Fizica atomului si moleculei
|
|
- Πανδώρα Μιαούλης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Fzca atomulu s molecule. Spectre atomce. Regul emprce (formula almer formula Rydberg sera Pcerg) Rezolvare: Spectrele atomce (de emse sau absorbte) sut spectre de l. Prmele spectre de l au fost obtute de Th. Melvll (75) pr descompuerea cu o prsma optca a lum emse de u gaz cadescet. Spectrele atomce de absorbte se obt trecad luma cu spectru cotuu prtr-u gaz s descompuad-o apo cu o prsma sau retea de dfracte. Spectrele atomce de absorbte se prezta sub forma uor l egre pe u spectru cotuu. Obterea spectrelor uu umar mare de elemete a perms observarea uor regulartat ale spectrelor. a) Fecare elemet chmc s are proprul sau spectru atomc. b) tom uu elemet absorb exact acele radat pe care le pot s emte (G.R. Krchhoff). c) J. almer (885) a aratat ca lugmle de uda ale ue ser de l d partea vzbla a spectrulu atomulu de hdroge (sera almer) pot f calculate cu formula: λ () 4 ude ar Å este o costata emprca. Rydberg scre aceasta relate tr-o forma ma geerala care da umarul de uda: ~ ν R( ) () λ care R 4/ cm - este costata lu Rydberg. samblul llor spectrale a caror succesue respecta o relate umerca se umeste sere spectrala. I fgura este redata schema geerala a ue ser spectrale. Fgura. Schema geerala a ue ser spectrale. Pe masura ce creste lle sut ma dese s ma slabe testate. Petru se obte lmta sere. I cazul sere date de relata () aceasta lmta este R/4. Lle sere almer au fost otate H α H β H γ... La H α (λ 6563 Å) a fost descoperta de Frauhofer spectrul solar. O relate de forma () poate f aplcata s altor ser spectrale ale atomulu de hdroge forma geeralzata: ~ ν R( ) (3) f ude f s sut umere treg poztve f >. umeram cateva ser ale hdrogeulu. Sera Lyma: f ~ ν R( ) este stuata ultravolet (4) Sera almer: f este stuata vzbl.
2 Sera Pasche: f este stuata frarosu. ~ ν R( ) (5) 3 Sera racett: f este stuata frarosu. ~ ν R( ) (6) 4 Sera Pfudt: f este stuata frarosu. ~ ν R( ) (7) 5 Regulartat de tpul (3) sau de alt tp au fost costatate s la spectrele atomce ale altor elemete. I aul 897 astroomul Pcerg a descopert spectrul stelar o sere spectrala foarte asemaatoare sere almer a hdrogeulu. I fgura sut prezetate schematc cele doua ser. Fgura. ompararea serlor almer s Pcerg. Se observa ca sera Pcerg are doua tpur de l: uele care cocd cu cele ale sere almer s altele termedare. Rydberg a aratat ca lugmle de uda ale llor spectrale ale aceste ser pot f calculate tot cu o relate de tpul () care a atat valor treg cat s semtreg. ~ ν R He ( ) cu 5; 3; 35; 4;... (8) R He 9743 cm - dfera put de R de la hdroge. alorle treg ale lu corespud llor care cocd cu cele ale sere almer ar cele semtreg celor termedare. Ital aceasta sere a fost atrbuta hdrogeulu stelar petru ca orce cercare de obtere a sa utlzad hdroge terestru a esuat. Dupa ce sera a fost obtuta laborator cu ajutorul uu amestec de hdroge s helu ea a fost atrbuta de ohr atomlor He +. Formula sere Pcerg poate f rescrsa astfel cat valorle pe care le a sa fe doar umere treg: ~ ν 4RHe ( ) cu (9) 4 I spectrul He + s-au ma pus evdeta urmatoarele ser: Sera Lyma ~ ν 4RHe ( ) cu ultravolet () Sera Fowler ~ ν 4RHe ( ) cu ultravolet () 3
3 . fectul fotoelectrc Rezolvare: I 887 H. Hertz a descopert ca raderea electrozlor metalc cu radate electromagetca d ultravolet faclteaza descarcarea electrca. Feomeul a fost studat ma detalu de W. Hallwachs M. Stoletov s P. Leard care au aratat ca pr raderea suprafetelor metalce cu radate electromagetca de alta frecveta acestea emt partcule carcate electrc. Feomeul a fost deumt efect fotoelectrc. Leard a determat sarca specfca (q/m) a acestor partcule carcate s a detfcat aceste partcule ca fd electro. Datele expermetale au pus evdeta urmatoarele leg ale efectulu fotoelectrc: ) Petru o radate cdeta de frecveta data umarul de electro ems utatea de tmp este proportoal cu testatea radate. ) lectro ems au vtezele cuprse tr-u terval ( v max ) ar eerga cetca maxma a lor depde lar de frecveta s este depedeta de testatea radate. 3) xsta o frecveta mma a radate (frecveta de prag ν prag ) sub care u ma are loc emsa de electro dferet de testatea radate cdete s de tmpul de radere. 4) msa electrolor are loc medat ce suprafata este lumata fara o tarzere detectabla. Sa aalzam daca legle efectulu fotoelectrc pot f explcate pe baza teore odulator. Uda electromagetca produce osclat fortate ale electrolor metal. La rezoata ampltudea de osclate a electrolor deve atat de mare cat e pot paras metalul. erga electroulu ems pr acest mecasm ar trebu sa depda de testatea ude ceea ce este cotradcte cu datele expermetale (legea ). U alt dezacord al teore clasce explcarea efectulu fotoelectrc este legat de tmpul de emse. D puct de vedere clasc eerga cdeta este raspadta uform pe suprafata lumata. Petru ca atomul sa emta u electro aceasta eerge trebue sa se cocetreze pe o regue de dmesue atomca fd ecesar u aumt terval de tmp (cotradcte cu legea 3). S-au realzat expermete care vzau puerea evdeta a uor tarzer de ordul mutelor sau orelor dar expermetele u au cofrmat aceste tarzer. I 95 ste da o explcare efectulu fotoelectrc extzad poteza cuatelor de eerge a lu Plac. Presupuad ca o radate moocromatca de frecveta ν se propaga port de eerge hν umte foto el explca efectul fotoelectrc pe baza teractu dtre u foto s u electro d atom. Itrucat fotoul este sufcet de localzat treaga sa eerge poate f absorbta deodata de u sgur atom s ca urmare emsa este stataee (legea 4). ad u foto cade pe suprafata metalca treaga sa eerge hν este utlzata petru a emte u electro. Daca L este eerga mma ecesara petru a extrage electroul d metal (lucrul de extracte) atuc blatul eergetc al teractu foto electro este dat de ecuata: mv max h ν L + () cuoscuta ca ecuata lu ste. S-au folost otatle: h costata lu Plac s m masa electroulu. Se costata ca relata () este cocordata cu legea. lectro sut ems daca v max adca daca L prag se determa puad codta ca vteza maxma a electrolor v max sa fe zero. Rezulta ca: hν prag L () ostatam ca legea 3 a putut f explcata pe baza poteze cuatelor de eerge. 3
4 um probabltatea de absorbte smultaa a do foto de catre acelas electro este foarte mca fecare electro extras d metal capata eerge de la u sgur foto. De aceea umarul de electro elberat de suprafata metalulu utatea de tmp este poportoal cu umarul de foto cdet pe suprafata utatea de tmp (legea ). Petru cofrmarea teore lu ste Mlla a realzat tre a o sere de expermete de mare acuratete. erfcarea expermetala a ecuate () este foarte dfcla deoarece marmea lucrulu de extracte este puterc fluetata de starea de purtate a suprafete metalulu. Folosd metoda potetalulu tarzetor s-a determat tesuea de stopare U s mvmax eerga cetca maxma a electrolor extras ( eu e fd sarca electroulu). Mlla a masurat petru o suprafata data U fucte de ν s a aratat ca rezultatele se aseaza pe o dreapta de pata h/e: h L U ν (3) e e uoscad valoarea sarc electrce elemetare e Mlla a obtut petru h valoarea h J s care este acord cu rezultatele lu Plac. 3. cuata Schrödger depedeta de tmp Rezolvare: Presupuem ca hamltoaul H al uu sstem u depde explct de tmp. Idepedeta de tmp a lu H seama de fapt ca eerga potetala este depedeta de tmp. I acest caz sstemul este coservatv corespuzad sstemelor clasce a caror eerge este costata. Soluta ecuate Schrödger: Ψ ћ HΨ () t va descre starle cu eerge be determata ale sstemulu cuatc. autam soluta ecuate () cad H u depde de tmp de forma uu produs dtre o fucte ψ care depde uma de coordoate s o alta fucte T care depde uma de tmp: Ψ ( r t) ψ ( r ) T ( t) () dt ( t) Ilocud () () rezulta: ћ ψ ( r ) Hψ ( r ) T ( t) (3) dt Impartm amb membr a relate (3) pr ψ ( r ) T (t) s tem cot de faptul ca operatorul H actoeaza doar asupra fucte ( r dt ( t) Hψ ( ) ψ ). Obtem astfel: ћ r (4) dt T ( t) ψ ( r ) um ce do membr a aceste ecuat depd de varable depedete tre ele (membrul stag depde de tmp ar cel drept de coordoate) egaltatea poate avea loc doar daca fecare membru al egaltat este egal cu aceeas costata (depedeta de coordoate s de tmp). Notad costata cu d (4) se obt doua ecuat: Hψ ( r ) ψ ( r ) (5) dt ( t) - dt/ћ (6) T ( t) Soluta ecuate (6) este cu excepta uu factor costat arbtrar de forma T(t) e -t/ћ (7) Ψ ( r t) ψ r e -t/ћ (8) Rezulta astfel ca ( ) 4
5 reprezta (cu excepta uu factor costat arbtrar) soluta ecuate Schrödger cazul uu hamltoa depedet de tmp. cuata (5) poarta umele de ecuata Schrödger depedeta de tmp sau ecuata starlor statoare. a este de fapt ecuata de valor propr a operatorulu H. Semfcata fzca a costate se gaseste tad cot ca ea este valoarea propre a hamltoaulu H starea propre ψ (r ) : Hψ ( r ) ψ ( r ) (9) Pr urmare trebue sa reprezte valoarea mede a operatorulu H adca rezultatul masurar eerge sstemulu atuc cad acesta se afla starea propre Ψ ( r t) ψ ( r ) e - t/ћ. Presupuad ca fucta de uda Ψ ( r t) este ormata la utate * 3 Ψ ( r t) Ψ ( r t) d r obtem ca s fucta ψ (r ) este ormata la utate * 3 ψ ( r ) ψ ( r ) d r. * 3 * 3 Rezulta astfel ca: H ( r t) H ( r t) d r ( r ) Hψ ( r ) d r Ψ Ψ ψ Ψ Folosd relata (9) s faptul ca ψ (r ) este ormata la utate rezulta fal ca H. Starle descrse de fucta de uda de tpul (7) se umesc star statoare de eerge ele dfera de fucta ψ prtr-u factor de faza e -t/ћ. Ψ OPTI. Demostrat teoretc cum se poate obte practc luma crcular polarzata. Raspus: Pr suprapuere a doua ude () s () electromagetce de aceeas ampltude plae maocromatce polarzate lar pe doua drect recproc perpedculare ox s oy defazate cu π/ s care se propaga aceeas drecte (oz) obtem uda (3) cos(z-ωt) () js(z-ωt) () [cos(cos(z-ωt)+js(z-ωt)] (3) I proecte pe u pla perpedcular pe drecta de propagare plaul xoy varful vectorulu descre u cerc de raza cu vteza ughulara de rotate ω de ac s deumrea de uda plaa crcular polarzata. x +y j x + y Smlar plaul xoy varful vectorulu H camp magetc descre u cerc defazat cu 9 s cu aceeas vteza. Daca sesul de rotate este cel al acelor de ceasorc uda se umeste crcular polarzata spre dreapta dextro caz cotrar avem de-a face cu o uda cculra polarzata spre staga.. Deft puterea de rezolute spectrala a ue prsme optce spectrale s scret valoarea acestea petru o retea de dfracte. um putem creste puterea de rezolute la o retea? Raspus: P.R.S. λ/δλ Ude Δλ este cel ma mc terval de lugm de uda separate jurul lugm de uda λ. La retea P.R.S. mn Ude m este ordal de dfracte s N umarul total de trasatur. 5
6 resterea P.R.S. seama cresterea lu N dar aceasta este lmtata de L s mscarea lu d deumt costata retele deoarece N L/d Utlzarea uu ord m superor este sotta de mcsorarea testat maxmulu de dfracte. 3. Demostrat trasversaltatea udelor lumoase Raspus: Sa cosderam udele lumoase sub forma udelor plae s moocromatce () care evdet verfca ecuata udelor (). UU e (r-ωt) () ΔU-/v U/ t () Ude ω v s π/λ Dervad raport cu tmpul s spatal avem U/ t - ωu s U/ x j ju cu j 3 (x y 3z) (3) Dec μωh -εω Dec s H s H dec s H sut recproc perpedcular. Fzca soldulu ș semcoductorlor Subectul. Defț vector rețele recproce ș propretățle rețele recproce. Răspus: Dacă vector de bază a rețele drecte crstale trdmesoală sut otaț a b c vector de bază a țele re recproce trdmesoală sut otaț astfel a b c ș sut defț pr următoarele relaț: b c ( ) ; c a ( ) ; a b a b c a b c a b c a( b c ) ; () Ître vector rețele drecte ș vector rețele recproce exstă următoarele relaț: a a b b c c () a b b c c a sau sub formă codesată: a a j δ j ude δ j dacă j ș δ j dacă j. () Î relațle () s-a otat volumul celule elemetare al rețele drecte cu a( b c) mărme ce se află la umtorul acestor relaț. Propretățle rețele recproce. Produsul dtre volumul celule d rețeaua drectă ș volumul celule d rețeaua recprocă este îtotdeaua egal cu uu. Demostrațe: Dacă volumul celule rețele recproce este a( b c) ș volumul celule d rețeaua a b c atuc produsul lor se calculează: recprocă este dat de relața ( ) 6
7 b b b c [ a( b c) ] [ a ( b c ) ] ( a a ) c b c c. Orce vector al țele re r ecproce ce trece prtr-u od [ ] perpedcular pe plaul rețele drecte caracterzat pr aceaș dc Mller ( ) hl este îtotdeaua hl. Demostrațe: Plaul ( hl ) tersectează axele de coordoate î puctele plasate față de orge la a b c dstațele. ectorul re țele recproce ce trece pr odul [ hl ] are expresa h r ha + b + lc. Petru a demostra că vectorul rețele recproce este perpedcular p e plaul rețele drecte este sufcet să demostrăm că el este perpedcular pe do vector a b b c coțuț î acest pla ca de exemplu vector: ; ceea ce îseamă că h l produsele lor scalare sut ule. a b a b r ( ha + b + lc ) h h b c b c r ( ha + b + lc ) l l 3. Dstața dtre două plae ale re țele drecte este totdeaua egală cu versul lugm uu vector uu vector d rețeaua recprocă. Demostrațe: Fe d dstața dtre două plae al rețele drecte ș aume: prmul pla dat de dc Mller ( hl) ș al dolea u pla paralel cu prmul ce trece pr orge. Fe r lugmea vectorulu rețele recproce. Deoarece am demostrat î cadrul propretăț că u vector al rețele recproce este perpedcular pe plaul rețele drecte atuc vom putea def versorul r ormale la plaul rețele drecte pr relața:. Dstața dtre cele două plae ale r rețele drecte defte ma sus are expresa: a a ( + + ) r a ha b lc d h h r h r r 4. Datortă relațlor de legătură dt re vector rețele drecte ș vector rețele recproce frcăre rețele ravas î corespude o rețea recprocă dar u îtotdeaua tpul rețele ravas corespude cu tpul rețele recproce. De exemplu: - rețeaua cubcă smplă ș rețeaua ortogoală d rețeaua drectă formează tot o rețea cubcă smplă ț o rețea ortogoală î rețeaua recprocă; - rețeaua cubcă cu volum cetrat d rețeaua drectă formează o rețea cubcă cu fețe cetrate î rețeaua recprocă. 7
8 Subectul. Deduceț expresa ce defește umărul de defecte puctuale umte terstț sau defecte Freel exstete îtr-u crstal sold. Răspus: Defectele Freel sau terst țle se formează îtr -u crstal sold atuc câd atom sau o u se plasează î odurle țele re crstal e c ocupă poz ț termedare. Petru formarea acestor defecte puctuale este ecesară o eerge ma mare decât petru formarea vacațelor ș d acestă cauză ele sut mult la rar îtâlte decât vacațele. Fe N umărul de atom d țea re N umărul de pozț terstțale umărul de atom terstțal ș eerga ecesară aparțe uu terstțu. erga teră a crstalulu sold cu terstț are expresa UU + ar eerga lberă FU- TS. Numărul total de dstrbuț ale terstțlor este dat de relața: ` N! N W ( )! ` N ( N )!! Îlocud această relațe î expresa etrope se obțe relața: S S + erga lberă deve: l N! FU + -TS - Tl N ( N )! ` ( N )!! N! ` ( N )! ` ( N )!! N! N F + - Tl ude s-a otat cu F ( )! ` N ( N ) U -TS presupuîd că!! temperatura este costată. Petru a deduce cofgurața la echlbru mpuem codța: F T Se utlzează formula lu Strlg: ln! NlN-N l(n- )! (N- )l(n- )-(N- )... După îlocur ș dervare se obțe relața: ` ( N )( N ) T l ( N )( N ) T e sau N N Presupuâd că N N se obțe relața: ` N ` ( )( ) e T N N e T sau N N e T ceastă relațe defește umărul de terstț care pot să apară îtr-u crstal sold la echlbru termc. Se remarcă faptul că umărul ște lor expoețal cre cu creșterea temperatur. 8
9 Subectul 3. Defț fucța loch ș propretățle e. Răspus: Studul mșcăr electrolor îtr -u potețal perodc se fac e pr rezolvarea ecuațe lu Schrodger cu ajutorul cărea se va determa eerga ș fucța Ψ. m Ψ + [ ( r )] Ψ h Deoarece eerga potețală este o fucțe perodcă de forma: ( r + Rm ) ( r + a + a + 3a3 ) ( r ) Petru a rezolva ecuața lu Schrodger se mpue codța de cclctate care cere ca fucța de udă să fe perodcă cu peroada domeulu fudametal coform relațe: Ψ ( r ) Ψ( r + Ga ) Ψ( r + Ga ) Ψ( r + G3a3 ) Î acest caz loch a demostrat că soluțle ecuațe Schrodger au forma: r Ψ ( r ) e u ( r ) adcă o udă plaă modulată de o fuc țe u ( r ) care are aceeaș perodctate cu a rețele crstale: u ( r + R ) u ( r ). care se umește fucțe loch. xsteța aceste fucț se poate demostra ț âd cot de propretățle de traslațe ale rețele crstale precum ș de codța de cclctate. Propretățle fucțlor de udă loch.. ceastă propretate este cuoscută sub umele de teorema lu loch Floquet ș afrmă că la o traslațe a rețele crstale de forma r r + R fucța loch u este varată dec ea u are perodctatea rețele crstale. ( ) ( r R ) + r R R Ψ r + R e u ( r + R ) e e u ( r ) e Ψ ( r ) Î acest caz se observă că fucța loch se îmulțește cu u factor expoețal la expoet R fd char vectorul de traslațe al rețele crstale e.. O fucțe de tp loch rămâe eschmbată dacă se îlocuește vectorul de udă cu vectorul + πk m ude K m este u vector al rețele recproce. Petru a demostra acesat lucru trebue să folosm o propretate a țele re recproce. Deoarece u ( r ) are perodctatea rețele poate f dezvoltat îtr-o sere Fourer de forma: πk mr u r a e ( ) Km Km Îlocud această exprese î formula fucțe loch vom obțe: Ψ r πk mr r e a e ( ) Km Km ± πk m Km Km m K m r πk mr ( r ) e a e Km + Km Km + Km om îmulț relața de ma sus cu e πk m r Ψ r e a om ota K m ( ) ( + ) ( )r ș vom restrâge astfel: π Km Km e K care este tot u vector al rețele recproce. Se obțe: Ψ D această relațe se vede că fucța loch rămâe emodfcată deoarece suma de vector d rețeaua recprocă este tot u vector al rețele recproce dec are tot perodctatea rețele 9
10 cu excepța ue reordoăr a termelor de îsumare. Petru a evta edetermarea care apare î prvța valorlor vectorulu de udă se lmtează domeul de varațe al lu la o sgura celulă a rețele recproce care se umește domeul fudametal al vectorulu de udă sau prma zoă rllou. Fzca moleculara s caldura Subectul. Prcpul îtâ al termodamc Răspus: Pe baza uu mare umăr de expereţe s-a putut ajuge la următoarea cocluze care costtue euţul prmulu prcpu al termodamc: dacă u sstem termodamc este îchs îtr-u îvelş adabatc ş trece dtr-o stare ţală () îtr-o stare fală (f) prtr-o trasformare oarecare lucrul mecac efectuat de forţele exteroare u depde decât de starea (parametr stăr) () ş de starea (parametr stăr) (f) fd depedet de modul cocret î care a avut loc trasformarea. D puct de vedere matematc această afrmaţe mplcă faptul că lucrul mecac elemetar este o dfereţală totală exactă. De aceea vom scre ( f ) Lf δ LU f - U sau L du () ( ) î care mărmea U depedetă uma de parametr care caracterzează o aumtă stare se umeşte eerge teră. a este o fucţe (mărme) de stare. Deş d puct de vedere dmesoal eerga teră ş lucrul mecac au acelaş dmesu (se măsoară î Joul) ître aceste două mărm trebue făcută o dstcţe etă: î tmp ce eerga teră depde uma de starea sstemulu lucrul mecac este deft uma petru o trasformare a stăr sstemulu. D modul î care a fost deftă este clar că eerga teră U este determată uma pâă la o costată adtvă arbtrară (cu dmesu de eerge). om putea vedea îsă că î rezolvarea multor probleme cocrete această arbtraretate u este deloc supărătoare (deoarece ceea ce teresează este de cele ma multe or varaţa eerge tere). Să rdcăm acum restrcţa de zolare adabatcă a sstemulu. Î aceste cazur expereţa arată că relaţa () u ma este verfcată adcă: U f U Lf cest fapt e arată că î geeral lucrul mecac elemetar u ma este o dfereţală totală exactă δ L du. Pr defţe dfereţa dtre varaţa de eerge teră U f U ş lucrul mecac L f va f umtă cattate de căldură (prmtă sau cedată) schmbată de sstem cu medul exteror î trasformarea de la starea () la starea (f): Qf U f U Lf Îtr-u proces ftezmal această relaţe are forma: δ Q du δ L sau du δ Q + δ L D aceste relaţ rezultă o altă defre a zolăr adabatce: u sstem se spue că este zolat adabatc de medul îcojurător dacă el u schmbă căldura cu acesta. Putem da acum formularea completă a prmulu prcpu al termodamc î felul următor: varaţa eerge tere a uu sstem la trecerea de la o stare la alta este egală cu suma dtre lucrul mecac ş cattatea de căldură schmbate de sstem cu exterorul. (Sublem că î tmp ce du este o dfereţală totală exactă δ L ş δ Q u sut î geeral-dfereţale totale exacte ş de aceea ltera d este îlocută cu δ ).
11 Petru schmbul de căldură (ca ş petru lucrul mecac) vom adopta următoarea coveţe: cattatea de căldură este poztvă dacă este prmtă de sstem de la medul îcojurător ş egatvă dacă este cedată de sstem medulu îcojurător. a o fucţe de stare eerga teră este perfect determată de parametr tesv ş extesv a ( ) a stăr cosderate: U U(... ; a...a ) Ţâd cot de expresle ecuaţlor termce de stare ş presupuâd că temperatura este măsurată î scara Kelv ma putem scre: U U(T; a...a ) ceastă depedeţă poartă deumrea de ecuaţe calorcă de stare. Î cadrul trsec al termodamc ea u se poate determa decât pe baza datelor expermetale (obţute cât ma precs). Subectul. Sa se defeasca procesele poltrope sa se scre ecuata procesulu poltrop p sa se dscute cazurle partculare η η η γ η s sa se traseze curbele v proceselor poltrope corespuzatoare. Răspus: Se umesc poltrope acele procese petru care schmbul elemetar de căldură se poate scre sub forma δ Q dt î care capactatea calorcă a procesulu este costată. cuaţa procesulu poltrop al gazulu perfect mooatomc este: p η η costat sau p cost care p η se v umeste dcele poltropc s este u umăr admesoal costat. Dscuta cazurlor partculare: ) Dacă η obţem pcostat p ş procesul poltrop este de fapt u proces zobar. ) Dacă η obţem pcostat respectv Tcostat ş procesul ostru este u proces zoterm. Î acest caz p 3) Dacă η γ obţem ş procesul poltrop este acum u proces adabatc cu v ecuaţa p γ costat (ecuaţa lu Posso). Petru u gaz perfect mooatomc γ 5 3 4) Dacă η obţem adcă costat ş procesul ostru este u proces zocor. ele patru procese poltrope partculare sut reprezetate grafc î fgura. urba MM este zoterma ar curba NN este adabata gazulu perfect mooatomc. le se tersectează îtr-u sgur puct (Q).
12 p M N zocoră zobară Q zotermă M adabată N O Fg. Subectul 3. Sa se trateze subectul: clul lu arot. Răspus: clul lu arot fucţoează cu o substaţă ale căre propretăţ le cuoştem be: gazul deal. clul este format d patru ramur: două zoterme( ş D) ş două adabate ( ş D). Fe T temperatura pe zoterma ş T temperatura pe zoterma D. ste evdet că T >T (fgura). p p Prmeşte căldură T P p D D T P edează căldură D
13 Deoarece î procesele adabatce ş D gazul perfect (adcă fludul de lucru al maş) u schmbă căldură cu medul îcojurător putem scre: Q Q + QD î care Q ( Q D ) joacă rolul lu Q ( Q ). Petru evaluarea lu Q ş Q D e vom folos de prcpul îtâ al termodamc cosderâdu-l petru aceste procese fte zoterme. Deoarece eerga teră a gazelor perfecte depde uma de temperatură (efect Joule) î procesele zoterme (ΔU) ş (ΔU) D sut zero ş prcpul I e dă: L + Q ş L D + QD ude d L δ L pd RT RT l ş smlar D D d c L D δ L pd RT RT l D D stfel obţem: l Q QD LD T D Q Q L T l lmâd presule ître ecuaţle celor patru procese care alcătuesc cclul: obţem uşor p p Q Q D p p D T f ( T T ) T p p D ş î fal: γ γ D p c γ c p Î acest fel forma fucţe uversale f ( T T ) a fost determată ş petru procesele cclce reversble bterme s putem scre î geeral: Q T T T η + <. Q T T De ac rezultă medat: Q Q + T T Mărmle de forma Q/T poartă deumrea de căldur reduse ş ultma relaţe arata că î orce proces cclc reversbl bterm suma căldurlor reduse (corespozâd celor două termostate) este egală cu zero. γ 3
14 LTRIITT SI MGNTISM SUITUL. Presue electrostatcǎ Răspus: Sarca electrcǎ se dstrbue exclusv pe suprafaţa sa avâd destatea σ. r f teresat de examat stuaţa î care am presupue cǎ dstrbuţa u este strct superfcalǎ c este de fapt o dstrbuţe volumcǎ pe u strat superfcal de grosme d foarte mcǎ. Ne alegem o geometre a coductorulu astfel îcât axa Ox sǎ fe perpedcularǎ pe suprafaţa coductorulu ar dstrbuţa volumcǎ de sarcǎ sa corespudǎ uu strat foarte îgust de coordoate ş d destatea volumcǎ de sarcǎ d acest strat fd ρ(x). osderǎm u volum cldrc coaxal cu axa Ox avâd o bazǎ pe suprafaţa coductorulu perpedcularǎ pe axa Ox î puctul de coordoatǎ xd ar cealaltǎ bazǎ fd î terorul cod uctorulu perpedcularǎ pe axa Ox î puctul O de coordoatǎ (x). Notǎm cu S ara baze cldrulu. om avea petru sarca electrcǎ repartzatǎ î acest volum expresa: d d q ρ( x) Sdx S ρ( x) dx Sσ d Observaţ cǎ am fǎcut otaţa: ( x) dx σ ρ D exemplele de calcul d paragrafele precedete am semalat deja ǎ cpetru o dstrbuţe volumcǎ uformǎ de sarcǎ testatea câmpulu electrostatc este o fucţe cotuǎ. Sǎ aplcǎm teorema lu Gauss pe u volum foarte mc d stratul superfcal îcǎrcat electrc de forma uu cldru coaxal cu axa Ox avâd bazele de coordoate x ş x+dx de are S: q ds t Σ ε Prmul membru al tegrale se separ ǎ îtr -o sumǎ de tre tegrale de suprafaţǎ extse pe cele douǎ baze S ş S precum ş pe ara lateralǎ a cldrulu: ds ( x) ds + ( x + dx) ds + lat ds Σ S S lat Deoarece vectorul este perpedcular pe geeratoarea cldrulu a trea tegral ǎ d dezvoltare este ulǎ. Îlocud ş expresa petru q t î teorema lu Gauss obţem: [ ( x + dx) ( x) ] S ρ( x)sdx ε Folosd defţa dervate ue fucţ obţem petru destatea volumc ǎ de sarcǎ urmǎtoarea exprese: d ( ) ( x) ρ x ε dx 4
15 Sǎ calculǎm î cotuare forţa exerctatǎ de câmpul (x) asupra sarc electrce d volumul cldrc elemetar de îǎlţme dx cosderat: df ( x) ρ( x) Sdx ( x) ρ( x)sdx ude este ormala exteroarǎ suprafeţe coductorulu. Pr tegrare ître lmtele x ş xd obţem forţa totalǎ exerctatǎ asupra cldrulu x d x d d ( ) ( ) ( ) ( x) x d F x ρ x Sdx Sε x dx Sε ( x) x x dx x fectuâd îlocurle σ ( ) ; ( d ) ε σ obţem: F S ε ceastǎ forţǎ oretatǎ tot tmpul de-a lugul ormale exteroare a coductorulu are caracterul ue forţe de presue. Presuea corespuz ǎtoare pf/s se umeşte presue electrostatcǎ ş are expresa: σ p ε Se poate uşor verfca exsteţa aceste forţe de presue pr magarea următorulu expermet. Pe o sferǎ metalcǎ de razǎ R de ordul cetmetrlor pe care o legǎm la polul poztv al ue maş electrostatce se aşează u dsc metalc de masǎ foarte mcǎ (~.g). Se costatǎ cǎ la u poteţal de ordul ~ 4 dscul va tra î levtaţe stare ce corespude echlbrulu dtre forţa de greutate oretatǎ vertcal î jos ş f orţa de presue electrostatcǎ oretatǎ vertcal î sus: σ mg π r ε Destatea superfcalǎ de sarcǎ depde de poteţalul la care se îcarcǎ sfera metalcǎ pe baza relaţlor: σ q sfera q sfera ε ; σ 4π R 4π ε R R Rezultǎ urmǎtoarea codţe petru a avea loc levtaţa dsculu: R mg r πε Subect. âmpul magetc pe axul ue bobe plate cu N spre Răspus: osderăm o boba plată de rază R cu N spre pr care trece curetul costat I. Să se calculeze ducţa magetcă a câmpulu magetc creat de bobă îtr-u puct stuat pe axul bobe la dstaţa x de bobă. Fg.3.5 5
16 U elemet de le d d jurul puctulu (stuat pe spră) crează î M u câmp magetc de ducţe db dat de legea ot-savart : Deoarece I d r db µ 3 4π r d r modulul vectorulu db este : µ I db 4π R ar petru compoeta ducţe magetce oretată de-a lugul axe Ox screm: db x µ I s α db s α 4π R + x ( R + x ) d + x µ I R d d 3 / 4π D cosderete de smetre compoeta lu db perpedculară pe Ox este zero. stfel valoarea î modul a ducţe câmpulu magetc produs de boba plată cu N spre î puctul M are expresa: Dec: d x µ I 4π R ( R + x ) 3 / πr d ( µ NI R x ) 3 / s R 3 ( R + x ) 3 α ude am făcut otaţa: µ NI R SUITUL 3. Legea Legea lu Ohm reprezetarea umerelor complexe. Rezoata sere 6
17 Notăm cu j umarul complex petru a u-l cofuda cu testatea stataee a curetulu alteratv. Fe u crcut sere RL (Fg.-(c)) petru care legea a II-a lu Krchhoff se scre astfel : d R u L dt dt Dervăm ȋ raport cu tmpul expresa de ma sus ȋ care tesuea electromotoare este u U m s ωt ar umărul complex asocat este u U. Rezultă: du d d R + L + (*) dt dt dt Deoarece du π ωu m cos ωt ωu m s ωt + dt putem găs umărul complex ce corespude dervate de ordul îtâ: du jωu jωu dt fectuâd toate dervatele d expresa (*) ş asocd umerele complexe corespuzătoare obţem: jω u Rjω Lω + Îmulţm fecare membru al exprese obţute cu. Rezultă: jω u R + j Lω ω stfel legea lu Ohm este de forma u Z ude Z este mpedaţa complexă a crcutulu RL sere : Z R + j Lω R + jx ω Xreactaţa crcutulu. Se observă că petru fecare elemet d crcut se poate asoca o mpedaţă complexă: j Z R R; Z L jωl; Z ω ar mpedaţa complexă echvaletă este egală cu suma mpedaţelor complexe ale elemetelor grupate ȋ sere ȋ crcutul cosderat: Z Z R + Z L + Z (relaţe smlară ca formă cele care se aplcă la gruparea sere a rezsteţelor d crcutele de curet cotuu). Modulul mpedaţe este ar defazajul ϕ este dat de Z R + Lω ω 7
18 Lω tgϕ ω R vdet mpedaţa complexă se poate scre ş sub formă expoeţală: jϕ Z Ze Mărmea versă mpedaţe se umeşte admtaţă (Y) : Y Z Rezoaţa î crcutul sere de curet alteratv odţa de rezoaţă: X X L X permte găsrea frecveţe de rezoaţă (frecveţă propre a crcutulu) dată de formula lu Thomso: ν π L U La rezoaţă ȋtr -u crcut sere testatea curetulu este maxmă ( I ) ar la R borele codesatorulu ş ale bobe se ȋregstrează supratesu defdu -se factorul de supratesue care se ma umeşte ş factor de caltate: U Q U L ω U U ω ω L R Rω R L 8
19 blografe admtere Stud Uverstare de Maserat Domeul FIZI Specalzarea FIZI MTRILLOR. R. Tteca I. Popescu Fzca geerala ol. I. dtura Tehca ucurest Luca. ubotaru Gh. Zet. Paduraru Fzca geerala dtura Ddactca s Pedagogca ucurest I.I Popescu F. Ulu azele fzce ale optc ol. I Optca scalara dtura Uverstara raova Motoc Fzca Soldulu dtura Ddactca s Pedagogca ucurest 968.
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότερα9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL
9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas
Διαβάστε περισσότεραProcese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =
Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραIII. TERMODINAMICA. 1. Sisteme termodinamice
- 80 - III. ERMODINMI. steme termodamce.. tăr ş procese termodamce. rcpul geeral ermodamca studază procesele zce care au loc î ssteme cu u umăr oarte mare de partcule, î care terv ş eomee termce. sstem
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic
Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραNumere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
Διαβάστε περισσότεραCURS 6 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ (continuare)
CURS 6 ERODIAICĂ ŞI FIZICĂ SAISICĂ (cotuare) 6.1 Prcpul II al termodamc Să e reamtm că prmul prcpu al termodamc a arătat posbltatea trasformăr lucrulu mecac, L, î căldură, Q, ş vers, fără a specfca î ce
Διαβάστε περισσότεραElemente de teoria probabilitatilor
Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI TFACULTATE A DE EN ERGE BAZELE ELECTROENERGETICII
NVERSTATEA POLTEHNCA DN BCREŞT FACLTATEA DE ENERGETCǍ BCREST TFACLTATE A DE EN ERGE CA LCA DMTR CĂTĂLN DMTR BAZELE ELECTROENERGETC BCREŞT, 004 CPRNS CAP.. BAZELE TEORE MACROSCOPCE A ELECTROMAGNETSML..
Διαβάστε περισσότεραELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ
MIHAI PUIU - BERIZINŢU ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ CURS OBIECTUL ŞI IMPORTANŢA CURSULUI DE ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ Electrotehca este ua d ramurle mportate ale ştţelor tehce care se ocupă cu studul
Διαβάστε περισσότεραMETODA REFRACTOMETRICĂ DE ANALIZĂ
METODA REFRACTOMETRICĂ DE ANALIZĂ Refractometra este o metodă de testare fzcă a propretățlor ue substațe pr măsurarea dcelu de refracțe. Idcele de refracțe este măsurat cu ajutorul refractometrelor. Idcele
Διαβάστε περισσότεραCURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate
Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate 30 300 90 80 70 60 50 40 30 0 y = -78.545x + 33.4 R² = 0.983 0 0. 0.4 0.6 0.8. X Fe o fucţe:
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni de verificare a ipotezelor statistice
Noţu de verfcare a potezelor statstce Verfcarea potezelor statstce este legată de compararea dfertelor poteze asupra ue populaţ statstce (ş u asupra uu eşato) cu datele obţute pr îcercăr expermetale Dacă
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραB( t B 11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE GENERALE ALE DINAMICII Lucrul mecanic. y O j
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam. NŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEREMELE GENERALE ALE DINAMIII Reolvarea problemelor de damă se fae u ajutorul uor teoreme, umte teoreme geerale, deduse pr aplarea
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραProf. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Prof. univ. dr. Gabriela-Victoria ANGHELACHE Lector univ. dr. Florin Paul Costel LILEA
Metode ş procedee de ajustare a datelor pe baza serlor croologce utlzate î aalza tedţe dezvoltăr dfertelor dome de actvtate socal-ecoomcă Prof. uv. dr. Costat ANGHELACHE Uverstatea Artfex/ASE - Bucureșt
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:
Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul
Διαβάστε περισσότεραNote de curs "Mecanica teoretică"
UNIVERSITATEA DE STAT B. P. HASDEU DIN AHUL FAULTATEA DE ENIE, INFRATIĂ ŞI ATEATIĂ ATEDRA DE INGINERIE ȘI ȘTIINȚE APLIATE Note de curs "ecaca teoretcă" Elaborat: lect. uv. Buea ara uprs Itroducere...4
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor
CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE OPTICĂ BN B
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE OPTICĂ BN - B DIFRACŢIA LUMINII DETERMINAREA LUNGIMII DE UNDĂ A RADIAŢIEI LUMINOASE UTILIZÂND REŢEAUA DE DIFRACŢIE 004-005
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραAparate Electronice de Măsurare şi Control PRELEGEREA 9
Aparate Electroce de Măsurare ş Cotrol PRELEGEREA 9 Prelegerea r. 9 Amplfcatoare zolaţe Î aplcaţle de zolaţe cu cuplaj optc se utlzează optocuploare tegrate de costrucţe specală. Acestea coţ o dodă electrolumescetă,
Διαβάστε περισσότερα2. Conducţia electrică în solide. Purtători de sarcină
Catolul Coducta electrca solde.purtător de sarcă. Coducţa electrcă î solde. Purtător de sarcă.1 Itroducere Soldele sut substaţele care au volum costat ş formă rore. Soldele au o structură crstală formată
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)
Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραBILANT DE MATERIALE legii conservarii masei Gin = Gout consum specific Randamentul de produse finite pierderi de materiale Gin = Gout + Gp
BILANT DE MATERIALE Este o exrese a leg coservar mase sstemele chmce: greutatea G a materalelor care tra roces trebue sa e egala cu greutatea G a materalelor care es d roces: G = G Este ecesar etru a determa:
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ BN - 1 B DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC 004-005 DETERMINAREA ACCELERAŢIEI
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραElemente de teorie a informaţiei. 1. Câte ceva despre informaţie la modul subiectiv
Elemete de teore a formaţe. Câte ceva desre formaţe la modul subectv Î cele ce urmează vom face câteva cosderaţ legate de formaţe ş măsurare a e. Duă cum se cuoaşte formaţa se măsoară î bţ. De asemeea
Διαβάστε περισσότεραNICOLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI
NICLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI N R' T R T M [P] [S] R N R VLUMUL I STATICA Refereţ ştţfc: Prof. uv. dr. doc. g. RADU P. VINEA Preşedtele Academe Româe de Ştţe Tehce
Διαβάστε περισσότερα7. METODE TERMODINAMICE DE STUDIU
7. MEODE ERMODINAMICE DE UDIU Câd se vorbeşte desre metoda termodamcă de studu a feomeelor fzce, se are î vedere studul care se bazează e folosrea rmulu ş celu de-al dolea rcu al termodamc. Folosrea rclor
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα2. MATERIALE SEMICONDUCTOARE
2. MATERIALE SEMICONDUCTOARE Materalele semcoductoare stau la baza realzăr de dsoztve electroce ş de crcute tegrate. Acestea se caracterzează r valor ale coductvtăţ electrce cursă î tervalul de valor σ=
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραTeoria aşteptării- laborator
Teora aşteptăr- laborator Model de aşteptare cu u sgur server. Î tmpul zle la u ATM (automat bacar care permte retragerea de umerar s alte trazacţ bacare electroce) avem î mede 4 de cleţ pe oră, adcă.4
Διαβάστε περισσότεραaşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă
Uverstatea Spru Haret Facultatea de Stte Jurdce, Ecoome s Admstratve, Craova Programul de lceta: Cotabltate ş Iformatcă de Gestue Dscpla Matematc Ecoomce Ttular dscplă Cof uv dr Laura Ugureau SUBIECTE
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE LABORATOR NR. 1 MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA
LUCRARE DE LABORATOR NR. MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA. OBIECTIVELE LUCRARII Isusrea uor otu refertoare la: - eror
Διαβάστε περισσότεραTEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE
TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE Obectve Cuoaşterea metodelor umerce de descrere a datelor statstce Aalza rcalelor metode umerce etru descrerea datelor cattatve egruate Aalza
Διαβάστε περισσότερα5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.
5. STRUCTURI D FILTR UMRIC 5. Realzarea ltrelor cu răspuns nt la mpuls (RFI) Fltrul caracterzat prn: ( z ) = - a z = 5.. Forma drectă - - yn= axn ( ) = Un ltru cu o asemenea structură este uneor numt ltru
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραPRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE
Lucrarea r. PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE. GENERALITATI I electrotehcă ş electrocă terv umeroase mărm fzce ca: tesue, curet, rezsteţă, eerge, etc., care se caracterzează pr mărme ş pr aumte
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă. Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă Şef de Lucrăr Dr. Mădăla Văleau mvaleau@umfcluj.ro MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medaa, Modul, Meda geometrca, Meda armoca, Valoarea cetrala MĂSURI DE DE DISPERSIE Mm, Maxm,
Διαβάστε περισσότεραFUNDAMENTE DE MATEMATICĂ
Proect cofaţat d Fodul Socal Europea pr Programul Operaţoal Sectoral Dezvoltarea Resurselor Umae 7-3 Ivesteşte î oame! Formarea profesoală a cadrelor ddactce d îvăţămâtul preuverstar petru o oportutăţ
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραTema 2. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE
Tea. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE. Eror de ăsură A ăsura o ăre X îseaă a copara acea ăre cu alta de aceeaş atură, [X], aleasă pr coveţe ca utate de ăsură. I ura aceste coparaţ se poate scre X=x[X]
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE
Uverstatea OVIDIUS Costaţa Departametul ID-IFR Facultatea Matematca-Iformatca ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE Caet de Studu Idvdual Specalzarea IEDM Aul de stud I Semestrul I Ttular
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραDin această definiţie a probabilităţilor rezultă următoarele proprietăţi ale acestora:
FIABILIAE Î proectarea ş costrucţa dfertelor ecpamete este ecesară asgurarea sguraţe î fucţoare a acestora; această codţe a codus la utlzarea î proectare a aumtor coefceţ de sguraţă. Noţule de fabltate
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE OPTIMIZARE. Lucrarea 8 1. SCOPUL LUCRĂRII 2. PREZENTAREA TEORETICĂ 2.1. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE 2.2. COEFICIENTUL DE CORELAŢIE
Lucrarea 8 METODE DE OPTIMIZARE. SCOPUL LUCRĂRII Prezetarea uor algort de optzare, pleetarea acestora îtr-u lbaj de vel îalt î partcular, C ş folosrea lor î rezolvarea uor problee de electrocă.. PREZENTAREA
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare elementare
Captolul 4 mplfcatoare elementare 4.. Etaje de amplfcare cu un tranzstor 4... Etajul sursa comuna L g m ( GS GS L // r ds ) m ( r ) g // L ds // r o L ds 4... Etajul drena comuna g g s m s m s m o g //
Διαβάστε περισσότερα8.3. Estimarea parametrilor
8.3. Estmarea parametrlor Modelarea uu feome aleatoru real, precum trafcul ofert de o sursă formaţoală, ue reţele de comucaţ, îseamă detfcarea uu model probablstc, M, varablă aleatore sau proces aleatoru,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ESTIMARE A PARAMETRILOR UNEI REPARTIŢII. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME. METODA MOMENTELOR.
Curs 6 OI ETOE E ETIARE A ARAETRILOR UNEI REARTIŢII. ETOA VEROIILITĂŢII AIE. ETOA OENTELOR.. Noţu troductve Î legătură cu evaluarea ş optzarea proceselor oraţoale apar ueroase problee de estare cu sut:
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραFizica cuantica partea I-a. I. Originile mecanicii cuantice
Fzca cuatca partea I-a Radata terca. Itroducere I. Orgle ecac cuatce Este be cuoscut faptul că pe seaa dfertelor fore de eerge, corpurle pot ete ude electroagetce. Radaţa electroagetcă obţută pe seaa eerge
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NEINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραCALCULUL BARELOR CURBE PLANE
CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE BIPOLARE
Curs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE IPOLARE CUPRINS Tranzstoare Clasfcare Prncpu de funcțonare ș regun de funcțonare Utlzarea tranzstorulu de tp n. Caracterstc de transfer Utlzarea tranzstorulu de tp p.
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE
METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A 0. LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE Asura feomeelor de masă studate de statstcă acţoează u umăr de factor rcal ş secudar, eseţal ş eeseţal, sstematc ş îtâmlător, obectv ş subectv,
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα6. VARIABILE ALEATOARE
6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă
Διαβάστε περισσότερα