Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije
|
|
- Πλειόνη Αντωνοπούλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Glava 14 Elementi kosmologije 14.1 Zvezde i galaksije Rane civilizacije su verovale da je Zemlja centar Univerzuma. Tek u 16. veku je primećeno da je Zemlja samo jedna mala planeta koja orbitira oko Sunca. U 20. veku smo pak došli do zaključka da je sunce samo jedna zvezda prosečne veličine, od milijardi zvezda u galaksiji pod nazivom Mlečni put 1 i da u Univerzumu postoje milijarde drugih galaksija. U proteklih nekoliko decenija, astronomi su na osnovu rezultata merenja zaključili da se naš Univerzum širi i da je star izmedju 10 i 20 milijardi godina. Galaksija je velika grupa zvezda, prašine, gasova i drugih objekata koje čine jednu celinu koju na okupu drži gravitaciona sila. Američki astronom Edvin Habl 2 je dvadesetih godina prošlog veka otkrio da izvan Mlečnog puta postoje i druge galaksije. I pre njega su rezultati nekih posmatranja ukazivali da postoje slabi izvori svetlosti i izvan naše galaksije ali je on koristeći novi 2,5 metarski teleskop pod nazivom refraktor, pokazao da oni zaista potiču od drugih galaksija. Habl je na primer, kada je usmerio svoj teleskop na objekat koji je do tada nazivan zvezdana maglina u sazveždju Andromeda, jasno video da se on sastoji od niza udaljenih zvezda, odnosno da je u pitanju nova galaksija koja je dobila naziv Andromeda. Od Habla do danas, astronomi su otkrili ogroman broj drugih galaksija. Danas se nove galaksije otkrivaju svake godine pomoć teleskopa koji nosi Hablovo ime (Hubble Space Telescop-HST). Astronomi klasifikuju galaksije po njihovom obliku. Spiralne galaksije, kao što je i Mlečni put, sastoje se od centralnog gustog dela okruženo spiralnim kracima. Eliptične galaksije izlgedaju kao centralni deo spiralne galaksije ali bez kraka. Lentikularne galaksije su oblika sočiva, sa ravnomerno rasporedjenim zvezdama te prema tome nemaju centralnu, gušću oblast. Iregularne galaksije ne poseduju ni jednu od navednih pravilnosti. 3 Sunce, sa oko 200 milijardi drugih zvezda pripada Mlečnom putu. Mlečni put je tipična spiralna galaksija. Gledano odozgo ona liči na gigantski točak sa spiralnim paocima-kracima koji se od centra galaksije pružaju ka perifernim regionima. Prečnik naše galaksije iznosi 1 Reč galaksija potiče od grčke reči glaktik što znači mlečni, odakle je izveden i naziv naše galaksije. 2 Edwin Hubble ( ). 3 Mlečni put je deo klastera od oko 40 galaksija poznatog pod nazivom Lokalna grupa. Osim naše galaksije, u grupi se nalaze i druge spiralne galaksije, uključujući i već pomenutu Andromedu. Iregularne galaksije u Lokalnoj grupi su Veliki i Mali Magelanovi Oblaci. Postoje i druge grupe galaksija. 381
2 382 GLAVA 14. ELEMENTI KOSMOLOGIJE Slika 14.1: (a) Oblici galaksija. (b) Mlečni put. oko svetlostnih godina. Ukoliko bi mogli da je pogledamo sa strane videli bi da je spljoštena i da je njena debljina oko svetlosnih godina. U centru diska se nalazi oblast gusto ispunjena zvezdama koja se naziva jezgro galaksije. Spoljašnje oblasti galaksije se nazivaju halo i u njemu se nalaze klasteri starijih zvezda. Disk Mlečnog puta je spljošteni rotirajući sistem koji sadrži mlade zvezde, gasove i prašinu. Sunce se nalazi na oko svetlosnih godina od centra diska i okrene se jednom oko njega za oko 250 miliona godina. Kada pogledamo noćno nebo mi u stvari gledamo kroz disk naše galaksije. Ukoliko je nebo izuzetno vedro na njemu možemo da uočimo svetlu traku koja ga prekriva. Ona potiče od svetlosti milijardi zvezda u disku naše galaksije. Pošto se mi nalazimo u spoljnjem delu naše galaksije, medjuzvezdana prašina blokira veći deo vidljive svetlosti koja dolazi od objekata koje se nalaze u unutrašnjem delu galaktičkog diska. Iz tog razloga astronomi koriste infracrvene i radio teleskope za posmatranje i analizu takvih objekata. Kao rezutat takvih posmatranja došlo se do zaključka da se u centru naše galaksije nalazi gomila starih zvezda i vruće prašine. Današnja pak istraživanja ukazuju na to da bi u centru galaksije mogla da se nalazi crna rupa mase veće od milion masa Sunca. Takva crna rupa bi, usled ogromne mase, mogla da dovoljno jakom gravitacionom silom zadrži na odgovarajućim orbitama sve zvezde, gas i prašinu koje se nalaze u našoj galaksiji. Dokazi za postojanje velike crne rupe baziraju se na merenju orbitalne brzine zvezda i gasa u kruženju oko centra galaksije. Jedno od merenja se zasnivalo na praćenju orbitalnih brzina 20 zvezda u toku tri godine. Izmereno je da brzina orbitiranja dostiže km/s ( km/h), što može da se dostigne jedino ako se u centru galaksije nalazi telo čija je masa preko 2 miliona mase Sunca. 4 4 Brzina zvezde mase m koja orbitira na rastojanju R od centra galaksije u kome se nalazi telo mase M se može dobiti na osnovu jednakosti centrifugalne i gravitacione sile kojom na nju deluje telo mase M, tj. mv 2 /R = γmm/r 2, odakle se dobija da je v = γm/r. Ukoliko smo izmerili brzinu, za poznato rastojanje od centra galaksije, iz ove formule je lako odrediti masu tela koje se nalazi u njenom centru.
3 14.1. ZVEZDE I GALAKSIJE Odredjivanje udaljenosti zvezda i galaksija Jedan od najvećih izazova sa kojima se sreću astronomi je odredjivanje ogromnih udaljenosti zvezda i galaksija od Zemlje. Taj podatak je od ključne važnosti za pravljenje svojevrsne mape Univerzuma. Za objekte koji se nalaze bliže od svetlosnih godina udaljenosti od Zemlje, astronomi koriste metod koji se naziva paralaksa ili trijangulacija. Paralaksa je u stvari prividna promena u poziciji objekta kada na njega gledamo sa različitih mesta. 5 Kako se Zemlja okreće oko sunca, zvezde prividno menjaju svoje mesto na nebu u toku jedne godine (koliko traje Zemljina revolucija). U stvari, Zemlja je ta koja menja svoj položaj u prostoru dok su zvezde praktično nepomične (slika 14.2). Slika 14.2: (a) Noćna strana Zemlje je uvek okrenuta od sunca. Kako Zemlja rotira oko njega, posmatrač na Zemlji ima utisak da se zvezde kreću iako je u stvari obrnuto. Zemlja se kreće a one su praktično na stalnim mestima. (B) Promena položaja Zemlje u odnosu na zvezde. Paralaksa može da se primenjuje jedino za zvezde koje su relativno blizu Zemlji, jer sa porastom udaljenosti zvezde od Zemlje, promena u uglu pod kojim se ona vidi postaje manje merljiva. 6 Odredjivanje udaljenosti zvezda metodom paralakse se sastoji u odredjivanju položaja zvezde na nebu u odnosu na neku drugu zvezdu koja je toliko daleko od Zemlje da je njena prividna promena položaja ne može registrovati. Nakon šest meseci se ponovo odredi prividna položaj zvezde u odnosu na daleku zvezdu i na osnovu geometrijskih ili trigonometrijskih relacija se odredi rastojanje od Zemlje do zvezde. 5 Ovaj pojam se može učiniti očiglednim ako postavimo prst na 15 do 20 cm udaljenosti od oka zatvorimo levo oko i gledamo ga samo desnim. Ako nakon toga zatvorimo desno oko i pogledamo ga samo levim, učiniće nam se da se on nalazi na drugom mestu što je posledica toga da ga gledamo očima koja su na različitim mestima u prostoru. Isti princip važi i za zvezde na nebu. 6 Ovaj efekat je primetan i u primeru sa odredjivanjem položaja prsta ispred očiju. Ukoliko ga pomeramo na sve veća i veća rastojanja možemo da primetimo da su promene u njegovom prividnom položaju sve manje i manje.
4 384 GLAVA 14. ELEMENTI KOSMOLOGIJE Slika 14.3: Odredjivanje udaljenosti zvezde od Zemlje primenom paralakse. Sa slike 14.3 se vidi da se udaljenost zvezde L može dobiti iz relacije D = R/ tan ϕ. Kao što je već napomenuto, ukoliko su zvezde na udaljenosti većoj od svetlosnih godina, njihovo prividno pomeranje je toliko malo da se ne može upotrebiti za odredjivanje udaljenosti zvezda. Ova metoda je korišćena od otkrića telskopa u godini do godine i njome je odredjena udaljenost svega nekoliko hiljada zvezda. Neke od njih su veoma sjajne, dok druge to nisu. Pri tome se mora imati u vidu da prividni sjaj zvezde zavisi i od toga koliko se daleko ona nalazi od Zemlje. Prividni sjaj objekta, osim što zavisi od njegove udaljenosti od nas, zavisi i toga koliko svetlosti ona daje, odnosno od njenog apsolutnog sjaja. Matematička veza izmedju tih promenljivih je poznata kao zakon obrnutih kvadrata i može se takodje upotrebiti za odredjivanje rastojanja do zvezda i galaksija. Ukoliko sa B označimo prividni sjaj, sa L apsolutni a sa D udaljenost zvezde, ovaj zakon ima oblik B = L 4πD 2. (14.1) Ovaj izraz pokazuje da prividni sjaj objekta opada kada se on udaljava od nas. Veliki je značaj ovog izraza za astronomiju jer, ukoliko znamo apsolutni i prividni sjaj onda možemo da odredimo udaljenost objekta preko formule D = L/(4πB). Prividni sjaj B se meri fotometrom, dok je odredjivanje apsolutnog sjaja L bio veliki izazov sa kojim su se susreli astronomi. Dva astronoma Hercšprung i Rasel 7 su rešili ovaj problem odnosno godine. Oni su otkrili da su sjaj zvezde i njena boja u vezi. Ovo je u skladu sa činjenicom da 7 H. N. Russel i E. Hertzsprung.
5 14.1. ZVEZDE I GALAKSIJE 385 toplija tela emituju više u plavom delu spektra od hladnijih tela. Takodje je za očekivanje da toplilja tela budu i sjajnija. Kod nekih zvezda postoje i dodatni faktori koji utiču na sjaj ali za većinu zvezda postoji direktna veza izmedju sjaja i boje. Hercšprung-Raselov (HR) dijagram (slika.) prikazuje upravo vezu izmedju boje i apsolutnog sjaja zvezda. Slika 14.4: Hersšprung-Raselov dijagram. Najmasivnije zvezde imaju najvišu temperaturu i najveći sjaj. Zvezde najmanje mase imaju najniže temperature. Evolucioni put sunca od protozvezde, sadašnjeg stanja, preko crvenog džina do belog patuljka je skiciran isprekidanom linijom. Rastojanje do zvezde se sada može odrediti na sledeći način. Najpre je potrebno proanalizirati spektar koji emituje zvezda (njenu boju). Nakon toga se uz pomoć HR dijagrama odredi koliko je sjajna data zvezda, odnosno koliki je njen apsolutni sjaj. Prividni sjaj se odredjuje zapravno njegovim direktnim merenjem sa Zemlje. Nakon toga se primeni formula (14.1) i odredi udaljenost date zvezde. Ovo je metod koji se najčešće koristi za odredjivanje udaljenosti zvezda iz Mlečnog puta od Zemlje. Udaljenost drugih galaksija od Mlečnog puta se odredjuje, u principu, na sličan način. Početkom 20. veka otkrivena je i katalogizirana klasa zvezda čiji sjaj pulsira, odnosno menja se periodično sa vremenom. Nazvane su cefeide, 8 a period pulsiranja im traje od nekoliko dana do nekoliko nedelja. 9 Ubrzo je oktrivena zakonitost koja povezuje period cefeida i njihov apsolutni sjaj. Drugim rečima, merenjem perioda cefeide astronomi mogu da odrede i njen apsolutni sjaj, a onda, na osnovu izmerenog prividnog sjaja, uz primenu zakona obrnutog kvadrata da odrede i njenu udaljenost. Lociranje cefeida u udaljenim galaksijama omogućuje na taj način da se odrede rastojanja izmedju njih. Interesantno je napomenuti da je astronom Harlow Shapley, ovim metodom uspeo da odredi oblik Mlečnog puta i položaj sunčevog sistema u njemu. 10 Ovaj metod za odredjivanje udaljenosti takodje ima ograničenja, jer je svetlost cefeida koje se nalaze na udaljenosti većoj od 100 miliona svetlosnih godina toliko slaba da ih ni 8 Prva zvezda ovog tipa koja je otkrivena se zove Delta Cephei i nalazi se na 300 svetlosnih godina od Zemlje. 9 Otkrila ih je godine američki astronom Henrieta Leavitt ( ). 10 Najsjajnija cefeida je zvezda Severnjača (Polaris) a njen sjaj varira za 9% za sa periodom od 4 dana. Kako se nalazi na samo 390 svetlosnih godina od Zemlje, njena udaljenost može da se takodje izmeri i metodom paralakse.
6 386 GLAVA 14. ELEMENTI KOSMOLOGIJE HST ne može registrovati. Za zvezde koje se nalaze na tim udaljenostima, devedesetih godina prošlog veka, uvedena je nova metoda za odredjivanje udaljenosti koja je vezana za jedan poseban tip eksplodirajućih super novih zvezda koje su dobile naziv tip 1a. Sjaj njihove eksplozije je povezan sa udaljenošću na kojoj se nalaze pa se metodama sličnim već opisanim može odrediti udaljenost na kojoj se nalaze Odredjivanja brzina zvezda i galaksija Tehnika za merenje brzina zvezda i galaksija se zasniva na talasnom fenomenu pod nazivom Doplerov efekat, koji je već pominjan kod mehaničkih talasa. Naime, kretanje izvora talasa utiče na talasnu dužinu i frekvenciju talasa koji prima posmatrač. Ovaj efekat je veoma važan alat koji se koristi u astronomiji za analizu kretanja objekata. Ukoliko se posmatrani objekat kreće ka Zemlji, svetlosni talasi su sabijeni i pomereni ka ljubičastom delu vidljivog spektra (kraće talasne dužine, više frekvencije). Slika 14.5: Doplerov efekat može da se iskoristi za odredjivanje kretanja objekata u prostoru. Ukoliko se pak objekat udaljava od Zemlje, svetlosni talasi su razvučeni i pomereni kao crvenom delu vidljivog spektra (veće talasne dužine, manje frekvencije). U cilju odredjivanja karaktera ovog efekta koriste se karakteristične frekvencije (talasne dužine) povezane sa elektronskim prelazima u atomima pri čemu se najčešće prate prelazi u atomima vodonika kojih ima u velikim količinama na zvezdama. Takvi atomi emituju zračenje na istim frekvencijama kao i da se nalaze na Zemlji, medjutim mi ćemo ih detektovati na nižim
7 14.2. ŠIRENJE UNIVERZUMA 387 frekvencijama ukoliko se data zvezda udaljava od nas. Obzirom na karakter ovog pomeranja on se naziva kosmološki crveni pomak. Veličina ovog pomaka zavisi od brzine kojom se atomi (zvezda na kojoj se oni nalaze) udaljavaju od nas. U slučaju suprotnog kretanja na Zemlji bi bio izmeren plavi pomak. Slika 14.6: Linije vodonika emitovane sa tela koje se ne kreće i sa zvezde u relativnom kretanju u odnosu na Zemlju. Na slici 14.6 je prikazan raspored linija vodonika koji je isti i kod tela koje miruje u odnosu na Zemlju i u spektru zvezde koja se kreće, ali su ove linije u tom slučaju pomerene ka crvenom delu spektra. Veličina Doplerovog pomaka je u vezi sa brzinom kojom se kreće zvezda Širenje Univerzuma Merenjem crvenog pomaka emitovane svetlosti iz različitih galaksija je otkriveno da se skoro sve udaljavaju od nas. Neke od njih se kreću veoma velikim brzinama (oko 80% brzine svetlosti). Kada se ta merenja analiziraju paralelno sa rezultatima merenja rastojanja tih istih nebeskih tela od Zemlje, dolazi se do zaključka da su relativne brzine galaksija u
8 388 GLAVA 14. ELEMENTI KOSMOLOGIJE odnosu na Zemlju utoliko veće ukoliko se one nalaze na većoj udaljenosti. Slika 14.7: Grafik koji ilustruje Hablov zakon. Navedena veza je danas poznata pod nazivom Hablov zakon i može se zapisati u obliku v = H(t)d, gde je d udaljenost galaksije, a veličina H nosi naziv Hablova konstata. Smatra se da se njena vrednost menjala sa vremenom a današnja vrednost joj je H 0 = 74, god 1. Prvi zaključci koji su izvedeni na osnovu Hablovih merenja koja su izvršena tridesetih godina prošlog veka, su ukazivala na udaljavanje galaksija od Zemlje. Medjutim kako je već dugo bilo jasno da Zemlja nije centar Univerzuma, došlo se do zaključka da bi ista merenja izvršena na ma kom mestu u vasioni doveli do istih rezultata iz čega je zapravo sledilo da Hablovi rezultati ukazuju na to da se univerzum širi. Pa ako se ceo Univerzum danas širi, sledio je logičan zaključak da je nekada, kada je započeo taj proces, on morao da bude skoncentrisan praktično u tačku. No da li je to bilo moguće i kakvi su onda uslovi vladali u njemu? Jedna od najprihvaćenihih teorija koja opisuje ovakav nastanak i evoluciju univerzuma je poznata pod nazivom teorija Velikog praska ili Velike eksplozije Teorija Velikog praska Pojam Univerzum se odnosi na sve što postoji, uključujući sve vrste materije i energije. Iako danas ima mnogo teorija koje se odnose na njegov nastanak i evoluciju, kao što je rečeno najprihvaćenija je teorija Velikog praska. Prema njoj Univerzum je započeo u gigantskoj eksploziji pre izmedju 10 i 20 milijardi godina. U skladu sa ovom teorijom, sva materija i energija koja se nalazi u Univerzumu, je započela svoju evoluciju iz delića prostora ne većeg od jezgra atoma. Iznenadna eksplozija je rasterala svu materiju i energiju u svim pravcima. U tom trenutku Univerzum je bio užarena lopta koja je počela da se širi veoma brzo. Izuzetno velika temperatura (10 milijardi stepeni) je dovela do kreiranja subatomskih čestica. Odmah nakon eksplozije Univerzum je počeo da se širi i hladi. Smatra se da se za delić sekunde proširio od dimenzije atomskog jezgra do km. Unutar iste sekunde širenje je počelo da se usporava. Univerzum je bio oblak materije i energije koji se brzo hladio i
9 14.3. TEORIJA VELIKOG PRASKA 389 postajao sve redji i redji. Nakon nekoliko minuta, temperatura mu je opala na 1 milijardu stepeni i počela je kreacija jezgara vodonika. Nako toga su jezgra vodonika počela da se fuzionišu u jezgra helijuma. Razlog što su čestice uspele da formiraju jezgra tek na ovoj temperaturi je u tome što je njihova energija na višim temperaturama bila toliko velika da nuklearne sile nisu bile dovoljno jake da ih zadrže na okupu. Slika 14.8: Glavne faze evolucije Univerzuma od Velikog praska do danas. Oko godina nakon eksplozije, većina energije vasione je oblika elektromagnetnog zračenja u opsegu X-zračenja, radio i UV talasa. Kako se Univerzum dalje hladio, i širio ovi talasi su menjali svoju frekvenciju da bi se danas nalazili u mikrotalasnoj oblasti, odnosno predstavljaju takozvano kosmičko pozadinsko zračenje. Merenja pokazuju da se današnji Univerzum nalazi u fazi širenja. Ukoliko je to tačno, onda se dolazi do zaključka da se na početku širenja sva materija koja ga čini nalazila skoncentrisana praktično u tački i imala veoma veliku gustinu i temperaturu. Pri ovome treba imati u vidu da nije reč o eksploziji i širenju tačke kroz beskonačni prostor koji je postojao i pre toga već da je iz te tačke nastao prostor i vreme koji se nakon toga širio. Kako se materija hladila pri širenju, tako su nastajala jezgra, atomi, zvezde i galaksije. Ukoliko se pomenuta Velika eksplozija zaista desila, na osnovu današnjeg položaja galaksija i njihovog kretanja, je moguće proceniti koliko je širenje trajalo. Teleskopi su zapravo svojevrsne vremenske mašine jer nam omogućuju da gledamo u prošlost. Naime, kada mi vidimo neku galaksiju koja se nalazi na rastojanju od 100 miliona svetlosnih godina, mi je ne vidimo kako ona sada izgleda već onako kako je izgledala pre 100 miliona godina, kada je svetlost koja je stigla u naše oko krenula sa nje. Na osnovu izmerenih brzina kretanja galaksija i njihovog relativnog položaja danas, koristeći dobijene podatke o njihovom crvenom pomaku, može da se proceni da se velika eksplozija dogodila pre oko 13,7 milijardi godina. Napomenimo da postoje i druge teorije o nastanku i evoluciji vasione ali jedna veoma važna merljiva činjenica ide u prilog hipotezi o Velikoj eksploziji. Prema osnovnim postavkama ove hipoteze, videli smo da je univerzum u početku bio veoma gusta i vrela supa materije, koja je, kada se dovoljno ohladila, oslobodila velliku količinu elektromagnetnog zračenja.
10 390 GLAVA 14. ELEMENTI KOSMOLOGIJE Proračuni pokazuju da, ako je nastalo, takvo zračenje mora da postoji i danas sa talasnim dužinama koje su u oblasti mikrotalasnog zračenja koje se prostire u svim pravcima i odgovara zračenju crnog tela čija je temperatura oko 2,7 K. Dva američka astronoma Arno Penzijas i Robert Vilson su šezdesetih godina prošlog veka, prilikom merenja elektromagnetnog zračenja koje emituje Mlečni put, ustanovili da postoji pozadinski signal koji nije mogao biti otklonjen ni na koji način. Merenja su pokazala da ovo zračenje u mernu aparaturu dolazi sa svih strana sa veoma malim varijacijama u frekvenciji. Ubrzo nakon publikovanja njihovog rada u kome je opisano ovo zračenje, došlo se do zaključka da su oni upravo registrovali kosmičko pozadinsko zračenje koje, kao što smo napomenuli, predvidja teorija Velikog praska i koje predstavlja njen svojevrstan odjek. Slika 14.9: Uporedjenje terijskog predvidjanja (puna linija) i rezultata merenja (tačke) mikrotalasnog pozadinskog zračenja koje je posledica Velikog praska.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραAntene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1)
Fakultet tehničkih nauka Novi Sad Katedra za Mehaniku 2. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1) A grupa A3 Dva robota se kreću po glatkoj horizontalnoj podlozi. Robot A, mase 20, 0 kg, kreće se brzinom 2, 00 m/s
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραKvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραOtkriće kvazara i mikrotalasnog pozadinskog zračenja
Otkriće kvazara i mikrotalasnog pozadinskog zračenja Dragana Ilić Katedra za astronomiju Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu Dva skoro istovremena otkrića Kvazari = kvazi stelarni radio izvori
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραOdabrana poglavlja astronomije: 3. Objasniti šta je cirkumpolarna zvezda i naći uslov da zvezda bude cirkumpolarna.
Ime i prezime: Broj dosijea: Smer: Datum: Ukupno poena: Ocena: Odabrana poglavlja astronomije: pismeni ispit 1 Definisati rektascenziju α Obavezno nacrtati sliku 2 Definisati paralaktički ugao q Obavezno
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραRAD, SNAGA I ENERGIJA
RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότερα