NUMERIČKA MATEMATIKA ZADACI ZA Mathcad

Transcript

1 NUMERIČKA MATEMATIKA ZADACI ZA Mathcad Jun() 5. Date su vrednosti specifičnih toplota c p ( J gk) azota na pritisu p = bar i različitim temperaturama, sa tačnošću od 4 sigurne cifre u širem smislu. T(K) c p a) Iz vrednosti entalpije i entropije azota na temperaturi K, i pritisu bar, h = 96.8 J/g, s = 5.J/(gK) izračunaj entalpije i entropije na tom pritisu i na svim ostalim temperaturama u tabeli, iz TD relacija: T h( T ) h( T ) = c p ( T ) dt, s( T ) s( T ) = T Rezultate dati sa 4 značajne cifre. T T c p ( T ) dt T b) Navedi omponente uupne greše dobijenih rezultata. Pod ojim uslovima se dobijene značajne cifre u rezultatima mogu smatrati i sigurnim u širem smislu? c) Koristeći funciju seanta, treba izračunati do oje temperature T se ohladi azot početne temperature T = 85K, ao mu se odvede toplota u iznosu od q =7 J/g, rešavajući jednačinu energetsog bilansa: q = T T c ( t) dt temperaturu do oje bi se ohladio ilogram azota p Odabrati toleranciju iz uslova da je potrebno rezultat dobiti sa preciznošću od 4 sigurne cifre u širem smislu, a onda proveriti da li je ona dovoljno mala i ao nije odabrati odgovarajuću toleranciju i ponoviti proračun. d) Rezultat dobijen u c) uporediti sa onim oji se dobija primenom SOLVE BLOCK-a. Da li je onačno odabrana tolerancija u c) bila dovoljna da se rezultat dobije sa željenom preciznošću?. Potrebno je podate o specifičnim toplotama u prethodnom zadatu fitovati polinomom stepena m, oristeći funciju linfit a) Odrediti oeficijente u polinomu 3. stepena, P 3 (T). b) Odabrati optimalan stepen polinoma m iz uslova da je za taj polinom srednje vadratno odstupanje empirijse mule od esperimentalnih podataa: ei i= s = = n ( m + ) minimalno. n n i= [ y P ( )] i n m i ( m + )

2 d) Na ojoj od temperatura u tabeli odabrani polinom odstupa najviše, u apsolutnom smislu, od tabelarne c p vrednosti? 3. Cilindrični alup ispunjen je rastopom legure metala početne temperature T liq =4 F. Kalup je izolovan svuda osim sa gornje strane gde se održava onstantna temperatura (temperatura očvršćavanja) T sol =5 F strujom ulja za hlađenje. Proces je opisan sledećom diferencijalnom jednačinom: T ρ T = ( C p + α sr H ) t gde su: 3 ρ = 54lb / ft - gustina, o =.BTU / sft F - oeficijent toplotne provodljivosti, C p o =.38BTU / lb F - specifična toplota, H =BTU / lb - latentna toplota fazne transmacije (očvršćavanja) α - oličina čvrste faze (lb) oja se mira na lb smeše čvrste i tečne faze pri sniženju temperature za F (temperaturna zavisnost data je u tabeli). L=ft - visina cilindra (legure) T8 α sr = α( T ) dt - srednja vrednost za α sa ojom treba ući u proračun T T 8 T Dati su početni i granični uslovi: T = T, L, t = T = T liq sol, =, t > T( F) α( F - ) T =, = L t a) Priazati temperaturne profil štapa naon t=,, 5, s. Integraciju po prostornoj promenljivoj računati sa podintervala a za vremensi ora uzeti t=s. b) Napisati jednačinu stacionarnog temperaturnog profila oji se uspostavlja u leguri naon dovoljno dugo vremena. c) Pretpostavimo da imamo obrnut problem: raspolažemo rezultatima proračuna temperaturnog profila legure u vemenu (matrica dobijena pod a) oji se dobro slažu sa esperimentalnim podacima ali nam nije poznata vrednost oeficijenta toplotne provodljivosti legure. () Predloži način da se izračuna iz datih podataa (matrice). () Izračunaj iz matrice dobijene pod a).

3 a) Podaci: T h 96.8 f n 8 pspline( T, c p ) s 5. h q 7 Definisanje funcije cp(t) pomocu pspline: i.. 8 fc p interp f, T, c p, T T + ih i c p Izracunavanje entalpija i entropija: T h h + fc p d T h = T fc p s s + d T s = b) Komponente uupne grese su: () gresa oja potice od gresaa u podacima () gresa numerice integracije (3) gresa zaoruzivanja medjurezultata Imajuci u vidu da je gresa (3) zanemarljiva u odnosu na ostale, rezultati mogu da imaju 4 ili 3 sigurne cifre u sirem smislu, ao je gresa () zanemarljiva u odnosu na gresu (). c) Definisanje funcije ciju nulu trazimo: f( T) T fc p () t dt + q 85 Izbor polazne procene tolerancije: T T Posto je u pitanju relativna gresa, δ izracunavamo iz broja sigurnih cifara, δ = -s : δ 4

4 T Seanta f, T, δ T = Provera tolerancije: Smanjujemo toleranciju i ponavljamo proracun: T Seanta f, T, δ T = δ δ Posto se rezultat trazi sa 4 sigurne cifre, a dva dobijena rezultata se polapaju na 6 cifara, odabrana tolerancija δ =. obezbedjuje trazenu tacnost resenja. Konacan rezultat je: T T T = 4.6 d) T T Given T q = fc p () t dt 85 T Find( T) T = Rezultat potvrdjuje izbor tolerancije u c) ) a) Definisanje polinoma i odstupanja polinoma od esp. podataa: Pm(, b, m) m j = b j j m 3 sb (,, m) n i = c pi Pm, b, m i ( n + ) ( m + ) φ 3 b3 linfit T, c p, φ b3 = stb3 (,, m) = b)

5 Odredjujemo polinom 4. stepena i njegovo odstupanje: m 4 φ 3 4 b4 linfit T, c p, φ b4 = stb4 (,, m) = Posto je s manje od onog za polinom 3. stepena, idemo na polinom 5. stepena: φ m 5 b5 linfit T, c p, φ b5 = stb5 (,, m) =.3 5 Posto je s vece od onog za polinom 4. stepena, optimalan stepen polinoma je 4 d) Racunanje i ucrtavanje odstupanja P 4 od esp. podataa: e c i pi Pm T, b4, 4 i.3 Polinom najvise odstupa na temperaturi: T = e =.34 3 e i.. 3a) Opsti obli parabolicne jednacine je: i

6 t yt (, ) = a yt (, ) + b yt (, ) + c y(, t) + d Definisanje splajn funcije: T 5 n 8 i.. 8 h 3 T T + ih i T = α oef cspline( T, α) α interp oef, T, α, Podaci iz zadata:. ρ 54 Cp.38 H L Tliq 4 Tsol 5 t T = T ρ ( Cp + α() H t ) Domen promenljive : L

7 Funcije oje figurisu uz parcijalne izvode u jednacini: αsr T T n T n T α d αsr = a ρ Cp + αsr H b c d Opsti granicne uslovi: = = A y + B y = C A y + B y = C Th( n, a, b, c, d) w a i.. n b i q i w i w a c q i i i i d g w i.. n d c g i i i g i w i g n n i n, n.. g q i i i i+ return Konretni granicne uslovi: t = = = T = Tliq T = Tsol d d y = A G T Impl a, b, c, d,,, ypoc, G,, t, nt (pocetni) B C ( G T ) ( G T ) n i.. i j y i, j i.. y y i, tb n tc ta A tb B td C ta A n tc B n

8 n td C n j.. i tc i ta i tb i td i td i td i v Th y j+ y y T y Sledi da je matrica oeficijenata u Robinovim granicnim uslovima: A B C A B C G 5 A B C A B C Pocetni uslov: ypoc Tliq Tliq = 4. prostorni ora n n = t vremensi ora nt broj tacaa sa vremensim oraom t

9 y Impl a, b, c, d,,, ypoc, G,, t, nt i.. n i i 4 ( y T ) ( y T ) ( y T ) 5 ( y T ) b) Jednacina stacionarnog T profila je: T = 5 c) Nacin I U datoj matrici izabere se jedna taca recimo sa indesima (6,4). Ona predstavlja temperaturu stapa posle 6 vremensih intervala i na rastojanju od 4 prostorna oraa i iznosi Sa nasim vrednostima to je posle 6 seundi i na rastojanju.4 stope. Svaa taca matrice rezultata, uljucujuci i ovu oju smo izabrali, mora da zadovolji zadatu parcijalnu diferencijalnu jednacinu. Data jednacina se moze disretizovati po prostornoj i vremensoj oordinati i tada dobijamo jednacinu za jednu tacu oja se racuna iz oolnih vrednosti datih u matrici. Tao je z neu tacu i,j mula t T = T ρ ( Cp + α() H t ) T T i+, j i, j = t ρ Cp + αsr H a za nas onretan slucaj je: T T + T i, j+ i, j i, j

10 T T 74, 54, = t ρ Cp + αsr H I treba samo pronaci : T T + T 65, 64, 63, j.. t t t + i i T y f 5 ρ Cp + αsr H T T + T 65, 64, 63, T T 74, 54, t Given f = Find =.368 malo odstupa od stvarne vrednosti Ili opstije, za bilo oju tacu, menjanjem indesa tace i, j: i - indes vremensog oraa j - indes prostornog oraa i f 5 j ρ Cp + αsr H T T + T i, j+ i, j i, j T T i+, j i, j t Given f = Find =.9 Vidimo da ce za bilo oje i, j, rezultati biti priblizno isti. Odstupanja od tacnog resenja =. javljaju se zbog aprosimacija izvoda onacnim razliama. Bolji rezultati se postizu za vece vrednosti indesa, ada je nagib T profila manji jer je time bolja aprosimacija izvodima! Nacin II Izaberu se dve polazne procene za, npr. pp= i p=, i sa njima se udje u proracun metodom seante. Funcija cija se nula trazi moze biti vrednost temperature u bilo ojoj

11 od tacaa matrice y, jer svaa taca mora da zadovolji datu diferencijalnu jednacinu. Sa datim, primenjuje se gore opisani postupa implicitnog resavanja parabolicne jednacine do se ne dobije resenje u datoj izabranoj taci oje se polapa sa zadatim sa zadovoljavajucom tacnoscu. Nacin resavanja je nesto ompliovaniji jer zahteva pravljenje nove funcije ili stalno "rucno" ponavljanje proracuna... Nacin III Slican je prethodnom metodu, ali se umesto odabrane tace pousava minimizovati odstupanje svih elemenata matrice dobijene sa resavanjem parabolicne jednacine sa pretpostavljenom vrednoscu, od matriceoja je zadata. Koristila bi se dale funcija Minerr.