Διδασκαλία και η απόδειξη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Transcript

1 Διδασκαλία και η απόδειξη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

2 Δύο λόγοι για να διδάσκονται αποδείξεις: H απόδειξη είναι η ουσία των Μαθηματικών H απόδειξη είναι χρήσιμη για τις εξετάσεις

3 2006

4 2000 x x 0 f x x 0 x 0 2 1

5 Kαλή γνώση της θεωρίας Καλή τεχνική κατάρτιση Αποδεικτική ικανότητα

6 Θεωρία δεν είναι ένα σύνολο κανόνων αλλά μία οργανική ενότητα. Τα σχολικά βιβλία δεν έχουν θεωρία αλλά πληροφορίες. Το ζητούμενο δεν είναι λιγότερη (= «συνοπτική») θεωρία αλλά η πληρέστερη ανάπτυξη της.

7 Στόχος: Θεωρητική ανάπτυξη με «πυκνότητα» αποδείξεων ανάλογη με εκείνη της Γεωμετρίας

8 Γεωμετρία: Μελέτη βασικών σχημάτων (τρίγωνο, τετράπλευρο, κύκλος) Ανάλυση: Επίλυση δύο προβλημάτων

9 Πρόβλημα 1 Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης σε ένα σημείο της.

10 Πρόβλημα 2 Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από την γραφική παράσταση μίας συνάρτησης πάνω από ένα διάστημα.

11

12 Εισαγωγή: Λόγος Μεταβολής: Mία ενοποιός έννοια

13 Ο λόγος μεταβολής μπορεί να περιγράψει τη μονοτονία

14 τα ακρότατα

15 την κυρτότητα

16 Ο λόγος μεταβολής έχει αλγεβρικές ιδιότητες ανάλογες της παραγώγου cf x, x c x, x 1 2 f 1 2 x, x x, x x, x f g, 1 2 f 1 2 g 1 2 x, x x, x g x x, x f x fg, 1 2 f g x, x x, x g 1 2 g g x1 g x2 x, x f x, f x x, x g f 1 2 g 1 2 f 1 2 Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

17 Μέρος Ι, Το όριο ως έννοια χωρίς ορισμό Η εισαγωγή στο όριο μπορεί να γίνει από το πρόβλημα της εφαπτομένης όηαν M P ηόηε ηέμνοςζα εθαπηομένε

18 όηαν M P ηόηε ηέμνοςζα εθαπηομένε όηαν x x ηόηε ηέμνοςζα εθαπηομένε 0 όηαν x x ηόηε 0 ηέμνοςζαρ εθαπηομένερ όηαν x x ηόηε f x f x 0 0 εθαπηομένερ x x0 εθαπηομένερ lim xx 0 f x f x x x 0 0

19 Μερικές απλές εφαπτομένες 2 f x x x0 1 f x x x x 1 lim x1 x lim x x1 x1 x 1 f x x x0 1 lim x1 x 1 εμx f x εμx x0 0 lim x0 x ζςνx εμx 1 x ζςνx Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

20 Η ανάπτυξη των ορίων μπορεί αρχικά να γίνει μέσω της γραφικής παράστασης

21 Να περάσει στα όρια των στοιχειωδών συναρτήσεων lim x e x e 0 R lim εμx x εμ * R Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

22 Να συνδεθούν τα όρια με τις πράξεις f xg x f x g x lim lim lim x x x f g οπίδεηαι κονηά ζηο ηα όπια ηος β μέλοςρ ςπάπσοςν Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής g x limσχολής g x κονηά Σμύρνης ζηο ε ππάξε ζηο β μέλορ επιηπέπεηαι lim lim lim x u g x x f g οπίδεηαι κονηά ζηο f g x f u ηα όπια ηος β μέλοςρ ςπάπσοςν x

23 Να γίνει σύνδεση με την διάταξη lim x f x g x f x lim g x f x g x x κονηά ζηο κονηά ζηο lim x f x lim g x x x x lim f 0 f x,lim f x x ομόζεμα κονηά ζηο Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

24 f x g xhxκονηά ζηο lim x h x lim x f x lim x f x lim h x x R lim g x lim g x R lim gx x x x Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

25 Συνεχείς Συναρτήσεις 0 x Tα όπια lim f βπίζκoνηαι xx με «ανηικαηάζηαζε» Όηαν δεν διακόπηεηαι ηο D f δεν «διακόπηεηαι» και ηο C f

26 Μέρος ΙΙ, Η παράγωγος Πρόβλημα Εφαπτομένης εθαπηομένερ lim h0 f x h f x 0 0 h Πρόβλημα Στιγμιαίας Ταχύτητας t 0 lim t 0 f t t f t 0 0 t Μία «Θεωρία» f x f x h f x f x f x ' lim lim h0 h xx0 x x0

27 Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται την συνέχεια: Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο είναι συνεχής σε αυτό

28 Αλλά και η συνέχεια μπορεί να περιγράψει την παραγωγισιμότητα: ςπάπσει ηέηοιο ώζηε ε ζςνάπηεζε, f x x0 x x 0 f παπαγωγίζιμε ζηο x0 f x x x0 να είναι ζςνεσήρ ζηο x 0

29 Η «παρατήρηση του Καραθεοδωρή» ή αλλιώς ο ορισμός της παραγώγου κατά Καραθεοδωρή. f παπαγωγίζιμε ζηο ςπάπσει ζςνάπηεζε fˆ ζςνεσήρ ζηο x ηέηοια ώζηε f x f x fˆ x x x Σε αςηή ηεν πεπίπηωζε x 0 fˆ x f ' x 0 0

30 Οι τύποι για τις παραγώγους και οι κανόνες παραγώγισης μπορούν να παραχθούν με την ακόλουθη σειρά 1 1) Υπολογίδονηαρ ηιρ παπαγώγοςρ ηων c, x,, x x, x x 2) Υπολογίδονηαρ ηεν παπάγωγο ηερ εμx x x 3) Υπολογίδονηαρ ηεν παπάγωγο ηερ e σπεζιμοποιώνηαρ μόνο ηεν e 1x 4) Υπολογίδονηαρ ηεν παπάγωγο ηερ ln x σπεζιμοποιώνηαρ ηεν ln x x1

31 5) Aποδεικνύονηαρ ηοςρ ηύποςρ για ηιρ παπαγώγοςρ ηων γινομένων γὰρ πάντων κατὰ τὸν λόγον 1 f cf, f g, f g,, g g 6) Aποδεικνύονηαρ ηον ηύπο για ηεν παπάγωγο ηερ g f : g f ' x lim xx 0 lim xx g ' 0 ˆ 0 gˆ f x lim xx 0 g f x g f x x g f x g f x f x f x g f x f x f ' x 0 0 f x f x x x x x x 0 0 0

32 7) Υπολογίδονηαρ ηιρ παπαγώγοςρ ηων x, x ζςν x, x, log x

33 Μέρος γινομένων ΙΙΙ, Τα βασικά γὰρ πάντων θεωρήματα κατὰ των τὸν λόγον παραγώγων

34

35 Μέρος ΙV, Το ορισμένο ολοκλήρωμα

36

37

38

39 Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

40

41

42

43 ,

44 Σας Ευχαριστώ Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης