1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Kontinualna računska 2. Istorijat razvoja računarskih sistema premehanički period

Transcript

1 1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Sva računska sredstva se mogu podeliti na dve velike grupe, kontinualna i diskretna računska sredstva. Kontinualna računska sredstva se konstuišu tako da matematički model sredstva bude ekvavilentan matematičkom modelu problema koji se rešava. Komponente kontinualnog sredstva se povezuju na način analogan nekom realnom sistemu (npr. sistem proticanja vode kroz neke posude), pa se zbog toga kontinualna računska sredstva nazivaju i analogna računska sredstva. Kontinualna računska sredstva mogu biti mehanička, gde se ulazne i izlazne vrednosti definišu preko pozicije raznih zupčanika ili točkića, i elektronska gde se vrednosti definišu preko napona i jačine električne struje. Najpoznatije analogno računsko sredstvo antičkog doba Antikitera (pretopstavlja se da je napravljen krajem prvog veka p.n.e. i služio je za predstavljanje vremena između dva mlada meseca). Viljem Outred (1622) konstruiše klizajući lenjir šiber. Vanevar Buš konstruiše diferencijalni analizator (mehanički) koji je služio za izračunavanje opšte diferencijalne jednačine šestog stepena. Kasnije (1942) konstruisao elektronsku verziju koju je nazvao Rokfelerov diferencijalni analizator. Elektronska analogna sredstva se nazivaju i analogni računari, i njihove opšte karakteristike su 1) Matematičke veličine se prikazuju sa tačnošću koja odgovara merenju fizičke veličine kojom se predstvalja mat veličina (voltaža, položaj zupčanika) 2) Tačnost zavisi od preciznosti izrade sredstva 3) Nisu programabilna. 4)Složenost matematičkog modela ne utiče na brzinu dobijanja rezultata. Za razliku od kontinualnih diskretna računska sredstva rade sa diskretnim podacima, tj. svi podaci se zapisuju pomoću cifara, pa se ova sredstva nazivaju i cifarska odnosno digitalna (eng. digital, digit - cifra). Predastavnici digitalnih računskih sredstava su abakus, različite vrste računaljki, registar kase, savremeni (cifarski) računari. Osobine digitalni računara su: 1) Svaka cifra se zapisuje u odvojenom objektu (ćelije). Diskretna stanja objekta moraju biti stabilna i moraju međusobno da se razlikuju (današnji računari 0 i 1). 2) Tačnost ne zavisi od izrade računskog sredstva 3) Programabilna su. 4) Brzina izračunavanja zavisi od složenosti problema. 2. Istorijat razvoja računarskih sistema Istorijat razvoja računarskih sistema podeljen je na 4 perioda, premehanički, mehanički, elektromehanički I elektronski. Za premehanički period (3000g p.n.e g n.e.) je bitno stvaranje pisma, brojčanih sistema I primitivnih računskih sredstava koja bi olakšavala rad. Negde oko 2000g p.n.e. Feničani su pojednistavili proces pisanja I formirali prvi alfabet koji je odgovorao pojedinačnim slogovima I suglasnicima. U kasnijem periodu je taj alfabet prihvaćen I unapređen (izmenjen). Razvojem pisma došlo je do potrebe unapređivanja načina zapisa pa oko 2600g p.n.e. Egipćani počinju da koriste papirus I neku vrstu inprovizovanog pera. U ostalim kulturama se razvio pergrament a 100g n.e. U Kini se otkriva način proizvodnje papira, koji se uz manje modifikacije koristi I danas. Kako je postojala potreba za trgovinom, tako i

2 brojanjem, dolazi do stvaranja prvih brojčanih sistema. U starom veku svaka civilizacija je imala svoje načine zapisa brojeva i računanja. NA prime egipćani koji su sa arapima imali razvijenu trgovinu koristili su nepozicioni brojni sistem sličan rimskom, samo što se umesto slova koristili razni znakovi za označavanje različitih vrednosti. Prvi brojčani sistem sličan današnjem (težinski) definisalisu indusi između 100g n.e. I 200g n.e. Oni su koristili 9 cifara, od njih su arapi 875g n.e. preuzeli sistem i dodali mu jednu cifru više (nulu) i napravili sistem kakav danas koristimo. U evropu je stigao negde u 12.veku. Od "pomagala" u premehaničkom periodu su korišćeni štapići, kamenčići i kosti koje su olakšavale brojanje i eventualne računske operacije. Neki autori smatraju da su prva računska sredstva bili antički tableti za brojanje ABACI, što u suštini predstavlja preteču abakusa. Tek u 13. veku nastaje "moderna" verzija abakusa, koja dosta olakšava brojanje i elementarne računske operacije. Koncept računara kakav danas koristimo je građen korak po korak kroz vekove pri čemu je vili broj ljudi da svoj doprinos, među njima je i Muhamed ibn Musa Al Horezmi koji je prvi definisao detaljna pravila izvođenja računskih operacija, prema kome je algoritam dobio ime. Mehanički period 1450g 1840g U premehaničkom periodu prvi bitniji pomak je ostvario Johan Gutenberg (Johann Gutenber) 1450 godine kada je konstruisao prvu štamparsku presu, čime je postignuto da knjige budu brže štampane i dostupnije širem krugu ljudi. Ali još uvek je bilo problema pri računskim operacijama, tj. Problemi koji su se javljali razvijanjem trgovine i nauke, naime trebalo je rešiti probleme što brže sa što je moguće većom tačnošću. Prvi pomak na ovom polju napravio je Džon Neper (John Napier), on je 1614g objavio knjigu Rabdologiae u kojoj je objasnio kako je moguće transformisati množenje i deljenje u sabiranje i oduzimanje, uveo pisanje decimalne tačke. Takođe je konstruktor Neperove kosti i kalkulatora(kosti množenje jednocifrenog broja i broja proizvoljne dužine, kalkulator izračunavanje korena i kvadrata).engleski sveštenik Viljem Outred (William Oughtred) god konstruiše klizajući lenjir (šiber), omogućavao je deljenje i množenje sa tačnošću od 3 decimale. Šiber se intezivno koristio u 19. i 20. veku do pojave elektronskih kalkulatora god Blez Paskal (Blaise Pascal) konstruiše mašinu koja je mogla da sabira i oduzima osmocifrene brojeve (Pascaline) god Lajbnic pravi mašinu prema Paskalovom konceptu, stim što je lajbnicova mašina mogla da sabira, oduzima, deli i množi brojeve koji su imali između 5 i 12 cifara a rezultat je mogao da ima 16 cifara. Francuski inženjer Žakard je 1801 god konstruisao automatski razboj koji je koristio bušene kartice za kontrolu šare (ovo se smatra za prvu programabilnu mašinu) god Čarls Havijer Tomas de Kolmar prema osnovama Lajbnicove mašine konstruiše aritmometar, što je ujedno i prva računska mašina koja je ušla u serijsku proizvodnju. Do kraja 19. veka konsturisano je još mnog računskih mašina, npr Komptometar konsturisana od strane Felta i Taranta je prva računaska mašina u koju su se vrednosti unosile pritiskanjem tastera. Međutim najznačajniji događaj mehaničkog perioda je pojava diferencijske mašine koju je konstruisao Čarls Bebidž (Charles Babbage). On je napravio prototip svoje mašine koja je mogla da izračunava kvadrate i kubove

3 6cifrenih brojeva i razlike drugog reda. Rad na kompletnoj mašini je prekinut zbog nedostatka sredstava. U periodu između 1847 i 1849god projektuje poboljšanu verziju diferencijske mašine, ali i ona ostaje nedovršena zbog sredstava (1991 godine je urađena mašina prema bebidžovim nacrtima i tehnologiji dostupnoj tada i mašina je radila). Pored diferencijske mašine Bebidž je radio i na analitičkoj mašini (1833god). Ideja je bila ta da se u analitičku mašinu preko bušenih pločica unose vrednosti, kao i podaci o željenoj operaciji koja treba da s izvrši. Analitička mašina je preteča današnjih računara. NA projektovanju te mašine mu je pomagala i Ada Augusta Bajron koja se zbog toga smatra prvim programerom u istoriji. Elektromehanički period g g. Za ovaj period se vezuje otkriće metoda za generisanje i čuvanje elektriciteta pomoću baterija krajem 18. veka god. je konstruisan prvi telegraf koji je omogućio prenos informacija na velike daljine, na značenju je dobio definisanjem Morzeove azbuke god spojene su Evropa i Amerika podmorskim telegrafskim kablom. Sledeći pomak u komunikacionoj tehnologiji bio je pronalazak telefona (Alexandar Graham Bell god.) i radija (Marconi god.). Na početku ovog perioda g. Džordž Bul (George Boole) je objavio knjigu "Matematička analiza logike", u njoj je koristio binarni sistem za simboličko i logičko rezonovanje, danas poznat kao Bulova Algebra.Herman Holerit (Herman Holerith) je god. patentirao svoju automatsku mašinu za tabeliranje, zasnovanu na bušenim karticama, 1890.god. je upotrebio usavršenu verziju mašine pri popisu stanovnika u SAD. Posle uspešne saradnje sa vladom SAD osniva kompaniju pod nazivom "Hollerith Tabulating Company" koja je nastavila sa proizvodnjom sličnih mašina. Kasnije je sa još dve kompanije 1914.god. formirala kompaniju Calculating-Tabulating-Recording koja je 1924.god. promenila ima u IBM god. IBM je proizveo mašinu sa bušenim karticama pod oznakom 601, koji obavlja množenje brojeva za 1s. Konrad Cuse (Konrad Zuse) je 1931.god prvi elektromehanički kalkulator u Nemačkoj, a 1938.god. objavio poboljšanu verziju kalkulatora (Z2), a 1941.god. konstruisao je i Z3 prvi mehanički programabilni kalkulator. Pored već pomenutih mašina i računara, razvijane su i mašine specijalne namene (šifrovanje, dešifrovanje) o njima se veoma malo zna pošto su čuvani kao državne tajne (Nemačka Enigma, ili Poljska Bomba). Džordž Stibic (George Stibitz) 1939.god. konstruiše elektronski relejni mehanički kalkulator, koji je rešavao probleme sa kompleksnim brojevima, mašina je bila specifčna i po tome što je podatke unosio preko teleprintera, dok je sa mašinom bio povezan telefonskom linijom. Slava konstruktora prvog elektromehaničkog računura pripala je Hauardu Ejkenu (Howard Aiken). Uz pomoć IBMa je 1944 konstruisao Hardvard Mark 1, koji je bio zasnovan na Holeritovoj mašini i Bebidžovoj ideji o mašini ošte namene. MARK 1 je vršio izračunavanja navigacionih tabela za mornaricu. Elektronski period god. - danas god. kada je Nikola Tesla patentirao elektronsko logičko kolo nazvano vrata ili prekidač, otvorile su se mogućnosti za razvoj elektroniskih računara, pa je za njim krenula lavina pronalazaka, koji bi (su) omogućili računare kakve danas poznajemo god. Li de Forest

4 konstruiše prvu vakuumsku cev, a 1919.god. je publikovao nacrt prvog Flip Flopa (elektronsko logičko kolo (bistabil)). Vladimir Zvornik 1928.god. konstruiše prvi ekran sa katodnom cevi. Alan Tjuring (Alan Turing) je 1936.god. objavio svoj rad o "izračunljivim brojevima" gde je predložio rešavanje matematičkih problema preko automatizovane mašine (veoma slična današnjim računarima). Ta mašina je kasnije nazvana Tjuringova Mašina god. na univerzitetu u Ajovi (SAD) konstruisan prvi 16bitni sabirač sa vakuum skim cevima, konstruktori su bili Džon Atanasof (John V. Atanasoff) i Kliford Beri (Clifford Berry). Na osnovu ovog kalkulatora isti ljudi konstruišu ABC(Atanasoff-Berry-Computer) 1940.god., koji je rešavao sisteme simultanih lineranih jednačina god. je pušten u rad Kolos Mark 1 (Collosus Mark 1) koji je služio za dešifrovanje nemačkih šifrovanih poruka. Čuvan je u strogoj tajnosti i o njemu se mnogo malo znalo god. postaje operativan i Kolos Mark 2, međutim posle kraja drugog svetskog rata uništene su sve mašine zbog moguće špijunaže. Ekert i Mušli sa svojim timom god. završavaju ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Calculator), računar težak 30 tona, dug preko 30 metara i visok 3 metra.eniac je bio brži od svih dotadašnjih računara. Bio je zasnovan na dekadnom brojnom sistemu, i takt mu je bio 100KHz, programiranje ENIACA je bilo moguće samo ručno, tj. promenom raznih prekidača i ručnim prekopčavanjem kablova. ENIAC je vršio niz složenih izračunavanja na koja su korišćena za proveri teorije na osnovu koje je konstruisana vodonična bomba. Zbog toga se 1946.god. smatra početkom nove ere u razvoju i primeni elektronskih računara. ENIAC je bio u upotrebi do 1955.god. Džon Fon Nojman (John von Neumann) 30. juna god. objavio je nacrt u kome je izložio ideju za konstrukciju računara koji bi imao mogućnost čuvanja programa i njegovog kasnijeg izvršavanja, ovakav računar je nazvao EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer), ovakva arhitektura je dobila ima "Fon Nojmanova arhitektura". Juna god. Hauard Ejken i njegov tim su završili i pustili u rad elektromehanički računar Harvard Majk 2. Ovaj računar nije imao mogućnost čuvanja programa u memoriju već su podaci i programi odvojeno čuvani, ovakva arhitektura se naziva "Harvard arhitektura". Pri radu na konstrukciji Marka 2, Grejs Huper (Grace Murray Hopper) je otkrila moljca koji se zaglavio i napravio spoj na jednom releju. I zavela je kvar kao "bug" (buba), i odatle potiče termin bug, koji označava greške u programima ili hardveru. Inače tim sa Ejkenom na čeku je napravio još dva računara Mark 3 (1949.god.) i Mark 4(1952.god.). Januara 1948.god. IBM je napravio SSEC mašinu (Selective Sequence Control Computer) hibridnu mašinu koja je mogla interno da čuva deo programa. Grupa na čelu sa Morisom Vilkisom je juna 1949.god. završila EDSAC (Electronic Delay Storage Automatic Computer) kojije zasnovan na Fon Nojmanovoj ideji o EDVACu. To je prvi operativni računar koji jemogao da čuva proigram. Ulazno izlazne operacije su išle preko bušenih kartica, dok je memorija bila realizovana pomoću vakuumskih cevi ispunjene živom. Grupa koja je radila na univerzitetu u Mančesteru, na čelu sa Maks NJumenom(Max Newman) i Fredi Vilijamsom (Freddy Wiliams) je juna 1948.god. napravio prototip računara pod nazivom SSEM (Small - Scale Electronic Machine) ili Beba,računar je čuvao podatke memoriji realizovanih pomoću katodnih

5 cevi (Vilijams). Ista grupa je 1949.god. razivala Manchester Mark 1 računar kom je program unošen u binarnom obliku preko tastature, i kao takav čuvan u memoriji i kasnije ispisivan na katodnoj cevi. Za ovaj računar je Tjuring razvio pritivni asemblerski jezik. MESM (Mala elektronska računska mašina) je razvijena u periodi od 1947.god. do jaunara 1951.god., od starne grupe koja je na čelu imala Sergeja Aleksejeviča Lebedeva. MESM je koristio zapis u fiksnom zarezu i izvršavao je oko 50 instrukcija u sekundi. Grupa je radila u strašno lošim uslovima i koristili su odbačene radio uređaje radi delova. Grupa univerziteta u Pensilvaniji radila je na konstrukciji EDVACa, koji je bio završen krajem 1951.god. EDVAC je imao 4000 vakuumskih cevi dioda, i 1024 reči dužine 44bita realizhovane preko ultrasonične memorije. Brzina takta je bila 1MHz. Grupa na čelu sa Fon Nojmanom je radila na univerzitetu Prinston. Mašina razvijana za napredne nauke (Insttitute For Advanced Study Machines, IAS) po kome je kasnije i dobila ime. Mašina završena 1952.god. Ekert i Mušli su 1949.god. isporučili vazduhoplovstvu BINAC (Binary Automatic Computer), ovaj računar je značajan po tome što je prvi računar sa dualnim procesorom (drugi je služio u slučaju da prvi otkaže). Isti ljudi su radili i na razvoju poslovnog računara UNIVAC (Universal Automatic Computer) međutim ostali su bez sredstava, i bili prinuđeni da prodaju kompaniju firmi Remington Rad, u čijem sastavu su nastavili sa razvojem UNIVACa, međutim, to nije bio prvi poslovni računar, ta čast je pripala britanskom računaru LEO(Lyons Electronic Office) koji je izašao par meseci pre UNIVACa. Decembra 1950 god. u rad je pušten Vihor (Whirlwind) prvi računara konstruisan da radi u realnom vremenu. Konstruisan je na MITu (Massachusetts Institute of Techonology) od strane tima na čijem čelu je bio Džej Forester (Jay W. Forester) Računar je konstruisan za istraživački institut ratne mornarice SAD. Vihor je mogao da uradi sabiranja ili množenja u sekundi. 3. Generacije savremenih elektronskih računara Savremeni elektronski racunari su podeljeni, prema nacinu izrade i nekih tehnologija, na cetiri grupe: 1. Prva generacija racunara(1939g-1958g) 2. Druga generacija racunara(1959g-1964g) 3. Treca generacija racunara(1965g-1971g) 4. Cetvrta generacija racunara(1972g-danas) Prva generacija racunara(1939g-1958g) Prva generacija je bila zasnovana na vakumskim cevima kao logickim jedinicama i magnetnim dobosima kao unutrasnja memorija. Vakumske cevi su bile glomazne, podlozne kvarovim, trosile su mnogo struje. Za programiranje ovih racunara koristio se masinski jezik, a kasnije pomocu asemblera.

6 glavni predstavnici ovog perioda su UNIVAC II iz 1957 godine, kao i IBM 700 serija racunara. Takodje u vom periodu Dzon Bekus pravi prvi FORTRAn prevodilac Druga generacija racunara(1959g-1964g) Glavna razlika u odnosu na prvu generaciju racunara je sto su umesto vakumskih cevi za logicke jedinice poceli da se koriste tranzistori, a unutrasnja memorija su bila magnetna jezgra. Ovo je dovelo do pouzdanijih racunara, manje potrosnje energije... Za izradu tranzistora koriscen je prvo germanijum koji je bio skup, a kasnije se pocelo sa koriscenjem silicijuma. U ovom periodu se pocinje razvitak operativnih sistema, prevodioca za jezike viseg nivoa. Tipican predstavnik je IBM 7094, kod kojih su instrukcije cuvane u memoriji a izvrsava ih procesor. Takodje treba napomenuti i projekat Strech, koji je prvi proces izvrsavanja delio na fazu dohvatanja i dekodiranja i fazu izvrsavanja. Treca generacija racunara(1965g-1971g) Integrisana kola su obelezila ovu generaciju racunara, kao i dalje razvijanje operativnih sistema i programskih jezika viseg nivoa kao sto je C. 1970g IBM je ponudio Floppy disk. Predstavnici su IBM S/360 zasnovan na integrisanim kolima., kao i PDP-8 koji je bio prvi mini racunar na trzistu, bio je prenosan. Cetvrta generacija racunara(1972g-danas) Nastavak razvoja integrisanih cipova je doveo do pojave visokointegrisanih cipova, a umesto memorije u ovom periodu se koristila poliprovodnicka memorija koja je bila dosta brza a realizovana je u tehnologiji integrisanih kola. Rastom procesorskih mikrocipova doslo je do pojave mikroprocesora, gde su sve komponente CPU smestene na jednom cipu. Predstavnik je racunar CRAY-I. U ovom periodu dolazi i do razvoja telekomunikacionih mreza. 4. Azbuka i kodovi. Pozicioni brojčani sistemi. Zapis mešovitih brojeva. Primeri. Azbuka

7 Pravila koje se odnose na zapis nenumeričkih informacija su definisana preko azbuke i pravopisa, a pravila koja se odnose na zapis numeričkih informacija definisana preko brojčanih sistema i njihovih pravila. Azbuka je konačan neprazan skup proizvoljnih simbola i označava se sa V. primer: V={a, b, c, } Slova ili simboli su elementi skupa V. primer: a, b, c,... Reči nad V su konačne niske slova. Skup svih reči nad V se označava sa V*. primer: V={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, reči nad V + su brojevi u dekadnom brojčanom sistemu (sa eventualno vodećim nulama); V={0, 1, 2}, reči nad V + su brojevi u binarnom brojčanom sistemu (sa eventualno vodećim nulama). Prazna reč je reč koja ne sadrži slova, obeležava se sa λ i priprada V*, za svako V. Skup V* bez λ se označava sa V +. Jezik je proizvoljan skup reči nad V* i obeležava se sa L. primer: L={a, b, λ} Dužina reči je broj slova u reči P i obeležava se sa P. Dužina prazne reči je 0. Za pozitivan broj i i proizvoljnu reč P sa P i se označava i puta dopisana reč P. Po definiciji, važi P 0 =λ. Broj reči dužine d u azbuci koja ima n znakova je n d. Kodovi Azbuke: V 1 ={a 1, a 2,, a m }, V 2 ={b 1, b 2,, b n } Jezici: L 1 C V 1 *, L1 ={p 1, p 2,, p r }; L 2 C V 2 *, L2 ={q 1, q 2,, q s } Funkcija kodiranja je svaka funkcija f definisana sa f: L 1 L 2. Funkcija dekodiranja je svaka funkcija g: L 2 L 1, g = f -1 ako f -1 postoji. Kodiranje predstavlja izračunavanje vrednosti f(p i ). Dekodiranje predstavlja izračunavanje vrednosti g(q j ). Kod je jednoznačan akko je funkcija f 1-1. U suprotnom kod je višeznačan. Osnova koda je broj simbola u azbuci. Kodna reč je reč iz jezika. Kod je potpun ako obuhvata sve reči određene dužine u jeziku. Kod je ravnomeran ako je dužina svih kodnih reči u jeziku ista. U suprotnom, kod je neravnomeran. Da bi kod dužine d reči P bio ravnomeran, mora da važi P n d, n je broj simbola u azbuci, a d mesnost koda. Ako je P =n d, onda je to potpun ravnomeran kod. Ako treba zapisati reč živog jezika, tada azbuka treba da sadrži sve znake pisma (velika i mala slova, cifre, interpunkcijske i specijalne znake). Dužina kodnih reči će zavisiti od broja simbola u azbuci, odnosno broja reči u odgovarajućem jeziku. Danas se koriste kodovi sa dužinom reči 7, 8 ili 16.

8 Pozicioni brojčani sistemi Brojčani sistemi se dele na nepozicione i pozicione. Kod nepozicionih sistema znak koji označava cifru ima istu vrednost bez obzira na poziciju u zapisu broja (egipatski, rimski). Kod pozicionih sistema vrednost znaka koji predstavlja cifru zavisi i od samog znaka i od pozicije cifre u zapisu broja (arapski, indijski). Osnova brojčanog sistema je broj različitih cifara pozicionog brojčanog sistema. Brojčana vrednost X u sistemu sa osnovom N se dobija kao zbir vrednosti pojedinačnih cifara: gde su X i cifre brojčanog sistema, V(X i ) vrednost cifre X i u zapisanoj nisci cifara, a i mesto cifre u zapisanoj nisci cifara u intervalu od m do n. Brojčana vrednost cifre X i u zapisanoj nisci cifara zavisi od vrednosti i položaja cifre i u najvećem broju pozicionih brojčanih sistema jednaka je V(X i )=X i * N i. Sve operacije se vrše u brojčanom sistemu sa osnovom N. Pozicija cifre je mesto cifre u zapisu broja. Dužina broja je broj cifara u zapisu broja. Težina cifre je vrednost koliko cifra teži. Binarni brojčani sistem N=2, S={0, 1}. Koristi se u savremenim digitalnim računarima. Troični brojčani sistem ili sistem sa osnovom 3, N=3, S={0, 1, 2}. Balansirani troični brojčani sistem N=3, S={-1, 0, 1}. (bt) Oktalni brojčani sistem N=8, S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Koristi se u računarstvu. Dekadni brojčani sistem N=10, S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Koristi se u svakodnevnom životu. Heksadekadni brojčani sistem N=16, S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. Koristi se u računarstvu. Brojčani sistem kod koga je osnova jednaka N se naziva brojčani sistem sa negativnom osnovom. Specijalni slučaj je kada je N=-2, S={0, 1, 2} i naziva se negabinarni brojčani sistem. (nb) Osnova brojčanog sistema može da bude i razlomljen broj. Na primer: N=0.5 Brojčani sistem sa promenljivom osnovom je sistem kod koga je svakoj poziciji i pridružena vrednost m i. Osobine pozicionih brojčanih sistema sa fiksnom osnovom: Povećanjem osnove brojčanog sistema smanjuje se dužina zapisa broja; U svim brojčanim sistemima se osnova zapisuje kao 10 (jedan, nula), dok je 0 (nula) najmanja cifra u svim sistemima. Zapis mešovitih brojeva Neoznačeni mešoviti brojevi bez obzira na brojčani sistem u kome se zapisuju mogu biti zapisani na više načina:

9 U uobičajenom obliku sa tačkom osnove (radix point) između celobrojnog i razlomljenog dela. Zapis u fiksnom zarezu jer je broj cifara u razlomljenom delu uvek fiksiran (jednak m) bez obzira na veličinu broja. Svaki mešovit broj se uvek zapisuje pomoću n cifara, pri čemu se sa m n cifara zapisuje razlomljeni deo, a sa n - m cifara celobrojni deo broja. Ukoliko je broj cifara u celobrojnom delu veći od n - m, vrednost ne može da bude zapisana i javlja se greška pri zapisu. Ukoliko je broj cifara u razlomljenom delu manji od m, preostale pozicije se popunjavaju nulama. Ukoliko je broj cifara u razlomljenom delu veći od m, tada se zapis broja skraćuje na m cifara u razlomljenom delu. Zapis u pokretnom zarezu pomoću značajnog dela broja (F) i eksponenta (E) koji su predstavljeni kao brojevi u fiksnom zarezu. Vrednost broja je jednaka F*N e. 5. Prevođenje brojeva između različitih brojčanih sistema. Primeri Postupak određivanja vrednosti broja X u pozicionom brojčanom sistemu sa osnovom M se naziva prevođenje broja X iz sistema sa osnovom N u sistem sa osnovom M. Mogućnost tačnog zapisa zavisi od osnova između kojih se vrši prevođenje. Prevođenje celih brojeva: Broj X je predstavljen u sistemu sa osnovom N. Prevođenje u sistem sa osnovom M podrazumeva izračunavanje vrednosti broja X u sistemu sa osnovom M. Ukoliko je broj ceo i osnova N veća od osnove M, do te vrednosti se dobija deljenjem vrednosti broja X u sistemu sa osnovom N i osnove brojčanog sistema M u koju se prevodi. Sve operacije se vrše u sistemu sa osnovom M (u koju se X prevodi). U gornjoj vrsti tabele se piše celobrojni deo deljenja, a u donjoj ostatak pri deljenju. Deljenje se vrše sve dok se kao celobrojni deo deljenja ne dobije 0. Tada se cifre čitaju sa desna u levo. primer: (94) 10 =( ) 2 Ukoliko je broj ceo i osnova M veća od osnove N, neophodno je prevesti osnovu M u sistem sa osnovom N. Dalji postupak je isti kao kod prevođenja gde je osnova N veća od osnove M. primer: (21012) 3 =(C2) 16 Prevođenje razlomljenog dela: Razlomljeni deo se prevodi tako što se razlomljeni deo broja množi sa vrednošću osnove u koju se prevodi. Sve operacije se vrše u sistemu sa osnovom u koju se vrši prevođenje. U gornjoj vrsti tabele se piše razlomljeni deo proizvoda, a u donjoj vrsti ceo deo proizvoda. Množenje se ponavlja dok se ne dobije razlomljeni deo proizvoda jednak 0. Tada se cifre čitaju sa leva u desno, s tim što je zarez odmah posle pozicije i=0. primer: (0,84735) 10 =(0,11011) 2 Mešoviti brojevi se prevode tako što se odvojeno prevode celi i razlomljeni delovi i tako dobijeni spoje. Specijalni slučaj kodiranja: Ukoliko između sistema N i M postoji veza u vidu N=M s, S>1, koristi se specijalno kodiranje. Vrednost broja X iz sistema sa osnovom N u sistem sa osnovom M se dobija tako što se svaka cifra broja X posebno kodira u sistem sa osnovom M. Mešoviti brojevi se prevode tako što se

10 posebno kodiraju cifre razlomljenog i celobrojnog dela broja, i od dobijenih prevoda formira željeni prevod. (binarni, oktalni i heksadekadni sistem) primer: (54,12) 8 =(101100,001010) 2 6. Zapis označenih brojeva. Primeri Označeni brojevi se mogu zapisati u obliku: Znak i apsolutna vrednost; Komplement broja; Sa uvećanjem. Zapis pomoću znaka i apsolutne vrednosti U ovom zapisu, cifra najveće težine označava znak broja, dok ostale cifre predstavljaju apsolutnu vrednost broja (odnosno neoznačen broj koji ima istu vrednost). Najmanja cifra brojčanog sistema označava pozitivne, a najveća negativne brojeve. [-N n-1 +1, +N n-1-1] Promena znaka broja se vrši tako što se na mestu najveće težine u zapisu broja upisuje najveća cifra brojčanog sistema, ako je na tom mestu bila nula i obrnuto. Pri izvođenju osnovnih računskih operacija, odvojeno se obrađuju znaci i apsolutne vrednosti brojeva. Sabiranje i oduzimanje zavisi od znaka brojeva koji se sabiraju ili oduzimaju. Ako su brojevi istog znaka, takav će biti i znak rezultata. Apsolutna vrednost rezultata se dobija kada se saberu apsolutne vrednosti operanada. Ako su brojevi suprotnog znaka, znak rezultata će biti znak broja koji ima veću apsolutnu vrednost. Apsolutna vrednost rezultata se dobija tako što se od broja koji ima veću apsolutnu vrednost oduzme broj koji ima manju apsolutnu vrednost. Množenje i deljenje zavisi od znaka brojeva koji se množe ili dele. Ako su brojevi istog znaka, rezultat će biti pozitivan. U suprotnom je negativan. Apsolutna vrednost rezultata je proizvod ili količnik apsolutnih vrednosti činilaca. Nedostatak: Mogućnost dvostrukog zapisa nule: +0 i -0. Posledica ove mogućnosti je stalna potreba da se ispituju dve vrednosti pri ispitivanju jednakosti na nulu što usložnjava izvođenje aritmetičkih operacija. Pri izvođenju osnovnih računskih operacija, posebno se obrađuju znaci i apsolutne vrednosti. Zapis uz korišćenje komplementa broja U ovom načinu zapisa brojeva, pozitivni brojevi se zapisuju kao i u zapisu znak i apsolutna vrednost, dok se negativni zapisuju tako što se od komplementacione konstante K oduzme apsolutna vrednost broja čiji se zapis traži. Promena znaka broja X se svodi na komplementiranje izračunavanjem K X. Sabiranje dva broja X i Y zapisana pomoću komplementa se vrši kao sabiranje neoznačenih brojeva po modulu koji je jednak komplementacionoj konstanti K.

11 Oduzimanje se vrši komplementiranjem umanjioca i sabiranjem dobijene vrednosti sa umanjenikom. X Y = X + (K Y). Množenje i deljenje se realizuje na sličan način kao u dekadnom sistemu. Nepotpuni komplement K = N n -1 komplement umanjene osnove ili N-1 vi komplement [-Nn-1+1, +Nn-1-1] Sabiranje brojeva se vrši u dva koraka. U prvom se saberu vrednosti brojeva, a u drugom se prenos sa mesta najveće težine dodaje na mesto najmanje težine zbira. Do prekoračenja može da dođe pri sabiranju brojeva istog znaka. Do prekoračenja je došlo, ako je znak rezultata drugačiji od znaka brojeva koji se sabiraju. Oduzimanje brojeva se svodi na komplementiranje drugog operanda, i potom se svodi na sabiranje. Komplementiranje broja može da se izvede na dva načina: izračunavanjem K X, ili zamenom svake cifre Xi sa vrednošću N 1 - X i. Broj pozitivnih je jednak broju negativnih predstavljenih brojeva. Potpuni komplement K = N n komplement u odnosu na osnovu sistema ili N-ti komplement [-N n-1, +N n-1-1] Sabiranje brojeva se vrši u dva koraka. U prvom se saberu vrednosti brojeva, a u drugom se prenos sa mesta najveće težine zanemaruje i briše. Do prekoračenja može da dođe pri sabiranju brojeva istog znaka. Do prekoračenja je došlo, ako je znak rezultata drugačiji od znaka brojeva koji se sabiraju. Oduzimanje brojeva se svodi na komplementiranje drugog operanda, i potom se svede na sabiranje. Komplementiranje broja može da se izvede na dva načina: izračunavanjem K X, ili zamenom svake cifre Xi sa vrednošću N 1 Xi, a u drugom koraku se doda 1 na poziciji najmanje težine. Za ovu izabranu vrednost 0 ima jedinstven zapis kao +0. Interval je nesimetričan, jer se nula smatra pozitivnim brojem. Zapis uz dodavanje uvećanja Ovaj način zapisa predstavlja specijalan slučaj zapisa pomoću komplementa u kome se označeni broj zapisuje tako što se njegova vrednost sabere sa konstantom k, i dobijeni zbir se zapiše pomoću komplementa osnove. Vrednost k je poznata pod nazivom uvećanje ili višak, dok se za broj zapisan sa uvećanjem k kaže da je zapisan u kodu višak k. Aritmetika u ovom zapisu se svodi na aritmetiku u zapisu pomoću komplementa. X + Y + uvećanje = (X + uvećanje) + (Y + uvećanje) uvećanje X Y + uvećanje = (X + uvećanje) (Y + uvećanje) + - uvećanje primer:

12 (+127) 10 (-64) 8 Znak i apsolutna vrednost: Nepotpuni komplement: Potpuni komplement: Višak 4: Binarni i heksadekadni sistem. Hartmanova metoda prevođenja. Zapis znakovnih podataka. Primeri. Binarni i heksadekadni sistem Svi podaci u savremenim digitalnim računarima se čuvaju u obliku binarnog zapisa čiju osnovu čini binarni sistem. Rad sa binarnim sistemom je složen, pa se pri radu na mašinskom nivou koristi zapis pomoću heksadekadnog brojčanog sistema. Razlog je laka konverzija između binarnog i heksadekadnog sistema, i rad sa podacima zapisanim u brojevima. Na računarima se podaci najčešće čuvaju u jednom ili više bajtova. Podaci u svakom od bajtova se mogu grupisati u dve celine po četiri bita koje se svaka pojedinačno mogu predstaviti heksadekadnom cifrom. Sabiranje i oduzimanje u binarnom i heksadekadnom sistemu se obavlja po principima analognim sabiranju i oduzimanju u dekadnom sistemu. Kao pomoć pri izvođenju ovih operacija koriste se tabele za binarno i heksadekadno sabiranje i oduzimanje. Pri sabiranju, sabirci se nalaze sa leve strane i na vrhu tabele, a rezultat se očitava u sredini tabele, na mestu preseka vrste i kolone u kojoj se nalaze sabirci. Pri oduzimanju, umanjilac se nalazi sa leve strane, umanjenik je u sredini (u istoj vrsti kao i umanjilac), a razlika se očitava na vrhu tabele, u koloni u kojoj se nalazi umanjenik. Sabiranje i oduzimanje višecifrenih brojeva se vrši tako što se polazi sa desne strane, obrađuje pozicija po pozicija uz dodavanje prenosa narednom cifarskom mestu (kod sabiranja), odnosno umanjenje za prenos narednog cifarskog mesta (kod oduzimanja). primeri: Binarno sabiranje i oduzimanje Zbir je 0 2 uz prenos 1 2. Zbir se dobija sabiranjem počevši od pozicije najmanje težine = 0 2 uz prenos 1 2 na narednu poziciju. U sledećem koraku se sabira , što kao rezultata daje 0 2 uz prenos 1 2. Kako je ovo bila pozicija najveće težine konačni zbir je = Razlika se određuje tako što se u tabeli nađe 1 na mestu za umanjilac i pronađe u toj vrsti umanjenik 10. Rezultat 1 se dobija na vrhu kolone u kojoj je umanjenik. Heksadekadno sabiranje i oduzimanje

13 Zbir 2B 16 + AE 16 se dobija tako što se u prvom koraku odredi zbir B 16 + E 16, što je prema tabeli 9 16 uz prenos U narednom koraku se određuje zbir A 16. Kako je = 3 16 i A 16 = D 16 dobija se D9 16 kao krajnji zbir. Razlika A 16 se zapisuje kao A 16. U prvom koraku se određuje 2 16 A 16 (uz pozajmicu 1 sa prethodnog cifarskog mesta), što iznosi U drugom koraku se naredna cifarska pozicija umanjenika smanji za prenos, tj = 2 16, a zatim izračuna razlika sa te pozicije = Time je određen krajnji rezultat Množenje i deljenje u binarnom sistemu je trivijalno, dok se u heksadekadnom sistemu može izvesti pomoću tabele. Tabela se ne koristi za deljenje nulom. Hartmanova metoda prevođenja Metod za direktno prevođenje između dekadnog i heksadekadnog sistema je Hartmanov metod. Hartmanov metod polazi od broja predstavljenog u izvornom (dekadnom ili heksadekadnom) brojčanom sistemu i pomoću niza sabiranja (ili oduzimanja) i množenja prevodi broj u ciljni (heksadekadni ili dekadni) brojčani sistem. Pri radu metod koristi korektivnu cifru i obrađuje broj koji se konvertuje sa leva u desno. Za prevođenje iz dekadnog u heksadekadni sistem korektivna cifra je (A ) pri čemu se sve operacije izvode u heksadekadnom sistemu. Pri konverziji iz heksadekadnog u dekadni sistem, korektivna cifra je ( ) uz izvođenje svih operacija u dekadnom sistemu. Razlomljeni brojevi se prevode tako što se posebno prevode celi i razlomljeni deo. Metod se sastoji iz pet koraka. Naredna cifra (pri prvom prolazu krajnje leva cifra) se prevede u heksadekadni sistem i dobijeni prevod postaje početna vrednost rezultata prevoda. Ovaj korak je trivijalan, pošto dekadne cifre imaju istu vrednost i u heksadekadnom sistemu. Ukoliko nema više cifara koje nisu prevedene, tada rezultat predstavlja broj u heksadekadnom zapisu. Ako ima jos cifara koje nisu prevedene, rezultata prevoda se množi sa korektivnom cifrom Naredna cifra se prevede u heksadekadni sistem. Rezultat prevoda se aritmetički pomeri za jedno mesto u levo i sabere sa vrednošću koja je dobijena u prethodnom koraku. Dobijena vrednost je nova tekuća vrednost prevoda. Proizvod formiran u drugom koraku se sabere sa rezultatom prevoda. Dobijeni zbir je novi rezultat prevoda. Izvršavanje se prenosi na korak 2. Pri prevođenju heksadekadnih cifara u dekadni sistem koristi se isti algoritam. Zapis znakovnih podataka Znakovni podaci se u računaru zapisuju pomoću binarnih kodova. Danas se koristi više različitih kodova, kod kojih se svaki karakter kodira niskom binarnih cifara dužine 7, 8 ili 16. Kodovi koji se najčešće koriste: ASCII U ovom kodu se može predstaviti 128 različitih karaktera pri čemu se svaki karakter predstavlja jednoznačnom niskom od 7 binarnih cifara. Iako se za kodiranje koristi niska od 7 binarnih cifara, karakteri kodirani u ASCII kodu se skoro uvek čuvaju i prenose u grupi do 8 bitova, pri čemu se osmi bit koristi za kontrolu parnosti. Karatkeri u ASCII kodu se mogu podeliti na kontrolne karaktere i karaktere koji imaju grafičku reprezentaciju na ekranu. Zasniva se na engleskom alfabetu, i ne može da kodira našu latinicu i ćirilicu.

14 EBCDIC U ovom kodu se može predstaviti 256 različitih karaktera pri čemu se svaki karakter predstavlja jednoznačnom niskom od 8 binarnih cifara. Karakteri se dele na kontrolne karaktere i karaktere koji imaju grafičku reprezentaciju na ekranu. ISO-8 8-bitni kod koji se u prvih 127 pozicija poklapa sa ASCII kodom dok su preostale pozicije popunjene kontrolnim i grafičkim karakterima. ISO-8 grafički karakteri formiraju kodnu stranu koja se naziva ISO/ANSI Multilingual jer sadrži grafičke karaktere koji se javljaju u različitim evropskim jezicima. IBM-PC 8-bitni kod koji se u prvih 127 pozicija poklapa sa ISO-8 kodom. Pozicije iznad 126 su popunjene različitim kontrolnim i grafičkim karakterima. UNICODE Standard za univerzalno kodiranje karaktera i omogućuje razmenu, obradu i prikaz teksta pisanog u bilo kom jeziku savremenog sveta. UNICODE standard je kompatibilan sa ISO standardom. Moze da se predstavi različitih karaktera u jednoznačnoj 16-bitnoj nisci. UTF-8 Kodira svaki UNICODE simbol pomoću promenljivog broja (1-4) okteta (svaki oktet ima 8 bitova), pri čemu broj okteta zavisi od celobrojne vrednosti koja je dodeljena UNICODE karakteru. UTF-8 je kompatibilan sa ASCII kodom. Danas je u širokoj upotrebi. Kodna strana predstavlja preslikavanje između grafičkih karaktera i heksadekadnih identifikacija. Svrha postojanja kodnih strana je omogućavanje različitog rasporeda karaktera u okviru istog koda (kombinacija ćiriličnih i latiničnih slova). 8. Zapis celih brojeva u računaru. Konverzija između zapisa različitih dužina. Primeri. Celi brojevi se u računaru zapisuju u obliku binarnog broja. Mesto najmanje težine je mesto u zapisu broja na poziciji 0. Mesto najveće težine je mesto u zapisu broja na poziciji n-1. Bez obzira na dužinu reči u kojoj se zapisuju u memoriji, celi brojevi se pri izvođenju aritmetičkih operacija konvertuju na dužinu registra. Zapis neoznačenih brojeva Neoznačen broj je broj čiji zapis ne sadrži znak. Zapis neoznačenih celih brojeva je identičan njihovoj reprezentaciji u binarnom brojčanom sistemu. [0, 2n 1] primeri: Zapis označenih brojeva Označen broj je broj čiji zapis uključuje njegov znak. U binarnom sistemu komplement osnove N-ti komplement se naziva potpuni ili drugi, a N 1-vi komplement se naziva nepotpuni ili prvi. U zapisu označenih brojeva, cifra na mestu najveće težine označava znak broja. Ako je na tom mestu 1, broj je negativan, a ako je 0, broj je pozitivan. Znak i apsolutna vrednost: Najjednostvniji način zapisa broja. Krajnje levi bit označava znak, a ostali bitovi apsolutnu vrednost broja.

15 [-2 n-1 +1, 2 n-1-1] Nedostaci: Pri izvođenju računskih operacija za otkrivanje eventualnog prekoračenja neophodno je ispitivati znak i apsolutnu vrednost oba argumenta. Nula se može zapisati na dva načina, kao +0 ili -0, što dodatno otežava izvođenje računskih operacija i operacija poređenja sa nulom. Nepotpuni komplement: Jednostavniji zapis broja nego zapis pomoću znaka i apsolutne vrednosti. Krajnje levi bit označava znak broja. Vrednost broja se zapisuje: Ako je pozitivan broj, kao apsolutna vrednost tog broja; Ako je negativan broj, kao broj koji se dobije kada se u zapisu apsolutne vrednosti broja svaka cifra zameni njenim komplementom do najveće cifre brojčanog sistema. [-2 n-1 +1, 2 n-1-1] Osobine: Jednostavnije izvođenje računskih operacija nego sa brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti. Nula se može predstaviti na dva načina, kao +0 ili -0. Potpuni komplement: Zapis razvijen da bi se prevazišli svi nedostaci zapisa celih brojeva pomoću znaka i apsolutne vrednosti i nepotpunog komplementa. Krajnje levi bit označava znak broja, a ostali bitovi vrednost broja. Vrednost broja se zapisuje: Ako je pozitivan broj, kao apsolutna vrednost tog broja; Ako je negativan broj, kao broj koji se dobije kada se na zapis broja u nepotpunom komplementu doda jedinica na mesto najmanje težine. Prednosti: Jednostavnije izvođenje računskih operacija. Poseduje samo jedan zapis nule što olakšava izvođenje operacija poređenja sa nulom. [-2 n-1, 2 n-1 +1] nesimetričan interval, jer se nula predstavlja kao pozitivan broj Zapis uz dodavanje uvećanja: Broj predstavlja zbir njegovog potpunog komplementa i vrednosti k koja je poznata pod nazivom uvećanje ili višak. Za broj zapisan sa uvećanjem k se kaže da je zapisan u kodu višak k. Vrednost uvećanja nema numerički značaj, već služi za pomeranje reprezentacije broja u potpunom komplementu. Zbog toga u zapisu sa uvećanjem postoji samo jedan reprezentacija nule. I zato se vrednost uvećanja bira tako da ima istu masku bitova kao i najmanji negativan broj. Glavna karakteristika ovog zapisa celih brojeva je jednostavnost poređenja: bit niske koje se koriste za zapis negativnih brojeva su numerički manje od bit niski koje se koriste za zapis pozitivnih brojeva. Koristi se u zapisu broja u pokretnom zarezu. Konverzija između zapisa različitih dužina Ako je neki broj zapisan u binarnoj reči dužine n i treba ga upisati u binarnu reč dužine m: Ako je m < n upisivanje nije moguće, jer može da dođe do gubitka značajnih cifara u broju i samim tim do dobijanja pogrešne vrednosti; Ako je m = n nikakva konverzija ne postoji, jer su zapisi u obe binarne reči identični; Ako je m n tada način konverzije zavisi od načina zapisa celog broja.

16 Ako je zapisan u obliku znak i apsolutna vrednost, bit za znak se pomeri na krajnje levu poziciju i ostala mesta se popune nulama. Ako je zapisan u obliku nepotpunog ili potpunog komplementa, slobodne pozicije se popunjavaju znakom broja. primeri: znak i apsolutna vrednost: nepotpuni komplement: potpuni komplement: uvećanje 128: Promena znaka, sabiranje, i oduzimanje celih brojeva. Primeri. Promena znaka celih brojeva zapisanih na racunaru se vrsi u zavisnosti od nacina zapisa broja. U ZAV promena znaka se vrsi tako sto se bit najvece tezine komplementira. U nepotpunom komplementu se promena znaka vrsi tako sto se svaki bit, cak i bit za znak komplementiram, a u potpunom komplementu se takodje svaki bit ukljucujuci i bit za znak komplementira, pa se tako dobijeni broj sabere sa 1 prema pravilima za sabiranje neoznacenih brojeva. Sabiranje i oduzimanje neoznacenih brojeva se vrsi prema pravilima za sabiranje u sistemu sa binarnom osnovom. Moze doci do nekorektnog rezultata, jer se sabiranje vrsi po modulu 2^(n-1). To je prekoracenje. Sabiranje brojeva u ZAV: Ako su brojevi istog znaka, isti znak ima i rezultat. A vrednost zbira se dobija sabiranjem apsolutnih vrednosti sabiraka kao neoznacenih brojeva. Ako se pri tom sabiranju javi prekoracenje ono ce se javiti i u konacnom rezultatu. 2. Ako su brojevi razlicitnog znaka, rezultat ce biti istog znaka kao i broj koji ima vecu apsolutnu vrednost. A vrednost broja se dobija kada se od vece apsolutne vrednosti oduzme manja. 3. Oduzimanje se svodi na sabiranje uz promenu znaka umanjiocu. Sabiranje u nepotpunom komplementu: U ovom zapisu broja znak i apsolutna vrednost se zajedno sabiraju, u dva koraka: 1. Brojevi se saberu kao neoznaceni celi brojevi, bez kontrole prekoracenja, a prenos sa bita koji oznacava znak ne oznacava prekoracenje, neka je to C*. 2. Prenos C* sabere sa brojem koji se dobije uklanjanjem C* sa pozicije najvece tezine uz kontrolu prekoracenja. Prekoracenje se javlja kada se sabiraju brojevi istog znaka, a dobije se rezultat

17 drugog znaka, a oduzimanje se svodi na sabiranje. Sabiranje u potpunom komplementu: Sabiranje se vrsi u dva koraka: 1. Brojevi se saberu kao neoznaceni celi brojevi, bez kontrole prekoracenja, a prenos sa bita koji oznacava znak ne oznacava prekoracenje, neka je to C*. 2. Konacan zbir se dobija kada se iz medjurezultata ukloni C*, bit koji oznacava prenos sa bita za znak i proverom prekoracenja. Prekoracenje se javlja kada se sabiraju brojevi istog znaka, a dobije se rezultat drugog znaka, a oduzimanje se svodi na sabiranje. Sabiranje u zapisu sa viskom: Prema pravilima za sabiranje odnosno oduzimanje brojeva u potpunom komplementu, uz oduzimanje, odnosno dodavanje uvecanja da bi se dobio korektan broj. 10. Množenje neoznačenih celih brojeva. Primeri Mnozenje neoznacenih brojeva je teze nego sabiranje ili oduzimanje. Moze se vrsiti pomocu papira, prema pravilima za mnozenje neoznacenih dekadnih brojeva. 9* * Mnozenje se vrsi sabiranjem delimicnih proizvoda koji se formiraju mnozenjem mnozenika svakom cifrom mnozioca. Ako se mnozi 0 onda je delimicni proizvod jednak nuli, a ako se mnozi 1 onda je jednak mnozeniku. Prvi delimicni proizvod se formira mnozenjem bitom najmanje tezine u mnoziocu. Svaki sledeci delimicni proizvod se pomera za jedno mesto ulevo, a moze se izostaviti mnozenje nulom, ali onda se sledeci delimicni proizvod pomera za jos jedno mesto ulevo. Ukoliko se mnoze brojevi od N i M bita, proizvod ne moze imati vise od N+M bita. Poboljsanja:

18 1. Umesto formiranja delimicnih proizvoda, koji moraju da se cuvaju da bi se sabrali, formira se medjurezultat, u koji se odmah dodaje delimicni proizvod. Tako se stedi prosto i umanjuje broj registara. 2. Mnozenje nulom moze da se izostavi. Hardverski se ovaj algoritam moze implementirati pomocu serijskog mnozioca. Za to su potrebni registri M, A, P i jedan dodatni jednobitni registar C koji cuva prenos sa bita najvece tezine pri sabiranju. 1. Na pocetku se u registar M upisuje mnozenik, u registar P mnozilac, a u registre C i A se upisuju nule. 2. Na osnovu sadrzaja bita najmanje tezine registra P odredjuje se ima li sabiranja registra M sa trenutnim medjuzbirom,koji se nalazi u registru A, a prenos se belezi u C. Ako je sadrzaj bita 0 ne vrsi se sabiranje, a ako je 1 sabiranjese vrsi. 3. Vrsi se logicko pomeranje u desno registara C, A, P koji se gledaju kao jedan registar. 4. Predhodna dva koraka se ponavljaju onoliko puta kolika je duzina mnozioca. 5. Rezultat se cita u registrima AP koji je duple duzine nego mnozenik i mnozilac. 11. Množenje označenih celih brojeva. Butov Algoritam. Primeri Algoritam za mnozenje neoznacenih celih brojeva ne moze se upotrebiti za mnozenje brojeva zapisanih u potpunom komplementu. Zbog pocetnog bita koji odredjuje znak dobija se nekorektan proizvod. U racunarima se obicno ovo mnozenje implementira pomocu Butovog Algoritma za mnozenje oznacenih brojeva u potpunom komplementu. Potrebna su tri registra M, A, P i jednobitni registar P-1: 1. Na pocetku se u registar M upise mnozenik, u registar P mnozilac, a u registre A i P-1 nule. 2. Formiranje medjuzbira se vrsi tako sto se uprede registri P0 i P-1. Ako se razlikuju i kombinacija im je 10 vrsi se oduzimanje mnozenika od registra A, ukoliko su 01 vrsi se sabiranje mnozenika sa registrom A, a ukoliko su 00 ili 11 nema akcije. 3. Posle ovoga vrsi se aritmeticko pomeranje u desno registara A, P, P-1 koji se gledaju kao jedan registar. Pri aritmetickom pomeranju se zadrzava bit najvece tezine i tako se cuva znak broja. 4. Predhodna dva koraka se ponavljaju onoliko puta kolika je duzina mnozioca. 5. Proizvod se cita iz registara AP i u potpunom je komplementu. 12. Modifikovan Butov algoritam. Primeri. Modifikovani Butov algoritam je osmisljen tako da smanji broj koraka pri mnozenju brojeva zapisanih u potpunom komplementu. Za svaki niz uzastopnih jedinica, koristi se samo jedno sabiranje i jedno oduzimanje.

19 1. Ovaj algoritam se izvodi tako sto se formira modifikovani Butov mnozilac. On se formira tako sto se citajuci s desna na levo na pojavu prve jedinice u nizu pise -1, a na pojavu prve nule nakon niza jedinica pise 1. Na ostala mesta se upisu Formiraju se parovi od po dva clana iz kodiranog mnozioca i njihova vrednost se odredjuje po formuli 2*A_(2k)+A_(2k-1). Moguce vrednosti su -2, -1, 0, +1, Za svaki par koji se pojavi, mnozenik se pomera za 2k mesta ulevo. 4. Tako pomeren mnozenik mnozi se sa vrednoscu para i dobijaju se delimicni proizvodi. Ako je vrednost para jednaka 0, delimicni proizvod je jednak nuli. Ako je vrednost para jednaka 1, delimicni proizvod je jednak pomerenom mnozeniku. Ako je vrednost para jednaka -1, delimicni proizvod je potpunom komplement pomerenog mnozenika. Ako je vrednost para jednaka 2, pomera se mnozenik za jos jedno mesto i to je delimicni proizvod. Ako je vrednost para jednaka -2, pomera se mnozenik za jos jedno mesto, pa se tako dobijeni broj potpuno komplementira i to je delimicni proizvod. 5. Kada se svi parovi upotrebe onda se sabiraju delimicni proizvodi i dobija se konacni proizvod. U najgorem slucaju broj koraka potreban za mnozenje bice jednak K/2 gde je K broj bita mnozioca. 13. Deljenje neoznačenih celih brojeva. Primeri. Deljenje neoznacenih celih brojeva je dosta slozenije nego mnozenje, ali se zasniva na slicnim principima. Deljenje binarnih brojeva se na papiru vrsi prema pravilima za deljenje dekadnih brojeva. 1. Porede se pocetak deljenika i delilac, na duzini delioca. Uzimamo da je pocetak delioca prvi delimicni ostatak. 2. Ukoliko je delilac veci od delimicnog ostatka u kolicnik se se upisuje 0, a ukoliko je delilac manji od delimicnog ostatka onda se u delilac upisuje Ukoliko je delilac manji od delimicnog ostatka, onda se on oduzima od del. ostatka i rezultat posle dodavanja naredne cifre deljenika postaje novi delimicni ostatak. 4. Predhodna dva koraka se vrse sve dok ima cifara deljenika. Ostatak se cita kao poslednji delimicni proizvod. A cifre u deljenik se upisuju sa leva na desno. Za Hardversku implementaciju ovog algoritma potrebna su tri registra M, A, P. 1. Na pocetku se u M upisuje delilac, u P se upisuje deljenik, a u A se upisuju nule. 2. Pomera se sadrzaj registara AP, gledajuci ih kao jedan registar, za jedno mesto ulevo. 3. Onda se porede sadrzaj registra M i A. Ukoliko je A>=M onda se od A oduzima M i taj rezultat se pise u registar A, a na bit najmanje tezine registra P se upisuje 1. Ukoliko je A<M onda nema oduzimanja, nego sadrzaj registra A ostaje isti, a na bit najmanje tezine registra P se upisuje Korake 2. i 3. izvrsavamo onoliko puta koliki je broj bitova u registrima.

20 5. Kolicnik se cita u registru P, a ostatak u registru A. 14. Deljenje označenih celih brojeva. Primeri. Deljenje oznacenih celih brojeva zapisanih u potpunom komplementu se vrsi uz pomoc slicnog algoritma koji se koristi za deljenje neoznacenih celih brojeva, samo malo prosiren. Takodje i ovde se koriste registri M, A i P, a broj koraka je jednak duzini registra u koji se upisuje delilac. 1. Na pocetku se u registar M upise delilac, a u registre AP posmatrane kao jedan se upise deljenik u potpunom komplementu duzine 2n. 2. Vrsi se aritmeticko pomeranje registara A i P za jedno mesto u levo, posmatranih kao jedan registar. 3. Porede se znaci registara A i M i ukoliko su isti vrsi se oduzimanje sadrzaja registra M od sadrzaja registra A, ukoliko su razlicitog znaka onda se vrsi sabiranje A+M. 4. Sada se porede znaci rezultata izracunavanja iz predhodnog koraka i registra A, i ako su isti operacija je uspesna. 5. Ukoliko je operacija uspesna onda se rezultat iz koraka 3. upisuje u registar A, a u najmanji bit registra P se upisuje 1. Ukoliko je operacija neuspesna A ostaje nepromenjeno, a u bit najmanje tezine registra P se upisuje Predhodna tri koraka se vrse n puta, gde je n broj bitova delioca. Sadrzaj u registru A je ostatak, a sadrzaj u registru P je kolicnik. 15. Binarno kodirani dekadni brojevi. Binarni kodovi. BCD zapis. Primeri. Zbog toga sto je nekada nemoguce tacno predstaviti dekadne razlomljene brojeve u binarnom brojevnom sistemu, doslo se na ideju da se svaka dekadna ciffra u zapisu broja posebno kodira pomocu binarnog zapisa. Za uspesno kodiranje svih cifara potrebno je da binarni kod sadrzi najmanje 4 binarne cifre. To daje veliki broj razlicitih kombinacija, ali posto su dosta njih neupotrebljivi, a i da bi se postoval pravila imamo neke osnovne zapise koji se danas koriste. Pravila su sledeca: 1. Kodiranje mora biti jednoznacno, tj razlicite dekadne cifre moraju biti rezlicito binarno kodirane 2. Najvecoj dekadnoj cifri 9, mora biti pridruzena kodirana rec koja ima najvecu vrednost posmatrana kao binarni broj 3. Parni i neparni brojevi moraju odgovarati parnim i neparnim binarnim brojevima 4. Kod je komplementaran kada je a+b=9, gde su a i b kodovi odgovarajucih dekadnih cifara

21 5. Kod je tezinski ako vazi da je q=p3*y3+p2*y2+p1*y1+p0*y0 Svi sem kodova visak 3 i ciklickog su tezinski, a komplementarni su 8421, , visak 3... Ozneceni binarno kodirani brojevi poseduju dodatnu cifru u koju upisujemo znak broja, a za njihov zapis koristimo ZAV i 10-ti komplement. Kod visak 3 je popularan bio u kalkulatorima jer daje mogucnost da se brojevi [0, 49999] tretiraju kao pozitivni, a [50000, 99999] kao negativni kod-(0000-0, ,..., , ) visak 3-(0011-0, , ,..., , ) Postoje pakovani i nepakovani BCD zapis. Kod nepakovanog zapisa problem je sto za zapis jedne cifre koristimo ceo jedan registar, odnosno dupliramo informacije. Levi polu-bajt koristimo kao neki kontrolni deo u njega stalno upisujemo F(u EBCDIC, a 3 u ASCII), sem u poslednjem bajtu gde u levi polubajt upisujemo C za pozitivne, odnosno D za negativne brojeve. U desni, odnosno cifarski polu-bajt upisujemo binarno kodiranu cifru. Da bi se ustedelo na prostoru izbaceni su ti kontrolni karakteri, pa se u jedan bajt mogu upisati dva binarno kodirana dekadna broja, sem u zadnji u koji se u desni polu-bajt upisuje znak broja(c za plus, D za minus). 16. Grejovi kodovi i karakteristike. Konverzija u Grejov kod i obratno. Primeri. Grejov kod je slican ciklickom kodu. To je funkcija G(n, i) koja 1-1 preslikava broj i u binarni kod duzine n, a kodovi G(n, i) i G(n, i+1) se razlikuju za tacno jedan bit. Postoji vise Grejovih kodova. Grejov kod se koristi u karnoovim mapama. Postoji efikasan algoritam za konvertovanje broja zapisanog u binarnom sistemu u Grejov kod i vrsi se sa leva na desno. 1. Cifra najvece tezine se kopira, a ostale cifre se odredjuju po formuli 2. Dekodiranje Grejovog koda se vrsi takodje po formuli, a cifra najvece tezine se kopira.

22 (+) je ekskluzivna disjunkcija, ima vrednost 1, samo kada su clanovi razliciti, inace je 0. Binarni broj: Grejov kod: Binarni broj: Čen-Ho kodiranje. DPD kodiranje. Karakteristike. Primeri. Posto je za kodiranje jedne dekadne cifre potrebno 4 bita, za 3 cifre je potrebno 12 bitova, pa u vecini slucajeva dolazi do gubitka prostora. IBM naucnici su 1971 dosli na ideju da bi mogli nekako optimizovati zapis ovih binarnih kodova i zakljucili da je za kodiranje tripleta dekadnih cifara dovoljno 10 bita, sto je 20% poboljsanja. Postoje Chen-Ho i DPD(2002) kodiranje, ali ideja im je u sustini ista. Cifre su podelili na male [0, 7] i velike [8, 9]. da bi se razlikovale male cifre potrebno je 3 bita, a za razlikovanje velikih samo jedna, pa po tome razlikuju sledece slucajeve: 1. Sve cifre su male potrebno 9 bitova za cifre i 1 za kombin. 2. Jedna cifra je velika, 7 bitova za cifre i 3 bita za kombin. 3. Dve cifre su velike, 5 bitova za cifre i 5 za kombinaciju 4. Sve cifre su velike, 3 bita za cifre i 7(5) za kombinaciju Kodiranje je proces u kome se 12-bitna kombinacija (abcd)(efgh)(ijkl) kodira u 10-bitnu kombinaciju(p)(qrs)(tuv)(wxy) kod Chen-Ho, odnosno u (pqr)(stu)(v)(wxy) kod DPD kodiranja. Kodiranje se vrsi prema tabeli, ali je moguce i softverski implamentirati pomocu logickih funkcija. Dekodiranje je proces odredjivanja vrednosti 12-bitne kombinacije (abcd)(efgh)(ijkl) na osnovu 10-bitne kombinaciju(p)(qrs)(tuv)(wxy) kod Chen-Ho, odnosno (pqr)(stu)(v)(wxy) kod DPD kodiranja. Takodje se i dekodiranje moze implementirati pomocu logickih funkcija. Glavne prednosti DPD u odnosu na Chen-Ho su: 1. Pri kodiranju jedne ili dve cifre stedi se prostor, dok kod Chen-Ho kodiranja uvek za 3 cifre treba 10 bita. 2. Pri kodiranju jedne ili dve cifre vrsi se desno poravnanje tako da pri prosirivanju zapisa nije potrebno ponovo kodirati broj, dok kod Chen-Ho kodiranja je neophodno ponovno kodiranje.

23 3. Brojevi od [0, 79] su desno poravnati kao i u BCD8241 zapisu, sto olaksava konverziju, dok su kod Chen-Ho kodiranja poravnani samo u intervalu [0, 7] Uzecemo kao primer kodiranje broja 596: Chen-Ho kodiranje: DPD kodiranje: abcd efgh ijkl abcd efgh ijkl p qrs tuv wxy pqr stu v wxy Sabiranje i oduzimanje binarno kodiranih dekadnih brojeva u kodu 8421 i višak 3. Primeri. Za sabiranje i oduzimanje binarno kodiranih dekadnih brojeva vaze pravila koja vaze za sabiranje i oduzimanje u znaku i apsolutnoj vrednosti. A prekoracenje moze da se javi samo kada se sabiraju ili oduzimaju dva broja istog znaka, tj kada je za zapis potrebna n+1 cifra. Prekoracenje se lako otkriva, kao i kod celih brojeva. Sabiranje i oduzimanje se vrsi u dve faze: 1. Binarni kodovi svake od dekadnih cifara u sabircima se sabiraju se kao cetvorocifreni binarni brojevi, prema pravilima za sabiranje celih neoznacenih brojeva. Ako se pri ovom sabiranju javi prekoracenje ono se prenosi i sabira sa zbirom na narednom cifarskom mestu. Prenos na cifarsko mesto najmanje tezine je 0. Ovo je medjurezultat koji se mora korigovati. 2. U drugom koraku se za svako cifarsko mesto odredjuje korekcija u odnosu na dobijeni zbir ili prenos na sledece cifarsko mesto. Konacan rezultat je jednak zbiru korekcije i medjurezultata. Oduzimanje se vrsi analogno sabiranju, samo sto se u obe faze brojevi ne sabiraju, vec oduzimaju. Sabiranje i oduzimanje u kodu 8421: Funkcija kodiranja u ovom zapisu je definisana kao prevodjenje dekadne cifre u binarni brojevni sistem.

24 1. Prva faza je analogna opstem algoritmu, odnosno sabiraju se binarni kodovi za svake od dekadnih cifara u sabircima prema pravilima za sabiranje neoznacenih celih brojeva, a ako se javi prekoracenje ono se sabira sa zbirom na narednom cifarskim mestom. Tako dobijamo medjurezultat. 2. Sabiramo binarne kodove iz medju rezultata sa prenosom koji se javja u ovoj fazi. Prenos na najmanju tezinu je 0. Onda u zavisnosti od zbira koji smo dobili odredjujemo korekciju za to cifarsko mesto. Ako je dobijeni zbr >=1010 ili postoji prenos ne poziciju vece tezine u prvom koraku, onda za korekciju uzimamo 0110, a inace korekcija je Tako dobijenu korekciju sabiramo sa novim medjurezultatom, a ako ima prenosa sabiramo ga sa narednim medjuzbirom iz prvog koraka i ponavljamo ovaj korak n puta. Ovako dobijeni zbir je konacan. Prekoracenje se javlja, ako se prenos javi sa pozicija najvece tezine bilo u prvom ili drugom koraku. Oduzimanje se radi analogno sabiranju, samo sto se u obe faze vrsi oduzimanje umesto sabiranja. Sabiranje i oduzimanje u kodu visak 3: Funkcija kodiranja u ovom zapisu definisana je. 1. Prva faza je ista kao i u kodu 8421 ili opstem algoritmu. 2. Druga faza se sprovodi na slican nacin kao i u kodu Medjurezultat dobijen u prvoj fazi je potrebno sabrati sa korekcijom, koju u ovom slucaju odredjujemo na osnovu toga da li je u prvoj fazi postojao prenos na naredno cifarsko mesto. Ako jeste korekcija je 0011, a u suprotnom je Krajnja vrednost se dobija sabiranjem ove korekcije sa medjurezultatom iz prve faze. Ako dodje do prekoracenja ono se zanemaruje. Prekoracenje se javlja samo u slucaju da je prenos sa cifarskog mesta najvece tezine jednak Zapis realnih brojeva u pokretnom zarezu pomoću binarne osnove u ne-ieee 754 formatu. Zapis realnog broja se sastoji od sledećih komponenti:

25 ~znaka broja ~frakcije i ~eksponenta. Tipican predstavnik racunara koji su koristili zapis sa binarnom osnovom su familije PDP-11 i VAX-11 firme DEC. Zapis u registru duzine 32 bita pomocu binarne osnove prikazan je na sledecoj slici: Znak broja Eksponent sa uvecanjem 128 Frakcija Znacajni deo broja se zapisuje u obliku znaka i apsolutne vrednosti. Znak znacajnog dela broja je istovremeno i znak broja. Upisuje se u bit najvece tezine i ima vrednost 0 za pozitivne i 1 za negativne brojeve. Apsolutna vrednost se prevodi u binarni sistem i zapisuje u normalizovanom obliku uz dodatnu modifikaciju. Umesto oblika d 0,d-1d-2..d-(p-1) koristi se oblik 0,d0d-1d-2..d-(p-1) s tim da se frakcija zapisuje sa 23 (0-22)binarne pozicije umesto sa 24, zbog toga sto d0 mora da bude jednak jedinici, pa se on izostavlja. Pa bi frakcija broja izgledala : d-1d-2...d-(p-1) Eksponent se zapisuje u 8 bita na pozicijama od Vrednost eksponenta se zapisuje uz uvecanje 128. Vrednost eksponenta koji moze da se zapise pripada intervalu [-128, +127], odnosno sa uvecanjem [0, 255]. Za vrednost s, kojom se predtavlja frakcija vazi: Na osnovu prethodnog mogu se zapisati brojevi u intervalu Medjutim kako predstavlja 0, opseg brojeva koji se mogu predstaviti na ovakav nacin je: Odnosno dekadno: Pokusaj da se yapise broj veci od dovodi do pozitivnog ili negativnog prekoracenja, u zavssnosti od znaka broja. Pri zapisu realnog broja u pokretnom zarezu moze do potkoracenja, potkoracenje se javlja pri pokusaju zapisa broja koji je po apsolutnoj vrednosti manji od donje granice intervala brojeva koji se mogu predstaviti u zapisu U tom slucaju racunar generise informaciju

26 da je doslo do potkoracenja, zapise takav broj kao 0 i nastavi dalje sa radom. Potkoracenje takodje moze biri pozitivno i negativno. Realan broj se zapisuje u dvostrukoj tacnosti pomocu dva uzastopna registra velicine 32 bita. Format zapisa u prvom registru je identican formatu zapisa u jednostukoj tacnosti, dok se ceo drugi registar koristi za registrovanje dodatnoh cifara frakcije, dok eksponent ostaje isti.interval realnih brojeva koji mogu da se predstave u dvostrukoj tacnosti je: 21. IEEE 754 zapis realnih brojeva i karakteristike. Opis standarda IEEE Zbog lose prenosivosti numerickih programa, lose kompatibilnosti na drugim racunarima 1985 godine uveden je IEEE 754 standard za zapis realnih brojeva u pokretnom zarezu. On je propisivao neka pravila, algoritme za izvodjenje aritmetickih operacija, kao i zaokruzivanja tih brojeva. 1. Zaokruzivanje i greske. Neke brojeve u pokretnom zarezu ne mozemo uvek predstaviti pomocu izabranog broja bitova, tako da ih moramo zaokruziti i pri tome se javlja greska koja se moze izraziti u UPL-ima ili kao relativna greska. Greska u ulpima je greska jedinica na poslednjem mestu. A relativna greska je apsolutna vrednost razlike broja i njegove reprezentacije, koju delimo apsolutnom vrednoscu broja. ULP se koristi kada zelimo da odredimo gresku prilikom zaokruzivanaj, dok za analizu greske prilikom izracunavanja koristimo relativnu gresku. Oba nacina su vezana za masinsko E, a oba se takodje mogu koristit za odredjivanje reda velicine greske. 2. Cifre cuvari sluze da se prilikom izracunavanja smanje greske, tako sto se brojevi zapisuju sa vecom preciznoscu, pa se posle zavrsene operacije svedu na staru preciznost. U nekim slucajevima nije dovolja jedna cifra cuvar, pa se negde koriste i dve cifre cuvara. 3. Tacno zaokruzene operacije se sastoje u tome da se rezultat po zavrsetku operacije zaokruzi na najblizi realan broj u pokretnom zarezu, tako se dobije veca preciznost nego pomocu cifara cuvara. Zbog nemogucnosti predstavljanja svih dekadnih realnih brojeva pomou binarne osnove, kao i zbog blizine dekadne osnove ljudima doslo se na ideju da se u standard uvede i dekadna osnova. Kao nacin kodiranja je predlozen BCD, koji je poslednjih godina promenjen u DPD.

27 Dekadna osnova bi morala da zadovoljava uslove kao sto su: 1. Brojevi se zapisuju u registrima, u istom prostoru koji je potreban za zapis brojeva u binarnoj osnovi 2. Format zapisa ukljucuje znak, frakciju i eksponent 3. Potrebno je obezbediti bar zapis u jednoj od jednostruke, dvostruke ili cetvorostruke tacnosti 4. Omoguciti tacan zapis dekadnih cifara bez konverzije 5. Preciznost da bude slicna preciznoscu pri zapisu sa binarnom osnovom 6. Specijalne vrednosti 7. Pravila za izvodjenje operacija IEEE standard: Cilj je bio da se uklone neki postojeci nedostatci, da se uvedu neke operacije, da se olaksa prenos i konverzija izmedju realnih i celih brojeva... Propisuje: i 10 kao osnove za zapis brojeva u pokretnom zarezu 2. Osnovne foramte zapisa u dekadnoj i binarnoj osnovi 3. Formate za razmenu podataka zapisanih u dekadnoj i binarnoj osnovi 4. Prosirene i prosirive foramte zapisa 5. Nacin izvodjenja sabiranja, oduzimanja, mnozenja, deljenja, spojenog visestrukok sabiranja, poredjenja, dobijanja kvadratnog korena, ostatka pri deljenju Nacin konverzije izmedju celobrojnih i podataka zapsanih u pokretnom zarezu 7. Konverzija izmedju razlicitih tipova zapisanih u pokretnom zarezu 8. Nacin konverzije izmedju formata brojeva zapisanih u pokretnom zarezu i njihove spoljasnje reprezentacije 9. Vrste izuzetaka i nacin njihove obrade Osnovni tipovi zapisa: oo ili -oo 3. qnan ili snan Opseg brojeva zavisi od osnove, broja cifara u frakciji(preciznosti), najvece vrednosti exponenta EMAX i najmanje vrednosti exponenta EMIN.

28 22. Predstavljanje specijalnih vrednosti u IEEE 754 zapisu realnih brojeva. Primeri. Normalizovani brojevi poseduju eksponent e pripada [e min, e max], implicitni bit je 1, dok frakcija moze da ima proizvoljnu vrednost. NaN (Not a number) NaN-ovi se u IEEE 754 predstavljaju kao broj u pokretnom zarezu sa eksponentom e max +1 (sve jedinice) i frakcijom koja nije 0.Sadrzaj frakcije zavisi od konkretne implementacije na racunaru. U praksi se javljaju 2 grupe NaNova: 1) snan signalizira izuzeto stanje kod aritmetickih operacija, poredjenja i konverzija operacija koje su deo standarda. 1 ili Pocinje sa 0 i bar jedan bit razlicit od 0. 2) qnan predstavlja pojavu nedozvoljene operacije u programu. qnan se propagira kroz izracunavanje tako da ostaje vidljiv na njegovom kraju. Pri tome se ne signalizira pojava izuzeca. 1 ili Pocinje sa 1 i ostali prozivoljno. Bezkonacno se predstavlja u pokretnom zarezu sa eksponentom e max +1 (sve jedinice) i frakcijom koja je 0. U zavisnosti od znaka dobija se vrednost +beskonacno ili bezkonacno. 0 ili Oznacena 0 0 se predstavlja pomocu eksponenta e min -1 dok je frakcija jednaka 0. Kako znak moze da ima 2 razlicite vrednosti, to u standardu postoje 2 zapisa za 0 : +0 i -0. Da ne bi bilo razlike pre poredjenju +0 i -0 standardom je definisano da vazi da su one jednake. 0 ili Denoramlizovani brojevi Ako je vrednost frakcije f i ako je vrednost eksponenta e, kada je e> e min -1, broj se predstavlja kao 1,f*2^e, dok ako vazi e=e min -1, tada se broj predstavlja kao 0,f * 2^e +1. Bez denormalizovanih brojeva, svaki broj manji od 2^-26 je zamenjivan sa 0. Sa denormalizovanim brojevima granica je pomerena na 1,0 * 2^-149 (frakcija sadrzi samo 1 na poslednjem mestu.) Na taj nacin se postize postepeno potkoracenje. 1 ili Bar jedan bit razlicit od 0.

29 23. Osnovni formati zapisa u IEEE 754. Formati za razmenu/binarna osnova. Karakteristike. Primeri. IEEE 754 propisuje 5 osnovnih formata za zapis: 1. Tri formata zapisa sa binarnom osnovom sa preslikavanjem u 32, 64 i 128 bita 2. Dva formata zapisa sa dekadnom osnovom sa preslikavanjem u 64 i 128 bita Podaci zapisani u osnovnim formatimase koriste u aritmetickim operacijama, a da bi implementacija bila u skladu sa standardom mora se implementirati bar jedan od ovih formata. binary32(p=24, emax=127) binary64(p=53, emax=1023) binary128(p=113, emax=16383) decimal32(p=7, emax=101) decimal64(p=16, emax=384) decimal128(p=34, emax=6144) Mora se omoguciti predstavljanje sledecih brojeva u pokretnom zarezu: 1. Oznacenih nula i ne nula brojeva oblika (-, tako da vazi da s=(0, 1),, m je tipa d_0,d_1...d_(p-1) 2. Dve beskonacne vrednosti +oo i -oo 3. Dve NaN vrednosti i to qnan i snan U nekim slucajevima se frakcija predstavlja kao ceo broj umesto kao razlomljen i u tom slucaju se konacan broj u pokretnom zarezu predstavlja kao oznacena nula ili ne-nula vrednost obliak gde je s=(0,1), emim<=q+p-1<=emax, a C je broj predstavljan sa d_0...d_(p-1) Binarna osnova: U formatu za razmenu podataka zapisanih pomocu binarne osnove se svaki broj u pokretnom zarezu zapisuje na jedan nacin. Da bi ovo bilo pravilo izvedeno frakcija se povecava dok exponent smanjujemo, sve dok e=emin ili m>=1. Ako je e=emin i 0<m<1 onda smo dobili subnormalan broj u pokretnom zarezu. Format zapisa je sledeci sa leva na desno: 1. Znak broja S velicine 1 bit 2. Uvecani exponent E=e+uvecane zapisan u W bita 3. Frakcija ili znacajan deo d_1...d(p-1) zapisan u duzini T=p-1 bita, a vodeci ili implicitni bit je zapisan u uvecanom exponentu Standarad definise formate za razmenu podataka zapisanih upomocu binarne osnove

30 velicine 16, 32, 64 i 128 bita. Formati binary32 i bynary64 odgovaraju zapisu u jednostrukoj i dvostrukoj tacnosti. Mozemo zapisati i broj u bilo kom broju bita koji je veci od 128, a umnozak je 32. binary16(duz_exp=5, uvecanje=15, prec=11, min=, max= ) binary32(duz_exp=8, uvecanje=127, prec=24, min=, max= ) binary64(duz_exp=11, uvecanje=1023, prec=53, min=, max= ) binary128(duz_exp=15, uvec=16383, prec=113, min=, max= ) +15= oo= = Osnovni formati yapisa u IEEE754. Formati za razmenu/dekadna osnova/ dekadno enkodiranje. Karakteristike. Primeri. IEEE 754 propisuje 5 osnovnih formata za zapis: 1. Tri formata zapisa sa binarnom osnovom sa preslikavanjem u 32, 64 i 128 bita 2. Dva formata zapisa sa dekadnom osnovom sa preslikavanjem u 64 i 128 bita Podaci zapisani u osnovnim formatimase koriste u aritmetickim operacijama, a da bi implementacija bila u skladu sa standardom mora se implementirati bar jedan od ovih formata. binary32(p=24, emax=127) binary64(p=53, emax=1023) binary128(p=113, emax=16383) decimal32(p=7, emax=101) decimal64(p=16, emax=384) decimal128(p=34, emax=6144) Mora se omoguciti predstavljanje sledecih brojeva u pokretnom zarezu: 1. Oznacenih nula i ne nula brojeva oblika, tako da vazi da s=(0, 1), emin<=e<=emax, m je tipa 2. Dve beskonacne vrednosti +oo i -oo 3. Dve NaN vrednosti i to qnan i snan U nekim slucajevima se frakcija predstavlja kao ceo broj umesto kao razlomljen i u tom slucaju se konacan broj u pokretnom zarezu predstavlja kao oznacena nula ili ne-nula vrednost obliak gde je s=(0,1), emim<=q+p-1<=emax, a C je broj predstavljan sa

31 Dekadna osnova DPD: Realan broj moze da ima vise reprezentacija pomocu dekadne osnove i skup svih tih razlicitih reprezentacija se naziva KOHORTE. Za konacan ne-nula broj od n cifara postoji maximalno n-p+1 clanova kohorte, a za broj koji se nalazi blizu granica intervala moze imati manje od n-p+1 clanova. Dok nula ima mnogo vise clanova kohorte. Bilo da je u pitanju konacan broj, beskonacno ili NaN vrednost moze se zapistai na vise razlicitih nacina, ali samo jedan nacin zapisa je kanonicki zapis. Zbog nepostojanja slaganja u standardu su predvidjene dve mogucnosti za zapis i one su nazvane binarno i dekadno enkodiranje. Dekadno enkodiranje se lakse koristi u hardverskoj implementaciji, dok je za softversku implementaciju bolje binarno. A bez obzira koje kodiranje se koristi skup vrednosti koje mogu da se predstave isti je i korisnik ne mora da vodi racuna koji nacin koristi. Takodje je i omogucena i konverzija. 1. Znak broja S velicine 1 bit 2. Polje za kombinaciju velicine w+5bita koje kodira: a) klasifikaciju(konacan, oo, NaN...) b) za konacne brojeve uvecani exponent je velicine w+2 bita c) cifru najvece tezine znacajnog dela za DPD ili 3-4 cifre najvece tezine frakcije kod BID 3. Ostatak T frakcije koji sadrzi 10*J bita, tako da je omogucen zapis 3*J+1 cifre u dekadnom sistemu Standard definise format za razmenu podataka zapisanih pomocu dekadne osnove najmanje velicine 32bita, a naravno i bilo koje velicine koji je umnozak od 32. Odredjivanje reprezentacije vrsimo pomocu 5 bitova najvece tezine u zapisu kombinacije 1. Ukoliko su tih 5 bitova jednaki 11111, vrednost je NaN. Ukoliko je ( )=1 vrednost je snan, a inace qnan. Ostali bitovi kombinacije su nebitni. 2. Ukoliko su tih 5 bitova jednaki 11110, vrednost je oo (Infinity), a ostali bitnovi kombinacije se zanemaruju, a po kanonu su jednaki nuli kao i kod NaN vrednosti. 3. Ukoliko su tih 5 bitova izmedju u pitanju je konacan broj i

32 tu imamo sledece mogucnosti: a) 5 bitova u intervalu 0xxxx-10xxx tada su dva bita najvece tezine exponenta, kodiraju cifru na najvecoj poziciji frakcije, a ostali bitovi kombinacije cine nastavak exponenta. b) 5 bitova u intervalu od 110xx-1110x onda je vrednost cifre najvece tezine frakcije je 100( ),pocetak exponenta je, a nastavak frakcije krece od do kraja. c) Ako je frakcija jednaka 0, a prvih 5 bita kombinacije su 00000, ili onda se radi o oznacenoj nuli. Frakcija sadrzi 3*J dekadnih cifara koje su DPD enkodirane. Nacin kodiranja ne utice na izbor velicine uvecanja exponenta i broja cifara u znacajnom delu. decimal32(duz_exp=8, uvec=101, prec=7, min= max= ) decimal64(duz_exp=10, uvec=398, prec=16, min=, max= ) decimal128(duz_exp=14, uvec=6176, prec=16, min=, max= ) +15= = Osnovni formati zapisa u IEEE 754. Formati za razmenu/dekadna osnova/binarno enkodiranje. Karakteristike. Primeri. IEEE 754 propisuje 5 osnovnih formata za zapis: 1. Tri formata zapisa sa binarnom osnovom sa preslikavanjem u 32, 64 i 128 bita 2. Dva formata zapisa sa dekadnom osnovom sa preslikavanjem u 64 i 128 bita Podaci zapisani u osnovnim formatimase koriste u aritmetickim operacijama, a da

33 bi implementacija bila u skladu sa standardom mora se implementirati bar jedan od ovih formata. binary32(p=24, emax=127) binary64(p=53, emax=1023) binary128(p=113, emax=16383) decimal32(p=7, emax=101) decimal64(p=16, emax=384) decimal128(p=34, emax=6144) Mora se omoguciti predstavljanje sledecih brojeva u pokretnom zarezu: 1. Oznacenih nula i ne nula brojeva oblika, tako da vazi da s=(0, 1), emin<=e<=emax, m je tipa 2. Dve beskonacne vrednosti +oo i -oo 3. Dve NaN vrednosti i to qnan i snan U nekim slucajevima se frakcija predstavlja kao ceo broj umesto kao razlomljen i u tom slucaju se konacan broj u pokretnom zarezu predstavlja kao oznacena nula ili ne-nula vrednost obliak gde je s=(0,1), emim<=q+p-1<=emax, a C je broj predstavljan sa Dekadna osnova BID: Realan broj moze da ima vise reprezentacija pomocu dekadne osnove i skup svih tih razlicitih reprezentacija se naziva KOHORTE. Za konacan ne-nula broj od n cifara postoji maximalno n-p+1 clanova kohorte, a za broj koji se nalazi blizu granica intervala moze imati manje od n-p+1 clanova. Dok nula ima mnogo vise clanova kohorte. Bilo da je u pitanju konacan broj, beskonacno ili NaN vrednost moze se zapistai na vise razlicitih nacina, ali samo jedan nacin zapisa je kanonicki zapis. Zbog nepostojanja slaganja u standardu su predvidjene dve mogucnosti za zapis i one su nazvane binarno i dekadno enkodiranje. Dekadno enkodiranje se lakse koristi u hardverskoj implementaciji, dok je za softversku implementaciju bolje binarno. A bez obzira koje kodiranje se koristi skup vrednosti koje mogu da se predstave isti je i korisnik ne mora da vodi racuna koji nacin koristi. Takodje je i omogucena i konverzija. 1. Znak broja S velicine 1 bit 2. Polje za kombinaciju velicine w+5bita koje kodira: a) klasifikaciju(konacan, oo, NaN...)

34 b) za konacne brojeve uvecani exponent je velicine w+2 bita c) cifru najvece tezine znacajnog dela za DPD ili 3-4 cifre najvece tezine frakcije kod BID 3. Ostatak T frakcije koji sadrzi 10*J bita, tako da je omogucen zapis 3*J+1 cifre u dekadnom sistemu Standard definise format za razmenu podataka zapisanih pomocu dekadne osnove najmanje velicine 32bita, a naravno i bilo koje velicine koji je umnozak od 32. Odredjivanje reprezentacije vrsimo pomocu 5 bitova najvece tezine u zapisu kombinacije 1. Ukoliko su tih 5 bitova jednaki 11111, vrednost je NaN. Ukoliko je 1 vrednost je snan, a inace qnan. Ostali bitovi kombinacije su nebitni. 2. Ukoliko su tih 5 bitova jednaki 11110, vrednost je oo (Infinity), a ostali bitnovi kombinacije se zanemaruju, a po kanonu su jednaki nuli kao i kod NaN vrednosti. 3. Ukoliko su tih 5 bitova izmedju u pitanju je konacan broj i tu imamo sledece mogucnosti: a) Ukoliko su jednaki 00, 01 ili 10 onda se uvecani exp formira od prvih w+2 cifre(8, 10, 14), a ostale 3 cifre su pocetak frakcije b) Ukoliko su jednaki 11, a su 00, 01 ili 10 onda se exponent formira od pa do predposlednje cifre, a prve 4 cifre frakcije su je poslednja cifra kombinacije Nastavak frakcije sadrzi 20binarnih cifara koji sa pocetkom daju ukupno 7 dekadnih cifara koje se mogu predstaviti u ovom obliku. Nacin kodiranja ne utice na izbor velicine uvecanja exponenta i broja cifara u znacajnom delu. decimal32(duz_exp=8, uvec=101, prec=7, min= max= ) decimal64(duz_exp=10, uvec=398, prec=16, min=, max ) decimal128(duz_exp=14, uvec=6176, prec=16, min=, max )

35 +15= = Prošireni i proširivi zapis u IEEE 754. Načini zaokruživanja. Primeri. Prosireni i prosirivi zapis u IEEE 754: Standard preporucuje koriscenje prosirenog i prosirivog zapisa radi povecanja preciznosti u operacijama koje zahtevaju vecu preciznost od one koju pruzaju preciznosti u osnovnim formatima zapisa. Prosireni zapis se definise kao format koji prosiruje podrzane osnovne formate zapisa, kako po preciznosti, tako i po opsegu exponenta. Prosirivi zapis se definise kao format zapisa kod koga korisnik odredjuje velicine preciznosti i opsega. Standard ne propisuje tacno granice parametara, ali oni moraju zadovoljit karakteristike odgovarajucih formata za razmenu. binary32(preciznost=32, emax=+1023) binary64(preciznost=64, emax=+16383) binary128(preciznost=128, emax=+65535) decimal64(preciz=22, emax=+6144) decimal128(preciz=40, emax=+24576) Zaokruzivanje u IEEE 754: Uzima se broj za koji se smatra da je zapisan sa beskonacnom tacnoscu, a ako je potrebno modifikuje se da se uklopi u zeljeni format. Prvo se formira medjurezultat koji je sa beskonacnom tacnoscu i preciznoscu koja je neogranicene, a zatim se zaokruzi prema nekom nacinu. 1. Zaokruzivanje na najblizu vrednost a) Zaokruzivanje na parnu cifru- Medjurezultat izracunavanja se zaokruzuje na najblizu predstavljivu vrednost, a ako se nalazi na sredini intervala izmedju dve predstavljive vrednosti zaokruzuje se na parnu cifru.

36 b)zaokruzivanje na udaljeniju vrednost-medjurezultat izracunavanja se zaokruzuje na najblizu predstavljivu vrednost, uz zaokruzivanje na vecu(po apsolutnoj) ukoliko se nalazi na sredini intervala medju dve predstavljive vrednosti. 2. Usmereno zaokruzivanje a) Zaokruzivanje ka pozitivnom-jos se naziva i zaokruzivanje ka +oo jer se rezultat zaokruzuje na vecu vrednost. Moze se izvrsiti doda vanjem jedinice na mesto od koga se odbacuju ostale cifre za broj koji je pozitivan ili jednostavnim odsecanjem cifara sa desna b) Zaokruzivanje ka negativnom-jos se naziva i zaokruzivanje ka -oo jer se rezultat zaokruzuje na manju vrednost. Moze se izvrsiti oduzimanje jedinice na poslednjem mestu od koga se odbacuju ostale cifre za broj koji je negativan ili jednostavnim odsecanjem cifara sa desna za ostale brojeve c) Zaokruzivanje ka nuli-rezultat je broj koji je najblizi broju, a ne veci po apsolutnoj vrednosti. Jednostavno se odseku sve cifre sa desne strane 27. Aritmetičke operacije u pokretnom zarezu (IEEE754 format). Primeri ARITMETIKA U POKRETNOM ZAREZU Osnovne arimtičke operacije u pokretnom zarezu se vrše u skladu sa pravimila aritmetičkih operacija za stepene jednakih osnova. Pri izvodjenju operacija eksponenti I frakcije brojeva se tretiraju kao brojevi u nepokretnom zarezu I to eksponenti kao celi neožnačeni brojevi a frakcija kao razlomljeni brojevi( za zapis sa binarnom osnovom) odnosno kao celi ( za zapis sa dekadnom osnovom). Pri tome se eksponent I frakcija čuvaju u odvojenim registrima, ali po završetku izračunate vrednosti eksponenta I frakcije se ponovo spajaju I formira se broj u pokretnom zarezu koji je rezultat operacije. Postoje odredjene specifičnosti koje se javljaju kod brojeva zapisanih pomoću dekadne osnove. Jedna od njih je izračunavanje dekadnog eksopnenta. Pošto realni broj u pokrentnom zarezu zapisan pomoću dekadne osnove može da ima više reprezentacija, aritmetika sa dekadnim brojevima uključuje I izbor odgovarajuće kohorte. U slučaju da operacija sa dekadnim brojevima ne proizvodi tačan broj kao rezultat da bi se dobio najveći brog značajnih cifara koristi se član kohorte sa najmanjim eksponentom. Ako je rezultat tačna vrednost, bira se član kohorte zasnovan na ciljanom eksponentu za rezultat operacije. Ciljani eksponent je fu nkcija od eksponenata ulaznih operanada.

37 SPECIJALNE VREDNOSTI U ARITMETIČKIM OPERACIJAMA Podaci koji učestvuju u aritmetici operacija mogu da pripadaju bilo kojoj od IEEE klasa podata. Ako podatak predstavlja normlana broj, subnormalna broj ili nulu, rezultat se dboja u skladu sa uobičajnim načinom izračunavanja. Pravilo za odredjivanje rezultata operacije koja ima beskonačno kao operand je jednostavno: zameni se sa konačnim brojem x I odredi granica kada x. Ako pak granica kada x ± ne postoji, tada je rezultat NaN. Ako je jedan od argumenata izraza NaN, tada je rezultat NaN, a ako je artument ± tada crednost izzraza može da bude važeći broj u pokretnom zarezu. Aritmetičke operacije I operacije prevodjenja sa beskonačnim vrednostima uvek kao rezultat daju važeću vrednost u skaldu sa metamatičkim pravilima. Kao što je već rečeno, važi - < bilo koji konačan broj < + Operacije sa beskonačnostima su obično tačne I ne generišu izuzetke. Sa izuzetkom operacija koje proizvode QNaN svaka aritmetička operacija koja uključuje takođe daje kao rezultat. Obe NaN vrednosti su podržane u svim aritmetičkim operacijama. Signalni NaN označava prisustvo neinicijalizovanih promenljivih, pogrešne operacije ili proširenja u aritmetici koja nisu deo statndarda. Tihi NaN može da označi postojanje informacija o pogrešnim ili postojećim podacima I rezultatima. Preporuka je da se što je moguće više takvih dijagnostičkiih informacija prosledjuje kroz operacije tako što će rezultat operacije u kojima učestvuje NaN takodje biti NaN. SABIRANJE I ODUZIMANJE Neka su brojevi x I y zapisani u pokretnom zarezu kao I neka treba izračunati njihov zbir I razliku. Pri izvodjenju operacija treba voditi računa o generisanju I propagaciji sprecijalnih vrednosti. Osnovni koraci u algoritmu za sabiranje I oduzimanje su: 1. Provera postojanja specijalnih vrednosti. Ukoliko je neki od argumenata operacije specijalna vrednost, rezulatat se odredjuje po odgovarajućim pravilima. 2. Oduzimanje x-y se realizuje kao x+ (-y) uz prethodnu promenu znaka argumentu y. 3. Ukoliko je jedan od sabiraka jednak nuli, vrednost drugog sabirka je razultat sabiranja. 4. Svodjenje sabiraka na iste eksponente. Svodjenje e vrši povećavanjem manjeg eksponenta uz istovremeno pomeranje cifara frakcije udesno. Pomeranje udesno se vrši za onoliko mesta za koliko je povećana vrednsot eksponenta. Ako pri pomeranju značajni deo postane nula, tada vrednost drugog sabirka postaje vrednost rezultata. 5. Sabiranju se frakcije sabitaka, pri čemu se uzimaju u obzir njihovi znaci. Sabiraje se vrši po pravilima za sabiranje celih brojeva u zapisu znak I apsolutan vrednost. Ukoliko je dobijeni rezultat nula, tada je ukupan zbir nula. Ako je pri sabiranju došlo do prekoračenja, dobijeni rezulatat se pomera za jedno mesto udesno uz povećanje vrednosti eksponenta za jedan. Ako ovo povećanje vrednosti eksponenta dovede do prekoračenja, ukupan rezultat sabiranje je + ili - u zavisnosti od znaka broja. 6. Tražen zbir predstavlja broj u pokretnom zarezu čiji su znak I frakcija jedanki znaku I frakciji delova sabiraka, a eksponent jednak eksponentu sabiraka. Ako u rezultatu sabiranja frakcija nije normalizovana ili nije predstavljena pomoću ciljanog eksponenta, pokušava se njegova normalizacija odnosno traži ciljani eksponent. Ukoliko je tom prilikom došlo do

38 potkoračenja vrednosti eksponenta, ukupan zbir je nula, dok se u ostalim slučajevima po potrebi vrši zaokruživanje I formira traženi zbir. MNOŽENJE I DELJENJE Neka su brojevi x I y zapisani u pokretnom zarezu I neka treba izračunati njih proizvod ili količnik. 1. Proverava se postojanje specijalnih vrednosti. Ukoliko neki od argumenata operacije predstavlja specijalnu vrednost, rezultat se odredjuje prema odgovarajućim pravilima. 2. Ukoliko je bar jedan od činilaca jednak nuli, rezultat je Sabru se vrednosti eksponeta I od dobijenog zbira oduzme uvećanje. Ako je došlo do prekoračenja pri ovom sabiranju, krajnji rezultat je ± u zavisnosti od znaka brojeva x I y. ako je pak došlo do potkoračenja rezultat je pozitivna ili negativna nula. 4. Množe se frakcije. Množenje se vrši prema pravilima za množenje celih brojeva zapisanih pomoću znaka I apsolutne vrednosti. 5. Dobijeni rezultata se normalizuje, odnosno odredi se ciljani eksponent sličnim postupkom kao kod sabiranja. 6. Broj cifara u proizvodu je dvostruko veći od broja cifara vrednosti oje su pomnoženje; cifre koje su višak se odbacuju u procesu zaokruživanja. Osnovni koraci u algoritmu za deljnje su: 1. Proverava se postojanje specijalnih vrednosti. Ukoliko je neki od argumenata operacije specijalna vrednost, rezultat se odredjuje prema odgovarajućim pravilim 2. Ako je delilac nula, tada Ako je delilac različit od 0, količnik je ± u zavisnosti od znaka x Ako je deljenik =0, tada je rezultat NaN 3. Oduzmu se vrednosti eksponenata i na dobijenu razliku doda uvećanje. Ako je došlo do prekoračenja pri ovom sabiranju, krajnji rezultat je ± u zavisnosti od znaka brojeva x i y. Ako je pak došlo do potkoračenja vrednosti eksponenta, krajnji rezultat je pozitivna ili negativna (u zavisnosti od znaka brojeva x i y) nula. 4. Podele se značajni delovi brojeva. Deljenje se vrši prema pravilima za deljenje celih brojeva zapisanih pomoću znaka I apsolutne vrednosti. 5. Dobijeni rezultat se normalizuje, odnosno odredi se ciljani eksponent sličnim postupkom kao kod sabiranja. 6. Dobijeni količni se zaokružuje prema pravilima za zaokruživanje. 28. Zapis realnih brojeva pomoću heksadekadne osnove. Karakteristike. Primeri Tipican predstavnik racunara koji su koristili ovakav nacin zapisa je familija S/360 i S/370 firma IBM. Kao i u slucaju binarne osnove znacajan deo broja se zapisuje u obliku znaka i apsolutna vrednosta;

39 znak znacajnog dela broja je istovremeno i znak broja; upisuje se u bit najvece tezinei ima vrednost 0 za pozitivne i 1 za negativne brojeve. Frakcija znacajnog dela broja je takodje normalizovana; zapisuje se u 6 heksadekadnih cifara u 24 bita. Eksponent se zapisuje u 7 bita na pozicijama od Vrednost eksponenta se zapisuje u potpunom komplementu uz uvecanje 64. Vrednost eksponenata koji mogu da se zapisu pripadaju intervalu [-64,+63], odnosno [0,127] sa uvecanjem 64. Znak broj a Eksponent sa uvecanjem 64 Frakcija Za velicinu eksponenta e vazi: Za vrednost s kojom se predstavlja frakcija vazi: Kombinacijom ovih vrednosti dobija se interval brojeva koji mogu da se zapisu, odnosno. Pokusaj zapisa broja gde vazi da je apsolutno x vece od dovodi do pozitivnog ili negativnog prekoracenja u zavisnosti od znaka broja. Takodje pokusaj zapisa broja gde je apsolutno x manje od dovodi do pozitivnog ili negativnog (sto zavisi od znaka) potkoracenja. I u ovom slucaju realan broj u dvostrukoj tacnosti se zapisuje pomocu 2 uzastopna registra velicine 32 bita. Format zapisa u prvom registru je identican formatu zapisa u jednostrukoj tacnosti, dok se ceo drugi registar koristi za zapis dodatnih cifara frakcije broja. U ovom slucaju je interval realnih brojeva koji mogu da se predstave u dvostrukoj tacnosti. 29. Brojčani sistemi sa ostacima. Karakteristike. Modularna aritmetika. Primeri Brojčani sistem sa ostacima je pozicioni brojčani sistem sa više osnova kod koga svaka pozicija u zapisu broja ima različitu osnovu. Ovaj brojčani sistem je zasnovan na relaciji kongruentnosti. Za dva cela broja a i b se kaže da su kongruentni po modulu m ako m deli bez ostatka razliku a-b. Broj m se naziva moduo ili osnova. U aritmetici ostataka ostatak pri deljenju borjeva a i b je broj r koji se dobija kada se od a oduzme najveći mogući broj c, tako da je c = d*b, tj. r = a d*b. Za r se kaže da je ostatak u odnosu na m i označava se sa r = a m.

40 Za dati skup {mn, mn-1,...m1} pozitivnih celih brojeva koji su veći od 1, RBS (mn mn-1.m1) označava brojčani sistem sa ostacima mn, mn-1,...m1. Primer: Primer: zapis broja 62 u RBS ( ) je r1=62 mod 8=6 r2=62 mod 7=6 r3=62 mod 5=2 r3=62 mod 3=2 Dakle (62)10 = ( )RBS(8j7j5j3) Zapis broja 62 u RBS (9 8 7) je r1=62 mod 9=8 r2=62 mod 8=6 r3=62 mod 7=6 Dakle: (62)= ( )RBS(9j8j7) Zapis broja 902 u pretpostavljenom RBS je r1=902 mod 8=6 r2=902 mod 7=6 r3=902 mod 5=2 r4=902 mod 3=2 Dakle (902)10 = ( )RBS(8j7j5j3) U većini brojčanih sistema zapis svakog broja bi trebalo da bude jedinstven. Iz prethodnih primera se vidi da to u slučaju. Da bi se izbegla višeznačnost zapisa brojeva i pojava duplikata, moduli moraju da budu uzajamno prosti brojevi mn, mn-1,...m1 pri čemu važi mn>mn-1>...>m1. MODULARNA ARITMETIKA Efikasnost korišćenja brojčanog sistema sa ostacima zavisi od mugćnosti efikasnog izvodjenja osnovnih aritmetičkih operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja, kao i poredjnja dve vrednosti. ADITIVNI INVERZ Za ostatak x, aditivnvi inverz x je definisan pomoću jednakosti x+x =0. Aditivni inverz je jedinstven za svaki ostatak m i izračunava se kao x = m-x ᵐ(računa se po m). Njegova glavna primena je u predstavljanje negativnih brojeva i oduzimanje, i on se može primeniti kao pojedinačne ostatke, tak i na kompletan zapis broja. Primeri: (62)10 = (6j6j2j2)RBS(8j7j5j3) Aditivni inverz može da se izraˇcuna kao = = = = 1 Odavde je ( )RBS( ) = ( )RBS( ) (62)10 = (8 6 6)RBS(9 8 7)

41 Aditivni inverz može da se izraˇcuna kao = = = 1 Odavde je (8 6 6 )RBS(9 8 7) = (1 2 1)RBS(9 8 7) ZAPIS NEGATIVNIH BROJEVA Formalno, u RBS(mn mn-1... m1) negativna brojeva mogu da se prestave u zapisu pomoću komplemenata gde je komplementaciona konstanta jednaka (pogledaj u knjizi ). Zapis negativnog broja se dobija i nalaženjem aditivnog inverza apsolutne vrednosti broja. Primeri: (62)10 = (6 2 )10 = ( )RBS( ) = ( )RBS( ) Pomoću zapisa broja koji se dobija komplementiranjem sa komplemenatacionom konstantom 840. Kako je =778, a zapis broja 778 u RBS ( ) je r1=778 mod 8=2 r2=778 mod 7=1 r3=778 mod 5=3 r3=778 mod 3=1 Odavde je (62)10 = ( )RBS( ) SABIRANJE I ODUZIMANJE U modularnoj aritmetici važi sledeće pravilo: A±B m= A m ± B m m Oduzimanje se može izvesti kao sabiranje sa adititvnim invezom umanjioca. Primer: Neka je RBS=( ), i neka su brojevi A = 26 = ( )RBS( ) i B = 12 = ( )RBS( ) Zbir C = A+B je jednak C = A+B= ((2+4)mod 8 (5+5)mod 7 (1+2)mod 5 (2+0)mod 3)RBS( )= ( )RBS( ) Razlika C = AB preko direktne operacije oduzimanja: C = A-B= ((2-4)mod 8 (5-5)mod 7 (1-2)mod 5 (2-0)mod 3)RBS( )= ( )RBS( ) = ( )RBS( ) Razlika C = A-B preko sabiranja sa aditivnim inverzom: -12 = = 828=( )RBS( ) C = A-B = ((2+4)mod 8 (5+2)mod 7 (1+3)mod 5 (2+0)mod 3)RBS( ) = ( )RBS( )

42 MNOŽENJE U modularnoj aritmetici važi sledeće pravilo: A B = A m B m m Primer: Neka je RBS=( ) A = 26 = ( )RBS( ) B = 12 = ( )RBS( ) Proizvod C = A B je jednak. C = A B = ((2 4)mod 8 (5 5)mod 7 (1 2)mod 5 (2 0)mod 3)RBS( ) = ( )RBS( ) MNOŽENJE MODULOM Za svaku celobrojnu vrednost k I moduo m važi: 1. k m m = 0 2. A ± k m m = A m Na osnovu njih skraćuje se postupak sabiranja I oduzimanja u slučajevima kada je jedan od sabiraka umnožak modula, tako što se ne vrši sabiranje ili oduzimanje na poziciji tog modula. A = 26 = ( )RBS( ), B = 14 = ( )RBS( ) A+B = ( )RBS( ) = ( )RBS( ) Kako je 14 = 2 7, prema prethodnim pravilima ne treba izvršiti sabiranje na poziciji koja odgovara modulu 7: A+B = ( )RBS( ) = ( )RBS( ) MULTIPLIKATIVNI INVERZ Za uzajmno proste brojeve ne-nule brojeve A I m, A(na -1) je multiplikativni inverz broja A u odnosu na na moduo m ako važi A A(na -1) m = 1 Primer: 1. Neka je A = 5. Multiplikativni inverz u odnosu na moduo 11 je vrednost A(na -1) za koju važi 5 A(na -1) 11 = 1 Za rešavanje se može koristiti diofanska jednacina 5*x = 11*y +1. Jedno od rešenja jednacine je x=9, y=4. Odavde se dobija da 9 je multiplikativni inverz broja 5 u odnosu na moduo 11 (jer 5*9=45, 45 mod 11 = 1). 2. Neka je A = 9. Multiplikativni inverz u odnosu na moduo 13 je vrednost A(na -1) za koju važi 9 A(na -1) 13 = 1 Za rešavanje se može koristiti diofantska jednacina 9*x = 13*y +1. Jedno od rešenja jednacine je x=3, y=2. Odavde se dobija da 3 je multiplikativni inverz broja 9 u odnosu na moduo 13 (jer 9*3=27, 27 mod 13 = 1). DELJENJE Deljenje je u modularnoj aritmetici najloženija od osnovnih aritmetičkih oprecaija. Deljenje se može definisati na pojedinačnim brojevima i proširiti tako da važi za skupove torki koje prestavljaju zapise brojeva u RBS, ali se javljaju problemi jer količnik ne mora uvek da bude ceo broj. Pored toga nula nema

43 multiplikativni inverz, što predstavlja dodatne teškoće u definisanju opšteg pravila za deljenje u modularnoj aritmetici. U uobičajnoj aritmetici, deljenje se predstavlja jednakočću c=a/b. Na osnovu nje, sledi da je a=c b. U brojčanom sistemu sa ostacima se poslednja jednakost može predstaviti ekvivalencijom c b= a(mod m). Množenjem obe strane sa multiplikativnim inverzom od b dobija se c = a b(na -1) (mod m). C predstavlja količnik samo u slučaju da je ceo broj. Primeri: 1. Neka m = 7 i neka treba izracunati kolicnik c = 6/2. Odavde se dobija: 2*c = 6 (mod 7) c = 6 * 2(na -1) (mod 7) = 6 * 4 (mod 7) = 3 (mod 7) 2. Neka m = 7 i neka treba izracunati kolicnik c = 6/4. Odavde se dobija: 4*c = 6 (mod 7) c = 6 * 4(na -1) (mod 7) = 6 * 2 (mod 7) = 5 (mod 7) 3. Neka m = 7 i neka treba izracunati kolicnik c = 4/6. Odavde se dobija: 6*c = 4 (mod 7) c = 4 * 6(na -1) (mod 7) = 4 * 6 (mod 7) = 3 (mod 7) U sva tri primera važi kongruencija c= ab(na 1) (mod m), ali je vrednost za c ispravan kolicnik samo u prvom slucaju. 30. Brojačani sistemi sa ostacima. Način izbora modula. Prevođenje brojeva. Primeri. Brojcani sistem sa ostacima(reziduumni brojcani sistem, RBS) je pozicioni brojcani sistem sa vise osnova, kod koga svaka pozicija ima razlicitu osnovu. Zasnovan je na kongurentnosti, tj A i B su kongurentni po modulu M, ako je A-B=0(mod M). M je moduo ili osnova. Ostatak se dobija kada se od broja A oduzme najveci moguci broj deljiv sa M. Mana ovog sistema je sto nije jednoznacan, tj zapis nekih brojeva nije jedinstven. Ovo moze donekle da se otkloni, ako se kao osnove uzmu uzajamno prosti celi brojevi, tako da RBS( ) je podrazumevani sistem. U RBS( ) moze da se predstavi 8*7*5*3=840 brojeva, mogu biti u intervalu [0, 839] ili [-420, 419]. Izbor modula:

44 Za module mozemo uzeti bilo koje cele brojeve, ali zbog zahteva koje postavlja implementacija u racunaru potrebno je izvrsiti neku optimizaciju pri izboru. Treba koristiti sto manje module, nema svrhe koristiti jedan veliki i ostale male module, jer taj veliki moduo usporava izvrsavanje operacija. 1. Uzimamo redom proste brojeve dok njihov proizvod ne postane veci od postavljene granice. Na kraju mozemo pomnoziti neka dva broja, tako da dobijemo jedan veci u opsegu bita kao najveci od njih. Takodje mozemo i izbaciti neke manje brojeve tako da proizvod ostalih zadovoljava granicu. 2. Bolji sistem je da redom uzimamo proste brojeve, ali pre nego sto uzmemo sledeci prost broj, ukljucimo i stepen manjih brojeva, a taj manji broj iskljucimo. 3. Najbolje je koristit module koji su stepeni broja 2 ili stepeni broja dva umanjeni za jedan. Takodje ovi brojevi su uzajamno prosti i uz pomoc njih dobijamo najbolju optimizaciju. Prevodjenje iz dekadnog u RBS: Vrsi se tako sto se zeljeni broj deli svakim modulom posebno i ostatak pri tom deljenju se upisuje redom sa leva na desno, potrebno je n cifara, gde je n broj modula. Prevodjenje iz binarnog u RBS: Izvodi se pomocu tabele u koju se upisu ostaci pri deljenju stepena broja 2 sa modulima za odredjeni sistem. Onda se izracunavanje vrsi tako sto se saberu sve vrednosti ostataka iz tabele koje odgovaraju poziciji jedinica u binarnom broju, ali se sabiranje vrsi po modulu. Prevodjenje brojeva iz RBS: Moraju se odrediti tezine svake pozicije, a to se vrsi tako sto proizvod modula na ostalim pozicijama mnozimo sa multiplikativnim inverzom u odnosu na taj moduo. Vrednost broja iz RBS u dekadnom sistemu se dobija kada tezinu svake pozicije pomnozimo sa ostatkom na toj poziciji, pa sve saberemo po modulu koji odgovara proizvodu svih modula ovog sistema. RBS( ) dobijamo da je vrednost broja

45 Prevodjenje iz RBS u binarni sistem je analogno prevodjenju u dekadni, a racunari poseduju predefinisane tablice za odredjene RBS radi lakseg racunanja. 34. Struktura savremenog računarskog sistema. Fon Nojmanova mašina. Sistem prekida. Brzina obrade podataka. Racunarski sistem se sastoji od centralnog procesora, unutrasnje memorije i raznih U/I uredjaja. Fon Nojman je 1945 objavio izvestaj sa modelom racunara EDVAC koji bi mogao da cuva program zajedno sa podacima. On treba da se sastoji od: 1. Centralne aritmeticke jedinice 2. Centralni organ za upravljanje 3. Unutrasnja memorija 4. Ulaz 5. Izlaz Savremeni racunarski sistem zasnovan na Fon Nojmanovoj arhitekturi ima sledece koncepte: 1. Postoji samo jedna memorija u kojoj se cuvaju programi i podaci a razlikuju se samo prema interpretaciji 2. Memorija je adresibilna, tj moze joj se pristupati bez obzira na to sta je u njoj smesteno 3. Izvrsavanje instrukcija se izvodi sekvencijalno Posto su izlazno/ulazni uradjeji daleko sporiji od procesora, pri izvrsenju neke naredbe procesor bi morao da ceka da se neka naredba izvrsi i tako gubio vreme. Zato je uveden sistem prekida. Sistem prekida je mehanizam koji omogucava efikasniji rad racunara. Recimo pri prenosu podataka na stampac procesor dobije prekid i on nastavlja da radi neku drugu instrukciju, a kada ponovo dobije prekid, tj obavestenje da je rad gotov on se vraca na tu instrukciju. Kontrola prekida se vrsi pomocu: 1. Onemogucavanja prekida-svi ostali prekidi cekaju dok se ne izvrsi zapoceta instrukcija, pa se onaj prvi na redu izvrsava 2. Definisanje prioriteta prekida, tako da onaj sa vecim prioritetom moze da prekine izvrsavanje onog sa nizim prioritetom

46 Brzina obrade podataka: 1. MIPS-millions of instructions per second, koristi se za merenje brzine na pojedinacnim procesorima, moze se uporediti u istoj familiji 2. FLOPS-floating point operations per second-koji se koristi za merenje brzine super racunara 3. Merenje brzine izvrsavanja jednog instrukcijskog ciklusa 35. Organizacija centralnog procesora. Registri. Kod prvih generacija procesora glavne komponente su bile ALU i CU. ALU je aritmeticko logicka jedinica i ona sluzi za obradu podataka, a CU je kontrolna jedinica koja vrsi kontrolu izvrsavanja i upravljala prenosom podataka i instrukcija u i iz ALU. Da bi se operacije uspesno obavljale, potrebno je negde smestiti neke argumente, medjurezultate, dobijene vrednosti, naredna instrukcija i za to se koriste registri. Registi cine internu memoriju procesora, a veza sa ostalim delovima racunarskog sistema se uspostavlja preko magistrala. Podaci koji se obradjuju u ALU se dobijaju prenosom iz registara, a rezultati, zastavice i indikatori se isto smestaju u registre. Postoji vise vrsta registara, ali neka najcesca podela je na: 1. Opste-koristese za razlicite funkcije skladistenja podataka, adresa, kodova...(akumulatori, index, pokazivace steka i segmenta) 2. Specijalizovane-oni se koriste pri izvrsavanju operacija, njihovoj kontroli, za prikaz tekuceg stanja Tehnologije izrade mikroprocesora. Tranzistori, tehnologije izgradnje bržih čipova. Procesorske jedinice svih racunara se danas izradjuju u obliku mikroprocesora Mikroprocesor je cip koji sadrzi CPU i malu kolicinu memorije koja se koristi za specijalizovane namene. Do sredine 90-ih proslog veka za izradu mikroprocesora koriscen je silicijum, ali posto se doslo do granice na kojoj je silicijum otporan morala se naci neka druga tehnologija. Delom se modifikovala silicijumska, a delom uvele potpuno nove tehnologije.

47 Tranzistor je uredjaj sa tri zavrsna prikljucka koji u racunaru moze da bude prekidac ili pojacivac. Sastoji se od tri sloja poluprovodnickog materijala koji moze da provodi struju. Koriste se silicijum ili germanijum. Postoje bipolarni NPN i PNP tranzistori. Postoje i FET tranzistori kod kojih se prenos struje vrsi pomocu efekta polja. Tehnologije za izgradnju brzih cipova su tehnologija sa bakarnim zicama, Silicijum na izolatoru CISC i RISC arhitektura mikroprocesora. Neke osobine RISC procesora. CISC i RISC arhitekture mikroprocesora Softverska kriza- pojava koja je nastala kao posledica manjka programera sposobnih da za neko vreme efikasno razviju neki sofver i nedostatka odgovarajucih metoda da razvoj softvera. Kao odgovor na softversku krizu, racunarska industrija je razvila nove metode razvoja softvera i razvila je mocnije i slozenije programske jezike. Ti novi jezici (jezici cetvrte i pete generacije ) dopustaju programeru da mnogo krace i preciznije izrazi algoritam. Medjutim, ovakvo resenje dovelo je do semanticke praznine u mogucnostima postojece arhitekture racunara i resenja predvidjenim jezicima. Izvrsavanje programa postalo je neefikasno-povecana je velicina masinskog programa i slozenost prevodilaca.. Da bi se to premostilo nastala je drugacija arhitektura novih modela racunara.novi modeli su donosili povecanje skupa instrukcija,nove nacine adresiranja i hardverdsku implementaciju pojedinih naredbi visih programskih jezika Ove modifikacije su omogucile: Jednostavniju konstrukciju prevodilaca uz mogucnost podrske sa slozenije programske jezike i alate kao i povecanje efikasnosti izvrsavanja. Pojava RISC tehnologija Ideja o drugacijoj arhitekturi racunara nastala iz projekta IBM firme cija je ideja bila da se velike telefonske mreze budu sposobne da podrze prijem i preusmeravanje oko 300 poziva u sekundi.ciljni system je projektovan na paerformanse od 12 MIPS-a zbog zahtevnog odziva u realnom vremenu,uz obavljanje oko instrukcija po telefonskom pozivu.ta specijalizovanija aplikacija je zahtevala vrlo brz processor koji nije morao da obavlja komplikovanije instrukcije i koji je imao veoma male zahteve za izracunavanjima u pokretnom zarezu.pored prenosenja podataka iz registara u memoriju,masina je morala da obavlja sabiranja,kombinuje delove polja izdvojene iz registara,vrsi skokove i U/I operacije. Nakon zavrsetka projekta,njegovi projektanti su shvatili d ace ona biti dlicna osnova za mikroprocesor opste namene sa visokim performansama.po njihovim predvidjanjima,takav mikroprocesor trebalo da ima vrlo visoke performance u odnosu na proizvodnu cenu,i prema tome da bude primenjiv u velikom broju aplikacija.

48 Najvaznije osobine masine koje su omogucavale dobar odnos njenih performansi i cene bile su: Deljenje kesa za instrukcije i podatke cime je dobijena mnogo veca propusnost veze izmedju memorije i CPU-a. Nije bilo izvrsavanja aritmetickih operacija nad podacima u memoriji,cime je znatno poboljsano preklapanje instrukcija. Uniforma velicine instrukcije i jednostavna konstrukcija su omogucili vrlo kratko izvrsavanje ciklusa.tako su se sve operacije izmedju registara izvrsavale u jednom instrukcionom ciklusu. Detaljne analize programa ustanovile su da se oko 30% svih instrukcija koristi za prenosenje podataka izmedju memorije i procesora.takodje,razlicite studije su pokazale da izvrsavanje skoka moze da uzme cak i do jedne trecine ukupnog procesorskog vremena.prvi prepoznatljiv pokusaj smanjenja performansi u slucaju izvodjenja skokova je IBM-ov racunar IBM 7030 (Stretch).Stretch je imao posebno konstruiasn hardver za bolje izvrsavanje insrukcija uslovnog grananja koje nisu rezultovale i samim skokom.sa preklapannjem instrukcija na dva do tri nivoa znatn se smanjivalo efektivno vremepotrebno za pristup memoriji i vrsenje skoka.operacije dohvatanja iz memorijesu zahtevale dva ciklusa,jedan za izracunavanje adrese podatka i slanje adrese na memorijsku magistralu i drugi za prijem podatka i njegovo prenosenje u odredjeni registar.post oza drugi ciklus nije bio potreban CPU,on je mogao da izvrsava narednu instrukciju sem u slucaju da je ta instrukcija zahtevala upotrebu memorijske magistrale. Velika prednost nove,eksperimentalne masine je to sto je bila u stanju da izvrsi mnogo veci broj instrukcija u jednom ciklusu u odnosu na druge masine,npr IBM/370.Eksperimentalna masina je bila slicna vertiaklnoj mikrokod masini,tj amsini koja je izvrsavala jednu instrukciju u jedinici vremena.umesto skrivanja ovih atributa iza slozenog skupa instrukcija u mikrokodu,masina je tu mogucnost ponudila direktno krajnjem korisniku.mikoracunar sa ogranicenim skupom instrukcija ce izvrsavati makro instrukciju u otprilike istom broju ciklusa koliko je potrebno masinama serije S/370 za izvrsavanje svoje odgovarajuce instrukcije.veliki potencijal masine je predstavljala cinjenica da se takva jednostavna instrukcija izvrsava znatno brze za istu familiju integrisanih kola zbog vremena potrebnog za isvrsavanje CISC(Complex Instruction-Set Computer) interpretatora. Posto je ova eksperimentalna masina osmisljena za potrebe projekta za Telefonsku mrezu,za vreme konstruisanja je nazivana telefonska masina.kako je to ime bilo neadekvatno,masina je dobila ime 801,po IBM-ovoj zgradi u kojoj je projekat izvodjen,orogonalni 801 je zavrsen 1978 godine i dugo vremena je bio IBM-ov najbrzi eksperimentalni rpocesor.u narednim godinama je koriscen u velikom broju projekata.(40-mhz 801 procesor je bio osnovni U/I processor na IBM S/470 masinama serije 3090,koriscen kao mikroprocesor u masinama serije 9370). Neke osobine RISC procesora

49 Razne studije su pokazale da je potreba za novom arhikteturom racunara sve evca.pored pojave procesora IBM 801 znacajna je i pojava Berkli RISC I procesora.pojava ovih procesora i njihove dobre karakteristike su najavili pojavu RISC(Reduced Instruction-Set Computer) arhikteture,zasnovane na drugacijoj osnovi od tada jedino postojece CISC arhikteture. Slicnosti ponasanja tadasnjih procesora i programa: *Naredbe koje su se najcesce javljale u programima su bile naredbe dodele, uslovna naredba i poziv potprograma. Poziv i povratak iz procedure su operacije koje zahtevaju najviše vremena u tipicnim programima pisanim na višim programskim jezicima. *Referisanje na operande se obavlja kao referisanje na lokalne skalarne vrednosti. Zbog toga je neophodna optimizacija procesa zapisivanja i pristupa lokalnim promenljivim. *Pri pozivu procedura oko 98% procedura je prenosilo manje od 6 argumenata, a cak kod 92% procedura su ti argumenti bili lokalni. Tako da broj reci potreban pri pozivu procedure nije veliki, ali treba obratiti pažnju na pristup argumentima Na osnovu ovih slicnosti,razne istrazivacke grupe su dosle do zakljucka da concept pravljenja arhiktetura koje su vrlo bliske visim programskim jezicima nije optimalan.visi programski jezici su mogli bolje da budu podrzani optimizacijom njihovih osobina koje su najveci potrosaci procesorskog vremena,i takodje su nasli tri nacina za poboljšanje performansi: 1. Povecanje broja registara - Uoceno je da u nekim programima postoji jako veliki procenat naredbi dodeljivanja i pomeranja podataka. Ova karakterstika zajedno sa skalarnim tipom podataka sugerisala je da se performanse mogu poboljšati smanjenjem referisanja memorije i povecanim referisanjem registara. Jedan od resenja je bio povecanje broja registara. 2. Poboljšanje mehanizma preklapanja instrukcija- Obzirom na visoki procenat uslovnih skokova i poziva procedura uobicajeni nacin implementacije preklapanja nije efikasan. Posledica uslovnih skokova i poziva procedura je postojanje velikog broja instrukcija koje su dohvacene ali se nikada ne izvršavaju. 3. Smanjen broj osnovnih instrukcija - Sa smanjenim brojem osnovnih instrukcija jednostavnije je konstruisati mikroprocesor pa se manje vremena troši na prepoznavanje instrukcija i instrukcije su brže jer se izvršavaju u jednom ciklusu. Suprotno ocekivanjima,program pisani za RISC se nisu mnogo razlikovali od programa za CISC masine.risc programi jesu duzi-imaju veci broj instrukcija.razlog je to sto prevodioci ovih programa pokusavaju da koristo sto jednostavnije instrukcije,tako da se tesko moze naci neka nova slozenija instrukcija.kako je kod RISC procesora smanjen broj osnovnih instrukcija,operacioni kod CISC programa je duzi i zauzima vise prostora u memoriji.jos jedan razlog zasto RISC ne zauzimaj umali deo memorije jeste to sto veliki deo RISC instrukcija sadrzi

50 samo operacije sa registrima.takodje se ocekivalo da se slozene instrukcije CISC procesora izvrsavati brze nego kaok niz jednostavnijih masinskih instrukcija Osobine RISC procesora koje su zajednicke bez obzira na proizvodjaca: 1. Izvršavanje (bar) jedne mašinske instrukcije za jedan mašinski ciklus - Ovim se smanjuje ili eliminiše potreba za mikrokodom i kompletna mašinska instrukcija može da bude hardverski kodirana. Takva instrukcija se izvršava brže od odgovarajucih instrukcija CISC procesora jer nema potrebe za vršenjem mikroprogramske kontrole. 2. Najveci broj mašinskih operacija je tipa registar-u-registar - rezultuje uprošcenom upravljackom jedinicom. Ovakva arhitektura omogucuje optimizaciju upotrebe registara tako da argument kome se cesto pristupa ostaje u brzoj memoriji od koje su napravljeni registri. 3. Upotreba relativno malog broja nacina adresiranja - Najveci broj instrukcija RISC procesora koristi registarsko adresiranje. Pored njega mogu da se jave i drugi nacini adresiranja. Ostali kompleksniji nacini adresiranja se realizuju softverski. Ova osobina takodje ima uticaj na jednostavnost konstrukcije upravljacke jedinice cime se povecava brzina rada. 4. Upotreba jednostavnih formata instrukcija - Koristi se samo nekoliko razlicitih formata instrukcija koje su fiksne dužine i obicno su poravnate na granicu reci, što znaci da ne prelaze granice stranica. Polja u instrukcijama su takodje fiksne dužine što omogucuje istovremeno dekodiranje operacionog koda i pristup operandu instrukcije. Prednosti RISC procesora u odnosu na procesore izvedene u CISC tehnologiji se mogu podeliti u dve grupe: 1. Jednostavnija konstrukcija - Zbog manjeg broja instrukcija i jednostavnije strukture vreme potrebno za dizajniranje i uvodjenje takvog procesora u komercijalnu upotrebu je znatno krace. 2. Bolje performanse - RISC cipovi poseduju znatno bolje performanse od CISC cipova koji rade na istim brzinama. Za RISC mikroprocesore je jednostavnije definisati prevodioce koji formiraju mnogo optimalniji kod nego za CISC mikroprocesore. Veliki broj instrukcija koje generišu prevodioci je relativno jednostavan. Upravljacka jedinica može da se napravi da za ovakve instrukcije koristi vrlo malo mikrokodiranja, tako da se one izvršavaju brže nego na odgovarajucim CISC procesorima. Danasnji procesori RISC i CISC predstavljaju hibride obe tehnologije.konstruktori savremenih CISC procesora su,u cilju poboljsanja performansi,u njih ukljucili mnoge pozitivne osobine RISC

51 procesora(sistem preklapanja instrukcija,povecan broj instrukcija,...).takodje,konstruktori RISC procesora su ukljucili pojedine karakteristike CISC procesora kao sto je prosireni skup instrukcija. Najpoznatiji proizvodjaci RISC cipova su firme Motorola (88000,..., PowerPC), Silicon Grpahics (MIPS R1000, R3000, R4000,..., R12000), Digital (Alpha), Hewlett Packard (PA-RISC 8200,...,8600), Sun Microsystems (Micro SPARC i ULTRA SPARC) i IBM (RS/6000 i PowerPC). 38. Karakteristike mašinskih instrukcija. Formati i tipovi instrukcija. Broj adresa u instrukciji. Načini adresiranja podataka u mašinskim instrukcijama. KARAKTERISTIKE MASINSKIH INSTRUKCIJA Skup instrukcija procesora- skup razlicitih masinskih instrukcija koje se mogu izvrsavati na nekom procesoru. Da bi se funkcije efikasno izvrsavale svaka od njih mora da sadrzi sve informacije potrebne za izvrsavanje: 1. OPERACIONI KOD INSTRUKCIJE- definise operaciju koja ce biti izvrsena. 2. REFERENCU NA OPERANDE INSTRUKCIJE- operandi instrukcije mogu se naci na realnoj ili virtualnoj memoriji,registrima procesora ili na posebni lokacijama u ulazno/izlaznim uredjajima. 3. REFERENCU NA NAREDNU INSTRUKCIJU- naredna instrukcija je instrukcija koja treba da se prenese u procesor po zavrsetku izvrsavanja tekuce instrukcije. Ona se u procesor moze preneti iz realne memorije ili sa diska. Referenca na narednu instrukciju moze biti EKSPLICITNA (ako se u tekucoj instrukciji zahteva grananje) ili IMPLICITNA (ako se naredna instrukcija nalazi u programu odmah iza tekuce instrukcije) FORMAT INSTRUKCIJA Sve instrukcije imaju slican format. Na pocetku se nalazi OPERACIONI KOD, zatim slede OPERANDI INSTRUKCIJE. (Ukoliko ima vise operanada oni se redjaju jedan iz drugog) Operandi instrukcije se mogu zadati na razlicite nacine (preko svojih adresa, indirektnim adresiranjem,neposrednim navodjenjem...) Skup instrukcija jednog procesora moze da sadrzi operacione kodove razlicitih duzina. Razlicite instructive mogu imati razlicit broj operanada razlicite duzine. Posto se sve instrukcije predstavljaju nizom bitova pri njihovom izvrsavanju dekodira se operacioni kod pa se na osnovu njega odredjuju operandi instrukcije. Posto je to za ljude neefikasno uvode se MNEMONICKE OZNAKE OPERACIONIH KODOVA I one se definesu za skup instrukcija svakog od procesora.

52 Podelu skupa instrukcija moguce je izvesti po operaciji koja je zadata instrukcijom. Skup instrukcija može da sadrži više razlicitih instrukcija za jednu istu operaciju koje se primenjuju u zavisnosti od tipa operanda. Podelu formata instrukcija moguce je napraviti i prema vrsti i broju njihovih operanada. Instrukcije u istoj grupi imaju istu dužinu, broj operanada i korišceni nacin adresiranja. Npr, instrukcije S/390 procesora se dele u grupe prema lokaciji gde se nalaze operandi na: RR: Registar registar RX: Registar indeksirana memorija RXE: Registar indeksirana memorija sa produženim poljem za operacioni kod RRE: Registar registar sa produženim poljem za operacioni kod RS: Registar memorija RI: Registar neposredno (operand se neposredno navodi u instrukciji) SS: Memorija memorija Sami operandi mogu, po tipu podatka, da predstavljaju brojeve, niske karaktera ili nestruktuirane logicke podatke Brojevi mogu predstavljati: 1. Brojcane vrednosti koje ucestvuju u aritmetickim operacijama 2. Adresu na kojoj se nalazi neki podatak 3. Broj opsteg registra ili registra u pokretnom zarezu koji se koristi u instrukciji 4. Specijalne sistemske vrednosti Niske karaktera koje se javljaju u instrukcijama zapisuju se kodovima u pakovanom I nepakovanom zapisu Nestruktuirani logicki podatak - svaki niz bitova ciji se elementi posmatraju kao jednobitni logicki podatak koji ima vrednost 0 ili 1 TIPOVI INSTRUKCIJA Instrukcije se mogu grupisati i po vrsti operacije koja se izvršava njihovim pozivanjem. Instrukcije se dele na 1. Aritmeticke- deli se na instructive nad celim brojevima, nad brojevima u pokretnom zarezu I nad binarno kodiranim dekadnim brojevima. Ovde spadaju instrukcije koje smanjuju ili povecavaju vrednost operanda za 1 ili rade njegovu negaciju. 2. Logicke- implementiraju logicke operacije Bulove algebre. 3. Instrukcije za konverziju -menjanje ili modifikacija tipa podataka. Primeri instrukcija koji frse konverziju su S/390 instrukcije: CVB ( convert to binary) I CVD ( convert to decimal)- vrse konverziju zapisa celog broja; THDR ( convert binary flating point to hexadecimal floating point ) I TBDR ( convert hexadecimal floating point to binary floating point); TR (translate)- koristi se za prevodjenje karaktera iz jednog koda u drugi. 4. Instrukcije za prenos podataka - koriste se za prenos podataka izmedju dve lokacije (registar, vrh steka, neka lokacija u memoriji) 5. Ulazno/izlazne instrukcije- koriste se za komunikaciju I prenos podataka sa ulazno/izlaznih uredjaja. (pr. CSCH) 6. Kontrolne instrukcije- uvek su privilegovane I izvrsavaju se samo ako je program u supervizorskom rezimu rada (pr. LPSW) 7. Instrukcije za prenos kontrole- menjaju sadrzaj brojaca instrukcija tako da on pokazuje na adresu u memoriji na kojoj se nalazi sledeca instrukcija. Postoji vise vrsta ovih instrukcija (bezuslovni skok, uslovni skok,poziv potprograma I povratak iz potprograma)

53 BROJ ADRESA U INSTRUKCIJI Jedan od nacina klasifikacije arhitektura procesora je podela racunara prema maksimalnom broju adresa koji moze da se pojavi u instrukciji. Minimalan broj adresa u instrukciji je 0. Takve instrukcije implicitno adresiraju svoje operande sto predstavlja veliko ogranicenje. Racunari mogu biti: 1. Jednoadresni- za pisanje programa neophodne su instrukcije koje sadrze bar jednu adresu. Takvi programi se cesto vracaju memoriji za upis/citanje medjurezultata. 2. Dvoadresni - maximal broj adresa u instrukciji je dva. Rezultat operacije se upisuje na neku privremenu lokaciju ili u lokaciju jednog od operanada. Koriscenjem dvoadresnih instrukcija smanjuje se duzina programa. 3. Troadresni - instrukcija sa tri adrese. primer Posmatrajmo izvršavanje aritmetickog izraza: F = (A + B +C) * (D + E). Neka A, B, C, D, E i F oznacavaju memorijske lokacije. NACINI ADRESIRANJA Za navodjenje adresa operanada koriste se razlicite tehnike poznate pod nazivom nacini adresiranja. Nacin adresiranja odredjuje algoritam po kome se izracunava stvarna adresa. Stvarna adresa može da oznacava registar, realnu ili virtualnu memoriju. Skoro svi racunari koriste bar jedan od nacina adresiranja, pri cemu je vrlo cest slucaj da se nacini kombinuju. U tom slucaju informacija o nacinu adresiranja mora da bude ukljucena i instrukciju. To se postiže na dva nacina: 1. Upotrebom razlicitih operacionih kodova za istu operaciju sa razlicitim nacinima adresiranja. 2. Upotrebom indikatora modifikacije. Indikatori modifikacije predstavljaju jedan ili više bitova u samoj instrukciji cije vrednosti oznacavaju nacin adresiranja Najcesce se koriste sledece tehnike adresiranja: 1. Registarsko adresiranje - oznaka registra koji sadrži operand je ukljucena