισµού z χρησιµοποιείται η µέθοδος ανάπτυξης της Xz σε άθροισµα µερικών κλασµάτων. X z B z A z M k 0 N k b k z a k z k k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 99

200 Αν Ν>Μ και οι ρίζες του παρονοµαστή είναι απλές, τότε η ανάπτυξη της Xz σε άθροισµα µερικών κλασµάτων γίνεται ως εξής: p k z k k N k k k z X z p R z p R z X ] [ Αν Ν<Μ και οι ρίζες του παρονοµαστή είναι απλές, τότε οι συντελεστές C k υπολογίζονται εκτελώντας τη διαίρεση Bz/Az ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 00 p k z k k N M k k k N k k k z X z p R z C z p R z X + ] [ 0