KINEMATIKA I DINAMIKA KRUTOG TIJELA

Transcript

1 KINEMTIK I DINMIK KRUTOG TIJEL 6. OPĆI POJMOVI I DEFINICIJE U kineatici točke proučavali so brine i ubranja jedne točke i opisivali rane vrste gibanja točke u raličiti koordinatni sustavia. U ovo dijelu bavit ćeo se proučavanje gibanja krutog tijela, koje ožeo satrati idealni sustavo točaka koje stalno održavaju iste eñusobne raake. Ralikujeo: a) linijske (jednodienionalne) sustave, kod kojih je jedna dienija konačna, a ostale dvije su beskonačno ale. To je slučaj tv. aterijalne linije ili krutog štapa, b) planarne (dvodienionalne), kod kojih je jedna dienija beskonačno ala u odnosu na druge dvije (aterijalna ploha ili kruta ploča ), c) prostorne (trodienionalne) sustave (kruto tijelo proivoljnog oblika). Slično kao i u kineatici točke, ralikujeo i ovdje slobodno gibanje krutog tijela, tj. kad u nisu naetnute nikakve kineatičke vee i prinudno (neslobodno) gibanje, kada je ogućnost gibanja ograničena vanjski veaa. Ovo posljednje je nogo načajnije u tehničkoj kineatici, čija je krajnja svrha opisivanje gibanja ehaniaa, tj. sistea sastavljenih od više eñusobno veanih krutih tijela (članova ehaniaa). U praksi su najčešći ravninski ehanii, tj. takvi kod kojih se svi članovi gibaju u ravninaa paralelni s jedno nepoično, referentno, ravnino. 6.1 KOORDINTE POLOŽJ I STUPNJ SLOBODE GIBNJ KRUTOG TIJEL Položaj slobodnog krutog tijela ožeo odrediti pooću dva koordinatna sustava: O x y (nepoičan i vean a eljinu koru) i (poičan i vean a tijelo). Koordinate točke (x y ) nisu dovoljne a odreñivanje položaja tijela, jer ne odreñuju njegovu orijentaciju, što se postiže s pooću Eulerovih kutova ψ, ϑ, ϕ. Prea toe skalarne veličine x, y,, ψ, ϑ, ϕ odreñuju položaj slobodnog krutog tijela u prostoru. Taj sustav neavisnih veličina naivao koordinataa položaja krutog tijela. U to slučaju gibanje krutog tijela odreñeno je jednadžbaa:

2 x y x() t y () t () t ψ ψ() t ϑ ϑ() t ϕ ϕ() t (6.1) Odavde aključujeo da slobodno kruto tijelo ia šest stupnjeva slobode gibanja (k6), dok neslobodno kruto tijelo ia k < 6. ko su x, y,, ψ, ϑ, ϕ konstantne veličine tijelo iruje, a ako se bare jedna od tih veličina ijenja, tijelo se giba. Prijeri a stupanj slobode gibanja krutog tijela. U opće slučaju svako slobodno kruto tijelo koje se giba u prostoru i čiji je položaj odreñen sa tri proivoljno iabrane točke, B i C (sl. 6.1) ia šest stupnjeva slobode gibanja: tri translacije (u pravcia osi x, y, ) i tri rotacije (oko tih osi). Položaj krutog tijela u prostoru odreñen je takoñer i koordinataa triju njegovih točaka, B i C, tj. sa devet koordinata: ( x, y, ) ( x, y, ) B B B ( x, y, ) C C C (6.) (Slika 6.1) Onačio li sa k broj stupnjeva slobode i sa s broj kineatičkih vea, tada a neslobodno kruto tijelo vrijedi: k 6 s (6.3)

3 Na prijer, gibanje tijela u obliku kugle po ravnini B (sl. 6.a), ože se rastaviti na tri rotacije oko osi x, y, i na klianje po ravnini, koje se opet ože rastaviti na klianje u pravcia osi x i y. Klianje kugle u pravcu osi oneogućeno je naetnuto veo. Prea toe broj stupnjeva slobode u to prijeru jest: k 5. Na sl. 6.b prikaano je tijelo u obliku kružnog valjka koji se giba po ravnini B. U to slučaju valjak ože rotirati oko osi x i i kliiti u pravcu osi x i y, pa je broj stupnjeva slobode gibanja valjka k 4. a) 6-15 b) 6-4 c) 6-33 (Slika 6.) U oba proatrana prijera kobinacije tijela i B tvore tv. više kineatičke parove (dodiruju se teoretski u točki, odnosno po liniji). ko je tijelo oblika prie (sl. 6.c), onda je k 3, tj. tijelo tada ia tri stupnja slobode (dvije translacije u pravcia osi x i y i jednu rotaciju oko osi ). a) 6-33 b) 6-4 c) 6-51 (Slika 6.3) Sl. 6.3a prikauje tv. sferni kineatički par ili sferni glob koji se sastoji od tijela, čiji je sferni dio sješten u sfernu šupljinu tijela B. U to se slučaju gibanje svodi na tri rotacije oko osi x, y, i prea toe tijelo ia takoñer sao tri stupnja slobode gibanja, tj. k 3. Cilindrično tijelo u šuplje cilindru B (sl. 113b) ia sao dva stupnja slobode: translaciju u pravcu udužne osi cilindra i rotaciju oko te osi, tj. k.

4 Tijelo u obliku prie, kojeu je naetnuta vea prea sl. 6.3c, ia sao jedan stupanj slobode gibanja, tj. translaciju u pravcu svoje udužne osi. Kobinacija tijela i B, kojia su naetnute kineatičke vee prea sl. 6.3b i sl. 6.3c, ovu se niži kineatički parovi (dodiruju se po plohi). 6. OSNOVNE VRSTE GIBNJ KRUTOG TIJEL Ralikujeo dvije osnovne vrste gibanja krutog tijela 1. translatorno gibanje ili translaciju. rotaciono gibanje ili rotaciju oko odreñene osi Kao važne specifične slučajeve proatrat ćeo a) sferno gibanje tijela (gibanje oko nepoične točke), b) gibanje tijela u nepoičnoj ravnini (ravninsko gibanje), c) opće gibanje slobodnog krutog tijela Translacija krutog tijela. Translatorni gibanje ili translacijo krutog tijela naiva se gibanje pri koje sve točke tijela opisuju kongruentne putanje i iaju jednake brine i ubranja. Tipičan prijer pravocrtne translacije je gibanje klipa u cilindru stroja s unutarnji igaranje. Translatorno gibanje krutog tijela odreñeno je ako su ponati brina i ubranje jedne jegove točke i ato se translaciju krutog tijela ože proatrati kao gibanje jedne točke. Pri odreñivanju brine i ubranja translatornog gibanja tijela upotrebljavao iste forule kao i pri gibanju točke. Kod kružne translacije putanje su kružnice jednakog polujera, njihova središta su raličita, a sve točke iaju jednake brine i ubranja. Slika 6.4 prikauje sheu pogonskog sustava kotača električne lokootive. (Slika 6.4)

5 Kruta ploča BC vrši kružnu translaciju, jer npr. linija B u svako položaju ploče ostaje paralelna saoj sebi. Kod krivocrtne translacije putanje točaka ogu biti ravninske i prostorne krivulje,a inače gibanje ože biti jednoliko i projenjivo 6.3. ROTCIJ KRUTOG TIJEL Rotacioni gibanje ili rotacijo krutog tijela naivao gibanje pri koje se točke tijela gibaju u ravninaa što stoje okoito na nepoičnu pravu liniju, koja se ove os rotacije. Pri toe točke tijela opisuju kružnice, čija središta leže na osi rotacije. Položaj tijela u bilo koje trenutku t odreñen je jednadžbo ϕ ϕt () (6.4) koja iražava akon rotacionog gibanja tijela. ko se tijelo i položaja odreñenog kuto ϕ poakne u vreenu t u novi položaj ϕ + ϕ onda vrijedi ϕ t ω (6.5) pri čeu je ω srednja kutna brina u t, odnosno a t 0 bit će li t 0 ϕ t dϕ ω (6.6) gdje je ω trenutna kutna brina. ko se ω u t poveća a ω onda je ω ε, srednje kutno ubranje tijela u t. t Granična vrijednost kojoj teži ta veličina pri t 0 ε ω dω d ϕ li t 0 t (6.7) naiva se kutno ubranje u trenutku t.

6 Dienije tih veličina su [ ω] 1 T, [ ε] T i redovito se iražavaju u jedinicaa s -1 i s -. ko je a sve vrijee gibanja tijela ω konst. tijelo rotira jednoliko po akonu ϕ ωt. Onačio li sa ϕ 0 početni kut rotacije (u t0), akon takvog gibanja glasi ϕ ϕ + (6.8) 0 ωt Kada je ε konst. rotaciono gibanje tijela naiva se jednoliko projenjivo i akon gibanja je 1 ϕ ϕ ω ε 0 + 0t + t (6.9) gdje je ω 0 početna kutna brina (u t0). Pri toe se kutna brina rotacije ijenja po akonu ω ω + (6.10) 0 εt Kutna brina rotacije krutog tijela obično se u tehnici jeri broje okretaja u inuti i onačava sa nin -1. Kako je jedan okretaj jednak π rad, odnos ieñu kutne brine ω s -1 i n in -1 iražen je ponato relacijo nπ ω ili 30 n 30ω (6.11) π

7 Brina točke M na tijelu. (Slika 6.5) - dr onačuje prirast vektora r pri rotaciji oko nepoične osi - os rotacije je nepoična pa vektori ω i ε leže na osi rotacije i iaju priraste dω sao po inosu i veani su tj. vrijedi ε - sjer vektora ω i ε se odreñuju pravilo desnog vijka dr - brina točke M na tijelu jest v - i slike slijedi dr dϕ r sinα dr dϕ r sinα v ω r sinα tj., vrijedi v w r (6.1)

8 To je Eulerova forula a iračunavanje brine bilo koje točke tijela koje rotira oko nepoične osi. Dalje i slike 6.5 slijedi r sinα b - polujer kružne putanje točke M te vrijedi v b ω (6.13) Do akceleracije ožeo doći na sljedeći način dv d d ω dr a ( ω r) r + ω, pri čeu je dω dr ε, v ω r, pa konačno ožeo pisati a ε r + ω v ε r + ω ω r ( ) (6.14) Sjer koponente akceleracije ε r poklapa se sa pravce brine v jer je kut ieñu vektora ε i r jednak α kao što je slučaj i kod vektora ω i r. Taj pravac je u sjeru tangente na putanju točke M odnosno to je tangencijalna koponenta ubranja. Možeo pisati at εr sinα b ε Sjer koponente akceleracije ω v ω ω r poklapa se s pravce tj. ( ) okoice spuštene i točke M na os rotacije. (Sl. 6.6). To je noralna ili centripetalna koponenta ubranja a v. Možeo pisati an bω b Iao: a a + a b ε + ω (6.15) 4 T N (Slika 6.6)

9 Dinaika rotacije tijela oko nepoične osi. (Slika 6.7) Kruto tijelo ožeo proatrati kao skup čestica beskonačno ale ase d. Na svaku od tih čestica djeluju pored vanjskih i unutarnjih sila i inercijske sile. Valja uočiti da će svi djelići tijela iati istu kutnu brinu ω. Kutna količina gibanja čestice u radijalno sjeru biti će dl a d b ω d, dok će u tangencijalno sjeru ona glasiti dlt at d b εd (Sl. 6.8). N N (Slika 6.8) Za aksijalni oent, tj. oent oko osi raatrao sao kutnu količinu gibanja u tangencijalno sjeru jer ona jedina doprinosi takvo oentu. Možeo pisati

10 M M dl b d T ε Koponentu b d troosti. Iao b d onačavao sa (6.16) I i oveo aksijalni dinaički oent d ϕ M εi I (6.17) Ira (6.17) naivao jednadžbo gibanja kod rotacije. Dinaički oenti troosti. ksijalni i centrifugalni oent troosti U jednadžbaa dinaike krutih tijela javljaju se veličine koje pored ase ovise i o geoetrijski svojstvia tijela. Te su veličine ponate pod skupni ieno dinaički oent troosti ili inercije. ksijalni oent troosti I x ili oent troosti tijela prea osi x definiran je irao I x d d (6.18) x u koje je d x udaljenost diferencijala ase d od osi x prea kojoj se iračunava oent troosti. I slike 6.9 vidi se da su oenti troosti prea osia x, y, Descartesova koordinatnog sustava Ix ( y + ) d + Iy ( x ) d + I ( x y ) d (6.19) U svi iraia a aksijalne oente troosti dolai kvadrat udaljenosti od osi nožen s diferencijalo ase, pa je jedinica oenta troosti kg.

11 (Slika 6.9) Dinaički oent troosti prea osia Descartesova koordinatnog sustava Polujer troosti i x tijela ase ona je udaljenost od osi x na kojoj bi trebalo koncentrirati svu asu tijela a da oent troosti ostane neproijenjen. Vrijedi I (6.0) id i d x x x odnosno I x i (6.1) x I ponatog aksijalnog oenta troosti dobiva se polujer troosti i x I x (6.) Centrifugalni ili devijacijski oent troosti definiran je prea paru koordinatnih osi: I I I xy y x xyd yd xd (6.3)

12 U praktično iračunavanju oenata troosti hoogenih tijela asa je jednoliko raspodijeljena po voluenu V, plohi ili po liniji l. Diferencijal ase ože se tada iraiti pooću diferencijala voluena, površine ili duljine: d d d dv V d dl l (6.4) pa će i integriranje biti po voluenu, plohi ili liniji. Kinetička energija rotacije. Za diferencijal ase d kinetička energija inosi de K d v (6.5) U v bω i nakon integriranja po cijeloj asi, dobivao b ω EK d ω b d 1 (6.6) U ajenu b d sa I, iao E K d I ϕ Iω (6.7) Jednadžba (6.0) predstavlja kinetičku energiju tijela koje rotira oko osi. Diferencijal kinetičke energije: de de K K Iω d I ωdω u

13 dϕ ω dϕ dω ωdω dω dϕ dobivao dω de K I dϕ dω M I de K M dϕ (6.8) Z Ira Mdϕ onačava diferencijal rada dw reultantnog oenta M. Integriranje iraa dek Mdϕ dobivao ϕ Iω Iω1 Mdϕ (6.9) ϕ 1 Integral onačava rad svih vanjskih sila tj. rad ukupnog oenta M. Kinetički oent. U dinaici čestice definiran je kinetički oent kao oent količine gibanja čestice prea nekoj točki prostora. Količina gibanja čestice d tijela koje rotira oko nepoične osi (sl.6.10) jest vektor db vd ω rd (6.30) tako da je kinetički oent prea nepoičnoj točki dk r db r r d ( ω ) (6.31) Ukupni kinetički oent dobiva se integriranje po cijelo tijelu K r r d ( ω ) (6.3)

14 (Slika 6.10) Količina gibanja db (Slika 6.11) Vektor kinetičkog oenta K Kako je r xi + yj + k te ω kω, nakon noženja i ureñenja iao K ii ω ji ω + ki ω x y (6.33) Derivacija kinetičkog oenta po vreenu ože se ivesti deriviranje koponenti u irau (6.33), u koje se deriviraju centrifugalni oenti troosti I x i I y te kutna brina ω. Do istog reultata ože se doći ako se po vreenu derivira ira (6.3). Derivacija kinetičkog oenta s koponentaa glasi: dk dk dk x y dk i + j + k (6.34) dkx Iyω Ixε (6.35) dky Ixω Iyε (6.36) dk Iε (6.37) K x predstavlja suu oenata aktivnih i ukupnih reaktivnih sila oko osi x. Slično i K y ia načenje sue oenata svih aktivnih i reaktivnih sila oko osi y. Treća koponenta K je prea jednadžbi gibanja reultantni oent oko

15 osi. Kako su sue oenata oko pojedinih osi koponente vektora oenta M u odnosu na točku, to je dkx Mx Mx (6.38) dky My My (6.39) dk M M (6.40) dk M (6.41) što je akon kinetičkog oenta a rotaciju tijela oko nepoične osi. ko se u ira (6.40) uvrsti K Iω, dobiva se da je M ili d ( Iω) (6.4) ( ) d Iω M (6.43) Integriranje unutar vreenskog intervala od t 1 do t ira (6.43) daje 1 t t I ω I ω M (6.44) 1 To je integralni oblik akona kinetičkog oenta iveden sao a os oko koje tijelo rotira. Prea to akonu do projene koponente kinetičkog oenta u pravcu osi ože doći sao pod djelovanje vanjskog oenta M oko te iste osi.